Qutb va polyara. Proektiv tekislikdagi ikkinchi tartibli chiziqlar klassifikatsiyasi kurs ishi - Физика - Курсовые работы

Информация о документе

Цена	30000UZS
Размер	745.7KB
Покупки	0
Дата загрузки	03 Июнь 2025
Расширение	docx
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Физика

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

203 Продаж

Qutb va polyara. Proektiv tekislikdagi ikkinchi tartibli chiziqlar klassifikatsiyasi kurs ishi

Купить

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
FARG‘ONA DAVLAT UNIVERSITETI
FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI
“ Matematika ”
yo nalishi 2ʻ 4 . 04 -guruh talabasi
Kamolov Salohiddin Umidjon o‘g‘li ning
“Analitik geometriya” fanidan
“ Qutb va polyara. Proektiv tekislikdagi i kkinchi tartibli chiziq lar
klassifikatsiyasi ”
mavzusidagi
KURS ISHI
Kurs ishi rahbari : A.Nishonboyev
Farg ona 202
ʻ 5

MUNDARIJA
Оглавление
KIRISH .......................................................................................................................................................... 2
I-BOB. QUTB KOORDINATALARI VA POLYARA .............................................................................................. 4
1.1 Qutb va polyara haqida umumiy tushinchalar ................................................................................... 4
1.2 Qutb va dekart koordinatalari sistemasi orasidagi bog’lanish ........................................................... 6
II-BOB. TEKISLIKDA IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLAR KLASIFIKATSIYASI ...................................................... 9
2.1. Aylana va parabolaning kanonik tenglamalari .................................................................................. 9
2.2. Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziq klassifikatsiyasi ...................................... 17
III-BOB. IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLAR KLASSIFIKATSIYASINING AMALIY QO‘LLANILISHI .......................... 28
3.1. Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlar klassifikatsiyasida zamonaviy
texnologiyalar va dasturiy vositalardan foydalanish .............................................................................. 28
3.2. Qutb va polyarada ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy tushunchasi va ularning texnologiyadagi
o'rni. ...................................................................................................................................................... 30
XULOSA .................................................................................................................................................. 32
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR ................................................................................................................ 34
KIRISH
“Agar mendan sizni nima qiynaydi?” deb
so‘rasangiz, farzandlarimizning ta’lim-
tarbiyasi deb javob beraman!!!
Shavkat Mirziyoyev
Bugungi kunda fan va texnika taraqqiyoti insoniyat hayotining barcha
jabhalarida o‘z aksini topmoqda. Axborot texnologiyalarining jadal sur’atlarda
rivojlanishi, sun’iy intellekt, fazoviy tahlil, muhandislik, transport va tibbiyot kabi

ko‘plab sohalarda ilmiy yondashuvlarning chuqurlashuvi aniq fanlar, xususan,
matematikaning turli bo‘limlarini har qachongidan ham muhimlashtirmoqda.
Ayniqsa, matematik analiz va analitik geometriya bugungi kunda zamonaviy
fanning poydevori sifatida faol qo‘llanilmoqda. Bu bo‘limlar orqali nafaqat nazariy
bilimlar chuqurlashtiriladi, balki amaliy modellashtirish imkoniyatlari kengayadi.
Kurs ishining dolzarbligi - Qutb va polyar koordinatalar tizimining
dolzarbligi — ularning real hayotdagi keng qo‘llanishida namoyon bo‘ladi.
Zamonaviy fan-texnikada chiziqlar va fazodagi obyektlarning joylashuvi, ularning
o‘zaro bog‘lanishlari va harakat trayektoriyasini ifodalash muhim ahamiyatga ega.
Bu jarayonda koordinatalar tizimi markaziy o‘rin tutadi. Polyar koordinatalar
aynan aylana yoki burilish asosidagi harakatlar, masalan, sun’iy yo‘ldoshlarning
orbital harakati, suv to‘lqinlarining tarqalishi, elektromagnit to‘lqinlarning
tarqalish yo‘nalishlari kabi fizikaviy hodisalarni ifodalashda eng qulay vositadir.
Masalan, qutb koordinatalarda oddiy aylananing tenglamasi kabi
soddalik bilan ifodalanadi. Holbuki, Dekart koordinatalarda bu tenglama
ko‘rinishida bo‘lib, analiz va hisoblash jarayonida ko‘proq
murakkablik tug‘diradi. Shu sababli, qutb koordinatalarining o‘rganilishi nafaqat
matematik nazariyani chuqurlashtiradi, balki amaliy sohalarda model yaratish,
masalalarni yengillashtirish imkonini beradi.
Ushbu kurs ishining maqsadi — qutb va polyar koordinatalar tizimini
chuqur o‘rganish, ularning asosiy tenglamalarini tahlil qilish, grafik chizish
va real hayotdagi masalalarga qo‘llash imkoniyatlarini ko‘rsatishdan iborat.
Bundan tashqari, ishda quyidagi vazifalar ham ko‘zda tutiladi:
1. Qutb va polyar koordinatalar tizimining matematik asoslarini tushuntirish;
2. Koordinatalar o‘rtasidagi bog‘liqlik formulalarini (transformatsiyalarni)
o‘rganish;
Bu orqali talaba qutb koordinatalar asosida nuqtalarning fazodagi joylashuvi,
chiziqlar xatti-harakati va tenglamalarni tushunadi. Bu esa nafaqat matematika
faniga oid bilimni boyitadi, balki uning muhandislik, arxitektura, informatika va

texnika sohalarida qanday qo‘llanilishini amaliy ko‘nikmalar orqali anglashga
imkon yaratadi.
Kurs ishining tuzilishi kurs ishi an’anaviy tarzda quyidagi qismlardan
iborat: kirish , asosiy boblar va xulosa . Kirish qismida mavzuning dolzarbligi,
maqsadi, vazifalari va tuzilmasi bayon qilinadi. Asosiy qismda qutb va polyar
koordinatalar tizimining nazariy asoslari, tenglamalari, grafik tahlili va qo‘llanish
doirasi yoritiladi. Xulosa qismida esa kurs ishi davomida erishilgan ilmiy va
amaliy natijalar umumlashtiriladi, xulosalar chiqariladi. Ish oxirida mavzuga oid
adabiyotlar ro‘yxati keltiriladi.
I-BOB. QUTB KOORDINATALARI VA POLYARA
1.1 Qutb va polyara haqida umumiy tushinchalar
Koordinatalar tizimi deganda, nuqtaning o‘rnini sonli ifodalar bilan
belgilovchi tartibli o‘zgaruvchilar sistemasi tushuniladi. Eng ko‘p ishlatiladigan
koordinatalar tizimi — bu to‘g‘ri to‘rtburchakli yoki Dekart koordinatalar
tizimi bo‘lsa-da, u bilan bir qatorda qutb (yoki polyar) koordinatalar tizimi ham
keng tarqalgan va o‘ziga xos qulayliklarga ega.
Qutb koordinatalar tizimi ta’rifi

