Dokument ma'lumotlari

Narxi 30000UZS
Hajmi 2.2MB
Xaridlar 0
Yuklab olingan sana 05 Iyun 2025
Kengaytma doc
Bo'lim Kurs ishlari
Fan Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

136 Sotish

Bir pallali giperboloid va giperbolik paraboloidning to’g’ri chiziqli yasovchilari

Sotib olish
O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM , FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI Farg‘ona davlat universiteti Fizika-matematika fakulteti Matematika yo‘nalishi 24.01-guruh talabasi qizining Analitik geometriya fanidan “Bir pallali giperboloid va giperbolik paraboloidning to’g’ri chiziqli yasovchilari” mavzusidagi KURS ISHI Kurs ishi rahbari: Farg‘ona-2025 MUNDARIJA KIRISH ………………………………………………………………………………….3 I-BOB. IKKINCHI TARTIBLI SIRTLAR HAQIDA UMUMIY TUSHUNCHALAR………………………………………………………6 1.1-§.Ikkinchi tartibli sirtlar ………………...……………………….....…6 1.2-§. Kanonik tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli sirtlar…..……10 II-BOB. IKKINCHI TARTIBLI SIRTLARNING TO’G’RI CHIZIQLI YASOVCHILARI…………………………………………………..…...17 2.1-§. Bir pallali giperboloid…………………………………………..…21 2.2-§. Bir pallali giperboloid v a giperbolik paraboloidning to’g’ri chiziqli yasovchilari…………………………………………….…………………17 XULOSA…………………………………………………………………26 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR………………………………..28 2 KIRISH “Agar mendan sizni nima qiynaydi?” deb so‘rasangiz, farzandlarimizning ta’lim- tarbiyasi deb javob beraman!!! Shavkat Mirziyoyev Ilg‘or millat va rivojlangan davlat bo‘lishning zarur shartlaridan biri aqliy va jismoniy, madaniy va ma’naviy, axloqiy, g‘oyaviy – siyosiy va huquqiy jihatdan, har tomonlama yetuk, barkamol insonlarga ega bo‘lishdir. Ma’naviy – ma’rifiy jihatdan inson irodasi mustahkam, e’tiqodi yuksak, vijdon amri bilan yashaydigan shaxs, barkamol avlod har qanday davlat, xalq va millatning eng katta boyligi, qudrati salohiyati manbayidir. Mamlakatimiz prezidenti tomonidan ta’kidlab kelinayotganidek, “Har qaysi davlat, har qaysi millat nafaqat yerosti va yerusti boyliklari bilan, harbiy qudrati va ishlab chiqarish salohiyati bilan, balki birinchi navbatda o‘zining yuksak madaniyati va ma’naviyati bilan kuchlidir”. Odamlari, fuqarolari bilimli – zakovatli, uddaburon, g‘oyaviy siyosiy jihatdan ziyrak va hushyor, tadbirkor, har tomonlama yetuk bo‘lgan jamiyat har qanday islohotlarga qodir bo‘ladi va har qanday muammo va qiyinchiliklarni yenga oladi. Oliy rahbarimiz bu haqida shunday dedi: “Lo‘nda qilib aytganda, bugungi kunda oldimizda qo‘ygan buyuk maqsadlarimizga, ezgu niyatlartimizga erishishimizda jamiyatimizning yangilanishi, hayotimizning taraqqiyoti va istiqboli amalga oshirayotgan islohotlarimiz, rejalarimizning samarasi taqdiri bularning barchasi avvalambor zamon talablariga javob beradigan yuqori malakali, ongli mutaxassis kadrlar tayyorlash muammosi bilan chambarchas bog‘liqligini barchamiz anglab yetmoqdamiz. Shu bilan birga barchamiz yana bir haqiqatni anglab yetmoqdamiz. Faqatgina chinakam ma’rifatli odam inson qadrini, millat qadriyatlarini, bir so‘z bilan aytganda, o‘zligini aniqlash, erkin va ozod jamiyatda yashash, mustaqil davlatimizning jahon hamjamiyatida o‘ziga munosib, fidoiylik bilan kurashishi 3 mumkin”. Mustaqil va erkin fikrlayotgan, ongli yashaydigan, o‘z haq – huquqlarini yaxshi taniydigan, o‘z kuchi va aqliga ishonadigan, ma’naviy – axloqiy yetuk barkamol bo‘lgan avlodni, mustaqil fikrlashga qodir, jasoratli, fidoiy va tashabbuskor kishilarni tarbiyalab yetkazadigan xalq va millat kelajakka ochiq ko‘z, katta ishonch, umid va ixlos bilan qaray oladi. Fuqarolarni ana shunday noyob xislat va