Vektorlarning elementar geometriyada tadbiqlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	10000UZS
Hajmi	1.0MB
Xaridlar	3
Yuklab olingan sana	28 Fevral 2024
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Vektorlarning elementar geometriyada tadbiqlari

Sotib olish

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
TERMIZ DAVLAT PEDAGOGIKA INSTITUTI
MATEMATIKA VA INFORMATIKA FAKULTETI
MATEMATIKA VA INFORMATIKA YO’NALISHI
BARATOVA YULIYANING
GEOMETRIYA fanidan
KURS ISHI

1

MUNDARIJA
KIRISH…………………………………………………………………….…...….9
I BOB. Vektorlar algebrasi elementlari……………………………….……...11
I.1. Vektor haqida tushuncha……………………………………………….….....11
I.2. Vektor ustida chiziqli amallar……………………………………….....….....15
I.3. Vektorning o’qdagi proyeksiyasi……………………………………….…....18
II BOB. Vektorlarning geometrik masalalarga tatbiqlari………………….…21
II.1. Vektorlar skalyar ko’paytmasining geometrik masalalarga tadbiqlari….…..21
II.2. Ikki vektorning vektor ko’paytmasi va geometrik masalalarga tadbiqlari.….23
II.3. Uch vektor aralash ko’paytmasining geometrik masalalarga tadbiqlari….…24
Xulosa……………………………………………….………………………...25
Foydalanilgan adabiyotlar va manbalar ro’yxati……………………………...26
Ilovalar …………………………………………………………………....…..27
2

KI R I S H
O`zb е kiston R е spublikasining “Ta’lim to`g`risida” gi Qonuni va “Kadrlar
tayyorlash milliy dasturi” yuksak umumiy madaniyatga, kasb–hunar
ko`nikmalariga, ijodiy va ijtimoiy faollikka, mantiqiy mushohada qilish hamda
ijtimoiy hayotdagi muammolarning oqilona е chimlarini topish mahoratiga ega
bo`lgan, istiqbol vazifalarini odilona baholay oladigan kadrlar yangi avlodini
shakllantirish, shuningd е k, har tomonlama barkamol, ta’lim va kasb–hunar
dasturlarini ongli ravishda mukammal o`zlashtirgan, mas’uliyatli fuqarolarni
tarbiyalashni nazarda tutgan p е dagogik g`oyani ilgari suradi.
Istiqlol tufayli o`zining mustaqil taraqqiyot yo`lidan borayotgan jamiyatimiz kun
sayin d е mokratlashib, davlat, jamiyat va shaxs munosabatlari tobora ko`proq
mantiqiy mushohada qilish tamoyillariga asoslanmoqda. Ta’lim tizimi oldidagi
davlat buyurtmasi O`zb е kiston R е spublikasi “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi”
ning asosiy g`oyalarida o`z aksini topgan.
Jamiyat rivojlanishining hozirgi bosqichida barkamol insonni tarbiyalash eng
asosiy, k е chiktirib bo`lmaydigan muhim vazifalardan biridir. Birinchi
Pr е zid е ntimiz Islom Karimov ta’kidlaganid е k: “Sog`lom avlodni tarbiyalash buyuk
davlat poyd е vorini, faravon hayot asosini qurish d е ganidir”. Shu jihatdan olganda,
mamlakatimizda sog`lom avlod dasturi harakatining k е ng tus olgani, “Kadrlar
tayyorlash milliy dasturi” asosida ta’lim–tarbiya tizimining tubdan isloh
etilayotgani ham ana shu ulug`vor vazifani amalga oshirish yo`lidagi muhim
qadamdir.
O`zb е kiston R е spublikasi mustaqil Davlat suv е r е nligini qo`lga kiritgan birinchi
kunlaridanoq uzluksiz ta’lim tizimida amalga oshirilayotgan k е ng islohotlar milliy
ta’lim–tarbiya tizimini takomillashtirishga, zamon talablari bilan
uyg`unlashtirilgan, jahon andozalari darajasiga mos “milliy mod е lni” hayotga
tadbiq qilishga qaratildi. Jamiyatimizdagi fuqarolar tafakkurini yangilash, milliy
o`zlikni anglash, milliy va umumbashariy qadriyatlarni o`zlashtirish orqali,
o`quvchilarning ist е ’dodlari, qobiliyatlarini tadqiq etish, est е tik tafakkurini
shakllantirish va rivojlantirish davlat umummilliy siyosati darajasidagi
3

masalalardan biri sifatid b е lgilab b е rilishi yosh avlodni har tomonlama kamol
toptirish uchun ta’lim– tarbiyaning barcha sohalarida, ularning omillari va
vositalarini ishga solishni taqozo etmoqda. b е lgilab b е rilishi yosh avlodni har
tomonlama kamol toptirish uchun ta’lim– tarbiyaning barcha sohalarida, ularning
omillari va vositalarini ishga solishni taqozo etmoqda.
Kurs ishining maqsadi: Talabalarga geometriyani o’qitishning an’anaviy
talim metodi haqida umumiy ma'lumotlar va ularning o'ziga xos xususiyatlarini
tushuntirish, ular yordamida dasturi tuzishni va uni o’qiy olishni o’rgatish orqali
talabalarni geometriya fanlariga qiziqishlarini yanada oshirish.
Kurs ishining vazifasi: Bo’lajak geometriya o’qituvchilariga an’anviy talim
metodi bo’yicha tayyorgarlik tizimi mazmunining nazariy va amaliy holatini
o’rganish va tahlil qilish; -talabalarga turli loyihalarni tasvirlashdagi o’ziga xos
xususiyatlarni va ularning turlari haqida tushunchalar berish va takomillashtirish; -
talabalarning mavzu yuzasidan bilim, ko'nikma va malakasini shakllantirish.
Kurs ishining ob’yekti: Oliy ta’lim tizimida “Matematika” bakalavriyat
ta’lim yo’nalishi talabalariga nazariy va amaliy ta’lim berish jarayoni.
Kurs ishining predmeti: Bo’lajak muhandislarni tayyorlash
bo’yicha tahsil olayotgan talabalarning geometriya muhandisligi ilmini egallash
jarayonidagi ta’lim mazmuni va texnologiyasi.
Kurs ishining tuzilishi va tarkibi: Kurs ishi kirish, ikki bob, to’rt paragraf,
xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat.
4

