Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	307.9KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	20 Iyun 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

185 Sotish

Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari

Sotib olish

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM,
FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
Farg‘ona davlat universiteti
Fizika-matematika fakulteti
Matematika yo‘nalishi 23.01-guruh talabasi
Azimjonova Odinaxon Dilshodbek qizining
Matematik analiz fanidan
“ Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari ”
mavzusidagi
KURS ISHI
Kurs ishi rahbari: A.Abduqodirov
FARG‘ONA– 2025
1

REJA
KIRISH
1. To‘plamning limit nuqtasi.
2. Funksiyaning limiti ta’riflari va ekvivalentligi.
3. Limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari.
XULOSA
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
2

KIRISH
Barkamol avlod jamiyat taraqqiyotining asosi. Shu bois mamlakatimizda
ham jismonan, ham ma’nan barkamol avlodga ta’lim-tarbiya berish davlat siyosati
darajasiga ko‘tarilgan.
Prezidentimiz SH. Mirziyoyev 19-sentyabr kuni BMT Bosh
assambleyasining 72-sessiyasida so‘zlagan nutqida : “ Jamiyatimizda siyosiy
faollik ortib bormoqda, barcha sohalarda chuqur islohotlar amalga oshirilmoqda.
Ulardan ko‘zlangan maqsad – “Inson manfaatlari hamma narsadan ustun” degan
oddiy va aniq-ravshan tamoyilni amalga oshirish ustuvor ahamiyatga ega bo‘lgan
demokratik davlat va adolatli jamiyat barpo etishdan iborat.
“2017-2021-yillarda O‘zbekiston Respublikasini rivojlantirishning
beshta ustuvor yo‘nalishi bo‘yicha Harakatlar strategiyasi”da xalqimiz hayot
darajasini yuksaltirishning aniq mexanizmlari belgilab berilganligi to‘g‘risida
fikrlarini bildirib, ushbu strategiyaning nafaqat xalqimiz, balki dunyo
jamoatchiligi e’tiborini o‘ziga jalb etgan muhim hujjatga aylanganligini alohida
ta’kidlab, o‘tamiz.
“Harakatlar strategiyasida ta’lim sifatini oshirish, yoshlarga oid davlat
siyosatini takomillashtirish masalalari alohida o‘rin egallaydi. Harakatlar
strategiyasi xonalari faoliyatidan ko‘zlangan asosiy maqsad - O‘zbekiston
Respublikasini rivojlantirishning beshta ustuvor yo‘nalishi bo‘yicha Harakatlar
strategiyasida yoshlarning ijtimoiy faolligini oshirish, ularni 2017-2021 yillarga
mo‘ljallangan Harakatlar strategiyasiga yanada kengroq jalb qilishdir.
Yoshlarning bilim va iqtidorini chuqurlashtirish, ularning kelgusida
malakali kadrlar bo‘lib, O‘zbekistonni yanada rivojlantirishdagi ishtirokini
ta’minlash maqsadida ta’lim jarayoniga zamonaviy yondashuvlar joriy
etilmoqda, shunga javoban tadqiqot ishimizni samarali va amaliyotga joriy
etishda natijaviylikka etiborni qaratamiz.
3

Ta’lim yosh avlodni mustaqil hayotga tayyorlashning asosiy
komponentlaridan biridir. Mustaqillik yillarida jamiyatning yosh avlod ta’lim-
tarbiyasiga qo‘yayotgan talablari, ilm-fan taraqqiyoti natijasida umumta’lim
maktablaridagi ta’lim mazmunida keskin o‘zgarishlar sodir bo‘ldi.Fan taraqqiyoti
ta’limning texnologik bazasi, jamiyat a’zolarining yashash sharoitida keskin
o‘zgarishlarga olib keldi. Jumladan, ilm-fan yangiliklari, zamonaviy texnologiyalar
jamiyatning ma’naviy qiyofasini o‘zgartirib yubordi. Ilm-fan yutuqlari va ularning
insonlar hayotidagi o‘rni rivojlangan mamlakatlar maktab ta’limi mazmuni va
strukturasiga ta’sir o‘tkazmay qolmaydi. Mamlakatimizda ta’lim sohasida olib
borilayotgan islohotlar natijasida o‘quv soatlari keskin qisqartirildi, o‘quv
materiallari mazmuni modernizatsiya qilindi.Ma’lumki, har bir davlat va
jamiyatning taraqqiyoti, kelajak istiqboli, uning dunyo hamjamiyatidagi o‘rni, fan-
texnika yoki ixtirolar muvaffaqiyati bilan amalga oshayotganligi ehtimoldan holi
emas. Zero, muhtaram birinchi prezidentimiz I.A.Karimov aytganlaridek,
“Bugungi kun mustaqil davlatimiz taqdiri, uning ravnaqi, hozirgi davri va kelajagi,
jamiyatimiz fanlarida erishilayotgan yutuqlar orqali amalga oshayotganligi
shubhasizdir” .XXI asr O‘zbekistonda madaniyat, iqtisodiyot, fan va texnika,
ijtimoiy-siyosiy innovasiyalar asri sifatida boshlandi va ana shunday sharoitda
barkamol shaxs, yuqori malakali mutaxassislarni tayyorlash nafaqat pedagogik,
balki ijtimoiy zaruratga aylandi. So‘nggi yillarda ta’lim tizimiga boshqa sohalardan
bir qator yangi tushunchalar kirib keldi. Bugungi kunda ta’limning iqtisodiyligi va
takomillashganligi o‘rgatuvchi va o‘rganuvchi aloqalari, texnika va texnologiyalar,
ta’limni interfaol metodlar asosida tashkil qilish, hamda ta’lim samaradorligini
oshirishga katta e’tibor berilmoqda. Ta’lim tizimida, ta’lim jarayonida interfaol
metodlardan foydalanish – ta’lim samaradorligini oshiradigan innovatsion usuldir.
Yoshlarni yangicha ishlashga va tafakkur yuritishga o‘rgatish davr talabi ekanligi
yurtboshimiz tomonidan asoslab berildi.Ta’lim texnologiyasi insoniylik
tamoyillariga tayanadi. Falsafa, pedagogika va psixologiyada bu yo‘nalishning
o‘ziga xosligi talabaning individualligiga alohida e’tibor berish orqali namoyon
bo‘ladi. Shunday ekan bo‘lajak pedagog mutaxassislarni tarbiyalashda pedagogika
4

