Ro'yxatga olish sanasi 29 Oktyabr 2024
103 SotishSplayn funksiyalar yordamida kvadratur formula qurish
![Funksiyalarni interpolyasiyalash masalasi.
Hisoblash matematikasini aksariyat hisoblash metodlari masalaning
qo yilishida qatnashadigan funkyiyalarni unga biror,muayyan ma'noda yaqin va ʻ
ko rinishi soddaroq bo lgan funksiyalarga almashtirish g oyasiga
ʻ ʻ ʻ
asoslangan.Funksiyalarni yaqinlashtirish masalasining eng sodda va juda keng
qo llaniladigan qismi funksiyalarni interpolyasiyalash
ʻ
masalasidir.Interpolyasiyalash masalasining asosiy mohiyati quyidagidan
iborat.Faraz qilaylik,biror [a,b] oraliqda y=f(x) funksiya berilgan yoki hech
bo lmaganda uning
ʻ f ( x
0 ) , f ( x
1 ) , … , f ( x
n )
qiymatlari ma'lum bo lsin, shu [a,b] ʻ
oraliqda aniqlangan va hisoblash uchun qulay bo lgan qandaydir funksiyalar
ʻ
{p(x)} sinfini , masalan ko pxadlar sinfini olamiz.Berilgan y=f(x) funksiyani [a,b]
ʻ
oraliqda interpolyasiyalash masalasi, shu funksiyani berilgan sinfning shunday
p(x) bilan taqribiy ravishda
f ( x ) ≈ p ( x )
almashtirishdan iboratki,bunda
x0,x1,… ,xn nuqtalar interpolyasiya tugunlari yoki
shunchaki tugun nuqtalar ham deyishadi. p(x) funksiya esa, interpolyasiyalovchi
funksiya deyiladi.Agar p(x) funksiya sifatida darajali ko pxadlar sinfi olinsa , u
ʻ
holda interpolyasiyalash algebraik deyiladi.Algebraik interpolyasiyalash apparati
hisoblash matematikasining juda ko p sohalarida qo llaniladi,chunonchi,
ʻ ʻ
differensiallash va integrallashda transendent, differensial va integral tenglamalarni
taqribiy echishlarda ko p qo llaniladi.
ʻ ʻ
Interpolyasion ko phadlarning mavjudligi va yagonaligi.Bu mavzuni
ʻ
algebraik interpolyasiyalash masalasi yuzasidan ko rib chiqamiz.
ʻ
Interpolyasiyalash masalaning qo yilishi quyidagicha:
ʻ Darajasi n dan yuqori
bo lmagan shunday ko phad qurilsinki, u berilgan (n+1) ta
ʻ ʻ x0,x1,… ,xn tugun
nuqtalarda berilgan f(x) funksiyaning
f(x0),f(x1),… ,f(xn) qiymatlarni qabul
qilsin.Bu masalani geometrik nuqtai nazardan quyidagicha talqin qilish mumkin.](https://docx.uz/documents/98ae1015-513d-46ce-acc1-b2e52f07c43f/page_4.png?v=1)
![Darajasi n dan oshmaydigan shunday p(x) ko phad qurilsinki uning grafigiʻ
berilgan (n+1) ta M
K
( x
k , f ( x
k )) ¿
nuqtalardan o tsin. ʻ
Demak shunday
p(x)=C0+C1x+C2x2+… +Cnxn(3)
Ko phad qurish talab qilinsin. Bu erda
ʻ C0,C1,C2,… ,Cn nomalum koeffisentlar. Bu
koeffisentlarni
Cm(m=0,n) shunday aniqlash kerakki, ko phad uchun ushbu ʻ
p
( x
k ) = f ( x
k ) , k = 0 , n ( 4 )
tengliklar bajarilsin.(3) dan
C0+C1x+C2x2+… +Cnxn= p(xk)(5)
(4) asosan (5) dagi o rniga ni qo yamiz.u xolda (5) quyidagi ko rinishni
ʻ ʻ ʻ
oladi.
