Bo’laklashlar kombinatorikasi - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	25000UZS
Hajmi	713.0KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	18 Mart 2025
Kengaytma	doc
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

82 Sotish

Bo’laklashlar kombinatorikasi

Sotib olish

REJA
KIRISH
I.BOB Kombinatorikaning asosiy tushunchalari
1.1 Kombinatorika haqida umumiy tushunchalar
1.2 Asosiy kombinatsiyalar
II.BOB Kombinatorikada ba’zi amallar
2.1 Kombinatorika elementlari
2.2 Paskal uchburchagi. Nyuton binomi
2.3 Takrorli kombinatsiyalar
2.4 Bo’laklashlar kombinatorikasi
XULOSA
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR

2KIRISH
Bugungi kunda farzandlarimizning ma’naviy olamini yuksaltirish, ularni
milliy va umuminsoniy qadriyatlar ruhida tarbiyalash masalasi biz uchun eng
dolzarb vazifa bo’lib qolmoqda.
Mamlakatimizda sog’lom va barkamol avlodni voyaga yetkazishning eng
muhim sharti bo’lgan ta’lim-tarbiya masalasi haqida so’z borganda, biz ko’pincha
sohaning moddiy texnik bazasini mustahkamlash, yangi maktablar, litsey va
kollejlar, oliy o’quv yurtlari barpo etish, ularni zamonaviy jihozlash haqida
ko’proq gapiramiz. Holbuki, ayni shu ishlarimiz bilan birga, ta’limning mazmuni,
sifati ham tubdan o’zgarmoqda.
Eng muhimi, zamonaviy bilim va tafakkurga, sog’lom dunyoqarashga ega,
rivojlangan davlatlardagi tengdoshlari bilan bellashishga tayyor bo’lgan, ko’zi
yonib turadigan navqiron avlodimizkatta ishonch bilan hayotga dadil kirib
kelayotgani barchamizni quvontiradi. Barchamiz bugun chuqur anglab oldik –
faqatgina zamonaviy asosda ta’lim tarbiya olgan, jahonning manaman degan
mamlakatlaridagi tengdoshlari bilan bellasha oladigan, jismoniy va ma’naviy
jihatdan barkamol yoshlar biz boshlagan ishlarni munosib davom ettirish va yangi
bosqichga ko’tarishga bog’liq bo’ladi.
Barkamol avlodni tarbiyalash insoniyatning eng yorqin orzusi bo’lib
kelgan. Biroq dunyo xalqlarining barchasi ham bu haqida o’ylayvermagan.
Bunday orzudagi insonlar azaliy ma’rifatga, madaniyatga mansub bo’lgan
yurtlarning donishmandlari eng mo’tabar ziyolilari, hukmdorlari hisoblanganlar.
Ularning orasida O’zbekiston deb atalmish muazzam zaminimizda yashagan
bobolarimizning o’z o’rni va hurmati bor. Bu jahon hamjamiyati tomonidan
qabul qilingan haqiqatdir. XXI asr aql-zakovat, ma’naviyat va bilimdonlik asridir.
Bu hol ijtimoiy-iqtisodiy, ma’naviy taraqqiyotida tub o’zgarishlar qilish
lozimligini taqozo qiladi. Bu tub o’zgarishlar hozirgi jahon moliyaviy-iqtisodiy
inqirozi davrida uni bartaraf etish yo’llarini izlab topishga undamoqda.
Eng muhimi, zamonaviy bilim va tafakkurga, sog’lom dunyoqarashga ega,
rivojlangan davlatlardagi tengdoshlari bilan bellashishga tayyor bo’lgan, ko’zi

3yonib turadigan navqiron avlodimiz katta ishonch bilan hayotga dadil kirib
kelayotgani barchamizni quvontiradi. Barchamiz bugun chuqur anglab oldik –
faqatgina zamonaviy asosda ta’lim tarbiya olgan, jahonning manaman degan
mamlakatlaridagi tengdoshlari bilan bellasha oladigan, jismoniy va ma’naviy
jihatdan barkamol yoshlar biz boshlagan ishlarni munosib davom ettirish va yangi
bosqichga ko’tarishga bog’liq bo’ladi.
Shu sababli yurtimizda yangi-yangi maktablar, litsey va kollejlarni,
madaniyat, san’at va sport obyektlarini qurish, rekonstruksiya qilish, zamonaviy
talablar asosida jihozlash ishlariga bundan buyon ham ustuvor e’tibor qaratiladi.
Ta’lim-tarbiya va tibbiyot muassasalarini yanada rivojlantirish, ularning moddiy-
texnik bazasini mustahkamlash va bugungi kun talablari asosida jihozlash
darajasini oshirish, ijtimoiy infratuzilma obyektlarini jadal rivojlantirish biz uchun
ustuvor yo’nalish hisoblanadi.
Kurs ishining dolzarbligi. Ma’lumki, jamiyatning turli sohalarida
ko’pincha, narsa va hodisalarning xossalarini o’rganish jarayonida o’rganilayotgan
ob’yekt elementlarini bir-birlari bilan taqqoslab, ularni birgalikda qarab yoki
elementlarni bo’laklarga ajratib turli xulosalar qilishga to’g’ri keladi.
Kombinatorikada chekli to’plamni qismlarga ajratish, ularni o’rinlash va o’zaro
joylash bilan bog’liq muammolar o’rganiladi. Ko’pgina iqtisodiy, ijtimoiy va
boshqa sohalarning aksariyat masalalarini yechishda kombinatorikada ko’p
qo’llaniladigan usul va qoidalardan shuningdek, maktab, akademik litsey va kasb
hunar kollejlarida ko’p uchraydigan kombinatorik masalalarni yechishda
foydalaniladi.
Shu sababli ushbu ishda har xil kombinatorik masalalarni yechish
algoritmlari hamda dasuriy vositalarini ishlab chiqish masalalari qaraladi.
Ishning maqsad va vazifalari. Ushbu kurs ishning asosiy maqsadi
turli kombinatorik masalalarni yechishdan iborat.