fanining mazmun-mohiyatini tushuntirishda hamda pedagogika fanining so‘nggi
yutuqlaridan foydalanib fan mavzularining bayonida interfaol metodlar asosida
darslarni tashkil etish muhim ahamiyat kasb etadi.
Kurs ishining dolzarbligi : Matematik analiz oliy matematikaning
fundamental bo‘limlaridan biri bo‘lib, matematikaning poydevori hisoblanadi.
Ma’lumki, matematik analiz kursi davomida ko‘pgina tushuncha va
tasdiqlar, shuningdek, ularning tasdiqlari keltiriladi va mutaxassislar
tayyorlash, barkamol avlodni shakllantirish muammosi bilan uzviy bog‘liq.
Ma m l a k a t i m i z n i n g b arc h a j a b h a l ar i d a a m a lg a o s h i r i l a y o t g an k e n g k o‘l a m l i
i s l oh o t l ar, h u qu qi y d e m ok r a t i k d a vl a t v a er k i n f u q a r o li k j a m i y a t in i q u r i s h
z a m i r id a, a v v a l o m bo r, i n so n m a n fa a t l a r i , u n i n g i nt e l e k t u a l s a l o h i y a t i n i y u z a g a
c h i q a r i s h , k a s b m a ho r a t in i o sh i r is h u c h u n za r u r s h a r t - sh a r o i t v az i fa l ari
m u j a ss a m . Bu bo r a d a b a r k a m o l a vl o d n i t a r bi y a l a sh , u m u m t a’ l i m m a kt a b l a r i , o li y
v a o‘ r t a m a x s u s t a ’ li m s o h a s i d a y u q o r i m a l a k a l i k a d r l a r n i t a y y o r l a sh , i l m -fa n ,
t a ’ li m h a m d a i s h l a b c h i q ar is h o‘ r t a si d a g i o‘ zaro ha m ko r l i k n i y a n a d a
r i v o j l a n t i r i sh g a a l o h i d a e’ t i b o r q ar a t i l m oqd a.
O‘ qu v j ara y o n i d a s a m ara do r l ik k a e r i s his h u c hu n za m on a vi y i lg‘o r
p e d a g og i k t e xn o lo gi y a l ar, n o a n ’ a n vi y d a r s us u l l a r i v a o‘ zaro f a o l o‘q u v
j a r a y oni n i t a d bi q qi l is h lo z i m . O‘ zaro f a o l u s u l l a r n i o‘ qu v j ara y o n ig a q o‘l l a s h
u c h u n e s a o‘ t il a d ig a n m a v z un i t a l a b a l ar, o‘ q u v c h i l ar o‘ z l a r i m us t a q i l t a y y o r l ab
k e l is hl a ri t a l a b e t i l a di . J a ra y on nin g s a m ara do r l ig i n i o s h i r i s h m a qs a d i d a
i nn o v a t s io n us u l l a r n i q o‘ll a s h d a e nd i b i z – p e d a go g l ar “ O‘quv c h il a r n i
o‘ q it m a y m i z, b a l k i k i t ob n i o‘q is h g a o‘ r g a t a m i z” s h io r i n i a m a lg a o s h i ra m i z.
B u n i n g s a b a b i s h u n d a ki , a g a r d a t a l a b a v a o‘q u v c h i l ar d a r sg a t a y y o r ho l d a
k e l m a s a l ar, h e ch q a n a q a f a o l us u l d a n s a m ara l i f o y d a l a n i b b o‘l m a y d i . N a ti j a d ao‘ qitu vchi
y a n a o‘ z - o‘ z i d an a n ’ a n a vi y s h a k l d a d a r s o‘ tishga to‘ g‘ r i k e l a d i .
O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti Shavkat Mirziyoyev raisligida 19-mart
kuni yoshlarga e’tiborni kuchaytirish, ularni madaniyat, san’at, jismoniy tarbiya va
sportga keng jalb etish, ularga axborot texnologiyalaridan foydalanish
5

ko‘nikmalarini singdirish, yoshlar o‘rtasida kitobxonlikni targ‘ib qilish, xotin-
qizlar bandligini oshirish masalalariga bag‘ishlangan videoselektor yig‘ilishi
o‘tkazildi. Mamlakat aholisining 30 foizini 14 yoshdan 30 yoshgacha bo‘lgan
yigit-qizlar tashkil etadi. Ularning ta’lim olishi, kasb-hunar egallashi uchun keng
sharoit yaratilgan. Shu bilan birga, yoshlarning bo‘sh vaqtlarini mazmunli
o‘tkazishni tashkil etish dolzarb masala hisoblanadi. Yoshlar qanchalik ma’naviy
barkamol bo‘lsa, turli yot illatlarga qarshi immuniteti ham shunchalik kuchli
bo‘ladi.Ma’lumki, O‘zbekiston rahbari ijtimoiy, ma’naviy-ma’rifiy sohalardagi
ishlarni yangi tizim asosida yo‘lga qo‘yish bo‘yicha 5 ta muhim tashabbusni ilgari
surgan edi. Birinchi tashabbus – yoshlarning musiqa, rassomlik, adabiyot, teatr va
san’atning boshqa turlariga qiziqishlarini oshirishga, iste’dodini yuzaga
chiqarishga xizmat qiladi. Ikkinchi tashabbus – yoshlarni jismoniy chiniqtirish,
sport . Uchinchi tashabbus – aholi va yoshlar o‘rtasida kompyuter texnologiyalari
va internetdan samarali foydalanishni tashkil etishga qaratilgan. To‘rtinchi
tashabbus – yoshlar ma’naviyatini yuksaltirish, ular o‘rtasida kitobxonlikni keng
targ‘ib qilish bo‘yicha tizimli ishlarni tashkil etishga yo‘naltirilgan. Beshinchi
tashabbus – xotin-qizlarni ish bilan ta’minlash masalalarini nazarda tutadi. Ana
shu ezgu g‘oya Prezidentning Sirdaryo viloyatiga tashrifi chog‘ida boshlanib,
qisqa vaqtda ulkan ishlar amalga oshirildi. Sirdaryo viloyatidagi tuman va
shaharlar kutubxonalariga 300 ming nusxada badiiy adabiyotlar yetkazib berildi.
Musiqa va san’at maktablari cholg‘u asboblari, sport ob’ektlari jihozlar bilan
ta’minlandi. Bu ishlar Namangan viloyatida ham davom ettirilib, “Ma’rifat
karvoni” tashkil etildi. Yoshlar uchun 25 ming dona kitob, 80 turdagi sport
jihozlari va musiqa asboblari yetkazib berildi. Bir so‘z bilan aytganda, ushbu 5 ta
tashabbus xalq, ayniqsa, yoshlar tomonidan katta qiziqish bilan kutib olindi.Bir
so‘z bilan aytganda, ushbu 5 ta tashabbus xalq, ayniqsa, yoshlar tomonidan katta
qiziqish bilan kutib olindi. Yig‘ilishda bu tajribani mamlakatning barcha
hududlarida keng joriy qilish masalalari muhokama qilindi. Bugungi kunda
mamlakatdagi 800 dan ortiq madaniyat markazlari, 312 ta musiqa va san’at
maktablariga atigi 130 ming nafar o‘g‘il-qiz qamrab olingani, mazkur
6