Qutb koordinatalar tizimi — bu tekislikdagi har bir nuqtani ikki parametr
yordamida aniqlovchi koordinatalar tizimidir:
1 ρ (ro) — nuqtaning qutbdan (asosiy markazdan) bo‘lgan masofasi,
2 φ (phi) — qutb o‘qi (odatda ijobiy yo‘nalishdagi x-o‘qi) bilan radius-vektor
orasidagi burilish burchagi.
Bu tizimda koordinatalar juftligi ( ρ , φ ) ko‘rinishida yoziladi. Bu yerda:
1 — radius-vektor,
2 — burchak, odatda radianlarda yoki graduslarda o‘lchanadi.
Masalan, nuqta shuni bildiradiki, bu nuqta qutbdan 5 birlik uzoqlikda
joylashgan va asosiy o‘q bilan radian burchak hosil qiladi.
Qutb va Dekart koordinatalari orasidagi o‘zaro bog‘lanish
Polyar koordinatalardan Dekart koordinatalariga o‘tish quyidagicha:
Aksincha, agar nuqta Dekart koordinatalarida
(x,y)(x, y)(x,y) sifatida berilgan bo‘lsa, u holda qutb koordinatalariga o‘tish
formulalari quyidagicha:
Bu formulalar qutb va Dekart koordinatalar
tizimi o‘rtasida to‘liq o‘zaro o‘tish imkonini beradi.
Teorema: p olyar chiziqning simmetriyasi
Agar tenglama berilgan bo‘lsa, quyidagi holatlar yuzaga keladi:
1 Agar unda chiziq qutb o‘qiga simmetrik bo‘ladi.
2 Agar unda chiziq y o‘qiga simmetrik bo‘ladi.
3 Agar unda chiziq qutb markazi (orqali) simmetrik bo‘ladi.
Bu teorema orqali chiziqlarning grafigini chizmasdan turib ham ularning
simmetrik xususiyatlarini bilish mumkin.
Qutb koordinatalar tizimida ishlatiladigan ba’zi mashhur egri chiziqlar

1. Aylana: — bu qutbdan a masofadagi nuqtalar to‘plami.
2. Kardioida: — yurak shaklidagi chiziq.
3. Lemniskata: — “∞” shaklini eslatuvchi egri chiziq.
4. Archimedes spirali: — har bir burilishda radiusi chiziqli
o‘suvchi spiral.
Kardioida
Berilgan tenglama:
a = 2 bo‘lganda, ushbu tenglama yurak shaklidagi chiziqni
hosil qiladi. Grafikda ko‘rinib turibdiki, nuqtalar qutb markaziga yaqinlashib va
undan
1.2 Qutb va dekart koordinatalari sistemasi orasidagi bog’lanish
Analitik geometriya fanida fazodagi nuqtalarni tavsiflashning bir nechta
usullari mavjud. Shulardan eng mashhurlari — bu to‘g‘ri to‘rtburchakli (Dekart) va
qutb (yoki polyar) koordinatalar tizimidir. Har ikki tizimning o‘ziga xos ustunlik
va qo‘llanilish sohasi mavjud. Biroq, ko‘plab geometriya va fizika masalalarini
yechishda bu ikki tizim o‘rtasida o‘tish zarur bo‘ladi. Shuning uchun ularning
o‘zaro bog‘lanishini chuqur tushunish — har bir talaba, tadqiqotchi yoki muhandis
uchun muhim ko‘nikma hisoblanadi.

Nuqtaning qutb koordinatalari odatda tarzida yoziladi. Misol uchun,
koordinata shuni bildiradiki, nuqta markazdan 4 birlik uzoqlikda va xxx-
o‘qi bilan radian burchak hosil qilgan holda joylashgan.
Dekart koordinatalar tizimining mohiyati
Dekart koordinatalar tizimida esa har bir nuqta (x,y) koordinatalari bilan
ifodalanadi. Bu yerda:
1 x — gorizontal yo‘nalishdagi siljish (odatda chapdan o‘ngga).
2 y — vertikal yo‘nalishdagi siljish (odatda pastdan yuqoriga).
Qutb → Dekart:
Agar nuqta tarzida qutb koordinatalarda berilgan bo‘lsa, uning Dekart
koordinatalaridagi ifodasi:
Bu formulalar yordamida biz har qanday qutb
nuqtasini oddiy x,y koordinatalarida ifodalashimiz mumkin.
Dekart → Qutb:
Agar nuqta (x,y) koordinatalarida berilgan bo‘lsa, qutb koordinatalarini
quyidagicha hisoblaymiz:
Eslatma : φ qiymatini aniqlashda
kvadrantlarga alohida e’tibor beriladi. Masalan, (x<0) bo‘lsa, burchakka π
qo‘shiladi, chunki arctangent funksiyasi faqat gacha oraliqda
aniqlangan.
Geometrik talqin
1 Nuqta (x,y) — bu to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasida aniqlangan
pozitsiya.
2 Nuqta — bu markazdan chiqarilgan radius-vektor va burchak yordamida
aniqlangan pozitsiya.

3 Ikkala tizimda ham bir nuqta haqida so‘z bormoqda, faqat ifodalanish usuli
turlicha.
Misol:
Nuqta Dekart koordinatalarda: (−3,3)
Qutb koordinatalarini topamiz:
Lekin bu nuqta ikkinchi kvadrantda joylashgan, shuning uchun:

Qutb koordinatalar:
Archimedes spirali
Tenglama:
Har burchakda radius chiziqli ortib boradi. Bunday chiziqlar radarlar va
spiralsimon harakatlarda uchraydi.

