Chegirmalar nazariyasi va uning tatbiqlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	1.4MB
Xaridlar	1
Yuklab olingan sana	11 Mart 2025
Kengaytma	doc
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Fizika

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

80 Sotish

Chegirmalar nazariyasi va uning tatbiqlari

Sotib olish

KIRISH ...................................................................................................................... 2
1.1-§. Kompleks argumentli funksiyalar, ularning limiti, uzluksizligi ..................... 4
1.2-§. Funksiyaning differsnsiallanuvchiligi. Koshi-Riman shartlari ....................... 7
1.3-§. Kompleks argumentli funksiyalarning integrali ............................................ 10
1.4-§. Loran qatorlari. .............................................................................................. 19
II BOB. CHEGIRMALAR NAZARIYASI VA UNING TATBIQLARI ............... 25
2.1.-§. Maxsus nuqtalar va ularning turlari ............................................................. 25
2.2-§. Chegirmalar va ularni hisoblash .................................................................... 34
2.4.§. Maxsus trigonometrik ko‘rinishdagi ratsional funksiyalarni integrallash ..... 44
Xulosa ...................................................................................................................... 48
Adabiyotlar .............................................................................................................. 49
1

KIRISH
O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining 2020 yil 7-maydagi “Matematika
sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy-tadqiqotlarni rivojlantirish chora-
tadbirlari to‘g‘risida”gi PQ4708-sonli qarorida Mamlakatimizda matematika 2020
yildagi ilm-fanni rivojlantirishning ustuvor yo‘nalishlaridan biri sifatida belgilandi.
O‘tgan davr ichida matematika ilm-fani va ta’limini yangi sifat bosqichiga olib
chiqishga qaratilgan qator tizimli ishlar amalga oshirildi. Shu bilan birga, sohada
yechimini topmagan qator masalalar matematika sohasidagi ta’lim sifati va ilmiy-
tadqiqot samaradorligini oshirishga qaratilgan chora-tadbirlarni amalga oshirish
zaruratini ko‘rsatmoqda.
Ta’limning barcha bosqichlarida matematika fanini o‘qitish tizimini yanada
takomillashtirish, pedagoglarning samarali mehnatini qo‘llab-quvvatlash, ilmiy-
tadqiqot ishlarining ko‘lamini kengaytirish va amaliy ahamiyatini oshirish, xalqaro
hamjamiyat bilan aloqalarni mustahkamlash, shuningdek, 2017 — 2021 yillarda
O‘zbekiston Respublikasini rivojlantirishning beshta ustuvor yo‘nalishi bo‘yicha
Harakatlar strategiyasini «Ilm, ma’rifat va raqamli iqtisodiyotni rivojlantirish
yili»da amalga oshirishga oid davlat dasturi ishlab chiqildi.
Istiqlolning dastlabki kunlaridanoq xalq ta’limi tizimini jadal isloh
qilishga kirishildi. O‘zbekistonda olib borilayotgan islohotlardan maqsad
yurtimizda sog‘lom va barkamol, bilimli, yuksak ma’naviy-ahloqiy fazilatlarga
ega bo‘lgan avlodni shakllantirishdan iborat. Albatta, bunday avlodni
shakllantirish uchun ta’lim va tarbiyaga alohida e’tibor berishimiz kerak. Zero,
Prezidentimiz ta’lim va tarbiyani ma’naviyatni shakllantiradigan muhim
omillardan biri ekanligini ta’lim va tarbiya ishini uyg‘un holda olib borish
kerakligini takidlaydi:
“Ta’limni tarbiyadan, tarbiyani esa ta’limdan ajratib bo‘lmaydi-bu sharqona
qarash,sharqona hayot falsafasi”.
Ta’lim jarayonining barcha bosqichlarini qamrab oladigan, zamonaviy
o‘quv-laboratoriya uskunalari va kompyuter texnikasi bilan jihozlangan
2

umumta’lim maktablari, kasb-hunar kollejlari va akademik litseylar, oliy ta’lim
muassasalaridan iborat, yuqori talablarga javob beradigan uzluksiz ta’limning
yaxlit tizimi yaratildi. Biz yoshlar yaratilgan bu imkoniyatlardan samarali
foydalangan holda ozod va obod Vatanimizga munosib farzand, yetuk kadr
bo‘lishga harakat qilamiz. Zero, yurtboshimiz “ Osmonimiz musaffo bo‘lsin, bu
o‘quv yurtlarida dars berayotgan o‘qituvchilar, murabbiylar kam bo‘lmasin va
avval aytganimizdek, bolalarimiz bizlarga nisbatan dona bo‘lsin, aqlli bo‘lsin va
albatta bizlarga nisbatan baxtli bo‘lsin” –deb takidlaydilar.
Ushbu bitiruv malakaviy ish kirish, 2 ta bob, va 8 - § iborat, bo‘lib, unda
kompleks argumentli funksiyalarning limiti, uzluksizligi va
differensiallanuvchanligiga oid tushunchalar va ularga doir misollar keltirilgan.
Shuningdek, kompleks o‘zgaruvchini funksiyasini integrali, Loran qatori va
uning xossalari bayon etilgan.
Bitiruv malakaviy ishda maxsus nuqtalar, ularning turlari, hamda
yakkalangan maxsus nuqtaga nisbatan funksiyani chegirmasi ta’riflangan va ularga
doir ko‘plab misollar keltirilgan. Bundan tashqari chegirmalar nazariyasini ba’zi
tadbiqlari ya’ni yopiq egri chiziq bo‘yicha va maxsus trigonometrik ko‘rinishdagi
ratsional funksiyalarni integrallash masalalari ko‘rilgan.
3

I-BOB. KOMPLEKS ARGUMENTLI FUNKSIYALAR .
1.1-§. Kompleks argumentli funksiyalar, ularning limiti, uzluksizligi
1°. Kompleks argumentli funksiya tushunchasi. Kompleks sonlar tekisligi С
da biror Е to‘plam berilgan bo‘lsin: Е С .
1.1 .1 -ta’rif . Agar E to‘plamdagi har bir z kompleks songa biror f qoida yoki
qonunga ko‘ra bitta w kompleks son mos qo‘yilgan bo‘lsa, E to‘plamda funksiya
berilgan (aniqlangan) deb ataladi va u f:z w yoki w = f (z) kabi belgilanadi.
Bunda Е funksiyaning aniqlanish to‘plami, z - erkli o‘zgaruvchi yoki funksiya
argumenti, f esa z o‘zgaruvchining funksiyasi deyiladi. Aytaylik, w = f (z) funksiya
biror Е (Е
 С) to‘plamda berilgan bo‘lsin, ya’ni f qoidaga ko‘ra har bir z = х + iy
Е kompleks songa bitta w = u + iv kompleks son mos qo‘yilgan bo‘lsin.
Demak, . Keyingi tenglikdan u=u (х,у), v = v(x,y)
bo‘lishi kelib chiqadi.
Demak, Е тo‘plamda w = f (z) funksiyaning berilishi shu to‘plamda х va у
haqiqiy o‘zgaruvchilarning u=u(x,y), v=v(x,y) funksiyalarining berilishidek ekan.
Odatda, u=u(x,y) funksiya f(z) funksiyaning haqiqiy qismi, v=v(x,y) эса f(z) ning
mavxum qismi deyiladi: u(x,y) = Ref (z) , v(x,y)= = Imf(z) . Erkli z o‘zgaruvchi E
to‘plamda o‘zgarganda w = f(z) fuksiyaning mos qiymatlaridan iborat to‘plam
Е bo‘lsin. Odatda, bu to‘plam. funksiya qiymatlari
to‘plami deyiladi.
Demak, E to‘plamda w = f (z) funksiyaning berilishi Оху - kompleks
tekislikdagi E to‘plamni (to‘plam nuqtalarini) Ouv- kompleks tekislikdagi F to‘plamga
(to‘plam nuqtalariga) aks ettirishdan iborat ekan (1-chizma).
4

