Dokument ma'lumotlari

Narxi 25000UZS
Hajmi 277.2KB
Xaridlar 0
Yuklab olingan sana 14 Fevral 2025
Kengaytma docx
Bo'lim Kurs ishlari
Fan Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

3 Sotish

Parabolik tipdagi tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni umumlashgan yechimi

Sotib olish
PARABOLIK TIPDAGI TENGLAMALAR UCHUN CHEGARAVIY MASALALARNI UMUMLASHGAN YECHIMI Mundarija PARABOLIK TIPDAGI TENGLAMALAR UCHUN BOSHLANG’ICH VA CHEGARAVIY MASALALAR……………………………………....... 5 Differensial tenglamalar haqida umumiy tushunchalar…………………. 5 Parabolik tipli tenglamalarga keltiriladigan fizik jarayonlar: issiqlik tarqalish va diffuziya tenglamalari………………………………………. 10 Chegaraviy masalalarning qo’yilishi…………………………………….. 13 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR…………………………………….. 15 PARABOLIK TIPDAGI TENGLAMALAR UCHUN BOSHLANG’ICH VA CHEGARAVIY MASALALAR Differensial tenglamalar haqida umumiy tushunchalar. Tabiatda uchraydigan turli jarayonlar (avtomobil harakati, sayyoraning uchishi,fizik va ximik va biologik jarayonlar va h.k) o ’z harakat qonunlariga ega. Ba’zi jarayonlar bir xil qonun bo’yicha sodir bo’lishi mumkin, bu hol esa ularni ishini o’rganish ishini yengillashtiradi. Ammo jarayonlarni tavsiflaydigan qonunlarni to’g’ridan to’g’ri topish har doim ham mumkin bo’lavermaydi. Xarakterli miqdorlar va ularning hosilalalari va differensiallari orasidagi munosabatni topish tabiatan yengil bo’ladi. Bunda noma’lum funksiya yoki vektor funksiya hosila yoki differensial ishorasi ostida qatnashgan munosabat hosil bo’ladi. Matematika va uning tadbiqlarining muhim masalalari x ni emas, balki uning biror noma‘lum y(x) funksiyasini topish masalasi qo‘yilgan va tarkibida shu bilan birga uning y'(x),y''(x),...,y(n)(x) hosilalarini o‘z ichiga olgan murakkab tenglamalarni yechishga keltiriladi. Masalan, 1-ta’rif. Erkli o‘zgaruvchi x ni, noma‘lum y(x) funksiyani va uning n tartibli hosilasiga qadar hosilalarini bog‘lovchi tenglamaga n− tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi. Yuqorida yozilgan tenglamalar, mos ravishda, birinchi, ikkinchi va uchinchi tartibli differensial tenglamalardir. n− tartibli differensial tenglamaning umumiy ko‘rinish: (1) 2 2-ta’rif. (1) tenglamani ayniyatga aylantiruvchi va kamida n marta differensiallanuvchi har qanday y= f(x) funksiyaga (1) differensial tenglama yechimi deyiladi. Masalan, funksiya y'+y= 0 differensial tenglama yechimi bo‘lib, u tenglamaning cheksiz ko‘p yechimlaridan biridir. Har qanday y= c⋅e−x funksiya ham, bu yerda, c− ixtiyoriy o‘zgarmas son, tenglamani qanoatlantiradi. Ushbu differensial tenglama yechilganda, uning yechimi y= c⋅e−x ko‘rinishdan o‘zgacha bo‘lishi mumkin emas. Shu ma‘noda, y= c⋅e−x funksiya uning umumiy yechimi deyiladi. Umumiy yechimda ixtiyoriy o‘zgarmas qatnashgani uchun, tenglama yechimlari to‘plami yagona ixtiyoriy с o‘zgarmasga bog‘liq deyiladi. O‘zgarmas c ga turli son qiymatlar berilganda, uning konkret yoki xususiy yechimlari kelib chiqadi. y'''=0 differensial tenglama yechimlarini bevosita qurish mumkin: