Ro'yxatga olish sanasi 03 Dekabr 2024
43 SotishAlgebraik ko’phadlarni Nyuton va Lagranj usullari yordamida interpolyatsiyalash
![5 y=F(x)
y=f(x) M
2
M
i
M
1
M
n
M
0
Y0 y
1
Y
2 y
i y
nINTERPOLYATSIYA
1.Masalaning qo‘yilish : [a;b] kesmada n+1 ta nuqta berilgan
x0 , x1 , x2................................
x
n
Bu nuqatalar interpolyatsiya tugunlari deb ataladi.Biror f(x) funksiyaning
bu nuqtalardagi qiymati quyidagiga teng bo‘ladi
f(x 0
)= y0 , f( x1)= y1 , f( x2 )= y2
, ................ f( xi )= yi ,................. f( xn )= yn
Malum sinfga tegishli bo‘lgan va interpolyatsiya tugunlarda f(x)
funksiya qabul qilgan qiymatlarni ya‘ni :
F(x 0 )= y0
, F( x1)= y1 , F( x2 )= y2 , … … … F( xi )= yi ,............ F( xn )= yn
Qiymatlarni qabul qiluvchi F(x) funksiyani (interpolyatsiyalanuvchi
funlsiyani) yasash talab qilinsin .Geometrik nuqtai nazardan bu berilgan
nuqtalarning quyidagi
tizmasi orqali o‘tuvchi biror malum turdagi y=F(x)
egri chiziqni topishni anglatadi
.
M 0 =( x0 , y0 ) , M 1 =( x1, y1 ) , M 2 =( x2 , y2 ) , … …. , M i
=( xi , yi ) , … … M n =(
xn , yn
)](https://docx.uz/documents/d0e011f4-0b00-40a7-802e-ff8c05d6e381/page_5.png?v=1)
![6Masalaning bunday umumiy qo‘yilishi cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘lishi
aytib o‘tilgan nuqtalar orqali cheksiz ko‘p egri chiziq o‘tkazish mumkin ,yoki
umuman yechimga ega bo;lmasligi mumkin.
Biroq,agar ixtiyoriy F(x) funksiya o‘rniga quyidagi shartlarni
qanotlantiruvchi n – darajaliP 0 ( x0 )=y 0 , P 1 ( x1 )=y 1 , P 2 ( x2 )=y 2, … …. , P i ( xi )=y i , ................. , P n ( xn
)=y n
komponent izlansa bu masala bir qiymatli bo‘lib qoladi.
Hosil qilinga interpolyatsiya funksiyalari odatda berilgan f(x) funksiyaning x
argumentini interpolyatsiya tugunlaridan farqli qiymatlardagi qiymatlarini
taqribiy hisoblash uchun qo‘llaniladi.Bunday amal f(x) funksiyani
interpolyatsiya (x [
x0 , xn ] ) bo‘lganda va ekstoropolyatsialash (x
[ x0 , xn ] ) bo‘lganda deb ataladi.
2. Chekli ayirmalar: Interpolyatsiya formulalarni tuzmish haqidagi
masalaga o‘tishdan oldin chekli ayirmalar tushunchasini tanishib chiqamiz:
Aytaylik: y=f(x) – berilgan funksiya, argumenti x ortirmasi – tayinlagan
miqdori bo‘lsin.
1 – Tarif :Ushbu
y=f(x+ x) – f(x)
yirma y=f(x) funksiysaning birinchi chekli ayirmasi (yoki birinchli tartibli
chekli ayirma deb) ataladi.
Yuqori tartibli chekli ayirma
ham shunga o‘xshash tariflanidi:
n
y = (
n 1 y) , bu yerda
n=1,2,3,… ……, 1-misol.Ikkinchi tartbili chekli ayirma
hisoblang:
Yechish :Tarifga ko‘ra quyidagiga ega bo‘layliz:
n
y= ( n 1
y) - (f(x+ x) – f(x)) - y(x+ x) + x) + f(x+ x)) - f(x+ x)- y(x+](https://docx.uz/documents/d0e011f4-0b00-40a7-802e-ff8c05d6e381/page_6.png?v=1)
![7x)-f(x)] - y(x+ x-f(x))- f(x+2 x)-2 f(x+ x)+f(x).
