R^m fazo va unda ketma-ketlik 26 - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	35000UZS
Hajmi	103.2KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	13 Iyun 2026
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

202 Sotish

R^m fazo va unda ketma-ketlik 26

Sotib olish

«Matematik analiz» fanidan
KURS ISHI
Mavzu: Rm fazo va unda ketma-ketlik

REJA:
KIRISH …………………………………………………………………..……….3
ASOSIY QISM
R m
fazo.
R m
fazoda ketma-ketlik va uning limiti…………………………………7
Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya va uning limiti…………………………………...…12
Ko‘p o‘zgaruvchili uzluksiz funksiyalarning xossalari…………………………...15
XULOSA …………………………………………………………………...….…22
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR ……………………...……………...…25

KIRISH
Eng katta boylik - aql-zakovat va ilm,
eng katta meros – bu yaxshi tarbiya,
eng katta qashshoqlik – bu bilimsizlikdir
Sh.M.Mirziyoyev
Hozirgi zamon darsiga qo‘yiladigan eng muhim talablardan biri har bir
darsda tanlanadigan mavzuning ilmiy asoslangan bo‘lishidir, ya’ni darsdan
ko‘zlangan maqsad hamda o‘quvchilar imkoniyatini hisobga olgan holda mavzu
hajmini belgilash uning murakkabligini aniqlash, avvalgi o‘rganilgan mavzu bilan
bog‘lash, o‘quvchilarga beriladigan topshiriq va mustaqil ishlarning ketma-
ketligini aniqlash, darsda kerak b o‘ ladigan jihozlarni belgilash va qo‘shimcha
ko‘rgazmali qurollar bilan boyitish, qo‘shimcha axborot texnologiyalardan
foydalangan holda muammoli vaziyatni yaratishdir. Matematika fani o ‘ sib
kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o ‘ qu v fani sifatida keng
imkoniyatlarga ega. U o‘quvchi tafakkurini rivojlantirib, ularning aqlini peshlaydi,
uni tartibga soladi, o‘quvchilarda maqsadga yo‘naltirganlik, mantiqiy fikrlash,
topqirlik xislatlarini shakllantirib boradi. Prezident Shavkat Mirziyoyev olimlar,
yosh tadqiqotchilar, ilmiy-tadqiqot muassasalari rahbarlari va ishlab chiqarish
sektori vakillari bilan uchrashuvda yosh matematiklar masalasiga alohida e’tibor
berdi.
O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining 2019-yil 9-iyuldagi matematika
ta’limi va fanlarini yanada rivojlantirishga oid qarorining ijrosi doirasida
poytaxtimizdagi Talabalar shaharchasida Fanlar akademiyasining Matematika
instituti uchun zamonaviy talablar asosida yangi bino barpo etildi. Yoshlarda
matematika faniga qiziqishni kuchaytirish, iqtidorli bolalarni seleksiya qilib,
ixtisoslashtirilgan maktablar va keyinchalik oliy ta’lim muassasalariga qamrab
olish ishlarini to‘g‘ri tashkil qilish kerakligi ta’kidladi. Bolalar uchun mazkur
fandan oddiy va tushunarli tilda yozilgan ommabop darslik va o‘quv qo‘llanmalari
3

yaratish, matematik ongni, kerak bo‘lsa, bog‘chadan boshlab shakllantirish vazifasi
qo‘yildi.
Mutaxassislarning ta’kidlashlaricha, matematikani yaxshi o‘zlashtirgan
o‘quvchining tahliliy va mantiqiy fikrlash darajasi yuqori bo‘ladi. U nafaqat misol
va masalalar yechishda, balki hayotdagi turli vaziyatlarda ham tezkorlik bilan qaror
qabul qilish, muhokama va muzokara olib borish, ishlarni bosqichma-bosqich
bajarish qobiliyatlarini o‘zida shakllantiradi. Shuningdek, matematiklarga xos
fikrlash uni kelajakda amalga oshirmoqchi bo‘lgan ishlar, tevarak-atrofda sodir
bo‘layotgan voqea-hodisalar rivojini bashorat qilish darajasiga olib chiqadi.
Matematikaning hayotimizda tutgan beqiyos o‘rni inobatga olingan holda mazkur
fan birinchi sinfdanoq maktab darsliklariga kiritilgan bo‘lib, yurtimizda barcha
aniq fanlar qatori matematika ta’limini zamon talablari asosida takomillashtirib
borish, uni o‘qitishda eng so‘nggi pedagogik va innovatsion usullar, multimedia
vositalari hamda axborot-kommunikatsiya texnologiyalarini joriy etishga katta
e’tibor qaratilmoqda. Matematik bilimlar nafaqat baho olish uchun savol-javoblar
yoki imtihonlarda, balki uyda, ish jarayonida, sport va san ’ at bilan shug ‘ ullanishda,
savdo-sotiq, oldi-berdi – hayotning har bir lahzasida o ‘ quvchiga naf berishini u
chuqur anglab y etishi muhim. Buning uchun esa mazkur fan o‘qituvchisi
o‘tayotgan mavzularini bevosita hayot bilan bog‘lab, biror misol yoki masala,
topshiriqlarni turmushdagi oddiy vaziyatlar yordamida yechishga o‘rgatishi zarur.
Hayotda turli vaziyatlar bo‘lishi, elektron qurilmalar ham kishiga pand berishi,
internet o‘chib qolishi, smartfonning quvvati tugab qolishi mumkinligini aytish
maqsadga muvofiq. Inson egallagan bilimlar esa butun umr ularga hamrohlik
qiladi. Shu bilan bir qatorda, zamonaviy texnologiyalar imkoniyatlarini butunlay
inkor etib bo‘lmaydi. Axir zamonaviy texnologiyalar ham insonlar og‘irini yengil,
mashaqqatini oson qilish, qimmatli vaqtini tejash maqsadida ishlab
chiqarilmoqdaku. Ular hisob-kitob, rejalashtirish, modellashtirish jarayonida
insonlarga katta yordam bermoqda. Albatta, qo‘shish-ayirish, ko‘paytirish-bo‘lish
kabi eng muhim amallarni har bir o‘quvchi mustaqil bajara olishi qat’iy talab
sifatida belgilanishi shart.
4