1-chizma
Shu sababli w = f (z) funksiyani E to‘plamning F to‘plamga akslantirish deb ham
yuritiladi. w = f(z) funksiya E to‘plamda berilgan bo‘lib, F esa shu funksiya qiymatlaridan
iborat to‘plam bo‘lsin : to‘plamdan olingan har bir w songa E
to‘plamda bitta z son mos qo‘yilishini ifodalovchi funksiya w = f (z) funksiyaga nisbatan
teskari funksiya deyiladi va kabi belgilanadi. Faraz qilaylik ,
funksiya E to‘plamda berilgan bo‘lsin.
1. 1. 2-ta’rif. Agar z argumentning E to‘plamdan olingan turli qiymatlarida f(z)
funksiyaning mos qiymatlari ham turlicha bo‘lsa, boshqacha aytganda
tenglikdan
tenglik kelib chiqsa, f(z) funksiya E to‘plamda bir
yaproqli (yoki bir varaqli) funksiya deyiladi.
2°. Funksiya limiti. Faraz qilaylik, funksiya E (Е  С) to‘plamda
berilgan bo‘lib, z
0 nuqta E to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin.
1. 1. 3-ta’rif . Agar  > 0 son uchun shunday son topilsaki, z
argumentning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha
qiymatlarida
tengsizlik bajarilsa, A kompleks son f (z) funksiyaning , dagi limiti deb
ataladi va

5

kabi belgilanadi.
1. 1. 4-ta’rif . Agar son uchun shunday son topilsaki, z
argumentning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha z E qiymatlarida |
( f )(z)>M| tengsizlik bajarilsa, z  z
0 dagi f (z) funksiyaning limiti  deyiladi.
Aytaylik, z=  nuqta E to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin.
1. 1. 5.-ta’rif. Agar

 >0 son uchun shunday р=р ( >0) son topilsaki, z argumentning |z| >p tengsizlikni
qanoatlantiruvchi barcha z  E qiymatlarida |f(z)-A|<  tengsizlik bajarilsa, А kompleks son
f(z) funksiyaning z   dagi limiti deyiladi va
kabi belgilanadi.
Endi, z
1 ,z
0 hamda A kompleks sonlarni
deb, so‘ng ekanligini e’tiborga olib, z  z
0 да f(z)
funksiyaning A limitga ega bo‘lishi da u( х , у ) hamda v(x,y)
fuknsiyalarning mos ravishda  va  limitlarga ega bo‘lishiga ekvivalent ekanligini
ifodalovchi teoremani keltiramiz.
1.1.1-teorema. W=f(z) funksiyaning z z
0 da А limitga
ega bo‘lishi uchun
bo‘lishi zarur va yetarli.
Keltirilgan teorema kompleks o‘zgaruvchili funksiyaning limitini o‘rganishni
haqiqiy o‘zgaruvchili funksiyaning limitini o‘rganishga keltirilishini ifodalaydi. Ma’lumki,
„Matematik analiz" kursida haqiqiy o‘zgaruvchili funksiya limiti batafsil o‘rganilgan.
6

Shuni e’tiborga olib, kompleks o‘zgaruvchili funksiya limiti haqidagi tasdiqlarning
ayrimlarini keltirish bilan kifoyalanamiz.
1.2-§. Funksiyaning differsnsiallanuvchiligi. Koshi-Riman shartlari
funksiya Е to‘plamda (Е С ) berilgan bo‘lsin. Bu Е to‘plamdan z
0 nuqtani
olib unga shunday orttirma beraylikki, bo‘lsin. Natijada f(z) funksiya
ham z
0 nuqtada orttirmaga ega bo‘ladi.
1.2.1 - t a ’ r i f. Agar да nisbatning limiti
mavjud va chekli bo‘lsa, bu limit kompleks o‘zgaruvchili f(z) функциянинг z
0 nuqtadagi
hosilasi deb ataladi va f(z
0 ) kabi belgilanadi:
Misol. Ushbu
funksiyaning nuqtada hosilasini toping . z
0
nuqtaga Δz orttirma berib, shu nuqtadagi funksiya orttirmasini hisoblaymiz:
Unda
bo‘lib,
bo‘ladi. Demak, .
7

1.2.2-ta’rif. Agar f(z) funksiya z
0  E nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, funksiya
z
0 nuqtada differensiallanuvchi deyiladi.
Agar f(z) funksiya Е to‘plamning har bir nuqtasida differensiallanuvchi bo‘lsa,
funksiya Е to‘plamda differensiallanuvchi deyiladi.
Aytaylik, f(z) funksiya z
0 nuqtada hosilaga ega bo‘lsin. Unda, ravshanki,
bo‘lib,
bo‘ladi. Bu yerda Δz → 0 da  (z
0 ,Δz) ham nolga intiladi: . Natijada quyidagi
tasdiqqa kelamiz.
1.2.1-teorema. f(z) funksiyaning nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishi uchun
uning orttirmasi Δ f ( z
0 ) ni ushbu ko‘rinishda
ifodalanishi zarur va yetarli. Bunda А miqdor Δz hamda  (z
0 ,Δz) larga bog‘liq bo‘lmagan
miqdordir.
Biz yuqorida kompleks o‘zgaruvchili funksiyaning hosilasi hamda differensiallanuvchi
bo‘lishi tushunchalarining kiritilishi haqiqiy o‘zgaruvchili funksiyaning hosilasi hamda
differensiallanuvchi bo‘lishi tushunchalarining kiritilishi kabi ekanini ko‘rdik. Demak,
kompleks o‘zgaruvchili funksiyalarning hosilalarini hisoblashda haqiqiy o‘zgaruvchili
funksiyaning hosilalarini hisoblashdagi ma’lum qoida va jadvallardan foydalanish
mumkin.
Ba’zi qoidalarni keltiramiz: Agar bo‘lsa, bo‘ladi,
( 5)
6) Agar bo‘lib, bo‘lsa, u holda
8