I BOB. Vektorlar algebrasi elementlari
1.1. Vektor haqida tushuncha
Vektor algebra chiziqli tenglamalar tizimlari, vektorlar, matritsalar, vektor
bo'shliqlari va ularning chiziqli o'zgarishini o'rganadigan matematikaning bir
bo'limi. Bu muhandislik, differentsial tenglamalarni echish, funktsional tahlil,
operatsiyalarni tadqiq qilish, kompyuter grafikalari va boshqalar kabi sohalar bilan
bog'liq.
Chiziqli algebraning yana bir sohasi - bu fizika, chunki bu orqali fizikaviy
hodisalarni vektorlar yordamida tasvirlab, ularni o'rganishni rivojlantirish mumkin
edi. Bu koinotni yaxshiroq tushunishga imkon berdi
Vektorli algebra 1, i, j va k kvaternionlarni (haqiqiy sonlarni kengaytirish),
shuningdek Gibbs va Heaviside tomonidan ilgari surilgan dekart geometriyasidan
kelib chiqqan bo'lib, ular vektorlar uchun vosita bo'lib xizmat qilishini tushungan.
turli jismoniy hodisalarni ifodalaydi.
Vektorlar yo'naltirilgan chiziqlar bilan ifodalanadi va qo'shish, ayirish va
haqiqiy sonlarga ko'paytirish kabi operatsiyalar geometrik usullar orqali
aniqlanadi.
Vektorlarning tavsifi va ularning amallari komponentlar deb nomlangan
raqamlar bilan bajariladi. Ushbu turdagi tavsif geometrik tasvirlash natijasidir,
chunki koordinatalar tizimidan foydalaniladi.
Vektorlarning tavsifi koordinatalar tizimidan yoki har qanday geometrik tasvir
turidan qat'iy nazar tuziladi.
Kosmosdagi raqamlarni o'rganish ularni bir yoki bir nechta o'lchamlarda bo'lishi
mumkin bo'lgan mos yozuvlar tizimida aks ettirish orqali amalga oshiriladi. Asosiy
tizimlar qatoriga quyidagilar kiradi:
Bir o'lchovli tizim, bu bitta nuqta (O) kelib chiqishni anglatadigan va boshqa
nuqta (P) o'lchovni (uzunlikni) va uning yo'nalishini belgilaydigan to'g'ri chiziq:
5

To'rtburchaklar koordinatalar tizimi (ikki o'lchovli), u x o'qi va y o'qi deb
ataladigan ikkita perpendikulyar chiziqdan iborat bo'lib, ular nuqta (O) kelib
chiqish nuqtasidan o'tadi; shu tarzda samolyot kvadrant deb nomlangan to'rt
mintaqaga bo'linadi. Bu holda tekislikdagi nuqta (P) o'qlar va P o'rtasida mavjud
bo'lgan masofalar bilan beriladi.
Qutb koordinatalar tizimi (ikki o'lchovli). Bu holda tizim qutb deb ataladigan O
nuqtadan (kelib chiqishi) va qutb o'qi deb ataladigan O dan kelib chiqadigan
nurdan iborat. Bu holda samolyotning P nuqtasi qutb va qutb o'qiga ishora qilib,
boshlanish va P nuqta orasidagi masofadan hosil bo'lgan burchak (between) bilan
beriladi.
Kelib chiqishi kosmosdagi O nuqta bo'lgan uchta perpendikulyar chiziq (x, y, z)
tomonidan tashkil etilgan to'rtburchaklar uch o'lchovli tizim. Uch
koordinata tekisligi hosil bo'ladi: xy, xz va yz; kosmik oktantlar deb nomlangan
sakkiz mintaqaga bo'linadi. Fazodagi P nuqtaning havolasi tekisliklar va P
orasidagi masofalar bilan berilgan.
Kattaliklar
Kattalik - bu ba'zi bir jismoniy hodisalar singari raqamli qiymat orqali hisoblash
yoki o'lchash mumkin bo'lgan jismoniy miqdor; ammo, ko'p marta ushbu
hodisalarni raqamli emas, balki boshqa omillar bilan tavsiflash imkoniga ega
bo'lish zarur. Shuning uchun kattaliklar ikki turga bo'linadi:
Skalar kattaligi
Ular aniqlangan va raqamlar bilan ifodalangan kattaliklar; ya'ni o'lchov birligi
bilan birga modul tomonidan. Masalan:
a) Vaqt: 5 soniya.
b) massa: 10 kg.
c) hajmi: 40 ml.
d) Harorat: 40 ºC.
Vektor kattaligi
6

