Bog’liqsiz tasodifiy miqdorlar seriyasi uchun kata sonlar qonuni - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	250000UZS
Hajmi	617.5KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	18 Mart 2025
Kengaytma	doc
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

80 Sotish

Bog’liqsiz tasodifiy miqdorlar seriyasi uchun kata sonlar qonuni

Sotib olish

REJA
KIRISH
I.BOB Tasodifiy miqdorlar
1.1 Tasodofiy miqdor
1.2 Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi
II.BOB Katta sonlar qonuni
2.1 Dastlabki izohlar
2.1 Chebishev teoremasi. Kata sonlar qonuni
XULOSA
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR

KIRISH
Kelajagimiz poydevori bilim dargohlarida yaratiladi, boshqacha aytgan- da,
xalqimizning ertangi kuni qanday bo‘lishi farzandlarimizning bugun qanday ta’lim
va tarbiya olishiga bog‘liq.
Shuning uchun ham mustaqillikning dastlabki yillaridanoq butun mamlakat
miqyosida ta’lim va tarbiya, ilm-fan, kasb-hunar o‘rgatish tizimlarini tubdan isloh
qilishga nihoyatda katta zarurat sezila boshladi.
Ta’lim-tarbiya tizimidagi islohotlar boshlangan dastlabki yillarda men jahon
tajribasi va hayotda o‘zini ko‘p bor oqlagan haqiqatdan kelib chiqib, agar bu
maqsadlarimizni muvaffaqiyatli ravishda amalga oshira olsak, tez orada
hayotimizda ijobiy ma’nodagi «portlash effekti» ga, ya’ni, yangi ta’lim modelining
kuchli samarasiga erishamiz, degan fikrni bildirgan edim.
Darhaqiqat, istiqlol davrida barpo etilgan, barcha shart-sharoitlarga ega
bo‘lgan akademik litsey va kasb-hunar kollejlari, oliy o‘quv yurtlarida tahsil
olayotgan, zamonaviy kasb-hunar va ilm-ma’rifat sirlarini o‘rganayotgan,
hozirdanoq ikki-uch tilda bemalol gaplasha oladigan ming-minglab o‘quvchilar,
katta hayotga kirib kelayotgan, o‘z iste’dodi va salohiyatini yorqin namoyon
etayotgan yosh kadrlarimiz misolida ana shunday orzu-intilishlarimiz bugunning
o‘zida o‘z hosilini berayotganining guvohi bo‘lmoqdamiz.
Muxtasar qilib aytganda, oxirgi yillarda ta’lim-tarbiya sohasida amalga
oshirgan, ko‘lami va mohiyatiga ko‘ra ulkan ishlarimiz biz ko‘zlagan ezgu
niyatlarimizga erishish, hech kimdan kam bo‘lmaydigan hayot barpo etish,
yoshlarimiz, butun xalqimizning ma’naviy yuksalishi yo‘lida mustahkam zamin
yaratdi, desak, hech qanday xato bo‘lmaydi.
Respublikamizning 1-prezidenti I.A.Karimovning 2001-yil Oliy Majlisning
5-sessiyasida so‘zlagan nutqida axborot texnologiyalari va kompyuterlarni jamiyat
hayotiga, kishilarning turmush tarziga, maktab va OTMlariga jadallik bilan olib
kirish g‘oyasi ilgari surilgan edi. Muhtaram prezidentimiz I.A.Karimov tashabbusi
bilan Vazirlar Mahkamasining 2001-yil 23-maydagi 230-sonli «2001-2005-yillarda

kompyuter va axborot texnologiyalarini rivojlantirish», shuningdek, «Internet»ning
xalqaro axborot tizimlariga keng kirib borishini ta’minlash dasturini ishlab
chiqishni tashkil etish chora-tadbirlari to‘g‘risida»gi Qarorlari qabul qilindi. 2002-
yil 30-mayda O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining «Kompyuterlashtirishni
yanada rivojlantirish va axborot-kommunikatsiya texnologiyalarini joriy etish
to‘g‘risida»gi Farmoni va uning ijrosini amalga oshirish yuzasidan Vazirlar
Mahkamasining 2002-yil 6-iyundagi «2002-2010-yillarda kompyuterlashtirish va
axborot-kommunikatsiya texnologiyalarini rivojlantirish dasturi» to‘g‘risidagi
Qarori e’lon qilindi. Bulardan ko‘rinadiki, hozirgi paytda ta’limga axborot
texnologiyalarini jadal tatbiq etish, ta’lim jarayonini kompyuterlashtirish asosiy
masalaga aylangan.
Kurs ishining dolzarbligi: Yoshlarga ta’lim va tarbiya berishning murakkab
vazifalarini hal etish o’qituvchining g’oyaviy e ’ tiqodi, kasb-mahoratiga, san’ati,
iste’dodi va madaniyatiga hal qiluvchi darajada bog’liqdir.
Kurs ishining obyekti va predmeti. Kurs ishining obyekti va predmeti bu
tasodifiy miqdorlar, disret tasodiy miqdorlarning matematik kutilmasi, kata sonlar
qonuni, Chebishev teoremalari haqida ma’lumotlar. Ulardan foydalanish
jarayonida turli xil ta’rif, tushuncha va misollardan foydalaniladi. Kurs ishini
tayyorlash jarayonida limit teoremalari va uning tadbiqlari o’rganilib, ularga doir
misollar tahlil qilinadi.
Kurs ishining maqsad va vazifalari.
1. Tasodofiy miqdorlarni o’rganish;
2. Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini o’rganish;
3. Dastlabki izohlarni o’rganish;
4. Chebishev teoremasi. Kata sonlar qonunini o’rganish.
Kurs ishining yangiligi va amaliy ahamiyati. Kurs ishi referativ-uslubiy
xarakterga ega bo’lgani uchun ilmiy yangilik qilinmagan. Mavzuga oid bir nechta
adabiyotlardan ma’lumotlarni to’plash tahlil qilish va misollarga tatbiq qilishdan
iborat.

Kurs ishining uslubiyati. Kurs ishi nazariy xarakterga ega bo’lib, olingan
natijalar boshqa adabiyotlar bilan taqqoslanib mavzuga oid misollarni yechishda
sodda usullar keltirilgan.

