Chiziqli algebra elementlari - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	20000UZS
Hajmi	1.5MB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	03 Mart 2026
Kengaytma	doc
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

Mohigul Xolyigitova

Ro'yxatga olish sanasi 25 Oktyabr 2024

7 Sotish

Chiziqli algebra elementlari

Sotib olish

Oliy ta'lim, fan va innovasiyalar vazirligi
Jizzax davlat pedagogika universiteti
Sirtqi bo`lim
Matematika va Informatika yo`nalishi
“Tabiiy va aniq fanlarda masofaviy ta’lim” kafedrasi
KURS ISHI
MAVZU: Chiziqli algebra elementlar i
Bajardi: Matematika va
Informatikayo`nalishi 3-kurs
S0601- 22 guruh talabasi
Kenjaboyeva Gavharoy
Kurs ishi rahbari: Xalmanov Ural
Jizzax- 2025
1

MUNDARIJA
KIRISH
1.Chiziqli algebra elementlar
2.Vektorlar va ular ustida amallar
3. Matrisa va ularning turlari
Xulosa
Foydalanilgan adabiyotlar
2

KIRISH
Kurs ishi mavzusining dolzarbligi va uning asoslanishi. Dunyoda
innovatsion rivojlanishning global vazifalaridan biri sifatida insonlarda kreativlik
qobiliyatni shakllantirish uchun ularda yangi tajribalar yaratish, noodatiy
muhitlarda echim topa bilish, faoliyatga ijodiy yondashish, oqilona
tavakkalchilikka bo‘lgan qobiliyat va tayyorgarlik, professional harakatchanlik va
doimiy barkamollik kabi harakatlardir. O‘zbekiston Respublikasi Kadrlarni
tayyorlash milliy dasturida “....O‘sib kelayotgan yangi avlod yuqori professional
madaniyatga, ijodiy va ijtimoiy faollikka, ijtimoiy−siyosiy hayotda mustaqil
faoliyat yuritishni bilishga, istiqbolli rejalarni tuzish va uni amalga oshirish
yo‘llarini bilishi kerak” 1
deb berilgan. O‘zbekiston Respublikasidagi shiddatli
o‘zgarishlar ta’lim tizimiga ham jahon miqyosida keng yo‘l ochib bermoqda,
zamonaviy innovatsion texnologiyalarning tezkor rivojlanishi va takomillashib
borishi informatsion muhitda insonni ishga bo‘lgan munosabatini kreativ
yondashuvini talab etmoqda. Zamonaviy dunyoning innovatsiyalariga moslashish,
doimiy yangilanuvchi jamiyat hayotiga yosh avlodni tayyorlash va uni zamon
talablariga muvofiq takomillashtirish jarayonlarida faol ishtirok etish qobiliyatini
rivojlantirish oliy ta’lim muassasasi pedagogini muhim kasbiy vazifasi hisoblanadi.
O‘zbekiston Respublikasini yanada rivojlantirish bo‘yicha Harakatlar
strategiyasida uzluksiz ta’lim tizimini yanada takomillashtirish, sifatli ta’lim
xizmatlari imkoniyatlarini oshirish, mehnat bozorining imkoniyatlariga mos yuqori
malakali kadrlar tayyorlash siyosatini davom ettirish, oliy ta’lim muassasalari
ta’lim sifati va samaradorligini oshirish 2
kabi yo‘nalishlar belgilanib, bu borada
oliy ta’lim muassasasi pedagoglarini kreativligini rivojlantirish katta ahamiyat kasb
etadi.
Mamlakatimizda mustaqillikning birinchi yillaridan boshlab ta’lim sohasida
eski yondashuvlardan butunlay voz kechilib, yangicha tamoyillarga, milliy
qadriyat va an’analarimizga, ilg‘or jahon tajribasiga asoslanib, hayotimizni tubdan
1
Кадрларни қайта тайёрлаш ва малакасини ошириш миллий дастури// Халқ таълими.− Тошкент, 1998.− №1−С.−41
2
Ҳаракатлар стратегияси асосида жадал тараққиёт ва янгиланиш сари рисола. -Т:.2017. Б.70-71.
3

yangilash, uzoq va davomli maqsadlarimizni amalga oshirish uchun ta’lim va
tarbiya sohasiga ustuvor ahamiyat qaratilib, bor kuch va imkoniyatlar shu yo‘lda
safarbar etilib kelinmoqda. Zero, birinchi Prezidentimiz I.A.Karimov
ta’kidlaganidek “O‘z-o‘zidan ayonki, tobora chuqurlashib borayotgan islohotlar
natijasida erishiladigan o‘ta muhim o‘zgarishlar hech qachon bir kunda,
kimningdir buyrug‘i yoki xohishi hisobidan bo‘lmaydi. Buning uchun albatta vaqt
kerak, eng asosiysi – bu islohotlarning mazmuni va maqsadlarini jamiyatimiz,
halqimiz chuqur anglab olishi va qo‘llab-quvvatlashi hal qiluvchi ahamiyatga ega.
Takror aytishga to‘g‘ri keladi – faqatgina halqimizning qo‘llab-quvvatlashi har
qanday islohotlarga kuch beradi”. Hozirgi kunda oliy ta’lim muasasalarida
o‘qitishda interfaol metodlarni qo‘llash kun tartibidagi dolzarb vazifalardan biri
hisoblanadi.
Kurs ishining ob’ekti va predmeti: “Algebra va sonlar nazariyasi” fani,
xususan “Matritsalarga doir mavzularni o‘qitishda ba’zi interfaol
texnologiyalardan foydalanish” mavzusi tadqiqot ob’ekti hisoblanadi.
Ta’lim muassasalarida “Algebra va sonlar nazariyasi fani bo‘yicha o‘quv-
uslubiy materiallarni ishlab chiqish va uning asosida interaktiv metodlar yordamida
o‘qitish jarayonlarini tashkil etish va undagi pedagogik munosabatlar tadqiqotning
predmeti hisoblanadi.
Kurs ishining maqsadi va vazifalari: Kurs ishining maqsadi “Algebra va
sonlar nazariyasi” fanini o‘qitish doirasida “Matritsalarga doir mavzularni
o‘qitishda ba’zi interfaol texnologiyalardan foydalanish” mavzusi bo‘yicha
o‘qitishning samaradorligini oshirish yuzasidan tavsiyalarni ishlab chiqish
hisoblanadi.
Kurs ishining nazariy va amaliy ahamiyati. Tadqiqot davomida ishlab
chiqilgan “Matritsalarga doir mavzularni o‘qitishda ba’zi interfaol
texnologiyalardan foydalanish” mavzusini interaktiv metodlar yordamida o‘qitish
yuzasidan ilmiy tavsiyalardan Oliy ta’lim muassasalarida “Algebra va sonlar
nazariyasi” fanini o‘qitishni samarali tashkil etishda keng foydalanish mumkin.
SHuningdek, tadqiqot jarayonida olingan nazariy va amaliy natijalarni boshqa
turdosh fanlarni o‘qitish jarayonlarini uslubiy ta’minlashda ham qo‘llash mumkin.
4

