Aniq integral va uning xossalari - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	646.7KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	20 Iyun 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

95 Sotish

Aniq integral va uning xossalari

Sotib olish

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM,
FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
FARG‘ONA DAVLAT UNIVERSITETI
Fizika - Matematika fakulteti
“Matematik analiz va differensial tenglamalar’’ kafedrasi
“Matematik analiz’’ fanidan

KURS ISHI
Mavzu: “ Aniq integral va uning xossalari ”
Bajardi: 2-kurs 23.01-guruh talabasi:
Mo‘minmirzayeva Kaamolaxon

Ilmiy rahbar: Matematik analiz va differensial
tenglamalar kafedrasi o‘qituvchisi:
A.Rafiqov
Farg‘ona-2025
1

Reja:
Kirish
I bob. Aniq integral haqida tushuncha
1.1-§. Segmentni bo‘laklash
1.2-§. Darbu hamda integral yig’indilar.
1.3-§. Aniq integral ta’rifi
II bob. Aniq integralning xossalari
2.1-§. Aniq integralning xossalari
2.2-§. Aniq integralni hisoblash usullari
Xulosa
Foydalanilgan adabiyotlar
2

KIRISH
Kelajagimiz poydevori bilim dargohlarida yaratiladi, boshqacha
aytganda, xalqimizning ertangi kuni qanday bo‘lishi farzandlarimizning bugun
qanday ta’lim va tarbiya olishiga bog‘liq.
Shuning uchun ham mustaqillikning dastlabki yillaridanoq butun
mamlakat miqyosida ta’lim va tarbiya, ilm-fan, kasb-hunar o‘rgatish tizimlarini
tubdan isloh qilishga nihoyatda katta zarurat sezila boshladi.
Ta’lim-tarbiya tizimidagi islohotlar boshlangan dastlabki yillarda men
jahon tajribasi va hayotda o‘zini ko‘p bor oqlagan haqiqatdan kelib chiqib, agar
bu maqsadlarimizni muvaffaqiyatli ravishda amalga oshira olsak, tez orada
hayotimizda ijobiy ma’nodagi «portlash effekti» ga, ya’ni, yangi ta’lim
modelining kuchli samarasiga erishamiz, degan fikrni bildirgan edim.
Darhaqiqat, istiqlol davrida barpo etilgan, barcha shart-sharoitlarga ega
bo‘lgan akademik litsey va kasb-hunar kollejlari, oliy o‘quv yurtlarida tahsil
olayotgan, zamonaviy kasb-hunar va ilm-ma’rifat sirlarini o‘rganayotgan,
hozirdanoq ikki-uch tilda bemalol gaplasha oladigan ming-minglab
o‘quvchilar, katta hayotga kirib kelayotgan, o‘z iste’dodi va salohiyatini
yorqin namoyon etayotgan yosh kadrlarimiz misolida ana shunday orzu-
intilishlarimiz bugunning o‘zida o‘z hosilini berayotganining guvohi
bo‘lmoqdamiz.
Oxirgi yillarda ta’lim-tarbiya sohasida amalga oshirgan, ko‘lami va
mohiyatiga ko‘ra ulkan ishlarimiz biz ko‘zlagan ezgu niyatlarimizga erishish,
hech kimdan kam bo‘lmaydigan hayot barpo etish, yoshlarimiz, butun
xalqimizning ma’naviy yuksalishi yo‘lida mustahkam zamin yaratdi, desak,
hech qanday xato bo‘lmaydi.
Respublikamizning birinchi Prezidenti I.A.Karimovning 2001-yil Oliy
Majlisning 5-sessiyasida so‘zlagan nutqida axborot texnologiyalari va
kompyuterlarni jamiyat hayotiga, kishilarning turmush tarziga, maktab va
OTMlariga jadallik bilan olib kirish g‘oyasi ilgari surilgan edi.
3

Prezident I.Karimov tashabbusi bilan Vazirlar Mahkamasining 2001-yil
23-maydadagi 230-sonli «2001-2005-yillarda kompyuter va axborot
texnologiyalarini rivojlantirish», shuningdek, «Internet»ning xalqaro axborot
tizimlariga keng kirib borishini ta’minlash dasturini ishlab chiqishni tashkil
etish chora-tadbirlari to‘g‘risida»gi Qarorlari qabul qilindi.
Respublikamizning Prezidenti Sh.M. Mirziyoyevning 2020-yil yanvar oyida
olimlar, ilmiy-tadqiqot muassasalari rahbarlari va ishlab chiqarish sektori vakillari
bilan uchrashuvida “Yoshlarda matematika faniga qiziqishni kuchaytirish, iqtidorli
bolalarni seleksiya qilib, ixtisoslashtirilgan maktablar va keyinchalik oliy ta’lim
muassasalariga qamrab olish ishlarini to‘g‘ri tashkil qilish kerakligi ta’kidlandi.
Matematika fani bo‘yicha o‘quvchi, talaba va o‘qituvchilar o‘rtasida turli
tanlovlar o‘tkazib, g‘oliblarni munosib rag‘batlantirish, olimpiada tizimini
takomillashtirgan holda sovrindorlarga beriladigan mukofotlarni ko‘paytirish
muhimligi qayd etildi.
Yuqori malakali pedagoglar va ilmiy darajali kadrlar tayyorlash tizimi
samarasini oshirish, Matematika institutida ilmiy daraja beruvchi kengashga to‘liq
mustaqillik berish lozimligi ko‘rsatib o‘tildi
Kurs ishining dolzarbligi. Yoshlarga ta’lim va tarbiya berishning
murakkab vazifalarini hal etish o‘qituvchining g‘oyaviy e ’ tiqodi, kasb-
mahoratiga, san’ati, iste’dodi va madaniyatiga hal qiluvchi darajada
bog‘liqdir. Ta’lim-tarbiya jarayonini to‘g‘ri tashkil etish uchun barcha
mavjud imkoniyatlarini safarbar etish o‘qituvchilarning birinchi navbatdagi
vazifalaridan biridir.
Matematika fani o‘sib kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o‘quv
fani sifatida keng imkoniyatlarga ega. U o‘quvchi tafakkurini rivojlantirib,
ularning aqlini peshlaydi, uni tartibga soladi, o‘quvchilarda maqsadga
yo‘naltirganlik, mantiqiy fikrlash, topqirlik hislatlarini shakllantirib boradi.
Shu bilan bir qatorda mulohazalarning to‘g‘ri, go‘zal tuzilganligi, o‘quvchilarni
didli, go‘zallikka ehtiyojli qilib tarbiyalab boradi.
4

