R m fazo va unda ketma-ketlik kurs ishi - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	685.5KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	11 Iyun 2025
Kengaytma	doc
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

88 Sotish

R m fazo va unda ketma-ketlik kurs ishi

Sotib olish

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM,
FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
Farg‘ona davlat universiteti
Fizika-matematika fakulteti
Matematika yo‘nalishi 23.05-guruh talabasi
Mamajonova Gulira’no Avazjon qizining
Matematik analiz fanidan
“ fazo va unda ketma-ketlik ” mavzusidagi
KURS ISHI
Kurs ishi rahbari: Sh.Nishonova
FARG‘ONA– 2025

REJA
KIRISH
1. fazo haqida tushuncha
2. Ketma-ketlik limitining mavjudligi. Koshi teoremasi
3. fa zoda ketma-ketlik va uning limiti
XULOSA
FOYDALANGAN ADABIYOTLAR
2

KIRISHBarkamol avlod jamiyat taraqqiyotining asosi. Shu bois mamlakatimizda
ham jismonan, ham ma’nan barkamol avlodga ta’lim-tarbiya berish davlat siyosati
darajasiga ko‘tarilgan.
Prezidentimiz Sh.Mirziyoyev 19-sentyabr kuni BMT Bosh
assambleyasining 72-sessiyasida so‘zlagan nutqida : “ Jamiyatimizda siyosiy
faollik ortib bormoqda, barcha sohalarda chuqur islohotlar amalga oshirilmoqda.
Ulardan ko‘zlangan maqsad – “Inson manfaatlari hamma narsadan ustun” degan
oddiy va aniq-ravshan tamoyilni amalga oshirish ustuvor ahamiyatga ega bo‘lgan
demokratik davlat va adolatli jamiyat barpo etishdan iborat.
“2017-2021-yillarda O‘zbekiston Respublikasini rivojlantirishning beshta
ustuvor yo‘nalishi bo‘yicha Harakatlar strategiyasi”da xalqimiz hayot
darajasini yuksaltirishning aniq mexanizmlari belgilab berilganligi to‘g‘risida
fikrlarini bildirib, ushbu strategiyaning nafaqat xalqimiz, balki dunyo
jamoatchiligi e’tiborini o‘ziga jalb etgan muhim hujjatga aylanganligini alohida
ta’kidlab, o‘tamiz.
“Harakatlar strategiyasida ta’lim sifatini oshirish, yoshlarga oid davlat
siyosatini takomillashtirish masalalari alohida o‘rin egallaydi. Harakatlar
strategiyasi xonalari faoliyatidan ko‘zlangan asosiy maqsad - O‘zbekiston
Respublikasini rivojlantirishning beshta ustuvor yo‘nalishi bo‘yicha Harakatlar
strategiyasida yoshlarning ijtimoiy faolligini oshirish, ularni 2017-2021 yillarga
mo‘ljallangan Harakatlar strategiyasiga yanada kengroq jalb qilishdir.
Yoshlarning bilim va iqtidorini chuqurlashtirish, ularning kelgusida malakali
kadrlar bo‘lib, O‘zbekistonni yanada rivojlantirishdagi ishtirokini ta’minlash
maqsadida ta’lim jarayoniga zamonaviy yondashuvlar joriy etilmoqda, shunga
javoban tadqiqot ishimizni samarali va amaliyotga joriy etishda natijaviylikka
etiborni qaratamiz.
3