C
0 + C
1 x
k + C
2 x
k2
+ … + C
n x
kn
= f
( x
k ) k = 0 , n ( 6 )
(6) ni k ning xar bir qiymati uchun ochib yozsak
Cm(m=0,n) larga nisbatan (n+1)
noma'lumli (n+1) ta algebraik tenglamalar sistemasi hosil bo ladi:
ʻ
{
C0+C1x0+C2x02+… +Cnx0n= f(x0)
C0+C1x1+C2x12+… +Cnx1n= f(x1)
… … … … … … … … … … … … … … … … … …
C0+C1xn+C2xn2+… +Cnxnn= f(xn)
Funksiyalarni interpolyatsiyalashda bo‘lingan ayirmalar va ularning xossalari.
Tengmas oraliqlar uchun Nyutonning interpolyatsion formulasi.
Bizga [a,b] da aniqlangan f(x) funksiyaning [a,b] ga tegishli turli
{ x
k }
k = 0n
nuqtalarda
qiymati ma’lum bo’lsin.
Quyidagicha aniqlangan
f
( x
i , x
i + 1 ) = f ( x
i + 1 ) − f ( x
i )
x
i + 1 − x
i , i = 0,1 , … , n − 1](https://docx.uz/documents/98ae1015-513d-46ce-acc1-b2e52f07c43f/page_5.png?v=1)
![Quyidagicha aniqlanganfk+1− fk= Δ fk,k=0,1 ,… ,n−1
miqdorlar birinchi tartiblli chekli ayirmalar deyiladi. Xuddi shuningdek, yuqori
tartibli chekli ayirmalar aniqlanadi:
Δ m
f
k = Δ
( Δ m − 1
f
k ) = Δ m − 1
f
k + 1 − Δ m − 1
f
k , k = 0,1 , … , n − m + 1
Ayirmalar nisbati bilan chekli ayirmalar orasida quyidagi bog’lanish mavjuddir:
f(xk,xk+1,… ,xk+m)= Δmfk
m!hm,(7)
bu yerda
h= xk+1− xk,k=0,1 ,..,n−1.
Splayn funksiya haqida tushuncha.
Interpolyatsion kubik splaynlar interpolyatsiyalanayotgan ob’ektga yaxshi
yaqinlashadi va qurilish sodda ko’rinishda bo’ladi. Qurilayotgan splayn darajasi
tugun nuqtalarga bog’liq emas. Qurilayotgan splayn funksiya [a,b] oraliqda](https://docx.uz/documents/98ae1015-513d-46ce-acc1-b2e52f07c43f/page_9.png?v=1)
![emas, balki [x
i ,x
i+1 ] (i=0, n-1) oraliqlarda quriladi va bu splayn funksiya har bir
oraliqlarda bir xil strukturali ko’phadlardan iborat bo’ladi.
Ulanish tugun nuqtalarida funksiya va uning hisoblarining ham uzluksizligi
talab qilinadi. Shuning uchun [x
i ,x
i+1 ] (i=0, n-1) barcha oraliqlarda qurilgan
splayn funksiyalar ulanib butun [a,b] oraliqda silliq bir funksiyani beradi.
Klassik interpolyatsiyalashda esa butun bir [a,b] oraliqda 1 ta funksiya qurilar
edi. Shuning uchun ham klassik interpolyatsiyalashga nisbatan splayn funksiyalar
yordamida qaralgan interpolyatsiyalash masalasining silliqlik darajasi yuqori va
qurilishi jihatidan ham sodda bo’ladi. (i=0, n-1) [x
i ,x
i+1 ] oraliqlarda qurilgan silliq
bo’lakli kophadli funksiyalarga splayn funksiyalar deyiladi.
Hisoblash matematikasining yaqinlashish nazariyasida splayn funksiyalar
qo’llanilishi 1946 – yil Shonberg tomonidan “Splayn” so’zi fanga kritilgandan
boshlangan bo’lib, 50-yillardan keyin juda tez rivojlangan.
Funksiyalarni interpolyatsiyalash masalasida klassik polinomlar orqali
interpolyatsiyalash masalsiga yaxshi ekanligini ko’rsatadi.
Polinomial interpolyatsion splayn funksiya o’zining:
1. Interpolyatsiya ob’ektiga yaxshi yaqinlashuvchanligi;
2. Qurilishi sodda va EHM algaritmini tuzish juda soddaligi bilan ajralib turadi.
Shuning uchun interpolyatsiyalash masalasida splayn funksiyalarni qo’llanilishi
hisoblash matematikas fanida dolzarb basalalar hisoblanadi.
Splayn funksiyalar kvadratur yordamida qurilgan kvadratur formulalaning
xatoligininng bahosi ham klassik interpolyatsion kvadratur formulalarning
xatoligining baholaridan ancha kichik bo’ladi.
