Algebra va algebraik sistemalar

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	674.0KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	16 Mart 2025
Kengaytma	doc
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

163 Sotish

Algebra va algebraik sistemalar

Sotib olish

REJA :
KIRISH .
I BOB. ALGEBRA VA ALGEBRAIK AMALLAR
1. 1-§. To‘plam va to‘plamlar ustida amallar
1. 2 -§. Algebraik amallar va ularning turlari
II BOB. ASOSIY ALGEBRAIK STRUKTURALAR
2.1 -§. Gruppa, yarimgruppa va monoid lar
2.2 -§. Algebrik amallarga nisbatan halqa va maydonnin g umumiy ta ’ riflari
2.3 -§. Maydon va uning asosiy xususiyatlari
XULOSA .
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR .

KIRISH .
Kishilarning umumta’lim va professional malaka darajasini oshirish, yangi
talablar asosida kishilarning savodhonligini oshirish, uzluksiz ta’lim tizimini joriy
qilish borasidagi tashabbuslari negizida yetuk mutaxassislar va raqobatbardosh
kadrlar tayyorlash orqali tarmoqlardagi o‘sish parametrlarining yaxshilanishiga
erishilmoqda. Ma’lumki, uzluksiz va uzviylik ta’lim tizimida ortiqcha takroriylikka
chek qo‘yib, eng avvalo, jamiyatning ma’naviy va intellektual salohiyatini
kengaytiradi, qolaversa, davlatning ijtimoiy va ilmiy–texnik taraqqiyotini
takomillashtirish omili sifatida ishlab chiqarishning barqaror rivojlanishini
ta’minlaydi. Pedagogik texnologiyalarning rivojlanishi va ularning o‘quv – tarbiya
jarayoniga kirib kelishi natijasida, shuningdek axborotni tez almashinuvi va
takomillashuvi jarayonida har bir inson uchun o‘z kasbiy tayyorgarligini,
mahoratini kuchaytirish imkoniyati yaratildi.
Faqat bilimli, marifatli jamiyatgina demokratik taraqqiyotning barcha
afzalliklarini qadrlay olishini va aksincha, bilimi kam odamlar avtoritarizmni va
totalitar tuzumni maqul ko‘rishini hayotning o‘zi ishonarli tarzda isbotlamoqda.
Birinchi prezidentimiz I.A.Karimov aytganlaridek-“Bilimga chanqoq,
iste’dodli yoshlarni topib, ularni Vatanga fidoiy insonlar qilib tarbiyalash
muqaddas vazifadir”.
Kurs ishining dolzarbligi: Algebra va algebraik sistemalar matematikaning
eng asosiy tushunchalaridan biri hisoblanadi. Algebra lar orqali matematikaning
turli bo‘limlari aksiomatik asosga ega bo‘ladilar. Aksiomatik qurish esa
matematika fanini rivojida asosiy negiz bo‘lib xizmat qiladi. Algebraning asosiy
vazifasi algebraik amallarning xossalarini o‘rganishdan iborat.
Kurs ishining maqsadi: Ushbu kurs ishida algebra va algebraik sistemalar
ko‘rib chiqiladi. Bundan tashqari algebraning asosiy strukturalari hisoblangan
gruppa, halqa hamda maydonlar haqida ma’lumotlar berib o’tish va uni misollar
yordamida mustahkamlash.
2

Algebraik nuqtai nazardan o‘rnashtirilgan amalga nisbatan o‘zlarini bir xilda
olib boradigan to‘plamlar orasida hech qanday farq yo‘q, ularni aynan bir xil deb
hisoblash mumkin.
Kurs ishining ob’yekti: Oliy ta‘lim muassasalarining o‘quvchilari
ishtirokida o‘tkaziladigan ta‘lim-tarbiya jarayoni.
Kurs ishining predmeti : Oliy ta’lim muassasalarida o’tiladigan algebra
va sonlar nazariyasi darslari va uni o’qitish vositalari.
Kurs ishining vazifalari:
1. Mavzuga doir ma’lumotlarni yig’ish va rejani shakllantirish;
2.Ta’lim sifati va samaradorligini yaxshilash orqali ta’lim natijasini
ta’minlash yo’llarini aniqlash;
3. Zamonaviy axborot texnologiyalarini o’rganish;
4. Kurs ishini jihozlab, uni himoyaga tayyor qilish.
Kurs ishining tuzilishi: Ushbu kurs ishi kirish qism, 2 bob hamda beshta
paragraf, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat.
3

I BOB
ALGEBRA VA ALGEBRAIK AMALLAR
1. 1-§. To‘plam va to‘plamlar ustida amallar
To‘plam tushunchasi matematikaning boshlang‘ich tushunchalaridan biri
bo‘lib, u ta ’ rifsiz qabul qilinadi. Buning sababi shundaki, u tushunchaga berilgan
ta’rifning o‘zi ham yanada soddaroq tushunchaga asoslangan bo‘lishi kerak; ammo
bunday tushunchaga ega emasmiz. «To‘plam» so‘zi matematikada «yig‘in»,
«to‘da», «uyum» ma ’ noda ishlatiladi. (To‘plamlar nazariyasining asoschilari C h ex
matematigi B.Bolsano, nemis matematiklari Georg Kantor va R.Dedikentlar
hisoblanadi). To‘plamni ta’rifini qidirmasdan, uni misollar bilan tushuntiramiz.
Masalan, Farg‘ona shahridagi barcha 10-sinf o‘quvchilari to‘plam hosil
qiladi deyish mumkin , shuningdek o‘zbek alfavitining barcha harflari, barcha
natural sonlar, hamma uzluksiz funksiyalar, tekislikdagi barcha nuqtalar,
Farg‘ona shahridagi barcha chinorlar ham to‘plam tashkil etadi .
Bunday misollarni cheksiz ko‘p keltirish mumkin. Umuman, to‘plam
tushunchasini anglashda uning turli narsalarning birlashmasi (majmuasi) ekanligini
unutmaslik kerak.
Berilgan to‘plamni tashkil etuvchi ob ’y ektlar (narsalar) uning elementlari
deyiladi. Odatda to‘plam berilganda uning elementlari bir yoki bir necha belgilarga
muvofiq aniqlangan bo‘ladi. Bu belgilarga asoslanib h am narsa berilgan
to‘plamning elementi ekanligi yoki elementi emasligini ayta olish mumkin.
To‘plamda bir xil (bir-biridan farq qilib bo‘lmaydigan) elementlar bo‘lmaydi.
Masalan ; ( x-1 ) 2
( x+1 ) 3
=0 tenglamaning barcha ildizlari to‘plami 1, 1, -1, -1, -1
elementlardan iborat bo‘lmasdan, balki 1 va -1 elementlardan iborat.
Agar to‘plam birorta h am elementga ega bo‘lmasa, bo‘sh to‘plam deyiladi
va uni Æ (ba ’ zan esa Ù yoki 0) bilan belgilanadi.
To‘plamlarni lotin alfavitining A,B ,C,..., X,Y,Z singari bosh harflari bilan,
uning elementlari esa a,b ,c,...,x,y,z kabi kichik harflar bilan belgilaymiz.
4

