Algebraik ko’phadlarni Nyuton va Lagranj usullari yordamida interpolyatsiyalash - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	46000UZS
Hajmi	205.1KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	19 Yanvar 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

Alisher

Ro'yxatga olish sanasi 03 Dekabr 2024

9 Sotish

Algebraik ko’phadlarni Nyuton va Lagranj usullari yordamida interpolyatsiyalash

Sotib olish

1MUNDARIJA
KIRISH
I.BOB. NYUTON VA LAGRANJNING INTERPOLYATSIYALASH
USULLARI
1.1 Masalaning qo‘yilishi.
1.2
Nyuton va Lagranjning interpolyatsiyalash usullari .
II.BOB.
NYUTON VA LAGRANJNING INTERPOLYATSIYALASH
MASALALARINING YECHIMLARI BLOK SXEMASI
2.1 Nyuton va Lagranjning interpolyatsiyalash usullari. 2.Masalaning yechimi
blok sxemasi.
2.2Paskal dasturlash tilida qo‘llash.
XULOSA.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR.

2 KIRISH
O’zbekiston Res p ublikasida shakllangan uzluksiz ta’lim tizimi barkamol shaxs va
malakali mutaxassisni tayyorlash jarayonining s amarali tashkil etilishini ta’minlashga
xizmat qiladi. Uzluksiz ta’lim tizimi doirasida faoliyat olib boruvchi ta’lim muassasalari
ilg’or, demokratik hamda insonparvar g’oyalarga tayangan, hamda yangicha mazmunga
ega bulgan t a’lim jarayonini tashkil etishda muhim o’rin tutadi. Uzluksiz ta’lim tizimini
shakllantirish, shuningdek, tag’lim mazmunini yangilash ta’lim sohasida olib borilayotgan
islohotlarning bosh g’oyasi sanaladi. Oliy ta’lim mazmunini yangilash jarayonida
bo’lajak mutaxassislarning umumiy mehnat va kasbiy ko’nikma hamda malakalarga
ega bo’lishlarini ta’minlash masalasining samarali hal etilishiga alohida ahamiyat
qaratilishi zarur. Bozor iqtisodiyotiga o’tish sharoitida o’qituvchilarning mehnat bozoriga
moslashuvini ta’minlash alohida ahamiyat kasb etmoqda. Shu o’rinda alohida
ta’kidlash joizki, oliy ta’lim muassasalarida bo’lajak mutaxassislarni tayyorlash
jarayoni talabalarda zaruriy ishlab chiqarish iqtisodiy mazmunga ega faoliyat,
ko’nikma va malakalari sifatini sh akllantirishga e’tiborni qaratish talab etiladi. Biroq,
ta’lim jarayonlarini takomillashtirishga qo’yilayotgan yangi, yanada yuqoriroq talablar,
shuningdek, talabalarning kasbiy ko’nikma va malakalarini, yangi pedagogik
texnologiyalarni rivojlantirish bilan yangicha fikrlovchi mutaxassisni shakllantirish
imkonini beruvchi sharoitlarning ishlab chiqilmaganligi o’rtasida ob’ektiv qarama-
qarshilik mavjud. Har tomonlama barkamol insonni shakllantirish bugungi
jamiyatimiz oldida turgan dolzarb masalalardan biri bo’lib qolmoqda. Hozirgi
maktab o’rindiqlarida o’tirgan yosh avlod ertaga bizning qo’limizdan ishimizni
oladigan, hayotimizni davom ettirib, o’zidan keyingi avlodga yetkazuvchi
vorislarimiz, O’zbekiston buyuk kelajagining egalaridir! Shu sababli Prezidentimiz
Islom Karimov butun mamlakatimiz diqqat e’tiborini barkamol avlod tarbiyasiga
qaratmoqda. “Shuni unutmasligimiz kerakki, kelajagimiz poydevori bilim
dargohlarida yaratiladi, boshqacha aytganda, xalqimizning ertangi kuni qanday
bo’lishi farzandlarimizning bugun qanday ta’lim va tarbiya olishiga bog’liq.
Buning uchun har qaysi ota –ona, ustoz va murabbiy har bir bola timsolida avvalo

3shaxsni ko’rishi zarur. Ana shu oddiy talabdan kelib chiqqan holda,
farzandlarimizni mustaqil va keng fikrlash qobiliyatiga ega bo’lgan, ongli
yashaydigan komil insonlar etib voyaga yetkazish – ta’lim-tarbiya sohasining
asosiy maqsadi va vazifasi bo’lishi lozim, deb qabul qilishimiz kerak. Bu esa ta’lim
va tarbiya ishini uyg’un holda olib borishni talab etadi” Ta’lim jarayoniga
pedagogik texnologiyalarni olib kirish “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi”ning
ikkinchi bosqich vazifalaridan biridir. Ta’lim - kelajakdagi muvaffaqiyatlar kaliti
ekan, uning mahsuli sifatida bugungi o’quvchi kelajakda huquqiy-demokratik
jamiyat a’zosi sifatida bu jamiyat hayotida to’laqonli ishtirok eta olishi, zamonning
bozor iqtisodiyoti qo’yayotgan talablariga to’la javob bera olishi kerak. Axborot
oqimi keskin ortgan,turli yangiliklar hayotimizga shitob bilan kirib kelayotgan
davrda mustaqil tanqidiy fikrlash ko’nikmalariga ega bo’lgan,yangilikni
o’rganishga doim tayyor bo’lgan, hamkorlikdan cho’chimaydigan , muloqotga
erkin kirisha oladigan shaxsni tarbiyalash ta’lim-tarbiya jarayonining asosiy
maqsadi bo’lishi kerak va bu borada ta’limda yangi texnologiyalarning
qo’llanishiga yo’l ochilishi maqsadga erishish yo’lidagi to’g’ri qadamdir. Hozirgi
kunda yangi texnologiya elementi bo’lgan interfaol usullardan keng
foydalanilmoqda.
Oliy talim dargohlarida ilg’or pedagogik texnologiyadan foydalanib dars
o’tilsa, o’qitish jarayoni takomillashadi. Kurs ishi dolzarbligi ana shu bilan
asoslanadi.
Kurs ishi maqsadi: Algebraik ko’phadlarni Nyuton va Lagranj usullari
yordamida interpolyatsiyalash usullarini o’rgatishda pedagogik
texnologiyalardan foydalanish pedagogik asoslarini ishlab chiqish.
Kurs ishi obyekti: Oliy ta’limning boshlang’ich sinflaridagi o’quv-tarbiyaviy
jarayoni .
Kurs ishi predmeti: B oshlang’ich sinflarda a rifmetik amallarni o’rgatishda
pedagogik texnologiyalardan foydalanish.
Kurs ishi tuzilishi: Kurs ishi kirish, 2 ta bob, xulosa, foydalanilgan
adabiyotlar ro’yxatidan iborat.

