Bir pallali giperboloid va giperbolik paraboloidning to’g’ri chiziqli yasovchilari - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	2.2MB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	05 Iyun 2025
Kengaytma	doc
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

198 Sotish

Bir pallali giperboloid va giperbolik paraboloidning to’g’ri chiziqli yasovchilari

Sotib olish

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM ,
FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
Farg‘ona davlat universiteti
Fizika-matematika fakulteti
Matematika yo‘nalishi 24.01-guruh talabasi
qizining
Analitik geometriya fanidan
“Bir pallali giperboloid va giperbolik paraboloidning to’g’ri
chiziqli yasovchilari”
mavzusidagi
KURS ISHI
Kurs ishi rahbari:

Farg‘ona-2025

MUNDARIJA
KIRISH ………………………………………………………………………………….3
I-BOB. IKKINCHI TARTIBLI SIRTLAR HAQIDA UMUMIY
TUSHUNCHALAR………………………………………………………6
1.1-§.Ikkinchi tartibli sirtlar ………………...……………………….....…6
1.2-§. Kanonik tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli sirtlar…..……10
II-BOB. IKKINCHI TARTIBLI SIRTLARNING TO’G’RI CHIZIQLI
YASOVCHILARI…………………………………………………..…...17
2.1-§. Bir pallali giperboloid…………………………………………..…21
2.2-§. Bir pallali giperboloid v a giperbolik paraboloidning to’g’ri chiziqli
yasovchilari…………………………………………….…………………17
XULOSA…………………………………………………………………26
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR………………………………..28
2

KIRISH
“Agar mendan sizni nima qiynaydi?” deb
so‘rasangiz, farzandlarimizning ta’lim-
tarbiyasi deb javob beraman!!!
Shavkat Mirziyoyev
Ilg‘or millat va rivojlangan davlat bo‘lishning zarur shartlaridan biri aqliy va
jismoniy, madaniy va ma’naviy, axloqiy, g‘oyaviy – siyosiy va huquqiy jihatdan,
har tomonlama yetuk, barkamol insonlarga ega bo‘lishdir.
Ma’naviy – ma’rifiy jihatdan inson irodasi mustahkam, e’tiqodi yuksak,
vijdon amri bilan yashaydigan shaxs, barkamol avlod har qanday davlat, xalq va
millatning eng katta boyligi, qudrati salohiyati manbayidir. Mamlakatimiz
prezidenti tomonidan ta’kidlab kelinayotganidek, “Har qaysi davlat, har qaysi
millat nafaqat yerosti va yerusti boyliklari bilan, harbiy qudrati va ishlab chiqarish
salohiyati bilan, balki birinchi navbatda o‘zining yuksak madaniyati va
ma’naviyati bilan kuchlidir”.
Odamlari, fuqarolari bilimli – zakovatli, uddaburon, g‘oyaviy siyosiy
jihatdan ziyrak va hushyor, tadbirkor, har tomonlama yetuk bo‘lgan jamiyat har
qanday islohotlarga qodir bo‘ladi va har qanday muammo va qiyinchiliklarni
yenga oladi. Oliy rahbarimiz bu haqida shunday dedi: “Lo‘nda qilib aytganda,
bugungi kunda oldimizda qo‘ygan buyuk maqsadlarimizga, ezgu niyatlartimizga
erishishimizda jamiyatimizning yangilanishi, hayotimizning taraqqiyoti va istiqboli
amalga oshirayotgan islohotlarimiz, rejalarimizning samarasi taqdiri bularning
barchasi avvalambor zamon talablariga javob beradigan yuqori malakali, ongli
mutaxassis kadrlar tayyorlash muammosi bilan chambarchas bog‘liqligini
barchamiz anglab yetmoqdamiz.
Shu bilan birga barchamiz yana bir haqiqatni anglab yetmoqdamiz.
Faqatgina chinakam ma’rifatli odam inson qadrini, millat qadriyatlarini, bir so‘z
bilan aytganda, o‘zligini aniqlash, erkin va ozod jamiyatda yashash, mustaqil
davlatimizning jahon hamjamiyatida o‘ziga munosib, fidoiylik bilan kurashishi
3