Ta’lim yosh avlodni mustaqil hayotga tayyorlashning asosiy
komponentlaridan biridir. Mustaqillik yillarida jamiyatning yosh avlod ta’lim-
tarbiyasiga qo‘yayotgan talablari, ilm-fan taraqqiyoti natijasida umumta’lim
maktablaridagi ta’lim mazmunida keskin o‘zgarishlar sodir bo‘ldi.Fan taraqqiyoti
ta’limning texnologik bazasi, jamiyat a’zolarining yashash sharoitida keskin
o‘zgarishlarga olib keldi. Jumladan, ilm-fan yangiliklari, zamonaviy
texnologiyalar jamiyatning ma’naviy qiyofasini o‘zgartirib yubordi. Ilm-fan
yutuqlari va ularning insonlar hayotidagi o‘rni rivojlangan mamlakatlar maktab
ta’limi mazmuni va strukturasiga ta’sir o‘tkazmay qolmaydi. Mamlakatimizda
ta’lim sohasida olib borilayotgan islohotlar natijasida o‘quv soatlari keskin
qisqartirildi, o‘quv materiallari mazmuni modernizatsiya qilindi.Ma’lumki, har bir
davlat va jamiyatning taraqqiyoti, kelajak istiqboli, uning dunyo hamjamiyatidagi
o‘rni, fan-texnika yoki ixtirolar muvaffaqiyati bilan amalga oshayotganligi
ehtimoldan holi emas. Zero, muhtaram birinchi prezidentimiz I.A.Karimov
aytganlaridek, “Bugungi kun mustaqil davlatimiz taqdiri, uning ravnaqi, hozirgi
davri va kelajagi, jamiyatimiz fanlarida erishilayotgan yutuqlar orqali amalga
oshayotganligi shubhasizdir” .XXI asr O‘zbekistonda madaniyat, iqtisodiyot, fan
va texnika, ijtimoiy-siyosiy innovasiyalar asri sifatida boshlandi va ana shunday
sharoitda barkamol shaxs, yuqori malakali mutaxassislarni tayyorlash nafaqat
pedagogik, balki ijtimoiy zaruratga aylandi. So‘nggi yillarda ta’lim tizimiga
boshqa sohalardan bir qator yangi tushunchalar kirib keldi. Bugungi kunda
ta’limning iqtisodiyligi va takomillashganligi o‘rgatuvchi va o‘rganuvchi
aloqalari, texnika va texnologiyalar, ta’limni interfaol metodlar asosida tashkil
qilish, hamda ta’lim samaradorligini oshirishga katta e’tibor berilmoqda. Ta’lim
tizimida, ta’lim jarayonida interfaol metodlardan foydalanish – ta’lim
samaradorligini oshiradigan innovatsion usuldir. Yoshlarni yangicha ishlashga va
tafakkur yuritishga o‘rgatish davr talabi ekanligi yurtboshimiz tomonidan asoslab
berildi.Ta’lim texnologiyasi insoniylik tamoyillariga tayanadi. Falsafa,
pedagogika va psixologiyada bu yo‘nalishning o‘ziga xosligi talabaning
individualligiga alohida e’tibor berish orqali namoyon bo‘ladi.
4

Shunday ekan bo‘lajak pedagog mutaxassislarni tarbiyalashda pedagogika
fanining mazmun-mohiyatini tushuntirishda hamda pedagogika fanining so‘nggi
yutuqlaridan foydalanib fan mavzularining bayonida interfaol metodlar asosida
darslarni tashkil etish muhim ahamiyat kasb etadi.
Kurs ishining dolzarbligi: Matematik analiz oliy matematikaning
fundamental bo‘limlaridan biri bo‘lib, matematikaning poydevori
hisoblanadi. Ma’lumki, matematik analiz kursi davomida ko‘pgina
tushuncha va tasdiqlar, shuningdek, ularning tasdiqlari keltiriladi va
mutaxassislar tayyorlash, barkamol avlodni shakllantirish muammosi bilan uzviy
bog‘liq. Ma m l a k a t i m i z n i n g b arc h a j a b h a l ar i d a a m a lg a o s h i r i l a y o t g an k e n g
k o‘l a m l i i s l oh o t l ar, h u qu qi y d e m ok r a t i k d a vl a t v a er k i n f u q a r o li k j a m i y a t in i
q u r i s h z a m i r id a, a v v a l o m bo r, i n so n m a n fa a t l a r i , u n i n g i nt e l e k t u a l s a l o h i y a t i n i
y u z a g a c h i q a r i s h , k a s b m a ho r a t in i o sh i r is h u c h u n za r u r s h a r t - sh a r o i t v az i fa l ari
m u j a ss a m . Bu bo r a d a b a r k a m o l a vl o d n i t a r bi y a l a sh , u m u m t a’ l i m m a kt a b l a r i , o li y
v a o‘ r t a m a x s u s t a ’ li m s o h a s i d a y u q o r i m a l a k a l i k a d r l a r n i t a y y o r l a sh , i l m -fa n ,
t a ’ li m h a m d a i s h l a b c h i q ar is h o‘ r t a si d a g i o‘ zaro ha m ko r l i k n i y a n a d a
r i v o j l a n t i r i sh g a a l o h i d a e’ t i b o r q ar a t i l m oqd a. O‘ qu v j ara y o n i d a s a m ara do r l ik k a
e r i s his h u c hu n za m on a vi y i lg‘o r p e d a g og i k t e xn o lo gi y a l ar, n o a n ’ a n vi y d a r s
us u l l a r i v a o‘ zaro f a o l o‘q u v j a r a y oni n i t a d bi q qi l is h lo z i m . O‘ zaro f a o l u s u l l a r n i
o‘ qu v j ara y o n ig a q o‘l l a s h u c h u n e s a o‘ t il a d ig a n m a v z un i t a l a b a l ar, o‘ q u v c h i l ar
o‘ z l a r i m us t a q i l t a y y o r l ab k e l is hl a ri t a l a b e t i l a di . J a ra y on nin g s a m ara do r l ig i n i
o s h i r i s h m a qs a d i d a i nn o v a t s io n us u l l a r n i q o‘ll a s h d a e nd i b i z – p e d a go g l ar
“ O‘quv c h il a r n i o‘ q it m a y m i z, b a l k i k i t ob n i o‘q is h g a o‘ r g a t a m i z” s h io r i n i a m a lg a
o s h i ra m i z. B u n i n g s a b a b i s h u n d a ki , a g a r d a t a l a b a v a o‘q u v c h i l ar d a r sg a
t a y y o r ho l d a k e l m a s a l ar, h e ch q a n a q a f a o l us u l d a n s a m ara l i f o y d a l a n i b
b o‘l m a y d i . N a ti j a d a o‘ qitu vchi y a n a o‘ z - o‘ z i d an a n ’ a n a vi y s h a k l d a d a r s o‘ tishga
to‘
g‘ r i k e l a d i .
5

