Bir jinsli differensial tenglamalar - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	360.0KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	17 Mart 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

34 Sotish

Bir jinsli differensial tenglamalar

Sotib olish

Mundarija
KIRISH…………………………………………………………………………. 3
I BOB. BIR JINSLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR…………………….. 5
1.1 Differensial tenglamalar haqida umumiy tushunchalar………………. 5
1.2 Tor tebranish tenglamasini keltirib chiqarish………………………….. 11
II BOB. BIR JINSLI TO’LQIN TENGLAMASI UCHUN QO’YILGAN
CHEGARAVIY MASALALAR……………………………………………….. 17
2.1 Torning erkin tebranish tenglamasi……………………………………. 17
2.2 Torning tebranish tenglamasining fizik ma’nosi…………………….... 19
XULOSA……………………………………………………………………….. 22
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR………………………………………. 23

KIRISH
O’zbekistonning kadrlar tayyorlash bo’yicha noyob milliy modeli jahon
hamjamiyati tomonidan keng e’tirof etilmoqda. Mamlakatimizda qabul qilingan
“Kadrlar tayyorlash milliy dasturi” ning o’ziga xos jihati shundan iboratki, u yaxlit
samarali tizimga asos bo’lib davlat va jamiyat manfaatlariga xizmat qiladi.
Uzluksiz ta’lim, ilm-fan va ishlab chiqarish bu yaxlit jarayonning uzviy tarkibiy
qismlaridir. Mustaqil respublikamizda yuz berayotgan siyosiy, iqtisodiy, ilmiy-
texnikaviy va madaniy o’zgarishlar oliy ta’lim tizimida o’z aksini topmoqda.
Differensial tenglamalar fizika, mexanika, differensial geometriya,
variatsion hisob, issiqlik texnikasi, elektrotexnika, kimyo, biologiya va iqtisod kabi
fanlarda keng qo’llaniladi.
Bu fanlarda uchraydigan ko’plab jarayonlar differensial tenglamalar
yordamida tavsiflanadi. Shu tenglamalarni o’rganish bilan tegishli jarayonlar
haqida biror ma’lumotga, tasavvurga ega bo’lamiz.
Differensial tenglamalar o’rganilayotgan jarayonning matematik modelidan
iborat bo’ladi. Bu model qancha mukammal bo’lsa, differensial tenglamalarni
o’rganish natijasida olingan ma’lumotlar jarayonlarni shuncha to’la tavsiflaydi.
Shuni aytib o’tish kerakki, tabiatda uchraydigan turli jarayonlar bir xil differensial
tenglamalar bilan tavsiflanishi mumkin.
Differensial tenglamalar va ularning sistemalari juda ko’p dinamik
jarayonlarning matematik modellarini qurishda qo’llaniladi. Bunday differensial
tenglamalar yoki ularning sistemalari yechimlari to’plami cheksiz bo’lib,
yechimlar bir-biridan o’zgarmas sonlarga farq qiladi.
Kurs ishining dolzarbligi: Differensial tenglamalar hozirgi zamon
matematikasining muhim va murakkab tarmonlaridan biri hisoblanadi. Differensial
tenglamalar yordamida bir qator nazariy va amaliy masalalar hal qilinadi. Ushbu
kurs ishi chiziqli o’zgarmas koeffisientli bir jinsli sistemaning holatlar tekisligini
o’rganishga olib keladi. Kurs ishida masalalar qisqacha bayon etilib, turli usullar
bilan yechishga e’tibor qaratilgan.
3

Kurs ishining maqsadi: Ushbu kurs ishida bir jinsli to’lqin tenglamasi
uchun qo’yilgan chegaraviy masalalar chuqur o’rganish;
Kurs ishining ob’ekti: Bir jinsli to’lqin tenglamasi uchun qo’yilgan
chegaraviy masalalar mavzusi haqida o’quvchilarga ma’lumot berish.
4