4I BOB.
Kombinatorikaning asosiy tushunchalari
1.1. Kombinatorika haqida umumiy tushunchalar
Kombinatsiya - bu kombinatorikaning asosiy tushunchasidir. Bu tushuncha
yordamida ixtiyoriy to’plamning qandaydir sondagi elementlaridan tashkil topgan
tuzilmalar ifodalanadi. Kombinatorikada bunday tuzilmalarning o’rin
almashtirishlar , o’rinlashtirishlar va guruhlashlar deb ataluvchi asosiy
ko’rinishlari o’rganiladi.
Kombinatorikada ko’p qo’llaniladigan usul va qoidalar. Kombinatorika
va graflar nazariyasida tasdiqlarni isbotlashning samarali usullaridan biri bo’lgan
matematik induksiya usuli ko’p qo’llaniladi. Bu usulning ketma-ket bajariladigan
ikkita qismi bo’lib, ular quyidagi umumiy g’oyaga asosla nadi. Faraz qilaylik,
isbotlanishi kerak bo’lgan tasdiq birorta xususiy qiymat (masalan, )
uchun to’g’ri bo’lsin (usulning bu qismi baza yoki asos deb ataladi). Agar bu
tasdiqning istalgan uchun to’g’riligidan uning uchun
to’g’riligi kelib chiqsa, u holda tasdiq istalgan natural son uchun to’g’ri
bo’ladi ( induksion o’tish yoki induktiv o’tish ).
Shuni ta’kidlash kerakki, biror tasdiqni isbotlash uchun matematik induksiya
usuli qo’llanilganda, bu usulning ikkala qismini ham tekshirib ko’rish muhimdir,
ya’ni baza va induksion o’tish albatta tekshirilishi shart. Ulardan biri tekshirilmasa
noto’g’ri natijalar hosil bo’lishi ham mumkin. Bundan tashqari, baza birorta
xususiy qiymatdan boshqa ko’p, hattoki, juda ko’p xususiy hollar uchuntekshirilib,
ijobiy natija olinganda ham, bu hollarni umumlashtiruvchi natijaviy
tasdiq noto’g’ri bo’lib chiqishi mumkin. Bu mulohazalarning o’rinli ekanligini
quyida keltirilgan misollar ko’rsatadi.
Matematik induksiya usulining tadbiqiga yana bir misol sifatida quyidagi
tasdiqni keltiramiz.
1-tasdiq. Ixtiyoriy chekli A to’plam uchun tenglik o’rinlidir.
Kombinatorikada sodda, o’z-o’zidan ravshan bo’lgan, ammo muhim
qoidalar bor. Bunday qoidalar sifatida qo’shish, ko’paytirish hamda kiritish va

5chiqarish qoidalari deb ataluvchi qoidalarni ko’rsatish mumkin.
m ta elementli A to’plam va n ta elementli B to’plamlar berilgan bo’lib,
ular kesishmasin. Qo’shish qoidasiga ko’ra, A yoki B to’plamga tegishli
bo’ladigan birorta elementni tanlash imkoniyatlari soni ga tengdir. “ Yoki ”
qoidasi deb ham ataluvchi bu qoida mazmunini quyidagi tasdiq ham ifodalaydi.
2-tasdiq. Agar ixtiyoriy chekli A va B to’plamlar uchun
bo’lsa, u holda bo ‘ladi.
Demak, qo’shish qoidasiga ko’ra, kesishmaydigan ikkita to’plam
birlashmasining quvvati shu to’plamlar quvvatlarining yig’indisiga tengdir.
Ko’paytirish qoidasiga asosan, m ta elementli A va n ta elementli B
to’plamlarning elementlaridan tuzish mumkin bo’lgan barcha
kortejlar (juftliklar) soni mn ga teng. Bu qoida “va” qoidasi deb ham
ataladi. Uni quyidagi tasdiq ko’rinishda ifodalash ham mumkin.
3 - tasdiq. Ixtiyoriy chekli A va B to’plamlar uchun
tenglik o’rinlidir.
Demak, ko’paytirish qoidasiga ko’ra, ixtiyoriy ikkita chekli to’plam Dekart
ko’paytmasining quvvati shu to’plamlar quvvatlarining ko’paytmasiga tengdir.
Umumiy holda, agar chekli A va B to’plamlar hech bo’lmaganda bitta
umumiy elementga ega bo’lsa, u holda yigindining qiymatini aniqlashda
to’plamning ba’zi elementlarini, aniqrog’i, to’plamningelementlarini
ikki marta hisobga olishga to’g’ri keladi. Bu mulohaza asosida
quyidagi tasdiqqa kelamiz.
4-tasdiq. Ixtiyoriy chekli A va B to’plamlar uchun
tenglik o’rinlidir.
5-tasdiq . Bu tasdiqning tasdig’ini umumiy holda ikkita chekli to’plamlar
birlashmasining quvvatini hisoblash qoidasi deyish mumkin. Bu qoidaning
ma’nosidan kelib chiqqan holda, uni kiritish va chiqarish qoidasi deb atash qabul
qilingan.
Ravshanki, 4- tasdiqda keltirilgan tenglikdan foydalanib |A|, |B|,

6 va miqdorlarning ixtiyoriy uchtasi ma’lum bo’lganda
to’rtinchisini hisoblash formulasini hosil qilish mumkin.
Yuqorida bayon qilingan ikkita to’plam uchun qo’shish, ko’paytirish hamda
kiritish va chiqarish qoidalarini chekli sondagi istalgan chekli to’plamlar uchun
umumlashtirish mumkin.
Avvalo, kiritish va chiqarish qoidasining umumlasmasi sifatida quyidagi
tasdiqni keltiramiz.
6-tasdiq (umumlashgan kiritish va chiqarish qoidasi). Ixtiyoriy
chekli to’piamiar uchun
munosabat o’riniidir.
7-tasdiq (umumlashgan qo’shish qoidasi ). Juft-jufti biian
kesishmaydigan ixtiyoriy chekli to’plamlar uchun
tengiik o’riniidir.
8-tasdiq. Ixtiyoriy chekli to ‘plamlar uchun
munosabat o ’ rinlidir .
9- tasdiq ( umumlashgan ko ’ paytirish qoidasi ). Elementlari soni mos
ravishda
bo ’ lgan
to ’ plamlardan faqat bittadan
element olib tuzilgan k uzunlikka ega kortejlar soni ga tengdir.

71.2 Asosiy kombinatsiyalar
O’rin almashtirishlar. Elementlari bo’lgan to’plamni
qaraymiz. Bu to’plam elementlarini har xil tartibda joylashtirib (yozib), tuzilmalar
(kombinatsiyalar) hosil qilish mumkin, masalan,
Bu tuzilmalarning har birida berilgan to’plamning barcha elementlari ishtirok
etgan
holda ular bir-biridan faqat elementlarining joylashish o’rinlari bilan farq qiladilar.
1-ta’rif. Shu usul yordamida hosil qilingan kombinatsiyalarning har biri
berilgan to’plam elementlarining o’rin almashtirishi deb ataladi.
Aslida “o’rin almashtirish” iborasi to’plam elementlarining o’rinlarini
o’zgartirish harakatini anglatsada, bu yerda uni shu harakat natijasidagi hosil
bo’lgan tuzilma sifatida qo’llaymiz. Bu iboradan uning asl ma’nosida ham
foydalanamiz.
O’rin almashtirishni ifodalashda uning elementlarini ajratuvchi belgi sifatida
yuqorida “,” (vergul) belgisidan foydalanildi. Ammo bu muhim emas, bu yerda
boshqa belgidan ham foydalanish, hattoki, yozuvning ixchamligi maqsadida,
elementlar orasidagi ajratuvchi belgilarni tushirib qoldirilish ham mumkin. Bu
eslatma bundan keyin bayon etiladigan boshqa kombinatorik tuzilmalar uchun ham
o’rinlidir.
To’plam tushunchasiga asoslanib, bu yerda qaralayotgan o’rin
almashtirishlar tarkibida elementlarning takrorlanmasligini eslatib o’tamiz. Shu
sababli bunday o’rin almashtirishlarni betakror ( takrorli emas ) o’rin
almashtirishlar deb ham atash mumkin.
Berilgan n ta elementli to’plam uchun barcha o’rin almashtirishlar sonini
P
n bilan belgilash qabul qilingan.
Bitta elementli { a } to’plam uchun faqat bitta a ko’rinishdagi o’rin
almashtirish borligi ravshandir:
Ikkita elementli to’plam elementlaridan o’rin almashtirishlarni bitta

