Tenglik va tengsizliklar

Dokument ma'lumotlari

Narxi	9000UZS
Hajmi	107.7KB
Xaridlar	4
Yuklab olingan sana	22 Avgust 2023
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Tenglik va tengsizliklar

Sotib olish

Kirish
O`zbekistonda ta`lim jarayonini amalga oshirish bo`yicha to`liq yangicha`oyalar,
o`yinlar va yo`nalishlarga muvaffaqiyatga qadam qo`yildi. Shu maqsadda
O zbekiston Respublikasi Prezidenti Sh.M.Mirziyoyev tomonidan far bir nechtaʻ
sohamizga tegishlimon va qarorlar qabul qilish va ba zilariga o maqom hamda
ʼ ʻ
qo shimchalar kiritildi. “Ta lim taraqqiyoti orqali O zbekistonda yangi Uyg onish
ʻ ʼ ʻ ʻ
davri, ya ni “Uchi Renessans poydevorini ishlab chiqishni o zimizga maqsadli
ʼ ʻ
qilib belgiladik” dedilar muhtaram Prezidentimiz o z nutqlarida. O‘zbekiston
ʻ
Respublikasi Prezidenti Shavkat Mirziyoyevning “Oliy Majlisga barqaror
Murojaatnomasi” va 2020 yil - “Ilm, ma rifat va iqtisodiy iqtisodiyotni
ʼ
rivojlantirish yili” deb e lon qilish, “Ta lim to g risida”gi Qonuni tasdiqlandi va
ʼ ʼ ʻ ʻ
amalga oshirilishi, “O zbekistonning” Yangi taraqqiyot va ta lim-tarbiya sohalarini
ʼ ʼ
rivojlantirish chora-tadbirlari to g risida”gi Farmonining qabul qilinishi hamda
ʻ ʻ
Respublikamiz Prezidentining “O qituvchi va murabbiylar kuni” munosabati bilan
ʼ
ta limga oid murojaat nutqining ma nosi – mazmunida ham keyingi yurtimizda
ʼ ʼ
yaxlit taraqqiy samara, yangi O`zbekistonni aniq ta'lim amalga oshirgan o`z aksini
topgan . Bu muhim hujjatlar ta lim taraqqiyotini yangi bosqichga ko tardi va
ʼ ʻ
xavfsizlik`ich sinf matematika dasturi oldiga ham bir qator mutloqa yangi vazifalar
belgilab berildi. Mana uchun ham mavzuni chuqur o'rganish kerakligi muhim
ahamiyat kasb etadi. Miqdorlarni o'rganish katta ahamiyatga ega, chunki hajmi
matematikada eng muhim ahamiyatga ega. Har bir o'rganilayotgan qiymat - bu
atrofdagi dunyoning real ob'ektlarining umumiylashtirilgan. O'lchov tajribasii
fazoviy tasavvurlarni rivojlantiradi, o'quvchilarni hayotda keng qo'llab-
quvvatlagan amaliy muhim ko'rinish bilan qurollantiradi. buni uchun miqdorlarni
o'rganish o'rganishni hayot bilan bog'lashdan biridir.
I - IV sinflarda natural sonlar va kasrlarni o rganish bilan chambachas bog liq
ʻ ʻ
holda ko rib chiqiladi : o lchashni o rganishni o rganish bilan bog liq; tegishli
ʻ ʻ ʻ ʻ ʻ
hisob birliklari foydadan keyin yangi o'lchov birliklari kiritiladi; natural sonlar va
kattaliklar ustida arifmetik amallar bajariladi. Masalalarni yechishda ko`rgazmali
qurol sifatida o`lchov va grafik ishlar qo`yiladi. Shunday qilib, miqdorlarni
2

o'rganish matematika kursining ko'plab savollarini o'zlashtirishga yordam beradi.
Maktab ta'limini rivojlantirishning zamonaviy tendentsiyalari bilim, ko'nikma va
malakalarni o'zlashtirish bilan bir qatorda, voqelikni bilishning asosiy g'oyalari va
usullarini o'zlashtirish, shaxsni rivojlantirish va fikrlash texnikasini shakllantirishni
taklif qiladi.
Ushbu tendentsiyalarni hisobga olgan holda, matematik ta'lim ham o'zining
ustuvor yo'nalishlarini o'zgartiradi, bu esa hozirgi bosqichda matematik bilimlar
asoslarini o'zlashtirish orqali shaxs bo'lish jarayoni sifatida qaralmoqda.
Maktab matematika kurslarida rivojlantiruvchi ta’lim g‘oyalarini amalga oshirish
yo‘llarini faol izlash boshlang‘ich va o‘rta maktablar uchun muqobil dasturlar,
darsliklar, o‘quv qo‘llanmalar ishlab chiqishda o‘z ifodasini topdi.
Boshlang’ich va o’rta ta’lim kursining mavzularidan biri “Tengsizlik” mavzusidir.
Tengsizliklarning o'zi o'rganish uchun qiziqish uyg'otadi, chunki ularning yordami
bilan haqiqatni bilish bilan bog'liq eng muhim vazifalar ramziy tilda yoziladi. Turli
mavzularni o'rganishda tengsizliklardan nazariy bilimlarni mustahkamlash,
chuqurlashtirish, takrorlash va kengaytirishning samarali vositasi sifatida
foydalanish mumkin.
Mualliflar M.I.Moro, M.A.Bantova (an anaviy ta lim tizimi), N.B.Istominaʼ ʼ
(rivojlanayotgan ta lim tizimi) va L.G.ning “Tengsizlik” mavzusidagi o quv
ʼ ʻ
qo llanmalarining mazmunini tahlil qilar ekan, o qituvchilarda beixtiyor savol
ʻ ʻ
tug iladi: mualliflar uslubiy qo llanmani qanchalik muvaffaqiyatli ishlab chiqa
ʻ ʻ
oldilar? «tengsizlik» tushunchasini o’rgatish usullari , o’quv materiali hajmi
qanchalik optimal tanlanganligi, o’quvchilarning o’quv faoliyati qanday tashkil
etilganligi.
Boshlang'ich maktab yuqori sinflarda o'qitish uchun kichik yoshdagi
o'quvchilarning tengsizliklarini echish uchun yuqori sifatli tayyorgarlikni
ta'minlashi kerak, chunki tengsizlik o'rta darajadagi matematika kursi mazmunida
asosiy o'rinlardan birini egallaydi.
O`quvchilarning bilish faoliyatini tashkil etishning asosiy vositalari o`quv
topshiriqlaridir. Shuning uchun ham o’quvchilarga tengsizliklarni yechish
3

