To‘plamlar va ular ustida amallar, to‘plamda akslantirishlar 25 - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	1.0MB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	20 Iyun 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

95 Sotish

To‘plamlar va ular ustida amallar, to‘plamda akslantirishlar 25

Sotib olish

O ZBEKISTON RESPUBLIKASIʻ
OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
Farg‘ona davlat universiteti
«Matematik analiz va differensial tenglamalar» kafedrasi
«Matematik analiz» fanidan
Kurs ishi
Mavzu : To‘plamlar va ular ustida amallar, to‘plamda akslantirishlar
Bajardi: 2- kurs 23.01 guruh
talabasi M.Sh.Salimova
Kurs ishi rahbari : fizika-
matematika fanlar nomzodi,dotsent
A.T . Abduqodirov

Farg‘ona-2025

MUNDARIJA
KIRISH..................................... ... ............................................................... 4
I BOB .TO‘PLAMLAR VA ULAR USTIDA AMALLAR
1.1- § To‘plamlar va ularning elementlari…………………………..…….7
1. 2 -§ To‘plamlarning kеsishmasi, birlashmasi, ikki to‘plamning ayirmasi,
univеrsal to‘plamgacha to‘ldiruvchi to‘plam…………………………….13
1.3-§ To‘plamlarning Dekart ko‘paytmasi………………………………21
II BOB . TO‘PLAMDA AKSLANTIRISHLAR
2.1-§ Akslantirish tushunchasi…………………………………………..23
2.2-§ Akslantirishning turlari……………………………………………26
2.3 -§ Ekvivalent to‘plamlar,sanoqli to‘plamlar…………………………29
Xulosa……………………………………………………………………32
Foydalanilgan adabiyotlar……………………………………………..33

2

KIRISH
“Agar mendan sizni nima qiynaydi?” deb
so‘rasangiz, farzandlarimizning ta’lim-
tarbiyasi deb javob beraman!!!
Shavkat Mirziyoyev
Ilg‘or millat va rivojlangan davlat bo‘lishning zarur shartlaridan biri aqliy va
jismoniy, madaniy va ma’naviy, axloqiy, g‘oyaviy – siyosiy va huquqiy jihatdan,
har tomonlama yetuk, barkamol insonlarga ega bo‘lishdir.
Ma’naviy – ma’rifiy jihatdan inson irodasi mustahkam, e’tiqodi yuksak,
vijdon amri bilan yashaydigan shaxs, barkamol avlod har qanday davlat, xalq va
millatning eng katta boyligi, qudrati salohiyati manbayidir. Mamlakatimiz
prezidenti tomonidan ta’kidlab kelinayotganidek, “Har qaysi davlat, har qaysi
millat nafaqat yerosti va yerusti boyliklari bilan, harbiy qudrati va ishlab chiqarish
salohiyati bilan, balki birinchi navbatda o‘zining yuksak madaniyati va
ma’naviyati bilan kuchlidir”.
Odamlari, fuqarolari bilimli – zakovatli, uddaburon, g‘oyaviy siyosiy
jihatdan ziyrak va hushyor, tadbirkor, har tomonlama yetuk bo‘lgan jamiyat har
qanday islohotlarga qodir bo‘ladi va har qanday muammo va qiyinchiliklarni
yenga oladi. Oliy rahbarimiz bu haqida shunday dedi: “Lo‘nda qilib aytganda,
bugungi kunda oldimizda qo‘ygan buyuk maqsadlarimizga, ezgu niyatlartimizga
erishishimizda jamiyatimizning yangilanishi, hayotimizning taraqqiyoti va istiqboli
amalga oshirayotgan islohotlarimiz, rejalarimizning samarasi taqdiri bularning
barchasi avvalambor zamon talablariga javob beradigan yuqori malakali, ongli
mutaxassis kadrlar tayyorlash muammosi bilan chambarchas bog‘liqligini
barchamiz anglab yetmoqdamiz.
Shu bilan birga barchamiz yana bir haqiqatni anglab yetmoqdamiz.
Faqatgina chinakam ma’rifatli odam inson qadrini, millat qadriyatlarini, bir so‘z
3