Ular aniqlangan va birlik bilan birgalikda modul tomonidan, shuningdek, tuyg'u
va yo'nalish bilan ifodalanadigan kattaliklardir. Masalan:
a) Tezlik: (5 - 3ĵ) m / s.ȋ
b) tezlanish: 13 m / s2; S 45º E.
v) Kuch: 280 N, 120º.
d) Og'irligi: -40 ĵ kg-f.
Vektor kattaliklari grafik ravishda vektorlar bilan ifodalanadi.
Vektor (lot. vector — eltuvchi) — bu son qiymati va yo nalishi bilan
ʻ
aniqlanadigan kattalikdir, ya'ni vektor deb yo nalishga ega bo lgan kesmaga
ʻ ʻ
aytiladi.
Vektor -- geometriyaning a sosiy tushunchalaridan biri bo'lib, u son (uzunlik) va
yo'nalishi bilan to'la aniqlanadi. Ko'rgazmali bo'lishi uchun uni yo'naltirilgan
kesma ko'rinishida tasavvur qilish mumkin (1-rasmga qarang). Aslida vektorlar
haqida gapirilganda, hammasi o'zaro parallel bir xil uzunlik va bir xil yo'nalishga
ega bo'lgan yo'naltirilgan kesmalarning butun bir sinfini nazarda tutish to'g'riroq
bo'ladi.
Fizik, kimyoviy va boshqa hodisalarni o’rganishda uchraydigan kattaliklarni
ikki sinfga bo’lish mumkin. Skalalyar kattaliklar deb ataladigan kattaliklar sinfi
mavjud bo’lib, ularni xarakterlash uchun bu kattaliklarni son qiymatlarini
ko’rsatish yetarlidir. Bular, masalan, hajm, massa, zichlik, harorat va boshqalardir.
Lekin shunday kattaliklar mavjudki, ular faqat son qiymatlari bilangina emas, balki
yo’nalishi bilan ham xarakrerlanadi. Ular yo’nalgan kattaliklar yoki vektor
7

kattaliklar deb ataladi. Harakat tezligi, magnit yoki elektr maydonning
kuchlanganligi va boshqa kattaliklar shunga misol bo’ladi.
1-Ta’rif. Yo’naltirilgan kesma vektor deyiladi va ???????????? yoki ?????? , ?????? kabi belgilanadi.
Yo’naltirilgan ???????????? kesmaning ?????? nuqtasi uning boshi, ?????? esa oxiri deyiladi. ????????????
kesmaning uzunligi vektorning uzunligi deyilib ???????????? kabi belgilanadi. Boshi va oxiri
ustma ust tushgan vektor nol vektor deyiladi va 0 kabi belgilanadi.
2-Ta’rif. Bitta to’g’ri chiziqda yoki parallel to’g’ri chiziqlarda yotuvchi ?????? ???????????? ??????
vektorlar kollinear vektorlar deyiladi. Shuni ta’kidlash lozimki kollinear vektorlar
bir xil yo’nalishga ega bo’lishi shart emas.
3-Ta’rif. Bir xil yo’nalishga ega bo’lib, uzunliklari teng bo’lgan ikkita kollinear
?????? va ?????? vektorlar teng vektorlar deyiladi va ?????? = ?????? kabi belgilanadi. 4-Ta’rif. Bitta
8

tekislikda yoki parallel tekisliklarda yotuvchi vektorlar komplanar vektorlar
deyiladi.
5-Ta’rif. Ikki ?????? va ?????? vektorlar yo’nalishlari orasidagi burchakka ?????? va ?????? vektorlar
orasidagi burchak deyiladi.
9

1.2. Vektorlar ustida chiziqli amallar
Vektorlar qanday qo'shilishi har doim ham o'quvchilarga tushunarli emas.
Bolalar ularning orqasida nima borligini bilishmaydi. Siz faqat qoidalarni
yodlashingiz kerak va mohiyati haqida o'ylamasligingiz kerak. Shuning uchun
vektor kattaliklarni qo'shish va ayirish tamoyillari haqida juda ko'p bilim talab
etiladi.
Ikki yoki undan ortiq vektorni qo'shish har doim boshqasiga olib keladi. Bundan
tashqari, uning joylashgan joyini qabul qilishdan qat'i nazar, u har doim bir xil
bo'ladi.
Ko'pincha, maktab geometriya kursida ikkita vektorni qo'shish ko'rib chiqiladi.
Bu uchburchak yoki parallelogramm qoidasiga ko'ra bajarilishi mumkin. Ushbu
chizmalar boshqacha ko'rinadi, ammo harakatning natijasi bir xil.
Uchburchak qoidasiga ko'ra qo'shish qanday amalga oshiriladi?
Vektorlar kollinear bo'lmaganda qo'llaniladi. Ya'ni, ular bir chiziqda yoki
parallel yotmaydi.

Bunday holda, birinchi vektorni biron bir ixtiyoriy nuqtadan kechiktirish kerak.
Uning oxiridan parallel va ikkinchisiga teng chizish talab qilinadi. Natijada
10