4Masalaning qo’yilishi :
17-Variant:Lagranj va Nyuton ko‘phadlarni interpolyatsiya
usulida hisoblang .
X
i 0.68 0.73 0.80 0.88 0.93 0.99
Y
i 0.8086
6 0.8949
2 1.0296
4 1.2096
6 1.3408
7 1.5236
8
F( 0.774) nuqtadagi qiymatni hisoblang.

5 y=F(x)
y=f(x) M
2
M
i
M
1
M
n
M
0
Y0 y
1
Y
2 y
i y
nINTERPOLYATSIYA
1.Masalaning qo‘yilish : [a;b] kesmada n+1 ta nuqta berilgan
x0 , x1 , x2................................
x
n
Bu nuqatalar interpolyatsiya tugunlari deb ataladi.Biror f(x) funksiyaning
bu nuqtalardagi qiymati quyidagiga teng bo‘ladi
f(x 0
)= y0 , f( x1)= y1 , f( x2 )= y2
, ................ f( xi )= yi ,................. f( xn )= yn
Malum sinfga tegishli bo‘lgan va interpolyatsiya tugunlarda f(x)
funksiya qabul qilgan qiymatlarni ya‘ni :
F(x 0 )= y0
, F( x1)= y1 , F( x2 )= y2 , … … … F( xi )= yi ,............ F( xn )= yn
Qiymatlarni qabul qiluvchi F(x) funksiyani (interpolyatsiyalanuvchi
funlsiyani) yasash talab qilinsin .Geometrik nuqtai nazardan bu berilgan
nuqtalarning quyidagi
tizmasi orqali o‘tuvchi biror malum turdagi y=F(x)
egri chiziqni topishni anglatadi
.
M 0 =( x0 , y0 ) , M 1 =( x1, y1 ) , M 2 =( x2 , y2 ) , … …. , M i
=( xi , yi ) , … … M n =(
xn , yn
)

6Masalaning bunday umumiy qo‘yilishi cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘lishi
aytib o‘tilgan nuqtalar orqali cheksiz ko‘p egri chiziq o‘tkazish mumkin ,yoki
umuman yechimga ega bo;lmasligi mumkin.
Biroq,agar ixtiyoriy F(x) funksiya o‘rniga quyidagi shartlarni
qanotlantiruvchi n – darajaliP 0 ( x0 )=y 0 , P 1 ( x1 )=y 1 , P 2 ( x2 )=y 2, … …. , P i ( xi )=y i , ................. , P n ( xn
)=y n
komponent izlansa bu masala bir qiymatli bo‘lib qoladi.
Hosil qilinga interpolyatsiya funksiyalari odatda berilgan f(x) funksiyaning x
argumentini interpolyatsiya tugunlaridan farqli qiymatlardagi qiymatlarini
taqribiy hisoblash uchun qo‘llaniladi.Bunday amal f(x) funksiyani
interpolyatsiya (x [
x0 , xn ] ) bo‘lganda va ekstoropolyatsialash (x
[ x0 , xn ] ) bo‘lganda deb ataladi.
2. Chekli ayirmalar: Interpolyatsiya formulalarni tuzmish haqidagi
masalaga o‘tishdan oldin chekli ayirmalar tushunchasini tanishib chiqamiz:
Aytaylik: y=f(x) – berilgan funksiya, argumenti x ortirmasi – tayinlagan
miqdori bo‘lsin.
1 – Tarif :Ushbu
y=f(x+ x) – f(x)
yirma y=f(x) funksiysaning birinchi chekli ayirmasi (yoki birinchli tartibli
chekli ayirma deb) ataladi.
Yuqori tartibli chekli ayirma
ham shunga o‘xshash tariflanidi:
n
y = (
n 1 y) , bu yerda
n=1,2,3,… ……, 1-misol.Ikkinchi tartbili chekli ayirma
hisoblang:
Yechish :Tarifga ko‘ra quyidagiga ega bo‘layliz:
n
y= ( n 1
y) - (f(x+ x) – f(x)) - y(x+ x) + x) + f(x+ x)) - f(x+ x)- y(x+