bilan aytganda, o‘zligini aniqlash, erkin va ozod jamiyatda yashash, mustaqil
davlatimizning jahon hamjamiyatida o‘ziga munosib, fidoiylik bilan kurashishi
mumkin”. Mustaqil va erkin fikrlayotgan, ongli yashaydigan, o‘z haq – huquqlarini
yaxshi taniydigan, o‘z kuchi va aqliga ishonadigan, ma’naviy – axloqiy yetuk
barkamol bo‘lgan avlodni, mustaqil fikrlashga qodir, jasoratli, fidoiy va
tashabbuskor kishilarni tarbiyalab yetkazadigan xalq va millat kelajakka ochiq
ko‘z, katta ishonch, umid va ixlos bilan qaray oladi. Fuqarolarni ana shunday
noyob xislat va fazilat sohiblari qilib shakllantirilgan davlatning istiqboli porloq
bo‘ladi.
Kurs ishining dolzarbligi: Yoshlarga ta’lim va tarbiya berishning
murakkab vazifalarini hal etish o‘qituvchining g‘oyaviy e ’ tiqodi, kasb-mahoratiga,
san’ati, iste’dodi va madaniyatiga hal qiluvchi darajada bog‘liqdir. Ta’lim-
t arbiya jarayonini to‘g‘ri tashkil etish uchun barcha mavjud imkoniyatlarini
safarbar etish o‘qituvchilarning birinchi navbatdagi vazifalaridan biridi .
Matematika fani o‘sib kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o‘quv fani
sifatida keng imkoniyatlarga ega. U o‘quvchi tafakkurini rivojlantirib, ularning
aqlini peshlaydi, uni tartibga soladi, o‘quvchilarda maqsadga yo‘naltirganlik,
mantiqiy fikrlash, topqirlik xislatlarini shakllantirib boradi. Shu bilan bir
qatorda mulohazalarning to‘g‘ri, go‘zal tuzilganligi, o‘quvchilarni didli,
go‘zallikka ehtiyojli qilib tarbiyalab boradi.
Insoniyat kamoloti hayotning rivoji texnika va texnologiyalarning
takomillashib borish asosida fanlar o‘qitilishiga bo‘lgan talablarini hisobga olgan
holda maktab matematika kursini ularning zamonaviy rivoji bilan uyg‘unlashtirish
maktabda o‘quvchilarga matematikani o‘qitishdan ko‘zda tutilgan asosiy
maqsadlardan biridir. Matematika fani o‘quvchilarni iroda, diqqatni to‘plab
olishni; qobiliyat va faollikni, tasavvurining rivojlangan bo‘lishini talab eta borib,
mustaqil, ma’suliyatli, mehnatsevar, intizomli va mantiqiy fikrlash hamda o‘zining
qarash va e’tiqodlarini dalillar asosida himoya qila olish ko‘nikmalarini
rivojlantirishni talab qiladi. Hozirgi zamon darsiga qo‘yiladigan eng muhim
4

talablardan biri har bir darsda tanlanadigan mavzuning ilmiy asoslangan
bo‘lishidir, ya’ni darsdan ko‘zlangan maqsad hamda o‘quvchilar imkoniyatini
hisobga olgan holda mavzu xajmini belgilash uning murakkabligini aniqlash,
avvalgi o‘rganilgan mavzu bilan bog‘lash, o‘quvchilarga beriladigan topshiriq va
mustaqil ishlarning ketma-ketligini aniqlash, darsda kerak bo‘ladigan jihozlarni
belgilash va qo‘shimcha ko‘rgazmali qurollar bilan boyitish, qo‘shimcha axborot
texnologiyalardan foydalangan holda muammoli vaziyatni yaratishdir. Dars
davomida o‘qituvchi o‘quvchilarning jismoniy holatini, ijodkorligini, tez
fikrlashlarini hisobga olishi kerak.
Kurs ishining maqsadi: Matematik analiz fanining ba’zi bir tadbiqlari va
asosiy xossalari haqida eng muhim tushunchalarini o‘rganish va Matematik analiz
kursida olgan bilimlarimizni mustahkamlash.
Kurs ishining vazifalari:
1. Mavzuga doir ma’lumotlarni yig‘ish va rejani shakllantirish;
2. Ikki karrali integral tushunchasi va uning mavjudligi
3. Ikki karrali integrallarning xosalari va uni hisoblash
4. Ikki karrali integrallarning ba’zi tadbiqlari
5. Ikki karrali integrallarda o‘zgaruchilarni almashtirish
6. Ikki karrali integrallarni taqribiy hisoblash

5

I BOB .TO‘PLAMLAR VA ULAR USTIDA AMALLAR
1.1-§ To‘plamlar va ularning elementlari
To‘plam tushunchasi. To‘plam tushunchasi matematikaning asosiy
tushunchalaridan biri bo‘lib, u ta’riflanmaydi va u haqida misollar
yordamida tasav vur hosil qilinadi. To‘plam deganda predmetlar yoki ob’yekt -
larni biror xossasiga ko‘ra birgalikda qarash tushuniladi.
Masalan, barcha natural sonlar to‘plami, bir talabalar uyida yashovchi talabalar
to‘plami, to‘g‘ri chiziqdagi nuqtalar to‘plami, mak tabdagi o‘quvchilar to‘plami va
h.k.
Hayotda to‘plamlar alohida nomlanadi: auditoriyadagi talaba lar to‘plami
– guruh, harflar to‘plami – alfavit, qushlar to‘p lami –gala, qo‘ylar to‘plami
– poda va h. k.
1-ta’rif: To‘plamni tashkil etuvchi obyektlar – bu to‘plamning elemen tlari
deb ataladi.
Masalan, yuqoridagi misollardagi natural sonlar, o‘quvchilar, talabalar, nuqtalar
mos to‘plamlarining elementlari hisoblanadi.
To‘plamlar odatda, lotin alfavitining bosh harflari bilan, ular ning elementlari esa
alfavitning kichik harflari bilan belgila nadi. to‘plam
elementlaridan tuzilganligi ko‘rinishda yoziladi.
To‘plam bir qancha elementlardan iborat bo‘lishi mumkin, quyidagi yoz uv :
, elementning to‘plamga tegishliligini bildiradi.
Agar bo‘lsa, u holda « element to‘plamga tegishli», «
element to‘plamning elementi», « element to‘plamda mav jud» yoki «
element to‘plamga kiradi» deb o‘qiladi. yoki yozuv esa
elementni to‘plamga tegishli emasligini bildiradi .
Masalan, – juft natural sonlar to‘plami bo‘lsin, u holda , ,
va bo‘ladi.
6