usullarini o’rgatishda tarbiyaviy vazifalarning mazmuni, tuzilishi va tizimi katta
ahamiyatga ega.
O'qituvchi, ayniqsa, yosh mutaxassis (stajyor) tanlov oldida turadi: qaysi dasturda
o'quv vazifalari tizimi eng samarali taqdim etiladi. Uslubiy va davriy adabiyotlarda
bu savollarga aniq javob yo'q.
Shunday qilib, ushbu muammoning dolzarbligi va etarli darajada rivojlanmaganligi
tadqiqot mavzusini tanlashga sabab bo'ldi.
O'rganish ob'ekti: tengsizliklar va ularni hal qilish qobiliyati haqida g'oyalarni
shakllantirish.
O`quv predmeti: turli metodik tizimlarda tengsizliklarni yechishga o`rgatish
mazmuni va metodikasi.
Gipoteza: tengsizlik haqidagi g'oyalarni shakllantirish quyidagilarga asoslanadi:
 Vaziyatni vizual tasvirlash asosida raqamlarni raqamlash haqidagi bilimlarni
o'rganishning an'anaviy tizimida;
 N.B. Istomin mantiqiy amallar asosida va to'plamlar o'rtasida yakkama-
yakka muvofiqlikni o'rnatish bo'yicha;
 L.P. Peterson - faoliyat yondashuviga asoslangan birma-bir yozishmalar
bo'yicha.
 Ko'rib chiqilgan muqobil dasturlardan eng samarali dastur Istomina N.B.
hisoblanadi, chunki ushbu dastur doirasida quyidagilarni amalga oshirish mumkin:
-.birma-bir yozishmalar g'oyasi;
- harakat komponentlarini solishtirish g'oyasi.
Tadqiqot maqsadi: “Tengsizliklar” tushunchasini turli metodik tizimlarda o‘qitish
mazmuni va metodikasini o‘rganish.
Tadqiqot maqsadlari:
 ushbu masala bo'yicha adabiyotlarni aniqlash;
 tengsizlikning umumiy tushunchalarini ko'rib chiqing; bitta
o'zgaruvchiga ega bo'lgan tengsizliklar; tengsizliklar xossalari; tengsizliklarni
yechish va o‘zgartirish usullari;
 o‘quv, uslubiy va publitsistik adabiyotlarni tahlil qilish.
4

Tadqiqot usullari: o'quv, uslubiy va publitsistik adabiyotlarni tahlil qilish.
Kurs ishining tuzilishi: kurs ishi kirish, uch bob, xulosa, foydalanilgan adabiyotlar
ro‘yxati va ilovadan iborat.
5

1-bob.Tengsizlik tushunchasining nazariy asoslari
§ 1. Maktab o'quvchilari tafakkurining xususiyatlari
Jismoniy va aqliy rivojlanish yosh bilan chambarchas bog'liq. Yosh
xususiyatlarining mohiyati insonning jismoniy rivojlanishi misolida aniq ochib
berilgan. O'sish, vazn ortishi, sut tishlarining paydo bo'lishi, keyin esa ularning
o'zgarishi, balog'atga etishish va boshqa biologik jarayonlar ma'lum yosh
davrlarida engil og'ishlar bilan sodir bo'ladi. Insonning biologik va ma'naviy
rivojlanishi bir-biri bilan chambarchas bog'liq bo'lganligi sababli, yoshga qarab
sodir bo'ladigan o'zgarishlar ruhiy sohada ham sodir bo'ladi.
6 yoshdan 11 yoshgacha bo'lgan davr bolaning aqliy va ijtimoiy rivojlanishi uchun
juda muhimdir. Birinchidan, uning ijtimoiy mavqei tubdan o'zgaradi - u maktab
o'quvchisiga aylanadi, bu esa bolaning hayotiy munosabatlarining butun tizimini
qayta qurishga olib keladi. Agar yosh rivojlanishining oldingi davrlarida bolaning
asosiy faoliyati o'yin bo'lsa, endi uning hayotida maqsadli bilish faoliyati birinchi
o'ringa chiqadi, bu davrda o'quvchi juda katta hajmdagi ma'lumotlarni oladi va
qayta ishlaydi. Kichik maktab o'quvchilari ko'pchilik uchun yangi "kattalar"
tushunchalar dunyosiga, ilmiy tizimlashtirilgan bilimlarga, muloqotning yangi
usullariga va o'z fikrlarini taqdim etishga kirishadilar. Bu yoshdagi bolalar maxsus
taqlid, kognitiv faoliyatning rasmiy tomoniga moyillik bilan ajralib turadi.
N.S.Leitesning fikricha, kichik maktab o'quvchisi kattalarning aqliy faoliyatini
"taqlid qiladi", shuning uchun ular keyinchalik (o'smirlik davrida) uning
mazmunini tahlil qilishga kirishadilar.
Shunday qilib, o'rganishning ushbu davri inson faoliyatining turli turlarida, birinchi
navbatda, kognitivda "umumiy", "standart" ni o'zlashtirishga sezgir.
Ikkinchidan, bolaning aqliy sohasida sezilarli o'zgarishlar yuz beradi. Bola maktab
yoshiga etganida, bolaning aqliy qobiliyatining progressiv o'sishi kuzatiladi. Bu
hodisa nafaqat yoshga bog'liq o'zgarishlar, balki birinchi navbatda bola maktabda
o'qish paytida hal qilishi kerak bo'lgan intellektual vazifalar bilan bog'liq. Bolaning
maktabda o'qish jarayonida o'zlashtirgan tushunchalari doirasi tobora kengayib
bormoqda va turli sohalardan tobora ko'proq yangi bilimlarni o'z ichiga oladi. Shu
6

bilan birga, aniqlikdan tobora ko'proq mavhum tushunchalarga o'tish amalga
oshiriladi va tushunchalar mazmuni boyib boradi: bola ob'ektlar, hodisalarning
turli xil xususiyatlari va xususiyatlarini, shuningdek ularning o'zaro bog'liqligini
o'rganadi; u qaysi xususiyatlar muhim va qaysi biri muhim emasligini bilib oladi.
Ob'ektlar va hodisalarning oddiy, yuzaki aloqalaridan talaba tobora murakkab,
chuqur, ko'p qirrali bo'lishga o'tadi.
Tushunchalarni shakllantirish jarayonida aqliy operatsiyalarning rivojlanishi sodir
bo'ladi. Maktab bolani tahlil qilish, sintez qilish, umumlashtirishni o'rgatadi,
induksiya va deduksiyani rivojlantiradi. Maktab ta'limi ta'sirida aqliy faoliyatning
zaruriy sifatlari rivojlanadi. Maktabda olingan bilimlar o'quvchilarning fikrlash
kengligi va teranligini rivojlantirishga yordam beradi. Agar ko'rib chiqilayotgan
yosh davrining boshida vizual-samarali va vizual-majoziy fikrlashning ustunligi
xarakterli bo'lsa, kelajakda bolada mavhum-mantiqiy fikrlash rivojlanadi.
Maktabga kelgan bola, asosan, aniq tasvirlar asosida o'ylaydi. Shuning uchun
boshlang'ich sinf o'qituvchilarining aksariyati o'quv jarayonida vizualizatsiyadan
keng foydalanadilar. Ammo dastur materialini to'liq va chuqur o'zlashtirish
majburiy mavhum-mantiqiy fikrlashni nazarda tutadi. Ba'zi bolalar, ayniqsa o'g'il
bolalar uchun vizualdan mavhumga o'tish juda qiyin. Ko'pgina ota-onalar,
masalan, bolasi muayyan ob'ektlarga asoslangan holda qo'shish va ayirishda yaxshi
bo'lgan holatlarga duch kelishadi. Ko'pgina holatlar bolaning mavhum mantiqiy
fikrlashga o'tishga harakat qilmasligini ko'rsatadi.
Bolaning sog'lom psixikasining o'ziga xos xususiyati kognitiv faollikdir. Bolaning
qiziqishi doimo uning atrofidagi dunyoni bilishga va bu dunyoning o'z rasmini
qurishga qaratilgan. Bola o'ynab, tajriba o'tkazib, sabab-oqibat munosabatlari va
bog'liqliklarini o'rnatishga harakat qiladi. Bolaning aqliy faolligi qanchalik ko'p
bo'lsa, u shunchalik ko'p savollar beradi va bu savollar qanchalik xilma-xil bo'ladi.
Bolalarning intellektual rivojlanishi asosan maktabda sodir bo'ladi.
Maktabgacha tafakkur intuitiv va o'zini o'zi yo'naltiruvchi bo'lib, asta-sekin
mantiqiy fikrga aylanadi. Bolalarning tafakkuri qayta tiklanadigan, moslashuvchan
va murakkab bo'ladi.
7

