Taqqoslamalar tushunchasi - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	25000UZS
Hajmi	987.0KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	03 Mart 2026
Kengaytma	doc
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

Mohigul Xolyigitova

Ro'yxatga olish sanasi 25 Oktyabr 2024

7 Sotish

Taqqoslamalar tushunchasi

Sotib olish

Oliy ta'lim, fan va innovasiyalar vazirligi
Jizzax davlat pedagogika universiteti
Sirtqi bo`lim
Matematika va Informatika yo`nalishi
“Tabiiy va aniq fanlarda masofaviy ta’lim” kafedrasi
KURS ISHI
MAVZU: TAQQOSLAMALAR TUSHUNCHASI
Bajardi: Matematika va
Informatikayo`nalishi 3-kurs
S0603- 22 guruh talabasi
Esanov Javohir
Kurs ishi rahbari: Gadayev Doniyor
Jizzax- 2025
1

MAVZU: TAQQOSLAMALAR TUSHUNCHASI
REJA
KIRISH..............................................................................................................3
1.Taqqoslama ta’rifi va asosiy xossalari.........................................................6
2.Modul bo’yicha taqqoslama.Taqqoslamaning xossalari..........................16
3.Ko’p noma’lumli ko’phadlarni yechish………………………………..19
4.Birinchi darajali bir noma’lumli taqqoslamalarni yechish usullari….23
XULOSA............................................................................................26
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR.......................................................29
2

KI RISH
“Yoshlarimizning mustaqil fikrlaydigan, yuksak intellektual va ma`naviy salohiyatga ega
bo`lib, dunyo miqyosida o`z tengdoshlariga hech qaysi sohada bo`sh kelmaydigan insonlar
bo`lib kamol topishi, baxtli bo`lishi uchun davlatimiz va jamiyatimizning bor kuch va
imkoniyatlarini safarbar etamiz”
Sh.M.Mirziyoyev.
O`zbekiston Respublikasi Prezidenti
O‘zbekiston Respublikasi oliy ta'lim tizimini 2030 yilgacha
rivojlantirish konsepsiyasi tasdiqlandi va unda quyidagilar nazarda
tutiladi:oliy ta'lim sohasida davlat-xususiy sheriklikni rivojlantirish,
hududlarda davlat va nodavlat oliy ta'lim muassasalari faoliyatini tashkil
etish asosida oliy ta'lim bilan qamrov darajasini 50 foizdan oshirish,
sohada sog‘lom raqobat muhitini yaratish;O‘zbekiston Milliy
universiteti va Samarqand davlat universitetini mamlakatimiz oliy ta'lim
muassasalarining flagmaniga aylantirish;respublikadagi kamida 10 ta
oliy ta'lim muassasasini xalqaro e'tirof etilgan tashkilotlar (Quacquarelli
Symonds World University Rankings, Times Higher Education yoki
Academic Ranking of World Universities) reytingining birinchi 1 000 ta
o‘rindagi oliy ta'lim muassasalari ro‘yxatiga, shu jumladan, O‘zbekiston
Milliy universiteti va Samarqand davlat universitetini birinchi 500 ta
o‘rindagi oliy ta'lim muassasalari ro‘yxatiga kiritish;oliy ta'lim
muassasalarida o‘quv jarayonini bosqichma-bosqich kredit-modul
tizimiga o‘tkazish;alqaro tajribalardan kelib chiqib, oliy ta'limning ilg‘or
standartlarini joriy etish, jumladan, o‘quv dasturlarida nazariy bilim
olishga yo‘naltirilgan ta'limdan amaliy ko‘nikmalarni shakllantirishga
yo‘naltirilgan ta'lim tizimiga bosqichma-bosqich o‘tish;oliy ta'lim
3

mazmunini sifat jihatidan yangi bosqichga ko‘tarish, ijtimoiy soha va
iqtisodiyot tarmoqlarining barqaror rivojlanishiga munosib hissa
qo‘shadigan, mehnat bozorida o‘z o‘rnini topa oladigan yuqori malakali
kadrlar tayyorlash tizimini yo‘lga qo‘yish;oliy ta'lim muassasalarining
akademik mustaqilligini ta'minlash;oliy ta'lim muassasalarida ta'lim,
fan, innovatsiya va ilmiy-tadqiqotlar natijalarini tijoratlashtirish
faoliyatining uzviy bog‘liqligini nazarda tutuvchi “Universitet 3.0”
konsepsiyasini bosqichma-bosqich joriy etish;xorijiy investitsiyalarni
keng jalb qilish, pullik xizmatlar ko‘lamini kengaytirish va boshqa
budjetdan tashqari mablag‘lar hisobiga oliy ta'lim muassasalarida
texnopark, forsayt, texnologiyalar transferi, startap, akselerator
markazlarini tashkil etish hamda ularni tegishli tarmoq, soha va
hududlarning ijtimoiy-iqtisodiy rivojlanishini tadqiq qiluvchi va
prognozlashtiruvchi ilmiy-amaliy muassasalar darajasiga olib
chiqish;oliy ta'lim muassasalari professor-o‘qituvchilari, ilmiy
izlanuvchilari, doktorantlari, bakalavriat va magistratura talabalarining
yuqori impakt-faktorga ega nufuzli xalqaro ilmiy jurnallarda maqolalar
chop etishi, maqolalarga iqtiboslik ko‘rsatkichlari oshishi, shuningdek,
respublika ilmiy jurnallarini xalqaro ilmiy-texnik ma'lumotlar bazasiga
bosqichma-bosqich kiritilishini ta'minlash;O‘zbekiston oliy ta'lim
tizimini Markaziy Osiyoda xalqaro ta'lim dasturlarini amalga oshiruvchi
“xab”ga aylantirish;oliy ta'limning investitsiyaviy jozibadorligini
oshirish, xorijiy ta'lim va ilm-fan texnologiyalarini jalb etish;talaba-
yoshlar ta'lim-tarbiyasi uchun qo‘shimcha sharoitlar yaratishga
qaratilgan kompleks chora-tadbirlarni o‘z ichiga olgan beshta
4