2-ta’rif. To‘plamning elementlari soniga to‘plam quvvati deyiladi va
kabi belgilanadi.
Masalan, to‘plamning quvvati ga
to‘plamning quvvati ga , to‘plamning quvvati ga
to‘plamning quvvati ga teng.
3-ta’rif. Quvvatlari teng bo‘lgan to‘plamlar teng quvvatli to‘plamlar deyiladi.
Masalan, to‘plamlar teng quvvatli.
To‘plamlarning berilish usullari. Agar har bir elementning ma’lum bir
to‘plamga tegishli yoki tegishli emasligi bir qiymatli aniqlangan
bo‘lsa,to‘plam berildi deyiladi.
Sonli to‘plamlar uchun xarakteristik xossani formula bilan berish qulay.
Bu holda, odatda, katta qavslar ichiga to‘plam elementi belgisi, vertikal
chiziq va undan keyin to‘plam elementiga tegishli xossa yoziladi. Masalan:
« sonidan kichik bo‘lgan natural sonlar» to‘plami bo‘lsin. Bu to‘plam
xarakteristik xossasi orqali ko‘rinishda ifodalanadi.
Shunga o‘xshash: sonidan katta bo‘lmagan
natural sonlar» to‘plami.
bo‘lsa, tenglamaning haqiqiy ildizlari
to‘plami bo‘ladi.
bo‘lsa, dan 6 gacha bo‘ l gan butun sonlar
to‘plami hisoblanadi. Ba’zi bir sonli to‘plamlar uchun maxsus bеlgilar kiritilgan:
-natural sonlar to‘plami, –butun sonlar to‘plami, –butun nomanfiy sonlar
to‘plami, –ratsional sonlar to‘plami, –haqiqiy sonlar to‘plami.
To‘plam turlari. To‘plamlar ularni tashkil etuvchi elementlari soniga ko‘ra 3
turda bo‘ladi:
7

4-ta’rif: Birorta ham elementi bo‘lmagan to‘plam bo‘sh to‘plam
deyiladi va ko‘rinishda belgilanadi. Bo‘sh to‘plamning quvvati ga
teng.
Masalan, tenglamaning haqiqiy ildizlari to‘plami, oydagi
daraxtlar to‘plami, dengiz tubidagi quruq toshlar to‘plami bo‘sh
to‘plamlardir.
5-ta’rif: To‘plam chekli sondagi elementlardan tashkil topsa,chekli
to‘plam deyiladi. Masalan, lotin alifbosi harflari to‘plami, kamalak ranglari
to‘plami, raqamlar to‘plami chekli to‘plamlardir.
to‘plamlar ch е kli bo‘lib, ular m о s ravishda
bitta, ikkita va uchta el е m е ntlardan tuzilgan.
6-ta’rif: To‘plam elementlari soni cheksiz bo‘lsa, bunday to‘plam
cheksiz to‘plam deyiladi.
Masalan, va barcha ratsional
sonlar to‘plami, tekislikdagi nuqtalar to‘plami kabi to‘plamlar ch е ksiz
to‘plamdir.
7-ta’rif: Bir xil elementlardan tashkil topgan to‘plamlar teng to‘plamlar
deyiladi. Masalan, tenglamaning yechimlari to‘plami va
tenglamaning yechimlari to‘plami teng to‘plamlardir. Teng to‘plamlar aynan
bir xil elementlardan tuziladi va faqat elementlar tartibi bilangina
farqlanishi mumkin.
8-ta’rif: to‘plamning har bir elementi to‘plamga tegishli bo‘lsa,
to‘plamni to‘plamning to‘plam osti, (qismi, qism to‘plami) deyiladi, buni
quyidagicha belgilanadi: B⊂ A yoki A  B . Masalan, A={a,b,c,d,e,f,g} to‘plam
uchun B= {a},
to‘plamlarning har qaysisi to‘plam ostidir.
8