I BOB. BIR JINSLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR.
1.1 Differensial tenglamalar haqida umumiy tushunchalar
N о ma’lum funksiyaning h о silasi yoki differensiali albatta qatnashadigan
tenglama differensial tenglama deyiladi.
Agar n о ma’lum funksiya bir argumentli bo‘lsa, tegishli tenglama о ddiy
differensial tenglama, ko‘p argumentli bo‘lsa, xususiy h о silali differensial
tenglama deyiladi.
Differensial tenglamada qatnashayotgan n о ma’lum funksiya h о silalarining
yoki differensiallarining eng yuq о ri tartibi shu differensial tenglamaning tartibi
deyiladi.
Umumiy h о lda n ta x
1 , x
2 , …, x
n erkli o‘zgaruvchili m – tartibli xususiy
h о silali differensial tenglama ushbu
ko‘rinishda yoziladi. Bunda F– o‘z argumentlarining berilgan funksiyasi.
(1.1) tenglamaning yechimi deb, x
1 , x
2 , …, x
n larning bir о r o‘zgarish
s о hasida tenglamada qatnashuvchi o‘zining h о silalari bilan aniqlangan va
tenglamani ayniyatga aylantiruvchi u
xx     1,..., n   funksiyaga aytiladi.
Ikki erkli o‘zgaruvchili ikkinchi tartibli xususiy h о silali differensial
tenglama umumiy h о lda quyidagicha yoziladi:

N о ma’lum funksiya va uning h о silalariga nisbatan chiziqli bo‘lgan
tenglama chiziqli differensial tenglama deyiladi.
Differensial tenglamaga kirgan hosilalarning eng yuqori tartibiga differensial
tenglamaning tartibi deyiladi.
Umumiy h olda n-tartibli differensial tenglama ko’rinishi quydagicha bo’ladi

5

Birinchi tartibli tenglama umumiy holda k o’ rinishda yoziladi .
Ushbu tenglama hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi
tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi.
Ushbu ko’rinishdagi tenglama hosilaga nisbatan yechilgan
birinchi tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi.
Koshi masalasi: differensial tenglamaning boshlang’ich shartni
qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasiga Koshi masalasi deyiladi.
Xususiy hosilali (1) differensial tenglamaning L egri chiziq atrofida
aniqlangan, uzluksiz va quyidagi

(1)
boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi u(x, y) yechimini toping. Bu yerda
va berilgan yetarlicha silliq funksiyalar, N esa L egri chiziqqa o‘tkazilgan
normal. Xususiy hosilali differensial tenglamalar uchun qo‘yilgan Koshi masalasi
matematik fizikaning muhim masalalaridan biri hisoblanadi. Uni tadqiq etish ilmiy
va amaliy ahamiyatga ega.
Koshi masalasining qo‘yilishi. Eng sodda giperbolik tipdagi tenglama ushbu
(2)
ko'rinishda bo'lib, u tor tebranish tenglamasi yoki to‘lqin tarqalish tenglamasi
deyiladi. To'lqin tarqalish nazariyasida Koshi masalasi muhim o‘rin egallaydi.
tekislikdagi biror sohada (1) tor tebranish
tenglamasini qaraylik.
6

Ta’rif . Agar funksiya D sohada aniqlangan uzluksiz va ikki marta uzluksiz
differensiallanuvchi bo’lib, shu sohada (2) tenglamani qanoatlantirsa, bu funksiya
tor tebranish tenglamasining D sohadagi regulyar yechimi deyiladi.
Koshi masalasi. Tor tebranish tenglamasining yopiq D sohada aniqlangan,
uzluksiz va
(3)
boshlang'ich shartlarni qanoatlantiruvchi regulyar yechimini toping. Bu yerda
- berilgan yetarlicha silliq funksiyalar. Tor tenglamasi uchun Koshi
masalasi cheksiz uzunlikdagi tor tebranishining matematik modeli bo'lib, uning
chetki nuqtalari torning boshqa qismlarining tebranishiga ta’sir qilmaydi. Shuning
uchun ham (1)—(2) Kosli masalasida chegaraviy shartlar qatnashmaydi.
Koshi masalasi yechimini qurish. Umumiy yechimdagi
funksiyalarni topish uchun (3) boshlang‘ich shartlardan foydalanamiz
va quyidagi sistemaga ega bodamiz:
(4)
Bu sistemaning ikkinchi tenglamasida x ni z bilan almashtiramiz va
uni noldan x gacha integrallaymiz. Natijada ushbu
7

sistemani olamiz. Bunda - ixtiyoriy o‘zgarmas.
Oxirgi sistemadan funksiyalarni topamiz:
(5)
(5) formulada funksiyaning argumentini bilan, limksiyaning
xagumentini esa bilan almashtiramiz va
(*)
umumiy yechimga qo‘yib,
(6)
ifodani hosil qilamiz.
Bu bir jinsli tor tebranish tenglamasi uchun Koshi masalasi yechimini
ifodalovchi Dalamber formulasi deyiladi.
Koshi masalasining qo'yilishida funksiyalarni yetarlicha silliq
bo‘lsin deb talab qilgan edik. Endi bu funksiyalarning qaysi sinfga tegishli
ekanligini aniqlaylik.
8

