Dokument ma'lumotlari

Narxi 29000UZS
Hajmi 345.8KB
Xaridlar 2
Yuklab olingan sana 30 Oktyabr 2024
Kengaytma docx
Bo'lim Kurs ishlari
Fan Algebra

Sotuvchi

Benjamin Franklin

Ro'yxatga olish sanasi 29 Oktyabr 2024

117 Sotish

Sonli usullar {karrali integrallar}

Sotib olish
O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI MIRZO ULUG‘BEK NOMIDAGI O‘ZBEKISTON MILLIY UNIVERSITETI AMALIY MATEMATIKA VA INTELLEKTUAL TEXNOLOGIYALARI FAKULTETI AMALIY MATEMATIKA YO‘NALISHI SONLI USULLAR FANIDAN KURS ISH MAVZU: Sonli usullar {karrali integrallar} BAJARDI: ________________________ QABUL QILDI: ________________________ Toshkent 2024 Reja: 1. Kirish 2. Asosiy qism: Integrallarni taqribiy hisoblash usullari a. To’rtburchak usuli b. Trapetsiya usuli c. Simpson usuli 3. Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati Aniq integral tushunchasiga olib keluvchi masalalar                 Aniq integral tabiat va texnikaning bir qancha masalalarini yechishd a, xususan har xil geometrik va fizik kattaliklarni hisoblashda keng qo‘llaniladi. Egri chiziqli  trapetsiyaning  yuzasi  masalasi Tekislikda Oxy to‘g‘ri burchakli dekart koordinatalar sistemasi kiritilgan va [a,b], b>a kesmada uzluksiz va manfiy bo‘lmafan y=f(x) ya’ni f(x)≥0 funksiya aniqlangan bo‘lsin. Yuqoridan y=f(x) funksiya grafigining yoyi bilan, quyidan Ox o‘qning [a,b] kesmasi bilan, yon tomonlaridan x=a,0≤y≤ f(a) va x = b , 0 ≤ y ≤ f ( b) to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan aABb figuraga egri chiziqli trapetsiya deyiladi (2-shakl). aABb egri chiziqli trapetsiyaning S yuzasiga ta’rif beramiz. [a,b] kesmani n ta kichik kesmalarga bo‘lamiz: bo‘linishsh nuqtalarining abssissalarini a = x 0 < x 1 < … < x i − 1 < x i < … < x n = b bilan belgilaymiz. {xi}={x0,x1,… ,xn} bo‘lish nuqtalari to‘plamini [a,b] kesmanining bo‘linishi deymiz. xi bo‘linish nuqtalari orqali Oy o‘qqa parallel x = x i to‘g‘ri chiziq o‘tkazamiz. Bu to‘g‘ri chiziqlar aABb trapetsiyani asoslari [xi−1,xi] bo‘lgan n ta bo‘lakka bo‘ladi. aABb trapet-siyaning S yuzasi n ta tasma yuzalarining yig‘indisiga teng bo‘ladi. n yetarlicha katta va barcha [xi−1,xi] kesmalar kichik bo‘lganida har bir n ta tasmaning yuzasini hisoblash oson bo‘lgan mos to‘g‘ri to‘trburchakning yuzasi bilan almashtirish mumkin bo‘ladi. Har bir [xi−1,xi] kesmada biror ξi nuqtani tanlaymiz, f(x) funksiyaning bu nuqtadagi qiymati f ( ξ i ) ni hisoblaymiz va uni to‘g‘ri to‘rtburchakning balandligi deb qabul qilamiz. [xi−1,xi] kesma kichik bo‘lganida f(x) uzluksiz funksiya bu kesmada kichik o‘zgarishga ega bo‘ladi. Shu sababli bu kesmalarda funksiyani o‘zgarmas va taqriban f(ξi) teng deyish mumkin. Bitta tasmaning yuzasi f(ξi)(xi− xi−1) ga teng bo‘lganidan aABb egri chiziqli trapetsiyaning S yuzasi taqriban S n teng bo‘ladi: S ≈ S n = ∑ i = 1n f ( ξ i ) Δ x i Δ x i = x i − x i − 1 (14.1) (14.1) taqribiy qiymat d = max i Δ x i ( i = 1 , n ) kattalik qancha kichik bo‘lsa shuncha aniq bo‘ladi. d kattalikka {xi} bo‘linishning diametri deyiladi. Bunda n→ ∞ da d → 0 Shunday qilib, egri chiziqli trapetsiyning S yuzasi deb, Sn to‘g‘ri to‘rtbur- chaklar yuzasining bo‘linish diametri nolga intilgandagi limitiga aytiladi, ya’ni S = lim d → 0 S n = lim d → 0 ∑ i = 1n f ( ξ i ) Δ x i ( 14.2 ) Demak, egri chiziqli trapetsiyaning yuzasini hisoblash masalasi (14.2) ko‘rinishdagi limitni hisoblashga keltiriladi. Egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi masalasiga qaytamiz. ( 14. 