Информация о документе

Цена 30000UZS
Размер 265.5KB
Покупки 6
Дата загрузки 02 Февраль 2024
Расширение doc
Раздел Курсовые работы
Предмет Дошкольное и начальное образование

Продавец

Saidmuhammadalixon Ataullayev

Дата регистрации 29 Ноябрь 2023

150 Продаж

Boshlang’ich sinflarda matematika o’qitishda tarixiy elementlarini o’rgatish metodikasi

Купить
O ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VAʻ INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI AMALIY FANLAR UNIVERSITETI “PEDAGOGIKA” KAFEDRASI “Boshlang’ich sinflarda matematika o’qitishda tarixiy elementlarini o’rgatish metodikasi” mavzusidagi KURS ISHI Bajardi: ______ guruh talabasi _________________________ _ Rahbar: “Pedagogika” kafedrasi _________________________ _ TOSHKENT-2024 MUNDARIJA. Kirish ...................................................................................................................................................................... 4 I bob. Matematikaga doir ilmiy – nazariy g„oyalarning yuzaga kelish manbalari 1.1. Matematika fanining rivojlanish bosqichlari ........................................................................ 9 1.2. Matematikani o’qitishda ajdodlar merosidan foydalanish haqidagi asarlar ...... 12 1.3. Matematika darslarida tarixiy bilim berish bilan o quvchilarga o zanglash ʻ ʻ hissini tarbiylash…………… II bob. Matematika fanining rivojlanish tarixiga oid materiallar. 2.1. Muhammad Xorazmiy va uning arifmetika darsligi ......................................................... 20 2.2. Muhammad Xorazmiyning arifmetika asarida raqamlash va arifmetik amallar ................................................................................................................................................................... 27 Xulosa ................................................................................................................................................................... 39 Foydalanilgan adabiyotlar ..................................................................................................................... 30 3 KIRISH Yigirma besh yillik mustaqil hayotimiz bizga qanday muqaddas zaminda yashayotganimizni, ulug` ajdodlarimiz qoldirgan qanday meros va qadriyatlarga ega ekanimizni anglatdi, shu aziz tuproqda yotgan ota-bobolarimiz dini va ruhiga sodiq bo`lishga, Vatanimiz kelajagi, farzandlarimiz kamoli uchun o`z taqdirimizni o`z qo`limizga olib, fidoiy mehnat qilishga o`rgatdi deb, ta‘kidlaydi, O`zbekiston Birinchi Prezidenti I. A. Karimov 1 . Jamiyatimizning mustaqillik yillarida orttirgan taraqqiyot tajribasi tahlil qilinib, milliy istiqlol g`oyalari tamoyillariga asoslanib, ijtimoiy hayotning muhim tarkibiy qismi sifatida, ta'lim-tarbiya jarayoni o`zgardi. Bu jarayon ta'lim sohasidagi davlat siyosatining huquqiy-tarbiyaviy asoslarini yaratishdan boshlandi. Ta'lim tarbiyani milliy istiqlol g`oyalari asosida yuksak darajaga ko`tarish davrimizning qat'iy talabi va jamiyatning ijtimoiy talabidir. Darhaqiqat, o`zbek xalqining buyuk mutafakkirlari ham uzoq o`tmishdayoq olib borgan tadqiqotlari va kashfiyotlarida insonni odobli, ma'naviy barkamol mehnatsevar, vatanparvar qilib tarbiyalashga oid yangi g`oya va ta'limotlarni yaratganlar. Muso al-Xorazmiy (783-850), Abu Rayhon Beruniy (973-1048), Ibn Sino (980 - 1037); Umar Hayyom (1048-1131); Nasriddin at-Tusiy (1201-1274); Ulug`bek (2394-1449), G iyosiddin al-Koshiy (1385-1437); Ali Qushchi (1402-ʻ 1474); va boshqalarning bizga qoldirgan boy meroslari fikrimizning asosidir. Bu allomalarimizning asarlarida bolalarni o`qitish, mehnatga, odobga o`rgatishda muallimlarning vazifalariga katta e'tibor berilgan. Jumladan, Nasriddin Tusiy fikricha muallim talabalarning aql-zakovatiga ta'sir qilish uchun ularning ishonchini qozonish va qalbidan joy olish mas'uliyatini his qilishi lozim. Ibn Sino fikricha, tarixiy manbalarni bilish olijanob va foydali faoliyatdir. U ilm - narsalarning inson aqli yordami bilan o`rganilishi shaxs faoliyatida muhim ekanligini ta'kidlab o`tadi. Abu Rayhon Beruniyning pedagogik ijodida tarbiyaning maqsadi, vazifalari va 1 Biz k е lajagimizni o‘z qo‘limiz bilan quramiz. 7-jild. – - T.: O‘zbеkiston, . 4 o`rni, yosh avlodning rivojlanishi haqidagi fikrlari chin ma'noda insonparvarlik va eng muhimi bilimni puxta va mustahkam egallash zarurligidir 2 . Ota bobolarimizdan qolgan ilmiy merosni chuqur o`rganib, uni ta'lim tarbiya jarayoniga tatbiq etish har bir ma'naviy barkamol va ijodkor mutaxassisning muqaddas burchidir. Matematika fani tarixi ham barcha fanlar tarixi kabi chinakam fuqarolik xulq-atvori va olimlarning yuksak vatanparvarlik harakatlariga doir misollarga nihoyatda boy. Bolalarni o`zligini anglash va vatanparvarlik ruhida tarbiyalashda matematika tarixiga doir ilmiy-nazariy ma'lumotlar katta ahamiyatga ega. O`qituvchining matematika o`qitishdagi yutuqlari ayni damlarda o`qitilayotgan materialga ehtiyoj qachon, qanday sabablar tufayli va qanday vaziyatlarda tug`ilganligi, uning yordamida qanday masalalar yechilganligi va hozir ham yechilayotganligi, u matematikaning yana qanday qismlari bilan aloqadorligi haqidagi savollarga tarixiy manbalardan olinadigan javoblarga bog`liq. Bunday savollarga javob berolmaslik, javob berishdan bosh tortish fikrlashni taqiqlab qo`yish bilan barobardir. Metodist pedagoglar turli davrlarda matematika o`qitishni uning tarix bilan bog`lash va uni o`qitishni u yoki bu davlatning ijtimoiy tuzumi va maktablarning umumiy vazifalariga qarab belgilaganlar. Vaholanki, milliy o`zlikni anglash jarayonida boshlang`ich sinflarda tarixiy materiallarni o`rganish xozirgi davrda muhim ahamiyatga ega. Shu sababli boshlang`ich sinf matematika darslarining samaradorligini oshirishda O`rta osiyolik olimlar ijodidan foydalanish muammosini tadqiq etishni hamda tarixiy tushunchalarni shakllantirishning ilmiy pedagogik asoslarini yaratishga e'tibor qaratdik. Yuqori sinf matematika tarixiga doir masalalar bilan S.Axmedov, M.Depman, G.M.Gleyzer, A.Abdurahmonov, S.X.Sirojiddinov, G.M.Matvivevskaya, A.Axmedov, H.Tillashevlar va boshqlar shug`ullanishgan. Boshlang`ich sinf uchun darslik va o`quv qo`llanmalari (K.Qosimova, R.A.Mavlonova), o`qituvchilar uchun qo`llanmalar (A.M.Pishkalo, N.B.Istomina, 2 Tarixiy xotirasiz kelajak yo q. -T.: ―O zbʻ ʻ е kiston , 1999. ‖ 5 L.Sh.Levenberg, N.U.Bikbaeva, M.Jumaev) va o`quvchilar uchun, tajriba-sinov qo`llanmalari (A.Ahmedov, M.Jumaev, N.Abduraxmonov, R.Ibragimov), mualliflari qo`llanmalari (o`quv materiallari) orqali boshlang`ich sinf o`quvchilarining fikrlash qobiliyatlarini shakllantirish masalalariga to`xtalib o`tishgan. Didaktika va ta'lim metodikasining xususiy masalalariga bag`ishlangan ishlarda dars samaradorligini oshirishda O`rta osiyolik olimlar ijodidan foydalanish muammosi umumiy holda ko`zda tutiladi. Biroq maxsus tadqiqot predmeti sifatida ajratib olinmagan. O`zbekiston Birinchi Prezidenti Islom Karimov o`zining "O`zbekiston buyuk kelajak sari" asarida tariximizni tiklashga alohida e'tibor berish kerak. Shu bilan birga, milliy o`z-o`zini anglashning tiklanishi jahon insonparvarlik madaniyati va umumbashariy qadriyatlari ideallaridan, bizning ko`p millatli jamiyatimiz an'analaridan ham ajralib qolishi mumkin emasligini alohida ta'kidlagan. 