Agar bo'lsa, u holda (6) formula bilan
aniqlangan funksiya (2) tor tebranish tenglamasini va (3) boshlang‘ich
shartlarni qanoatlantirishini bevosita tekshirib ishonch hosil qilish mumkin.
Haqiqatan ham, (6) formulada t = 0 desak, u holda
bo'ladi (6) formuladan t bo‘yicha hosila olamiz
keyin t = 0 bo‘lganda
ekanligini ko'ramiz. Bu tor tebranish tenglamasi uchun Koshi masalasining
yechimi mavjud ekanligini ko‘rsatadi. (6) formulani keltirib chiqarish tor tebranish
tenglamasining (*) umumiy yechimiga asoslangan va barcha bosqichlar bir
qiymatli bajarildi. Shuning uchun yechimning yagonaligi esa uning qurish usulidan
ham kelib chiqadi.
Koshi masalasi yechimining turg'unligi. Faraz qilaylik. funksiya (2)
tenglamaning quyidagi
boshlang‘ich shartlarini qanoatlantiruvchi yechimi bo'lsin. Xuddi yuqoridagi kabi
funksiya ham (6) formula orqali quriladi.
Agar
9

bo'lsa, u holda ixtiyoriy musbat son uchun
yechimlarning ayrimasini baholaymiz.
(7)
Faraz qilaylik, ixtiyoriy musbat son va bo‘Isin. U holda (7)
tengsizlikdan son uchun shunday son topiladiki, barcha
va larda
shartlar bajarilganda tengsizlik o'rinli bo'ladi.
Bundan, tor tebranish tenglamasi uchun Koshi masalasining yechimi
berilganlarga uzluksiz bog‘liq ekanligi kelib chiqadi. Shunday qilab, quyidagi
teorema isbotlandi:
Teorema. Agar bo'lsa, u holda tor
tebranish tenglama uchun Koshi masalasining yechimi mavjud, yagona va turg'un
bo‘ladi, ya’ni (2)-(3) masalaning yechimi (6) formula bilan aniqlanadi.
10

Ma'lum bir masalalarni yechishda funksiyalar teoremaning
shartlarini bajarmasligi mumkin. Bunda tor tebra- uish tenglamasi uchun (2)-(3)
Koshi masalasining regulyar yechimi tushunchasini kiritib bo'lmaydi. Bunday
hollarda umumlashgan yechim tushunchasi kiritiladi.
Ta'rif. Tor tebranish tenglamasi uchun (2) - (3) Koshi masalasining
umumlashgan yechimi deb, (2) tenglamaning
boshlang'ich shartlarni qanoatlantiruvchi regulyar yechimlarning tekis
yaqinlashuvchi ketma-ketligining limiti bo‘lgan funksiyaga aytiladi.
Bu yerda va bu funksiyalar sonlar o‘qining
ixtiyoriy segmentida funksiyalarga tekis yaqinlashuvchi
ketma-ketliklar, ya’ni
Agar bo‘lsa, u holda (2) - (3) Koshi masalasining
umumlashgan yechimi mavjud, yagona va (6) formula bilan ifodalanishini
ko'rsatish qiyin emas.
Masala: differensial tenglama uchun bo’ladigan
boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi Koshi masalasini yeching.
Yechish . Oldin berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimini
topamiz:
Endi esa boshlang’ich shartdan foydalanib, tenglikka ega
bo’lamiz.
11