y''= c1,y'= c1x+c2,y= c1x2/2+c2x+c3. Bu yerda, va c3 ixtiyoriy o‘zgarmaslar bo‘lib, ularning har qanday qiymatlarida y= c1x2/2+c2x+c3 funksiya differensial tenglamani qanoatlantiradi va shu sababli y= c1x2/2+c2x+c3 umumiy yechim bo‘lib hisoblanadi. y'''=0 differensial tenglama umumiy yechimi uch ixtiyoriy o‘zgarmasga bog‘liq va har birining konkret qiymatlarida xususiy yechim hosil bo‘ladi. Yuqoridagi misollardan differensial tenglama umumiy yechimida o‘zgarmaslar soni tenglamaning tartibiga teng ekanligini va uning xususiy yechimlari umumiy yechim o‘zgarmaslarining konkret qiymatlarida kelib chiqishini xulosa qilish mumkin. Differensial tenglama yechimlarini qurish jarayoniga differensial tenglamani integrallash deb yuritiladi. Differensial tenglamani integrallab, masalaning qo‘yilishiga qarab, uning yoki umumiy yechimi yoki xususiy yechimi topiladi. Birinchi tartibli differensial tenglama umumiy 3 F(x;y;y')=0 (2) yoki hosilaga nisbatan yechilgan (3) ko‘rinishda yozilishi mumkin. Ushbu tenglama ham, odatda, cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘lib, ulardan biror – bir xususiy yechimni ajratib olish qo‘shimcha shartni talab etadi. Ko‘p hollarda ushbu shart Koshi masalasi shaklida qo‘yiladi. Koshi masalasi: y'= f(x;y) (4) differensial tenglamaning (5) boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topishdan iborat. (4), (5) masala yechimining mavjudlik va yagonalik sharti quyidagi teoremadan aniqlanadi. 1-t eorema. Agar f(x;y) funksiya (x0;y0) nuqtaning biror atrofida aniqlangan, uzluksiz va uzluksiz xususiy hosilaga ega bo‘lsa, u holda (x0;y0) nuqtaning shunday atrofi mavjudki, bu atrofda y'= f(x;y) differensial tenglama uchun boshlang‘ich shartli Koshi masalasi yechimi mavjud va yagonadir. Differensial tenglamaning umumiy va xususiy yechimlari tushunchalariga aniqlik kiritamiz. Agar boshlang‘ich (x0;y0) nuqtaning berilishi (2) tenglama yechimining yagonaligini aniqlasa, u holda ushbu yagona yechim xususiy yechim deyiladi. 4 Differensial tenglamaning barcha xususiy yechimlari to‘plamiga uning umumiy yechimi deyiladi. Odatda, umumiy yechim oshkor y= ϕ(x,c) yoki oshkormas ϕ(x,y,c)= 0 ko‘rinishda yoziladi. c o‘zgarmas (x0;y0) boshlang‘ich shart asosida y0= ϕ(x0;c) tenglamadan topiladi. 3-ta’rif. Tenglamaning umumiy integrali (yoki yechimi) deb, c o‘zgarmasning turli qiymatlarida barcha xususiy yechimlari aniqlanadigan ϕ(x,y,c)= 0 munosabatga aytiladi. Masalan, yechimning mavjudlik va yagonalik shartlari (1-teoremadagi) yuqorida ko‘rilgan y'=− y tenglama uchun tekislikning har bir nuqtasida bajariladi. Tenglama umumiy yechimi y= c⋅e−x formuladan iborat bo‘lib, har qanday boshlang‘ich shart mos o‘zgarmas tanlanganda qanoatlantiriladi. o‘zgarmas tenglamadan topiladi: Differensial tenglamani shartlarsiz yechish uning umumiy yechimini (yoki umumiy integralini) topishni anglatadi. (2) differensial tenglama yechimi mavjudligi va yagonaligini ta‘minlaydigan muhim shartlardan biri ∂f/∂y xususiy hosilaning uzluksizligidir. Ba‘zi bir nuqtalarda ushbu shart bajarilmasligi va ular orqali birorta ham integral chiziq o‘tmasligi yoki, aksincha, bir nechta integral chiziqlar o‘tishi mumkin. Bunday nuqtalar differensial tenglamaning maxsus nuqtalari deyiladi. Differensial tenglamaning integral chizig‘i faqat uning maxsus nuqtalaridan iborat bo‘lishi mumkin. Ushbu egri chiziqlar tenglamaning maxsus yechimlari deb yuritiladi. 