Ushbu keltirilgan ta’lim texnologiyasi, “Matritsalarga doir mavzularni
o‘qitishda ba’zi interfaol texnologiyalardan foydalanish” mavzusi mavzusi
bo‘yicha olib borilgan o‘qitish tajribalari hamda malaka oshirish Bitiruv malakaviy
larida egallagan malaka asosida yaratildi.
CHIZIQLI ALGEBRA ELEMENTLARI
5

Algebra va tekislikdagi geometriyaning integratsiyasi borasidagi buyuk
kashfiyotlardan biri frantsuz faylasufi Rene Dekart nomi bilan bog’liq. Dekartning
ta’kidlashicha tekislikdagi Yevklid geometriyasini olib (x,u) uni tartiblangan
haqiqiy sonlar juftligi bilan bog’lash 3
,
U aylana ko’rinishidagi kvadrat tenglamaning yechimi ekanligini
aniqladi. Bu yerda r>0 aylana radiusi. Analitik geometriya ikki o’lchamli fazo
tekisligi bilan paydo bo’ldi. Lekin jarayon bu yerda tugamadi va balki nuqtani
fazoni yuzaga kelishiga sabab bo’luvchi tartiblangan n ta haqiqiy sonlar to’plami
bilan mos qo’yilishiga olib keldi. 4
Evklid aksiomalarining biriga ko’ra har bir nuqtalar juftligi bir qiymatli tarzda
to’g’ri chiziqni aniqlaydi. Algebraik nuqtai nazaridan va
nuqtalarga ko’ra quyidagi tenglamalar juftligini yechish bilan
to’g’ri chiziq tenglamasining koeffitsentlarini topishimiz mumkin.

a, b va s lar orasida munosabat bajarilganda quyidagi
bog’lanishlar mavjud.
(1)
Bu yerda s nol bo’lmagan haqiqiy son. Agar lekin u
holda s=0 va shu tarzda to’g’ri chiziq
koordinatalar boshidan o’tib qiyalikga ega. Nihoyat, agar bo’lsa
bu to’g’ri chiziq gorizantal to’g’ri chiziqdir. 5
r haqiqiy son va nuqta koordinatalari ko’paytmasini
ko’rinishida aniqlaymiz, ikki nuqta koordinatalari
yig’indisini quyidagicha aniqlaymiz
3
O‘zbekiston Respublikasi Ta’lim to‘g‘risidagi qonuni. – Toshkent: Adolat, 2021
4
Mathematical Literacy for Humanists, Herbert Gintis, 73-80, mazmun – mohiyatidan
foydalanildi
5
Mathematical Literacy for Humanists, Herbert Gintis, 73-80. mazmun – mohiyatidan
foydalanildi
6

, u holda V
1 , V
2 lar bilan
aniqlangan to’g’ri chiziq nuqtalar to’plami quyidagicha aniqlanadi.
(2)
Buni ko’rsatish uchun har uchala holatni qarab chiqishimiz zarur, agar biz to’g’ri
chiziq haqiqatda V
1 , V
2 nuqtalar orasida yotishiga ishonch hosil qilsak, biz xususiy
hollarga qaytmaymiz. Faraz qilaylik bo’lsin. U holda (1) o’rinli
ekanligidan ixtiyoriy nuqtani ko’rinishida ifodalasak
siz aslida ekanligini tekshirishingiz mumkin
bu yerda a, b lar (1) da berilgan va s ni soddlashtirish bilan topamiz. Men
o’quvchiga lekin va bo’lgan holatlarni
tekshirishni qoldiraman. V
1 , V
2 nuqtalar orasidagi kesma doim
nuqtalar to’plami ko’rinishida ishodalanishi
mumkin. Haqiqatda ham nuqta V
1 , V
2 nuqtalar orasidagi
kesmani nisbatda bo’ladi. Misol uchun . -
bu to’g’ri chiziq segmentining o’rta nuqtasi.
Bu tasdiqning eng sodda isboti nuqtalardan birini eng qulay vaziyatda
joylashtiramiz. Natija nuqtaning qaerda joylashganligiga emas, balki ularning bir-
biriga nisbatan qanday joylashganligiga bog’liq bo’ladi.
Yuqorida aytilgan vaziyatda v
2 ning koordinatalar boshiga ko’chirilgan vaziyatini
olamiz, u holda bo’lib buni nolь vektor deb ataladi. Bundan
ning koordinatalar boshidan va nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq
ekanligi kelib chiqadi. SHuning uchun bu to’g’ri chiziqlar bitta va faqat bitta.
to’g’ri chiziq 0 va nuqtalar orasidagi kesmani nisbatda bo’lishini
isbotlashimiz uchun nuqta va nol vektor orasidagi masofani aniqlashimiz kerak.
Ma’lumki, va orasidagi masofa bilan
aniqlanadi. Bundan agar bo’lsa, u holda bo’ladi. Demak,
nuqta va kesmani nisbatda bo’lar ekan.
7

