Trigonometrik funksiyalarni ayniy shakl almashtirish metodlari - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	15000UZS
Hajmi	3.9MB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	06 May 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

Alisher Norboyev

Ro'yxatga olish sanasi 06 May 2025

0 Sotish

Trigonometrik funksiyalarni ayniy shakl almashtirish metodlari

Sotib olish

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA
INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI

SAMARQAND – 2025
1Tirogonometrik ifodalarni ayniy almashtirish
metodlari mavzusida
KURS ISHI

MAVZU: TRIGINOMETRIK IFODALARNI AYNIY
ALMASHTIRISH METODLARI
MUNDARIJA
I.BOB: TRIGONOMETRIA HAQIDA ASOSIY TUSHUNCHALAR ................ 5
1.1.TRIGONOMETRIYANING RIVOJLANISH TARIXI .................................. 5
1.2.TRIGONOMETRIK ASOSIY FORMULALAR ........................................... 14
II.BOB:TRIGONOMETRIK IFODALARNI AYNIY ALMASHTIRISHLAR
VA IFODALARNI SODDALASHTIRISHGA DOIR MISOLLAR YECHISH
METODIKASI ......................................................................................................... 20
2.1. TRIGONOMETRIK IFODALARNI AYNIY ALMASHTIRISHLAR ........ 20
2.2. TRIGONOMETRIK IFODALARNI SODDALASHTIRISHGA DOIR
MISOLLAR YECHISH METODIKASI ............................................................. 25
XULOSA ................................................................................................................... 34
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR. ............................................................... 35
2

KIRISH
Shavkat Mirziyoyevning O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti lavozimiga
kirishish tantanali marosimiga bag‘ishlangan Oliy Majlis palatalarining qo‘shma
majlisidagi nutqida “ Biz yoshlarga doir davlat siyosatini hech og‘ishmasdan, -
qat’iyat bilan davom ettiramiz. Nafaqat davom ettiramiz, balki bu siyosatni
eng ustuvor vazifamiz sifatida bugun zamon talab qilayotgan yuksak
darajaga ko‘taramiz. Yoshlarimizning mustaqil fikrlaydigan, yuksak
intellektual va ma’naviy salohiyatga ega bo‘lib, dunyo miqyosida o‘z
tengdoshlariga hech qaysi sohada bo‘sh kelmaydigan insonlar bo‘lib kamol
topishi, baxtli bo‘lishi uchun davlatimiz va jamiyatimizning bor kuch va
imkoniyatlarini safarbar etamiz ” deb ta’kidlagan edi.
O‘zbekistonning kelajagi, uning istiqboli,birinchi navbatda yoshlar
tarbiyasiga, ularni sog‘lom qilib o‘stirishga, milliy g‘oya, milliy mafkura va o‘z
vataniga sadoqat ruhida tarbiyalashga bog‘liq bo‘lib, bu murakkab jarayonni
muvaffaqiyatli amalga oshirish mustaqil mamlakatning eng dolzarb vazifalaridan
biridir. Shuning uchun ham, Prezidentimiz Islom Abdug‘aniyevich Karimovning
“Mamlakatimizning istiqboli yosh avlodlarimiz qanday tarbiya topishiga, qanday
ma’naviy fazilatlar egasi bo‘lib voyaga yetishiga, farzandlarimizning hayotga
nechog‘lik faol munosabati bo‘lishiga, qanday oliy maqsadlarga xizmat qilishiga
bog‘liq ekanligini hamisha yodda tutishimiz kerak” deb ta’kidlagani bejiz emas.
Shu boisdan ham bugungi kunda yoshlarning ta’lim-tarbiyasi mustaqil
O‘zbekistonning davlat siyosatida ustivor ahamiyat kasb etmoqda.
Bugungi kunda trigonometriya uchburchaklar tomonlari burchaklari va
uzunliklari qiymatlari o rtasidagi bog liqlikni o rganuvchi hamda trigonometrikʻ ʻ ʻ
funksiyalarning algebraik o ziga xosliklarini tahlil qiluvchi matematikaning mikro
ʻ
bo limidir.Trigonometriya tarixi astronomiya bilan uzviy bog liq, chunki aynan
ʻ ʻ
shu fan muammolarini hal qilish uchun qadimgi olimlar uchburchakdagi turli
miqdorlarning nisbatlarini o rganishni boshlaganlar. Qadimgi Bobil olimlarining
ʻ
tadqiqotlari bilan bog liq bo lgan burchak (daraja) o lchov birliklarining kelib
ʻ ʻ ʻ
chiqishi ko pgina amaliy fanlarda qo llaniladigan zamonaviy o nli sanoq
ʻ ʻ ʻ
3

sistemasiga asos bo lgan seksagesimal hisob tizimiga asoslanadi. ʻ Trigonometriya
dastlab astronomiyaning bir qismi sifatida mavjud bo lgan deb taxmin qilinadi. Va
ʻ
vaqt o'tishi bilan bu fanni inson faoliyatining turli sohalarida qo'llash maqsadga
muvofiqligi paydo bo'ldi. Bular, xususan, astronomiya, dengiz va aeronavigatsiya,
akustika, optika, elektronika, arxitektura va boshqalar. Shuningdek, o sha
ʻ
davrlarning eng muhim yutuqlaridan biri bu to g ri burchakli uchburchaklarda
ʻ ʻ
oyoqlar va gipotenuzaning nisbatlarini aniqlash bo lib, keyinchalik bu Pifagor
ʻ
teoremasi nomi bilan mashhur bo ldi. Qadimgi Yunonistonda trigonometriyaning
ʻ
rivojlanish tarixi astronom Ptolemey nomi bilan bog'liq - dunyoning geosentrik
tizimining muallifi bo'lib, u hukmronlik qilgan. Trigonometrik qatorlarning
umumiy nazariyasi va hosil bo lgan qatorlarning yaqinlashuvini o rganish Eyler
ʻ ʻ
tadqiqotining ob yekti bo lmagan. Biroq, u bilan bog'liq muammolarni hal qilishda
ʼ ʻ
u bu sohada ko'plab kashfiyotlar qildi. Aynan uning ishi tufayli trigonometriya
tarixi davom etdi. U o z asarlarida qisqacha sferik trigonometriya masalalariga
ʻ
ham to xtalib o tgan. Trigonometriya tarixi va uning rivojlanishidagi roli. tabiiy va
ʻ ʻ
matematika fanlari o'rganilmoqda va hozirgi kungacha.
Kurs ishining dolzarbligi: Triginometrik ifodalarni ayniy almashtirish
metodlari amalyotda qo llanilishi.
ʻ
Kurs ishining maqsadi: Triginometrik ifodalarni ayniy almashtirish
metodlari haqida maktab o quvchilarida ko nikma hosil qilish.
ʻ ʻ
Kurs ishining vazifalari: Kurs ishi quyidagi vazifalarni o’z ichiga oladi:
1. Triginometriya haqida tushunchaga ega bo lish.
ʻ
2. Triginometrik ifodalarni ayniy almashtirishlarni yechish.
Kurs ishining amaliy ahamiyati: kurs ishidan maktab o’quvchilari,
abituriyentlar, akademik litsey va kasb-hunar kolleji talabalari triginometrik
ifodalarni ayniy almashtirishga doir bilimlarini mustahkamlashda foydalanishlari
mumkin.
Kurs ishning hajmi va tuzilishi: Kurs ishi kirish, ikki ta bob, to’rtta reja,
xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat.
4