3 Shakllanayotgan milliy istiqlol g`oyasi va mafkurasining muhim tomonlaridan biri o`zlikni anglashdir. Bu masala bilan tadqiqotimiz jarayonida tanishamiz. Lekin adabiyotlarning tahlili shuni ko`rsatadiki, boshlang`ich sinf matematika darslari samaradorligini oshirishda O`rta Osiyolik olimlar ijodidan foydalanish muammosi tadqiq etilmaganligi sababli, bu muammoni pedagogik jihatdan tahlil etish, uning maqsadi, vazifasi, mazmuni, shakl, usullari, ishlab tavsiyalar yaratish maqsadida tadqiqot mavzusini «Boshlang`ich sinf matematika darslarida O`rta osiyolik olimlarijodidan foydalanish metodikasi» deb nomladik. Mavzuning dolzarbligi. Boshlang ich sinflarda matematika o’qitishʻ metodikasida tarixiy materiallardan foydalanish, ya‘ni ulug bobolarimiz ilmiy ʻ merosidan foydalanish shu kunning eng dolzarb masalalaridan biridir. Bizning maktab darsliklarimizga buyuk mutafakkir bobolarimiz haqida ma‘lumotlar, ular asarlarida bayon etilgan ma‘lumotlar endigina kirib kelmoqda. Vatanimizning mustaqilligi tufali erkin nafas olishi, o’z erki qo’lida bo’lishi munosabati bilan buyuk ajdodlarimiz Muhammad Xorazmiy, Abu Rayhon Beruniy, Mirzo Ulug bek ʻ va boshqalarning jahon ilm – faniga qo shgan hissalari haqida baralla ʻ gapirmoqdamiz. 3 Biz k е lajagimizni o z qo limiz bilan quramiz. ʻ ʻ 7-jild. -T.: ―O‘zbеkiston , ‖ 199 6 Tadqiqotning obyekti – boshlang ` ich sinf matematika darslarida O ` rta osiyolik olimlar ijodidan foydalanish jarayoni . Kurs ishining predmeti – matematika darslarining samaradorligini oshiruvchi tarixiy materiallar mazmuni. Kurs ishining maqsadi. Bitiruv malakaviy ishining asosiy maqsadi boshlang ich sinflarda arifmetik amallar va ularning xossalarini o rganishdaʻ ʻ ajdodlarimiz merosidan qanday foydalanishni ko rsatishdan iborat. Bunda quyidagi ʻ masalalar hal qilinadi: - matematika fanining qanday tarixiy davrlarda rivojlanganligi va uning qanday bosqichlarga ega ekanligi; - o rta asr sharqida matematikaning qanday bo limlari kashf etilgan; ʻ ʻ - buyuk bobomiz Muhammad Xorazmiyning o nlik ʻ pozitsion sanoq sistemasining butun dunyoga tarqalishidagi o rni va ahamiyati; ʻ - Muhammad Xorazmiyning ―Hind hisobi haqida kitob asarining ahamiyati ‖ ko rsatildi; ʻ - Muhammad Xorazmiyning ―Aljabr va al muqobala haqida qisqacha kitob ‖ asarining ahamiyati ko rsatiladi; ʻ - G iyosiddin Jamshid Koshiyning ―Arifmetika kaliti asaridan arifmetik ʻ ‖ amallarni o rganishda qanday foydalanish ko rsatib berildi. ʻ ʻ Tadqiqotning vazifalari : 1. Boshlang`ich sinf matematika darslarida tarixiy tushunchalarni shakllantirishda dastur, darsliklarning imkoniyatini aniqlash. 2. O`quvchilarda matematika o`qitishda tarixiy bilimlarni anglatish va dars samaradorligini oshirish darajasini aniqlab beruvchi mezonlarni yaratish. 3. Matematika darslarida tarixiy bilim berishning psixologik-pedagogik jihatlarini o`rganish. 4. O`quvchilarni matematika darslari orqali O`rta Osiyolik olimlar ijodidan foydalanib o`qitishning eng maqbul yo`llarini ishlab chiqish va uni tajriba - sinov vositasida tekshirish. 7 Tadqiqotning amaliy ahamiyati : - ishlab chiqilgan ilmiy pedagogik tavsiyalar boshlang`ich sinf matematika darslarini tarixiy materiallar bilan bog`lash uni samaradorligini oshirish imkoniga ega bo`ladi. - Boshlang`ich sinf matematika darslarida O`rta Osiyolik olimlar ijodidan foydalanishga doir ko`rsatmalardan o`quvchilarni bilimli va komil inson qilib tarbiyalashda, ota-onalar, o`qituvchi va jamoatchilik foydalanishlari mumkin. Ishdagi ilmiy yangilik. Boshlang ich sinf matematika darslarini o rganishdaʻ ʻ tarixiy materiallardan foydalanish boshlang ich sinflarda matematikani o rganish ʻ ʻ metodikasida umuman olganda yangi yo nalish. Muhammad Xorazmiyning ―Hind ʻ hisobi haqida kitob asarida birinchi marta tahlil qilib o rganilmoqda. G iyosiddin ‖ ʻ ʻ Jamshidning ―Arifmetika kaliti asari XV asr matematikasining qomusiy asari ‖ bo lib, undan foydalanish masalalar ham birinchi marta ko rib chiqilmoqda. ʻ ʻ Bitiruv malakaviy ishining tuzilishi . Ushbu bitiruv malakaviy ishi kirish, uchta bob, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat. 8 I. BOB.MATEMATIKAGA DOIR ILMIY - NAZARIY G’OYALARNING YUZAGA KELISHI MANBALARI . 1.1. Matematika fanining rivojlanish bosqichlari. Matematikaning eng qadimgi davrlaridan hozirgi kungacha bo ’l g an ko’p asrlik rivojlanish tarixida uning 4 rivojlanish davri qayd etiladi. 1 . Dastlabki omillarning jamlanishi (to’planishi) bilan tavsiflanadigan matematikaning paydo Bo’lish davri . Bu davrda matematika hali alohida fan tariqasida o’zining predmetga va metodiga ega bo‘lmay, balki matematikadan faqat ayrim faktlar to’planadi. Matematik tushuncha miqdor esa inson tajribasidan olinib, mustaqil abstraktlashgan tekshirish metodi doirasiga kiritilmagan. Umuman olganda, bu davr matematikasi ilmiy nazariyasiz amaliy xarakterda bo’lgan. Bunga misol tariqasida qadimgi Misr, Bobil, Xitoy va Hind matematikasini ko’rsatish mumkin. 2. Elementar matematika davri. Bu davrga qadimgi Yunon matematiklari asos soldilar va uni O’rta Osiyodagi O’rta Sharq olimlari davom ettirdilar. Bu eramizdan oldingi VI-V asrlardan boshlab eramizning XVII asrigacha bo’lgan vaqtni o’z ichiga oladi. Bu davrda matematika alohida fan tariqasida O’zining predmeti va metodi bilan vujudga keladi. Masalan: Eramizdan oldingi VI- V asrlarda qadimgi Yunon matematikasida abstraktlashgan va qat‘iy mantiqlashgan geometriya vujudga keladi. Bu Evklid geometriyasi nomi bilan ataladi. Bundan tashqari, butun va ratsional sonlar arifmetikasi, Dedikend kesimi nazariyasiga o’xshash nisbatlarning umumiy nazariyasining asoslari, limitlar nazariyasining elementlari yuza va hajmni hisoblashdagi ―Yetarli metod kabi matematika‖ tarmoqlari vujudga keladi. O’rta Osiyo mamlakatlarida Muhammad al- Xorazmiy algebrani ijod etish bilan uni alohida fan darajasiga ko’taradi. ― O’rta Osiyo ensiklopediyasi olimlari Al-Farg oniy, Abu Rayhon Beruniy, ‖ ʻ Abu Ali Ibn Sino, Umar Xayyom, Ulug bek, G iyosiddin Koshiy va boshqalar ʻ ʻ matematika faniga o’z hissalarini qo’shdilar. 9 Xurosonlik matematik Nasriddin Tusiy XIII asrda tekis va sferik trigonometriyani bir tizimga soladi va trigonometriyani alohida fan darajasiga ko taradi.ʻ 3. O„zgaruvchan miqdorlar matematikasi davri. Bu XVII asrdan XIX asrning ikkinchi yarmigacha bo’lgan vaqtni o’z ichiga oladi. Shu davr boshlanishining muhimligi shundaki, ulug fransuz olimi Rene ʻ Dekartning matematikaga o’zgaruvchi miqdorlarni kiritdi, I.Nyuton va G.V.Leybnitslar asarlarida differensial va integral hisobi ijod etildi. 