• Всего документов: 5844
  • Число пользователей: 15251

Информация о документе

Цена 75000UZS
Размер 1.6MB
Покупки 0
Дата загрузки 02 Январь 2024
Расширение doc
Категория Геометрия

Продавец

Madrimov Madraxim

Дата регистрации 02 Январь 2024

0 Продаж

Bosh egriliklar, to'liq va o'rta egrilik

Agar ni harfi bilan belgilasak, u holda bo’lib, vektor egrilik vektori deb ataladi. Demak, (1) Bu- Frenening birinchi formulasidir. (1) dagi koeffisient chiziqning egrilikini ifodalashini topamiz. Endi ni topamiz, Ravshanki, . Bundan xosila olamiz: . Bu tenglikining o’ng tamonidagi birinchi had nol vektorga aylanadi, chunki (1) ga ko’ra : demak, Shunday qilib, vektor ga va ga tik. Shularga asosan, vektor ham bosh normali bo’yicha yo’nalgan bo’lib, ga kollinearlik koeffisientini - bilan belgilaylik. vektor- chiziqning buralish vektori , esa chiziqning buralishi yoki ikkinchi egriligi deyiladi. Bu formula Frenening uchinchi formulasidir. Endi ga o’taylik; vektorlar xuddi o’ng Dekart sistemasining birlik vektorlari singari joylashgan, shu sababli: .Bundan hosila olamiz: urinmaga ega (ya’ni bir õil yo’nalishga ega bo’lsa), ular uchun ( 1 ) tеnglikning o’ng tomoni bir õildir. Bu formulani tеorеma shaklida yozamiz. Tеorеma-1 (Mеn’е). sirtning nuqtasidagi iõtiyoriy urin ma vеktor va nuqtadagi urinma vеktori ga tеng bo’lgan tekis kеsim uchun ( 1 ) formula o’rinlidir. Endi kеsuvchi tеkislik normal vеktorga parallеl bo’lsin. Bu holda tеkis kеsim urinmasiga vеktor pеrpеndikulyar bo’ladi. Demak va ( 1 ) tеnglik ko’rinishga kеladi. Bu holda tеkis kеsimni normal kеsim dеb ataymiz. Ta’rif-1. soni sirtning nuqtadagi yo’nalish bo’yicha normal egriligi dеyiladi va bilan belgilanadi. Shunday qilib, sirtning yo’nalish bo’yicha normal egriligi vеktor aniqlovchi normal kеsimning egriligiga absolyut qiymati bo’yicha tеng, ishorasi farq qilishi mumkin. Tеorеma-2 . matritsaning õos va vеktorlar yo’nalishlari bo’yicha normal egriliklar mos ravishda shu matritsaning õos sonlariga tеng bo’ladi. Isbot. ni hisoblash uchun da va xos vektorlardan iborat ortonormal bazisni tanlasak, va tengliklar o’rinli bo’ladi. ning skalyar ko’paytma ekanligini hisobga olsak, kеlib chiqadi. Dеmak bu bazisda URGANCH DAVLAT UNIVERSITETI FIZIKA- MATEMATIKA FAKULTETI MATEMATIKA YO’NALISHI 182-GURUH TALABASI XALBAEVA MALIKANING DIFFERENSIAL GEOMETRIYA VA TOPOLOGIYA FANIDAN MAVZU: BOSH EGRILIKLAR, TO’LIQ VA O’RTA EGRILIKLAR Topshirdi: Xalbaeva Malika Qabul qildi: Obidjonov Islom Urganch 2020 KURS ISHI yoki . Ammo . Demak, . Bu – Frenening ikkinchi formulasidir. Xullas, yuqorida eslatilgan yoyilmalar quyidagicha bo’ladi: , , (2) Frenening bu uchta formulasi fazoviy chiziqlar nazariyasida katta axamiyatga ega bo’lib, ularga kiruvchi egrilik va buralish chiziqning sof geometrik xossalarini ifodalaydi. Yoyilma koeffisientlaridan matritsa tuzib, uning