Bichiziqli va kvadratik formalar - Informatika va AT - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	162.5KB
Xaridlar	1
Yuklab olingan sana	27 Oktyabr 2024
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Informatika va AT

Sotuvchi

Shavkat

Ro'yxatga olish sanasi 04 Aprel 2024

13 Sotish

Bichiziqli va kvadratik formalar

Sotib olish

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA
INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
TOSHKENT AMALIY FANLAR UNIVERSITETI
INFORMATIKA MATEMATIKA FAKULTETI
MI23 s A -guruh talabasi Rayimov G‘olibjonning
Matematika fanidan
KURS ISHI
MAVZU: BICHIZIQLI VA KVADRATIK FORMALAR
Ilmiy rahbar: ______________________
«____» ________ 2024-y.

Toshkent – 2024

MUNDARIJA:
KIRISH................................................................................................................. 3
I BOB. BICHIZIQLI VA KVADRATIK FORMALARNING NAZARIY
ASOSLARI
1.1. Bichiziqli va kvadratik formalar ta'rifi . ….. .................................................... 5
1.2. Bichiziqli formalar………………………………..……………...………… 6
1.3. Kvadratik formani kvadratlar yig‘indisiga keltirish………... …..………...
… 8
II BOB. BICHIZIQLI VA KVADRATIK FORMALARNING
AMALIYOTDA QO'LLANILISHI
2.1. Bichiziqli formalar va ularning amaliy masalalarda
qo'llanilishi…………… 14
2.2. Kvadratik formalar va ularning iqtisodiyot, fizika va boshqa sohalardagi
qo'llanilishi............................................................................................................ 15
2.3. Amaliy misollar va ularning
tahlili.................................................................. 17
XULOSA…….….……...………………………………………………………. 24
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR............................................................ 25
2

KIRISH
O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining 2022 yil 12 yanvardagi "Ta'lim
sohasini rivojlantirish bo‘yicha davlat siyosatini yanada takomillashtirish
to‘g‘risida"gi PF-69-sonli farmoni ta'lim tizimida yangiliklar kiritishni maqsad
qilib qo‘yadi. Ushbu farmon, o‘z ichiga zamonaviy ta'lim metodlarini, jumladan,
matematikani o‘rganish jarayonida kvadratik va bichiziqli formalardan
foydalanishni kiritishni ko‘zda tutadi.
Kurs ishining dolzarbligi. Ta'lim sohasida zamonaviy metodologiyalarni
tatbiq etish, ayniqsa, matematika fanini o‘qitishda muhim ahamiyatga ega.
Bichiziqli va kvadratik formalar matematikada keng qo‘llanilishi bilan birga,
amaliy masalalarda ham asosiy vosita hisoblanadi. Ushbu mavzu dolzarb, chunki u
nafaqat ta'lim jarayonini sifatli yaxshilashga yordam beradi, balki o‘quvchilarning
analitik fikrlash qobiliyatini rivojlantiradi.
Kurs ishining m aqsadi. Ushbu kurs ishining maqsadi bichiziqli va
kvadratik formalar haqida nazariy va amaliy bilimlarni yoritish, ularning ta'lim
tizimidagi o‘rni va ahamiyatini ko‘rsatishdir.
Kurs ishining v azifalari:
1. Bichiziqli va kvadratik formalarni nazariy jihatdan o‘rganish.
2. Ushbu formalar o‘rtasidagi farq va aloqalarni aniqlash.
3. Bichiziqli va kvadratik formalarning amaliyotdagi qo‘llanilishini
o‘rganish.
4. Olingan natijalarni tahlil qilish va kelgusidagi tadqiqotlar uchun takliflar
berish.
Kurs ishining o byekt. O‘zbekiston ta'lim tizimidagi matematika fani va
undagi bichiziqli hamda kvadratik formalar.
3

Kurs ishining p redmet. Kurs ishining predmetini esa bichiziqli va
kvadratik formalar, ularning nazariy asoslari va amaliy qo‘llanilishi tashkil etadi.
Kurs ishining m etodik asosi. Ushbu ishning metodik asosi matematik
tahlil, nazariy bilimlar, tajriba va amaliy misollarni o‘rganish hamda statistik tahlil
metodlari hisoblanadi.
Kurs ishining t uzilmasi.
Kurs ishi quyidagi bo‘limlardan iborat bo‘ladi:
1. Kirish
2. Nazariy asoslar
3. Amaliyotda qo‘llanilishi
4. Xulosa
6. Foydalanilgan adabiyotlar
Ushbu reja asosida ish olib borilib, o‘quv jarayonida bichiziqli va kvadratik
formalarning ahamiyatini o‘rganish orqali yangi bilimlarni o‘zlashtirishga
erishiladi.
4

I BOB. BICHIZIQLI VA KVADRATIK FORMALARNING
NAZARIY ASOSLARI
1.1. Bichiziqli va kvadratik formalar ta'rifi
Bichiziqli Formalar
Bichiziqli forma — ikki o'zgaruvchili polinom bo‘lib, u quyidagi ko‘rinishda
ifodalanadi:
Q ( x , y ) = Ax 2
+ Bxy + Cy 2
+ Dx + Ey + F
Bu yerda:
 A, B , C, D, E, va F — haqiqiy sonlar (koeffitsiyentlar).
 X va y — o'zgaruvchilar.
Bichiziqli forma matematikada muhim rol o'ynaydi, chunki u geometrik
shakllar (parabola, ellips, giparbola)ni tasvirlashda qo'llaniladi. Bichiziqli
formalarning xarakteristikasi ularning koeffitsiyentlari (A, B, C) orqali aniqlanadi.
Kvadratik Formalar
Kvadratik forma — n ta o'zgaruvchi uchun quyidagi ko‘rinishda ifodalanadi:
Q( x
1 , x
2 , … , x
n ) =
∑
i = 1n
❑ a
i x
i 2
+
∑
i ≠ j❑
❑ b
ij x
i x
j
Bu yerda:
 a
i — i-chi o'zgaruvchining kvadrat koeffitsiyenti.
 b
ij — i-chi va j-chi o'zgaruvchilar o'rtasidagi o'zaro aloqani ifodalaydigan
koeffitsiyent.
Kvadratik formalar simmetrik koeffitsiyentlar bilan ifodalanadi va ular ko'p
o'lchovli geometriyada muhim ahamiyatga ega. Kvadratik formalar grafikada
ellipsoidlar, hiperbollar va parabolalar ko'rinishida bo'lishi mumkin.
Bichiziqli va Kvadratik formalarning asosiy farqlari .
5