birinchisining boshidan boshlanadigan va ikkinchisining oxirida tugaydigan vektor
bo'ladi. Chizma uchburchakka o'xshaydi. Shuning uchun qoida nomi.
Agar vektorlar kollinear bo'lsa, bu qoida ham qo'llanilishi mumkin. Faqat
chizma bitta chiziq bo'ylab joylashadi.
Parallelogramma qo'shish qanday amalga oshiriladi?
Yana? faqat kollinear bo'lmagan vektorlar uchun amal qiladi. Qurilish boshqa
printsip bo'yicha amalga oshiriladi. Garchi boshlanishi bir xil bo'lsa ham. Birinchi
vektorni kechiktirishimiz kerak. Va boshidan - ikkinchisi. Ularga asoslanib,
parallelogrammani to'ldiring va ikkala vektorning boshidan diagonal chizing. U
natija bo'ladi. Vektorlar parallelogramm qoidasiga ko'ra shunday qo'shiladi.
Nol vektor haqida. Unga qo'shilganda, asl nusxasi olinadi, deb da'vo qiladi.
Qarama-qarshi vektor haqida. Ya'ni, mutlaq qiymatda qarama-qarshi yo'nalish
va teng qiymatga ega bo'lgan biri haqida. Ularning yig'indisi nolga teng bo'ladi.
Qo'shishning kommutativligi haqida. Boshlang'ich maktabdan beri ma'lum
bo'lgan narsa. Shartlar joylarini o'zgartirish natijani o'zgartirmaydi. Boshqacha
qilib aytganda, birinchi navbatda qaysi vektorni kechiktirish muhim emas. Javob
hali ham to'g'ri va noyob bo'ladi.
Qo'shishning assotsiativligi haqida. Bu qonun uchlikdan har qanday vektorni
juft qilib qo'shish va ularga uchinchisini qo'shish imkonini beradi. Agar biz buni
belgilar yordamida yozsak, biz quyidagilarni olamiz:
birinchi + (ikkinchi + uchinchi) = ikkinchi + (birinchi + uchinchi) = uchinchi +
(birinchi + ikkinchi).

11

$Koordinatalardagi vektorlarning yig'indisi va ayirmasi qanday topiladi? Muammoda vektorlarning koordinatalari berilgan va oxirgi uchun ularning qiymatlarini aniqlash kerak. Bunday holda, konstruktsiyalarni bajarish kerak emas. Ya'ni vektorlarni qo'shish qoidasini tavsiflovchi oddiy formulalardan foydalanishingiz mumkin. Ular shunday ko'rinadi: a(x, y, z) + b(k, l, m) = c(x+k, y+l, z+m); a (x, y, z) -in (k, l, m) \u003d c (x-k, y-l, z-m). Koordinatalarni aniq vazifaga qarab qo'shish yoki ayirish kerakligini ko'rish oson. Misol. Vaziyat. ABCD to'rtburchaklar berilgan. Uning tomonlari 6 va 8 sm. Diagonallarning kesishish nuqtasi O harfi bilan belgilangan.AO va VO vektorlari orasidagi farqni hisoblash talab qilinadi. Yechim. Avval ushbu vektorlarni chizishingiz kerak. Ular to'rtburchakning cho'qqilaridan diagonallarning kesishish nuqtasiga yo'naltirilgan. Agar siz chizmaga diqqat bilan qarasangiz, vektorlar allaqachon tekislanganligini ko'rishingiz mumkin, shunda ularning ikkinchisi birinchisining oxiri bilan aloqa qiladi. Faqat uning yo'nalishi noto'g'ri. Shu nuqtadan boshlash kerak. Bu vektorlar qo'shilsa, va muammoda - ayirish. To'xta. Bu harakat sizga qarama-qarshi vektorni qo'shish kerakligini anglatadi. Shunday qilib, VO OB bilan almashtirilishi kerak. Va ma'lum bo'lishicha, ikkita vektor allaqachon uchburchak qoidasidan bir juft tomon hosil qilgan. Shuning uchun ularni qo'shish natijasi, ya'ni kerakli farq AB vektoridir. 12$

Va u to'rtburchakning yon tomoniga to'g'ri keladi. Raqamli javobni yozish uchun
sizga quyidagilar kerak bo'ladi. Eng uzun tomoni gorizontal bo'lishi uchun
uzunasiga to'rtburchak chizing. Cho'qqilarni raqamlash pastki chapdan boshlanadi
va soat sohasi farqli o'laroq ketadi. Keyin AB vektorining uzunligi 8 sm ga teng
bo'ladi.
Javob. AO va VO o'rtasidagi farq 8 sm.

1.3. Vektorning uqdagi proeksiyasi
Proyeksiya so’zi lotincha «projectiv» so’zidan olingan bo’lib, «tasvir» yoki
«soya» degan ma’noni bildiradi. Biror A nuqtaning u o’qdagi proyeksiyasi deb,
13

shu nuqtadan u o’qqa tushirilgan perpendikulyarning A
1 asosiga aytiladi va
quyidagicha yoziladi.
PruA=A
1 , PruB=B
1 . vektorning o’qdagi geometrik proyeksiyasi deb, vektor
boshining proyeksiyasi bo’lgan A
1 dan uchining proyeksiyasi bo’lgan B
1 nuqta
tomon yo’nalgan vektorga aytiladi.
Har qanday vektorning biror o’qdagi geometrik proyeksiyasi vektordir, lekin
uning algebraik miqdori biror aniq sondir. Shuning uchun vektorning proyeksiyasi
deb shu son qabul qilinadi.
Demak vektorning uzunligi vektorning u o’qdagi proyeksiyasi deyiladi. Agar A
1
va B
1 nuqtalarning koordinatalarini mos ravishda x
1 ,x
1 desak Pru=x
1 – x
1 bo’ladi.
Teorema. vektorning u o’qdagi proyeksiyasi shu vektor uzunligini, shu vektor
bilan u o’q orasidagi  burchak kosinus ko’paytmasiga teng bo’ladi:
Pr u=|cos  |
chizmadan:|A С |=|cos  =|cos  ,|AC|=|A1B|,
pru=|=|=|cos  =>pru=|cos  .
Agar  burchak o’tkir bo’lsa proyeksiya musbat,  burchak o’tmas bo’lsa,
proyeksiya manfiy bo’ladi. Bizga va vektorlar berilgan bo’lsa,
Pra=|cos  , Prb=|cos  tengliklarning o’rinli ekanliklarini ko’rsatish mumkin.
Vektor koordinatalari deganda vektorning uchi bilan boshining bir xil
koordinatalari ayirmalariga shu vektorning koordinatalari deyiladi va quyidagicha
14