Kurs ishining maqsadi: Innovatsion pedagogika asoslarini va innovatsion
ta’lim jarayonini , maktabda matematikani o‘qitishning innovatsion vositalarini
o‘rganishdan iborat.
Kurs ishining ob’yekti: O‘zbekistondagi barcha ta’lim muassasalarida
matematikani o‘qitish jarayoni.
Kurs ishining predmeti: Innovatsion ta’lim muhiti mazmuni, metodlari va
innovatsion muhitni shakllantiruvchi vositalar.
Kurs ishining vazifalari: Mavzuga doir manba topish, axborotlarni
tartiblash, rejani shakllantirish; Innovatsion pedagogik faoliyatni o‘rganish;
Innovatsion ta’lim jarayoni, shakl, metod, vositalarini o‘rganish; Innovatsion
ta’lim muhitini o‘rganish;
6

1. fazoda ketma-ketlik tushunchalari
1 0
. Fazoda ketma-ketlik va uning limiti tushunchalari. Aytaylik, biror
qoidaga ko‘ra har bir natural son g а
fazoning bitta
nuqtasi mos qo‘yilgan bo‘lsin. Bu moslik natijasida fazo nuqtalaridan tashkil
topgan ushbu , , ... , , ... qisqacha
to‘plam hosil bo‘ladi. Uni fazoda ketma-ketlik deyilib,
kabi belgilanadi. Demak,
ketma-ketlikning hadlari fazo
nuqtalaridan iborat bo‘lib, bu nuqtalarning koordinatalari ta
...
sonlar ketma-ketliklarini yuzaga keltiradi.
Faraz qilaylik, fazoda :
(1)
ketma-ketlik hamda
nuqta berilgan bo‘lsin.
1-ta’rif . Agar olinganda ham, shunday son topilsaki, barcha uchun
ya’ni
bo‘lsa, a nuqta ketma-ketlikning limiti deyiladi va
yoki da
kabi belgilanadi.
7

da
Tengsizlikning bajarilishi, (1) ketma-ketlikning
dan katta nomerli hadlari
nuqtaning
atrofiga tegishli bo‘lishini bildiradi. Bu hol (1) ketma-ketlikning
limitini quyidagicha ta’riflash imkonini beradi.
2-ta’rif. Agar
nuqtaning ixtiyoriy
atrofi olingandan ham,
ketma-ketlikning biror hadidan keying barcha hadlari shu atrofga tegishli bo‘lsa,
nuqta
ketma-ketlikning limiti deyiladi.
1. fazoda ushbu
ketma-ketlikning limiti bo‘lishi ko‘rsatilsin.
◄ sonini olib, unga ko‘ra ni topamiz.
Unda
uchun
bo‘ladi. Demak,
. ►
Matematik analiz fanida fazo va unda aniqlangan amallar muhim
hisoblanadi. Bu mavzular keyingi mavzularning qurilishi uchun zamin
hisoblanadi.Ko‘plab tushunchalar shu mavzu ustiga quriladi.Shu jihatdan bu
8