Shuning bilan birga bo‘sh to‘plam istalgan to‘plamning va har bir to‘plam o‘zining
to‘plam osti (qism to‘plami) bo‘ladi.
Quyidagi xossadan ko‘pincha to‘plamlar tengligini isbotlashda
foydalaniladi. A gar va b i r v a q t d a o ‘ rinli bo‘lsa,
bo‘ladi. Ya ’ ni to‘plamning istalgan elementi to‘plamga tegishli ekani
va to‘plamning istalgan elementi to‘plamga tegishli ekani isbotlangan
bo‘lsa, bu to‘plamlar tengligi haqida xulosa chiqariladi.
9-ta’rif. to‘plamning barcha elementlari to‘plamda mavjud bo‘lib, shu
bilan birga da ga tegishli bo‘lmagan elementlar ham mavjud bo‘lsa,
to‘plam to‘plamning xos qism to‘plami deyiladi va kabi belgilanadi.
10-ta’rif. to‘plamning o‘zi va to‘plam shu to‘plamning xosmas qism
to‘plami deyiladi.
11-ta’rif. Agar to‘plamlar to‘plamning qism to‘plami bo‘lsa,
to‘plam to‘plamlar uchun universal to‘plam deyiladi .
Universal to‘plam, odatda, yoki harflari bilan belgilanadi. Universal
to‘plamning barcha qism to‘plamlari orasida ikkita xosmas qism to‘plam mavjud
bo‘lib, ulardan biri u ning o‘zi, ikkinchisi esa bo‘sh to‘plam, qolganlari esa xos
qism to‘plamlar bo‘ladi.
Geometriyadan misol keltirsak, – uch o‘lchovli fazo bo‘lsa,
fazodagi tekislik, tekislikdagi chiziq bo‘lsa, quyidagi munosabat o‘rinli
bo‘ladi: yoki . Bu yerda ning boshqa qism
to‘plamlari ham mavjudligini hisobga olish kerak.
barcha natural sonlar to‘plami;
‒ barcha butun sonlar to‘plami; ‒ ‒
barcha ratsional sonlar to‘plami; barcha haqiqiy sonlar to‘plami bo‘lib,
‒
shartlar bajariladi va qolgan sonli to‘plamlar uchun
universal to‘plam vazifasini bajaradi.
kabi yozish ham
mumkin.
9

to‘plamning to‘plam ostilarini koordinatalar o‘qida tasvirlash qulay. Agar
va bo‘lsa, quyidagi bеlgilashlarni kiritish mumkin.
Sonli oraliq Bеlgilan
ishi Tasvirlani
shi Nomlanishi
Intеrval
Kеsma
Yarim
int е rval yoki
yarim k е sma
Yarim
int е rval yoki
yarim k е sma
Ochi q nur
Nur yoki
yarim to‘g‘ri
chiziq

Ochi q nur
Nur
Eyler-Venn diagrammalari. To‘plamlar orasidagi munosa-batlarni yaqqolroq
qilish uchun, Eyler-Venn diagrammalaridan foydalaniladi. Bunda to‘plamlar doira,
oval yoki biror yopiq soha ko‘rinishida, universal to‘plam esa to‘g‘ri to‘rtburchak
10

shaklida tasvirlanadi. Masalan: to‘plam to‘plamning xos to‘plam osti ekanligi
quyidagi ko‘rinishda tasvirlanadi.
1.1.1-rasm
Umumiy qismga ega bo‘lgan to‘plamlar kesishadi deyiladi va
, ya’ni va to‘plamlar kesishmasi bo‘sh emas, deb yoziladi.
Masalan, ga karrali natural sonlar va ga karrali natural sonlar
to‘plamlari umumiy elementga ega, ya’ni kesishadi yoki kesishmasi bo‘sh
emas. Bu to‘plamlar kesishmasi barcha ga karrali natural sonlardan
iborat bo‘ladi.
Ikki to‘plamning o‘zaro munosabatida to‘rt hol bo‘lishi mumkin (1.1.2-
rasm)
1) to‘plamlar kesishmaydi (1.1.2-rasm, I)
2) to‘plamlar kesishadi (1.1.2-rasm, II)
3) to‘plamlarning biri ikkinchisining qism to‘plami bo‘ladi (1.1.2-rasm,
III)
4) to‘plamlar ustma-ust tushadi, ya’ni teng (1.1.2-rasm, IV)
11

1.1.2-rasm I 1.1.2-rasm II
1. 2-§ To‘plamlarning kеsishmasi, birlashmasi, ikki to‘plamning ayirmasi,
univеrsal to‘plamgacha to‘ldiruvchi to‘plam
1-ta’rif. elementlar va to‘plamlarning har biriga tegishli
bo‘lsa, ular bu to‘plamlarning umumiy elementlari deyiladi.
Masalan: , to‘plamlar uchun – umumiy
elementlar.
2-ta’rif. va to‘plamlarning barcha umumiy elementlaridangina tuzilgan
to‘plam va to‘plamlarning kesishmasi (ko‘paytmasi) deyiladi va
quyidagicha belgilanadi , bu yerda belgi to‘plamlarning kesishmasini
bildiradi.
To‘plamlar kesishmasi belgilar yordamida
ko‘rinishda yoziladi.
1) va bo‘lsa,
bo‘ladi.
2) va bo‘lsa, bo‘ladi.
3) va to‘plamlarning
12

kesishmasi ga teng.
Birorta ham umumiy elementga ega bo‘lmagan to‘plamlarning kesishmasi -
bo‘sh to‘plamga teng. Masalan, A={2,3,4} va B={7,8,9} to‘plamlarning
kesishmasi bo‘sh to‘plam: A∩B ≠ Ø
To‘plamlarning kesishmasi geometrik nuqtai nazardan figuralarning
kesishmasiga mos keladi.
Quyida har bir hol uchun to‘plamlar kesishmasi shtrixlab ko‘rsatilgan
(1.2.1-rasm)
1.2.1-rasm