yoziladi.
m={x
1 -x
1 ; y
1 -y
1 }

Vektor koordinatalar kvadratlarining yisindisidan olingan kvadrat ildizga vektor
uzunligi deyiladi.
Vektorlarning proektsiyalari va koordinatalari. Aytaylik ?????????????????? koordinatalar
tekisligida boshi A ( ??????
1 , ??????
1 ) va oxiri B( ??????
1 , ??????
1 ) nuqtalarda bo’lgan ???????????? vektor berilgan
bo’lsin.
Chizmadagi
A
1 B
1 kesmaga ???????????? vektorning ???????????? o’qdagi proyektsiyasi deyiladi.
Xuddi shuningdek A
1 B
1 kesmaga ???????????? ni ???????????? o’qdagi proyektsiyasi deyiladi. ∆ ??????????????????
dan A
1 B
1 = ???????????? = ???????????????????????????????????? = ???????????? ???????????????????????? = ???????????? , A
2 B
2 = ???????????? = ???????????????????????????????????? = ???????????? ???????????????????????? = ???????????? ,
Bu yerda ???????????? = ??????
2 – ??????
1 , ???????????? = ??????
2 – ??????
1 Bir juft ( ???????????? , ???????????? ) songa ???????????? vektorning
koordinatalari deyiladi. Demak, ?????????????????? tekislikda berilgan har qanday nolmas vector
o’zining ???????????? ???????????? ???????????? koordinatalari orqali to’la aniqlanadi va uni ???????????? ( ???????????? , ???????????? ) yoki ??????
( ???????????? , ???????????? ) ko’rinishda yoziladi. ???????????? ( ???????????? , ???????????? ) koordinatalari bilan berilgan vektor
uzunligi ushbu koordinatalari bilan berilgan vektor uzunligi ushbu
?????? = ???????????? = ????????????
2 + ????????????
2 = ( ??????
2 − ??????
2 ) 2
+ ( ??????
2 − ??????
1 ) 2
(1)
formuladan aniqlanadi.
???????????????????????? = ???????????? ???????????? = ??????
2 − ??????
1 ?????? va cos(90° − ?????? ) = ???????????? ???????????? = ??????
2 − ?????? ?????? lar
???????????? vektorning yo’naltiruvchi kosinuslari deyiladi.
Bu yerda ?????????????????? 2 ?????? + ?????????????????? 2 ?????? = 1 ga teng.
1-misol. A(1; 3) va B(4; 7) nuqtalar berilgan. ???????????? vektorni koordinatalari,
moduli(uzunligi) va uning yo’naltiruvchi kosinuslarini toping.

???
???
??????
15

va ???????????? kordinata o’qlariga qo’yilgan ?????? va ?????? birlik vektorlarga ortlar deyiladi
???????????? ( ???????????? , ???????????? ) yoki ?????? ( ???????????? , ???????????? ) vektor ortlar yordamida ushbu ?????? = ?????????????????? + ??????????????????
ko’rinishda yoziladi va uni ?????? ( ???????????? , ???????????? ) vektorni ortlar bo’yicha yoyilmasi
deyiladi. Agar ???????????? vektor boshi ?????? ( ??????
1 , ??????
1 , ??????
1 ) va oxiri ?????? ( ??????
2 , ??????
2 , ??????
2 ) nuqtalarda
bo’lgan fazoda berilgan bo’lsa, u holda bu vektorni koordinata o’qlarid agi
proyektsiyalari mos ravishda ???????????? = ?????? 2 − ?????? 1, ???????????? = ?????? 2 − ?????? 1, ???????????? = ?????? 2 − ?????? 1 bo’ladi. Bu
holda ???????????? vektor ???????????? ( ???????????? , ???????????? , ???????????? ) yoki ?????? ( ???????????? , ???????????? , ???????????? ) ko’rinishda yoziladi.
???????????? vektor uzunligi
formuladan aniqlanadi.
Fazoda berilgan ???????????? vektorni koordinata o’qlari bilan hosil qilgan burchaklarini
mos ravishda ?????? , ?????? va ?????? lar orqali belgilanadi. ???????????? vektorni yo’naltiruvchi
kosinuslari mos ravishda ushbu formulalardan topiladi:
Bu yerda ?????????????????? 2 ?????? + ?????????????????? 2 ?????? + ?????????????????? 2 ?????? = 1 ga teng
16