1. O'zgaruvchilar soni : Bichiziqli forma ikki o'zgaruvchini, kvadratik forma
esa n ta o'zgaruvchini o'z ichiga oladi.
2. Grafik ko'rinishi : Bichiziqli forma grafikasi o'ziga xos geometrik
shakllarga ega (parabola, ellips, giparbola), kvadratik forma esa ko'p o'lchovli
geometriyada har xil grafik shakllar yaratadi.
3. Koeffitsiyentlar tuzilishi : Bichiziqli formada koeffitsiyentlar A, B, C, D, E,
F ko'rinishida, kvadratik formada esa a
i va b
ij koeffitsiyentlari mavjud.
Ushbu ta'riflar va farqlar yordamida bichiziqli va kvadratik formalarning
nazariy asoslari yoritildi.
1.2. Bichiziqli formalarF
maydon ustida V chiziqli fazo berilgan bo‘lsin.
Ta’rif-1. Agar ikki vektor argumentli skalyar
ϕ(x,y) funksiya ϕ :V 2→ F
har bir argumenti bo‘yicha chiziqli bo‘lsa, ya’ni
1) har qanday
x1,x2∈V va λ,μ ∈F uchun
ϕ(λx 1+ μx 2,y)= λϕ(x1,y)+ μϕ(x2,y)
;
2) har qanday
y1,y2∈V va λ,μ ∈F uchun
ϕ(x,λy 1+ μy 2)= λϕ(x,y1)+ μϕ(x,y2)
shartlar bajarilsa, bu funksiyaga bichiziqli forma (funksiya, funksional)
deyiladi.
Endi
dim V = n , {e1,e2,...,en} tizim V dagi bazis, bu bazisda x va y
vektorlarning koordinatalari mos ravishda
ξ1,...,ξn va η1,...,ηn bo‘lsin. U holda
ϕ(x,y)= ϕ(∑i=1
n
ξiei,∑k=1
n
ηkek)= ∑i,k=1
n
aikξiηk
,
bu yerda
aik= ϕ(ei,ek) .
6

Bu aik skalyarlar ϕ(x,y) bichiziqli formaning berilgan bazisdagi
koeffitsientlari ,
A= (aik)= (ϕ(ei,ek))∈ Fn×n esa matritsasi deyiladi. Shunday
qilib, berilgan bazisda bichiziqli formalar va kvadrat matritsalar orasida o‘zaro bir
qiymatli moslik o‘rnatildi.
Endi bazis o‘zgarganda bichiziqli formaning matritsasi qanday o‘zgarishini
tekshiramiz. Agar
V da boshqa
fk= ∑
i=1
n
γikei,k= 1,2 ,...,n bazis olingan bo‘lsa,
ϕ(x,y)
bichiziqli formaning yangi bazisdagi matritsasini B= (βik) orqali belgilab,
uning elementlari uchun quyidagi ifodani topamiz:
βik= ϕ(fi,fk)= ϕ(∑
p=1
n
γpiep,∑
q=1
n
γqk eq)=
¿ ∑
p,q=1
n
γpiγqk ϕ(ep,eq)= ∑
p,q=1
n
γipTapq γqk .
Bu tenglik
B= CTAC ekanligini ko‘rsatadi, bu yerda C = (γik) -birinchi
bazisdan ikkinchi bazisga o‘tish matritsasi.
C matritsa doim maxsusmas bo‘lgani
uchun matritsaning rangi maxsusmas matritsaga ko‘paytirganda o‘zgarmaganligi
uchun
A va B matritsalarning rangi teng. Ularning rangi bichiziqli formaning
rangi deyiladi.
Ta’rif-2. Agar har qanday
x,y∈V vektorlar uchun ϕ(x,y)= ϕ(y,x) tenglik
bajarilsa, bu bichiziqli forma simmetrik deyiladi.
Lemma-1. Simmetrik bichiziqli formaning matritsasi har qanday bazisda
simmetrik.
Isbot.
aik= ϕ(ei,ek)= ϕ(ek,ei)= aki
.
Lemma isbotlandi.
7

Ushbu lemmaning teskarisi ham o‘rinli bo‘ladi, ya’ni agar bichiziqli
formaning biror bazisdagi matritsasi simmetrik bo‘lsa ushbu bichiziqli forma ham
simmetrik bo‘ladi.
Ta’rif-3. ϕ(x,y) simmetrik bichiziqli forma yordamida hosil bo‘ladigan
q(x)= ϕ(x,x)
funksiya kvadratik forma deyiladi.
Lemma-2. Ixtiyoriy simmetrik bichiziqli forma o‘zining kvadratik formasi
orqali o‘zaro bir qiymatli aniqlanadi.
Isbot.
q(x+ y)= ϕ(x+ y,x+ y)= q(x)+q(y)+2ϕ(x,y)
,
shuning uchun
ϕ(x,y)= 1
2(q(x+ y)− q(x)− q(y))
.
Lemma isbotlandi.
Ta’rif-4. Kvadratik formani hosil qiluvchi yagona simmetrik bichiziqli
formaning matritsasiga kvadratik formaning matritsasi deyiladi.
1.3.Kvadratik formani kvadratlar yig‘indisiga keltirish.
q(x)= ϕ(x,x)
kvadratik formani x vektorning koordinatalari orqali ifodalash
bazisga bog‘lik ekanini biz bilamiz. Bu bo‘limda biz kvadratik formani kvadratlar
yig‘indisiga qanday qilib keltirishni, ya’ni kvadratik formani
q(x)= λ1ξ1
2+λ2ξ2
2+...+λnn ξn
2
,
sodda ko‘rinishga keltiradigan bazisni qanday qilib tanlashni ko‘rsatamiz.
Kvadratik formaning
f1,f2,...,fn bazisdagi A= (aik)= (ϕ(fi,fk))
matritsasining barcha burchakli
8