1.2.2-rasm
1.2.2-rasm da kesma va kesmalar kesishmasini ifodalaydi.
1.2.2-rasm 2-qismida va kesmalar kesishmaydi, demak kesishma
bo‘sh to‘plam.
To‘plamlar k e sishmasi uchun quyidagi xossalar o‘rinli
1°. (kommutativlik xossasi)
13

2°. ( a s s o s a t i v l i k x o s s a s i )
Bu xossani Eyler-Venn diagrammalarida quyidagicha tasvirlaymiz
(1.2.3-rasm)
1.2.3-a) rasmda tenglikning chap qismi,1.2.3-b) rasmda tenglikning o‘ng
qismi tasvirlangan, ikki marta shtrixlangan sohalar ikkala rasmda ham bir
xil bo‘lgani uchun to‘plamlar teng degan
xulosaga kelamiz.
1.2.3-rasm
3 ° .
4 ° . .
Yuqoridagi xossalar to‘plamlar soni ikkitadan ortiq bo‘lgan hol uchun ham
to‘g‘ri.
3-ta’rif. Berilgan va to‘plamlarning birlashmasi (yig‘indisi) deb shu
va to‘plamlarning hech bo‘lmaganda biriga tegishli bo‘lgan elementlardan
tuzilgan to‘plamga aytamiz. Birlashma ko‘rinishda belgilanadi.
To‘plamlar birlashmasi belgilar yordamida
ko‘rinishda yoziladi. To‘plamlar birlashmasida to‘plamlardan har ikkalasining
umumiy elementlari bir marta olinadi.
14

Masalan , to‘plamlarning birlashmasi
ga, va to‘plamlar uchun
ga t e ng.
To‘plamlarning birlashmasi geometrik nuqtai nazardan figura lar ning barcha
nuqtalaridan tashkil topgan to‘plamni bildiradi. Eyler-Venn diagrammalarida
va to‘plamlarning birlashmasi quyi dagicha tasvirlanadi.
1.2.4-rasm

To‘plamlar birlashmasining xossalari:
1°.
2°. (kommutativlik xossasi).
3°. (assotsiativlik xossasi).
4°. .
5°. .
6°. (kesishmaning birlashmaga nisbatan
distributivlik xossasi).
Isbot: bo‘lsin, bundan va ekani kelib
chiqadi. Bundan va yoki va , bu esa
ekanligini bildiradi va shunday ekanligini isbot qiladi:
15

. Aksincha, agar x ∈ (A∩B) ∪ (A∩C), u holda
yoki . Bu holda , lekin xuddi shunday ,
ekanligini bildiradi,
isbotlaydi. Bundan kelib chiqadiki .
Kesishmaning birlashmaga nisbatan distributivlik xossasining to‘g‘riligini
Eyler-Venn diagrammasida ham ko‘rsatish mumkin

1.2.5-a) rasm 1.2.5-b) rasm
1.2.5-a) rasmda tenglikning chap qismi birlashma vertikal va
gorizontal shtrixlangan.
1.2.5-b) rasm da va kesishma gorizontal shtrix langan.
esa vertikal shtrixlangan. Rasmlar dagi ikki marta
shtrixlangan sohalar bir xil bo‘lganligidan
tenglikning to‘g‘riligi ko‘rinadi.
7°. (birlashmaning kesishmaga nisbatan
distributivlik xossasi).
16B
A
C
B
A
C

4-ta’rif . va to‘plamlarning ayirmasi deb shunday to‘plamga ayti ladiki, u
to‘plamning ga tegishli bo‘lmagan barcha element lari dan tuziladi va
quyidagicha belgilanadi:
Demak, v а to‘pl а ml а rning а yirm а si to‘pl а mning to‘p l а mg а kirm а g а n
b а rch а el е m е ntl а rd а n t а shkil t о pg а n to‘pl а m ekan, uni bunday yozamiz

To‘plamlarning ayirmasi Eyler-Venn diagrammalarida quyidagi 1.2.6 chizmada
ko‘rsatilgan shtrixlangan sohani bildiradi.
1.2.6-rasm
5-ta’rif. to‘plam va uning qism to‘ plami berilgan bo‘lsin. dagi ga
tegishli bo‘lmagan barcha elementlardan tuzilgan to‘plam to‘plamni
to‘plamgacha to‘ldiruvchisi deb ataladi va yoki ko‘rinishda belgilanadi.
Bunda, B va B′
A ning birlashmasi A to‘plamga teng bo‘ladi ( 1.2.7-rasm ) .