2.Kvadratur formula haqida tushuncha.
Asosan fanning ko’p sohalarida xususan matematika, fizika, meexanika fanida
regulyar integrallarni taqribiy hisoblashda kvadratur formulalar asosiy ro’l
o’ynaydi.
Klassik kvadratur formulalarga Veyershtrass, Chebishev, Lagranj, Nyuton va
boshqa kvadratur formulalar kiradi.](https://docx.uz/documents/98ae1015-513d-46ce-acc1-b2e52f07c43f/page_10.png?v=1)
![Splayn funksiya yordamida qurilgan kvadratur formulalar fanda yaqinlashuvchi
ob’yektga yaxshi yaqinlashishini ko’rsatadi.
Shuning uchun splayn funksiyalar yordamida kvadratur formulalar qurish va bu
formulalar yordamida integrallarni taqribiy hisoblash masalalari, hamda ularning
xatoliklarini baholash hisoblash matematikasida dolzarb masalalar hisbolanadi.
Amaliy va nazariy masalalarda ko’pincha integrallarni taqribiy hisoblash
zaruriyati tug’iladi. Bir o’zgaruvchili funksiyalar uchun aniq integral ∫a
b
f(x)dx
ning qiymati, f(x) funksiyaning [a,b] oraliqdan chekli sonda olingan nuqtalardagi
qiymatlarining chiziqligi kombinatsiyasi bilan
almashtiriladi:
∫
ab
f
( x ) dx ≅
∑
k − 1n
A
k f ( x
k )
bu yerda (k= 1 , n ¿
kvadratur formulaning tugun nuqtalari, A
k kvadratur
formulaning koeffitsentlari va quyidagi yig’indi
∑
k − 1n
A
k f ( x
k )
kvadratur yig’indi
deyiladi.
Ushbu
RN(f)=∫a
b
f(x)dx −∑k−1
n
Akf(xk) ifoda kvadratur formulaning xatoligi
deyiladi.
3.Interpolyatsion kubik splayn yordamida qurilgan kvadratur formulaning
xatoligini baholash.
Bizga quyida interpolyatsion kubik splayn berilgan:
S3(f;x)=∑j=0
3
φj+1(t)f(xi+j−1)
Bu yig’indini ochib yozsak
S3(f;x)=φ1(t)f(xj−1)+φ2(t)f(xi)+φ3(t)f(xi+1)+φ4(t)f(xi+2)
bu yerda
φ
1
( t) = − 1
2 t + t 2
− 1
2 t 3
; φ
2 ( t) = 1 − 5
2 t 2
+ 3
2 t 3
; ( 1 )
φ
3
( t) = 1
2 t + 2 t 2
− 3
2 t 3
; φ
4 ( t) = − 1
2 t 2
+ 1
2 t 3
;
t= x− xi
h t∈[0,1 ]h= xi+1− xi;](https://docx.uz/documents/98ae1015-513d-46ce-acc1-b2e52f07c43f/page_11.png?v=1)
![(1) Interpolyatsion kubik splayn berilgan. Bu interpolyatsion kubik yordamida
qurilgan quyidagi:
∫
ab
f( x ) dx ≈ h
∑
K = 1N − 1
f ( x
k ¿ ) + h
24 ¿ ¿ ¿
Kvadratur formula berilgan bo’lib, bu kvadratur formulaning xatoligi quyidagicha:
RN(f)=∫a
b
f(x)dx −¿
bo’ladi.
2) Kvadratur formulani xatoligini baholashda foydalanadigan quyidagi
ma’lumotlarni kiritamiz: C[a,b] ∥ f
( x ) ∥
c [ a , b ] ¿
x ∈ [ a , b ] max | f ( x ) |
normaga ega bo’lgan barcha uzluksiz funksiyalar sinfi. C k
[a,b] - k-chi tartibli
hosilasigacha uzluksiz funksiyalar sinfi.