Δ1= a11 ,Δ2=|a11 a12
a21 a22
|,...,Δn=
⌊
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
an1 an2 ... ann
⌋ (1)
minorlari noldan farqli bo‘lsin. Belgilashga asosan
q(x)= ϕ(x,x)= ∑
i,k=1
n
aikξiξk
.
Bizning maqsadimiz -
e1,e2,...,en vektorlarni shunday aniqlashki, bunda
ϕ(ei,ek)= 0 агар i≠ k (i,k= 1,2 ,...,n)
. (2)
Ularni
e1= α11 f1,
e2= α21 f1+α22 f2,
.....
en= αn1f1+αn2f2+...+αnn fn
, (3)
ko‘rinishda izlaylik. Agar
ϕ(ek,fi)= 0(i= 1,2 ,...,k− 1)
,
bo‘lsa,
  )1 ,...,2,1 ( 0 ,    k i e e i k  bo‘ladi. Haqiqatan ham, (3) tengliklarga
asosan
ϕ(ek,ei)= ϕ(ek,αi1f1+αi2f2+...+αiifi)=
¿αi1ϕ(ek,f1)+αi2ϕ(ek,f2)+...+αiiϕ(ek,fi)
bo‘ladi. Shunday qilib, agar har qanday
k va i<k uchun ϕ(ek,fi)= 0 tenglik
bajarilsa,
i<k uchun ϕ(ek,fi)= 0 bo‘ladi. Demak, bichiziqli formaning
simmetrikligiga asosan oxirgi tenglik
i>k lar uchun ham o‘rinli. Ya’ni e1,e2,...,en
- izlanayotgan bazis. Yuqoridagidan ravshanki bizning maqsadimiz quydagicha:
αk1,αk2,...,αkk
koeffitsietlarni shunday aniqlash kerakki
ek= αk1f1+αk2f2+...+αkk fk
9

vektor ϕ(ek,fi)= 0(i= 1,2 ,...,k− 1)
(4)
shartlarni qanoatlantirsin.
ek
vektor ushbu shartlar bilan o‘zgarmas ko‘paytuvchigacha aniqlanadi. Bu
ko‘paytuvchini
ϕ(ek,fk)= 1
(5)
tenglik yordamida aniqlaymiz.
(4) va (5) ga
ek ning ifodasini qo‘yib αki ga nisbatan quyidagi chiziqli
tenglamalar sistemasiga ega bo‘lamiz.
{
α
k1
ϕ(f
1
,f
1)+α
k2
ϕ(f
1
,f
2)+...+α
kk
ϕ(f
1
,f
k)=0,¿{
α
k1
ϕ(f
2
,f
1)+α
k2
ϕ(f
2
,f
2)+...+α
kk
ϕ(f
2
,f
k)=0,¿{..................................¿
{
α
k1
ϕ(f
k−1
,f
1)+α
k2
ϕ(f
k−1
,f
2)+...+α
kk
ϕ(f
k−1
,f
k)=0,¿¿¿¿
(6)
Ma’lumki ushbu tenglamalar sistemasining
Δk determinanti noldan farqli.
Shunday qilib
ek larni topish masalasi yechildi.
Endi
q(x)= ϕ(x,x) kvadratik formani e1,e2,...,en bazisdagi bik
koeffitsientlarini topamiz. Ta’rifga asosan
bik= ϕ(ei,ek) . Ikkinchi tarafdan
bazisning yasalishiga ko‘ra
ϕ(ei,ek)= 0 агар i≠ k (i,k= 1,2 ,...,n)
,
shuning uchun
bik= 0 агар i≠ k . Bundan tashqari (4) va (5) ga asosan
bkk≡ ϕ(ek,ek)= αk1ϕ(ek,f1)+αk2ϕ(ek,f2)+...+αkk ϕ(ek,fk)= αkk
.
Shuning uchun Kramer qoidasiga ko‘ra
bkk=
Δk−1
Δk
.
10

Biz ko‘rgan bazisda kvadratik forma q(x)=
Δ0
Δ1
ξ1
2+
Δ1
Δ2
ξ2
2+...+
Δn−1
Δn
ξn
2
,
kanonik ko‘rinishga ega bo‘ladi.
Kvadratik formani kvadratlar yig‘indisiga keltirishning bunday usuliga Yakobi
usuli deyiladi.
Xaqiqiy kvadratik formalar.
Koeffitsientlari haqiqiy sonlar maydonidan olingan kvadratik formalar haqiqiy
kvadratik formalar deyiladi.
Ta’rif-5. Agar har qanday noldan farqli
x vektor uchun q(x)>0 (q(x)<0)
tengsizlik bajarilsa,
q(x) haqiqiy kvadratik forma musbat (manfiy) deyiladi.
Silvestr kriteriyasi deb ataluvchi quyidagi teorema kvadratik formaning musbat
aniqlanganligiga javob beradi.
Teorema-1.
A -matritsa q(x) kvadratik formaning biror bazisdagi matritsasi
bo‘lsin. U holda
q(x) kvadratik formaning musbat bo‘lishi uchun A matritsaning
barcha burchak minorlari musbat bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Isbot.
q(x) kvadratik formaning musbat bo‘lsin. A matritsaning k -burchak
minorini olamiz:
Δk=|
ϕ(e1,e1) ... ϕ(e1,ek)
... ... ...
ϕ(ek,e1) ... ϕ(ek1,ek)
|
,
bu yerda
ϕ(x,y) -shunday simmetrik bichiziqli formaki, q(x)= ϕ(x,x) . Bu
minorning satrlari chiziqli erkli ekanligini ko‘rsatamiz. Bundan minorning noldan
farqliligi kelib chiqadi. Haqiqatan ham, bu minorning satrlarini
λ1,λ2,...,λk∈ R
sonlarga ko‘paytirib, nol vektorga tenglaymiz:
λ1ϕ(e1,ei)+λ2ϕ(e2,ei)+...+ λkϕ(ek,ei)= 0, i= 1,2 ,...,k
.
11