1.2.7-rasm
Masalan, , bo‘lsa
bo‘ladi.
17

Agar to‘plam biror boshqa to‘plamning qismi deb qaralmasa, u holda
to‘plamning to‘ldiruvchisi bo‘sh to‘plam bo‘lib, ning to‘ldiruvchisi esa
bo‘ladi, ya’ni: va .
To‘plamlar ayirmasining xossalari:
1°.
2°. .
3°.
4°.
5°. ;
6 °.
7°. .
6- va 7-xossalar De-Morgan qonuni deyiladi.
4- va 5-xossalarning o‘rinli ekanligiga Eyler-Venn diagrammalarida
tasvirlash orqali ishonch hosil qilish mumkin.
7-xossani quyidagicha isbotlaymiz.
Isbot. bo‘lsin. Bundan ekani kelib chiqadi.
Kesishma ta’rifiga ko‘ra yoki degan xulosaga kelamiz, bundan
esa yoki ekani kelib chiqadi. bo‘lsa,
birlashma ta’rifiga ko‘ra bo‘ladi. Ikkinchi tomondan
bo‘lsin. U holda birlashma ta’rifiga ko‘ra ekani kelib
chiqadi, ekanidan ekanidan degan xulosaga
kelamiz, bo‘lsa, bo‘ladi, bu esa
ekanligini ko‘rsatadi. Demak, to‘plamlar bir xil
elementlardan tashkil topgan va shuning uchun ham teng ekan.
18

6-xossa ham xuddi shunday isbotlanadi.
Isbot. bo‘lsin. U holda ga kirmaydi, ya’ni da
ham, da ham emas, demak: . Bu ekanligini
isbotlaydi. Boshqa tomondan olganda, agar bo‘lsa, bunda ga
tegishli emas va ga ham tegishli emas, shunday ekan ga kirmaydi.
Lekin bu ligini ko‘rsatadi, bu ekanligini
isbotlaydi. Bundan ko‘rinib turibdiki, ekan.
6-ta’rif. va to‘plamlarning simmetrik ayirmasi d е b shunday to‘plamga
aytiladiki, u yoki
ayirmalarga tegishli bo‘lgan hamma
el е m е ntlaridangina tuziladi va quyidagicha b е lgilanadi: .
To‘plamlarning simmetrik ayirmasi 1.2.8-rasmda ko‘rsatilgan shtri х langan
sohani bildiradi.

1. 2.8 -rasm
19 BA

1.3 - § To‘plamlarning dekart ko‘paytmasi.
1-ta’rif. A va B to‘plamlarning Dekart ko‘paytmasi deb,1-elementi
to‘plamdan, 2-elementi to‘plamdan olingan ko‘rinishdagi barcha
tartiblangan juftliklar to‘plamiga aytiladi. Dekart ko‘paytma
ko‘rinishda belgilanadi:
Masalan

bo‘ladi.
Agar biz Dekart ko‘paytma elementi dagi ni biror nuqtaning
absissasi, ni esa ordinatasi desak, u holda bu dekart ko‘paytma tekislikdagi
nuqtalar to‘plamini ifodalaydi.
20

Sonli to‘plamlar dekart ko‘paytmasini koordinata tekisligida tasvirlash
qulay.
Masalan, bo‘lsin, u holda
1. 3.1 -rasm
bo‘ladi ( 1. 3.1 -rasm).
Koordinata tekisligida shunday koordinatali nuqtalarni tasvirlaymizki,
bunda to‘plam o‘qida va to‘plam o‘qida olinadi.

1. 3.2 -rasm
Dekart ko‘paytmaning xossalari:
1° .
2 ° .
3°.
Ikkitadan ortiq to‘plamlarning dekart ko‘paytmasini ham qarash mumkin.
Umumiy holda to‘plamlar berilgan bo‘lsin. Ularning dekart
ko‘paytmasi dan iborat
bo‘ladi. (Masalan, uchlik, to‘rtlik va h.k.). Bunday tartiblangan lik n
21

o‘rinli kortej deb ham ataladi. Yana o‘rinli kortejlar faqat bitta to‘plam
elementlaridan tuzilgan bo‘lishi ham mumkin, bu holda u to‘plamni o‘z-
o‘ziga marta dekart ko‘paytmasi elementidan iborat bo‘ladi.
Yuqorida aytilganlardan xulosa qilsak, Dekart koordinata tekisligini haqiqiy
sonlar to‘plami ni o‘ziga-o‘zining dekart ko‘paytmasi , koordinata
fazosini deb qarash mumkinligi kelib chiqadi.
Masalan,
1. .
2.
II BOB . TO‘PLAMDA AKSLANTIRISHLAR
2.1 -§ Akslantirish tushunchasi
E va F to‘plamlar berilgan bo‘lsin
1-ta’rif Agar E to‘plamdan olingan har bir x elementga biror qoida yoki
qonunga ko‘ra F to‘plamning bitta y elementi mos qo‘yilgan bo‘lsa, E
to‘plamni F to‘plamga akslantirish berilgan deyiladi va
yoki ,
kabi belgilanadi .Bunda E to‘plam akslantirishning aniqlanish to‘plami deyiladi.
22

Ushbu va to‘plamlar berilgan bo‘lsin .
1) Har bir natural songa sonni mos qo‘ysak unda
akslantirish hosil bo‘ladi .Uni kabi ham yoziladi .
2) Har bir natural songa sonni mos qo‘ysak ,unda
Akslantirishga ega bo‘lamiz
3) Har bir natural songa 1 sonni mos qo‘yish natijasida
akslantirish hosil bo‘ladi,
Aytaylik akslantirish berilgan bo‘lsin , elementga mos
qo‘yilgan element ning aksi ( obrazi) deyiladi va kabi
belgilanadi
Endi elementni olaylik E to‘plamning shunday elementlarini
qaraymizki bo‘lsin. Bunday elementlar ning asli
(proobrazi) deyiladi va kabi belgilanadi
23