a= x0<x1<⋯<xN=b setkada f(x) funksiyani
[x
i , x
i+1 ] kesmada tebranish oralig’I quyidagicha xarakterlanadi:
ωi(f)¿x'x} left [{x} rsub {i ,} {x} rsub {i+1} right ] } left lline f(x∈ ¿−f(x')¿¿
Funksiya tebranishining eng katta oralig’ini topishm quyidagicha topiladi :
ω
( f ) = ω
i ( f )
0 ≤ i ≤ N − 1max
− ¿ setkaga bog’liq bo’lmagan f(x) funksiya tebranishining
uzluksiz moduli hisoblanadi va quyidagicha ifodalanadi:
ω ( f ; h ) ¿
x '
x } left [a,b right ] # left lline {x} ^ {
∈
− x '
¿ ¿ ≤ h ¿ ¿ max ¿
h
≤ b − a ( 4 )
Barcha uzlusiz funksiyalar uchun quyidagi o’rta qiymat haqidagi munosabat
o’rinli: C[a,b], α
1, α
2, ... α
n – miqdordagi bir xil ishorali bo’lsa, u holda: C K
[a,b] –
sinfga tegishli funksiya uchun Logranj ko’rinishidagi qoldiq hadli quyidagi Teylor
formulasi o’rinli:
f(x)e C[a, b] , a\ , a
2….. a
k – miqdorlar bir xil ishorali bo’lsa, ya’ni berilgan oraliqda
o’z ishorasini aniqlaydigan bo’lsa, u xolda:
a
1 f(x
1 )+ a
2 f (x
2 )+ …+ + a
k (x
K )= (a
1+ a
2 + … + a
k) f(ζ) (5)
C k
[a, b] sinfga tegishli f (x) funksiya uchun Logranj ko’rinishidagi qoldiq hadli
quyidagi Teylor formulasi o’rili:](https://docx.uz/documents/98ae1015-513d-46ce-acc1-b2e52f07c43f/page_12.png?v=1)
![f(x)= f(a)(x−a)
1! +… ϵ+ f(k−1)(a)(x−a)k−1
(K−1)! + fk(ξ)(x−a)k
K ! ξЄ [a,X ] (6)
Splayn funksiyalarni xatoliklarini baholashda, kvadratur formulalarni xatoliklarini
baholashlarda, integrallarni xisoblashlarda, xatoliklari baholanayotgan oraliqlarda,
funksiya qiymatlarini argument qiymatlariga orqali ifodalanishlari xatoliklarni
baholashda juda ko’p foydalaniladi.
Shu nuqtai nazardan quyidagi funksiyalar sinfni kiritamiz:
x’,x’’Є[a,b] bo’lib ,
|
f ( x ' )
− f ( x ' ' )|
= L | x '
− x ' ' | a
, (7) 0 < a ≤ 1
shartni qanoatlantiruvchi funksiyalar sinfi Gyolder sinfi deyiladi va H a
( [ a , b ] , k )
ko’rinishida belgilanadi.
Lipshits sharti
Agar Gyolder sinfidagi berilgan shartdagi
a=1 bo’lsa Gyolder sinfining kattaroq
xususiy holi xosil bo’ladi va Lipshits sharti deyiladi.
x '
, x ' '
∈ ¿ ] bo’lib,
|
f ( x ' )
− f ( x ' ' )|
= h | x '
− x ' ' |
( 8 )
Bu yerda L – Lipshits shartining koeficienti deyiladi.
C m
H
[ a , b ] , x ∈ [ a , b ] - bo’lib, bu oraliqda f ( x )
funksiya va uning t -chi tartibli
hosilalarigacha Lipshits shartini qanoatlantiruvchi funksiyalar sinfi, ya’ni
C m
H
[ a , b ] = { f ( x ) : f ( m)(
x ) ∈ H ([ a , b ] , L
m ) }
C m
H a
[
a , b ] = { f ( x ) : f ( m)(
x ) ∈ H a ([
a , b ] , L
m ) }
t -chi tartibli hosilalargacha uzluksiz bo’lib, Gyolder sinfiga tegishli bo’lgan
(Gyolder shartini qanoatlantiruvchi) funkciyalar sinfi.
(2) kvadratur formulalarning xatoligini baholashda u kvadratur
formulalarning qurilishida asosiy vosita bo’lganligi uchun uning xatoligini
baholashda ham kvadratur formulalarning qurilishida foydalanilgan interpolyacion
kubik splayning uzliksiz funksiyalardagi xatoligini qiymatlaridan foydalanamiz,](https://docx.uz/documents/98ae1015-513d-46ce-acc1-b2e52f07c43f/page_13.png?v=1)
![shuning uchun interpolyasion kubik splaynning quyidagi baholarini teorema
shaklida beramiz.