mumkin”. Mustaqil va erkin fikrlayotgan, ongli yashaydigan, o‘z haq – huquqlarini
yaxshi taniydigan, o‘z kuchi va aqliga ishonadigan, ma’naviy – axloqiy yetuk
barkamol bo‘lgan avlodni, mustaqil fikrlashga qodir, jasoratli, fidoiy va
tashabbuskor kishilarni tarbiyalab yetkazadigan xalq va millat kelajakka ochiq
ko‘z, katta ishonch, umid va ixlos bilan qaray oladi. Fuqarolarni ana shunday
noyob xislat va fazilat sohiblari qilib shakllantirilgan davlatning istiqboli porloq
bo‘ladi.
Kurs ishining dolzarbligi: Zamonaviy ilm-fan va texnologiya taraqqiyoti
geometriyaning chuqur nazariy asoslariga tayanadi. Jumladan, analitik geometriya
fanida o‘rganiladigan ikkinchi tartibli sirtlar – xususan bir pallali giperboloid va
giperbolik paraboloid – bugungi kunda nafaqat nazariy jihatdan, balki amaliy
muammolarni yechishda ham dolzarb ahamiyat kasb etadi.
Birinchidan, bu sirtlarning to‘g‘ri chiziqli yasovchilarga ega bo‘lishi ularni
qurilish va muhandislikda ishlatishga juda moslashtiradi. Masalan, bir pallali
giperboloid strukturalari oddiy to‘g‘ri chiziqli elementlardan iborat bo‘lgani uchun
ular arzon, mustahkam va eng muhimi, estetik jihatdan jozibali inshootlar qurishda
keng qo‘llaniladi. Bu jihat uni zamonaviy arxitektura uchun ideal shaklga
aylantiradi.
Ikkinchidan, giperbolik paraboloid o‘zining maxsus geometrik egri shakli
sababli zilzilabardosh inshootlar va yuklamalarni bir tekis taqsimlovchi qurilish
konstruksiyalari yaratishda muhim rol o‘ynaydi. Ayniqsa, sport inshootlari,
stadionlar, ko‘priklar va tom qoplamalari dizaynida bu shakl ko‘p uchraydi. Bu
sirtlar har qanday tashqi ta’sirga nisbatan kuchni silliq tarzda tarqatadi, bu esa
barqarorlikni oshiradi.
Uchinchidan, ushbu sirtlar kompyuter grafikasi, sanoat dizayni,
robototexnika va avtomatlashtirilgan tizimlar loyihalashda, shuningdek 3D
modellashtirish va virtual haqiqat texnologiyalarida foydalaniladi. Ularning oddiy
tenglamalar orqali tasvirlanishi geometriya va informatika fanlarini birlashtirgan
holda innovatsion dasturiy mahsulotlar yaratishga xizmat qiladi. .
4

Kurs ishining maqsadi va vazifalari: Mazkur kurs ishining asosiy
maqsadi — bir pallali giperboloid va giperbolik paraboloid sirtlarining geometrik
va analitik xossalarini chuqur o‘rganish, ayniqsa ularning to‘g‘ri chiziqli
yasovchilar orqali tasvirlanish xususiyatlarini aniqlash va ushbu xossalarning
nazariy hamda amaliy ahamiyatini asoslashdan iborat.
Bu orqali talabaga fazodagi sirtlar haqida chuqur tushuncha berish, ularni
grafik va parametrik tenglamalar yordamida ifodalash ko‘nikmalarini
shakllantirish, hamda bu sirtlarning real hayotdagi qo‘llanishlarini tahlil qilish
imkonini yaratish ko‘zda tutiladi.
5

I-BOB. IKKINCHI TARTIBLI SIRTLAR HAQIDA UMUMIY
TUSHUNCHA.
1.1 -§ . Ikkinchi tartibli sirtlar.
Fazoda dekart koordinatalari sistemasi kiritilgan bo‘lib, unda
ikkinchi darajali ko’phad yordamida berilgan
( 1.1. 1)
tenglamani qaraylik. Fazoda koord inatalari (1.1.1) tenglamani
qanoatlantiruvchi nuqtalar to'plami ikkinchi tartibli sirt deb ataladi.
Agar sirtning koordinatalar sistemasiga nisbatan joylashishi alohida xususiyatga
ega bo‘lsa (masalan, ba’zi koordinatalar sistemalariga nisbatan simmetrik
joylashgan bo‘lsa), u holda uning tenglamasi juda sodda ko‘rinishga ega bo‘ladi va
u kanonik tenglama deyiladi.
Ta’rif . Biror affin reperda ikkinchi tartibli algebraik tenglama
bilan aniqlanadigan nuqtalar to’plami ikkinchi tartibli sirt
deb ataladi :
(1.1.2)
bu yerda dastlabki 6ta had bosh had deyilib ular bir vaqtda
nolga teng emas, ya’ni

Ikkinchi tartibli sirtlar nazariyasida sirtlar klassifikatsiya qilinadi va ularning
turli ko‘rinishlari o‘rganiladi. Sirtlarni o‘rganishning usullaridan biri kesim
usulidir. Bunda sirtlarning koordinata tekisliklariga parallel bo‘lgan yoki
koordinata tekisliklarining o‘zi yordamidagi kesimlari o‘rganiladi. Hosil bo‘lgan
kesimlarning ko‘rinishiga qarab sirt haqida xulosa chiqariladi.
Sirtlarni klassifikatsiyalash g‘oyasi koordinatalar sistemasini kanonik sistemaga
keltirish yo‘li bilan sirtlarning tenglamalarini kanonik ko‘rinishga keltirishga
asoslangan.
Bizga biror π tekislikda ikkinchi tartibli chiziq hamda shu tekislikka