Lemniskata
Tenglama:
Bu grafik “∞” shaklida bo ‘ lib , fazoviy simmetriyani ko ‘ rsatadi .
II-BOB. TEKISLIKDA IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLAR
KLASIFIKATSIYASI
2.1. Aylana va parabolaning kanonik tenglamalari
1-ta’rif. Tekislikning berilgan nuqtasidan bir xil masofada joylashgan shu
tekislik nuqtalarining geometrik o ‘ rniga aylana deb ataladi.
Tekislikning berilgan nuqtasini aylananing markazi , undan aylanagacha
masofani aylananing radiusi deb ataymiz.
Markazi O( а ;b ) nuqtada bo ‘ lib radiusi R ga teng aylananing tenglamasini
tuzamiz (1 a
-chizma). Aylananing ixtiyoriy nuqtasini M ( x;y ) desak aylananing
ta’rifiga binoan:
МО = R.
Ikki nuqta orasidagi masofani topish formulasidan foydalansak,

yoki bu tenglikni har ikkala tomonini kvadratga ko ‘ tarsak
(1)
kelib chiqadi. Shunday qilib aylananing istalgan M ( x;y ) nuqtasining
kooordinatalari (1) tenglamani qanoatlantirar ekan. Shuningdek aylanaga tegishli
bo ‘ lmagan hech bir nuqtaning koordinatalari (1) tenglamani qanoatlantirmaydi.
Demak (1) aylana tenglamasi. U aylananing kanonik (eng sodda) tenglamasi deb
ataladi.
Xususiy holda aylananing markazi 0
1 ( а ,b ) koordinatalar boshida bo ‘ lsa
а =b =0 bo ‘ lib uning tenglamasi
(2)
ko ‘ rinishga ega bo ‘ ladi (1-chizma).
Endi aylananing kanonik tenglamasini ikkinchi tartibli egri chiziqning
umumiy tenglamasi bilan taqqoslaymiz. (1) da qavslarni ochib ma ’ lum
almashtirishlarni bajarsak u
1-chizma
(3)
ko‘rinishga ega bo‘ladi. Buni ikkinchi tartibli chiziqni umumiy tenglamasi bilan
taqqoslab unda х 2
bilan y 2
oldidagi koeffitsientlarni tengligini va koordinatalarni
ko‘paytmasi xy ni yo‘qligini ko‘ramiz, ya’ni
a
11= a
22 va a
12 . =0
Ikkinchi tartibli chiziqning umumiy tenglamasida a
11= a
22 va a
12 =0 bo ‘ lsa u
aylanani tenglamasi bo ‘ ladimi degan savolga javob izlaymiz.

Soddalik uchun a
11= a
22 =1 deb olamiz. Aks holda tenglamani a
11 ga bo’li
quyidagi tenglikni hosil qilishimiz mumkin.
(4)
Bu tenglamani hadlarini o’zimizga qulay shaklda o ‘ rinlarini almashtirib to ‘ la
kvadrat uchun zarur bo ‘ lgan va ni ham qo ‘ shamiz ham ayiramiz. U holda
yoki
(5)
h osil b o ‘ ladi. Mumkin b o ‘ lgan uch h olni q araymiz :
1) Bu holda (5) tenglamani (1) bilan taqqoslab u va unga
teng kuchli (4) tenglama ham markazi nuqtada, radiusi
bo ‘ lgan aylanani ifodalashiga ishonch hosil qilamiz.
. Bu holda (5) tenglama
ko ‘ rinishga ega bo ‘ ladi. Bu tenglamani yagona nuqtaning
koordinatalari qanoatlantiradi xolos.
3) Bu holda (5) tenglama hech qanday egri chiziqni
aniqlamaydi. Chunki tenglamaning o ‘ ng tomoni manfiy, chap tomoni esa manfiy
emas.
Xulosa. Ikkinchi tartibli chiziqning umumiy tenglamasi a
11= a
22 va a
12 =0
hamda b o ‘ lgandagina aylanani tenglamasini ifodalar ekan.
1-misol. x2+y2+2x− 4y− 4= 0
tenglama aylananing tenglamasi ekanligi
ko ‘ rsatilsin va aylananing markazi hamda radiusi topilsin.
Yechish . , a
12 =0 ,

Demak, berilgan tenglama aylananining umumiy tenglamasi ekan. Tenglamani(x2+2x+1)+(y2− 4y+4)− 1− 4− 4= 0
ko ‘ rinishda y o zib undan
(x+1)2+(y− 2)2= 32
aylananing kanonik tenglamasiga ega bo ‘ lamiz.
Shunday qilib aylananing markazi 0(-1;2) nuqta va radiusi R=3 ekan.
6 -chizma .
Ta’rif. Berilgan nuqtadan hamda berilgan to‘g‘ri chiziqdan teng uzoqlikda
joylashgan tekislik nuqtalarining geometrik o‘rniga parabola deb ataladi.
Berilgan nuqtani F orqali belgilab uni parabolaning fokusi deb ataymiz.
Berilgan to‘g‘ri chiziq parabolaning direktrisasi deb ataladi (Fokus direktrisada
yotmaydi deb faraz qilinadi).
Fokusdan direktrisagacha masofani p orqali belgilaymiz va uni
parabolaning parametri deb ataymiz.
Endi parabolaning tenglamasini keltirib chiqaramiz. Abssissalar o ‘ qini
fokusdan direktrisaga perpendikulyar qilib o ‘ tkazib yo ‘ nalishini direktrisadan
fokusga tomon yo ‘ naltiramiz.
Koordinatalar boshini fokusdan direktrisagacha masofa FR ning qoq
o ‘ rtasiga joylashtiramiz (11-chizma).

11 -chizma
Tanlangan koordinatalar sistemasiga nisbatan fokus
koordinatalarga, direktrisa tenglamaga ega bo ‘ ladi.
Faraz qilaylik, M ( x;y ) parabolaning ixtiyoriy nuqtasi bo ‘ lsin. Parabolaning
ta’rifiga binoan M nuqtadan direktrisagacha MN masofa undan fokusgacha MF
masofaga teng: MN=MF
11-chizmadan va
ekani ravshan.
Demak, .
Bu tenglamaning har ikkala tomonini kvadratga ko‘tarib ixchamlasak
hosil bo‘ladi.
Shunday qilib parabolaning istalgan M ( x,y ) nuqtasining koordinatalari (12)
tenglamani qanoatlantiradi. Parabolada yotmagan hech bir nuqtaning
koordinatalari bu tenglamani qanoatlantirmasligini ko‘rsatish mumkin. Demak