2) tenglikning o‘ng tomoni integral yig‘indidan iborat. U holda S=∫a b f(x)dx formuladan aniq integralning geometrik ma’nosi kelib chiqadi: agar f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi va manfiy bo‘lmasa, u holda [a,b] kesmada f(x) funksiyadan olingan aniq integral y= f(x)≥0,y=0,x= a,x=b,a<b chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzasiga teng. Misol :∫−3 3 √9− x2dxintegralni uning geometrik ma’nosiga tayanib hisoblaymiz. Bunda x ning -3 dan 3 gacha o‘zgarishida tenglamasi y = √ 9 − x 2 bo‘lgan chiziq x2+y2=9 aylananing yuqori bo‘lagidan iborat bo‘ladi. Shu sababli x=-3, x=3, y=0, y= √9− x2 chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya x2+y2=9 doiraning yuqori qismidan tashkil topadi. Uning yuzi S = 9 π 2 ga teng. Demak, ∫ − 33 √ 9 − x 2 dx = 9 π 2 Aniq integralning xossalari 1 0 . Agar integral ostidagi funksiya birga teng bo‘lsa, u holda ∫a b dx =b−a bo‘ladi. 2 0 . Ozgarmas ko‘paytuvchini aniq integral belgisidan tashqariga chiqarish mumkin, ya’ni ∫a b kf (x)dx = k∫a b f(x)dx ,k=const 3 0 . Chekli sоndаgi funktsiyalar algebraik yig‘indisining aniq integrali qo‘shiluvchilar aniq integrallarining algebraik yig‘indisiga teng , ya’ni ∫ ab ( f ( x ) ± φ ( x ) ) dx = ∫ ab f ( x ) dx ± ∫ ab φ ( x ) dx 4 0 . A gаr [a,b] kesmа bir nechа qismgа bo‘lingan bo‘lsa, u hоldа [a,b] kesma bo‘yicha оlingаn аniq integrаl hаr bir qism bo‘yichа оlingаn аniq integrаllаr yig‘indisigа teng bo‘ladi. Masalan, ∫ ab f ( x ) dx = ∫ a c f ( x ) dx + ∫ cb f ( x ) dx c ∈ [ a , b ] 5 0 . Аgаr [a,b] kesmаdа funksiya o‘z ishоrаsini o‘zgаrtirmаsа, u hоldа funksiya аniq integrаlining ishоrаsi funksiya ishоrаsi bilаn bir хil bo‘lаdi, ya’ni: [a,b]da f(x)≥0bo'lganda ∫a b f(x)dx ≥0 [a,b]da f(x)≤0bo'lganda ∫a b f(x)dx ≤06 0 . Аgar [a,b] kesmаdа f(x)≥φ(x) bo‘lsа, u hоldа ∫a b f(x)dx ≥∫a b φ(x)dx bo‘ladi. 7 0 . Аgаr m vа M sоnlаr f(x) funksiyaning [a,b] kesmаdаgi eng kichik vа eng kаttа qiymаtlari bo‘lsа, u hоldа m(b−a)≤∫a b f(x)dx ≤M (b−a) bo‘ladi. Bu хоssа аniq integrаlni bаhоlаsh hаqidаgi teоremа deb yuritiladi. Nyuton-Leybnis formulasi Aniq integralni integral yig‘indining limiti sifatida hisoblash hatto oddiy funksiyalar uchun ham ancha qiyinchiliklar tug‘diradi. Shu sababli aniq integralni hisoblashning (15.3) formulaga asoslangan, amaliy jihatdan qulay bo‘lgan hamda keng qo‘llaniladigan usuli bilan tanishamiz. 2-teorema ( integral hisobning asosiy teoremasi ) . Agar F(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lgan f(x) funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, u holda [a,b] kesmada f(x) funksiyadan olingan aniq integral F(x) funksiyaning integrallash oralig‘idagi orttirmasiga teng bo‘ladi, ya’ni ∫ ab f ( x ) dx = F ( b) − F ( a ) formulaga Nyuton-Leybnis formulasi deyiladi. F(b)-F(a) ayirmani shartli ravishda F(x)¿ab deb yozish kelishilgan. Bu kelishuv natijasida Nuyton-Leybnis formulasi ∫a b f(x)dx = F(x)¿ab ko‘rinishda ifodalanadi. Nyuton - Leybnis formulasini qo‘llashda F(x) boshlang‘ich funksiya berilgan kesmada uzluksiz deb faraz qilinadi (ayrim shartlarda Nyuton - Leybnis formulasi uzilishga ega bo‘lgan funksiyalar uchun ham o‘rinli bo‘lishi mumkin). Biz aniq integralni hisoblashda Nyuton Leybnits formulasi yordamida topiladi. Lekin ba’zi bir funksiyalarni berildan oraliqda boshlang’ich funksiyasini topish bir muncha qiyinchilik tug’diradi. Masalan: ∫ sin x x dx , ∫ sin x 2 dx , ∫ dx ln x … kabi funksiyalarning boshlang’ich funksiyasini hamma vaqt ham elementar funksiyalar orqali ifodalab bo’lmaydi. Shuning uchun biz bu integralllarni hisoblash uchun bir qancha formulalarni ko’rib o’tamiz. Aniq integrallarni hisoblashda qo’llaniladigan ∫ ab p( x ) f ( x ) dx ≅ ∑ k = 1n A k f ( x k ) ( 1 ) taqribiy tenglikni kvadratur formula deb ataladi. Bu erda p ( x ) ≥ 0 bo'lib uni odatda vazn funktsiya, xk va A k (k=1,n) lar mos ravishda kvadratur formulaning tugun nuqtalari hamda koeffitsientlari deyiladi. R n ( f ) = ∫ ab p ( x ) f ( x ) dx − ∑ k = 1n A k f ( x k ) ( 2 ) kvadratur