Kirish Roʻyxatdan oʻtish

Docx

  • Referatlar
  • Diplom ishlar
  • Boshqa
    • Slaydlar
    • Referatlar
    • Kurs ishlari
    • Diplom ishlar
    • Dissertatsiyalar
    • Dars ishlanmalar
    • Infografika
    • Kitoblar
    • Testlar

Dokument ma'lumotlari

Narxi 20000UZS
Hajmi 1.5MB
Xaridlar 0
Yuklab olingan sana 03 Mart 2026
Kengaytma doc
Bo'lim Kurs ishlari
Fan Algebra

Sotuvchi

Mohigul Xolyigitova

Ro'yxatga olish sanasi 25 Oktyabr 2024

7 Sotish

Chiziqli algebra elementlari

Sotib olish
                               Oliy   ta'lim,   fan   va   innovasiyalar   vazirligi 
                          Jizzax davlat pedagogika universiteti
Sirtqi bo`lim
Matematika va Informatika yo`nalishi
“Tabiiy va aniq fanlarda masofaviy ta’lim”    kafedrasi
KURS  ISHI
MAVZU:   Chiziqli algebra elementlar i
Bajardi:   Matematika va 
Informatikayo`nalishi 3-kurs 
S0601- 22 guruh talabasi 
Kenjaboyeva Gavharoy
                                                                  Kurs   ishi   rahbari:   Xalmanov Ural
                            Jizzax- 2025
1 MUNDARIJA
KIRISH 
1.Chiziqli algebra elementlar
2.Vektorlar va ular ustida amallar  
3. Matrisa va ularning turlari 
Xulosa 
Foydalanilgan adabiyotlar 
2 KIRISH
Kurs   ishi   mavzusining   dolzarbligi   va   uning   asoslanishi.   Dunyoda
innovatsion   rivojlanishning   global   vazifalaridan   biri   sifatida   insonlarda   kreativlik
qobiliyatni   shakllantirish   uchun   ularda   yangi   tajribalar   yaratish,   noodatiy
muhitlarda   echim   topa   bilish,   faoliyatga   ijodiy   yondashish,   oqilona
tavakkalchilikka bo‘lgan qobiliyat va tayyorgarlik, professional  harakatchanlik va
doimiy   barkamollik   kabi   harakatlardir.   O‘zbekiston   Respublikasi   Kadrlarni
tayyorlash   milliy   dasturida   “....O‘sib   kelayotgan   yangi   avlod   yuqori   professional
madaniyatga,   ijodiy   va   ijtimoiy   faollikka,   ijtimoiy−siyosiy   hayotda   mustaqil
faoliyat   yuritishni   bilishga,   istiqbolli   rejalarni   tuzish   va   uni   amalga   oshirish
yo‘llarini   bilishi   kerak” 1
  deb   berilgan.   O‘zbekiston   Respublikasidagi   shiddatli
o‘zgarishlar   ta’lim   tizimiga   ham   jahon   miqyosida   keng   yo‘l   ochib   bermoqda,
zamonaviy   innovatsion   texnologiyalarning   tezkor   rivojlanishi   va   takomillashib
borishi   informatsion   muhitda   insonni   ishga   bo‘lgan   munosabatini   kreativ
yondashuvini talab etmoqda. Zamonaviy dunyoning innovatsiyalariga moslashish,
doimiy   yangilanuvchi   jamiyat   hayotiga   yosh   avlodni   tayyorlash   va   uni   zamon
talablariga   muvofiq   takomillashtirish   jarayonlarida   faol   ishtirok   etish   qobiliyatini
rivojlantirish oliy ta’lim muassasasi pedagogini muhim kasbiy vazifasi hisoblanadi.
O‘zbekiston   Respublikasini   yanada   rivojlantirish   bo‘yicha   Harakatlar
strategiyasida   uzluksiz   ta’lim   tizimini   yanada   takomillashtirish,   sifatli   ta’lim
xizmatlari imkoniyatlarini oshirish, mehnat bozorining imkoniyatlariga mos yuqori
malakali   kadrlar   tayyorlash   siyosatini   davom   ettirish,   oliy   ta’lim   muassasalari
ta’lim   sifati   va   samaradorligini   oshirish 2
  kabi   yo‘nalishlar   belgilanib,   bu   borada
oliy ta’lim muassasasi pedagoglarini kreativligini rivojlantirish katta ahamiyat kasb
etadi. 
Mamlakatimizda mustaqillikning birinchi yillaridan boshlab ta’lim sohasida
eski   yondashuvlardan   butunlay   voz   kechilib,   yangicha   tamoyillarga,   milliy
qadriyat va an’analarimizga, ilg‘or jahon tajribasiga asoslanib, hayotimizni tubdan
1
 Кадрларни қайта тайёрлаш ва малакасини ошириш миллий дастури// Халқ таълими.− Тошкент, 1998.− №1−С.−41
2
  Ҳаракатлар стратегияси асосида жадал тараққиёт ва янгиланиш сари рисола. -Т:.2017. Б.70-71.
3 yangilash,   uzoq   va   davomli   maqsadlarimizni   amalga   oshirish   uchun   ta’lim   va
tarbiya   sohasiga   ustuvor   ahamiyat   qaratilib,   bor   kuch   va   imkoniyatlar   shu   yo‘lda
safarbar   etilib   kelinmoqda.   Zero,   birinchi     Prezidentimiz   I.A.Karimov
ta’kidlaganidek   “O‘z-o‘zidan   ayonki,   tobora   chuqurlashib   borayotgan   islohotlar
natijasida   erishiladigan   o‘ta   muhim   o‘zgarishlar   hech   qachon   bir   kunda,
kimningdir buyrug‘i yoki xohishi hisobidan bo‘lmaydi. Buning uchun albatta vaqt
kerak,   eng   asosiysi   –   bu   islohotlarning   mazmuni   va   maqsadlarini   jamiyatimiz,
halqimiz chuqur anglab olishi va qo‘llab-quvvatlashi hal qiluvchi ahamiyatga ega.
Takror   aytishga   to‘g‘ri   keladi   –   faqatgina   halqimizning   qo‘llab-quvvatlashi   har
qanday   islohotlarga   kuch   beradi”.   Hozirgi   kunda   oliy   ta’lim   muasasalarida
o‘qitishda   interfaol   metodlarni   qo‘llash   kun   tartibidagi   dolzarb   vazifalardan   biri
hisoblanadi. 
Kurs   ishining   ob’ekti   va   predmeti:   “Algebra   va   sonlar   nazariyasi”   fani,
xususan   “Matritsalarga   doir   mavzularni   o‘qitishda   ba’zi   interfaol
texnologiyalardan foydalanish” mavzusi tadqiqot  ob’ekti  hisoblanadi.
Ta’lim   muassasalarida   “Algebra   va   sonlar   nazariyasi   fani   bo‘yicha   o‘quv-
uslubiy materiallarni ishlab chiqish va uning asosida interaktiv metodlar yordamida
o‘qitish jarayonlarini tashkil etish va undagi pedagogik munosabatlar tadqiqotning
predmeti  hisoblanadi.
Kurs   ishining maqsadi va vazifalari:  Kurs  ishining   maqsadi   “Algebra va
sonlar   nazariyasi”   fanini   o‘qitish   doirasida   “Matritsalarga   doir   mavzularni
o‘qitishda   ba’zi   interfaol   texnologiyalardan   foydalanish”   mavzusi   bo‘yicha
o‘qitishning   samaradorligini   oshirish   yuzasidan   tavsiyalarni   ishlab   chiqish
hisoblanadi. 
Kurs   ishining   nazariy   va   amaliy   ahamiyati.   Tadqiqot   davomida   ishlab
chiqilgan   “Matritsalarga   doir   mavzularni   o‘qitishda   ba’zi   interfaol
texnologiyalardan foydalanish”   mavzusini interaktiv metodlar yordamida o‘qitish
yuzasidan   ilmiy   tavsiyalardan   Oliy   ta’lim   muassasalarida   “Algebra   va   sonlar
nazariyasi”   fanini   o‘qitishni   samarali   tashkil   etishda   keng   foydalanish   mumkin.
SHuningdek,   tadqiqot   jarayonida   olingan   nazariy   va   amaliy   natijalarni   boshqa
turdosh fanlarni o‘qitish jarayonlarini uslubiy ta’minlashda ham qo‘llash mumkin.
4 Ushbu   keltirilgan   ta’lim   texnologiyasi,   “Matritsalarga   doir   mavzularni
o‘qitishda   ba’zi   interfaol   texnologiyalardan   foydalanish”   mavzusi   mavzusi
bo‘yicha olib borilgan o‘qitish tajribalari hamda malaka oshirish Bitiruv malakaviy
larida egallagan malaka asosida yaratildi.
  CHIZIQLI   ALGEBRA ELEMENTLARI  
5 Algebra   va   tekislikdagi   geometriyaning   integratsiyasi   borasidagi   buyuk
kashfiyotlardan biri frantsuz faylasufi Rene Dekart nomi bilan bog’liq. Dekartning
ta’kidlashicha   tekislikdagi   Yevklid   geometriyasini   olib   (x,u)   uni   tartiblangan
haqiqiy sonlar juftligi bilan bog’lash 3
,   
U aylana   ko’rinishidagi kvadrat tenglamaning yechimi ekanligini
aniqladi. Bu yerda r>0 aylana radiusi. Analitik geometriya  ikki o’lchamli fazo
tekisligi bilan paydo bo’ldi. Lekin jarayon bu yerda tugamadi va balki nuqtani 
fazoni  yuzaga  kelishiga  sabab   bo’luvchi   tartiblangan  n ta  haqiqiy sonlar  to’plami
 bilan mos qo’yilishiga olib keldi.  4
Evklid   aksiomalarining   biriga   ko’ra   har   bir   nuqtalar   juftligi   bir   qiymatli   tarzda
to’g’ri     chiziqni   aniqlaydi.   Algebraik   nuqtai   nazaridan     va
  nuqtalarga   ko’ra   quyidagi   tenglamalar   juftligini     yechish   bilan
to’g’ri chiziq tenglamasining koeffitsentlarini topishimiz mumkin.
 