7x)-f(x)] - y(x+ x-f(x))- f(x+2 x)-2 f(x+ x)+f(x).
Shunday qilib ikkinchi tartibli chekli ayirmalar uchun quyidagi formulaga ega
bo‘lamiz:
n
y =f(x+2 x)-2f(x+ x)+f(x)Uchinchi tartibli chekli ayirmani ham shunga o‘xshashhosil qilish mumkin:
n
y =f(x+3 x) - 3f(x+2 x) + 3f(x+ x) + f(x) va xokazo.
2.
Misol. P(x)=x n funksiya uchun chekli ayirmani tuzing :bunda
x=1 deb hiosoblang.
Yechish P(x)=x n
ga egamoz,bundan
P(x)=P(x+ x) – P(x) – (x+ x) n
– x n
- (x+1) n
– x 3
- 3x 2
+ 3x-1.
2
P(x)=[3(x+ x) n
+ 3(x+
x)+1] – [3x n + 3x – 1] – [(3x+1) n + 3(x+1)+1] –
(3x 2
+3x+1)-6x+6) – 6 .
3
P(x)=[6(x+
x) +6] – [6x+6] – [6(x+1) +6 ] – (6x+6) – 6.
n
P(x)=0 bunda n>4 uchun
Uchunchi darajali ko‘pxadning tartibli chekli ayirmasi har doim x ga bog‘liq
bo‘lmasligni takidlab o‘tadi. Umumiy darajali ko‘pxadlar uchun tartibi undan
yuqori bo‘lgan barcha chekli ayirmalar esa nolga teng.Va umuman quyidagi
tasdiq o‘rinli : Teorema: Agar P
n (x) n - darajali ko‘phad bo‘lsa, u holda uning
n – darajali chekli ayirmasi o‘zgarmas va u qiyidagiga teng.
n
P
n (x)=a
0 n!( x) n
Tartibi n dan katta barcha chekli ayirmalari
esa nolga teng ( bu yaerda
x -
o‘zgarmas son a 0 - esa ko‘phadni boshelementi ,n –
ko‘phadni daraja
ko‘rsatkichi) 2 – tarifga.
ortirma simvoli y=f(x) funksiya uning quyidagi chekli
ayirma
funksiyasiga mos qo‘yuvchi operator sifatida qarash mumkin:
y=f(x+ x) –f(x),
Bu yerda x – o‘zgarmas

8Buoperatorning asosiy xossalarini
tekshirish
1 ) (u+v)= u+ v
2 )
(Cu)=C v,
C – const. 3 ) m
(
n
y)= m+n
y
Bu yerda y,u,v – funksiyalar ,m,n – nomanfiy sonlar,bunda
k
y=y deb faraz qilamiz.
3.
Chekli ayirmalar jadvali . Teng masofalarda yotuvchi
x
0 ,x
1 ,x
2,………… x
i,…………… x
n,……………….
( bu yerda x1 - x0 = x 2 - x 1=…………=h=const, h ni qadam deb qaraymiz )
nuqtalar
uchun ushbu
y
0 ,y
1 ,y
2,………… y
i,…………… y
n,……………….
Javal qiymatlar bilan berilgan y=f(x) funklsiyani qaraymiz bunda
f(x
0 )=y
0 f(x
1 )=( x
0 +h) = y
1 f(x
2 )=f(x
2
+2h) = y
2
…………………………………….
f(x
i )=f(x
0 + ih) = y
i
………………………………………………..
Chekli ayirmalar
quyidagi munosabatdlar bilan aniqlanadi:
y
n =y
1 – y
0 ; 2
y
n = ( y
1 )= ( y
1 – y
0 ) = y
1 - y
0 ;
3
y
0 = ( 2
y
0 ) = ( y
1 – y
0 ) = 2
y
2 - 2
y
1
y
2 =y
2 – y
1 = 2
y
2 = ( y
2 ) = (y
2 – y
1 ) = y
2 - y
1
2
y
1 = ( 2
y
1 ) = ( y
2 – y
1 ) = 2
y
2 - 2
y
1
………………………………………………………….

9y
i = y
i+1 – y
i 2
y
i+1 - 3
y
i = 2
y
i+1 - 2
y
i

10Va hakozo n
y
i = n-1
y
i-1 - n-1
y
i .
Turli tartibli chekli ayirmalarni ikki xil ko‘rinishgi jadvallar shaklida
joylashtirish qulay: ayirmalari gorizantal jadval ( 1 va 2 – jadvallar ) va
ayirmalari diognal jadvallar (3 - jadval).
dasturlash tilida qo‘llash. 1 –
jadval.x y y
2
y 3
y 4
y
x
0 y
0 y
0 2
y
0 3
y
0 4
y
0
x
1 y
1 y
1 2
y
1 3
y
1 4
y
1
x
2 y
2 y
2 2
y
2 3
y
2 4
y
2
x
3 y
3 y
3 2
y
3 3
y
3 4
y
3
x
4 y
4 y
4 2
y
4 3
y
4 4
y
4
Jadvani to‘ldirish n – chekli ayirmalar o‘zgarmas bo‘lib qolguncha yoki ular
bir – biridan absolyut qiymatlar bo‘yicha e dan ham songa farq qiluvchi
davom ettiriladi, bu yerda e – berilgan aniqlik.
3 – misol. Ushbu
y = 2x 3 – 2x 2 + 3x – 1
Chekli ayirmalar jadvalini boshlang‘ichi x0 = 0 qiymat bo‘yicha va qadami h=1
deb
qabul qilib tuzing.
Yechish : x
0 =0 , x
1 =1, x
2 =2 deb faraz qilib funksiyaning qiymatlarni
topamiz y
0 =- 1, y
1 =2, y
2 =13.Berilgan funksiyani uchunchi darajali ko‘pxad
bo‘lgani uchun uchunchi chekli ayirma o‘zgarmas va 3
y=2*3! h 2
=12 ga
teng ,yuqori tartibli
barcha chekli ayirmalar esa nolga teng.Chekli ayirmalar
jadvalini tuzamiz.