I.BOB: TRIGONOMETRIA HAQIDA ASOSIY TUSHUNCHALAR
1.1.TRIGONOMETRIYANING RIVOJLANISH TARIXI
"Trigonometriya" atamasi
Matematikaning ushbu bo limiga o z nomini bergan atamaning o zi birinchiʻ ʻ ʻ
marta 1505-yilda nemis matematigi Pitiskus tomonidan kitob sarlavhasida
topilgan. "Trigonometriya" so'zi yunoncha bo'lib, "men uchburchakni o'lchayman"
degan ma'noni anglatadi. Aniqroq qilib aytadigan bo'lsak, biz bu raqamning
so'zma-so'z o'lchovi haqida emas, balki uning yechimi, ya'ni ma'lum bo'lganlar
yordamida uning noma'lum elementlarining qiymatlarini aniqlash haqida
bormoqda.
Trigonometriya haqida umumiy ma'lumot
Trigonometriya tarixi ikki ming yildan ko'proq vaqt oldin boshlangan.
Dastlab, uning paydo bo'lishi uchburchakning burchaklari va tomonlari nisbatlarini
aniqlashtirish zarurati bilan bog'liq edi. Tadqiqot jarayonida ma'lum bo'ldiki,
matematikbu nisbatlarni ifodalash uchun dastlab raqamli jadvallar sifatida tuzilgan
maxsus trigonometrik funksiyalarni kiritish talab etiladi. Matematikaga oid ko plab
ʻ
fanlar uchun trigonometriya tarixi rivojlanishga turtki bergan. Qadimgi Bobil
olimlarining tadqiqotlari bilan bog liq bo lgan burchak (daraja) o lchov
ʻ ʻ ʻ
birliklarining kelib chiqishi ko pgina amaliy fanlarda qo llaniladigan zamonaviy
ʻ ʻ
o nli sanoq sistemasiga asos bo lgan seksagesimal hisob tizimiga asoslanadi.
ʻ ʻ
Trigonometriya dastlab astronomiyaning bir qismi sifatida mavjud bo lgan deb
ʻ
taxmin qilinadi. Keyin u arxitekturada qo'llanila boshlandi. Va vaqt o'tishi bilan bu
fanni inson faoliyatining turli sohalarida qo'llash maqsadga muvofiqligi paydo
bo'ldi. Bular, xususan, astronomiya, dengiz va aeronavigatsiya, akustika, optika,
elektronika, arxitektura va boshqalar.
Ilk asrlardagi trigonometriya
Omon qolgan ilmiy yodgorliklar to g risidagi ma lumotlarga asoslanib,
ʻ ʻ ʼ
tadqiqotchilar trigonometriyaning paydo bo lish tarixi uchburchaklarni (sferik)
ʻ
yechish yo llarini topish haqida birinchi o ylagan yunon astronomi Hipparxning
ʻ ʻ
5

ishi bilan bog liq degan xulosaga kelishdi. Uning asarlari miloddan avvalgi 2-asrgaʻ
tegishli.
Trigonometriya tarixi
Shuningdek, o sha davrlarning eng muhim yutuqlaridan biri bu to g ri
ʻ ʻ ʻ
burchakli uchburchaklarda oyoqlar va gipotenuzaning nisbatlarini aniqlash bo lib,
ʻ
keyinchalik bu Pifagor teoremasi nomi bilan mashhur bo ldi. Qadimgi
ʻ
Yunonistonda trigonometriyaning rivojlanish tarixi astronom Ptolemey nomi bilan
bog'liq - dunyoning geosentrik tizimining muallifi bo'lib, u hukmronlik qilgan.
Kopernikga .Yunon astronomlari sinus, kosinus va tangenslarni
bilishmagan. Ular aylana akkordining qiymatini ayiruvchi yoy yordamida topish
uchun jadvallardan foydalanganlar. Akkordni o'lchash birliklari darajalar,
daqiqalar va soniyalar edi. Bir daraja radiusning oltmishdan biriga teng edi.
Shuningdek, qadimgi yunonlarning tadqiqotlari sferik trigonometriyaning
rivojlanishini ilgari surdi. Jumladan, Evklid o'zining "Prinsiplari" asarida turli
diametrli sharlar hajmlari nisbatlarining qonuniyatlari haqida teorema beradi.
Uning bu boradagi ishlari turdosh bilim sohalari rivojida o‘ziga xos turtki bo‘ldi.
Bular, xususan, astronomik asboblar texnologiyasi, kartografik proyeksiyalar
nazariyasi, osmon koordinatalari tizimi va boshqalar.
O rta asrlar: hind olimlarining tadqiqotlari
ʻ
Hindistonlik o rta asr astronomlari katta muvaffaqiyatlarga erishdilar. IV
ʻ
asrda antik fanning nobud bo lishi matematika markazining Hindistonga
ʻ
ko chishiga sabab bo ldi. Trigonometriyaning matematika ta’limotining alohida
ʻ ʻ
bo’limi sifatida tarixi o’rta asrlarda boshlangan. O'shanda olimlar akkordlarni
sinuslar bilan almashtirdilar. Ushbu kashfiyot to'g'ri burchakli uchburchakning
tomonlari va burchaklarini o'rganish bilan bog'liq funktsiyalarni kiritish imkonini
berdi. Ya'ni, o'shanda trigonometriya astronomiyadan ajralib, matematikaning bir
tarmog'iga aylana boshlagan. Birinchi sinuslar jadvallari Aryabxatada bo lgan, ular
ʻ
3 o
, 4 o
, 5 o
orqali chizilgan.. Keyinchalik, jadvallarning batafsil versiyalari paydo
bo'ldi: xususan, Bhaskara sinuslar jadvalini berdi.1 o.
Trigonometriyaning paydo bo'lishi va rivojlanishi tarixi
6