Kurs ishining obyekti. Oliy ta’lim muassasalarida “Matematik analiz”
fanini o‘qitish jarayoni.
Kurs ishining predmeti. Oliy ta’lim muassasalarida Matematik analiz misol
va masalalarda qo‘llashni nazariy va amaliy bilimlar asosida o‘rgatish usullari.
Kurs ishining maqsadi. Oliy ta’lim muassasalarida “Matematik analiz”
fanidan aniq integral va uning xossalarini o‘rganish va ularga doir misollar va
masalalar yechishdan iborat.
Kurs ishining vazifalari. “ Matematik analiz” fanidan aniq integral va uning
xossalari mavzusidan, boshlang‘ich funksiyasi, aniq integral tadbiqlari,
shuningdek, kurs ishi yuzasidan olingan nazariy bilimlarni, amaliyotda masala va
misollarda tadbiq qilib va uning natijalarini tahlil qilish va tegishli xulosalar
chiqarish zarur demakdir.
Kurs ishining tarkibi. Kurs ishi ikkita bob, 5 ta paragraf va 27 betdan
iborat.
5

1-Bob. Aniq integral haqida tushuncha
1.1-§. Segmentni bo‘laklash.
Biror [a,b]⊂R segment beril - gan bo‘lsin. Bu segmentning quyidagi
a= x0< x1< x2<...xn−1< xn= b
munosabatda bo‘lgan
x0,x1,x2,...xn−1,xn
(1.1)
nuqtalari to‘plamini olaylik.
Ravshanki, (1.1) to‘plam
[a,b] segmentni
B1= [x0,x1], B2= [x1,x2],...,Bn= [xn−1,xn]
bo‘laklarga ajratadi.
1-ta’rif. Ushbu
a= x0< x1< x2<...xn−1< xn= b
munosabatda bo‘lgan
x0,x1,x2,...xn−1,xn
nuqtalar to‘plami
[a,b] segmentni bo‘laklash deyiladi va
P={x0,x1,x2,...xn−1,xn}
kabi belgilanadi.
Bunda har bir
xk(k=0,1,2,...,n) nuqta [a,b] segmentning bo‘luvchi
nuqtasi,
[xk,xk+1] (k=0,1,2,...,n−1) segment esa P bo‘laklashning oralig’i
deyiladi.
Quyidagi
λp= max {Δx k} , Δx k= xk+1− xk
miqdor
P bo‘laklashning diametri deyiladi.
Masalan,
[a,b]=[0,1 ] bo‘lganda quyidagi
0, 2
10
, 4
10
, 6
10
, 8
10
,10
10
= 1 ;
6

0, 1
10
, 4
10
, 5
10
, 6
10
,10
10
= 1nuqtalar sistemasi
[0,1 ] segmentning
P1={0, 2
10
, 4
10
, 6
10
, 8
10
,1 },
P2= {0, 1
10
, 4
10
, 5
10
, 6
10
,1}
bo‘laklashlarini hosil qiladi. Ularning diametrlari mos ravishda
λp1= 1
5
, λp2= 2
5
bo‘ladi.
YUqoridagi keltirilgan ta’rif va misollardan ko‘rina - diki,
[a,b] segmentning
turli usular bilan istalgan sondagi bo‘laklashlarini tuzish mumkin. Bu
bo‘laklashlardan iborat to‘plamni bilan belgilaymiz:
={P}.
1.2-§. Darbu hamda integral yig’indilar.
f(x)
funksiya [a,b] da ani q lan gan va chegaralangan bo‘lsin. Unda
∃ m ∈ R , ∃ M ∈ R , ∀ x∈[a,b] : m ≤ f(x)≤ M
bo‘ladi.
Aytaylik,
P= {x0,x1,x2,...,xn−1,xn}
[a,b]
segmentning biror bo‘laklashi bo‘lsin. U holda bu bo‘lak - lashning har bir
[xk,xk+1](k=0,1,2,...,n−1)
oralig’ida
m k= inf {f(x)}, x∈[xkxk+1] ,
M k= sup {f(x)}, x∈[xk xk+1] (k=0,1,2,...,n−1)
mavjud bo‘lib
7