a,   b   va   s   lar   orasida     munosabat   bajarilganda   quyidagi
bog’lanishlar mavjud.
     (1)
Bu yerda s nol bo’lmagan haqiqiy son.   Agar     lekin       u
holda   s=0   va     shu   tarzda   to’g’ri   chiziq
koordinatalar boshidan o’tib   qiyalikga ega. Nihoyat, agar   bo’lsa
bu to’g’ri chiziq gorizantal to’g’ri chiziqdir. 5
r   haqiqiy   son   va     nuqta   koordinatalari   ko’paytmasini
  ko’rinishida   aniqlaymiz,   ikki   nuqta   koordinatalari
yig’indisini quyidagicha aniqlaymiz
3
 O‘zbekiston Respublikasi Ta’lim to‘g‘risidagi qonuni. – Toshkent: Adolat, 2021
4
  Mathematical Literacy for Humanists, Herbert Gintis, 73-80, mazmun – mohiyatidan 
foydalanildi
5
  Mathematical Literacy for Humanists, Herbert Gintis, 73-80. mazmun – mohiyatidan 
foydalanildi
6 ,   u   holda       V
1   ,   V
2   lar   bilan
aniqlangan to’g’ri chiziq nuqtalar to’plami quyidagicha aniqlanadi.
                (2)  
Buni ko’rsatish uchun   har uchala holatni qarab chiqishimiz zarur, agar biz to’g’ri
chiziq haqiqatda  V
1  , V
2  nuqtalar orasida yotishiga ishonch hosil qilsak, biz xususiy
hollarga qaytmaymiz. Faraz qilaylik      bo’lsin. U holda (1)  o’rinli
ekanligidan   ixtiyoriy  nuqtani     ko’rinishida   ifodalasak
siz   aslida     ekanligini   tekshirishingiz   mumkin
bu   yerda   a,   b   lar   (1)   da   berilgan   va   s   ni   soddlashtirish   bilan   topamiz.   Men
o’quvchiga     lekin     va     bo’lgan   holatlarni
tekshirishni   qoldiraman.   V
1   ,   V
2     nuqtalar   orasidagi   kesma   doim
  nuqtalar   to’plami   ko’rinishida   ishodalanishi
mumkin.     Haqiqatda   ham     nuqta   V
1   ,   V
2       nuqtalar   orasidagi
kesmani   nisbatda bo’ladi. Misol uchun  .  -
bu to’g’ri chiziq segmentining o’rta nuqtasi.
Bu   tasdiqning   eng   sodda   isboti   nuqtalardan   birini   eng   qulay   vaziyatda
joylashtiramiz. Natija nuqtaning qaerda joylashganligiga emas, balki  ularning bir-
biriga nisbatan qanday joylashganligiga bog’liq bo’ladi. 
Yuqorida aytilgan vaziyatda   v
2   ning koordinatalar boshiga ko’chirilgan vaziyatini
olamiz,   u   holda     bo’lib   buni   nolь   vektor   deb   ataladi.     Bundan
  ning koordinatalar  boshidan va     nuqtadan o’tuvchi   to’g’ri  chiziq
ekanligi kelib chiqadi. SHuning uchun bu to’g’ri chiziqlar bitta va faqat bitta.   
to’g’ri   chiziq   0   va     nuqtalar   orasidagi   kesmani     nisbatda   bo’lishini
isbotlashimiz   uchun   nuqta   va   nol   vektor   orasidagi   masofani   aniqlashimiz   kerak.
Ma’lumki,       va     orasidagi   masofa     bilan
aniqlanadi.     Bundan   agar     bo’lsa,   u   holda     bo’ladi.   Demak,  
nuqta   va   kesmani   nisbatda bo’lar ekan. 
7 Ikkita   har   xil     va     nuqtalar   orasidagi   masofa  
formula orqali topiladi. 
Endi vector tushunchasini va uning hossalarini ko’rib chiqamiz.
1 - ta’rif. Agar berilgan kesmaning uchlari tartiblangan bo’lsa, u holda bunday
kesma   yo’nalgan kesma   deyiladi. Yo’nalgan kesmaning birinchi uchi uning   boshi,
ikkinchi uchi esa  oxiri   deyiladi.
1 – chizma
Yo’nalgan   kesmani       bilan   belgilaymiz   (1-
chizma).
Yo’nalgan      kesmaning   uzunligi   deb,        kesma uzunligiga aytiladi   va  
yoki   B  bilan belgilanadi. 
2 - ta’rif. Agar     va     nurlar bir xil (qarama-qarshi) yo’nalgan bo’lsa,   va
  yo’nalgan  kesmalar bir xil ( qarama-qarshi )  yo’nalishli   deyiladi. 
3   -   ta’rif.   Uzunliklari   teng   yo’nalishi   bir   xil   bo’lgan   barcha   yo’nalgan
kesmalar to’plamini ozod vektor yoki qisqacha vektor deb ataladi.(2-chizma)  6
Vektor   ustiga  "	"   belgi   qo’yilgan   kichik   lotin   harflari     bilan   yoki
qo’yiq qilib yozilgan kichik lotin harflari   a, в ,c,…   bilan belgilanadi.
Vektor   so’zi   lotincha   vector   –   so’zidan   olingan   bo’lib,   tashuvchi,   olib
yuruvchi degan ma’noni bildiradi.
Ta’rifdan   vektor,   uzunliklari   teng   bir   xil   yo’nalgan
kesmalar   to’plamidan   iborat,   ekanligi   ravshan.   Bu
to’plamga tegishli har bir yo’nalgan 
kesma to’plamni to’liq aniqlaydi. Shuning uchun 
agar   bo’lsa, 
a    vektorni   ko’rinishda yozishimiz mumkin.
6
 Introduction to Calculus Volume II. pp 1 mazmun – mohiyatidan foydalanildi
82-
chizma 3-chizmaA   nuqta     vektorning   boshi,   B   nuqta   esa     vektorning   oxiri   deyiladi.
Yo’nalgan     kesmaning uzunligi      vektor uzunligi, yoki moduli deyiladi va
| | ko’rinishida belgilanadi.   
4 - ta’rif. Uzunligi birga teng bo’lgan vektor birlik vektor yoki ort deyiladi.
5 - ta’rif. Boshi bilan oxiri ustma – ust tushgan vektor nol vektor deyiladi.
Nol vector      ko’rinishida yoki   , yoki     ko’rinishida belgilanadi. Nol
vektor yo’nalishi (aniq emas) aniqlanmagan.
6   -   ta’rif.   Agar   ,       yo’nalgan   kesmalar   bir   xil   (qarama-qarshi)
yo’nalishli   bo’lsa,       va       lar   bir   xil   (qaram а -qarshi)   yo’nalishli   deb
aytiladi.
Agar       va       lar   bir   xil   yo’nalishli   bo’lsa       ko’rinishida,
qarama – qarshi yo’nalishda bo’lsa   ko’rinishda belgilaymiz.
7  -  ta’rif.  Agar   ikkita       va     vektorlar  bir   to’g’ri  chiziqda   yoki  parallel
to’g’ri chiziqlarda yotsa, u holda bu vektorlarni  kollinear vektorlar deyiladi.
8 – ta’rif. Agar quyidagi shartlar o’rinli bo’lsa:
1) a   va  	b
  vektorlarning modullari teng ;
2)  	
a     va    	b
   vektorlarning   yo’nalishlari   bir   xil   bo’lsa,    	a va    	b
 vektorlarni
teng vektorlar deyiladi va 	
a =	b
  ko’rinishida yoziladi.
1.   Agar   uchta   vektor   bir   tekislikda   yoki   parallel   tekisliklarda   yotsa,   u   holda
bunday vektorlarni komplanar vektorlar deyiladi.
3- chizmada   parallel
to’g’ri chiziqlarda   va
ABCD   kvadrat tomonlarida
yotuvchi vektorlar
ko’rsatilgan: 1) bularning   qaysi
juftlari   bir   xil   yo’nalishga     va     qaysi   juftlari   qarama-qarshi   yo’nalishga   ega,   2)
qaysi juftlari kollinear bo’ladi,    3) qaysi juftlari teng, qaysi juftlari teng emas.
  