8elementli { a } to’plam uchun a o’rin almashtirishidan foydalanib quyidagicha
tashkil qilamiz: b element a elementdan keyin yozilsa ab o’rin almashtirishga,
oldin yozilsa esa ba o’rin almashtirishga ega bo’lamiz. Demak, ko’paytirish
qoidasiga binoan ikkita o’rin almashtirish bor: .
Uchta elementli to’plam uchun o’rin almashtirishlar tashkil qilishda
ikkita elementli to’plam uchun tuzilgan ab va ba o’rin almashtirishlardan
foydalanish mumkin. Berilgan to’plamning c elementini ab va ba o’rin
almashtirishning har biriga uch xil usul bilan joylashtirish mumkin: ularning
elementlaridan keyin, elementlarining orasiga va elementlaridan oldin.
Ko’paytirish qoidasini qo’llasak, uchta elementli to’plam uchun oltita
har xil o’rin almashtirishlar hosil bo’lishini aniqlaymiz. Ular
quyidagilardir:
Shu tarzda davom etib “ n ta elementli to ’ plam uchun barcha o ’ rin
almashtirishlar soni birdan n gacha bo ’ lgan barcha natural sonlarning
ko ’ paytmasiga teng ” deb faraz qilish mumkin : .
10-tasdiq. Elementlari soni n ta bo’lgan to’plam uchun o’rin
almashtirishlar soni n ! ga teng, ya’ni .
1-misol. Besh nafar tomoshabinlarning beshta o’rinni egallash imkoniyatlari
(variantlari) sonini toping.
Agar tomoshabinlarni harflar bilan belgilasak, u holda
tomoshabinlar to’plamiga ega bo’lamiz. Tomoshabinlarni
o’rinlarga joylashtirish imkoniyatlarining (variantlarining) har biriga
tomoshabinlar T to’plami elementlarining qandaydir o’rin almashtirishi mos
keladi. T to’plam beshta elementli bo’lgani uchun, 1.9- tasdiqga asosan,
bo’ladi. Demak, besh nafar tomoshabinning beshta o’rinni
egallash imkoniyatlari soni 120 ga teng.
O’rinlashtirishlar. n ta elementli to’plam berilgan

9bo’lsin.
2-a’rif. to’plamning ixtiyoriy m ta elementidan hosil
qilingan tartiblangan tuzilmaga (kombinatsiyaga) n ta
elementdan m tadan o’rinlashtirish deb ataladi.
Bu ta’rifdan ko’rinib turibdiki, elementlari soni bir xil bo’lgan ikkita har xil
o’rinlashtirishlar bir-biridan elementlari bilan yoki bu elementlarning joylashish
tartibi bilan farq qiladilar. Bundan tashqari, n ta elementdan m tadan
o’rinlashtirishlar uchun bo’lishi ham ravshan. Bu yerda qaralayotgan
o’rinlashtirishlar tarkibidagi elementlarning takrorlanmasligini eslatib o’tamiz. Shu
sababli bunday o’rinlashtirishlarni betakror ( takrorli emas ) o’rinlashtirishlar
deb ham atash mumkin.
Berilgan n ta elementdan m tadan o’rinlashtirishlar soni, odatda, bilan
belgilanadi.
Ravshanki, berilgan n ta elementlardan bittadan
o’rinlashtirishlar n ta bo’ladi (bular: a
1 ; a
2 ; va hokazo, a
n ), ya’ni .
n ta elementdan bittadan o’rinlashtirishlar yordamida n ta elementdan
ikkitadan o’rinlashtirishlarni quyidagicha tuzish mumkin. n ta elementdan bittadan
o’rinlashtirishlarning har biridagi elementdan keyin yoki oldin qolgan ta
elementlardan ixtiyoriy bittasini joylashtirsa bo’ladi. Natijada, ko’paytirish
qoidasiga binoan, jami soni ta bo’lgan n ta elementdan ikkitadan
o’rinlashtirishlarni hosil qilamiz.
Shu kabi, n ta elementdan uchtadan o’rinlashtirishlarni hosil qilish uchun n
ta elementdan ikkitadan o’rinlashtirishlarga murojaat qilish mumkin. Bu yerda n
ta elementdan ikkitadan o’rinlashtirishlarning har biri uchun uni tashkil etuvchi
ikkita elementlardan oldin, elementlar orasiga yoki elementlardan keyin qolgan
ta elementlardan ixtiyoriy bittasini joylashtirish imkoniyati bor.
Ko’paytirish qoidasiga ko’ra natijada jami soni ta bo’lgan n ta
elementdan uchtadan o’rinlashtirishlarni hosil qilamiz.
Shunga o’xshash mulohaza yuritib, n ta elementdan to’rttadan, beshtadan va

10hokazo o’rinlashtirishlar soni uchun mos ifodalarni aniqlash qiyin emas.
11-tasdiq. n ta elementdan m tadan o’rinlashtirishlar soni eng kattasi n
ga teng bo’lgan m ta ketma-ket natural sonlarning ko’paytmasiga tengdir, ya’ni
.
2-misol. Guruh 25 nafar talabadan tashkil topgan bo’lsin. Bu guruhda guruh
sardori, guruh sardorining yordamchisi va kasaba uyushmasining guruh bo’yicha
vakilini saylash zarur. Har bir talaba bu vazifalardan faqat bittasini
bajaradi deb hisoblansa, saylov natijalari uchun qancha imkoniyat mavjud?
Bu yerda 25 ta elementli talabalar to’plamining tartiblangan uchta elementli
(guruh sardori, guruh sardorining yordamchisi va kasaba uyushmasining guruh
bo’yicha vakili) qism to’plamlari sonini aniqlash zarur. Bu esa 25 ta elementdan
uchtadan o’rinlashtirishlar sonini topish demakdir. Qo’yilgan savolga javob topish
maqsadida 2- tasdiqdagi isbotlangan formulani n = 25 va m = 3 bo’lgan holda
qo’llab, ekanligini aniqlaymiz.
Demak, guruhdagi saylov natijalari uchun 13800 ta imkoniyat mavjud.
Yuqorida ta’kidlaganganidek, n ta elementdan m tadan o’rilashtirishlar n
elementli to’plamning bir-biridan tarkibi bilan ham, elementlarining joylashishi
bilan ham farqlanadigan qism to’plamlaridan iboratdir. Agar bu o’rinlashtirishlarda
n ta elementli to’plamning barcha elementlari qatnashsa (ya’ni m = n bo’lsa), n ta
elementli to’plam uchun barcha o’rin almashtirishlar hosil bo’lishi tabiiydir. Shu
tufayli, o’rin almashtirishlarning oldin keltirilgan ta’rifiga ekvivalent quyidagi
ta’rifni ham berish mumkin.
n ta elementli to’plam uchun o’rin almashtirishlar deb n ta elementdan n
tadan o’rinlashtirishlarga aytiladi. Bunda har bir element faqat bir marta qatnashadi
va ular bir-biridan faqat o’zaro joylashishlari bilan farq qiladilar.
O’rin almashtirishlarning bu ta’rifiga asoslanib n ta elementli to’plam
uchun o’rin almashtirishlar soni formulasini o’rinlashtirishlar soni formulasi
yordamida hosil qilish mumkin. Haqiqatdan ham,