bo‘ladi.
7) Agar w=f(z) ва z= f -2
(w) bo‘lsa,
bo‘ladi.
Garchi kompleks hamda haqiqiy o‘zgaruvchili funksiyalar hosilalari
tushunchalarining kiritilishi bir hil bo‘lsa ham, kompleks o‘zgaruvchili funksiyaning
hosilaga ega bo‘lsin deyilishi (binobarin, differensiallanuvchi bo‘lsin deyilishi) talabi ancha
og‘ir talab hisoblanadi. Bitta sodda misol qaraylik.
Ushbu f(z)=x funksiyani olaylik. Agar bu funksiyani haqiqiy o‘qda joylashgan Е
to‘plamda qaralsa, ravshanki, y hosilaga ega bo‘lib, f`(z)=1 bo‘ladi.
Endi f(z) = x funksiyani kompleks tekislik С da qaraylik. Ravshanki, bu funksiya
uchun
bo‘ladi. Bu nisbat z →z
0 da limitga ega emas, chunki, х = х
0 , y у
0 da nisbat 0 ga teng, х 
х
0 , y = у
0 da esa 1 ga teng. Demak, f(z) = х funksiya differensiallanuvchi emas . Фараз
qilaylik, funksiya biror D sohada ( ) berilgan bo‘lib,
bo‘lsin.
1.2.3. - ta’rif . Agar haqiqiy o‘zgaruvchili u (х,у) va v(х,у) фunksiyalar (х
0 .у
0 )
nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, f(z) funksiya z
0 nuqtada haqiqiy
analiz ma’nosida (qisqacha R 2
ma’noda) differensiallanuvchi deyiladi.
Masalan, funksiya ixtiyoriy
nuqtada R 2
ma’noda differensiallanuvchi bo‘ladi, chunki ,

bo‘lib, bu funksiyalar ixtiyoriy nuqtada
differensiallanuvchi (ularning barcha xususiy hosilalari mavjud va uzluksiz).
Ushbu
9

funksiya z= 0 nuqtada R 2
ma’noda differensiallanuvchi emas, chunki
bo‘lib, и(х,у) funksiya nuqtada differensiallanuvchi emas.
1.2.2.-teorema. f(z) funksiyaning z
0 nuqtada f`(z
0 ) hosilaga ega bo‘lishi uchun
1) f(z) ning z
0 nuqtada haqiqiy analiz ma’nosida ( R 2
ma’noda) differensiallanuvchi
bo‘lishi va 2)ushbu
tengliklarning bajarilishi zarur va yetarli.
1.3-§. Kompleks argumentli funksiyalarning integrali
1°.Integral ta’rifi. Kompleks sonlar tekisligi C
z da biror silliq (bo‘lakli silliq)  = АВ
egri chiziqni olaylik (2 - chizma ).
 = АВ egri chiziqni А dan В ga qarab
nuqtalar yordamida n ta bo‘laklarga
ajratamiz (bunda АВ egri chiziqning boshi А nuqta , oxiri В nuqta esa z
n bo‘lsin.
lar ( k = l,2,3..., n ) uzunliklari larning ( k = 1,2.3....,n ) eng kattasini  bilan
belgilaymiz:
10

Aytaylik, egri chiziqda f(z) funksiya berilgan bo‘lsin. Har bir da ixtiyoriy ξ
k
nuqta olib, so‘ng f (z) funksiyaning shu nuqgadagi qiymatini ga
ko‘paytirib, ushbu
yig‘indini tuzamiz. Bu yig‘indi f(z) funksiyaning integral yig‘indisi deyiladi.
Ravshanki, f(z) funksiyaning integral yig‘indisi  egri chiziqning bo‘linishiga hamda
har bir 
k da olingan k nuqtaga bog’liq bo’ladi
.
1. 3.1-ta’rif . Agar  → 0 да f(z) funksiyaning integral yig‘indisi  egri chiziqning
bo‘linishi usuliga hamda 
k da ξ
k nuqtaning tanlab olinishiga bog‘liq bo‘lmagan holda
chekli limitga ega bo‘lsa , bu limit f(z) funksiyaning  egri chiziq bo‘yicha integrali deb
ataladi va
kabi belgilanadi. Demak
(1)
Bu holda f(z) funksiya  эgri chiziq bo‘yicha integrallanuvchi deyiladi.
Misol. funksiyaning boshi nuqtada, oxiri b nuqtada bo‘lgan
silliq (bo‘lakli silliq) egri chiziq bo‘yicha integralini topamiz.
Ravshanki, f (z) = 1 funksiyaning integral yig‘indisi

11

bo‘ladi. Agar
va ekanini e’tiborga olsak, unda
bo‘lishi kelib chiqadi.
Xususan, а = b bo‘lsa, ya’ni  yopiq egri chiziq bo‘lsa
2°. Integralning mavjudligi. Endi kompleks argumentli funksiya integralining
mavjudligi masalasini qaraymiz .
Yuqorida keltirilgan ta’rifdan ko‘rinadiki, (1) integral  egri chiziqqa hamda unda
berilgan f(z) funksiyaga bog‘liq bo‘ladi. Faraz qilaylik, egri chiziq
ko‘rinishda berilgan bo‘lsin. Bunda x(t),y(t) funksiyalar [ , ] segmentda aniqlangan, uzluksiz
hamda uzluksiz hosilalarga ega parametr  dan  ga qarab
o‘zgarganda z=z(t) nuqta А dan В ga qarab =AB ni chiza boradi.
 egri chiziqda funksiya aniqlangan va uzluksiz bo‘lsin.
[ α , ] segmentni nuqtalar yordamida n ta bo‘lakka
ajratamiz.
z=z(t) funksiya bu nuqtalarni egri chiziq nuqtalariga akslantiradi.
t
k ( k=0,1,2,.....,n ) nuqtalarning  egri chiziqdagi akslarini z
0 .z
1 ,z
2 , ... z
n
( z
0 =A,z
n =B ) deylik.
Natijada bu nuqtalar yordamida  egri chiziq 
k bo‘laklarga ( k = 0,1,2,....,n ) ajraladi,
12

har bir 
k da ixtiyoriy nuqtani olamiz. Ravshanki,
bo‘ladi.
Endi ushbu
yig‘indini qaraymiz. Bu yig‘indida
bo‘lishini e’tiborga apib topamiz:
(3)
Bu tenglikning o‘ng tomonidagi har bir yig‘indi п(х.у) va v(x,y) funksiyalarning
egri chiziqli integrallari uchun integral yig‘indilardir. Qaralayotgan f(z) u(x,y)+iv(x,y )
funksiya y egri chiziqda uzluksiz. Binobarin, u(x,y) va v(x,y) funksiyalar ham  da uzluksiz.
Demak, bu funksiyalarning  egri chizik bo‘yicha integrallari mavjud va
13

