Parabolik tipdagi tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni umumlashgan yechimi - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	25000UZS
Hajmi	277.2KB
Xaridlar	1
Yuklab olingan sana	14 Fevral 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

154 Sotish

Parabolik tipdagi tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni umumlashgan yechimi

Sotib olish

PARABOLIK TIPDAGI TENGLAMALAR UCHUN
CHEGARAVIY MASALALARNI UMUMLASHGAN
YECHIMI
Mundarija
PARABOLIK TIPDAGI TENGLAMALAR UCHUN BOSHLANG’ICH
VA CHEGARAVIY MASALALAR…………………………………….......
5
Differensial tenglamalar haqida umumiy tushunchalar…………………. 5
Parabolik tipli tenglamalarga keltiriladigan fizik jarayonlar: issiqlik
tarqalish va diffuziya tenglamalari……………………………………….
10
Chegaraviy masalalarning qo’yilishi…………………………………….. 13
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR…………………………………….. 15

PARABOLIK TIPDAGI TENGLAMALAR UCHUN BOSHLANG’ICH VA
CHEGARAVIY MASALALAR
Differensial tenglamalar haqida umumiy tushunchalar.
Tabiatda uchraydigan turli jarayonlar (avtomobil harakati, sayyoraning
uchishi,fizik va ximik va biologik jarayonlar va h.k) o ’z harakat qonunlariga ega.
Ba’zi jarayonlar bir xil qonun bo’yicha sodir bo’lishi mumkin, bu hol esa ularni
ishini o’rganish ishini yengillashtiradi. Ammo jarayonlarni tavsiflaydigan
qonunlarni to’g’ridan to’g’ri topish har doim ham mumkin bo’lavermaydi.
Xarakterli miqdorlar va ularning hosilalalari va differensiallari orasidagi
munosabatni topish tabiatan yengil bo’ladi. Bunda noma’lum funksiya yoki vektor
funksiya hosila yoki differensial ishorasi ostida qatnashgan munosabat hosil
bo’ladi.
Matematika va uning tadbiqlarining muhim masalalari x ni emas, balki
uning biror noma‘lum
y(x) funksiyasini topish masalasi qo‘yilgan va tarkibida
shu bilan birga uning
y'(x),y''(x),...,y(n)(x) hosilalarini o‘z ichiga olgan
murakkab tenglamalarni yechishga keltiriladi.
Masalan,
1-ta’rif. Erkli o‘zgaruvchi
x ni, noma‘lum y(x) funksiyani va uning n tartibli
hosilasiga qadar hosilalarini bog‘lovchi tenglamaga
n− tartibli oddiy differensial
tenglama deyiladi.
Yuqorida yozilgan tenglamalar, mos ravishda, birinchi, ikkinchi va uchinchi
tartibli differensial tenglamalardir.
n− tartibli differensial tenglamaning umumiy
ko‘rinish:

(1)
2

2-ta’rif. (1) tenglamani ayniyatga aylantiruvchi va kamida n marta
differensiallanuvchi har qanday
y= f(x) funksiyaga (1) differensial tenglama
yechimi deyiladi.
Masalan, funksiya
y'+y= 0 differensial tenglama yechimi bo‘lib, u
tenglamaning cheksiz ko‘p yechimlaridan biridir. Har qanday
y= c⋅e−x funksiya
ham, bu yerda,
c− ixtiyoriy o‘zgarmas son, tenglamani qanoatlantiradi. Ushbu
differensial tenglama yechilganda, uning yechimi
y= c⋅e−x ko‘rinishdan o‘zgacha
bo‘lishi mumkin emas. Shu ma‘noda,
y= c⋅e−x funksiya uning umumiy yechimi
deyiladi. Umumiy yechimda ixtiyoriy o‘zgarmas qatnashgani uchun, tenglama
yechimlari to‘plami yagona ixtiyoriy
с o‘zgarmasga bog‘liq deyiladi.
O‘zgarmas
c ga turli son qiymatlar berilganda, uning konkret yoki xususiy
yechimlari kelib chiqadi.