tashabbusni amaliyotga tatbiq etish;oliy ta'lim muassasalarining
infratuzilmasi va moddiy-texnik bazasini, shu jumladan, xalqaro moliya
institutlarining imtiyozli mablag‘larini keng jalb qilish hisobiga
yaxshilash, ularni bosqichma-bosqich o‘zini o‘zi moliyalashtirish
tizimiga o‘tkazish va moliyaviy barqarorligini ta'minlash;ta'limning
ishlab chiqarish korxonalari va ilmiy-tadqiqot institutlari bilan o‘zaro
manfaatli hamkorligini yo‘lga qo‘yish;aholining ijtimoiy himoyaga
muhtoj qatlamlari, shu jumladan, imkoniyati cheklangan shaxslarning
oliy ta'lim bilan qamrov darajasini oshirish, ular uchun infratuzilmaga
oid sharoitlarni yaxshilash;b) O‘zbekiston Respublikasi oliy ta'lim
tizimini 2030 yilgacha rivojlantirish konsepsiyasini 2019 yilda amalga
oshirish bo‘yicha “Yo‘l xaritasi” tasdiqlandi.
Kurs ishining dolzarbligi: Yoshlarga ta’lim va tarbiya berishning
murakkab vazifalarini hal etish o’qituvchining g’oyaviy e ’ tiqodi, kasb-mahoratiga,
san’ati, iste’dodi va madaniyatiga hal qiluvchi darajada bog’liqdir. Ta’lim-
t arbiya jarayonini to’g’ri tashkil etish uchun barcha mavjud imkoniyatlarini
safarbar etish o’qituvchilarning birinchi navbatdagi vazifalaridan biridi .
Matematika fani o’sib kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o’quv fani
sifatida keng imkoniyatlarga ega. U o’quvchi tafakkurini rivojlantirib, ularning
aqlini peshlaydi, uni tartibga soladi, o’quvchilarda maqsadga yo’naltirganlik,
mantiqiy fikrlash, topqirlik xislatlarini shakllantirib boradi. Shu bilan bir
qatorda mulohazalarning to’g’ri, go’zal tuzilganligi, o’quvchilarni didli,
go’zallikka ehtiyojli qilib tarbiyalab boradi.
Kurs ishining maqsadi: Dars davomida o’quvchi va talabalarni nazorat
qilish va baholash orqali ta’lim sifatini ta’minlash. Ta’lim jarayoni samaradorligini
5

oshirish, ta’lim oluvchilarning mustahkam nazariy bilim, faoliyat, ko’nikma va
malakalarini shakllantirish, ularni kasbiy mahoratga aylanishini ta’minlash.
Kurs ishining ob’ekti: Oliy va o’rta ta’lim muassasalarida algebrani
o’qitish jarayoni.
Kurs ishining predmeti : Algebrani o’qitish metodlari va vositalari.
Kurs ishining vazifalari:
1. Mavzuga doir ma’lumotlarni yig’ish va rejani shakllantirish;
2.Ta’lim sifati va samaradorligini yaxshilash orqali ta’lim natijasini
ta’minlash yo’llarini aniqlash;
3. O’rta maxsus ta’lim va oliy ta’limning reyting tizimini o’rganish;
4. Matematika ta’limida monitoring metodikasining ahamiyatini bilish;
5. O’quvchi yo’l qo’yadigan xatolarni o’rganish va uni tuzatish
usullarini izlash;
6. Kurs ishini jihozlab, uni himoyaga tayyor qilish.
Taqqoslama ta’rifi va asosiy xossalari
Sonlar nazariyasida butun sonlarni ularni biror musbat butun son m songa
bo’lganda chiqadigan qoldiqlarga qarab ham o’rganiladi, bunda
m -modul
deyiladi.Har qanday butun sonni
m ga bo’lsak tayin bir qoldiq to’g’ri keladi.
Ta’rif.Agar ikkita
a va b sonlarni m songa bo’lganda bir xil r qoldiq qolsa;
ular
m modul bo’yicha teng qoldiqli yoki m modul bo’yicha taqqoslanadigan
sonlar deyiladi.
Tasdiq.
a va b sonlarning m modul bo’yicha taqqoslanishini

) (mod m b a
ko’rinishida yoziladi.Bu munosabat
a va b sonlar m modul bo’yicha
taqqoslanadi degan ibora quyidagi jumlalarga teng kuchli:
1.
t -butun son bo’lganda, a sonni mt b a   shaklda ifodalash mumkin.
6

2. b a ayirma m ga bo’linadi.
Isboti.
) (mod m b a munosabatdan

r mq a   , r mq b   1 , m r 0
kelib chiqadi,bundan

) ( 1q q m b a    , mt b a   , 1q q t   .
Aksincha,
mt b a   tenglikdan b ni

r mq b   , t q q   1
ya’ni
) (mod m b a ekanligi kelib chiqadi.Demak, tasdiqni birinchi qismi
o’rinli. Birinchidan esa bevosita tasdiqni ikkinchi qismi ham o’rinli ekanligi kelib
chiqadi.
Taqqoslamalarning asosiy xossalari.
1º.Agar ikki sondan har biri uchinchi son bilan taqqoslanadigan bo’lsa, ular
o’zaro ham taqqoslanadi.
Isboti.
) (mod m c a va ) (mod m c b bo’lsin, u holda ta’rifdan mtca 
va
1 mt c b  
, bundan 1 mt b mt a c     yoki ) ( 1t t m b a    ya’ni b a m ga
bo’linadi:
) (mod m b a
2º.Taqqoslamalarni hadlab qo’shish mumkin.
Isboti.