antisimmetrik matritsa ekanini ko’rsatamiz. REJA: 1. KIRISH 2. ASOSIY QISM 2.1 Sirt tenglamasi va uning berilish usullari 2.2 Sirt egriligi 2.3 Bosh egrilik, to’liq va o’rta egriliklar 3. XULOSA 4. FOYDALANGAN ADABIYOTLAR Teorema-1. Bizga sohada aniqlangan silliq x u v y u v z u v ( ; ), ( ; ), ( ; ) funktsiyalar berilib, har bir nuqtada tenglik o’rinli bo’lsa, sistema regulyar sirtni aniqlaydi. Isbot: Teoremani isbotlash uchun F to’plamning sodda sirt ekanligini ko’rsatamiz. Buning uchun esa to’plamga tegishli ixtiyoriy nuqtaning yetarli kichik atrofida elementar sirt ekanligini ko’rsatamiz. Birorta 0 va ochiq doira uchun qoida bilan aniqlangan akslantirishni qaraymiz. Berilgan funksiyalar uzluksiz bo’lganligi uchun f ham uzluksiz akslantirishdir. Agar f o’zaro bir qiymatli bo’lsa, uning teskarisi f1 mavjud va uzluksiz bo’ladi ( f1 uzluksizligi ham va funktsiyalar uzluksizligi va teorema shartidandan kelib chiqadi), demak ning p0 nuqtani o’z ichiga oluvchi f G( ) qismi elementar sirt bo’ladi. Shuning uchun birorta 0 uchun f akslantirishning o’zaro bir qiymatli akslantirish ekanligini isbotlaymiz. Faraz qilaylik, va doiraga tegishli va har xil nuqtalar uchun f ( ; ) u v i i 1 1  f tenglik o’rinli bo’lsin. Umumiylikni chegaralamasdan aniqlik uchun u u i i 1 2  va deb faraz qilaylik. Shunda, x ( ; ) u v i i 1 1 - x ( ; ) u v i i 2 2  0 , y ( ; ) u v i i 1 1 - y ( ; ) u v i i 2 2  0 , z ( ; ) u v i i 1 1 - z ( ; ) u v i i 2 2  0 tengliklardan va Lagranj teoremasidan bo’lishini talab qilamiz. Isbot. Teoremani isbotlash uchun, , sistemaga ga matematik analiz kursidagi teskari funksiyalar haqidagi teoremani qo’llaymiz. Bu teoremaga asosan shunday   0 soni va sohada aniqlangan shunday differensiallanuvchi u u x y  ( ; ), v v x y  ( ; ) funksiyalar mavjudki, ular x(u x y ( ; ), v x y ( ; ) ) x, y(u x y ( ; ), v x y y ( ; ))  tengliklarni qanoatlantiradi va u x y u ( ; ) , 0 0 0  v x y v ( ; ) , 0 0 0  munosabatlar o’rinli bo’ladi. Demak, nuqta atrofida sirt z z  (u x y ( ; ), funksiyaning grafigidan iboratdir. Regulyar sirtning nuqta atrofida regulyar ( , ) f G para metrlash usuli (1) tenglama yordamida berilgan, sirt ustida nuqtadan o’tuvchi  egri chiziq berilgan bo’lib, u (2) tenglama yordamida parametrlangan va bo’lsin. Aniqlik uchun, sirt nuqtasi sifatida koordinatalarga, egri chiziq nuqtasi sifatida parametrning qiymatiga mos kelsin. Tabiiyki, har bir uchun shunday nuqta mavjud bo’lib, (3) tenglik o’rinli bo’ladi. Agar  silliq egri chiziq bo’lsa, funksiyalar ham differensiallanuvchi funksiyalar bo’ladi. Buni isbotlash uchun sirtning regulyar sirt ekanligidan foydalanamiz. regulyar sirt bo’lganligi uchun tenglik o’rinli. Aniqlik uchun bo’lsin deb faraz qilib, sistemani qaraymiz. va . Demak, tengliklar kеlib chiqadi. Ta’rif-2. Bosh yo’nalishlarga mos kеluvchi normal egriliklar bosh