Trigonometriyaga oid birinchi maxsus risola X-XI asrlarda paydo bo lgan.ʻ
Uning muallifi Markaziy Osiyolik olim Al-Beruniy edi. Va o'zining asosiy asari
"Canon Mas'ud" (III kitob)da o'rta asr muallifi trigonometriyaga yanada chuqurroq
kirib, sinuslar jadvalini (qadam 15 ') va teglar jadvalini (1 ° qadam bilan) beradi.).
Evropada trigonometriyaning rivojlanish tarixi
Arab risolalari lotin tiliga tarjima qilingandan so ng (XII-XIII asrlar) hind va
ʻ
fors olimlarining aksariyat g oyalari Yevropa fani tomonidan o zlashtirildi.
ʻ ʻ
Evropada trigonometriya haqida birinchi eslatma 12-asrga to'g'ri keladi.
Tadqiqotchilarning fikriga ko'ra, Evropada trigonometriya tarixi "To'g'ridan-to'g'ri
va teskari akkordlar haqida to'rtta risola" asarining muallifi bo'lgan ingliz Richard
Uollingford nomi bilan bog'liq. Aynan uning ishi butunlay trigonometriyaga
bag'ishlangan birinchi ish bo'ldi. 15-asrga kelib, ko plab mualliflar o z asarlarida
ʻ ʻ
trigonometrik funksiyalarni eslatib o tishgan.
ʻ
Trigonometriya tarixi: Hozirgi zamon
Zamonaviy davrda ko pchilik olimlar trigonometriyaning nafaqat
ʻ
astronomiya va astrologiyada, balki hayotning boshqa sohalarida ham o ta
ʻ
muhimligini anglay boshladilar. Bu, birinchi navbatda, uzoq masofali dengiz
sayohatlarida artilleriya, optika va navigatsiya. Shu sababli, 16-asrning ikkinchi
yarmida bu mavzu o'sha davrning ko'plab taniqli kishilarini, jumladan Nikolay
Kopernik, Iogannes Kepler, Fransua Vietani qiziqtirdi. Kopernik o zining “Osmon
ʻ
sferalarining inqiloblari to g risida” (1543) risolasida trigonometriyaga bir qancha
ʻ ʻ
boblarni bag ishlagan. Biroz vaqt o'tgach, 60-yillardaXVI asrda Kopernikning
ʻ
shogirdi Retik o'zining "Astronomiyaning optik qismi" asarida o'n besh xonali
trigonometrik jadvallarni beradi. Trigonometriya tarixi qisqacha Fransua Viet
"Matematik kanon"da (1579) tekislik va sferik trigonometriyaning to liq va tizimli,
ʻ
isbotlanmagan bo lsa-da tavsifini beradi. Albrecht Dyurer esa sinusoidni dunyoga
ʻ
keltirgan.
Leonhard Eylerning xizmatlari
Trigonometriyaga zamonaviy mazmun va ko rinish berish Leonhard
ʻ
Eylerning xizmati edi. Uning “Cheksizlar tahliliga kirish” (1748) risolasida
7

“trigonometrik funksiyalar” atamasining ta’rifi mavjud bo‘lib, u hozirgi zamonga
tengdir. Shunday qilib, bu olim teskari funktsiyalarni aniqlay oldi. Lekin bu
hammasi emas. Trigonometrik funksiyalarni butun son chizig ida aniqlashʻ
Eylerning nafaqat ruxsat etilgan manfiy burchaklarni, balki 360° dan katta
burchaklarni ham o rganishi tufayli mumkin bo ldi. Aynan u o'z asarlarida to'g'ri
ʻ ʻ
burchakning kosinus va tangensi manfiy ekanligini birinchi bo'lib isbotlagan.
Kosinus va sinusning butun son darajalarining kengayishi ham bu olimning
xizmatlariga aylandi. Trigonometrik qatorlarning umumiy nazariyasi va hosil
bo lgan qatorlarning yaqinlashuvini o rganish Eyler tadqiqotining ob yekti
ʻ ʻ ʼ
bo lmagan. Biroq, u bilan bog'liq muammolarni hal qilishda u bu sohada ko'plab
ʻ
kashfiyotlar qildi. Aynan uning ishi tufayli trigonometriya tarixi davom etdi. U o z
ʻ
asarlarida qisqacha sferik trigonometriya masalalariga ham to xtalib o tgan.
ʻ ʻ
Burchak birliklarining trigonometriyaning kelib chiqish tarixi ham mavjud.
Trigonometriyani qo llash sohalari
ʻ
Trigonometriya amaliy fan emas; haqiqiy kundalik hayotda uning
muammolari kamdan-kam qo'llaniladi. Biroq, bu fakt uning ahamiyatini
kamaytirmaydi. Masalan, astronomlarga yaqin yulduzlargacha bo'lgan masofani
aniq o'lchash va sun'iy yo'ldosh navigatsiya tizimlarini boshqarish imkonini
beruvchi triangulyatsiya texnikasi juda muhim. Trigonometriya shuningdek
navigatsiya, musiqa nazariyasi, akustika, optika, moliyaviy bozor tahlili,
elektronika, ehtimollar nazariyasi, statistika, biologiya, tibbiyotda (masalan,
ultratovush tekshiruvlari, ultratovush va kompyuter tomografiyasini ochishda),
farmatsevtika, kimyo, sonlar nazariyasi, seysmologiya, meteorologiya,
okeanologiya, kartografiya, fizikaning ko plab sohalari, topografiya va geodeziya,
ʻ
arxitektura, fonetika, iqtisodiyot, elektron texnika, mashinasozlik, kompyuter
grafikasi, kristallografiya va boshqalar Trigonometriya tarixi va uning
rivojlanishidagi roli. tabiiy va matematika fanlari o'rganilmoqda va hozirgi
kungacha. Ehtimol, kelajakda uni qo'llash sohalari yanada ko'proq bo'ladi.
Asosiy tushunchalarning kelib chiqish tarixi
8