) (mod
... .......... ..........
) (mod
) (mod
2 2
1 1
m a
m b a
m b a
k (1)
bo’lsin.U holda



  
kkk mtba mtba mtba
.................... 122 111
(2)
Ushbu tengliklarni o’ng tomonlarini o’ng tomoniga, chap
tomonidagilarni chap tomoniga qo’shib quyidagi tenglikka kelamiz:
)...(......
212121 kkk tttmbbbaaa 

7

yoki
)(mod......
2121 mbbbaaa
kk 
3º.Taqqoslamalarning bir tomonidagi qo’shiluvchilarni teskari ishora bilan
ikkinchi tomonga o’tkazish mumkin.
Isboti.
) (mod m c b a  
bo’lsin.Bu taqqoslamaning har ikkala tomoniga

) (mod m b b  
taqqoslamani qo’shib

) (mod m b c a  
taqqoslamaga kelamiz.
4º. Taqqoslamaning har ikkala tomoniga (tomonidan),modul bo’linadigan
ixtiyoriy sonni qo’shish (ayirish) mumkin.
Isboti.
) (mod m b a bo’lsin.
Bu taqqoslamaga

) (mod0 m mk 
taqqoslamani hadlab qo’shib

) (mod m b mk a  
taqqoslamaga kelamiz.
5º. Taqqoslamalarni hadlab ko’paytirish mumkin.
Isboti. (1) taqqoslamalarni va ulardan kesib chiquvchi (2) tengliklarni
qaraylik. (2) tengliklarni hadlab ko’paytirish natijasida
mNbbbaaa
kk  ......
2121
hosil bo’ladi.Bunda N
-butun son.Demak ta’rifga asosan
)(mod......
2121 mbbbaaa
kk 
6º. Taqqoslamaning ikkala tomonini bir xil darajaga ko’tarish mumkin.
Isboti. Agar
) (mod m b a taqqoslamani n -marta yozib ularni hadlab
ko’paytirsak , u holda 5º xossadan
)(mod mba nn


8

kelib chiqadi.
7º.Taqqoslamalarni har ikkala tomonini bir xil butun songa ko’paytirish
mumkin.
Isboti. ) (mod m b a taqqoslamani har ikkala tomonini

) (mod m k k
taqqoslamaga ko’paytirsak ,u holda

) (mod m bk ak 
taqqoslamaga kelamiz.
Yuqoridagi xossalarni quyidagi teorema bilan umumlashirish mumkin.
Teorema.Agar

  k
k kxxxAS      ....21
1 21.....

ko’rinishdagi butun koefsiyentli butun ratsional funksiyada
k A  .....1 , kxx ,...
1
larni ular bilan
m modul bo’yicha taqqoslanadigan k B  ......1 , kyy ,.....,
1
sonlarga
almashtirsak , S
ning yangi ifodasi oldingi ifodasi bilan
m modul bo’yicha
taqqoslanadigan bo’ladi.
Isboti. Teorema shartiga ko’ra

k A  .....1  k B  ......1 ) (mod m

) (mod1 1 m y x 
………….
)(mod myx
kk 
u holda 6º xossaga ko’ra

) (mod1 1 1 1 m y x   
)(mod22
22 myx
  
…………

) (mod m y x k k k k   
yoki

k A  .....1 kxx ,...
1  k B  ......1 kyy ,.....,
1 ) (mod m
Bu taqqoslamalarni yig’ib
9

 k A  .....1 kkx x  ...11  k k ky y B     ....1 1 1 .... ) (mod m
taqqoslamaga kelamiz.
Teorema isbotlandi.
Natija. Agar

) (mod m b a , ) (mod1 1 m b a  ,….., )(mod mba
nn 

) (mod1 m x x
bo’lsa , u holda

n n n n n n b xb bx a x a ax          ..... .... 111 1 1 1 ) (mod m
bo’ladi.
Bu natija teoremaning xususiy holidir.
8º.Taqqoslamaning ikkala tomoni umumiy bo’luvchiga ega bo’lsa, u holda
ikkala tomonni shu umumiy bo’luvchiga qisqartirish mumkin.
Isboti.
) (mod m b a , da a 1  , db b 1
, 1 ) , (  m d shartlardan d b a ) ( 1 1 ga
teng bo’lgan
b a ayirmaning m ga bo’linishidan , 1 1 b a  ayirmani m ga bo’linishi
kelib chiqadi.U holda taqqoslama ta’rifiga ko’ra

) (mod1 1 m b a  .
9º.Taqqoslamaning ikkala tomonini va modulni bir xil butun songa
ko’paytirish mumkin.
Isboti.

) (mod m b a
bo’lsin.U holda ta’rifdan

mt b a   , t mk bk ak   
bundan esa

) (mod mk bk ak  .
10º.Taqqoslamaning ikkala tomonini ba modulni ularning istalgan umumiy
bo’luvchisiga qisqartirish mumkin.
Isboti.
) (mod m b a , da a 1  , db b 1
, d m m 1  bo’lsin.Bundan mt b a   ,
t d m db da    1 1 1
dan t m b a    1 1 1 kelib chiqadi, ya’ni
10