Biror a narsa A to‘plamning elementi ekanligi aÎ A (A ' a) shaklida, a
narsa A to‘plamga tegishli emasligini esa ko‘rinishda yoziladi va
ularni mos ravishda « a element A to‘plamga tegishli» « a element A to‘plamga
tegishli emas» deb o‘qiladi.
Matematikada asosiy sonlar to‘plamini quyidagicha belgilanadi:
N - natural sonlar to‘plami, Z - butun sonlar to‘plami, Q - ratsional sonlar
to‘plami, J -irratsional sonlar to‘plami, R - haqiqiy sonlar to‘plami, C - kompleks
sonlar to‘plami. Agar berilgan A to‘plamning elementlari biror r(x) xossaga ega
bo‘lsa, u to‘plamni A={x:r(x)} yoki A={x | r(x)} ko‘rinishda yozamiz. Bu holda
r(x) xossa to‘plamning xarakteristik xossasi deyiladi.
1-misol .
To‘plamning xarakteristik
xossasi bilan berilishi To‘plamning belgilanishi To‘plamni sonlar o‘qida
tasvirlanishi
{x:x
Î a £ x £ b} [ a,b ]
a b
{x:x
Î a < x £ b} ( a,b ]
a b
{x:x
Î a £ x < b}
[ a,b )
a b
{x:x
Î a < x < b} ( a,b )
a b
{x:x
Î x >a} (a, ¥ )
{x:x
Î x ³ a} [a, ¥ )
5 a
a

{x:xÎ x<a} (- ¥ ,a )
{x:x
Î x £ a } (- ¥ ,a]
1-jadval.
2-misol . Agar A barcha juft natural to‘plami bo‘lsa, u holda uni quyidagi
belgilaymiz A={x: x=2k, k
Î N} .
Agar to‘plam chekli sondagi elementlardan iborat bo‘lsa, uni barcha
elementlarini ko‘rsatish bilan belgilanadi.
Masalan A to‘plam 1,2,3,4,5 elementlardan iborat bo‘lsa, uni A={1,2,3.4.5}
kabi yoziladi.
3-misol. A to‘plam 24 sonining barcha natural bo‘luvchilari to‘plami bo‘lsa,
uni yoki A={1,2,3,4,6,8,12,24} ko‘rinishda yoziladi.
4-misol. |x+1| £ 3 tengsizlikni yechimlari to‘plamini sonlar o‘qida
tasvirlang.
Berilgan |x+1| £ 3 tengsizlikni yechamiz -3 £ x+1 £ 3, -4 £ x £ 2.
Demak, tengsizlikning yechimlari to‘plami A={x: x
Î R, -4 £ x £ 2} . Bu to‘plamni
koordinatalar to‘g‘ri chizig‘idagi ifodasi quyidagicha:

1-ta’rif . Agar A to‘plamning har bir elementi B to‘plamning ham elementi
bo‘lsa, A to‘plam B to‘plamning qismi yoki qism to‘plami deyiladi va bu
munosabatni A Ì B yoki B É A shaklda yoziladi.
Ta’rifdan ko‘rinadiki, har qanday A to‘plam o‘zi o‘zining qism to‘plami,
ya’ni A Ì A ekani bevosita kelib chiqadi.
Bo‘sh to‘plam esa har qanday to‘plamning qismidir. A va Æ to‘plamlar A
to‘plamning xosmas qismlari deyiladi, A to‘plamning hamma boshqa qismlari esa
uning xos qismlari deyiladi.
6aa
-4
2

5 -misol . A = {1,3,5}, B = {1,2,3,4,5,6} bo‘lsa, u holda A to‘plam B
to‘plamning xos qismi bo‘ladi, ya’ni A Ì B .
6 -misol. A = {1,3,5,6} va B= {1,3,4,7,8} to‘plamlarning hech biri
ikkinchisining qismi emas.
2-ta’rif. Agar A to‘plam B to‘plamning qismi va B to‘plam A to‘plamning
qismi bo‘lsa, A to‘plam B to‘plamga teng deyiladi va bu munosabat A=B shaklda
yoziladi: demak, A=B tenglik A
Ì B va B Ì A munosabatlarning birgalikda
bajarilishi bilan teng kuchlidir.
Masalan. A={-1,1} va B to‘plam esa (x-1) 2
(x+1) 3
=0 tenglamaning barcha
ildizlari to‘plami bo‘lsa, A to‘plam B to‘plamga teng bo‘ladi.
3-ta’rif. A va B to‘plamlardan aqalli bittasiga tegishli bo‘lgan
elementlarning C to‘plamini A va B to‘plamlarning birlashmasi (yig‘indisi)
deyiladi va C=A È B ( C=A+B ) ko‘rinishda belgilanadi, A va B to‘plamlarni
qo‘shiluvchi to‘plamlar. C esa yig‘indi to‘plam deyiladi.
7 -misol. A={1,3,5} va B={2,3,4} bo‘lsa A È B={1,2,3,4,5} bo‘ladi.
Qo‘shiluvchi to‘plamlar soni ixtiyoriy bo‘lganda ham birlashma (yig‘indi)
yuqoridagi kabi aniqlanadi va quyidagicha belgilanadi:
4-ta’rif . Bir vaqtda ham A to‘plamga, ham B to‘plamga tegishli bo‘lgan
elementlarning C to‘plami A va B to‘plamlarning kesishmasi (ko‘paytmasi)
deyiladi va C=A
Ç B (C = A × B) ko‘rinishda belgilanadi. A va B to‘plamlar
ko‘paytuvchi to‘plamlar, C ko‘paytma (kesishma) to‘plam deyiladi.
To‘plamlar soni har qanday bo‘lganda ham ularning kesishmasi
orqali belgilanadi.
8 -misol. A=(-
¥ ;7] va B=[1;+ ¥ ) to‘plamlarning kesishmasini toping. A Ç B
= [1;7].
9 -misol. A - 3 ga karrali bo‘lgan natural sonlar to‘plami B 4 soni ga karrali
bo‘lgan natural sonlar to‘plami bo‘lsa, A Ç B ni toping. A Ç B - 12 karrali bo‘lgan
sonlar to‘plamidan iborat bo‘ladi.
7