bo‘ladi.
(3) tenglikda  → 0 da limitga o‘tib topamiz:
Bundan esa → 0 da  yig‘indi chekli limitga ega va
bo‘lishi kelib chiqadi. Natijada yidagi teoremaga kelamiz.
1.3.1-teorema . Agar f(z) funksiya y egri chiziqda uzluksiz bo‘lsa, y holda bu
funksiyaning y egri chiziq bo‘yicha integrali mavjud va
bo‘ladi.
Bu teorema, bir tomondan uzluksiz funksiya integralining mavjudligini ifodalasa,
ikkinchi - tomondan kompleks argumentli funksiya integralini egri chiziqli inregrallar
orqali ifodalanishini ko‘rsatadi.
Misol. Ushbu
integralni qaraylik, bunda  - boshi а(а C
z ) nuqtada, oxiri b ( b C
z ) nuqtada bo‘lgan silliq
(bo‘lakli silliq) egri chiziq.
Ravshanki, f(z)=z funksiya  egri chiziqda uzluksiz. Binobarin, bu funksiyaning
integrali mavjud. f(z)=z funksiyaning. U egri chiziq bo‘yicha integralini tarifga ko‘ra
topishda 
n va z
n nuqtalarni integral yig‘indi va uning limitini hisoblashga qulay qilib olish
14

mumkin. Shuni e’tiborga olib funksiya integral yig‘indisi
da nuqta sifatida
ni olamiz. Unda
bo‘lib,
bo‘ladi. Demak,
Xususan, b = а bo‘lsa, ya’ni  yopiq chiziq bo‘lsa,
(4)
bo‘ladi.
3.Integralning xossalari. Yuqorida ko‘rdikki, uzluksiz f(z) kompleks o‘zgaruvchili
funksiyaning y efi chiziq bo‘yicha integrali efi chiziqli ingegrallarga kelar ekan. Binobarin,
komlleks argumentli funksiya integrali ham egri chiziqli integrallar xossalari kabi
xossalarga ega bo‘ladi. Ularni asosan isbotsiz keltiramiz.
1) Agar f(z) funksiya  egri chiziq bo‘yicha integrallanuvchi bo‘lsa, u holda
funksiya ( а o‘zgarmas kompleks son) ham  egri chiziq bo‘yicha integrallanuvchi
va ushbu
15

formula o‘rinli bo‘ladi.
2) Agar f(z) va g(z) funksiyalarning har biri  zgri chiziq bo‘yicha integraplanuvchi
bo‘lsa, u holda funksiya ham shu  egri chiziq bo‘yicha integrallanuvchi va
ushbu
formula o‘rinli bo‘ladi.
3) Agar f(z) funksiya  egri chiziq bo‘yicha integrallanuvchi bo‘lib,
bo‘lsa, u holda
bo‘ladi.
4) Agar f(z) funksiya  egri chiziq bo‘yicha integrallanuvchi bo‘lsa, u holda
bo‘ladi, ya’ni  egri chiziqda yo‘nalish o‘zgartirilsa, integral ishorasini o‘zgartiradi.
5) Agar f(z) funksiya  egri chiziqda uzluksiz bo‘lsa, u holda
(5)
bo‘ladi, bunda .
Integral ta’rifiga ko‘ra
16

(6)
bo‘ladi.
Ma’lumki,
Bu tengsizlikda λ→ 0 da limitga o‘tib, yuqoridagi (6) munosabatni e’tiborga olsak,
bo‘lishi kelib chiqadi.
Jumladan,
bo‘lganda (5) tengsizlikdan
(7)
bo‘lishi kelib chiqadi,bunda l ( γ )- γ egri chiziq uzunligi.
Kompleks argumentli funksiya integralining keyingi xossasi funksiyaning egri
chiziq bo‘yicha integralini uning siniq chiziq bo‘yicha integrali bilan yaqinlashtirish
mumkinligini ko‘rsatadi.
6) Faraz qilaylik f(z) funksiya D sohada (D C
z ) uzluksiz bo‘lib, u shu sohaga
tegishli bo‘lgan bo‘lakli silliq egri chiziq bo‘lsin. U holda

 >0 son olinganda ham D sohaga tegishli bo‘lgan shunday Р siniq chiziq topiladiki,
17

bo‘ladi.
4°. Integralni hisoblash. Aytaylik, kompleks sonlar tekisligi С
2 da γ egri chiziq
ushbu
tenglama bilan berilgan bo‘lib, x(t), y(t) funksiyalar 2°- punktda keltirilgan barcha
shartlarni kanoatlantirsin. Bu egri chiziqda f (z) funksiya berilgan va uzluksiz bo‘lsin. U
holda 1 .3.1 -teoremaga ko‘ra

bo‘ladi.
Endi bu tenglikning o‘ng tomonidagi egri chiziqli integrallarni [2] keltirilgan
formulalardan foydalanib, Riman integrallari orqali yozamiz:
Natijada
18

bo‘ladi. Demak,
(8)
Shunday qilib, kompleks argumentli funksiyaning integrali Riman integrali orqapi
(8) formula yordamida hisoblanar ekan.
I z o x. (8) tenglik bilan aniqlangan integralni kompleks argumentli funksiya
integrali ta’rifi sifatida qarash mumkin.
1.4-§. Loran qatorlari.
f(z) funksiya halqada golomorf bo‘lsa, uni shu halqada qatorga yoyish masalasi
kompleks analiz va uning tatbiqlarida muhim ahamiyatga ega.
1°. Loran qatori tushunchasi. Aytaylik, f(z) funksiya ushbu
19

3-chizma
sohada (halqada, 3-chizma) golomorf bo‘lsin, bunda sohada ixtiyoriy z
nuqta olib, uni tayinlangan deb qaraymiz. So‘ng shunday
sohani (halqani) olamizki, bunda r < r
1 <R
1 < R bo‘lib, z  k , bo‘lsin. Ravshanki, bu
holda k
1  k bo‘ladi
Ushbu
4-chizma
aylanalarni mos ravishda orqali belgilaymiz:
}|:|{
11 ratCt
z 
}|:|{
11 RatCt
z 
Unda k
1 sohaning chegarasi
bo‘ladi. Bu yerda , va ,
aylanalarda yo‘nalish soat strelkasi yo‘nalishiga qarshi qilib olingan.
Qaralayotgan f(z) funksiya sohada golomorf bo‘lganligi sababli
Koshining integral formulasiga ko‘ra z  k , uchun
bo‘ladi. Ravshanki,
20