) (mod 1 1 1 m b a  .
11º.Agar
) (mod m b a taqqoslama bir nechta modul bo’yicha o’rinli bo’lsa,
u shu modullarning eng kichik umumiy bo’luvchisi bo’yicha ham o’rinli bo’ladi.
Isboti.
) (mod 1m b a , ) (mod 2m b a ,…, )(mod
kmba 
taqqoslamalardan b a
ayirmaning barcha kmmm ,...,,
21
modullarga bo’linishi kelib chiqadi.Shu sababli
b a
ayirma bu modullarning eng kichik umumiy bo’luvchisi m ga ham
bo’linadi,ya’ni
) (mod m b a bo’ladi.
12º.Agar taqqoslama
m modul bo’yicha o’rinli bo’lsa,u holda u m ning
istalgan bo’luvchisiga teng bo’lgan d
modul bo’yicha ham o’rinli bo’ladi.
Isboti.
) (mod m b a bo’lsin,u holda b a ayirmani m ga bo’linishi kelib
chiqadi.U holda
b a ayirma m ning istalgan d
bo’luvchisiga ham bo’linadi,ya’ni
taqqoslama ta’rifiga asosan
) (mod d b a .
13º. Agar taqqoslamaning bir qismi (bir tomoni) va biror songa
bo’linadigan bo’lsa, uning ikkinchi qismi ham shu songa bo’linadi.
Isboti.
) (mod m b a bo’lsin,u holda t m b a    bo’ladi,u holda a va m son d
ga bo’linadigan bo’lsa, u holda
b ham d
ga bo’linishi lozim,ya’ni d m a ) , (
ekanligidan
b ning ham d
ga bo’linishi kelib chiqadi.
14º.Agar
) (mod m b a bo’lsa ,u holda ) ,( ) , ( m b m a  bo’ladi.
Isboti.
) (mod m b a bo’lsin, u holda t m b a   
Agar
d m a ) , ( bo’lsa 13º xossaga ko’ra d m b ) ,( bo’ladi.
Teng qoldiqli, yoki
m modul bo’yicha taqqoslanadigan sonlar, m modul
bo’yicha sonlarning sinfini hosil qiladi.
Bu ta’rifdan bir sinfning barcha sonlariga bir xil
r qoldiq to’g’ri kelishi
kelib chiqadi.Demak ,
r q m   ifodadagi q ga barcha butun sonlarni bersak, r
qoldiqli sinfning barcha sonlarini hosil qilamiz.
r ning m ta har xil qiymatlariga
sonlarning
m modul bo’yicha m ta sinfi to’g’ri keladi.
Ta’rif.Biror sinfning istalgan soni shu sinfning barcha sonlariga nisbatan
m
modul bo’yicha chegirma deyiladi; 0q qiymatda hosil bo’ladigan va
11

demak r ga teng chegirma manfiy bo’lmagan eng kichik chegirma deyiladi.
Absolyut qiymati eng kichik bo’lgan chegirma
 -absolyut eng kichik
chegirma deyiladi.
2
m r
qiymatda r  bo’lishi va 2
m r qiymatda m r   bo’lishi ravshan;
nihoyat
m juft va 2
m r bo’lsa 2m
va 2 2
m m m   sonlardan istalganini  deb qabul
qilish mumkin.
Har bir sinfdan bittadan chegirma olinsa, chegirmalarning
m modul bo’yicha
to’la sistemasi hosil bo’ladi.Ko’p vaqtda chegirmalarni to’la sistemasi o’rniga
1 ,...,1,0  m
sonlardan iborat manfiy bo’lmagan eng kichik chegirmalar,shuningdek
absolyut eng kichik chegirmalar ham ishlatiladi.
Yuqorida aytilganlarga asosan, absolyut eng kichik chegirmalar:
m
toq bo’lganda 2
1 m ,…,
1 , 0 , 1 ,…, 2
1 m sonlar qatori bilan,
m juft
bo’lganda esa
1 2  m ,…,
1 , 0 , 1 ,…, 2m
,…, 1 , 0 , 1 ,…, 1 2  m sonlar qatoridan biri
bilan tasvirlanadi.
1-Tasdiq.Hech qaysi ikkitasi
m modul bo’yicha o’zaro taqqoslanmaydigan
m
ta har qanday butun sonlar chegirmalarning shu m modul bo’yicha to’la
sistemasini tashkil etadi.
Isboti.Tasdiq shartiga ko’ra bu sonlar o’zaro taqqoslanmagani uchun, ular
har xil sinflarga tegishli bo’ladi,shu bilan birga ,ularning soni sinflar soniga teng
bo’lganligi sababli, har bir sinfga bu sonlar bittadan kiradi.
2-Tasdiq.Agar
1 ) , (  m a bo’lib x son m modul bo’yicha to’la sistemasini
tashkil etuvchi chegirmalarga teng qiymatlarni qabul qilsa,
b har qanday butun son
bo’lmaganda,
b ax  sonlar chegirmalarning m modul bo’yicha to’la sistemasini
tashkil etadi.
Isboti.
x sonlar nechta bo’lsa, b ax  sonlar ham shuncha, ya’ni m tadir.
Endi 1-tasdiqqa asosan,
m modul bo’yicha o’zaro taqqoslanmaydigan ikkita 1x va
12

2x
songa mos bo’lgan b ax 1 va b ax  2
sonlarning ham shu modul bo’yicha
taqqoslanmasligini ko’rsatish kifoya.
) (mod 2 1 m b ax b ax   
bo’lsin deb faraz qilaylik , u holda ) (mod2 1 m ax ax 
taqqoslamaga kelamiz.Bundan
1 ) , (  m a bo’lgani uchun ) (mod2 1 m x x  taqqoslama
hosil bo’ladi , bu esa
1x va 2 x
sonlar m modul bo’yicha taqqoslanmaydigan sonlar
deb olganimizga ziddir. Demak farazimiz noto’g’ri
b ax 1 va b ax  2
sonlar m
modul bo’yicha taqqoslanmaydigan sonlar tasdiq isbotlandi.

m modul bo’yicha bir sinfga tegishli sonlarning va modulning eng katta
umumiy bo’luvchisi bir xil bo’ladi.Ayniqsa , mana shu umumiy bo’luvchi
1 ga
teng bo’lgan hol , demak , sonlari modul bilan o’zaro tub bo’lgan sinflar alohida
ahamiyatga ega. Har bir shunday sinfdan bittadan chegirma olsak ,
chegirmalarning
m modul bo’yicha keltirilgan sistemasini hosil qilamiz.
Demak , chegirmalarning keltirilgan sistemasini chegirmalar to’la
sistemasining modul bilan o’zaro tub bo’lgan sonlardan tuzish mumkin. Odatda
chegirmalarning keltirilgan sistemasini manfiy bo’lmagan eng kichik chegirmalar
sistemasi
1 ,......,1,0  m dan ajratish yo’li bilan tuziladi.
Bu sonlar orasida
m bilan o’zaro tub bo’lgan ) (m  ta son bo’lganligi
sababli , keltirilgan sistemadagi sonlar soni , shuningdek , modul bo’yicha o’zaro
tub sonlardan tuzilgan sinflar soni
) (m  tadir.
Misol.
38 modul bo’yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasi
quyidagidan iborat:

37, 35, 33, 31, 29, 27, 25, 23, 21, 17, 15, 13, 11,9,7,5,3,1
ma’lumki chegirmalarni to’la sistemasi

37, ,.........3,2,1
sonlardan iborat bo’ladi.
1-tasdiq.
m modul bo’yicha o’zaro taqqoslanmaydigan va shu modul bilan
o’zaro tub bo’lgan har qanday
) (m  ta son chegirmalarning m modul bo’yicha
keltirilgan sistemasini hosil qiladi.
13

Isboti. Tasdiq sharti bo’yicha bu sonlar berilgan modul bo’yicha o’zaro
taqqoslanmaydigan va u bilan o’zaro tub bo’lganligi sababli , modul bilan o’zaro
tub bo’lgan sonlardan tuzilgan sonlar har xil sinflarga kiradi. m modul bilan
o’zaro tub sonlar
) (m  ta , ya’ni o’sha aytilgan ko’rinishdagi sinflar soniga teng
bo’lgani uchun , bunday har bir sinfga yuqoridagi sonlardan bittasigina kiradi.
2-tasdiq. Agar
1 ) , (  m a bo’lib , x son m modul bo’yicha keltirilgan
sistemani tashkil etuvchi chegirmalarga teng qiymatlarni qabul qilsa ,
ax ham m
modul bo’yicha chegirmalarning keltirilgan chegirmasini tashkil qiladi.
Isboti.
x sonning nechta bo’lsa , ax sonlar ham shuncha , ya’ni ) (m 
tadir.1-tasdiqqa asosan ,
ax sonlarning m modul bo’yicha o’zaro
taqqoslanmasligini va modul bilan o’zaro tubligini ko’rsatish kifoya.
Bu tasdiqning birinchi qismi umumiyroq ko’rinishda
b ax  sonlar uchun
oldingi mavzuda isbot qilingan edi , ikkinchi qismi esa
1 ) , (  m a va 1 ) , (  mx dan
kelib chiqadi.
Ma’lumki, qoldiqli bo‘linish haqidagi teoremaga asosan har qanday ikkita
butun son u c h u n shunday yagona va sonlar topiladiki, ushbu
( 1 )
tenglik bajariladi, bu y erda
Biror butun son uchun
(2)
tenglik o‘rinli bo‘lgan sonni olaylik. ( 1 ) va (2) tengliklar va sonlarini ga
bo‘lganda bir xil qoldiq qolishini bildiradi.
T A ’ R I F . Agar ikkita butun va sonlarini natural songa bo‘lganda
hosil bo‘lgan qoldiqlar o‘zaro teng bo‘lsa, u holda va sonlar modul
bo‘yicha teng qoldiqli sonlar yoki modul bo‘yicha taqqoslanuvchi sonlar
deyiladi.
Agar va sonlar modul bo‘yicha taqqoslansa, u holda quyidagicha
belgilanadi:
(3)
14

(3) ni va sonlari modul bo‘yicha o‘zaro taqqoslanadi deb o‘qiladi. Endi (1)
dan (2) ni a y i r a y lik, u holda yoki
a – b = tt ( t=q
1 -q
2 ) (4)
tenglik hosil bo‘ladi.
Yuqoridagi mulohazalarni yakunlab quyidagi xulosalarni chiqarish mumkin:
1. modul bo‘yicha taqqoslanuvchi sonlarning ayirmasi soniga
bo‘linadi.
2. Agar a = b + t t bo‘lib, b ni ga bo‘lgandagi qoldiq r ga teng bo‘lsa, a
ni ham ga bo‘lgandagi qoldiq r ga teng bo‘ladi.
H aqiqatan, ga qo‘yamiz. U holda
ya’ni bo‘ladi. Demak,
bo‘lib , ni ga bo‘lgandagi qoldiq ham ga teng ekan. SHunday
qilib, ta q qoslamani tengliklar bilan bir xil
deyish mumkin.
Agar bo‘lsa, u holda uni kabi yozish ham
mumkin.
4. Agar bo‘lsa, u holda bo‘ladi.
Ta q qoslama quyidagi xossalarga ega:
1 °. Taqqoslama ekvivalent binar munosabat.
a) , chunki bo‘lib, 0 son ga bo‘linadi. Demak,
taqqoslama refleksivlik xossasiga ega.
b) yoki bo‘lsin. Bundan tenglikni
yozish mumkin. U holda yoki . Demak, taqqoslama
simmetriklik xossasiga ega
v) Agar va bo‘lsa, u holda
bo‘ladi. Ha q iqatan, te n gliklarni hadlab qo‘shsak,
tenglik hosil bo‘ladi. Bunda U holda bo‘ladi.
15

Demak, taqqoslama tranzitivlik xossasiga ega. Ekvivalentlik munosabatlari
ta’rifiga ko‘ra, taqqoslama ekvivalent 16 ata 16 a munosabat ekan.
2 ° . Bir xil modulli taqqoslamalarni hadlab qo‘shish (ayirish) mumkin.
Haqiqatan ham,
bo‘lsa, u holda ularni
(5)
kabi yozish mumkin. Bu tengliklarni hadlab qo‘shib (ayirib)
yoki
(6)
tenglikka ega bo‘lamiz. ( 6 ) ni
ko ‘ rinishda yozish ham mumkin .
MODUL BO‘YICHA TAQQOSLAMA. TAQQOSLAMANING XOSSALARI
1 ° Bir xil modulli taqqoslamalarni hadlab ko‘paytirish mumkin.
Haqiqatan, 1.1-§. dagi (5) tengliklarni hadlab ko‘paytirib,
tenglikka ega bo‘lamiz. Bunda
bo‘lib
(8)
taqqoslama o‘rinli.
N A T I J A . Taqqoslamalarning ikkala qismini (modulni o‘zgartirmay) bir
xil musbat butun darajaga ko‘tarish mumkin .
16