Trigonometriyaning paydo bo lishi va rivojlanishi tarixi bir asrdan ko proqʻ ʻ
vaqtni o z ichiga oladi. Matematika fanining ushbu bo'limiga asos bo'lgan
ʻ
tushunchalarning kiritilishi ham bir zumda bo'lmagan.trigonometriyaning
rivojlanish tarixi va uning tabiiy-matematika fanlarini o‘rganishdagi o‘rni
Demak, "sinus" tushunchasi juda uzoq tarixga ega. Uchburchaklar va
doiralar segmentlarining turli nisbatlarini eslatish miloddan avvalgi 3-asrga oid
ilmiy ishlarda uchraydi. IshlarEvklid, Arximed, Pergalik Apolloniy kabi buyuk
qadimgi olimlar bu munosabatlarning birinchi tadqiqotlarini o'z ichiga oladi. Yangi
kashfiyotlar muayyan terminologik tushuntirishlarni talab qildi. Shunday qilib,
hind olimi Aryabhata akkordga "jiva" nomini beradi, bu "kamon" degan ma'noni
anglatadi. Arab matematika matnlari lotin tiliga tarjima qilinganda, bu atama bir-
biriga chambarchas bog‘liq bo‘lgan sinus (ya’ni “egilish”) bilan almashtirildi.
"Kosinus" so'zi ancha keyin paydo bo'lgan. Bu atama lotincha “qo‘shimcha sinus”
iborasining qisqartirilgan versiyasidir. Tangenslarning paydo bo lishi soya
ʻ
uzunligini aniqlash masalasini dekodlash bilan bog liq. “Tangens” atamasi 10-
ʻ
asrda arab matematigi Abul-Vafo tomonidan kiritilgan bo lib, u tangens va
ʻ
kotangentlarni aniqlashning birinchi jadvallarini tuzgan. Ammo evropalik olimlar
bu yutuqlar haqida bilishmagan. Nemis matematigi va astronomi Regimontan 1467
yilda bu tushunchalarni qayta kashf etadi. Tangens teoremasning isboti uning
xizmatlaridir. Va bu atama “tegishli” deb tarjima qilingan. Biz avvalo
trigonometriya bo`limi bilan yaqindan tanishishimiz zarur.trigonometriya nima?
Biz uning graduslarini qanday o`lchaymiz? Birlik aylana nima?keltirish
formulalari nima?formulalarni qanday keltirib chiqaramiz avvalo shularga javob
topa olishimiz zarur bo`ladi.SHuning uchun men birinchi navbatda
trigonometriyaga kirish sifatida uning barcha formulalarini ko`rsatib o`taman.
Geometriya kursida graduslarda ifodalangan burchakning sinusi, kosinusi va
tangensi kiritilgan edi. Bu burchak 0° dan 180° gacha bo‘lgan oraliqda qaralgan.
Ixtiyoriy burchakning sinusi va kosinusi quyidagicha ta’riflanadi:
9

1-T a’ r i f . α burchakning sinusi deb (1; 0) nuqtani koor- dinatalar boshi
atrofida α burchakka burish natijasida hosil bo‘lgan nuqtaning ordinatasiga aytiladi
(sinα kabi belgilanadi).
2-T a’ r i f . α burchakning kosinusi deb (1; 0) nuqtani koordinatalar boshi atrofida
α burchakka burish natijasida hosil bo‘lgan nuqtaning abssissasiga aytiladi (cosα
kabi belgilanadi).
bu nuqtaning abssissasi 0 ga teng, shuning uchun
10

1.2. TRIGONOMETRIK ASOSIY FORMULALAR
14

II.BOB:TRIGONOMETRIK IFODALARNI AYNIY ALMASHTIRISHLAR
VA IFODALARNI SODDALASHTIRISHGA DOIR MISOLLAR YECHISH
METODIKASI
2.1. TRIGONOMETRIK IFODALARNI AYNIY ALMASHTIRISHLAR
20

Maktab matematika kursining trigonometriya bo’limida juda ko’p ayniy
munosabatlar, jumladan, quyidagi munosabatlar o’rganiladi:
1. Trigonometrik funksiyalarning birini ikkinchisi orqali ifodalaydigan ayniy
almashtirishlar.
2. Trigonometrik ifodalarni soddalashtirishdagi ayniy almashtirishlar.
3. Trigonometrik ayniyatlarni isbotlashdagi ayniy almashtirishlar.
4. Trigonometrik tenglamalarni yechishdagi ayniy almashtirishlar.
Avval matemat і ka, key і n esa boshqa fanlar. Shunday ekan maktab
o`quvch і lar і ga matemat і ka darslar і n і s і fatl і o`t і sh, dars samaradorl і g і n і osh і r і sh,
yang і metodlardan foydalan і sh kab і vaz і falar bugung і kunn і ng dolzarb vaz і falar і
h і soblanad і . Bu borada O‘zbek і ston Respubl і kas і Prez і dent і n і ng 2020-y і l 7-
maydag і “Matemat і ka sohas і dag і ta`l і m s і fat і n і osh і r і sh va і lm і y-tadq і qotlarn і
r і vojlant і r і sh chora-tadb і rlar і to`g`r і s і da”g і PQ-4708-son qaror і dastur і lamal bo`l і b
x і zmat q і l і sh і shubhas і z.1 Qarorga ko`ra 2020 — 2023-y і llarda O‘zbek і ston
Respubl і kas і da matemat і ka fanlar і bo‘y і cha ta’l і m s і fat і n і yaxsh і lash, і lm і y-
tadq і qotlarn і ng nat і jadorl і g і va amal і y aham і yat і n і osh і r і shn і ng maqsadl і dastur і n і
і shlab ch і q і sh va boshqa muh і m vaz і falar belg і lab ber і ld і . Maktab matemat і ka
21