Teorema 1: (1) interpolyasion kubik splayn uchun quyidagi RN(x',f;x)
Baho o’rinli: R
N
( f : x ) = max
a ≤ x ≤ b ∨ S
3 ( x ) − f ( x ) ∨ ≤ R
0
Funksiyaga tegishli bo’lgan sinflar.
R0
C [ a
1 , b
1 ] 9
8 ω ( f ; 3 h )
Bu yerda a
1 = a − h ; b
1 = b + h ;
bo’lib R
0 qiymatlari quyidagi 1-jadvalda berilgan.
1-jadval
(2) kvadratur formulalarning xatoligini baholashni quyidagi teorema shaklida
bayon qilamiz.
Teorema 2: (2) kvadratur formula uchun quyidagi baho o’rinli ¿ R
N ( f
x ) ≤ R
N bu
yerda
RN(f,x) (3) formula orqali bayon qilingan.
RN
ning qiymatlari esa quyidagi 2-jadvalda berilgan.
Funksiyaga tegishli bo’lgan sinflar R
CH ¿
3,375 ¿
2-teoremaning
Isbot i – f
( x ) ∈ H [ a , b ] , CH [ a , b ]
sinfda baholaymiz, bu degani Lipshits shartini
qanoatlantiruvchi uzliksiz funkciyalar sinfi.
С[a,b] da S
3 ( f ; x )
splayn funkciyaning
bahosidan foydalaniladi.
Ck[a,b]da max
x',x''∈[a,b]❑
∨ fk(x')− fk(x'')=ω(fk;h)
(9)
CkH [a,b]da esa max
x',x''∈[a,b]❑
|fk(x')− fk(x'')= Lk|x;− x''∨¿Lk3h (10)
ga almashtiriladi. Splayn funkciyani xatoligini baholashda
x',x''∈[xi,x+1],i= 0,n−1 )](https://docx.uz/documents/98ae1015-513d-46ce-acc1-b2e52f07c43f/page_14.png?v=1)
![ga tegishli.
x '
, x ' '
tugun nuqtalarda berilgan funkciya qiymatlari orasidagi
¿ f k( x ')
− f k ( x ' ')
∨ ¿ ayirmaning eng katta qiymati bilan baholanadi.Baholashda [ x
i , x
i + 1 ]
oraliqda splaynlarni qurilishida 4 ta tugun nuqta qatnashadi va bu tugun nuqtalar
orasidagi masofa eng ko’pi bilan 3 h
ga teng bo’ladi, ya’ni
(2)kvadratur formulalarning xatoligini baholashda esa x '
, x ' '
∈
[ x
i , x
i + 1 ] i = 0 , n − 1
oraliqlardagi tegishli bo’lgan
x',x'' tugun nuqtalardagi funkciya qiymatlari
|fk(x')− fk(x'')|¿
x
i + 1 ¿
oraliqda splayn qurilishida qatnashgan tugun nuqtalar
orasidagi masofaning maksimum kiymati orkali baxolanadi, ya’ni Liphits shartidan
foydalangan xolda baxolanadi.
max x∈[a,b]max ¿ =L
m ¿ (11)
Bu yerda
x',x''∈[xi,xi+1] i = 0 , n − 1
oraliqlar oraliklar splainning uzini va
xosilalarini uzluksizliti bajarilgan xolda kurilgani uchun bu n ta kichik [x
i ,x
i+1 ]
oraliqchalar silliq ulanib butun [a,b] oraliqda uzluksiz
S3(x) spalayn funksiyani
beradi va bus plain funksiya [a,b] oraliqda
f(x) funkciyani yuqori aniqlikda
interpolyatsiyalaydi. Natijada bu splayn yordamida qurilgan kvadratur
formulasining xatoligi ham unga katta bo’lmaydi.
Isboti.
f
( x ) ∈ CH [ a , b ] R
N = |
∫
ab
S
3 ( x ) dx −
∫
ab
f ( x ) dx | = ¿ Endi modul ichidagi ayirmani yozib
olamiz va yig’indini ochib chiqib oralig’ida ishorasini o’zgartirmaydigan
oraliqlarni aniqlab,o’rta qiymat xaqidagi teoremani qullab ma’lum bir
soddalashtirish ishlari bajariladi.