mavzu dolzarbdir va alohida yondashuvni talab etadi. Matematik analiz kursida bir
o‘zgaruvchili funksiyalarni, fazo va ularda aniqlangan funksiyalarni o‘rgandik,
matematik analizning asosiy tushunchasi bo‘lgan funksiya tushunchasini
kengaytirdik. Hozirgi zamon muammolariga matematikaning tatbiqi funksiya
tushunchasini yana ham kengaytirish zaruriyatini ko‘rsatmoqda. Matematikaning
biz o‘rganmoqchi bo‘lgan bo‘limi funksional analiz deb nomlanadi. Funksional
analiz chekli va cheksiz o‘lchamli fazolarni o‘rganadi. Bu fazolarning elementlari
funksiyalar, vektorlar, matritsalar, ketma-ketliklar, umuman olganda boshqa
matematik ob’yektlardan iborat bo‘lishi mumkin. Funksional analizda matematik
analiz, funksiyalar nazariyasi va to‘plamlar nazariyasi, algebra va geometriya
metodlari, g‘oyalari birlashib, uyg‘unlashib o‘rganiladi. Bunda funksional
bog‘lanishlar (funksiyalar) haqida eng to‘liq, chuqur tasavvur beriladi.
Faraz qilaylik, moddiy nuqta tekislikda biror egri chiziq bo‘yicha A
nuqtadan B nuqtaga qadar harakatlanayotgan bo‘lsin (1-rasm). Ravshanki, moddiy
nuqtaning harakatlanish vaqti harakat sodir bo‘layotgan egri chiziq ko‘rinishiga
bog‘liq bo‘ladi. Shunday qilib, bu misolda biz avval o‘rganilgan funksional
bog‘lanishlardan farqli bo‘lgan bog‘lanishga duch kelamiz. Bunda argument
sifatida egri chiziq nuqtalari, funksiya qiymati esa harakatlanish vaqtini aniqlovchi
sondan iborat bo‘ladi. 2-rasmda ko‘rsatilgan minorani qurish uchun qancha
material ketishi M va N asoslarni tutashtiruvchi aylanma sirtga bog‘liq bo‘ladi.
Bunda argument sifatida aylanma sirtlar, funksiya qiymati esa kerak bo‘ladigan
material miqdorini ifodalovchi sondan iborat bo‘ladi. Quyidagi savolni ham
qo‘yish mumkin: argumentning ma’lum ma’noda yetarlicha yaqin qiymatlariga
funksiyaning istalgancha yaqin qiymatlari mos kelishi uchun nima ishlar qilish
zarur?
Ravshanki, so‘ngi xossa juda muhim. Agar A to‘plamda uning elementlari
yaqinligini aniqlaydigan qoida yoki limitga o‘tish amalini aniqlaydigan qoida
berilgan bo‘lsa, u holda A to‘plamni funksiyaning aniqlanish sohasi deb qarash
maqsadga muvofiq bo‘ladi.
9

birinchidan elementlari orasida masofa tushunchasi kiritilgan to‘plamlarni (metrik
fazolar, normalangan fazolar), ikkinchidan fazolarni sonlar o‘qiga akslantirishlar
(funksionallar) ning va fazoni fazoga akslantirishlar (operatorlar) ning xossalarini
o‘rganishdan iborat.
2.Ketma-ketlik limitining mavjudligi. Koshi teoremasi
2 0
. Ketma-ketlik limitining mavjudligi. Faraz qilaylik, fazoda
ketma-
ketlik va nuqta berilgan bo‘lsin.
10

1-te o rema. Agar
fazoda
ketma-ketlik
limitga ega bo‘lsa;
,
u holda
bo‘ladi .
◄ Aytaylik
bo‘lsin.
Limit ta’rifiga binoan uchun
bo‘ladi. Ravshanki,
bunda
11

Keyingi munosabatlardan, uchun
ya ’ ni
bo‘lishini topamiz. Bundan esa
bo‘lishi kelib chiqadi.►
2-teorema. Agar fazodagi
ketma-ketlik va nuqta uchun
12

bo‘lsa, u holda
ketma-ketlik limitiga ega bo‘lib,
bo‘ladi.
◄ Teoremaning sharti hamda limit ta’rifidan foydalanib topamiz:
bo‘ladi.
Agar
deyilsa, unda da bir yo‘la
tengsizliklar bajariladi. U holda
Ya ’ ni ,
bo‘ladi. Demak
. ►
Bu teoremalardan quyidagi tasdiq kelib chiqadi.
13