Ikkita har xil va nuqtalar orasidagi masofa
formula orqali topiladi.
Endi vector tushunchasini va uning hossalarini ko’rib chiqamiz.
1 - ta’rif. Agar berilgan kesmaning uchlari tartiblangan bo’lsa, u holda bunday
kesma yo’nalgan kesma deyiladi. Yo’nalgan kesmaning birinchi uchi uning boshi,
ikkinchi uchi esa oxiri deyiladi.
1 – chizma
Yo’nalgan kesmani bilan belgilaymiz (1-
chizma).
Yo’nalgan kesmaning uzunligi deb, kesma uzunligiga aytiladi va
yoki B bilan belgilanadi.
2 - ta’rif. Agar va nurlar bir xil (qarama-qarshi) yo’nalgan bo’lsa, va
yo’nalgan kesmalar bir xil ( qarama-qarshi ) yo’nalishli deyiladi.
3 - ta’rif. Uzunliklari teng yo’nalishi bir xil bo’lgan barcha yo’nalgan
kesmalar to’plamini ozod vektor yoki qisqacha vektor deb ataladi.(2-chizma) 6
Vektor ustiga " " belgi qo’yilgan kichik lotin harflari bilan yoki
qo’yiq qilib yozilgan kichik lotin harflari a, в ,c,… bilan belgilanadi.
Vektor so’zi lotincha vector – so’zidan olingan bo’lib, tashuvchi, olib
yuruvchi degan ma’noni bildiradi.
Ta’rifdan vektor, uzunliklari teng bir xil yo’nalgan
kesmalar to’plamidan iborat, ekanligi ravshan. Bu
to’plamga tegishli har bir yo’nalgan
kesma to’plamni to’liq aniqlaydi. Shuning uchun
agar bo’lsa,
a vektorni ko’rinishda yozishimiz mumkin.
6
Introduction to Calculus Volume II. pp 1 mazmun – mohiyatidan foydalanildi
82-
chizma

3-chizmaA nuqta vektorning boshi, B nuqta esa vektorning oxiri deyiladi.
Yo’nalgan kesmaning uzunligi vektor uzunligi, yoki moduli deyiladi va
| | ko’rinishida belgilanadi.
4 - ta’rif. Uzunligi birga teng bo’lgan vektor birlik vektor yoki ort deyiladi.
5 - ta’rif. Boshi bilan oxiri ustma – ust tushgan vektor nol vektor deyiladi.
Nol vector ko’rinishida yoki , yoki ko’rinishida belgilanadi. Nol
vektor yo’nalishi (aniq emas) aniqlanmagan.
6 - ta’rif. Agar , yo’nalgan kesmalar bir xil (qarama-qarshi)
yo’nalishli bo’lsa, va lar bir xil (qaram а -qarshi) yo’nalishli deb
aytiladi.
Agar va lar bir xil yo’nalishli bo’lsa ko’rinishida,
qarama – qarshi yo’nalishda bo’lsa ko’rinishda belgilaymiz.
7 - ta’rif. Agar ikkita va vektorlar bir to’g’ri chiziqda yoki parallel
to’g’ri chiziqlarda yotsa, u holda bu vektorlarni kollinear vektorlar deyiladi.
8 – ta’rif. Agar quyidagi shartlar o’rinli bo’lsa:
1) a va b
 vektorlarning modullari teng ;
2)
a va b
 vektorlarning yo’nalishlari bir xil bo’lsa, a va b
 vektorlarni
teng vektorlar deyiladi va
a = b
 ko’rinishida yoziladi.
1. Agar uchta vektor bir tekislikda yoki parallel tekisliklarda yotsa, u holda
bunday vektorlarni komplanar vektorlar deyiladi.
3- chizmada parallel
to’g’ri chiziqlarda va
ABCD kvadrat tomonlarida
yotuvchi vektorlar
ko’rsatilgan: 1) bularning qaysi
juftlari bir xil yo’nalishga va qaysi juftlari qarama-qarshi yo’nalishga ega, 2)
qaysi juftlari kollinear bo’ladi, 3) qaysi juftlari teng, qaysi juftlari teng emas.

Vektorlar va ular ustida amallar
9

Tekislikda EF a va A nuqta berilgan bo’lsin. A nuqtadan EF to’g’ri chiziqqa
parallel d to’g’ri chiziq o’tkazamiz. (4-chizma)
A nuqtadan ko’rsatilgan yo’nalishda
a

vektor uzunligini o’lchab qo’yib
B nuqtani topamiz.
a AB EF   
. Shunday
qilib
a ni A nuqtadan qo’ydik, ya’ni
ko’chirdik.
9-Ta’rif. Ikkita
a va b

vektorlarning yig’indisi deb, ixtiyoriy A nuqtadan a
vektorni qo’yib, uning oxiri B nuqtaga
b
 vektorni qo’yganda boshi a vektorning
boshi A nuqtada oxiri
b
 vektorning oxiri C nuqtada bo’lgan
AC vektorga aytiladi.

a va b
 vektorlar ning yig’indisi kabi belgilanadi. (5- chizma)
Vektorlarni qo’shish ta’rifidan istalgan uchta A , B va C nuqtalar uchun
AC BC AB  
tenglik o’rinli bo’ladi. Bu tenglikni vektorlarni qo’shishning uchburchak qoidasi
deyiladi.
10 -
Ta ’ rif .
a , b

vektorlarning ayirmasi deb , shunday vektorga aytiladiki , ular uchun
a x b   
 
tenglik o ’ rinli bo ’ ladi . U holda
b a x
     .(6- chizma )
Ikkita vektorning ayirmasi hamma vaqt mavjud va bir qiymatli aniqlanishini
isbotlash mumkin .
11 - Ta ’ rif .
0
 a vektorning R   songa ko ’ paytmasi deb quyidagi shartlarni
qanoatlantiruvchi ga aytiladi va =
a  ko ’ rinishda yoziladi .
1) ;
2)
p vektor a ga kollinear .
3) Agar
 >0 bo ’ lsa p va a vektorlar bir xil yo ’ nalgan , agar  <0 bo ’ lsa , p va
a
vektorlar qarama - qarshi yo ’ nalgan bo ’ ladi .
104-chizma
5-chizma 6-chizma