6
parallel bo’lmagan u to’g’ri chiziq berilgan bo’lsin.
Ta’rif. u to’g’ri chiziqqa parallel hamda chiziq bilan kesishuvchi
fazodagi barcha to’g’ri chiziqlar to’plami ikkinchi tartibli silindrik sirt deb
ataladi.
Ta’rifda qatnashayotgan chiziq shu silindrik sirtning yo’naltiruvchisi ,
to’g’ri chiziqlar esa uning yasovchilari deyiladi.
S silindrik sirt bilan π tekislik kesishmasidan hosil bo’lgan geometrik
obraz umumiy holda
( 1.1. 3)
tenglama bilan aniqlanadi. Bu ( 1.1. 3) tenglama π tekislikdagi ikkinchi tartibli
chiziqning umumiy tenglamasidir. Shu ikkinchi tartibli chiziqning
turiga qarab ikkinchi tartibli silindrni sinflarga ajratish mumkin .
Bundan tashqari , ( 1.1. 3) tenglama bilan aniqlanadigan chiziqni S ning
yo’naltiruvchisi sifatida qabul qilsak ham bo’ladi. Demak , ikkinchi
tartibli silindrning yo’naltiruvchilari ellips, giperbola , parabola ,
ikkita kesishuvchi to’g’ri chiziq , ikkita o’zaro parallel to’g’ri
chiziqlardan iborat bo’lishi mumkin. Yo’naltiruvchilari shu
chiziqlardan iborat ikkinchi tartibli silindrik sirtlar mos
ravishda ellipik silindr , giperbolik silindr, parabolik silindr, ikkita kesishuvchi
tekislik , ikkita o’zaro parallel tekislik ( ustma-ust tushmagan) deb yuritiladi.
Bu silindrlarning tenglamasini dekart reperida kanonik ko’rinishda yozamiz:
Elliptik silindr (1.1.2-chizma)
Giperbolik silindr (1.1.3-chizma)
Parabolik silindr (1.1.4-chizma)
Ikki kesishuvchi tekislik (1.1.5-chizma)
Ikki parallel tekislik (1.1.6-chizma)
7

1.1.2-chizma 1.1.3-chizma

1.1.4-chizma 1.1.5-chizma

1.1.6-chizma
8

Biror π tekislikda ikkinchi tartibli chiziq va bu tekislikka tegishli
bo’lmagan M₀ nuqta berilgan bo’lsin.
Ta’rif. Fazodagi M
₀ nuqtadan o’tib , ni kesib o’tuvchi barcha to’g’ri
chiziqlar to’plami ikkinchi tartibli konus sirt deb ataladi. M
₀ konus uchi ,
chiziq esa konus yo’naltiruvchisi , konusni hosil qiluvchi to’g’ri chiziqlar uning
yasovchilari deb ataladi. (1.1.7-chizma)
Konus yasovchilari markazi konus uchida bo’lgan to’g’ri chiziqlar
bog’lamiga tegishlidir.

1.1.7-chizma
Π tekislikda biror chiziq va u to’g’ri chiziq berilgan bo’lsin.
Ta’rif . chiziqning u to’g’ri chiziq atrofida aylanishidan hosil bo’lgan
Ф figura aylanma sirt deb ataladi ( ya’ni ni u atrofida 2
π burchakka
burishdan hosil bo’lgan figura). Bunda aylanma sirtning meridiani , u
aylanish o’qi deb ataladi. (1.1.8-chizma)
9

1.1.8-chizma
Ravshanki , ning har bir nuqtasi u atrofida aylanishida biror aylanani
hosil qilib , bu aylananing markazi u to’g’ri chiziqda bo’ladi.

1.2 -§ . Ellipsoid, paraboloid, giperboloid.
Ta’rif. Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini biror dekart koordinatalari
sistemasida

ko’rinishda yozish mumkin bo’lsa , u ellipsoid deb ataladi.
1.2.1-chizma
10

Ellipsoid tenglamasidan ko’rinadiki , u koordinata o’qlariga nisbatan
simmetrik joylashgan , koordinata boshi esa uning simmetriya markazidir .

1.2.2-chizma
Xususan, agar a=b=c=R bo‘lsa, markazi koordinatalar boshida bo‘lgan R
radiusli sferani olamiz. a, b, c sonlar ellipsoidning yarim o‘qlari deyiladi. Agar
yarim o‘qlar har xil bo‘lsa, ellipsoid uch o‘qli ellipsoid deyiladi. Ellipsoidning
koordinata o‘qlari bilan kesishgan A (-a,0,0) , A (a,0,0) , B (0,-a,0) , B (0,a,0)₁ ₂ ₁ ₂
C (0,0,-a) , C (0,0,a)
₁ ₂ nuqtalar ellipsoidning uchlari deyiladi.
Markazi M (x ,y ,z )
₀ ₀ ₀ ₀ nuqtada bo‘lgan ellipsoid tenglamasi

ko‘rinishda bo‘ladi.
Sfera ham ellipsoiddir, chunki ellipsoid tenglamasida a=b=c=R bo‘lsa, sfera
tenglamasi hosil bo‘ladi.
Ta’rif. Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini biror dekart koordinatalar
sistemasida