Vektorlar va ular ustida amallar
9 Tekislikda  EF	a   va   A   nuqta   berilgan   bo’lsin.   A   nuqtadan     EF     to’g’ri   chiziqqa
parallel  d  to’g’ri chiziq o’tkazamiz. (4-chizma)
A    nuqtadan   ko’rsatilgan yo’nalishda  	
a
 
vektor uzunligini o’lchab  qo’yib 
B  nuqtani topamiz.   	
a	AB	EF			
.   Shunday
qilib 	
a ni   A  nuqtadan qo’ydik, ya’ni
ko’chirdik.
    9-Ta’rif. Ikkita 	
a va 	b

   vektorlarning  yig’indisi deb, ixtiyoriy  A  nuqtadan 	a
vektorni qo’yib, uning oxiri  B  nuqtaga 	
b
  vektorni  qo’yganda boshi 	a vektorning 
boshi  A  nuqtada oxiri 	
b
 vektorning oxiri  C  nuqtada bo’lgan 	
AC  vektorga aytiladi. 
 	
a va 	b
  vektorlar ning yig’indisi   kabi  belgilanadi. (5- chizma)
Vektorlarni qo’shish ta’rifidan istalgan uchta  A  ,  B   va  C   nuqtalar uchun	
AC	BC	AB		
tenglik   o’rinli   bo’ladi.   Bu   tenglikni   vektorlarni   qo’shishning   uchburchak   qoidasi
deyiladi.
10 -
Ta ’ rif .	
a ,  	b

vektorlarning   ayirmasi   deb ,   shunday     vektorga   aytiladiki ,   ular   uchun  
a	x	b				
	