inf
x∈[a,b]
{f(x)}≤ mk≤ M k≤ sup {f(x)}
x∈[a,b] (1.2)
bo‘ladi .
2-ta’rif. Ushbu
s= ∑
k=0
n−1
m k⋅Δx k
yig’indi
f(x) funksiyaning [a,b] segmentning P bo‘laklashiga nisbatan
Darbuning quyi yig’indisi deyiladi.
Ravshanki, bu yig’indi
f(x) funksiyaga hamda [a,b] ning P bo‘laklashiga
bog’liq bo‘ladi:
s= s(f;P ) .
3-ta’rif. Ushbu
S= ∑
k=0
n−1
M k⋅Δx k
yig’indi
f(x) funksiyaning [a,b] segmentning P bo‘laklashiga nisbatan
Darbuning yuqori yig’indisi deyiladi.
Bu yig’indi
f(x) funksiyaga hamda [a,b] ning P bo‘lak - lashiga bog’liq
bo‘ladi:
S= S(f;P) .
Endi har bir
k∈{0,1,2,...,n−1} ning qiymatida [xk,xk+1] segmentda
ixtiyoriy
ξk nuqtani tayinlaymiz: ξk∈[xk,xk+1] (k=0,1,2,...,n−1). Natijada
[a,b]
ning P bo‘laklashiga nisbatan
{ξ0,ξ1,ξ2,...,ξn−1}
nuqtalar to‘plami hosil bo‘ladi. Bu nuqtalardagi
f(x) funksiyaning
f(ξk) (k=0 ,1,2 ,...,n−1)
qiymatlari yordamida ushbu
∑
k=0
n−1
f(ξk)⋅Δx k
8

yig’indini tuzamiz.
4-ta’rif. Quyidagiσ= ∑
k=0
n−1
f(ξk)⋅Δx k
yig’indi
f(x) funksiyaning [a,b] segmentning P bo‘laklashiga nisbatan integral
yig’indisi deyiladi.
Integral yig’indi,
f(x) funksiyaga, P bo‘laklashga hamda har bir [xk,xk+1]
da olingan
ξk nuqtalarga bog’liq bo‘ladi:
σ= σ(f;P;ξk).
Ravshanki,
ξk∈[xk , xk+1] uchun
m k≤ f(ξk)≤ M k
bo‘lib, ayni paytda
s(f;P )≤ σ(f;P;ξk)≤ S(f;P)
( 1. 3)
tengsizliklar bajariladi.
1- misol. Ushbu
f(x)=|x|
funksiyaning
[−1, 1] segmentda quyidagi
P={−1,− 3
4
,− 1
2
,− 1
4
,0,1
4
,1
2
,3
4
,1}
bo‘laklashga nisbatan Darbu yig’indilari hamda
ξk= xk (k= 0 ,1 ,2 ,...,7)
deb, integral yig’indi topilsin.
◄ Berilgan
f(x)=|x| funksiya uchun [−1, 1] segmentning
P={−1,− 3
4
,− 1
2
,− 1
4
,0,1
4
,1
2
,3
4
,1}
bo‘laklashida
9

m 0= 3
4
, m 1= 1
2
, m 2= 1
4
, m 3= 0 ,
m 4= 0 , m 5= 1
4
, m 6= 1
2
, m 7= 3
4
M 0= 1 ,M 1= 3
4
,M 2= 1
2
,M 3= 1
4
,
M 4= 1
4
,M 5= 1
2
,M 6= 3
4
,M 7= 1hamda
ξ0=− 1 ,ξ1=− 3
4
,ξ2=− 1
2
,ξ3=− 1
4
,
ξ4= 0,ξ5= 1
4
,ξ6= 1
2
,ξ7= 3
4
,
f(ξ0)= 1 , f(ξ1)= 3
4
, f(ξ2)= 1
2
, f(ξ3)= 1
4
,
f(ξ4)= 0, f(ξ5)= 1
4
, f(ξ6)= 1
2
,f(ξ7)= 3
4

bo‘ladi.
Endi
Δx k= 1
4
(k= 0 ,1 ,2 ,...,7) bo‘lishini e’tiborga olib topamiz:
s(f;P )= (3
4
+ 1
2
+ 1
4
+0+0+ 1
4
+ 1
2
+ 3
4
)⋅1
4
= 3
4
,
S(f;P )= (1+ 3
4
+ 1
2
+ 1
4
+ 1
4
+ 1
2
+ 3
4
+1)⋅1
4
= 5,
σ(f;P ;ξk)= (1+ 3
4
+ 1
2
+ 1
4
+0+ 1
4
+ 1
2
+ 3
4
)⋅1
4
= 1 .
►
1.3-§. . Aniq integral ta’rifi.
Faraz qilaylik,
f(x) funksiya [a,b] da berilgan va chegaralangan bo‘lsin.
Unda
[a,b] oraliqning har qanday P bo‘laklashi hamda har qanday
10