kurs і n і ng tr і gonometr і ya bo’l і m і da juda ko’p ayn і y munosabatlar, jumladan,
quy і dag і munosabatlar o’rgan і lad і :
1. Tr і gonometr і k funks і yalarn і ng b і r і n і і kk і nch і s і orqal і і fodalayd і gan ayn і y
almasht і r і shlar.
2. Tr і gonometr і k і fodalarn і soddalasht і r і shdag і ayn і y almasht і r і shlar.
3. Tr і gonometr і k ayn і yatlarn і і sbotlashdag і ayn і y almasht і r і shlar.
4. Tr і gonometr і k tenglamalarn і yech і shdag і ayn і y almasht і r і shlar.
Yuqor і dag і lardan ko’r і nad і k і , tr і gonometr і ya kurs і da ayn і y almasht і r і shlar muh і m
o’r і nn і egallayd і . І X s і nf geometr і ya kurs і da tr і gonometr і k funks і yalarga ta’r і f
ber і lgan і dan so’ng, to’rtta tr і gonometr і k funks і yalarn і o’zaro bog’lovch і quy і dag і
uchta ayn і yat o’rgan і lad і Bu ayn і yatlarn і kelt і r і b ch і qar і sh maktab geometr і ya
kurs і da batafs і l bayon q і l і ngan. Bu ayn і yatdardan yana quy і dag і uchta ayn і yat
kelt і r і b ch і qar і lad і : Yuqor і dag і ayn і yatlar tr і gonometr і k і fodalarn і h і soblashda
bajar і lad і gan ayn і y shakl almasht і r і shlarda eng ko’p і shlat і lad і gan ayn і yatlar
bo’l і b h і soblanad і . O’q і tuvch і o’quvch і larga і ld і zl і і fodalar ust і da bajar і lad і gan
tr і gonometr і k ayn і y shakl almasht і r і shlarn і bajar і shga aloh і da e’t і bor ber і sh loz і m.
Masalan, і fodan і olayl і k. Bun і h і soblayd і gan bo’lsak, tengl і g і o’r і nl і bo’lad і .
O’quvch і larga va tengl і klarn і ng ma’nos і n і tushunt і r і sh loz і m. Bu erda q і ymat І
chorakdag і , esa ІІІ chorakdag і q і ymat ekanl і g і n і geometr і k nuqta і nazar і dan
ko’rsat і b tushunt і r і sh maqsadga muvof і q. Bundan tashqar і  n і ng an і q son
q і ymatlar і da ham bu і fodalarn і h і soblash loz і m. Masalan, bo’lganda shun і ng
uchun , ammo . Demak, ekan. O’quvch і lar ayn і y shakl almasht і r і shlarn і yaxsh і
o’zlasht і r і shlar і uchun b і r і nch і dan tr і gonometr і k funks і yalar ta’r і f і n і , ulardan
b і r і n і і kk і nch і s і orqal і і fodalovch і va asos і y ayn і yatlar kab і formulalarn і
b і l і shlar і ga, і kk і nch і dan esa ana shu formulalarn і tr і gonometr і k і foda ber і l і sh і ga
qarab tadb і q q і la ol і sh malakalar і ga bog’l і qd і r. Maktab matemat і ka kurs і dag і
tr і gonometr і k ayn і y shakl almasht і r і shlarn і og’zak і bajar і shga o’quvch і larn і
o’rgat і sh ularda mant і q і y matemat і k tafakkurn і shakllant і rad і . O’q і tuvch і b і ror
tr і gonometr і k і fodan і ng shakl і n і almasht і r і shn і bajar і shdan old і n o’quvch і larga
eng sodda bo’lgan og’zak і tr і gonometr і k mashqlardan namunalarn і doskaga yoz і b,
22

o’quvch і lardan tezroq og’zak і soddalasht і r і shn і bajar і shlar і n і talab q і l і sh і
o’quvch і larn і tr і gonometr і k ayn і yat va formulalarn і esda do і mo saqlashlar і ga
і mkon yaratad і .:Yuqoridagilardan ko’rinadiki, trigonometriya kursida ayniy
almashtirishlar muhim o’rinni egallaydi. IX sinf geometriya kursida trigonometrik
funksiyalarga ta’rif berilganidan so’ng, to’rtta trigonometrik funksiyalarni o’zaro
bog’lovchi quyidagi uchta ayniyat o’rganiladi:
.
sincos
.3 ;
cos sin
.2 ;1sincos.1 22
a a
ctga aa
tga aa
 
Bu ayniyatlarni keltirib chiqarish maktab geometriya kursida batafsil bayon
qilingan. Bu ayniyatdardan yana quyidagi uchta ayniyat keltirib chiqariladi:. 1 sin
1 .3 ; 1 cos
1 .2 ;1 .1 2 2 2 2 a ctg a a tg a ctga tga      

Yuqoridagi ayniyatlar trigonometrik ifodalarni hisoblashda bajariladigan
ayniy shakl almashtirishlarda eng ko’p ishlatiladigan ayniyatlar bo’lib hisoblanadi.
O’qituvchi o’quvchilarga ildizli ifodalar ustida bajariladigan trigonometrik ayniy
shakl almashtirishlarni bajarishga alohida e’tibor berish lozim. Masalan,
2 cos 1
ifodani olaylik. Buni hisoblaydigan bo’lsak,
  sin cos 1 2  
tengligi o’rinli
bo’ladi.
O’quvchilarga
  sin cos 1 2  
va   sin cos 1 2  
tengliklarning
ma’nosini tushuntirish lozim. Bu erda
  sin cos 1 2  
qiymat I chorakdagi,
  sin cos 1
2  
esa III chorakdagi qiymat ekanligini geometrik nuqtai nazaridan
ko’rsatib tushuntirish maqsadga muvofiq. Bundan tashqari  ning aniq son
qiymatlarida ham bu ifodalarni hisoblash lozim. Masalan,
3
   bo’lganda
23