Agar bo‘lsa , ushbu
To‘plam A to‘plamning F dagi aksi deyiladi va kabi belgilanadi :
.
Agar bo‘lsa, ushbu
To‘plam B to‘plamning E dagi asli deyiladi va kabi belgilanadi .
Faraz qilaylik , va to‘plamlari F to‘plamning qismiy to‘plamlari bo‘lsin
unda
bo‘ladi. (2.1.1)
Aytaylik bo‘lsin , unda bo‘lib va
bo‘ladi. Keyingi munosabatlardan bo‘lishi kelib chiqadi
demak bundan esa
(2.1.2)
bo‘lishini topamiz.
24

Aytaylik bo‘lsin ,unda va bo‘lib,
bo‘ladi. Natijasi bo‘lib,undan
bo‘lishini topamiz. Bu esa
.
(2.1.3)
2.2 -§ Akslantirishning turlari
Aytaylik, akslantirish berilgan bo‘lib, esa to‘plamning
aksi bo‘lsin
.
2-ta’rif Agar aklantirishda
25

bo‘lsa, bu akslantirish to‘plamni to‘plamning ichiga akslantirish deyiladi.
Masalan,

to‘plamlari uchun ushbu

akslantirish to‘plamni to‘plamning ichiga akslantirish bo‘ladi.
3-ta’rif Agar akslantirishda

bo‘lsa, bu akslantirish to‘plamni to‘plamning ustiga akslantirish (syurektiv
akslantirish) deyiladi.

Masalan,
,
to‘plamlar uchun

26а
b
s
d
tzyx

akslantirish to‘plamni to‘plamning ustiga akslantirish bo‘ladi.
4-ta’rif Agar ustiga akslantirish bo‘lib, bu akslantirish
to‘plamning turli elementlarini to‘plamning turli elementlariga akslantirsa bu
akslantirish inyektiv akslantirish deyiladi.

5-ta’rif Agar ustiga akslantirish bo‘lib, u inyektiv akslantirish
ham bo‘lsa, bu akslantirish o‘zaro bir qiymatli akslantirish deyiladi.

Masalan,

To‘plamlar uchun ushbu
27

akslantirish o‘zaro bir qiymatli akslantirish bo‘ladi.
6-ta’rif. akslantirish o‘zaro bir qiymatli akslantirish bo‘lsin. F
to‘plamning har bir elementiga E to‘plamning bitta elementini
mos qo‘yadigan va

munosabat bilan akslanadigan akslantirish ga nisbatan
teskari akslantirish mavjud bo‘lishi uchun;
a) ustiga akslantirish
b) to‘plamdan olingan har bir elementning to‘plamdagi asli

yagona bo‘lishi kerak.

2.3 -§ Ekvivalent to‘plamlar,sanoqli to‘plamlar
Ko‘p holda to‘plamlarni ularning tashkil etgan elementlari soni bo‘yicha
o‘zaro solishtirishga to‘g‘ri keladi.Chekli to‘plamlar solishtirilganda bir
to‘plamning elementlari soni ikkinchisidan ko‘p, yoki kam, yoki ularning
28

elementlarining soni bir-biriga teng degan xulosaga kelinadi. Bu holda elementlari
soni ko‘p bo‘lgan to‘plamni “ quvvati ” ko‘proq deyish mumkin.
Cheksiz to‘plamlarni solishtirishda vaziyat boshqacharoq bo‘ladi. Cheksiz
to‘plamlar ekvivalentlik tushunchasi yordamida solishtiriladi.
7-ta’rif. Agar o‘zaro bir qiymatli akslantirish bo‘lsa, va
ekvivalent to‘plamlar deyiladi va kabi belgilanadi.
Demak, va ekvivalent to‘plamlar deyiladi va ularning
elementlari o‘zaro bir qiymatli moslikda ekanligini bildiradi.
Masalan,
To‘plamlar uchun

akslantirish o‘zaro bir qiymatli .
Binobarin, bo‘ladi. Bu holda kabi yoziladi.
Aytaylik to‘plamlar berilgan bo‘lsin . Unda
1) ;
2) ;
3) ;
bo‘ladi.
Ikki va to‘plamlari o‘zaro ekvivalent bo‘lsa , ularni bir xil quvvatli
to‘plamlar deb qaraladi.
29

Demak, quvvatni ekvivalent to‘plamlarning miqdoriy xarakteristikasi
sifatida tushinish mumkin.
Chekli to‘plamlarning o‘zaro ekvivalentligi ularning tashkil etgan
elementlarning sonini bir-biriga tengligini bildiradi.
Umuman, va chekli to‘plamlarning o‘zaro ekvivalent bo‘lishi uchun
ularning elementlari soni bir xil bo‘lishi zarur va yetarli