fazilat sohiblari qilib shakllantirilgan davlatning istiqboli porloq bo‘ladi. Kurs ishining dolzarbligi: Zamonaviy ilm-fan va texnologiya taraqqiyoti geometriyaning chuqur nazariy asoslariga tayanadi. Jumladan, analitik geometriya fanida o‘rganiladigan ikkinchi tartibli sirtlar – xususan bir pallali giperboloid va giperbolik paraboloid – bugungi kunda nafaqat nazariy jihatdan, balki amaliy muammolarni yechishda ham dolzarb ahamiyat kasb etadi. Birinchidan, bu sirtlarning to‘g‘ri chiziqli yasovchilarga ega bo‘lishi ularni qurilish va muhandislikda ishlatishga juda moslashtiradi. Masalan, bir pallali giperboloid strukturalari oddiy to‘g‘ri chiziqli elementlardan iborat bo‘lgani uchun ular arzon, mustahkam va eng muhimi, estetik jihatdan jozibali inshootlar qurishda keng qo‘llaniladi. Bu jihat uni zamonaviy arxitektura uchun ideal shaklga aylantiradi. Ikkinchidan, giperbolik paraboloid o‘zining maxsus geometrik egri shakli sababli zilzilabardosh inshootlar va yuklamalarni bir tekis taqsimlovchi qurilish konstruksiyalari yaratishda muhim rol o‘ynaydi. Ayniqsa, sport inshootlari, stadionlar, ko‘priklar va tom qoplamalari dizaynida bu shakl ko‘p uchraydi. Bu sirtlar har qanday tashqi ta’sirga nisbatan kuchni silliq tarzda tarqatadi, bu esa barqarorlikni oshiradi. Uchinchidan, ushbu sirtlar kompyuter grafikasi, sanoat dizayni, robototexnika va avtomatlashtirilgan tizimlar loyihalashda, shuningdek 3D modellashtirish va virtual haqiqat texnologiyalarida foydalaniladi. Ularning oddiy tenglamalar orqali tasvirlanishi geometriya va informatika fanlarini birlashtirgan holda innovatsion dasturiy mahsulotlar yaratishga xizmat qiladi. . 4 Kurs ishining maqsadi va vazifalari: Mazkur kurs ishining asosiy maqsadi — bir pallali giperboloid va giperbolik paraboloid sirtlarining geometrik va analitik xossalarini chuqur o‘rganish, ayniqsa ularning to‘g‘ri chiziqli yasovchilar orqali tasvirlanish xususiyatlarini aniqlash va ushbu xossalarning nazariy hamda amaliy ahamiyatini asoslashdan iborat. Bu orqali talabaga fazodagi sirtlar haqida chuqur tushuncha berish, ularni grafik va parametrik tenglamalar yordamida ifodalash ko‘nikmalarini shakllantirish, hamda bu sirtlarning real hayotdagi qo‘llanishlarini tahlil qilish imkonini yaratish ko‘zda tutiladi. 5 I-BOB. IKKINCHI TARTIBLI SIRTLAR HAQIDA UMUMIY TUSHUNCHA. 1.1 -§ . Ikkinchi tartibli sirtlar. Fazoda dekart koordinatalari sistemasi kiritilgan bo‘lib, unda ikkinchi darajali ko’phad yordamida berilgan ( 1.1. 1) tenglamani qaraylik. Fazoda koord inatalari (1.1.1) tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar to'plami ikkinchi tartibli sirt deb ataladi. Agar sirtning koordinatalar sistemasiga nisbatan joylashishi alohida xususiyatga ega bo‘lsa (masalan, ba’zi koordinatalar sistemalariga nisbatan simmetrik joylashgan bo‘lsa), u holda uning tenglamasi juda sodda ko‘rinishga ega bo‘ladi va u kanonik tenglama deyiladi. Ta’rif . Biror affin reperda ikkinchi tartibli algebraik tenglama bilan aniqlanadigan nuqtalar to’plami ikkinchi tartibli sirt deb ataladi : (1.1.2) bu yerda dastlabki 6ta had bosh had deyilib ular bir vaqtda nolga teng emas, ya’ni Ikkinchi tartibli sirtlar nazariyasida sirtlar klassifikatsiya qilinadi va ularning turli ko‘rinishlari o‘rganiladi. Sirtlarni o‘rganishning usullaridan biri kesim usulidir. Bunda sirtlarning koordinata tekisliklariga parallel bo‘lgan yoki koordinata tekisliklarining o‘zi yordamidagi kesimlari o‘rganiladi. Hosil bo‘lgan kesimlarning ko‘rinishiga qarab sirt haqida xulosa chiqariladi. Sirtlarni klassifikatsiyalash g‘oyasi koordinatalar sistemasini kanonik sistemaga keltirish