ko’rinishida yozish mumkin bo’lsa , u ikki pallali giperboloid deb ataladi.
Ikki pallali giperboloid tenglamasidan ko’rinadiki , uchinchi o’zgaruvchi z
≤ c va
z
≥ c tengsizliklarni qanoatlantirishi kerak . Demak, ikki pallali giperboloid ikki
qismdan iborat . Bundan tashqari, tenglamadan ko’rish mumkinki , giperboloid
11

koordinata tekisliklariga nisbatan simmetrik joylashgan , koordinata boshi esa
uning simmetriya markazi bo’ladi. Bularni hisobga olib , uni chizmada
tasvirlashimiz mumkin

1.2.3-chizma 1.2.4-chizma
Koordinatalar kanonik sistemasining o‘qlari ikki pallali giperboloidning
simmetriya o‘qlari, koordinatalar boshi – uning simmetriya markazi, koordinatalar
tekisliklari esa simmetriya tekisliklari bo‘ladi .
Ta’rif . Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini biror dekart koordinatalar
sistemasida

ko’rinishida yozish mumkin bo’lsa , u konus deb ataladi.

1.2.5- chizma
12

Agar a=b bo‘lsa, u holda doiraviy konus hosil bo‘ladi.
Konusning z=h gorizontal tekisliklar bilan kesimida ellipslar hosil bo‘ladi ( h  0
bo‘lganda konus nuqtaga aylanib qoladi):

Konusningning x=h va y=h vertikal tekisliklar bilan kesimida giperbolalar hosil
bo‘ladi:
yoki
Ta’rif . Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini biror dekart koordinatalar
sistemasida

ko’rinishida yozish mumkin bo’lsa , u elliptik paraboloid deb ataladi.

1.2.6-chizma
13

1.2.7-chizma
Ta’rif . Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini biror dekart koordinatalar
sistemasida

ko’rinishida yozish mumkin bo’lsa , u giperbolik paraboloid deb ataladi.
Giperbolik paraboloidni o’qiga parallel tekisliklar bilan kessak kesimda
parabolalarni olamiz.

1.2.8-chizma
14

Giperbolik paraboloidning 1.2.8-chizma yoki 1.2.9-chizmadagidek sirt ko’rinishida
tasavvur qilish mumkin , ba’zan bu sirt “egarsimon sirt” deb ham yuritiladi.
1.2.9-chizma
Ta’rif . Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini biror dekart koordinatalar
sistemasida

ko’rinishida yozish mumkin bo’lsa , u elliptik silindr deb ataladi.

1.2.10-chizma
15

Agar bo‘lsa, doiraviy silindr hosil bo‘ladi.
Ta’rif . Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini biror dekart koordinatalar
sistemasida

ko’rinishida yozish mumkin bo’lsa , u giperbolik silindr deb ataladi.
1.2.11-chizma
Ta’rif . Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini biror dekart koordinatalar
sistemasida
ko’rinishida yozish mumkin bo’lsa , u parabolik silindr deb ataladi.

1.2.12-chizma 1.2.13-chizma
16

II-BOB. IKKINCHI TARTIBLI SIRTLARNING TO’G’RI CHIZIQLI
YASOVCHILARI.
2.1-§.Bir pallali giperboloid
Ta’rif . Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini birorta dekart koordinatalari
sistemasida
(2.1.1)
ko‘rinishda yozish mumkin bo’ls а , u bir pallali giperboloid deb ataladi. Bu
tenglamada a≥ b>0, с > 0 munosabatlar bajarilishi talab qilinadi.
Bir pallali giperboloidning tenglamasidan ko'rish mumkinki, u koordinata
tekisliklariga nisbatan simmetrik joylashgan, koordinata boshi esa uning
simmetriya markazi bo'ladi.
Bir pallali giperboloidning koordinata o‘qlari bilan kesishgan A (-a,0,0)
₁ ,
A (a,0,0) , B (0,-a,0) , B (0,a,0)
₂ ₁ ₂ nuqtalar bir pallali giperboloidning uchlari
deyiladi. Bir pallali giperboloid bilan umumiy nuqtaga ega bo‘lmagan Oz o‘qi
uning mavhum o‘qi deyiladi.
Bir pallali giperboloidni z = h tenglama bilan aniqlangan tekislik bilan kessak,
har qanday uchun kesimda
tenglama bilan aniqlanuvchi ellips hosil bo'ladi. Bu ellipsning yarim o'qlari mos
ravishda
va
kattaliklarga tengdir. Agar h=0 bo'lsa, kesimda eng kichkina ellips hosil bo'ladi.
Bu ellips bir pallali giperboloidning bo'g'zi deb ataladi.
Bir pallali giperboloidni x=h , y=h tenglama bilan aniqlangan tekisliklar bilan
kessak, mos ravishda va bo’lganda kesimda
va
17

tenglamalar bilan aniqlanuvchi giperbolalar hosil bo'ladi. Bu giperbolalardan
birinchisining yarim o'qlari mos ravishda
va
kattaliklarga tengdir.
Agar yoki bo’lsa , kesimda mos ravishda
va
tenglamalar bilan aniqlanuvchi ikkita kesishuvchi to‘g‘ri chiziqlar hosil
bo‘ladi. Bu faktlarni hisobga olib, bir pallali giperboloidni chizmada
tasvirlashimiz mumkin (2.1.1-chizma).
2.1.1-chizma
Ta’rif . Sirtning har bir nuqtasidan shu sirtda yotuvchi to‘g ‘ri chiziq о ‘tsa,
bunday sirt chiziqli sirt deyiladi.
18