Demak,
(1)
uchun tekis yaqinlashuvchi ushbu
qatorni ga ko‘paytirib, so‘ng Г
1 bo‘yicha hadlab integrallasak,
(2)
hosil bo‘ladi. Bu yerda
(3)
Endi (1) tenglikning o‘ng tomonidagi ikkinchi integral ostidagi funksiyani
uchun quyidagicha
21

yozib olamiz . da
bo‘lganligi sababli (3) qator tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Yuqoridagidek, (4) tenglikning har ikki tomonini ga ko‘paytirib, so‘ng
γ
1 bo‘yicha hadlab integrallab
(5)
bo‘lishini topamiz, bunda
(6)
bo‘ladi. Natijada (1), (2) va (5) munosabatlardan f(z)
(7)
bo‘lishi kelib chiqadi.
(3) va (6) formulalardagi 1,2,3,... qiymatlarni qabul qiladigan n indeksni,
qiymatlarni qabul qiladigan -n indeks bilan almashtirsak, unda (6) formula
ushbu
ko‘rinishga keladi.
Agar z nuqta К sohadagi ixtiyoriy nuqta ekanini, f (z) funksiya shu sohada
golomorf bo‘lishini hamda γ
1 va Г
1 chiziqlar К sohaga tegishliligini e’tiborga olsak, Koshi
teoremasiga ko‘ra
22

umuman,
bo‘lishini topamiz. Bu yerda
Endi (3) va (8) tengliklarni solishtirib
ya’ni
bo‘lishini topamiz. Bu hol
va
yig‘indilarni birlashtirib, ushbu
ko‘rinishda yozish imkonini beradi:
Demak,
bo‘lib, bunda
bo‘ladi.
Shunday qilib quydagi teoremaga kelamiz:
23

1. 4.1-teorema. Ushbu
Sohada (halqada) golomorf bo‘lgan ixtiyoriy f(z) funksiya shu sohada yaqinlashuvchi
qatorning yig‘indisi sifatida ifodalanadi:
Bu yerda qatorning koeffitsiyentlari
bo‘lib, r< < R bo‘ladi. Odatda, bu teorema Loran teoremasi deyiladi.
1. 4.1-ta’rif. Ko e ffitsiyentlari
formulalar yordamida aniqlanadigan
qator f(z) funksiyaning K sohadagi (halqadagi) Loran qatori deyiladi. f(z) funksiya K
sohada (halqada) golomorf bo‘lsa, teoremaga binoan
bo‘lishini e’tiborga olib, bu holda f(z) funksiya K sohada (halqada) Loran qatoriga
yoyiladi deb aytamiz.
Demak, f(z) funksiyaning Loran qatori z-a ning musbat va manfiy butun darajalari
bo‘yicha yoyilgan qatorni ifodalar ekan.
24

Yuqorida aytilganlardan hamda darajali qatorlar haqidagi ma’lumotlardan
foydalanib, quyidagi hulosalarga kelamiz.
1) Loran qatori
ni ikkita
(9)
va
(10)
qatorlarning yig‘indisidan iborat deb qarash mumkin. Odatda (9) qator Loran qatorining
to‘g‘ri qismi, (10) qator esa Loran qatorining bosh qismi deyiladi.
II BOB. CHEGIRMALAR NAZARIYASI VA UNING TATBIQLARI
2.1.-§. Maxsus nuqtalar va ularning turlari
25

1. Maxsus nuqtalar. Biz avvalgi boblarda golomorf funksiyalar va ularni xossalarini
o‘rgandik. Agar а С nuqtada f(z) funksiyaning golomorf bo‘lishi sharti bajarilmasa, u holda
funksiyani shu nuqta atrofida o‘rganiladi.
Odatda, bunday nuqta f(z) funksiyaning maxsus nuqtasi deb qaraladi.
2.2.1-ta’rif. Agar f(z) funksiya ushbu
sohada ( а nuqtaning o‘yilgan atrofida) golomorf bo‘lsa, u holda а nuqta f(z) funksiyaning
yakkalangan maxsus nuqtasi deyiladi.
Misol. Ushbu
funksiyani qaraylik. Ravshanki, bu funksiya
sohada (halqada) golomorf. Binobarin, a=-i nuqta berilgan funksiyaning yakkalangan
maxsus nuqtasi bo‘ladi.
2.2.2. -ta’rif. Arap f(z) funksiya ushbu
sohada golomorf bo‘lsa, u holda a=  nuqta f(z) funksiyaning yakkalangan maxsus nuqtasi
deyiladi.
M i s o l . Ushbu
funksiyani qaraylik. Bu funksiya
sohada golomorf. Demak, a=+  nuqta berilgan f(z)=e 2
funksiyaning yakkalangan
maxsus nuqtasi bo‘ladi.
26

Funksiyaning yakkalanmagan maxsus nuqtalari ham bo‘ladi.
Masalan, ushbu
funksiyani qaranlik. Ravshanki,
hamda
nuqtalar (16) funksiyaning maxsus nuqtalari bo‘ladi. Bunda a=0 maxsus nuqta berilgan
funksiyaning yakkalangan maxsus nuqtasi bo‘lmaydi. Darhaqiqat,
bo‘lganligi sababli, а = 0 nuqtaning har qanday o‘yilgan atrofi
da funksiyaning maxsus nuqtalari bo‘ladi. Demak, а = 0 bsrilgan funksiyaning
yakkalanmagan maxsus nuqtasi ekan.
Biz quyida yakkalangan maxsus nuqtalarni o‘rganamiz.
2. Yakkalanran maxsus nuqtalarning rurlari . Aytaylik а nuqta f(z) funksiyaning
yakkalangan maxsus nuqtasi bo‘lsin Unda f(z) funksiya
sohada ( а nuqtaning o‘yilgan atrofida) golomorf.
f(z) funksiyaning z a dagi limitining xarakteriga qarab ikkalangan maxsus nuqtalar
turlarga ajraladi.
2.2.3 - ta’rif. Agar z a da f(z) funksiyaning limiti mavjud bo‘lib,
( А - chekli)
27

$bo‘lsa, u holda a nuqta f(z) funksiyaning bartaraf qilini-nadigan (chetlatilishi mumkin bo‘lgan) maxsus nuqtasi deyiladi. Misol . Ushbu funksiyani qaraylik. Ravshanki, bu funksiya C\{z = 0} da golomorf bo‘lib, а = 0 nuqta uning yakkalangan maxsus nuqtasi bo‘ladi. Ayni paytda bo‘ladi. Demak, a nuqta berilgan funksiyaning bartaraf qilinadigan maxsus nuqtasi bo‘ladi. 2.2.4.-ta’rif. Arap z а da f(z) funksiyaning limiti mavjud bo‘lib, bo‘lsa, u holda a nuqta f(z) funksiyaning qutb maxsus nuqgasi deyiladi. Misol . Ushbu funksiyani qaraylik. Bu funksiya C\{ z=-l } da golomorf bo‘lib, а =-1 nuqta uning yakkalangan maxsus nuqtasi bo‘ladi. Bu. funksiya uchun bo‘lganligi sababli а = -1 berilgan funksiyaning qutb nuqtasi bo‘ladi. 2.2.5.-ta’rif. Arap z  a da f(z) funksiyaning limiti mavjud bo‘lmasa, u holda а nuqta f(z) funksiyaning o‘ta (muhim) maxsus nuktasi deyiladi. 28$