$To‘plamlar ustidagi asosiy amallar quyidagi xossalarga ega bo‘ladi: 1. A È B = B È A, A Ç B = B Ç A - kommutativlik xossasi 2. A È ( B È C )=( A È B ) È C , A Ç ( B Ç C )=( A Ç B ) Ç C - assotsiativlik xossasi 3. ( A È B ) Ç C =( A Ç C ) È ( B Ç C ),( A Ç V ) È C=( A È C ) Ç ( B È C ) - distributivlik xossasi 4. A È A=A A Ç A=A ; B Ì A bo‘lsa, A È B=A, A Ç B. Aytaylik B to‘plam A to‘plamning qism to‘plami bo‘lsin. B to‘plamga tegishli bo‘lmagan A to‘plamning barcha elementlaridan tuzilgan C to‘plam B ni A ga qadar to‘ldiruvchi to‘plam deyiladi va uni C A B (B A ) ko‘rinishda belgilanadi, ya’ni C A B=A\B . A to‘plamning B to‘plamga tegishli bo‘lmagan barcha elementlaridan tuzilgan C to‘plamni A to‘plamdan B to‘plamning ayirmasi deyiladi va C=A\B (yoki C=A-B ) ko‘rinishda belgilanadi. A va B to‘plamlarning simmetrik ayirmasi deb ushbu (A \ B) È (B \ A) to‘plamga aytiladi va AD B=(A \ B) È (B \ A) ko‘rinishda belgilanadi. Bundan keyingi mulohazalarda qaralayotgan to‘plamlar tayin bir to‘plamning qism to‘plamlari deb faraz qilinadi. Bunday to‘plamni biz universal to‘plam deb ataymiz va uni X harfi bilan belgilaymiz. Umuman aytganda, har bir qaralayotgan masala uchun o‘zining universal to‘plami bo‘ladi. X ixtiyoriy universal to‘plam bo‘lib, A uning biror qism to‘plami bo‘lsin (A Ì X). X to‘plamning A to‘plamga tegishli bo‘lmagan barcha elementlaridan iborat to‘plam A ning X ga qadar to‘ldiruvchi to‘plami deyiladi va uni C x A (yoki CA, ) ko‘rinishda belgilanadi. Agar A Ì X va B Ì X bo‘lsa , C x (A È B) = C x A Ç C x B va C x (A Ç B) = C x A È C x B ayniyatlar o‘rinli. Bu ayniyatlarni ikkilik qonunlari deb ataladi. 10- misol. Agar A={1,2,3,4,5}, B={0,2,4,6,8} bo‘lsa, u holda A \ B ={1,3,5} , B \ A = {0,6,8} bo‘ladi. 8$ $11 -misol. Agar A= {1,2,3,5,7,10}, B={2,4,6,8,10} bo‘lsa, u holda AD B={1,3,4,5,6,7,8} bo‘ladi. To‘plamlar ustida amallarning Eyler-Venn diagrammalaridagi tasvirlari chizmada berilgan. B X A B A É B A È B A Ç B 12 -Misol . Ko‘paytirish amalining ayirish amaliga nisbatan distributivlik qonuni o‘rinli, ya’ni (A \ B) Ç C=(A Ç C) \ (B Ç C) (1) Yechish: x Î (A \ B) Ç C ixtiyoriy element bo‘lsin, bundan x Î (A \ B) va x Î C . x Î A \ B bo‘lgani uchun ayirish amalining ta’rifiga ko‘ra x Î A va x Ï B . Shunday qilib x Î A, x Î C demak, x Î A Ç C , ammo x Ï B Ç C . Oxirgi munosabatlardan x Î (A Ç C) \ (B Ç C), demak (A \ B) Ç C Ì (A Ç C) \ (B Ç C). (2) Endi (A \ B) Ç C É (A Ç C) \ (B Ç C) (3) ekanligini ko‘rsatamiz. y Î (A Ç C) \ (B Ç C) ixtiyoriy element bo‘lsin, u holda y Î A Ç C va y Ï B Ç C bundan y Î A, y Î C va y Ï B , demak, y Î (A \ B) Ç C shu bilanА В ХА В Х Х А A \ B A D B C x A 9Х А В Х$ $(3) munosabatni o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. (2) va (3) munosabatlardan (1) tenglikning to‘g‘ri ekanligi kelib chiqadi. 13 -misol. A Ç (B \ C)=(A Ç B) \ C munosabatni Eyler-Venn diagrammalari yordamida isbotlang. Berilgan munosabatning chap va o‘ng tomonida turgan to‘plamlarni Eyler-Venn diagrammalardagi tasviri chizmada berilgan. 1. 2 -§. Algebraik amallar va ularning turlari Algebraik strukturalarini sinflarga ajratish algebraik amallar va ularning qaysilari strukturada aniqlanganligiga qarab bajariladi. S h uning uchun algebraik amallarni ko‘rib chiqamiz. 5-ta’rif . A ¹ Æ ixtiyoriy tabiatli elementning to‘plami, n manfiy bo‘lmagan butun son bo‘lsin. U holda ixtiyoriy : A n ® A akslantirish A to‘plamda aniqlangan n o‘rinli yoki n-ar algebraik amal , n sonni esa algebraik amalning rangi deyiladi. A to‘plamda aniqlangan nol o‘rinli amal deb, A to‘plamning qandaydir elementini tayinlashni (ajratishni) aytiladi. 6-ta’rif . Agar : A n ® A akslantirishning aniqlanish sohasi A n ning to‘g‘ri qismidan iborat bo‘lsa, u holda ni A to‘plamda aniqlangan qisman algebraik amal deyiladi. Rangi 0,1 va 2 bo‘lgan algebraik amallarni mos ravishda nolar, unar va binar algebraik amallar deyiladi. Unar amalni operator ham deb ataladi. Bundan buyon n-ar algebraik amal deyish o‘rniga n-ar amal yoki amal degan terminlarni ishlatishga kelishamiz. - A to‘plamda aniqlangan ixtiyoriy amal bo‘lsin. Agar : A n ® A akslantirishda ( a,b ) Î A 2 elementga c Î A mos keltirilgan bo‘lsa, u holda (( a,b ))=c yoki ( a,b )=c ko‘rinishda yozishning o‘rniga a b=c yoki ( a,b ) ® c yoki a ê b=c yoki a ^ b=c yoki a b=c yoki a* b=c,... 10$ $ko‘rinishda belgilash qabul qilingan. Qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish amallarini mos ravishda a +b=c, a -b=c, a b=c va a :b=c ko‘rinishda belgilanadi. 1 4-misol. M - ixtiyoriy tabiatli elementlarning qandaydir bo‘sh bo‘lmagan to‘plami, A={B:B Ì M} bo‘lsin. U holda : A ® A akslantirishni " (B Î A) (b)=M \ b ko‘rinishda aniqlasak, A to‘plamda aniqlangan unar amal (operator) dan iborat bo‘ladi. 1 5-misol. A 14- misoldagi to‘plam bo‘lsin. Agar : A 2 ® A akslantirish " ( B 1 ,B 2 Î A) (B 1 ,B 2 )= B 1 È B 2 , (B 1 ,B 2 )= B 1 Ç B 2 ko‘rinishda berilsa, har ikkala holda ham - A to‘plamda aniqlangan binar amaldan iborat bo‘ladi. 1 6-misol. N natural sonlar to‘plami, " (n Î N ) tayinlangan natural son bo‘lsin. U holda : A 2 ® A akslantirish " (m 1 ,m 2 ,...,m n Î N ) (m 1 ,m 2 ,...,m n ) = (m 1 ,m 2 ,...,m n ) ko‘rinishda berilsa, - N to‘plamda aniqlangan n-ar amal bo‘ladi. Bu joyda (m 1 ,m 2 ,...,m n ),- m 1 ,m 2 ,...,m n natural sonlarning eng katta umumiy bo‘luvchisi. 1 7-misol. Bo‘lish amali butun sonlar sistemasida aniqlangan qisman amaldan iborat. Agar A to‘plamda binar amal aniqlangan bo‘lsa, uni algebra deyiladi. Va ( A , ) ko‘rinishda belgilanadi. 7- ta’rif . va * lar A to‘plamda aniqlangan ixtiyoriy amallar bo‘lsin: a) " ( a,b Î B) a b=b a bo‘lsa, u holda amal kommutativ (o‘rin almashtirish) xossasiga; b) " ( a,b ,c Î A) ( a b) c= a (b c) bo‘lsa, u holda - assotsiativ (gruppalash) xossasiga; v) " ( a,b ,c Î A) ( a b) * c=( a * c) (b * c) va c * ( a b)=(c * a ) (c * b) bo‘lsa, mos ravishda * amal amalga nisbatan o‘ng va chap distributiv (o‘ng va chap taqsimot) xossasiga ega deyiladi. Agarda * amal kommutativ bo‘lsa, oxirgida "o‘ng" va "chap" so‘zlari tushirilib qoldiriladi. 11$