formulaning qoldiq hadi deyiladi. Ta'rif. Agar (1) kvadratur formula m - darajali barcha ko'phadlar uchun aniq bo'lib, f ( x ) = x m + 1 uchun aniq bo'lmasa, u holda uning algebraik aniqlik darajasi m ga teng deyiladi. Faraz qilaylik f(x)= Pn(x)+rn(f,x)(3) bo'lsin. Bu erda Pn(x) - Lagranj interpolyatsion ko'phadi, rn(f,x) esa, uning qoldiq hadi. (3) tenglikni p(x ) ga ko'paytirib, a dan b gacha integrallaylik: ∫a b p(x)f(x)dx =∫a b p(x)Pn(x)dx +∫a b p(x)rn(f,x)dx Agar interpolyatsiyalash etarlicha yaxshi o'tkazilgan bo'lsa, r n( f , x ) x ∈ [ a , b ] uchun kichik miqdordir, undan olingan integralning qiymatini ham kichkina deb, tashlab yuborsak ∫ ab p ( x ) f ( x ) dx ≅ ∑ k = 1n A k f ( x k ) Kvadratur formulaga ega bo’lamiz. Bunda A k = ∫ ab p ( x ) ω n ( x ) ( x − x k ) ω n' ( x k ) dx ( k = 1 , n ) ( 4 ) (4) formulani odatda interpolyatsion kvadratur formula deyiladi. Uning qoldiq hadi Rn(f)= 1 n!∫a b p(x)ωn(x)f(n)(ξ)dx ko’rinishga ega. Bu yerda ω n ( x ) = ( x − x 1 )( x − x 2 ) … ( x − x n ) Agar |f(n)(x)|≤M n bo’lsa, qoldiq had | R n ( f ) | ≤ M n n ! ∫ ab p ( x ) | ω n ( x ) | dx bo'ladi. Aniq integralni taqribiy hisoblashda biz to’g’ri to’rtburchak,parabola (Simpson),trapetsiyalar formulasi kabi usullarni qanday qo’llanilishini va ba’zi bir aniq integrallarni hisoblamasdan natija olish usullarini ham ko’rib o’tamiz. Aniq integralni taqribiy hisoblash usullari. 1) To’g’ri to’rtburchak usuli: Bizga f(x) funksiya [a,b] berilgn va uzluksiz bo’lsin. Endi shu f(x,y) funksiyaning aniq integrali ∫a b f(x)dx ni taqribiy hisoblash formulasini keltiramiz. Hisoblashlarda aniq integralni yuzini ifodalovchi yig’indi limiti deb, ya’ni∫a b f(x)dx = limn→∞∑i=1 n f(ξ)(xi− xi−1) ko’rinishda mulohaza yuritiladi. Endi esa [a,b] kesmani a= x0,x1,x2,… ,xn=b nuqtalar bilan teng n ta bo’lakka bo’lamiz. Har birining uzunligini , h = b − a n , x i = a + ib ( i = 0 , n ) deb olamiz. x= xi bo’lganda f(x) funksiya qiymatlarini y i = f ( x i ) = f ( a + i h ) deb belgilaymiz. ∫a b f(x)dx = limn→∞∑i=1 n f(ξ)(xi− xi−1) o’ng tomonidagi yig’indini ξi= xi−1 yoki xi deb, quyidagi ikkita formulani hosil qilamiz. ∫ ab f ( x ) dx ≈ b − a n [ y 0 + y 1 + … + y n − 1 ] ( 1 ) ∫a b f(x)dx ≈b−a n [y1+y2+… +yn](2) Yuqorida keltirilgan (1) va (2) formulalar aniq integralni hisoblashning to’g’ri to’rtburchak formulasi deyiladi.1-chizmada quydagilar tasvirlangan: agar f(x) musbat va o’suvchi funksiya bo’lsa, u holda (1) formula “ichki” to’g’ri to’rtburchaklardan tuzilgan zinapoyasimon shaklning yuzini tasvirlaydi. (4) formula esa “tashqi” to’g’ri to’rtburchaklardan tuzilgan zinapoyasimon shaklning yuzini tasvirlaydi. Integralni to’g’ri to’rtburchak formulasi bilan hisoblashda qilingan xato n son qancha katta(ya’ni bo’linish qadami h qancha kichik) bo’lib borishi (1) va (2) formulalar aniqroq bo’lib boradi, ya’ni n→ ∞ da h→ ∞ da ular aniq integralning haqiqiy qiymatini beradi. 2) Trapetsiya formulasi. Agar ordinatalar chizig’ining egri chiziq bilan kesishgan nuqtalarini zinapoyali siniq chiziqlar bilan emas, balki ichki chizilgan siniq chiziqlarbolan tutashtirsak, (1) va (2) formulalarga nisbatan xatosi kamroq bo’lgan taqribiy formulani keltirib chiqaramiz: Bu holda egri chiziqli aABb trapetsiyaning yuzi yuqoridan A A 1 , A 1 A 2 , … , A n − 1 B vatarlar bilan chegaralangan to’g’ri chiziqli trapetsiyalar yuzalarining yig’indisiga teng bo’ladi. Natijada trapetsiyalar formulasini hosil qilamiz: ∫a b f(x)dx ≈h[ y0+y1 2 + y1+y2 2 +… + yn−1+yn 2 ]=h[ y0+yn 2 +∑i=1 n−1 yi](3)bunda h= b−a n ,xi= xi−1+h,(i=1,n),x0=a,xn= b (3) ga trapetsiya formulasi deyiladi. 3) Parabolalar (Simpson) formulasi.  