Bu tenglikdan c=3 tenglikni olamiz va Koshi masalasining yechimi
bo’ladi
1.2. Bir jinsli differensial tenglamalarni keltirib chiqarish.
Tekislikda, Ox o‘qi bo'yicha uchlari mahkaxnlangan uzunligi l ga teng
bo‘lgan torni (ingichka, elastik ipni) qaraylik. Ingichka — bu torning ko'ndalang
kesimi uning uzunligiga nisbatan cheksiz kichik miqdor, egiluvchan deganda tor
uzunligining o'zarishiga bogdiq bodmagan holda shaklini o‘zgarishiga torning hech
qanday qarshilik qilmasligi tushuniladi. Bu tushunchalarning matematik ma’nosi
— torda sodir bodadigan T(x) taranglik kuchi doimo uning oniy uzunligiga
o‘tkazilgan normal bo‘yicha yo‘nalgan bo‘ladi. Faraz qilaylik, Ox o‘q bo‘yicha
torning uchlariga qarama-qarshi tomonlarga yo'nalgan Tq taranglik kuchi qo'yilgan
bo‘lsin. Agar tor tashqi kuchlar ta’sirida muvozanat holatidan chiqarilsa, u holda
tor tebranma harakat qiladi. Bunda torning muvozanat holatidagi N(x) nuqtasi t
vaqtda M holatga o‘tadi.
Tor tebranish tenglamasini keltirib chiqarish uchun quyidagilarni talab
qilamiz:
1) torning barcha nuqtalari bir tekislikda Ox o‘qiga perpendikulyar
tebransin, ya'ni tor ko‘ndalang tebransin;
2) torning kichik tebranishlari hisobga olinsin;
12

3) og'irlik kuchining ta/siri inobatga olinmasin, ya!ni taranglik kuchi
shunchalik kattaki, buning natijasida og‘irlik kuchining ta'siri sezilmaydi.
Toming tebranishi bir tekislikda sodir bo'layotgani uchun torning tebranish
qonuni, ya'ni muvozanat holatidan og‘ishi NM ikki o‘zgaruvchili bitta u(x,t )
funksiya orqali ifodalanadi. Bunda u - torning t vaqtdagi abssissasi x b o‘lgan N
nuqtasining M nuqtagacha muvozanat holatidan NM og'ishi.
Agar torning kichik tebranishini inobatga olsak, u holda u(x, t) funksiya ham
kichik va etarlicha silliq torning x nuqtasiga t vaqtda o'tkazilgan urinmaning
burchak koefhtsienti u
x (x,t) ham kichik bo'ladi.
Torning tebranishi shunchalik kichik-ki, bunda:

bo’lsin. Bu torning kichik tebranishlarida uning uzunligini o'zgarmasligini
bildiradi.
Haqiqatdan ham, t vaqtda torning MK yoyining uzunligi
formula bilan aniqlanadi.
Demak, torning kichik tebranishlarida uning uzunligi o‘zgarmaydi. U holda
Guk qonuniga ko‘ra taranglik koeffitsiyenti T vaqtga ham x ga ham bog‘liq emas
va u torning barcha nuqtalarida bir xil T
0 ga teng.
Endi tor tebranish tenglamasini keltirib chiqaraylik. Buning uchun torning
MK bo‘lakchasini ajratib olamiz va bunga ta'sir qilayotgan kuchlarni koordinata
o'qlariga proeksiyasini tushiramiz. Dalamber prinsipiga asosan, barcha kuchlar
proeksiyalarining yig‘indisi, inersiya kuchini hisobga olganda nolga teng bo‘ladi.
Taranglik kuchining gorizantal o'qdagi proeksiyalarining yig‘indisi
bo’ladi, bu yerda
13

Endi taranglik kuchini vertikal o’qqa proyeksiyasini qaraylik:

Oxirgi formuladan Langranj formulasiga asosan

kelib chiqadi.
Torning ko‘ndalang tebranishlari qaralayotgani uchun inersiya kuchi va
tashqi kuchlar Ou o'qiga parallel yo'nalgan. Shuning uchun ularning Ou o'qdagi
proeksiyasini topamiz.
Faraz qilaylik, p(x, t) - torning MK bo'lagiga ta'sir qilayotgan uzluksiz tashqi
kuch, p(x) esa torning uzluksiz chiziqli zichligi bo'lsin. U holda tashqi kuchlarning
Ou o‘qiga proeksiyasi
bo’ladi. Torning zichligi p(x) bo'lgani uchun uning MK bo‘lagining massasi

ga teng.
Nyuton qonuniga ko’ra inersiya kuchi

formula bilan aniqlanadi .
U holda barcha kuchlaming Ou o‘qdagi proeksiyasi

formula bilan ifodalanadi.
Bu tenglikni ga qisqartirib, so’ngra limitga o’tsak
14