1 8-misol. Sonlarni odatdagi qo‘shish va ko‘paytirish amallari kommutativ,
assotsiativ va ko‘paytirish amali qo‘shish amaliga nisbatan distributiv, lekin
qo‘shish amali ko‘paytirish amaliga nisbatan distributiv emas. Chunki
a +bc=( a +b)( a +c)
tenglik hamma vaqt ham o‘rinli bo‘lmaydi.
1 9-misol. Sonlarni ayirish amali kommutativ ham, assotsiativ ham emas.
20-misol. Akslantirishlarning kompozitsiyasi assotsiativ amal bo‘lib, u
kommutativ emas (tekshirib ko‘ring).
8-ta’rif . A to‘plamda amal aniqlangan bo‘lsin. Agar $ (e
o‘ ,e
ch Î A ) " ( a Î A)
a e
o‘ = a yoki e
ch a = a bo‘lsa, u holda e
o‘ va e
ch elementlarini amalga nisbatan
mos ravishda o‘ng va chap neytral element deyiladi.
21-misol. Butun sonlar sistemasida 0 qo‘shish amaliga nisbatan, 1
ko‘paytirish amaliga nisbatan ham o‘ng ham chap neytral elementlardir.
9- ta’rif . Aytaylik A ¹Æ , - A to‘plamda aniqlangan amal, e amalga
nisbatan A to‘plamning neytral elementi bo‘lsin.
Agar " ( a Î A ) $ ( a
o‘ , a
ch Î A) a a
o‘ = e , a
ch a = e bo‘lsa, u holda a
o‘ , a
ch larni
mos ravishda amalga nisbatan a ga o‘ng va chap simmetrik elementlar
deyiladi. Agar a a '= a ' a =e bo‘lsa, a ' ni amalga nisbatan a ga (o‘z
navbatida a ni a ' ga) simmetrik element deyiladi.
10-ta’rif . Aytaylik A to‘plamda aniqlangan amal va B Ì A bo‘lsin. Agar
" ( a,b Î B ) Þ a b Î B bo‘lsa, B to‘plamni amalga nisbatan yopiq deyiladi.
Agar ( A , ) algebrada e neytral element aniqlangan bo‘lsa ( A , , e )ni
algebraik sistema deyiladi.
12

II BOB
ASOSIY ALGEBRAIK STRUKTURALAR
2.1 -§. Gruppa, yarimgruppa va monoid lar
Algebraik strukturalarnin g eng sodda va bir vaqtning o‘zida mu h im algebraik
struktura bo‘lgan gruppani ko‘rib chiqamiz.
Aytaylik A ¹Æ to‘plam, * - A to‘plamda aniqlangan binar amal bo‘lsin.
1-ta’rif . Agar A to‘plamda aniqlangan * binar amal assotsiativ bo‘lsa, ya’ni
" (a,bÎ A) , ( a * b) * c= a * (b * c)
bo‘lsa, u holda A yarimgruppa deyiladi. Agar * amal + (qo‘shish) amali bo‘lsa,
additiv yarimgruppa, × (ko‘paytirish) bo‘lsa, A - multiplikativ yarimgruppa
deyiladi.
Agar * amal kommutativ bo‘lsa, ya’ni " ( a ,b
Î A ), a * b=b * a bo‘lsa, A ni
kommutativ , agar A chekli bo‘lsa, A ni chekli yarimgruppa deyiladi.
" ( a,x, u
Î A ), ( a *x= a*u Þ x=u ) va ( x * a =u * a Þ x=u )
bo‘lsa, u holda A ni qisqartirishga ega bo‘lgan yarimgruppa deyiladi.
1-misol. M ¹Æ , A={
j : j : M ® M} , * - akslantirishlarning ko‘paytirish
(kompozitsiyasi) amalidan iborat bo‘lsin. U holda A yarimgruppa bo‘ladi. Chunki
akslantirishlarni ko‘paytirish amali assotsiativlik xossasiga ega.
2-misol. A ={e, a } ikki elementli to‘plam
bo‘lib, unda aniqlangan * amal Keli
jadvali bilan berilgan bo‘lsin, u holda A
yarimgruppa bo‘ladi. Lekin u
qisqartirishga ega bo‘lmaydi, chunki
( a
* e= a * a ) Ù (e * a = a * a ) munosabatlardan
a =e bo‘lishi kelib chiqmaydi. *
e a
E e a
A a a
13

2 – ta’rif . Agar A yarimgruppa bo‘lib, A to‘plam * amalga nisbatan e neytral
element mavjud bo‘lsa, u holda monoid deyiladi.
3-misol. Yuqoridagi 2-misolda keltirilgan yarimgruppa monoid bo‘ladi.
4-misol. N algebra multiplikativ monoid bo‘lishini ko‘rsatish oson. N
additiv yarimgruppa monoid bo‘lmaydi, chunki N to‘plamda qo‘shish amaliga
nisbatan neytral element mavjud emas.
Aytaylik A yarimgruppa bo‘lsin, u holda
" ( a
1 , a
2 ,..., a
nÎ A) a
1 * a
2 * ... * a
n (1)
simvolni
a
1 * a
2 * ... * a
n =( a
1 * a
2 * ... * a
n-1 ) * a
n
maonosida tushuniladi.
Agar * amal + (qo‘shish) dan iborat bo‘lsa, (1)ni qisqacha
ko‘rinishda, * amal × (ko‘paytirish) dan iborat bo‘lsa, ko‘rinishda
belgilaymiz. Demak,

= a
1 + a
2 +...+a
n =( a
1 + a
2 +...+a
n-1 )+ a
n (2)
= a
1 a
2 ... a
n =( a
1 a
2 ... a
n-1 ) a
n (3)
Xususiy holda a
1 = a
2 =
...= a
n = a bo‘lsa, u holda (2) n a =( n-1) a + a , (3) esa
a n
= a n-1
×
a ko‘rinishga keladi.
Algebraning xususiy ko‘rinishlaridan biri gruppa tushunchasi bo‘lib, u
matematika va uning tatbiqlarida muhim ahamiyatga ega.
14

3-ta’rif . G to‘plamda aniqlangan * binar amal quyidagi shartlar (gruppa
aksiomalari) ni qanoatlantirsa:
1 0
. " ( a,b ,c Î G) a * (b * c)=(a * b) * c;
2 0
. $ (e Î G) " (a Î G) a
* e=a;
3 0
. " (a Î G)
$ (a' Î G) a * a'=e.
u holda G gruppa deyiladi.
Agar yuqoridagi 1 0
- 3 0
shartlarga qo‘shimcha ravishda yana 4 0
- " ( a ,b
Î G)
a
* b=b * a bo‘lsa, u holda G ni kommutativ gruppa yoki Abel gruppasi deyiladi.
Agar G chekli to‘plam bo‘lsa, G ni chekli gruppa G ning elementlari soni G
gruppaning tartibi deyiladi. Agarda G cheksiz to‘plam bo‘lsa, G gruppaning tartibi
cheksiz deyiladi.
Agar * binar amal + (qo‘shish) dan iborat bo‘lsa, G gruppani additiv
deyiladi. Bu holda " ( a,b
Î G) a * b= a +b ko‘rinishda yoziladi va uni a va b
elementlarni yigindisi deyiladi. Agar * amal × (ko‘paytirish) amalidan iborat
bo‘lsa, G ni multiplikativ gruppa deyiladi, a
* b ni a × b yoki a b ko‘rinishda
belgilanadi h amda a va b elementlarning ko‘paytmasi deyiladi.
5 -misol. A={x,y} - ikki elementli to‘plam, G={y
1 ,y
2 } - A ni o‘ziga biektiv
akslantirishlar to‘plami bo‘lib,
j
1 (x)=x, j
1 (u)=u j
2 (x)=u, j
2 (u)=x ko‘rinishda
berilgan va ° akslantirishlarning ko‘paytmasi (kompozitsiyasi) dan iborat bo‘lsin, u
holda G algebra Abel gruppasi bo‘ladi.
Haqiqatan ham, gruppaning 1 0
aksiomasining bajarilishini bevosita tekshirib
ko‘rish mumkin.
Masalan .
[(
j
2 j 1 ) j
2 ](x)=( j
2 j 1 ) j
2 (x)=( j
2 j 1 )(y)= j
2 ( j
1 (y)) = = j
2 (y) =x Þ ( j
2
j
1 ) j
2 = j
1 ; [ j
2 ( j
1 j 2 )](x)= j
2 ( j
1 (x)))= j
2 ( j
1 (y)) = j
2 (y)= =x Þ j
2 ( j
1
j
2 )= j
1
bulardan
(
j
2 j 1 ) j
2 = j
2 ( j
1 j 2 )
15