Sirt chegaralagan bo‘lsa, unda to‘g‘ri chiziq yotmaydi va shuning
uchun u chiziqli sirt bo'lmaydi. Demak, ellipsoid chiziqli sirt bo'lmaydi.
Teorema . Bir pallali giperboloid chiziqli sirt bo‘lib, uning har bir
nuqtasidan giperboloidda yotuvchi ikkita to‘g ‘ri chiziq o‘tadi.
Isbot . Bir pallali gipeiboloidning M(x , y , z ) nuqtasidan
yo'nalishdagi to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamalari

ko'rinishda bo‘ladi. Bu to‘g‘ri chiziq bir pallali giperboloidda yotishi
uchun
tenglik t ning har qiymatida bajarilishi kerak. Bu tenglikda
munosabatni hisobga olsak,
va
tengliklarni hosil qilamiz. Yo‘nalishni aniqlovchi vektorning hamma
koordinatalari nolga teng bo‘lmaganlini uchun yuqoridagi tenglikning
birinchisidan п ≠ 0 ekanligi kelib chiqadi. Biz umumiylikni chegaralamasdan n=c
deb olamiz. Bundan esa l , m lar uchun
va
shartlarni olamiz. Agar biz
, (2.1.1)

tengliklar bilan nuqtani aniqlasak
19
tenglikni olamiz . Bundan tashqari
tenglikdan
(2.1.2)
munosabat kelib chiqadi . Demak, nuqta giperboloidning bo’g’ziga
tegishlidir. Yuqoridagi (2.1.1) tenglikdan
munosabat kelib chiqadi. Biz agar
tengliklar bilan {l,m,c} vaktorning l , m koordinatalarini aniqlasak,
munosabatni hisobga olib (2.1.2) tenglikdan u=± 1 qiymatlarni topamiz.
Demak , biz qidirayotgan to’g’ri chiziqlarning parametrik tenglamalari

ko ’ rinishda bo ’ ladi . Bu to ’ g ’ ri chiziqlar bo ’ lganda nuqtadan
o ’ tadi . Haqiqatan ham (2.1.1) tengliklardan
20
munosabatlarni hosil qilish mumkin. Teorema isbotlandi.
2.2 -§ . Bir pallali giperboloid va giperbolik paraboloidning to ’ g ’ ri chiziqli
yasovchilari .
Biz yuqorida ikkinchi tartibli sirtlarning turli sinflari bilan tanishdik. Unda
sirtlar bir-biridan tenglamalari bilan yoki ta’riflari bilan farq qilar edi. Endi bu
sirtlarni biz boshqa nuqtai nazardan ikki sinfga ajratamiz. Ulardan biriga ikkinchi
tartibli shunday sirtlarni kiritamizki , ular o’z tarkibiga to’g’ri chiziqlarni to’liq
olsin , bunday sirtlar to’g’ri chiziqli sirtlar deyiladi. Bunday sirtlarga ikkinchi
tartibli silindr va konuslar yaqqol misol bo’la oladi. Ikkinchi sinfga esa tarkibida
bitta ham to’g’ri chiziq bo’lmagan ikkinchi tartibli sirtlarni kiritamiz , ravshanki ,
ellipsoid chegaralangan sirt bo’lgani uchun uning tarkibida to’g’ri chiziq yo’q ,
demak , ellipsoid ikkinchi sinfga kiradi.
Sirtlar tarkibidagi to’g’ri chiziqlar shu sirtlarning yasovchilari deb ataladi.
Tarkibida cheksiz ko’p to’g’ri chiziqlar mavjud bo’lgan sirtlar konus va silindrdan
boshqa yana bormi degan savolga javob izlaymiz.
Buning uchun bir pallali giperboloid va giperbolik paraboloid tenglamalarini
o’rganaylik.
Bir pallali giperboloid tenglamasi
(2.2.1)
buni
(2.2.2)