(1)
torning majburiy tebranish tenglamasiga ega bo’lamiz.
Agar tor bir jinsli bo'lsa. ya’ni p(x) = const, u holda (1) tenglama quyidagi
(2)
ko'rinishga keladi. Bu yerda
Agar (1) yoki (2) tenglamada tashqi kuchlar qatnashmasa, ya’ni p(x, t) = 0,
bo‘lsa, u holda (2) tenglama ushbu
(3)
ko’rinishga keladi.
Oxirgi (3) tenglama bir jinsli toming erkin tebranish tenglamasi deyiladi. Bu
tenglama bir o'lchovli to'lqin tarqalish tenglamasi deb ham yuritiladi.
Sterjenning b o‘ylama tebranishlari, trubkadagi gazning tebranishlari va
boshqa tebranma harakatlar (1) ko‘rinishdagi tenglama orqali ifodalanadi.
Asosiy boshlang‘ich-chegaraviy masalalarning qo‘yilishi Xususiy hosilaii
(1) tenglamaning koeffitsientlari va ozod hadiga qo'yilgan ma’lum shartlarga ko‘ra
cheksiz ko‘p xususiy yechimlarga ega bo‘ladi. Shuning uchun (1) tenglamaning
o‘zi qaralayotgan tor tebranishini to'liq aniqlash uchun etarh emas. Masalaning
fizik mohiyatidan kelib chiqqan holda qo'shimcha shartlarning bajarilishi talab
qilinadi. Fizikadan ma'lumki, nuqtaning harakatini aniqlash uchun uning
boshlang'ich holati va boshlang'ich tezligini bilish kifoya. Shuning uchun ham, tor
harakatini aniqlash uchun t
0 da uning boshlang'ich holati va boshlang'ich teziligini
bilish etarli bo‘ladi, ya’ni
(4)
Bu boshlang‘ich shartlar yoki Koshi shartlari deyiladi .
Torning uchlari mahkamlangan yoki mahkamlanmagan bodishi mumkin.
Uchlari mahkamlangan tor uchun quyidagi shartlar o'rinli bo'ladi:
(5)
15

bu yerda T > 0, l - torning uzunligi .
Bu (5) ko‘rinishdagi shartlar chegaraviy shartlar deb yuritiladi. Shunday qilib,
uchlari mahkamlangan toming harakatini aniqlash to‘g‘risidagi fizikaviy masala
quyidagi matematik masalaga keltirildi: xususiy hosilali (1) differensial
tenglamaning (4) boshlang‘ich va (5) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi
u(x,t) yechimi topilsin.
Bu masala tor tebranish tenglamasi uchun birinchi aralash masala deyiladi.
Agar torning uchlari mahkamlanmagan bo'lsa, ya'ni bu uchlar biror qoida
asosida harakatlansa, u holda (5) chegaraviy shartlar quyidagi

shartlarga almashadi.
Boshqa turdagi chegaraviy shartlarni ham olish mumkin. Chegaraviy shartlar
uch xil turga bo’linadi:
1) Birinchi tur chegaraviy shartlar:
, (6)
bu shart torning uchlari Ox o‘qiga .vertikal holda va f'unksiyalar bilan
berilgan qoida asosida harakatlanishini bildiradi.
2) Ikkinchi turdagi chegaraviy shartlar.
Bunday chgaraviy shartlar quyidagicha ifodalanadi:
(7)
Bu (7) shartlar torning uchlariga v
1 (t) va v
2 (t) ma'lum kuchlar qo‘yilganini
anglatadi.
3) Uchinchi turdagi chegaraviy shartlar:
(8)
bu yerda va (i = 1, 2) - berilgan funksiyalar, ixtiyoriy
da yetarlicha uzluksiz va
16

(8) chegaraviy shartlar torning uchlari elastik mahkamlanganligini ifodalaydi. Agar
(6) - (8) chegaraviy shartlarda va , (i = 1, 2) berilgan funksiyalar
nolga teng bo'lsa, u holda bunday chegaraviy shartlar bir jinsli chegaraviy shartlar
deyiladi.
17