5 (6) ko‘rinishga tenglamani oddiy integrallash yo‘li bilan yechiladi. Natijada,y=∫ f(x)dx . Agar f(x) funksiyaning boshlang‘ich funksiyalaridan biri F(x) bo‘lsa, u holda umumiy yechim y= F (x)+c ko‘rinishda yoziladi. (7) o‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama deb yuritiladi. (7) tenglamani yachish uchun noma‘lum funksiyaning qaralayotgan o‘zgarish sohasida q(y)≠ 0 shart bajariladi deb, (7) tenglamani shaklda yozamiz va ikkala qismini integrallab, tenglikni olamiz. Agar Q(y) funksiya 1/q(y) funksiyaning, P(x) esa p(x) ning boshlang‘ich funksiyalaridan biri bo‘lsa, (7) tenglamaning umumiy integrali: Q (y)= P(x)+c ko‘rinishdan iborat bo’ladi. Misol. tenglamaning barcha yechimlarini topish talab qilingan bo‘lsin. y≠ 0 shart o‘rinli deb, tenglama o‘zgaruvchilarini ajratamiz: 6 Buni integrallab, ko‘rinishdagi umumiy yechimni olamiz. Ushbu yechimga tenglamani yechish jarayonida yo‘qotilgan y= 0 yechimni ham qo‘shish lozim. Birinchi tartibli bir jinsli differensial tenglama deb, ko‘rinishdagi tenglamaga aytiladi. (8) tenglamani yechish uchun noma‘lum y(x) funksiyadan u(x)= y(x)/x funksiyaga o‘tamiz. U holda tengliklar o‘rinli bo‘lib, (8) tenglama: yoki du /(f(u)− u)= dx /x ko‘rinishga keltiriladi. Oxirgi tenglama o‘zgaruvchilari ajralgan differensial tenglamadir va ma‘lum usulda yechiladi. Natijada, ∫ du f(u)− u = ln |x|+c. u(x) funksiya topilgandan so‘ng, y(x)= x⋅u(x) funksiyaga qaytiladi. Misol. 1) y'− x+ y x− y = 0 tenglamani yeching. Ushbu tenglama bir jinsli tenglama, chunki Bu yerda u= y/x. Noma‘lum u funksiyaga nisbatan o‘zgaruvchilari ajralgan: 7 du u+1 u− 1 − u = dx x yoki tenglama hosil bo‘ladi. Oxirgi tenglikni integrallaymiz: . So‘ngra yechimlarni va funksiyaga qaytib, oshkormas shaklda: x2+2xy − y2= C umumiy integralni quramiz. Parabolik tipli tenglamalarga keltiriladigan fizik jarayonlar: issiqlik tarqalish va diffuziya tenglamalari. I.Asosiymasalalarningqo’yilishi Fizkaning issiqlik harakati va gazlarning diffuziyasi bilan bog’liq masalalarini o’rganish odatda ikkinchi tartibli xususiy hosilali giperbolik tenglamalar orqali o’rganiladi. Bunday tenglamalarni kanonik shaklga keltirish bilan ularning eng sodda misoli sifatida issiqlikning Ox o’qi bo’ylab erkin tarqalish tenglamasi hisoblanadi. Bu shakldagi tenglamalar chekli uzulikdagi sterjen, yaxlit uzun metal o’tkazgich bo’ylab tarqalayotgan issiqlik miqdorini uning nuqtasiga mos kesimning t vaqtdagi temperaturasi orqali o’rganishda hosil bo’ladi. II.Chekli sterjenda issiqlikning tarqalishi. Biz mavzuning bu qismida tashqi muhitdan issiqlikdan himoyalangan l uzunlikdagi yatarlicha ingichka sterjenni qaraymiz. Aniqlik uchun sterjenni Ox 8 o’qi bo’ylab bir uchini x=0 nuqtaga, uning ikkinchi