Bolalar o'zgarishlar jarayonida ob'ektning tashqi ko'rinishini qanday o'zgartirishiga
e'tibor berishni boshlaydilar va mantiqiy fikrlash yordamida ob'ektning tashqi
ko'rinishidagi bu farqlarni yarashtira oladilar. 7 yoshdan 12 yoshgacha bo'lgan
bolalar tabiatni muhofaza qilishning turli tushunchalarini o'rganadilar va boshqa
mantiqiy manipulyatsiyalarni amalga oshira boshlaydilar.
Masalan, ular ob'ektlarni bitta atribut bo'yicha (og'irlik yoki balandlik bo'yicha)
taqsimlashlari mumkin.
Bu yoshdagi bolalarda harakatlar ketma-ketligi haqida aqliy tasavvur ham
shakllanadi. Kichik yoshdagi o'quvchilarning psixologik xususiyatlari va mantiqiy
tafakkurining rivojlanish darajasini aniqlab, bolalarda matematik tafakkurni
maqsadli rivojlantirish bo'yicha ishlarni tashkil etish mumkin.
O'quv faoliyati jarayonida boshlang'ich sinflarda matematik tafakkurni
shakllantirishning psixologik shartlarini aniqlash uchun mavzuning tuzilishi
quyidagi elementlar bilan o'zaro bog'langan:
 shaxsning psixik xususiyatlarini, xususan, tafakkurini shakllantirish,
rivojlantirishga e'tibor qaratish;
 yosh o'quvchining shaxsiyatini rivojlantirishga e'tibor berish;
 o'quvchilarning matematik faoliyatini tashkil etish, aqliy harakatlar
usullarini ishlab chiqishga qaratilgan topshiriqlarni bajarish faoliyati to'g'risida
Matematikani ta'lim sohasi sifatida ko'rib, birinchi navbatda, bu ta'lim sohasining
boshlang'ich maktabda ta'lim olishi natijasida kichik yoshdagi o'quvchining asosiy
neoplazmasi sifatida bilish qobiliyatini rivojlantirishga qo'shgan hissasini aniqlash
kerak.
Matematik mazmunga kelsak, o'rganish qobiliyatini shakllantirish fikrlash,
faoliyat, muloqot va o'z-o'zini anglashdagi o'zgarishlarning asosiy mexanizmi
sifatida aks ettirishdan tashqari, quyidagilarni rivojlantirishni o'z ichiga oladi:
 Intuitiv va mantiqiy fikrlash va tegishli matematik til;
 Elementar aqliy operatsiyalar (tahlil, sintez, taqqoslash, seriyalash, tasniflash
va boshqalar)
8

 Belgi-ramziy vositalar bilan ishlay olish, mazmunni (ob'ektlar, hodisalar,
belgilar, munosabatlar, harakatlar, o'zgarishlar) turli belgi-ramziy shakllarda
ifodalash, bir tildan ikkinchi tilga o'tish, mazmunni taqdim etish shaklidan ajratish
qobiliyati;
 U o'zining ijodiy faoliyatini (fazoviy tasavvur, muammolarni hal qilish
usullari, ma'lumotlarni taqdim etish va boshqalar) boshladi.
§ 2. Tengsizlik tushunchasining xususiyatlari . Bitta o'zgaruvchili
tengsizliklar
a va b bo'lsin - ikkita raqam ifodalar. Keling, ularni ">" (yoki <) belgisi bilan
bog'laymiz. Biz taklif olamiz > b (yoki a < b ), bu sonli tengsizlik deyiladi .
ifodalarni “<” belgisi bilan bog’lasak, soxta sonli tengsizlikni olamiz 6 + 2 < 13 -
7. Shunday qilib, mantiqiy nuqtai nazardan, sonli tengsizlik to'g'ri yoki noto'g'ri
bo'lgan bayonotdir.
17- asr boshida paydo bo lib, ingliz matematigi Xariot tomonidan kiritilgan.ʻ
Garchi >, < belgilari yaqinda paydo bo'lgan bo'lsa ham, tengsizlik tushunchalari
qadimgi davrlarda paydo bo'lgan.
> va < belgilari yordamida yoziladigan tengsizliklar qat'iy tengsizliklar, belgilari
qo'llaniladigan tengsizliklar
¿ esa ¿ qat'iy bo'lmaganlar deyiladi .
Qat'iy bo'lmagan tengsizlik bir xil belgi va tenglikdagi qat'iy tengsizlikka tengdir.
Tengsizliklarning ikki turi mavjud: arifmetik (yoki sonli), unda faqat sonlar
ishtirok etadi va arifmetik bo'lmagan, bunda raqamlar bilan bir qatorda bir yoki bir
nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari ishtirok etadi.
2 > 1,
√2 ¿ 7 bo'ladi .
Masalan, arifmetik bo'lmagan tengsizliklar tengsizliklar bo'ladi a < 1,
x 2
+ y 2
¿
R2
_
Tengsizliklarga kiritilgan funksiyalar turli sonli qiymatlarni qabul qilishi mumkin.
ularning argumentlarining turli qiymatlariga bog'liq qiymatlar. Argumentlarning
9

ba'zi qiymatlari uchun tengsizlik haqiqiy raqamli tengsizlikka aylanishi mumkin,
boshqalari uchun esa bu mumkin emas.
Raqamli tengsizliklar bir qator xususiyatlarga ega. Keling, ba'zilarini ko'rib
chiqaylik.
1. Haqiqiy sonli tengsizlikning ikkala qismiga ham mantiqiy bo‘lgan bir xil sonli
ifodani qo‘shsak, u holda biz ham haqiqiy son tengsizlikka erishamiz.
2. Agar haqiqiy sonli tengsizlikning ikkala qismi ham ma’no va musbat qiymatga
ega bo‘lgan bir xil sonli ifodaga ko‘paytirilsa, u holda biz ham haqiqiy son
tengsizlikka erishamiz.
3. Agar haqiqiy son tengsizlikning ikkala qismi ham ma’noli va manfiy qiymatga
ega bo‘lgan bir xil sonli ifodaga ko‘paytirilsa va tengsizlik belgisini ham
teskarisiga o‘zgartirsak, u holda haqiqiy son tengsizlik ham hosil bo‘ladi.
2x + 7 > 10 - x, x 2
+ 7x < 2, (x + 2)(2x - 3) > 0 jumlalari bitta o zgaruvchiliʻ
tengsizliklar deyiladi.
Umuman olganda, ushbu kontseptsiya quyidagicha ta'riflanadi:
Ta'rif. f ( x ) va g ( x) o'zgaruvchisi x va X sohasi bo'lgan ikkita ifoda bo'lsin . U
holda f ( x ) > g (x) yoki f ( x ) < g (x) ko‘rinishdagi tengsizlik deyiladi. bitta
o'zgaruvchi bilan tengsizlik. X to'plami aniqlanish sohasi deb ataladi.
X to'plamdagi qiymati , bunda tengsizlik haqiqiy sonli tengsizlikka aylanadi, uning
yechimi deyiladi. Tengsizlikni yechish uning yechimlari to‘plamini topishni
bildiradi.
R tengsizlikning yechimi
∈ x = 5 soni, chunki 2∙5 + 7 > 10 - 5 haqiqiy sonli
tengsizlikdir. Uning yechimlari to‘plami esa (1,∞) oraliq bo‘lib, tengsizlikni
o‘zgartirishni amalga oshirish orqali topiladi: 2x + 7 > 10 - x => 3x > 3 => x > 1.
Bir o zgaruvchili tengsizliklarni yechish negizida ekvivalentlik tushunchasi yotadi.
ʻ
Ta'rif. Bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan ikkita tengsizlik, agar ularning
yechimlari to'plami teng bo'lsa, ekvivalent deyiladi.
Masalan, 2x + 7 > 10 va 2x > 3 tengsizliklar ekvivalentdir, chunki ularning yechim
to plamlari teng bo lib, (⅔, ∞) oraliqni ifodalaydi.
ʻ ʻ
10