1.1- teorema . Vektorlarni qo ’ shish va songa ko ’ paytirish quyidagi xossalarga
ega .
1°. Agar va vektorlar to ' plamiga tegishli bo ’ lsa u holda ularning
eg ’ indisi ham shu to ’ plamga tegishli ( yopiqlik )
2°. ( qo ’ shishga nisbatan assotsiativ )
3°. Ixtiyoriy vector uchun shunday vector mavjudki ular uchun :
munosabat o ’ rinli hamda vector qo ’ shishga nisbatan neytral element .
4°. Har bir vector uchun shunday vector mavjudki ular uchun:
(bunda ni ga qarama-qarshi vektor deyiladi va ).
5°. (qo’shishga nisbatan kommutativ)
6°. Ixtiyoriy
haqiqiy son va ixtiyoriy , vectorlar uchun:
7
1°.Itiyoriy ikki haqiqiy  , son va ixtiyoriy a
vector uchun:
a a a           ) (
2°. Ixtiyoriy ikki haqiqiy
 , son va ixtiyoriy a vector uchun:
3°. Ixtiyoriy
a vector uchun:
7
Introduction to Calculus Volume II. pp 3-4 mazmun – mohiyatidan foydalanildi
11
8- chizma
chizma
7- chizma

Isbot. 1, 2 xossalarning isbotini 7, 8 chizmalardan ko’rish mumkin.
3 0
va 8 0
xossalar ravshan. 4 0
ga qaraylik. Agar MN a bo’lsa, - a sifatida
ni olish mumkin. Vektorlarni qo’shish ta’rifiga asosan
a
+( - a )=
MN + NM = MM = 0

5 0
, 6 0
, 7 0
xossalarni talabalar mustaqil ish sifatida o’rganadi.
Vektorlarning chiziqli bog’liqligi.
Ta’rif. Ixtiyoriy vektorlar sistemasi va haqiqiy
sonlar berilgan bo’lsin.

vektorni berilgan vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi deyiladi. Bunda
vektor vektorlar sistemasi orqali chiziqli ifodalangan deyiladi,
sonlar chiziqli kombinatsiya koeffitsentlari deyiladi.
12-ta’rif. Ixtiyoriy va vektorlarning, haqiqiy sonlar bilan berilgan
chiziqli kombinatsiyasi
(3.3)
koeffitsentlarning kamida bittasi noldan farqli bo’lganda (3.3) bajarilsa , u holda
va vektorlar sistemasi chiziqli bog’liq deyiladi.
Agar (3.3) tenglik sonlarning hammasi nolga teng bo’lgandagina o’rinli
bo’lsa, va vektorlar sistemasi chiziqli erkli deyiladi. 8

1.2-teorema. Agar (3.1) vektorlar sistemasining biror vektori nol vektor
bo’lsa, u holda bu vektorlar sistemasi chiziqli bog’liq bo’ladi.
Isbot. Faraz qilaylik
0
  ka bo’lsin, u holda ,
sonlar uchun munosabat o’rinli bo’ladi. Demak, ta’rifga
asosan (3.1) vektorlar sistemasi chiziqli bog’liq.
8
Introduction to Calculus Volume II. pp 3-4. mazmun – mohiyatidan foydalanildi
12

Quyidagi teoremalarni talabalar o’zlari isbotlasin.
1.2-teorema. Agar (3.1) vektorlar sistemasi chiziqli bog’liq bo’lsa,
sistemaning kamida bitta vektori uning qolgan vektorlari orqali chiziqli
ifodalanadi.
1.3-teorema. Ikkita vektor chiziqli bog’liq bo’lishi uchun ularning kollinear
bo’lishi zarur va etarli.
1.4-teorema. Uchta vektor chiziqli bog’liq bo’lishi uchun ularning komplanar
bo’lishi zarur va etarli.
Matritsa va ularning turlari.
1. m ta satr va n ta ustundan iborat
A = =(a
ij ) (i= , j= )
ko’rinishdagi jadval (m x n)-o’lchovli to’g’ri burchakli matritsa yoki
13

(m x n)-matritsa deyiladi 9
.
m=n bo’lsa, A matritsani n-tartibli kvadrat matritsa deymiz.Kvadrat matritsa
uchun dioganal, skalyar, birlik matritsatushunchalari mavjud.
, , E=
A matritsadasatrlari mos ustunlar biri almashtirishdan hosil bo’lgan A T
matritsa A ga 1
Mos elementlari teng bo’lgan bir xil o’lchamli matritsalar teng matritsalar
deyiladi. Bir xil o’lchamli matritsalarni qo’shish (ayirish) mumkin.Buning uchun
ularning mos elementlarini qo’shish (ayirish) kerak. Istalgan matritsani songa
ko’paytirish mumkin.buning uchun uning barcha elementlarini shu songa
ko’paytirishimiz kerak. Agar A matritsaning astrlar soni b matritsaning ustunlar
soniga teng bo’lsa, A ni B ga ko’paytirish mumkin: (m x k)-o’lchamli A=(a
ij )
matritsani (k x n)-o’lchamli B=(b
ij ) matritsaga ko’paytirishdan (m x n) o’lchovli
C=(c
ij )=A x B matritsa hosil bo’ladi.Ko’paytirish ”satrni ustunga” qoidasi
bo’yicha quyidagicha bajariladi.
C=(c
ij ) matritsaning c
ij elementi A ning i-satr elementlarini B ning j-ustuni
mos elementlariga ko’paytirib qo’shishdan hosil bo’ladi.
C
ij =a
i1 b
1j +a
i2 b
2j +…+a
ik b
kj (i= , j= )
Matritsalarni ko’paytirish amali uchun o’rin almashtirish (kommutativlik)
qonuni o’rinli emas: A x B # B x A
2. m а yd о n v а m а yd о n ustid а m а trits а l а r to’pl а mi
b е rilg а n bo’lsin.
Tа’rif. Shundаy Х vа А n-tаrtibli kvаdrаt mаtritsаlаr bеrilgаn bo’lib, ulаr
uchun XA = AX = E (Е – n-tаrtibli birlik mаtritsа) shаrt bаjаrilsа, u hоldа Х
mаtritsаgа А mаtritsаgа tеskаri mаtritsа dеyilаdi vа А -1
ko’rinishdа bеlgilаnаdi.
Tеskаri mаtritsаgа egа mаtritsа tеskаrilаnuvchi mаtritsа dеyilаdi.
Tеskаri mаtritsаni tоpishning umumiy yo’lini ko’rib chiqаmiz.
9
Muxitdinov R., Mahmudov I. “Chiziqli algebra va analitik geometriya”. – Toshkent: Fan va texnologiya,
2019
14