B ugungi kun o‘quvchisini bugungi zamonning talablari asosida o‘qitish
lozim. Zero, yangi texnologiyalar zamonida dunyoga kelayotgan o‘g‘il-qizlar
o‘zining bir qator umumiy sifatlari bilan ajralib turadi. Turmush tarzimiz, qiziqish
va xohish-istaklarimiz global makonda qariyb o‘xshash tus olayotgan bir vaqtda
kechagi o‘qitish usullari bilan maqsadga erishib bo‘lmaydi. Zamon bilan
hamqadam rivojlanib borgandagina yuksak intellektual avlodni tarbiyalash
imkoniga ega bo‘lamiz. XX-XXI asr zamonaviy matematikasi uchun eng yuqori
aniqlik darajasiga erishish bu masalani to‘liq umumiylashtirishdir. Agar
ko‘rilayotgan boshlang‘ich masalalarga isbot talab qilinmasa, unda
umumiylashtirish yordamida isbotni keltirib chiqarish mumkin. Demak,
matematika kirib bormagan va matematika bilan bog‘lanmagan soha qolmagan.
Mamlakatimizning kelajagi bo lmish yoshlarimizni har tomonlama yetuk, bilimli,ʻ
salohiyatli shaxs, komil inson sifatida tarbiyalash masalasiga bugungi kunda ham
o ziga xos tarzda, zamonaviy usullar asosida yondashilmoqda, ularning barcha
ʻ
huquq va erkinliklari, imkoniyat va manfaatlarini himoya qilishda tashkiliy-
huquqiy asoslar zamon bilan hamnafas takomillashib bormoqda. Zero, masofaviy
ta lim, onlayn rejimida uzluksiz tashkil etilgan holda yoshlarning bilim olish
ʼ
huquqini ta limda ta minlaganining o zi O zbekistonning bugun yoshlarga
ʼ ʼ ʻ ʻ
berayotgan ta lim-tarbiya va ko rsatilayotgan g amxo rlik, e tiborning amaliy
ʼ ʻ ʻ ʻ ʼ
ifodasidir.
Demak, bundan keyin “Yoshlarga oid davlat siyosati to g risida”gi qonun
ʻ ʻ
mamlakatimizda yoshlarning huquqlari va qonuniy manfaatlarini
mustahkamlashga, yoshlarga oid davlat siyosatini ro yobga chiqarishda davlat
ʻ
organlari hamda boshqa tashkilotlar mas uliyatini kuchaytirishga, ushbu sohada
ʼ
sog lom, barkamol avlodni tarbiyalashga qaratilgan chora-tadbirlar samaradorligini
ʻ
yanada oshirishga xizmat qiladi.
Har bir ota-ona, har bir xonadon, har bir mahalla, bugungi kunda
farzandlarimiz ta lim-tarbiyasini eng asosiy vazifa sifatida bilib, yoshlarni
ʼ
xalqimizga yot va yangi avlod ongi uchun zararli bo lgan salbiy ta sirlardan
ʻ ʼ
himoya qilish, millat va davlat taraqqiyotini dunyo hamjamiyatiga ko rsatishga
ʻ
5

qodir bo lgan yosh avlodni tarbiyalashi ham qarz, ham farzdir. ʻ Zero, inson hayoti
odob-axloq, ta lim-tarbiya bilan bevosita bog liq.
ʼ ʻ
Kurs ishining dolzarbligi: Yoshlarga ta’lim va tarbiya berishning
murakkab vazifalarini hal etish o ‘ qituvchining g ‘ oyaviy e ’ tiqodi, kasb-mahoratiga,
san’ati, iste’dodi va madaniyatiga hal qiluvchi darajada bog ‘ liqdir. Ta’lim - tarbiya
jarayonini to ‘ g ‘ ri tashkil etish uchun barcha mavjud imkoniyatlarini safarbar etish
o ‘ qituvchilarning birinchi navbatdagi vazifalaridan biridir. Matematika fani o‘sib
kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o‘quv fani sifatida keng
imkoniyatlarga ega. U o‘quvchi tafakkurini rivojlantirib, ularning aqlini peshlaydi,
uni tartibga soladi, o‘quvchilarda maqsadga yo‘naltirganlik, mantiqiy fikrlash,
topqirlik xislatlarini shakllantirib boradi. Shu bilan bir qatorda mulohazalarning
to‘g‘ri, go‘zal tuzilganligi, o‘quvchilarni didli, go ‘ zallikka ehtiyojli qilib
tarbiyalab boradi.
Kurs ishining maqsadi . Dars davomida o‘quvchi va talabalarga mavzuni
zamonaviy pedagogik texnalogiyalar orqali tushuntirish va bu orqali ta’lim sifatini
oshirish.
Kurs ishining ob’ekti. Oliy va o‘rta ta’lim muassasalarida matematikani
o‘qitish jarayoni.
Kurs ishining predmeti. Matematikani o‘qitishda pedagogik
texnalogiyalar, interfaol usullardan foydalanish.
Kurs ishining tuzilishi va tarkibi. Mazkur kurs ishi kirish, asosiy qism,
xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan tashkil topgan bo’lib, kirish
qismida kurs ishining dolzarbligi, maqsad va vazifalari haqida qisqacha bayon
etilgan.

6

ASOSIY QISM
R m
fazo.
R m
fazoda ketma-ketlik va uning limiti
m
ta A
1 , A
2 , … , A
m ( m ≥ 1
butun son) to‘plamlarning Dekart ko‘paytmasi
ikkita A
va V to‘plamlarning Dekart ko‘paytmasiga o‘xshash ta’riflanadi.
Agar
A1= A2=… = Am= R bo‘lsa, u holda A
1 × A
2 × … × A
m = R ×
× R × … × R =
{( x
1 , x
2 , … , x
m ) : x
1 ∈ R , x
2 ∈ R , … , x
m ∈ R }
bo‘ladi. Ushbu
{(
x
1 , x
2 , … , x
m ) : x
1 ∈ R , x
2 ∈ R , … , x
m ∈ R }
to‘plam
R m
to‘plam deb ataladi.
R m
to‘plamning elementi
(x1,x2,… ,xm) shu to‘plam nuqtasi deyiladi va u
bitta harf bilan belgilanadi: x =
( x
1 , x
2 , … , x
m ) . Bunda (x1,x2,… ,xm) sonlar x
nuqtaning mos ravishda birinchi, ikkinchi, … , m − ¿
koordinatalari deyiladi.
Agar x =
( x
1 , x
2 , … , x
m ) ∈ R m
, y=(y1,y2,… ,ym)∈Rm nuqtalar uchun
x
1 = y
1 , x
2 = y
2 , … , x
m = y
m bo‘lsa, u holda
x= y deb ataladi.

Rm to‘plamda ixtiyoriy x = ( x
1 , x
2 , … , x
m ) ∈ R m
, y=(y1,y2,… ,ym)∈Rm
nuqtalarni olaylik.
1-ta’rif. Ushbu
ρ(x,y)= 2√(y1− x1)2+(y2− x2)2+… +(ym− xm)2 =
2
√∑i=1
m
(yi− xi)2
miqdor
x va y nuqtalar orasidagi masofa (Evklid masofasi) deb
ataladi.
Bunday aniqlangan masofa quyidagi xossalarga ega (bunda
∀ x,y,z∈Rm ).
1) ρ
( x , y ) ≥ 0
va ρ ( x , y ) = 0 ↔ x = y
,
2) ρ
( x , y ) = ρ ( y , x )
,
3) ρ
( x , z ) ≤ ρ ( x , y ) + ρ ( y , z )
.