F azoda
ketma-ketlik limitga,
ega bo‘lishi uchun bir yo‘la
bo‘lishi zarur va yetarli.
Bu muhim tasdiq bo‘lib, u fazodagi ketma-ketliklar limitlarini
o‘rganishni sonlar ketma-ketliklar limitlarini o‘rganishga olib keladi.
Agar (1) ketma-ketlik limitga ega bo‘lsa, u yaqinlashuvchi ketma-ketlik
deyiladi.
Yuqoridagi keltirilgan tasdiqdan foydalanib isbotlanadigan muhim
teoremani keltiramiz. Avvalo fazoda ketma-ketlikning fundamentalligini
ta’riflaymiz.
3-ta’rif . fazoda ketma-ketlik berilgan bo‘lsin . Agar olinganda ham,
shunday topilsaki, , lar uchun
tengsizlik bajarilsa,
fundamental ketma-ketlik deyiladi.
3-teorema (Koshi teoremasi). ketma-ketlikning yaqinlashuvchi bo‘lishi
uchununing fundamental bo‘lishi zarur va yetarli.
3 0
. Ichma-ich joylashgan yopiq sharlar printsipi. fazoda markazlari
14

nuqtalarda, radiuslari bo‘lgan ushbu
yopiq sharlar ketma-ketligini qaraylik. Agar bu yopiq sharlar ketma-ketligining
hadlari uchun quyidagi
munosabat o‘rinli bo‘lsa, ichma-ich joylashgan yopiq sharlar ketma-ketligi
deyiladi.
Aytaylik, fazoda ichma-ich joylashgan yopiq sharlar ketma-ketligi
bo‘lsin.
4-teorema. Agar da shar radiuslari nolga intilsa, ya’ni
bo‘lsa, u holda barcha yopiq sharlarga tegishli bo‘lgan nuqta mavjud va u
yagona bo‘ladi.
◄ Shar markazlaridan tuzilgan
ketma-ketlikni qaraylik. Uning fundamental ketma-ketlik bo‘lishini ko‘rsatamiz.
Shartga ko‘ra
.
Unda
15

bo‘ladi. Ayni paytda , yopiq sharlar ichma - ichj oylashganligidan ixtiyoriy
uchun
bo‘lib
bo‘ladi.
Demak, fundamental ketma-ketlik. Unda Koshi teoremasiga ko‘ra u
yaqinlashuvchi bo‘ladi:
Bu nuqta to‘plamning limit nuqtasi va yopiq bo‘lganligi
uchun bo‘ladi. Demak, barcha sharlarga tegishli bo‘lgan
nuqta. Faraz qilaylik, nuqtadan farqli barcha sharlarga tegishli bo‘lgan nuqta
mavjud bo‘lsin: . Masofaning 3-xossasidan foydalanib
topamiz:
.
Agar да bo‘lishini e’tiborga olsak, keyingi munosabatdan ,
yani bo‘lishi kelib chiqadi.►
Odatda, bu teorema ichma-ich joylashgan yopiq sharlar prinsipi deyiladi .
4 0
. Qismiy ketma-ketliklar. Bolsano-Veyershtrass teoremasi.
fazoda :
16

ketma-ketlik berilgan bo‘lsin. Ushbu ketma-ketlik
bunda ,
Berilgan ketma-ketlikning qismiy ketma-ketligi deyiladi. U kabi
belgilanadi.
Ravshanki, bitta ketma-ketlikning turlicha qismiy ketma-ketliklari bo‘ladi.
Agar ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lib,
bo‘lsa, bu ketma-ketlikning har qanday qismiy ketma-ketligi ham
yaqinlashuvchi bo‘lib,
bo‘ladi.
Bu tasdiqning isboti ketma-ketlik limiti ta’rifidan bevosita kelib chiqadi.
Aytaylik, fazoda biror to‘plam berilgan bo‘lsin: . Agar fazoda
markazi , radiusi bo‘lgan shart topilsaki:
bo‘lsa, chegaralangan to‘plam deyiladi.
Endi Bolsano-Veyershtrass teoremasini isbotsiz keltiramiz.
17