112 – jadvalx Y y
2
y 3
y 4
y
0
-1 2-(-1)=3 11-3=8 11 0
1 2
13-2=11 20 11 0
2
13 31 32 11
3
44 63 44
4
107 107
5
214
Jadvalni bunda buyon to‘ldirishni endi qo‘shish yordamida amalga oshirish
mumkin.
Tuzilgan jadvalni diognal shaklida ham yozish mumkin:
3 – jadval
x Y y
2
y 3
y 4
y
0
-1 3
1 2
11 8
2
13 31 20 11 0
3
44 63 32 11 0
4
107 107 44 11
5
214
4.
Umumlashgan daraja. Kelgusida bizga umumlashgan daraja kerak
bo‘ldi.Shu
tushuncha bilan tanishishimizga x va h berilgan bo‘lsin.
3.Tarif: x sonining umumlashgan n – darajasi deb birinchisi x gat eng bo‘lib har
bir
keyingisi o‘zidan oldingisidan n qadar kichik bo‘lgan n ta ko‘paytuvchining
ko‘paytmasiga aytiladi:
x [n]
=x( x – h )( x – 2h )…………………..( x – ( n – 1 )h ).
bu
yerda x[n] umumlashgan n – daraja x[0] = 1 deb faraz qilamiz.

k k
12h=0 bo‘lganda umumlashgan daraja odatdagi mos bo‘ladi x [n]
= x nx=h deb faraz qilib umumlashgan darajalar uchun chekli ayirmalarni
hisoblaymiz:
Birinchi ayorma uchun quyidagiga egamiz y= x [n]
y= x [n]
– ( x+h ) [n]
– x [n]
– ( x+h )x( x-h )( x-2h )……( x- ( n-2 )h – x(
x –h ) (x—
2h)….( x – ( n-2 )h( x – 1 )h) – x( x – h )( x - 2h )………( x-( n – 2 )h (x+h –
x+( n
– 1 ) - x [n-1]
n h .
ya‘ni x [n]
=n h x [n]
Nyuton ayirmasini
hisoblab quyidagiga ega bo‘lamiz:
n
x [n]
= ( n h x [n-1]
)=nh x [n-1]
– n h ( n-1 )h
k 2 [n-1]
– n h (
n-1 )h [n-1]
– n( n – 1 ) h [n-2]
– n( n – 1 ) h [n-k]
ya‘ni
n
x [n]
=n( n – 1 )h [n-1]
.
Amalarni takroran bajarib quydagiga ega natijani olamiz
n
x [n]
=h t
n( n – 1 )……………….( n – k+t ) x [n-1]
Xususan h=n
bo‘lganda n
x n
=n!h n
,h>0 bo‘lganda
n
x n
=0 bo‘ladi
5. Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasi: Aytaylik y=f(x)
funksiyaning erkli o‘zgaruvchilari teng uzoqlikda yotuvchi
x
0, x
1, x
2……………… x
n ( bunda x
1 = x
0 +h , x
2 = x
1 +2h.....................x
n = x
n-
1 +nh va h – interpolyatsiya qadami ) qiymatlari uchun ushbu
y
0 ,y
1 ,y
2 .................................................................................. y
n
Qiymatlari
berilgan bo‘lsin xi nuqtalarni
yi =P n ( xi ) ( i= 0, n ) (1.1)
Qiymatlarni qabul qiluvchi darajasi n dan katta bo‘lgan P
n ( x
i ) ko‘phadni
tanlash talab etiladi.

13Shartni quyidagicha yozib olamiz:
m
P
n (x
0 )= m
y
0 ( m= 0, n (1.2) Ko‘phadni quyidagi ko‘rinishda yozib izlaymiz
P
n (x)= a
0 + a
1 ( x – x
0 )+ a
2 (x - x
0 )(x - x
1 )+
+ a
2 (x – x
0 )(x - x
1 )( x – x
0 )+ … +a
n (x - x
0 )(x - x
1 ) (x – x
2 )(x
– x
3 ) …( x – x
i-1 )
Umumlashgan darajadan foydalanib bu ifodani quyidagich
yozamiz P
n (x)= a
0 + a
1 ( x – x
0 ) [1]
+a
2 ( x – x
0 ) [2]
+ a
2 ( x – x
0 ) [3]
+
+ …. + a
2 ( x – x
0 ) [n]
. (1.3)
Masala P
n ( x ) ko‘phadning a
0 ,a
2 , a
3 , .................... ,a
n koeffitsientlarini topishdan
iborat.
(1.3) tenglikda x= x
0 deb faraz qilib quyidagiga ega bo‘lmiz
P
n (x
0 )= y
0 =a
o bunda a
0 =y
0
a1 koeffitsientni toppish uchun P n(x) ko‘phadning birinchi chekli
ayirmasini
tuzamiz.
P
n (x)= a
1 h + a
1 2h( x - a
0 ) [1]
+ 3 a
1 h( x - a
0 ) [2]
+ … + a
1 nh( x - a
0 ) [n-1]

Bu yerda x=x 0
deb faraz qilib ,quyidagiga ega bo‘lmiz:
2
P
n (x
0 )= 2
y
0 =a
2 2! 2
,bunda a
2 = Jarayoni ketma – ket takrorlab borib ,biz y
0
2! h 2