I.BOB
TASODIFIY MIQDORLAR
1.1 Tasodifiy miqdor
Tasodifiy miqdor deb dastlab ma’lum bo’lmagan, oldindan hisobga olinishi
mumkin bo’lmagan tasodifiy sabablarga bog’liq bo’lgan bitta va faqat bitta
mumkin bo’lgan qiymatni tajriba natijasida qabul qiladigan kattalikka aytiladi.
1-misol. Zambarakdan otilgan snaryadning uchib o’tgan masofasi tasodifiy
miqdordir. Bu miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlari biror oraliqqa
tegishlidir.
Tajribalar natijasida elementar hodisalar ro’y bergani uchun tasodifiy miqdor
va elementar hodisa tushunchalarini bog’lab, tasodifiy miqdorning boshqa ta’rifini
berish mumkin.
Tasodifiy miqdor deb elementar hodisalar fazosida aniqlangan
( ) funksiyaga aytiladi.
2-misol. Ikkita tanga tashlanganda chiqqan gerblar soni X 0, 1 va 2
qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo’lgan tasodifiy miqdordir. Elementar hodisalar
fazosi quyidagi elementar hodisalardan iborat:
, , , .
U holda X quyidagi qiymatlarni qabul qiladi:
, ,
, .
Tasodifiy miqdorlar bosh lotin harflari, ularning mumkin bo’lgan
qiymatlari esa mos kichik harflar bilan belgilanadi. Masalan, X tasodifiy
miqdor uchta qiymatga ega bo’lishi mumkin bo’lsa, ular orqali
belgilanadi.
Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni
Diskret (uzlukli) tasodifiy miqdor deb ayrim, ajralgan mumkin bo’lgan
qiymatlarni ma’lum ehtimolliklar bilan qabul qiluvchi tasodifiy miqdorga aytiladi.
Diskret tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlarining soni chekli yoki

cheksiz bo’lishi mumkin.
Uzluksiz tasodifiy miqdor deb biror chekli yoki cheksiz oraliqdagi barcha
qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo’lgan tasodifiy miqdorga aytiladi. Uzluksiz
tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlarining soni cheksizdir. Bunday
tasodifiy miqdorga misol sifatida 1-misoldagi tasodifiy miqdorni olish mumkin.
Diskret tasodifiy miqdorning berilishi uchun uning mumkin bo’lgan
qiymatlarini sanab chiqish etarli emas, yana ularning ehtimolliklarini ham
ko’rsatish lozim. Ikkinchi tomondan, ko’p masalalarda tasodifiy miqdorlarni
elementar hodisalarning funksiyalari sifatida qarashning zarurati yo’q, faqat
tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlarining ehtimolliklarini, ya’ni
tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini bilish etarli.
Diskret tasodifiy miqdor ehtimolliklarining taqsimot qonuni yoki soddagina
taqsimot qonuni deb mumkin bo’lgan qiymatlar bilan ularning ehtimolliklari
orasidagi moslikka aytiladi; uni jadval, grafik va formula ko’rinishda berish mum-
kin.
Ehtimolliklar taqsimot qonunining turli usullarda berilishini misollarda
ko’rib chiqaylik.
Diskret tasodifiy miqdor taqsimot qonunining jadval orqali berilishida
jadvalning birinchi satri mumkin bo’lgan qiymatlardan, ikkinchi satri esa ularning
ehtimolliklaridan tuziladi. Jadvalning ikkinchi satridagi ehtimolliklarning
yig’indisi 1 ga teng bo’lishi kerak. 1.1-jadvalda 2-misoldagi diskret tasodifiy
miqdorning taqsimot qonuni berilgan.
1.1 – j a d v a l
0 1 2
1 / 4 1 / 2 1 / 4
3 -misol . Pul lotereyasida 100 ta bilet chiqarilgan. Bitta 5000 so’mlik, beshta
1000 so’mlik va o’nta 500 so’mlik yutuq o’ynalmoqda. Bitta lotereya bileti
egasining mumkin bo’lgan yutug’idan iborat bo’lgan X tasodifiy miqdorning
taqsimot qonuni topilsin.
Yechish . X ning mumkin bo’lgan qiymatlarini yozamiz: ,

, , . Bu mumkin bo’lgan qiymat-larning ehtimolliklari
quyidagicha: , , , .
U holda izlanayotgan taqsimot qonuni quyidagi ko’rinishda
1 .2 – j a d v a l
0 500 100
0 500
0
0,84 0,1 0,05 0,01
Yaqqollik uchun diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini grafik
ko’rinishda ham tasvirlash mumkin, buning uchun to’g’ri burchakli koordinatalar
sistemasida nuqtalar belgilanadi, so’ngra ular kesmalar bilan
birlashtiriladi. Hosil bo’lgan shakl taqsimot ko’pburchagi deb ataladi. 1.1- rasmda
2-misoldagi X tasodifiy miqdorning taqsimot ko’pburchagi keltirilgan.
Endi formulalar orqali berilgan ayrim diskret taqsimotlar — binomial,
geometrik va Puasson taqsimotlarini ko’rib chiqaylik.
1.1 - rasm.
n ta bog’liqmas tajriba o’tkazilayotgan bo’lib, ularning har birida A hodisa
ro’y berishi (muvaffaqiyat)ning ehtimolligi doimiy va p ga teng bo’lsin (demak,
ro’y bermaslik (muvaffaqiyatsizlik)ning ehtimolligi q= 1 –p ga teng). X diskret
tasodifiy miqdor sifatida A hodisaning shu tajribalarda ro’y berishlarining soni-ni
ko’rib chiqaylik. X ning mumkin bo’lgan qiymatlari bunday: 0, 1, 2, ..., n . Bu
mumkin bo’lgan qiymatlarning ehtimolliklari (1.1) Bernulli formulasi bo’yicha
topiladi:

,
bu erda k= 0, 1, 2, ..., n .
1.2 Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi
Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi deb, uning barcha mumkin
bo lgan qiymatlarini mos ehtimollarga ko paytmalari yig indisiga aytiladi.ʻ ʻ ʻ
X tasodifiy miqdor faqat qiymatlarni mos ravishda
ehtimollar bilan qabul qilsin.Bu holda X tasodifiy miqdorning M (X) matematik
kutilishi quyidagi tenglik bilan aniqlanadi:
Eslatma. Ta rifga ko ra diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi
ʼ ʻ
tasodifiy bo lmagan (o zgarmas) miqdordir. Bu tasdiqni eslab qolishni tavsiya
ʻ ʻ
qilamiz, chunki keyinchalik bu ko p marta ishlatiladi. Keyinchalik o quvchi
ʻ ʻ
uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilishi ham o zgarmas miqdor
ʻ
ekanligini bilib oladi.
1-misol. X tasodifiy mikdorning taqsimot qonunini
bilgan holda uning matematik kutilishini toping:
X 3 5 2
P 0,1 0,6 0,3.
Yechilishi. Izlanayotgan matematik kutilish tasodifiy miqdorning barcha
mumkin bo lgan qiymatlarini ularning ehtimollariga ko paytmalari yig ingisiga
ʻ ʻ ʻ
teng:
M(X)=
2-misol. A hodisaning ehtimoli p ga teng bo lsa, bitta sinashda A
ʻ
hodisaning ro y berish sonining matematik kutilishini toping.
ʻ
Yechilishi. X tasodifiy miqdor A hodisaning bitta sinashda ro y berish soni
ʻ
faqat ikkita qiymat qabul qilishi mumkin: =1 (A hodisa ro y berdi) p ehtimol
ʻ
bilan va =0 (A hodisa ro y bermadi) q=1-p ehtimol bilan izlanayotgan
ʻ
matematik kutilish quyidagiga teng:

Shunday qilib, bitta sinashda hodisa ro y berish sonining matematik kutilishiʻ
shu hodisaning ehtimoliga teng. Bu natijadan quyida foydalaniladi.
Matematik kutilishning ehtimoliy ma nosi
ʼ
Faraz qilaylikki, n ta sinash o tkazilgan bo lib, ularda X tasodifiy miqdor
ʻ ʻ
marta
qiymat, marta qiymat, ..., marta qiymat qabul qilgan, shu
bilan birga bo lsin. U xolda X qabul qilgan barcha qiymatlar
ʻ
yig indisi quyidagiga teng:
ʻ
Tasodifiy miqdor qabul qilgan barcha qiymatlarning arifmetik o rtacha
ʻ
qiymati ni topaylik, buning uchun topilgan yig indini sinashlarning jami soniga
ʻ
bo lamiz:
ʻ
yoki
(1.2.1)
nisbat qiymatning nisbiy chastotasi, nisbat qiymatning ,
nisbiy chastotasi va h.k. ekanligini inobatga olib, (1.2.1) munosabatni quyidagicha
yozib olamiz;
(1.2.2)
Sinashlar soni yetarlicha katta deb faraz kilaylik. U holda nisbiy chastota
taqriban hodisaning ro y berish ehtimoliga teng.
ʻ
,
, … ,
(1.2.2) munosabatda nisbiy chastotalarni mos ehtimollar bilan almashtirib
quyidagini hosil qilamiz:

Bu taqriban tenglikning o’ng tomoni M(X) dir.
Shunday qilib,
Hosil qilingan natijaning ehtimoliy ma nosi kuyidagicha: matematik kutilishʼ
tasodifiy miqdorning kuzatilayotgan qiymatlarining arifmetik o rtacha qiymatiga
ʻ
taqriban teng (sinashlar soni kancha ko p bo lsa, aniqlik shuncha ko p).
ʻ ʻ ʻ
1-eslatma. Ko rinib turibdiki, matematik kutulish mumkin bo lgan
ʻ ʻ
qiymatlarning eng kichigidan katta, eng kattasidan esa kichik. Boshkacha kilib
aytganda, mumkin bo lgan qiymatlar son o qida matematik kutilishning o ng va
ʻ ʻ ʻ
chap tomonlarida joylashgan. Shu ma noda matematik kutilish taqsimotning
ʼ
joylanishni xarakterlaydi, shuning uchun uni ko pincha
ʻ taqsimot markazi deb
ataladi.
Bu termin mehanikadan olingan: agar p, p, ... p massalar abssissalari x,
x, ....x bo lgan nuqtalarda joylashgan bo lib, bo lsa, u holda og irlik markazining
ʻ ʻ ʻ ʻ
abssissasi
bo ladi
ʻ va ekanligini nazarga olib,
tenglikni hosil qilamiz.
Shunday qilib, matematik kutilish abssissalari tasodifiy miqdor qabul
qiladigan qiymatlarga, massalari ularning extimollariga teng bo lgan moddiy
ʻ
nuqtalar og irlik markazining abssissasidir.
ʻ
2-eslatma. Matematik kutilish terminining kelib chiqishi ehtimollar
nazariyasi paydo bo lishining boshlang ich davri bilan bog liq bo lib (XVI-XVII ),
ʻ ʻ ʻ ʻ
u davrda uning tatbiq sohasi qimor o yinlar bilan cheklangan edi. O yinchini
ʻ ʻ
kutilayotgan yutuqning o rtacha qiymati yoki, boshqacha qilib aytganda, yutuqning
ʻ
matematik kutilishi qiziqtirgan.

Matematik kutilishning xossalari
1-xossa. O zgarmas miqdorning matematik kutilishi shu o zgarmasningʻ ʻ
o ziga teng:
ʻ
Isboti. C o zgarmasni mumkin bo lgan bitta C qiymat ga ega bo lgan va uni
ʻ ʻ ʻ
p=1 ehtimol bilan qabul qiluvchi diskret tasodifiy miqdor sifatida qaraymiz.
Demak,
1- eslatma. C o zgarmas miqdorini X diskret tasodifiy miqdorga ko paytmasi
ʻ ʻ
deb, shunday CX diskret tasodifiy miqdorini olamizki, uning mumkin bo lgan
ʻ
qiymatlari X ning mumkin bo lgan qiymatlarini C o zgarmasga ko paytmalariga
ʻ ʻ ʻ
teng; CX ning mumkin bo lgan qiymatlarining ehtimollari X ning mumkin bo lgan
ʻ ʻ
tegishli qiymatlarining ehtimollariga teng. Masalan, mumkin bo lgan x qiymatning
ʻ
ehtimoli p ga teng bo lsa, u holda
ʻ CX miqdorning Cx qiymatni qabul qilish
ehtimoli ham p ga teng bo ladi.
ʻ
2-xossa. O zgarmas ko paytuvchini matematik kutilish belgisidan tashqariga
ʻ ʻ
chiqarshi mumkin:

Isboti. X tasodifiy miqdor quyidagicha ehtimollarning taqsimot qonuni bilan
berilgan bo lsin:
ʻ

1-eslatmani inobatga olib, CX tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini
yozamiz:

CX tasodifiy miqdorning matematik kutalishi:

Shunday qilib,
2-eslatma. Keyingi xossaga o tishdan avval quyidagi tushunchani aytibʻ
o taylik: ikkita tasodifiy miqdordan birining taqsimot qonuni ikkinchisining
ʻ
qanday qiymat qabul qilganligiga bog lik bo lmasa, bu tasodifiy miqdorlar erkli
ʻ ʻ
deyiladi. Agar bir nechta tasodifiy miqdorlardan ixtiyoriy sondagisining taqsimot
qonunlari qolganlarining qanday qiymat qabul qilganligiga bog liy bo lmasa, ular
ʻ ʻ
o zaro erkli tasodifiy miqdorlar deyiladi.
ʻ
3-eslatma. Erkli X va Y tasodifiy miqdorlarning ko paytmasi deb, shunday
ʻ
XY tasodifiy miqdorga aytamizki, uning mumkin bo lgan qiymatlari X ning
ʻ
mumkin bo lgan har bir qiymatini Y ning mumkin bo lgan har bir qiymatiga
ʻ ʻ
ko paytirilganiga teng; XY ko’paytmaning mumkin bo lgan qiymatlarining
ʻ ʻ
extimollari ko paytuvchilarning mumkin bo lgan qiymatlarining ehtimollari
ʻ ʻ
ko paytmasiga teng. Masalan, mumkin bo lgan
ʻ ʻ qiymatning ehtimoli ga,
mumkin bo lgan
ʻ qiymatning ehtimoli ga teng bo lsa, u holda mumkin ʻ
bo lgan
ʻ qiymatning ehtimoli ga teng bo ladi. ʻ
3-xossa. Ikkita erkli X va Y tasodifiy miqdorlar ko paytmasining matematik
ʻ
kutilishi ularning matemamik kutilishlari ko paytmasiga teng:
ʻ
Isboti. X va Y erkli tasodifiy miqdorlar o zlarining taqsimot qonunlari bilan
ʻ
berilgan bo lsin:
ʻ