Ko’rinishida yozib olamiz va quyidagi ikkita tenglamalar sistemasini
qaraymiz.
21
(2.2.3)
(2.2.4)
λ va μ kamida bittasi noldan farq qiluvchi haqiqiy sonlar. λ va μ haqiqiy₁ ₁
sonlar ham shu shartlarni qanoatlantiradi. (2.2.3) va (2.2.4) tenglamalar
sistemasining x,y,z koeffitsiyentlaridan tuzilgan matritsa rangining ikkiga teng
ekanligini hisoblash qiyin emas.
Demak, bu tenglamalar sistemasining har biri to’g’ri chiziqni aniqlaydi.
Agar (2.2.3) tenglamalar sistemasining har bir tenglamasini noldan farqli
haqiqiy songa ko’paytirsak , yana o’sha to’g’ri chiziqni ifodalovchi yangi
tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz. Demak, (2.2.3) tenglamalar sistemasi bilan
aniqlangan to’g’ri chiziq tenglamasini yozish uchun λ : μ nisbatni bilish yetarlidir.
Bu mulohazani (2.2.4) tenglamalar sistemasiga ham tadbiq qilish mumkin.
λ : μ nisbatni bilish yetarli.
₁ ₁
Agar N(x ,y ,z )
₀ ₀ ₀ nuqtaning koordinatalari (2.2.3) , (2.2.4) tenglamalar
sistemasini qanoatlantirsa, u holda (2.2.2) tenglamani ham qanoatlantiradi. Bundan
esa (2.2.3) tenglamalar sistemasi bilan aniqlangan har bir to’g’ri chiziq,
shuningdek (2.2.4) tenglamalar sistemasi bilan aniqlangan har bir to’g’ri chiziq
berilgan (2.2.1) sirtda yotadi va to’g’ri chiziqli yasovchisi vazifasini o’taydi.
(2.2.3) tenglamalar sistemasi bilan aniqlangan to’g’ri chiziqlar  ,  larning bir
vaqtda nolga teng bo’lmagan barcha qiymatlarida (2.2.1) bir pallali giperboloid
sirtning, birinchi to’g’ri chiziqli yasovchilar oilasini tashkil qiladi. (2.2.4)

tenglamalar sistemasi bilan aniqlangan to’g’ri chiziqlarda  , ₁  larning bir vaqtda ₁
nolga teng bo’lmagan barcha qiymatlarida (2.2.1) bir pallali giperboloid sirtning
ikkinchi to’g’ri chiziqli yasovchilar oilasini tashkil qiladi.
22
Bir pallali giperboloid sirtning to’g’ri chiziqli yasovchilarining asosiy
xossalarini isbotsiz keltiraylik.
1°. Bir pallali giperboloid sirtning har bir nuqtasi orqali ikkita va faqat ikkita
to’g’ri chiziqli yasovchilar o’tadi. Ularning biri (2.2.3) tenglamalar sistemasi bilan
aniqlangan oilaga, ikkinchisi (2.2.4) tenglamalar sistemasi bilan aniqlangan oilaga
tegishli.
2°. Bir oilaga tegishli ixtiyoriy ikkita to’g’ri chiziqli yasovchi ayqash.
3°. Har xil oilaga qarashli ikkita to’g’ri chiziqli yasovchilar orqali bir
tekislik o’tadi.
Ikki oilali to’g’ri chiziqli yasovchilarga ega bir pallali giperboloid sirt
2.2.1- chizmada tasvirlangan.
Quyidagi ikkita tenglamalar sistemasini qaraylik.
(2.2.5)
(2.2.6)
Bu yerda  ,  lar kamida bittasi noldan farq qiluvchi haqiqiy sonlar.  va
₁
 sonlar ham shu shartlarni qanoatlantiruvchi haqiqiy sonlar.
₁
Bir vaqtda nol bo’lmagan  va  larning barcha qiymatlarida (2.2.5)
tenglamalar sistemasi sirtning birinchi to’g’ri chiziqli yasovchilar oilasini
aniqlashini, 
₁ va  larning bir vaqtda nol bo’lmagan barcha qiymatlarida (2.2.6) ₁
tenglamalar sistemasi sirtning ikkinchi bir to’g’ri chiziqli yasovchilar oilasini
aniqlashini isbotlash mumkin.

Giperbolik paraboloidning to’g’ri chiziqli yasovchilari, bir pallali
giperboloidning to’g’ri chiziqli yasovchilari qanday xossalarga ega bo’lsa, shunday
xossalarga ega. Bulardan tashqari quyidagi xossalarga ega . (2.2.3) tenglamalar
23
sistemasi bilan aniqlangan barcha to’g’ri chiziqli yasovchilar oilasi
tekislikka, (2.2.4) bilan aniqlangan barcha to’g’ri chiziqli yasovchilar
tekislikka parallel.
Ikki pallali to’g’ri chiziqli yasovchiga ega giperbolik paraboloid sirt 2.2.2-
chizmada tasvirlangan.
Biz yuqorida ellipsoidning to ’ g ’ ri chiziqli yasovchilarini yo ’ qligini
ko ’ rsatgan edik , shunga o ’ xshash , ikki pallali giperboloid ham to ’ g ’ ri chiziqli
yasovchilarga ega bo ’ lmaydi . Haqiqatdan ham , ikki pallali giperboloidni
tekislik bilan kesilganda , ravshanki , kesimda ikkinchi tartibli chiziq
hosil bo ’ lib , buning tarkibida to ’ g ’ ri chiziq yo ’ qdir , demak , ikki pallali
giperboloidni tekislikka parallel to ’ g ’ ri chiziqli yasovchisi yo ’ q , agar
ga parallel bo ’ lmagan to ’ g ’ ri chiziqli yasovchi bor bo ’ lsa y to ’ g ’ ri chiziq bu
tekislik bilan kesishadi , kesimda hosil bo ’ lgan nuqta to ’ g ’ ri chiziqqa tegishli
bo ’ lib , ikki pallali giperboloidga tegishli emas . Demak , ikki pallali giperboloid
to ’ g ’ ri chiziqli yasovchilarga ega emas .
Xuddi shu usul bilan elliptik paraboloid uchun ham yasovchilarning
mavjud emasligini ko ’ rsatish mumkin .
Boshqa tomondan, giperbolik paraboloid sirtlarning yana bir chiroyli, ammo
murakkabroq shakli hisoblanadi. U ham o‘ziga xos tarzda ikkinchi tartibli sirt