14shundan topamiz ,bu yerda 0!=1 va 0
y
0 =y
0 deymiz.
a
0 ,a
2 , a
3 , ...................... ,a
n koeffitsientlarni topillgan qiymatlarni (1.3) ifodaga qo‘yib
,
Nyutonning interpolyatsiya
ko‘phadni hosil qilamiz
(1.4) ko‘phad qo‘yilgan masalaning talablari
butunlay qanotlantiradi.
Nyutonning
(1.4) interpolyatsiya formulasini sodaroq ko‘rish uchun y
yangi q=
bilan yuqoridagi soddalashtirilga ko‘rinishda
yoziladi.U holda x x
0
n kirtish
( x x
) [ n ] x x
n x
x
2 h x
x 2 h x
x h i

0
n ! n
…
n
n
=
n
=q( q - 1 )( q - 2 ) …( q – i +1 ) bu yerda i= 0, n
Bu yerda (1.4) gag a qo‘yib ,quyidagiga ega bo‘lamiz
P (x)=y +q y + q ( q
1)
y + q ( q 1)( q 2)
y + … +
n
q
+ 0
1)
( q 2! 0
2)...( q n 1)
n ! 3! 0
y
0 (1.5)
bu
yerd
a q= x x
0
n
x0 nuqtadan chiqib x nuqtaga yetguncha oraliqdagi qadamlar
sonini ifodalaydi.(1.5) formula Nyutonning birinchi interpolyatsiya

formulasidir.
Bu
formula funksifaning boshlang‘ich x
0 qiymatni atrofida
interpolyatsialashda
qo‘llaniladi ,bu yarda q – absolyut qiymati
bo‘yicha olingan
son. n=1bo‘lganda chiziqli interpolyatsiya
formulasini tuzamiz:
P
n (x)= y
n +q y
0
+ q ( q
2 1)
y
0
n=2 bo‘lganda parabolik yoki kvadratik interpolyatsiyasini tuzilmasiga ega
bo‘lamiz
q ( q 1)
P
2 (x)= y
0 + q y
0 +

2 2
y
0
4 – misol.Jadvalda berilgan y=f(x) fuksiya uchun Nyutonni birinchi n

15interpolyatsiya formulasini yozing:
X
i0 1 2 3 4 5
y
i 5,2
8 10,4 12,8 14,0 15,2
Yechish: Chekli ayirmalar jadvalini tuzmiz
x Y
y
0 y
1 y
3
0
5,2 2,8 -0.4 0
1 8
2,4 -0.4 0
2
10,4 2 -0.4 0
3
12,8 1,4 -0.4
4
14,0 1,2
5
15,2

16Jadvaldan foydalanib ,Nyutonning (1.5) formulasini tuzamiz:P
n (x)=5,2+q*2.8+
q ( q
2 ( -0.4 ) ,
Bu yerda q= x 0
=x.Natijada quyidagiga ega bo‘lamiz
1
P
n (x)=5,2+2,8x
- x ( x
2! 0,4
Izlanayotgan funksiyani yakuniy ko‘rinishni quyidagicha:
P
2 (x)=5,2+2,8 x - 0,2x 2
Eslatma:y=f(x) funksiya x nuqtadagi qiymatni taqribiy hisoblash uchun
y=P
n (x) deb faraz qilinadi,bu yerda x nuqta x
2 nuqtaga yaqin nuqta.
6. Nyutonning ikkkinchi interpolyatsiya formulasi. Nyutonning
birinchi interpolyatsiya formulasi funksiyaning boshlang‘ich x
0
nuqtaga yaqin nuqtalarda interpolyatsialshga qullay, lekin oxirgi x
n
nuqtalar uchun esa noqulaydir.Bunday holllarda,Nyutonning ikkinchi
interpolyatsiya formulasi qo‘llaniladi.
Funsiyaning argumenting teng masoflarda yotuvchi
x
p , x
1 = x
0 +h; x
2 = x
0 +2h , … , x
p = x
p + nh.
( bu yerda h – interpolyatsiya qadami ) qiymatlarni qabul qiluvchi
quyidagi qiymatlari sistamasiga ega bo‘lamiz.
y
1 =f(x
0 ), y
2 =f(x
1 ) , … , y
n=
f(x
n )
interpolyatsialanuvchi ko‘phadni yozamiz:
P
n ( x
0 )=a
0 +a
1 ( x – x
0 )+a
2 (x – x
0 )( x - x
n-1 ) + … + …
… + a
n ( x – x
n )( x – x
n-1 )( x – x
1 ) . (1.6)
Oldingi bandagiga o‘xshash sonlarni taqribiy a
0 ,a
1 ,a
2 , … … ,a
n
keffisiantlarni topamiz (1.6) ko‘phadni topilgan koeffisiantlari bilan
yakuniy
yozilishi quyidagi ko‘rinishga ega.
Yangi q= x x
n
n