kelib chiqadi. Qolgan mumkin bo‘lgan hollarni ham shu kabi tekshirib
ko‘rish mumkin. 1 0
. G da j
1 neytral element vazifasini bajaradi. 2 0
j
1 va j
2 larning
har biri o‘z - o‘ziga teskari bo‘ladi.
(
j
2 j 2 )(x)= j
2 ( j
2 )(x)= j
2 (u)=x Þj
2 j
2 = j
1 j 1 ,
(
j
2 j 2 )(u)= j
2 ( j
2 )(u)= j
2 (u)=u j
1 (u) Þ
j
2 j 2 = ( j
1 j 1 )(x)= j
1 ( j
1 (x))= j
1 (x), ( j
1 j 1 )(u)= j
1 ( j
1 (u))= j
1 (y) Þ j
1 j 1 = j
1
Demak,
j
1 -1
= j
1 , j
2 -1
= j
2
4 0
.
j
1 j 2 = j
2 j 1 ekanligini bevosita tekshirib ko‘rish oson. Demak, G
Abel gruppasi ekan.
Gruppaning quyidagi xossalarining mulptiplikativ gruppa uchun keltiramiz.
Bu xossalar ixtiyoriy gruppalar uchun ham o‘ringa ega bo‘ladi. Bu holda * amal
ko’paytirish, e=1 a 1
= a - 1
dan iborat bo‘ladi.
1-teorema. Agar G gruppa bo‘lsa, " a
Î G uchun a -1
a =1 tenglik uringa ega
bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik x
Î G a -1 Î
G ga teskari element bo‘lsa, ya’ni a -1
x=1 . U
holda a = a
× 1= a ( a -1 ×
x)=1 × x, a =1 × x , a -1
a = a -1 ×
(1 × x)=( a -1 ×
1)x= a -1 ×
x=1 , ya’ni a -
1
x=1 .
Teorema isbotlandi.
2-teorema. G gruppa bo‘lsa, " a
Î G 1 × a = a bo‘ladi.
Isbot. " a
Î G a -1 ×
a =1 3 0
aksiomadan esa aa -1
=1 kelib chiqadi. Shuning
uchun 1 × a =( a
× a -1
) a=a × ( a -1 ×
a )= a × 1= a . Demak, 1 × a = a .
3-teorema. Agar a x=1 va a u=1 bo‘lsa, x=u bo‘ladi.
Isbot. a u=1 u= a -1
shuning uchun 1-teoremadan u a =1 tenglik o‘rinli
u=u1=u( a x)=(u a )x=1x=x.
Demak, x=u .
1-natija . G gruppa bo‘lsa " a
Î G ( a -1
) -1
= a bo‘ladi.
Haqiqatan ham, a -1
a=aa -1
= a , ( a -1
) -1
= a .
2-natija. G ixtiyoriy gruppada " a ,b
Î G a x=b va y a =b tenglamalar yagona
x= a -1
b, y=b a -1
yechimlarga ega.
16

3-natija. G gruppa bo‘lsa, 1( e ) undagi yagona birlik (neytral) element
bo‘ladi.
4-natija. " a,bÎ G uchun ( a b -1
)=b -1
a -1
tenglik o‘ringa ega.
Haqiqatan ham, ( a b)(b -1
a -1
)= a (bb -1
) a -1
=( a 1) a -1
= aa -1
=1.
4-ta’rif. G gruppaning N ¹Æ qism to‘plami uning qism gruppasi (gruppa
ostisi) deyiladi. Agar H G da aniqlangan amalga nisbatan o‘zi gruppa bo‘lsa.
4-teorema . N ¹Æ to‘plami G gruppaning qism to‘plami bo‘lsin. H G ning
qism gruppasi bo‘lishi uchun
a) " a,b
Î H Þ a * b Î H ;
b) a
Î N Þ a ' Î H shartlar o‘ringa ega o‘ringa ega bo‘lishi zarur va yetarlidir.
2.2 -§. Algebrik amallarga nisbatan halqa va maydonning
umumiy ta ’ riflari
Aytaylik, E - bo‘sh bo‘lmagan to‘plam. +, × undagi qo‘shish va ko‘paytirish
amallari bo‘lsin.
5 -ta ’ rif. Agar E to‘plamda aniqlangan qo‘shish va ko‘paytirish amallari
quyidagi aksiomalarni qanoatlantirsa E ni halqa deyiladi,
Y a ’ni:
Agar E halqada
7. aksioma o‘ringa ega bo‘lsa E kommutativ
halqa deyiladi.
Agar E kommutativ halqada
8. bo‘lsa E birlik elementga ega bo‘lgan
holda jism deyiladi.
17

Agar E kommutativ halqad a
8.
9.
aksiomalar o‘rniga ega bo‘lsa, E ni maydon deyiladi.
1-4 aksoimalardan E kommutativ additiv gruppa ekanligi kelib chiqadi, uni
E halqaning additiv gruppasi deyiladi.
6-ta’rif. Agar bo‘lsa, u holda E
halqaning a va b elementlarini nolning bo‘luvchilari deyiladi.
7 -ta’rif. Nolning bo‘luvchisiga ega bo‘lmagan halqani butunlik soxasi
deyiladi.
Misollar:
6 -misol. Z - butun sonlar to‘plami odatdagidek qo‘shish va ko‘paytirish
amallariga nisbatan kommutativ, birlik elementga ega bo‘lgan halqa bo‘ladi:
7 -misol. halqa bo‘ladi.
8-ta’rif . E halqa va E É K
¹ Æ uning qism to‘plami bo‘lib, K ham E dagi
amallarga nisbatan halqa bo‘lsa K halqa E halqaning qism halqasi bo‘ladi.
9-ta’rif. R maydon va R É N ¹ Æ uning qism to‘plami bo‘lib, R maydonda
aniqlangan amallarga nisbatan N maydon bo‘lsa, N maydon E maydonning qism
maydoni deyiladi.
10-ta’rif. Aytaylik R maydon E butunlik soxasi bo‘lsin. Agar;
1. E R ni qism halqasi bo‘lsa.
2. shartlar o‘rinli bo‘lsa, u
holda R ni E butunlik soxasining nisbatlari maydoni deyiladi.
Masalan. Q - ratsional sonlar maydoni Z butun sonlar halqasining nisbatlari
maydoni bo‘ladi.
Agar E halqa bo‘lsa, uchun quyidagi tengliklar o‘ringa ega
bo‘ladi:
18

Agar R maydon bo‘lsa, q u yidagi munosabatlar o‘ringa ega bo‘ladi:
5-teorema. Aytaylik E halqa K esa uning bo‘sh bo‘lmagan qism to‘plami
bo‘lsin. K E halqaning qism halqasi bo‘lish uchun
a) " a,bÎ K, a +b, a × b Î E
b) a
Î K Þ (- a ) Î K shartlarni o‘ringa ega bo‘lish zarur va y etarlidir.
2.3 -§. Maydon va uning asosiy xususiyatlari
Endi halqalarni n g umumiy nazariyasiga yana qaytamiz. Halqalar uchun
oddiy algebra va arifmetikadagi ko‘p qonunlarning saqlanib qolishini biz
aniqlangan edik. Agarda biz quyidagi ikki shartning bajarilishini talab qilsak:
1) R halqa kommutativ bo‘lsin ;
2) ax=b tenglama a
¹ 0 bo‘lganda, har vaqt R ichida y echiladigan bo‘lsin, u
holda halqaning algebraik xossalari yana ham kuchayadi. Quyidagi ta’rifni
kiritamiz.
Maydon deb shunday kommutativ R halqaga aytiladiki, uning ichida hech
bo‘lmaganda bitta noldan farq qiladigan element mavjud bo‘lib R dan olingan har
qanday a
¹ 0 va b elementlar uchun R ichida ax=b yechiladigan tenglamadir
(taqsim qilishning bajarilishi ).
Maydon qanday qo‘shimcha hossalar ega ekan? Maydon noldan va qarama-
qarshi elementlardan boshqa yana birlik elementga va teskari elementlarga ega
bo‘lar ekan.
Faraz qilaylik c
¹ 0 maydonning biror elementi bo‘lsin. Maydon ta ’ rifi
bo‘yicha har vaqt shunday e elementni tanlab olish mumkinki, natijada
(4)
bo‘ladi. Ochiq ma ’ lumki, e
¹ 0 . Agar e=0 bo‘lsa edi, c=ce=0 bo‘lib, c ¹ 0 shart
buzilgan bo‘lar edi.
Ko‘rsatish mumkinki, e maydonning birlik elementidir, ya ’ ni har qanday a
element uchun
19