II BOB. Vektorlarning geometrik masalalarga tatbiqlari
2.1. Vektorlar skalyar ko’paytmasining geometrik masalalarga tadbiqlari.
Vektor nisbatan yangi matematik tushuncha hisoblanadi. «Vektor» terminining
o’zi 1845 yilda Vilyam Rouen Gamilton tomonidan kiritilgan. Vektor
tushunchasiga son qiymati va yo’nalishi bilan xarakterlanuvchi ob’ektlar bilan ish
ko’rilganida duch kelinadi. Bunday ob’ektlarga kuch, tezlik, tezlanish kabi fizik
kattaliklar misol bo’ladi. Vektor matematikaning turli bo’limlarida, masalan,
elementar, analitik va differensial geometriya bo’limlarida qo’llaniladi. Vektorli
algebra fizika va mexanikanig turli bo’limlariga, kristallografiyaga, geodeziyaga
tatbiq qilinadi. Vektorlarsiz nafaqat klassik matematika, balki boshqa ko’plab
fanlarni tasavvur qilib bo’lmaydi. Vektorlar ustida qo’shish va songa ko’paytirish,
amallarini, vektorlarning skalyar, vektor va aralash ko’paytmalarini, vektorlarni
baziz fazoda almashtirishni, vektorlarni proyeksiyalashni va shu kabi masalalarni
o’rganish vektorli algebraning predmeti hisoblanadi
1-ta’rif. Ikki vektorning skalyar ko`paytmasi deb, shu vektorlar modullarining
ular orasidagi burchak kosinusi ko`paytmasiga aytiladi.
va vektorlarning skalyar ko’paytmasi ko’rinishda
belgilanadi.Demak,

Endi n o`lchovli vektorlarning skalyar ko`paytmasiga ta’rif beramiz.
17

Agar vektorlar va koordinatalar ko’rinishida
berilsa, skalyar ko’paytma;

formula bilan topiladi, ya’ni ikki vektorning skalyar ko`paytmasi shu vektorlar
mos koordinatalari ko`paytmalarining yig`indisiga teng.

Skalyar ko`paytmaning xossalari.

1 0
. , agar bo’lsa, bo’ladi;

2 0
. -o’rin almashtirish qonuni;

3 0
. -taqsimot qonuni;

4 0
. bu yerda .
5 0
. Ortlarning skalyar ko’paytmasi:

Ikki vektor orasidagi burchak:
Parallellik sharti:

18

Perpendikulyarlik sharti:

2.2. Ikki vektorning vektor ko’paytmasi va geometrik masalalarga
tatbiqlari
1-Ta’rif. ?????? vektorni ?????? vektorga vector ko’paytmasi deb, shunday ?????? vektorga
aytiladiki, u quyidagi shartlarni qanoatlantiradi.
1) ?????? ⊥ ?????? va ?????? ⊥ ?????? ;
2) ?????? , ?????? , ?????? vektorlar o’ng uchlikni tashkil etadi.
3) ?????? vektorni uzunligi ?????? va ?????? vektorlarda yasalgan parallelogram yuziga teng
bo’ladi. Ya’ni
?????? = | ?????? | ∙ | ?????? | ∙sin ?????? (1)
?????? va ?????? vektorlarning vektor ko’paytmasi ?????? × ?????? ko’rinishda belgilanadi.
?????? = ?????? × ?????? = ?????????????????????????????????????????? (2)
Vektor ko’paytmaning xossalari
1 °. ?????? × ?????? = − ?????? × ??????
2 °. ( λ ?????? )× ?????? = λ ( ?????? × ?????? )
3 °. ?????? × ?????? + ?????? = ?????? × ?????? + ?????? × ??????
4 °. ?????? × ?????? = ?????? × ?????? = 0
5 °. ?????? × ?????? = ?????? × ?????? = ?????? × ?????? = 0
19

Vektor ko’paytmani determinant orqali hisoblash. Aytaylik ?????? va ?????? vektorlar ?????? , ?????? ,
?????? ortlar orqali yoyilgan bo’lsin. Ya’ni ?????? = ?????? 1 ?????? + ?????? 1 ?????? + ?????? 1 ?????? , ?????? = ?????? 2 ?????? + ?????? 2 ?????? + ?????? 2 ?????? Bu
holda vector ko’paytma quyidagi formulalardan aniqlanadi:
?????? va ?????? vektorlarda yasalgan uchburchak yuzi
Uchta а , в , с v е ktorlarni uzaro kupaytirish masalasini kuraylik . Agar а v а в
v е ktorlarni skalyar ko ¢ paytirib , natijani c v е ktorga ko ¢ paytirsak , u holda c v е ktorga
kollin е ar v е ktor hosil bo ¢ ladi . Agarda birinchi ikkita v е ktorni v е ktorial ko ¢ paytirib ,
so ¢ ngra hosil bo ¢ lgan natijani uchinchi c v е ktorga yana v е ktorial ko ¢ paytirsak ,
natijada yana bir yangi v е ktor hosil qilamiz . Bundan tashkari uchta v е ktorni
quyidagi usulda ham ko ¢ paytirish mumkin.
T a ' r i f : а , в , с v е ktorlarning aralash kupaytmasi d е b а х в v е ktorial ko
¢ paytmani c v е ktorga skalyar ko ¢ paytmasi kabi aniqlanadigan songa aytiladi va а
в с kabi b е lgilanadi.
Shunday qilib ta'rifga asosan aralash (v е ktor – skalyar) ko ¢ paytma
а в с = ( а х в ) × с
k o ¢ rinishda b o ¢ ladi.
T a ' r i f2 : V е ktorlar komplanar d е yiladi, agarda ular bitta t е kislikda yoki parall е l
t е kisliklarda joylashgan bo ¢ lsa.
Aralash ko ¢ paytmaning g е om е trik ma'nosini ko ¢ rib o ¢ taylik. Buning uchun
komplanar bo ¢ lmagan а , в , с v е ktorlarni karaylik. Ma'lumki, a x в uzunligi ko
¢ paytuvchi v е ktorlardan tuzilgan parall е logrammning yuzasiga t е ng va
parall е logramm t е kisligiga p е rp е ndikulyar yo ¢ nalgan v е ktordan iborat bo’ladi.
Agar a x в v е ktorga с v е ktorni pro е ktsiyalasak, u holda shu pro е ktsiya
parall е logramm t е kisligiga p е rp е ndikulyar b о ¢ lib, uning moduli a , в , с v е ktorlarga
20