ξk (ξk∈[xk,xk+1], k=0 ,1,2 ,...,n−1) larda yuqoridagi (1.2) va (1.3)
munosabatlar o‘rinli bo‘lib,
(b− a)⋅inf
[a,b]
{f(x)}≤ s(f;P)≤ σ(f;P ;ξk)≤
¿S(f;P)≤(b− a)⋅sup
[a,b]
{f(x)}
(1.4)
bo‘ladi.
Endi
[a,b] segmentning bo‘laklashlar to‘plami = {P} ning har bir P∈
bo‘laklashga
f(x) funksiyaning Darbu yig’indilari s(f,P) va S(f;P) ni tuzib ,
ushbu
{s(f;P)},{S(f;P)}
to‘plamlarni qaraymiz. Bu to‘plamlar (1.4) munosabatga ko‘ra chegaralangan
bo‘ladi.
5-ta’rif.
{s(f;P)} to‘plamning aniq yuqori chegarasi f(x) funksiyaning
[a,b]
oraliqdagi quyi integrali deyiladi va
∫
a−
b
f(x)dx
kabi belgilanadi.
Demak,
∫
a−
b
f(x)dx =sup
P {s(f;P)}.
6-ta’rif.
{S(f;P)} to‘plamning aniq quyi chegarasi f(x) funksiyaning
[a,b]
oraliqdagi yuqori integrali deyiladi va
∫
a
b−
f(x)dx
kabi belgilanadi.
Demak,
11

∫
a
b−
f(x)dx =inf
P {S(f;P)}.7-ta’rif. Agar
f(x) funksiyaning quyi hamda yuqori integrallari bir-biriga
teng
∫
a−
b
f(x)dx =∫
a
b−
f(x)dx
bo‘lsa,
f(x) funksiya [a,b] oraliq bo‘yicha integrallanuvchi (Riman ma’nosida
integrallanuvchi) deyiladi.
Bunda quyi hamda yuqori integrallarning umumiy qiymati
f(x)
funksiyaning
[a,b] oraliq bo‘yicha aniq integrali (Riman integrali) deyiladi va
∫
a
b
f(x)dx
kabi belgilanadi.
Demak,
∫
a
b
f(x)dx =∫
a−
b
f(x)dx =∫
a
b−
f(x)dx .
a
son integralning quyi chegarasi, b son esa integralning yuqori chegarasi, [a,b]
segment integrallash oralig’i deyiladi.
Eslatma. Yuqorida keltirilgan
f(x) funksiyaning integrali ta’rifiga binoan
integral
∫
a
b
f(x)dx
o‘zgarmas sonni ifodalaydi. Binobarin, integral ostida o‘zgaruvchining qanday
yozilishiga bog’liq bo‘lmaydi:
∫
a
b
f(x)dx =∫
a
b
f(t)dt .
2- misol.
f(x)= C , C ∈ R , x∈[a,b] bo‘lsin.
12

Bu funksiyaning integrallanuvchanligi aniqlansin.
◄ [a,b] segmentning ixtiyoriy
P={x0,x1,x2,...,xn−1,xn}
bo‘laklashini olib, unga nisbatan Darbu yig’indilarini topamiz:
s(C ;P)= ∑
k=0
n−1
C⋅Δx = C⋅(b− a),
S(C ;P )= ∑
k=0
n−1
C⋅Δx k= C⋅(b− a).
Bundan
Sup
P
{s(C ;P)}= C⋅(b− a),
inf
P
{S(C ;P )}= C⋅(b− a)
bo‘lib,
bo‘lishi kelib chiqadi.
Demak,
f(x)= C funksiya [a,b] da integrallanuvchi va
∫
a
b
C⋅dx = C⋅(b− a).
Xususan ,
f(x)=1 bo‘lganda
∫
a
b
dx = b− a
bo‘ladi. ►
3-misol .
f(x)= D (x) , x∈[0,1 ] bo‘lsin. Bu Dirixle funk - tsiyasini [0,1 ] da
integrallanuvchilikka tekshirilsin.
◄
[0,1 ] segmentning ixtiyoriy P bo‘laklashiga nisbatan Dirixle
funksiyasining Darbu yig’indilari

Bo ‘ lib,
Sup
P
{s(D ;P)}= 0 , inf
P
{S(D ;P)}= b− a
13

bo‘ladi . Demak,∫
0−
1
D (x)dx = 0, ∫
0
1−
D (x)dx = b− a ,
∫
0−
1
D(x)dx ≠ ∫
0
1−
D(x)dx .
Dirixle funksiyasi integrallanuvchi emas.
14

2- bob. Aniq integralning xossalari
2.1-§. Aniq integralning xossalari
1) Tengliklar bilan ifoda qilinadigan xossalar
1-xossa. Agar f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u
ixtiyoriy [ a , b ] Ì
[a,b] kesmada ham integrallanuvchi bo‘ladi.
2-xossa. Agar
f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi va a<c<b
bo‘lsa, u holda

∫
a
b
f(x)dx =∫
a
c
f(x)dx +∫
c
b
f(x)dx (2.1)
tenglik o‘rinli.
1-eslatma . Agar
a<c<b bo‘lib, f(x) funksiya [a,c],[c,b] kesmalarda
integrallanuvchi bo‘lsa, u
[a,b] kesmada ham integrallanuvchi bo‘ladi va (2.1)
tenglik o‘rinli.
2-eslatma. Agar
a= b bo‘lib, f(x) funksiya a nuqtada aniqlangan bo‘lsa,
u holda
∫
a
a
f(x)dx =0 ni ta’rif sifatida qabul qilamiz.
Agar
a<b bo‘lib , f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u
holda
∫
a
b
f(x)dx =−∫
b
a
f(x)dx , a<b
15