yo‘li bilan sirtlarning tenglamalarini kanonik ko‘rinishga keltirishga asoslangan. Bizga biror π tekislikda ikkinchi tartibli chiziq hamda shu tekislikka 6 parallel bo’lmagan u to’g’ri chiziq berilgan bo’lsin. Ta’rif. u to’g’ri chiziqqa parallel hamda chiziq bilan kesishuvchi fazodagi barcha to’g’ri chiziqlar to’plami ikkinchi tartibli silindrik sirt deb ataladi. Ta’rifda qatnashayotgan chiziq shu silindrik sirtning yo’naltiruvchisi , to’g’ri chiziqlar esa uning yasovchilari deyiladi. S silindrik sirt bilan π tekislik kesishmasidan hosil bo’lgan geometrik obraz umumiy holda ( 1.1. 3) tenglama bilan aniqlanadi. Bu ( 1.1. 3) tenglama π tekislikdagi ikkinchi tartibli chiziqning umumiy tenglamasidir. Shu ikkinchi tartibli chiziqning turiga qarab ikkinchi tartibli silindrni sinflarga ajratish mumkin . Bundan tashqari , ( 1.1. 3) tenglama bilan aniqlanadigan chiziqni S ning yo’naltiruvchisi sifatida qabul qilsak ham bo’ladi. Demak , ikkinchi tartibli silindrning yo’naltiruvchilari ellips, giperbola , parabola , ikkita kesishuvchi to’g’ri chiziq , ikkita o’zaro parallel to’g’ri chiziqlardan iborat bo’lishi mumkin. Yo’naltiruvchilari shu chiziqlardan iborat ikkinchi tartibli silindrik sirtlar mos ravishda ellipik silindr , giperbolik silindr, parabolik silindr, ikkita kesishuvchi tekislik , ikkita o’zaro parallel tekislik ( ustma-ust tushmagan) deb yuritiladi. Bu silindrlarning tenglamasini dekart reperida kanonik ko’rinishda yozamiz: Elliptik silindr (1.1.2-chizma) Giperbolik silindr (1.1.3-chizma) Parabolik silindr (1.1.4-chizma) Ikki kesishuvchi tekislik (1.1.5-chizma) Ikki parallel tekislik (1.1.6-chizma) 7 1.1.2-chizma 1.1.3-chizma 1.1.4-chizma 1.1.5-chizma 1.1.6-chizma 8 Biror π tekislikda ikkinchi tartibli chiziq va bu tekislikka tegishli bo’lmagan M₀ nuqta berilgan bo’lsin. Ta’rif. Fazodagi M ₀ nuqtadan o’tib , ni kesib o’tuvchi barcha to’g’ri chiziqlar to’plami ikkinchi tartibli konus sirt deb ataladi. M ₀ konus uchi , chiziq esa konus yo’naltiruvchisi , konusni hosil qiluvchi to’g’ri chiziqlar uning yasovchilari deb ataladi. (1.1.7-chizma) Konus yasovchilari markazi konus uchida bo’lgan to’g’ri chiziqlar bog’lamiga tegishlidir. 1.1.7-chizma Π tekislikda biror chiziq va u to’g’ri chiziq berilgan bo’lsin. Ta’rif . chiziqning u to’g’ri chiziq atrofida aylanishidan hosil bo’lgan Ф figura aylanma sirt deb ataladi ( ya’ni ni u atrofida 2 π burchakka burishdan hosil bo’lgan figura). Bunda aylanma sirtning meridiani , u aylanish o’qi deb ataladi. (1.1.8-chizma) 9 1.1.8-chizma Ravshanki , ning har bir nuqtasi u atrofida aylanishida biror aylanani hosil qilib , bu aylananing markazi u to’g’ri chiziqda bo’ladi. 1.2 -§ . Ellipsoid, paraboloid, giperboloid. Ta’rif. Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini biror dekart koordinatalari sistemasida ko’rinishda yozish mumkin bo’lsa , u ellipsoid deb ataladi. 1.2.1-chizma 10 Ellipsoid tenglamasidan ko’rinadiki , u koordinata o’qlariga nisbatan simmetrik joylashgan , koordinata boshi esa uning simmetriya markazidir . 1.2.2-chizma Xususan, agar a=b=c=R bo‘lsa, markazi koordinatalar boshida bo‘lgan R radiusli sferani olamiz. a, b, c sonlar ellipsoidning yarim o‘qlari deyiladi. Agar yarim o‘qlar har xil bo‘lsa, ellipsoid uch o‘qli ellipsoid deyiladi. Ellipsoidning koordinata o‘qlari bilan kesishgan A (-a,0,0) , A (a,0,0) , B (0,-a,0) , B (0,a,0)₁ ₂ ₁ ₂ C (0,0,-a) , C (0,0,a) ₁ ₂ nuqtalar ellipsoidning uchlari deyiladi. Markazi M (x ,y ,z ) ₀ ₀ ₀ ₀ nuqtada bo‘lgan ellipsoid tenglamasi ko‘rinishda bo‘ladi. Sfera ham ellipsoiddir, chunki ellipsoid tenglamasida a=b=c=R bo‘lsa, sfera tenglamasi hosil bo‘ladi. Ta’rif. Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini biror dekart koordinatalar sistemasida ko’rinishida yozish mumkin bo’lsa , u ikki pallali giperboloid deb ataladi. Ikki pallali giperboloid tenglamasidan ko’rinadiki , uchinchi o’zgaruvchi z ≤ c va z ≥ c tengsizliklarni qanoatlantirishi kerak . Demak, ikki pallali giperboloid ikki qismdan iborat . Bundan tashqari, tenglamadan ko’rish mumkinki , giperboloid 11 koordinata tekisliklariga nisbatan simmetrik joylashgan , koordinata boshi esa uning simmetriya markazi bo’ladi. Bularni hisobga olib , uni chizmada tasvirlashimiz mumkin 1.2.3-chizma 1.2.4-chizma Koordinatalar kanonik sistemasining o‘qlari ikki pallali giperboloidning simmetriya o‘qlari, koordinatalar boshi – uning simmetriya markazi, koordinatalar tekisliklari esa simmetriya tekisliklari bo‘ladi . Ta’rif . Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini biror dekart koordinatalar sistemasida ko’rinishida yozish mumkin bo’lsa , u konus deb ataladi. 1.2.5- chizma 12 Agar a=b bo‘lsa, u holda doiraviy konus hosil bo‘ladi. Konusning z=h gorizontal tekisliklar bilan kesimida ellipslar hosil bo‘ladi ( h  0 bo‘lganda konus nuqtaga aylanib qoladi): Konusningning x=h va y=h vertikal tekisliklar bilan kesimida giperbolalar hosil bo‘ladi: yoki Ta’rif . Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini biror dekart koordinatalar sistemasida ko’rinishida yozish mumkin bo’lsa , u elliptik paraboloid deb ataladi. 1.2.6-chizma 13 1.2.7-chizma Ta’rif . Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini biror dekart koordinatalar sistemasida ko’rinishida yozish mumkin bo’lsa , u giperbolik paraboloid deb ataladi. Giperbolik paraboloidni o’qiga parallel tekisliklar bilan kessak kesimda parabolalarni olamiz. 1.2.8-chizma 14 Giperbolik paraboloidning 1.2.8-chizma yoki 1.2.9-chizmadagidek sirt ko’rinishida tasavvur qilish mumkin , ba’zan bu sirt “egarsimon sirt” deb ham yuritiladi. 1.2.9-chizma Ta’rif . Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini biror dekart koordinatalar sistemasida ko’rinishida yozish mumkin bo’lsa , u elliptik silindr deb ataladi. 1.2.10-chizma 15 Agar bo‘lsa, doiraviy silindr hosil bo‘ladi. Ta’rif . Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini biror dekart koordinatalar sistemasida ko’rinishida yozish mumkin bo’lsa , u giperbolik silindr deb ataladi. 1.2.11-chizma Ta’rif . Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini biror dekart koordinatalar sistemasida ko’rinishida yozish mumkin bo’lsa , u parabolik silindr deb ataladi. 1.2.12-chizma 1.2.13-chizma 16 II-BOB. IKKINCHI TARTIBLI SIRTLARNING TO’G’RI CHIZIQLI YASOVCHILARI. 2.1-§.Bir pallali giperboloid Ta’rif . Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini birorta dekart koordinatalari sistemasida (2.1.1) ko‘rinishda yozish mumkin bo’ls а , u bir pallali giperboloid deb ataladi. Bu tenglamada a≥ b>0, с > 0 munosabatlar bajarilishi talab qilinadi. Bir pallali giperboloidning tenglamasidan ko'rish mumkinki, u koordinata tekisliklariga nisbatan simmetrik joylashgan, koordinata boshi esa uning simmetriya markazi bo'ladi. Bir pallali giperboloidning koordinata o‘qlari bilan kesishgan A (-a,0,0) ₁ , A (a,0,0) , B (0,-a,0) , B (0,a,0) ₂ ₁ ₂ nuqtalar bir pallali giperboloidning uchlari deyiladi. Bir pallali giperboloid bilan umumiy nuqtaga ega bo‘lmagan Oz o‘qi uning mavhum o‘qi deyiladi. Bir pallali giperboloidni z = h tenglama bilan aniqlangan tekislik bilan kessak, har qanday uchun kesimda tenglama bilan aniqlanuvchi ellips hosil bo'ladi. Bu ellipsning yarim o'qlari mos ravishda va kattaliklarga tengdir. Agar h=0 