11Yoki
Guruhlashlar. to’plam berilgan bo’lsin. Bu n elementli
to’plamning elementlaridan m ta elemetga ega qism to’plamlarni shunday tashkil
etamizki, ular bir-biridan elementlarining joylashish tartibi bilan emas, faqat tarkibi
bilan farq qilsinlar.
3-a’rif. Bunday m ta elementli qism to ’ plamlarning har biriga n ta
elementdan m tadan guruhlash deb ataladi.
n ta elementdan m tadan guruhlashlar sonini C
n m
bilan belgilaymiz.
Guruhlashlar V yoki J shaklda belgilashlar ham uchraydi. Guruhlash ta’rifidan
ekanligi va agar biror guruhlashda qandaydir usul
bilan elementlar o’rinlari almashtirilsa, u (guruhlash sifatida) o’zgarmasligi kelib
chiqadi. Bu yerda qaralaytgan guruhlash tarkibida elementlarning
takrorlanmasligini eslatib o’tamiz. Shu sababli bunday guruhlashni betakror
( takrorli emas ) guruhlash deb ham atash mumkin.
Bir elementli to’plam uchun faqat bitta guruhlash mavjud, u ham
bo’lsa bir elementlidir: a . Demak, .
Ikki elementli to’plam uchun bittadan guruhlashlar
ikkita ( a va b ), ikkitadan guruhlashlar esa faqat bitta ( ab ). Demak,
.
Uch elementli to’plam uchun guruhlashlar: bittadan -a ,
b va c (uchta); ikkitadan (uchta); uchtadan (faqat
bitta). Demak, .
To’rtta elementdan tashkil topgan to’plam
elementlaridan tuzilgan guruhlashlar: bittadan - va (to’rtta); ikkitadan -
(oltita); uchtadan - (to’rtta);
to’rttadan abcd (faqat bitta). Demak, .
Yuqoridagi mulsohazalar guruhlashlar sonini hisoblash formulasi qanday
bo’lishiga to’liq oydinlik kiritmasada, dastlabki tahlil uchun muhimdir. Masalan, n

12ta elementdan barcha elementlarni o’z ichiga oladigan faqat bitta guruhlash tashkil
etish mumkin degan yoki n ta elementdan bittadan n ta guruhlash bor degan
xulosalar ustida o’ylab ko’rish mumkin.
C
n m
sonni hisoblash uchun formula topish maqsadida quyidagicha mulohaza
yuritamiz. Ravshanki, agar n ta elementdan m tadan barcha guruhlashlarning har
birida elementlarning o’rinlari imkoniyat boricha almashtirilsa, natijada n ta
elementdan m tadan barcha o’rinlashtirishlar hosil bo’ladi. Bu yerda n ta
elementdan m tadan tuzilgan C
n m
ta guruhlashning har biridagi m ta elementdan
ta o’rin almashtirishlar hosil qilish mumkin bo’lganligi tufayli,
ko’paytirish qoidasiga asosan, tenglik to’g’ridir. Demak,
formula o’rinlidir.
II.BOB
KOMNABINATORIKADA BA’ZI AMALLAR
2.1 KOMBINATORIKA ELEMENTLARI

13Kombinatorika (kombinatorik tahlil) — bu diskret matematikaning diskret
to‘plam elementlarini berilgan qoidalar asosida tanlash va joylashtirish bilan
bog‘liq bo‘lgan masalalarni yechish usullarini o‘rganuvchi bo‘limidir.
Qandaydir predmetlardan (masalan, harflar, sharlar, kubchalar, sonlar va
boshqalardan) tashkil topgan guruhlar birikmalar yoki kombinatsiyalar deb ataladi.
Ana shu birikmalarni tashkil etgan predmetlar elementlar deyiladi.
Uch xil turdagi birikmalar mavjud: o‘rin almashtirish (permu tation —
перестоповки ), o‘rinlashtirish (arrangent — размещения ) va mosliklar
(combination — сочетапия ).
1 dan gacha bo‘lgan natural sonlar ko'paytmasi «n faktorial» deb ataladi va
qisqacha kabi yoziladi: . ( ). Ba’zan ni
hisoblashda quyidagi taqribiy Stirling fonnulasi qo‘l keladi:
.
Matematik funksiyalar. qiymatini maxsus FAKTR(SON) * nomli funksiya
hisoblaydi. Bunda SON — n ning miqdoriy qiymatiga teng. Shuningdek ikkilangan
faktorial :
(n - toq)
(n - juft)
qiymatini maxsus DVFAKTR(SON) nomli funksiya hisoblaydi.
E s 1 a t m a: maxsus funksiyaga murojaat qilganda quyidagi parametr SON -
miqdoriy qiymatlar yoki u joylashgan yacheykaning adresi bo'lishi kerak.
O‘rin almashtirishlar
n ta elementli o‘rin almashtirishlar deb bir-biridan faqat elementlarining
tartibi bilan farq qiladigan n ta elementli birikmalarga aytiladi Masalan, uchta А , В ,
С elementdan oltita o‘rin almashtirish bajarish mumkin: ABC, ACB, ВАС , CBA,
BCA, CAB .
n ta elementli o‘rin almashtirishlar soni bilan belgilanadi va quyidagi
formula bilan hisoblanadi:

141-masala. 1,2,3 raqamlardan ularning har biri tarkibida faqat bir marta
uchraydigan nechta uch xonali son tuzish mumkin?
Yechish: Bunday uch xonali sonlarning soni ta.
Faktorial qiymatini hisoblaydigan maxsus funksiyaga murojaat: FAKTR(3)
O‘rinlashtirishlar
n ta elementdan m tadan o‘rinlashtirishlar deb, har birida berilgan n ta
elementdan m tasi olingan shunday birikmalarga aytiladiki, ularning har biri hech
bo‘lmaganda bitta elementi bilan yoki faqat ularning joylashish tartibi bilan farq
qiladi.
Masalan, uch element А , В , С dan ikkita elementli oltita o‘rinlashtirish
mavjud: AB, AC, BC, BA, CA, CB .
n ta elementdan m tadan turli o‘rinlashtirishlar soni bilan belgilanadi va
quyidagi formula bilan hisoblanadi:

va .
Statistik funksiyalar. O‘rinlashtirishlar soni ning qiymatini maxsus
PEREST(SON;TANLANGAN_SON) nomli funksiya hisoblaydi. Bunda SON —
barcha tanlash obyektlari soni (ya’ni n); TANLANGAN SON — tanlanayotgan
obyektlar soni (ya’ni m).
E s 1 a t m a: maxsus funksiyaga murojaat qilganda qu yidagi parametrlar
SON; TANLANGAN_SON — miqdoriy qiymatlar yoki ular joylashgan
yacheykalarning adresi bo‘lishi kerak.
2-masala. Tijorat banki boshqarmasi turli lavozimlarga 10 la nomzoddan 3
tasini tanlamoqda. Har bir nomzod bir xil imkoniyatga ega. 10 ta nomzoddan 3
kishidan iborat nechta guruh tuzish mumkin?
Yechish: Bu misolda n=10 va m=3. Hammasi bo‘lib
ta guruh tuzish mumkin.