a,b  kesmani juft sonda n  2m bo’lakka ajratamiz. [x0,x1] va [x1,x2] kesmalarga mos va berilgan y=f(x) egri chiziq bilanchegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzini M (x0,y0),M 1(x1,y1),M 2(x2,y2) uchta nuqtadan o’tuvchi va o’qi Oy o’qi parallel bo’lgan ikkinchi darajali parabola bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi bilan almashtiramiz. Bunday egri chiziqli trapetsiyani parabolik trapetsiya deb ataymiz. O’qi Oy o’qiga parallel bo’lgan parabolaning tenglamasi y = A x 2 + Bx + C (4) ko’rinishda bo’ladi. A B, va C koeffisentlar parabolaning berilgan uch nuqta orqali o’tishshartidan bir qiymatli ravishda aniqlanadi. Shunday yasalgan parabolik trapetsiyalar yuzalarining yig’indisi integralning taqribiy qiymatini beradi. Lemma . Agar egri chiziqli trapetsiya (4) parabola, Ox o’q va oralig’i 2h ga teng bo’lgan ikkita ordinata bilan chegaralangan bo’lsa, u holda uning yuzi S = h 3 ( y 0 + y 1 + y 2 ) ( 5 ) ga teng, bunday y 0 va y 2 chetdagi ordinatalar y 1 esa egri chiziqning kesma o’rtasidagi ordinatasi. (5) formuladan foydalanib, quydagi taqribiy qiymatlarni yozamiz. ∫ a = x 0x 2 f ( x ) dx ≈ h 3 ( y 0 + 4 y 1 + y 2 ) ∫x2 x4 f(x)dx ≈h 3(y2+4y3+y4) ∫x2(m−1) x2m−b f(x)dx ≈h 3(y2(m−1)+4y2m−1+y2m) Yuqoridagi taqribiy qiymatlarning chap va o’ng tomonlarini qo’shib, chapda izlanayotgan integralni, o’ngda esa unig taqribiy qiymatini hosil qilamiz: ∫a b f(x)dx ≈h 3(y0+4y1+2y2+43+… +2y2(m−1)+4y2m−1+y2m)(6)yoki ∫a b f(x)dx ≈b−a 6m [y0+y2m+2(y2+y4+… +y2m−2)+4(y2+… +y2m−1)] (7) (7) formulaga Simpson formulasi deyiladi. Bu yerda bo’linish nuqtalarining soni 2m ixtiyoriy, lekin bu son qancha katta bo’lsa, (7) tenglik o’ng tomonidagi yig’indi integralning qiymatini shuncha aniq ifodalaydi. Kvadratur formulalarning xususiy hollarini ko’raylik. 1. n = 1 , p ( x ) ≡ 1 bo’lsin. U holda ∫a b f(x)dx ≅(b−a)f( a+b 2 )−o'rta ¿'g'ri¿'rtburchaklar formulasi ; ∫a b f(x)dx = b−a N ∙∑i=0 N f( xi+xi+1 2 ) R0(f)= (b−a)3 24 f''(ξ)−uning qoldiq hadi To'rtburchaklar usulida: f x( ) ln x( )( ) 2 xa 1  b 4  N 20  g x( ) x f x( ) d d 2 ln x( )  x2 ln x( )2 x2    F x( ) x g x( ) d d 2 x3 6 ln x( )  x3  2 ln x( )2  x3    R0 b a  ( )3 24 N 2  max F a( ) F b( )  ( )   R 0 9 1600 5.625 10 3  xatoligi: i 0 20   h b a( ) 20 xi a ih   S s 0  s s f xi xi 1  2         i 0 19   for sh  Taqribiy yechim : S 0.888  Aniq yechim : 1 4 x f x( )    d ln 4( )3 3  0.888  2. n = 2 , p( x ) ≡ 1 ∫a b f(x)dx ≅b− a 2 [f(a)+ f(b)]−trapetsiya formulasi ; ∫a b f(x)dx = b−a 2∙N [f(x0)+2∙∑i=1 N−1 f(xi)+ f(xN)] R1(f)= −(b−a)3 12 f''(ξ)−uning qoldiq hadi . 3. n=3p(x)≡1 ∫a b f(x)dx ≅b− a 6 [f(a)+4 f( a+b 2 )+ f(b)]− Simpson formulasi ;Trapetsiya usulida: f x( ) ln x( )( ) 2 x a 1  b 4  g x( ) x f x( ) d d 2 ln x( )  x2 ln x( )2 x2    F x( ) x g x( ) d d 2 x3 6 ln x( )  x3  2 ln x( )2  x3    R1 b a  ( )3 12 N 2  max F a( ) F b( )  ( )        R 1 9 800 0.011 xatoligi: i 0 N   h b a( ) N xi a ih   S1 s f x0   f xN     s s 2 f xi      i 1 N 1    for s h 2  Aniq yechim: 1 4 x 1 ln x( ) ( ) 2  x     d 0.888  Taqribiy yechim S1 0.888  R 2( f ) = − ( b − a ) 5 90 f IV ( ξ ) − uning qoldiq hadi . Agar [a,b] oraliqni teng N bo’lakka bo’lib, har bir bo’lak uchun trapetsiya formulasini qo’llasak ∫ ab f ( x ) dx ≅ b − a 2 N [ f 0 + 2 ∑ k = 1N − 1 f k + f N ] umumlashgan trapetsiya formulasi hosil bo'ladi. Uning qoldiq hadi esa RN(1)(f)=− (b− a)3 12 N2 f''(ξ) ko'rinishga ega bo'ladi. Umumlashgan Simpson formulasi [a,b] oraliqni 2N ta teng bo'lakka bo'lib, xar bir [x¿¿2i− 2,x2i](i=1,N )¿ bo'lakka Simpson formulasini qo'llab chiqariladi: ∫ ab f ( x ) dx ≅ b − a 6 N [ f 0 + f 2 N + 4 ∑ i = 1N f 2 i − 1 + 2 ∑ i = 1N − 1 f 2 i ] uning qoldiq hadi esa RN(2)(f)= −(b−a)5 2880 N4fIV(ξ) ko'rinishga ega. Simpson usuli: f x( ) ln x( )( ) 2 x a 1  b 4  N 40  g x( ) x f x( ) d d 2 ln x( )  x2 ln