egriliklar dеb ataladi. Endi -urinma fazoda bazis sifatida birlik xos va vеktorlarni olib, iõtiyoriy vеktor uchun bilan va orasidagi burchakni bеlgilaylik. Tеorеma-3 (Eylеr). Ixtiyoriy urinma vеktor uchun tеnglik o’rinlidir. Bu еrda -bosh egriliklar bo’lib, aniqlik uchun dеb hisoblaymiz. Isbot. Urinma vеktorni ko’rinishda yozib ni hisoblaymiz: Natija. Bosh egriliklar normal egrilikning ekstrеmal qiymatlaridir. Haqiqatan ham, urinma fazoda va ortonormal bazislarni tanlasak, yo’nalish aniqlovchi normal egrilikni ning funksiyasi sifatida qaraymiz: . da va da va . Iõtiyoriy uchun yuqoridagi formulani ko’rinishda yozib, ni hosil qilamiz. tеnglamani yеchib va ni topamiz. Dеmak, va , funksiyasining ekstrеmal qiymatlaridir. Rеgulyar sirtning nuqtasini fiksirlab, iõtiyoriy urinma vеktor bo’yicha normal egrilikni hisoblab, urinma tеkislikda yo’nalish bo’yicha boshi nuqtada joylashgan uzunligi ga tеng bo’lgan kеsma olib, bu kеsmalar uchlarining gеomеtrik o’rnini D’yupеn indikatrisasi dеb ataymiz. D’yupеn indikatrisasi ikkinchi tartibli chiziq ekanini isbotlash uchun sirtning tеnglama bilan aniqlangan paramеtrlash usulini tanlab nuqtadan o’tuvchi urinma tеkislikda vеktorlarni bazis sifatida olib, affin koordinatalar sistеmasini kiritamiz. Iõtiyoriy yo’nalish bo’yicha boshi nuqtada va uzunligi ga tеng bo’lgan kеsma oxirini bilan bеlgilasak tеnglikni hosil qilamiz. Bu tеnglikning ikkala tomonini kvadratga oshirib, tеnglamani hosil qilamiz. Bu еrda tenglikni hisobga olsak, t е nglamani hosil qilamiz. D е mak, D’yup е n indikatrisasi ikkinchi tartibli chiziqdir. Biz analitik g е om е triya kursida ikkinchi tartibli chiziqlarni o’rgangan edik. Shuning uchun ayta olamizki, agar a) bo’lsa, D’yupеn indikatrisasi ellips bo’ladi. tengliklarni olamiz. Bu yerda pi1,pi2,   p u u i i i 3 1 2  , , qi1,qi2,   q v v i i i 3 1 2  , va u u i i 2 1  va v v i i 2 1  sonlari bir vaqtda nolga aylana olmaydi. Shuning uchun yuqoridagi tengliklardan munosabatni olamiz. Bu munosabatda va funksiyalar uzluksizligidan foydalanib, i  limitga o’tsak, munosabatni olamiz. Bu munosabat esa teorema shartiga zid bo’lgan, tengsizlikka teng kuchlidir. Demak, farazimiz noto’g’ri, va 0 etarli kichik bo’lganda akslantirish topologik akslantirishdir. Bundan esa, to’plamning p0 nuqtani o’z ichiga oluvchi f G( ) qismi elementar sirt ekanligi kelib chiqadi. Teorema-2. Regulyar sirt unga tegishli nuqta atrofida, x x u v y y u v z z u v       ( , ) ( , ) ( , ) , parametrik tenglamalar yordamida berilib, nuqtada determi nant noldan farqli bo’lsa, shunday silliq f x y ( , ) funksiya mavjudki nuq taning atrofida sirt z  f x y ( , ) funksiyaning grafigidan iboratdir. Izoh. Biz regulyar sirtlarning parametrlash usulini tanlaganimizda har doim xu,xv, yu, yv , hosilalar mavjud va uzluksiz 2.3. Bosh egrilik, to’liq va o’rta egrilik sirtni uning nuqtasidan