Misol. Ushbu
funksiyani qaraylik. Bu funksiya C{ z= 0 } da golomorf bo‘lib, z = 0 nuqta uning
yakkalangan maxsus nuqtasi bo‘ladi.
Qaralayotgan funksiyaning z 0 da limiti mavjud emas Haqiqatan ham, arap z= х
bo‘lib 0 ga intilsa, unda
bo‘ladi, va demak, da limiti mavjud emas. Arap z=iy bo‘lib 0 ga intilsa, unda
bo‘lishini e’tiborga olib, z=iy  0 da f(z=e z
) funksiyaning limiti mavjud emasligini
topamiz. Demak, z = 0 nuqta berilgan funksiyaning o‘ta maxsus nuktasi bo‘ladi.
3. Maxsus nuqtalar bilan Loran qator qilaylik , f(z) funksiya
( а nu q taning o‘yilgan atrofida) golomorf bo‘lib, а
funksiyaning yakkalangan maxsus nuqtasi bo‘lsin. Unda f(z) funksiya ning К da gi Loran
qatori :
(17)
deyiladi. Qaralayotgan funksiyaning Loran qatori (17) ga quyidagi uchta holni qaraymiz:
a) (17) qatorda z-a ayirmaning manfiy darajali hadlari qatnashmagan hol;
b) (17) qatorda z - a ayirmaning manfiy darajali ziddi chekli sondagisi qatnashgan
29

hol;
v) (17) qatorda z - a ayirmaning cheksiz ko‘p manfiy hadlari qatnashgan hol. Mana
shu hollarga qarab f(z) funksiyaning yakkalangan maxsus nuqtalarining turlarini aniqlash
mumkin bo‘ladi.
Bartaraf etiladigan maxsus nuqta.
2.2.1 - teorema . f(z) funksiyaning yakkalangan maxsus a  C nuqtasi uning
bartaraf etiladigan maxsus nuqtasi bo‘lishi uchun funksiyaning Loran qatoriga yoyilmasi
(17) da z→а ayirmaning manfiy darajali hadlari katnashmasligi zarur va yetarli.
Isbot. Zarurligi . а nuqta f(z) funksiyaning bartaraf etiladigan maxsus nuqtasi
bo‘lsin. Unda z  0 da f(z) funksiyaning chekli limiti mavjud bo‘ladi:
( А chekli)
Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyaning xossasiga binoan а nuqtaning o‘yilgan
atrofida f(z) funksiya chegaralangan bo‘ladi, ya’ni shunday o‘zgarmas М >0 topiladiki,
tengsizligi bajariladi. Ushbu
tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy  sonini olaylik. Unda Koshi tengsizliklariga ko‘ra
f(z) funksiyaning Loran qatori koeffitsiyenglari uchun
bo‘ladi.
Arap n=-1,-2,-3,... bo‘lib,
30


0 da 0<  <R
bo‘lishini e’tiborga olsak, unda (18) munosabatdan
bo‘lishini topamiz. Bu esa (17) Loran qatorida z - a ayirmaning manfiy darajali hadlari
bo‘lmasligini bildiradi. Boshqacha aytganda bu holda (17) Loran qatorining bosh qismi
aynan nolga teng bo‘ladi.
Yetarliligi. Aytaylik, f(z) funksiyaning Loran qatoriga yoyilmasi (17) da z-a
ayirmaning manfiy darajada qatnashgan hadlari bo‘lmasin, ya’ni Loran qatorining bosh
qismi aynan nolga teng bo‘lsin. Bu holda f(z) funksiyaning Loran qatori ushbu
(19)
ko‘rinishga ega bo‘ladi. Demak, а nuqta f(z) funksiyaning bartaraf etiladigan maxsus
nuqtasi. Teorema isbot bo‘ldi.
2.2.2.-teorema. f(z) funksiyaning yakkalangan maxsus a C nuqtasi uning bartaraf
etiladigan maxsus nuqtasi bo‘lishi uchun а nuqtaning biror o‘yilgan atrofi
da f(z) funksiyaning chegaralangan bo‘lishi zarur va yetarli.
Faraz qilaylik, а nuqta f(z) funksiyaning bartaraf etiladigan maxsus nuktasi bo‘lsin.
Bu holda z 0 da f(z) funksiya chekli limitga ega bo‘ladi. Arap
31

deb olinsa, funksiyaning а nuqtadagi maxsusligi bartaraf etiladi. Maxsus nuktaning
bartaraf etiladigan deb nomlanishining boisi ham shundadir.
Qutb nuqta
2.2.3.-teorema. f(z) funksiyaning yakkalangan maxsus a  C nuqtasi uning qutb
nuqgasi bo‘lishi uchun funksiyaning Loran qatoriga yoyilmasi (17) da z-a ayirmaning
manfiy darajali hadlaridan chekli sondagisining bo‘lishi earur va yetarli.
2.2.4.-teorema. f(z) funksiyaning yakkalangan maxsus a C nuktasi uning qutb
nuqtasi bo‘lishi uchun
funksiya а nuqta atrofida golomorf bo‘lib, bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zarurligi. Aytaylik а nuqta f(z) funksiya-ming kutb nuktasi bo‘lsin. Unda
funksiya а nuqta atrofida golomorf bo‘lib, bo‘lishi Yuqorida keltirilgan teoremaning
isbotlash jarayonida ko‘rsatilgan edi.
Yetarliligi. Faraz qilaylik,
a nuqtaning atrofida golomorf bo‘lib, bo‘lsin. Modomiki, ekan, unda
yagonalik teoremasiga binoan a nuqtaning shunday o‘yilgan atrofi
32

topiladiki, bu atrofda bo‘ladi. Demak, shu atrofda
funksiya golomorf, а nuqta esa uning yakkalangan maxsus nuqtasi bo‘ladi. Ayni paytda
bo‘ladi. Bu esa а nuqta f(z) funksiyaning qutb nuqtasi ekanini bildiradi. Teorema isbot
bo‘ldi.
Bu teorema funksiyaning qutb nuqtalari bilan uning nollari orasidagi bog‘lanishni
ifodalaydi.
2.2.7.-ta’rif. Ushbu
funksiyaning а nuqtadagi nolining tartibi f(z) funksiyaning a nuqtadagi qutb nuqtasi tartibi
deyiladi.
Masalan, ushbu
funksiyani karaylik. Ravshanki, z=2 nuqta bu funksiyaning 3-tartibli noli. z = 2 nuqta
funksiyaning 3-tartibli qutb nuktasi bo‘ladi.
Yuqorida keltirilgan 6-teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi.
Natija. f(z) funksiyaning a qutb nuqtasining tartibi
33

yoyilmadagi m songa teng bo‘ladi.
O‘ta (muhim) maxsus nuqta
2.2.5.-teorema. f(z) funksiyaning yakkalangan maxsus a  C nuqtasi uning o‘ta
(muhim) maxsus nuqtasi bo‘lishi uchun funksiyaning Loran qatoriga yoyilmasi (17) da z-a
ayirmaning manfiy darajali hadlaridan cheksiz ko‘p sondagisining bo‘lishi zarur va yetarli.
Bu teoremaning isboti 2.2.5- va 2.2.6- teoremalardan kelib chiqadi. Funksiyaning
o‘ta maxsus nuqta atrofidagi xarakterini quyidagi teorema ifodalaydi.
2.2.6-teorema. (Y. V. Soxotskiy teoremasi). Arap a C nuqta f(z) funksiyaning o‘ta
maxsus nuqtasi bo‘lsa, u holda har qanday A soni ( a C ) olinganda ham, а ga
yaqinlashuvchi shunday ketma-ketlik topiladiki,
bo‘ladi.
2.2-§. Chegirmalar va ularni hisoblash
1°. Chegirma tushunchasi. Faraz qilaylik , f(z) funksiya
sohada golomorf bo‘lib, а nuqta bu funksiyaning yakkalangan maxsus nuqtasi
bo‘lsin.
1-bobning 1.4-§ da keltirilgan teoremaga ko‘ra f ( z ) funksiya К da ushbu Loran
qatoriga yoyiladi:
34