4. Bu davrdagi matematika "Klassik oliy matematika" nomi bilan ham ataladi . XIX - XX asrlarda matematik metod bilan tekshiriladigan fazoviy shakl va miqdoriy munosabatlarning hajmi nihoyatda kengayadi. Juda ko’p matematik nazariyalar vujudga keladi va matematikaning tadbiq qilish sohasi juda ko’payadi. Matematikada yangi-yangi tarmoqlar vujudga keladi. Boshlang’ich maktabda o’rgatadigan matematikaga oid materiallar matematika rivojlanishining ikkinchi davrida yuzaga kelgan g’oya va kashfiyotlarga asosan muvofiq kelgani uchun biz tadqiqotimizda O’rta asr Sharq olimlarining asarlarini yoritgan tarixchi matematiklarning ishlariga to’xtalamiz. O’z FA muxbir a‘zosi G.P.Matvievskaya «O’rta asr Sharqida son haqida ta‘limot» deb nomlangan asarida: Al-Xorazmiy, Al-Farg oniy, Al-Forobiy, at-Tusiy, Al-Koshiy, Qozizoda ʻ Rumiy, Ali Qushchi va boshqalarning qisqacha hayot va faoliyatlari berilgan. Kitobda O’rta Osiyo matematika fani tarixining umumiy bayoni ham berilgan. Bu kitob shunisi bilan qiziqki, unda o rta asr olimlari hayotidan juda qiziq ʻ ma‘lumotlar ham keltirilgan. G . L . Matvievskaya va X.Tillashev birgalikda yozilgan uchinchi kitob X-XVIII asr matematika va astronomiya fanlari olimlari qo’lyozmalari asosida qilingan ishlarning natijasidir. Kitobda O’rta Osiyo fani tarixi haqidaligi materiallar beradi. Kitobda qo’lyozmalarning qisqacha bayoni muallifning bibliografik ma‘lumotlari bilan to’ldiriladi va ularning saqlanayotgan joylari aytiladi. 1.2. Matematikani o„qitishda ajdodlar merosidan foydalanish hisobidagi asarlar. J.Ikromov o’zining «Matematikani o’rganish tili» kitobida «Maktab o’quvchilarining matematik madaniyati shakllanishi bir necha davrga bo’linadi» deb, ta‘kidlaydi. Birinchi navbatdagi ular obyektiv tushunchalarning birgalikda tashkil etadigan mazmuni - matematik reallikni aniqlab oladilar. Bunda obyektlarning aniqdek xususiyatlari bilan tarixiy-genetik jihatlar o’rtasidagi bog’liqlik alohida ahamiyat kasb etadi. Z.Otajonovaning "Matematika o’qitishda O’rta osiyolik olimlar ijodidan foydalanish" (1981) o’qituvchilar uchun qo’llanmasi ham katta ahamiyatga ega. Taniqli olim Sayyidamin Axmedovning "O’rta Osiyoda matematika taraqqiyoti va uni o’qitish tarixidan" nomli kitobida O’rta osiyolik mashhur olimlar ijodi, madrasada matematikaning o’qitilishi O’rta Osiyoda qo’llangan sanoq tizimi, arifmetik amallar, kasr sonlar arifmetikasi keng yoritilgan. A.Abduraxmonovning "Maktabda geometriya tarixi" risolasi sinf va sinfdan tashqari ishlarda geometriya tarixi o’qitilishiga bag’ishlangan bo’lib maktab o’quvchilari uchun muhim o’quv qo’llanmadir. K.G. Kojaboevning «Maktabda umumiy matematikaning tarbiyaviy yo nalishi» nomli ilmiy ishida o quvchilarni buyuk qomusiy olimlar al-Xorazmiy,ʻ ʻ Umar Xayyom, Nasriddin Tusiy, G’iyosiddin Koshiy, Al-Forobiy va boshqalarning ilmiy meroslarini o’rganish katta ahamiyatga ega ekanligini qayd etgan. S.I.Afoninaning "Matematika va go’zallik" asarlarida tarixiy elementlarni o’rganish muhim o’rin tutishi diqqatga sazovor. O’rta Osiyo olimlarining matematika sohasidagi ishlari va ularning fanni rivojlantirish sohasidagi xizmatlari haqida ma‘lumotlar berilgan. O’rta Osiyoda o’qitish tarixi muammolari, o’qitish uslubiyati va o’qitishni mukammallashtirish masalalari tilga olingan. Shuningdek, mashxur matematiklar va matematikaga qiziquvchilar Muhammad Muso al- Xorazmiy, Nasafiy, Xo jandiy, Beruniy, ʻ Sijovandiy, Koshiy, Kuboviy, Bobokalon Muftiylar haqida ma‘lumotlar bor. 12 Kitobdan o’rta maktab matematika darslarida tarixiy materiallarni qo’llash maqsadida foydalanish mumkin. Golland olimi B.P.Vanderning «Uyg onayotgan fan» (Qadimgi Misr, Vavilonʻ va Yunoniston matematikasi) aniq fanlar turli tarmoqlari arifmetika, matematika, algebra, geometriya davrlarga bo’lib ko’rib chiqilgan. Mazkur ilmiy ishda matematikaning fan tariqasida shakllanishining sarchashmalari haqida fikr yuritiladi. Bu ilmiy ishning o’quvchilar uchun yana bir foydali tomoni - matematika va geometriyaning amaliy ishlari bilan bog’langan, matematikaning amaliyot bilan bog’liqligi haqida qiziqarli ma‘lumotlar keltirilgan. A.P.Yushkevichning «O’rta asrlar matematikasi tarixi» ilmiy ishida matematika fanining Xitoy, Hindiston, Islom mamlakatlari (arab davlatlari, O’rta Osiyo, Eron, Ozarbayjon)dagi taraqqiyotining umumiy bayoni berilgan. Muallif ko’p sonli tadqiqotlariga yakun yasab, matematika fani taraqqiyot tarixini yangicha tushunish haqida o’z xulosalarini bayon qilgan. S.X.Sirojiddinov va G.P.Matviezskaya birgalikda 1978-yilda o’quvchilar uchun Abu Rayhon Beruniy haqida qo’llanma ham yaratdilar. Bu qo llanma «Abu Rayhon Beruniy va uning ʻ matematikaga oid asarlari» deb ataladi. Unda O’rta Osiyo qomusiy olimi Abu Rayhon Beruniy ijodining qisqacha bayoni, uning ilmiy tarjimai holi va uning izdoshlari haqida ham ma‘lumotlar bor. Oxirida Beruniyning matematik asarlari, ya‘ni matematikaga oid ijodi berilgan. M.Axadovaning O’rta Osiyoning buyuk mutafakkirlari ijodi to’g’risida o’z tilida yozilgan ilmiy ishlari 1964- va 1983- yil sanalari bilan belgilangan. Birinchi kitob shu sohaga qiziquvchilar uchun matematika tarixi faniga oid qo’llanma bo’lib, u «O’rta Osiyoning mashhur matematiklari» deb ataladi. Unda Muhammad Xorazmiy, Abu Rayhon Beruniy, Umar Xayyom haqida hikoya qilingan 4 . Ikkinchi kitob «O’rta osiyolik mashhur olimlar va ularning matematikaga doir ishlari» deb ataladi. Bu kitobda Beruniy, Umar Xayyom, Ibn Sino, Tusiy, Ulug bek, ʻ Qozizoda Rumiy, Ali Qushchi va boshqalar haqida kengroq ma‘lumot berilgan. 4 Ahadova. M.O rta osiyolik mashhur olimlar va ularning mat ‟ е matikaga doir ishlari. Toshk е nt. “O qituvchi”. 1983. ‟ 13 Ulug’bek ilmiy maktabining namoyondalari Ulug’bekning shogirdlaridir. Bu ulug’ olimlar amalda kanallar qurdilar, yulduzlar xaritasini tuzdilar, turli inshootlar barpo etdilar. Bu kitob yana shunisi bilan qiziqarliki, unda matematika va geometriyaga oid amaliy masalalar berilgan bo’lib, ular ustida olimlar ish olib borganlar. Keyingi yillarada matematika fani tarixiga oid nashr etilgan kitoblardan (1974 - 1987) biri «Matematika tarixi», ikkinchisi esa «Matematika fanining paydo bo’lishi va rivojlanishi» deb ataladi. Bu kitoblarda matematika fani tarixidagi aktual muammolar va ma‘lumotlar tahlil etilgan. «Matematika tarixi» kitobida matematika fanining taraqqiy etish qonuniyatlari tahlil qilib chiqilgan. Kitob tarkibi bir shaklga keltirilgan, matnning bir necha joylari hozirgi zamon fani talablari asosida katta ishlangan. Kitob tushunarli ilmiy til bilan yozilgan va matematika o’qituvchilari o’z o’quvchilariga tushuntirish uchun qulaylik bilan foydalanishlari mumkin. Shu kitobda matematik tasavvurning shakllanish jarayonlari, matematika nazariyasi, elementar matematika rivoji, o‘zgaruvchan miqdor matematikasi, matematik tahlil va geometriya, hozirgi zamon matematikasining boshlanishi kabilar talqin etib chiqilgan. Barcha bu ma‘lumotlar davrlashtirilgan. Misr, qadimgi Vaviloniya, Xitoy, Hindiston, Yunoniston, O’rta Osiyo va Yaqin Sharq, Uyg’onish davri Yevropasi matematikasi va geometriyasi ma‘lumotlari bayon qilib berilgan. «Matematika fanining paydo bo’lishi va rivojlanishi» asari «Matematika tarixi» asarining yana ham soddalashtirilgan yo’nalishi bo’lib, o’rta maktab o’qituvchilari uchun mo’ljallangan. O’zbekiston Fanlar Akademiyasining Abu Rayhon Beruniy nomidagi sharqshunoslik instituti nashr etgan maqolalar to’plami 1979-yilda nashr etilgan bo’lib, bu to’plam Ulug bek davri matematika taraqqiyoti haqidagi qiziqarliʻ ma‘lumotlarga g’oyatda boydir. Hozirgi zamon matematika predmetining shunday boy mazmunga ega bo’lishi uning eng muhim muammolar majmuini qayta qurishga olib keladi. 