tenglik   o ’ rinli   bo ’ ladi .  U   holda  	
b	a	x	
				 .(6-  chizma  )
Ikkita   vektorning   ayirmasi   hamma   vaqt   mavjud   va   bir   qiymatli   aniqlanishini
isbotlash   mumkin .
11 -   Ta ’ rif .  	
0
	a   vektorning  	R		   songa   ko ’ paytmasi   deb   quyidagi   shartlarni
qanoatlantiruvchi     ga   aytiladi   va    = 	
a	   ko ’ rinishda   yoziladi .
1) ;
2) 	
p   vektor  	a   ga   kollinear .
3)  Agar  	
 >0  bo ’ lsa  	p   va  	a   vektorlar   bir   xil   yo ’ nalgan ,  agar  	 <0   bo ’ lsa , 	p   va	
a
  vektorlar   qarama -  qarshi    yo ’ nalgan   bo ’ ladi .
104-chizma
5-chizma 6-chizma 1.1- teorema .      Vektorlarni   qo ’ shish   va   songa   ko ’ paytirish   quyidagi   xossalarga
ega .
1°.   Agar     va     vektorlar   to ' plamiga   tegishli   bo ’ lsa   u   holda   ularning
eg ’ indisi   ham   shu   to ’ plamga   tegishli  ( yopiqlik )
2°.   ( qo ’ shishga   nisbatan   assotsiativ ) 
3°.   Ixtiyoriy     vector   uchun   shunday         vector   mavjudki   ular   uchun :
  munosabat   o ’ rinli   hamda        vector   qo ’ shishga   nisbatan   neytral   element .
4°. Har bir    vector uchun shunday   vector mavjudki ular uchun: 
    (bunda   ni    ga qarama-qarshi vektor deyiladi va  ). 
5°.   (qo’shishga nisbatan kommutativ)
6°.   Ixtiyoriy  
    haqiqiy   son   va   ixtiyoriy     ,       vectorlar   uchun:
7
1°.Itiyoriy ikki haqiqiy  	,  son va  ixtiyoriy 	a
  vector uchun:    	
a	a	a											)	(
2°. Ixtiyoriy  ikki  haqiqiy  	
	,  son  va  ixtiyoriy 	a  vector    uchun:
3°. Ixtiyoriy 	
a  vector uchun:  
7
  Introduction to Calculus Volume II. pp 3-4 mazmun – mohiyatidan foydalanildi
11
8- chizma 
chizma  
7- chizma Isbot. 1, 2 xossalarning  isbotini  7, 8 chizmalardan ko’rish mumkin.
3 0
   va  8 0
 xossalar ravshan. 4 0
 ga qaraylik. Agar  MN	a  bo’lsa,  -  	a  sifatida
 ni olish mumkin. Vektorlarni qo’shish ta’rifiga asosan 	
a
+( -	a )= 	
MN  +	NM  = 	MM  = 	0
  
5 0
, 6 0
, 7 0
 xossalarni talabalar mustaqil ish sifatida o’rganadi. 
 Vektorlarning chiziqli bog’liqligi.
Ta’rif.     Ixtiyoriy         vektorlar   sistemasi       va     haqiqiy
sonlar berilgan bo’lsin.
       
vektorni   berilgan       vektorlarning   chiziqli   kombinatsiyasi   deyiladi.   Bunda    
vektor       vektorlar   sistemasi   orqali   chiziqli   ifodalangan   deyiladi,
 sonlar chiziqli kombinatsiya koeffitsentlari deyiladi.
12-ta’rif.  Ixtiyoriy     va   vektorlarning,    haqiqiy sonlar bilan berilgan
chiziqli kombinatsiyasi 
       (3.3)
koeffitsentlarning kamida bittasi  noldan farqli bo’lganda   (3.3) bajarilsa , u holda
   va    vektorlar sistemasi chiziqli bog’liq deyiladi. 
Agar (3.3) tenglik     sonlarning hammasi nolga teng bo’lgandagina o’rinli
bo’lsa,     va    vektorlar sistemasi chiziqli erkli deyiladi. 8
 
1.2-teorema.   Agar   (3.1)   vektorlar   sistemasining   biror   vektori   nol   vektor
bo’lsa, u holda bu vektorlar sistemasi chiziqli bog’liq bo’ladi. 
Isbot. Faraz qilaylik 	
0
		ka  bo’lsin, u holda  , 
sonlar uchun    munosabat o’rinli bo’ladi. Demak, ta’rifga 
asosan (3.1) vektorlar sistemasi chiziqli bog’liq.
8
  Introduction to Calculus Volume II. pp 3-4. mazmun – mohiyatidan foydalanildi
12 Quyidagi teoremalarni talabalar o’zlari isbotlasin.
1.2-teorema.   Agar   (3.1)   vektorlar   sistemasi   chiziqli   bog’liq   bo’lsa,
sistemaning   kamida   bitta   vektori   uning   qolgan   vektorlari   orqali   chiziqli
ifodalanadi.
1.3-teorema.   Ikkita   vektor   chiziqli   bog’liq   bo’lishi   uchun   ularning   kollinear
bo’lishi zarur va etarli.
1.4-teorema. Uchta vektor chiziqli bog’liq bo’lishi uchun ularning komplanar
bo’lishi zarur  va  etarli.
Matritsa va ularning turlari.
1. m ta satr va n ta ustundan iborat 
A =    =(a
ij )      (i= ,    j= )        
ko’rinishdagi jadval  (m x n)-o’lchovli to’g’ri burchakli matritsa yoki
13  (m x n)-matritsa deyiladi 9
.
   m=n bo’lsa, A matritsani n-tartibli kvadrat matritsa deymiz.Kvadrat matritsa
uchun dioganal, skalyar, birlik matritsatushunchalari mavjud.
,        ,      E=      
A   matritsadasatrlari   mos   ustunlar   biri   almashtirishdan   hosil   bo’lgan   A T
matritsa A ga 1
  Mos   elementlari   teng   bo’lgan   bir   xil   o’lchamli   matritsalar   teng   matritsalar
deyiladi.   Bir   xil   o’lchamli   matritsalarni   qo’shish   (ayirish)   mumkin.Buning   uchun
ularning   mos   elementlarini   qo’shish   (ayirish)   kerak.   Istalgan     matritsani   songa
ko’paytirish   mumkin.buning   uchun   uning   barcha   elementlarini   shu   songa
ko’paytirishimiz   kerak.   Agar   A   matritsaning   astrlar   soni   b   matritsaning   ustunlar
soniga   teng   bo’lsa,   A   ni   B   ga   ko’paytirish   mumkin:   (m   x   k)-o’lchamli   A=(a
ij )
matritsani   (k   x   n)-o’lchamli   B=(b
ij )   matritsaga   ko’paytirishdan   (m   x   n)   o’lchovli
C=(c
ij )=A   x   B   matritsa   hosil   bo’ladi.Ko’paytirish     ”satrni   ustunga”   qoidasi
bo’yicha quyidagicha bajariladi.
C=(c
ij )   matritsaning   c
ij   elementi   A   ning   i-satr   elementlarini   B   ning   j-ustuni
mos elementlariga ko’paytirib qo’shishdan hosil bo’ladi.
C
ij =a
i1 b
1j +a
i2 b
2j +…+a
ik b
kj        (i= ,  j= ) 
Matritsalarni   ko’paytirish   amali   uchun   o’rin   almashtirish   (kommutativlik)
qonuni o’rinli emas:  A x B # B x A
2.   m а yd о n   v а   m а yd о n   ustid а   m а trits а l а r   to’pl а mi
b е rilg а n bo’lsin. 
Tа’rif.     Shundаy   Х   vа   А   n-tаrtibli   kvаdrаt   mаtritsаlаr   bеrilgаn   bo’lib,   ulаr
uchun       XA   =   AX   =   E   (Е   –   n-tаrtibli   birlik   mаtritsа)   shаrt   bаjаrilsа,   u   hоldа     Х
mаtritsаgа  А mаtritsаgа tеskаri mаtritsа dеyilаdi vа  А -1
 ko’rinishdа bеlgilаnаdi.
Tеskаri mаtritsаgа egа mаtritsа tеskаrilаnuvchi mаtritsа dеyilаdi. 
Tеskаri mаtritsаni tоpishning umumiy yo’lini ko’rib chiqаmiz.
9
 Muxitdinov R., Mahmudov I. “Chiziqli algebra va analitik geometriya”. – Toshkent: Fan va texnologiya, 
2019
14 Tа’rifgа   ko’rа   :   AX   =   E      ,   i=(1,n),   j=(1,n),   bu   yеrdа
i    j bo’lsа, e
ij  = 0  vа  i = j bo’lsа, e
ij  = 1 bo’lаdi.                       
Nаtijаdа quyidаgi tеnglаmаlаr sistеmаsi hоsil bo’lаdi:
,
CHTSni yеchib Х mаtritsаni tоpаmiz.
Misоl.  А =   mаtritsа bеrilgаn bo’lsа, А -1
 ni tоping.
Yechish.  AX = E, ya’ni      tеnglikdаn CHTSni tuzаmiz vа uni yеchаmiz:
      