y'''=0 differensial tenglama yechimlarini bevosita qurish mumkin:
y''= c1,y'= c1x+c2,y= c1x2/2+c2x+c3.
Bu yerda, va c3 ixtiyoriy
o‘zgarmaslar bo‘lib, ularning har qanday qiymatlarida
y= c1x2/2+c2x+c3
funksiya differensial tenglamani qanoatlantiradi va shu sababli
y= c1x2/2+c2x+c3
umumiy yechim bo‘lib hisoblanadi. y'''=0 differensial
tenglama umumiy yechimi uch ixtiyoriy o‘zgarmasga bog‘liq va har birining
konkret qiymatlarida xususiy yechim hosil bo‘ladi.
Yuqoridagi misollardan differensial tenglama umumiy yechimida
o‘zgarmaslar soni tenglamaning tartibiga teng ekanligini va uning xususiy
yechimlari umumiy yechim o‘zgarmaslarining konkret qiymatlarida kelib
chiqishini xulosa qilish mumkin.
Differensial tenglama yechimlarini qurish jarayoniga differensial tenglamani
integrallash deb yuritiladi. Differensial tenglamani integrallab, masalaning
qo‘yilishiga qarab, uning yoki umumiy yechimi yoki xususiy yechimi topiladi.
Birinchi tartibli differensial tenglama umumiy
3

F(x;y;y')=0
(2)
yoki hosilaga nisbatan yechilgan

(3)
ko‘rinishda yozilishi mumkin. Ushbu tenglama ham, odatda, cheksiz ko‘p
yechimga ega bo‘lib, ulardan biror – bir xususiy yechimni ajratib olish qo‘shimcha
shartni talab etadi. Ko‘p hollarda ushbu shart Koshi masalasi shaklida qo‘yiladi.
Koshi masalasi:

y'= f(x;y)
(4)
differensial tenglamaning

(5)
boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topishdan iborat.
(4), (5) masala yechimining mavjudlik va yagonalik sharti quyidagi
teoremadan aniqlanadi.
1-t eorema. Agar
f(x;y) funksiya (x0;y0) nuqtaning biror atrofida
aniqlangan, uzluksiz va uzluksiz xususiy hosilaga ega bo‘lsa, u holda
(x0;y0)
nuqtaning shunday atrofi mavjudki, bu atrofda y'= f(x;y) differensial
tenglama uchun boshlang‘ich shartli Koshi masalasi yechimi mavjud va
yagonadir.
Differensial tenglamaning umumiy va xususiy yechimlari tushunchalariga
aniqlik kiritamiz.
Agar boshlang‘ich
(x0;y0) nuqtaning berilishi (2) tenglama yechimining
yagonaligini aniqlasa, u holda ushbu yagona yechim xususiy yechim deyiladi.
4

Differensial tenglamaning barcha xususiy yechimlari to‘plamiga uning
umumiy yechimi deyiladi.
Odatda, umumiy yechim oshkor y= ϕ(x,c) yoki oshkormas ϕ(x,y,c)= 0
ko‘rinishda yoziladi.
c o‘zgarmas (x0;y0) boshlang‘ich shart asosida y0= ϕ(x0;c)
tenglamadan topiladi.
3-ta’rif. Tenglamaning umumiy integrali (yoki yechimi) deb,
c
o‘zgarmasning turli qiymatlarida barcha xususiy yechimlari aniqlanadigan
ϕ(x,y,c)= 0
munosabatga aytiladi.
Masalan, yechimning mavjudlik va yagonalik shartlari (1-teoremadagi)
yuqorida ko‘rilgan
y'=− y tenglama uchun tekislikning har bir nuqtasida
bajariladi. Tenglama umumiy yechimi
y= c⋅e−x formuladan iborat bo‘lib, har
qanday boshlang‘ich shart mos o‘zgarmas tanlanganda
qanoatlantiriladi. o‘zgarmas tenglamadan topiladi:
Differensial tenglamani shartlarsiz yechish uning umumiy yechimini (yoki
umumiy integralini) topishni anglatadi.
(2) differensial tenglama yechimi mavjudligi va yagonaligini ta‘minlaydigan
muhim shartlardan biri
∂f/∂y xususiy hosilaning uzluksizligidir. Ba‘zi bir
nuqtalarda ushbu shart bajarilmasligi va ular orqali birorta ham integral chiziq
o‘tmasligi yoki, aksincha, bir nechta integral chiziqlar o‘tishi mumkin. Bunday
nuqtalar differensial tenglamaning maxsus nuqtalari deyiladi.
Differensial tenglamaning integral chizig‘i faqat uning maxsus nuqtalaridan
iborat bo‘lishi mumkin. Ushbu egri chiziqlar tenglamaning maxsus yechimlari deb
yuritiladi.
5