muassasalarning aksariyati o‘quv qo‘llanmalari, notalar to‘plami, musiqa
asboblari, mebel va jihozlar bilan yetarli darajada ta’minlanmagani ko‘rsatib
o‘tildi.Davlat rahbari joylardagi madaniyat markazlari, musiqa va san’at
maktablarining moddiy-texnik bazasi va ulardan foydalanish holatini o‘rganib,
ularning faoliyatini yaxshilash bo‘yicha
O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining 2012-yil 28-maydagi ―``Malakali
kadrlar tayyorlash hamda oily ta’lim muaasalarini shunday kadrlar bilan ta’minlash
yanada takomillashtirishga oid chora tadbirlar to‘g‘risida”gi qarori ta’lim
mazmunini uning samaradorligini yanada yaxshilashga qaratilgan.
Respublikamizda faoliyat ko‘rsatayotgan o‘rta maxsus kasb-hunar kollejlari
uchun tayyorlanayotgan pedagog kadrlar sifatini tubdan yaxshilash, ta’lim
muassasalaridagi o‘quv jarayonini zamonaviy talablar asosida qayta tashkil etish
va tayyorlanayotgan o‘rta bo‘gin mutaxasislari malakasining raqobatbardosh
bo‘lishiga erishish asosiy vazifalaridan biri bo‘lib hisoblanadi. Ushbu vazifalarning
samarali bajarilishining asosiy omili o‘quv vositalaridir. Ta’lim vositalari
svilizatsiyaning ajralmas qismi umuminsoniy madaniyatning muhum elementi
hamda dunyoni ilmiy o‘rganish tilidir. Shiddatli axboratlashuv jarayoni amalga
oshib borayotgan hozirgi davrda har bir soha kishisi zamon bilan hamnafas
ravishda innovatsion tehnalogiyalarga, innovatsion vositalarga murojaat qilishiga
to‘g‘ri kelmoqda shu jumladan matematika fani ham bunday oqimdan chetda
qolayotgani yo‘q. Mahsuldor ta’lim har qanday ta’limning zaruriy tarkibiy qismi
hisoblanib, u insoniyat jamg‘argan tajribani aniq o‘quv fani doirasida o‘zlashtirish
bilan bog‘liq. Ta’lim oluvchilarda bilim va ko‘nikmalarning ma’lum poydevori
hosil qilingandan keyingina ta’limning natijali vaijodiy yondashish usullariga
ko‘chish mumkin.Pedagogik texnalogiya oqimi 70-80 yillarda AQSh da yuzaga
keldi va YUNESCO kabi nufuzli tashkilot tomonidan tan olindi va qo‘llab –
quvvatlandi va hozirgi kunda ko‘pgina mamlakatlarda muvaffaqiyatli
o‘zlashtirilmoqda. Ma’lumki, tubdan farq qiluvchi uchta talim turlarini ajratish
mumkin. Bular: og‘zaki- ko‘rgazmali, texnologik va izlanuvchan-ijodiy ta’lim
7