o’tuvchi tеkislik bilan kеssak, kеsimda R nuqtadan o’tuvchi silliq egri chiziq hosil bo’ladi. Bunday egri chiziqni tеkis kеsim dеb ataymiz. Agar tеkis kеsim bo’lsa, albatta uning buralishi nolga tеng bo’ladi. (nima uchun?) Endi sirtning nuqta atrofidagi paramеtrlash usulini qaraylik. Aniqlik uchun ning ichki koordinatalari bo’lsin. Tеkis kеsim tеnglamasini tabiiy paramеtr (ya’ni yoy uzunligi) yordamida ko’rinishda yozib, uning uchun Frеne formulalarini yozaylik (buralish nolga tеngligini hisobga olib) . Bu еrda - birlik normal vеktor, esa chiziqning nuqtadagi egriligi. Shunda ni hosil qilamiz. Bu еrda va vеktorlar orasidagi burchak. Endi ni tеnglama bilan aniqlasak (bu еrda -iõtiyoriy paramеtr), unda - ni ning funksiyasi ekanligidan va tеngliklarni hisobga olib ni hosil qilamiz. Bundan (1) tеnglikni hosil qilamiz. Bu tеnglikning o’ng tomoni faqat vеktorga bog’liqligi ko’rinib turibdi. Agar dan boshqa tеkis kеsim ni olsak, va ular umumiy yordamida elementar sohaga gomeomorf akslantiri ladi va tenglamalar yordamida parametrlanadi. Chizma-2 4) Doiraviy silindrni tenglamalar sistemasi yordamida parametrlash mumkin. Bu erda , . A lbatta silindr ham elementar sirt emas (3 -chizma). Chizma-3 Agar biz vektor funksiyani kiritsak (1) tenglamalar sistemasini bitta , (2)N tenglikdan larning bir vaqtda nolga teng bo’lmasligi kelib chiqadi. Shunday qilib, egri chiziqni tenglamalar bilan berish mumkin. Bu tenglamalar chiziqning ichki koordinatalardagi tenglamalari deb ataladi. Berilgan sirtda va tenglamalar bilan aniqlanuvchi egri chiziqlar koordinata chiziqlari deb ataladi. Koordinata chiziqlarining urinma vektorlari mos ravishda va vektorlardir (4-chizma). Chizma-4 Ta’rif-1. Berilgan vektor sirt ustida yotuvchi egri chiziqning nuqtadagi urinma vektori bo’lsa, u sirtga nuqtadagi urinma vektor deb ataladi. Teorema-3. Regulyar sirtning berilgan nuqtadagi urinma vektor lari to’plami ikki o’lchamli chiziqli fazodir. Isbot. - regulyar sirt, - unga tegishli nuqta va -birorta urin ma vektor bo’lsin. b) bo’lsa D’yupеn indikatrisasi gipеrbola bo’ladi. v) bo’lsa D’yupеn indikatrisasi 2 ta parallеl to’g’ri chiziq bo’ladi. sirtning nuqtasidagi bosh egriliklar bo’lsa, va ifodalar mos ravishda sirtning nuqtadagi o’rta va to’liq (yoki Gauss) egriliklari dеb ataladi. Bosh egriliklar tеnglamaning еchimi ekanligini hisobga olsak va formulalarni hosil qilamiz. Birinchi kvadratik forma musbat aniqlangani uchun Gauss egriligining ishorasi fodaning ishorasiga bog’liqdir. Agar nuqtada K>0 bo’lsa, uni elliptik nuqta, bo’lsa, gipеrbolik nuqta, agar bo’lsa, ni parabolik nuqta dеb ataymiz. Birorta yo’nalish bo’yicha bo’lsa, bunday yo’nalishni asimptotik yo’nalish dеb ataymiz. vеktor aniqlovchi yo’nalish asimptotik yo’nalish bo’lishi uchun bo’lishi zarur va yеtarlidir. Elliptik nuqtada asimptotik yo’nalishlar yo’q, gipеrbolik