(6)
ko‘rinishga tenglamani oddiy integrallash yo‘li bilan yechiladi. Natijada,y=∫ f(x)dx
. Agar f(x) funksiyaning boshlang‘ich funksiyalaridan biri F(x)
bo‘lsa, u holda umumiy yechim
y= F (x)+c ko‘rinishda yoziladi.
(7)
o‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama deb yuritiladi.
(7) tenglamani yachish uchun noma‘lum funksiyaning qaralayotgan
o‘zgarish sohasida
q(y)≠ 0 shart bajariladi deb, (7) tenglamani
shaklda yozamiz va ikkala qismini integrallab,
tenglikni olamiz. Agar
Q(y) funksiya 1/q(y) funksiyaning, P(x) esa p(x) ning
boshlang‘ich funksiyalaridan biri bo‘lsa, (7) tenglamaning umumiy integrali:
Q (y)= P(x)+c
ko‘rinishdan iborat bo’ladi.
Misol. tenglamaning barcha yechimlarini topish talab qilingan
bo‘lsin.
y≠ 0
shart o‘rinli deb, tenglama o‘zgaruvchilarini ajratamiz:
6

Buni integrallab, ko‘rinishdagi umumiy yechimni olamiz.
Ushbu yechimga tenglamani yechish jarayonida yo‘qotilgan y= 0 yechimni ham
qo‘shish lozim.
Birinchi tartibli bir jinsli differensial tenglama deb,
ko‘rinishdagi tenglamaga aytiladi.
(8) tenglamani yechish uchun noma‘lum
y(x) funksiyadan u(x)= y(x)/x
funksiyaga o‘tamiz. U holda
tengliklar o‘rinli bo‘lib, (8) tenglama:
yoki
du /(f(u)− u)= dx /x
ko‘rinishga keltiriladi. Oxirgi tenglama o‘zgaruvchilari ajralgan differensial
tenglamadir va ma‘lum usulda yechiladi. Natijada,
∫
du
f(u)− u
= ln |x|+c.

u(x) funksiya topilgandan so‘ng, y(x)= x⋅u(x) funksiyaga qaytiladi.
Misol. 1)
y'− x+ y
x− y
= 0 tenglamani yeching.
Ushbu tenglama bir jinsli tenglama, chunki
Bu yerda
u= y/x. Noma‘lum u funksiyaga nisbatan o‘zgaruvchilari ajralgan:
7

du
u+1
u− 1
− u
= dx
x yoki
tenglama hosil bo‘ladi. Oxirgi tenglikni integrallaymiz:
.
So‘ngra
yechimlarni va funksiyaga qaytib, oshkormas shaklda:
x2+2xy − y2= C
umumiy integralni quramiz.
Parabolik tipli tenglamalarga keltiriladigan fizik jarayonlar: issiqlik tarqalish
va diffuziya tenglamalari.
I.Asosiymasalalarningqo’yilishi
Fizkaning issiqlik harakati va gazlarning diffuziyasi bilan bog’liq
masalalarini o’rganish odatda ikkinchi tartibli xususiy hosilali giperbolik
tenglamalar orqali o’rganiladi. Bunday tenglamalarni kanonik shaklga keltirish
bilan ularning eng sodda misoli sifatida

issiqlikning Ox o’qi bo’ylab erkin tarqalish tenglamasi hisoblanadi. Bu shakldagi
tenglamalar chekli uzulikdagi sterjen, yaxlit uzun metal o’tkazgich bo’ylab
tarqalayotgan issiqlik miqdorini uning nuqtasiga mos kesimning t vaqtdagi
temperaturasi orqali o’rganishda hosil bo’ladi.
II.Chekli sterjenda issiqlikning tarqalishi.
Biz mavzuning bu qismida tashqi muhitdan issiqlikdan himoyalangan l
uzunlikdagi yatarlicha ingichka sterjenni qaraymiz. Aniqlik uchun sterjenni Ox
8