turlari hisoblanadi. 1. Og‘zaki – ko‘rgazmali an’anaviy bo‘lib, o‘qituvchining
axborot berishi, talabalarning bilimlarni qabul qilishi, to‘plashi va xotirasida
saqlashi bilan belgilanadi. Ta’limda ogzaki-ko‘rgazmali yondashuv juda katta
tajribaga ega bo‘lib, qismlarga ajratib ishlab chiqilgan vata’lim tizimida ulkan
xizmat ko‘rsatdi.Jadal suratlar bilan o‘sib borayot-gan fan va texnika talablari,
ta’lim tizimidagi istlohatlar, raqobotbardosh kadrlar tayyorlash, shaxsni
rivojlantirish, uning ma’lumot olish istaklarini to‘laroq qondirishga bo‘lgan
jamiyat ehtiyojlari o‘qitish usullariga yangicha yondashishni talab qilmoqda.
Ta’limga texnologik yondashuvning umumiy tavsifnomasi qismlarga ajratilmagan
holda, ta’limning juda oddiy mahsuldor darajasi sifati misolida qaraladi. O‘quv
ishlari yuqori natijalarga erishishga qaratilgan bo‘lib, yo‘naltirilganlik, mashg‘ul
bo‘lish, musobaqalashish va o‘zaro yordamlashish tushunchalari mavjud bo‘ladi. 3.
Izlanuvchan yondashuvdagi maqsad, talabalarda muammoni hal etish, yangi,
oxirigacha tugallanmagan tajribani o‘zlashtirish, ta’sir etishning yangi yo‘llarini
yaratish qobiliyatlarini, shaxsiy idrokni rivojlantirishdan iboratdir. Bu tushuncha
orqali sanoatda tayyor mahsulotni olish uchun bajariladigan ishlarning ketma –
ketligi haqidagi hujjat, ta’limda esa fan bo‘yicha uslubiy tadbirlar majmuasi
tushuniladi. Pedagogik texnologiyada asosiy yo‘l aniq belgilan-gan
maqsadlargaqaratilganlik, ta’lim oluvchi bilan muntazam o‘zaro aloqani o‘rnatish,
pedagogik texnologiyaning falsafiy asosi hisoblangan ta’lim oluvchining xatti –
harakati orqali o‘qitishdir. O‘zaro aloqa pedagogik texnologiya asosini tashkil
qilib, o‘quv jarayonini to‘liq qamrab olish kerak. Pedagogik texnologiyada nazarda
tutiladigan maqsadlarni qo‘yish usuli,o‘qitish maqsadlari o‘quvchilar harakatida
ifodalanadigan va aniq ko‘rinadigan hamda o‘lchanadigan natijalar orqali
belgilanadi. Maqsadlar o‘qituvchining faoliyatidan kelib chiqqan holda o‘rgatish,
tushuntirish, ko‘rsatish, aytib berish va hokazo atamalar orqali qo‘yiladi.
O‘quvchining harakatlarida ifodalanadigan vazifalar esa ta’limining natijalarda
ifodalanadi. Natija, talabaning tugallangan xatti –harakatini ifodalovchi keltirib
chiqaring, sanab o‘ting, so‘zlab bering tanlang, ko‘rsatib bering, hisoblang kabi
atamalar bilan ifodalanishi kerak.Shunday qilib, an’anaviy o‘quv jarayonlarida
8

asosiy 6 omil – bu pedagog va uning faoliyati hisoblansa, pedagogik texnologiyada
birinchi o‘ringa o‘qish jarayonidagi o‘quvchilarning faoliyati qo‘yiladi. Ma’lumki,
ilg‘or texnologiyalarni qo‘llashda asosiy e’tibor loyihalash bosqichiga qaratiladi,
bunday tizimli yondoshuv asosida o‘quv jarayonini loyihalash, kutilayotgan natija
shaklidagi o‘quv maqsadlarini mumkin qadar aniqlashtirish, rejalashtirilgan o‘quv
maqsadlariga kafolatli erishishga undaydi. Biz ushbu mavzuda matematika sohasi
uchun innovatsion vositalar bilan tanishib chiqamiz.
Kurs ishining maqsad va vazifalari: O‘quv jarayonida interfaol xorijiy
usullarni qo‘llash kurs ishining to‘liq o‘zlashtirilishini kafolatlaydi. Bu jarayonda
nazariy mashg‘ulotlarni olib boorish pedagogik texnologiyalarga asoslangan.
Shuningdek, ma’ruza matnlari va amaliy mashg‘ulotlarga oid fan materiallari bilan
birgalikda testlar, va videomateriallar bilan boyitish fanni sifatli o‘qitish uchun eng
dolzarb muammolardan biri hisoblanadi.
Kurs ishining ob’yekti: O‘zbekistondagi barcha ta’lim muassasalarida
matematikani o‘qitish jarayoni.
Kurs ishining predmeti: Innovatsion ta’lim muhiti mazmuni, metodlari va
innovatsion muhitni shakllantiruvchi vositalar.
Kurs ishining tuzilishi va tarkibi: Mazkur kurs ishi kirish, asosiy qism,
xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan tashkil topgan bo‘lib, kirish
qismida kurs ishining dolzarbligi, maqsad va vazifalari haqida qisqacha bayon
etilgan.
9

1. To‘plamning limit nuqtasi.
Aytaylik, biror to‘plam va nuqta berilgan bo‘lsin.
1-ta’rif. Agar nuqtaning ixtiyoriy
atrofida to‘plamning x
0 nuqtadan farqli kamida bitta nuqtasi bo‘lsa, ya’ni
bo‘lsa, x0 nuqta to‘plamning limit nuqtasi deyiladi.
Misollar. 1. to‘plamning har bir nuqtasi shu to‘plamning limit
nuqtasi bo‘ladi.
2. to‘plamning har bir nuqtasi va x=0, x=1 nuqtalar shu
to‘plamning limit nuqtalari bo‘ladi.
3. to‘plamning limit nuqtasi
x0=1 bo‘ladi.
4. to‘plam limit nuqtaga ega emas.
2-ta’rif. Agar x
0 nuqtaning ixtiyoriy
o‘ng atrofida (chap atrofida) X to‘plamning kamida bitta nuqtasi bo‘lsa,
x0
nuqta X to‘plamning o‘ng (chap) limit nuqtasi deyiladi.
3-ta’rif. Agar ixtiyoriy c
∈R uchun
10

to‘plamda X to‘plamning kamida bitta nuqtasi bo‘lsa, “+∞ X to‘plamning limit
“nuqta”si deyiladi.
Agar ixtiyoriy c
∈R uchun
to‘plamda X to‘plamning kamida bitta nuqtasi bo‘lsa, “ − ∞
X to‘plamning limit
«nuqta»si deyiladi.
Keltirilgan ta’rif va misollardan ko‘rinadiki, to‘plamning limit nuqtasi shu
to‘plamga tegishli bo‘lishi ham, bo‘lmasligi ham mumkin ekan.
1-teorema. Agar
x0∈R nuqta X R to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsa, u
holda
x0 nuqtaning har qanday
atrofida X to‘plamning cheksiz ko‘p nuqtalari bo‘ladi.
Aytaylik, nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin. Teorema
tasdig‘ining teskarisini faraz qilaylik: nuqtaning biror atrofida
to‘plamning chekli sondagi nuqtalarigina bo‘lsin. U holda
deb olinsa, nuqtaning U
σ ( x
0 )
atrofida X to‘plamning x
0
dan farqli bitta ham
nuqtasi bo‘lmaydi. Bu esa x
0 nuqta X to‘plamning limit nuqtasi bo‘lishiga ziddir.
2-teorema. Agar
x0 nuqta X R to‘plamning limit nuqta-si bo‘lsa, u holda
shunday sonlar ketma-ketligi
{xn} topiladiki,
1)
2) bo‘ladi.
11