x( )2 x2    G x( ) x g x( ) d d 2 x3 6 ln x( )  x3  2 ln x( )2  x3    F x( ) x G x( ) d d 22 ln x( )  x4 12 x4  6 ln x( )2  x4    F1 x( ) x F x( ) d d 70 x5 100 ln x( )  x5  24 ln x( )2  x5    R2 b a  ( )5 2880 N 4  max F1 a( ) F1 b( )  ( )        R 2 189 81920000 2.307 10 6  xatoligi: i 0 2 N   h b a( ) 2 N xi a ih  S2 s f x 0   f x 2 N   s s 4 f x 2 i 1   i 1 Nfor s s 2 f x 2 i   i 1 N 1for s h 3 Aniq yechim: 1 4 x f x( )    d 0.888 Taqribiy yechim S2 0.888  Ikki karrali integralni trapetsiya formulasidan foydalanib topish. ∫ ab f( x ) dx = b − a 2 ∙ N [ f ( x 0 ) + 2 ∙ ∑ i = 1N − 1 f ( x i ) + f ( x N ) ] ∬ f(x,y)dxdy D={c≤x≤d;a≤y≤b}hx= d−c N ;hy= b− a M ∬ f(x,y)dxdy =∫a bhx 2[f(x0,y)+2∙∑i=1 N−1 f(xi,y)+ f(xN,y)]dy =∫a bhx 2 ∙F(y)dy ∫a bhx 2 ∙F(y)dy = hx 2 ∙hy 2 ∙[F(y0)+2∙∑j=1 M−1 F(yj)+F(yM)]= ¿ ¿hx 2 ∙hy 2 ∙[f(x0,y0)+2∙∑i=1 N−1 f(xi,y0)+ f(xN,y0)+¿ + 2 ∙ ∑ j = 1M − 1 [ f ( x 0 , y j ) + 2 ∙ ∑ i = 1N − 1 f ( x i , y j ) + f ( x N , y j )] + ¿ + f(x0,yM)+2∙∑i=1 N−1 f(xi,yM)+f(xN,yM)] Ikki karralli integralni taqribiy hisoblash uchun trapetsiya formulasini keltirib chiqardik. Endi MathCadda yechimni quramiz. N 100  M 100  i 0 N   j 0 M   a 1  b 4  c 2  d 4  hx d c N hy b a M xi c ihx   yj a jhy   f x y ( ) sin atan e2x e2y  2 exy   2                   2 S s f x 0 y 0   f x N y 0   f x 0 y M   f x N y M   s s 2 f x i y 0   f x i y 0     i 1 N 1for s1 f x 0 y j   f x N y j   s1 s1 2 f x i y j  i 1 N 1for s s 2 s1j 1 M 1for s hy 2 hx 2 Aniq yechim a b y c d x f x y ( )    d    d 6  Taqribiy yechim S 6  Bir necha o‘zgaruvchi funksiyalarining integral hisobi Ikki karrali integral Ikki karrali integral. Ikki karrali integralni dekart koordinatalarida hisoblash. Ikki karrali integralda o‘zgaruvchini almashtirish. Ikki karrali integralning tatbiqlari. Oxy tekislikning yopiq D sohasida z=f(x,y) funksiya aniqlangan va uzluksiz bo‘lsin. D sohani ixtiyoriy ravishda umumiy ichki nuqtalarga ega bo‘lmagan va yuzalari ΔSi ga teng bo‘lgan n ta Di(i=1,n) elementar sohalarga bo‘lamiz. Har bir Δ D i sohada ixtiyoriy P(xi,yi) nuqtani tanlaymiz, z=f(x,y) funksiyaning bu nuqtadagi qiymati f(xi,yi) ni hisoblab, uni ΔSi ga ko‘paytiramiz va barcha bunday ko‘paytmalarning yig‘indisini tuzamiz: I n = ∑ i = 1n f ( x i , y i ) Δ S i ( 1.1 ) Bu yig‘indiga f(x,y) funksiyaning D sohadagi integral yig‘indisi deyiladi. Di soha chegaraviy nuqtalari orasidagi masofalarning eng kattasiga shu yuzaning diametri deyiladi va d i bilan belgilanadi, bunda n→ ∞ da di→ ∞ . Agar (1.1) integral yig‘indining max di→ 0 dagi chekli limiti D sohani bo‘laklarga bo‘lish usuliga va bu bo‘laklarda P ( x i ; y i ) nuqtani tanlash usuliga bog‘liq bo‘lmagan holda mavjud bo‘lsa, bu limitga f (x,y) funksiyadan D soha bo‘yicha olingan ikki karrali integral deyiladi va ∬ f(x,y)dS bilan belgilanadi: ∬ f ( x , y ) dS = lim max d i → 0 ∑ i = 1n f ( x i , y i ) Δ S i ( 1.2 ) ∬ f ( x , y ) dS = lim max d i → 0 ∑ i = 1n f ( x i , y i ) Δ x i ∙ Δ y i ( 1.2 ) 1-teorema (funksiya integrallanuvchi bo‘lishining etarli sharti). Agar z=f(x,y) funksiya chegaralangan yopiq D sohada uzluksiz bo‘lsa, u holda u D sohada integrallanuvchi bo‘ladi. Ikki karrali integral quyidagi xossalarga ega. 1.∬ kf (x,y)dS = k∬ f(x,y)dS ,k∈R 2. ∬ ( f ( x , y ) ± g ( x , y ) ) dS = ∬ f ( x , y ) dS ± ∬ g ( x , y ) dS 3. Agar D soha umumiy ichki nuqtaga ega bo‘lmagan chekli sondagi D1,D2,D3,… ,Dn sohalardan tashkil topgan bo‘lsa, u holda ushbu sohalar bo’yicha bo’laklab integrallash mumkin. 4. Agar D sohada f(x,y)≥0(f(x,y)≤0) bo‘lsa, u holda ∬ f ( x , y ) dS ≥ 0 ( ∬ f ( x , y ) dS ≤ 0 ) 5. Agar D sohada f ( x , y ) ≥ g ( x , y ) ( f ( x , y ) ≤ g ( x , y ) ) bo‘lsa, u holda ∬ f ( x , y ) dS ≥ ∬ g ( x , y ) dS ( ∬ f ( x , y ) dS ≤ ∬ g ( x , y ) dS ) 6. Agar D sohada f (x, y)funksiya uzluksiz bo‘lsa, u holda shunday P0(x0,y0)∈D nuqta topiladiki ∬ f ( x , y ) dS = f ( x 0 , y 0 ) S Bunda f ( x 0 , y 0 ) = 1 S ∬ f ( x , y ) dS qiymatga f(x,y) funksiyaning D sohadagi o‘rta qiymati deyiladi. 