o’qi bo’ylab bir uchini x=0 nuqtaga, uning ikkinchi uchini esa x=l nuqtaga
joylashtiramiz. Sterjenxnuqtasiga mos kesimningtvaqtdagi temperaturasini
bilan belgilaymiz.
Dastlab eng sodda masalalarni qaraymiz. Faraz qilaylik, sterjen uchlarida
doimiy va temperaturalar ushlab turilgan bo’lsa, u holda bir jinsli sterjenda
(1)
Ma’lumki, bunda issiqlik yuqori temperaturali uchdan past temperaturali
uchga tomon oqadi. Bunda biz agar issiqlik oqimi Ox o’qining musbat yo’nalishida
bo’lsa, uni musbat, aks holda manfiy deb qaraymiz.
Bu holda sterjenningSkesim yuzidan birlik vaqt mobaynida oqib o’tgan
issiqlik miqdori

(2)
Formula bilan hisoblanadi. Bunda k-sterjenning issiqlik o’tkazuvchanlik
koeffitsiyenti bo’lib, u sterjen materialiga bog’liq.
Endi sterjenda issiqlik tarqalishining umumiy holini qaraymiz, ya’ni bu
holdau funksiya qanday parametrlar orqali aniqlanishi va qanday
qonuniyatga bo’ysinishi haqida to’xtalamiz.
1) Sterjenningxnuqtasiga mos ko’ndalang kesim yuzidan vaqt mobaynida
oqib o’tgan issiqlik miqdori
(3)
formula bilan ifodalanadi. - sterjen nuqtasiga mos kesimning issiqlik
o’tkazuvchanlik koeffitsiyenti deyiladi.
9

2) Elementar fizikadan ma’lumki, bir jinsli issiqlik o’tkazuvchi jism
temperaturasini ga oshirish uchun unga

miqdordagi issiqlik miqdorini berish kerak. Bunda jismning solishtirma
issiqlik sig’imi, - jism massasi, - jism zichligi, -jism hajmi bo’lib, jism bir
jinsli bo’lganligi uchun bu parametrlar doimiy, ya’ni jism nuqtalariga va vaqtga
bog’liq emas.
Agarda sterjen bir jinsli bo’lmasa, bu qiymatlar sterjen nuqtalariga bog’liq
bo’lib, unga berilgan issiqlik miqdori quyidagicha ko’rinish oladi:
(4)
3) Sterjen ichki nuqtalarida issiqlik hosil bo’lishi mumkin. Bu issiqlik
miqdori t vaqtda x nuqtadagi issiqlik manbalarining zichligi bilan
tavsiflanadi. Ushbu issiqlik manbalarining sterjen qismiga vaqt
mobaynida bergan jami issiqlik miqdori

(5)
formula bilan beriladi.
Ushbu topilgan uchta issiqlik miqdorlari orqali sterjen qismi uchun
vaqt oralig’ida issiqlik balansi tenglamasi tuzib, sterjenda issiqlikning
tarqalish tenglamasini hosil qilishimiz mumkin bo’ladi. Buning uchun
energiyaning saqlanish qonuni va (3), (4) va (5) formulalardan foydalansak,
quyidagi tenglamani hosil qilamiz:
(6)
10

(6) sterjenda issiqlik tarqalishining integral ko’rinishdagi tenglamasidir.
Undagi integrallarga o’rta qiymat haqidagi teoremani qo’llab,
issiqlik tarqalishining differensial formadagi
(7)
Agar sterjen bir jinsli bo’lsa (7) tenglamada , va lar doimiy bo’lib,
(7) tenglama quyidagi ko’rinishni oladi:
(8)
bunda
, .
Agarda sterjenda tashqi issiqlik manbalari bo’lmasa, bo’lib,
issiqlik tarqalish tenglamasi quyidagi sodda ko’rinishga keladi:

(9)
Chegaraviy masalalarning qo’yilishi.
Avvalgi mavzularda ta’kidlanganidek, issiqlik tarqalish va diffuziya
tenglamalarini ifodalovchi matematik modellar ikkinchi tartibli xususiy hosilali
tenglamalardan iborat bo’lib, bu tenglamalar cheksiz ko’p yechimga ega. Bu
tenglamalar qaralayotgan jarayonni bir qiymatli aniqlashi uchun unga shu
charayonni tavsiflovchi qo’shimcha shartlar ilova qilinishi lozim.
Issiqlik tarqalish tenglamalarida bo’yicha birinchi tartibli xususiy hosila
ishtirok etayotganligi uchun boshlang’ich shart sifatida jarayonning boshida
sterjen nuqtalarida o’rnatilgan temperaturani ifodalovchi shart, ya’ni
funksiyaning tajriba boshlangan ondagi qiymati berilishidan iborat bo’ladi:
(10)
11

Bunda , - berilgan uzluksiz funkisya, sterjen uzunligi. Odatda
tajriba boshlangan vaqtni sanoq boshi deb olinadi, ya’ni .
Faraz qilaylik, sterjen o’qi boylab gorizontal joylashgan bo’lib, uning bir
uchi x=0 nuqtada, ikkinchi uchi esa x=1 nuqtada bo’lsin. Uning uchlaridagi
temperatura rejimiga asoslanib chegaraviy shartlar turli ko’rinishlarda qo’yilishi
mumkin. Xuddi to’lqin tenglamasiga qo’yilgani kabi issiqlik tarqalish va diffuziya
tenglamalariga ham asosan uch tipdagi chegaraviy shartlar qo’yiladi:
1) Sterjenning uchida vaqt davomida harorat,
uchida esa harorat belgilangan bo’lsin. Bunda va lar
biror vaqt oralig’ida aniqlangan berilgan funksiyalar, T-jarayon
kuzatiladigan vaqt uzunligi. Sterjen uchlarida berilgan

ko’rinishdagi chegaraviy shartga birinchi tipdagi chegaraviy shart deb yuritamiz.
2) Sterjen uchlari kesim yuzidan oqib o’tuvchi issiqlik oqimi belgilangan
bo’lsin.
Masalan uning x  0 cheti kesimidan vaqt davomida o’tuvchi
belgilangan rejimga bo’ysingan bo’lsa

tenglik bajariladi. Bundan sterjenning x  0 uchida
shart
bajarilishi lozimligiga kelamiz.
Xuddi shu kabi sterjen cheti kesimidan vaqt davomida o’tuvchi
belgilangan rejimga bo’singan bo’lsa

12

tenglik bajariladi. Bundan sterjenning uchida shart
bajarilishi lozimligiga kelamiz. Shunday qilib sterjen uchlarida issiqlik oqimi
o’zgarishi belgilangan rejimga bo’sinishi talab qilinganda, issiqlik tarqalish
tenglamasiga qo’shimcha

chegaraviy shartlarning bajarilishi lozim ekanligiga kelamiz. Bu ko’rinishdagi
chegaraviy shartlarga 2-tipdagi chegaraviy shartlar deb yuritamiz.
3) Faraz qilaylik sterjen temperaturasi vaqt davomida aniq va qonuniyat
boyicha o’zgaruvchi tashqi muhit bilan issiqlik almashinuvi belgilangan
rejimga bo’sinsin. Bu holda sterjen x=0 va x=1 uchlari uchun qo’yiladigan
qo’shimcha shartlar

ko’rinishda ifodalanib, ularga odatda 3-tipdagi chegaraviy shartlar deb yuritiladi.
Bulardan tashqari sterjenning ikkala uchida ikki tipdagi chegaraviy shart
qo’yilishi ham mumkin. Bu tipdagi chegaraviy shartlarga aralash tipdagi
chegaraviy shartlar deb yuritamiz.
1-Ta’rif. (7) issiqlik tarqalish masalasining (10) boshlang’ich shart va 1-
tipdagi (mos ravishda 2-tipli, 3-tipli yoki aralash tipli) chegaraviy sharni
qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasiga 1-tur (mos ravishda 2-tur, 3-tur
yoki aralash ) chegaraviy masala deyiladi.
Chegaraviy masalaning regulyar yechimi deganda issiqlik tenglamasining
boshlang’ich va belgilangan chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi hamda ikki
marta uzluksiz differensiallanuvchi yechimiga aytiladi.
Ba’zan ta’riflangan chegaraviy masalalrdan tashqari uzunligi
chegaralanmagan yoki juda ham uzun sterjenda issiqlikning tarqalish masalasini
ham o’rganishga to’g’ri keladi. Bu holda sterjen bir uchi - likda va ikkinchi
13