Tengsizliklarning ekvivalentligi va ularning oqibatlari haqidagi teoremalar
tenglamalar ekvivalentligi haqidagi tegishli teoremalarga o'xshashdir. Ularni
isbotlashda haqiqiy sonli tengsizliklar xossalaridan foydalaniladi.
Teorema 1. Tengsizlik bo'lsin f (x) > g (x) X to‘plamda aniqlanadi h (x) esa bir xil
to‘plamda aniqlangan ifodadir. Keyin tengsizliklar f (x) > g (x) va f (x) + h (x ) > g
(x) + h (x) X to‘plamda ekvivalentdir.
Tengsizliklarni yechishda ko'pincha qo'llaniladigan ushbu teoremadan oqibatlar
kelib chiqadi:
1) Agar f (x) > g (x) tengsizlikning ikkala qismiga bir xil d sonini qo‘shsak , u
holda f (x) + d > g (x) + d tengsizlik hosil bo‘ladi , u asl tengsizlikka tengdir.
2) Agar biron-bir atama (sonli ifoda yoki o'zgaruvchili ifoda) tengsizlikning bir
qismidan ikkinchi qismiga o'tkazilsa, hadning belgisini teskarisiga o'zgartirsa, biz
berilgan tengsizlikni olamiz.
Teorema 2. X to‘plamda f (x) > g (x) tengsizlik berilgan bo‘lsin va h (x) bir xil
to'plamda va X to'plamdagi barcha x uchun aniqlangan ifodadir h (x) ifodasi
musbat qiymatlarni oladi. Keyin tengsizliklar
f (x) > g (x) va f (x) ∙ h ( x ) > g (x) ∙ h (x) X to‘plamda ekvivalentdir .
f (x) > g (x) tengsizlikning ikkala qismi bir xil musbat songa ko'paytirilsa d , u
holda biz tengsizlikni olamiz.
f (x) ∙ d > g (x) ∙ d , bu berilganga ekvivalent.
3-teorema . X to'plamda f (x) > g (x) tengsizlik berilgan bo'lsin h (x) esa bir xil
to‘plamda aniqlangan ifoda va ularning barcha x to‘plamlari uchun X h (x) ifodasi
manfiy qiymatlarni oladi. Keyin tengsizliklar
f (x) > g (x) va g (x) va f (x) ∙ h ( x ) < g (x) ∙ h (x) X to‘plamda ekvivalentdir .
f (x) > g (x) tengsizlikning ikkala qismi bir xil manfiy d songa ko‘paytirilsa. va
tengsizlik belgisini teskarisiga o'zgartirsak, f (x) ∙ d < g (x) ∙ d tengsizlikni olamiz. ,
bu berilganga teng. 5x - 5 < 2x - 16, x tengsizlikni yeching∈ R , va biz hal qilish
jarayonida amalga oshiradigan barcha o'zgarishlarni oqlang.
Qaror qabul qilish jarayoni Ishlatilgan nazariy qoidalar
11

2x ifodani chap tomonga, -5
sonini esa o'ngga o'tkazamiz:
5x – 2x < 16 + 5
Biz tengsizlikning chap va
o'ng tomonlarida o'xshash
shartlarni keltiramiz:
3x < 21.
Tengsizlikning ikkala
tomonini 3 ga bo'ling:
x < 7. Biz 1-teoremadan olingan 2-sonli
xulosadan foydalandik va asl
tengsizlikka tenglikni oldik.
Tengsizlikning chap va o'ng qismlarida
ifodalarni bir xil o'zgartirishlar amalga
oshirildi, ular tengsizliklarning
ekvivalentligini buzmadi.
Biz 2-teoremadan olingan xulosadan
foydalandik va asl tengsizlikka
tenglikni oldik.
x < 7 tengsizlikning yechimi (–∞, 7) intervaldir. Demak, 5x – 5 < 2x
+16 tengsizlikning yechimlari to plami sonlar to plamidir.ʻ ʻ
(–∞, 7) (1-rasm).
Guruch. 1
x < 3 x + 8, x tengsizlikni yechamiz
∈ R. _
Qaror qabul qilish jarayoni Ishlatilgan nazariy qoidalar
3x ifodani chap tomonga, -12
ni o'ngga o'tkazamiz:
–7x – 3x < 8 + 12.
2. Biz chap va o'ng
tomonlarga o'xshash
atamalarni keltiramiz:
–10x < 20 .
3. Tengsizlikning ikkala
tomonini -10 ga bo'ling:
x > -2. Biz 1-teoremadan olingan 2-sonli
xulosadan foydalandik va asl
tengsizlikka tenglikni oldik.
Tengsizlikning chap va o'ng
qismlarida ifodalarni bir xil
o'zgartirishlar amalga oshirildi, asl
tengsizlikka ekvivalent bo'ldi.
Biz 3-teoremadan olingan xulosadan
foydalandik va asl tengsizlikka
tenglikni oldik.
12

2-bob
§1. "Tengsizlik" tushunchasini shakllantirishga an'anaviy
yondashuv
An'anaviy tizimda biz dasturni ko'rib chiqamiz, uning mualliflari M.I.Moro va
boshqalar.
Bolalar tenglik va tengsizlik munosabatlarini birinchi darslardan boshlab,
ob'ektlarning ikkita to'plamini taqqoslashda, ularning tarkibiy elementlari o'rtasida
birma-bir moslikni o'rnatish orqali (hatto ob'ektlarni sanashdan oldin) duch
kelishadi. Ushbu mashqlarni bajarish jarayonida talabalar kuzatadilarki, agar
taqqoslangan to'plamlardan biri boshqasiga qaraganda ko'proq elementlarga ega
bo'lsa (mutaxassislik o'rnatish natijasida to'plamning ba'zi elementlari boshqa
to'plamda juftliksiz tugaydi), demak, bu taqqoslangan to'plamlarning boshqasida
kamroq elementlar mavjud.
To'plamlar bilan amaliy harakatlar ob'ektlarni sanash bilan bog'langandan so'ng,
tegishli mashqlar bolalarni raqamlarning tengligi va tengsizligi masalasini ko'rib
chiqishga olib keladi.
Boshlang'ich sinflarda tenglik va tengsizliklar bilan tanishtirish manfiy bo'lmagan
butun sonlarni sanab o'tish va ular bilan arifmetik amallarni o'rganish bilan
bevosita bog'liqdir.
Keyingi ish jarayonida "1-10 raqamlarini raqamlash" mavzusini o'rganishda
bolalar "katta", "kichik", "teng" munosabatlarini og'zaki ravishda aytib, raqamlarni
takroriy taqqoslashni amalga oshiradilar. Amaliy mashg‘ulotlar asosida birinchi
sinf o‘quvchilari natural qatorning ikkita qo‘shni soni o‘rtasidagi miqdoriy
bog‘lanishni o‘rganadilar, natural qatordagi sonlar ketma-ketligini har bir keyingi
son oldingisidan 1 ga ko‘p bo‘lgan sonlar ketma-ketligini tushunadilar. Shu
munosabat bilan ular ketma-ketlikdagi har bir son o‘zidan oldingi sonda
uchraydigan har qanday raqamdan kattaroq va undan keyingi sonlar qatorida
uchraydigan har qanday raqamdan kamroq ekanligini bilib oladilar. Shunday qilib,
ular to'g'ridan-to'g'ri tajriba ma'lumotlariga tayanmasdan, ob'ektiv vizualizatsiyaga
13