R m
to‘plam
R m
fazo (
m o‘lchovli Evklid fazosi) deb ataladi. Endi
R m
fazo
ning ba’zi bir muhim to‘plamlarini keltiramiz.
Biror
a=(a1,a2,… ,am)∈Rm nuqta va r>0 sonni olaylik. Quyidagi
{x=(x1,x2,… ,xm)∈Rm:(x1− a1)2+(x2−a2)2+… +(xm− am)2≤r2}
,
7

{x=(x1,x2,… ,xm)∈Rm:(x1− a1)2+(x2−a2)2+… +(xm− am)2<r2},
ya’ni
{x∈Rm:ρ(x,a)≤r} , { x ∈ R m
: ρ ( x , a ) < r }
to‘plamlar mos ravishda shar
hamda ochiq shar deb ataladi. Bunda
a nuqta shar markazi, r
esa shar radiusi
deyiladi.
To‘plamning har bir nuqtasi uning ichki nuqtasi bo‘lsa, u ochiq to‘plam deb
ataladi.
Misol.
Rm fazodagi ochiq shar ochiq to‘plam bo‘lishi isbotlansin.
Aytaylik,
A =
{ x ∈ R m
: ρ ( x , x 0 )
< r } Rm fazodagi biror ochiq shar bo‘lsin.
Ravshanki, z ∈ A → ρ
( z , x ) < r .
Ushbu r1=r− ρ(z,x0) sonni olib, quyidagi
B={x∈Rm:ρ(x,x0)<r1}
sharni qaraymiz. ∀ y∈B uchun,
ρ
( y , x 0 )
≤ ρ ( y , z ) + ρ ( z , x 0 )
< r
1 + ρ ( z , x 0 )
munosabatga ko‘ra B ⊂ A

bo‘ladi.

Rm fazoda biror F
to‘plam va biror x0 nuqta berilgan bo‘lsin:
2-ta’rif: Agar
∀ r > 0 , ∃ x ∈ F , x ≠ x 0
: x ∈
{ x ∈ R m
: c ( x , x 0 )
< r } bo‘lsa,
x0
nuqta F
to‘plamning limit nuqtasi deyiladi.
Masalan, ushbu
A={x∈Rm:ρ(x,x0)≤r} sharning barcha nuqtalari
uning limit nuqtalari bo‘ladi.
3-ta’rif:
F ⊂ R m
to‘plamning barcha limit nuqtalari shu to‘plamga tegishli
bo‘lsa,
F yopiq to‘plam deb ataladi.
Masalan, E =
{ x ∈ R m
: ρ ( x , x 0 )
≤ r }
yopiq to‘plam bo‘ladi.
Shuni ta’kidlash lozimki, ochiq va yopiq to‘plamlar ta’riflarini
qanoatlantirmaydigan to‘plamlar ham ko‘pdir.
Biror
M ⊂ Rm to‘plamni qaraylik. Ravshanki, Rm¿ ayirma M to‘plamni
R m
to‘plamga to‘ldiruvchi to‘plam bo‘ladi.
8

4-ta’rif: Agar x 0
( x ¿
¿ 0 ∈ R m
) ¿
nuqtaning istalgan U
ε ( x 0
)
atrofida ham M
to‘plamning,
Rm¿ ham to‘plamning nuqtalari bo‘lsa, x0 nuqta M
to‘plamning
chegaraviy nuqtasi deb ataladi.
M to‘plamning barcha chegaraviy nuqtalaridan
iborat to‘plam
M to‘plamning chegarasi deyiladi va uni odatda ∂ ( M )
kabi
belgilanadi.
Bu tushuncha yordamida yopiq to‘plamni quyidagicha ham ta’riflash
mumkin.
5-ta’rif: Agar F ( F ⊂ R m
)
to‘plamning chegarasi shu to‘plamga tegishli,
ya’ni ∂ ( F ) ⊂ F
bo‘lsa, F
yopiq to‘plam deb ataladi.

Rm fazoda chekli sondagi to‘g‘ri chiziq kesmalarni birin-ketin
birlashtirishdan tashkil topgan chiziq, siniq chiziq deb ataladi.

M ⊂ Rm to‘plam berilgan bo‘lsin.
6-ta’rif: Agar
M to‘plamni ixtiyoriy ikki nuqtasini birlashtiruvchi shunday
siniq chiziq topilsaki, u
M to‘plamga tegishli bo‘lsa, M
bog‘lamli to‘plam deyiladi.
7-ta’rif: Agar
M ⊂ Rm to‘plam ochiq hamda bog‘lamli to‘plam bo‘lsa, u
soha deb ataladi.

Rm fazoda ochiq parallelepiped, ochiq shar, ochiq simplekslar fazodagi
sohalar bo‘ladi.

R m
fazoda ketma-ketlik va uning limiti.
Natural sonlar to‘plami N
va
Rm fazo berilgan bo‘lib, f har bir n(n∈N) ga
R m
fazoning biror muayyan
x(n)=(x1(n),x2(n),… ,xm(n))∈Rm nuqtasini mos
qo‘yuvchi akslantirish bo‘lsin:

f:N → Rm yoki n→ x(n)=(x1(n),x2(n),… ,xm(n)).
Bu akslantirishni quyidagicha tasvirlash mumkin:
9

1→ x(1)=(x1(1),x2(1),… ,xm(1)),
2 → x
( 2)
= ( x
1 ( 2)
, x
2 ( 2)
, … , x
m ( 2)
) ,
…………………………………………………..

n→ x(n)=(x1(n),x2(n),… ,xm(n)),
…………………………………………………..

f:N → Rm akslantirishning tasvirlari (obrazlari) dan tuzilgan
x ( 1 )
, x ( 2 )
, … , x
( n)
, … to‘plam ketma-ketlik deb ataladi va u
{ x ( n)
} kabi belgilanadi.
Har bir
x(n)∈Rm(n=1,2 ,… ) ni ketma-ketlikning hadi deyiladi.
Shuni ta’kidlash kerakki,
{ x
( n)
} ketma-ketlikning mos koordinatalaridan
tuzilgan
{x1(n)},{x2(n)},… ,{xm(n)} lar sonli ketma-ketliklar bo‘lib, {x(n)} ketma-ketlikni
shu
m ta ketma-ketlikni (ma’lum tartibdagi) birlikda qaralishi deb hisoblash
mumkin.

R m
fazoda biror
x(1),x(2),… ,x(n),… (2) ketma-ketlik hamda a = ( a
1 , a
2 , … , a
m ) ∈ R m
nuqta berilgan bo‘lsin.
8-ta’rif. Agar ∀ ε > 0
olinganda ham,shunday n
0 ∈ N
topilsaki, barcha
n>n0
uchun ρ ( x n
, a ) < ε
tengsizlik bajarilsa,
a nuqta {x(n)} ketma-ketlikning limiti deb
ataladi va
limn→∞{x(n)}= a yoki n→ ∞ da {
x( n)}
→ a kabi belgilanadi.

a nuqtaning ε atrofi ta’rifini e’tiborga olib,
{ x ( n)
} ketma-ketlikning limitini
quyidagicha ham ta’riflasa bo‘ladi.
9-ta’rif: Agar
a nuqtaning ixtiyoriy U ε(a) atrofi olinganda ham, {x(n)} ketma
ketlikning biror hadidan boshlab, keyingi barcha hadlari shu atrofga tegishli bo‘lsa,
a
nuqta {x(n)} ketma-ketlikning limiti deb ataladi.
Agar (2) ketma-ketlik limitga ega bo‘lsa, u yaqinlashtiruvchi ketma-ketlik deb
10