5-teorema ( Bolsano-Veyershtrass teoremasi). fazoda har qanday
chegaralangan ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish
mumkin.
5 0
. Xususiy xollar. bo‘lganda bo‘lib, undagi ketma-ketlik sonlar
ketma-ketligi bo‘ladi. Ma’lumki, sonlar ketma-ketligi va uning limiti 6-8-
ma’ruzalarda batafsil o‘rganilgan.
bo‘lganda bo‘lib, undagi ketma-ketlik tekislik nuqtalaridan iborat
ketma-ketlik bo‘ladi. Bu ketma-ketlikning limiti va sonlar ketma-
ketliklarining limitlari orqali o‘rganiladi.
Masalan, ushbu
ketma-ketlik limitga ega bo‘lmaydi, chunki
ketma-ketliklar limitga ega emas.
3. fazoda ketma-ketlik va uning limiti
Natural sonlar to‘plami N va fazoda berilgan bo‘lib, F h ar bir n (nєN) ga
fazoning biror muayyan
nuqtasini mos
qo‘yuvchi akslantirish bo‘lsin:
F:n → yoki
Bu akslantirishni quyidagicha tasvirlash mumkin:

18

F:n → akslantirishning tasvirlaridan tuzilgan
x (1)
x (2)
… x (n)
… (1) to‘plam ketma-ketlik deb ataladi, va u {x(n)} kabi
belgilanadi. Har bir x (n)
ni ketma-ketlik hadi deyiladi. Demak (1) ketma-ketlik
hadlari fazo nuqtalaridan iborat ekan. Shuni ham ta’kidlash kerakki {x(n)}
ketma-ketlikning mos koordinatalaridan tuzilgan.
{x
1 (n)
}, {x
2 (n)
},… {x
m (n)
} lar sonli ketma-ketlik bo‘ladi {x(n)} ketma-ketlikni shu
m ta ketma-ketlikning birgalikda qaralishi deb hisoblash mumkin.
Misol.
2. fazoda ketma-ketlikning limiti tushunchasi ( R da) haqiqiy sonlar ketma-
ketligining limiti tushunchasi kabi kiritiladi.
fazoda biror x
1 (n)
x
2 (n)
… x
m (n)
… (1) ketma-ketlik va biror
a = (a
1 , a
2 ,… a
m ) є nuqta berilgan bo‘lsin.
Ta’rif : Agar ixtiyoriy ε > 0 son olinganda ham , shunday n
0 є N, topilsaki barcha
n > n
0 uchun ρ (x (n)
a)< є (2) bajarilsa a nuqta {x(n)} ketma-ketliking limiti deb
ataladi va yoki da kabi belgilanadi
a nuqtaning ε – atrofidan foydalanib ketma-ketlik limitini quyidagicha ta’riflash
mumkin.
Ta’rif : a nuqtaning U ε (a) atrofi olinganda ham {x(n)} ketma-ketlikning biror
19

hadidan boshlab, keyingi barcha hadlari shu atrofga tegishli bo‘lsa, a nuqta { x (n)
}
ketma-ketlikning limiti deb ataladi.
Misol. { x (n)
} = {(-1) n+1
, (-1) n+1
} ketma-ketlikning limiti mavjud ekanligi
ko‘rsatilsin.
Teskarisini faraz qilaylik ketma-ketlik limitga ega va u a=(a
1 a
2 ) ga teng bo‘lsin. U
holda ta’rifga ko‘ra ε >0 (jumladan ε =1 ) uchun n
0 є N topiladiki n > n
0 lar uchun.
bo‘lad i
Bu ziddiyatlik ketma-ketlikning limitining mavjud ekanligini bildiradi.
fazoda {x (n)
}={x
1 (n)
x
2 (n)
… x
m (n)
} ketma-ketlik berilgan bo‘lsin, u
limitga ega bo‘lsin.u holda limit ta’rifiga ko‘ra, ketma ketlikning
biror hadidan boshlab barcha hadlari a nuqtaning U
ε (a) sferik atrofiga tegishli
bo‘ladi va shu nuqtaning parallelepipedial atrofining qismi bo‘ladi
Demak hadlari { x (n)
} ketma-ketlikning o‘sha n
0 hadidan boshlab barcha hadlari a
nuqtaning
atrofida yotadi, ya’ni barcha n>n
0 lar uchun
bo‘ladi.
Bundan esa n > n
0 lar uchun
bo‘lishi kelib chiqadi.
20