bo‘lib, tenglamasi parabola va giperbolaning kombinatsiyasi asosida quriladi.
Ushbu sirt ham har bir nuqtasidan ikkita to‘g‘ri chiziqli yasovchi o‘tadigan
xususiyatga ega. Ayniqsa, bu yasovchilar orqali sirtning o‘zini to‘g‘ri chiziqlar
yordamida qurish mumkinligi uning konstruktiv jozibasini oshiradi. Giperbolik
paraboloid ayniqsa zamonaviy arxitekturaviy dizaynlarda – sport stadionlari,
24
muhtasham tom konstruksiyalari, ichki makon bezaklarida, paraboloidli panjaralar
va hatto zilzilabardosh binolarda keng qo‘llaniladi. Chunki bu sirtlar kuchni teng
taqsimlaydi va yuklamani optimal tarzda tarqatadi.
Bir pallali giperboloid va giperbolik paraboloid sirtlar xalq xo ’ jaligida va
texnikada keng tadbiq qilinadi . Masalan , injener Vladimir Grigoryevich Shuxov
(1853-1939) bir pallali aylanma giperboloid sirtdan foydalanib , har xil minoralarni
qurish g ’ oyalarini olg ’ a suradi . Televizor va radio (va hokazo) stansiyalarning
antennalarini qurish g’oyalarini olg’a suradi (2.1.3-chizma). Bu g’oya asosida
Moskvadagi televizor minorasi qurilgan.
Bir pallali aylanma giperboloid sirtdan tishli uzatishlarda foydalaniladi
(2.1.4- chizma).

2.2.2-chizma 2.2.3-chizma 2.2.4-chizma
Misol uchun, Berlin Telekom minorasi, Chikagodagi Sears Tower
inshootining ayrim qismi, Yaponiyadagi osmono‘par binolar – bularning barchasi
bu sirtlar asosida qurilgan.
Bundan tashqari, matematik modellashtirishda ham ushbu sirtlarning
ahamiyati yuqori. Ular yordamida ko‘plab fizik hodisalarni modellashtirish,
ayniqsa elektr maydoni, suyuqliklar oqimi, yorug‘lik sinishi va refleksiya

holatlarini o‘rganish mumkin. Sirtlar geodeziya, kartografiya, aerodinamika,
kosmonavtika va boshqa ko‘plab sohalarda ham amaliy ahamiyatga ega.
25
XULOSA
Analitik geometriyada fazodagi sirtlarning shakli, ularning matematik modellar
orqali ifodalanishi va geometrik xossalarini o‘rganish, matematikaning muhim
sohalaridan biri hisoblanadi. Mazkur kurs ishida ko‘rib chiqilgan bir pallali
giperboloid va giperbolik paraboloid sirtlari geometrik shakllar orasida o‘ziga xos
alohida o‘rin egallaydi. Bu sirtlarning umumiy xossalari, tenglamalari, ularni
to‘g‘ri chiziqli yasovchilar orqali tavsiflash, geometrik modellarda ularning
ahamiyati chuqur tahlil qilindi.
Eng avvalo, bir pallali giperboloid – bu ikkinchi tartibli sirt bo‘lib, fazodagi
har bir nuqtasi ushbu sirtning o‘qi atrofida aylanishi natijasida hosil bo‘ladi. Bu sirt
ko‘p hollarda simmetrik, strukturaviy mustahkam va estetik jihatdan jozibador
shaklga ega bo‘lishi bilan ajralib turadi. Ayniqsa, uning har bir nuqtasidan ikkita
to‘g‘ri chiziqli yasovchi o‘tishi geometrik jihatdan juda muhim va noyob xossadir.
Bu holat sirtni yasalish jihatidan osonlashtiradi, ya’ni uni faqat to‘g‘ri chiziqlardan
iborat bo‘lgan konstruksiyalardan yasash mumkin. Bu esa uni arxitektura va
muhandislik sohasida juda qulay qiladi. Jumladan, sovutkich minoralari, suv
minoralari, radiominoralar, zamonaviy ko‘priklar va hatto mashhur bino va
inshootlar dizaynida ushbu sirtning qo‘llanilishi keng tarqalgan.
Kurs ishining asosiy e’tibori ushbu sirtlardagi to‘g‘ri chiziqli yasovchilarni
aniqlashga qaratildi. Ularning tenglamalari parametrik ko‘rinishda keltirildi, ularni
qurish algoritmi, graflarni chizish, analitik ifodalar yordamida yuzaga chiqadigan