ataladi. Limit ta’rifidagi shartni qanoatlantiruvchi a mavjud bo‘lmasa, {x(n)} ketma-
ketlik limitga ega emas deyiladi, ketma-ketlikning o‘zi uzoqlashtiruvchi deb
ataladi.
Shunga e’tibor berish kerakki, ketma-ketlikning limiti ta’rifidagi ε
ixtiyoriy
musbat son bo‘lib,
n0(n0∈N) ga (va, tabiiyki, qaralayotgan ketma-ketlikka) bog‘liq
ravishda topiladi.
1-teorema:
R m
fazoda
{x(n)}={x1(n),x2(n),… ,xm(n)} ketma-ketlikning
a = ( a
1 , a
2 , … , a
m ) ∈ R m
ga intilishi
x(n)→ a(n→ ∞ da ) uchun n→ ∞ bir yo‘la
x1(n)→ a1
,
x
2 ( n )
→ a
2 , … ,
x
m ( n )
→ a
m bo‘lishi zarur va yetarli.
Sonlar ketma-ketligi limiti haqidagi ma’lumotlar (tushuncha va tasdiqlar)
Rm
fazo nuqtalaridan iborat ketma-ketliklarda ham o‘rinli bo ‘ladi.
1)
Rm fazoda {x(n)}={x1(n),x2(n),… ,xm(n)} ketma-ketlik chegaralangan
bo‘lishi uchun bu ketma-ketlik koordinatalardan iborat
{x1(n)},{x2(n)},… ,
{ x
m
( n)
} sonlar ketma-ketliklarining har birining chegaralangan bo‘lishi zarur va
yetarli.
2)
R m
fazoda
{x(n)} ketma-ketlik uchun ∀ ε>0 olinganda ham, shunday
n0∈N
topilsaki, barcha n > n
0 , p > n
0 da ρ(x(p),x(n))<ε tengsizlik bajarilsa,
{x(n)}
fundamental ketma-ketlik deyiladi.

Rm fazoda {x(n)}={x1(n),x2(n),… ,xm(n)} ketma-ketlik fundamental bo‘lishi
uchun bu ketma-ketlik koordinatalaridan iborat
{x1(n)},{x2(n)},… ,{xm(n)} ketma-
ketliklarining har birining fundamental bo‘lishi zarur va yetarli.

Rm fazoda {
x( n)}
ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun u fundamental
bo‘lishi zarur va yetarli (Koshi teoremasi).
3) Markazlari a ( n )
= ( a
1
( n)
, a
2 ( n)
, … , a
m ( n)
) ∈ R m
nuqtalarda, radiuslari
11

rn(rn>0,n=1,2 ,… ) bo‘lgan Sn=Sn(a(n),rn)={x∈Rm:ρ(x,a(n))≤rn}
(n=1,2,3 ,… )
sharlar berilgan bo‘lsin. Agar S1⊃S2⊃… ⊃Sn⊃… munosabat
o‘rinli bo‘lsa,
{Sn} ichma-ich joylashgan sharlar kema-ketligi deyiladi.
Agar
R m
fazoda ichma-ich joylashgan sharlar ketma-ketligi
{Sn} uchun
lim
x → ∞ r
n = 0
bo‘lsa, u holda barcha sharlarga tegishli bo‘lgan
a ( a ∈ R m
) nuqta
mavjud yagonadir. (Ichma-ich joylashgan sharlar prinsipi).
4)
R m
fazoda
{
x( n)}
: x ( 1 )
, x ( 2 )
, … , x ( n)
, … ( x ( n)
∈ R m
, n = 1,2 , … ) ketma-
ketlik berilgan bo‘lsin. Bu ketma-ketlikning
n
1 , n
2 , … , n
k , … ( n
1 < n
2 < … < n
k < … , n
k ∈ N , k = 1,2 , … )

nomerli hadlardan tashkil topgan ushbu x ( n 1 )
, x ( n 2 )
, … , x
( nk )
, … ( x ( nk)
∈ R m
)
ketma-ketlik
{
x( n)}
ketma-ketlikning qismiy ketma-ketligi deyiladi va {
x( nk )}
kabi
belgilanadi.
Agar
{x(n)} ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lib, uning limiti a ( a ∈ R m
)
bo‘lsa,
bu ketma-ketlikning har qanday qismiy { x
( nk)
}
ketma-ketligi ham yaqinlashuvchi,
uning limiti ham
a ga teng bo‘ladi.
Har qanday chegaralangan
{x(n)} ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-
ketlik ajratish mumkin. (Baltsano-Veyershtrass teoremasi).
Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya va uning limiti.
Biror
M ( M ⊂ R m
) to‘plam berilgan bo‘lsin.
10-ta’rif. Agar
M to‘plamdagi har bir x = ( x
1 , x
2 , … , x
m ) nuqtaga biror qoida
yoki qonunga ko‘ra bitta haqiqiy son y ( y ∈ R )
mos qo‘yilgan bo‘lsa,
M to‘plamda
ko‘p o‘zgaruvchili (
m ta o‘zgaruvchili) funksiya berilgan (aniqlangan) deb ataladi
va uni
f:(x1,x2,… ,xm)→ y yoki y= f(x1,x2,… ,xm) (3) kabi belgilanadi.
12

Bunda M -funksiyaning berilishi (aniqlanish) to‘plami, x1,x2,… ,xm erkli
o‘zgaruvchilar-funksiya argumentlari,
y erksiz o‘zgaruvchi - x
1 , x
2 , … , x
m
o‘zgaruvchilarning funksiyasi deyiladi.

(x1,x2,… ,xm) nuqta bitta x bilan belgilanishini e’tiborga olib, bundan keyin
deyarli hamma vaqt
(x1,x2,… ,xm) o‘rniga x ni ishlataveramiz. Unda yuqoridagi
(3) belgilashlar quyidagicha yoziladi.
f : x → y
yoki
y= f(x)(x∈Rm,y∈R)
Funksiyaning berilish to‘plamidan olingan x ' ∈ M
nuqtaga mos keluvchi y
0
son y = f
( x )
funksiyaning x= x' nuqtadagi xususiy qiymati deb ataladi.
Masalan, f
-
Rm fazodagi har bir x
nuqtaga shu nuqta koordinatalari
kvadratlarining yig‘indisini mos qo‘yuvchi qoida, ushbu

f:x→ x12+x22+… +xm2,y= x12+x22+… +xm2
funksiyani hosil qiladi. Bu funksiya
M = R m
to‘plamda berilgan.

f(x) funksiya M ⊂ Rm to‘plamda berilgan bo‘lsin. Ushbu { f ( x ) : x ∈ M }
to‘plam funksiya qiymatlari to‘plami (funksiyaning o‘zgarish sohasi) deb ataladi.

Rm+1 fazoning ( x , y ) = ( x ∈ R m
, y = f ( x ) ∈ R )
nuqtalardan iborat ushbu
{(
x , f ( x ))} = { ( x , f ( x )) : x ∈ R m
, f ( x ) ∈ R }
to‘plam y = f
( x )
funksiya grafigi deb ataladi.