Bundanϕ(λ1e1+λ2e2+...+ λkek,ei)= 0, i= 1,2 ,...,k
.
Bu munosabatdan esa
∑i=1
k
λiϕ(λ1e1+λ2e2+...+λkek,ei)= q(∑i=1
k
λiei)= 0,
tenglikni olamiz. Bu yerdan kvadratik formaning musbatligiga asosan
∑
i=1
k
λiei= 0,
tenglikka ega bo‘lamiz.
{e1,e2,...,ek} tizim chiziqli erkliligiga asosan
λ1= λ2= ...= λk= 0
tenglikni olamiz. Bu esa Δk minor satrlarining chiziqli
erkliligini ko‘rsatadi. Demak
Δk lar noldan farqli. a11>0 deb hisoblab, Yakobi
usuliga asosan kvadratik forma musbat bo‘lganligi uchun
Δi>0,i=1,2 ,...,n.
Aksincha
Δi>0,i= 1,2 ,...,n tengsizliklardan Yakobi usuliga asosan
kvadratik formaning musbatligiga ega bo‘lamiz.
Teorema isbotlandi.
Quyidagi teorema kvadratik formalarning inersiya qonuni deyiladi.
Teorema-2. Haqiqiy kvadratik formaning ixtiyoriy kanonik shaklidagi musbat
va manfiy koeffitsientlar soni bazisni tanlashga bog‘liq emas.
Isbot. Haqiqiy
q(x) kvadratik formaning ikkita {e1,e2,...,en} va {f1,f2,...,fn}
kanonik shaklga keltiruvchi bazis berilgan bo‘lib,
q(e1),q(e2),...,q(en) sonlarning
p
tasi musbat, q(f1),q(f2),...,q(fn) sonlarning r tasi musbat bo‘lsin. Aniqlik
uchun
q(ek)= ¿{¿0,агар k= 1,2 ,...,p,¿¿¿¿
va
12

q(fk)= ¿{¿0,агар k= 1,2 ,...,r;¿¿¿¿bo‘lsin.
Faraz qilaylik
p>r bo‘lsin. V1 orqali {e1,e2,...,ep} tizimning chiziqli
qobig‘ini va
V2 orqali {fr+1,fr+2,...,fn} tizimning chiziqli qobig‘ini belgilaymiz.
Bu tizimlar chiziqli erkli bo‘lganligi uchun
dim V 1= p,dim V2= n− r .
Bundan
dim (V 1∩ V 2)= dim V 1+dim V 2− dim (V 1∪ V 2)≥ p+(n− r)− n= p− r>0
.
Bunga ko‘ra noldan farqli
x∈V1∩ V 2 vektor mavjud, ya’ni
x=∑
i=1
p
ξiei= ∑
j=r+1
n
ηjfj
.
Demak,
q(x)= ∑
i=1
p
q(ei)ξi2>0 . Ikkinchi tomondan q(x)= ∑
j=r+1
n
q(fj)ηj
2≤ 0 .
Ushbu ziddiyat
p≤ r tengsizlik o‘rinli ekanligini ko‘rsatadi. Xuddi shunday r≤ p
tengsizlik o‘rinli ekanligini ko‘rsatish mumkin. Demak
p= r .
Endi yuqorida keltirilgan mulohozani
(−q) kvadratik formaga qo‘llab, q
kvadratik formaning kanonik bazisdagi manfiy koeffitsientlar soni bazis tanlashga
bog‘lik emasligini ko‘rsatish mumkin.
Teorema isbotlandi.
13

II BOB. BICHIZIQLI VA KVADRATIK FORMALARNING
AMALIYOTDA QO'LLANILISHI
2.1. Bichiziqli formalar va ularning amaliy masalalarda qo'llanilishi
Bichiziqli forma — ikki o'zgaruvchili polinom bo‘lib, quyidagi ko‘rinishda
ifodalanadi:
Q(x, y) = Ax 2
+ Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F
Bu yerda:
- A, B, C, D, E va F — haqiqiy sonlar (koeffitsiyentlar).
- x va y — o'zgaruvchilar.
Amaliy masalalarda qo'llanilishi.
Bichiziqli formalarning amaliy masalalarda qo'llanilishi juda keng tarqalgan.
Ular quyidagi sohalarda va vazifalarda foydalaniladi:
1. Geometriya.
- Shakllarni tasvirlash: Bichiziqli formalar geometrik shakllarni (parabola,
ellips, giparbola) tasvirlashda qo'llaniladi. Masalan, ellips va giparbolaning
ekvatsiyalari bichiziqli forma yordamida ifodalanadi.
- Optimal nuqta aniqlash: Bichiziqli forma yordamida geometrik
muammolar, masalan, eng qisqa masofani aniqlash vazifalari yechiladi.
2. Moliya va Iqtisodiyot.
- Xarajatlar va daromadlar modellari: Bichiziqli formalardan foydalanib,
xarajatlar va daromadlarni analiz qilish mumkin. Masalan, mahsulot narxlari va
sotilishiga bog'liq xarajatlarni optimallashtirish uchun bichiziqli ekvatsiyalar
yaratiladi.
- Foyda optimallashtirish: Bichiziqli formulalar yordamida foyda olish
uchun resurslar taqsimoti va narx belgilash strategiyalarini ishlab chiqish mumkin.
3. Fizika.
14