Demak ε >0 olinganda ham shunday n
0 є N topiladiki, barch n > n
0 lar uchun. │x
1 (n)
- a│< ε , │x
2 (n)
- a│< ε …. │x
m (n)
- a│< ε bo‘ladi. Bu esa
ekanligini bildiradi.
Shunday qilib {x n
} ketma-ketlik limitga ega va uning limiti a bo‘lsa uning
koordinatlaridan tuzilgan ketma-ketlik ham limitga ega
va ular mos ravishda a ning koordinatlariga teng. Demak
Endi fazoda {x(n)} ketma-ketlikning koordinatlaridan tashkil topgan {x
1 (n)
},
{x
2 (n)
}, … {x
m (n)
} sonlar ketma-ketligi limitdga ega va u a nuqtaning mos
koordinatlariga teng bo‘lsin. Ya’ni
U holda limit ta’rifiga ko‘ra ε >0 son olinganda ham
ga ko‘ra shunday
n
0 (1)
є N topiladiki lar uchun
topiladiki
21

n > n 0 (2) lar uchun

bo‘ladi.
Agar n
0 = max {n
0 (1)
, n
0 (2)
, … n
0 (m)
} deb olsak unda barcha n>n
0 uchun bir yo‘la
tengsizli klar bajariladi. U holda
bo‘lib, undan ( x n
, a ) bo‘lishi kelib chiqadi.Bu esa
ekanligini bildiradi.
Demak
Yuqoridagi (3) va (4) munosabatlardan
ekanligi kelib chiqadi.
Shunday qilib quyidagi teoremaga kelamiz:
Teorema 1. fazoda {x (n)
}={x
1 (n)
x
2 (n)
… x
m (n)
} ketma -ketlikning a = (a
1 ,
a
2 ,… a
m ) є ga intilishi x (n)
→ a (n→ 0 da ) uchun n da bir yo‘la
22

bo‘lishi zarur va eytarli.
Bu teorema fazoda ketma-ketlikning limitini o‘rganishni sonli ketma-
ketlikning limitini o‘rganishga keltirilishini ifodalaydi. Bayon etilgan teorema
hamda sonlar ketma-ketligining xossalaridan fazoda yaqinlashuvchi ketma-
ketlikning quyidagi xossalari kelib chiqadi.
fazoda {x(n)}ketma-ketlik berilgan bo‘lsin.
1 0
.Agar {x(n)}ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lsa, uning limiti yagonadir.
Agar {x(n)}ketma-ketlikning barcha hadlaridan tuzilgan to‘plam chegaralangan
bo‘lsa, {x(n)}ketma-ketlik chegaralangan ketma-ketlik deyiladi.
Teorema. fazoda {x(n)}ketma-ketlik chegaralangan bo‘lishi uchun uning
koordinatalaridan tuzilgan {x
1 (n)
}, {x
2 (n)
}, …sonlar ketma-ketligining har biri
chegaralangan bo‘lishi zarur va yetarlidur.
2 0
. Agar {x(n)}ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lsa, u chegaralangan bo‘ladi.
Chegaralangan ketma-ketliklar limitga ega bo‘lishi ham bo‘lmasligi ham mo‘mkin
Masalan 1. {(-1) n+1
, (-1) n+1
} ketma-ketlik chegaralangan limitga ega emas .
2. {(,n,n)} ketma-ketlik chegaralanmagan
3 0
. Agar {x (n)
}ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lib, uning limiti a bo‘lsa u holda
{ α x (n)
} ketma-ketlik yaqinlashuvchi va uning limiti α a ga teng bo‘ladi.
4 0
. {x(n)}va {y (n)
} ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo‘lib ularning limiti a va b
bo‘lsa,
{x (n)
±y (n)
} ketma-ketlik yaqinlashuvchi va uning limiti a ± b ga teng bo‘ladi:
23

5 0
. Agar a nuqta M to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsa M dan a ga intiluvchi
{x(n)} ketma-ketlik ajratish mumkin.

XULOSA
Men bu kurs ishini tayyorlashda matematik analiz kursida bir o‘zgaruvchili
funksiyalarni, fazo va ularda aniqlangan funksiyalarni xossalarini o‘rgandim,
matematik analizning asosiy tushunchasi bo‘lgan funksiya tushunchasini
kengaytirdim.
Ushbu kurs ishida fazo va unda ketma-ketliklar nazariyasining asosiy
tushunchalari, xossalari hamda ular bilan bog liq muhim teorema va natijalarʻ
batafsil o rganildi.
ʻ fazo – bu m o lchovli Yevklid fazosi bo lib, u real sonlar ʻ ʻ
maydonining m o lchamdagi karteziya ko‘paytmasidan tashkil topgan.
ʻ Bu fazoda
nuqtalar vektorlar sifatida qaraladi va ular orasidagi masofa Evklid metriga asosan
aniqlanadi. fazo matematik analiz, funksional analiz va boshqa ko plab
ʻ
sohalarda asosiy tushuncha hisoblanadi.
Ketma-ketliklar esa matematik analizda muhim rol o ynaydi. Ayniqsa,
ʻ
ularning limitga ega bo lishi, ya’ni yaqinlashuv xossasi matematik
ʻ
modellashtirishda keng qo‘llaniladi. Bu ishda fazoda aniqlangan ketma-
ketliklarning limitga ega bo lish shartlari, limit mavjud bo lishining zarur va
ʻ ʻ
yetarli shartlari, shuningdek, bu limitning yagona bo lishi isbotlandi. Bundan
ʻ
24