Shunday qilib ikkinchi tartibli chekli ayirmalar uchun quyidagi formulaga ega
bo‘lamiz:
n
y =f(x+2 x)-2f(x+ x)+f(x)Uchinchi tartibli chekli ayirmani ham shunga o‘xshashhosil qilish mumkin:
n
y =f(x+3 x) - 3f(x+2 x) + 3f(x+ x) + f(x) va xokazo.
2.
Misol. P(x)=x n funksiya uchun chekli ayirmani tuzing :bunda
x=1 deb hiosoblang.
Yechish P(x)=x n
ga egamoz,bundan
P(x)=P(x+ x) – P(x) – (x+ x) n
– x n
- (x+1) n
– x 3
- 3x 2
+ 3x-1.
2
P(x)=[3(x+ x) n
+ 3(x+
x)+1] – [3x n + 3x – 1] – [(3x+1) n + 3(x+1)+1] –
(3x 2
+3x+1)-6x+6) – 6 .
3
P(x)=[6(x+
x) +6] – [6x+6] – [6(x+1) +6 ] – (6x+6) – 6.
n
P(x)=0 bunda n>4 uchun
Uchunchi darajali ko‘pxadning tartibli chekli ayirmasi har doim x ga bog‘liq
bo‘lmasligni takidlab o‘tadi. Umumiy darajali ko‘pxadlar uchun tartibi undan
yuqori bo‘lgan barcha chekli ayirmalar esa nolga teng.Va umuman quyidagi
tasdiq o‘rinli : Teorema: Agar P
n (x) n - darajali ko‘phad bo‘lsa, u holda uning
n – darajali chekli ayirmasi o‘zgarmas va u qiyidagiga teng.
n
P
n (x)=a
0 n!( x) n
Tartibi n dan katta barcha chekli ayirmalari
esa nolga teng ( bu yaerda
x -
o‘zgarmas son a 0 - esa ko‘phadni boshelementi ,n –
ko‘phadni daraja
ko‘rsatkichi) 2 – tarifga.
ortirma simvoli y=f(x) funksiya uning quyidagi chekli
ayirma
funksiyasiga mos qo‘yuvchi operator sifatida qarash mumkin:
y=f(x+ x) –f(x),
Bu yerda x – o‘zgarmas](https://docx.uz/documents/d0e011f4-0b00-40a7-802e-ff8c05d6e381/page_7.png?v=1)
![112 – jadvalx Y y
2
y 3
y 4
y
0
-1 2-(-1)=3 11-3=8 11 0
1 2
13-2=11 20 11 0
2
13 31 32 11
3
44 63 44
4
107 107
5
214
Jadvalni bunda buyon to‘ldirishni endi qo‘shish yordamida amalga oshirish
mumkin.
Tuzilgan jadvalni diognal shaklida ham yozish mumkin:
3 – jadval
x Y y
2
y 3
y 4
y
0
-1 3
1 2
11 8
2
13 31 20 11 0
3
44 63 32 11 0
4
107 107 44 11
5
214
4.
Umumlashgan daraja. Kelgusida bizga umumlashgan daraja kerak
bo‘ldi.Shu
tushuncha bilan tanishishimizga x va h berilgan bo‘lsin.
3.Tarif: x sonining umumlashgan n – darajasi deb birinchisi x gat eng bo‘lib har
bir
keyingisi o‘zidan oldingisidan n qadar kichik bo‘lgan n ta ko‘paytuvchining
ko‘paytmasiga aytiladi:
x [n]
=x( x – h )( x – 2h )…………………..( x – ( n – 1 )h ).
bu
yerda x[n] umumlashgan n – daraja x[0] = 1 deb faraz qilamiz.](https://docx.uz/documents/d0e011f4-0b00-40a7-802e-ff8c05d6e381/page_11.png?v=1)
![k k
12h=0 bo‘lganda umumlashgan daraja odatdagi mos bo‘ladi x [n]
= x nx=h deb faraz qilib umumlashgan darajalar uchun chekli ayirmalarni
hisoblaymiz:
Birinchi ayorma uchun quyidagiga egamiz y= x [n]
y= x [n]
– ( x+h ) [n]
– x [n]
– ( x+h )x( x-h )( x-2h )……( x- ( n-2 )h – x(
x –h ) (x—
2h)….( x – ( n-2 )h( x – 1 )h) – x( x – h )( x - 2h )………( x-( n – 2 )h (x+h –
x+( n
– 1 ) - x [n-1]
n h .
ya‘ni x [n]
=n h x [n]
Nyuton ayirmasini
hisoblab quyidagiga ega bo‘lamiz:
n
x [n]
= ( n h x [n-1]
)=nh x [n-1]
– n h ( n-1 )h
k 2 [n-1]
– n h (
n-1 )h [n-1]
– n( n – 1 ) h [n-2]
– n( n – 1 ) h [n-k]
ya‘ni
n
x [n]
=n( n – 1 )h [n-1]
.