XY tasodifiy miqdor qabul qilishi mumkin bo lgan barcha qiymatlarni tuzib
ʻ
chiqaylik, buning uchun X ning mumkin bo lgan barcha qiymatlarini Y ning
ʻ
mumkin bo lgan har bir qiymatiga ko paytirib chiqamiz: natijada x
ʻ ʻ
1 y
1 , x
2 y
1 , x
1 y
2 va
x
2 y
2 ni xosil qilamiz.
3- eslatmani inobatga olib, XY ko paytmaning taqsimot qonunini tuzamiz:
ʻ

Matematik kutilish mumkin bo lgan barcha qiymatlarini ularningʻ
ehtimollariga ko paytmalari yig indisiga teng;
ʻ ʻ

yoki
Shunday qilib,
Natija. Bir nechta o zaro erkli masodifiy miqdorlar ko paytmasining
ʻ ʻ
matematik kutilishi ularning matematik kutishlari ko paytmasiga teng.
ʻ
Masalan, uchta tasodifiy miqdor uchun:

Ixtiyoriy sondagi tasodifiy miqdorlar uchun isbot matematik induksiya
metodi bilan olib boriladi.
3-misol. Erkli X va Y tasodifiy miqdorlar quyidagi taqsimot qonunlari orqali
berilgan:
X 5 2 4 Y 7 9
p 0,6 0,1 0,3 g 0,8 0,2.
XY tasodifiy miqdorning matematik kutilishini toping.
Yechilishi. Berilgan miqdorlarning har birining matematik kutilishini
topamiz:
M(X) =5·0,6+2·0,1 +4·0,3=4,4;
M(Y) =7·0,8 + 9·0,2 = 7,4.
X va Y tasodifiy miqdorlar erkli bo lganligi uchun izlanayotgan matematik
ʻ
kutilish quyidagiga teng:
= 4,4·7,4=32,56.
4-eslatma. X va Y tasodifiy miqdorlarning yig indisi deb shunday X+Y
ʻ
tasodifiy miqdorga aytiladiki, uning mumkin bo lgan qiymatlari X ning mumkin
ʻ
bo lgan har bir qiymati bilan uning mumkin bo lgan har bir qiymati yig indilariga
ʻ ʻ ʻ

teng; X +Y ning mumkin bo lgan qiymatlarining ehtimollari erkli X va Yʻ
miqdorlar uchun qo shiluvchilarni ehtimollari kupaytmasiga teng; bog lik tasodifiy
ʻ ʻ
miqdorlar uchun bir qo shiluvchining extimolini ikkinchisining shartli ehtimoliga
ʻ
ko paytmasiga teng.
ʻ
Quyidagi xossa erkli tasodifiy miqdorlar uchun ham, bog lik tasodifiy
ʻ
miqdorlar uchun ham o rinlidir.
ʻ
4-xossa. Ikkita tasodifiy miqdor yig indisining matematik kutilishi
ʻ
qo shluvchilarning matematik kutilishlar yig’indisiga teng:
ʻ

Isboti. X va Y tasodifiy miqdorlar quyidagi taqsimot qonunlar orqali
berilgan bo lsin:
ʻ

X + Y ning barcha mumkin bo lgan qiymatlarini tuzamiz, buning uchun X
ʻ
ning mumkin bo lgan har bir qiymatiga Y ning mumkin bo lgan har bir qiymatini
ʻ ʻ
qo shamiz:
ʻ ni hosil qilamiz. Bu qiymatlarning
ehtimollarini mos ravishda orqali belgilaymiz.
X+Y miqdorning matematik kutilishi mumkin bo lgan qiymatlarni ularning
ʻ
ehtimollariga ko paytmalari yig indisiga teng:
ʻ ʻ
yoki
ekanligini isbotlaymiz. X tasodifiy miqdor x
1 qiymatni qabul
qilish hodisasi (bu hodisani ehtimoli p
1 ga teng) X+Y tasodifiy miqdor yoki
qiymatni qabul qilish hodisasini (bu hodisaning ehtimoli qo shish
ʻ
teoremasiga ko ra
ʻ ga teng) ergashtiradi va aksincha. Bundan
tenglik kelib chiqadi. Ushbu tengliklar xam shunga o xshash isbotlanadi. Bu
ʻ

tengliklarning o ng tomonlarini (1.2.1) munosabatga qo yib quyidagini hosilʻ ʻ
qilamiz:

yoki uzil-kesil
.
Natija. Bir nechta tasodifiy miqdorlar yig indisining matematik kutilishi
ʻ
qo shiluvchilar matematik kutilishlarining yig indisiga teng.
ʻ ʻ
Masalan, uchta qo shiluvchi uchun quyidagini hosil qilamiz.
ʻ

Ixtiyoriy sondagi qo shiluvchilar uchun isbot matematik induksiya metodi
ʻ
bilan olib boriladi.
4-misol. Nishonga qarata uchta o q uzildi. Ularning nishonga tegish
ʻ
ehtimollari: Nishonga tegish jami sonining
matematik kutilishini toping.
Yechilishi. Birinchi otishda nishonga tegish soni X
1 tasodifiy miqdor bo lib,
ʻ
u faqat ikkita qiymat qabul qilishi mumkin: 1 ni (nishonga tekkan holda)
ehtimol bilan va 0 ni (nishonga tegmagan holda)
ehtimol bilan.
Birinchi o q uzishda nishonga tegish sonining matematik kutilishi nishonga
ʻ
tegish ehtimoliga, ya ni
ʼ = 0,4 ga teng.
Ikkinchi va uchinchi o q uzishda nishonga tegish sonining matematik
ʻ
kutilishlarini shunga o xshash topamiz:
ʻ
=0,3, =0,6.
Nishonga tegishning jami soni ham tasodifiy miqdor bo lib, u uchta o q
ʻ ʻ
uzishning har birida nishonga tegishlar yig indisidan iborat:
ʻ
Izlanayotgan matematik kutilishni yig indining matematik kutilishi haqidagi
ʻ
teoremaga asosan topamiz:

=0,4+0,3+0,6=1,3
(ta nishonga tegish).
5-misol. Ikkita o yin soqqasi tashlanganda tushishi mumkin bo lganʻ ʻ
ochkolar yig indisining matematik kutilishini toping.
ʻ
Yechilishi. Birinchi soqqada tushishi mumkin bo lgan ochkolar sonini X
ʻ
orqali, ikkinchisinikini Y orqali belgilaymiz. Bu miqdorlarning mumkin bo lgan
ʻ
qiymatlari bir xil bo lib, ular 1, 2, 3, 4, 5 va 6 ga teng, shu bilan birga bu
ʻ
qiymatlardan har birining extimoli ga teng.
Birinchi soqqada tushishi mumkin bo lgan ochkolar sonining matematik
ʻ
kutilishini topamiz:
ekanligi ham ravshan.
Izlanayotgan matematik kutilish:
= = 7
II.BOB
KATTA SONLAR QONUNI
2.1 Dastlabki izohlar