R m
fazoda biror
M to‘plam olaylik. a nuqta (a=(a1,a2,… ,am)) shu
to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin. U holda
M to‘plamning nuqtalaridan a ga
intiluvchi turli
{x(n)}(x(n)∈M ,x(n)≠a,n=1,2 ,… ) ketma-ketliklar tuzish mumkin:
limn→∞x(n)= a
Endi shu
M to‘plamda biror y = f ( x )
funksiya berilgan bo‘lsin.
11-ta’rif. (Geyne ta’rifi). Agar
M to‘plamning nuqtalaridan tuzilgan a ga
intiluvchi har qanday
{x(n)}(x(n)≠a,n=1,2 ,… ) ketma-ketlik olinganda ham
13

mos
{ f( x( n))
} ketma-ketlik hamma vaqt yagona t (chekli yoki cheksiz) limitga
intilsa,
t f(x) funksiyaning a nuqtadagi (yoki x→ a dagi) limiti deb ataladi va u
limx→af(x)=t
yoki x→ a da
f ( x ) → t kabi belgilanadi. Funksiya
limitini boshqacha ham ta’riflash mumkin.
12-ta’rif. (Koshi ta’rifi). Agar
∀ ε>0 son uchun shunday δ>0 topilsaki,
ushbu 0 < c ( x , a ) < δ
tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha
x∈M nuqtalarda
|
f ( x ) − b | < ε
tengsizlik bajarilsa, t
son f(x) funksiyaning a
nuqtadagi ( x → a
dagi) limiti deb ataladi.
13-ta’rif. (Koshi ta’rifi). Agar
∀ ε>0 son uchun shunday δ > 0
topilsaki,
ushbu 0 < c ( x , a ) < δ
tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x ∈ M
nuqtalarda
|f(x)|>ε
( f ( x ) > ε , f ( x ) ← ε )
bo‘lsa, f(x) funksiyaning a nuqtadagi
(
x→ a dagi) limiti ∞(+∞ ,− ∞) deyiladi.

R m
fazoda biror
M to‘plam berilgan bo‘lib, ∞ esa shu to‘plamning limit nuqtasi
bo‘lsin. Bu M
to‘plamda y = f
( x )
funksiya berilgan.
14-ta’rif. (Geyne ta’rifi). Agar
M to‘plam nuqtalaridan tuzilgan har qanday
{x(n)}
ketma-ketlik uchun
x ( n)
→ ∞ da mos {f(x(n))} ketma-ketlik hamma vaqt
yagona t
ga intilsa, t
f
( x )
funksiyaning x→ ∞ dagi limiti deb ataladi va
lim
x → ∞ f
( x ) = t
kabi belgilanadi.
15-ta’rif. (Koshi ta’rifi). Agar
∀ ε>0 son uchun shunday δ>0 topilsaki,
ushbu c ( x , 0 ) > δ
tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha
x∈M nuqtalarda
|
f ( x ) − t | < ε
tengsizlik bajarilsa, t
f ( x )
funksiyaning x→ ∞ dagi limiti deb
ataladi va lim
x → ∞ f
( x ) = t
kabi belgilanadi.
Shuni aytib o‘tish kerakki, funksiya limiti tushunchasi kiritilishida limiti
qaralayotgan nuqtada funksiyaning berilishi (aniqlanishi) shart emas.
1-eslatma. Yuqoridagi funksiya limitiga berilgan Geyne ta’rifining mohiyati,
14

har qanday {
x( n)}
( x ( n)
≠ a , n = 1,2 , … ; x ( n)
→ a ) ketma-ketlik uchun mos
{f(x(n))}
ketma-ketlikning limiti olingan {
x( n)}
ketma-ketlikka bog‘liq
bo‘lmasligidadir.
Ko‘p o‘zgaruvchili uzluksiz funksiyalarning xossalari.
Endilikda biz limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalarini ko‘rib o‘tamiz.
Biror
M ⊂ Rm to‘plamda f(x) funksiya berilgan bo‘lib, a ( a ∈ R m
)
nuqta shu
M
to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin.
1) Agar
limx→af(x)=t mavjud bo‘lib, t>p(t<q) bo‘lsa, a nuqtaning
yetarli kichik atrofidagi x ∈ M ( x ≠ a )
nuqtalarda
f(x)>p(f(x)<q) bo‘ladi.
Xususan, t ≠ 0
bo‘lsa, u holda
a nuqtaning yetarlicha kichik atrofida f ( x ) ≠ 0
bo‘ladi.
2) Agar
limx→af(x)=t mavjud bo‘lsa, a nuqtani yetarlicha kichik U δ(a)
atrofida ( x ∈ M
( x ≠ a )
nuqtalarda ) f(x) funksiya chegaralangan bo‘ladi.
Endi
M ⊂ Rm da ikkita f
1 ( x )
va f
2 ( x )
funksiyalar berilgan bo‘lsin.
3) Agar
limx→af1(x)= t1 lim
x → a f
2 ( x ) = t
2
bo‘lib, a nuqtaning U δ(a) atrofi-
dagi barcha x
nuqtalarda
(x∈M ∩U δ(a)) , f
1 ( x ) ≤ f
2 ( x )
bo‘lsa, u holda t
1 ≤ t
2
bo‘ladi.
4) Agar a
nuqtaning
U δ(a) atrofidagi x∈M ∩U δ(a) nuqtalarda
f1(x)≤ f(x)≤ f2(x)
bo‘lib, x→ a da f1(x) va f2(x) funksiyalar limitga ega
hamda
limx→af1(x)= limx→af2(x)=t bo‘lsa, u holda f(x) funksiya ham limitga ega
va
limx→af(x)=t bo‘ladi.
5) Agar
x→ a da f1(x) va f
2 ( x )
funksiyalar limitga ega bo‘lsa, f1(x)± f2(x)
funksiyalar limitga ega bo‘ladi va lim ⁡ [ ¿ x → a f
1
( x ) ± f
2 ( x ) ] = lim
x → a f
1 ( x ) ± lim
x → a f
2 ( x )
.
6) Agar
x→ a da f1(x) va f
2 ( x )
funksiyalar limitga ega bo‘lsa, f
1 ( x ) ∙ f
2 ( x )
15

funksiya ham limitga ega bo‘ladi va lim ⁡[¿x→ af1(x)∙f2(x)]=limx→af1(x)∙limx→af2(x) .
7) Agar
x→ a da f1(x) va f2(x) funksiyalar limitga ega bo‘lib,
lim
x → a f
2
( x ) ≠ 0
bo‘lsa, f1(x)/f2(x) funksiya ham limitga ega bo‘ladi va
lim ⁡ [ ¿ x → a f
1
( x ) / f
2 ( x ) ] = lim
x → a f
1
( x )
lim
x → a f
2
( x ) .
2-eslatma. Bir o‘zgaruvchili funksiyalardagidek x → a
da f
1 ( x )
va f
2 ( x )

funksiyalar yig‘indisi, ko‘paytmasi va nisbatidan iborat bo‘lgan funksiyalarning
limitga ega bo‘lishidan bu funksiyalarning har birining limitga ega bo‘lishi
kelib chiqavermaydi.
3-eslatma. Agar
x→ a da f1(x) va f2(x) funksiyalarning har birini limiti nol
(yoki cheksiz) bo‘lsa, 1)
f1(x)/f2(x) ifoda, 2) f
1 ( x ) → 0 , f
2 ( x ) → ∞
bo‘lganda
ifoda
f1(x)∙f2(x) va nihoyat 3) f1(x) va f2(x) turli ishorali cheksiz limitga ega
bo‘lganda
f1(x)+ f2(x) yig‘indi mos ravishda 0
0 , ( ∞
∞ ) , 0 ∙ ∞
ko‘rinishdagi
aniqmasliklarni ifodalaydi.
Endi ko‘p o‘zgaruvchili funksiya limitining mavjudligi haqida umumiy
teorema keltiramiz.