(12) parabolaning tenglamasi ekan. U parabolaning kanonik tenglamasi deb
ataladi.
Endi kanonik tenglamasiga ko‘ra parabolani shaklini chizamiz. (12)
tenglamada y ni – y ga almashtirilsa tenglama o‘zgarmaydi. Bu abssissalar o‘qi
parabolaning simmetriya o‘qidan iborat ekanligini bildiradi. (12) tenglamaning
chap tomoni manfiy bo‘lmaganligi uchun uning o‘ng tomoni ya’ni x ning ham
manfiy bo‘lmasligi kelib chiqadi. Demak parabola 0 y o‘qning o‘ng tomonida
joylashadi. x =0 da y =0. Demak parabola koordinatalar boshidan o‘tadi.
x cheksiz o‘sganda y ning absolyut qiymati ham cheksiz o‘sadi. (12)
tenglama yordamida aniqlanadigan parabola 12-chizmada tasvirlangan.
Parabolaning simmetriya o‘qi uning fokal o ‘ qi deb ataladi.
Parabolaning simmetriya o‘qi bilan kesishish nuqtasi uning uchi deyiladi.
Qaralayotgan hol uchun koordinatalar boshi parabolaning uchi bo ‘ ladi.
misol. у 2
=8 х parabola berilgan. Uning direktrisasining tenglamasi yozilsin
va fokusi topilsin.
Yechish . Berilgan tenglamani parabolaning kanonik tenglamasi (12) bilan
taqqoslab 2 р =8, р =4 ekanini ko ‘ ramiz. Direktrisa
tenglamaga, fokus

koordinatalarga ega bo‘lishini hisobga olsak direktrisaning tenglamasi
x =-2 va fokus F (2;0) bo‘ladi.
Izoh . Fokal o‘qi 0 y o‘qdan iborat parabolaning tenglamasi
х 2
=2 ру (13)
ko‘rinishga ega bo‘ladi.
misol. у =3 х 2
-12 х +16 parabolaning tenglamasi kanonik holga keltirilsin va
uning uchi topilsin.
Yechish. Tenglamani
у =3( х 2
-4 х )+16, у =3( х 2
-4 х +4-4)+16; у =3( х -2) 2
+4; у -4=3( х -2) 2
ko ‘ rinishga keltirib х -2= Х , у -4= У deb belgilasak, parabolaning tenglamasi
У =3 Х 2
kanonik ko ‘ rinishga keladi. x -2= Х , у -4= У alamashtirish bilan eski 0 x у sistemani
0
1 (2;4) nuqtaga parallel ko ‘ chirsak, yangi 0
1 ХУ sistemaga nisbatan parabolaning
tenglamasi kanonik ko ‘ rinishga ega bo ‘ ladi. Yangi sistemani koordinatalar boshini
koordinatalari parabola uchining koordinatalari bo‘ladi, ya’ni х
0 =2, у
0 =4.
misol. F (0,4) nuqtadan hamda y =8 to‘g‘ri chiziqdan bir xil uzoqlikda
joylashgan tekislik nuqtalarining geometrik o‘rni, egri chiziqning koordinata
o‘qlari bilan kesishish nuqtalari topilsin va egri chiziq chizilsin.
Yechish. М ( х , у ) egri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi bo‘lsin. Shartga binoan
undan y =8 to ‘ g ‘ ri chiziqqacha masofa va undan F (0,2)
nuqtagacha masofa o‘zaro teng, ya’ni

√(x− x)2+(8− y)2= √(x− 0)2+(y− 4)2
Bu tenglamani har ikkala tomonini kvadratga ko ‘ tarsak (8- у ) 2
= х 2
+( у -4) 2
yoki qavslarni ochsak ,
64-16у+у 2
=х 2
+у 2
-8у+16 yoki 64-16у=х 2
-8у+16
hosil bo ‘ ladi. Tenglamani soddalashti r sak
-16 у +8 у = х 2
+16-64, -8 у = х 2
-48 yoki –8 ga bo ‘ lsak
y=− 1
8x2+6
tenglamaga ega bo ‘ lamiz. U 0 y o ‘ qqa simmetrik parabolaning tenglamasi.
Endi parabolaning koordinata o‘qlari bilan kesishish nuqtalarini topamiz.
Parabola tenglamasiga x =0 qiymatni qo‘ysak y =6 kelib chiqadi. Demak parabola
0 y o‘q bilan 0
1 (0,6) nuqtada kesishar ekan. Shuningdek parabola tenglamasiga y =0
qiymatini qo‘ysak
− 1
8x2+6=0;− x2+48 = 0;x2= 48 ; x=±√48 = ±4√3
hosil bo‘ladi. Demak parabola 0 x o‘q bilan
(−4√3,0) v а (4√3,0) nuqtalarda kesishar
ekan.

Agar parabola tenglamasini yoki х 2
=-8( у -6) ko‘rinishda yozib
x = X , y -6= Y almashtirish olsak uning tenglamasi Х 2
=-8 У kanonik shaklni oladi.
Izoh . Aylana, ellips, giperbola va parabola umumiy tenglamalari yordamida
berilganda koordinatalar sistemasini parallel ko‘chirish yoki koordinata o‘qlarini
burish yordamida umumiy tenglamani yangi sistemaga nisbatan kanonik
ko‘rinishga keltirish mumkin.
2 . 2 . Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziq klassifikatsiyasi
Tekislikda biror affin (yoki dekart) reperda koordinatalari
a11x2+2a12 xy +a22 y2+2a13x+2a23 y+a33=0 (1)
tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar to‘plami ikkinchi tartibli chiziq deb
ataladi. Bunda a
11 , a
12 , a
22 , a
13 , a
23 , a
33 koyeffitsiyentlar haqiqiy sonlar bo‘lib, a
11 ,
a
12 , a
22 lardan kamida bittasi noldan farqlidir (bu shartni bundan buyon
а 11
2
+а 12
2
+а 22
2
≠0
ko‘rinishida yozamiz).
Biz uchta chiziq ellips, giperbola va parabolani o‘rgandik, bu chiziqlar ham
ikkinchi tartibli chiziqlardir, chunki tenglamada bo‘lib,
qolgan barcha koeffitsiyentlar nol bo‘lsa, u ellipsning kanonik tenglamasi, shu
shartlarda yana bo‘lsa, tenglama giperbolaning kanonik tenglamasi,
a
13 =r; a
22 = 1 bo‘lib, qolgan koeffitsiyentlar nol bo‘lsa, tenglama parabolaning
kanonik tenglamasidir.
Quydagi tabiiy savol tug‘iladi: tekislikda ko‘rilgan bu chiziqlardan
boshqa yana ikkinchi tartibli chiziqlar bormi? Bu savolga quyida javob berishga
harakat qilamiz. Avvalo shuni ta’kidlaymiz: chiziqning tartibi koordinatalar
sistemasining olinishiga bog‘liq emas. Bundan foydalanib, koordinatalar
sistemasini tegishlicha tanlash hisobiga barcha ikkinchi tartibli chiziqlarni to‘la
geometrik tavsiflab chiqamiz. Ikkinchi tartibli
g chiziq β = ( O , ⃗ i , ⃗ j)
dekart reperida
umumiy tenglamasi bilan ifodalangan bo‘lsin. Shunday reperni tanlaymizki, unga