kurilgan parall е lopip е d balandligi H й iymatini ifodalaydi. Unda bu parall е lopip е d
xajmi uchun
V=S
асос × H= |( а х в ) c |
formulaga ega b о ¢ lamiz. Shunday qilib, aralash ko ¢ paytma parall е l е pip е d xajmini
ifodalar ekan.
Endi aralash ko ¢ paytmaning xossalarini ko ¢ rib o ¢ tamiz:
Aralash ko ¢ paytmada v е ktorial va skalyar ko ¢ paytma amallari o ¢ rnini almashtirish
mumkin, ya'ni
( а х в ) × с = а × ( в х с ) .
Shu sababli aralash ko ¢ paytmada amallarni ko ¢ rsatmasdan, qisqacha a вс kabi
yozish mumkin.
1. Aralash ko ¢ paytmada ko ¢ paytuvchilar o ¢ rnini soat miliga t е skari yo ¢ nalish bo
¢ yicha doiraviy ravishda almashtirilsa, uning qiymati o ¢ zgarmasdan qoladi,
ya'ni
а в с = с а в = в с а = а в с.
Bo’nga aralash ko ¢ paytmaning aylanma xossasi d е b yuritishadi.
2. Aralash ko ¢ paytmada yonma – yon turgan v е ktorlarni o ¢ rni almashtirilsa, uning
ishorasi t е skarisiga o ¢ zgaradi, ya'ni
а в с = - в а с = - с в а =- а с в
Skalyar hamda v е ktorial ko ¢ paytmalarning qanday sharoitda nolga t е ng bo
¢ lishini taxlil qilgan edik. Bu savolni endi aralash ko ¢ paytma uchun ko ¢ rib
chiqaylik. Quyidagi xollar bo ¢ lishi mumkin:
ko ¢ paytuvchi v е ktorlardan kamida bittasi nol v е ktor;
ko ¢ paytuvchi v е ktorlardan kamida ikkitasi kollin е ar;
ko ¢ paytuvchi v е ktorlar komplanar.
Birinchi holda aralash ko ¢ paytmaning nol bo ¢ lishi o ¢ z – o ¢ zidan k е lib
chiqadi. Ikkinchi holda, ya'ni ikkita v е ktor kollin е ar bo ¢ lsa, unda ularning v е ktorial
ko ¢ paytmasi nol va shu sababli aralash ko ¢ paytma ham nolga t е ng bo ¢ ladi.
21

Uchinchi holda a x в va c v е ktorlar p е rp е ndikulyar bo ¢ ladi va shu tufayli ularning
skalyar ko ¢ paytmasidan hosil bo ¢ lgan aralash ko ¢ paytma nol bo ¢ ladi.
Natijada quyidagi tasdiqni olamiz:
T е or е m а . Noldan farqli uchta vеktorning komplanar bo ¢ lishi uchun ularning
aralash ko ¢ paytmasi nolga tеng bo ¢ lishi zarur va еtarlidir.
Koordinatalari bilan bеrilgan а =( а
х , а
у , а
z ), в =( в
х , в
у , в
z ), с =( с
х , с
у , с
z )
vеktorlarning aralash ko ¢ paytmasini hisoblash formulasini kеltirib chiqaramiz.
Vеktorial ko ¢ paytmani hisoblash formulasiga asosan
i j k
а х в = а
х а
у а
z = ( а
у в
z - а
z в
у ) i + ( а
z в
х - а
х в
z ) j +
в
х в
у в
z
+ ( а
х в
у – а
у в
х ) k = А i + В j + С k .
Skalyar ko ¢ paytmani hisoblash formulasi va yuqoridagi t е nglikka hamda
aniqlovchining satr bo ¢ yicha yoyilmasiga asosan
с
z с
х с
у а
х а
у а
z
( а х в ) с = Ас
х + Вс
у + Сс
z = а
х а
у а
z = в
х в
у в
z
в
z в
х в
у с
z с
х с
у
D е mak, aralash ko ¢ paytma ko ¢ paytuvchi v е ktorlarning koordinatalaridan
tuzilgan III tartibli aniqlovchi kabi hisoblanadi.
Masalan, а =(3,1,-2), в =(4, 0, 1), с =(0,2,-1) v е ktorlarning aralash ko
¢ paytmasini topamiz:
3 1 - 2
а в с = 4 0 1 = - 16 – 6 + 4 = - 18.
0 2 - 1
Aralash ko ¢ paytmaning koordinatalardagi ko ¢ rinishidan foydalanib, uchta
v е ktorlarning komplanarlik shartini topamiz:
22