Amalarni takroran bajarib quydagiga ega natijani olamiz
n
x [n]
=h t
n( n – 1 )……………….( n – k+t ) x [n-1]
Xususan h=n
bo‘lganda n
x n
=n!h n
,h>0 bo‘lganda
n
x n
=0 bo‘ladi
5. Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasi: Aytaylik y=f(x)
funksiyaning erkli o‘zgaruvchilari teng uzoqlikda yotuvchi
x
0, x
1, x
2……………… x
n ( bunda x
1 = x
0 +h , x
2 = x
1 +2h.....................x
n = x
n-
1 +nh va h – interpolyatsiya qadami ) qiymatlari uchun ushbu
y
0 ,y
1 ,y
2 .................................................................................. y
n
Qiymatlari
berilgan bo‘lsin xi nuqtalarni
yi =P n ( xi ) ( i= 0, n ) (1.1)
Qiymatlarni qabul qiluvchi darajasi n dan katta bo‘lgan P
n ( x
i ) ko‘phadni
tanlash talab etiladi.](https://docx.uz/documents/d0e011f4-0b00-40a7-802e-ff8c05d6e381/page_12.png?v=1)
![13Shartni quyidagicha yozib olamiz:
m
P
n (x
0 )= m
y
0 ( m= 0, n (1.2) Ko‘phadni quyidagi ko‘rinishda yozib izlaymiz
P
n (x)= a
0 + a
1 ( x – x
0 )+ a
2 (x - x
0 )(x - x
1 )+
+ a
2 (x – x
0 )(x - x
1 )( x – x
0 )+ … +a
n (x - x
0 )(x - x
1 ) (x – x
2 )(x
– x
3 ) …( x – x
i-1 )
Umumlashgan darajadan foydalanib bu ifodani quyidagich
yozamiz P
n (x)= a
0 + a
1 ( x – x
0 ) [1]
+a
2 ( x – x
0 ) [2]
+ a
2 ( x – x
0 ) [3]
+
+ …. + a
2 ( x – x
0 ) [n]
. (1.3)
Masala P
n ( x ) ko‘phadning a
0 ,a
2 , a
3 , .................... ,a
n koeffitsientlarini topishdan
iborat.
(1.3) tenglikda x= x
0 deb faraz qilib quyidagiga ega bo‘lmiz
P
n (x
0 )= y
0 =a
o bunda a
0 =y
0
a1 koeffitsientni toppish uchun P n(x) ko‘phadning birinchi chekli
ayirmasini
tuzamiz.
P
n (x)= a
1 h + a
1 2h( x - a
0 ) [1]
+ 3 a
1 h( x - a
0 ) [2]
+ … + a
1 nh( x - a
0 ) [n-1]
Bu yerda x=x 0
deb faraz qilib ,quyidagiga ega bo‘lmiz:
2
P
n (x
0 )= 2
y
0 =a
2 2! 2
,bunda a
2 = Jarayoni ketma – ket takrorlab borib ,biz y
0
2! h 2](https://docx.uz/documents/d0e011f4-0b00-40a7-802e-ff8c05d6e381/page_13.png?v=1)
![14shundan topamiz ,bu yerda 0!=1 va 0
y
0 =y
0 deymiz.
a
0 ,a
2 , a
3 , ...................... ,a
n koeffitsientlarni topillgan qiymatlarni (1.3) ifodaga qo‘yib
,
Nyutonning interpolyatsiya
ko‘phadni hosil qilamiz
(1.4) ko‘phad qo‘yilgan masalaning talablari
butunlay qanotlantiradi.