7. Agar D sohada f (x, y) funksiya uzluksiz bo‘lsa, u holda mS ≤ ∬ f ( x , y ) dS ≤ MS bo‘ladi, bu yerda mva M funksiyaning D sohadagi eng kichik va eng katta qiymatlari. y = φ 1 ( x ) va y = φ 2 ( x ) funksiyalarning grafiklari hamda x=a va x=b to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyadan iborat D soha berilgan bo‘lsin. Agar D sohaning ichki nuqtasidan o‘tuvchi Oy (Ox)o‘qqa parallel har qanday to‘g‘ri chiziq L chegarani ikkita nuqatada kesib o‘tsa va sohaning kirish (CNE) va chiqish (AMB)chegaralarining har biri alohida tenglama bilan berilgan bo‘lsa D sohaga Oy (Ox)o‘q yo‘nalishi bo‘yicha muntazam soha deyiladi. Oy (Ox)o‘q yo‘nalishi bo‘yicha muntazam soha quyidagicha belgilanadi: D={(x,y)∈R2:a≤x≤b,φ1(x)≤y≤φ2(x)} (D={(x,y)∈R2:c≤ y≤d,ψ1(x)≤x≤ψ2(x)}) D={(x,y)∈R2:a≤x≤b,φ1(x)≤y≤φ2(x)} sohada uzluksiz f(x,y) funksiyaning ∬ f ( x , y ) dS ikki karrali integrali ∬ f(x,y)dS =∫a b dx ∫φ1(x) φ2(x) f(x,y)dy (1,4 ) formula bilan topiladi. (1.4) formulada ∫φ1(x) φ2(x) f(x,y)dy ichki integral deb ataladi. Ichki integralda x o‘zgarmas hisoblanadi va integrallash y o‘zgaruvchi bo‘yicha bajariladi. Ichki integralni hisoblash natijasida umuman olganda x ning funksiyasi hosil bo‘ladi. Bu funksiya tashqi integral uchun integral osti funksiyasi bo‘ladi. Tashqi integral x o‘zgaruvchi bo‘yicha a dan b gacha hisoblanadi. Agar D nomuntazam soha bo‘lsa, u bir nechta muntazam sohalarga ajratiladi va bu sohalarning har birida ikki karrali integrallar hisoblanadi va keyin ular qo‘shiladi. D = { ( x , y ) ∈ R 2 : c ≤ y ≤ d , ψ 1 ( x ) ≤ x ≤ ψ 2 ( x ) } integrallash sohasi uchun ∬ f(x,y)dS =∫a b dx ∫ψ1(x) ψ2(x) f(x,y)dy (1,5 ) bo‘ladi. Ikki karrali integralda integrallash tartibini o‘zgartirish mumkin: ∫ ab dx ∫ φ 1 ( x )φ 2 ( x ) f ( x , y ) dy = ∫ ab dx ∫ ψ 1 ( x )ψ 2 ( x ) f ( x , y ) dy z=f (x, y) funksiya chegaralangan yopiq D sohada uzluksiz va x=x(u,v), y=y(u,v) bo‘lsin. Bu bog‘lanishlardan u=u(x,u) va v=v(x, y) o‘zgaruvchilarni yagona usul bilan topish mumkin bo‘lsin. Bunda D sohaning Oxy koordinatalar tekisligidagi har bir P(x; y) nuqtasiga D sohaning O1uv koordinatalar tekisligida biror P(u;v) nuqta mos keladi. Agar x=x(u,v) va y=y(u,v) funksiyalar D sohada uzluksiz birinchi tartibli xususiy hosilalarga ega bo‘lib, shu sohada I= | ∂x ∂u ∂x ∂v ∂y ∂u ∂y ∂v| (1.6 ) bo‘lsa, u holda ikki karrali integral uchun ∬ f ( x , y ) dxdy = ∬ f ( x ( u , v ) , y ( u , v ) ) | I| dudv ( 1.7 ) o‘zgaruvchilarni almashtirish formulasi o‘rinli bo‘ladi. Xususan, qutb koordinatalari o‘zgaruvchini almashtirish formulasi ∬ f(x,y)dxdy =∬ f(rcos φ,rsin φ)rdrdφ (1.7 ) bo‘ladi. Qutb koordinatalar sistemasida integrallash chegaralari qutbning joylashishiga bog‘liq holda aniqlanadi: 1) agar O qutb φ = α va φ = β nurlar orasida joylashgan D sohadan tashqarida yotsa va φ=const tenglamali chiziqlar soha chegarasini ikki nuqtada kesib o‘tsa ∬ f(rcos φ,rsin φ)rdrdφ =∫0 2π dφ ∫r1(φ) r2(φ) f(rcos φ,rsin φ)rdr (1.9 ) 2) agar qutb D integrallash sohasida yotsa va φ=const tenglamali chiziqlar soha chegarasini bitta nuqtada kesib o‘tsa ∬ f ( r cos φ , r sin φ ) rdrdφ = ∫ 02 π dφ ∫ 0r ( φ ) f ( r cos φ , r sin φ ) rd r ( 1.10 ) 3) agar qutb D sohaning chegarasiga tegishli bo‘lib, D soha φ=α va φ= β nurlar orasida yotsa ∬ f ( r cos φ , r sin φ ) rdrdφ = ∫ α β dφ ∫ 0r ( φ ) f ( r cos φ , r sin φ ) rdr ( 1.11 ) Ikki karrali integralning mexanik tatbiqlari Oxy tekislikda sirtiy zichligi γ(x,y) ga teng bo‘lgan bir jinsli D plastinka berilgan