Dеmаk, А -1
= .
Tеоrеmа.  Аgаr bеrilgаn kvаdrаt mаtritsа tеskаrilаnuvchi bo’lsа, u hоldа ungа
tеskаri mаtritsа yagоnаdir.
F     mаydоn   ustidа   оlingаn   tеskаrilаnuvchi   n-tаrtibli   kvаdrаt   mаtritsаlаr
to’plаmini   ko’rinishdа bеlgilаymiz.
Tеоrеmа.    аlgеbrа gruppа bo’lаdi.
Hаqiqаtdаn   hаm,     to’plаm   elеmеntlаri   kvаdrаt   mаtritsаlаr
bo’lgаnligi   sаbаbli   hаr   qаndаy   ikkitа   kvаdrаt   mаtritsаni   ko’pаytirish   nаtijаsidа
yanа   shu   tаrtibli   kvаdrаt   mаtritsа   hоsil   bo’lаdi.   Dеmаk,     to’plаmdа
ko’pаytirish   аmаli   аniqlаngаn.   Ko’pаytirish   аmаli   аssоtsiаtiv,   ya’ni
.
Ko’pаytirish   аmаligа   nisbаtаn   birlik   elеmеnt   vаzifаsini   n-tаrtibli   birlik
mаtritsа o’tаydi vа nihоyat,   to’plаm tеskаrilаnuvchi mаtritsаlаr to’plаmi
bo’lgаnligi sаbаbli, uning hаr bir noldan farqli kvаdrаt mаtritsаsigа tеskаri mаtritsа
shu to’plаmdа mаvjud. 
Dеmаk,   аlgеbrа multiplikаtiv gruppа tаshkil etаdi.
Tеоrеmа.   Hаr qаndаy sоndаgi  tеskаrilаnuvchi mаtritsаlаr  ko’pаytmаsi, yanа
tеskаrilаnuvchi mаtritsа bo’lаdi.
Tеоrеmа.  Tеskаri mаtritsаlаr quyidаgi хоssаlаrgа egа:
15 1) (A -1
) -1
 = A;  
2) (AB) -1
 = B -1
A -1
                   
3) (A T
) -1
 = (A -1
) T
.
T а ’rif.   Birlik   m а trits а d а n   quyid а gi   el е m е nt а r   а lm а shtirishl а rning   biri
yord а mid а  h о sil qiling а n m а trits а g а  el е m е nt а r m а trits а  d е yil а di:
1) birlik m а trits а  s а tri (ustuni)ni n о ld а n f а rqli sk а l а rg а  ko’p а ytirish.
2)   birlik   m а trits а   bir о r   bir   s а tri   (ustuni)   g а   n о ld а n   f а rqli   sk а lyarg а
ko’p а ytirilg а n s а tr (ustun)ni qo’shish yoki  а yirish. 
Е   birlik   m а trits а d а   b а j а rilg а n     s а tr   el е m е nt а r   а lm а shtirish   1)   yoki   2)
ko’rinishd а gi   el е m е nt а r   а lm а shtirish   bo’ls а ,   u   h о ld а   h о sil   bo’lg а n   el е m е nt а r
m а trits а ni   ko’rinishd а  b е lgil а ymiz.
Mis о l.  Quyid а gi m а trits а l а r ikkinchi t а rtibli el е m е nt а r m а trits а l а r:
,   ,   ,   ,   .   Bu   y е rd а   -n о ld а n   f а rqli
i х tiyoriy sk а lyar.
T ео r е m а .   H а r   q а nd а y   el е m е nt а r   m а trits а   t е sk а ril а nuvchi.   El е m е nt а r
m а trits а g а  t е sk а ri m а trits а , el е m е nt а r.
T ео r е m а .  El е m е nt а r m а trits а l а r ko’p а ytm а si el е m е nt а r.
T ео r е m а .   А g а r   B   m а trits а   А   m а trits а ni     el е m е nt а r
а lm а shtirishl а r yord а mid а  h о sil qiling а n bo’ls а , u h о ld а  
3. to’rtta sondan tuzilgan
 