2. Funksiya limiti ta’riflari va ekvivalentligi.
Faraz qilaylik, f(x) funksiya X to‘plam X R da berilgan
bo‘lib, nuqta X to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin. x0 nuqtaga intiluvchi
ixtiyoriy {
xn } :

ketma-ketlikni olib, funksiya qiymatlaridan iborat { f (
xn )} :

ketma-ketlikni hosil qilamiz.
3-ta’rif. (Geyne). Agar da
xn → x0 ( xn∈X ,Xn≠X0 bo‘ladigan
ixtiyoriy
{xn} ketma-ketlik uchun n → ∞ da f( xn )b bo‘lsa, b ga f(x) funksiyaning
x0
nuqtadagi limiti deyiladi va x → x0 da f(x) → b yoki
kabi belgilanadi.
Eslatma. Agar n
→ ∞ da
bo‘ladigan turli
{xn} , { y
n }
ketma-ketliklar uchun n → ∞ da f( x
n ¿ → b
1
, f( y
n ¿ → b
2

bo‘lib, b
1 ≠ b
2 bo‘lsa f(x) funksiya x → x
0 da limitga ega emas deyiladi.
1-misol . Ushbu
unksiyaning
x0=4 nuqtadagi limiti topilsin.
Quyidagi
{ x
n } :
12

ketma-ketlikni olaylik. Unda
f(xn¿= xn2−16
xn2− 4xn
= xn+4
xn
bo‘lib, n
→ ∞ da f( xn¿→ 2 bo‘ladi. Demak,
4-ta’rif. (Koshi). Agar
∀ ε>0 son olinganda ham shunday δ = δ ( ε) 0

topilsaki,
∀ x∈X ∩(U δ(x0)¿{x0¿}) uchun
tengsizlik bajarilsa, b soni f(x) funksiyaning x
0 nuqtadagi limiti deyiladi:
.
Bu ta’rifni qisqacha quyidagicha ham aytish mumkin:
∀ ε > 0
,
∃δ= δ(ε)>0 , ∀ x ∈ X ∩ ( U
δ ( x
0 ) ¿ { x
0 ¿ } )
: | f ( x ) − b | < ε
bo‘lsa,
5-ta’rif. Agar
∀ ε>0 son olinganda ham shunday δ > 0
son
topilsaki, ∀ x ∈ X ∩ ( U
δ
( x
0 ) ¿ { x
0 ¿ } )
uchun f(x)> ε
tengsizlik
bajarilsa, f(x) funksiyaning
x0 nuqtadagi limiti + ∞ deb ataladi va
kabi belgilanadi.
13

Masalan,
funksiya uchunlimx→0
1
x2= ¿¿
+ ∞
bo‘ladi.
Aytaylik, f(x) funksiya X
R to‘plamda berilgan bo‘lib,
xo=+∞
nuqta X to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin.
6-ta’rif. Agar
∀ ε>0 son olinganda ham shunday δ>0 topilsaki, ∀ x∈X , x >
δ
uchun
tengsizlik bajarilsa, b soni f(x) funksiyaning x
0 = + ∞
dagi limiti deyiladi va
kabi belgilanadi.
7-misol. Aytaylik, X = (0,
+∞¿ , xo=+∞ , f(x) = 1
x bo‘lsin. U holda
bo‘ladi.
Haqiqatan ham,
∀ ε>0 sonnni olaylik. Ravshanki, ∀ x>0 uchun
14

Demak, δ = 1
ε deyilsa, unda ∀ x>δ uchun
bo‘ladi.
7-ta’rif. Agar
bo‘lsa, b son f ( x ) funksiyaning x
0 nuqtadagi chap limiti deyiladi va
kabi belgilanadi.
Faraz qilaylik, f ( x ) funksiya X
R to‘plamda berilgan, x
0
nuqta X ning
o‘ng limit nuqtasi bo‘lib,
bo‘lsin.
8-ta’rif. Agar
bo‘lsa, b son f( x ) funksiyaning
x0 nuqtadagi o‘ng limiti deyiladi va
kabi belgilanadi.
15

Masalan,
f( x ) =
funksiyaning 0 nuqtadagi o‘ng limiti 1, chap limiti –1 bo‘ladi.
3. Limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari.
Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalar ham yaqinlashuvchi ketma-ketlik
singari qator xossalarga ega.
Faraz qilaylik, f(x) funksiya X R to‘plamda berilgan bo‘lib, x0∈R
nuqta X ning limit nuqtasi bo‘lsin.
1-xossa . Agar x → x
0 da f( x ) funksiya limitga ega bo‘lsa, u yagona bo‘ladi.
Bu xossaning isboti limit ta’riflarining ekvivalentligi hamda ketma-ketlik
limitining yagonaligidan kelib chiqadi.
2-xossa . Agar
, (b – chekli son)
bo‘lsa, u holda
x0 nuqtaning shunday U δ(x0) ( δ>0¿ atrofi topiladiki, bu
atrofda f( x ) funksiya chegaralangan bo‘ladi.
Aytaylik,
bo‘lsin. Funksiya limiti ta’rifga binoan
∀ ε>0
, ∃ δ = δ ( ε) > 0
, ∀ x ∈ X ∩ ( U
δ ( x
0 ) ¿ { x
0 ¿ } )
da | f ( x ) − b | < ε
ya’ni
16