Ravshanki, bu qator К sohada tekis yaqinlashuvchi, jumladan К sohaga tegishli
bo‘lgan
Kulamada ham tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi. Binobarin, (1) katorni aylana
bo‘yicha hadlab integrallash mumkin:
Bu yerda da musbat yo‘nalish olingan. Malumki,
bo‘ladi. Shuni e’tiborga olib
bo‘lishini topamiz.
35

2.2.1-ta’rif
miqdor, ya’ni f(z) funksiyaning Loran qatoriga yoyilmasidagi С
1 koeffitsiyent f(z)
funksiyaning yakkalangan maxsus a nuktasidagi chegirmasi deyiladi va kabi belgilanadi:
(2)
(res - fransuzcha Residn so‘zining qisqacha yozilishi bo‘lib, u «chegirma»degan ma’noni
anglatadi).
Natija. Arap z= а nuqta f(z) funksiyaning bartaraf etiladigan maxsus nuqtasi bo‘lsa,
funksiyaning shu nuqtadagi chegirmasi nolga teng bo‘ladi:
Misol. Ushbu
funksiyani qaraylik. Bu funksiya z= 0 nuqtaning o‘yilgan atrofi da
golomorf va uning uchun z= 0 nuqta yakkalangan maxsus nuqta bo‘ladi.
Berilgan funksiyaning dagi Loran qatori
bo‘ladi. Ravshanki, bu holda c
-1 =0 bo‘ladi.
Demak,
36

funksiyaning z = 0 nuqtadagi chegirmasi
bo‘ladi.
Endi funksiyaning  dagi chegirmasi tushunchasini keltiramiz.
Aytaylik , f(z ) funksiya sohada golomorf – a=  nuqta uning
uchun yakkalangan maxsus nuqta bo‘lsin.
2.2.2. - ta’ r if . Ushbu
miqdop, ya’ni f(z) funksiyaning Loran qatoriga yoyilmasi (1) С
1 koeffitsiyengni manfiy
ishora bilan olingan qiymati f(z) funksiyaning yakkalangan maxsus a=  nuqtadagi
chegirmasi va kabi belgilanadi:
Yuqoridagidek, f(z) funksiyaning qatori
Aylana bo‘yicha hadlab integrallab
37

bo‘lishini topamiz.
a) Faraz qilaylik, а nuqta f(z) funksiyaning oddiy (bir karrali) qutb nuqtasi bo‘lsin.
Ma’lumki, bu holda f(z) funksiyaning а nuqta atrofidagi Loran qatori ushbu
ko‘rinishga ega bo‘ladi. Keyingi munosabatdan
bo‘lishi kelib chiqadi. Bu tenglikda z a da limitga o‘tib
bo‘lishini topamiz.
Demak, f(z) funksiyaning а nuqtadagi chegirmasi
(3)
bo‘ladi.
Xususan, bo‘lib, funksiyalar a nuqtada golomorf,
bo‘lsa, а nuqta f(z) funksiyaning qutb nuqtasi bo‘lganda
bo‘ladi. Demak,
38

(4)
b) Faraz qilaylik, а nuqta f(z) funksiyaning m karrali qutb nuqtasi bo‘lsin. Bu holda
f(z) funksiyaning a nuqta atrofidagi Loran qatori ushbu
(5)
ko‘rinishga ega bo‘ladi.
(5) tenglikning har ikki tomonini (z-a)" ga ko‘paytirib tyfc idagi
tenglikka kelamiz.
m-1 marta differensiallash natijasida
bo‘ladi.
Keyingi tenglikda z→ а da limitga o‘tib topamiz:
bunda esa
39

bo‘lishi kelib chikadi.
Demak, bu holda f(z) funksiyaning z = a nuqtadagi chegirmasi
(6)
bo‘ladi.
Xususan, bo‘lib, nuqtada golomorf va bo‘lsa, unda (6)
munosabatdan
(7)
bo‘lishi kelib chiqadi.
Misol. Ushbu
funksiyani qaraylik. Ravshanki, z=-2 nuqta bu funksiyaning oddiyiy qutb nuqtasi bo‘ladi.
(3) formuladan foydalanib, berilgan funksiyaning z=-2 kutb nuqtasidagi chegirmasini
topamiz
Eslatma. Muhim maxsus nuqtalarda chetirma hisoblash i funksiyani Loran
katoriga yoyib c
-1 koeffitsiyentni topish kerak. Bu holda umumiy formula yo‘q. 3.
Chegirmalar haqida teoremalar. Endi chegirmalar haqidagi teoremalarni keltiramiz.
2.2.1-teorema. Faraz qilaylik, f(z) funksiya bir bog‘lamli D cohada berilgan bo‘lib,
40

shu sohaga tegishli chekli sondagi maxcyc z
1 z
2 ... z
n nuqtalardan boshqa barcha nuqtalarda
golomorf bo‘lsin. Bu yakkalangan maxsus z
1 z
2 . ..z
n nuktalar D yotuvchi sillik, yopiq u
chiziq ichida joylashsin. U holda
bo‘ladi. Bunda γ yopiq chiziq musbat yo‘nalishda olingan.
Isbot . Markazlari z
k ( k = 1 ,2 .... n ) nuqtalarda, yetarlicha kichik radiusli γ
k
{ k=1 .2,... ,n ) aylanalarni olamizki, bu aylanalar γ yopiq chiziq ichida yotsin va
( k≠i,i=1,2...,n ) bo‘lsin. U holda Koshining ko‘p bog‘lamli sohalar haqidagi teoremasiga
ko‘ra
(8)
bo‘ladi, bunda γ
k aylanalarda soat strelkasi yo‘nalishiga qarshi yo‘nalish olingan.
Arap
ekanligini e’tiborga olsak, unda (8) tenglikdan
bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa teoremani isbotlaydi.
Bu teoremadan funksiyalarning integrallarini hisoblashda foydalaniladi.
2.2.2-teorema . Faraz qilaylik, f(z) funksiya kengaytirilgan kompleks tekislikning
chekli sondagi maxsus z
1 ,z
2 ,…,z
n nuqtalaridan boshqa barcha nuqtalarda golomorf bo‘lsin.
Uholda bu funksiyaning z
1 ,z
2 ....z
n nuqtalardagi hamda z=∞ nuqtadagi chegirmalari
yig‘indisi nolga teng bo‘ladi
(9)
41