uchini esa x=l nuqtaga joylashtiramiz. Sterjenxnuqtasiga mos kesimningtvaqtdagi temperaturasini bilan belgilaymiz. Dastlab eng sodda masalalarni qaraymiz. Faraz qilaylik, sterjen uchlarida doimiy va temperaturalar ushlab turilgan bo’lsa, u holda bir jinsli sterjenda (1) Ma’lumki, bunda issiqlik yuqori temperaturali uchdan past temperaturali uchga tomon oqadi. Bunda biz agar issiqlik oqimi Ox o’qining musbat yo’nalishida bo’lsa, uni musbat, aks holda manfiy deb qaraymiz. Bu holda sterjenningSkesim yuzidan birlik vaqt mobaynida oqib o’tgan issiqlik miqdori (2) Formula bilan hisoblanadi. Bunda k-sterjenning issiqlik o’tkazuvchanlik koeffitsiyenti bo’lib, u sterjen materialiga bog’liq. Endi sterjenda issiqlik tarqalishining umumiy holini qaraymiz, ya’ni bu holdau funksiya qanday parametrlar orqali aniqlanishi va qanday qonuniyatga bo’ysinishi haqida to’xtalamiz. 1) Sterjenningxnuqtasiga mos ko’ndalang kesim yuzidan vaqt mobaynida oqib o’tgan issiqlik miqdori (3) formula bilan ifodalanadi. - sterjen nuqtasiga mos kesimning issiqlik o’tkazuvchanlik koeffitsiyenti deyiladi. 9 2) Elementar fizikadan ma’lumki, bir jinsli issiqlik o’tkazuvchi jism temperaturasini ga oshirish uchun unga miqdordagi issiqlik miqdorini berish kerak. Bunda jismning solishtirma issiqlik sig’imi, - jism massasi, - jism zichligi, -jism hajmi bo’lib, jism bir jinsli bo’lganligi uchun bu parametrlar doimiy, ya’ni jism nuqtalariga va vaqtga bog’liq emas. Agarda sterjen bir jinsli bo’lmasa, bu qiymatlar sterjen nuqtalariga bog’liq bo’lib, unga berilgan issiqlik miqdori quyidagicha ko’rinish oladi: (4) 3) Sterjen ichki nuqtalarida issiqlik hosil bo’lishi mumkin. Bu issiqlik miqdori t vaqtda x nuqtadagi issiqlik manbalarining zichligi bilan tavsiflanadi. Ushbu issiqlik manbalarining sterjen qismiga vaqt mobaynida bergan jami issiqlik miqdori (5) formula bilan beriladi. Ushbu topilgan uchta issiqlik miqdorlari orqali sterjen qismi uchun vaqt oralig’ida issiqlik balansi tenglamasi tuzib, sterjenda issiqlikning tarqalish tenglamasini hosil qilishimiz mumkin bo’ladi. Buning uchun energiyaning saqlanish qonuni va (3), (4) va (5) formulalardan foydalansak, quyidagi tenglamani hosil qilamiz: (6) 10 (6) sterjenda issiqlik tarqalishining integral ko’rinishdagi tenglamasidir. Undagi integrallarga o’rta qiymat haqidagi teoremani qo’llab, issiqlik tarqalishining differensial formadagi (7) Agar sterjen bir jinsli bo’lsa (7) tenglamada , va lar doimiy bo’lib, (7) tenglama quyidagi ko’rinishni oladi: (8) bunda , . Agarda sterjenda tashqi issiqlik manbalari bo’lmasa, bo’lib, issiqlik tarqalish tenglamasi quyidagi sodda ko’rinishga keladi: (9) Chegaraviy masalalarning qo’yilishi. Avvalgi mavzularda ta’kidlanganidek, issiqlik tarqalish va diffuziya tenglamalarini ifodalovchi matematik modellar ikkinchi tartibli xususiy hosilali tenglamalardan iborat bo’lib, bu tenglamalar cheksiz ko’p yechimga ega. Bu tenglamalar qaralayotgan jarayonni bir qiymatli aniqlashi uchun unga shu charayonni tavsiflovchi qo’shimcha shartlar ilova qilinishi lozim. Issiqlik tarqalish