Haqiqatan ham, bo‘lsa, u holda
( 8 ) ga ko‘ra taqqoslama hosil bo‘ladi.
2° . Modulni o‘zgartirmagan holda taqqoslamaning ikkala qismini bir xil
butun songa ko‘paytirish mumkin.
Haqiqatan, taqqoslamani taqqoslama bilan
hadlab ko‘paytirish natijasida ga ega bo‘lamiz.
3° . Agar bo‘lsa, u holda ixtiyoriy butun koeffitsientli
va ko‘phadlar uchun ya’ni
taqqoslama o‘rinli bo‘ladi.
I S B O T I . bo‘lganidan 1- xossadagi natijaga asosan
(9)
(9) ning ikkala qismini 2- xossaga ko‘ra
ga ko‘paytiramiz. Natijada
taqqoslamalar hosil bo‘ladi. Bulardan esa 1.1-
§. dagi 2- xossa yordamida quyidagi taqqoslamani topamiz:
4° . Agar bir vaqtda va taqqoslamalar
o‘rinli bo‘lsa, u holda
taqqoslama o‘rinli bo‘ladi.
N A T I J A . Taqqoslamada qatnashuvchi qo‘shiluvchini o‘zi bilan teng
qoldiqli bo‘lgan ikkinchi songa almashtirish mumkin. Haqiqatan,
bo‘lsa, u holda bo‘ladi.
Taqqoslamani darajaga nisbatan qo‘llash mumkin emas. Masalan,
uchun bo‘ladi. Chunki va
, ammo
17

5 ° . Taqqoslamaning ikkala qismini modul bilan o‘zaro tub bo‘lgan
ko‘paytuvchiga qisqartirish mumkin.
ISBOTI. ( 10 )
bo‘lib, bo‘lsin. ( 3 ) taqqoslama munosabatga teng kuchli.
U holda dan (d; m) = 1 bo‘lgani uchun yoki
bo‘ladi. Agar bo‘lib, bo‘lsa, u holda bu xossa o‘rinli emas.
M i s o l . bo‘lgani uchun bu
taqqoslamaning har ikkala tomonini 5 ga bo‘lib, xulosaga kelamiz.
6 ° . Taqqoslamaning ikkala qismini va modulini bir xil butun musbat songa
ko‘paytirish, taqqoslamaning ikkala qismi va moduli umumiy ko‘paytuvchiga ega
bo‘lsa, u holda bu taqqoslamaning ikkala qismi va modulini umumiy
ko‘paytuvchiga bo‘lish mumkin. I S B O T I . a ) taqqoslama berilgan
bo‘lsin. tenglikning ikkala qismini butun songa ko‘paytirsak,
yoki taqqoslama hosil bo‘ladi.
b) berilgan bo‘lsin. U holda bu taqqoslamani
yoki kabi yozishimiz mumkin. Bundan
ya’ni taqqoslama kelib chiqadi. 7 ° . Agar taqqoslama bir necha modul
bo‘yicha o‘rinli bo‘lsa, u holda bu taqqoslama shu modullarning eng kichik
umumiy karralisi bo‘yicha ham o‘rinli bo‘ladi.
I S B O T I . bo‘lsin.
Taqqoslama ta’rifiga asosan ayirma bir vaqtda
larga bo‘linganidan
bu ayirma ga ham bo‘linadi, ya’ni bo‘ladi. Bu
mulohazadan, agar taqqoslama bo‘yicha o‘rinli bo‘lsa,
bo‘yicha ham o‘rinli bo‘ladi, degan xulosaga kelamiz.
8 ° . Agar taqqoslama biror modul bo‘yicha o‘rinli bo‘lsa, u holda shu
taqqoslama modulning ixtiyoriy bo‘luvchisi bo‘yicha ham o‘rinli bo‘ladi.
18

Haqiqatan, agar yoki bo‘lib, bo‘lsa, u
holda deyish mumkin. Bundan bo‘ladi. Demak,
ekan.
9 ° . Taqqoslamaning bir qismi va modulining eng kata umumiy bo‘luvchisi
bilan uning ikkinchi qismi va modulining eng kata umumiy bo‘luvchisi o‘zaro teng
bo‘ladi.Haqiqatan, dan yoki tengliklarni
yozish mumkin. va bo‘lsin. Aytaylik,
va
bo‘lsin.
ning chap qismi ga bo‘linganidan ham ga bo‘linadi. son
va sonlarning umumiy bo‘luvchisi ekan va
(11)
bo‘lsin. U holda tenglikdan va son va
sonlarning umumiy bo‘luvchisi bo‘lgani uchun
(12)
bo‘ladi. ( 11 ) va ( 12 ) larga ko‘ra bo‘ladi.
Ko’p noma’lumli ko’phadlarni yechish
Ta’rif 2.1 Kamida ikkita o’zgaruvchiga bog’liq bo’lgan ko’phad ko’p
noma’lumli ko’phad deyiladi.
Ko’p noma’lumli ko’phadlar 2,3,4,..., nomalumli bo’lishi mumkin.
noma’lumli ko’phad odatda orqali belgilanadi. nomalumli
ko’phad ko’rinishdagi chekli sondagi hadlarning algebraik
yig’indisidan iborat bo’lib, bu yerda (i=1, ) lar sonlar maydoniga
tegishli bo’lgan butun sonlardir. Umuman olganda noma’lumli ko’phadning
ko’rinishi quyidagicha bo’ladi.
19