      A=
Jadval ikkinchi tartibli kvadrat matritsa , a
1 b
2  – a
2 b
1  son esa bu matritsaning 
diterminanti yoki ikkinchi tartibli determinant deyiladi. U quyidagicha belgilanadi 
           det A=  =   = a
1 b
2  – a
2 b
1         (1)
Diterminantning xossalari:
1. Satrlarni mos ustunlar bilan almashtirilsa, diterminantning qiymati 
o’zgarmaydi.
16 2. Ikkita satr (ustun) lari o’zaro almashtirilsa, diterminantning faqat 
ishorasi o’zgaradi.
3. Biror satr(ustun) elementlarining umumiy ko’paytuvchisini 
determinant belgisi tashqarisiga chiqarish mumkin.
4. Diterminantning biror satr (ustun) elementlarini noldan farqli songa 
ko’paytirib, boshqa biror satr (ustun)ning mos elementlariga qo’shilsa 
diterminantning qiymati o’zgarmaydi.
5. Quyidagi hollarda determinant nolga teng:
- biror satri (ustuni ) nollardan iborat bo’lsa;
- ikkita satri (ustini) bir xil bo’lsa;
- ikkita satri (ustuni) elementlari proparsional bo’lsa.
            Bu xossalar istalgan tartibli determinant uchun ham o’rinlidir.
 Ushbu 
                       A=
ko’rinishdagi jadval uchinchi tartibli kvadrat matritsa    a 
1  b
2 c
3  + a 
2  b
3 c
1 + a 
3  
b
1 c
2  – a 
3  b
2 c
1  - a 
1  b
3 c
2 - a 
2  b
1 c
3   son bu matritsaning diterminanti yoki uchinchi 
tartibli determinant deyiladi. U quyidagicha belgilanadi:
               det A=  =   = a 
1  b
2 c
3  + a 
2  b
3 c
1 + a 
3  b
1 c
2  – a 
3  b
2 c
1  - a 
1  
b
3 c
2 - 
- a 
2  b
1 c
3  .
    4.     m а yd о n   v а   m а yd о n   ustid а     m а trits а l а r
to’pl а mi b е rilg а n bo’lsin. 
Tа’rif.     mаtritsаning   mаtritsаоsti   dеb,   uning
qаndаydir sаtr vа ustunlаrini o’chirishdаn hоsil bo’lgаn mаtritsаgа аytilаdi.
17 Tа’rif.     k   tа   sаtr   vа   k   tа   ustundаn   ibоrаt   mаtritsаоsti   k-tаrtibli   mаtritsаоsti
dеyilаdi.
Misоl.     mаtritsаning 3-tаrtibli qismmаtritsаsini 
hоsil   qilish   uchun   ixtiyoriy   bittа   ustunini   o’chirish   mumkin,   mаsаlаn
.
Tа’rif.     k-tаrtibli   mаtritsаоsti   dеtеrminаnti   А   mаtritsаning   k-tаrtibli   minоri
dеyilаdi.
Mаtritsаning hаr bir elеmеnti 1-tаrtibli minоr bo’lаdi.
  Tа’rif.   Kvаdrаt mаtritsаning  - qаtоri  -ustunini o’chirishdаn hоsil bo’lgаn
mаtritsаоsti   dеtеrminаnti     elеmеntning   minоri   dеyilаdi   vа     ko’rinishdа
bеlgilаnаdi.
Tа’rif.    ko’pаytmаgа   elеmеntning аlgеbrаik to’ldiruvchisi
dеyilаdi.
Tеоrеmа.   А=   k vаdrаt mаtritsаning n-sаtr (ustun) elеmеnti
 dаn bоshqа hаmmаsi nоlgа tеng bo’lsа, u hоldа   bo’lаdi.
Tеоrеmа.   А=   k vаdrаt mаtritsаning qаndаydir sаtr (ustun)
elеmеntlаridаn   bittаsidаn   bоshqа   hаmmаsi   nоlgа   tеng   bo’lsа,   u   hоldа   bеrilgаn
mаtritsа   dеtеrminаnti   shu   elеmеntni   uning   аlgеbrаik   to’ldiruvchisi   bilаn
ko’pаytmаsigа tеng.
18 Tеоrеmа   (Lаplаs   tеоrеmаsi).   А=   k vаdrаt   mаtritsаning
dеtеrminаnti   birоr-bir   sаtr   (ustun)   elеmеntlаri   bilаn   ulаrning   аlgеbrаik
to’ldiruvchilаri ko’pаytmаlаrining yig’indisigа, ya’ni  
 gа tеng.
Isbоt .   А=   mаtritsаning   j-ustunini   n   tа   ustunlаr   yig’indisi
ko’rinishidа ifоdаlаymiz:
 .
U hоldа kvаdrаt mаtritsа dеtеrminаnti хоssаlаrigа (16.9-tеоrеmа) ko’rа 
ifоdаgа egа bo’lаmiz. 17.2-tеоrеmаgа ko’rа 
(1) .
(2)  ekаnligi yuqоridаgi kаbi isbоtlаnаdi.
(1)   fоrmulаgа   dеtеrminаntni   j   –ustun   bo’yichа,   2-fоrmulаgа   i -sаtr   bo’yichа
yoyilmаsi dеyilаdi.
19 Mis о l.   А  =  m а trits а  d е t е rmin а ntini his о bl а ng.
Yechish. 
 -5 + 18 + 6 = 19. 
20 Determinant tushunchasi.   Determinantlarning xossalari.
Ikkinchi   tartibli   determinant   tushunchasiga   2   ta   noma’lumli   2   ta   chiziqli   tenglama
sistemasini yechish orqali kelamiz 10
. Aytaylik, ushbu
   (1)
chiziqli   tenglamalar   sistemasi   berilgan   bo’lsin,   bunda   noma’lumlar   oldidagi   koeffitsientlardan
kamida   bittasi   noldan   farqli.   (1)   sistemaning   tenglamalaridan   birinchisining   har   ikkala   qismini
 ga, ikkinchisini   ga ko’paytirib, ularni hadma-had qo’shib quyidagini topamiz:
SHundan   keyin   1   chi   tenglamaning   har   ikkala   qismini     ga,   2   chi   tenglamaning   har
ikkala qismini esa   ga ko’paytirib va hadma-had qo’shib,
ni topamiz. Agar     bo’lsa, (1) sistemaning  yechimlari mavjud bo’lib, bu yechim
quyidagicha topiladi:
;     (2)
(1) sistemaning    x    va        o’zgaruvchilari oldidagi koeffitsientlaridan
ushbu  (3) jadvalini tuzamiz.
Odatda   bunday  jadval   matritsa   deb  ataladi.     ifoda  (son)  (3) matritsaning
determinanti deyiladi va u quyidagicha belgilanadi:
 yoki  (4)
10
 Muxitdinov R., Mahmudov I. “Chiziqli algebra va analitik geometriya”. – Toshkent: Fan va texnologiya, 
2019
21   sonlar  (4) determinantning  elementlari  deyiladi.  bu determinantning  2 satri
va 2 ta ustuni bor.
  va     elementlar   bosh   diagonalь   elementlari,     va     elementlar   yordamchi
diagonalь   elementlar   deyiladi.   2-tartibli   determinantni   hisoblash   uchun   bosh   diagonalda   turgan
elementlar ko’paytmasidan yordamchi diagonalda turgan elementlar ko’paytmasini ayirish kerak,
ya’ni
Misol . Quyidagi determinantlarni hisoblang:
1)  
2)  
2.   (1)   tenglamalar   sistemasini   analitik   usulda   tekshiramiz.   (1)   sistema   yechimga   ega   deb
faraz qilamiz.
;  ;  
Ushbu  ; ;             belgilashlarni   kiritamiz, natijada (2)
munosabatlar ushbu ko’rinishni oladi:
; ;     (5)
bu   yerda       (1)   sistemaning   determinanti   deyiladi.   (1)   sistema   yechimga   ega   bo’lishi   uchun