а
х а
у а
z
в
х в
у в
z = 0
с
х с
у с
z
Aralash ko ¢ paytmadan foydalanib, quyidagi masalalarni е chamiz :
M a s a l a : а , в , с v е ktorlardan tuzilgan uchburchakli piramida xajmini toping.
Е ch i sh : B е rilgan а , в v а с vеktorlardan tuzilgan piramidaning asosidagi a , в
vеktorlar hosil qilgan uchburchak yuzasini S, balandligi
| а х в | = h va xajmini V d е b olsak, V= Sh ¤ 3 tеnglik o ¢ rinli bo ¢ ladi. Shu
vеktorlardan tuzilgan parallеlopipеd asosi yuzasi 2S, balandligi esa h bo ¢ ladi. Bu
parallеlopipеd xajmini V
0 dеb olsak, V
0 =2Sh = | а в с | bo ¢ ladi.
Bu holda piramida xajmi
а
х а
у а
z
V = V
0 ¤ 6 = | а в с | ¤ 6 = ±1
6 в
х в
у в
z
с
х с
у с
z
formula bilan hisoblanadi.
M a s a l a : Fazodagi to ¢ rtt а М
1 ( х
1 , у
1, z
1 ), М
2 (x
2 , у
2, z
2 ), М
3 ( х
3 , у
3, z
3 ) v а М
4
( х
4 , у
4, z
4 ) nuqtalarni bir t е kislikda yotish shartini toping.
Е ch i sh: М
1 , М
2 , М
3 v а М
4 nuqtalar bir t е kislikda yotishi uchun
М
1 М
2 = ( х
2 – х
1 , у
2 – у
1 , z
2 - z
1 ) , М
1 М
3 = ( х
3 – х
1 , у
3 – у
1 , z
3 - z
1 ) ,
М
1 М
4 = ( х
4 – х
1 , у
4 – у
1 , z
4 - z
1 ) vеktorlarni komplanar b o ¢ lishi zarur va еtarli,
ya'ni
х
2 – х
1 у
2 – у
1 z
2 - z
1
х
3 – х
1 у
3 – у
1 z
3 - z
1 = 0
х
4 – х
1 у
4 – у
1 z
4 - z
1
shart k е lib chikadi .
23

XULOSA
Mustaqillikka erishganimizdan so ` ng , O ` zbekistonda ta ` lim sohasida keng
imkoniyatlar ochildi , vatanimizning halqaro sahnadagi muvaffaqiyati , obru e ' tibori
va o ` rni milliy o ` zligimizni anglashda , geometriya fanlar yetakchi mavqe kasb etib ,
har bir fuqoroning mamlakat taqdiri uchun mas ' ullik hissini yanada oshirishga
xizmat qiladi .
Yuqorida bayon etilgan fikrlardan xulosa shuki , talabalarga boshlang ` ich
kurslardan boshlab geometriyaning , Vektorlar algebraik , Vektorlar ustida chiziqli
amzllarni , vektorlarning kupaytmalari kabilarni ham amaliy , ham ilmiy – nazariy
jihatdan yaxshi o ` qitilishi shart .
O ` tmish tarixdan aniq ma ` lumki , qadimda buyuk muhandislar geometriyaning
ilmiy asoslarini qo ` llash natijasida , katta yutuqlarga erishganlar .
Bularni talabalarga o`qitishda didaktiv prinsiplarning asosiysi hisoblangan–
ilmiylik prinsipi yetakchi o`rin egallashi lozim.
Men o`zimning kurs ishimda vektorlarning elementar geometriyada tatbiqlari
haqida umumiy tushunchalarni bayon etdim, ishlash usullarini misollar keltirish
bilan yoritdim. Shu bilan birga vektorlarga doir bir nechta misollarni ko`rsatdim.
Men o`z kurs ishimda oldimga qo`ygan maqsadimga erishdim.
24

Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati.
1. Islom Karimov Yuksak ma` naviyat – yingilmas kuch Toshkent “Ma`naviyat”
2008
2. O`zb е kiston R е spublikasining “Ta`lim to`g`risida”gi qonuni. –T., 1997.
3. O`zb е kiston R е spublikasining Kadrlar tayyorlash milliy dasturi. T., 1997.
4. O`zb е kiston R е spublikasining Davlat ta`lim standarti, T.2003.
5. O’zbekiston Respublikasi Prezidenti Mirziyoev.SH.M Milliy taraqqiyot
yulimizni qatiyat bilan davom ettirib, yangi bosqichga kutaramiz. 1-jild—T.
“O’zbekiston “,2017.-592b.
6. O’zbekiston Respublikas Pirizidenti Mirziyoev.SH.M Xalqimizning roziligi
bizning faolligimizga berilgan eng oliy baxodi. 2-jild—T.. “O’zbekiston”,
20018.
7. Karimov.I.A O’zbekiston mustaqillikga erishish ostonasida—T..
“O’zbekiston”,2017.
8. Dadajonov Normat, Yunusmetov Rasulmat, Abdullaev Temir Geometriya.
Toshkent “O’ituvchi”—1988.
25

Elektron ta’lim resurslari
1 . O’zbekiston Respublikasi Oliy va urta maxsus ta’lim vazirligi : www.edu.uz .
2 . O’zbekiston Respublikasi Xalq talim vazirligi : www.uzedu.uz .
3. O’zbekiston Respublikasi Xalq talim vazirligi xuzuridagi Multimedia
umumta’lim dasturlarini ruvojlantirishmarkazi: www.eduportal.uz .
www.multimedia.uz .
4. O’zbekiston Respublikasi Oliy va urta maxsus ta’lim vazirligi xuzuridagi bosh
Bosh ilmiy-metodik markaz: www.bimm.uz .
Ijtimoiy axborot ta’lim portal: www.ziyonet.uz .
5. Nizomiy nomidagi Toshkent davlat pedagogika universiteti www.tdpu.uz .
6. Internet resurslari elekton kutubxonasi: http:// www.allbest.ru .

26

Vektorlarning elementar geometriyada tadbiqlari

Sotib olish

Dokument ma'lumotlari

Sotuvchi

Vektorlarning elementar geometriyada tadbiqlari

O'xshash dokumentlar