(1.4)
A
i єP lar (1.4) ko’phad hadlarining koeffitsiyentlari deyiladi . Har bir
qo’shiluvchi ko’phadning hadi ,
yig’indi esa bu hadn ing darajasi deb ataladi . Hamma
-----------------
yig’indilar orasida eng kattasi (1.4) ko’phadning darajasi deyiladi. Masalan
ratsional sonlar maydoni ustidagi
ko’phadda birinchi
hadning darajasi 2+ 1+3+0=6 ga,ikkinchi
ko’phadning darajasi 4+1=5 ga, uchinchi
hadning darajasi ham 2+3=5 ga va nihoyat , to ’ rtinchi hadning
darajasi 1 ga , ko ’ phadning darajasi esa 6 ga teng , (1.4) ko ’ phadning ba ’ zi
yoki hamma koeffitsiyentlari shuningdek ba ’ zi yoki hamma , , ....,
daraja ko ’ rsatkichlari nolga teng bo ’ lishi mumkin . Masalan,
, bo’lib koeffitsiyent
maydonning istalgan elementini bildirsa, (1.4) ko’phad
ko’rinishni oladi. Demak maydonning hamma elementlari ham
o’zgaruvchili ko’phadlar deb hisoblanadi. Xususiy holda
qiymatlar uchun nol ko’phad xosil bo’ladi biz uni
20

Ko’rnishda belgilaymiz. holda ni nolinchi darajali
ko’phad deymiz . (1.4) ko’phaddagi
o’zgaruvchilar bir-biriga
bog’liq emas, ularning har qaysisi mustaqil ravishda istalgan son qiymatni
qabul qila oladi deb hisoblaymiz. Boshqacha aytganda har bir
x
i o’zgaruvchining qiymatlari qolgan o’zgaruvchilarning qiymatlari bilan
aniqlanmaydi, ya’ni
o’zgaruvchi qolgan o’zgaruvchilarning funksiyasi
emas .Bunday o’zgaruvchilar odatda erkli o’zgaruvchilar deyiladi.
Aytilganlardan quyidagi natija chiqadi. Hamma koeffitsiyentlardan
aqalli bittasi nolga teng bo’lmasa (1.4) ko’phad ham nolga teng bo’la
olmaydi. Haqiqatan,
tenglikdan har bir (i=1 , ) qolgan o’zgaruvchilarning oshkormas
funksiyasi ekanini ko’ramiz. Demak shartdagina (1.4)
ko’phad aynan nolga teng.
Ta’rif 2.2 va ko’phadlardan har birining
istalgan hadi uchun ikkinchisining ham xuddi shunday hadi
mavjud bo’lsagina bu ikki ko’phad bir-biriga teng deyiladi .
Ta’rif 2.3 (1.4) Ko’phadning hamma hadlari bir xil -darajali bo’lsa,
ko’phad -darajali bir jinsli ko’phad yoki - darajali forma deyiladi.
Masalan.
ko’phad 6- darajali formadir.Birinchi darajali forma chiziqli forma, ikkinchi
darajali forma kvadratik forma, uchinchi darajali forma esa kubik forma
deyiladi.
Endi sonlar maydoni ustida berilgan ikkita no’malumli ko’phad uchun
qo’shish va ko’paytirish amallarini kiritamiz.
va
21

ko’phadlarni qo’shish deb, ulardagi mos hadlarning koeffitsiyentlarini
qo’shishni tushunamiz.
(i = 1, ) bo’lganda
(1.5)
va
(1.6)
hadlar mos yoki o’xshash hadlar deyiladi. Agar biror had va
ko’phadlarning faqatgina bittasida uchrasa ikkinchi ko’phaddagi maskur
hadning koeffitsiyenti nol deb olinadi.
Ikkita (1.5) va (1.6) kabi hadlarning ko’paytmasi deb
(1.7)
Ifodani tushunamiz. Masalan kompleks sonlar maydoni ustida
va
ko’phadlarning yig’indisi, ayirmasi va ko’paytmasi quyidagilarga teng.
Teorema - noma’lumli ko’phadlar to’plami halqa tashkil qiladi.
Isboti . Teorama isbotini noma’lumlar soniga nisbatan induksiya metodi asosida
olib boramiz. =1 da biz bir noma’lumli ko’phadlar to’plamiga ega bo’lamiz.
Ma’lumki bu ko’phadlar to’plami halqa tashkil etar edi va bu halqa
nolning bo’livchilariga ega emas .
Faraz qilaylik teorema hol uchun to’g’ri bo’lsin. Boshqacha
aytganda barcha noma’lumli ko’phadlar to’plami nolning bo’luvchilariga
ega bo’lmagan halqa bo’lsin.Teoremani hol uchun to’g’riligini ko’rsatamiz.
sonlar maydoni ustida berilgan noma’lumli ko’phadni 1 ta noma’llumli
ko’phad deb qarab, bu ko’phad koeffitsentlarining har biri
noma’lumli ko’phadlar bo’ladi.
22

Koeffitsiyentlar to’plamini desak farazimizga asosan
nolning bo’luvchilariga ega bo’lmagan halqalardir. Ikkinchi
tomondan bitta x
n noma’lumli ko’phadlar to’plami ustida qalqa
tashkil etadi. Bu halqa biz izlagan n noma’lumli ko’phadlar halqasidan iborat
bo’lib, u odatda orqali begilanadi. nolning
bo’luvchilariga ega bo’lmagan kommutativ halqa bo’lganligidan
ham sonlar maydoni ustida qurilgan, nolning bo’luvchilariga ega bo’lmagan
kommutativ halqadir. Ma’lumki bunday halqalar odatda birlik elementga ega
bo’lgan butunlik sohasini tashkil qilar edi. Demak noma’lumli ko’phadlar
to’plami ham birlik elementga ega bo’lgan butunlik sohasidan iborat ekan.
BIRINCHI DARAJALI BIR NOMA’LUMLI TAQQOSLAMALARNI
YECHISH USULLARI
Ushbu
(17)
ko‘rinishdagi bir noma’lumli birinchi darajali taqqoslamalarni yechishning bir
qancha usullari mavjud.
1 . S i n a s h u s u l i . Bu usulning mohiyati shundaki, ( 17 ) taqqoslamadagi
o‘rniga modulga ko‘ra chegirmalarning to‘la sistemasidagi barcha
chegirmalar ketma-ket qo‘yib chiqiladi. Ulardan qaysi biri (17) ni to‘g‘ri
taqqoslamaga aylantirsa, o‘sha chegirma qatnashgan sinf yechim hisoblanadi. Biz
23