bo‘ladi.
Keyingi tengsizliklardan f( x ) funksiyaning x0 nuqtaning U δ(x0)
atrofida chegaralanganligi kelib chiqadi.
3-xossa . Agar
bo‘lib, b < p bo‘lsa, u holda
x0 nuqtaning shunday U δ(x0) atrofi topiladiki, bu
atrofda
bo‘ladi.
Shartga ko‘ra
Funksiyaning limiti ta’rifiga ko‘ra uchun shunday son
topiladiki, ∀ x ∈ X
,
| x − x
0 | < δ
, x≠x0 uchun
bo‘ladi. Bu esa
∀ x∈U δ(x0) da f( x ) bo‘lishini bildiradi.
Faraz qilaylik, f( x ) va g( x ) funksiyalar X
R to‘plamda berilgan
bo‘lib,
x0∈R nuqta X to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin.
4-xossa . Agar
bo‘lib, ∀ x ∈ X
da f( x )
≤g(x) tengsizlik bajarilsa, u holda b
1 ≤ b
2 , ya’ni
17

bo‘ladi.
Aytaylik,
bo‘lsin.
Funksiya limitining Geyne ta’rifiga ko‘ra x0 ga intiluvchi ixtiyoriy
xn→ x0
(xn∈X ,xn≠x0)
ketma-ketlik uchun
(
1 )
bo‘ladi.
Ravshanki,
∀ n∈N da
f(
xn¿≤g(xn) (
2 )
Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning xossalaridan foydalanib, (1) va (2)
munosabatlardan
ya’ni
b1≤b2 bo‘lishini topamiz.
5-xossa . Faraz qilaylik,
, ( b
1 , b
2 ∈ R ¿
limitlar mavjud bo‘lsin. U holda
a) ∀ c ∈ R
da
limx→x0(c∙f(x))= c∙limx→x0
f(x) ;
18

b) lim
x → x
0( f ( x ) + g ( x )) = lim
x → x
0 f ( x ) + lim
x → x
0 g ( x )
;
v) lim
x → x
0
( f ( x ) ∙ g ( x )) = lim
x → x
0 f ( x ) ∙ lim
x → x
0 g ( x ) ;
g) Agar
b2≠0 bo‘lsa, lim
x → x
0 f ( x )
g ( x ) = lim
x → x
0 f
( x )
lim
x → x
0 g
( x ) ;
bo‘ladi.
Bu tasdiqlarning isboti sonlar ketma-ketliklari ustida arifmetik amallar
bajarilishi haqidagi ma’lumotlardan kelib chiqadi.
2-misol. Ushbu
limit hisoblansin.
Ma’lumki, 1 − cosx = 2 sin 2 x
2 . Shuni hisobga olib topamiz:
lim
x → 0 1 − cosx
x 2 =
limx→0
2sin 2x
2
x2 =limx→0
1
2∙
[
sin x
2
x
2 ]
2
= 1
2∙
[
limx→0
sin x
2
x
2 ]
= 1
2 .
Funksiyaning limiti
Ikki (va ikkidan ortiq) o‘zgaruvchi funksiyasining limiti va uzluksizligi
bir o‘zgaruvchi funksiyasidagi kabi ta’riflanadi. Bu ta’riflar nuqtaning
δ−
atrofiga tushunchasiga asoslanadi.
P0(x0;y0) nuqtaning δ− atrofi deb
√(x− x0)
2+(y− y0)
2< δ
(yoki ρ(P ,P0)<δ ) tengsizlikni qanoatlantiruvchi
barcha
P(x;y) tekislik nuqtalari to‘plamiga aytiladi. Bu to‘plam markazi P0
nuqtada bo‘lgan va radiusi
δ ga teng ochiq (chegarasiz) doirada yotuvchi
barcha
P nuqtalardan tashkil topadi (4-rasm).
19

3-ta’rif . Agar ∀ ε>0 son uchun P0(x0;y0) nuqtaning shunday δ− atrofi
topilsaki, bu atrofning istalgan
P(x;y) nuqtasi ( P0 nuqta bundan istisno bo‘lishi
mumkin) uchun
|f(P)− A|<ε
tengsizlik bajarilsa,
A songa z= f(x,y) funksiyaning P0(x0;y0) nuqtadagi
yoki
P→ P0 dagi limiti deyiladi va
lim ¿x→x0¿
y→y0¿
¿f(x,y)=A¿ , lim (x,y)→(x0,y0)
f(x,y)= A yoki
limP→P0
f(P)= A
kabi belgilanadi.
Quyida bu teoremalarni keltiramiz.
1-teorema . Ikkita funksiya algebraik yig‘indisining limiti bu funksiyalar
limitlarining algebraik yig‘indisiga teng ,ya’ni
limP→P0
(f(P)± g(P))= limP→P0
f(P)± limP→P0
g(P)
.
2-teorema . Ikkita funksiya ko‘paytmasining limiti bu funksiyalar
limitlarining ko‘paytmasiga teng, ya’ni
limP→P0
(f(P)⋅g(P))= limP→P0
f(P)⋅limP→P0
g(P)
.
1-natija . Funksiya
P→ P0 da yagona limitga ega bo‘ladi.
2-natija . O‘zgarmas funksiyaning limiti uning o‘ziga teng , ya’ni
limP→P0
f(C )=C
.
3-natija . O‘zgarmas ko‘paytuvchini limit belgisidan tashqarida chiqazish
mumkin, ya’ni
limP→P0
(k⋅f(P))= k⋅limP→P0
f(P ),k∈R.
20