deb qabul qilamiz.
3-xossa . Agar f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u
holda
k f(x)(k= const ) funksiya ham shu kesmada integrallanuvchi va
∫
a
b
kf (x)dx = k∫
a
b
f(x)dx
tenglik o‘rinli.
4-xossa. Agar
f(x) va g(x) funksiyalar [a,b] kesmada integrallanuvchi
bo‘lsa, u holda
 x f + g(x) funksiya ham [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘ladi
va ushbu
∫
a
b
[f(x)± g(x)]dx =∫
a
b
f(x)dx ±∫
a
b
g(x)dx
tenglik o‘rinli.
5-xossa . Agar
f(x) va g(x) funksiyalar [a,b] kesmada integrallanuvchi
bo‘lsa, u holda
f(x)g(x) funksiya ham [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘ladi.
3-eslatma. Agar
f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u
holda
∀ n∈N uchun |f(x)|n funksiya ham shu [a,b] oraliqda integrallanuvchi
bo‘ladi.
2) Tengsizliklar orqali ifoda la nadigan xossalar.
6-xossa. Agar
f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lib, u shu
oraliqda manfiy bo‘lmasa, (
∀ x∈[a,b] uchun f(x)≥ 0 ), u holda
∫
a
b
f(x)dx ≥ 0 (a<b)
bo‘ladi.
16

1 -natija . Agar f(x) va g(x) funksiyalar [a,b] kesmada integrallanuvchi
bo‘lib,
∀ x∈[a,b] uchun f(x) ≤ g(x) tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, u holda ushbu
∫
a
b
f(x)dx ≤∫
a
b
g(x)dx
tengsizlik ham o‘rinli .
2 -natija. (Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi ) . Agar
f(x) va g(x)
funksiyalar
[a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u holda f(x) - a g(x) ( a -
ixtiyoriy o‘zgarmas) funksiya ham
[a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘ladi va
∫
a
b
[f(x)− αg (x)]2dx ≥ 0
tengsizlik o‘rinli.
Bu tengsizlikning chap tomonidagi ifoda
α ga nisbatan kvadrat uchhad
bo‘lib, u
α ning barcha haqiqiy qiymatlarida manfiy emas. Demak, kvadrat uch-
hadning diskriminanti musbat emas, ya’ni

[∫
a
b
f(x)g(x)dx ]2−∫
a
b
f2(x)dx ⋅∫
a
b
g2(x)dx ≤ 0,
|∫
a
b
f(x)⋅g(x)dx |≤ √∫
a
b
f2(x)dx ⋅√∫
a
b
g2(x)dx (2.2)
Bu tengsizlik, Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi deb ataladi.
7-xossa. Agar
f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa , u
holda |
 x f | funksiya ham shu kesmada integrallanuvchi bo‘ladi.
4-eslatma. |
 x f | funksiyaning [a,b] kesmada integrallanuvchiligidan , f(x)
funksiyaning shu kesmada integrallanuvchi bo‘lishi har doim ham kelib
chiqavermaydi.
3) O‘rta qiymat haqidagi teoremalar.
17

f(x) funksiya [a,b] kesmada aniqlangan va chegaralangan bo‘lsin. U holda
m= inf {f(x)}
, M = sup {f(x)} mavjud va m≤ f(x)≤ M ,∀ x∈[a;b] tengsizlik
o‘rinli bo‘ladi.
1-teorema . Agar
f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u
holda shunday o‘zgarmas
μ (m ≤ μ≤ M ) son mavjud bo‘lib, ushbu

∫
a
b
f(x)dx = μ(b− a)
tenglik o‘rinli bo‘ladi .
N atija. Agar
f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda
shunday
c (c∈[a,b]) nuqta topiladiki,

∫
a
b
f(x)dx = f(c)(b− a)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
2 -teorema. Agar
f(x) va g(x) funksiyalar [a,b] kesmada integrallanuvchi
bo‘lib,
g(x) funksiya shu oraliqda o‘z ishorasini o‘zgartirmasa, u holda shunday
o‘zgarmas
μ (m ≤ μ≤ M ) son mavjud bo‘lib,
∫
a
b
f(x)g(x)dx = μ∫
a
b
g(x)dx
tenglik o‘rinli.
Natija . Agar
f(x) [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda [a,b] kesmada
shunday
c (c∈[a,b]) nuqta topiladiki,

∫
a
b
f(x)g(x)dx = f(c)∫
a
b
g(x)dx
18

tenglik o‘rinli bo‘ladi .
2.2-§. Aniq integralni hisoblash usullari
Har doim, har qanday integrallanuvchi funksiyaning aniq integralini, integral
yig‘indining limiti sifatida qarab, hisoblash oson bo‘lavermaydi, ya’ni integral
yig‘indini tuzib, uning limitini hisoblashda ancha noqulayliklar va qiyinchiliklarga
duch kelinadi.
Shuning uchun, aniq integralni yuqoridagi ta’rif bo‘yicha hisoblash usulidan
boshqa soddaroq usulini topish zaruriyati tug‘iladi. Bu usullarni quyida keltirib
o‘tamiz.
Nyuton-Leybnis formulasi. Yuqorida ko‘rdikki, agar f(x) funksiya [a,b]
kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda u shu kesmada boshlang‘ich funksiyalarga ega
bo‘ladi. Aniq integralning xossasiga asosan,
Ф (x)=∫
a
x
f(t)dt
funksiya,
f(x) funksiyaning boshlang‘ich funksiyalaridan biridir. F(x)− f(x)
funksiyaning
[a,b] kesmadagi ixtiyoriy boshlang‘ich funksyasi bo‘lsin. Ma’lumki,
Ф (х)
va F(x) boshlang‘ich funksiyalarning biri, ikkinchisidan o‘zgarmas songa
farq qiladi, ya’ni
∫
a
x
f(t)dt = F (x)+С , a≤ x≤ b
.
Bundan,
x= a deb olib,
0= F (a)+С , С = − F (a)
e kanligini topamiz, ya’ni
∀ x∈[a,b] uchun,