R m
fazoda
M to‘plam berilgan bo‘lib, a ( a ∈ R m
)
uning limit nuqtasi bo‘lsin.
Bu to‘plamda f
( x )
funksiya berilgan.
16-ta’rif. Agar ∀ ε > 0
son uchun shunday
δ>0 topilsaki, ushbu
0<ρ(x0,a)<δ,0<ρ(x,a)<δ
tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy x va
x 0
( x ∈ M , x 0
∈ M ) nuqtalarda
¿ f
( x 0 )
− f ( x ) ∨ ¿ ε tengsizlik o‘rinli bo‘lsa,
f
( x )
funksiya uchun a nuqtada Koshi sharti bajariladi deyiladi.

M ⊂ Rm to‘plamda f ( x ) = f ( x
1 , x
2 , … , x
m ) funksiya berilgan bo‘lib, a ∈ M
(a=(a1,a2,… ,am))
nuqta esa M to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin.
16

17-ta’rif. Agar x→ a da f(x) funksiyaning limiti mavjud bo‘lib,
lim
x → a f
( x ) = f ( a )
bo‘lsa, f(x) funksiya
a nuqtada uzluksiz deb ataladi.
18-ta’rif. (Geyne ta’rifi). Agar
M ⊂ Rm to‘plamning nuqtalaridan tuzilgan,
a(a∈M )
ga intiluvchi har qanday {
x( n)}
ketma-ketlik olinganda ham, mos
{f(x(n))}
ketma-ketlik hamma vaqt f ( a )
ga intilsa, f ( x )
funksiya a nuqtada uzluksiz
deb ataladi.
19-ta’rif. (Koshi ta’rifi). Agar ∀ ε > 0
son uchun shunday
δ>0 topilsaki,
ushbu ρ
( x , a ) < δ
tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x ∈ M
nuqtalarda
¿ f
( x ) − f ( a) ∨ ¿ ε
tengsizlik bajarilsa, f ( x )
funksiya a nuqtada uzluksiz deb ataladi.
Atrof tushunchasi yordamida funksiyaning uzluksizligini quyidagicha ham
ta’riflash mumkin.
20-ta’rif. Agar ∀ ε > 0
son uchun shunday
δ>0 topilsaki, barcha
x∈M ∩U δ(x0)
nuqtalarda f(x) funksiyaning qiymatlari f(x)∈U δ(f(a)) , ya’ni
x∈M ∩U δ(x0)→ f(x)∈U δ(f(a))
bo‘lsa, f(x) funksiya a
nuqtada uzluksiz
deb ataladi.
21-ta’rif. Agar f
( x )
funksiya M ( M ⊂ R m
)
to‘plamning har bir nuqtasida
uzluksiz bo‘lsa, funksiya shu
M to‘plamda uzluksiz deb ataladi.
22-ta’rif. Agar x → a
da f
( x )
funksiyaning limiti mavjud bo‘lmasa, yoki
limx→af(x)=∞
yoki funksiyaning limiti mavjud,chekli bo‘lib, limx→af(x)=t≠ f(a)
bo‘lsa, funksiya
a nuqtada uzilishga ega deb ataladi.
Nuqtada uzluksiz bo‘lgan funksiyalarning xossalari (lokal xossalari).
f
( x )
funksiya M ( M ⊂ R m
)
to‘plamda berilgan bo‘lib, x0∈M nuqtada uzluksiz
bo‘lsin. Bunday
f(x) funksiyaning
x 0
nuqtaning yetarli kichik atrofi
U
δ
( x 0 )
⊂ M dagi xossalarini (lokal xossalarini) o‘rganamiz.
17

1) Agar f( x )
funksiya
x 0
∈ M nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u holda
x 0
nuqtaning
yetarli kichik atrofida funksiya chegaralangan bo‘ladi.
Funksiya uzluksizligi ta’rifiga ko‘ra lim
x → x 0 f
( x ) = f ( x 0 )
bo‘lib, undan f(x)
funksiyani
x 0
nuqtada chekli limitga ega ekanligi kelib chiqadi. Chekli limitga ega
bo‘lgan funksiyani xossalaridan esa,
f(x) funksiyani
x 0
nuqtaning yetarli kichik
atrofida chegaralanganligini topamiz.
2) Agar f
( x )
funksiya x0 nuqtada uzluksiz bo‘lib,
f ( x 0 )
> 0 ( f ( x 0 )
< 0 )
bo‘lsa,
x 0
nuqtaning yetarli kichik atrofida
x nuqtalarda f ( x ) > 0 ( f ( x ) < 0 )
bo‘ladi.
Funksiya
x 0
nuqtada uzluksizligi ta’rifiga ko‘ra,
∀ ε>0 son olinganda ham
δ>0
topilsaki, barcha x∈M ∩U δ(x0) nuqtalar uchun
f(x0)− ε< f(x)< f(x0)+ε
bo‘ladi.
Bu yerda
ε = f
( x 0 )
> 0 (agar
f ( x 0 )
< 0 bo‘lsa,
ε = − f ( x 0 )
) deb olsak,
tasdiqga ega bo‘lamiz.
Demak,
f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz va
f ( x 0 )
≠ 0 bo‘lsa, x0 nuqtaning
yetarli kichik atrofidagi
x nuqtalarda funksiya qiymatlarining ishorasi
f ( x 0 )
ning
ishorasi bilan bir xil bo‘lar ekan:
signf
( x ) = signf ( x 0 )
.
3) Agar f
( x )
funksiya x0 nuqtada uzluksiz bo‘lsa, x0 nuqtaning yetarli kichik
atrofidagi
x'∈M ,x''∈M nuqtalar uchun ¿f(x')− f(x'')∨¿ε tengsizlik o‘rinli
bo‘ladi.
f
( x )
funksiyaning x0 nuqtada uzluksizligiga asosan, ∀ ε>0 olinganda ham
ε
2 ga ko‘ra shunday
δ>0 topilsaki, barcha x∈U δ(x0) nuqtalar uchun
¿ f
( x ) − f ( x 0 )
∨ ¿ ε
2 bo‘ladi. Jumladan,
x ' ∈ U
δ ( x 0 )
,
x ' ' ∈ U
δ ( x 0 )
nuqtalar
18

uchun ham ¿f(x')− f(x0)∨¿ε
2 , ¿ f ( x ' ' ) − f ( x 0 )
∨ ¿ ε
2 tengsizliklar o‘rinli bo‘ladi.
Keyingi tengsizliklardan esa
¿f(x')− f(x'')∨¿ε bo‘lishi kelib chiqadi.
To‘plamda uzluksiz bo‘lgan funksiyalarning xossalari (global xossalari).
Endi
M ⊂ Rm to‘plamda uzluksiz bo‘lgan funksiyalarning xossalarini
(global xossalari), aniqrog‘i f
( x )
funksiya qiymatlaridan iborat { f ( x ) ; x ∈ M }