Ma’lumki, tasodifiy miqdor sinash yakunida mumkin bo’lgan qiymatlardan
qaysi birini qabul qilishini avvaldan ishonch bilan aytib bo’lmaydi, chunki u
hisobga olib bo’lmaydigan bir kancha tasodifiy sabablarga bogliq bo’lib, biz ularni
hisobga ololmaymiz. Har bir tasodifiy mik dor xaqida ana shu ma’noda juda kam
ma’lumotga ega bo’lganimiz uchun yetarlicha katta sondagi tasodifiy miqdorlar
yig’indisi to’g’risida ham biror narsa ayta olishimiz qiyindek ko’rinadi. Aslida esa
bu unday emas. Biror nisbatan keng shartlar ostida yetarlicha katta sondagi ta-
sodifiy miqdorlar yig’indisining tasodifiylik xarakteri deyarli yo’qolar va u
qonuniyatga aylanib qolar ekan.
Praktika uchun juda ko’p tasodifiy sabablarning birgalikdagi ta’siri tasodifga
deyarli bog’liq bo’lmaydigan natijaga olib keladigan shartlarni bilish juda katta
ahamiyatga ega, chunki bu hodisalarning qanday rivojlanishini ko’ra bilishga
imkon beradi. Bu shartlar umumiy nom bilan katta sonlar qonuni deb yuritiladigan
teoremalarda ko’rsatiladi. Bular jumlasiga Chebishev va Bernulli teoremalari
(boshqa teoremalar ham bor, lekin ular bu erda qaralmaydi) mansub, Chebishev
teoremasi katta sonlar qonunining eng umumiysi, Bernulli teoremasi esa eng
soddasidir. Bu teoremalarni isbotlashda Chebishev tengsizligidan foydalanamiz.
Chebishev tengsizligi
Chebishev tengsizligi diskret va uzluksuz tasodifiy miqdorlar uchun o’rinli.
Soddalashtirish maqsadida biz bu tengsizlikni diskret miqdorlar uchun isbotlaymiz.
Taqsimot jadvali orkali berilgan diskret tasodifiy miqdorni q araylik:
…
…
Tasodifiy miqdorni o ’zining matematik kutilishidan chetlanishi absolyut
qiymat bo’yicha musbat sondan ortmaslik extimolini baholashni ma q sad qilib
q o’yaylik. Agar yetarlicha kichik bo’lsa, biz bu bilan tasodifiy miqdor o’zining
matematik kutilishiga yaqin qiymat qabul q ilish extimolini baholagan bo’lamiz. P.
L. Chebishev, bizni qiziqtirayotgan bahoni beruvchi tengsizlikni isbotlagan.

Chebishev tengsizligi. tasodifiy miqdorning o’z matematik kutilishidan
chetla ishi i absolyut qiymat bo’yicha musbat sondan kichik bo’lishi ehtimoli
dan kichik emas:
Isboti. va tengsizliklarning bajarilishidan
iborat bo’lgan hodisalar qarama-qarshi bo’lgani uchun ularning extimollari
yig’indisi birga teng, ya’ni
Bundan bizni qiziqtirayotgan ehtimol:
( 2.1.1 )
Ko’rib turibmizki, masala ehtimolni hisoblashga keltirildi.
tasodifiy miqdor dispersiyasining ifodasini yozaylik:
Bu yig’indining har bir qo’shiluvchisi manfiy emas.
Tarkibida bo’lgan qo’shiluvchilarni tashlab yuboramiz
(qolgan qo’shiluvchilar uchun bo’ladi), natijada yig’indi fakat
kamayishi mumkin. Anik lik uchun birinchi ta qo’shiluvchi tashlab yuborilgan
deb hisoblaymiz (umumiylikka ziyon keltirmasdan, taksimot jadvalida mumkin
bo’lgan qiymatlar shu tartibda belgi lab chikilgan deyish mumkin). Shunday qilib,
tengsizlikning ikkala tomoni ham
musbat, shuning uchun ularni kvadratga oshirib, teng kuchli  
2 2 jx М Х   

tengsizlikni hosil qilamiz. Bundan foydalanib va qolgan yig’indidagi har bir 2
j
x М Х
ko’paytuvchini 2 bilan almashtirib (bundan tengsizlik fakat kucha-
yishi mumkin), quyidagini hosil qilamiz:
  2
1 2 ... . ( ) k k n D Х p p p      
(2.1.2)
Qo’shish teoremasiga ko’ra
1 2 ... k k np p p     ehtimollar yig’indisi X tasodifiy
miqdor
1 2, , , k k nx x х    qiymatlarning, qaysinisi bo’lsa, birini qabul qilish ehtimoli
bo’lib, ularning har birida xam chetlanish
  jx М Х    tengsizlikni
qanoatlantiradi. Bundan
1 2 ... k k np p p     yig’indi
    j P x М Х   
extimolni ifodalashi kelib chikadi. Bu mulohaza (2.1.2) tengsizlikni bunday
yozishga imkon beradi:
      2 j
xD X ХP М    
yoki
     
2 . D Х
P X М Х    
(2.1.3)
(2.1.3) ni (2.1.1) ga qo’yib, uzil-kesil kuyidagini hosil qilamiz:
     
2 1 . D Х
P X М Х     
Mana shuni isbotlash talab qilingan edi.
Eslatma. Praktika uchun Chebishev tengsizligining ahamiyati cheklangan,
chunki ko’p hollarda u qupol, ba’zan esa trivial (ahamiyati bo’lmagan) baho
beradi. Masalan, agar
  2 D Х  va demak  
2 1 D Х
  bo’lsa, u holda  
2 1 0 D Х
 
shunday qilib, bu holda Chebishev tengsizligi chetlanishning extimoli manfiy
emasligini bildi radi, bu esa shundoq ham ravshan, chunki har qanday ehtimol
manfiy bo’lmagan son bilan ifodalanadi.
Chebishev tengsizligini nazariy ahamiyati esa juda kattadir. Quyida
Chebishev teoremasini keltirib chiqarish uchun shu tengsizlikdan foydalanamiz.