Tа’rifgа ko’rа : AX = E  , i=(1,n), j=(1,n), bu yеrdа
i  j bo’lsа, e
ij = 0 vа i = j bo’lsа, e
ij = 1 bo’lаdi.
Nаtijаdа quyidаgi tеnglаmаlаr sistеmаsi hоsil bo’lаdi:
,
CHTSni yеchib Х mаtritsаni tоpаmiz.
Misоl. А = mаtritsа bеrilgаn bo’lsа, А -1
ni tоping.
Yechish. AX = E, ya’ni tеnglikdаn CHTSni tuzаmiz vа uni yеchаmiz:

Dеmаk, А -1
= .
Tеоrеmа. Аgаr bеrilgаn kvаdrаt mаtritsа tеskаrilаnuvchi bo’lsа, u hоldа ungа
tеskаri mаtritsа yagоnаdir.
F mаydоn ustidа оlingаn tеskаrilаnuvchi n-tаrtibli kvаdrаt mаtritsаlаr
to’plаmini ko’rinishdа bеlgilаymiz.
Tеоrеmа. аlgеbrа gruppа bo’lаdi.
Hаqiqаtdаn hаm, to’plаm elеmеntlаri kvаdrаt mаtritsаlаr
bo’lgаnligi sаbаbli hаr qаndаy ikkitа kvаdrаt mаtritsаni ko’pаytirish nаtijаsidа
yanа shu tаrtibli kvаdrаt mаtritsа hоsil bo’lаdi. Dеmаk, to’plаmdа
ko’pаytirish аmаli аniqlаngаn. Ko’pаytirish аmаli аssоtsiаtiv, ya’ni
.
Ko’pаytirish аmаligа nisbаtаn birlik elеmеnt vаzifаsini n-tаrtibli birlik
mаtritsа o’tаydi vа nihоyat, to’plаm tеskаrilаnuvchi mаtritsаlаr to’plаmi
bo’lgаnligi sаbаbli, uning hаr bir noldan farqli kvаdrаt mаtritsаsigа tеskаri mаtritsа
shu to’plаmdа mаvjud.
Dеmаk, аlgеbrа multiplikаtiv gruppа tаshkil etаdi.
Tеоrеmа. Hаr qаndаy sоndаgi tеskаrilаnuvchi mаtritsаlаr ko’pаytmаsi, yanа
tеskаrilаnuvchi mаtritsа bo’lаdi.
Tеоrеmа. Tеskаri mаtritsаlаr quyidаgi хоssаlаrgа egа:
15

1) (A -1
) -1
= A;
2) (AB) -1
= B -1
A -1

3) (A T
) -1
= (A -1
) T
.
T а ’rif. Birlik m а trits а d а n quyid а gi el е m е nt а r а lm а shtirishl а rning biri
yord а mid а h о sil qiling а n m а trits а g а el е m е nt а r m а trits а d е yil а di:
1) birlik m а trits а s а tri (ustuni)ni n о ld а n f а rqli sk а l а rg а ko’p а ytirish.
2) birlik m а trits а bir о r bir s а tri (ustuni) g а n о ld а n f а rqli sk а lyarg а
ko’p а ytirilg а n s а tr (ustun)ni qo’shish yoki а yirish.
Е birlik m а trits а d а b а j а rilg а n s а tr el е m е nt а r а lm а shtirish 1) yoki 2)
ko’rinishd а gi el е m е nt а r а lm а shtirish bo’ls а , u h о ld а h о sil bo’lg а n el е m е nt а r
m а trits а ni ko’rinishd а b е lgil а ymiz.
Mis о l. Quyid а gi m а trits а l а r ikkinchi t а rtibli el е m е nt а r m а trits а l а r:
, , , , . Bu y е rd а -n о ld а n f а rqli
i х tiyoriy sk а lyar.
T ео r е m а . H а r q а nd а y el е m е nt а r m а trits а t е sk а ril а nuvchi. El е m е nt а r
m а trits а g а t е sk а ri m а trits а , el е m е nt а r.
T ео r е m а . El е m е nt а r m а trits а l а r ko’p а ytm а si el е m е nt а r.
T ео r е m а . А g а r B m а trits а А m а trits а ni el е m е nt а r
а lm а shtirishl а r yord а mid а h о sil qiling а n bo’ls а , u h о ld а
3. to’rtta sondan tuzilgan

A=
Jadval ikkinchi tartibli kvadrat matritsa , a
1 b
2 – a
2 b
1 son esa bu matritsaning
diterminanti yoki ikkinchi tartibli determinant deyiladi. U quyidagicha belgilanadi
det A= = = a
1 b
2 – a
2 b
1 (1)
Diterminantning xossalari:
1. Satrlarni mos ustunlar bilan almashtirilsa, diterminantning qiymati
o’zgarmaydi.
16