nuqtada ikkita asimptotik yo’nalish mavjud, parabolik nuqtada bitta asimptotik yo’nalish mavjud va nihoyat yassilanish nuqtasida (ya’ni bo’lganda) hamma yo’nalishlar asimptotik yo’nalishdir. F sirtda silliq chiziq , tеnglama bilan bеrilib, uning har bir nuqtasida urinma vеktori asimptotik yo’nalishni aniqlasa, bunday chiziq asimptotik chiziq dеyiladi. Tabiiyki, sirtda to’g’ri chiziq yotsa, u asimptotik chiziq bo’ladi. Analitik gеomеtriya kursidan bilamizki, bir pallali gipеrboloidning har bir nuqtasida ikkita asimptotik yo’nalish mavjud. asimptotik chiziq bo’lishi uchun funksiyalar diffеrеnsial tеnglamaning yеchimlari bo’lishi zarur va yеtarlidir. F sirtda va tеnglama bilan aniqlanadigan chiziqlar (ya’ni koordinata chiziqlari) asimptotik chiziqlar bo’lishi uchun bo’lishi zarur va yеtarlidir. Elliptik nuqta Chizma-7 Giperbolik nuqta Chizma-8 Parabolik nuqta Chizma-9 4. FOYDALANGAN ADABIYOTLAR 1. Sobirov M.A., Yusupov A.Ye. Differensial geometriya kursi, 1976. 2. Norden A.P. Kratkiy kurs differensialnoy geometrii, 1959. 3. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М., 1974. 4. Сборник задача по дифференциальной геометрии. Под ред. Феденко А.С. М., 1979. 5. Jurayev Yu.Y., Sharipov F. Differensial geometriya va topologiya, I qism, ma’ruzalar matni, 2002. 6. Jurayev Yu.Y. Differensial geometriya va topologiya, II qism, ma’ruzalar matni, 2002. 7. Нарманов А.Я. Дифференциал геометрия. Т. университет, 2003. 8. Нарманов А.Я. ва бошкалар. Умумий топологиядан машк ва масалалар туплами. Т. Университет, 1996. 2.2. Sirt egriligi Tabbiy uchyoqlikning qirralaridagi birlik vektorlarni bilan belgilaymiz. Nuqta chiziq bo’ylab harakat qilganda, uchyoqlik va shu bilan birga bu vektorlar ham o’zgara boradi. Endi chizig’imizda parametr sifatida yoy uzunligi olinsa, lar shu ning funksiyalari bo’ladi: Bu birlik vektorlarning o’zgarishini bilish uchun, ularning bo’yicha xosilalarini olamiz: Vektorlar algebrasining ma’lum teoremasiga asosan ning har birini orqali ifodalash mumkin: Bizning vazifamiz: koeffisientlarini topishdir. birlik vektor, shu sababli uning xosilasi ning o’ziga tikdir; demak normal tekislikda yotadi. Biroq, vektor radius- vektorlarining ikkinchi xosilasi bo’lgani uchun u albatta yopishma tekislikda yotadi. Demak, vektor normal tekislik bilan yopishma tekislikning kesishgan bosh normal bo’yicha yo’nalgandir. Agar silliq egri chiziq bo’lsa, vektor funksiyaning koordinatalari differensiallanuvchi funksiyalar bo’ladi. Birorta uchun va belgilashlar kiritib, sistemani boshlang’ich shartlar bilan qaraymiz. Teskari funksiya haqidagi teoremaga asosan shunday sonlari va sohada aniqlangan va differensiallanuvchi funk siya lar mavjud bo’lib, ular munosabatlarni qanoatlantiradi. Biz umumiylikni chegaralamasdan soha uchun munosabat o’rinli deb hisoblaymiz. Endi sonini shunday