bo‘lsin. Bu plastinkaning ba’zi mexanik parametrlari ikki karrali integralning mexanik ma’nosiga ko‘ra quyidagi formulalar bilan aniqlanadi: 1) plastinkaning massasi (ikki karrali integralning mexanik ma’nosi) m=∬ γ(x,y)dxdy (1.15 ) 2) plastinkaning koordinata o‘qlariga nisbatan statik momentlari M x=∬ yγ (x,y)dxdy M y=∬ xγ (x,y)dxdy (1.16 ) 3) plastinka og‘irlik markazining koordinatalari xc= ∬ xγ (x,y)dxdy ∬ γ(x,y)dxdy ;yc=∬ yγ (x,y)dxdy ∬ ρ(x,y)dxdy 4) plastinkaning koordinatalar boshiga va kooordinata o‘qlariga nisbatan inertsiya momentlari I0=∬ (x2+y2)γ(x,y)dxdy ,Ix=∬ y2γ(x,y)dxdy Iy=∬ x2γ(x,y)dxdy (1.18 ) Ikki karrali integralni Simpson usulidan foydalanib topish. ∫ ab f( x ) dx ≅ b − a 6 N [ f 0 + f 2 N + 4 ∑ i = 1N f 2 i − 1 + 2 ∑ i = 1N − 1 f 2 i ] ∬ f ( x , y ) dxdy D = { c ≤ x ≤ d ; a ≤ y ≤ b } h x = d − c 2 ∙ N ; h y = b − a 2 ∙ M ∫ ab h x 3 [ f ( x 0 , y ) + f ( x 2 N , y ) + 4 ∑ i = 1N f ( x 2 i − 1 , y ) + 2 ∑ i = 1N − 1 f ( x 2 i , y ) ] dy = ¿ ¿hx 3 ∙hy 3 ∙[f(x0,y0)+f(x2N,y0)+4∑i=1 N f(x2i−1,y0)+2∑i=1 N−1 f(x2i,y0)+¿ + f ( x 0 , y 2 M ) + f ( x 2 N , y 2 M ) + 4 ∑ i = 1N f ( x 2 i − 1 , y 2 M ) + 2 ∑ i = 1N − 1 f ( x 2 i , y 2 M ) + ¿ + 4 ∙ ∑ j = 1M [ f ( x 0 , y 2 j − 1 ) + f ( x 2 N , y 2 j − 1 ) + 4 ∑ i = 1N f ( x 2 i − 1 , y 2 j − 1 ) + 2 ∑ i = 1N − 1 f ( x 2 i , y 2 j − 1 ) ] + 2 ∙ ∑ j = 1M [ f ( x 0 , y 2 j − 2 ) + f ( x 2 N , y 2 j − 2 ) + 4 ∑ i = 1N f ( x 2 i − 1 , y 2 j − 2 ) + 2 ∑ i = 1N − 1 f ( x 2 i , y 2 j − 2 ) ]] Ikki karralli integralni taqribiy hisoblash uchun Simpson formulasini keltirib chiqardik. Endi MathCadda yechimni quramiz. f x y( ) sin x( ) x a 1  b 4  c 2  d 4  n 200  m 200  N n 2  M m 2  i 0 n   j 0 m   a b y c d x f x y ( )    d    d 0.458  S 0.467  k d c  n  h b a  m  xi c ik   yj a jh  S s f x 0 y 0   f x 2 N y 0   f x 0 y 2 M   f x 2 N y 2 M   s s 4 f x 2 i 1 y 0   f x 2 i 1 y 2 M     i 1 N 1for s s 2 f x 2 i 2 y 0   f x 2 i 2 y 2 M     i 1 Nfor s1 f x 0 y 2 j 1   f x 2 N y 2 j 1   s1 s1 4 f x 2 i 1 y 2 j 1  i 1 Nfor s1 s1 2 f x 2 i 2 y 2 j 1  i 1 Nfor s s 4 s1j 1 M 1for s2 f x 0 y 2 j 2   f x 2 N y 2 j 2   s2 s2 4 f x 2 i 1 y 2 j 2  i 1 N 1for s2 s2 2 f x 2 i 2 y 2 j 2  i 1 Nfor s s 2 s2j 1 M 1for s h 3 k 3 Aniq yechim Taqribiy yechim UCH KARRALI INTEGRAL Uch karrali integral. Uch karrali integralni hisoblash. Uch karrali integralning tatbiqlari Oxyz fazoning yopiq V sohasida ( hajmi V ga teng jismida) t= f(x,y,z) funksiya aniqlangan va uzluksiz bo‘lsin. V sohani ixtiyoriy ravishda umumiy ichki nuqtalarga ega bo‘lmagan va hajmlari Δ V i ga teng bo‘lgan n ta V i ( i = 1 , n ) elementar sohalarga bo‘lamiz. Har bir V i sohada ixtiyoriy P ( x i ; y i ; z i ) nuqtani tanlaymiz, f (x,y,z) funksiyaning bu nuqtadagi qiymati f(xi,yi,zi) ni hisoblab, uni ΔVi ga ko’paytiramiz va barcha bunday ko‘paytmalarning yig‘indisini tuzamiz: In=∑n=1 ∞ f(xi,yi,zi)ΔVi(2.1 ) Bu yig‘indiga f(x,y,z) funksiyaning V sohadagi integral yig‘indisi deyiladi. Vi soha chegaraviy nuqtalari orasidagi masofalarning eng kattasiga shu sohaning diametri deyiladi va di bilan belgilanadi, bunda n→ ∞ da d i → 0 . Agar (2.1) integral yig‘indining max di→ 0 dagi chekli limiti V sohani bo‘laklarga bo‘lish usuliga va bu bo‘laklarda P ( x i ; y i ; z i ) nuqtani tanlash usuliga bog‘liq bo‘lmagan holda mavjud bo‘lsa, bu limitga f(xi,yi,zi) funksiyadan V soha bo‘yicha olingan uch karrali integral deyiladi va ∭ f(x,y,z)dV bilan belgilanadi: ∭ f ( x , y , z ) dV = lim max d i → ∞ ∑ i = 1n f ( x i , y i , z i ) Δ V i ( 2.2 ) 1-teorema (funksiya integrallanuvchi bo‘lishining etarli sharti). Agar t= f(x,y,z) funksiya chegaralangan yopiq V sohada uzluksiz bo‘lsa, u holda u shu sohada integrallanuvchi bo‘ladi. Uch karrali integral ikki karrali integralning