II BOB. BIR JINSLI TO’LQIN TENGLAMASI UCHUN QO’YILGAN
CHEGARAVIY MASALALAR.
2.1 Torning erkin tebranish tenglamasi.
O`zgaruvchilarni ajratish usuli yoki Furye usuli xususiy hosilali differensial
tenglamalarni yechishda eng ko`p qo`llaniladigan usullardan biridir.
Quyidagi tor tebranish tenglamasining
(1)
quyidagi chegaraviy
(2)
hamda boshlang’ich
(3)
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topaylik. (1) tenglama chiziqli va bir jinsli.
Shuning uchun uning xususiy yechimlarining yig`indisi ham tenglamaning yechimi
bo`ladi.
Quyidagi yordamchi masalani qaraylik:

tenglamaning quyidagi bir jinsli shartlarni
(4)
qanoatlantiruvchi hamda quyidagi ko`rinishdagi
(5)
noldan farqli yechimlarini topaylik. Bu yerda X(x)- faqatgina x o`zgaruvchining,
T(t) funksiya esa faqatgina o`zgaruvchining funksiyasidir.
(5) ni (1) ga qo`ysak

ni olamiz. Bu tenglikni XT ga bo`lib yuborsak
18

(6)
kelib chiqadi. (5) funksiya (1) tenglamaning yechimi bo`lishi uchun (6) tenglik
barcha 0<x<l,t>0 lar uchun o`rinli bo`lishi shart. (6) tenglikning o`ng tomoni faqat
t o`zgaruvchiga, chap tomoni esa faqat x o`zgaruvchiga bog`liq. Aytaylik x ning
qaysidir qiymatini fiksirlasak va t ni o`zgartirsak (yoki aksincha), (6) tenglikning
chap va o`ng tomonlari ularning argumentlari o`zgargandayam o`zgarmas
qiymatga teng bo`lyapti:
(7)
bu yerda - o`zgarmas son.
(7) munosabatdan quyidagi oddiy differensial tenglamalarni olamiz:
(8)
(9)
(4) chegaraviy shartlar esa quyidagini beradi:

Bu yerdan funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirishi kerakligini topamiz:
(10)
aks holda bo`lib va natijada ni olamiz.
Shunday qilib X(x) funksiyani topish uchun biz quyidagi sodda spektral masalaga
kelib qoldik:
parametrning shunday qiymatlarini topingki, quyidagi masalaning
(11)
trivial bo`lmagan yechimlari mavjud bo`lsin.
Bu masala Shturm-Liuvill masalasi deb ataladi.
Bu tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha yoziladi:
19

Chegaraviy shartlardan esa quyidagini olamiz:

Agar X(x) aynan nolga teng bo`lmasa, bo`lishi shart. Bundan esa
(12)
kelib chiqadi yoki bu yerda n - ixtiyoriy butun son. Bundan kelib
chiqadiki, (11) masalaning noldan farqli yechimlari faqatgina
qiymatlarda mavjud. Bu xos sonlarga xos funksiyalar mos
keladi, bu yerda D
n - ixtiyoriy o`zgarmas son.
ning shu qiymatlariga mos (9) tenglamaning yechimlari

ko `rinishga ega bo`ladi, bu yerda A
n B
n - ixtiyoriy o`zgarmas sonlar.(1)-(3)
masalaga qaytsak, quyidagi funksiyalar

(1)-(3) masalaning xususiy yechimlari bo`lishiga ishonch hosil qilamiz. (1)
tenglamaning chiziqli ekanligidan xususiy yechimlarning yig`indisi ham yechim
bo`lishi kelib chiqadi va quyidagi funksiya ham (1) tenglama va (2) hegaraviy
shartlarni qanoatlantiradi:

2.2 Tor tebranish tenglamasining fizik ma’nosi.
Tor tebranish tenglamasining talqinini ko’rib chiqamiz:
20

Bu yerda
Torning har bir x
0 nuqtasi amplitudali garmonik tebranishlarni
hosil qiladi.
Torning bunday harakatini tik to`lqin deb ataladi. bo`ladigan
quyidagi (m=1,2,3,….n-1) nuqtalar jarayon davomida qo’zg’almas holatda
qoladi va u
n (x,t) tik to’lqinlarning tugunlari deyiladi.
bo`lgan nuqtalarda esa maksimal
amplitudali tebranishlar yuz berib, tik to`lqinlarning uchlari deyiladi.
Tik to`lqinning istalgan vaqtdagi profili sinusoidani beradi.