bo‘ladi. Isbot qilish maqsadida maydondan shunday x elementni tanlab olamizki, u
quyidagi tenglamani qanoatlantirsin
(5)
so‘ngra bu tenglamaning ikki tomonini e ga ko‘paytiramiz. U vaqtda, assotsiativ va
kommutativ qonunlardan foydalansak, mana bu
hosil bo‘ladi yoki (4) va (5) larga binoan
bo‘ladi. O‘z-o‘zidan ma ’ lumki, ea ham a ga teng, chunki maydon kommutativ
halqadir.
Endi mana bu
(6)
tipdagi tenglamani ko‘rib chiqaylik. Buning bittagina y echimga ega ekanligini
quyidagicha ko‘rsatish mumkin. Faraz etaylik (6) tenglamaning y echimi bitta
emas, balki ikkita bo‘lsin: x=x
1 , x=x
2 , u vaqtda
(7)
(8)
bo‘ladi. (7) tenglikning ikki tomonini x
2 ga ko‘paytiramiz:
.
Lekin ikkinchi tomondan, (8) ga asosan
bundan x
1 = x
2 hosil bo‘ladi.
(8) tenglamaning yolg‘iz birgina y echilmasini yoki orqali belgilash
va a ga nisbatan teskari element deb aytish qabul qilingan. Y a’ na shuni ham eslab
o‘tamizki, bo‘ladi, chunki tenglamaning y echilmasi, shubhasiz
a bo‘ladi:
Endi umumiy holga o‘tamiz:
20

.
Buning ikki tomonini ga ko‘paytirish bilan biz yolg‘izgina
y echilmaga ega bo‘lamiz va uni ko‘rinishda yozamiz. simvol ustida
bo‘ladigan amallarning kasrlar ustida bo‘ladigan amallardan hech qanday farqi
yo‘qligini ko‘rish qiyin emas: bo‘lganda va faqat shu
holdagina bo‘ladi.
(qo‘shish qoidasi)
(ko‘paytirish qoidasi) ;
(bo‘lish qoidasi)
S h u munosabatlarning hammasi ni isbot qilamiz.
Birinchisidan boshlaymiz. tenglikning ikki tomonini bd ga
ko‘paytirsak
yoki ad=bc
bo‘ladi.
Aksincha, ad=bc bo‘lsin. Bu tenglikning ikki tomonini ni
ko‘paytirsak
yoki
kelib chiqadi.
Qo‘shish qoidasini isbot qilmoq uchun ni bd ga ko‘paytirib,
distributiv qonundan foydalansak
yoki ba ’ zi ma ’ lum bo‘lgan qisqartishlardan keyin mana bu
21

kelib chiqadi. Nihoyat, so‘nggi tenglikning ikki tomonini ga ko‘paytirib
ushbu natijaga ega bo‘lamiz:
Uchinchi munosabat ham (ko‘paytirish qoidasi) aynan shu usulda isbot
qilinadi. Y a’ ni:
buning ikki tomonini ga ko‘paytirilsa
hosil bo‘ladi.
Endi bo‘lish qoidasini tekshiramiz. Ma ’ lumki
Haqiqatan ham, ga nisbatan teskari elementdir, chunki ko‘paytirish
qoidasiga muvofiq
Demak,
shuni isbo t qilish kerak edi.
Arifmetikaning odatdagi qonunlari maydon uchun ham saqlanganidan, butun
darajalar ustida bo‘ladigan hamma ma’lum qoidalarni aynan elementar algebradagi
kabi keltirib chiqarish mumkin. S h u bilan birga manfiy ko‘rsatkichli daraja
deb ( m- butun musbat son ) biz ni tushunamiz. Manfiy
ko‘rsatkichli bo‘lmagan darajani biz yuqorida aniqlangan edik.
22

Nihoyat, quyidagi arifmetik qonunning maydonda ham bajarilishini qayd
qilib o‘tamiz: agarda ikkita ko‘paytiruvchining ko‘paytmasi nolga teng bo‘lsa, u
holda ko‘paytiruvchilardan kamida bittasi nolga teng bo‘ladi, boshqacha aytganda
maydon nolning bo‘luvchilariga ega emas.
Bu oddiy isbot qilinadi: a ¹ 0 bo‘lsin, u holda ab=0 tenglikning ikki
tomonini ga ko‘paytirsak b=0 kelib chiqadi.
Y u qorida bayon qilingan fikrlarni yakunlaymiz. Biz yuqorida ko‘rdikki
maydon faqat nol va qarama-qarshi elementlargagina ega bo‘lmasdan, balki birlik
elementga va teskari elementlarga ham ega. Undan tashqari, maydon nolning
bo‘luvchilariga ega emas.
Mana shu aytilganlarning mohiyati nima. Buning manosi shuki,
1) qo‘shish amaliga nisbatan maydon abel gruppasidir,
2) ko‘paytirishga nisbatan, maydonning noldan boshqa hamma elementlari
abel gruppasini tashkil qiladi.
Maydonlarga misollar .
8 -misol. Arifmetik qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan, hamma
ratsional sonlar to‘plami maydon uchun eng sodda misol bo‘la olaydi. Darhaqiqat,
amallarga nisbatan ratsional sonlar to‘plami kommutativ halqa tashkil qilib,
ratsional a
¹ 0 va b uchun ax=b tenglama shu halqada ham m a vaqt y echiladigan
tenglamaladir . C hunki ikkita ratsional sonning nisbati yana ratsional son bo‘ladi.
Aksincha, hamma butun sonlar to‘plami arifmetik qo‘shish va ko‘paytirish
amallariga nisbatan maydon emas, faqat kommutativ halq tashkil etadi, chunki
uning ichida ax=b ( a ¹ 0) tenglamani har vaqt ham yechib bo‘lavermaydi, bunga
sabab shuki, ikkita butun sonning nisbati har doim butun bo‘lavermaydi.
9 -misol. Boshqa misol-hamma haqiqiy (ya’ni ratsional va irratsional) sonlar
to‘plami oldingi arifmetik amallarga nisbatan maydon tashkil qiladi, chunki bu
to‘plam ko‘rayotgan amallarga nisbatan kommutativ halqa tashkil qilib, shu
to‘plamda taqsim qilish amali har vaqt bajariladi (albatta, nolga bo‘lish chiqarib
tashlanadi). Bu ishimizda biz ko‘pincha sonli maydonlar bilan ish ko‘ramiz, ya’ni
23