14 1.3. MATEMATIKA DARSLARIDA TARIXIY BILIM BERISH BILAN O„QUVCHILARDA O„ZLIKNI ANGLASH HISSINI TARBIYALASH Birinchi Prezidentimiz Islom Karimovning "Tarixiy xotirasiz kelajak yo’q" asarida "o’zlikni anglash tarixni bilishdan boshlanadi", degan muhim fikr mavjud. Haqiqatdan ham, ona yurt tarixini xolisona bilmasdan va u bilan faxrlanmasdan turib, milliy o’zlikni anglab bo’lmaydi. O’tmish tarixini chuqur va mukammal bilgan xalq va millat tarix saboqlaridan o’ziga tegishli va zarur xulosalar chiqarib oladi. Hozirgi yoshlar o’z xalqining jonkuyari bo’lishi, milliy qadriyatlarimizni chuqur bilgan, o’zlashtirgan, ularni qadrlaydigan bo’lishi kerak. Asrlar davomida ajdodlarimizning aqlu-zakovati bilan yuzaga kelgan milliy qadriyatlar inson shaxsining har tomonlama kamol topishida yetakchi omildir. Shunday ekan, hozirgi zamon kishisi, xususan, yosh avlodning milliy tushunchasini, ongini boyitib borish katta ahamiyatga ega. Ota-bobolarimiz tomonidan yaratilgan ilmiy boyliklar xalqimiz tomonidan ko’z qorachig‘idek saqlanmoqda va o’rganilmoqda. O’sib kelayotgan yosh avlod - maktab o’quvchilarini mana shu asarlar bilan tanishtirish ularning dunyoqarashini kengaytiradi, bilim saviyasini yuksaltiradi. O’tmishni, goh g’amgin, goh quvonchli kechgan tarixni ajdodlarimizning buyukligi nimadan iboratligini bilmay turib, milliy g’urur, milliy iftixor tuyg usiʻ shakllanmaydi. Kelajak o’tmishdan boshlanadi, degan gap bor. Vujudimizda, qadriyatlarimiz tarkibida nimaki go’zallik bo’lsa, Forobiy, Ibn Sino, Xorazmiy, Beruniy, Ulug‘bek, Umar Xayyom, G’iyosiddin Jamshid Koshiylarning pokiza vijdonidan, buyuk e‘tiqodlaridan, muqaddas ruhlaridan jamlanganini har bir o’qituvchi, har bir o quvchi bilmog i kerak. Vatan o tmishdan, bugundan va ʻ ʻ ʻ kelajakdan iboratdir. Biz xalqimizning uzoq yillar davomida yaratgan behisob moddiy -ma‘naviy boyliklari bilan faxrlanamiz. O rta Osiyo xalqlari olimlari o tmish madaniyatini, ʻ ʻ badiiy va ilmiy merosini o rganish yuzasidan bir qancha muhim ishlarni amalga ʻ 16 oshirdilar. Matematika tarixiga doir kitoblarda O rta asr Sharq olimlariningʻ matematika sohasidagi ishlari haqida umumiy ma‘lumot berilgan. Keyingi yillarda taniqli olimlardan A.Axmedov, A.P.Yushkevich, B.A.Rozenfeld, G.N.Qori- Niyoziy, S.X.Sirojiddinov, G .Jalolov va boshqalarning qilgan ishlari shu olimlar ʻ ijodi haqidagi ma‘lumotni yanada kengaytiradi va ularning metodlari bilan tanishtiradi. Hozir maktablarda qo llanilayotgan matematika dasturi va darsliklarda O rta ʻ ʻ Osiyo xalqlari allomalarining, matematika sohasiga qo shgan hissalari haqidagi ʻ ma‘lumot kam va umumiy tarzda. O qituvchi dars va darsdan tashqari mashg ulotlarda, matematikaga katta ʻ ʻ hissa qo shgan O rta Osiyo olimlarining ishlariga doir tarixiy materiallar haqida ʻ ʻ ma‘lumot berib borsa, o quvchilarning matematikaga qiziqishi ortadi. Matematik ʻ masalalarni qadimgi va hozirgi zamon fani nuqtai nazaridan tahlil qilib yechilsa, maqsadga muvofiq bo ladi. ʻ O rta Osiyo xalqlari ham boshqa xalqlar qatori jahon madaniyati xazinasiga ʻ katta hissa qo shgan. Ko pgina moddiy va ma‘naviy boyliklar chet el ʻ ʻ bosqinchilarining ko p asrlar davomida O rta Osiyo xalqlariga qarshi bosqinchilik ʻ ʻ urushlari oqibatida yo‘qolib ketgan. Shu sababli bu xalqlarning o rta asrda ʻ madaniyatining haqiqiy o rganish ancha mushkul. ʻ V asr oxirlariga kelib, Rim imperiyasi qulaydi. Shu munosabat bilan qadimgi Rimda fan va madaniyat tushkunlikka yuz tutadi. Yevropada o rta ʻ asrlar boshida ijtimoiy - madaniy va siyosiy hayotda dinning ta‘siri nihoyatda kuchayadi. Din ilm-fan va ma‘rifat taraqqiyotiga katta to‘sqinlik qiladi. Buning oqibatida, G arbiy Yevropada fan va madaniyat taraqqiyoti deyarli to xtab qoladi. Tarixiy ʻ ʻ manbalardan bilishimizcha, matematika sohasida XII asrgacha hech qanday ijodiy ish yuzaga kelmaydi. Ammo VII-XIII asrlarda dunyoning boshqa bir tomonida-Sharqda matematika, astronomiya fanlari taraqqiyotida juda katta yutuqlarga erishiladi. Madaniyat markazlaridan biri bo lgan O rta Osiyoda yashagan xalqlar juda qadim ʻ ʻ zamonlardan beri Xitoy, Hindiston, Eron, Kavkaz va boshqa mamlakatlarning xalqlari bilan "Buyuk ipak yo‘li" orqali savdo-sotiq, siyosiy 17 madaniy aloqa qilib turar edilar. O rta Osiyo xalqlari ilm-fan sohasida buʻ mamlakatlarning xalqlari yaratgan yangiliklarni qunt bilan o rganadilar va o zlari ʻ ʻ ham Sharqda ilm - fanning taraqqiyotiga katta hissa qo shadilar. ʻ Matematikani o rgatish jarayonida tarbiyani ʻ o’quvchilarning yoshi va bilimiga mos ravishda sonlar va ularning xossalari bilan tanishtirishdan boshlash mumkin. Masalan, quyi sinflarda ko p xonani sonlarni o rganishdan ʻ ʻ boshlab, yuqori sinflarda sonlar xonasini kengaytirish va nihoyat natural sonlar to g risidagi bilimlar orqali o quvchilar hamma ʻ ʻ ʻ sonlar inson amaliy faoliyati, uning hayotiy ehtiyoji va tajribasi na tajasida paydo bo lganligiga ishonch hosil ʻ qiladilar. Sonlarning xossalarini o rganish vaqtida bu xossalar turlicha qarashlar va ʻ xurofiy nazariyotchilar tomonidan qanday talqin qilinganligi haqida suhbat o tkazish mumkin. Bunday suhbatlar oxirida o tkaziladigan mashqlar natijasida va ʻ ʻ sonlarning muhim xossalarini o rganish orqali o quvchilarni chekli tasavvurlar bilan ʻ ʻ tanishtirish mumkin. Dastlab, tarixiy materiallar tarkibida mavjud bo lgan hikoya, ertak, ʻ masallardan o rinli foydalanish lozim bo ladi. Bunga shu yoshdagi bolaning ʻ ʻ ko pincha uyda va maktabda shug ullanadigan asosiy faoliyati bo lgan o qish, ʻ ʻ ʻ ʻ muomala, o yin va mehnat yordam beradi. Yetti yoshga to lguncha bolalarda ʻ ʻ ma‘lum obyekt va hodisalar haqida faqat reproduktiv, ayni paytda idrok etib bo lmaydigan timsollarni payqash mumkin, bu timsollar asosan axborot ʻ ma‘nosidadir. O qishga kelishi bilan bola shaxsiga tarbiyaviy ta‘sir ko rsatadigan ʻ ʻ tengdoshlari, o qituvchilar, maktab o quv qo llanmalari orqali katta yo l ochiladi. ʻ ʻ ʻ ʻ O qish hisobiga ommaviy axborot vositalari orqali aloqalar kengayadi, unga ʻ muayyan darajada ta‘sir ko rsatadigan axborot oqimi kuchayadi. Bola maktabga ʻ borishi munosabati bilan oilaning tarbiyaviy ta‘siri birmuncha susayadi, chunki u bilan maktab yaxshigina raqobat qila boshlaydi. Endi bolaning ko proq vaqti oiladan ʻ tashqarida o z tengqurlari, o qituvchilari bilan turli vaziyatlarda muomala- ʻ ʻ munosabat qilgan holda kecha boshlaydi. Quyi sinflarda o qiyotgan vaqtida bolaga ʻ 18 oila bilan maktabning ta‘siri deyarli bir xil bo ladi. Bu masalada tarixiyʻ materiallardan foydalanish ayniqsa katta ahamiyatga ega. Matematika mashg ulotlarida sonlarning xossalarini o rganishdan