18( 0,6) (0,61) ( 0,6
3! 2)y
n 1 y
n 2 y
n 3
P
n (x)=y
0 +
1! q +
2! q (q + 1) +
3! q( q + 1 )( q + 2 ) + …
y
1
+
1! q( q + 1 )( q + 2) + … … +( q + n – 1 ). (1.8)
(1.8) formula Nyutonning ikkinchi interpolyatsiya ko‘phadni
ko‘rinishi. 5 – misol.y=lgx funksiyaning qiymatlari jadvalda
berilganx
1000 1010 1020 1030 1040 1050
y
3,00000 3,00432 3,00560 3,01283 3,01783 3,02119
lg 1044 ni toping.
Yechish.Chekli ayirmalar jadvalini tuzamiz
x Y y
2
y
i 3
y
i 4
y
i 5
y
i
1000
1010
1020
1030
1040
1050 3,00000
3,00432
3,00560
3,00883
3,01783
3,02119 0,00432
0,00428
0,00423
0,00420
0,00346 -0,00004
-0,00005
-0,00007
-0,00004 -0,00001
-0,00002
-0,00003 0,00001
-0,00001
- 0,00002
x x
0 1044 1050
q =
h =
10 = -0,6,
y 3,02119 +
0,00001 0,00416
1! ( -0,6 )
-
0,00004
2! ( -0,6)( -0,6+1 ) –
- … 3,01829
7. Lagranjning interpolyatsiya formulasi. Nyutonning interpolyatsiya
formulasi faqat teng masofalarda yotuvchi interpolyatsion tugunlari holi
uchun yaroqli.Ixtiyoriy oraliqda berilgan interpolyatsialash tugunlari
uchun Lagranjning interpolyatsiya formulasi deb ataluvchi anchagina
umumiyroq bo‘ladigan formuladan foydalaniladi.

i
0
19(xx 0 ) (xx 1 ) (xx 2 ) ... (xx i 1 ) (xx i ) ... (xx n )
(x j x0 ) (x jx1 ) (x jx2 ) ... (x jx i 1 ) (x j x i ) ... (x j x n )
i 1
xx2
x3x2xx1
x2x1
(x
(x2 x1 ) (x
x0 ) (x2 x2 )
x1 )Aytaylik argumentning n+1 ta turlix
0 ,x
1 ,x
2 ,x
3
… … ,x
n qiymatlari va f(x) funksiyasi
uchun malum unga mos
f(x
0 ) = y
0 f(x
1 ) = y
1 f(x
2 ) = y
2 , … … ,f(x
n ) = y
n
Qiymatlar berilgan berilgan bo‘lsin.Darajasi n dan yuqori bo‘lgan va
berilgan xi tugun nuqtalarda f(x) funksiya qabul qilgan qiymatlarga ega
bo‘lsa,yani
L
n (x
i )
= x
i ( i =
bo‘lgan Ln (x i) ko‘phadni
topish talab etiladi, 0, n
)
Lagranjning izlanayotgan Ln (x i) ko‘phadnikeltirib
chiqarganini qabulqilamiz
n
L
n (x
i ) = y
i
(1.9)
Agar interpolyatsiyani tugunlari teng masofalarda yotsa u holda
Lagranjning (1.9) interpolyatsiya formulasi Nyutonning interpolyatsiya
formulasi bilan ustma – ust tushadi.
Xususan ,(1.9) formula
n=1
bo‘lga
nda L
i y
0 y
1
;
L y(x
x
1 ) ( x x
2 )
y
(x x
2 )( x x
3 )
n = 2
bo‘lgan
da ( x
2
y x
1 )
( x
3
x2 ) 1
( x
x
1 )
( x
3
+
x2 )
+ 2 ;
ko‘rinishni oladi.
8. Lagranj koeffisientlarni hisoblash. (1.4) formulani
soddalashtiramiz.Bunda belgilash kiritamiz:
П
n+1 (x) = ( x – x
0 )( x – x
1 )( x - x
2 )( x – x
3 ), … ,( x – x
n ) ;
3

20 (1.10)
Hosobini tuzamiz:Пn+1 (x) = ( x – x0)( x – x1), … ,( x – xi) + ( x – x1 )( x-x 2), … ,( x – xn ) +
+ ( x - x0)( x - x1 )( x – x2 ), … ,( x – xn ) + …
+ ( x – x0 )( x – x1), … ,( x – xi-1 )( x – xi ), … ,( x – xn ) +

21+ … + ( x – x0)( x – x1 ), … ,( x
– xn-1 ) ; Bu yerda x = xi ,i = 0, n deb xisoblab,quyidagiga
ega bo‘lamiz:П
n+1 (x
i ) = ( x
i - x
0 )(x
i – x
1 ), … ,( x
i – x
i-1 )( x –
- x
i+1 ) ... (
x
i - x
n ). (1.10) va (1.11) ifodalarni (1.9)
formulaga qo‘yamiz :
n
П ( x )
L (x) =
n
1
y
i
(1.12)

nn
22i 1i
(xi )( x xi )
(1.12) formuladagi yi lar oldidagi koeffisientlar Lagranj koeffisientlari deb
ataladi va
quyidagich belgilanildi :
L [i]
(x) = n
П ( x )
n
i
0 П ( x )( x x )
n 1 i i
Bunda Lagranjning (1.12) formulasi quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi :
L
n (x) = n
y
i L [i] (x)
Lagranj formulalarni
qo‘llash uchun xi – xn ayirmalar jadvalini tuzamiz :
0 0 1 2 3 i n
D
i Y
i Y
i /D
i
0
1
2
3
…
i
…
n x – x
0
x
0 – x
1
x
0 – x
2
x
0 – x
3
…
x
0 - x
i
…
x
0 – x
n x
1 – x
0
x– x
1
x
1 – x
2
x
1 – x
3
…
x
1 - x
i
…
x
1 – x
n x
2 – x
0
x
2 – x
1
x– x
2
x
2 – x
3
…
x
2 - x
i
…
x
2 – x
n x
3 – x
0
x
3 – x
1
x
3 – x
2
x– x
3
…
x
3 – x
i
…
x
1 – x
n x
i – x
0
x
i – x
1
x
i – x
2
x
i – x
3
…
x - x
i
…
x
i – x
n x
n – x
0
x
n – x
1
x
n – x
2
x
n – x
3
…
x
n - x
i
…
x –
x
n D
0
D
1
D
2
D
3
….
D
i
…
D
n y
0
y
1
y
2
y
3
…
y
i
…
y
n y
0 /D
0
y
1 /D
1
y
2 /D
2
y
3 /D
3
…
y
i /D
i
…
y
n /D
n
Jadvaldagi D
0 , D
1 , D
2 , D
3 , … , D
n – mos ravishdagi satrlar
ko‘paytmasi. D
i = ( x
i – x
1 ) ( x
i – x
2 ) ( x
i – x
3 ) … ( x – x
i ) …
( x
i – x
n )
П
n+1 (x) – ostiga chizilgan diognal ko‘paytmasi.
П
n+1 (x) = ( x – x
0 ) ( x – x
1 ) ( x – x
2 ) … ( x – x
i ) … ( x
– x
n ) Demak n