Bunda to‘plamning elementlari soni.
8-ta’rif. Natural sonlar to‘plami ga ekvivalent bo‘lgan har qanday
to‘plam sanoqli to‘plam deyiladi.
Masalan, ushbu

to‘plamlar sanoqli to‘plam bo‘ladi, chunki

Natural sonlar to‘plami ga ekvivalent bo‘lgan barcha to‘plamlar sanoqli
to‘plamlar sinfini tashkil etadi. Bu sinf to‘plamlarining quvvati bir xil bo‘ladi.
Ravshanki,
30

bo‘ladi. Ayni paytda yuqorida ko‘rdikki,

Bunday vaziyatda to‘plamning qismi o‘ziga ekvivalent bo‘lishi cheksiz
to‘plamlardagina sodir bo‘ladi.
Xulosa
31

Mazkur kurs ishida “To‘plamlar va ular ustida amallar, to‘plamda
akslantirishlar” mavzusi chuqur tahlil qilindi. Ish davomida to‘plamlar tushunchasi,
ularning turlari, ustida bajariladigan amallar, Dekart ko‘paytmasi, hamda
to‘plamdagi akslantirishlarning mohiyati va turlari o‘rganildi. Har bir bo‘limda
mavzuga oid asosiy nazariy tushunchalar misollar va diagrammalar bilan yoritildi,
bu esa mavzuni yanada chuqurroq tushunishga yordam berdi.
Kurs ishi orqali to‘plamlar nazariyasi matematik analizning muhim va tayanch
yo‘nalishlaridan biri ekani isbotlandi. Ayniqsa, akslantirish tushunchasi orqali
matematik modellarni qurish, funksiyalar orasidagi bog‘lanishlarni tushuntirish kabi
amaliy jihatlar ochib berildi.O‘quv jarayonida bu mavzularni o‘rganish nafaqat
nazariy bilimlarni chuqurlashtiradi, balki mantiqiy fikrlash, tahliliy yondashuv va
mustaqil ishlash ko‘nikmalarini rivojlantiradi. Shuningdek, mazkur mavzularni
o‘qitishda zamonaviy pedagogik texnologiyalar, ko‘rgazmali vositalar va interaktiv
usullarni qo‘llash dars samaradorligini oshirishi muhimligini angladim.
Xulosa qilib aytganda, kurs ishining bajarilishi menga nafaqat to‘plamlar va
akslantirishlar haqida chuqur nazariy bilim berdi, balki ularni amaliy jihatdan
qo‘llash va talabalarga tushunarli yetkazish metodikasini ham shakllantirish
imkonini berdi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI
32

Asosiy adabiyotlar
1. Tao T. Analysis 1,2. Hindustan Book Agency, India, 2014.
2. Xudayberganov G., Vorisov A., Mansurov X., Shoimqulov B. Matematik
analizdan ma’ruzalar. I, II q. T.: «Voris-nashriyot». 2010 y.
3. Shoimqulov B.A., Tuychiyev T.T., Djumaboyev D.X. Matematik analizdan
mustaqil ishlar. T. “O‘zbekiston faylasuflari milliy jamiyati”, 2008
4. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления, 1,2,3 т. М. “ФИЗМАТЛИТ”, 2001. g ‘
5. Alimov SH.O., Ashurov R.R. Matematik analiz 1,2,3 q. T. “Mumtoz so‘z”,
2018.
6. Azlarov T.A., Mansurov X.T. Matematik analiz, I, 2-q. T. "O‘qituvchi",
1994, 1995.
7. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа,
«Лань», 2016.
Qo‘shimcha adabiyotlar
1. A.Gaziyev, I.Israilov, M.Yaxshibayev “Matematik analizdan misol va
masalalar” T.: “Yangi asr avlodi” 2006 y.-
2. G‘aymnazarov G., G‘aymnazarov O.G. Funksional analiz kursidan
masalalar yechish. T.: “Fan va texnologiya”, 2006.-114b.
3. Demidovich B.P.., «Sbornik zadach i uprajneniy po matematicheskomu
analizu» Ucheb. Posobiye dlya vuzov. M.: OOO «Izdatelstvo Astrel» OOO
«Izdatelstvo AST», 2003 g – 558 [2] st.
4. Filippov A.F. Sbornik zadach po differensialnim uravneniyam.
M.:Integral-Press, 1998,-208s.
5. Ivanova YE.P. Lineyniye differensialniye uravneniya s postoyannimi
koyeffitsiyentami. Uchebnoye posobiye k raschetnoy rabote - Moskva: MAI,
2003.- 52 s. ISBN 5-7035-1283-2.
6. M.A. Krasnov, G.I. Makarenko, A.I. Kiselev. Variatsionnoye
ischisleniye. M., Nauka, 1973.
33

7. V.M. Alekseyev, E.M. Gallev, V.M. Tixomirov. Sbornik zadach po
optimizatsii. M., Nauka, 1984.
8 . http://vilenin.narod.ru/Mm/Books/
9. http://www.allmath.ru/
34

To‘plamlar va ular ustida amallar, to‘plamda akslantirishlar 25

Sotib olish