to‘plamning xossalarini o‘rganamiz.
Boltsano-Koshining birinchi teoremasi.
f
( x ) = f ( x
1 , x
2 , … , x
m ) funksiya bog‘lamli M ⊂ Rm to‘plamda uzluksiz bo‘lsin.
Agar bu funksiya to‘plamni ikkita
a=(a1,a2,… ,am) va t=(t1,t2,… ,tm) nuqtasida har
xil ishorali qiymatlarga ega bo‘lsa, u holda shunday
c=(c1,c2,… ,cm)∈M
nuqta topiladiki, bu nuqtada funksiya nolga aylanadi:
f
( c) = f ( c
1 , c
2 , … , c
m ) = 0
Aniqlik uchun
f(a)= f(a1,a2,… ,am)<0 , f(t)= f(t1,t2,… ,tm)>0
bo‘lsin.
M ⊂ Rm bog‘lamli to‘plam bo‘lgani uchun bu a va t nuqtalarni
birlashtiruvchi va
M to‘plamda yotuvchi siniq chiziq topiladi. Siniq chiziq uchlari
bo‘lgan nuqtalarda f
( x )
funksiyaning qiymatlarini hisoblab boramiz. Bunda ikki
holat yuz beradi:
1) Siniq chiziq uchlarini birida
f(x) funksiya nolga aylanadi. Bu holda siniq
chiziqning shu uchini teoremadagi
c nuqta deb olinsa, f ( c) = 0
bo‘lib, teorema
isbotlanadi.
2) Siniq chiziq uchlarida
f(x) funksiya nolga aylanadi. Bu holda siniq
chiziqning shunday kesmasi topiladiki, uning uchlarida
f(x) funksiyaning
qiymatlari har xil ishorali bo‘ladi. Siniq chiziqning xuddi shu uchlarining birini
a'=(a'1,a'2,… ,a'm)
bilan, ikkinchi uchini t ' = ( t '
1 , t '
2 , … , t '
m ) bilan belgilasak, unda
f(a')= f(a'1,a'2,… ,a'm)<0
, f ( t ' ) = f ( t '
1 , t '
2 , … , t '
m ) > 0
bo‘ladi. Siniq chiziqning bu
19

kesmasini tenglamasi ushbu x
1 = a '
1 + q ∙( t '
1 − a '
1 ) ,
x
2 = a '
2 + q ∙ ( t '
2 − a '
2 ) , … ,
xm=a'm+q∙(t'm− a'm)
(0≤q≤1) ko‘rinishda yoziladi.
Agar o‘zgaruvchi x =
( x
1 , x
2 , … , x
m ) ∈ M
nuqtani siniq chiziqning shu
kesmasi bo‘yichagina o‘zgaradi deb olinadigan bo‘lsa, u holda
f(x)= f(x1,x2,… ,xm)
ko‘p o‘zgaruvchili funksiya quyidagicha
F
( q ) = f ( a ' ¿ ¿ 1 + q ∙ ( t '
1 − a '
1 ) , a '
2 + q ∙ ( t '
2 − a '
2 ) , … , a '
m + q ∙ ( t '
m − a '
m ) ) ¿
bitta q
o‘zgaruvchining murakkab funksiyasi bo‘ladi. Murakkab funksiyaning
uzluksizligi haqidagi teoremaga ko‘ra
F(q) funksiya [0,1] segmentda uzluksizdir.
Ikkinchi tomondan q = 0
va
q=1 da bu funksiya turli ishorali qiymatlarga ega:

F(0)= f(a'1,a'2,… ,a'm)<0 , F(1)= f(t'1,t'2,… ,t'm)>0
Shunday qilib,
F(q) funksiya [0,1] segmentda uzluksiz va shu segmentning chetki
nuqtalarida har xil ishorali qiymatlarga ega. (0,1) intervalda shunday
q0 nuqta
topiladiki, F
( q
0 ) = 0
bo‘ladi. Demak,
F(q0)= f(a'¿¿1+q0(t'1−a'1),a'2+q0(t'2− a'2),… ,a'm+q0(t'm− a'm))¿
=0
Agar
c1= a'1+q0∙(t'1−a'1) , c2= a'2+q0∙(t'2−a'2) , … ,
cm=a'm+q0∙(t'm− a'm)
deb olsak, ravshanki, c = ( c
1 , c
2 , … , c
m ) ∈ M
va
f(c)= f(c1,c2,… ,cm)=0
bo‘ladi.
Boltsano-Koshining ikkinchi teoremasi. f
( x ) = f ( x
1 , x
2 , … , x
m ) funksiya
bog‘lamli
M ⊂ Rm to‘plamda uzluksiz bo‘lib, M to‘plamning ikkita
a =
( a
1 , a
2 , … , a
m ) va t = ( t
1 , t
2 , … , t
m ) nuqtasida f(a)= A , f(t)= B , ( A ≠ B )
qiymatlarga ega bo‘lsin. A
va
B orasida har qanday C
son olinsa ham M
to‘plamda
shunday
c=(c1,c2,… ,cm) nuqta topiladiki, f(c)= f(c1,c2,… ,cm)=C
bo‘ladi.
Veyershtrassning birinchi teoremasi. f
( x )
funksiya chegaralangan yopiq
20

M ⊂ Rm to‘plamda uzluksiz bo‘lsa, funksiya shu M
to‘plamda chegaralangan
bo‘ladi.
Veyershtrassning ikkinchi teoremasi. Agar
f(x) funksiya chegaralangan
yopiq
M ⊂ R m
to‘plamda uzluksiz bo‘lsa, u shu to‘plamda o‘zining aniq yuqori
hamda aniq quyi chegaralariga erishadi.
Isbot.
f(x) funksiya [a,b] da chegaralangan. Modomiki, { f ( x ) : x ∈ [ a , b ] }

to‘plam chegaralangan ekan, unda bu to‘plamning aniq yuqori hamda aniq quyi
chegaralari mavjud. Biz ularni
¿x∈[a,b]{f(x)}= D , inf
x ∈ [ a , b ] { f ( x )} = d
orqali
belgilaylik. Endi [ a , b ]
segmentda f
( x )
funksiya D va d qiymatlarni qabul
qiladigan nuqtalar mavjudligini ko‘rsatamiz. Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni f
( x )
funksiya
[a,b] segmentda o‘zining aniq yuqori chegarasi D ga erishmasin. U holda
∀ x ∈
[ a , b ]
uchun f ( x ) < D
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Quyidagi φ(x)= 1
D− f(x)
funksiyani qaraylik. Ravshanki, bu funksiyani
[a,b] segmentda aniqlangan va
uzluksiz.Veyershtrassning birinchi teoremasiga ko‘ra φ
( x )
funksiya [a,b] da
chegaralangan. Demak,
∀ x∈[a,b] lar uchun ushbu
φ
( x ) = 1
D − f ( x ) ≤ α ( α = const , α > 0 )
tengsizlik o‘rinli. Bundan f(x)≤D− 1
α bo‘lishi
kelib chiqadi. Bu esa D = ⁡
{ f
( x ) }
ekaniga zid. Demak, f ( x )
funksiya [ a , b ]
segmentda o‘zini aniq yuqori chegarasiga erishadi, ya’ni
[a,b] da shunday
x
1 mavjudki, f
( x
1 ) = ¿
x ∈ [ a , b ] { f ( x )}
bo‘ladi. Xuddi shunga o‘xshash f ( x )
funksiya [ a , b ]
segmentda o‘zining aniq quyi chegarasiga erishishi ko‘rsatiladi.
Teorema isbot bo‘ldi.
XULOSA
21