15O‘rinlashtirishlar soni ning qiymatini hisoblaydigan maxsus
PEREST(SON; TANLANGAN_SON) funksiyaga murojaat: PEREST (10; 3)
Mosliklar
n element orasidan t ta elementdan tuzilgan mosliklar deb har birida berilgan
n ta elementdan m tasi olingan shunday birikmalarga aytiladiki, ularning har biri
hech bo‘lmaganda bitta elementi bilan farq qiladi. Misol uchun, uch element А , В ,
С dan ikkita elementli uchta moslik mavjud: AB, AC, BC .
n element orasidan m ta elementdan turli mosliklar soni bilan belgilanadi
va quyidagicha aniqlanadi:
.
Xossalari:
1.
2. .
3.
4. .
5. -rekurrent formula. Bu yerda .
Matematik funksiyalar. Mosliklar soni ning qiymatini max sus
CHISLKOMB(SON;TANLANGAN_SON) nomli funksiya hisoblaydi. Bunda SON
— barcha tanlash obyektlari soni (ya’ni n); TANLANGAN_SON — tanlanayotgan
obyektlar soni (ya’ni m).
E s 1 a t m a: maxsus funksiyaga murojaat qilganda quyidagi parametrlar
SON; TANLANGAN_SON — miqdoriy qiymatlar yoki ular joylashgan
yacheykalarning adresi bo'lishi kerak.
3-masala. Tijorat banki boshqarmasi bir xil lavozimlarga 10 ta nomzoddan 3
tasini tanlamoqda. Har bir nomzod bir xil imkoniyatga ega. 10 ta nomzoddan 3
kishidan iborat nechta guruh tuzish mumkin?
Yechish: Bu misolda n=10 va m=3. Turli guruhlar tarkibi, hech bo'lmaganda,

16bitta nomzodga farq qilishi kerak. Demak, bu birikma lar moslikdan iborat.
Hammasi bo'lib
ta guruh tuzish mumkin.
Mosliklar soni ning qiymatini hisoblaydigan maxsus
CHISLKOMB(SON;TANLANGAN_SON) funksiyaga murojaat:
CHISLKOMB( 10;3).
Takrorlanishli o’rin almashtirishlar
Aytaylik, n ta A, B, .... С elementlar mavjud bo'lib, ularning ichida A element
marta, В element marta va h.k, hamda С element marta takrorlansin va
bo‘lsin. U holda, takrorlanishli o‘rin almashtirishlar quyidagi
formula yordamida topiladi:
Masalan, aytaylik 4 element mavjud bo‘lib, ularning ikkitasi bir xil bo‘lsin: А ,
А , В , C . Ulardan mumkin bo‘lgan barcha o‘rin almashtirishlar quyidagicha:
AABC ABAC ACBA BAAC BCAA CABA
AACB ABCA ACAB BACA CBAA CAAB
Formula yordamida hisoblanganda ham
.
4-masala. m + n + s ta predmetni uch guruhga bittasida t ta, ikkinchisida p ta,
uchinchisida esa s ta predmet bo‘ladigan qilib necha usul bilan bo‘lish mumkin?
Yechish:
Javob: .
Takrorlanishli o’rinlashtirishlar

17n ta elementdan m tadan takrorlanishli o‘rinlashtirishlarda ( ) ixtiyoriy
element 1 dan m martagacha uchrashi yoki umuman uchramasligi mumkin, ya’ni
har bir n ta elementdan m tadan takrorlan ishli o‘rinlashtirish nafaqat turli
elementlardan, balki t ta ixtiyoriy ravishda takrorlanuvchi ixtiyoriy elementlardan
tashkil hech bo’lmaganda elementlarining joylashish tartibi bilan farq qiluvchi
guruhlar har xil guruh hisoblanadi.
Masalan. uch А , В , С elementdan ikkitadan takrorlanishli o‘rinlashtirishlar
quyidagicha:
AA, BB, CC, AC, ВС , С A, CB, BA, AB.
n ta elementdan m tadan takrorlanishli o‘rinlashtirishlar soni bilan
belgilanadi va quyidagi formula bilan hisoblanadi:
.
5-masala. Seyfning shifrli kodi olti xonali sondan iborat. Kodlashtirganda
nechta turli kombinatsiya tuzish mumkin?
Yechish: Bu misolda n=10, chunki kodlashtirishda 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9 raqamlarning hammasidan foydalanish mumkin va kod olti xonali son bo‘lgani
uchun m= 6. Demak, seyfni
usul bilan kodlashtirish mumkin.
Javob: 100000.
TAKRORLANISHLI MOSLIKLAR
p ta elementdan t tadan element bo’lgan takrorlanishli mosliklarda ixtiyoriy
element 1 dan m martagacha uchrashi yoki umuman uchramasligi mumkin, ya’ni
har bir n ta elementdan m tadan takror lanishli o'rinlashtirish nafaqat turli
elementlardan, balki t ta ixtiyoriy ravishda takrorlanuvchi ixtiyoriy elementlardan
tashkil topishi mumkin. Tarkibi bir xil bo‘lib, faqat elementlarining tartibi bilan
farq qiluvchi guruhlar farq qilinmaydi, ya’ni faqat elementlarining joylashish tartibi
bilangina farq qiluvchi guruhlar bir xil guruh hisoblanadi.

18Masalan, uch А , В , С elementdan ikkitadan takrorlanishli mos liklar
quyidagicha:
AA, BB, CC, AC, ВС , AB.
n ta elementdan m tadan takrorlanishli mosliklar soni bilan belgilanadi
va quyidagi formula bilan hisoblanadi:
.
Ta’kidlash joizki, t p dan katta ham bo‘lishi mumkin.
6-masala. Qandolat do‘konidagi 4 xil shirinlikdan 6 donasini necha xil
usul bilan tanlash mumkin?
Yechish: Bu misolda n= 4 va m= 6. Demak, 4 turdagi shirinliklardan 6
donasini
usul bilan tanlash mumkin.
Mosliklar soni ning qiymatini hisoblaydigan maxsus
CHISLKOMB(SON;TANLANGAN_SON) funksiyaga murojaat: CHISLKOMB(6+4-
l;6)
2.2 Paskal uchburchagi. Nyuton binomi
Paskal uchburchagi haqida umumiy ma’lumotlar. Berilgan n ta
elementdan m tadan guruhlashlar soni C
n m
uchun bir necha qatorlarni 1-
jadvaldagidek yozamiz:
1- jadval
n Guruhlashlar soni
1
2
3
4