barcha xossalariga ega. Uch karrali integralni dekart koordinatalarida hisoblash V integrallash sohasi quyidan z= z1(x,y) sirt bilan, yuqoridan z= z2(x,y) sirt bilan chegaralangan jismdan iborat va Oz o‘q yo‘nalishi bo‘yicha muntazam bo‘lsin, bu yerda z = z 1 ( x , y ) , z = z 2 ( x , y ) -V jismning Oxy tekislikdagi proyeksiyasi D da uzluksiz funksiyalar. Agar D soha x = a , x = b ( a < b ) , y = φ 1 ( x ) va y = φ 2 ( x ) ( φ 1 ( x ) ≤ φ 2 ( x ) ) chiziqlar bilan ( bunda φ 1 ( x ) , φ2(x) -[a;b] kesmada uzluksiz funksiyalar) chegaralangan egri chiziqli trapetsiya bo‘lsa ∭ f(x,y,z)dxdydz =∫a b dx ∫φ1(x) φ2(x) dy ∫z1(x,y) z2(x,y) f(x,y,z)dz (2.4 ) bo‘ladi. Uch karrali integralni silindrik koordinatalarida hisoblash r,φ,z sonlar uchligiga Oxyz fazo M(x;y;z) nuqtasining silindrik koordinatalari deyiladi, bu yerda r-M nuqtaning Oxy tekislikka proeksiyasi radius vektorining uzunligi, φ−¿ bu radius vektorning Ox o’q bilan tashkil qilgan burchagi, z –M nuqtaning applikatasi. Silindrik koordinatalar dekart koordinatalari bilan x=rcos φ,y=rsin φ,z= z bog‘lanishga ega, bu yerda 0≤φ≤2π,0≤r≤+∞ ,− ∞<z<+∞ . Uch karrali integral silindrik koordinatalarida ∭ f ( x , y , z ) dxdydz = ∭ f ( r cos φ , r sin φ , z ) rdφdrdz ( 2.7 ) o‘zgaruvchilarni almashtirish formulasi orqali hisoblanadi. Uch karrali integralni sferik koordinatalarida hisoblash r,φ,θ sonlar uchligiga Oxyz fazo M(x;y;z) nuqtasining sferik koordinatalari deyiladi, bu yerda r-M nuqta radius vektorining uzunligi, φ−⃗OM radius vektorning Oxy tekislikka proeksiyasining Ox oq bilan tashkil qilgan burchagi, ⃗OM radius vektorning Oz o‘qdan og‘ish burchagi. Sferik koordinatalar dekart koordinatalari bilan x=rcos φsin θ,y= rsin φsin θz=rcos θ bog‘lanishga ega, bu yerda 0≤φ≤2π,0≤r≤+∞ ,0<θ<π . Uch karrali integral sferik koordinatalarida ∭ f ( x , y , z ) dxdydz = ∭ f ( r cos φ sin θ , r sin φ sin θ , ) r cos θ r 2 dφdrdz o‘zgaruvchilarni almashtirish formulasi bilan hisoblanadi. V jismning hajmi V=∭ dxdydz integral bilan topiladi (uch karrali integralning geometrik ma’nosi). Zichligi γ ( x , y , z ) ga teng bo‘lgan V jismning ba’zi mexanik parametrlari uch karrali integral yordamida quyidagi formulalar bilan hisoblanadi: 1) jismning massasi (uch karrali integralning mexanik ma’nosi): m = ∭ γ ( x , y , z ) dxdydz 2) jismning Oyz, Oxz va Oxy tekisliklarga nisbatan statik momentlari: M yz=∭ xγ (x,y,z)dxdydz M xz=∭ xγ (x,y,z)dxdydz M xy=∭ xγ (x,y,z)dxdydz 3) jism og‘irlik markazining koordinatalari: xc= ∭ xγ (x,y,z)dxdydz ∭ γ(x,y,z)dxdydz ;yc= ∭ yγ (x,y,z)dxdydz ∭ γ(x,y,z)dxdydz ; z c = ∭ zγ ( x , y , z ) dxdydz ∭ γ ( x , y , z ) dxdydz ; 4) jismning koordinatalar boshiga,Ox,Oy,Oz o‘qlarga va Oyz, Oxz, Oxy tekisliklarga nisbatan inersiya momentlari I 0 = ∭( x 2 + y 2 + z 2 ) γ ( x , y , z ) dxdydz I x = ∭ ( y 2 + z 2 ) γ ( x , y , z ) dxdydz I y = ∭ ( x 2 + z 2 ) γ ( x , y , z ) dxdydz I z = ∭ ( x 2 + y 2 ) γ ( x , y , z ) dxdydz Ixy=∭ z2γ(x,y,z)dxdydz Iyz=∭ x2γ(x,y,z)dxdydz , I xz = ∭ y 2 γ ( x , y , z ) dxdydz Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati 1. , Mahmudov A.A, Baxramov S.B « Hisoblash usullari» fanidan o’quv-uslubiy. Toshkent 2008 2. Ismatullaev G'.P., Jo'raev G'.U. “Hisoblash usullaridan metodik qo'llanma” Toshkent 2007 3. N.N. Kalitkin , “Chislennniye metodi” . , О ‘q.q о ‘l . , M., Nauka ., 1978 . 4. M.I. Isroilov ., “Hisoblash metodlari” ., Toshkent . , O´qituvchi , 1988 . 5. A.A. Samarskiy , A.V. Gulin , “Chislenniye metodi” . О‘q. qо‘llanma, M . , Nauka , 1989.

Reja:

  1. Kirish 
  2. Asosiy qism: Integrallarni taqribiy hisoblash usullari
  3. To’rtburchak usuli
  4. Trapetsiya usuli
  5. Simpson usuli
  6. Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati
Sotib olish