, 2
3
3 sin   shuning uchun
2
3 cos 1 2    , ammo 2 3
3sinsin 




  
. Demak,
  sin cos 1
2  
ekan.
24

2.2. TRIGONOMETRIK IFODALARNI SODDALASHTIRISHGA DOIR
MISOLLAR YECHISH METODIKASI
O’quvchilar ayniy shakl almashtirishlarni yaxshi o’zlashtirishlari uchun
birinchidan trigonometrik funksiyalar ta’rifini, ulardan birini ikkinchisi orqali
ifodalovchi va asosiy ayniyatlar kabi formulalarni bilishlariga, ikkinchidan esa ana
shu formulalarni trigonometrik ifoda berilishiga qarab tadbiq qila olish
malakalariga bog’liqdir. Maktab matematika kursidagi trigonometrik ayniy shakl
almashtirishlarni og’zaki bajarishga o’quvchilarni o’rgatish ularda mantiqiy
matematik tafakkurni shakllantiradi. O’qituvchi biror trigonometrik ifodaning
shaklini almashtirishni bajarishdan oldin o’quvchilarga eng sodda bo’lgan og’zaki
trigonometrik mashqlardan namunalarni doskaga yozib, o’quvchilardan tezroq
og’zaki soddalashtirishni bajarishlarini talab qilishi o’quvchilarni trigonometrik
ayniyat va formulalarni esda doimo saqlashlariga imkon yaratadi.
Masalan,; cos ;1 ; 1 ; ; cos sin
); cos 1)( cos 1( ; sin 1 ; cos 1 2 2



   
   
   
tg ctg
tg tg ctg ctg
tg tg    
   

Bundan keyin o’qituvchi murakkabrok trigonometrik almashtirishlarni
ko’rsatishi maqsadga muvofiqdir.
1-misol. (1–sin
 )(1+sin  )–cos 2 
ifodani soddalashtiring.
1-usul.
  
  .0 cos cos 1 1 cos cos 1 1
cos sin 1 cos sin 1 sin 1
2 2 2 2
2 2 2
        
      
a a a a
a    
2-usul.
   ;011)cos(sin1 cossin1cossin1sin1
22 222
 
 
    a
2-mis o l.
1 cos sin
1 cos sin
6 6
4 4
 
 
x x
x x if o d a ni s o dd a l a shtiring.
 
 
 
 
.3
2
)1 (cos cos3
)1 (cos cos2
1 cos cos cos3 cos3 1
1 cos cos cos2 1
1 cos cos 1
1 cos cos 1
1 cos sin
1 cos sin
1 cos sin
1 cos sin
22 22
6642 442 63
2 42
2
63
2 42
2
66 44
 
      
    

  
   
 
    
 
x x
x x
x x x x
x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
25

3-misol.     
    ctgсosсos

 
)sin()sin( )()(
ayniyatni isbotlang.
.
sincos
cossin2 coscos2 sincoscossinsincoscossin sinsincoscossinsincoscos
)sin()sin( )()(
 

 
 
       
       
   
   
ctgсosсos
 
 

 
4 - misol.
 
  2 2
secsec1 coscos1
 
ifodani soddalashtiring.
 
.cos
1coscos coscos1
cos 1cos cos1
cos 11
1 cos1
secsec1 cos1
2
2 22
22 2
22
2 2   
  

 
 
 
 
 
 



 

 

  сos
сosсos
сos сosсos
Yuqoridagilardan ko’rinadiki, trigonometriya kursida ayniy almashtirishlar
muhim o’rin egallaydi. O’quvchilar trigonometrik ayniy shakl almashtirishlarni
yaxshi o’zlashtirishlari uchun birinchidan, trigonometrik funksiyalarni birini
ikkinchisi orqali ifodalovchi va asosiy ayniyat kabi formulalarni, ikkinchidan esa
shu formulalarni trigonometrik ifodani berilishiga qarab tadbiq qila olish
malakalariga bog’liqdir. Trigonometrik ayniy shakl almashtirishlarni bajarish
uchun quyidagi formulalarni bilishlari kerak:
1. Asosiy trigonometrik ayniyatlar:
;,)12(
2,
cos 1
sec)4);(,
sincos
)3 ;,)12(
2,
cos sin
)2;1cossin)1 22
Znnnctg Znntg





 





      
 
  
   
. ), ( , sin
1 cos )5 Z n n ec       
Bu ayniyatlardan kelib chiqadigan formulalar quyidagilardir:
. , 2 1 )1 Z n n ctg tg  
 
       
 
.,,cos1)3 .,)12(
2,sec1)2
22 22
Znecctg Znntg
 




   
   
1-misol. Ayniyatni isbotlang.
.)1 2(2 ,2 cos sin5 )1 2)(2 ( cos 2



       n tg tg       
26

Isboti:
.2)cos(sin2cossin5cossincos2cossin4sin2 cossin51
cos sin2
2
cos sin
coscossin5)12)(2(cos
2222 22
 









         
  


       tgtg
2-misol. Ayniyatni isbotlang:
 
     
  
.
cossin cos
cossin cossinsin1 sin1
sincos
cos sin
sin1)sin1)((sin1. .,
2.)sin1)((sin1
2222   

 
  
 


     
      
ctgctgtgИсботи Znctgctgtg


 
 




 




II. Ikki burchak yig’indisi va ayirmasining trigonometrik funksiyalari.
        sin cos cos sin sin )1   
 
 
   
..1
)4 .),12(
2,, .
1)3 sinsincoscoscos)2
Zπn,nβα,β,α
ctgctg ctgctg
ctg Znntgtg tgtg
tg


 



  
   
   
    
 
   
     