tashqari, ʻ ʻ ayrim matematik olimlarning hayoti bilan ham tanishtirib boriladi. Bu suhbatlar davomida albatta ularning yaratgan kashfiyotlari haqida ilmiy-g oyaviy ma‘lumotlar ʻ beriladi. O qituvchi o z imkoniyatiga qarab tinglovchilarni xalq ichidan yetishib chiqqan ʻ ʻ olimlarning fikrlari va ma‘rifatparvar g oyalari bilan ularning fanga bo lgan qo shgan ʻ ʻ ʻ hissalari, matematikaga doir ishlari bilan tanishtirib borsa, o quvchilarning fanga ʻ qiziqishi ortadi hamda vatanparvarlik dunyoqarashi ham shakllana boradi. O rta Osiyoda yashab ijod qilgan Forobiy, Xorazmiy, Ibn Sino, Beruniy, ʻ Hakim va Sobir Termiziylar, Firdavsiy, Rudakiy va boshqa buyuk mutafakkirlar o zlarining butun ijodiy faoliyatlarini Vatanda ilm-ma‘rifatni rivojlantirishga ʻ bag ishladilar. ʻ Bular ilk o rta asr sharoitida nihoyatda ozchilikni tashkil qilgan edilar. ʻ Ularning xizmatlari o z zamonasida inobatga olinmadi, ayrimlari ʻ moddiy nochorlik, quvg in va ta‘qib ostida yashadilar. Ilmiy g oyalarni targ ib qilganliklari uchun ʻ ʻ ʻ ko pgina mutaffakkirlarning hayoti fojiali tugadi. ʻ Ulug bekning ilmiy faoliyati va madaniy merosi tarixini ham o quvchilarga ʻ ʻ mukammal tushuntirish zarur, chunki Ulug bek davlatning ma‘muriy, siyosiy ishlari ʻ bilan band bo lishiga qaramasdan, jahonshumul ahamiyatga molik ilmiy ishlarni ʻ bajaradi, mamlakatning madaniy yuksalishiga alohida e‘tibor beradi. 1417-1420 yillarda O rta Osiyoning yirik markazlari bo lgan Buxoro, Xo janjakon (hozirgi ʻ ʻ ʻ G ijduvon) shaharlarida zamonaviy madrasalar qurdirdi. Buxoroda qurdirgan ʻ madrasa darvozasining peshtoqiga ko pdan-ko p yulduzlar rasmini chizdirdi. Ilmga ʻ ʻ intilish har bir musulmon ayol va erkakning burchidir degan shiorni yozdirib qo ydi, ʻ xotin-qizlarni ilm-ma‘rifatli bo lishga da‘vat etdi. ʻ 19 II BOB. MATEMATIKA FANINING RIVOJLANISH TARIXIGA OID MATERIALLAR. 2.1. Muhammad al-Xorazmiy va uning arifmetika darsligi. Olimning to liq ismi Abu Abdulloh Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy al-ʻ Ma‘jusiydir. Bu yerda ismning «Abu Abdulloh Muhammad» qismi islomga yangi o tganlarga beriladigan an‘anaviy ismdir, «Ibn Muso» «Musoning o g li» demakdir. ʻ ʻ ʻ «al-Ma‘jusiy» laqabiga ko ra, Xorazmiyning ajdodlari ma‘jusiy kohinlaridan, ya‘ni ʻ mo‘g ullardan bo lib, islomni otasi qabul qilganligi ko rinadi. ʻ ʻ ʻ Olimning tug ilgan va vafot etgan yillari hamda hayot yo li haqida aniq ʻ ʻ ma‘lumot saqlanmagan. U tug ilgan yilni 783-yil deb taxmin qilinadi. Xorazmiyning ʻ boshlang ich ta‘limi va qanday sharoitda Xorazmni tashlab ketganligi ham fan uchun ʻ hozircha noma‘lum. Ma‘lumki, ma‘jusiy kohinlari qadimiy diniy urf-odatlardan xabardar bo lgan, yerli xalq yozuvini bilgan hamda diniy va ilmiy adabiyotlar ularning ʻ qo lida saqlangan. Shunga ko ra, Xorazmiy boshlang ich ma‘lumotni o z uyida ʻ ʻ ʻ ʻ olganligiga ishonish mumkin. Xorazmiy Vatanini tashlab ketishiga kelsak, ayrim tadqiqotchilarning fikricha, uning otasi ma‘jusiy kohinlaridan bo lgani uchun arab ʻ mutaassiblarini ham ta‘qibidan qochib, Xorazmni tashlab ketishga majbur bo lgan va ʻ Xurosonga, keyinroq esa, Bag dodga kelib qolgan. Agar Beruniyning Qutayba haqida ʻ keltirgan xabarlari nuqtai nazaridan qaralsa, bu fikrga qo shilish mumkin. Lekin ʻ bizningcha, boshqa bir mulohaza haqiqatga yaqinroq. Bu mulohaza xalifa Xorun ar- Rashidning Xurosondagi noibi, o z o g li Ma‘mun ar-Rashid bilan bog liq. Bu ʻ ʻ ʻ ʻ mulohazaga ko ra, Ma‘mun Xurosondagi noiblikning poytaxti Marvga, atrof ʻ o lkalardan, jumladan, Xorazm, Farg ona, Shosh, Forob, Afg oniston va boshqa ʻ ʻ ʻ qo shni yerlardan olimlarni to plab, o z saroyida ularning ilmiy ishlariga sharoit yaratib ʻ ʻ ʻ bergan. Ma‘mun o rta asrlardagi mustabid feodal hokimining tipik namunasi bo lish ʻ ʻ bilan birga, olimlarga homiylik ham qilgan. U yoshligidan turli ilmlardan xabardor bo lgan. Uning saroyida Xorazmiydan tashqari, O rta osiyolik olimlardan Javhariy, ʻ ʻ Habash al-Hosib, Farg oniy va boshqalar bo lgan. 813-yili xalifalik lavozimiga ʻ ʻ Ma‘mun ar-Rashid (813—833) o tirgach, u o zi bilan Bag dodga Marvdagi saroy ʻ ʻ ʻ olimlarini ham olib keldi. 20 Keyinchalik bu olimlar Sharqda «almaroviza», ya‘ni «marvliklar» nomi bilan mashhur bo ladi. Ular orasida Xorazmiy ham bor edi. Ma‘mun «damashqliklar» vaʻ «marvliklarni» «Bayt-ul hikmat» deb atalgan va keyinchalik «Ma‘mun akademiyasi» nomi bilan mashhur bo lgan akademiyaga birlashtiradi. Ma‘mun ʻ akademiyasida ko plab olimlar, tarjimonlar va xattotlar xizmat qiladi. Ularning ʻ aksariyati O rta Osiyo va Erondan kelgan olimlar edi. Yu. Rushka ta‘kidlaganidek, ʻ H. Zuter tomonidan tuzilgan matematik va astronomlar ro yxatidagi olimlarning ʻ hammasi «deyarli nuqul Xuroson, Movarounnahr, Baqtriya va farg onaliklardir». ʻ Demak, «Ma‘mun akademiyasi»da olib borilgan ilmiy izlanishlarga asli O rta ʻ osiyolik bo lgan olimlar muhim hissa qo shgan. «Bayt-ul hikmat»ning o z ʻ ʻ ʻ rasadxonalari bo lgan. Bag dod olimlari astronomiya, matematika, geografiya ʻ ʻ sohasida keng ko lamda ishlar olib borganlar, yer meridiani bir darajasining ʻ uzunligini, ekliptikaning og ishini va yoritqichlarning sferik koordinatalarini ʻ o lchaganlar. Astronomiyaga qiziqishning sabablaridan biri feodal saroy ʻ hokimlarining astrologiyaga, ya‘ni yulduzlarga qarab, hukm chiqarishga («sinoati tanjim») xurofiy ishonganliklari edi. Albatta, bu asosiy sabab bo lmay, balki u ʻ Sharq mamlakatlari ko pchiligining, jumladan, O rta Osiyoning ham dehqonchiligi, ʻ ʻ madaniyat va taraqqiyoti sug orishga asoslanganligida, bu esa astronomiya bilan ʻ ancha bog liq ekanligidadir. ʻ Ayrim tadqiqotchilarning fikricha, Bag dodda astronomiya bilan ʻ shug ullanishga turtki bo lgan sabablardan biri bag dodliklar hindlarning bilimidan ʻ ʻ ʻ xabardor bo lganliklaridir. Bu fakt haqida va Xorazmiyning undagi ahamiyati ʻ haqida XIII asr tarixchisi Ibn al-Kiftiy (1172—1248) quyidagicha xabar beradi: «Ibn Odamiy deb ma‘lum bo lgan al-Husayn ibn Muhammad ibn Hamid ʻ o zining «Terilgan marjon» deb atalgan katta zijida hikoya qiladiki, bir yuz ellik ʻ oltinchi [milodiy 773] yili Xalifa al-Mavsur oldiga Hindistondan bir kishi keldi. U yoritqichlarning harakatlari, ularning chorak daraja uchun hisoblangan kardajalardan tuzilgan tenglamalari va yoritgichlar bilan bo ladigan boshqa samoviy hodisalar, ʻ chunonchi, tutilishlar ekliptika [darajalarining] chiqishlari va boshqalar haqidagi Sindhind deb ataluvchi hisobdan xabardor edi... Bular bir necha boblik 21 kitobda keltirilgan edi. U [al-Husayn] aytadiki, o sha [hind] kitobni hindʻ podshohlaridan bo lmish Fig ar nomli podshoga mansub kardajalar hisobiga ʻ ʻ qisqartirgan, bunda kardajalar minutlar uchun hisoblangan bo ldi. ʻ Arifmetik asar, lotincha ―Algoritmi de numero («Algoritmi hind hisobi ‖ haqida») nomi bilan ma‘lum. Asarning arabcha nusxalari saqlanmagan. Bu yerda keltirilgan nom asarning XIV asrda ko chirilgan Kembrij univereitetida ʻ saqlanadigan nusxasida keltiriladi. Mazkur nusxaga asos bo lgan lotincha tarjimani ʻ XII asrda Kremonalik Gerardo yoki Adelard Bat