19Bu jadvalda guruhlashlar sonining quyidagi xossalarini kuzatish mumkin:
- har bir qatorning chetlarida birlar joylashgan
- har bir qatordagi sonlar qatorning teng o’rtasiga nisbatan simmetrik
joylashgan, ya’ni qatorning boshidan va oxiridan baravar uzoqlikda turgan
sonlar o’zaro teng ;
-ikkinchi qatordan boshlab har bir qatordagi birlardan tashqari ixtiyoriy son
bu qatordan yuqorida joylashgan qatordagi biri shu son ustida, ikkinchisi esa
undan chapda joylashgan ikkita guruhlashlar sonining yig’indisiga teng
;
-har bir qatordagi C
n m
sonlar shu qator teng o’rtasigacha o’sib, so’ng
kamayadi.
Ta’rif sifatida deb qabul qilinsa va bu son yuqoridagi jadvalning
raqamli qatoridan oldin raqamli qatori sifatida joylashtirilsa,
uchburchak figurasiga o’xshash 1- shakldagi sonlar jadvalini hosil qilish mumkin.
1-ta’rif. 1- shakldagi sonlar jadvali Paskal uchburchagi deb ataladi.
Bu jadval arifmetik uchburchak nomi bilan ham yuritiladi. Paskal
uchburchagidagi qatorlar istalgancha davom ettirilishi mumkin. Shunisi qiziqki,
Paskal uchburchagi yordamida istalgan n ta elementdan m tadan guruhlashlar
sonini faqat qo’shish amali yordamida hosil qilish mumkin.
Nyuton binomi haqida umumiy ma’lumotlar . O’rta maktab matematikasi
kursidan quyidagi ikkita qisqa ko’paytirish formulalarini eslaylik:
yig’indining kvadrati;
yig’indining kubi.
Yig’indining navbatdagi ikkita, ya’ni 4- va 5- darajalarini hisoblaymiz:

Shunday qilib, yig’indining bikvadrati (ya’ni to’rtinchi darajasi)

20va yig’indining beshinchi darajasi
formulalariga ega bo’lamiz.
Yuqorida keltirilgan yig’indining kvadrati, kubi, bikvadrati va beshinchi
darajasi formulalari o’ng tomonlaridagi ko’phad koeffitsientlari Paskal
uchburchagining mos qatorlaridagi sonlar ekanligini payqash
qiyin emas.
1-tasdiq. Barcha haqiqiy a va b hamda natural n sonlar uchun
formula o’rinlidir.
Ixtiyoriy a va b haqiqiy sonlar hamda n natural son uchun
ifodaning ko’phad shaklidagi yoyilmasi (tasvirlanishi) Nyuton binomi deb ataladi.
sonlarni binomial koeffitsientlar deb ham atashadi. Bunday ta’rif bu
koeffitsientlarning Nyuton binomi formulasida tutgan o’rniga qarab berilgan
bo’lib, son
yoyilmadagi ifodaning koeffitsientidir.
1-misol. Oxirgi formuladan xususiy holda quyidagi qisqa ko’paytirish
formulalari kelib chiqadi: n = 2 bo’lganda ayirmaning kvadrati formulasi
n = 3 bo’lganda ayirmaning kubi formulasi
Nyuton binomi formulasini kombinatorik amallar yordamida ham hosil
qilish mumkin.
2.3 Takrorli kombinatsiyalar
Takrorli o’rin almashtirishlar . Kombinatorikada oldin qaralgan
birlashmalardan tashqari tarkibidagi elementlari takrorlanishi mumkin bo’lgan
boshqa birlashmalar ham o’rganiladi. Masalan , takrorlanuvchi elementlar

21qatnashgan o ’ rin almashtirishlar , o ’ rinlashtirishlar va guruhlashlar .
Avval o ’ rganilgan o ’ rin almashtirishlar shunday tuzilmalar ediki , ular
tarkibidagi elementlar bir - biridan farq qilardi . Endi o’rin almashtirishlar tarkibidagi
elementlar takrorlanishi mumkin bo’lgan holni qaraymiz. Tabiiyki, aynan bir xil
elementlar o’rinlari almashtirilishi natijasida yangi o’rin almashtirish hosil
bo’lmaydi. Shuning uchun tarkibidagi elementlari soni o’zgarmaganda elementlari
takrorlanishi mumkin bo’lgan o’rin almashtirishlar soni turli elementlardan tashkil
topgan o’rin almashtirishlar soniga qaraganda kichik bo’ladi.
Faraz qilaylik, qandaydir kortejning n ta elementlari orasida bir xil (aynan
bir xil) n
1 ta birinchi tur, bir xil n
2 ta ikkinchi tur, va hokazo, bir xil n
k ta k - tur
elementlar bo’lsin, bu yerda hech bo’lmaganda bittasi 1dan farqli
natural sonlar.
2-a’rif. Bu n ta elementlarning o’rinlarini imkoniyati boricha
almashtirishlar natijasida hosil bo’lgan kortejlar (kombinatsiyalar)
takrorlanuvchi elementlar qatnashgan o’rin almashtirishlar (qisqacha, takrorli
o’rin almashtirishlar ) deb ataladi. n ta elementlari orasida n
1 ta birinchi tur, n
2 ta
ikkinchi tur, va hokazo, n
k ta k - tur bir xil elementlar bo’lgan takrorli o’rin
almashtirishlar sonini bilan belgilaymiz.
2-tasdiq. Takrorli o’rin almashtirishlar soni uchun
formula o’riniidir, bu yerda elementlar soni, k - turlar soni.
2-misol. Ikkita a , bitta b va ikkita c harflardan tashkil topgan kortej
uchun barcha takrorli o’rin almashtirishlarni tuzing.
Bu misolda uch turdagi ( k = 3) harflar soni beshga teng ( n =5) bo’lib, n
1 = 2
(ikkita a ), n
2 = 1 (bitta b ) va n
3 = 2 (ikkita c ). Dastlabki ikkita harflarning (xuddi
shuningdek, oxirgi ikkita harflarning ham) o’rinlarini o’zaro almashtirsak
yangi o’rin almashtirishlar hosil bo’lmaydi. Barcha takrorli o’rin almashtirishlar
almashtirishlarning hammasi quyida keltirilgan:
son