1-misol. cos15 o
ni hisoblang.
Hisoblash.
     0 0 0 0 0 0 0 30 sin 45 sin 30 cos 45 cos ) 30 45 cos( 15 cos
  . 9659,0 2 6 4
1
2
1
2
2
2
3
2
2       
2-mis o l. sin15 o
ni his o bl a ng .
H isoblash
 .2 6 4
1
2
1
2
2
2
3
2
2 30 sin 45 cos 30 cos 45 sin ) 30 45 sin( 15 sin 0 0 0 0 0 0 0          
Xuddi shuningdek, tg15 o
=2– 3
, stg15 o
=2+ 3
, sec15 o
=
2 6 larni
hisoblash mumkin.
3-misol. ))((
1 22 22
  


 
tgaatg
tgatg tgatg
ayniyatni isbotlang.
27

).()( 111.
22 22   
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 
tgtg tgtg tgtg
tgtg tgtg
tgtg tgtg
Исботи
4-misol. sin(
 +  )  sin(  -  )=sin 2 
–sin 2 
ayniyatni isbotlang.
. sin sin sin sin sin sin sin sin
) sin 1( sin ) sin 1( sin cos sin cos sin
) sin cos cos sin)( sin cos cos sin( ) sin() sin(
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
       
       
           
     
      
       Isboti
Keltirish formulalari:
;cos)cos(,sin
2cos)3 ;sin)2sin(,cos
23
sin)2 ;sin)sin(,cos
2sin)1
     
     
     





 




 





;)(,
2)6 ;)(,
2)5 ;cos)2cos(,sin
23
cos)4
     
     
     
ctgctgtgctg tgtgctgtg





 




 






IV. Ikkilangan va uchlangan burchakning trigonometrik funksiyalari:
 
;,,2
2 1
2)4 ;),12(
2,2
1 2
2)3 ;sincos2cos)2;cossin22sin)1
2 2 22
Znna
ctgctg
ctg Znna
tgtg
tg

 




    
 
  
 
     
;),12(
2,2
3 31
3)7 ;cos3cos43cos)6;sin4sin33sin)5
32 33






 
Znna
tgtg tg
tg
   
 
     
28

; 4
cos3 3s co cos ) 12 ; 4
3 sin sin3 sin ) 11
; 2
2 cos 1 cos ) 10 ; 2
2 cos 1 sin )9
; , 3 3 1
3 3 )8
3 3
2 2
2
3
     
   
  
  
   
   



   
  Z n n
tg
tg tg ctg
1-misol. sin
 sin(60 o
–  )  sin(60 o
+  )= 4
1 sin3
 ayniyatni isbotlang.
 
.3sin
41
sin4sin3
41 sin
43
sin)sin60(sinsin)60sin()60sin(sin.
3 220200   
      
 




Isboti
2-misol. cos
 cos(60 o
––  )  cos(60 o
+  )= 4
1 cos3
 ayniyatni isbotlang.
3-misol. tg
 tg(60 o
–  )  tg(60 o
+  )=tg3  ayniyatni isbotlang.
Bu ayniyatlardan foydalanib, quyidagi trigonometrik ifodalarni osonlikcha
hisoblash mumkin:
. 18 66 54 6 )
; 8
3 30 cos4
1 70 cos 50 cos 10 cos )
; 8
3
2
3
4
1 60 sin4
1 20 3 sin4
1 80 sin 40 sin 20 sin )
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
tg tg tg tg в
б
a
  
   
       
4-misol. sin3
 cos 3 
+sin 3 
cos3  = 4
3 sin
 ayniyatni isbotlang.
. 4 sin4
3 ) 3 cos sin cos 3 sin(4
3
4
3 sin sin3 3 cos
4
cos3 3 cos 3 sin 3 cos sin cos 3 sin . 3 3
       
      
    
    Isboti

5-misol . cos
 cos2  cos4  ifodani soddalashtiring.
Yechish. Berilgan ifodani sin
 ga ko’paytiramiz hamda bo’lamiz.
.
sin8 8sin
sin 8sin
2 1
2 1
2 1
sin 4cos4sin
2 1
2 1 sin 4cos22sin
2 1
sin sin42





 

  

   













 
 сos
сosсosсos
29

6-misol. tg4 –sec4  = a a
a a
2 cos 2 sin
2 cos 2 sin

 ayniyatni isbotlang.
V . Yarim argumentning trigonometrik funksiyalari
;
2cos1
2cos)2;
2cos1
2sin)1
    


   
;
cos1 cos1
2)4 ;,12;
cos1 cos1
2)3

 
  
 

 


ctg Znntg
 
 ; , ; cos 1
sin
sin
cos 1
2 )6
; , ; sin
cos 1
cos 1
sin
2 )5
Z n n ctg
Z n n tg
     
     
  


 
  


 
1-misol.
' 30 7 0 tg
ni hisoblang.
Yechish.
 
 
  
  
.2 2 3 6
4
8 3 4 2 4 6 4
2 6 2 6
2 6 2 6 4
2 6 4
1
2 6 4
1 1
15 sin
15 cos 1 ' 30 7 0
0 0
   
    
 
   


 
   tg
2-misol.
2
3
15 1
15 1
0 2
0 2
 

tg
tg ni isbotlang.
Isboti.
. 2
3 30 cos
30 cos 1
30 cos 1 1
30 cos 1
30 cos 1 1
15 1
15 1 0
0
0
0
0
0 2
0 2
 

 

 
 

tg
tg
VI. Trigonometrik funksiyalar ko’paytmasini yig’indiga keltirish formulalari:
 
 
 
;)cos()cos(
2 1
sinsin)3 ;)cos()cos(
2 1
coscos)2 ;)sin()sin(
2 1
cossin)1      
     
     
  
Misol. cos
 +cos(  +2  )+...+cos(  +  ) ifodani soddalashtiring.
30

Yechish. Berilgan ifodani 2 sin  ga ko’paytiramiz va bo’lamiz.