2. Ikkita satr (ustun) lari o’zaro almashtirilsa, diterminantning faqat
ishorasi o’zgaradi.
3. Biror satr(ustun) elementlarining umumiy ko’paytuvchisini
determinant belgisi tashqarisiga chiqarish mumkin.
4. Diterminantning biror satr (ustun) elementlarini noldan farqli songa
ko’paytirib, boshqa biror satr (ustun)ning mos elementlariga qo’shilsa
diterminantning qiymati o’zgarmaydi.
5. Quyidagi hollarda determinant nolga teng:
- biror satri (ustuni ) nollardan iborat bo’lsa;
- ikkita satri (ustini) bir xil bo’lsa;
- ikkita satri (ustuni) elementlari proparsional bo’lsa.
Bu xossalar istalgan tartibli determinant uchun ham o’rinlidir.
Ushbu
A=
ko’rinishdagi jadval uchinchi tartibli kvadrat matritsa a
1 b
2 c
3 + a
2 b
3 c
1 + a
3
b
1 c
2 – a
3 b
2 c
1 - a
1 b
3 c
2 - a
2 b
1 c
3 son bu matritsaning diterminanti yoki uchinchi
tartibli determinant deyiladi. U quyidagicha belgilanadi:
det A= = = a
1 b
2 c
3 + a
2 b
3 c
1 + a
3 b
1 c
2 – a
3 b
2 c
1 - a
1
b
3 c
2 -
- a
2 b
1 c
3 .
4. m а yd о n v а m а yd о n ustid а m а trits а l а r
to’pl а mi b е rilg а n bo’lsin.
Tа’rif. mаtritsаning mаtritsаоsti dеb, uning
qаndаydir sаtr vа ustunlаrini o’chirishdаn hоsil bo’lgаn mаtritsаgа аytilаdi.
17

Tа’rif. k tа sаtr vа k tа ustundаn ibоrаt mаtritsаоsti k-tаrtibli mаtritsаоsti
dеyilаdi.
Misоl. mаtritsаning 3-tаrtibli qismmаtritsаsini
hоsil qilish uchun ixtiyoriy bittа ustunini o’chirish mumkin, mаsаlаn
.
Tа’rif. k-tаrtibli mаtritsаоsti dеtеrminаnti А mаtritsаning k-tаrtibli minоri
dеyilаdi.
Mаtritsаning hаr bir elеmеnti 1-tаrtibli minоr bo’lаdi.
Tа’rif. Kvаdrаt mаtritsаning - qаtоri -ustunini o’chirishdаn hоsil bo’lgаn
mаtritsаоsti dеtеrminаnti elеmеntning minоri dеyilаdi vа ko’rinishdа
bеlgilаnаdi.
Tа’rif. ko’pаytmаgа elеmеntning аlgеbrаik to’ldiruvchisi
dеyilаdi.
Tеоrеmа. А= k vаdrаt mаtritsаning n-sаtr (ustun) elеmеnti
dаn bоshqа hаmmаsi nоlgа tеng bo’lsа, u hоldа bo’lаdi.
Tеоrеmа. А= k vаdrаt mаtritsаning qаndаydir sаtr (ustun)
elеmеntlаridаn bittаsidаn bоshqа hаmmаsi nоlgа tеng bo’lsа, u hоldа bеrilgаn
mаtritsа dеtеrminаnti shu elеmеntni uning аlgеbrаik to’ldiruvchisi bilаn
ko’pаytmаsigа tеng.
18

Tеоrеmа (Lаplаs tеоrеmаsi). А= k vаdrаt mаtritsаning
dеtеrminаnti birоr-bir sаtr (ustun) elеmеntlаri bilаn ulаrning аlgеbrаik
to’ldiruvchilаri ko’pаytmаlаrining yig’indisigа, ya’ni
gа tеng.
Isbоt . А= mаtritsаning j-ustunini n tа ustunlаr yig’indisi
ko’rinishidа ifоdаlаymiz:
.
U hоldа kvаdrаt mаtritsа dеtеrminаnti хоssаlаrigа (16.9-tеоrеmа) ko’rа
ifоdаgа egа bo’lаmiz. 17.2-tеоrеmаgа ko’rа
(1) .
(2) ekаnligi yuqоridаgi kаbi isbоtlаnаdi.
(1) fоrmulаgа dеtеrminаntni j –ustun bo’yichа, 2-fоrmulаgа i -sаtr bo’yichа
yoyilmаsi dеyilаdi.
19

Mis о l. А = m а trits а d е t е rmin а ntini his о bl а ng.
Yechish.
-5 + 18 + 6 = 19.
20

Determinant tushunchasi. Determinantlarning xossalari.
Ikkinchi tartibli determinant tushunchasiga 2 ta noma’lumli 2 ta chiziqli tenglama
sistemasini yechish orqali kelamiz 10
. Aytaylik, ushbu
(1)
chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin, bunda noma’lumlar oldidagi koeffitsientlardan
kamida bittasi noldan farqli. (1) sistemaning tenglamalaridan birinchisining har ikkala qismini
ga, ikkinchisini ga ko’paytirib, ularni hadma-had qo’shib quyidagini topamiz:
SHundan keyin 1 chi tenglamaning har ikkala qismini ga, 2 chi tenglamaning har
ikkala qismini esa ga ko’paytirib va hadma-had qo’shib,
ni topamiz. Agar bo’lsa, (1) sistemaning yechimlari mavjud bo’lib, bu yechim
quyidagicha topiladi:
; (2)
(1) sistemaning x va o’zgaruvchilari oldidagi koeffitsientlaridan
ushbu (3) jadvalini tuzamiz.
Odatda bunday jadval matritsa deb ataladi. ifoda (son) (3) matritsaning
determinanti deyiladi va u quyidagicha belgilanadi:
yoki (4)
10
Muxitdinov R., Mahmudov I. “Chiziqli algebra va analitik geometriya”. – Toshkent: Fan va texnologiya,
2019
21

sonlar (4) determinantning elementlari deyiladi. bu determinantning 2 satri
va 2 ta ustuni bor.
va elementlar bosh diagonalь elementlari, va elementlar yordamchi
diagonalь elementlar deyiladi. 2-tartibli determinantni hisoblash uchun bosh diagonalda turgan
elementlar ko’paytmasidan yordamchi diagonalda turgan elementlar ko’paytmasini ayirish kerak,
ya’ni
Misol . Quyidagi determinantlarni hisoblang:
1)
2)
2. (1) tenglamalar sistemasini analitik usulda tekshiramiz. (1) sistema yechimga ega deb
faraz qilamiz.
; ;
Ushbu ; ; belgilashlarni kiritamiz, natijada (2)
munosabatlar ushbu ko’rinishni oladi:
; ; (5)
bu yerda (1) sistemaning determinanti deyiladi. (1) sistema yechimga ega bo’lishi uchun
uning determinanti noldan farqli bo’lishi zarur:
bo’lganda (1) ning yagona yechimi quyidagicha topiladi:
,
Bu formulalar Kramer formulalari deyiladi.
Misol . Ushbu tenglamalar sistemasining barcha yechimlarini toping:
Echish . Sistemaning determinantlarini tuzamiz:
22