bo'lsa, kesimda eng kichkina ellips hosil bo'ladi. Bu ellips bir pallali giperboloidning bo'g'zi deb ataladi. Bir pallali giperboloidni x=h , y=h tenglama bilan aniqlangan tekisliklar bilan kessak, mos ravishda va bo’lganda kesimda va 17 tenglamalar bilan aniqlanuvchi giperbolalar hosil bo'ladi. Bu giperbolalardan birinchisining yarim o'qlari mos ravishda va kattaliklarga tengdir. Agar yoki bo’lsa , kesimda mos ravishda va tenglamalar bilan aniqlanuvchi ikkita kesishuvchi to‘g‘ri chiziqlar hosil bo‘ladi. Bu faktlarni hisobga olib, bir pallali giperboloidni chizmada tasvirlashimiz mumkin (2.1.1-chizma). 2.1.1-chizma Ta’rif . Sirtning har bir nuqtasidan shu sirtda yotuvchi to‘g ‘ri chiziq о ‘tsa, bunday sirt chiziqli sirt deyiladi. 18 Sirt chegaralagan bo‘lsa, unda to‘g‘ri chiziq yotmaydi va shuning uchun u chiziqli sirt bo'lmaydi. Demak, ellipsoid chiziqli sirt bo'lmaydi. Teorema . Bir pallali giperboloid chiziqli sirt bo‘lib, uning har bir nuqtasidan giperboloidda yotuvchi ikkita to‘g ‘ri chiziq o‘tadi. Isbot . Bir pallali gipeiboloidning M(x , y , z ) nuqtasidan yo'nalishdagi to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamalari ko'rinishda bo‘ladi. Bu to‘g‘ri chiziq bir pallali giperboloidda yotishi uchun tenglik t ning har qiymatida bajarilishi kerak. Bu tenglikda munosabatni hisobga olsak, va tengliklarni hosil qilamiz. Yo‘nalishni aniqlovchi vektorning hamma koordinatalari nolga teng bo‘lmaganlini uchun yuqoridagi tenglikning birinchisidan п ≠ 0 ekanligi kelib chiqadi. Biz umumiylikni chegaralamasdan n=c deb olamiz. Bundan esa l , m lar uchun va shartlarni olamiz. Agar biz , (2.1.1) tengliklar bilan nuqtani aniqlasak 19 tenglikni olamiz . Bundan tashqari tenglikdan (2.1.2) munosabat kelib chiqadi . Demak, nuqta giperboloidning bo’g’ziga tegishlidir. Yuqoridagi (2.1.1) tenglikdan munosabat kelib chiqadi. Biz agar tengliklar bilan {l,m,c} vaktorning l , m koordinatalarini aniqlasak, munosabatni hisobga olib (2.1.2) tenglikdan u=± 1 qiymatlarni topamiz. Demak , biz qidirayotgan to’g’ri chiziqlarning parametrik tenglamalari ko ’ rinishda bo ’ ladi . Bu to ’ g ’ ri chiziqlar bo ’ lganda nuqtadan o ’ tadi . Haqiqatan ham (2.1.1) tengliklardan 20 munosabatlarni hosil qilish mumkin. Teorema isbotlandi. 2.2 -§ . Bir pallali giperboloid va giperbolik paraboloidning to ’ g ’ ri chiziqli yasovchilari . Biz yuqorida ikkinchi tartibli sirtlarning turli sinflari bilan tanishdik. Unda sirtlar bir-biridan tenglamalari bilan yoki ta’riflari bilan farq qilar edi. Endi bu sirtlarni biz boshqa nuqtai nazardan ikki sinfga ajratamiz. Ulardan biriga ikkinchi tartibli shunday sirtlarni kiritamizki , ular o’z tarkibiga to’g’ri chiziqlarni to’liq olsin , bunday sirtlar to’g’ri chiziqli sirtlar deyiladi. Bunday sirtlarga ikkinchi tartibli silindr va konuslar yaqqol misol bo’la oladi. Ikkinchi sinfga esa tarkibida bitta ham to’g’ri chiziq bo’lmagan ikkinchi tartibli sirtlarni kiritamiz , ravshanki , ellipsoid chegaralangan sirt bo’lgani uchun uning tarkibida to’g’ri chiziq yo’q , demak , ellipsoid ikkinchi sinfga kiradi. Sirtlar tarkibidagi to’g’ri chiziqlar shu sirtlarning yasovchilari deb ataladi. Tarkibida cheksiz ko’p to’g’ri chiziqlar mavjud bo’lgan sirtlar konus va silindrdan boshqa yana bormi degan savolga javob izlaymiz. Buning uchun bir pallali giperboloid va giperbolik paraboloid tenglamalarini o’rganaylik. Bir pallali giperboloid tenglamasi (2.2.1) buni (2.2.2) Ko’rinishida yozib olamiz va quyidagi ikkita tenglamalar sistemasini qaraymiz. 