∑
j = 03
φ
j + 1
( t) f ( x
i + j − 1 ) − f ( x ) = φ
1 ( t)( f
i − 1 ) + φ
2 ( t)( f
i ) + φ
3 ( t)( f
i + 1 ) + φ
4 ( t)( f
i + 2 ) − f ( x ) = ¿](https://docx.uz/documents/98ae1015-513d-46ce-acc1-b2e52f07c43f/page_15.png?v=1)
![=( − 1
2 t + t 2
− 1
2 t 3 )(
f
i − 1 ) + ¿
( 1 − 5
2 t 2
+ 3
2 t 3
¿ ( f
i ) + ¿
) (fi+1)+¿
+( − 1
2 t 2
+ 1
2 t 3
¿
( f
i + 2 )
Bo’lib bu yerda ko’rinib turibdiki
φ2(t) va φ3(t) funksiyalar [0:1] oraliqda
φ
2
( t) ≥ 0 φ
3 ( t) ≥ 0
bo’lib o’z ishorasini o’zgartirmaydi. Huddi shu kabi φ1(t) φ4(t)
funksiyalar ham [0;1] oraliqda o’z ishorasini saqlar ekan φ
2
( t) ≤ 0 ; φ
4 ( t ) ≤ 0
. U holda
bir xil ishorali funksiyalar uchun o’rta qiymat haqidagi teorema
∑
j = 03
φ
j + 1
( t) f ( x
i + j − 1 ) − f ( x ) = φ
1 ( t) f ( x
j − 1 ) + φ
2 ( t) f ( x
i ) + φ
3 ( t) f ( x
i + 1 ) + φ
4 ( t) f ( x
i + 2 ) = ¿
¿[φ2(t)+φ3(t)]f(ξ1)−(1−φ1(t)− φ4(t))f(ξ2)=¿
( 1 − 5
2 t 2
+ 3
2 t 3
+ 1
2 t + 2 t 2
− 3
2 t 3
¿ f
( ξ
1 ) − ¿
−
( 1 − 1
2 t + t 2
− 1
2 t 3
+ 1
2 t 2
+ 1
2 t 3 )
f ( ξ
2 ) = ( 1 + 1
2 t − 1
2 t 2 )
f ( ξ
1 ) + ¿
(
1 + 1
2 t − 1
2 t 2
¿ f
( ξ
2 ) ¿ = ( 1 + 1
2 t − 1
2 t 2 )
( f ( ξ
1 ) − f ( ξ
2 ) )
Bu ifodani 12 ga qo’yib
R
N =
∫
ab
|
∑
j = 03
φ
j + 1 ( t) f ( x
i + j − 1 ) − f ( x )| dx =
∫
ab |(
1 + 1
2 t − 1
2 t 2 )
( f ( ξ
1 ) − f ( ξ
2 ) )| dx Bu yerda 1 + 1
2 t − 1
2 t 2
1) funksiyani [0;1] oraliqdagi maksimum qiymati bilan almashtiriladi.
(
1 + 1
2 t − 1
2 t 2 )
= 9
8
t ∈ [ 0,1 ]max
ga teng.
Haqiqatdan g '
(
t) = ( 1 + 1
2 t − 1
2 t 2 ) '
= 1
2 − t
bo’lib
g '
(
t) = 0 = ¿ 1
2 − t = 0 = ¿ t = 1
2 maxsus nuqtada
g ( t ) funksiya
maksimum qiymatga erishadi.](https://docx.uz/documents/98ae1015-513d-46ce-acc1-b2e52f07c43f/page_16.png?v=1)
![g( 1
2 ) = 1 + 1
2 ∙ 1
2 − 1
2 ∙ ¿
2) integral ostidagi f ( ξ
1 ) − f ( ξ
2 ) funksiya qiymatlari orasidagi
ayirmani uning argument qiymatlari ayirmasi orqali ifodalab integral belgisidan
tashqariga chiqarib (2) kvadratur formulaning xatoligini baxolaymiz.
RN=∫a
b
¿(1− 1
2t− 1
2t2
)(f(ξ1)− f(ξ2))∨ dx =¿
¿9
8∫a
b
¿(f(ξ1)− f(ξ2))∨ dx = 9
2∫ L0|ξ1− ξ2|dx = 9
8L0|ξ1−ξ2|∫a
b
dx = ¿ ξ
1 , ξ
2 ∈ [ x
i − 2 , x
i + 2 ]
¿ 9
8 L
0 3 h
( b − a ) = 3,375 b − a
N ( b − a ) L
0 = 3,375 ( b − a ) 2
N − 1
L
0
Bu yerda
|f(ξ1)− f(ξ2)|= L0|ξ1−ξ2| ga almashtirdik.
h = b − a
N ,
| ξ
1 − ξ
2 | = 3 h
ga teng.
max ξ1.ξ1∈[xi−1xi+2]|ξ1−ξ2|=3h.