nisbatan g chiziqning tenglamasi mumkin qadar sodda – «kanonik» ko‘rinishga
ega bo‘lsin, ya’ni
1) o‘zgaruvchi koordinatalar ko‘paytmasi qatnashgan had bo‘lmasin;
2) birinchi darajali hadlar soni eng oz bo‘lsin (iloji bo‘lsa, ular butunlay
qatnashmasin);
3) mumkin bo‘lsa, ozod had qatnashmasin.
Agar (1) tenglamada a
12 ≠0 bo‘lsa, soddalashtirishni quydagicha bajaramiz. B
reperning o‘qlarini 0 nuqta atrofida ixtiyoriy  burchakka burib, yangi
β' =
(
O ' , ⃗ i '
, ⃗ j ' ) Dekart reperini hosil qilamiz.
β reperdan
β ' reperga o‘tish formulalari
{x= x'cos α− y'sin α¿¿¿¿
(2)
dan x,y ni ga qo‘ysak va o‘xshash hadlarini ixchamlasak, g chiziqni
tenglamasi Б ` reperda ushbu ko‘rinishni oladi:
а'11x¿+2a'12x'y'+a'22y'2+2a'13x'+2a'23y'+a'33=0

bunda
a'11= a11cos 2α+2a12cos αsin α+a22sin 2α
;
a'12=− a11cos αsin α+a12cos 2α− a21sin 2α+a22cos αsin α
;
a'22=a11sin 2α−2a12cos αsin α+a22cos 2α
;
a '
13 = a
13 cos α + a
23 sin α
;
a'23=−a13sin α+a23cos α
;
a'33= a33

belgilashlardan ko‘rinadiki, tenglamadagi koeffitsiyentlar
tenglamadagi koefitsiyentlarga va  burchakka bog‘liq, shu bilan
birga ning kamida biri noldan farqli, chunki

 burchakning ixtiyoriyligidan foydalanib, uni shunday tanlab olamizki,
almashtirilgan tenglamadagi a`
12 koeffitsiyent nolga teng bo‘lsin, ya’ni
yoki
а11cos α+a12sin α
cos α =
a21cos α+a22sin α
sin α . (3)
munosabatni biror  ga tenglab, uni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:

{(a11 − λ)cos α+a12 sin α= 0,¿¿¿¿
Bu sistema bir jinsli, shuning uchun uning determinanti nolga teng ya’ni

|a11− λ a12
a21 a22− λ
|= 0
yoki
bo‘lgandagina sistema noldan farqli yechimga ega bo‘ladi.
(3) tenglama g chiziqning xarakteristik tenglamasi deyiladi.
(3 ) tenglamaning ildizlari.
λ1,2 =
(a11+a22 )± √(a11+a22 )2− 4(a11 a22− a122 )
2 =
(a11+a22 )± √D
2 .
a12±0
bo‘lgani uchun uning diskriminanti:
D= (a11+a22)2− 4(a11a22− a12
2)=(a11− a22 )2+4a12
2>0

Demak, (3) tenglamaning 
1 , 
2 ildizlari turli va haqiqiydir.
(4) dan {a11 cos α+ a12 sin α= λcos α ¿¿¿¿
tengliklarni yoza olamiz. Ularning har birini cos   0 ga bo‘lib
(cos α= 0⇒ α= π
2)
va
a '
12 = −
( a
11 cosα + a
12 sinα ) sinα + ( a
21 cosα + a
22 sinα ) cosα = 0
, a
12 = 0
(ya’ni a
12 azaldan 0
ga teng ekan) buni hosil qilamiz:

tg α=
λ− a11
a12
=
a21
λ− a22 .
(5) munosabatga navbat bilan (5) xarakteristik tenglamaning 
1 , 
2 ildizlarini
qo‘yamiz:
Viyet teoremasiga ko‘ra (5) dan
.
(6)

tg α1⋅tg α2= λ1λ2− a11(λ1− λ2)+a112
a122 =− 1⇒|α2− α1|= π
2.
Shunga ko ‘ ra tg  O x ` o ‘ qning β
dagi burchak koeffitsiyenti bo ‘ lganda
tg α2= tg (α1+π
2) Oy
o ‘ qining shu reperdagi burchak koeffitsiyenti bo ‘ ladi . U
holda Ox` o‘qining
i
→ birlik vektorining koordinatalari bo‘lmish cos 
1 , sin 
1 ,

sin α1= tg α1
√1+tg 2α1
, cos α1= 1
√1+tg 2α1
formulalardan, Oy` o‘qning
j'
→ birlik vektorining koordinatalari cos 
2 , sin 
2,
sin α2=sin (α1+π
2)= cos α1,cos α2= cos (α1+π
2)=−sin α1
tengliklardan aniqlanadi.  = 
2 bo‘lganda

munosabatda bu tengliklarni hadlab qo‘shsak,
yoki
a '
11 + a '
22 = a
11 + a
22 = λ
1 + λ
2 ekanligi, β '
bundan esa a '
11 = λ
1 , a '
22 = λ
2 tengliklar kelib
chiqadi.
Bularni barchasini umumlashtirgan holda (1) tenglama bilan berilgan
chiziqning β '
reperdagi (2) tenglamasini quyidagicha yozishimiz mumkin:

(7)
Agarda o‘qining burchak koeffitsienti sifatida tg α
2
olinadigan bo‘lsa, (7)
tenglamada
a '
11 = λ
2 , a '
22 = λ
1 o‘zgarish ro‘y beradi.
(7) tenglamada λ1 , λ2 koeffitsientlar bir vaqtda nolga teng bo‘la olmaydi,
chunki agar
λ1 = λ
2 = 0
bo‘lsa, tenglama birinchi darajali tenglamaga aylanar edi.
Bundan kelib chiqadiki, (7) tenglamani quyidagi 3 xil ko‘rinishga keltirish
mumkin.
1)
Bu holda (7) tenglamadagi hadlarni
x '
,
y' ga nisbatan to‘la kvadrat
tenglamaga keltiramiz.
.
Bu yerdagi ozod hadlarni a
33 − a '
13
λ
1 − a '
23
λ
2 = a ' '
33 deb belgilaymiz va
tenglikning ko‘rinishi

bo‘ladi.
Reper markazini parallel ko‘chirish formulasi orqali,

β '
=(
O ' , ⃗ i '
, ⃗ j ' ) reper hosil bo‘lib, chiziq tenglamasi quyidagi sodda ko‘rinishga
keladi:
.
2) yoki ,
Bu hollar bir biri bilan deyarli bir xil ko‘rib chiqiladi shuning uchun bittasini
tekshirish yetarli.
Birinchi holni qaraymiz:
λ1=0(λ1=0)
ekanligidan (7) tenglamaning hadlarini y' ga nisbatan to‘la kvadrat
tenglamaga keltiramiz:
,
,
bunda deb belgilash kiritdik.
Ushbu
formulalar bo‘yicha koordinatalar sistemasining markazi O nuqtani
O '(− a',a23
λ2
)
nuqtaga ko‘chiramiz natijada yangi reperga nisbatan chiziq tenglamasi:
ko‘rinishidagi sodda tenglamaga ifodalanadi.

3) yoki
Har ikki hol ham bir biriga o‘xshash shuning uchun birini ko‘rib chiqamiz.
Birinchi holni qaraymiz:
shart o‘rinli bo‘lganda (7) tenglama ushbu ko‘rinishni oladi,
bu yerda ekanligidan tenglikni quyidagicha yozamiz,
yoki
,
bunda .

Ushbu formulalar yordamida β
=( O , ⃗ i , ⃗ j)
reperdan β ' '
= (
O ' , ⃗ i '
, ⃗ j ' ) reperga
o‘tamiz. Yangi reperdagi chiziqning sodda tenglamasi esa,

ko‘rinishida bo‘ladi.
Demak, ikkinchi tartibli chiziq biror dekart reperida (1) tenglama
bilan berilgan bo‘lsa, yangi dekart reperini keraklicha tanlash orqali ning
tenglamasini yuqoridagi tenglamalarning biriga keltirish mumkin.
Oldingi mavzuda keltirilgan ko‘rinishdagi tenglamalarni
batafsilroq o‘rganamiz.
.

tenglamada va shu bilan birga esa ixtiyoriy ekanligidan
quyidagi ikkita hol bo‘lishi mumkin:
a) . tenglamadagi ozod had ning noldan farqli
ekanligidan tenglikni o‘ng tomoniga olib o‘tib unga bo‘lib yuboramiz:
yoki
(8)
1) Agar (8) da bir xil ishorali va ularga qarama qarshi ishorali
bo‘lsa, ekanligi ma’lum. va
belgilash kiritish orqali (8) tenglamani ellipsning kanonik tenglamasi kabi
ifodalanishini ko‘rsata olamiz:
2) Agarda (8) tenglikda va bir xil ishorali bo‘lsa,
.
Bunda va belgilash kiritish orqali quyidagi:
tenglamaga ega bo‘lamiz. Bu tenglama esa haqiqiy nuqtaga ega bo‘lmasada
mavhum ellipsni
aniqlaydi deyiladi.
3 ) Agar har xil ishorali bo‘lsa, u holda va
qarama-qarshi ishorali bo‘lib ularni mos ravishda va
ko‘rinishida belgilab,

(8) tenglamani giperbolaning kanonik tenglamasiga keltiramiz.
b) bo‘lsa, u holda tenglamani quyidagicha yozib olamiz:
. (9)
1) Agar bir xil ishorali bo‘lsa, deylik bo‘lsin.
Bu hol uchun mos va belgilashlar kiritsak, (9) tenglama
ko‘rinishi:
yoki
kabi bo‘ladi. Bu tenglama kompleks sonlar maydonidako‘paytuvchilarga
ajragani va ular birinchi darajali bo‘lgani uchun to‘g‘ri chiziqni aniqlaydi. Ammo
ular bitta haqiqiy nuqtaga ega (koordinatalar boshi) va unda kesishadi. Shu sabab
ularga bitta haqiqiy nuqtada kesishuvchi ikkita mavhum tog‘ri chiziqlar tenglamasi
deyiladi.
2) Agar qarama-qarshi ishorali bo‘lsa, kerakli belgilashlarni
kiritish orqali (9) ni quyidagicha ifodalaymiz;
yoki
, , bu tenglamalar koordinatalar boshida kesishuvchi
ikkita haqiqiy to‘g‘ri chiziqni ifodalaydi deyiladi.
Demak, biror ikkinchi tartibli chiziq tenglamasi yangi reperda
tenglama orqali ifodalansa yuqorida keltirilgan 5 turdagi chiziqlar hosil bo‘ladi.
.

Ushbu tenglamada , bo‘lgani uchun tenglamani
quyidagicha yozish mumkin:
; bu yerda deb belgilash kiritsak,
ushbu tenglama parabolaning kanonik tenglamasini ifodalaydi.
. .
tenglama bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlarni tavsiflashga o‘tamiz.
Bu tenglamada oldingi mavzuda keltirilgan , istalgan son, shartlar
o‘rinli ekanligidan quyidagi hollar bo‘lishi mumkin:
a)a''33≠0.
1) λ
2 va
a''33 har xil ishorali bo‘lsa, , −a''33
λ2
>0 bo‘ladi. Tenglama esa
− a ' '
33
λ
2 = a 2
deb belgilash kiritilganda:
yoki
ko‘rinishni oladi. Bu tenglama o‘zaro parallel ikkita to‘g‘ri chiziqni
ifodalaydi.
2) λ
2 va a ' '
33 bir xil ishorali bo‘lsa,
−a''33
λ2
<0 bo‘ladi. −a''33
λ2
=− a2 deb
belgilash kiritib,
yoki
ko‘rinishidagi tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamaga ikkita mavhum to‘g‘ri
chiziqni ifodalaydi deyiladi.
b) a ' '
33 = 0.
Ushbu holda tenglama
ko‘rinishini oladi. Shartga ko‘ra ekanligidan
yoki .
Bu tenglamalar ikkita ustma-ust tushuvchi to‘g‘ri chiziqlarni ifodalaydi
deyiladi.