fazoviy munosabatlar tahlil qilindi. Bu yerda ayniqsa muhim jihat shuki, bir pallali
giperboloidda har bir nuqtadan ikkita to‘g‘ri chiziq – o‘zaro turlicha yo‘nalishda
bo‘lgan yasovchilar o‘tadi. Bu chiziqlar birgalikda sirtni yasovchi elementlar
sifatida qaraladi.
Giperbolik paraboloidda ham shunga o‘xshash holat mavjud. Bu sirtni hosil
26
qiluvchi to‘g‘ri chiziqlar ikki oilaga bo‘linadi va ular har xil parametrik ifodalar
bilan beriladi. Ularning fazodagi joylashuvi esa bir-biriga qiyalashgan va
gorizontal yoki vertikal bo‘lishi mumkin. Bu ikki sirtning umumiy jihati shundaki,
ikkalasi ham to‘g‘ri chiziqli yasovchilar orqali ifodalanadi, ammo ular orasida
farqlar ham mavjud. Masalan, giperboloid – yopiq sirt bo‘lib, o‘z o‘qiga nisbatan
simmetrik, giperbolik paraboloid esa ochiq sirt bo‘lib, u markaziy simmetriyaga
ega emas.
Kurs ishida ushbu sirtlarning to‘g‘ri chiziqli yasovchilarini aniqlashda
foydalanilgan formulalar, parametrik tenglamalar, hamda grafiklar orqali ularning
fazodagi holatini tushunish yanada osonlashdi.
Xulosa qilib aytganda, bir pallali giperboloid va giperbolik paraboloid –
analitik geometriya va matematik modellashtirishning eng muhim ob’yektlaridan
biridir. Ularning o‘ziga xos xususiyatlari – to‘g‘ri chiziqli yasovchilar orqali
ifodalash mumkinligi – nazariy va amaliy jihatdan birdek foydalidir. Bu sirtlar
oddiy matematik tenglamalar yordamida murakkab fazoviy shakllarni ifodalash
imkonini beradi, bu esa ularni nafaqat o‘rganish uchun, balki real hayotda
qo‘llashda ham juda zarur .
Shuning uchun bu kurs ishining natijalari, ayniqsa o‘quvchilar va talabalar
uchun sirtlar geometriyasini chuqur o‘rganishda, fazodagi murakkab ob’yektlarni
oddiy tenglamalar orqali tasvirlashda va ular asosida muhandislik yondashuvlarini
shakllantirishda muhim nazariy asos bo‘lib xizmat qiladi. Bundan keyin ham bu
kabi sirtlar ustida ishlash, ularning ko‘rinishini raqamli dasturlar yordamida
modellashtirish va amaliyotga tatbiq etish dolzarb bo‘lib qoladi.

27
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Narmanov A.Y. Analitik geometriya. Toshkent . “O‘zbekiston faylasuflari milliy
jamiyati” 2020 yil , 176 bet.
2. Bayturayev A.M., Kucharov. R.R. Algebra va geometriya. Toshkent.
“Innovatsiya-Ziyo”, 2020 yil, 184 bet.
3 . Baxvalov S.V., Modenov P.S., Parxomenko A.S. Analitik geometriyadan
masalalar to‘plami. T. Universitet, 2006 yil, 442 bet.
4. Ильин В. А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М. «Физматлит», 2004
yil , 232 стр. 4. X.Latipov, Sh.Tojiеv “Analitik gеomеtriya va chiziqli algеbra”,
T.1995 ,
5. Dadajonov N.D. , Jurayev M.SH. Geometriya. 1-qism Toshkent. 1995
6. Latipov X., Tojiyev SH., Rustamov R. Analitik geometriya va chiziqli
algebra. Toshkent . “ O ‘ qituvchi ” 1993 y
7. Клетеник Д.В., Сборник задач по аналитической геометрии. М .
« Физматлит », 2016 г , 241 стр .
8 . Boxonov.Z.S Analitik geometriyadan misol va masalalar to‘plami.
Uslubiy qo‘llanma. Nam DU 2018 yil, 106 bet.
9. Izu Vaisman . Analytical Geometry. World Scientific, USA, 2007 year,
297 p.
13. htt://www.arki.ru/magaz
14. htt://www.lib.ru
15. htt://www.bilimdon.uz
16. htt://www.istedod.uz

Bir pallali giperboloid va giperbolik paraboloidning to’g’ri chiziqli yasovchilari

Sotib olish