shunday sonli halqalar bilan ish ko‘ramizki, ular ichida bo‘lish amalini, nolga
bo‘lishni e’tiborga olmaganda bajarish mumkin bo‘lsin. Hamma kompleks sonlar
to‘plami eng keng sonli maydon tashkil qiladi: u har qanday sonli maydonni o‘z
ichida bir qismi sifatida saqlaydi.
10 -misol. Hamma butun sonlarni ikki sinfga ajratamiz: juft sonlar sinfiga
va toq sonlar sinfiga. Birinchi sinfni A
0 orqali va ikkinchi sinfni A
1 orqali
belgilashni shart qilib olamiz, so‘ngra ikkita A
0 va A
1 elementlardan iborat bo‘lgan
S to‘plamni tekshiramiz. Bu to‘plamda biz ikkita algebraik amalni – sinflarni
qo‘shish va ko‘paytirishning ta ’ rifini beramiz.
A
i va A
j sinflarning A
i +A
j yig‘indisi deb biz A
0 va A
1 sinflardan shunisini
tushunamizki u, A
i sinfning har bir sonini A
j sinfning har bir soni bilan qo‘shishdan
hosil bo‘lgan butun sonlarning hammasini o‘z ichida saqlasin.
A
i va A
j sinflarning A
i A
j ko‘paytmasi deb A
0 va A
1 sinflardan shunisini
aytamizki, uning ichida A
i sinfning har bir sonini A
j sinfning har bir soni bilan
ko‘paytirishdan hosil bo‘lgan hamma butun sonlar bo‘lsin.
Quyidagicha bo‘lishini ko‘rsatish qiyin emas
(9)
va
(10)
(9) tengliklarning to‘g‘riligi shundan ma ’ lumki, ikkita juft sonning yig‘indisi
ham juft son, juft son bilan toq sonning yig‘indisi ham toqdir va hamma ikkita toq
son yig‘indisi juft sondi. (10) tenglikning to‘g‘rili g i ham shunga o‘xshash fikrlarga
asoslanadi.
S h unday qilib, biz S to‘plamda ikkita algebraik amal tayinladik – sinflarni
qo‘shish va ko‘paytirish. Bu amallar kommutativ, assotsiativ va distributiv
qonunlarga bo’ysunadi, chunki bu amallar butun sonlarni arifmetik qo‘shish va
ko‘paytirish amallarni bilan bog‘langandir, bular uchun esa yuqoridagi qonunlar
to‘g‘ridir.
(9) tengliklardan bevosita ko‘rinadiki, A
0 sinf S to‘plamning nol li elementi
bo‘lib x izmat qiladi va S to‘plamning har bir elementi o‘z-o‘ziga qarama-qarshi ( A
0
24

sinf uchun A
0 o‘zi qarama-qarshi, A
1 uchun qarama-qarshi A
1 n ing o‘zidir). Demak,
biz A
0 sinfni 0 orqali belgilay olamiz. O‘z-o‘zidan ma ’ lumki, bundagi 0 to‘plam S
ning nolli A
0 elementining belgilanishi bo‘lib, 0 son emasdir.
S h unday qilib S to‘plam sinflarni qo‘shish va ko‘paytirish amallariga
nisbatan kommutativ halqa tashkil qiladi. Biz hozir S ning maydon ekanligini ham
ko‘ramiz.
Haqiqatan ham, (10) tengliklarga murojaat qilaylik. Ular har qanday a ¹ 0
va b uchun ax=b tenglamaning S ichida y echilishini ko‘rsatadi, masalan, A
1 x = A
0
tenglamaning y echilmasi x=A
0 va A
1 x=A
1 tenglamaning y echimi x=A
1 bo‘ladi.
(10) tengliklardan ayonki, S maydonning birlik elementi A
1 sinfdan iboratdir.
Demak, biz uni e orqali belgilay olamiz.
S h unday belgilashlar natijasida (9) va (10) tengliklar quyidagi ko‘rinishni
oladi:
(11)
Hozir tekshirilgan maydonga misol quyidagi tomondan o‘rnlidir. (11)
tengliklardan bittasini, masalan e+e=0 ni olaylik. Endi a elementning ka
karralisining ta’rifini eslasak biz e+e=0 tenglikni 2e=0 ko‘rinishda yozaolamiz.
Bundan biz ko‘ramizki, birlik e elementining musbat ne karrasi nolga bo‘lgan
maydonlar ham mavjud ekan.
S h unday qilib ikki tipdagi maydonlar bor: birlik e elementining faqat nolli
qarrasi nolga teng bo‘lgan maydon va birlik e elementining faqat nolga teng
bo‘lgan maydon . Ikkinchi tipdagi maydon uchun shunday butun musbat r son
mavjud bo‘lishi kerakka, u son uchun r e=0 bo‘lib, r dan kichik bo‘lgan har qanday
butun musbat n son uchun ne nolga teng bo‘lmaydi. Biz shunday r sonni
maydonning xarakteristikasi deb ataymiz va shunga ko‘ra ikkinchi tipdagi
maydonlarni chekli xarakteristikaga ega bo‘lgan, yani r xarakteristikali maydonlar
deymiz, birinchi tipdagi maydonlarni esa, nolli xarakteristikaga ega bo‘lgan
maydonlar deymiz.
C h ekli xarakteristikali maydonlar quyidagi xossalarga ega.
25

1.Agarda r maydon chekli r xarakteristikali bo‘lsa, u holda r tub son bo‘lishi
kerak.
Isbot. Aksincha faraz etaylik, r - mur a kkab son bo‘lsin:
bundagi n
1 , n
2 sonlar r dan kichik bo‘lgan butun musbat sondir. Distributiv
qonunga asosan
bo‘ladi. bundan ushbu natija kelib chiqadi:
Lekin biz bilamizki, maydonda nolning bo‘luvchilari bo‘lmaydi. Shuning
uchun yoki bo‘ladi, biroq bunday bo‘lishi mumkin emas, chunki
ta’rif bo‘yicha r xarakteristika, tenglikni hosil qiladigan, butun musbat n
sonlar orasidagi eng kichik sondir.
2. C h ekli r xarakteristitkali r maydondan olingan ixtiyoriy a element uchun
ra=0 bo‘ladi.
Isbot . a elementning musbat karrasi ta’rifiga muvofiq biz quyidagicha yoza
olamiz
.
Nolni xarakteristikaga ega bo‘lgan maydonlarga murojaat qilib, ularning
tubandagi xossalarini qayd qilib o‘tamiz.
Agar R nol xarakteristikali maydon, a-P ning elementi, k – butun son bo‘lsa,
u holda ka=0 tenglik faqat a=0 yoki k=0 bo‘lganda va faqat shu holdagina
bajariladi.
Haqiqatan ham, agar a=0 yoki k=0 bo‘lsa, shubhasiz ka ham nolga teng
bo‘ldi.
26

Aksincha, faraz etaylik ka=0 bo‘lsin. U vaqtda k musbat yoki nolga teng
bo‘lganda mana bu
hosil bo‘ladi, endi bundan, R maydonda nolning bo‘luvchilari bo‘lmaganligi
uchun, a=0 yoki ke=0 kelib chiqadi. So‘nggi holda k nolga teng bo‘lishi kerak,
chunki R maydonning xarakteristikasi nolga teng.
k manfiy yoki nolga teng bo‘lgan holda k=-n faraz etsak:
hosil bo‘ladi, bundan yoki , yani yoki kelib chiqadi.
3 . misoldagi S maydonning xarakteristikasi 2 ga teng ekanligini ko‘rish
mumkin. Ravshanki, hamma sonli maydonlar nol xarakteristikali maydonlardan
iboratdir.
Maydonga tegishli yana bitta misolni ko‘rib chiqaylik.
4. M orqali ushbu
ko‘rinishga ega bo‘lgan hamma matritsalar to‘plamini belgilaymiz, bundagi a,b -
turli haqiqiy sonlardir. Matritsalarni qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan
berilgan to‘plamning maydon tashkil qilishini ko‘rsatamiz.
Matritsalarni qo‘shish va ko‘paytirish amallarining bir qiymatli ekanligiga
shubha yo‘q. Shuning uchun endi bu amallarning M to‘plam ichida bajarilishi
mumkin ekanligini ko‘rsatamiz. M dan olingan ushbu ikkita ixtiyoriy
matritsalarni qo‘shsa va o‘zaro ko‘paytirsak mana bu natija
hosil bo‘ladi, bulardagi
yani biz o‘sha tipdagi matritsaga ega bo‘ldik.
27