21 (2.2.3) (2.2.4) λ va μ kamida bittasi noldan farq qiluvchi haqiqiy sonlar. λ va μ haqiqiy₁ ₁ sonlar ham shu shartlarni qanoatlantiradi. (2.2.3) va (2.2.4) tenglamalar sistemasining x,y,z koeffitsiyentlaridan tuzilgan matritsa rangining ikkiga teng ekanligini hisoblash qiyin emas. Demak, bu tenglamalar sistemasining har biri to’g’ri chiziqni aniqlaydi. Agar (2.2.3) tenglamalar sistemasining har bir tenglamasini noldan farqli haqiqiy songa ko’paytirsak , yana o’sha to’g’ri chiziqni ifodalovchi yangi tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz. Demak, (2.2.3) tenglamalar sistemasi bilan aniqlangan to’g’ri chiziq tenglamasini yozish uchun λ : μ nisbatni bilish yetarlidir. Bu mulohazani (2.2.4) tenglamalar sistemasiga ham tadbiq qilish mumkin. λ : μ nisbatni bilish yetarli. ₁ ₁ Agar N(x ,y ,z ) ₀ ₀ ₀ nuqtaning koordinatalari (2.2.3) , (2.2.4) tenglamalar sistemasini qanoatlantirsa, u holda (2.2.2) tenglamani ham qanoatlantiradi. Bundan esa (2.2.3) tenglamalar sistemasi bilan aniqlangan har bir to’g’ri chiziq, shuningdek (2.2.4) tenglamalar sistemasi bilan aniqlangan har bir to’g’ri chiziq berilgan (2.2.1) sirtda yotadi va to’g’ri chiziqli yasovchisi vazifasini o’taydi. (2.2.3) tenglamalar sistemasi bilan aniqlangan to’g’ri chiziqlar  ,  larning bir vaqtda nolga teng bo’lmagan barcha qiymatlarida (2.2.1) bir pallali giperboloid sirtning, birinchi to’g’ri chiziqli yasovchilar oilasini tashkil qiladi. (2.2.4) tenglamalar sistemasi bilan aniqlangan to’g’ri chiziqlarda  , ₁  larning bir vaqtda ₁ nolga teng bo’lmagan barcha qiymatlarida (2.2.1) bir pallali giperboloid sirtning ikkinchi to’g’ri chiziqli yasovchilar oilasini tashkil qiladi. 22 Bir pallali giperboloid sirtning to’g’ri chiziqli yasovchilarining asosiy xossalarini isbotsiz keltiraylik. 1°. Bir pallali giperboloid sirtning har bir nuqtasi orqali ikkita va faqat ikkita to’g’ri chiziqli yasovchilar o’tadi. Ularning biri (2.2.3) tenglamalar sistemasi bilan aniqlangan oilaga, ikkinchisi (2.2.4) tenglamalar sistemasi bilan aniqlangan oilaga tegishli. 2°. Bir oilaga tegishli ixtiyoriy ikkita to’g’ri chiziqli yasovchi ayqash. 3°. Har xil oilaga qarashli ikkita to’g’ri chiziqli yasovchilar orqali bir tekislik o’tadi. Ikki oilali to’g’ri chiziqli yasovchilarga ega bir pallali giperboloid sirt 2.2.1- chizmada tasvirlangan. Quyidagi ikkita tenglamalar sistemasini qaraylik. (2.2.5) (2.2.6) Bu yerda  ,  lar kamida bittasi noldan farq qiluvchi haqiqiy sonlar.  va ₁  sonlar ham shu shartlarni qanoatlantiruvchi haqiqiy sonlar. ₁ Bir vaqtda nol bo’lmagan  va  larning barcha qiymatlarida (2.2.5) tenglamalar sistemasi sirtning birinchi to’g’ri chiziqli yasovchilar oilasini aniqlashini,  ₁ va  larning bir vaqtda nol bo’lmagan barcha qiymatlarida (2.2.6) ₁ tenglamalar sistemasi sirtning ikkinchi bir to’g’ri chiziqli yasovchilar oilasini aniqlashini isbotlash mumkin. Giperbolik paraboloidning to’g’ri chiziqli yasovchilari, bir pallali giperboloidning to’g’ri chiziqli yasovchilari qanday xossalarga ega bo’lsa, shunday xossalarga ega. Bulardan tashqari quyidagi xossalarga ega . (2.2.3) tenglamalar 23 sistemasi bilan aniqlangan barcha to’g’ri chiziqli yasovchilar oilasi tekislikka, (2.2.4) bilan aniqlangan barcha to’g’ri chiziqli yasovchilar tekislikka parallel. Ikki pallali to’g’ri chiziqli yasovchiga ega giperbolik paraboloid sirt 2.2.2- chizmada tasvirlangan. Biz yuqorida ellipsoidning to ’ g ’ ri chiziqli yasovchilarini yo ’ qligini ko ’ rsatgan edik , shunga o ’ xshash , ikki pallali giperboloid ham to ’ g ’ ri chiziqli yasovchilarga ega bo ’ lmaydi . Haqiqatdan ham , ikki pallali giperboloidni tekislik bilan kesilganda , ravshanki , kesimda ikkinchi tartibli chiziq hosil bo ’ lib , buning tarkibida to ’ g ’ ri chiziq yo ’ qdir , demak , ikki pallali giperboloidni tekislikka parallel to ’ g ’ ri chiziqli yasovchisi yo ’ q , agar ga parallel bo ’ lmagan to ’ g ’ ri chiziqli yasovchi bor bo ’ lsa y to ’ g ’ ri chiziq bu tekislik bilan kesishadi , kesimda hosil bo ’ lgan nuqta to ’ g ’ ri chiziqqa tegishli bo ’ lib , ikki pallali giperboloidga tegishli emas . Demak , ikki pallali giperboloid to ’ g ’ ri chiziqli yasovchilarga ega emas . Xuddi shu usul bilan elliptik paraboloid uchun ham yasovchilarning mavjud emasligini ko ’ rsatish mumkin . Boshqa tomondan, giperbolik paraboloid sirtlarning yana bir chiroyli, ammo murakkabroq shakli hisoblanadi. U ham o‘ziga xos tarzda ikkinchi tartibli sirt bo‘lib, tenglamasi parabola va giperbolaning kombinatsiyasi asosida quriladi. Ushbu sirt ham har bir nuqtasidan ikkita to‘g‘ri chiziqli yasovchi o‘tadigan xususiyatga ega. Ayniqsa, bu yasovchilar orqali sirtning o‘zini to‘g‘ri chiziqlar yordamida qurish mumkinligi uning konstruktiv jozibasini oshiradi. Giperbolik paraboloid ayniqsa zamonaviy arxitekturaviy dizaynlarda – sport stadionlari, 24 muhtasham tom konstruksiyalari, ichki makon bezaklarida, paraboloidli panjaralar va hatto zilzilabardosh binolarda keng qo‘llaniladi. Chunki bu sirtlar kuchni teng taqsimlaydi va yuklamani optimal tarzda tarqatadi. Bir pallali giperboloid va giperbolik paraboloid sirtlar xalq xo ’ jaligida va texnikada keng tadbiq qilinadi . Masalan , injener Vladimir Grigoryevich Shuxov (1853-1939) bir pallali aylanma giperboloid sirtdan foydalanib , har xil minoralarni qurish g ’ oyalarini olg ’ a suradi . Televizor va radio (va hokazo) stansiyalarning antennalarini qurish g’oyalarini olg’a suradi (2.1.3-chizma). Bu g’oya asosida Moskvadagi televizor minorasi qurilgan. Bir pallali aylanma giperboloid sirtdan tishli uzatishlarda foydalaniladi (2.1.4- chizma). 2.2.2-chizma 2.2.3-chizma 2.2.4-chizma Misol uchun, Berlin Telekom minorasi, Chikagodagi Sears Tower inshootining ayrim qismi, Yaponiyadagi osmono‘par binolar – bularning barchasi bu sirtlar asosida qurilgan. Bundan tashqari, matematik modellashtirishda ham ushbu sirtlarning ahamiyati yuqori. Ular yordamida ko‘plab fizik hodisalarni modellashtirish, ayniqsa elektr maydoni, suyuqliklar oqimi, yorug‘lik sinishi va refleksiya holatlarini o‘rganish mumkin. Sirtlar geodeziya, kartografiya, aerodinamika, kosmonavtika va boshqa ko‘plab sohalarda ham amaliy ahamiyatga ega. 25 XULOSA Analitik geometriyada fazodagi sirtlarning shakli, ularning matematik modellar orqali ifodalanishi va geometrik xossalarini o‘rganish, matematikaning muhim sohalaridan biri hisoblanadi. Mazkur kurs ishida ko‘rib chiqilgan bir pallali giperboloid va giperbolik paraboloid sirtlari geometrik shakllar orasida o‘ziga xos alohida o‘rin egallaydi. Bu sirtlarning umumiy xossalari, tenglamalari, ularni to‘g‘ri chiziqli yasovchilar orqali tavsiflash, geometrik modellarda ularning ahamiyati chuqur tahlil qilindi. Eng avvalo, bir pallali giperboloid – bu ikkinchi tartibli sirt bo‘lib, fazodagi har bir nuqtasi ushbu sirtning o‘qi atrofida aylanishi natijasida hosil bo‘ladi. Bu sirt ko‘p hollarda simmetrik, strukturaviy mustahkam va estetik jihatdan jozibador shaklga ega bo‘lishi bilan ajralib turadi. Ayniqsa, uning har bir nuqtasidan ikkita to‘g‘ri chiziqli yasovchi o‘tishi geometrik jihatdan juda muhim va noyob xossadir. Bu holat sirtni yasalish jihatidan osonlashtiradi, ya’ni uni faqat to‘g‘ri chiziqlardan iborat bo‘lgan konstruksiyalardan yasash mumkin. Bu esa uni arxitektura va muhandislik sohasida juda qulay qiladi. Jumladan, sovutkich minoralari, suv minoralari, radiominoralar, zamonaviy