Men bu kurs ishini tayyorlashda matematik analiz kursida bir o‘zgaruvchili
funksiyalarni, Rm fazo va ularda aniqlangan funksiyalarni xossalarini o‘rgandim,
matematik analizning asosiy tushunchasi bo‘lgan funksiya tushunchasini
kengaytirdim.
Hozirgi zamon muammolariga matematikaning tatbiqi funksiya
tushunchasini yana ham kengaytirish zaruriyatini ko‘rsatmoqda. Matematikaning
biz o‘rganmoqchi bo‘lgan bo‘limi funksional analiz deb nomlanadi. Funksional
analiz chekli va cheksiz o‘lchamli fazolarni o‘rganadi. Bu fazolarning elementlari
funksiyalar, vektorlar, matritsalar, ketma-ketliklar, umuman olganda boshqa
matematik ob’yektlardan iborat bo‘lishi mumkin. Funksional analizda matematik
analiz, funksiyalar nazariyasi va to‘plamlar nazariyasi, algebra va geometriya
metodlari, g‘oyalari birlashib, uyg‘unlashib o‘rganiladi. Bunda funksional
bog‘lanishlar (funksiyalar) haqida eng to‘liq, chuqur tasavvur beriladi. Shu
jihatdan ham bu fan biroz qiyinroq va o‘ziga xos qiziqarli fandir. Chunki bu fanda
eng ajoyib funksiyalarning xossalari yoritiladi, o‘rganiladi.
R m
fazo va undagi ketma-ketliklar mavzusi matematik analizning markaziy
tushunchalaridan biri bo‘lib, ko‘p o‘lchamli fazodagi limit jarayonlarini chuqur
anglash imkonini beradi. Bu fazoda ketma-ketlikning yaqinlashishi har bir
koordinataning alohida yaqinlashishi bilan bog‘liq ekanligi nazariy jihatdan katta
ahamiyatga ega.
Mazkur mavzu orqali quyidagi muhim natijalarga erishiladi:
 Ko‘p o‘lchamli fazoda limit va konvergentsiya tushunchalarini aniqlash;
 Chegaralanganlik, yaqinlashuvchanlik va Koshi ketma-ketliklar orasidagi
bog‘liqlikni tushunish;
 Kompaktlik va to‘liqlik kabi asosiy xossalarning mohiyatini anglash;
 Differensial va integral hisobning ko‘p o‘lchamli umumlashmalariga
tayyorgarlik ko‘rish.
Hozirgi zamon ilmiy jarayonlarida
Rm fazosi va undagi ketma-ketliklar sun’iy
intellekt algoritmlarida parametrlar fazosi sifatida, iqtisodiy modellashtirishda
ko‘rsatkichlar makoni sifatida hamda fizik modellarni ifodalashda fazoviy tizim
22

sifatida qo‘llanmoqda. Ayniqsa, gradient tushish usuli kabi optimallashtirish
metodlari aynan ko‘p o‘lchamli fazodagi ketma-ketliklarning yaqinlashish
xossalariga asoslanadi.
Rm fazo va unda ketma-ketliklar tushunchasi zamonaviy matematikaning
muhim va fundamental bo‘limlaridan biridir. Bu mavzu ko‘p o‘lchamli Evklid
fazosini o‘rganish orqali matematik analiz, chiziqli algebra, differensial
tenglamalar va funksional analiz kabi yo‘nalishlarning nazariy asosini tashkil etadi.
R m
— bu m ta haqiqiy sonlardan tuzilgan tartiblangan to‘plam bo‘lib, har bir nuqta
koordinatalar orqali ifodalanadi. Bu fazoda masofa, norma, yaqinlashish va
uzluksizlik kabi tushunchalar aniqlanadi. Ayniqsa, ketma-ketliklar nazariyasi limit,
konvergentsiya va chegaraviy jarayonlarni tushunishda asosiy vosita hisoblanadi.
Bugungi kunda
Rm fazo tushunchasi nafaqat sof matematika, balki amaliy fanlar —
fizika, iqtisodiyot, sun’iy intellekt, ma’lumotlar tahlili va kompyuter grafikasi
sohalarida ham keng qo‘llanilmoqda. Ko‘p o‘lchamli fazodagi ketma-ketliklar
optimallashtirish masalalari, neyron tarmoqlarni o‘qitish jarayoni va sonli usullar
asosida ishlovchi algoritmlarning nazariy tayanchidir.
Faraz qilaylik, moddiy nuqta tekislikda biror egri chiziq bo‘yicha A
nuqtadan B nuqtaga qadar harakatlanayotgan bo‘lsin. Ravshanki, moddiy
nuqtaning harakatlanish vaqti harakat sodir bo‘layotgan egri chiziq ko‘rinishiga
bog‘liq bo‘ladi. Shunday qilib, bu misolda biz avval o‘rganilgan funksional
bog‘lanishlardan farqli bo‘lgan bog‘lanishga duch kelamiz. Bunda argument
sifatida egri chiziq nuqtalari, funksiya qiymati esa harakatlanish vaqtini aniqlovchi
sondan iborat bo‘ladi.
Savol tug‘iladi. Umuman olganda, elementlari ixtiyoriy bo‘lgan biror ⁡
A
to‘plamda funksiya aniqlab bo‘ladimi? Boshqacha aytganda, A
⁡ to‘plamni biror
sonli to‘plamga akslantirish mumkinmi?
Quyidagi savolni ham qo‘yish mumkin: argumentning ma’lum ma’noda
yetarlicha yaqin qiymatlariga funksiyaning istalgancha yaqin qiymatlari mos
kelishi uchun nima ishlar qilish zarur? Shu kabi savollarga matematik analizda
javob topiladi. Bu kurs ishini tayyorlash davomida matematik analiz fanidagi
23

funksiya va unga doir bilimlarimni mustahkamladim. O‘rganganlarimni shu kurs
ishida atroflicha yoritishga harakat qildim.

Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati.
1. Mirziyoyev Sh. M. “Milliy taraqqiyot yo‘limizni qat’iyat bilan davom ettiramiz”
24

Toshkent. “O‘zbekiston” 2017.
2. Azlarov T, Mansurov X. “Matematik analiz asoslari-1”. Toshkent, “O‘qituvchi”,
1989-yil.
3. Azlarov T, Mansurov X. “Matematik analiz asoslari-2”. Toshkent, “O‘qituvchi”,
1995-yil.
4. G. Xudoyberganov, A.K. Vorisov, X.T. Mansurov, B.A. Shoimqulov.
Matematik analizdan ma’ruzalar 1-qism.-T.: Voris nashriyoti, 2010-yil.
5. Soatov Yo.U. Oliy matematika. 3-qism.-T.: O‘qituvchi, 1996-yil.
6. Shoimqulov B.A, Tuychiyev T.T, Jumaboyev D.X. Matematik analizdan
mustaqil ishlar. T. “O‘zbekiston faylasuflari milliy jamiyati”. 2008-yil.
7. I. Israilov, Z. Pashayev. Matematika. Akademik litsey uchun sinov darslik.
Toshkent. “O‘qituvchi” 2005-yil.
8. Umirbekov A.U, Shaabzalov Sh.Sh. Matematikani takrorlang. Toshkent.
“O‘qituvchi”, 1989 yil.
Elektron ta’lim resurslari
1. Elektron jurnal: www.arki.ru
2. To‘liq matnli kutubxona: www.lib.ru
3. Maktabda axborot texnologiyalari: www.edunet.uz
4. Talaba yoshlar sayti: www.study.uz
5. Bilim portal: www.ziyonet.uz
25

Sotib olish