22bo’ladi. Bu o’ttizta o’rin
Takrorli o’rinlashtirishlar. n ta elementlardan tashkil topgan to’plam
berilgan bo’lsin. Bu elementlardan foydalanib, m ta elementdan tashkil topgan
kortejlarni shunday tuzamizki, bu kortejlarga har bir element hohlagancha marta
(albatta m dan oshmagan miqdorda) kirishi mumkin bo’lsin va bu kortejlar bir-
biridan ularni tashkil etuvchi elementlar turlari bilan yoki bu elementlarning
joylashishlari bilan farq qilishsin.
3-ta’rif. Shunday usul bilan tuzilgan kortejlarning har biri n ta turli
elementlardan takrorlanuvchi elementlar qatnashgan m tadan o’rinlashtirish
(qisqacha, takrorli o’rinlashtirish ) deb ataladi.
n ta turli elementlardan m tadan takrorli o’rinlashtirishlar sonini A m bilan
belgilaymiz.
3-tasdiq. n ta turli elementlardan m tadan takrorli o’rinlashtirishlar
soni n ga teng, ya’ni .
3-misol. Oila a’zolari besh kishidan iborat bo’lib, ular ikkita ishni
bajarishlari zarur (masalan, non sotib olish va uni bo’laklash), bunda oilaning har
bir a’zosi ikkala ishni ham bajarish imkoniyatiga ega. Oila a’zolariga bu ishlarni
taqsimlashda mumkin bo’lgan imkoniyatlar soni aniqlansin.
Bu masalani hal qilish uchun oila a’zolarini a , b , c , d va e harflari bilan
belgilab, ishlar ikkita bo’lgani uchun beshta turli elementlardan ikkitadan barcha
takrorli o’rinlashtirishlarni tuzamiz:
,
.
Hammasi bo’lib 25 ta takrorli o’rinlashtirishlar tuzildi. Demak,

23besh kishidan iborat oila a’zolariga ikkita ishlarni taqsimlashda mumkin bo’lgan
imkoniyatlar soni 25 dir. ■
Takrorli guruhlashlar. Har bir elementi birlashmaga istalgancha marta
kiritiladigan va turli n ta elementlardan m tadan olinadigan hamda elementlar
tartibi e’tiborga olinmaydigan birlashmalarni (kortejlarni) qaraymiz.
4-ta’rif. Bunaqa birlashmalar n ta turli elementlardan m tadan
takrorlanuvchi elementlar qatnashgan guruhlashlar (qisqacha, takrorli
guruhlashlar ) deb ataladi.
n ta elementlardan m tadan takrorlanuvchi elementlar qatnashgan
guruhlashlar ta’rifidan ko’rinib turibdiki, turli kombinatsiyalar bir-birlaridan hech
bo’lmasa bitta elementi bilan farq qiladi. n ta elementdan m tadan takrorli
guruhlashlar sonini C n deb belgilaymiz.
5- tasdiq. n ta elementdan m tadan takrorli guruhlashlar soni ga
teng, ya’ni .
Ko’phad formulasi. Takrorli kombinatsiyalar vositasida Nyuton binomi
tushunchasini umumlashtiramiz, ya’ni ifodaning yoyilmasini
topish muammosini qaraymiz.
6-tasdiq. Ixtiyoriy haqiqiy va natural n sonlar uchun
formula o’rinlidir, bu formulaning o’ng tomonidagi yig’indi
shartni qanoatlantiruvchi barcha manfiymas butun sonlar uchun
amalga oshiriladi.
6-tasdiqda keltirilgan tenglik ko’phad formulasi yoki umumlashgan
Nyuton binomi formulasi deb yuritiladi. sonlarni ko’phadiy
koeffitsientlar deb ataymiz.
binomial koeffitsient ko’phadiy koeffitsientning m = 2
bo’lgandagi xususiy holidir.
5-misol. ifodaning yoyilmasini toping. Avvalo 3 sonini

24bo’laklaymiz, ya’ni 3 ni mumkin bo’lgan barcha imkoniyatlar bilan manfiymas
butun sonlar yig’indisi shaklida yozamiz:
Demak, ko’phad formulasiga ko’ra,
Takrorli o’rin almashtirishlar soni formulasini
qo’llab quyidag tenglikni hosil qilamiz:
Fibonachchi sonlari
Fibonachchi sonlarining ta’rifi . Elementlari haqiqiy sonlardan iborat
bo’lgan
ketma-ketlikni qaraymiz. Bu ketma-ketlikdagi elementlarning uchinchisidan
boshlab har biri o’zidan oldingi ikkita elementning yig’indisiga teng, ya’ni
bo’lsin. Ravshanki, bu ketma-ketlikni tashkil qilishda
uning dastlabki ikkita hadi muhim bo’lib, keyingi barcha hadlari rekurrent tenglik
vositasida aniqlanadi.
5-ta’rif. bo’lgan holda rekurrent
tenglik vositasida aniqlan ketma-ketlik Fibonachchi qatori , uning hadlari esa
Fibonachchi sonlari deb ataladi.
Tabiiyki, Fibonachchi qatoridagi Fibonachchi sonlarini aniqlash jarayoni
cheksizdir. Fibonachchi sonlarining dastlabki 24 tasi quyida keltirilgan:

25Eduard Lyuka ixtiyoriy u
1 va u
2 sonlardan boshlanuvchi hamda
rekurrent tenglik bilan aniqlanuvchi sonlar qatorini
umumlashgan Fibonachchi qatori deb nomlagan.
2.4 Bo’laklashlar kombinatorikasi
Bo’laklashlar ta’rifi. Kombinatorikada o’rin almashtirishlar,
o’rinlashtirishlar va guruhlashlar tushunchalari yordamida yechiladigan masalalar
bilan bir qatorda bo’laklashlarga doir masalalar ham qaraladi. Bunday masalalar
turli vaziyatlarda paydo bo’lishlari mumkin. Masalan, qutiga predmetlarni
joylashda, axborotni uzatishda, pulni maydalashda, ko’phad formulasidan
foydalanish uchun daraja ko’rsatkichini bo’laklashda va hokazo.
Bo’laklashlarga doir masalalar orasida natural sonlarni natural yoki
manfiymas butun qo’shiluvchilar yig’indisi sifatida tasvirlash masalasi alohida
o’rin tutadi. Bu masalaning mohiyati quyidagidan iborat.
Berilgan natural n sonni natural sonlar yig’indisi ko’rinishda
ifodalash imkoniyatlari qancha?
Bu masala turli shartlarda qaralishi mumkin. Masalan:
- qo’shiluvchilar tartibi e’tiborga olinishi yoki olinmasligi mumkin;
- bo’laklashlarda faqat juft yoki toq sondagi qo’shiluvchilar qatnashish sharti
qo’yilishi mumkin;
- qo’shiluvchilar bir-biridan farqli yoki ixtiyoriy deb hisoblanishi mumkin va
hokazo.
Tabiiyki, bo’laklashlarga doir kombinatorik masalalarni yechishda,
bo’laklanayotgan son o’rniga undan kichikroq son(lar)ni bo’laklash yoki
qaralayotgan bo’laklashni kamroq sondagi qo’shiluvchilari bo’lgan bo’laklashga
keltirish usuli qo’llanilishi maqsadga muvofiqdir.
6-ta’rif. Natural n sonni ixtiyoriy k ta (k - natural son, )
natural sonlar yig’indisi, ya’ni ko’rinishda
tasvirlashga n sonni k ta qo’shiluvchilarga bo’laklash (qisqacha, bo’laklash )
deb ataladi.