Matritsalarni qo‘shish va ko‘paytirishnig assotsiativ va distributiv
qonunlarga bo‘ysunishini, uning ustiga, matritsalarni qo‘shishning kommutativ
qonunga bo‘ysunishini biz o‘z vaqtida aniqlab o‘tgan edik. SHuning uchun biz
endi bu erda ko‘paytirishning kommutativ qonunga bo‘ysunishligini aniqlaymiz.
Haqiqatan ham, buning to‘g‘riligiga ishonishi mumkin:
Tekshirilayotgan to‘plamning matritsalari orasida nolli matritsa ham bo‘ladi
va har qanday
matritsa uchun teskari bo‘lgan
matritsa ham M to‘plamga qarashli bo‘ladi, chunki – A matritsa A kabi
ko‘rinishga ega. S h unday qilib biz ko‘ramizki, matritsalarni qo‘shish va
ko‘paytirish amallariga nisbatan M to‘plam kommutativ halqa tashkil qiladi.
Endi M dan olingan har qanday A ¹ 0 va V matritsa l ar uchun Ax=B
tenglamaning M ichida y echilishi mumkin ekanligini ko‘rsatish qoladi. Bu esa, A
¹
0 matritsaning maxsusmas ekanligidan kelib chiqadi. Darhakikat, A
¹ 0 bo‘lgani
uchun A matritsaning a,b elementlaridan kamida bittasi noldan farq qiladi, shunga
ko‘ra u matritsaning ushbu
determinanti nolga teng bo‘lmaydi.
A
¹ 0 maxsusmas matritsa bo‘lgani uchun unga teskari bo‘lgan matritsa,
albatta, bor. S h uni topamiz:
bundagi
.
Ko‘ramizki, M to‘plamga tegishli matritsa kelib chiqdi. Endi biz
tenglamamizning y echimini yoza olamiz. Bu esa x=A -1
B dan iborat bo‘lib,
28

shubhasiz, A -1
B yana M to‘plamga qarashlidir, chunki A -1
va B matritsalar M ga
qarashlidir. Binobarin, biz ko‘rsatdikki, matritsalarni qo‘shish va ko‘paytirishga
nisbatan M to‘plam maydonni tashkil qiladi.
Maydon tushunchasi bizga nima beradi? Bu tushuncha hamma natijalarini
har qanday maydonga tarqatishga yo‘l ochadi. Determinantlar nazariyasi, chiziqli
tenglamalar nazariyasi, chiziqli almashtirmalar va matritsalar nazariyasi, n-
o‘lchovli vektorial fazolar va ularning chiziqli almashtirmalari nazariyasi –
kompleks sonlar maydoni uchun bayon qilingan mana shu nazariyalarning
hammasi hech qanday o‘zgarishsiz ixtiyoriy R maydonga o‘tkazilishlari mumkin
faqat bu joyda sonlar to‘g‘risida emas, balki tekshirilayotgan R maydonning
elementlari to‘g‘risida so‘zlashga to‘g‘ri keladi. Bu, albatta tushunarlik bir narsa,
chunki isbotimiz maydonning algebraik amallarining umumiy xossalariga
asoslangan edi.
Hozirgi aytilgan fikrimizga qo‘shimcha qilib shuni qayd qilib o‘tamizki, a
i
koordinatalari R maydondan olingan n- o‘lchovli vektorni R maydon
ustidagi n- o‘lchovli vektor va shunday vektorlarning to‘plamini R maydon
ustidagi n- o‘lchovli vektorial fazo deb aytish qabul qilingan.
Algebraning asosiy vazifasi algebraik amallarning xossalarini o‘rganishdan
iborat ekanligini eslatib o‘tgan edik. Algebraik nuqtai nazardan o‘rnashtirilgan
amalga nisbatan o‘zlarini bir xilda olib boradigan to‘plamlar orasida hech qanday
farq yo‘q, ularni aynan bir xil deb hisoblash mumkin.
29

XULOSA
Ushbu kurs ishimda matematikaning asosiy tushunchalaridan b o‘ lgan algebra
va algebraik sistemalar ko‘rib chiqildi. Algebraik s istemalar orqali matematikaning
turli bo‘limlari aksiomatik qurilishga ega bo‘ladilar. Aksiomatik qurish esa
matematika rivojida asosiy negiz bo‘lib xizmat qiladi.
Kurs ishida to‘plam va to‘plamlar ustida amallar, algebraik amallar va
ularning turlari, gruppa, yarimgruppa va monoid lar, a lgebrik amallarga nisbatan
halqa va maydonning umumiy ta’riflari, m aydon va uning asosiy xususiyatlari
ko‘rib chiqildi va misollar bilan boyitildi. Ko‘rilgan masalalar muhim ahamiyatga
ega bo‘lib matematikaning turli bo‘limlari uchun umumiy xossalar aytish
imkoniyatini beradi.
Masalan m aydon tushunchasi bizga nima beradi? Bu tushuncha hamma
natijalarini har qanday maydonga tarqatishga yo‘l ochadi. Determinantlar
nazariyasi, chiziqli tenglamalar nazariyasi, chiziqli almashtirmalar va matritsalar
nazariyasi, n- o‘lchovli vektorial fazolar va ularning chiziqli almashtishlari
nazariyasi – kompleks sonlar maydoni uchun bayon qilingan mana shu
nazariyalarning hammasi hech qanday o‘zgarishsiz ixtiyoriy R maydonga
o‘tkazilishlari mumkin faqat bu joyda sonlar to‘g‘risida emas, balki
tekshirilayotgan R maydonning elementlari to‘g‘risida so‘zlashga to‘g‘ri keladi.
Xulosa qilib shuni aytish kerak-ki, algebra va algebraik sistemalar
matematikaning fundamental bo’limlaridan hisoblanadi. Va buni o’rganish juda
ko’p masalalarning yechimini topish demakdir.
30

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. I.A . Karimоv “ Yuksak malakali mutaxassislar-tar a qqiyot оmili ”. T . :
O’zbekistоn, 1995 -y.
2. I.A.Karimоv “Vatan ravnaqi uchun har birimiz mas’ulmiz”.T.:
O’zbekistоn, 2001-y.
3. I.A.Karimоv “Insоn, uning huquq va erkinliklari - оliy qadriyat”.T:
“O’zbekistоn nashriyot-matbaa ijоdiy uyi”, 2006-y.
4. Курoш А.Г. Oлий алгeбра курси , Тoшкeнт «Ўқитувчи», 1967й
5. Iskandarov R. Oliy algebra, 2 - qism Toshkent «Oliy va o‘r ta maktab»,
1963
6. Gaymnazarov G . Funk s ional analiz kursidan masalalar y echish.
Toshkent «Fan va texnologiya» 2006 y .
7. Gaymnazar o v G ., J o murat o v K . C hiziqli alg e bra el e m e ntlari . Gulist o n
1999 y
8. Фад ee в Д . К ., С o минский И . С . , Сб o рник задач п o в и сш ь е й
алг e бра . М .» Нау к и »,1977.
9. Ҳ.Маҳмудов. Алгебра ва сонлар назариясидан амалий
машғулотлар. - Фарғона ФДУ.2002. -119 б ..
Internet saytlari
Maktabda axborot texnologiyalari www.edunet.uz
Talaba-yoshlar sayti www . study . uz
www . student . uz
Bilim portali www . ziyonet . uz
www . pedagog . uz

31

Sotib olish

Dokument ma'lumotlari

Sotuvchi

Algebra va algebraik sistemalar

O'xshash dokumentlar