uchini esa + deb qarab, (7) tenglamaning faqat (10) boshlang’ich
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasiga duch kelamiz. Bu masala
odatda Koshi masalasi deyiladi.
2-Ta’rif. (7) issiqlik tarqalish masalasining sohada
aniqlangan va , sartni qanoatlantiruvchi yechimini
topish masalasiga issiqlik tarqalish tenglamasi uchun qo’yilgan Koshi masalasi
deyiladi. Bunda , berilgan funksiya.
Xuddi shu kabi bir uchi chegaralanmagan sterjen uchun boshlang’ich shart
va bitta chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish haqidagi chegaraviy
masalalar ham uchraydi.
Issiqlik tarqalish tenglamasi yechimi uchun maksimal qiymat prinsipi
Chegaraviy va Koshi masalasi yechimining yagonaligi
Ushbu va keyingi mavzularda biz alohida ta’kidlanmasa, o’zgarmas koeffitsiyentli
(1)
issiqlik tarqalish masalasini qaraymiz. Ushbu tenglamada

almashtirish bajarib
, ,
bo’lib, ularni yuqoridagi tenglamaga qo’sak , unga teng kuchli bo’lgan,

tenglamaga kelamiz. Agar bu tenglamada
,
deb olsak so’ngi tenglama
(2)
14

sodda ko’rinishga keladi. Demak (1) va (2) differensial tenglamalar bir vaqtda
yechimga ega yoki ega bo’lmaydi. Shuning uchun (2) ko’rinishdagi tenglama
yechimini tadqiq qilish yetarlidir. Quyidagi teoremada (2) issiqlik tarqalish
tenglama yechimining ekstremal qiymatlari haqida so’z yuritiladi.
1-Teorema (Maksimal qiymat prinsipi). Agar funksiya yopiq ,
sohada aniqlangan va uzluksiz differensiallanuvchi bo’lib, ,
sohada (2) tengllani qanoatlantirsa, u holda funksiya o’zining eng
katta va eng kichik qiymatiga yo boshlang’ich vaqtda yoki sohaning
chegaraviy nuqtalari yoki nuqtalarda erishadi.
Endi biz maksimal qiymat prinsipidan kelib chiqadigan natijalarga
to’xtalamiz. Ushbu natijalardan eng muhimi chegaraviy masala yechimining
yagonaligini isbotlashga tatbiqi hisoblanadi. Quyida biz yagonalik teoremasini
keltiramiz.
FOYDALANILGAN ADABYOTLAR RO’YHATI
1. Шарипов Ш.Р., Мўминов Н.С. Оддий дифференциал тенгламалар.
Тошкент . “ Ўқитувчи ” 1992, 310 б .
2. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное
исчисление. М.: Наука, 1969, 424 с.
3. Ўринов А.Қ. Оддий дифференциал тенгламалар учун чегаравий
масалалар.–Тошкент: Mumtoz so‘z,2014.164-б
4. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения.
Соб.соч.т.и.изд., 1956.
5. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.:
Наука, 1987.
6. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 4, Физ.-мат-гиз. 1958.
15

7. Қаландаров А.Д., Меражова Ш.Б. Дифференциал тенгламалардан
масалалар тўплами. Бухоро. “Дурдона”, 2013.
8. Оппоқов Ю.П, Турғунов Н., Гаффаров И.А. Оддий дифференциал
тенгламалардан мисол ва масалалар тўплами. (Ўқув қўлланма).
Тошкент – 2009 йил.
9. Morris Tenebout, Harry Pollard. Ordinary differential equations.
Birkhhuzer. Germany, 2010.
10. Robinson J.C. An Introduction to ordinary differential equations. Cambridge
University Press 2013.
Internet sayitlari
1. www . ziyonet . uz
2. www . Aim . uz
3. www.refarat.uz
16

Parabolik tipdagi tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni umumlashgan yechimi

Sotib olish