Shuning bilan interpolyatsion kvadratur formulaning uzluksiz funksiyalar
sinfidagi bahosini ko’rsatish
Interpolyatsion kubik splayn funktsiyani xatoligini baholashda foydalaniladigan
ayrim ma lumotlar xaqida.
ʼ
Interpolyatsion kubik splayn funktsiyani xatoligini baholashda foydalanilgan
quyidagi ma ь lumotlarni kiritamiz:
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
d=a11*a22*a33+a31*a12*a23+a13*a21*a32-
(a31*a22*a13+a21*a12*a33+a32*a23*a11)
C ∈
[ a ; b ] :‖ f ( x )‖
C ∈ [ a ; b ] = max
0 ≤ x ≤ 1 | f ( x ) |
normaga ega bo lgan barcha uzluksiz funktsiyalar sinfi.
ʼ](https://docx.uz/documents/98ae1015-513d-46ce-acc1-b2e52f07c43f/page_17.png?v=1)
![Ck[a;b]- k- tartibli hosilasigacha uzluksiz funkyiyalar sinfi.
Δ : a = x
0 < x
1 < … < x
N = b
setkaga f ( x )
funktsiyaning
[xi;xi+1] tebranish oralig i ʼ
quyidagicha harakterlanadi:
ω
i
( f ) = max
x '
, x ' '
∈ [ x
i , x
i + 1 ] | f ( x ' ' )
− f ( x '
) |
Funktsiya tebranishining eng katta oralig ini topish quyidagicha harakterlanadi:
ʼ
ω
( f ) = max
0 ≤ i ≤ N − 1 ω
i ( f )
Δ
-sektaga bog liq bo lmagan ʼ ʼ f ( x )
funktsiya tebranishining uzluksiz moduli
hisoblanada va quyidagicha ifodalanadi:
ω(f;h)= max x',x''∈[xi,xi+1]
|x''−x'|≤h
|f(x'')− f(x')|,h≤b− a(4)
Barcha uzluksiz funktsiyalar uchun quyidagi o rta qiymat haqidagi munosabat
ʼ
o rinli:
ʼ
f(x)∈C [a;b],a1,a2,… ,aK
–– miqdorlar bir xil ishorali bo lsa, ya’ni berilgan ʼ
oraliqda o z ishorasini aniqlaydigan bo lsa, u holda:
ʼ ʼ
a1f(x1)+a2f(x2)+… +aKf(xK)=(a1+a2+… +aK)f(ξ)(5)
O rta qiymat haqidagi teorema integrallar uchun quyidagi ko rinishda bo ladi:
ʼ ʼ ʼ
∫
ab
f
( x ) g ( x ) dx = f ( ξ )
∫
ab
g ( x ) dx , a ≤ x ≤ b
bu yerda f
( x ) , g ( x )
funktsiyalar bir xil ishorali va uzluksiz funkyiyalar .
C K
[ a ; b ] - sinfga tegishli
f(x) funktsiya uchun Lagranj ko rinishidagi qoldiq hadli ʼ
quyidagi Teylor formulasi o rinli:
ʼ
(6)](https://docx.uz/documents/98ae1015-513d-46ce-acc1-b2e52f07c43f/page_18.png?v=1)
![Kubik splayn qurish
Quyidagi to’rt shartni qanoatlantiruvchi ushbu S3(x) funksiya interpolyatsio kubik
splayn deyiladi.
1. Har bir
[ x
i , x
i + 1 ] ( i = 0 , n − 1 )
oraliqda S3(x)= H 3(P)−¿ darajasi uchdan
oshmaydigan ko’phadlar to’plami
2. S
3
( x ) ∈ C
2 [ a , b ]
3.
S3(xi)= f(x),(i=0,n−1)
4.
S3''(x) uchun
S3''(a)=S3''(b)
Chegaraviy shartlar o’rinli.