4-natija . Funksiyaning natural ko‘rsatkichli darajasining limiti bu funksiya
limitining shu tartibli darajasiga teng, ya’ni limP→P0
(f(P)n)=(limP→P0
f(P))n
,
n∈N .
3-teorema . Ikki funksiya bo‘linmasining limiti bu funksiyalar limitlarining
nisbatiga teng, ya’ni
lim
P→P0
f(P)
g(P)=
limP→P0
f(P)
limP→P0
g(P )
, limP→P0
g(P)≠ 0 .
4-teorema . Agar
P0 nuqtaning biror atrofidagi barcha P nuqtalar uchun
f(P)≤ ϕ(P)≤ g(P)
tengsizlik bajarilsa va
lim
P→P0
f(P )= lim
P→P0
g(P)= A bo‘lsa,
u holda
lim
P→P0
ϕ(P)= A bo‘ladi.
Misollar . 1.
lim
(x,y)→(2,−1)
x+2y2
x2+3xy limitni limitlar haqidagi teoremalarni qo‘llab,
topamiz:
lim
(x,y)→(2,−1)
x=2
va lim
(x,y)→(2,−1)
y=−1 .
U holda
lim (x,y)→(2,−1)
x+2y2
x2+3xy =
lim (x,y)→(2,−1)(x+2y2)
lim (x,y)→(2,−1)(x2+3xy )=
lim (x,y)→(2,−1)x+2 lim (x,y)→(2,−1)y2
lim (x,y)→(2,−1)x2+3 lim (x,y)→(1,−2)xy = 2+2⋅(− 1)2
22+3⋅2⋅(− 1)=− 2.
2.
lim
(x,y)→(0,0 )
√xy +9− 3
x− y limitni topish uchun (0;0) nuqtaga y= kx to‘g‘ri
chiziq bo‘ylab yaqinlashamiz. U holda
lim
(x,y)→(0,0 )
√xy +9− 3
x− y
= lim
x→0
√kx 2+9− 3
(1− k)x
= lim
x→0
kx 2
(1− k)x(√kx 2+9+3)
=
21

= lim
x→0
kx
(1− k)(√kx 2+3+3)
= 0
6(1− k)
= 0.Yuqorida keltirilgan ikki o‘zgaruvchi funksiyasining limiti unung karrali
limiti deyiladi. Ikki o‘zgaruvchining funksiyasi uchun karrali limitdan tashqari
takroriy limitlar deb ataluvchi
limx→x0
(limy→y0
f(x,y)) va limy→y0
(limx→x0
f(x,y)) limitlar ham
kiritiladi. Umuman olganda
lim (x,y)→(x0,y0)
f(x,y) karrali limit har ikki argument bir
vaqtda nuqtalarga intilganda takroriy limitlar bilan ustma-ust tushish shart emas.
Quyida
f(x,y) funksiyaning karrali limitini uning takroriy limitlari bilan
almashtirish imkonini beruvch teoremani keltiramiz.
MISOLLAR
1-misol:
Funksiya: f(x) = 3x + 2
Limit: x → 2
Yechim:
f(2) = 3·2 + 2 = 6 + 2 = 8
Demak, lim x→2 f(x) = 8
Bu yerda funksiya to‘g‘ri chiziq, har qanday nuqtada aniqlangan va uzluksiz,
shuning uchun limit mavjud va 8 ga teng.
2-misol:
Funksiya: f(x) = (x² - 4)/(x - 2)
Limit: x → 2
Yechim:
(x² - 4) = (x - 2)(x + 2), shuning uchun:
f(x) = [(x - 2)(x + 2)] / (x - 2) = x + 2 (x ≠ 2)
Endi x → 2 da: f(x) → 2 + 2 = 4
22

Demak, lim x→2 f(x) = 4
Bu yerda x = 2 nuqtada funksiya aniqlanmagan, lekin limit mavjud.
3-misol:
Funksiya: f(x) = sin(x)/x
Limit: x → 0
Yechim:
Bu limit matematikada mashhur limitlardan biridir va sin(x)/x → 1 bo‘ladi.
Demak, lim x→0 sin(x)/x = 1
Bu limit trigonometrik limitlardan biri hisoblanadi.
4-misol:
Funksiya: f(x) = (x² + x - 6)/(x - 2)
Limit: x → 2
Yechim:
f(x) = [(x - 2)(x + 3)] / (x - 2) = x + 3 (x ≠ 2)
x → 2 da: f(x) → 2 + 3 = 5
Demak, lim x→2 f(x) = 5
Bu yerda ham funksiya x = 2 nuqtada aniqlanmagan bo‘lsa-da, limit mavjud.
23

XULOSA
Bizga ma’lumki funksiyaning limiti matematik analiz asoslari fanining
muhim rivojlanayotgan tarmoqlaridaan biri bo‘lib hisoblanadi.Limitga ega bo‘lgan
funksiyalar– matematik analiz asoslari fanini yaxshi o‘zlashtirish, unga tegishli
bo‘lgan tushunchalar va turli masalalarni yechishga, ularni oson hal qilishga imkon
beradi. Ushbu kurs ishida matematik tahlilning eng asosiy va dolzarb
tushunchalaridan biri bo‘lgan limit tushunchasi keng qamrovda o‘rganildi.
Ayniqsa, funksiyaning chekli limitga ega bo‘lishi holatlari va bu limitga ega
funksiyalarning asosiy xossalari nazariy va amaliy jihatdan yoritildi. Kurs ishining
har bir bo‘limi mazkur mavzuni ketma-ket chuqurlashtirib, nazariy bilimlarni
mustahkamlovchi isbotlar va misollar bilan boyitilgan.
Avvalo, to‘plamning limit nuqtasi tushunchasi tahlil qilindi. Bu tushuncha
matematik analizda muhim o‘rin tutadi, chunki har qanday limit yoki uzluksizlik
haqida fikr yuritishda, avvalo, to‘plamdagi nuqtalarning qanday yaqinlashishi,
ya’ni limit nuqtalar mavjudligi muhim ahamiyatga ega. Kurs ishining birinchi
bo‘limida limit nuqtasining formal ta’rifi, uning mavjud bo‘lish shartlari, misollar
orqali tasdiqlangan holda bayon etildi. Limit nuqtasi tushunchasi orqali biz
funksiyalar va ketma-ketliklar limitining mavjudligi haqida umumiy tasavvurga
ega bo‘lamiz.Ikkinchi bo‘limda esa funksiyaning limiti tushunchasi hamda bu limit
uchun mavjud bo‘lgan har xil ta’riflar o‘rganildi. Xususan, Epsilon-Delta ta’rifi,
Chexov ta’rifi va boshqa ta’riflar ko‘rib chiqildi. Ular o‘zaro ekvivalentligi isbotlar
yordamida asoslab berildi. Bu bo‘limda ta’riflar orasidagi farq va ularning mohiyat
jihatdan bir xil natijaga olib kelishi batafsil tahlil qilindi. Bu esa talabalarga turli
ta’riflar orqali bir xil limit holatini aniqlash imkonini beradi. Limit
tushunchasining turli ifodalanishi, ayniqsa, murakkab funksiyalarni o‘rganishda
qulaylik yaratadi.
Uchinchi bo‘limda esa chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari
24