- Kuch va energiya hisoblari: Fizikada kuchlar va energiyalarni analiz
qilishda bichiziqli formalardan foydalaniladi. Masalan, jismlarning harakati va
energiya o'zgarishlarini ifodalovchi muammolar bichiziqli formatda yechiladi.
- Dinamik muammolar: Dinamik tizimlar uchun quvvat va energiya
muammolarini yechishda, ko'pincha bichiziqli tenglamalar shaklida ko'rsatiladi.
4. Muhandislik.
- Tizim modellashtirish: Bichiziqli formalardan foydalanib, muhandislik
tizimlarining modellarini yaratish mumkin. Masalan, strukturalar va mexanik
tizimlarning ishlashini modellashtirishda.
- Optimal dizayn: Bichiziqli ekvatsiyalar yordamida muhandislik
dizaynlarida eng yaxshi natijalarga erishish maqsadida analizlar o'tkaziladi.
5. Statistika va ma'lumotlarni tahlil.
- Regressiya tahlili: Bichiziqli formalardan foydalanib, ma'lumotlar
orasidagi munosabatlarni tahlil qilish va prognoz qilish mumkin. Masalan, ikkita
o'zgaruvchi orasidagi bog'liqlikni aniqlashda.
- Bichiziqli regressiya: Ma'lumotlar to'plamining distribyutsiyasini yaxshiroq
tushunish uchun bichiziqli regressiya modellaridan foydalaniladi.
Bichiziqli formalar matematik modellashtirishda va amaliy masalalarni
yechishda muhim rol o'ynaydi. Ular ko'plab sohalarda, jumladan geometriya,
moliya, fizika, muhandislik va statistika kabi sohalarda keng qo'llaniladi. Ushbu
formalarning amaliyotda qo'llanishi zamonaviy muammolarni yechishda va
analitik fikrlashni rivojlantirishda yordam beradi.
2.2. Kvadratik formalar va ularning iqtisodiyot, fizika va boshqa
sohalardagi qo'llanilishi
Kvadratik forma n ta o'zgaruvchi uchun quyidagi ko‘rinishda ifodalanadi:
Q( x
1 , x
2 , … , x
n ) =
∑
i = 1n
❑ a
i x
i 2
+
∑
i ≠ j❑
❑ b
ij x
i x
j
15

Bu yerda:
- a
i — i-chi o'zgaruvchining kvadrat koeffitsiyenti.
- b
ij — i-chi va j-chi o'zgaruvchilar o'rtasidagi o'zaro aloqani ifodalaydigan
koeffitsiyentlar.
Kvadratik formalar ko'p o'lchovli geometriyada muhim ahamiyatga ega
bo'lib, ular ko'plab amaliy sohalarda qo'llaniladi.
- Maxsus xarajatlar va foyda funksiyalari: Iqtisodiyotda kvadratik formalar
foyda va xarajat funksiyalarini modellashtirishda keng qo'llaniladi. Masalan,
kompaniyaning foydasini maksimal darajada oshirish uchun resurslar taqsimoti va
ishlab chiqarish narxlarini tahlil qilishda kvadratik formulalardan foydalaniladi.
- Regressiya tahlili: Kvadratik regressiya iqtisodiy ma'lumotlarni tahlil
qilish va prognoz qilishda qo'llaniladi. Bu usul orqali turli iqtisodiy o'zgaruvchilar
o'rtasidagi bog'liqliklarni aniqlash mumkin.
- Optimallashtirish muammolari: Iqtisodiyotda ko'plab optimallashtirish
muammolari kvadratik formalar yordamida ifodalanadi. Masalan, resurslarni eng
samarali taqsimlash muammosi.
- Harakat va kuchlar: Fizikada kvadratik formalar jismlarning harakatini va
kuchlar o'rtasidagi aloqalarni modellashtirishda qo'llaniladi. Masalan, kuchning
ishga qobiliyati, energiya va mexanik harakat bilan bog'liq muammolarni
yechishda kvadratik tenglamalar o'rin tutadi.
- Dinamik tizimlar: Kvadratik formalardan foydalanib, dinamik tizimlarning
o'zgarishini tasvirlash mumkin. Bu, masalan, massalar, kuchlar va tezliklar
o'rtasidagi bog'liqlikni o'rganishda juda foydalidir.
- Struktural tahlil: Muhandislikda kvadratik formalar struktural tahlil va
dizayn jarayonida qo'llaniladi. Ular yordamida strukturadagi kuchlar va stresslarni
hisoblash va baholash mumkin.
16

- Optimal dizayn: Kvadratik tenglamalar muhandislik dizaynlarida eng
yaxshi natijalarga erishish maqsadida analizlar o'tkazishda qo'llaniladi. Masalan,
materiallarning o'zaro aloqalari va ularning o'zgaruvchanligi.
- Ma'lumotlar tahlili: Kvadratik formalardan foydalanib, statistik tadqiqotlar
olib borish va ma'lumotlar orasidagi munosabatlarni tahlil qilish mumkin. Bu,
ayniqsa, ma'lumotlar o'rtasidagi yuqori darajadagi bog'liqliklarni aniqlashda
foydalidir.
- Dispersiya tahlili: Kvadratik formalardan foydalanish orqali dispersiya
tahlilida varianslar va o'zgaruvchilar o'rtasidagi bog'lanishlar aniqlanadi.
- Populyatsiya modellarini yaratish: Kvadratik formalar yordamida
populyatsiya o'zgarishlarini modellashtirish va o'sish sur'atlarini baholash mumkin.
Bu usul orqali ekotizimlarning dinamikasini tahlil qilish mumkin.
- Ekologik muammolarni yechish: Biologiya va ekologiyada kvadratik
tenglamalar yordamida resurslar taqsimoti va ularning o'zgaruvchanligi o'rganiladi.
Kvadratik formalarning iqtisodiyot, fizika, muhandislik, statistika va boshqa
sohalardagi qo'llanilishi ko'p qirrali va keng tarqalgan. Ular nafaqat nazariy hisob-
kitoblarda, balki amaliyotda ham muhim rol o'ynaydi, shuningdek, muammolarni
yechishda analitik fikrlashni rivojlantiradi.
2.3. Amaliy misollar va ularning tahlili
Chiziqli formalar.
1. Ta’rif : ?????? ??????
ni ?????? 1
ga chiziqli akslantirishni chiziqli forma deyiladi.
Agar ?????? : ?????? ??????
→ ?????? 1
chiziqli forma bo‘lsa, u holda ?????? akslantirishning matritsasi
ushbu ko‘rinishga ega:
??????
?????? = (
??????
11 , ??????
12 , … , ??????
1
?????? )
ya’ni ??????
?????? matritsa 1 × ?????? o‘lchovli matritsadan iborat bo‘lib, uni ?????? ??????
dagi vektor
sifatida qarash mumkin.
17