S3''(x)[xk−1,xk]
kesmada uzluksiz bo’lganligidan x
i − 1 ≤ x ≤ x
i da ushbu
S
3' '
(
x ) = M
i − 1 x
i − x
h
i + M
i x − x
i − 1
h
i ( 2 )
tenglikni yozish mumkin. Bu yerda
hi= xi− xi−1,M i=S3''(xi)
(2) Tenglikni ikki marta integrallaymiz:
S
3
( x ) = M
i − 1 ( x
i − x ) 3
6 h
i + M
i ( x − x
i − 1 ) 3
6 h
i + A
i x
i − x
h
i + B
i x − x
i − 1
h
i ( 3 )
bunda
Ai va Bi integrallash doimiylari bo’lib, ular ta’rifning uchinchi shartidan
topiladi, ya’ni (3) da x = x
i − 1 , x = x
i deb, mos ravishda
M
i − 1 h
i2
6 + A
i = f
i − 1 , M
i h
i2
6 + B
i = f
i
larni hosil qilamiz. Bundan
Ai va Bi ni topib (3) ga qo’yib, quyidagiga ega bo’lish
mumkin:
S
3
( x ) = M
i − 1 ( x
i − x ) 3
6 h
i + M
i ( x − x
i − 1 ) 3
6 h
i +
( f
i − 1 − M
i − 1 h
i2
6 ) x
i − x
h
i + ( f
i − M
i h
i2
6 ) x − x
i − 1
h
i ( 4 )
(4) dan hosila olamiz:
S
3'
(
x ) = − M
i − 1 ( x
i − x ) 2
2 h
i + M
i ( x − x
i − 1 ) 2
2 h
i + f
i − f
i − 1
h
i − M
i − M
i − 1
6 h
i ( 5 )
(5) ni [ x
i , x
i − 1 ]
kesma uchun yozamiz:](https://docx.uz/documents/98ae1015-513d-46ce-acc1-b2e52f07c43f/page_19.png?v=1)
![S
3'(
x ) = − M
i ( x
i + 1 − x ) 2
2 h
i + 1 + M
i + 1 ( x − x
i ) 2
2 h
i + 1 + f
i + 1 − f
i
h
i + 1 − M
i + 1 − M
i
6 h
i + 1 ( 6 )
Ta’rifning ikkinchi shartiga ko‘ra
S3'(x) va S
3' '
( x )
funksiyalar [a;b] da uzluksiz.
S3''(x)
ning x1,x2,... ,xn−1 nuqtalarda uzluksizligidan foydalanib, (5) va (6)
tengliklardan quyidagi n - 1 ta tenglatnaga ega bo‘lamiz:
hi
6 M i−1+hi+hi+1
3 M i+hi+1
6 M i+1= fi+1− fi
hi+1
− fi− fi−1
hi
(7)
Bu tenglamalarni (1) bilan to’ldiri hamda
ai= hi
6 ,bi= hi+hi+1
3 ,ci= hi+1
6 ,di= fi+1− fi
hi+1
− fi− fi−1
hi
(8)
belgilashlami kiritsak, u holda M l, M 2,...,M n_i noma’lumlami topish uchun
b1M 1+c1M 2=d1
a2M 1+b2M 2+c2M 3= d2
a3M 2+b3M 3+c3M 4= d3
… … … … … … … … … … … … … … … …
an−2M n−3+bn−2M n−2+cn−2M n−1= dn−2
an−1M n−2+bn−1M n−1= dn−1
}
(9)
tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu tenglamalar sistemasining matritsasi (8)
ga ko‘ra salmoqli bosh diagonalga ega bo‘lganligidan ixtiyoriy
fi(i=0,n) uchun
yagona yechimga ega [1],
(9) tenglamalar sistemasi haydash usuli bilan yechiladi. Uni quyida keltiramiz:
pk=akqk−1+bk(q0= 0)
q
k = − c
k
p
k , u
k = d
k − a
k u
k − 1
p
k , u
0 = 0 ( k = 1 , n − 1 )
yordamchi miqdorlarni hosil qilamiz. So‘ng
M k=qkM k+1+uk(k= n− 2,1 )
M n−1= un−1
dan
M n−1,M n−2,… ,M 1 larni aniqlaymiz.](https://docx.uz/documents/98ae1015-513d-46ce-acc1-b2e52f07c43f/page_20.png?v=1)
Mavzu: Splayn funksiyalar yordamida kvadratur formula qurish