tenglamalarida bo’yicha birinchi tartibli xususiy hosila ishtirok etayotganligi uchun boshlang’ich shart sifatida jarayonning boshida sterjen nuqtalarida o’rnatilgan temperaturani ifodalovchi shart, ya’ni funksiyaning tajriba boshlangan ondagi qiymati berilishidan iborat bo’ladi: (10) 11 Bunda , - berilgan uzluksiz funkisya, sterjen uzunligi. Odatda tajriba boshlangan vaqtni sanoq boshi deb olinadi, ya’ni . Faraz qilaylik, sterjen o’qi boylab gorizontal joylashgan bo’lib, uning bir uchi x=0 nuqtada, ikkinchi uchi esa x=1 nuqtada bo’lsin. Uning uchlaridagi temperatura rejimiga asoslanib chegaraviy shartlar turli ko’rinishlarda qo’yilishi mumkin. Xuddi to’lqin tenglamasiga qo’yilgani kabi issiqlik tarqalish va diffuziya tenglamalariga ham asosan uch tipdagi chegaraviy shartlar qo’yiladi: 1) Sterjenning uchida vaqt davomida harorat, uchida esa harorat belgilangan bo’lsin. Bunda va lar biror vaqt oralig’ida aniqlangan berilgan funksiyalar, T-jarayon kuzatiladigan vaqt uzunligi. Sterjen uchlarida berilgan ko’rinishdagi chegaraviy shartga birinchi tipdagi chegaraviy shart deb yuritamiz. 2) Sterjen uchlari kesim yuzidan oqib o’tuvchi issiqlik oqimi belgilangan bo’lsin. Masalan uning x  0 cheti kesimidan vaqt davomida o’tuvchi belgilangan rejimga bo’ysingan bo’lsa tenglik bajariladi. Bundan sterjenning x  0 uchida shart bajarilishi lozimligiga kelamiz. Xuddi shu kabi sterjen cheti kesimidan vaqt davomida o’tuvchi belgilangan rejimga bo’singan bo’lsa 12 tenglik bajariladi. Bundan sterjenning uchida shart bajarilishi lozimligiga kelamiz. Shunday qilib sterjen uchlarida issiqlik oqimi o’zgarishi belgilangan rejimga bo’sinishi talab qilinganda, issiqlik tarqalish tenglamasiga qo’shimcha chegaraviy shartlarning bajarilishi lozim ekanligiga kelamiz. Bu ko’rinishdagi chegaraviy shartlarga 2-tipdagi chegaraviy shartlar deb yuritamiz. 3) Faraz qilaylik sterjen temperaturasi vaqt davomida aniq va qonuniyat boyicha o’zgaruvchi tashqi muhit bilan issiqlik almashinuvi belgilangan rejimga bo’sinsin. Bu holda sterjen x=0 va x=1 uchlari uchun qo’yiladigan qo’shimcha shartlar ko’rinishda ifodalanib, ularga odatda 3-tipdagi chegaraviy shartlar deb yuritiladi. Bulardan tashqari sterjenning ikkala uchida ikki tipdagi chegaraviy shart qo’yilishi ham mumkin. Bu tipdagi chegaraviy shartlarga aralash tipdagi chegaraviy shartlar deb yuritamiz. 1-Ta’rif. (7) issiqlik tarqalish masalasining (10) boshlang’ich shart va 1- tipdagi (mos ravishda 2-tipli, 3-tipli yoki aralash tipli) chegaraviy sharni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasiga 1-tur (mos ravishda 2-tur, 3-tur yoki aralash ) chegaraviy masala deyiladi. Chegaraviy masalaning regulyar yechimi deganda issiqlik tenglamasining boshlang’ich va belgilangan chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi hamda ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi yechimiga aytiladi. Ba’zan ta’riflangan chegaraviy masalalrdan tashqari uzunligi chegaralanmagan yoki juda ham uzun sterjenda issiqlikning tarqalish masalasini ham o’rganishga to’g’ri keladi. Bu holda sterjen bir uchi - likda va ikkinchi 13 uchini esa + deb qarab, (7) tenglamaning faqat (10) boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasiga duch kelamiz. Bu masala odatda Koshi masalasi deyiladi. 