tanlaymizki, bo’lganda munosabatlar bajarilsin. qoida bilan aniqlangan proeksiya yordamida uchun tenglikni hisobga olib, differensiallanuvchi funksiya larni aniqlaymiz. Bu funksiyalar va tengliklarni qanoatlantiradi va nuqta atrofida aniqlangan funk siyalar bo’ladi. Bu nuqta ixtiyoriy tanlangani uchun funk siyalar oraliqning har bir nuqtasida differensiallanuvchidir. Agar  regulyar egri chiziq bo’lsa, u holda 1.KIRISH Differensial geometriya-matematikaning geometrik obrazlarini, birinchi navbatda chiziqlar va sirtlarni, chiziqlar va sirtlar oilasini cheksiz kichik miqdorlar analizi metodi bilan o’rganuvchi qismidir. Differensial geometriya analizning bo'limi sifatida paydo bo'lishi bilan birgalikda uning rivojlanishiga ham hissa qo'shdi. Ko'pgina geometrik tushunchalar analizning mos tushunchalarini rivojlantirishga olib kelgan. Masalan, chiziqqa urinma tushunchasi funksiya hosilasi, soha yuzi, jismning hajmi tushuncha lari integral tushunchasini kiritishda muhim rol o'ynagan. Hozirgi nuqtai nazardan differensial geometriya va topologiya fani quyidagi asosiy g'oyaga asoslangandir. Umuminy topologiya - geometriyaning bu bo'limida yaqinlashishish va akslantirishlarning barcha umumiy xossalari o'rganiladi. Egri chiziqlar koordinatalari sistemasi g'oyasi rirovard natijada tenzorlar analizi va invariantlar nazariyasiga olib keladi. Agar matematik tahlil va ddifferensial tenglamalar fanlarida funksiyalar asosan lokal atrofada o'rganilsa, geometriyada "katta" global atroflarda o'rganiladi. Bu g’oya Evklid fazosidagi sohaning umumlashgani bo'lgan ko'pxillilik tushunchasiga olib keladi. Mazkur kurs ishi bosh egrilik, to’liq va o’rta egriliklar mavzusida bo’lib kirish, asosiy qism,xulosa va foydalanilgan adabiyotlardan iborat.Asosiy qism uchta bo’limdan iborat birinchi bo’limda sirt tushunchasi , sirt tenglamasi sirtning berilish usullari haqida ma’lumotlar berilgan.Ikkinchi bo’limda sirt egriliklari haqida bayon qilingan.Uchinchi bo’limda bosh egrilik, to’liq va o’rta egriliklar haqida bayon qilingan. bo’ladi. Bu erda, nuqtaga mos keluvchi argumentlardir. Zarurlik: urinma tekislik bo’lsin.Ta’rifga ko’ra, -tekislik vektorlarga parallel bo’lgani uchun, tenglik o’rinlidir. Teylor formulasidan foydalanib, tenglikni yozib va tenglikni hisobga olsak, munosabat kelib chiqadi. Etarlilik: Berilgan tekislik uchun ( ) tenglik o’rinli bo’lsin. U holda ( ) tenglikda u  0 va v 0 hollar uchun va tengliklarni hosil qilamiz. Demak, tekislik urinma tekislikdir. Chizma-5 Chizma-6 1) Har qanday tekislik elementar sirtdir, chunki tekislik doi raga gomeomorfdir. Agar tekislik nuqtasi, va vektorlar tekislikka parallel bo’lsa, uni ko’rinishida parametrlash mumkin. Bu yerda vektor nuqta ning radius vektoridir. 