2.2 Chebishev teoremasi
Chebishev teoremasi. Agar
1 2 , , ,
nX X X 
juft juft erkli tasodifiy miqdorlar
bo’lib, ularning dispersiyalari tekis chegaralangan (o’zgarmas
С sondan katta
emas) bo’lsa, u holda musbat e son har qancha kichik bo’lganda xam, tasodifiy
miqdorlar soni yetarlicha katta bo’lsa,
1 2 1 2 ( ) ( ... ... ) ( ) n n X X X М X М X М X
n n
        
tengsizlikning extimoli birga istalgancha yakin bo’ladi.
Boshqacha qilib aytganda, teorema shartlari bajarilganda
1 2 1 2 ( ) ( ... ) ( ... l ) im 1 n n
n
X X X М X М X М X P
n n
  
            
 
Shunday qilib, Chebishev teoremasi bunday da’vo q iladi: agar dispersiyalari
chegaralangan tasodifiy miqdorlaring yetarlicha ko’p sondagisi q aralayotgan
bo’lsa, u holda bu tasodifiy miqdorlar arifmetik o’rtacha qiymatining ularning
matematik kutilishlari arifmetik o’rtacha q iymatidan chetlanishi absolyut qiymat
bo’yicha istalgancha kichik bo’lishidan iborat hodisani deyarli mu q arrar deb
hisoblash mumkin.
Isboti. Yangi tasodifiy miqdorlarning
1 2 ... n X X X X
n
   
arifmetik o’rtacha qiymatini tekshiramiz.
X
ning matematik kutilishini topamiz. Matematik kutilishning xossalaridan
foydalanib (o’zgarmas ko’paytuv chini matematik kutilish belgisidan tashkariga
chikarish mumkin; yig’indining matematik kutilishi ko’shiluvchilar ning
matematik kutilishlari yig’indisiga teng), kuyidagi ni hosil qilamiz:
1 2 1 2 ( ) ( ) ... .. ( ) . . n n X X X М X М X М X
n n
           
(2.2.1)
X
tasodifiy miqdorga Chebishev tengsizligini qo’llaymiz:

1 2 1 2... ... n nX X X X X X P M n n                     
1 2
2
1 . ...
nX X X
nD
   
 
 
 
 
yoki (2. 2 .1) munosabatni qo’llasak:
1 2 1 2 ( ) ( ) ( ... ... ) n n X X X М X М X М X P n n               
1 2
2
1 . ...
nX X X
nD
   
 
 
 
  (2.2.2)
Dispersiyaning xossalaridan foydalanib (o’zgarmas ko’paytuvchini
kvadratga oshirib dispersiya belgisidan tashqariga chiqarish mumkin; erkli
tasodifiy miqdorlar yig’in disining dispersiyasi q o’shiluvchilar dispersiyalari
yig’indisiga teng), quyidagini hosil qilamiz:
      1 2 1 2 2
... ... n n D D X D X D X X X X
n n
    
  
 
  
Shartga ko’ra hamma tasodifiy miqdorlarning dispersiyalari C o’zgarmas son bilan
chegaralangan, ya’ni
      1 2 ; ; ...; n D X C D X C D X C   
tengsizliklar o’rinli, shuning uchun
      1 2 2 2 2
...
... nD X D X D X
C C C nC С
n n n n  
  
  
Shunday qilib,
1 2 ... n X X X
n
C D n
   

  
 
(2.2.3)
(2.2.3) ning o’ng tomonini (2.2.2) qo’yib (bundan (2.2.2) teng sizlik fakat
kuchayishi mumkin), quyidagini hosil qilamiz:

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ... ... ) n n X X X М X М X М X P n n               
2 1 С
n  Bundan
n  da limitga o’tib, quyidagiga ega bo’lamiz:
1 2 1 2 ... ... lim 1. ( ) ( ) ( ) n n
n
X X X М X М X М X P n n   
             
Nihoyat, ehtimol birdan katta bo’la olmasligini hisob ga olib, uzil-kesil bunday
yozishimiz mumkin:
1 2 1 2 ... ... lim 1. ( ) ( ) ( ) n n
n
X X X М X М X М X P n n   
             
Teorema isbotlandi.
Yuqorida, Chebishev teoremasini ta’riflashda, biz tasodifiy miqdorlarning
matematik kutilishlari har xil deb faraz kilganedik. Praktikada esa ko’pincha
tasodifiy mik dorlar bir xil matematik kutilishga ega bo’ladi. Agar shunga
ko’shimcha qilib, bu tasodifiy miqdorlarning disper siyalari tekis chegaralangan
deyiladigan bo’lsa, u holda bu miqdorlarga Chebishev teoremasini qo’llash
mumkinligi rav shan.
Har bir tasodifiy miqdorning matematik kutilishini a orqali belgilaymiz;
qaralayotgan holda matematik kutilishlarning arifmetik o’rtacha qiymati ham a ga
teng bo’lishini ko’rish qiyin emas.
Biz endi qaralayotgan xususni xol uchun Chebishev teoremasini
ta’riflashimiz mumkin.
Agar
1 2 ,
, ,
nX X X 
tasodifiy miqdorlar juft-juft erkli va bir xil matematik
kupilishga ega bo’lib, ular ning dispersiyalari tekis chegaralangan bo’lsa, u holda
0 
musbat son xar qancha kichik bo’lganda xam tasodifiy miqdorlar soni
yetarlicha ko’p bo’lsa,
1 2 ... n X X X a n      
tengsizlikning extimoli birga istalgancha yaqin bo’ladi.
Boshqacha so’z bilan aytganda, teoremaning shartlari bajarilganda

1 2 ... lim 1 n
n
X X X a n   
          tenglik o’rinli bo’ladi.
Chebishev teoremasining mohiyati
Isbotlangan teoremaning mohiyati bunday: ayrim erkli tasodifiy miqdorlar o’z
matematik kutilishlaridan ancha farq qiladigan qiymatlar qabul qilsada yetarlicha
katta sondagi tasodifiy miqdorlarning arifmetik o’rtacha qiymati katta ehtimollik
bilan tayin o’zgarmas songa, chunonchi
1 2 ( ) ( ) ... ( ) n М X М X М X
n
   songa (yoki,
xususiy holda a songa) yaqin qiymatlarni katta extimol bilan qabul qiladi.
Boshqacha so’z bilan aytganda, ayrim tasodifiy miqdorlar anchagina sochilgan
bo’lishi mumkin, lekin ularning arifmetik o’rtacha qiymati kam tarqoq bo’ladi.
Shunday qilib, har bir tasodifiy miqdor mumkin bo’lgan qiymatlardan
qaysinisini qabul qilishini avvaldan aytib bo’lmaydi, ammo ularning arifmetik
o’rtacha qiymati qanday qiymat qabul qilishini oldindan ko’ra bilish mumkin.
Shunday qilib, yetarlicha katta sondagi erkli tasodifiy miqdorlarning (dispersiyalari
tekis chegaralangan) arifmetik o’rtacha qiymati tasodifiylik xarakterini yo’qotadi.
Bu bunday izohlanadi: har bir miqdorning o’z matematik kutilishidan chetlanishi
musbat ham, manfiy ham bo’lishi mumkin, ammo arifmetik o’rtacha qiymatda ular
o’zaro yo’qolib ketadi.
Chebishev teoremasi faqat diskret tasodifiy miqdorlar uchun emas balki
uzluksiz miqdorlar uchun ham o’rinli; u dialektik materializmning tasodifiylik va
zaruriyat orasidagi bog’lanish haqidagi ta’limotini tasdiqlovchi yorqin misoldir.
Chebishev teoremasining praktika uchun ahamiyati
Chebishev teoremasining amaliy masalalarni hal etishda qo’llanishiga doir
misollar keltiramiz. Odatda biror fizikaviy kattalikni o’lchash uchun bir nechta
o’lchashlar o’tkaziladi va ularning arifmetik o’rtacha qiymati izlanayotgan o’lcham
sifatida qabul qilinadi. Qanday shartlarda bunday o’lchash usulini to’g’ri deb hi