bajargan. Lotincha tarjimaning bu nusxasi B. Bonkompani va K.Fogel tomonidan nashr etilgan K. Fogel lotincha tarjima nusxasining fotoreproduksiyasini ham chop etgan. Asarning tadqiqi bilan fotoreproduksiyasini A. P. Yushkevich ham nashr etgan. B. Bonkompani nashri asosida Yu. X. Kopelevich bajargan ruscha tarjima B. A. Rozenfeldning izohlari bilan Xorazmiyning matematik risolalari to plamida nashr etilgan. Bundan tashqari, ʻ A. P. Yushkevichning monografiyasida ikki paragraf Xorazmiy asarining tadqiqiga bag ishlangan. ʻ Xorazmiyning arifmetik risolasi XII asr o rtalarida Seviliyalik Ioann ʻ tomonidan qayta ishlangan. Uning asari «Liber algoritmi de practica arifmetice» («Algoritmning arifmetika amali haqida kitobi») deb ataladi, u B. Bonkompanining yuqorida eslatilgan nashrida keltirilgan. Mazmuni bo yicha Xorazmiy asariga yaqin ʻ bo lgan XII asrga mansub lotincha «Liber ysagogarum Algorizmi in artem ʻ astronomicam a magistro A. Compositum » («Magistr A. tomonidan ta‘rif etilgan Al Xorazmiyning astronomiya san‘atiga kirish kitobi») nomli asar ham mavjud. «Magistr A.» deb ko pchilik ingliz olimi Adelard Batni hisoblaydi. Xorazmiyning ʻ arifmetik risolasini ham Adelard Bat tarjima etganligi ehtimol. Al-kitob al-muxtasar fi hisob al-jabr val-muqobala («Aljabr al muqobala hisobi haqida qisqacha kitob»). Xorazmiy «Algebra»sining arabcha nusxasi Oksford universitetining Bodleyan kutubxonasida saqlanadi (№ Hunt 214, r. 1—34). Bu qo lyozma 1342 yili ko chirilgan. Uning arabcha nusxasi inglizcha tarjimasi bilan ʻ ʻ birga F. Rozen tomonidan 1831-yili nashr etilgan. Xorazmiy bu asarining yana ikkita arabcha nusxasi mavjudligi aniqlandi. Risolaning arabcha nusxalaridan 22 tashqari ikkita lotincha tarjimasining nusxalari mavjud. Birinchi lotincha tarjima 1145-yili Ispaniyaning Segoviya shahrida Chesterlik Robert tomonidan bajarilgan. Bu tarjimaning Kolumbiya (Nyu-york) universiteti, Vena va Drezden Davlat kutubxonalarida saqlanadigan qo lyozmalariga ko ra, lotincha tekstini inglizchaʻ ʻ tarjimasi bilan birga 1915-yili L. Ch. Karpinskiy nashr etgan. Ikkinchi lotincha tarjimasi ham XII asrda Kremonalik Gerardo tomonidan bajarilgan bo lib, 1838 yili G. Libri tomonidan nashr etilgan. Seviliyalik Ioann (XII) ʻ tomonidan bajarilgan lotincha qisman tarjima uning Xorazmiy arifmetikasiga bag ishlangan risolasi tarkibiga kirgan va B. Bonkompani tomonidan nashr etilgan. ʻ Risolaning arabcha nusxasidan nemischa tarjimasini Yu. Rushka, fransuzcha tarjimasini A. Marr va forscha tarjimasini X. Xedivjam nashr etgan. Risolaning geometrik qismi S. Gands tomonidan nashr etilgan. Asarning ruscha tarjimasi Yu. X. Kopelevich va B. A. Rozenfeld tomonidan nashr etgan. Buyuk bobokalonimiz Al- Xorazmiy butun dunyoga raqamlardan qanday foydalanish kerakligini o`rgatgan olimdir. U 1,2,3,4,5,6,7,8,9,va 0 kabi raqamlar hisob- kitob ishlari uchun juda ham qulay ekanini isbotlab bergan . Bu haqida olim o`zining arifmetikaga oid kitobida batafsil yozib qoldirgan. Qadimgi yevropaliklar sanoq va hisob – kitob ishlari uchun hozirgiday 1, 2, 3 kabi arab raqamlarini ishlatmagan. Buning o`rniga murakkab rim raqamlaridan foydalanishgan. Rim raqamlarini yozish va o`rganish qiyin bo`lgan. Masalan, oddiy ―8 raqamini bildirish uchun to`rtta belgi ishlatilgan-VIII . ‖ Agar 2088 raqamini yozish kerak bo`lib qolsa , u mana bunday ko`rinish olardi- MMLXXXVIII. Qizig`i , o`sha davrlarda 0 raqamini bildiruvchi belgi ham bo`lmagan.Bu esa ko`plab aniq fanlarning rivojlanishiga to`sqinlik qilgan. Al-Xorazmiy arab raqamlaridan o`ziga xoslikni tushuntirib beradi.Ayniqsa, 0 raqamidan foydalanib istalgan miqdorini bildirish qulay ekanini , bunda rim raqamlariday qiyinchilik tug`ilmasligi isbotlaydi.Shu tariqa, yevropaliklar murakkab rim raqamlaridan voz kechib, qulay bo`lgan arab raqamlarini ishlata bebra foshlashadi.Buyuk bobomizni esa algebra fani asoschisi sifatida tan olishadi. 23 Algebraik ris о laning keyingi b о blari X о razmiy yashagan davrning orazmiy arab raqamlaridan o`ziga xoslikni tushuntirib beradi.Ayniqsa, 0 raqamidan foydalanib istalgan miqdorini bildirish qulay ekanini , bunda rim raqamlariday qiyinchilik tug`ilmasligi isbotlaydi.Shu tariqa, yevropaliklar murakkab rim raqamlaridan voz kechib, qulay bo`lgan arab raqamlarini ishlata bebra foshlashadi.Buyuk bobomizni esa algebra fani asoschisi sifatida tan olishadi. Ikkinchi va uchinchi sinfda qo`shish va ayirish algoritmi o`rgatilgan so`ng bu algoritmni mohiyatida Xorazmiy merosidan foydalanish mumkin. Quyidagi keltirilgan X о razmiy masalalaridan dars jarayonlarida f о ydalanish mumkin. Algebraik ris о laning keyingi b о blari X о razmiy yashagan davrning talabi va isl о m huquq n о rmalariga ko`ra mer о sxo`rlar o`rtasida mulk taqsimlashga d о ir turli xil murakkab masalalarga bag`ishlangan. Biz quyida shu masalalardan ba`zilarini keltiramiz: 1-masala. Bir kishi vaf о t etadi va undan to`rt o`g`il q о ladi. О tadan q о lgan mulkdan har bir o`g`il baravar hissa о lishi kerak. U o`limidan о ldin bir о damga o`g`illarining har biriga tegadigan hissani, ikkinchi bir о damga mulkning uchdan bir bo`ladigan bir o`g`il hissasini ayirib, ayirmaning to`rtdan bir bo`lagini о lishlarini vasiyat qilgan 2-masala. Bir x о tin vaf о t etgan, undan ikki qiz, о nasi va eri q о lgan. U bir оdamga оnasiga tegadigan hissani, bоshqa bir оdamga hamma mulkning to`qqizdan bir qismini vasiyat qilgan. Masalaning mazmunidan qizlariga, о nasiga va eriga mulkning qanday qismi tekkanini t о pish l о zimligi ko`riladi. Xоrazmiy tavsiya etgan yechish usuli: «Zarur mulkning bo`laklari (s о ni)ni t о p, u o`n uch bo`lak, bundan ikki bo`lagi оnasiga. Endi sen vasiyat qilingan ikki bo`lak va butun mulkning to`qqizdan bir bo`lagi ekanini bilasan. Undan mer о sxo`rlarga ikki bo`laksiz 24 to`qqizdan sakkiz mulk q о ladi. Ikki bo`laksiz to`qqizdan sakkizni o`n uch bo`lak deb his о blab, o`z mulkingni to`ldir, ya`ni unga ikki bo`lakni qo`sh, undan o`n besh teng to`qqizdan sakkiz mulk hosil bo`ladi.So`ngra unga sakkizdan birni, o`n beshga esa uning sakkizdan biri, ya`ni bir va sakkizga ettini qo`sh. Kimga to`qqizdan bir vasiyat qilingan bo`lsa, unga bir va sakkizdan etti bo`lak (tegadi). B о shqasiga, (ya`ni) kimga о nasining bo`lagi vasiyat qilingan bo`lsa, unga ikki qism (tegadi). O`n uch bo`lak q о ladi, u esa mer о sho`rlar о rasida ularning qismlari bo`yicha (bo`linadi). Agar bir yuz-u o`ttiz besh bo`lak bo`lsa, u butun bo`ladi». Оnasi butun mulkning 1 qismini, eri esa 1 qismini оlishi 6 4 kerak bo`lgani uchun butun mulkni 12 qismga bo`lish l о zim. Undan 2 qismini о nasi, 3qismini eri о ladi, u h о lda har bir qiziga 3 1 2 qismdan tegadi. Xоrazmiy kasrdan qоchib, butun mulkni 12 qismga bo`ladi, amm о о ldingi 12 qismga bo`lgani kabi оnasi 2 qismni, eri esa 3 qismni оlaveradi, har bir qiziga esa 4 qismdan tegadi. Shuning uchun birinchi vasiyat qilingan mablag` оnasining qismi 2 bo`lakka teng, ikkinchi vasiyat qilingan mablag` hamma mulkning 1 9 qismiga yoki butuni qоlgan mulkning 1 qismiga, ya`ni 1 ∙15=15 