tashqari, ketma-ketliklarning konvergentlik, cheklanganlik va Koshi ketma-
ketliklar tushunchalari ham ko rib chiqildi. Ayniqsa, ʻ fazoda Koshi ketma-
ketliklarning konvergent bo lishi – bu fazoning to liqligi bilan bevosita bog liqdir.
ʻ ʻ ʻ
Bu xossa funksional analizning asosiy ustunlaridan biri sanaladi.
Tadqiqot davomida fazodagi ketma-ketliklar bilan ishlashda vektorlar
ustida amallar bajarish, normani hisoblash, ketma-ketliklar orasidagi bog liqlikni
ʻ
aniqlash kabi amaliy ko‘nikmalar shakllantirildi. Bu jihatlar nafaqat nazariy, balki
amaliy matematikada, masalan, raqamli hisoblashlarda, optimallashtirish
masalalarida, fizika va iqtisodiyotda qo llaniladi. Shu sababli
ʻ fazo va undagi
ketma-ketliklar mavzusi matematik tahlil, kompyuter fanlari, sun’iy intellekt va
boshqa ko‘plab yo‘nalishlarda muhim ahamiyat kasb etadi.
Yakuniy xulosa shuki, fazo va undagi ketma-ketliklar mavzusi chuqur
matematik asosga ega bo lib, bu mavzuni o‘zlashtirish talabani abstrakt
ʻ
tafakkurga, qat’iy mantiqiy fikrlashga, hamda murakkab tizimlarni tushunish va
tahlil qilishga o rgatadi. Mavzu nazariy jihatdan mustahkam bilimlar berish bilan
ʻ
birga, amaliy jihatdan ham muhim rol o ynaydi. Kelgusida bu sohada yanada
ʻ
murakkab strukturalar – metrik fazolar, normali fazolar, Hilbert va Banach fazolari
bilan tanishish uchun poydevor bo‘lib xizmat qiladi.
25

FOYDALANGAN ADABIYOTLAR
1. O’zbekiston Respublikasi Prezidentining 2020-yil 7-maydagi “Matematika
sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy-tadqiqotlarni rivojlantirish chora-
tadbirlari to’g’risida”gi PQ-4708-sonli Qarori.
2. Alimov SH.O. Ashurov R.R. Matematik analiz 1,2,3 q.T. “ Mumtoz so’z”
2018.
3. G. Xudoyberganov, A. K. Vorisov, X. T. Mansurov, B. A. Shoimqulov.
Matematik analizdan ma’ruzalar 1-qism. T: “Voris-nashriyot” 2010 yil
4. B. A. Shoimqulov, T. T. Tuychiyev, D. H. Djumaboyev. Matematik
analizdan mustaqil ishlar. T: “O‘zbekiston faylasuflari milliy jamiyati” 2008
yil.
5. Sadullayev A., Mansurov X.T., Xudoyberganov G., Vorisov A.K., G’ulomov
R. Matematik analiz kursidan misol va masalalar to’plami,1,2,3 q.
T.”O’qituvchi”, 1995,1995,2000.
6. Shokirova X.R Karrali va egri chiziqli integrallar. T.”O’zbekiston”,1990.
26

7. Canuto C., Tabacco A. Mathematical Analysis, II. Springer-Verlag, Italia,
Milan, 2008.
8. Azlarov T.A., Mansurov X.T. Matematik analiz,1,2
q.T.”O’qituvchi”,1994,1995.
Elektron ta’lim resurslari
1. http://vilenin.narod.ru/Mm/Books/
2. http://www.allmath.ru/
3. http://www.pedagog.uz/
4. http://www.ziyonet.uz/
5. http://window.edu.ru/window/
6. http://ilib.mccme.ru/#begin
7. http://kvant.mirror1.mccme.ru/
27

R m fazo va unda ketma-ketlik kurs ishi

Sotib olish