bo’lgani uchun, sistema yagona yechimga ega. Kramer formulalariga ko’ra:
;
III tartibli determinantlar.
Ushbu,
tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin. Bu sistema koeffitsientlaridan tuzilgan III tartibli kvadrat
matritsa berilgan bo’lsin:
(6)
(6) matritsaning III tartibli determinanti deb
(7)
songa aytiladi. Bu determinant bunday belgilanadi:
(7) dagi har qaysi ko’paytma determinantning hadlari deyiladi. Quyidagi sxemalar bo’yicha
(7) ga kiruvchi munosabat va manfiy hadlarni aniqlash oson:
Qulaylik uchun determinantning elementlarini ikkita indeksli bitta harf bilan belgilash
qabul qilingan bo’lib, bu indekslar, element turgan satr va ustunlarining nomerlarini: 1 chi indeks
har doim satr nomerini, 2 chi indeks esa ustun nomerini ko’rsatadi:
23

Ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlar. Quyidagi a
11 , a
12 , a
21 , a
22 haqiqiy
sonlardan tuzilgan
kvadrat jadvalga 2-tartibli kvadrat matritsa deyiladi, bu yerda a
ij -uning elementlari, a
11 , a
12 va a
21 ,
a
22 lar uning satr elementlari, a
11 , a
21 va a
12 , a
22 ustun elementlari deb ataladi. a
ij ning birinchi
indeksi i satr raqami, j ustun raqamini bildiradi. Misol uchun, a
21 2-satr va 1-ustunda joylashgan.
Bu matritsaning determinanti deb, quyidagi songa aytamiz:
(1)
Xuddi shunday,
kvadrat jadvalni 3-tartibli kvadrat matritsa deb atasak, uning determinanti deb quyidagi sonni
aytamiz:
(2)
(1) va (2) determinantlar mos ravishda 2-tartibli va 3-tartibli determinantlar deb ham
ataladi.
(2) determinantni hisoblash uchun «uchburchaklar usuli» deb ataluvchi quyidagi
diagrammadan foydalanish mumkin:
Har bir diagrammada tutashtirilgan elementlar o’zaro ko’paytirilib, keyin natijalar
qo’shiladi,
a) diagrammadagi yig’indi «+» ishorasi bilan,
b) diagrammadagi yig’indi esa «-» ishora bilan olinib, ikkala natija o’zaro qo’shiladi.
3-tartibli determinantlarni hisoblash uchun «Sarryus usuli» deb ataluvchi quyidagi diagramma
ham mavjud:
24

2-rasm.
bu y erda tutashtirilgan elementlar o’zaro ko’paytirilib, asosiy diagonalga parallel
tutashtirilganlari alohida qo’shilib «+» ishora bilan, yon diagonalga parallel tutashtirilganlari
alohida qo’shilib «-» ishora bilan olinib, natijalar qo’shiladi.
1. Agar determinantning barcha satr elementlarini ustun elementlariga yoki aksincha
almashtirilsa, uning qiymati o’zgarmaydi:
.
2. Agar determinantning ikki yonma-yon turgan satr (ustun) elementlarini o’rnini mos
ravishda almashtirsak, determinant qiymati qarama-qarshi ishoraga o’zgaradi:
3. Agar determinantning biror satri (ustun) elementlari umumiy ko’paytuvchiga ega bo’lsa,
u holda bu ko’paytuvchini determinant tashqarisiga chiqarish mumkin:
4. Agar determinantning biror satr (ustun) elementlari mos ravishda boshqa yo’l (ustun)
elementlariga proportsional bo’lsa, u holda determinant qiymati nolga teng bo’ladi:
Xususan, agar  =0 bo’lsa, determinant qiymati nolga tengdir.
5. Agar determinantning yo’l (ustun) elementlari ikki ifodaning yig’indisi ko’rinishida
bo’lsa, u holda determinant ikki determinant yig’indisi ko’rinishida yozilishi mumkin:
6. Agar determinantning yo’l (ustun) elementlarini biror
 0 songa ko’paytirib, mos
ravishda boshqa yo’l (ustun) elementlariga qo’shsak, determinant qiymati o’zgarmaydi:
25

Yuqorida keltirilgan xossalar determinant uchinchi va undan yuqori tartibli bo’lganda ham
o’rinlidir.
К eyingi xossalarni kiritish uchun uchinchi tartibli  determinantdan foydalanamiz,
Berilgan uchinchi tartibli determinantning i- yo’li va j- ustunini o’chirishda hosil bo’lgan
ikkinchi tartibli determinant a
ij elementning minori deyiladi va M
ij -deb belgilanadi.
Masalan, a
11 elementning minori
.
Xuddi shuningdek, a
12 -niki
ga teng va hokazo .
Qo ’ yidagi A
ij = (-1) i + j
M
ij ifoda a
ij elementning algebraik to ’ ldiruvchisi deyiladi . a
11
elementning algebraik to ’ ldiruvchisi
, a
12 -elementniki esa
va hokazo.
7. Determinantning biror yo’l (ustun) elementlarini mos ravishda o’zining algebraik
to’ldiruvchilariga ko’paytirib qo’shsak, u holda yig’indi determinant qiymatiga teng bo’ladi.
Haqiqatdan,
Tengliklarning to’g’ri ekanligini isbotlash qiyin emas.
26

8. Determinantning biror yo’l (ustun) elementlarini mos ravishda boshqa yo’l (ustun)
elementlarining algebraik to’ldiruvchilariga ko’paytirib qo’shsak, u holda yig’indi nolga teng
bo’ladi. Masalan,
va hokazo. Haqiqatdan,
Yuqorida keltirilgan xossalar quyida kiritiladigan n-tartibli determinantlar uchun ham
o’rinlidir.
27