8 8 8 qismga teng. Umumiy bo`laklar sоni 16 7 = 135 ga teng. Hamma 8 8 mulk 135 qismdan ib о rat deb, о nasi 16 bo`lakni, eri 24 bo`lakni, har bir qizi 32 bo`lakdan о lishini t о pamiz. Birinchi vasiyat qilingan mablag` esa 15 qism bo`ladi. Matematika tarixidan ma`lumki, merоs taqsimlashga dоir masalalar bilan Xоrazmiygacha ham qadimgi Bоbil, Misr va yunоnistоnlik matematiklar shug`ullangan bo`lsa-da, X о razmiy bu masalani islоm huquq n о rmalari as о sida mer о s taqsimlashning nazariy va amaliy 25 as о slarining matematik usulini birinchi bo`lib ishlab chiqdi. X о razmiyning algebraik ris о lasida bayon etilgan ilmiy yo`nalish keyingi davr о limlarning ij о diga katta ta`sir ko`rsatdi. X о razmiydan keyin yashagan o`rta asr sharq matematiklari Nasaviy, Abu K о mil, Sir о jiddin Sij о vandiy, Tusiy, Jamshid K о shiy va b о shqalar algebrani taraqqiy ettirish bilan bir qat о rda, X о razmiy b о shlagan ilmiy an`anani dav о m ettirib, mer о s taqsimlash masalalarining ilmiy va amaliy nazariyasiga salm о qli hissa qo`shdilar Masalan, XII asrda yashagan matematik va huquqshun о s Sir о jiddin Sij о vandiyning algebraga d о ir asarlarida va 1203 yili yozilgan mer о s taqsimlashga d о ir maxsus «Sir о jiddining v о rislik huqiqi» n о mli asarida mer о s taqsimlashning umumiy ilmiy va amaliy nazariyasi berilgan. Ulug`bekning Samarqand ilmiy maktabida ij о d etgan о limlardan Jamshid K о shiyning «Arifmetika kaliti» («Mift о x al-his о b», XV asr) n о mli asarida ham mer о s taqsimlashga d о ir turli xil masalalar uchraydi. 26 2.2. Muhammad Xorazmiyning arifmetika asarida raqamlash va arifmetik amallar. Xorazmiyning arifmetik va algebraik asarlari matematika tarixida yangi davrni — o rta asrlar matematikasi davrini boshlab berdi va matematikaning keyingiʻ asrlardagi rivojlanishiga beqiyos zo r ta‘sir ko rsatdi. Ular ko plab tadqiqotlar uchun ʻ ʻ ʻ tayanch vazifasini o tadi; ularni ko plab mualliflar sharhladi va ularning qismlari ʻ ʻ boshqa asarlar tarkibiga kirdi; asrlar o ta bir necha avlodlar matematik ʻ ma‘lumotlarni shu asarlardan oldi. Olim o zining matematik asarlarida kundalik ʻ hayot talabi va ehtiyojlarini e‘tiborga olgan holda, olimlar uchun ham, hunarmandlar uchun ham eng kerakli bo lgan ma‘lumotlarni to pladi hamda ʻ ʻ sermazmun va sodda iboralar bilan qisqagina bayon etdi. O zining arifmetik asarida Xorazmiy arab tilida birinchi bo lib, o nlik ʻ ʻ ʻ pozitsion hisoblash sistemasini va unga asoslangan amallarning bayonini keltiradi. Bu risolaning Kembrij universiteti kutubxonasida saqlanadigan lotincha qo lyozmasi Dixit Algorizmi, ya‘ni «Algorizmi dedi» iborasi bilan boshlanadi. ʻ Xorazmiy risolasi mazkur qo lyozmaning 1020—1096-betlarini o z ichiga oladi va ʻ ʻ kasrlarni ko paytirish misolida amal oxirigacha yetmasdan risola tugallanadi. A P. ʻ Yushkevich tadqiqoticha, risolaning asli arabcha nomi «Kitob al-jam‘ va tafriq bi- hisob al-hind» («Hind hisobi bo yicha qo shish va ayirish kitobi») bo lishi kerak. ʻ ʻ ʻ Bundan ko rinadiki, Xorazmiy asar nomida faqat asosiy ikki arifmetik amalni ʻ ko rsatgan. Chunki, u ko paytish va bo lish amallari ham shu ikki amalga ʻ ʻ ʻ keltirilishini nazarda tutib, shunday qaragan bo lishi ehtimol. Xorazmiy risola ʻ avvalida, hamdu sanodan so ng, to qqizta harf, ya‘ni raqam yordamida hindlarning ʻ ʻ hisoblash usulini bayon etmoqchi ekanligini va bu «harflar» yordamida har qanday sonni osonlik bilan qisqagina ifoda qilish mumkinligi va ular ustida amallarni bayon etmoqchi ekanligini aytadi. Lotincha qo lyozmada hind raqamlari yozilmagan, ular ʻ o rni bo sh qoldirilgan. Faqat goho 1, 2, 3, 5 uchun hind raqamlari va nol uchun ʻ ʻ aylana shakli yozilgan. Misollarda o rta asrlarda G arbiy Yevropada keng tarqalgan ʻ ʻ rim raqamlari yozilgan bo lib, ularga mos hind raqamlarining o rni bo sh ʻ ʻ ʻ qoldirilgan. Xorazmiy arifmetik risolasida hind arifmetikasigina emas, balki 27 qadimgi yunon falsafasining akslanishi ham seziladi. Undan tashqari, Xorazmiy bu asarida o zidan avvalgi matematik asarlardan foydalanganligi ham seziladi. Bundayʻ fikrlarni uning quyidagi so zlari tasdiqlaydi: «Demak, bir har qanday sonning ʻ tarkibida bor. Bu haqida arifmetikaga doir boshqa kitobda ham aytilgan. Bir har qanday sonning ildizidir va demak, u sonlardan tashqarida turadi. U shuning uchun sonning ildizidirki, har qanday sonni u tufayli aniqlanadi. U shuning uchun sonlardan tashqaridadirki, u o z-o zicha, ya‘ni hech qanday boshqa sonsiz ʻ ʻ aniqlanadi». Bu yerda «bir har qanday sonning tarkibida bor» ekanligi, «har qanday sonning ildizi» ekanligi va uning «sonlardan tashqarida», ya‘ni bo linmas ekanligi ʻ bir tomondan pifagorizm qarashlariga mansub bo lsa, ikkinchi tarafdan u ʻ aristotelizmga taalluqlidir. Sonlarni hind raqamlari bilan o nlik pozitsion sistemada yozilishini va «0 ga ʻ o xshash kichik doiracha»ning ishlatilishi haqida mufassal so zlaganidan so ng, ʻ ʻ ʻ Xorazmiy katta sonlarni aytishni o rgatadi va bunda u faqat birlar, o nlar, yuzlar va ʻ ʻ minglarning nomlaridan foydalanadi. Misol tariqasida, Xorazmiy mana bu (qo lyozmada ko rsatilmagan) 1180 073 051492 863 sonning o qilishini ko rsatadi, ʻ ʻ ʻ ʻ u bunday o qiladi: mingta ming ming ming ming besh marta va yuz ming ming ʻ ming ming to rt marta "va sakson ming ming ming ming to rt marta va yetmish ʻ ʻ ming ming ming uch marta va uch ming ming ming uch marta va ellik bir ming ming ikki marta va to rt yuz ming va to qson ikki ming va sakkiz yuz oltmish uch. ʻ ʻ Sonlarning bunday noqulay o qilishi Sharqda ham, Yevropada ham uzoq ʻ muddatgacha saqlanib, o nlik pozitsion sistema uzil-kesil g alaba qilgandagina ʻ ʻ yo qoladi. ʻ Bundan keyin Xorazmiy hind usuliga ko ra arifmetik amallarni mufassal ʻ bayon qilishga o tadi va qo shish, ayirish amallaridan boshlaydi. Bu amallarda u ʻ ʻ «doiracha», ya‘ni nolning roliga katta ahamiyat beradi. Xorazmiy u haqda bunday deydi: «Agar hech narsa qolmasa, martaba bo sh qolmasligi uchun doiracha qo yib ʻ ʻ qo y; lekin u yerda uni egallovchi doiracha tursin, chunki agarda u yer bo sh bo lib ʻ ʻ ʻ qolsa, martabalar kamayib qoladi va ikkinchini birinchi o rnida qabul qilinib qoladi ʻ va shu bilan sen o z soningda yanglishib qolasan». Mazkur ikki amalni har doim ʻ 28 yuqori martabadan boshlashni tavsiya qiladi. Xorazmiy arifmetik amallar uchun keltirgan birinchi misoli ayirish uchun bo lib, u 6422 dan 3211 ni ayiradi. Buningʻ uchun u ayiriluvchini kamayuvchining tagiga mos razryadlari (martabalari) bo yicha ʻ yozishni tavsiya qiladi. Bu misolda kamayuvchining har bir hadi ayiriluvchining har bir hadidan katta bo lib, unda hali nolni ishlatmaydi. Biroq keyingi misolda 1144 ʻ dan 144 ayiriladi. Bu holda ham ayiriluvchi kamayuvchining tagiga mos razryadi bo yicha yozilishi tavsiya etiladi. Shubhasiz, bu misolda muallif nolning rolini ʻ ko rsatmoqchi bo ladi. ʻ ʻ Xorazmiy ikki baravarlash va ikkilash, ya‘ni yarimlash amallariga muhim ahamiyat beradi. Ma‘lumki, bu amallar qadimgi Misr matematikasiga taalluqli bo lib, ular ko paytish va bo lish amallarini ikkiga