soblash mumkin? Bu savolga Chebishev teoremasi (uning xususiy holi) javob
beradi.
Haqiqatan ham, har bir o’lchash natijalarini
1 2 , , ,
nX X X 
tasodifiy
miqdorlar sifatida karaymiz. Bu tasodifiy miqdorlar uchun Chebishev teoremasini
ko’llamokchi bo’lsak, kuyidagilar bajarilishi kerak: 1) ular juft-juft erkli, 2) bir xil
matematik kutilishga ega, 3) ularning disper siyalari tekis chegaralangan.
Agar har bir o’lchash natijasi qolganlarining natija lariga bog’liq bo’lmasa,
birinchi talab bajariladi.
Agar o’lchashlar sistematik (bir xil ishorali) xatolar siz bajarilsa, ikkinchi
talab bajariladi. Bu holda hamma tasodifiy miqdorlarning matematik kutilishlari
bir xil bo’lib, u haqiqiy o’lcham a ga teng bo’ladi.
Agar o’lchash asbobi tayni aniklikni ta’minlay olsa, uchinchi talab
bajariladi. Bunda ayrim o’lchashlarning natijalari har xil bo’lsa-da, ularni
tarqoqligi chegaralangan bo’ladi.
Agar yuqorida ko’rsatilgan hamma talablar bajarilgan bo’lsa, u holda
o’lchash natijalariga Chebishev teoremasini qo’llashga haqlimiz: p yetarlicha katta
bo’lganda
1 2 ... n X X X a n      
tengsizlikning extimoli birga istalgancha yaqin bo’ladi. Boshqacha qilib aytganda,
yetarlicha ko’p sonda o’lchashlar o’t kazilsa, u holda ularning arifmetik o’rtacha
qiymati o’lchanayotgan kattalikning haqiqiy qiymatidan istalgancha kam farq
qiladi.
Shunday qilib, Chebishev teoremasi ko’rsatilgan o’lchash usulini qo’llash
mumkin bo’ladigan shartlarni bajarilishi kerakligini ko’rsatadi.
Biroq o’lchashlar sonini ko’paytirish bilan istalgancha katta aniklikka
erishish mumkin deb o’ylash noto’g’ri bo’lar edi. Gap shundaki, asbobning o’zi

aniqlikda ko’rsatadi; shuning uchun har bir o’lchash natijasi, va demak,
ularning arifmetik o’rtacha qiymati ham asbobning aniqligidan ort maydigan
aniklikda hosil kilinadi.

Statistikada qo’llanadigan tanlanma usul Chebishev teoremasiga asoslangan,
bu usulni moxiyati shundan iboratki, unda uncha katta bo’lmagan tasodifiy
tanlanmaga asoslanib, barcha tekshirilayotgan ob’ektlar to’plami (bosh to’plam)
to’g’risida mulohaza kilinadi. Masalan, bir toy paxtaning sifati haqida har yer - har
yeridan olingan paxta tolalaridan iborat tutamning sifatiga qarab xulosa chikariladi.
Tutamdagi paxta tolalarini soni toydagidan ancha kam bo’lsa ham, tutam
yetarlicha ko’p sondagi yuzlab tolalardan iboratdir.
Boshqa misol sifatida donning sifatini undan ozgi nasini tatib ko’rishga
asoslanib uni sifatini bilishni olish mumkin. Bu holda ham tavakkaliga olingan
donlar soni hamma don sonidan ancha kichik bo’lsa-da, lekin o’z-o’zi uchun
yetarlicha ko’p.
Mana shu keltirilgan misollarning o’zidan, Chebishev teoremasi praktika
uchun bebaho ahamiyatga ega deb xulosa chiqarish mumkin.
Bernulli teoremasin
ta erkli sinash o’tkazilayotgan bo’lib, ularning har bi rida A hodisaning
ro’y berish ehtimoli
p ga teng bo’lsin. Hodisa ro’y berishining nisbiy chastotasi
taxminan qanday bo’lishini avvaldan ko’ra bilish mumkinmi? Bu savolga Yakov
Bernulli tomonidan isbotlangan teorema (1713 yil da nashr etilgan) ijobiy javob
beradi, bu teorema “katta sonlar qonuni” nomi bilan yuritiladi; u ehtimollar
nazariyasining fan sifatida shakllanishiga asos soldi. Bernullining isboti
murakkab edi. Teoremaning sodda isbotini P. L. Chebishev 1846 yilda bayon
etgan.
Bernulli teoremasi. Agar l ta erkli sinashning har birida
A hodisaning
ro’y bershi ehtimoli
p o’zgarmas va sinashilar soni yetarlicha katta bo’lsa, u
xolda nisbiy chastotaning
p extimoldan chetlanishi absolyut qiymat bo’yicha
istalgancha kichik bo’lish ehtimoli birga istalgancha yaqin bo’ladi.
Boshqacha qilib aytganda, agar
 istalgancha kichik musbat son bo’lsa, u
holda teorema shartlari bajarilganda quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi:

lim 1n
m P p n   
       Isboti.
1X orqali (diskret tasodifiy miqdor) birin chi sinashda, 2X orqali
ikkinchi sinashda, …,
nX orqali p sinashda hodisaning ro’y berish sonini
belgilaymiz.
Ravshanki, bu miqdorlarning har biri faqat ikkita qiymat: 1 ni (
A hodisa
ro’y berdi) p extimol bilan, va 0 ni (hodisa ro’y bermadi)
1 p q   ehtimol bilan
qabul qilishi mumkin.
Qaralayotgen miqdorlarga Chebishev teoremasini qo’llash mumkinmi? Agar
tasodifiy miqdorlar juft-juft erkli va ularning dispersiyalari chegaralangan bo’lsa,
mumkin. Ikkala shart ham bajariladi. Haqiqatan ham
1 2, , , n X X X  miqdorlarning
juft-juft erkligi tajribalarning erkliligidan kelib chikadi. Ixtiyoriy
  1, 2, ...,
iX i n 
miqdorning dispersiyasi ko’paytmaga teng. 1p q  
bo’lgani uchun
pq
ko’paytma dan ortmaydi. Demak, bu miqdorlarning dispersiyalari
chegaralangan, masalan.
1
4 С  soni bilan.
1 n
deb qabul qilinganda kelib chiqadi.
( Ma’lumki, yig’indisi o’zgarmas bo’gan ikki sonning ko’paytmasi
o’zining eng katta qiymatiga ko’paytuvchilar o’zaro teng bo’lgan holda erishadi.
Bu yerda
1, i ip q   ya’ni o’zgarmas, shuning uchun 1
2 i ip q   da i ip q eng katta
qiymatiga ega bo’ladi, bu qiymat
1
4 ga teng.)
Ko’rilayotgan miqdorlarga Chebishev teoremasini (xususiy holini)
qo’llanib, kuyidagini xosil qilamiz:
1 2 ... lim 1 n
n
X X X a n   
          