Har qanday ??????→ ∈ ?????? ??????
uchun ?????? ( ?????? →) = ??????
11 ??????
1 + ??????
12 ??????
2 +. … + ??????
1
?????? ??????
?????? = ( ???????????? , ?????? →)
(6.2) bo‘lgani sababli ???????????? dagi har qanday ?????? chiziqli forma skalyar ko‘paytmasidan
iborat bo‘lib, bunda vektorlardan biri ???????????? tayinlangan, ikkinchisi ?????? → esa
o‘zgaruvchidir.
Bunda ?????? 1 ?????? = ?????? ( ⃗??????⃗⃗?????? →), ?????? =
1̅̅ ,̅̅ ?????? va ̅ ??????⃗⃗⃗ 2→,..., ⃗??????⃗⃗⃗?????? → − bazis . ⃗??????⃗⃗ 1→,
Chiziqli formalarni ⃗??????⃗⃗ 1→, ??????⃗⃗⃗ 2→,..., ??????⃗⃗⃗⃗?????? → bazisga nisbatan komponentlari
orqali tasvirlashga doir quyidagi asosiy teoremani keltiramiz.
1-Teorema. Har qanday ?????? : ???????????? → ?????? 1 chiziqli forma fazoning ⃗??????⃗⃗ 1→, ??????⃗⃗⃗ 2→,...,
⃗??????⃗⃗⃗?????? → bazisda berilgan vektorlari orqali bir qiymatli aniqlanadi. Agar ?????? 1 = ?????? ( ⃗??????⃗⃗ 1→),
?????? 2 = ?????? ( ??????⃗⃗⃗ 2→),..., ???????????? = ?????? ( ??????⃗⃗⃗⃗?????? →) sonlar oldindan berilgan bo‘lsa, u holda har qanday
?????? → =
∑
i = 1n
❑
????????????⃗??????⃗ → ??????
uchun ?????? chiziqli formaning qiymati
??????
?????? ( ?????? →) = ∑ ???????????????????????? ( 6.3)
?????? =1

formula bo‘yicha aniqlanadi munosabat ?????? formaning deyiladi.
⃗??????⃗⃗ 1→, ??????⃗⃗⃗ 2→,..., ??????⃗⃗⃗⃗?????? → bazisdagi tasviri
Aksincha ⃗??????⃗⃗ 1→, ??????⃗⃗⃗ 2→,..., ⃗??????⃗⃗⃗?????? → va ?????? 1, ?????? 2,..., ???????????? haqiqiy sonlar sistemasi
berilgan bo‘lsa, (6.3) formula shunday ?????? : ???????????? → ?????? 1 chiziqli formani aniqlaydiki,
(6.3) bu formaning ⃗??????⃗⃗ 1→, ??????⃗⃗⃗ 2→,..., ⃗??????⃗⃗⃗?????? → bazisdagi tasviri bo‘ladi.
Bichiziqli formalar.
2-Ta’rif. Agar ?????? → va ?????? → vektorlarning ?????? ( ?????? →, ?????? →) funksiyasi ushbu
shartlarga bo‘ysunsa, ya’ni
18

1) ?????? → ning tayinlangan qiymatida ?????? ( ?????? →, ?????? →) funksiya ?????? → ning chiziqli
funksiyasi bo‘lsa,
2) ?????? → ning tayinlangan qiymatida ?????? ( ?????? →, ?????? →) funksiya ?????? → ning chiziqli
funksiyasi bo‘lsa, u holda ?????? ( ?????? →, ?????? →) ni ?????? → va ?????? → vektorlarning bichiziqli
funksiyasi (yoki bichiziqli formasi) deyiladi. Boshqacha aytganda, ixtiyoriy ?????? →,
?????? → va ?????? → vektorlar va istalgan ?????? uchun quyidagi
a) ?????? ( ?????? → + ?????? →, ?????? →) = ?????? ( ?????? →, ?????? →) + ?????? ( ?????? →, ?????? →);
b) ?????? ( ???????????? →, ?????? →) = ???????????? ( ?????? →, ?????? →);
d) ?????? ( ?????? →, ?????? → + ?????? →) = ?????? ( ?????? →, ?????? →) + ?????? ( ?????? →, ?????? →);
e) ?????? ( ?????? →, ???????????? →) = ???????????? ( ?????? →, ?????? →)
shartlarni qanoatlantiradigan ?????? → va ?????? → vektorlar funksiyasi ?????? ( ?????? →, ?????? →)
bichiziqli funksiya deyiladi. ?????? o‘lchovli fazoda bichiziqli formani yozamiz:
?????? ( ?????? →, ?????? →) = ?????? 11 ?????? 1 ?????? 1 + ?????? 12 ?????? 1 ?????? 2 +...+ ?????? 1 ???????????? 1 ???????????? + ?????? 21 ?????? 2 ?????? 1 +
+ ?????? 22 ?????? 2 ?????? 2 +...+ ?????? 2 ???????????? 2 ???????????? +... ???????????? 1 ?????????????????? 1 + ???????????? 2 ?????????????????? 2 +...+ ?????????????????????????????????????????? .
Bunda ?????? → = { ?????? 1, ?????? 2, … , ???????????? }; ?????? → = { ?????? 1, ?????? 2, … , ???????????? }.
3-Ta’rif. Agar har qanday ?????? → va ?????? → vektorlar uchun ?????? ( ?????? →, ?????? →) =
= ?????? ( ?????? →, ?????? →) tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda bichiziqli formani simmetrik bichiziqli
forma deyiladi. Masalan, ???????????? Evklid fazoda ( ?????? →, ?????? →) skalyar ko‘paytma
simmetrik bichiziqli formaga misol bo‘la oladi. Ushbu
??????
?????? ( ?????? →, ?????? →) = ∑ ??????????????????????????????????????????
?????? , ?????? =1
bichiziqli formadagi ?????????????????? elementlardan (koeffitsientlardan) ?????? = [ ?????????????????? ] matritsani
tuzish mumkin. Bu matritsa bichiziqli formani to‘la aniqlaydi. Quyidagi teoremani
keltiramiz.
19