bu yerda

bo`lgandagi t vaqt momentida og`ishlar maksimal qiymatga
erishadi, harakat tezligi esa nolga teng bo`ladi. bo`lgan vaqt
momentlarida esa og`ish nolga teng, lekin harakat tezligi maksimal bo`ladi.
Torning barcha nuqtalarining tebranish chastotalari bir xil va u
ga teng. chastotalarni tor tebranishining xos chastotalari deyiladi.
21

Torning ko`ndalang tebranishi uchun va natijada
Torning ko`ndalang tebranishidagi n-tik to`lqinning energiyasi quyidagiga teng:

chunki larning ifodasi hamda
tenglikdan foydalanib quyidagini olamiz:

bu yerda - tor massasi.
Torning tebranishini biz odatda kelayotgan ovoz orqali payqaymiz. Torning ovozi
esa “oddiy ton”larni tebranish ajraladigan tik to`lqinlarga qo`yilishidir.
Tonning balandligi tebranishlar chastotasiga bog`liq. Tonning kuchi uning
energiyasi bilan aniqlanadi va demak, uning amplitudasi bo`ladi. Tor hosil qilishi
mumkin bo`lgan eng past ton xos chastota bilan aniqlanadi va
torning asosiy toni deyiladi. ga karrali bo`lgan qolgan tonlar obertonlar
deyiladi.
Eng past ton va uning tembri tebranishlarni hosil qilish usullariga bog`liq.
Odatda tor bir xil ton hosil qiladi. Haqiqatdan ham, torning bir tomonini
tortib boshlang`ich tezliksiz qo`yib yuboramiz. U holda
va chunki .
22

XULOSA
Men ushbu kurs ishini bajarish davomida “Bir jinsli to’lqin tenglamasi
uchun qo’yilgan chegaraviy masalalar” mavzusini chuqur o’rgandim. K urs ishini
qilish davomida matematik fizika tenglamalari fani haqidagi ko’plab adabyotlarni
mutolaa qildim ularda keladigan barcha teoremmalar formulalar, muhokama
qilindi. Bir jinsli to’lqin tenglamasi uchun qo’yilgan chegaraviy masalalar
mavzusini yoritib berish va undagi formulalar va qoidalarni o’rganish va hayotga
tatbiq etish, mukammal o’zlashtirib olish ushbu kursh ishining asosiy maqsadi
qilib tanlab olindi. Ushbu kurs ishida tor tebranish tenglamasi va uning fizik
ma’nosini o’rganib chiqdim. Oddiy differensial tenglamalar va kurs ishiga ta’luqli
bo’lgan barcha teorema, ta’riflarni o’rganib chiqdim. Kurs ishi yozish davomida
axborot texnologiyalardan ham faol foydalandim.
M en ushbu kurs ishini qilish davomida matematik fizika tenglamalari faniga
iod juda ko’p bilim va ko’nikmalarga ega bo’ldim va ularda kelgan qoida va
formulalarni o’rgandim. O’rgangan bilimlarim kelajakda kasbiy faoliyatimda
asqotadi deb o’ylayman.
23

FOYDALANILGAN ADABYOTLAR RO’YHATI
1. Шарипов Ш.Р., Мўминов Н.С. Оддий дифференциал тенгламалар.
ТошкеJ . “ Ўқитувчи ” 1992, 310 б .
2. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационое
исчисление. М.: Наука, 1969, 424 с.
3. Ўринов А.Қ. Оддий дифференциал тенгламалар учун чегаравий
масалалар.–ТошкеJ: Mumtoz so‘z,2014.164-б
4. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения.
Соб.соч.т.и.изд., 1956.
5. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.:
Наука, 1987.
6. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 4, Физ.-мат-гиз. 1958.
7. Қаландаров А.Д., Меражова Ш.Б. Дифференциал тенгламалардан
масалалар тўплами. Бухоро. “Дурдона”, 2013.
8. Оппоқов Ю.П, Турғунов Н., Гаффаров И.А. Оддий дифференциал
тенгламалардан мисол ва масалалар тўплами. (Ўқув қўлланма).
ТошкеJ – 2009 йил.
9. Morris Tenebout, Harry Pollard. Ordinary differential equations.
Birkhhuzer. Germany, 2010.
10. Robinson J.C. An Introduction to ordinary differential equations. Cambridge
University Press 2013.
Internet sayitlari
1. www . ziyonet . uz
2. www . Aim . uz
3. www.refarat.uz
24

Bir jinsli differensial tenglamalar

Sotib olish