ko paytish va ikkiga bo lish ʻ ʻ ʻ ʻ ʻ yordamida bajarganlar. Xorazmiy bu ma‘lumotlarida qanday manbalarga asoslanganligi ma‘lum emas. Lekin Xorazmiy risolasi tufayli bu amallar uzoq muddat davomida Sharq va Yevropa matematikasida qo llanib keldi. Xorazmiy ikki ʻ baravarlash ko paytishning xususiy holi va ikkilash bo lishning xususiy holi ʻ ʻ ekanligini bilgan bo lsa ham, risolasining Kembrij nusxasida bu haqda ochiq ʻ aytilmagan. Lekin, uning risolasini qayta ishlagan Seviliyalik Ioann ikkilash — bo lishning turi va ikki baravarlash ko paytishning turi ekanligini hamda bu amallar ʻ ʻ sonlardan ildiz chiqarish uchun kerakligini aytgan. Xorazmiy ikkilash amaliy bajarishida qadimgi Bobil matematik an‘analariga ham tayanganligi seziladi. Uning «birni ikkilaysan, ya‘ni ikkita yarimga ajratasan, shunda uning bitta yarmi birni tashkil qiluvchi oltmishning o ttiz qismini tashkil qiladi» degan iboralari buning ʻ yorqin dalilidir. Bundan keyin, Xorazmiy butun sonlarni bir-biriga ko paytirishga o tadi. ʻ ʻ Buning uchun u 9 ni 9 gacha ko paytish jadvalini yoddan bilish kerakligini aytadi. ʻ Xorazmiy keltirgan misolda 2326 ni 214 ga ko paytiriladi. Bu sonlarni bir-biriga ʻ ko paytirish uchun Xorazmiy ko paytuvchini ko paytiriluvchining tagiga ʻ ʻ ʻ joylashtirilib, bunda ko paytuvchining quyi martabasi ko paytiriluvchining yuqori ʻ ʻ martabasi tagida, ya‘ni: 29 Yevropada o nlik pozitsion hisoblash sistemasining va raqamlarningʻ tarqalishida XII asrdan boshlab arabcha arifmetik asarlarning va ayniqsa Xorazmiy risolasining lotin tiliga qilingan tarjimalari katta ahamiyat kasb etdi. Bu tarjimalar bilan birga, Xorazmiy arifmetik va astronomik asarlarining qayta ishlanganlari, ular orasida Seviliyalik Ioanning «Algorizmining arifmetika amali haqida kitobi», Magistr A. tomonidan ta‘lif etilgan «Al Xorazmiyning astronomiya san‘atiga kirish kitobi» va ispaniyalik Savasordaning (taxm. 1070—1136) «O lchashlar haqida ʻ kitobi» ham muhim rol o ynadi. Chunki, bu asarlarda ham hind-arab raqamlari ʻ bayon etilgan edi. Yangi hisob sistemasi ancha jadallik bilan tarqaladi: XII asr o rtalariga kelib, u «Muqaddas Rim imperiyasi» yerlarida, xususan, Avstriya va ʻ Germaniyada ma‘lum bo ladi. Biroz keyin, 1200 yilga yaqin «Algorizmi kitobi» ʻ (Liber algorismi) yoziladi va u ancha vaqt Salem monastirida saqlanadi. Shu davrda Italiya ham yangi arifmetikaning tarqalishida muhim markazlardan biriga aylanadi. Bu yerda Pizalik Leonardo 1202 yili o zining ʻ mashhur «Abak kitobi»ni (Liber abaci) yozadi. Uning kitobi o nlik pozitsion ʻ hisoblash sistemasiga asoslangan arifmetika va algebradan mukammal asar edi. Leonardo arifmetikaga doir asar yozgan o zidan avvalgi mualliflar kabi ruhoniy ʻ bo lmay, balki savdo va hunarmand doiralaridan edi. Uning kitobi ham ana shu ʻ sohadagi kishilarga mo ljallangan edi. Shu sababli uning bu asari Italiyada hind-arab ʻ hisobining tarqalishini ancha osonlashtirdi. Ingliz Jon Galifaks (yoki Sakrobosko)ning (XIII asr) «Oddiy algorizm» («Algorismus vulqaris») asari ham keng tarqaladi. Sakroboskoning kitobida butun sonlar bilan qo shish, ayirish, ʻ ikkilash, ikki baravarlash, ko paytish, bo lish, progressiya hamda kvadrat va kub ʻ ʻ ildiz chiqarish bayon qilingan edi. 1290-yili daniyalik Peter Ingvarsen unga sharh yozadi. Sakroboskoning kitobi 1488-yili Strasburgda nashr etiladi. Deyarli ikki yarim asr davomida G arbiy Yevropada arifmetikani Sakroboskoning kitobi ʻ bo yicha o rganiladi. ʻ ʻ 30 XULOSA Amu va Sir daryolari oralig ida istiqomat qilgan bizning ota-bobolarimizʻ orasidan Muhammad Xorazmiy, Axmad Farobiy, Abu Nasr Farobiy, Abu Nasr Ibn Iroq, Abu Rayhon Beruniy, Abu Ali ibn Sino, Mirzo Ulug bek, Ali Qushchi, Axmad ʻ Donish, S. X. Sirojiddinov, T. A. Sarimsoqov kabi buyuk matematiklar; A. Temur, Zahiriddin Muhammad Bobur kabi buyuk sarkardalar, Alisher Navoiy, Nodirabegim kabi buyuk shoir va shoiralar yetishib chiqqan. Ular merosini o rganish va o sib ʻ ʻ kelayotgan yosh avlodni ular bilan g ururlanish ruhida tarbiyalash har bir O zbekiston ʻ ʻ fuqarosining ayniqsa, o qituvchilarning ishidir. Bundan boshlang ich sinf o qituvchilari ʻ ʻ ʻ ham mustasno emas. ―Go daklikda olingan bilim, toshga o yilgan naqshdir degan ʻ ʻ ‖ arab maqolini eslaydigan bo lsak, boshlang ich sinf o quvchilariga ham imkoniyat ʻ ʻ ʻ darajasida olimlarimiz haqida tushunchalar berib borishimiz kerak. Shuning uchun ham ―Boshlang ich sinflar matematika darslarida tarixiy ʻ materiallardan foydalanish mavzusi bitiruv malakaviy ishi uchun mavzu qilib ‖ olinishi bejiz emas. Bu sohada hali ilmiy izlanishlarning kamligini hisobga oladigan bo lsak, bu masalaning g oyatda zarbdor masala ekani ko rinadi. ʻ ʻ ʻ Bobolarimizning matematikaga oid asarlari haqida boshlang ich ma‘lumotlar ʻ mustaqilligimiz tufayligina darsliklarimizdan o rin ola boshladi. Bundan tashqari ʻ sinfdan va maktabdan tashqari olib boriladigan ishlarda ham bu ma‘lumotlardan foydalanish imkoniyatlari katta. Ayniqsa, to garak mashg ulotlarida ʻ ʻ matematiklarimiz haqida, ularning asarlari haqida ma‘lumotlar kiritilsa, ular qo llagan usullarda misol va masalalar yechilishini tavsiya qilib o‘tamiz. ʻ Bu sohada Muhammad Xorazmiy bobomizning arifmetik asaridan, Abu Nasr Farobiyning geometrik yasashlarga doir asarlaridan, Abu Rayhon Beruniyning savol – javob tarzida yozilgan ―Tafxim asaridan, Abu Ali Ibn Sinoning ―Donishnoma ‖ ‖ asaridan va G‘iyosiddin Jamshid Koshiyning ―Arifm е tika kaliti kitobidan ‖ foydalanilsa samarali natija b е radi. 31 Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati 1. Abdullayeva B.S., N.A.Xamedova, M. Xusanova Boshlang`ich sinf matematika darslarida pedagogik texnologiyalardan foydalanish metodikasi uslubiy qo`llanma. – T 2010, 135 bet. 2.Abu Nasr Forobiy. Fozil odamlar shaxri. –T.: A.Kodiriy. 1993. 2. Abu Nasr Forobiy. Risolalar. –T.: Fan, 1975. 3. Abu Rayhon Berunny. Tanlangan asarlar. 3-jild. –T.: Fan, 1566. 4. Abu Rayxon Beruniy. Tanlangan asarlar. 4-jild. –T.: Fan, 1973 5. Rozenfel‘da.-M:.Gostexizdat, 1956. 5. Ahadova. M.O‘rta osiyolik mashhur olimlar va ularning mat е matikaga doir ishlari. Toshkеnt. O‘qituvchi. 1983. 6. Ahm е dov.S.A. O‘rta osiyoda mat е matika o‘qitish tarixidan. Toshkеnt. O‘qituvchi. 1977 7. Karimov I. A Tarixiy xotirasiz kel а jak yo‘q. Toshkent. ―Sharq . 1998.‖ 8. Karimov I.A.Yuksak ma‘naviyat-yengilmas kuch. Toshkent. ―Ma‘naviyat . 2008. ‖ 9. Karimov I.A. Yuksak malakali mutaxasislar-taraqiyot omili – Toshkent.: O`zbekiston, 1995-24 bet 12. Ergasheva G Masalalar ustida ishlash\\ Boshlang`ich ta`lim-2011-yil 1-soni 13. Fayzulla е v.O.F. Muhammad Xorazmiy. Toshkеnt. Fan. 1965. 15. Fizika, mat е matika va informatika ilmiy-uslubiy jurnal. Toshkеnt. 2002. 16. Ibragimov R. Boshlang‘ich maktab o quvchilarida bilish ʻ faoliyatini shakllantirishning didaktik asoslari. P.f.dok diss. T.; 2001. 17. Ibragimov R. Ibragimova P.S. Matematik hazillar, topishmoqlar, labirntlar. – T:, O qituvchi. ʻ 1996

Boshlang’ich sinflarda matematika o’qitishda tarixiy elementlarini o’rgatish metodikasi

Купить