∫
a
b
f(x)dx = F (b)− F (a) ( 2.3 )
19

Nyuton – Leybnis formulasiga ega bo‘lamiz. Odatda, ( 2 . 3 ) formula, integral
hisobning asosiy formulasi , deb ham yuritiladi.
1-eslatma . Odatdagidek,F (x)|a
b= F (x)|x=a
x=b= F (b)− F (a)
belgilashni olsak, u holda , ( 2.3 ) Nyuton – Leybnis formulasini,
∫
a
b
f(x)dx = F (x)|a
b
ko‘rinishda ham yozish mumkin.
2. 1 – m isol. Ushbu
∫
a
b
xmdx ,m≠−1 integralni Nyuton – Leybnis formulasi
orqali hisoblang.
Yechilishi . Ma’lumki, integral ostidagi
f(x)= xm funksiyaning boshlang‘ich
funksiyasi,
F (x)= xm+1
m +1 dan iborat. Nyuton – Leybnis formulasiga asosan ,
∫
a
b
xmdx = xm+1
m +1|a
b= bm+1− am+1
m +1 ,m ≠ − 1
bo‘ladi. Xususiy holda,
m=−1 bo‘lganda,
∫
a
b dx
x = ln |x||a
b= ln |b|− ln |a|
.
Shunday qilib, aniq integralni hisoblash masalasi, integral ostidagi
integrallanuvchi funksiyaning boshlang‘ich funksiyasini topish masalasiga
keltirilar ekan. Lekin, har qanday integrallanuvchi funksiyaning ham boshlang‘ich
funksiyasini topish oson bo‘lavermaydi. Shuning uchun, aniq integralni
hisoblashda, boshqa usullardan ham foydalanishga to‘g‘ri keladi.
20

Ba’zi aniq integrallarni hisoblashda bo‘laklab integrallash formulasi deb
ataluvchi
formuladan foydalaniladi.
Berilgan uzluksiz y = f ( x )
funkisiyadan [a,b] kesma bo‘yicha olingan
aniq integiralni ba’zi hollarda biror differensiallanuvchi funksiya orqali
“eski” x o‘zgaruvchidan “yangi” t o‘zgaruchiga o‘tish usulida foydalanib hisoblash
mumkin bo‘ladi. Bunda quyidagi shartlar qo ‘ yiladi :
1.
2. va funksiyalar kesmada uzluksiz :
3. murakkab funksiya kesmada aniqlangan va uzluksiz .
Bu shartlarda ushbu formula o‘rinli bo‘ladi:
Bu formula aniq integralda o‘zgaruvchini almashtirish formulasi deyiladi.
Aniq integralni taqribiy hisoblash.
Odatda, aniq integrallar Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblanadi.
Bu formula boshlang’ich funksiyaga asoslanadi. Ammo boshlang’ich funksiyani
topish masalasi doim osongina hal bo‘lavermaydi. Agar integral ostidagi funksiya
murakkab bo‘lsa, tegishli aniq integralni taqribiy hisoblashga to‘g’ri keladi.
To‘g’ri to‘rtburchaklar formulasi.
Faraz qilaylik,
f(x) funksiya [a,b] segmentda berilgan va uzluksiz bo‘lsin.
Demak,
f(x)∈R([a,b]) .
21

Masala ∫
a
b
f(x)dx integralni taqribiy hisoblashdan iborat.
[a,b]
oraliqni a= x0,x1,x2,...,xn−1,xn= b nuqtalar (x0< x1< x2<...< xn)
yordamida
n ta teng bo‘lakka bo‘lib, har bir [xk,xk+1](k= 0,1,2 ,...,n− 1) bo‘yicha
integralni quyidagicha
taqribiy hisoblaymiz, bunda
(k= 0,1,2 ,...,n−1).
Aniq integral xossasidan foydalanib topamiz:
∫
a
b
f(x)dx =∫
x0
x1
f(x)dx +∫
x1
x2
f(x)dx +...+∫
xk
xk+1
f(x)dx +...
.
Natijada
∫
a
b
f(x)dx
integralni taqribiy hisoblash uchun quyidagi
(2.4)
22

formulaga kelamiz.
(2.4) formula to‘g’ri to‘rtburchaklar formulasi deyiladi.
Endi (2.4) taqribiy formulaning xatoligini aniqlaymiz.
(2.4) formulaning xatoligini
(2.5)
deylik.
Aytaylik, f(x) funksiya [a,b] segmentda uzluksiz f''(x) hosilaga ega
bo‘lsin.
Avvalo
Rn ni quyidagicha yozib olamiz:
Teylor formulasidan f o ydalanib topamiz:
(bunda
ξk son x va
xk+1
2 sonlar orasida) . Natijada
bo‘ladi.
Ravshanki,
∫
xk
xk+1
(
x− xk+1
2)
dx = 0 .
23