Har bir
i
X miqdorning a matematik kutilishi ( ya ’ ni bitta sinashda
hodisaning ro ’ y berish sonining matematik kutilishi ) hodisaning ruy berish
ehtimoli
p ga teng ekanligini e ’ tiborga olib quyidagiga ega bo ’ lamiz :

1 2 ... lim 1 n
n
X X X a p n  
          Endi
1 2 ... n X X X
n
   kasr n ta sinashda A hodisa ro’y berishining nisbiy
chastotasi m
n ga tengligini ko’rsatish qoldi, xolos. Haqiqatan,
1 2 ,
, ,
nX X X 
miqdorlarning har biri hodisa mos sinashda ro’y berganida birni qabul kiladi;
demak
1 2 ... n X X X    yigindi n ta sinashda hodisaning ro’y berish soni m ga
teng, demak,
1 2 ...
.nX X X
m
n n  

Bu tenglikni hisobga olib, uzil-kesil
lim 1n
m P p n   
       
tenglikni hosil qilamiz.
Eslatma. Bernulli teoremasiga asoslanib, sinashlar soni ortishi bilan nisbiy
chastota albatta
p ehtimolga intiladi, deb xulosa chikarish noto’g`ri bo’lar edi;
boshqacha qilib aytganda, Bernulli teoremasidan
limn
m p
n    tenglik kelib
chikmaydn. Teoremada fakat tajribalar soni yetarlicha katta bo’lganda nisbiy
chastotaning har bir sinashda hodisa ro’y berishining o’zgarmas ehtimolidan
istalgancha kam faqk qilishi extimoli to’g`risida so’z boradi.
Shunday qilib, m
n nisbiy chastotaning
p extimolga intilishi matematik
analizdagi ma’noda intilishdan farq qiladi. Bu farqimi ta’kidlash maqsadida
“ehtimol bo’yicha” yaqinlashish tushunchasi kiritaladi. Aniqrog’i, ko’rsatilgan
intilish turlari orasidagi farq quyidagidan iborat: agar m
n nisbat
n   da
matematik analizdagi intilish ma’nosida
p ga intilsa, u holda n N uchun va
undan keyingi barcha n lar uchun albatta m
p
n
  
tengsizlik bajariladi; agarda

m
n nisbat n  da p ga ehtimol bo’yicha intilsa, u holda n ning ayrim
qiymatlarida tengsizlik bajarilmay qolishi mumkin.
Shunday qilib, Bernulli teoremasiga ko’ra
n  da nisbiy chastota p ga
ehtimol bo’yicha intiladi. Berkulli teoremasi qisqacha kuyidagicha yoziladi:
m eht
p
n n 
 
Ko’rinib turibdiki, Bernulli teoremasi sinashlar soni yetarlicha ko’p
bo’lganda nisbiy chastota nima uchun turg’unlik xossasiga ega bo’lishini
tushuntiradi va extimolning statistik ta’rifini asoslayd i.
Xulosa

Bizga ma’lumki ehtimollar nazariya va matematik statistika fani muhim
rivojlanayotgan borayotgan fanlar jumlasidandir. Ayniqsa ehtimollar nazari-
yasining hayotga bo’lgan tadbiqlari bo’limi salohiyati va amaliy qo’llay bilishi
jihatidan muhim ahamiyat kasb etadi va u juda ko’p tushunchalarni o’z ichiga
oladi. Markaziy limit teoremalari ehtimollar nazariyasi va matematik statistika
fanini yaxshi o’zlashtirish, unga tegishli bo’lgan tushunchalar va turli masalalarni
yechishga, ularni oson hal qilishga imkon beradi.
Bu kurs ishini tayyorlash davomida quyidagilarni o’rgandim:
1. Tasodofiy miqdorlarni o’rganish;
2. Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini o’rganish;
3. Dastlabki izohlarni o’rganish;
4. Chebishev teoremasi. Kata sonlar qonunini o’rganish.
Men ushbu kurs ishini tayyorlash davomida tasodifiy hodisalar va tasodifiy
miqdorlar haqidagi tushunchani, Bernulli teoremalarini hayotiy masalalarga
bo’lgan tatbiqlari bilan tanishib chiqdim. Hamda chebishev tengziligining hayot
uchun tadbiqlari ya’ni praktikada qo’llanilishi bilan ham tanishdim
Foydalanilgan adabiyotlar

1. А bdushukurov А . А . Xi-kvadrat kriteriysi: nazariyasi va tatbiqi,O’zMU,2006.
2. А bdushukurov А . А . , Azlarov T . A ., Djamirzayev A . A . Ehtimollarnazariyasi va
matematik statistikadan misol va masalalar to’plami. Toshkent «Universitet»,
2003.
3. Azlarov T .A., Abdushukurov A.A. Ehtimollar nazariyasi va
matematikstatistikadan Inglizcha-ruscha-o’zbekcha lug’at. Toshkent:
«Universitet», 2005.
4. Abdushukurov A. A. Ehtimollar nazariyasi. Ma‘ruzalar matni. Toshkent:
«Universitet», 2000.
5. Бочаров П. П., Печинкин А. В. Теория вероятностей.
Математическая статистика. - 2-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
6. Ватутин В.А., Ивченко Г.И., Медведев Ю.И., Чистяков В.П.
Теория вероятностей и математическая статистика в задачах М.: 2003.
7.Gmurman V.E. Teoriya veroyatnostey i matematicheskaya statis-tika.
Izdanie shestoe. M.: «V ыsshaya shkola», 1998 g.
8.
Gmurman V.E. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika. Ruscha
to’ldirilgan 4-nashridan tarj. Inj.-ekon. institutla-ri studentlari uchun o’quv
qo’llanma. T.: O’qituvchi, 1977 y.
9. V.E.Gmurman. Rukovodstvo k resheniyu zadach po teorii veroyat-
nostey i matematicheskoy statistike: ucheb. posobie dlya vtu-zov. 3-e izd.,
pererab. i dop. M.: «Vыsshaya shkola», 1979 g.

Sotib olish

O'xshash dokumentlar
Funksiya tushunchasi
Boshlang`ich funksiya va aniqmas integral
Makroiqtisodiyot test savollari
Iqtisodiy siyosatga kirish test savollari
Biznes test savollari