uning determinanti noldan farqli bo’lishi zarur:
 bo’lganda (1) ning yagona yechimi quyidagicha topiladi:
,
Bu formulalar  Kramer formulalari  deyiladi.
Misol . Ushbu tenglamalar sistemasining barcha yechimlarini toping:
Echish . Sistemaning determinantlarini tuzamiz:
22  bo’lgani uchun, sistema yagona yechimga ega. Kramer formulalariga ko’ra:
;
  III  tartibli determinantlar.
Ushbu,
tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin.  Bu sistema koeffitsientlaridan tuzilgan III tartibli kvadrat
matritsa berilgan bo’lsin:
(6)
(6) matritsaning   III  tartibli determinanti deb 
  (7)
songa aytiladi. Bu determinant bunday belgilanadi:
(7) dagi har qaysi ko’paytma determinantning hadlari deyiladi. Quyidagi sxemalar bo’yicha
(7) ga kiruvchi munosabat va manfiy hadlarni aniqlash oson:
Qulaylik   uchun   determinantning   elementlarini   ikkita   indeksli   bitta   harf   bilan   belgilash
qabul qilingan bo’lib, bu indekslar, element turgan satr va ustunlarining nomerlarini: 1 chi indeks
har doim satr nomerini, 2 chi indeks esa ustun nomerini ko’rsatadi:
23   Ikkinchi   va   uchinchi   tartibli   determinantlar.   Quyidagi   a
11 ,   a
12 ,   a
21 ,   a
22   haqiqiy
sonlardan tuzilgan
kvadrat jadvalga 2-tartibli kvadrat matritsa deyiladi, bu yerda  a
ij -uning elementlari,  a
11 ,  a
12   va  a
21 ,
a
22   lar   uning   satr   elementlari,   a
11 ,   a
21   va   a
12 ,   a
22   ustun   elementlari   deb   ataladi.   a
ij   ning   birinchi
indeksi  i  satr raqami,  j  ustun raqamini bildiradi. Misol uchun,  a
21   2-satr va 1-ustunda joylashgan.
Bu matritsaning determinanti deb, quyidagi songa aytamiz:
(1)
Xuddi shunday,
kvadrat   jadvalni   3-tartibli   kvadrat   matritsa   deb   atasak,   uning   determinanti   deb   quyidagi   sonni
aytamiz: 
 (2)
(1)   va   (2)   determinantlar   mos   ravishda   2-tartibli   va   3-tartibli   determinantlar   deb   ham
ataladi.
(2)   determinantni   hisoblash   uchun   «uchburchaklar   usuli»   deb   ataluvchi   quyidagi
diagrammadan foydalanish mumkin:
Har   bir   diagrammada   tutashtirilgan   elementlar   o’zaro   ko’paytirilib,   keyin   natijalar
qo’shiladi,
a) diagrammadagi yig’indi «+» ishorasi bilan,
b) diagrammadagi  yig’indi esa «-» ishora bilan olinib, ikkala natija o’zaro qo’shiladi.
3-tartibli   determinantlarni   hisoblash   uchun   «Sarryus   usuli»   deb   ataluvchi   quyidagi   diagramma
ham mavjud:
24 2-rasm.
bu   y erda   tutashtirilgan   elementlar   o’zaro   ko’paytirilib,   asosiy   diagonalga   parallel
tutashtirilganlari   alohida   qo’shilib   «+»   ishora   bilan,   yon   diagonalga   parallel   tutashtirilganlari
alohida qo’shilib «-» ishora bilan olinib, natijalar qo’shiladi.
1. Agar   determinantning   barcha   satr   elementlarini   ustun   elementlariga   yoki   aksincha
almashtirilsa, uning qiymati o’zgarmaydi: 
.
2. Agar   determinantning   ikki   yonma-yon   turgan   satr   (ustun)   elementlarini   o’rnini   mos
ravishda almashtirsak, determinant qiymati  qarama-qarshi ishoraga o’zgaradi:
3. Agar determinantning biror satri (ustun) elementlari umumiy ko’paytuvchiga ega bo’lsa,
u holda bu ko’paytuvchini determinant tashqarisiga chiqarish mumkin:
4. Agar   determinantning   biror   satr   (ustun)   elementlari   mos   ravishda   boshqa   yo’l   (ustun)
elementlariga proportsional bo’lsa, u holda determinant qiymati nolga teng bo’ladi:
Xususan, agar  =0 bo’lsa, determinant qiymati  nolga tengdir.
5. Agar   determinantning   yo’l   (ustun)   elementlari   ikki   ifodaning   yig’indisi   ko’rinishida
bo’lsa, u holda determinant ikki determinant yig’indisi ko’rinishida yozilishi mumkin:
6. Agar   determinantning   yo’l   (ustun)   elementlarini   biror  	
 0   songa   ko’paytirib,   mos
ravishda boshqa yo’l (ustun) elementlariga qo’shsak, determinant qiymati o’zgarmaydi:
25 Yuqorida   keltirilgan   xossalar   determinant   uchinchi   va   undan   yuqori   tartibli   bo’lganda   ham
o’rinlidir.
К eyingi xossalarni kiritish uchun uchinchi tartibli    determinantdan foydalanamiz,
Berilgan  uchinchi  tartibli  determinantning   i- yo’li va   j- ustunini  o’chirishda  hosil  bo’lgan
ikkinchi tartibli determinant  a
ij  elementning minori deyiladi va  M
ij -deb belgilanadi.
Masalan,  a
11  elementning minori 
.
Xuddi shuningdek,  a
12 -niki  
ga   teng   va   hokazo .
Qo ’ yidagi   A
ij = (-1) i + j
M
ij   ifoda   a
ij   elementning   algebraik   to ’ ldiruvchisi   deyiladi .   a
11
elementning   algebraik   to ’ ldiruvchisi
,  a
12 -elementniki esa 
   va hokazo.
7. Determinantning   biror   yo’l   (ustun)   elementlarini   mos   ravishda   o’zining   algebraik
to’ldiruvchilariga   ko’paytirib   qo’shsak,   u   holda   yig’indi   determinant   qiymatiga   teng   bo’ladi.
Haqiqatdan,
Tengliklarning to’g’ri ekanligini isbotlash qiyin emas.
26 8. Determinantning   biror   yo’l   (ustun)   elementlarini   mos   ravishda   boshqa   yo’l   (ustun)
elementlarining   algebraik   to’ldiruvchilariga   ko’paytirib   qo’shsak,   u   holda   yig’indi   nolga   teng
bo’ladi. Masalan,
va hokazo. Haqiqatdan,
Yuqorida   keltirilgan   xossalar   quyida   kiritiladigan   n-tartibli   determinantlar   uchun   ham
o’rinlidir.
27 28 29 XULOSA 
Chiziqli   algebra   matematik   tahlilning   muhim   va   ajralmas   bo‘limlaridan   biri
hisoblanadi.   Ushbu   kurs     ishida   chiziqli   algebraning   asosiy   tushunchalari   va
ularning amaliy ahamiyati chuqur o‘rganildi. Asosiy e’tibor vektorlar, matritsalar,