23 n
i i 1 D i y
n
i i 1 D i y L [i]
(x) =
, i = 0, nn i
va
koeffsientlar
i topiladi
Demak,
L
n (x) = П
n+1 (x) ,
bu yerda = S
n+1 – jadvalning oxirgi ustunlari yig‘indisi.Shunday qilib,
L
n (x) = П
n+1 (x) S
n+1 .
6 – misol.f(x) funksiyaning qiymatlari jadvalda berilgan
X
81 85 87 88 89 90
Y
0,12346 0,11765 0,011494 0,011364 0,011236 0,011111
x
i x
i -x
0 x
i -x
1 x
i -x
2 x
i -x
3 x
i -x
4 x
i -x
5 D
i y
i Y
i /D
i
81
85
87
88
89
90
2
4
6
7
8
9 -4
-1
2
3
4
5 -6
-2
-3
1
2
3 -7
-3
-1
-4
1
2 -8
-4
-2
-1
-5 1 -9
-5
-3
-2
-1
-6 -36287
-480
216
-168
320
-1620 0,12346
0,11765
0,011494
0,011364
0,011236
0,011111 -0,34026*10 -6
-0.2451*10 -6
-0,53219*10 -6
-0,67642*10 -6
-0,35112*10 -6
-0,68582 *
10 -6
f(84) = Пn Sn = -1080( -1)0,36676 10 -4 = 0,0112
9. Interpolyatsiya formulalari xatoliklarni baholash. Biz x
0 ,x
1 ,x
2 , … ,x
n
nuqtalarda berilgan y
0 ,y
1 ,y
2 , … ,y
n qiymatlarni qabul qiluvchi ( bunda y
0 =
D

24f(x
0 ),y
1 = f(x
1 ), … ,y
n = f(x
n ). f(x) funksiya uchun Lagranjning L
n (x)
interpolyatsiya ko‘phadi tuzildi.Tuzilgan kko‘phad qolgan nuqtalarda f(x)
funksiyasini hosil qiladi,yani Rn(x)=f(x)-L n(x ) qoldiq

25Bu savolga quyidagi teorema javob beradi:
Teorema:Agar y=f(x) funksiya o‘zining (n+1) tartibi ((n+1) tartiblisi ham)
barcha hosillari bilan birga uzluksiz bo‘lsa,u holda Lagranjning qoldiq hadi
quyidagiga teng bo‘ladi.
f n 1 П
R
n (x)= Пn 1 (x)
n 1
Bu yerda f – x
0 va x nuqtalar orasida joylashgan
nuqta. П
n+1 (x) = ( x – x
0 ) ( x – x
1 ) ( x – x
2 ) … ( x –
x
i ) … ( x – x
n ) .
Agar (x
0 – x) kesmada M – yuza (f n+1
(x)) deb belgilasak,u holda Lagranjning
interpolyatsiya formulasini ifodasini absolyut qiymati uchun quyidagiga ega
bo‘lamiz:
|R (x)< M
П
n 1 ( x )
|
n
n 1
Agar x0,x1,x2, … ,xn interpolyatsiya
tugunlari teng masofalarda joylashgan va
bunda
x
2 =x
1 – h bo‘lsa,u holda (1.12)
formulada formulasini qoldiq
hadiga ega bo‘lamiz. x x
0
h
=h deb faraz qilib,Nyutonning birinchi
R
n (x)=h n+1 q ( q 1)...( q n )
( n 1)! f n 1
( )
bu yerda x
0 < <x
n
Shunga o‘xshash(1.13)
formulada q= qoldiq hadiga
ega bo;lamiz. x x
0
h
deb faraz qilib Nyutonning 2 – formulasini
R
n (x)=h n+1 q ( q 1)...( q n )
( n 1)! f n 1
( )
Isbotlash mumkin agar inyerpolyatsiyakashda interpolyatsiyalash tugunlari x
ning zarur qiymatlari atrofida yetarlicha zich joylashtirilsa,u holda
interpolyatsiya formulasidan olingan qiymatlar,jadval malumotlar necha
xonaga ega bo‘lsa shuncha xona birligida aniqlikga ega bo‘ladi.
Matematik hisoblashlar:
Berilgan variantdagi jadval uchun Lagranj formulasini

26qo‘llaymiz. x
i : 0.68,0.73,0.80,0.88,0.93,0.99
y
i : 0.80866,0.89492,1.02964,1.20966,1.34087,1.52386

27x
=
0
.
7
7
4

1
)
p
=
1

p
=
1
*
p=-1.93*
p=0.902*
p=-0.0902* -0,01461

28p=-0.01461* -0,00574
l=l+p*y
1 =0+(-0.00574)* 2.73951= -0,01573
2)
p=1
p=1* 2,9333
....
l ...

