Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025
95 SotishAniq integralning fizik va mexanik tadbiqlari
![kiritаmiz M
0 M
1 = L
1 , M
1 M
2 = L
2 , M
n-1 M
n = L
n , u hоldа siniq chiziq
pеrimеtri
L
n = L
1 + L
2 + ... + L
n L
n = L
i
Tа’rif. Yoygа ichki chizilgаn siniq chiziq pеrimеtri intilgаn limit АB yoyining
l uzunligi dеyilаdi.
Bu limit mаvjud vа ichki chizilgаn siniq chiziqlаrning tаnlаnishigа bоg’liq
bo’lmаydi.
Tеоrеmа. АB egri chiziq y=f(х) tеnglаmа bilаn bеrilgаn bo’lsin, bu yеrdа
f(х) - [ a,b ] kеsmаdа uzluksiz birinchi tаrtibli хоsilаgа egа bo’lgаn uzluksiz
funksiya. U hоldа АB yoy l = gа tеng uzunlikkа egа.
Isbot. АB yoyni M
1 ,
M
2 , ...,
M
n nuqtаlаrbilаn n tа bo’lаkkа аjrаtаmiz. а = х
0 < х
1 <
х
2 < ... х
n = b . Siniq chiziq pеrimеtri L
1 .
M
1 M
B
А M
n-1
M
о
а х х
2 х
n-1 х
n =b
L
1 = y
i -y
i-1 = f(х
1 )-f(х
i-1 )
Lаgrаnj tеоrеmаgа ko’rа f(х
i )-f(
хi-1 ) = f(c
i ) (х
i -х
i-1 ), х
i-1 < c<х
i
L
1 =
L
1 = x
i ; L
1 = x
i ,
d eb
olsak
7](https://docx.uz/documents/a8ed5171-3a14-48e7-a349-9c0648868421/page_7.png?v=1)
![ M
x ) quyidagidan iborat bo’ladi:
M
x m
1 y
1 m
2 y
2 ……… m
n y
n , (3)
yoki summa belgisidan foydalanib quyidagini xulosaga kelib olamiz
M
x =my
c . (3 )
OY o’qqa nisbatan statik momenti esa
M
y m
1 x
1 m
2 x
2 …… m
n x
n (4)
yoki summa belgisidan foydalanib quyidagini xulosaga kelib olamiz
M
y = mx
c . (4 )
Ta’rif: m m
1 m
2 ….. m
n bo’lganda x
c ;y
c =[(M
x /m);(M
y /m)]
koordinatali
nuqtaga moddiy nuqtalar sistemasining og’irlik markazi deyiladi.
Misol. m
k m
l m
n 1 birlik massalari qo ’ yilgan K , L va N
nuqtalarning og ’ irlik markazi uchburchak medianalarining kesishish
nuqtasi bo ’ lishini ko ’ rsating.
Yechilishi. K , L , N nuqtalarni koordinatalar sistemasida tasvirlashda K
nuqtani koordinatalar markaziga, L va N nuqtalarning o’rtasi, ya’ni С nuqtani OX
o’qida yotadigan qilib joylashtiramiz. U holda, K nuqtaningkoordinatalari 0; 0
L nuqtaning ordinatasi y
0 , N nuqtaning ordinatasi ( y
0 ) dan iborat bo’ladi. Bundan
ko’rinadiki, С og’irlik markazining y
c ordinatasi quyidagidan iborat bo’ladi:
y
c =(0*1+y
0 *1- y
0 *1)/2=0/2=0
Demak, С nuqta OX o’qida yotishi ma’lum bo’ldi.
Agar massalar uchta nuqtaga emas, balki figuraning hamma joyiga tekis qo’yilgan
14](https://docx.uz/documents/a8ed5171-3a14-48e7-a349-9c0648868421/page_14.png?v=1)
![bo’lsa, bunday figuralarning statik momentini topishda yig’indining o’rniga
integraldan foydalaniladi.
2.2Tekis egri chiziqning statik momenti va og’irlik markazi
[ a , b ] oraliqda uzluksiz hosilaga ega bo’lgan AB egri chiziqli f x
funksiya berilgan bo’lib , u L uzunlikka ega bo’lsin. Bunda AB egri chiziqni bir
jinsli, ya’ni chiziqli zichligi o’zgarmas, soddalik uchun 1 deb qaraymiz.
AB egri chiziqning OX va OY o’qlarga nisbatan statik momentlarini hamda egri
chiziqning y og’irlik markazini topamiz. Buning uchun AB egri chiziqni
A A
0 (x
0 ,y
0 ) , A
1 ( x
1 , y
1 ) ,…….., A
n ( x
n , y
n ) B
nuqtalar orqali n ta bo’lakka ajratamiz.
Bu nuqtalarga l parametrning
l
0 =0<l
1 <l
2 <l
3 <…..<l
n =L
Qiymatlari mos kelsin . l parameter A nuqtadan boshlangan yoydan iborat. A
i A
i+1
yoyning uzunligini
l
i l
i+1 l
i ,
shu yoyning massasini esa m
i bilan belgilaymiz. U holda,
1bo’lganda
massa quyidagicha bo’ladi:
m
i l
i l
i .