2.3.§. Funksiyaning yopiq egri chiziq bo‘yicha integrallarini hisoblash .
Ushbu paragrafda funksiyaning chegirmalari haqidagi ma’lumotlar va tasdiqlardan
foydalanib, funksiyalarning yopiq egri chiziq (yopiq kotur) bo‘yicha olingan integrallarini
xamda ma’lum sinf aniq integrallarni hisoblaymiz.
1°. Funksiya chegirmasi ta’rifi:
yopiq egri chiziq bo‘yicha olingan
integralni hisoblash imkonini beradi.
Masalan, ushbu
integralni qaraylik. Integral ostidagi funksiyaning z = 0 nuqtaning o‘yilgan
atrofi dagi Loran katori
42

bo‘lib, bunda c
-1 = 1 bo‘ladi. Demak,
bo‘ladi.
Ma’lumki, chegirmalar haqidagi 1-teoremaga asosan f(z) funksiyaning yopiq egri
chiziq γ bo‘yicha olingan integrali shu funksiyaning γ ichida yotgan maxsus nuqtalardagi
chegirmalari orqali ifodalanar edi. Binobarin, bunday integrallar chegirmalarni hisoblash
bnlan bog‘lik,
Masalan, ushbu
integralni qaraylik. Integral ostidagi
funksiya uchun z
1 =i, z
2 = − i, z
3 = − 3 maxsus nuqtalar (qutb nuqtalar) bo‘lib, ulardan
ikkitasi z
1 =i, z
2 = - i lar aylana ichida yotadi. 2-teoremaga binoan
bo‘ladi.
Endi (3) formuladan foydalanib, funksiyaning z
1 =i, z
2 =-i nuqtalardagi
chegirmalarini hisoblaymiz:
43

Natijada
bo‘lishini topamiz.
2.4.§. Maxsus trigonometrik ko‘rinishdagi ratsional funksiyalarni integrallash
ko‘rinishdagi integrallarni hisoblash. Ratsional funksiya ning [0,2 ] oraliq
bo‘yicha aniq integrali
Ushbu
44

(15)
almashtirish yordamida kompleks o‘zgaruvchili funksiyaning yopiq efi chiziq bo‘yicha
olingan integraliga keladi.
Avvalo shuni aytish kerakki, (15) almashtirishda φ o‘zgaruvchi 0 dan 2φ gacha
o‘zgarganda z o‘zgaruvchi musbat yo‘nalishda olingan birlik aylana
hosil qiladi.
Ravshanki,
bo‘lib,
bo‘ladi. Natijada
bo‘lib, qaralayotgan aniq integral R
1 (z) ratsional funksiyaning aylana
bo‘yicha olingan integraliga keladi:
Bu tenglikdagi
45

Integral uchun, chegirmalar haqidagi teoremaga muvofiq
bo‘ladi. Bu yerda z
1 ,z
2 ,…z
n lar R
1 (z) funksiyaning birlik aylana ichida joylashgan maxsus
nuqtalari.
3.
ko‘rinishidagi integrallarni hisoblash.
Aytaylik, x o‘zgaruvchining ratsional funksiyasi bo‘lgan R(x)
bo‘lib, bunda P(x) va Q(x) lar mos ravishda n va m darajali ko‘p xatlar, va m-n  2 bo‘lsin.
R(х) funksiya haqiqiy o‘qda qutb nuqtaga ega bo‘lmasin.
5 chizma
Markazi kordinatalar boshida radiusi R bo‘lgan aylananing yuqori yarmi
tekislikdagi qismi С hamda haqiqiy o‘qning [ -R,R ] kesmasidan tashkil topgan γ
R yopiq
egri chiziqni olamiz.
Ravshanki,
So‘ng
46

ratsional funksiyani qaraymiz.
Endi R radiusni shunday katta qilib olamizki, R(z) funksiyaning barcha yuqori
yarim tekislikdagi maxsus nuqtalari shu γ
R yopiq egri chiziq ichida joylashsin.
Chegirmalar haqidagi teoremaga ko‘ra
(24)
bo‘ladi. Bu yerda z
1 , z
2 . ...z
p lar R(z ) funksiyaning y
R yopiq egri chiziq ichidagi maxsus
nuktalari (kutb nuqtalari).
Misol. Ushbu
integralni hisoblang. Ravshanki,
funksiya uchun z=i nuqta yuqori yarim tekislikda joylashgan ikkinchi tartibli qutb nuqta
bo‘ladi. Demak,
Endi (6) formuladan foydalanib, funksiyaning chegirmasini hisoblaymiz:
Shunday qilib, bo‘ladi.
47

Xulosa
Ushbu bitiruv malakaviy ish kompleks o‘zgaruvchining funksiyalar nazariyaga
bag‘ishlangan bo‘lib, unda kompleks o‘zgaruvchining funksiyasining limiti, uzluksizligi
va differensiallanuvchanligi ya’ni Koshi-Riman shartlari, hamda ularga oid misollar
keltirilgan.
Shuningdek kompleks o‘zgaruvchining funksiyasini integrali, xossalari va ularni
hisoblashga oid tushunchalar bayon etilgan. Bundan tashqari yakkalangan maxsus
nuqtalar, ularni turlari va yakkalangan maxsus nuqtalarga nisbatan funksiya chegarmalari
tushunchasi kiritilgan.
Bitiruv malakaviy ishda chegirmalar nazariyasi va uning ba’zi tadbiqlari ya’ni
ayrim maxsus integrallarni hisoblash masalalari o‘rganib chiqilgan va ularga doir misollar
keltirilgan.
48

Adabiyotlar
1. Sh.M.Mirziyoyev. “Buyuk kelajagimizni mard va olijanob xalqimiz bilan
birga quramiz”. Toshkent “O‘ zbekiston ”, 2017 y.
2. Г.Худойберганов, А.Ворисов, Ҳ.Мансуров. “Комплекс анализ”.
Тошкент, “Университет”, 1988 й.
3. Ш.Мақсудов, М.Салохиддинов, С.Сирожиддинов. “Комплекс
ўзгарувчининг функциялари назарияси”. Тошкент “Ўқитувчи”, 1996 й.
4. Т.Жўраев, А.Саъдуллаев, Г.Худойберганов, Х.Мансуров, А.Ворисов.
“Олий математика асослари” , I том, Тошкент, “Ўзбекистон”, 1995 й.
5. Т.Азларов, Х.Мансуров. “Математик анализ” 2 том. Тошкент,
“Ўқитувчи”, 1994 й.
6. Б.В.Шабат. «Введение в комплексный анализ». М. «Наука», 1985 г.
Internet sayt
1. www.ZiyoNet.uz
2. http://vilenin.narod.ru/Mm/Books/
3. http://www.pedagog.uz/
4. www.wikipediya.org
49

Chegirmalar nazariyasi va uning

Sotib olish

Dokument ma'lumotlari

Sotuvchi

Chegirmalar nazariyasi va uning tatbiqlari

O'xshash dokumentlar