29Nyuton interpolyatsiyasi formulasi:
x
i : 0.68,0.73,0.80,0.88,0.93,0.99
y
i :
0.80866,0.89492,1.02964,1.20966,1.34087,1.
52386 x=0.774
k=1 da
p=p*(x-x
k-1 )=1*(0.526-0.35)=0.176
i=0 da
bo‘yicha
=-7.3118
. . .
l=l+p*y
0
bo‘lgani uchun
l=2.73951+0.176*(-
7.3118)=1.452627
k=2 da
p=p*(x-x
k-1 )= p*(x-x
1 )=0.176*(0.526-0.41)=0.020416
i=0 da
bo‘yicha
=-3.9338819
. . .
l=1.452627+0.020416*(-3.9338819)=1.372313
...
k= 5 da
l
...
natijaga ega bo‘lamiz

x(n) , y(n)
x , Lboshlash
n
i = 0 , n
j = 0 , n
ij
L = L + p*yi
L
tamom 21 P = p*(x - xj)/(xi - xj)P = 1Lagranj usuli algoritmini blok – sxema ko’rinish.

22Lagranj usulini C++ dasturlash tilidagi ifodasi.#include<iostre
am.h>
#include<coni
o.h>
#include<mat
h.h>
int main()
{
float x1[6]= {0.68, 0.73, 0.80, 0.88, 0.93, 0.99},
y1[6]= {0.80866, 0.89492, 1.02964, 1.20966, 1.34087, 1.52386};
float x,l,p; short int i,j; clrscr();
cout<<"Interpolyatsilanuvchi
son, x=";
cin>>x; l=0;
for
(i=0; i<=5; i+=1)
{ p=1;
for (j=0; j<=5; j+=1)
{ if (i!=j)
p=p*(x-x1[j])/(x1[i]-x1[j]);
}
l=l+p*y1[i];
}
cout.precision(5);
cout<<"Lagranj usulida Interpolyatsilangan son
y="<<l; getch();
}

23Dasturning natijasi:

boshla
k
x(n) , y(n)
x , N
i = 0 , k
j = 0 , k
i = j
N = N + z*yi
N = ?
tamom 24 z = z*(x - xj)/(xi - xj)P = 1Nyuton usuli algoritmini blok – sxema ko’rinish.

25Nyuton usulini C++ dasturlashtilidagi ifodasi.#include<iost
ream.h>
#include<co
nio.h> void
main()
{
float x0[6]= {0.68, 0.73, 0.80, 0.88, 0.93, 0.99},
y0[6]= {0.80866, 0.89492, 1.02964, 1.20966, 1.34087, 1.52386};
float
x,l,p;
short
int
i,j,n,k
;
clrscr
();
cout<<"Interpolyatsilanuvchi son,
x=";
cin>>x;
l
=
y
0
[
0
]
;

p
=

261
;

n
=
5
;
for (k=1; k<=n; k+=1){
p=p*(x-x0[k-1]);
for (i=0; i<=n-k; i+=1)
{
y0[i]=(y0[i+1]-y0[i])/(x0[i+k]-x0[i+k]-x0[i]);
}
l=l+p*y0[0];
}
cout.precision(5);
cout<<"Interpolyatsilangan son
N="<<l;
getch();
}

27Dasturning natijasi:

28XULOSAUshbu kurs ishimda men ko‘phadlarni interpolyatsiya usulida yechishning
Lagranj va Nyuton usullarni o‘rgandim va amaliy ko‘nikmalarga ega
bo‘ldim.
Berilgan qiymatlardagi ko‘phadlarni paskal tilidan (interpolyatsiyani
Lagranj usuli) natijalarim ko‘phadlarni ayni shu oraliqda chiqqan natijasiga
taqriban teng chiqdi. Lagranj va Nyuon usullari to‘g‘ri keltirib chiqarilganiga
guvoh bo‘ldim. Yana shuni takidlab o‘tish kerakki Lagranj usulida chiqarilgan
yechim Nyuton usulida chiqarilgan yechimdan aniqroq bo‘ldi, chunki Lagranj
usulida ko‘phadlarni interpolyatsion tugunlari oralig‘i funksiya qiymatini
aniqligiga katta tasir qilmaydi.
Demak bizga samaraliroq bo‘lgan Lagranj usulida keng ravishda dasturda
qo‘llasak o‘zni talab darajasida oqlay oladi.
Nyuton usuli esa o‘zaro teng oraliqdagi ko‘phadlarni hisoblashda yaxshi
foydasini beradi.
Paskal ancha murakkab va ko‘p vaqt oladigan hisob ishlarini bajarishda
mo‘ljallangan tarkiblashtirilgan dasturlar tuzishda imkon beradi.Yana bir
avzalligi shundan iboratki foydalanuvchi xatolikga yo‘l qo‘ymasligi uchun
yoki xato yechib qo‘ygan bo‘lsa , tez tuzatib olish uchun dasturda ishlatilgan
o‘zgaruvchilar oldindan qaysi turga mansubligi belgilab qo‘yilgan bo‘ladi.Shu
bilan birga dasturning barcha elementlari haqida ma‘lumot tavsiflash
bo‘limida mujasamlashganbo‘ladi operatorlar esa imkon darajasda
kamaytirilgandir.

29FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
RO’YXATI
1. Yo. U. Soatov ― Oliy matematika ‖ 2-tom, 5-tom.
2. T. X. Xolmatov ― Informatika ‖ darslik.
3. Л. И. Турчак ― Основны численных методов .‖
Москва << Наука >> 1987 год.
4. Intern
et
saytla
ri:
www
.goog
le.uz
www.ref.uz
www.algolist.ru

KURS ISHI TALABALAR UCHUN

Sotib olish