26Yuqorida ta’kidlaganimizdek, bo’laklash masalasini ikki vaziyatda, ya’ni
qo’shiluvchilar tartibi e’tiborga olingan yoki olinmagan hollarda qarash mumkin.
Kombinatorik nuqtai nazardan olganda ikkala hol ham qiziqarlidir.
Bo’laklash masalasini, avvalo, qo’shiluvchilar tartibi e’tiborga olingan
holda qaraymiz. Bu holda natural n sonning k ta qo’shiluvchilarga bo’laklanishlari
sonini B ( n , k ) bilan va shu sonning barcha bo’laklanishlari sonini B ( n ) bilan
belgilasak, ravshanki, tenglik o’rinli bo’ladi.
6-misol. Faqat bir yo’nalishda harakatlanganda besh pog’onali zinapoyani
hatlab o’tish imkoniyatlari sonini aniqlash talab etilgan bo’lsin.
Tabiiyki, har bir qadamda faqat bittadan pog’onani bosib o’tib, zinapoyani 5
qadamda hatlab o’tish mumkin. Bu harakatni 5 sonning
ko’rinishda bo’laklanishi kabi ifodalab, ekanligini qayd etamiz.
Zinapoyani 4 qadamda ham hatlab o’tish mumkin, bu ishning
imkoniyati bor: va .
Shu usulda davom etib, 3 qadam uchun ta
hamda 2 qadam uchun ta
tengliklarni yozamiz. Endi barcha pog’onalarni
bir qadamda hatlab o’tishga imkoniyat va
tenglik mos kelishini e’tiborga olsak, mumkin bo’lgan barcha imkoniyatlarni
bayon qilgan bo’lamiz.
Shunday qilib, faqat bir yo’nalishda harakatlanganda besh pog’onali
zinapoyani hatlab o’tish imkoniyatlari soni
bo’ladi.
Endi B ( n , k ) va B ( n ) miqdorlarni hisoblash formulalarini topish bilan
shug’ullanamiz.
Dastlab n = 1 bolgan holni qaraymiz. Tabiiyki, birni natural sonlar yig’indisi
qilib bo’laklash haqida gap bo’lishi mumkin emas. Shunday bo’lishiga
qaramasdan, birni faqat bitta qo’shiluvchidan iborat deb qarab, yuqorida berilgan

27ta’rifga mos keluvchi ta bo’laklashga ega bo’lamiz.
Jami bo’laklashlar soni bo’ladi. n = 2 bo’lgan holda k = 1
qo’shiluvchili va k = 2 qo’shiluvchili
bo’laklashlarga ega bo’lamiz. Bu hol uchun
jami bo’laklashlar soni
Agar n = 3 bo ’ lsa , u holda k = 1 qo ’ shiluvchili ta
(3 = 3), k = 2 qo ’ shiluvchili ta va
k = 3 qo ’ shiluvchili ta bo ’ laklashlar
bor . Bu holda jami bo ’ laklashlar soni uchun
tenglik o ’ rinlidir .
Shunday davom etib , “ istalgan n natural sonning k ta qo ’ shiluvchilarga
bo ’ laklanishlari soni ( n - 1) ta elementdan ( k - 1) talab guruhlashlar soniga teng ,
ya ’ ni degan farazga kelish mumkin . Agar bu faraz tasdiqlansa ,
binomial koeffitsientlarning yig ’ indisi haqidagi xossasiga ko ’ ra ,
bo ’ ladi .
7- tasdiq . Qo ’ shiluvchilar tartibini e ’ tiborga olgan holda istalgan n
natural sonning k ta qo ’ shiluvchilarga bo ’ laklanishlari soni ( n - 1) ta elementdan
( k - 1) talab guruhlashlar soniga teng , ya ’ ni .
8-tasdiq. Qo’shiluvchilar tartibini e’tiborga olgan holda ixtiyoriy n
natural sonning barcha bo’laklanishlari soni 2 n
- 1
ga teng, ya’ni
Endi natural sonlarni qo’shiluvchilar tartibi e’tiborga olinmagan
vaziyatda bo’laklash masalasi bilan shug’ullanamiz.
Odatda, natural n sonning ixtiyoriy k ta ( k - natural son, )
qo’shiluvchilarga bo’laklanishini qandaydir shartlarga, masalan,
yoki tengsizliklarga bo’ysunadigan qilib olish

28qulay bo’ladi.
Qo’shiluvchilar tartibi e’tiborga olinmagan holda natural n sonning k ta
qo’shiluvchilarga bo’laklanishlari sonini R ( n , k ) bilan, uning barcha
bo’laklanishlari sonini esa R ( n ) bilan belgilaymiz.
Bundan keyin, bo’laklash deganda qo’shiluvchilar tartibi e’tiborga
olinmagan holdagi bo’laklashni nazarda tutamiz.
Tabiiyki, quyidagi tenglik o’rinlidir:
Xulosa
Bizga ma’lumki ehtimollar nazariya va matematik statistika fani muhim
rivojlanayotgan borayotgan fanlar jumlasidandir. Ayniqsa ehtimollar
nazariyasining hayotga bo’lgan tadbiqlari bo’limi salohiyati va amaliy qo’llay

29bilishi jihatidan muhim ahamiyat kasb etadi va u juda ko’p tushunchalarni o’z
ichiga oladi. Ehtimollar nazariyasi kirish qisimlardan biri bo’lga kambinatorika
mavzusini ham hayotda ko’plab masalalarni yechishda qo’llasa bo’ladi. Buni men
o’z kurs ishim davomida bir necha masalalar yordamida keltirgan misollar orqali
ham ko’rish mumkin.
Bu kurs ishini tayyorlash davomida quyidagilarni o’rgandik:
1. Kombinatorika haqida umumiy tushunchalar
2. Asosiy kombinatsiyalar
3. Kombinatorika elementlari
4. Paskal uchburchagi. Nyuton binomi
5. Takrorli kombinatsiyalar
6. Bo’laklashlar kombinatorikasi

30Foydalanilgan adabiyotlar
1. А bdushukurov А . А . Xi-kvadrat kriteriysi: nazariyasi va tatbiqi,O’zMU,2006.
2. А bdushukurov А . А . , Azlarov T . A ., Djamirzayev A . A . Ehtimollarnazariyasi va
matematik statistikadan misol va masalalar to’plami. Toshkent «Universitet»,
2003.
3. Azlarov T .A., Abdushukurov A.A. Ehtimollar nazariyasi va
matematikstatistikadan Inglizcha-ruscha-o’zbekcha lug’at. Toshkent:
«Universitet», 2005.
4. Abdushukurov A. A. Ehtimollar nazariyasi. Ma‘ruzalar matni. Toshkent:
«Universitet», 2000.
5. Бочаров П. П., Печинкин А. В. Теория вероятностей.
Математическая статистика. - 2-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
6. Ватутин В.А., Ивченко Г.И., Медведев Ю.И., Чистяков В.П.
Теория вероятностей и математическая статистика в задачах М.: 2003.
7.Gmurman V.E. Teoriya veroyatnostey i matematicheskaya statis-tika. Izdanie
shestoe. M.: «V ыsshaya shkola», 1998 g.
8.
Gmurman V.E. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika. Ruscha
to’ldirilgan 4-nashridan tarj. Inj.-ekon. institutla-ri studentlari uchun o’quv
qo’llanma. T.: O’qituvchi, 1977 y.

Sotib olish