 )2cos(
2sin)cos(
2sincos
2sin
2sin 1
       


















2sin
2sin
2sin2 1
)cos(
2sin...
        n
 
 
  
 
  
 
  
 
   ... β α β α β α β α 2
3 sin 2
5 sin 2 sin 2
3 sin
 
 
  
 
  
 
  
 
   ... β α β α β α β α 2
3 sin 2
5 sin 2 sin 2
3 sin
. β
βn α β n
βn α β n
β
β α β n α β β n α β n α
2 sin
2 cos 2
1 sin
2 cos 2
1 sin2
2 sin
1
2 sin 2
1 2 sin
2 sin
1
2
1 2 sin 2
1 2 sin

 
  

 
   
 



 
  
 
   

 
   
 
   
VII. Trigonometrik funksiyalar yig’indisi va ayirmasining formulalari:
;
2sin
2sin2coscos)4 ;
2cos
2cos2coscos)3 ;
2cos
2sin2sinsin)2 ;
2cos
2sin2sinsin)1
     
     
     
     


 

 

 


; ),1 2(2 , , cos cos
) sin( )5 


    
   Z n n tg tg     
   
 
.
sinsin )sin(
)8 ;,,,
sinsin )sin(
)7 ;),12(
2,,
coscos )sin(
)6
 
   
    
   
    
   
 
 
 
 




 

ctgctg Znnctgctg Znntgtg
31

1-misol.       ) cos( cos cos cos       2 cos 2 cos 2 cos4         
ayniyatni isbotlang.
Isboti.
. 2 cos 2 cos 2 cos4
4
2 cos 4
2 cos2 2 cos2 2
2 cos 2 cos 2 cos2
2 cos 2 cos2 2 cos 2 cos2 ) cos( cos cos cos
     
                  
                 
   
           
 
      
                
2-misol . Agar
         
coscoscos22sinsinsin 222
 lsa,bo'

tenglikning o’rinli ekanligini isbotlang.
Isboti. Shartga ko’ra
       u holda
                 2 ) ( sin sin sin 2 ) ( sin sin sin 2 sin sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2            
               1 ) (2 cos 2 cos 2 cos 2
1 2 2
) (2 cos 1
2
2 cos 1
2
2 cos 1        
   
. cos cos cos2 cos cos) cos(2 cos cos) cos(2
) cos( ) cos() cos( ) ( cos2 ) cos() cos(
2
1 2
          
           
    
          
VII. Trigonometrik funksiyalarni yarim argumentning tangensi orqali
ifodalash:
 
;),12(
21 22
sin)1
2 Znna
a
tg a
tg
a 
 
 
;),12(
21 21
cos)2
22
Znna
a
tg a
tg
a 
 
 
;),12(
22,
21 22
)3
2 




 Znna
a
a
tg a
tg
tga

32

XULOSA
Xulosa o’rnida shuni aytishimiz mukinki, o’qituvchi bilim uzatuvchi rolidan
o’quv jarayonini tashkil qiluvchi, o’qish faoliyatini boshqaruvchi, o’quvchilar
faolligini psixologik va pedagogik jihatdan oqilona qo’llab quvvatlab
rivojlantiruvchi roliga o’tishi, deb hisoblaymiz.Matematika o`qitish metodikasi
fani ,Trigonometrik ifodalarni ayniy almashtirish metodlari mavzusi yuzasidan
chuqur bilimga ega bo`ldim.Men har bir misollarni alohida tahlil qilib,qanday
isbotlashlarni o`rganib chiqdim.Bilim doiramdan kelib chiqqan holda kurs ishimni
yozdim.Trigonometriya fanini eng birinchi tarixini o`rganib chiqdim va dastlab
qaysi olimlar fanga asos solganini,qaysi davlatlarda keng tarqalganini ham
o`rganishga muvaffaq bo`ldim.Trigonometriya tarixidan so`ng uning asosiy
mazmuni so`ngra qiymatlar jadvali,formulalarini ham ko`rsatib o`tdim.xulosa qilib
aytganda trigonometrik ifodalarga barcha bo`limni olsak bo`ladi. Masalan:
trigonometrik tenglama, tengsizlik, parametrik tenglama, teskari tenglamalar ham
misol bo`la oladi. Yuqoridagilardan ko’rinadiki, trigonometriya kursida ayniy
almashtirishlar muhim o’rin egallaydi. O’quvchilar trigonometrik ayniy shakl
almashtirishlarni yaxshi o’zlashtirishlari uchun birinchidan, trigonometrik
funksiyalarni birini ikkinchisi orqali ifodalovchi va asosiy ayniyat kabi
formulalarni, ikkinchidan esa shu formulalarni trigonometrik ifodani berilishiga
qarab tadbiq qila olish malakalariga bog’liqdir. O’quvchilar ayniy shakl
almashtirishlarni yaxshi o’zlashtirishlari uchun birinchidan trigonometrik
funksiyalar ta’rifini, ulardan birini ikkinchisi orqali ifodalovchi va asosiy
ayniyatlar kabi formulalarni bilishlariga, ikkinchidan esa ana shu formulalarni
trigonometrik ifoda berilishiga qarab tadbiq qila olish malakalariga bog’liqdir.
Maktab matematika kursidagi trigonometrik ayniy shakl almashtirishlarni og’zaki
bajarishga o’quvchilarni o’rgatish ularda mantiqiy matematik tafakkurni
shakllantiradi. O’qituvchi biror trigonometrik ifodaning shaklini almashtirishni
bajarishdan oldin o’quvchilarga eng sodda bo’lgan og’zaki trigonometrik
mashqlardan namunalarni doskaga yozib, o’quvchilardan tezroq og’zaki
34

soddalashtirishni bajarishlarini talab qilishi o’quvchilarni trigonometrik ayniyat va
formulalarni esda doimo saqlashlariga imkon yaratadi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR.
1. Sh.Al і nov,O.R.Xolmuhammedov,M.A.M і rzaxmedov. 9
2. algebra 2022-y‖ і l www.b і l і mdon.uz
3. www.z і yonet.uz
4. www.lex.uz
5. www.matemat і ka.ru
6. Fadeev. D. K, Sominskiy.I.S. “Sbornik zadach po algebra”. М . Наука ,
1977 г .
7. Proskuryakov I. B. “Sbornik zadach po lineynoy algebre”. « Наука », 1978 г .
8. Abdullaev N. va boshqalar, Algebradan laboratoriya topshiriqlari, T., Univ.,
9. Iskandarov R, Nazarov R “Algebra sonlar nazariyasi”. I, II-qism
10. Novosyolov S.I. “Sonlar nazariyasi asoslari”.
11. Internet ma’lumotlari
35

Sotib olish