tayanmasdan raqamlarni solishtirishni faqat sanashda taqqoslangan ikkita
raqamdan qaysi biri ikkinchisidan oldin sodir bo'lishini bilish asosida o'rganadilar
(u kichikroq, ikkinchisi esa kattaroq bo'ladi). Va faqat p. 42-43 darslik mualliflari
M.I.Moro, M.A.Bantov bolalarni taqqoslash belgilari bilan tanishtirishni taklif
qiladi. Ob'ektlar guruhlarini taqqoslab, o'quvchilar 5 > 4, 4 < 5 va 5 = 5
tengsizliklarini yozadilar va o'qiydilar. Qo'shish va ayirishdagi o'zgarishlar
kuzatuvlarini to'plash uchun raqamlarni taqqoslashdan darhol foydalaning:
qo'shildi - ko'proq bo'ldi (3 + 1 = 4, 4 > 3), ayiriladi - u kamroq bo'ldi (4 - 1 = 3, 3
< 4). Keyin “tenglik” va “tengsizlik” atamalari kiritiladi ( 44-bet ).
Bu erda bolalar raqamlar va iboralarni taqqoslash va tegishli yozuvlar bilan
tanishadilar ( M. 1, 1-qism, 42-bet ). Taqqoslash ifodaning qiymatini hisoblash va
olingan sonni ma'lumotlar bilan solishtirishga asoslangan: "3 + 1 > 3, chunki 4 >
3". Biroq, ushbu birinchi misollarni ko'rib chiqayotganda, bolalarning e'tiborini
quyidagi fikrlarga asoslanib, summalarni hisoblamasdan, nima ko'proq - 3 yoki 3 +
1 degan savolga javob berish mumkinligiga qaratish mumkin: agar 3 ga 1 qo'shilsa,
u holda 3 dan ortiq bo'ladi, unga bitta birlik qo'shilganda bu raqam ortadi , ya'ni 3
+ 1 3 dan katta. hisob-kitoblar, lekin kelajakda ular xulosaga asoslanishi mumkin
va bu holda hisob-kitoblar bilan tasdiqlanishi kerak.
Va faqat ikkinchi sinfda bolalarga ikkita iborani taqqoslash beriladi. Bir vaqtning
o'zida ikkita ifodaning tengligi va tengsizligi holatlari ko'rib chiqiladi.
Qiymatlarni taqqoslash (1-sinf) birinchi navbatda ushbu xususiyat uchun
ob'ektlarning o'zini taqqoslash asosida amalga oshiriladi, so'ngra berilgan
qiymatlarning raqamli qiymatlarini taqqoslash asosida amalga oshiriladi. qiymatlar
bir xil o'lchov birliklarida ifodalanadi. Miqdorlar qiymatlarini taqqoslash
o'quvchilarga qiyinchilik tug'diradi, shuning uchun ushbu operatsiyani o'rgatish
uchun I - IV sinflarda turli xil mashqlarni muntazam ravishda taklif qilish kerak,
masalan:
1) Teng qiymatni tanlang: 7km 500 m = ... m, 3080 kg = ... t ... kg
Yozuv to'g'ri bo'lishi uchun miqdorlarning raqamli qiymatlarini tanlang : ... h < ...
min, ... sm = ... dm ... sm, ... t ... c = ... kg.
14

3) Yozuv to'g'ri bo'lishi uchun miqdorlarning nomlarini kiriting: 35 km = 35000 ...,
16 min > 16 ..., 17 t 5 c = 17500 ... .
4) Tengliklarning to`g`ri yoki noto`g`riligini tekshiring, tenglik noto`g`ri bo`lsa
nisbatlarning ishorasini to`g`rilang: 4 t 8 c = 480 kg, 100 min = 1 soat, 2 m 5 sm =
250 sm.
O‘zgaruvchi tushunchasi uchinchi sinfda kiritiladi. X + 3 < 7, 10 - x > 5, x ∙ 4 >
12, 72 : x < 36 ko`rinishdagi o`zgaruvchili tengsizliklar ham uchinchi sinfda
kiritiladi. Tegishli tayyorgarlik ishlari oldindan amalga oshiriladi: mashqlar o'z
ichiga oladi, unda o'zgaruvchi harf bilan emas, balki "oyna" (kvadrat) bilan
ko'rsatiladi, masalan: > 0, 6 + 4 >, 7 + < 10 va hokazo. Talabalardan to'g'ri
kiritilgan raqamni tanlash so'raladi. Bunday mashqlarni bajarishda o'qituvchi
bolalarni turli raqamlarni almashtirishga undashi kerak; masalan >0 tengsizlikda
siz 1 raqamini (1>0) o'rniga qo'yishingiz mumkin, siz 2 (2 > 0), siz 3 (3 > 0) va
boshqalarni qo'yishingiz mumkin. Bir nechta raqamlarni nomlaganingizdan so'ng,
u kuzatishlarni umumlashtirish uchun foydalidir (masalan, ikkinchi tengsizlikda siz
10 dan kichik bo'lgan har qanday raqamni - 0 dan 9 gacha almashtirishingiz
mumkin).
Masalan, x + 3 < 10 tengsizligini hisobga olsak, talabalar tanlab, x harfining qaysi
qiymatlari uchun topadilar. x + 3 yig'indisining qiymati 10 dan kichik. Har bir
bunday topshiriqda raqamlar to'plami beriladi - o'zgaruvchining qiymatlari.
Talabalar harfning qiymatlarini ifodaga almashtiradilar, ifoda qiymatini
hisoblaydilar va uni berilgan raqam bilan solishtiradilar. Bunday ish natijasida bu
tengsizlik to'g'ri bo'lgan o'zgaruvchining qiymatlari tanlanadi.
"Tengsizlikni yechish", "Tengsizlikni yechish" atamalari boshlang'ich sinflarda
kiritilmaydi, chunki ko'p hollarda ular to'g'ri tengsizlik olinadigan o'zgaruvchining
bir nechta qiymatlarini tanlash bilan cheklanadi.
Keyinchalik, tengsizliklar bilan mashqlarda o'zgaruvchining qiymatlari berilmaydi,
o'quvchilar ularni o'zlari tanlaydilar. Bunday mashqlar odatda o'qituvchi
rahbarligida amalga oshiriladi.
15