Demak, ikkinchi tartibli chiziq yangi reperda tenglama bilan
ifodalansa yuqoridagi 3 ta chiziqni hosil qilishi mumkin.
Endi umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqni uning
tenglamasi bo‘yicha yasashni ko‘raylik. Ikkinchi tartibli chiziq (O,⃗i,⃗j) dekart
reperida umumiy tenglamasi bilan berilgan bo‘lsin. Uni yasash uchun tenglamasini
oldingi paragrafda bayon qilingan usullar bo‘yicha soddalashtiramiz:
1) tenglamada a
12  0 bo‘lsa, chiziqning
2) tgα
1 =
λ1−a11
a12 formula bo‘yicha tgα
1 ni, so‘ngra
sin α
1 =
tg α1
√1+tg 2α1
, cos α1= 1
√1+tg2α1
ni hosil qilamiz. Bu bilan reperni α
1 burchakka burishdan hosil qilingan (
O,i
→
`,j
→
) reperning
i
→
`,j
→ koordinatavektorlari aniqlanadi:
i
→
= i
→
cos α1+ j
→
sin α1, ,j
→
=− i
→
sin α1+⃗jcos α1.
3) Yangi reperda chiziqning tenglamasi
x ' 2
+ λ
2 y ' 2
+ 2 a '
13 x '
+ 2 a '
23 y '
+ a
33 = ¿
0
ko‘rinishda bo‘lib, bunda a `
13 , a `
2 3 koeffitsiyentlar ushbu formulalardan
topiladi: B` reperning koordinatalariboshi
O ni formuladan topiladigan O‘
nuqtaga ko‘chirish bilan B` reperdan B`` reperga o‘tamiz. B`` reperda chiziqning
tenglamasi kanonik ko‘rinishga keladi. Agar tenglamada a
12 =0 bo‘lsa,
soddalashtirish koordinatalar boshini ko‘chirishdan iborat, xolos.

III-BOB. IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLAR KLASSIFIKATSIYASINING
AMALIY QO‘LLANILISHI
3.1. Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlar
klassifikatsiyasida zamonaviy texnologiyalar va dasturiy vositalardan
foydalanish
Bugungi kunda ikkinchi tartibli chiziqlarni amaliy tarzda yasash uchun turli
zamonaviy dasturiy vositalar mavjud. Ushbu vositalar yordamida murakkab
tenglamalar asosida chiziqlarning grafik ko‘rinishini tez va aniqlik bilan olish

mumkin. Bu esa nafaqat matematik nazariyalarni o‘rganishni yengillashtiradi,
balki amaliy muammolarni yechishda ham qulayliklar yaratadi.
MATLAB dasturiy muhiti
MATLAB matematik hisob-kitoblar va grafik chizmalar uchun eng kuchli
platformalardan biridir. MATLAB’da ikkinchi tartibli tenglamalar grafik
ko‘rinishga tezda keltiriladi. Bundan tashqari, MATLAB foydalanuvchilarga
grafiklarni interaktiv ravishda tahrirlash, burish va ko‘chirish imkoniyatlarini ham
beradi.
GeoGebra platformasi
GeoGebra — matematika va geometriyani o‘rganish uchun mo‘ljallangan
bepul dasturiy ta'minotdir. GeoGebra orqali foydalanuvchi ikkinchi tartibli
tenglamani oddiy matn sifatida kiritadi va dastur avtomatik tarzda unga mos
grafikni hosil qiladi. GeoGebra interfeysi foydalanuvchilar uchun intuitiv va sodda
bo‘lib, chiziqlarning o‘qlar bo‘yicha burilishi, ko‘chirilishi va tasnifi kabi
imkoniyatlarni ham beradi.
Amaliy qo‘llanish tartibi
Amaliyotda ikkinchi tartibli chiziqlarni chizish uchun quyidagi ketma-
ketlikda harakat qilinadi:
1. Dastur tanlanadi (Python, MATLAB, GeoGebra va boshqalar).
2. Tenglama koeffitsiyentlari aniqlanadi.
3. Tenglama mos dasturga kiritiladi.
4. Grafik chizma avtomatik tarzda quriladi va foydalanuvchi kerakli
manipulyatsiyalarni bajaradi (burish, ko‘chirish, masshtablash va
h.k.).

Zamonaviy texnologiyalar yordamida ikkinchi tartibli chiziqlarni yasash
jarayoni ancha soddalashgan. Ilgari murakkab hisob-kitoblar talab qilgan chiziqlar
bugungi kunda bir necha daqiqa ichida chizilib, real vaqt rejimida o‘rganiladi. Bu
esa nafaqat talabalarga o‘quv jarayonini yengillashtiradi, balki muhandislik va
ilmiy loyihalarda ham tezkor natijalarga erishish imkoniyatini yaratadi.
Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlarni amaliy
yasashda zamonaviy texnologiyalar va dasturiy vositalardan foydalanish
Ikkinchi tartibli chiziqlar — ellips, parabola, giperbola va aylana —
geometriya va analitik geometriyaning muhim elementlaridan hisoblanadi.
Ularning umumiy tenglamalari orqali chiziqlarni yasash va tahlil qilish zamonaviy
texnologiyalar yordamida ancha soddalashgan. Bugungi kunda bir qator dasturiy
vositalar mavjud bo‘lib, ular yordamida ushbu chiziqlarni vizual tarzda ko‘rish va
o‘rganish mumkin.
Python dasturlash tili va uning Matplotlib kutubxonasi yordamida ham
ikkinchi tartibli chiziqlarni chizish va tahlil qilish mumkin. Bu dasturiy vositalar
foydalanuvchilarga chiziqlarning grafik ko‘rinishini yaratish va ularni tahlil qilish
imkonini beradi.
Zamonaviy dasturiy vositalar yordamida ikkinchi tartibli chiziqlarni amaliy
yasash va tahlil qilish osonlashgan, bu esa ularni o‘rganishni yanada qiziqarli va
samarali qiladi.
3.2. Qutb va polyarada ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy tushunchasi va
ularning texnologiyadagi o'rni.
Ikkinchi tartibli chiziqlar — ellips, parabola, giperbola va aylana — fizika va
muhandislik sohalarida keng qo‘llaniladi. Ularning geometrik xususiyatlari ko‘plab
qurilmalar va tizimlarning asosiy elementlari sifatida xizmat qiladi.
Giperbolik sovutgich minoralari
Elektr stansiyalarida ishlatiladigan sovutgich minoralari ko‘pincha giperbolik
shaklda bo‘ladi. Bu shakl havo oqimining samarali aylanishini ta'minlab, issiqlikni
tezda chiqarishga yordam beradi.