2) Elementar sohada aniqlangan uzluksiz funksiyaning grafigi elementar sirtdir. Sababi, akslantirish (proektsiya) gomeomorfizmdir. Chizma-1 3) Ikki o’lchamli sfera elementar bo’lmagan sodda sirtdir. Radiusi ga teng sferaning markaziga koordinatalar boshini joylash tirsak, uni to’plam sifatida qarashimiz mumkin. Bu sferaning sirt ekanligini isbotlash uchun unga tegishli birorta nuqtani olaylik. Bu nuqtadan farqli nuqtani janubiy qutb sifatida, unga diametrik qarama-qarshi bo’lgan nuqtani shimoliy qutb hisoblab, o’qini koordinata boshidan nuqta orqali o’tkazamiz, tekisligi esa nuqtadan o’tuvchi va ga perpendikulyar tekislikdir Bu tekislik va sfera kesishishidan hosil bo’lgan aylanani ekvator deb ataymiz. Endi bilan nur va o’qi orasidagi burchakni, bilan va nurlar orasidagi burchakni belgilaymiz. Bu yerda nuqta meridianning ekvator bilan kesishish nuqtasidir, . Shunda sferaning meridian chiqarib tashlangan qismi akslan tirish vektorni tenglama yordamida yoza olamiz. Bu tenglama sirtning vektor ko’rinishdagi tenglamasi deyiladi. Tabiiyki, sirt elementar sirt bo’lmasa, (1) va (2) tenglamalar uni birorta nuqta atrofida aniqlaydi. Agar elementar sirt bo’lsa, uni to’liq (1) yoki (2) tenglamalar yordamida aniqlash mumkin. 2. Sirtning oshkormas ko’rinishda berilishi. Bizga ochiq to’plam va da aniqlangan silliq funksiya berilgan bo’lsin. Shunda to’plam funksiyaning sath to’plami yoki sirti deyiladi. Agar bo’lsa, haqiqatdan ham sodda sirt bo’ladi. Haqiqatdan, agar nuqtada Fz 0 bo’lsa, oshkormas funksiya haqidagi teoremaga ko’ra, shunday 0 sonlari va sohada aniqlangan funksiya mavjud bo’lib, bo’lganda tenglik uchun, va z f x y 0  ( ; )  munosabatlar bajarilib, parallelipipedning bilan kesishmasi funksiyaning grafigidan iboratdir. Demak, o’ziga tegishli har qanday nuqtaning yetarli kichik atrofida elementar sirt bo’ladi. Bizning kursimizda asosiy metod matematik analiz bo’lganligi uchun, biz sirtlardan qo’shimcha shartlarni talab qilamiz. Ta’rif-3. Berilgan sirt uchun unga tegishli ixtiyoriy nuqta atrofida parametrlash usuli mavjud bo’lib, bunda funksiyalar uzluksiz xususiy hosilalarga ega va matritsaning rangi ikkiga teng bo’lsa, sirt regulyar sirt deyiladi, parametrlash usuli esa regulyar parametrlash deyiladi. Sirtning regulyarlik shartini ko’rinishda ham yozishimiz mumkin. Biz kursimizda asosan regulyar sirtlarni o’rganamiz. Endi sirtlarning berilish usullari haqida quyidagi teoremalarni isbotlaylik. Agar sirt (1) tenglama yordamida regulyar parametrlangan, vektoru u t  (), v v t  () tenglamalar yordamida aniqlangan egri chiziqning nuqtadagi urinma vektori bo’lsa, , tenglik o’rinli bo’ladi. Demak, ixtiyoriy urinma vektorni , -vektorlar yordamida chiziqli ifodalash mumkin. Bundan kelib chiqadiki, urinma vektorlar to’plamida, vektorlar bazisni tashkil qiladi. Ta’rif-2. Berilgan sirtning nuqtasidan o’tuvchi va vektorlarga parallel tekislik nuqtadagi urinma tekislik deb ataladi. Urinma tekislik ta’rifida sirtning