Nyutonning
(1.4) interpolyatsiya formulasini sodaroq ko‘rish uchun y
yangi q=
bilan yuqoridagi soddalashtirilga ko‘rinishda
yoziladi.U holda x x
0
n kirtish
( x x
) [ n ] x x
n x
x
2 h x
x 2 h x
x h i
0
n ! n
…
n
n
=
n
=q( q - 1 )( q - 2 ) …( q – i +1 ) bu yerda i= 0, n
Bu yerda (1.4) gag a qo‘yib ,quyidagiga ega bo‘lamiz
P (x)=y +q y + q ( q
1)
y + q ( q 1)( q 2)
y + … +
n
q
+ 0
1)
( q 2! 0
2)...( q n 1)
n ! 3! 0
y
0 (1.5)
bu
yerd
a q= x x
0
n
x0 nuqtadan chiqib x nuqtaga yetguncha oraliqdagi qadamlar
sonini ifodalaydi.(1.5) formula Nyutonning birinchi interpolyatsiya
formulasidir.
Bu
formula funksifaning boshlang‘ich x
0 qiymatni atrofida
interpolyatsialashda
qo‘llaniladi ,bu yarda q – absolyut qiymati
bo‘yicha olingan
son. n=1bo‘lganda chiziqli interpolyatsiya
formulasini tuzamiz:
P
n (x)= y
n +q y
0
+ q ( q
2 1)
y
0
n=2 bo‘lganda parabolik yoki kvadratik interpolyatsiyasini tuzilmasiga ega
bo‘lamiz
q ( q 1)
P
2 (x)= y
0 + q y
0 +
2 2
y
0
4 – misol.Jadvalda berilgan y=f(x) fuksiya uchun Nyutonni birinchi n](https://docx.uz/documents/d0e011f4-0b00-40a7-802e-ff8c05d6e381/page_14.png?v=1)
![nn
22i 1i
(xi )( x xi )
(1.12) formuladagi yi lar oldidagi koeffisientlar Lagranj koeffisientlari deb
ataladi va
quyidagich belgilanildi :
L [i]
(x) = n
П ( x )
n
i
0 П ( x )( x x )
n 1 i i
Bunda Lagranjning (1.12) formulasi quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi :
L
n (x) = n
y
i L [i] (x)
Lagranj formulalarni
qo‘llash uchun xi – xn ayirmalar jadvalini tuzamiz :
0 0 1 2 3 i n
D
i Y
i Y
i /D
i
0
1
2
3
…
i
…
n x – x
0
x
0 – x
1
x
0 – x
2
x
0 – x
3
…
x
0 - x
i
…
x
0 – x
n x
1 – x
0
x– x
1
x
1 – x
2
x
1 – x
3
…
x
1 - x
i
…
x
1 – x
n x
2 – x
0
x
2 – x
1
x– x
2
x
2 – x
3
…
x
2 - x
i
…
x
2 – x
n x
3 – x
0
x
3 – x
1
x
3 – x
2
x– x
3
…
x
3 – x
i
…
x
1 – x
n x
i – x
0
x
i – x
1
x
i – x
2
x
i – x
3
…
x - x
i
…
x
i – x
n x
n – x
0
x
n – x
1
x
n – x
2
x
n – x
3
…
x
n - x
i
…
x –
x
n D
0
D
1
D
2
D
3
….
D
i
…
D
n y
0
y
1
y
2
y
3
…
y
i
…
y
n y
0 /D
0
y
1 /D
1
y
2 /D
2
y
3 /D
3
…
y
i /D
i
…
y
n /D
n
Jadvaldagi D
0 , D
1 , D
2 , D
3 , … , D
n – mos ravishdagi satrlar
ko‘paytmasi. D
i = ( x
i – x
1 ) ( x
i – x
2 ) ( x
i – x
3 ) … ( x – x
i ) …
( x
i – x
n )
П
n+1 (x) – ostiga chizilgan diognal ko‘paytmasi.
П
n+1 (x) = ( x – x
0 ) ( x – x
1 ) ( x – x
2 ) … ( x – x
i ) … ( x
– x
n ) Demak n](https://docx.uz/documents/d0e011f4-0b00-40a7-802e-ff8c05d6e381/page_22.png?v=1)
![23 n
i i 1 D i y
n
i i 1 D i y L [i]
(x) =
, i = 0, nn i
va
koeffsientlar
i topiladi
Demak,
L
n (x) = П
n+1 (x) ,
bu yerda = S
n+1 – jadvalning oxirgi ustunlari yig‘indisi.Shunday qilib,
L
n (x) = П
n+1 (x) S
n+1 .