Demak, Rn= 1
2 ∑
k=0
n−1
∫
xk
xk+1
f''(ξk)⋅
(
x− xk+1
2)
dx .
O‘rta qiymat haqidagi teoremaga binoan
bo‘ladi.
Shunday qilib,
Rn uchun ushbu
Rn= 1
2 ∑
k=0
n−1(b− a)3
12 n3 f''(ξk)= (b− a)3
24 n2 ⋅1
n ∑
k=0
n−1
f''(ξk
¿)
ifodaga kelamiz.
Ravshanki,
1
n ∑
k=0
n−1
f''(ξk
¿)=
f''(ξ0
¿)+(ξ1
¿)+...+ f''(ξn−1
¿ )
n
miqdor
(ξk
¿∈[a,b], k= 0,1,2 ,...,n− 1 ) f''(x) ning [a,b] oraliqdagi eng kichik
m''
hamda eng katta M '' qiymatlar orasida,
m''≤ 1
n ∑
k=0
n−1
f''(ξk
¿)≤ M
bo‘ladi.
Shartga ko‘ra
f''(x) funksiya [a,b] da uzluksiz. Uzluksiz funksiyaning
xossasiga muvofiq
(a,b) da shunday ζ nuqta topiladiki ,
f''(ζ)= 1
n ∑
k=0
n−1
f''(ξk
¿)
bo‘ladi.
Natijada
Rn uchun quyidagi
24

Rn= (b− a)3
24 n2 f''(ζ)tenglikka kelamiz.
Demak ,
bo‘ladi.
Shunday qilib,
[a,b] oraliqda ikkinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega bo‘lgan
f(x)
funksiyaning
∫
a
b
f(x)dx
integralini (1) tug’ri to‘rtburchaklar formulasi yordamida taqribiy hisoblansa, bu
taqribiy hisoblash xatoligi quyidagi
Rn= (b− a)3
24 n2 f''(ζ) (ζ∈(a,b))
formula bilan ifodalanadi.
Trapetsiyalar formulasi.
f(x)
funksiyaning
∫
a
b
f(x)dx
integralini taqribiy hisoblash uchun, avvalo
[a,b] segmentni
a= x0,x1,x2,...,xn−1,xn= b
nuqtalar yordamida
n ta teng bo‘lakka bo‘linadi. So‘ng har bir
[xk,xk+1](k= 0,1,2 ,...,n−1)
bo‘yicha integralni quyidagicha
∫
xk
xk+1
f(x)dx ≈
f(xk)+ f(xk+1)
2 ⋅(xk+1− xk) (k= 0,1,2 ,...,n− 1)
taqribiy hisoblanadi. Natijada ushbu
25

formulaga kelamiz. Demak,
(2.6)
(2.6) formula trapetsiyalar formulasi deyiladi.
Bu taqribiy formulaning hatoligi Rn',f(x) funksiya [a,b] da uzluksiz f''(x)
hosilaga ega bo‘lishi shartida ,
Rn
'= − (b− a)3
12 n2 f''(ζ) (ζ ∈ (a ,b))
bo‘ladi.
Demak,
.
Simpson formulasi.
Bu holda
f(x) funksiyaning
∫
a
b
f(x)dx
integralini taqribiy hisoblash uchun
[a,b] segmentni a= x0,x1,...,x2k,x2k+1,
x2k+2,...,x2n−2,x2n−1,x2n=b
nuqtalar yordamida ta teng bo‘lakka bo‘lib, har
bir
[x2k,x2k+2] (k= 0,1,2 ,...,n−1) bo‘yicha integralni quyidagicha
26

∫
x2k
x2k+2
f(x)dx ≈
x2k+2− x2k
6 [f(x2k)+4 f(x2k+1)+ f(x2k+2)]=
= b− a
6n [f(x2k)+4 f(x2k+1)+ f(x2k+2)] (k= 0,1 ,...,n− 1)taqribiy hisoblanadi. Natijada
∫
a
b
f(x)dx=∫
x0
x2
f(x)dx+∫
x2
x4
f(x)dx+...+∫
x2n−2
x2n
f(x)dx≈¿¿¿
b−a
6n
[(f(x0)+4f(x1)+f(x2))+(f(x2)+4f(x3)+
+ f(x4))+...+(f(x2n−2)+4 f(x2n−1)+ f(x2n))]=
¿b− a
6n
[(f(x0)+ f(x2n))+4(f(x1)+ f(x3)+...
...+ f(x2n−1))+2(f(x2)+ f(x4)+...+ f(x2n−2))].
hosil bo‘ladi. Demak,

∫
a
b
f(x)dx ≈ ¿b− a
6n [f(x0)+ f(x2n)+4(f(x1)+ f(x3)+...¿
...+ f(x2n−1))+2(f(x2)+ f(x4)+...+ f(x2n−2))].
(2.7 )
(2.7) formula Simpson formulasi deyiladi.
Bu taqribiy formulaning hatoligi
Rn'' , f(x) funksiya [a,b] da uzluksiz
hosilaga ega bo‘lishi shartida,
bo‘ladi. Demak ,
.
Misol. Ushbu
∫
0
1
е−x2
dx
integral to‘g’ri to‘rtburchaklar, trapetsiyalar va Simpson formulalari yordamida
taqribiy hisoblansin.
27