$Moro M.I. bolalarni tengsizlikdagi o'zgaruvchining qiymatlarini tanlashning quyidagi usuli bilan tanishtirishni taklif qiladi. 7 ∙ x < 70 tengsizlik berilsin.Dastavval x ning qaysi qiymati uchun bu ko'paytma 70 ga teng ekanligi aniqlanadi (x = 10 uchun). Mahsulot 70 dan kam bo'lishi uchun siz 10 dan kam ko'paytirgichni olishingiz kerak. Talabalar 9, 8 va hokazo raqamlarni nolga almashtirishni amalga oshiradilar, olingan ifoda qiymatlarini berilgan (70) bilan hisoblaydilar va solishtiradilar. va javobni nomlang. Biroq, o'zgaruvchiga ega bo'lgan tengsizliklar ustida ishlash jarayonida o'quvchilar o'zgaruvchining turli qiymatlarini almashtirib, kuzatishlarni to'playdilar va tenglik va tengsizliklarning ham to'g'ri, ham noto'g'ri ekanligiga ishonch hosil qiladilar. Kontseptsiyalarni ochishga bunday yondashuv tengsizliklar ustida ishlashning tegishli metodologiyasini belgilaydi, . Tengsizliklar bilan mashqlar hisoblash ko'nikmalarini mustahkamlaydi, shuningdek, boshqa arifmetik bilimlarni o'zlashtirishga yordam beradi. Masalan, komponentlarning turli raqamli qiymatlarini almashtirish orqali bolalar komponentlardan birining o'zgarishiga qarab harakatlar natijalarining o'zgarishi haqida kuzatishlarni to'playdilar. Bu erda bolalarning har bir harakatning o'ziga xos ma'nosi haqidagi bilimlari aniqlashtiriladi (shunday qilib, ayirma qiymatlarini almashtirib, bolalar ayirma manfiy bo'lmagan butun sonlar mintaqasi bo'yicha qisqartirilganidan ko'p emasligiga ishonch hosil qiladi va hokazo. ). Tengsizlik va shakldagi tengliklarda harf qiymatlarini tanlash: 5 + x = 5, 5-x = 5; 10 ∙ x \u003d 10, 10 ∙ x < 10, talabalar hisob-kitoblarning maxsus maxsus holatlari haqidagi bilimlarini mustahkamlaydilar. Tengsizliklar bilan ishlashda o‘quvchilar o‘zgaruvchi haqidagi tushunchani mustahkamlaydilar va beshinchi sinfda tengsizliklarni yechishga tayyorlanishadi. §2. “Tengsizlik” tushunchasini shakllantirishga uslubiy yondashuv 16$

birinchi chorakning 1-sinfida tanishadilar. Buning uchun 4 ta dars mavjud. Ushbu
darslarning asosiy vazifasi kichik yoshdagi o'quvchilarni ikkita to'plamning
ob'ektlari o'rtasida birma-bir yozishmalarni o'rnatishga o'rgatishdir. Aksariyat
talabalar mavzular soniga murojaat qilishlari mumkin. Masalan, topshiriqda topish
№ 42 "Chap va o'ngdagi rasmlar qanchalik o'xshash?"
rasm , ular javob berishlari mumkin: "Chapda 6 ta nok, o'ngda 5 ta banan",
"Banandan ko'ra nok ko'p", "Armutdan banan kamroq". Bolalarning diqqat
markazida birma-bir yozishmalarni o'rnatishning turli usullari bo'lishi kerak. Agar
vazifa flanelografda bajarilgan bo'lsa, unda bitta to'plamning har bir elementi
ostiga boshqa to'plamning ob'ektini qo'yish mumkin va bu harakatlar natijasida
"ko'proq" tushunchalaridan foydalangan holda narsalar soni haqida xulosa
chiqarish mumkin. "kamroq", "bir xil". Ob'ektlarni chiziqlar bilan ulash har doim
ham mumkin emas. Shuning uchun, pastki rasmga qarang № 42 vazifa, o'qituvchi
bolalarni boshqa texnika bilan tanishtiradi - bir mavzuni bir va boshqa to'plamda
bir vaqtning o'zida chizish.
17

Shuni ham yodda tutish kerakki, xuddi shu vazifada chap va o'ngdagi rasmlar
o'rtasidagi o'xshashlik va farqni tavsiflash uchun boshqa belgilardan foydalanish
mumkin. Masalan, chap va o'ng tomonda mevalar (nok va banan), ular bir xil
rangda, lekin shakli har xil, chap va o'ngda rezavorlar, ular rangi bir xil, lekin har
xil o'lchamdagi, chap tomonda. va o'ng - kvadratlar, ular shakli va o'lchami bir xil,
ammo rangi har xil.
Ushbu mashqlarga qo'shimcha ravishda, siz o'quvchilarni chap tomonda
joylashgan daftarga ixtiyoriy miqdordagi doiralarni chizishga taklif qilishingiz
mumkin (ajratilgan vaqt ichida kimning vaqti bor), keyin o'ng tomonda qancha
doira chizish haqida o'ylashingiz mumkin. Eng qulay usul - chap tomondagi
doirani kesib o'tish va darhol o'ng tomonda doira chizish.
Darslik sahifasiga shaffof qog'oz yoki plyonka qo'yish orqali 43, 44, 46, 47, 49-
sonli topshiriqlarni bajarishda ham xuddi shunday texnikadan foydalanish mumkin
. Bolalar topshiriqni o'zlari bajaradilar va o'z mulohazalarini tekshirish uchun
o'qituvchi flanelografdan foydalanadi, undan talabalar, masalan, 44-sonli vazifada
kirpi va mos keladigan qo'ziqorinlarni olib tashlashlari mumkin. 45-sonli vazifa
ham "bir xil", "ko'proq", "kamroq" tushunchalari bilan bog'liq. Talabalar bu
vazifani chap tomonda chizilgan rasmlarga nisbatan bajaradilar . Rasmlar
bog'langan belgiga ishora qilib, ular "xuddi shunday" atamasini ishlatishlari
ma'qul. Ammo siz kuzatishlaringiz natijalarini boshqa yo'l bilan ham
ifodalashingiz mumkin. Masalan, "Rasmlar miqdori bo'yicha bog'langan. Ob'ektlar
va doiralar soni bir xil bo'lgan rasmlar bog'langan". Bu javobni asoslash uchun
18