Elliptik reflektorlar
Elliptik reflektorlar optik tizimlarda, masalan, avtomobil faralarida,
yorug‘likni ma'lum bir yo‘nalishda to‘plash uchun ishlatiladi. Ellipsning xossasi
shundaki, uning bir fokusidan chiqqan nur ikkinchi fokusga yo‘naltiriladi, bu esa
yorug‘likni kerakli yo‘nalishda yo‘naltirishga imkon beradi.
Astronomiyada ikkinchi tartibli chiziqlar osmon jismlarining harakatini
tushunishda muhim rol o‘ynaydi.
Sayyoralar orbitasi
Johannes Keplerning qonunlariga ko‘ra, sayyoralar Quyosh atrofida elliptik
orbitalarda harakatlanadi. Quyosh ellipsning bir fokusida joylashgan bo‘lib, bu
orbitaning markazdan siljiganligini ko‘rsatadi.
Radar va GPS tizimlari
Radar va GPS tizimlarida signalni yuborish va qabul qilishda parabola va
ellips shakllaridan foydalaniladi. Bu shakllar signalning aniqligi va ishonchliligini
ta'minlaydi.
Zamonaviy dasturiy vositalar ikkinchi tartibli chiziqlarni modellashtirish va
vizualizatsiya qilishda keng imkoniyatlar yaratadi.
Desmos
Desmos — bu onlayn grafik kalkulyator bo‘lib, foydalanuvchilarga
tenglamalarni kiritish orqali chiziqlarni chizish imkonini beradi. Bu dastur
o‘quvchilarga chiziqlarning xossalarini tushunishda yordam beradi.
Blender

Blender — bu 3D modellashtirish dasturi bo‘lib, foydalanuvchilarga
chiziqlarni uch o‘lchamli ko‘rinishda yaratish imkonini beradi. Bu dastur
chiziqlarning fazoviy xossalarini o‘rganishda foydalidir.
Ikkinchi tartibli chiziqlar — bu matematikaning muhim bo‘limi bo‘lib,
ularning amaliy qo‘llanilishi fizika, muhandislik, astronomiya va texnologiya
sohalarida keng tarqalgan. Zamonaviy dasturiy vositalar yordamida bu chiziqlarni
modellashtirish va tahlil qilish osonlashgan, bu esa ularni o‘rganishni yanada
qiziqarli va samarali qiladi.
XULOSA
Xususan bizga ma’lum bo‘lgan ayalana ellipsning xususiy holi ekanligi,
oldingi kurslarda kvadrat funksiyaning grafigi sifatida o‘rganilgan parabolaning
xossalari,kanonik tenglamasi kabilarni misol qilish mumkin.
Endi mavzuning asosiy ahamiyatiga e’tibor beraylik. Ya’ni bizga berilgan
har qanday ikkinchi tartibli chiziqni tekislikda qanday ifodalanishini o‘rgandik.
Bunda chiziqning berilgan umimiy tenglamasi
ni tahlil qilish, bu tenglamani turli
koordinatalar sistemasida ko‘rinishini soddalashtirish orqali uning tekislida qanday

bizga ma’lum chiziqlarni ifodalashini, ularning ba’zi xossalarini o‘rgandik. Aytish
joizki har qanday ikkinchi tartibli chiziq yuqorida keltirilgan 9 xil turdagi
chiziqlardan birini ifodalashini ko‘rsatish orqali mavzuni o‘quvchiga tushunarli
qilib yoritib berdik.
Ikkinchi tartibli chiziqlar — ellips, parabola, giperbola va aylana — analitik
geometriyaning muhim bo‘limlaridan biri bo‘lib, ularning nazariyasi va amaliy
qo‘llanilishi zamonaviy fan va texnikaning turli sohalarida keng tarqalgan. Ushbu
kurs ishida ushbu chiziqlarning matematik asoslari, ularning xossalari va tasnifi,
shuningdek, zamonaviy dasturiy vositalar yordamida ularni amaliy yasash usullari
batafsil o‘rganildi.
Tadqiqot davomida aniqlanishicha, ikkinchi tartibli chiziqlar fizika,
muhandislik, astronomiya va boshqa ko‘plab sohalarda muhim rol o‘ynaydi.
Masalan, parabola shakli yorug‘lik va tovush nurlarini fokuslashda, ellips esa
sayyoralar orbitasini tasvirlashda qo‘llaniladi. Giperbola esa radar va aloqa
tizimlarida signal tarqalishini modellashtirishda ishlatiladi.
Zamonaviy texnologiyalar, xususan, GeoGebra, MATLAB, Desmos va
Python dasturlari yordamida ushbu chiziqlarni vizual tarzda chizish va tahlil qilish
imkoniyati mavjud. Bu dasturiy vositalar nafaqat o‘quv jarayonini yengillashtiradi,
balki ilmiy tadqiqotlar va amaliy loyihalarda ham samarali qo‘llaniladi.
Xulosa qilib aytganda, ikkinchi tartibli chiziqlarning nazariyasi va amaliy
qo‘llanilishi zamonaviy fan va texnikaning ajralmas qismiga aylangan. Ularni
chuqur o‘rganish va amaliyotda tatbiq etish nafaqat ilmiy bilimlarni boyitadi, balki
real hayotdagi muammolarni hal etishda ham muhim ahamiyatga ega.

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Narmanov A.Y. Analitik geometriya. O‘zbekiston Respublikasi Oliy va
o‘rta maxsus ta’lim vazirligi, Toshkent: O‘zbekiston faylasuflari milliy
jamiyati nashriyoti, 2008. Jizzax Davlat Pedagogika
Universiteti+1Uniwork+1
2. Kucharov O.R. Ikkinchi tartibli egri chiziqlar: Aylana va Ellips. Toshkent
Irrigatsiya va Qishloq xo‘jaligini mexanizatsiyalash muhandislari instituti,
2023. TIIAME Staff
3. Narmanov A.Y. Analitik geometriya kursi. Mathnet.uz, 2010.
Uniwork+5mathnet.uz+5mathnet.uz+5

4. Baxvalov S.V., Modenov P.S., Parxomenko A.S. Analitik geometriyadan
masalalar to‘plami. Toshkent, 2005. Ebook TSUE+1Uniwork+1
Internet manbalari
5. Desmos – Onlayn grafik kalkulyator:
Ilmiy+2TIIAME Staff+2Jizzax Davlat Pedagogika Universiteti+2
6. Python Matplotlib – Grafik chizmalar uchun kutubxona:
Jizzax Davlat Pedagogika Universiteti+6Arxiv.uz+6Jizzax Davlat
Pedagogika Universiteti+6
7. Arxiv.uz – Ikkinchi tartibli chiziqlar haqida ma'lumot:

Qutb va polyara. Proektiv tekislikdagi ikkinchi tartibli chiziqlar klassifikatsiyasi kurs ishi

Купить