parametrlanish usuliga bog’ liq va vektorlar qatnashishiga qaramasdan urinma tekislik tushun chasi sirtning parametrlanish usuliga bog’liq emasligini quyidagi teorema ko’rsatadi: Teorema-4: Bizga sirtning nuqtadan o’tuvchi tekislik derilgan bo’lib, - sirtning ga yaqin nuqtalaridan biri, - va nuqtalar orasidagi masofa, - nuqtadan tekislikgacha bo’lgan masofa bo’lsin. Shunda tekislik nuqtadagi urinma tekislik bo’lishi uchun, ( ) tenglikning bajarilishi zarur va yetarlidir. Isbot: Biz tekislikning birlik normal vektorini bilan belgilaylik. Agar sirt nuqtada tenglama bilan parametrlangan bo’lsa, va nuqtalar orasidagi masofa uchun , h uchun esa formula o’rinli bo’ladi. Shunda, 3. XULOSA Ko’pgina geometrik tushunchalar analizning mos tushunchalarini rivojlantirishga olib kelgan. Masalan, chiziqqa urinma tushunchasi funksiya hosilasi, soha yuzi, jismning hajmi tushunchalari integral tushunchasini kiritishda muhim rol o'ynagan. Bu kurs ishni bajarish differenesial geometriya va topologiyaga bag’ishlangan bo’lib, sirt haqida tushuncha,sirtning tenglamasi va ularning berilish usullari, sirt egriliklari, sirntning normal egriligi, sirtning bosh egriligi, to’liq va o’rta egriliklar atroflicha ma’lumotlar bayon qilingan. Mazkur kurs ishini yozish mobaynida differensial geometriya va topologiya fanidan bilimlarimni mustahkamladim. 2.1. Sirt tenglamasi va uning berilish usullari Tekislikdagi ochiq doiraga gomeomorf to’plamni elementar soha deb ataymiz. Ta’rif-1. Fazodagi to’plam elementar sohaning topologik akslantirishdagi obrazi bo’lsa, uni elementar sirt deb ataymiz. Demak, to’plam elementar sirt bo’lsa, - topologik akslantirish mavjud bo’lishi kerak. Bu erda elementar soha, esa dan keltirilgan topologiya yordamida topologik fazoga aylantirilgan.Agar elementar sirt bo’lsa, juftlik sirtni parametrlash usuli deyiladi. Albatta boshqa elementar soha bo’lsa, va sohalar o’zaro gomeomorf bo’ladi va agar gomeomorfizm berilgan bo’lsa, gomeomorfizm sirtni parametrlashning boshsa usulidir. Demak, elementar sirt uchun cheksiz ko’p parametrlash usullari mavjuddir. Birorta to’plamning elementar sirt ekanligini ko’rsatish uchun, uning uchun birorta parametrlash usulini ko’rsatish kerak. Agar sirt parametrlash usuli bilan berilib, uchun f(u,v) nuqtaning koordinatalari ko’rinishda belgilsak (1) sistema sirtning parametrik tenglamalari sistemasi deyiladi. Ta’rif-2. Fazodagi bog’lanishli to’plamga tegishli har bir nuqtaning birorta atrofida elementar sirtga aylansa, sodda sirt deyiladi. Ikkinchi ta’rifga izoh beramiz. Demak, sodda sirt bo’lshi uchun unga tegishli har bir nuqta uchun shunday atrof ( fazoda) mavjud bo’lib, kesishma elementar sirt bo’lishi kerak. Keyinchalik kurs davomida sirt deganda elementar yoki sodda sirtni tushunamiz. Misollar.

Geometriyadan sirt , egriliklar haqida malumot berilgan

Купить