ko‘priklar va hatto mashhur bino va inshootlar dizaynida ushbu sirtning qo‘llanilishi keng tarqalgan. Kurs ishining asosiy e’tibori ushbu sirtlardagi to‘g‘ri chiziqli yasovchilarni aniqlashga qaratildi. Ularning tenglamalari parametrik ko‘rinishda keltirildi, ularni qurish algoritmi, graflarni chizish, analitik ifodalar yordamida yuzaga chiqadigan fazoviy munosabatlar tahlil qilindi. Bu yerda ayniqsa muhim jihat shuki, bir pallali giperboloidda har bir nuqtadan ikkita to‘g‘ri chiziq – o‘zaro turlicha yo‘nalishda bo‘lgan yasovchilar o‘tadi. Bu chiziqlar birgalikda sirtni yasovchi elementlar sifatida qaraladi. Giperbolik paraboloidda ham shunga o‘xshash holat mavjud. Bu sirtni hosil 26 qiluvchi to‘g‘ri chiziqlar ikki oilaga bo‘linadi va ular har xil parametrik ifodalar bilan beriladi. Ularning fazodagi joylashuvi esa bir-biriga qiyalashgan va gorizontal yoki vertikal bo‘lishi mumkin. Bu ikki sirtning umumiy jihati shundaki, ikkalasi ham to‘g‘ri chiziqli yasovchilar orqali ifodalanadi, ammo ular orasida farqlar ham mavjud. Masalan, giperboloid – yopiq sirt bo‘lib, o‘z o‘qiga nisbatan simmetrik, giperbolik paraboloid esa ochiq sirt bo‘lib, u markaziy simmetriyaga ega emas. Kurs ishida ushbu sirtlarning to‘g‘ri chiziqli yasovchilarini aniqlashda foydalanilgan formulalar, parametrik tenglamalar, hamda grafiklar orqali ularning fazodagi holatini tushunish yanada osonlashdi. Xulosa qilib aytganda, bir pallali giperboloid va giperbolik paraboloid – analitik geometriya va matematik modellashtirishning eng muhim ob’yektlaridan biridir. Ularning o‘ziga xos xususiyatlari – to‘g‘ri chiziqli yasovchilar orqali ifodalash mumkinligi – nazariy va amaliy jihatdan birdek foydalidir. Bu sirtlar oddiy matematik tenglamalar yordamida murakkab fazoviy shakllarni ifodalash imkonini beradi, bu esa ularni nafaqat o‘rganish uchun, balki real hayotda qo‘llashda ham juda zarur . Shuning uchun bu kurs ishining natijalari, ayniqsa o‘quvchilar va talabalar uchun sirtlar geometriyasini chuqur o‘rganishda, fazodagi murakkab ob’yektlarni oddiy tenglamalar orqali tasvirlashda va ular asosida muhandislik yondashuvlarini shakllantirishda muhim nazariy asos bo‘lib xizmat qiladi. Bundan keyin ham bu kabi sirtlar ustida ishlash, ularning ko‘rinishini raqamli dasturlar yordamida modellashtirish va amaliyotga tatbiq etish dolzarb bo‘lib qoladi. 27 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1. Narmanov A.Y. Analitik geometriya. Toshkent . “O‘zbekiston faylasuflari milliy jamiyati” 2020 yil , 176 bet. 2. Bayturayev A.M., Kucharov. R.R. Algebra va geometriya. Toshkent. “Innovatsiya-Ziyo”, 2020 yil, 184 bet. 3 . Baxvalov S.V., Modenov P.S., Parxomenko A.S. Analitik geometriyadan masalalar to‘plami. T. Universitet, 2006 yil, 442 bet. 4. Ильин В. А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М. «Физматлит», 2004 yil , 232 стр. 4. X.Latipov, Sh.Tojiеv “Analitik gеomеtriya va chiziqli algеbra”, T.1995 , 5. Dadajonov N.D. , Jurayev M.SH. Geometriya. 1-qism Toshkent. 1995 6. Latipov X., Tojiyev SH., Rustamov R. Analitik geometriya va chiziqli algebra. Toshkent . “ O ‘ qituvchi ” 1993 y 7. Клетеник Д.В., Сборник задач по аналитической геометрии. М . « Физматлит », 2016 г , 241 стр . 8 . Boxonov.Z.S Analitik geometriyadan misol va masalalar to‘plami. Uslubiy qo‘llanma. Nam DU 2018 yil, 106 bet. 9. Izu Vaisman . Analytical Geometry. World Scientific, USA, 2007 year, 297 p. 13. htt://www.arki.ru/magaz 14. htt://www.lib.ru 15. htt://www.bilimdon.uz 16. htt://www.istedod.uz 28

Bir pallali giperboloid va giperbolik paraboloidning to’g’ri chiziqli yasovchilari

Sotib olish