Qism yoyning uzunligini moddiy nuqta deb qarasak, u holda, uning og’irlik
markazi unga mos keladigan qism yoy uzunligiga teng bo’ladi, ya’ni m
i l
i
. Moddiy nuqtaning OX o’qdan y
i , OY o’qdan esa x
i masofalarda
15](https://docx.uz/documents/a8ed5171-3a14-48e7-a349-9c0648868421/page_15.png?v=1)
![yotganligini e’tiborga olsak, quyidagi tenglamalar o’rinli bo’ladi:
Mx
i =y
i m
i =y
i l
i
My
i =x
i m
i =x
i l
i va
l
i [ 1 ( f x
i ) 2
] 1/2
x
i bo’lganligi sababli,
Mx
i f(x
i )* [ 1 ( f x
i ) 2
] 1/2
x
i
My
i
x
i * [ 1 ( f x
i ) 2
] 1/2
x
i va
U holda, AB egri chiziq bo’laklari yig’indisining = max{ l
i } 0
(1 i n) dagi limitlari quyidagilardan iborat bo’ladi:
M
x =lim
0 f(x
i ) l
i =
b
a f(x)* [ 1 ( f x
i ) 2
] 1/2
dx (7)
M
y =lim
0 x
i l
i =
b
a x* [ 1 ( f x
i ) 2
] 1/2
dx (8)
M=l=
b
a [ 1 ( f x
i ) 2
] 1/2
dx
(9)
(5) - (9) formulalardan foydalanib, tekis egri chiziq og’irlik markazining
formulalarini hosil qilamiz:
x
c =(
b
a x* [ 1 ( f x
i ) 2
] 1/2
dx)/( b
a [ 1 ( f x
i ) 2
] 1/2
dx)
(10)
y
c =(
b
a f(x)* [ 1 ( f x
i ) 2
] 1/2
dx )/ ( b
a [ 1 ( f x
i ) 2
] 1/2
dx)
(11)
Agar f x ni y f x va L=
b
a [ 1 ( f x
i ) 2
] 1/2
dx) ekanligini
e’tiborga
olsak, (10) va (11) ni soddalik uchun quyidagi ko’rinishlarda yozish ham mumkin:
x
c =(
b
a x* [ 1 ( y ) 2
] 1/2
dx)/L
(12)
y
c =(
b
a y* [ 1 ( y ) 2
] 1/2
dx )/L
(13)
(13) formuladan:
L*y
c =
b
a y* [ 1 ( y ) 2
] 1/2
dx
(14)
16](https://docx.uz/documents/a8ed5171-3a14-48e7-a349-9c0648868421/page_16.png?v=1)
![hosil bo’ladi. (14)ning ikkala tomonini 2 ga ko’paytirib, quyidagi formulaga
ega bo’lamiz:
2 y
c *L= 2 b
a y* [ 1 ( y ) 2
] 1/2
dx
(15)
(15) ning chap tomoni y
c radiusli aylana uzunligini, o’ng tomoni esa AB yassi
egri chiziqning OX o’qi atrofida aylanishidan hosil bo’lgan sirt yuzasini ifodalaydi,
ya’ni 2 y
c l S .
Demak, L= =
b
a y* [ 1 ( y ) 2
] 1/2
dx yoy uzunligi S=2 b
a y* [ 1 ( y
) 2
] 1/2
dx
esa aylanma jism sirtining yuzini topish formulasidir. Yuqridagilarni xulosalash
uchun quyidagi Gulden teoremasini keltiramiz:
Teorema. Tekis egri chiziqni shu chiziq bilan kesishmaydigan biror o’q atrofida
aylantirishdan hosil qilingan sirtning yuzi bu chiziq uzunligini C og’irlik markazi
tomonidan chizilgan aylana uzunligiga ko’paytirilganiga tengdir..
2. 3 Tekis figuralarning statik momenti va og’irlik markazi
[ a , b ] oraliqda x a va x b to’g’ri chizig’lar hamda OX o’q bilan
chegaralangan, manfiymas egri chiziqli trapesiya y f x funksiya orqali
berilgan. Egri chiziq massasi 1 zichlikda uzluksiz taqsimlangan bo’lsin. U
holda, egri chiziqli trapesiyaning massasi uning yuzasini son qiymatiga
teng. Egri chiziqli trapesiyaning y static momentlari M
x va M
y ni
toppish uchun uni
x
i =a+ [(b-a)/n]*i ( i 0,1,2,1,0 …, n ) nuqtadan o’tuvchi va ordinata
o’qiga parallel bo’lgan to’g’ri chiziqlar yordamida n ta bo’lakka ajratamiz.
17](https://docx.uz/documents/a8ed5171-3a14-48e7-a349-9c0648868421/page_17.png?v=1)
-
O'xshash dokumentlar
- Qutb va polyara. Proektiv tekislikdagi ikkinchi tartibli chiziqlar klassifikatsiyasi kurs ishi
- Ellips, giperbola va parabolaning ta’rifi, kanonik tenglamalari va xossalari kurs ishi
- Fazoda tekislikning va to‘g‘ri chiziqning turli tenglamalariga doir metrik masalalar
- Harakat qonuni berilgan nuqtaning tezlanishi EHM dasturida hisoblash
- Chegaraviy masalalar