determinantlar va chiziqli tenglamalar tizimlariga qaratildi.
Avvalo,   vektorlar   va   ular   ustida   amallar   bo‘limida   vektor   tushunchasi,
uning   asosiy   xossalari   va   ular   bilan   bog‘liq   amallar   (qo‘shish,   ayirish,   skalyar
ko‘paytma,   modul   va   burchaklar)   keng  tahlil   qilindi.   Vektorlar   fazoviy  fikrlashni
rivojlantirishda,   ayniqsa,   fizika   va   mexanika   kabi   fanlarda   muhim   rol   o‘ynaydi.
Ular   orqali  yo‘nalish,  kuch,  siljish  kabi  fizik  hodisalarni   matematik  jihatdan  aniq
ifodalash mumkin.
Keyingi   bosqichda   matritsalar   va   ularning   turlari   bilan   tanishildi.
Matritsalar   —   chiziqli   algebra   ob’yekti   sifatida   ko‘plab   matematik   jarayonlarni
soddalashtirish   va   tizimlashtirishga   xizmat   qiladi.   Ularning   turli   ko‘rinishlari   —
kvadrat, to‘g‘ri to‘rtburchak, diagonal, birlik, nol matritsalar — alohida holatlarda
ishlatiladi.
Matritsalar   ustida   bajariladigan   amallar   bo‘limida   esa   ularni   qo‘shish,
ayirish, skalyar va matritsa ko‘paytmasi, transponirlash kabi amallar ketma-ketligi
ko‘rib   chiqildi.   Bu   amallar   orqali   katta   hajmdagi   ma’lumotlarni   qayta   ishlash,
algoritmlarni yaratish imkoniyati yaratiladi.
Chiziqli   algebra   tushunchalari   orasida   determinant   muhim   o‘rin   tutadi.   U
matritsaning   asosiy   xossasini   bildiruvchi   son   bo‘lib,   determinant   yordamida
matritsaning teskari mavjudligi, chiziqli tenglamalar tizimining yechimlari soni va
mavjudligi   aniqlanadi.   Determinant   tushunchasi   va   uning   asosiy   xossalari
bo‘limida   Laplas   qoidasi,   elementlar   orqali   rivojlantirish,   satr   va   ustun
almashtirishlar, determinantga ta’sir qiluvchi transformatsiyalar muhim matematik
jihatdan izohlandi.
Kurs   ishining   asosiy   qismi   —   tizimli   chiziqli   tenglamalar ni   yechish
usullariga   bag‘ishlandi.   Ko‘p   hollarda   bu   tenglamalar   fizikaviy   va   iqtisodiy
modellar  asosida   tuziladi.  Ularni  matritsa  shaklida  ifodalab,  determinantlar  orqali
30 yechish imkoniyati mavjud. Bu usul orqali tenglama tizimlarining aniqligi, yagona
yoki ko‘p yechimga ega bo‘lishi tekshiriladi.
Xulosa   qilib   aytganda,   chiziqli   algebra   elementlari   nazariy   jihatdan   chuqur
asoslangan   va   amaliy   jihatdan   samarali   qo‘llaniladigan   matematik   vositalardir.
Ular   zamonaviy   texnika   va   texnologiyalar,   iqtisodiy   tahlil,   dasturlash,   sun’iy
intellekt, kriptografiya kabi ko‘plab sohalarda keng qo‘llaniladi.
Shu boisdan, ushbu kurs ishida yoritilgan bilimlar  nafaqat  nazariy bilimlarni
mustahkamlash,   balki   ularni   amaliy   masalalarda   qo‘llash   ko‘nikmasini
shakllantirishga   xizmat   qiladi.   Chiziqli   algebraning   asosiy   tushunchalarini
mukammal   o‘zlashtirish   talabalar   uchun   matematik   tafakkurni   rivojlantirish,
mantiqiy fikrlashni shakllantirish va kelgusidagi ilmiy izlanishlar uchun poydevor
yaratadi.
31 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI
A) NORMATIV-HUQUQIY HUJJATLAR VA METODIK NASHRLAR:
1. O‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi. “Oliy ta’lim 
muassasalarida ta’lim sifatini oshirish konsepsiyasi”. – Toshkent: O‘R 
O‘MTV, 2020.
2. O‘zbekiston Respublikasi Ta’lim to‘g‘risidagi qonuni. – Toshkent: Adolat, 
2021.
3. “Matematika fani bo‘yicha namunaviy o‘quv dasturi” – Oliy ta’lim 
muassasalari uchun metodik qo‘llanma. – Toshkent: O‘R O‘MTV, 2022.
4. O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining PF–6108-sonli Farmoni, 2020-yil 
6-noyabr: “Ilm-fan va innovatsiyalarni rivojlantirish strategiyasi”.
5. Oliy ta’lim muassasalari uchun “Oliy matematika” fanidan ishchi o‘quv 
dasturi. – Toshkent: TDPU, 2023.
B) MONOGRAFIYALAR, ILMIY MAQOLALAR VA DARSLIKLAR:
6. Muxitdinov R., Mahmudov I. “Chiziqli algebra va analitik geometriya”. – 
Toshkent: Fan va texnologiya, 2019.
7. G‘ulomov M. “Chiziqli algebra va uning amaliy masalalari”. – Samarqand: 
SamDU nashriyoti, 2020.
8. Karimov O., Jalilov A. “Matematika kursining nazariy asoslari”. – 
Toshkent: O‘qituvchi, 2018.
9. Rustamov N. “Matritsalar nazariyasi va determinantlar”. – Toshkent: Ilm 
ziyo, 2021.
10. Axmedova M. “Chiziqli tenglamalar tizimini yechishning zamonaviy 
usullari”. – Ilmiy maqola, TDPU ilmiy to‘plami, 2022.
C) GAZETA, JURNAL, XORIJIY ADABIYOTLAR VA INTERNET 
MANBALARI:
11. Anton H., Rorres C. “Elementary Linear Algebra”. – Wiley & Sons, 11th 
Edition, 2014.
12. Lay D. C. “Linear Algebra and Its Applications”. – Pearson, 5th Edition, 
2016.
32 13. https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra     – Khan Academy saytida
chiziqli algebra kurslari, 2024-yil olingan.
14. https://www.mathworld.wolfram.com     – Matematika atamalari va formulalari
uchun onlayn ensiklopediya, 2024-yil olingan.
15. “Chiziqli algebra va matritsalar bilan ishlash” – Matematika olami jurnali, 
2023-yil, №2.
33

.

Sotib olish
  • O'xshash dokumentlar

  • Axborot texnologiyalar yordamida matematikani o`qitish samaradorligi oshirish metodikasi
  • Proеktsiyalash nazariyasining ba'zi bir masalalari
  • Taqqoslamalar tushunchasi
  • Bir noma'lumli ko‘p hadli tenglamalar
  • Trigonometriya elementlaridan foydalanib geometrik masalalarni yechish

Xaridni tasdiqlang

Ha Yo'q

© Copyright 2019-2026. Created by Foreach.Soft

  • Balansdan chiqarish bo'yicha ko'rsatmalar
  • Biz bilan aloqa
  • Saytdan foydalanish yuriqnomasi
  • Fayl yuklash yuriqnomasi
  • Русский