yoritildi. Bu xossalar funksiyalar ustida turli algebraik amallar bajarilganda
limitlarning qanday o‘zini tutishini aniqlaydi. Jumladan, limitning chiziqlilik
xossasi, ya’ni ikki funksiyaning yig‘indisi, ayirmasi, ko‘paytmasi yoki nisbatining
limitlarini topish qoidalari ko‘rib chiqildi. Bu qoidalar nafaqat nazariy jihatdan,
balki amaliy hisob-kitoblardagi soddalashtirishlar uchun ham muhim ahamiyatga
ega.
Shuningdek, ushbu bo‘limda uzluksizlik va limit tushunchalari o‘rtasidagi
uzviy bog‘liqlik tahlil qilindi. Funksiya berilgan nuqtada uzluksiz bo‘lishi uchun, u
yerda chekli limit mavjud bo‘lishi va bu limit funksiyaning o‘sha nuqtadagi
qiymatiga teng bo‘lishi kerakligi isbotlandi. Bu esa real funksiyalarni o‘rganishda,
grafik tahlillar olib borishda, hosila va integral kabi tushunchalarni aniqlashda
zarur bo‘lgan nazariy asosni tashkil etadi.
Kurs ishining nazariy asoslari matematik tahlil fanining poydevorini tashkil
qiluvchi fundamental tushunchalarga tayangan holda yozilgan. Har bir ta’rif, xossa
va teorema aniq isbotlar bilan mustahkamlangan. Misollar orqali mavzuga oid
nazariy bilimlar amaliy nuqtai nazardan tasdiqlangan. Bu esa o‘z navbatida,
talabaga mavzuni chuqurroq o‘zlashtirish imkonini beradi.
Xulosa qilib aytganda, ushbu kurs ishi orqali talabalar limit tushunchasini chuqur
o‘rganishlari, turli limit holatlarini tahlil qilishlari, funksiyalarning limitga ega
bo‘lish shartlarini aniqlashlari va amaliy masalalarda bu bilimlarni qo‘llay olish
ko‘nikmalarini shakllantirishlari mumkin. Shuningdek, bu bilimlar keyingi
matematik tushunchalar — hosila, uzluksizlik, integral kabi mavzularni
o‘rganishda mustahkam nazariy zamin bo‘lib xizmat qiladi.Kurs ishining muhim
jihatlaridan biri bu mavzuning ta’lim jarayonidagi rolini yoritish bo‘ldi. Chekli
limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari mavzusi o‘quvchilarga abstrakt
fikrlash, mantiqiy xulosalar chiqarish, formulalar bilan ishlash va real
muammolarni matematik modellashtirish ko‘nikmasini shakllantirishga xizmat
qiladi. Shu bois, bu mavzuni chuqur o‘zlashtirish matematikaning boshqa
bo‘limlarini, ayniqsa funksiyalar nazariyasi, differensial va integral hisob,
ehtimollar nazariyasi kabi sohalarni o‘rganishda mustahkam poydevor bo‘ladi.
25

Kelgusida bu mavzuni yanada chuqurlashtirish uchun limit tushunchasining
bir tomonlama limitlar, cheksiz limitlar, yo‘nalishli limitlar va ko‘p o‘zgaruvchili
funksiyalar uchun limit kabi kengaytirilgan shakllari o‘rganilishi maqsadga
muvofiqdir. Zero, limit tushunchasi nafaqat matematik analizda, balki fizika,
iqtisod, informatika va muhandislik kabi sohalarda ham muhim va keng
qo‘llaniladi.
26

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1) O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining 2020-yil 7-maydagi Matematikaʺ
sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy-tadqiqotlarni rivojlantirish chora-
tadbirlari to‘g‘risida gi PQ-4708-sonli Qarori.
ʺ
2) Azlarov T.A., Mansurov X.T. Matematik analiz, 1-qism, Toshkent,
O‘qituvchi , 1994.
ʺ ʺ
3) Xudayberganov G., Varisov A., Mansurov H., SHoimqulov B. Matematik
analizdan ma’ruzalar, 1-qism, Qarshi, «Voris-nashriyot», 2010.
4) A.Sadullayev, X.Mansurov, G.Xudoyberganov, A.Vorisov, R.G‘ulomov
Matematik analiz kursidan misol va masalalar to‘plami, Toshkent, “O‘qituvchi”
2008.
5) Фихиенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 1-часть "Лань"
2015.
6) Демидрович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу. Санкт-Петербург. "Лань" 2021.
27

7) Кудряцев Л.Д. и др. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу. 1-часть Масква. "Наука" 200 3
8) A.Sa’dullayev, H. Mansurov, G. Xudoyberganov va boshqalar. Matematik
analiz kursidan misol va masalalar to‘plami 1-qism. T: “O‘zbekiston” 1993 yil;
9) T.Azlarov, H. Mansurov. Matematik analiz asoslari 1-qism. T:
“Universitet” 2007 yil
10) G. Xudoyberganov, A. K. Vorisov, X. T. Mansurov, B. A. Shoimqulov.
Matematik analizdan ma’ruzalar 1-qism. T: “Voris-nashriyot” 2010 yil
11) B. A. Shoimqulov, T. T. Tuychiyev, D. H. Djumaboyev. Matematik
analizdan mustaqil ishlar. T: “O‘zbekiston faylasuflari milliy jamiyati” 2008 yil.
28

Internet saytlari:
1.Elektron jurnal : www.arki.ru
2. To‘liq matnli kutubxona : www.lib.ru
3. Maktabda axborot texnologiyalari: www.edunet.uz
4. Talaba yoshlar sayti: www.study.uz
5. Bilim portal: www.ziyonet.uz
29

Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari

Sotib olish