6 – misol.f(x) funksiyaning qiymatlari jadvalda berilgan
X
81 85 87 88 89 90
Y
0,12346 0,11765 0,011494 0,011364 0,011236 0,011111
x
i x
i -x
0 x
i -x
1 x
i -x
2 x
i -x
3 x
i -x
4 x
i -x
5 D
i y
i Y
i /D
i
81
85
87
88
89
90
2
4
6
7
8
9 -4
-1
2
3
4
5 -6
-2
-3
1
2
3 -7
-3
-1
-4
1
2 -8
-4
-2
-1
-5 1 -9
-5
-3
-2
-1
-6 -36287
-480
216
-168
320
-1620 0,12346
0,11765
0,011494
0,011364
0,011236
0,011111 -0,34026*10 -6
-0.2451*10 -6
-0,53219*10 -6
-0,67642*10 -6
-0,35112*10 -6
-0,68582 *
10 -6
f(84) = Пn Sn = -1080( -1)0,36676 10 -4 = 0,0112
9. Interpolyatsiya formulalari xatoliklarni baholash. Biz x
0 ,x
1 ,x
2 , … ,x
n
nuqtalarda berilgan y
0 ,y
1 ,y
2 , … ,y
n qiymatlarni qabul qiluvchi ( bunda y
0 =
D](https://docx.uz/documents/d0e011f4-0b00-40a7-802e-ff8c05d6e381/page_23.png?v=1)
![22Lagranj usulini C++ dasturlash tilidagi ifodasi.#include<iostre
am.h>
#include<coni
o.h>
#include<mat
h.h>
int main()
{
float x1[6]= {0.68, 0.73, 0.80, 0.88, 0.93, 0.99},
y1[6]= {0.80866, 0.89492, 1.02964, 1.20966, 1.34087, 1.52386};
float x,l,p; short int i,j; clrscr();
cout<<"Interpolyatsilanuvchi
son, x=";
cin>>x; l=0;
for
(i=0; i<=5; i+=1)
{ p=1;
for (j=0; j<=5; j+=1)
{ if (i!=j)
p=p*(x-x1[j])/(x1[i]-x1[j]);
}
l=l+p*y1[i];
}
cout.precision(5);
cout<<"Lagranj usulida Interpolyatsilangan son
y="<<l; getch();
}](https://docx.uz/documents/d0e011f4-0b00-40a7-802e-ff8c05d6e381/page_31.png?v=1)
![25Nyuton usulini C++ dasturlashtilidagi ifodasi.#include<iost
ream.h>
#include<co
nio.h> void
main()
{
float x0[6]= {0.68, 0.73, 0.80, 0.88, 0.93, 0.99},
y0[6]= {0.80866, 0.89492, 1.02964, 1.20966, 1.34087, 1.52386};
float
x,l,p;
short
int
i,j,n,k
;
clrscr
();
cout<<"Interpolyatsilanuvchi son,
x=";
cin>>x;
l
=
y
0
[
0
]
;
p
=](https://docx.uz/documents/d0e011f4-0b00-40a7-802e-ff8c05d6e381/page_34.png?v=1)
![261
;
n
=
5
;
for (k=1; k<=n; k+=1){
p=p*(x-x0[k-1]);
for (i=0; i<=n-k; i+=1)
{
y0[i]=(y0[i+1]-y0[i])/(x0[i+k]-x0[i+k]-x0[i]);
}
l=l+p*y0[0];
}
cout.precision(5);
cout<<"Interpolyatsilangan son
N="<<l;
getch();
}](https://docx.uz/documents/d0e011f4-0b00-40a7-802e-ff8c05d6e381/page_35.png?v=1)
KURS ISHI TALABALAR UCHUN
-
O'xshash dokumentlar
- Qavariq ko’pyoqlar
- Nyutonning teng oraliqlar uchun ikkinchi interpolyatsion formulasining Matlab dasturidagi tadbig‘i.
- Oddiy differensial tenglamalarni sonli yechish eyler usulining matlab dasturidagi tadbig’i
- Matlab dasturi yordamida ikki o’zgaruvchili issiqlik tarqalish tenglamasini chekli ayirmalar yordamida taqribiy yechish
- Matlab dasturi yordamida ikki o’zgaruvchili laplas tenglamasini chekli ayirmalar yordamida taqribiy yechish