XULOSA
Chiziqli algebra matematik tahlilning muhim va ajralmas bo‘limlaridan biri
hisoblanadi. Ushbu kurs ishida chiziqli algebraning asosiy tushunchalari va
ularning amaliy ahamiyati chuqur o‘rganildi. Asosiy e’tibor vektorlar, matritsalar,
determinantlar va chiziqli tenglamalar tizimlariga qaratildi.
Avvalo, vektorlar va ular ustida amallar bo‘limida vektor tushunchasi,
uning asosiy xossalari va ular bilan bog‘liq amallar (qo‘shish, ayirish, skalyar
ko‘paytma, modul va burchaklar) keng tahlil qilindi. Vektorlar fazoviy fikrlashni
rivojlantirishda, ayniqsa, fizika va mexanika kabi fanlarda muhim rol o‘ynaydi.
Ular orqali yo‘nalish, kuch, siljish kabi fizik hodisalarni matematik jihatdan aniq
ifodalash mumkin.
Keyingi bosqichda matritsalar va ularning turlari bilan tanishildi.
Matritsalar — chiziqli algebra ob’yekti sifatida ko‘plab matematik jarayonlarni
soddalashtirish va tizimlashtirishga xizmat qiladi. Ularning turli ko‘rinishlari —
kvadrat, to‘g‘ri to‘rtburchak, diagonal, birlik, nol matritsalar — alohida holatlarda
ishlatiladi.
Matritsalar ustida bajariladigan amallar bo‘limida esa ularni qo‘shish,
ayirish, skalyar va matritsa ko‘paytmasi, transponirlash kabi amallar ketma-ketligi
ko‘rib chiqildi. Bu amallar orqali katta hajmdagi ma’lumotlarni qayta ishlash,
algoritmlarni yaratish imkoniyati yaratiladi.
Chiziqli algebra tushunchalari orasida determinant muhim o‘rin tutadi. U
matritsaning asosiy xossasini bildiruvchi son bo‘lib, determinant yordamida
matritsaning teskari mavjudligi, chiziqli tenglamalar tizimining yechimlari soni va
mavjudligi aniqlanadi. Determinant tushunchasi va uning asosiy xossalari
bo‘limida Laplas qoidasi, elementlar orqali rivojlantirish, satr va ustun
almashtirishlar, determinantga ta’sir qiluvchi transformatsiyalar muhim matematik
jihatdan izohlandi.
Kurs ishining asosiy qismi — tizimli chiziqli tenglamalar ni yechish
usullariga bag‘ishlandi. Ko‘p hollarda bu tenglamalar fizikaviy va iqtisodiy
modellar asosida tuziladi. Ularni matritsa shaklida ifodalab, determinantlar orqali
30

yechish imkoniyati mavjud. Bu usul orqali tenglama tizimlarining aniqligi, yagona
yoki ko‘p yechimga ega bo‘lishi tekshiriladi.
Xulosa qilib aytganda, chiziqli algebra elementlari nazariy jihatdan chuqur
asoslangan va amaliy jihatdan samarali qo‘llaniladigan matematik vositalardir.
Ular zamonaviy texnika va texnologiyalar, iqtisodiy tahlil, dasturlash, sun’iy
intellekt, kriptografiya kabi ko‘plab sohalarda keng qo‘llaniladi.
Shu boisdan, ushbu kurs ishida yoritilgan bilimlar nafaqat nazariy bilimlarni
mustahkamlash, balki ularni amaliy masalalarda qo‘llash ko‘nikmasini
shakllantirishga xizmat qiladi. Chiziqli algebraning asosiy tushunchalarini
mukammal o‘zlashtirish talabalar uchun matematik tafakkurni rivojlantirish,
mantiqiy fikrlashni shakllantirish va kelgusidagi ilmiy izlanishlar uchun poydevor
yaratadi.
31

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI
A) NORMATIV-HUQUQIY HUJJATLAR VA METODIK NASHRLAR:
1. O‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi. “Oliy ta’lim
muassasalarida ta’lim sifatini oshirish konsepsiyasi”. – Toshkent: O‘R
O‘MTV, 2020.
2. O‘zbekiston Respublikasi Ta’lim to‘g‘risidagi qonuni. – Toshkent: Adolat,
2021.
3. “Matematika fani bo‘yicha namunaviy o‘quv dasturi” – Oliy ta’lim
muassasalari uchun metodik qo‘llanma. – Toshkent: O‘R O‘MTV, 2022.
4. O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining PF–6108-sonli Farmoni, 2020-yil
6-noyabr: “Ilm-fan va innovatsiyalarni rivojlantirish strategiyasi”.
5. Oliy ta’lim muassasalari uchun “Oliy matematika” fanidan ishchi o‘quv
dasturi. – Toshkent: TDPU, 2023.
B) MONOGRAFIYALAR, ILMIY MAQOLALAR VA DARSLIKLAR:
6. Muxitdinov R., Mahmudov I. “Chiziqli algebra va analitik geometriya”. –
Toshkent: Fan va texnologiya, 2019.
7. G‘ulomov M. “Chiziqli algebra va uning amaliy masalalari”. – Samarqand:
SamDU nashriyoti, 2020.
8. Karimov O., Jalilov A. “Matematika kursining nazariy asoslari”. –
Toshkent: O‘qituvchi, 2018.
9. Rustamov N. “Matritsalar nazariyasi va determinantlar”. – Toshkent: Ilm
ziyo, 2021.
10. Axmedova M. “Chiziqli tenglamalar tizimini yechishning zamonaviy
usullari”. – Ilmiy maqola, TDPU ilmiy to‘plami, 2022.
C) GAZETA, JURNAL, XORIJIY ADABIYOTLAR VA INTERNET
MANBALARI:
11. Anton H., Rorres C. “Elementary Linear Algebra”. – Wiley & Sons, 11th
Edition, 2014.
12. Lay D. C. “Linear Algebra and Its Applications”. – Pearson, 5th Edition,
2016.
32

13. https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra – Khan Academy saytida
chiziqli algebra kurslari, 2024-yil olingan.
14. https://www.mathworld.wolfram.com – Matematika atamalari va formulalari
uchun onlayn ensiklopediya, 2024-yil olingan.
15. “Chiziqli algebra va matritsalar bilan ishlash” – Matematika olami jurnali,
2023-yil, №2.
33

.

Sotib olish