2-Teorema. Har qanday bichiziqli forma o‘zining ?????? = ( ?????????????????? ) matritsasi
bilan to‘la aniqlanadi, bunda ?????????????????? = ?????? ( ⃗??????⃗⃗ 1→, ??????⃗⃗⃗ 2→) ( ?????? , ?????? = 1,2, … , ?????? ) va shu
bichiziqli forma ⃗??????⃗⃗ 1→, ??????⃗⃗⃗ 2→,..., ⃗??????⃗⃗⃗?????? → bazisdagi vektorlarning komponentlari
orqali ushbu formula bilan ifodalanadi:
??????
?????? ( ?????? →, ?????? →) = ∑ ??????
???????????? ??????
?????? ??????
?????? .
?????? , ?????? =1
Aksincha, agar ?????? = ( ?????????????????? ) ixtiyoriy ?????? − tartibli matritsa bo‘lsa, ko‘rinishdagi
funksiya bichiziqli formani aniqlaydi.
1-Misol. Uch o‘lchovli ?????? 3 fazoda ?????? ( ?????? →, ?????? →) bichiziqli forma ushbu ?????? ( ?????? →,
?????? →) = ??????
1 ??????
1 + 2 ??????
2 ??????
2 + 3 ??????
3 ??????
3 ko‘rinishda yozilsin.
Yechish: Endi ?????? 3 da bazis sifatida uchta vektor olamiz: ⃗??????⃗⃗ 1→ = {1,1,1},
??????⃗⃗⃗ 2→ = {1,1, −1}, ??????⃗⃗⃗ 3→ = {1, −1, −1}. ?????? ( ?????? →, ?????? →) chiziqli formaning bu bazisdagi
( ?????????????????? ) matritsani topamiz. Ushbu ?????????????????? = ?????? ( ⃗??????⃗ → ?????? , ??????⃗⃗⃗?????? →) ( ?????? , ?????? = 1,2,3) tengliklarga
asosan:
?????? 11 = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 ⋅ 1 = 6,
?????? 12 = ?????? 21 = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 ⋅ (−1) = 0,
?????? 22 = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 ⋅ 1 + 3 ⋅ (−1) ⋅ (−1) = 6,
?????? 13 = ?????? 31 = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 ⋅ (−1) + 3 ⋅ (−1) ⋅ 1 = −4,
?????? 23 = ?????? 32 = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 ⋅ (−1) + 3 ⋅ (−1) ⋅ (−1) = 2,
?????? 33 = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ (−1) ⋅ (−1) + 3 ⋅ (−1) ⋅ (−1) = 6
Demak,
6 0 −4
?????? = ( 0 6 2 )
−4 2 6
20

Shunday qilib, agar ?????? ′ , ?????? ′ , ?????? ′ va ?????? ′, ?????? ′ , ?????? ′ orqali ?????? → va ?????? → vektorlarning
1 2 3 1 2 3 ⃗??????⃗⃗ 1→, ??????⃗⃗⃗ 2→, ??????⃗⃗⃗ 3→ bazisdagi koordinatalarini
belgilasak, u holda ?????? ( ?????? →, ?????? →) = 6 ?????? ′ ?????? ′ − 4 ?????? ′ ?????? ′ + 6 ?????? ′ ?????? ′ + 2 ?????? ′ ?????? ′ − 1 1 1 3
2 2 2 3
−4 ?????? ′ ?????? ′ + 2 ?????? ′ ?????? ′ + 6 ?????? ′ ?????? ′
3 1 3 2 3 3
bichiziqli forma bo‘ladi.
Kvadratik formalar.
1- Ta’rif. ?????? : ?????? ??????
× ?????? ??????
→ ?????? 1
simmetrik bichiziqli forma bo‘lsin.
?????? → = ?????? → deb faraz qilinganda ?????? ( ?????? →, ?????? →) yoki ?????? : ?????? ??????
→ ?????? 1
funksiya
kvadratik forma deyiladi. ?????? o‘lchovli fazoda kvadratik formani umumiy
ko‘rinishda quyidagicha yoziladi:
??????
?????? ( ?????? →, ?????? →) = ∑ ??????
???????????? ??????
?????? ??????
?????? (6.5)
?????? , ?????? =1
bunda ??????
???????????? = ??????
???????????? va ?????? = ( ??????
???????????? ) − ?????? – tartibli simmetrik matritsadir.Uch o‘lchovli
fazoda ikkinchi tartibli sirtlar ushbu ko‘rinishdagi tenglamalar bilan beriladi:
3 3
∑ ??????
???????????? ??????
?????? ??????
?????? + ∑ ??????
?????? ??????
?????? + ?????? = 0 (6.6)
?????? , ?????? =1 ?????? =1
Bu tenglamada birinchi yig‘indi ishorasi bilan yozilgan ifoda kvadratik
formadir. Ikkinchi yig‘indi ishorasi bilan chiziqli forma yozilgan, nihoyat ?????? – ozod
had. Bu tushunchalardan foydalanib ?????? o‘lchovli ?????? ??????
fazoda sirt tenglamasiga ta’rif
berishimiz mumkin.
?????? ??????
fazoda koordinatalari
21

?????? ??????
∑ ??????
???????????? ??????
?????? ??????
?????? + ∑ ??????
?????? ??????
?????? + ?????? = 0 (6.7)
?????? , ?????? =1 ?????? =1
tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar to‘plami ikkinchi tartibli gipersirt
deyiladi.
1.Misol. Ikki o‘zgaruvchining kvadratik formasi
?????? = 17 ??????
1 2
+ 12 ??????
1 ??????
2 + 8 ??????
2 2
ning matritsasini tuzing.
Yechish. Berilganlardan ??????
11 = 17, ??????
22 = 8 va ??????
12 = 6 ga teng ekanligi bizga
ma’lum.
2-Misol. Uch o‘zgaruvchining kvadratik formasi
?????? = −3 ?????? 2 + ?????? 2 − 8 ?????? 2 + 2 ?????? 1 ?????? 2 − 10 ?????? 1 ?????? 3 + 2 ?????? 2 ?????? 3
ning matritsasini tuzing.
Yechish. Berilganlardan ?????? 11 = −3, ?????? 22 = 1, ?????? 33 = −8, ?????? 12 = 1, ?????? 13 = −5 va
?????? 23 = 1 foydalanib, kvadratik forma matritsasi quyidagi ko‘rinishda yoziladi:
−3 1 −5
?????? = ( 1 1 1 ).
−5 1 −8
Bu matritsaning ham simmetrik ekanligi ko‘rinib qoldi.
Bichiziqli va kvadratik formalar orasidagi moslik.
Ushbu ??????
?????? ( ?????? →, ?????? →) = ∑ ??????????????????????????????????????????
?????? , ?????? =1
bichiziqli forma berilgan bo‘lsin va uning o‘ng tomonida o‘xshash hadlar o‘lmasin.
Bichiziqli formadan kvadratik formaga o‘tishda o‘xshash hadlar mavjud.
Masalan, chiziqli formada ushbu ??????
???????????? ??????
?????? ??????
?????? + ??????
???????????? ??????
?????? ??????
?????? ko‘rinishdagi yig‘indi bor. Bunda
22