talabalar odatda ob'ektlar va doiralarni sanashadi. O'ng tomonda chizilgan
rasmlarni tahlil qilganda, ularning ko'pchiligi ballga ham murojaat qiladi, ammo
hamma ham natijalarni umumlashtirishga qodir emas. Ba'zilar o'z kuzatishlarini
aniq ifodalaydilar: "baliqlar qurtlar bilan birlashtirilgan", "qurbaqalar pashshalar
bilan", "suyakli itlar". Bunda o‘qituvchi darslikdagi topshiriqni “Barcha rasm
juftlari qanday o‘xshash?” degan savol bilan to‘ldirishi kerak. (Hayvonlarning har
bir surati sevimli taomining surati bilan bog‘langan. Barcha rasmlarda chapdagidan
ko‘ra o‘ng tomonda ko‘proq narsa bor.) Bolalar bu fikrni quyidagicha
shakllantirishlari mumkin: “har bir baliqda qurt yetadi, bittasi qoladi”, “barcha
qurbaqalar pashsha oladi, bittasi qoladi” va hokazo.
48-sonli vazifani bajarishda birinchi sinf o'quvchilari ham birma-bir yozishmalarni
o'rnatish usulidan foydalanadilar. Chapdagi rasmda katta doiralar kichiklarga,
o'ngda qizil doiralar ko'klarga bog'langan. Chapdagi rasmga qarab, ko'pchilik
bolalar aylanalar juftlarni tashkil qilishini payqashadi, lekin har bir bola bu
juftliklar yaratilgan atributni izolyatsiya qila olmaydi. Bunday holda, bolalarga
quyidagi savol bilan murojaat qilish tavsiya etiladi: "Chapdagi rasmda har bir qizil
doira ko'k rangga ulangan deb ayta olamanmi?" Ular bu taklifni tezda rad etib,
ikkala doira ko'k yoki ikkala doira qizil bo'lgan juftlikka ishora qiladilar, lekin ayni
paytda ikkala juftlikda bir doira katta, ikkinchisi kichik ekanligini payqashadi.
Vazifada _ № 50 ikkita variantni yodda tutish kerak. Olma chizilgan rasmni
"ortiqcha" deb hisoblash mumkin. Agar siz uni olib tashlasangiz, unda faqat
sabzavotlar chizilgan narsalar qoladi. Ammo siz boshqacha bahslashishingiz
mumkin . Barcha rasmlarda bittadan tashqari ikkita ob'ekt chizilgan. Ushbu belgiga
e'tibor qaratib, bolalar uchta sabzi bilan rasmga ishora qiladilar. Xuddi shunday, siz
ikkinchi qatorning rasmlari bilan vazifani bajarishingiz mumkin: agar siz baliq
bilan rasmni "qo'shimcha" deb hisoblasangiz, unda faqat gullar bilan rasmlar
qoladi. Agar siz miqdorga e'tibor qaratsangiz, unda ikkita gul bilan rasmni olib
tashlashingiz kerak, keyin uchta ob'ekt bilan rasmlar bo'ladi. Rasmlarning uchinchi
qatori uchun vazifani bajarish uchun uchta variant mavjud. Siz uchta yulduzli
19

rasmni olib tashlashingiz mumkin, keyin bir xil miqdordagi elementlarga ega
rasmlar paydo bo'ladi. Sariq yulduzlar bilan rasmni olib tashlashingiz mumkin.
Bunday holda, faqat yashil yulduzlar chizilgan rasmlar bo'ladi. To'rtta uchli
yulduzlar chizilgan rasmni olib tashlashingiz mumkin. Shunda faqat besh qirrali
yulduzlar qoladi. Ya'ni, uchinchi qatorda "qo'shimcha" rasmni tanlashda siz
belgilarga e'tibor qaratishingiz mumkin: rang, shakl, miqdor.
O'qituvchining o'zi turli xil belgilarga e'tibor qaratgan holda qiziqarli topshiriqlarni
tuzishi mumkin.
Masalan, flanelgrafga to'rtta rasm qo'ying: birinchisiga - uchta ko'k doira,
ikkinchisiga - 4 ta ko'k doira, uchinchisiga - 4 ta ko'k uchburchak va to'rtinchisiga -
4 ta yashil doira.
Bunday rasmlar bilan vazifani bajarayotganda uchta variant mumkin: "qo'shimcha"
- birinchi rasm, chunki agar u olib tashlansa, qolgan barcha narsalar soni bo'yicha
o'xshash bo'ladi; "qo'shimcha" - yashil doiralar bilan rasm. Agar u olib tashlansa,
qolganlarning hammasi bir xil (ko'k) rangdagi raqamlarga ega bo'ladi;
"qo'shimcha" - uchburchaklar chizilgan rasm. Agar siz uni olib tashlasangiz,
qolganlari bir xil shakllarga (doiralarga) ega bo'ladi.
O'zaro munosabatlarda ko'proq, kamroq, bir xil miqdordagi bolalar 1-sinfning
butun kursi davomida ishlaydi. “Son nur” mavzusini o`rganish jarayonida talabalar
>, < belgilari bilan tanishadilar, ular yordamida sonli tengsizliklarni yozadilar. Bu
yerda ular «tengsizliklar» atamasi bilan, shuningdek, to`g`ri va yolg`on
tengsizliklar tushunchalari bilan tanishadilar. Allaqachon topshiriqda (No 144 , p. )
o'quvchilar taqqoslash belgilaridan foydalangan holda tengsizliklarni yozishni
o'rganadilar.
Shuni ham ta'kidlash kerakki, bolalar "tengsizlik" tushunchasi bilan "tenglik"
tushunchasiga qaraganda biroz oldinroq tanishadilar.
Ramziy model sifatida tabiiy qator segmentidan foydalaniladi (ob'ektlarni sanashda
foydalanish mumkin bo'lgan raqamlar qatori: "5 < 9, chunki 5 raqami 9 dan oldin
sanashda chaqiriladi).
20

Grafik model sifatida raqamli nur ishlatiladi, unda bolalar natural sonlarga mos
keladigan nuqtalarni belgilaydilar.
Ifodalarni taqqoslashga o'tish deyarli darhol amalga oshiriladi. Avval ifoda va
raqamni (son va ifoda) solishtiring. 159- sonda shaklning tengsizliklari qo'llaniladi:
2 + 4 > 5 va 7 < 3 + 3. Bu erda o'quvchilar to'plamlar ustida amallar yordamida
solishtiradilar: ifoda qiymatini topadilar va uni berilgan son bilan taqqoslaydilar.
Kelajakda talabalar ikkita ifodani solishtiradilar ( No 174, 178 va boshqalar). Bu
erda bolalar nafaqat harakatlarning ma'nosi asosida taqqoslaydilar, balki mantiqiy
fikrlash usullaridan ham foydalanadilar: 3 + 2 < 4 + 2, chunki atamalardan biri bir
xil va 3 < 4.
Bu yerda 1-sinfda o‘zgaruvchili tengsizliklarni yechish uchun tayyorgarlik ishlari
olib borilmoqda, (100-son 232-bet). Tengsizliklar odatiy belgi yordamida
o'rnatiladi, uni bolalar deraza deb atashadi, masalan: 9 - 3 > 9 - 8 - < 8 - 6
"Tengsizlikni yechish", "tengsizlikni yechish" atamalari kiritilmagan, chunki ko'p
hollarda ular to'g'ri tengsizlik olinadigan o'zgaruvchining qiymatlarini tanlash bilan
cheklanadi.
Boshqa kontsentratsiyalardagi harakatlarni o'rganayotganda, taqqoslash va
tengsizliklarni echish uchun mashqlar murakkablashadi - raqamlar va ifodalar
murakkablashadi: 57 + 28 ... 57 - 28 (2-sinf, 107-son 318-bet) , (80 + 12) : 2 ... 80 :
2 + 12 (3-sinf, 110-son 350-bet), 36084 ∙ 7 ... 36084 ∙ 5 (4-sinf, 17-bet No 34), ¼ ...
¾ (4-sinf, 218-bet, 552-son). Ikkinchi sinfda o'quvchilar uzunlik birliklarini
solishtiradilar:
5m 3dm ... 5m 4dm, 35dm ... 34dm 5sm (111-son 337-bet) ,
uchinchi - vaqt birliklarida: 7 min 15s 445s (164-son 549-bet) . S birliklari,
massalari?
IV sinfda (4-chorak) o‘zgaruvchi tushunchasi kiritiladi. Bu erda o'quvchilar
o'zgaruvchining qiymatini tanlash orqali o'zgaruvchisi bo'lgan tengsizliklarni
yechishadi. Sahifa 201-son 513-son.
To'g'ri sonli tengsizliklarni olish uchun a o'rniga qanday raqamlarni yozish
mumkin:
21