2-Ta’rif. (7) issiqlik tarqalish masalasining sohada aniqlangan va , sartni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasiga issiqlik tarqalish tenglamasi uchun qo’yilgan Koshi masalasi deyiladi. Bunda , berilgan funksiya. Xuddi shu kabi bir uchi chegaralanmagan sterjen uchun boshlang’ich shart va bitta chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish haqidagi chegaraviy masalalar ham uchraydi. Issiqlik tarqalish tenglamasi yechimi uchun maksimal qiymat prinsipi Chegaraviy va Koshi masalasi yechimining yagonaligi Ushbu va keyingi mavzularda biz alohida ta’kidlanmasa, o’zgarmas koeffitsiyentli (1) issiqlik tarqalish masalasini qaraymiz. Ushbu tenglamada almashtirish bajarib , , bo’lib, ularni yuqoridagi tenglamaga qo’sak , unga teng kuchli bo’lgan, tenglamaga kelamiz. Agar bu tenglamada , deb olsak so’ngi tenglama (2) 14 sodda ko’rinishga keladi. Demak (1) va (2) differensial tenglamalar bir vaqtda yechimga ega yoki ega bo’lmaydi. Shuning uchun (2) ko’rinishdagi tenglama yechimini tadqiq qilish yetarlidir. Quyidagi teoremada (2) issiqlik tarqalish tenglama yechimining ekstremal qiymatlari haqida so’z yuritiladi. 1-Teorema (Maksimal qiymat prinsipi). Agar funksiya yopiq , sohada aniqlangan va uzluksiz differensiallanuvchi bo’lib, , sohada (2) tengllani qanoatlantirsa, u holda funksiya o’zining eng katta va eng kichik qiymatiga yo boshlang’ich vaqtda yoki sohaning chegaraviy nuqtalari yoki nuqtalarda erishadi. Endi biz maksimal qiymat prinsipidan kelib chiqadigan natijalarga to’xtalamiz. Ushbu natijalardan eng muhimi chegaraviy masala yechimining yagonaligini isbotlashga tatbiqi hisoblanadi. Quyida biz yagonalik teoremasini keltiramiz. FOYDALANILGAN ADABYOTLAR RO’YHATI 1. Шарипов Ш.Р., Мўминов Н.С. Оддий дифференциал тенгламалар. Тошкент . “ Ўқитувчи ” 1992, 310 б . 2. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969, 424 с. 3. Ўринов А.Қ. Оддий дифференциал тенгламалар учун чегаравий масалалар.–Тошкент: Mumtoz so‘z,2014.164-б 4. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. Соб.соч.т.и.изд., 1956. 5. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1987. 6. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 4, Физ.-мат-гиз. 1958. 15 7. Қаландаров А.Д., Меражова Ш.Б. Дифференциал тенгламалардан масалалар тўплами. Бухоро. “Дурдона”, 2013. 8. Оппоқов Ю.П, Турғунов Н., Гаффаров И.А. Оддий дифференциал тенгламалардан мисол ва масалалар тўплами. (Ўқув қўлланма). Тошкент – 2009 йил. 9. Morris Tenebout, Harry Pollard. Ordinary differential equations. Birkhhuzer. Germany, 2010. 10. Robinson J.C. An Introduction to ordinary differential equations. Cambridge University Press 2013. Internet sayitlari 1. www . ziyonet . uz 2. www . Aim . uz 3. www.refarat.uz 16

Parabolik tipdagi tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni umumlashgan yechimi

Sotib olish