?????? = ?????? deyilsa, bu yig‘indiga ushbu ??????
???????????? ??????
?????? ??????
?????? + ??????
???????????? ??????
?????? ??????
?????? = ( ??????
???????????? + ??????
???????????? ) ??????
?????? ??????
?????? yig‘indi mos
keladi.
Agar ?????? ( ?????? →, ?????? →) simmetrik bichiziqli forma bo‘lsa, u holda shu forma
uchun ?????? ( ?????? → + ?????? →, ?????? → + ?????? →) = ?????? ( ?????? →, ?????? →) + ?????? ( ?????? →, ?????? →) + ?????? ( ?????? →, ?????? →) +
?????? ( ?????? →, ?????? →) (6.8)
munosabat o‘rinli va ?????? ( ?????? →, ?????? →) = ?????? ( ?????? →, ?????? →) yoki ?????? ( ?????? →, ?????? →) = [ ?????? ( ?????? → +
?????? →, ?????? → + ?????? →) − ?????? ( ?????? →, ?????? →) − ?????? ( ?????? →, ?????? →)].
Bu tenglikning o‘ng tomonida kvadratik formaning ?????? → + ?????? →, ?????? →, ?????? →
vektorlardagi qiymatlari turibdi. Shunday qilib, ?????? ( ?????? →, ?????? →) bichiziqli formaning
qiymati ixtiyoriy juft ( ?????? →, ?????? →) vektorlar uchun unga mos bo‘lgan kvadratik
formaning ?????? →, ?????? →, ?????? → + ?????? → vektorlardagi qiymatlari orqali bir qiymatli
aniqlanadi. Ikkinchi tomondan, agar ?????? ( ?????? →, ?????? →) ixtiyoriy bichiziqli forma bo‘lsa,
u holda holda
?????? 1( ?????? → , ?????? →) = 1/2 [ ?????? ( ?????? →, ?????? →) + ?????? ( ?????? →, ?????? →)]
forma simmetrik bichiziqli forma bo‘ladi va ?????? 1( ?????? →, ?????? →) bichiziqli formaga
?????? 1( ?????? →, ?????? →)nkvadratik forma mos keladi. Bu esa kvadratik formalarni
o‘rganishda faqat simmetrik bichiziqli formalardan foydalanish bilan chegaralanish
yetarli ekanini bildiradi.
23

XULOSA
Bichiziqli va kvadratik formalarning ta'lim, iqtisodiyot, fizika, muhandislik,
statistika va boshqa sohalardagi ahamiyati zamonaviy ilm-fan va amaliyotda
beqiyosdir. Ushbu formalarning matematik asoslari ko'p o'lchovli muammolarni
yechishda, muhandislik va ilmiy tadqiqotlarda, shuningdek, iqtisodiy tahlil va
modellashtirishda keng qo'llaniladi.
Bichiziqli formalarning geometriya, iqtisodiyot va fizika kabi sohalarda
o'zaro aloqalar va munosabatlarni ifodalashda qulayligi, ularni amaliy masalalarda
samarali ishlatishga imkon beradi. Kvadratik formalarning esa iqtisodiyotda
xarajat va foyda funksiyalarini modellashtirishda, statistika va biologia sohalarida
populyatsiya dinamikasini o'rganishda ahamiyati katta.
Ushbu kurs ishida keltirilgan barcha ma'lumotlar va tahlillar ko'rsatadi ki,
bichiziqli va kvadratik formalar nafaqat nazariy jihatdan muhim, balki amaliyotda
yechimlar topishda ham zaruriy vositalar hisoblanadi. O'zgaruvchilar o'rtasidagi
bog'liqliklarni aniqlash, muammolarni optimallashtirish va sifatli qarorlar qabul
qilish uchun bu formalardan foydalanish imkoniyatlarini kengaytirish muhimdir.
Kelgusidagi tadqiqotlar va amaliy ishlanmalar, bichiziqli va kvadratik
formalarning yanada keng qo'llanilishini ta'minlash bilan birga, ularning matematik
nazariyalarini yanada rivojlantirishga xizmat qiladi. Ushbu ishda olingan natijalar
va tavsiyalar nafaqat ta'lim tizimida, balki boshqa sohalarda ham foydalanish
uchun muhim manba bo'lishi mumkin.
24

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Abduqahhorov, X. (2015). Matematika: Bichiziqli va Kvadratik Formalar.
Toshkent: O‘zbekiston Respublikasi Fanlar Akademiyasi.
2. Alimov, A. (2020). Iqtisodiyotda Matematik Modellashtirish. Toshkent:
Iqtisodiyot va San’at Nashriyoti.
3. Raxmonov, T. (2018). Geometriya va Fizikada Bichiziqli Formalar.
Samarqand: Samarqand Davlat Universiteti Nashriyoti.
4. To'raqulov, S. (2019). Matematika va Iqtisodiyot. Buxoro: Buxoro
Davlat Universiteti Nashriyoti.
5. Karimov, U. (2017). Statistika va Ma'lumotlar Tahlili. Toshkent:
O‘zbekiston Milliy Universiteti.
6. Sobirov, R. (2021). Fizikada Kvadratik Formalar. Nukus:
Qoraqalpog‘iston Davlat Universiteti.
7. Muhtorov, D. (2016). Matematika Tizimlarida Bichiziqli va Kvadratik
Formalarning Qo'llanilishi. Farg'ona: Farg‘ona Davlat Universiteti.
8. Yuldashev, J. (2022). Biologiyada Kvadratik Formalar. Toshkent:
O‘zbekiston Respublikasi Fanlar Akademiyasi.
25

Bichiziqli va kvadratik formalar

Sotib olish