a + 290 < 300 - 6
a – 180 < 96 : 16
Shunday qilib, "tengsizlik" tushunchasi bilan, Istomina N.B. tizimida bolalar 1-
sinfda tanishadilar. Ikki to'plamning elementlari o'rtasida birma-bir yozishmalarni
o'rnatish natijasida. Bunda mavzu, grafik va ramziy modellardan foydalaniladi.
Raqamlarni taqqoslash oddiydan murakkabga o'tadi. Birinchidan, ikkita bir xonali
sonlar, so'ngra ifodalar, so'ngra ikki xonali, uch xonali va ko'p xonali raqamlar
taqqoslanadi. Bunda iboralarni solishtirish ham murakkablashadi. Taqqoslash
hisoblash malakalari asosida, harakatning ma'nosi, harakatlarning xususiyatlari,
raqamlash bilimlari asosida sodir bo'ladi.
Xulosa
Kurs ishini yozish amalga oshirildi:
1. Ilmiy-pedagogik, uslubiy va davriy adabiyotlarni tahlil qilish asosida.
Birinchi bobda tengsizliklar haqidagi nazariy ma'lumotlar aks ettirilgan; ko'rib
chiqildi: tengsizlik haqida umumiy tushuncha, tengsizliklarning xossalari, bir
o'zgaruvchili tengsizliklar, tengsizliklarni yechishning turli usullari.
Ikkinchi bobda turli ta’lim tizimlaridagi tengsizliklarni bartaraf etishda mazmun va
uslubiy yondashuvlar tahlil qilinadi. An'anaviy ta'lim tizimi muallifi Moro M.I.,
Bantova M.A., "Maktab - 2100" tizimi, o'quv to'plami muallifi Peterson L.G. va
ta'limni rivojlantirish tizimi, o'quv-metodik to'plam muallifi Istomina N.B.
Tahlil davomida shunday xulosaga keldikki, an'anaviy darsliklarda ko'pincha
tushuntirish - illyustrativ, reproduktiv o'qitish usullari qo'llaniladi. Bilim, ko'nikma
va ko'nikmalarni shakllantiradigan bir xil turdagi o'quv mashqlari ustunlik qiladi .
Mashqlar asosan shaxsiy savollarni ishlab chiqishga qaratilgan. Mustaqil fikrlashni
rivojlantirishga e'tibor berilmaydi. Bu fikrlashning empirik turini shakllantiradi.
N.B.Istomina va L.G.ning darsliklarining xususiyati. Peterson mantiqiy ta'lim
usullaridan foydalaniladi: taqqoslash, tasniflash, o'zgartirish, xususiyatlar bilan
ishlash, mavhumlashtirish, tahlil qilish, umumlashtirish. Talabalar natija topish
uchun murakkab fikrlash zanjiri orqali o'tadigan mashqlarni o'z ichiga oladi.
Qisman qo'llaniladi - bolalarda mantiqiy fikrlashni rivojlantirishga imkon beruvchi
22

va turli mashqlarning ongli ravishda bajarilishiga bevosita ta'sir qiluvchi
o'qitishning qidiruv usuli. Ta'kidlash joizki, muallif Istomina N.B. Kurs mazmuni
an'anaviy bo'lib qolmoqda, Peterson L.G. dasturidan farqli o'laroq, mazmun doirasi
kengaytirilgan.
Ushbu bobning natijasi qiyosiy tahlil bo'lib, unda taqdim etilgan: tayyorgarlik
bosqichi, "tengsizlik" tushunchasining mohiyatini ochish bosqichi va
tengsizliklarni hal qilish. Natija 1-jadvalda keltirilgan (45-bet).
Uchinchi bobda rivojlanishning zaruriy sharti sifatida uzluksizlik tushunchasining
o‘ziga xos xususiyatlari yoritilgan; Istomina N.B. dasturiga muvofiq
rivojlanayotgan ta'lim tizimida ta'limning boshlang'ich va asosiy bosqichlarida
"tengsizlik" tushunchasini o'rganishda uzluksizlik ko'rib chiqiladi.
“Matematika” kursining matematik mazmunini qurishning asosi uzluksizlikni
tavsiflashning kompleks, tizimli yondashuvi bo'lib, u quyidagilarni aks ettiradi:
 maktab o‘quvchilari tomonidan o‘rganilayotgan tushunchaning o‘zaro
bog‘liqligi va rivojlanishini hisobga olgan holda kursning asosiy mazmun-uslubiy
yo‘nalishini qurish mantig‘i;
 o'quvchilarning tafakkurini rivojlantirish;
 o'quvchilarning o'quv faoliyatini tashkil etish usullari.
2. Muallifning ta'lim kontseptsiyasiga muvofiq, professor Istomina N.B.
o‘quvchilarning tafakkurini rivojlantirishga qaratilgan “Tengsizlik” mavzusi
bo‘yicha o‘quv topshiriqlari tizimi tuzildi. “Tengsizlik” mavzusida test ishi ishlab
chiqildi, dars konspektlari tuzildi.
23

Adabiyotlar ro'yxati
1. Bantova M.A., Beltyukova G.V. Boshlang'ich sinflarda matematika o'qitish
metodikasi. - M .: Ta'lim, 1984.- 335s.
2. Bantova M.A., Beltyukova G.V., Stepanova S.V. "Matematika. 1-sinf" darsligi
bo'yicha uslubiy qo'llanma: O'qituvchi uchun qo'llanma. Ma'rifat, 2002 yil.
3. Baranov I.A., Bogatyrev G.I., Bokovnev O.A. Texnika maktablarining tayyorlov
kurslari uchun matematika (T.A. Pankov muharriri ostida. - M .: Nauka. Fizika
bosh muharriri. - mat.lit., 1982 yil.
4. Istomina N.B., Nefedova I.B. To'rt yillik boshlang'ich maktab uchun matematika
darsliklari haqida ma'lumot va uslubiy yozuv // Boshlang'ich maktab. - 1998 yil -
8-son. – B.72 - 74
5. Istomina N.B. Boshlang'ich sinflarda matematika o'qitish metodikasi. M.:
"Akademiya" nashriyot markazi, 2000. - 288s.
6. Istomina N.B., Nefedova I.B. Matematika. To‘rt yillik boshlang‘ich maktabning
1-sinfi uchun darslik. - Smolensk, 2001. - 176s.
7. Istomina N.B., Nefedova I.B. Matematika. To‘rt yillik boshlang‘ich maktabning
2-sinfi uchun darslik. - Smolensk, 2001. - 176s.
8. Istomina N.B., Nefedova I.B. Matematika. To‘rt yillik boshlang‘ich maktabning
3-sinfi uchun darslik. - Smolensk, 2000. - 176s.
9. Istomina N.B. Matematika. To‘rt yillik boshlang‘ich maktabning 4-sinfi uchun
darslik. - Smolensk, 1999. - 240-yillar.
10. Istomina N.B. "Matematika. 1-sinf" darsligi bo'yicha uslubiy ko'rsatmalar. -
Smolensk. Uyushma XXI asr, 2000 - 112p.
11. Istomina N.B. "Matematika. 2-sinf" darsligi bo'yicha uslubiy ko'rsatmalar. -
Smolensk. Uyushma XXI asr, 2001 - 96-yillar.
12. Istomina N.B. "Matematika. 3-sinf" darsligi bo'yicha uslubiy ko'rsatmalar. -
Smolensk. Uyushma XXI asr, 2000 - 112p.
Allbest.ru saytida joylashgan
24

Tenglik va tengsizliklar

Sotib olish

Dokument ma'lumotlari

Sotuvchi

Tenglik va tengsizliklar

O'xshash dokumentlar