[0,1 ] segmentni 5 ta teng bo‘lakka bo‘lamiz. Bunda bo‘linish nuqtalari
x0= 0, x1= 0,2 , x2= 0,4 , x3= 0,6 ,x4= 0,8 ,x5= 1,0
bo‘lib, bu nuqtalarda
f(x)= e−x2 funksiyaning qiymatlari quyidagicha bo‘ladi:
f(x0)= 1,00000 ,
f(x1)= 0,96079 ,
f(x2)= 0,85214 ,

f(x3)= 0,69768 ,
f(x4)= 0,52729 ,
f(x5)= 0,36788 .
Har bir bo‘lakning o‘rtasini ifodalovchi nuqtalar

x1
2
= 0,1 , x3
2
= 0,3 , x5
2
= 0,5 , x7
2
= 0,7 , x9
2
= 0,9
bo‘lib, bu nuqtalardagi funksiyaning qiymatlari quyidagicha bo‘ladi:
a) To‘g’ri to‘rtburchaklar formulasi bo‘yicha
bo‘lib,
|Rn|≤ 1
12 ⋅25
= 1
300
≈ 0,003
bo‘ladi.
b) Trapetsiyalar formulasi bo‘yicha
= 1
5
⋅3,72184 ≈ 0,74437
bo‘lib,
|Rn
'|≤ 1
6⋅25
= 1
150
≈ 0,006
bo‘ladi.
v) Simpson formulasi bo‘yicha
28

∫
0
1
e−x2
dx ≈ 1
30
[(1,00000 +0,36788 )+4(0,99005 +
+0,91393 +0,77680 +0,61263 +0,44486 )+2(0,96079 +
+0,85214 +0,69768 +0,52729 )]= 1
30
(1,36788 +4⋅3,74027 )+
+2⋅3,03790 )= 1
30
(1,36788 +6,07580 +14 ,96108 )≈ 0,74682bo‘lib,
|Rn
''|≤ 12
2880 ⋅54= 0,7 ⋅10 −5
bo‘ladi.
MISOLLAR
2.2.1.
integral hisoblansin:
Yechish:

2.2.2. integral hisoblansin.
Yechish:

2.2.3. ni hisoblang.
Yechish:
29

2.2.4. integral hisoblansin:
Yechish:

Endi yangi chegaralarni
aniqlaymiz: da
dan da dan kelib
chiqadi.
Topilganlarni berilgan integralga qo‘yamiz:
.
2.2.5. integral hisoblansin:
Yechish :

almashtirish qilamiz: U holda , , ,
bo‘ladi. Bundan tashqari yangi o‘zgaruvchi t ning qiymatlarini
aniqlaymiz. da va
da . Ularni e’tiborga olsak,
30

2.2.6. integral hisoblansin.
Yechish:
almashtirish qilamiz. U holda .
bo‘lganda
bo‘lib,
undan
kelib chiqadi.
bo‘lganda
bo‘lib, undan kelib
chiqadi. Demak,
2.2.7. integral hisoblansin.
Yechish:
Bu integralni bo‘laklab integrallash formulasidan foydalanib integrallaymiz.
2.2.9. integral hisoblansin.
31

Yechish:
Xulosa
Bizga ma’lumki funksiyaning integrali matematik analiz asoslari fanining
muhim rivojlanayotgan tarmoqlaridaan biri bo‘lib hisoblanadi. Ayniqsa aniq
integral bo‘limi salohiyati va amaliy qo‘llana bilishi jihatidan muhim ahamiyat
kasb etadi va u juda ko‘p tushunchalarni o‘z ichiga oladi. Funksiya ustida integral
amalini bajara olish – matematik analiz asoslari fanini yaxshi o‘zlashtirish, unga
tegishli bo‘lgan tushunchalar va turli masalalarni yechishga, ularni oson hal
qilishga imkon beradi.
Ushbu kurs ishi ikkita bob va oltita paragrafdan tashkil topgan bo‘lib, har bir
bob uchtadan paragrafni o‘z ichiga oladi.
Birinchi bobda aniq integral haqida asosiy tushunchalar keltirilgan bo‘lib,
birinchi paragrafida boshlang‘ich funksiya o‘rganilgan, ikkinchi paragrafda
aniqmas integrallar jadvali va xossalari keltirilgan, uchinchi paragrafda aniq
integralga oid muhim tushunchalar yoritilgan.
Ikkinchi bobda aniq integral xossalari haqida bo‘lib, birinchi paragrafida
aniq integral xossalari o‘rganilgan, ikkinchi paragrafda aniq integralni hisoblash
usullari keltirilgan, uchinchi paragrafda aniq integralning tadbiqlari yoritilgan.
Xulosa qilib aytadigan bo‘lsak, ushbu kurs ishi OTM bakalavriat talabalari
va AL o‘quvchilari uchun foydali bo‘ladi degan umiddamiz.
32

Foydalanilgan adabiyotlar
1. Азларов Т., Мансуров Х. Математик анализ асослари. Т. 1,2-қимлар. 19
80 yil ;
2. A.Sa’dullayev, H. Mansurov, G. Xudoyberganov va boshqalar. Matematik
analiz kursidan misol va masalalar to‘plami 1-qism. T: “O‘zbekiston” 1993 yil;
3. T.Azlarov, H. Mansurov. Matematik analiz asoslari 1-qism. T:
“Universitet” 2007 yil
4. G. Xudoyberganov, A. K. Vorisov, X. T. Mansurov, B. A. Shoimqulov.
Matematik analizdan ma’ruzalar 1-qism. T: “Voris-nashriyot” 2010 yil
5. B. A. Shoimqulov, T. T. Tuychiyev, D. H. Djumaboyev. Matematik
analizdan mustaqil ishlar. T: “O‘zbekiston faylasuflari milliy jamiyati” 2008 yil.
6. http:// www.arki.ru /
7. http:// www.lib.ru /
8. http://www.edunet.uz/
9. http:// www.study.uz /
10. http:// www.ziyonet.uz /

33

Aniq integral va uning xossalari

Sotib olish