2-1- § mavzudagi ikkita misolni shu usulda yechdik. Lekin koeffitsientlar yetarlicha
24 ata bo‘lganda bu usul uncha qulay bo‘lmaydi.
2 . K o e f f i t s i e n t l a r n i o ‘ z g a r t i r i s h usuli: Amaliy
mashg‘ulotlarda taqqoslamalarning xossalaridan foydalanib, ( 17 ) da
noma’lum oldidagi koeffitsientni va ni shunday o‘zgartirish kerakki,
natijada taqqoslamaning o‘ng tomonida hosil bo‘lgan son ax handing
koeffitsientiga bo‘linsin.
1 - m i s o l . taqqoslamani yeching.
va bo‘lganidan yechim kelib chiqadi.
2 - m i s o l . taqqoslamani yeching.
Bundan
yechim hosil bo‘ladi.
2. E y l e r t e o r e m a s i d a n f o y d a l a n i s h usuli. Ma’lumki,
bo‘lsa, u holda taqqoslama o‘rinli edi. Bundan
taqqoslamani yozish mumkin. Oxirgi taqqoslamani
taqqoslama bilan solishtirib, ekaniga ishonch
hosil q ilamiz. Misollar yechishda – ifodani m modul b o ‘ y i c h a eng
kichik musbat chegirmaga keltirish lozim.
3 - m i s o l . taqqoslamani yeching.

bo‘lganidan
yechim hosil bo‘ladi.
24

Taqqoslamaning moduli y etarlicha katta bo‘lsa, quyidagi usul ancha
foydalidir.
4 . U z l u k s i z k a s r l a r d a n f o y d a l a n i s h u s u l i.
Ushbu
( 18 )
taqqoslama berilgan bo‘lib, va bo‘lsin.
kasrni uzluksiz kasrga yoyib, uning munosib kasrlarini kabi
belgilaymiz. qisqarmas kasr bo‘lganidan , bo‘ladi, u holda
tenglik shaklni oladi. Oxirgi tenglikdan a P
n-1 =
yoki hosil bo‘ladi. Oxirgi taqqoslamaning
ikkala qismini va ko‘paytirib,
(19)
taqqoslamaga ega bo‘lamiz. ( 18 ) va (19) ni solishtirib,
(20)
taqqoslamani hosil qilamiz. Bu yerda
son kasrning –munosib
kasrining suratidan iborat. ( 18 ) taqqoslama yagona yechim ga ega bo‘lgani
uchun (20) yechim ( 18 ) ning yechimi bo‘ladi.
4 - m i s o l . taqqoslamani yeching.
bo‘lganidan taqqoslamaning moduli va ikkala qismini
3 ga bo‘lib, ushbu taqqoslamani hosil qilamiz. Endi
kasrni munosib kasrlarga yoyamiz. Buning uchun ketma-ket bo‘lishni
quyidagicha bajaramiz:
308 = 95  3 + 23,
95 = 23  4 + 3,
25

23 = 3  7 + 2,
3 = 2  1 + 1 ,
2 = 1  2
q
1 = 3, q
2 = 4, q
3 =7, q
4 = 1 , q
5 = 2,
Quyidagi jadvalni tuzamiz:
q
k 3 4 7 1 2
P
k 1 3 1
3 9
4 1
07 3
08
Demak, ekan. Bundan
yoki
U holda berilgan taqqoslama yechimlari quyidagilar
bo‘ladi:
26

XULOSA
Algebra oliy matematikaning fundamental bo’limlaridan bo’lib,
matematika poydevori hisoblanadi. Algebra faninig asosiy vazifasi shu
fanning tushuncha va tasdiqlar va boshqa matematik ma’lumotlar
majmuasi bilan tanishtirishdangina iborat bo’lmasdan, balki talabalarni
mantiqiy fikrlashga, matematik usullarni amaliy masalalarni yechishga
qo’llashni o’rgatishni ham o’z ichiga oladi.
Kurs ishimning mavzusi taqqoslamalar va ularni yechish usullari deb
nomlanib, uning tuzilishi kirish, 2 ta bob, 6 ta band, 39 ta sahifa, xulosa va
foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat. Boblar quyidagicha nomlanadi:
Taqqoslama haqida tushuncha, birinchi darajali bir noma’lumli
taq q oslamalarni yechish , yuqori darajali taqqoslamalar. Boblarda butun sonlar
halqasida qoldiqli bo‘lish teoremasi, butun sonlarni qoldiqlari bo‘yicha taqqoslash ,
m odul bo‘yicha taqqoslama, t aqqoslamaning xossalari , b irinchi darajali bir
noma’lumli taqqoslamalar ning yechimlari soni haqidagi teorema , b irinchi darajali
bir noma’lumli taqqoslamalarni yechish usullari , i kki o‘zgaruvchili chiziqli
tenglamani taqqoslama yordamida y echish , t aqqoslamalar sistemasi , t ub modulli
yuqori darajali taqqoslamalar mavzulari to’liq bayon qilingan.
Taqqoslama sonlar nazariyasining muhim elemetlaridan biri hisoblanadi.
Mazkur kurs ishida taqqoslama tushunchasini keng yoritishga, uning xossalarini
batafsil o’rganishga, taqqoslamani yechish usullarini bayon etishga harakat qilindi.
Taqqoslamalarni o’rganish orqali biz qoldiqli bo’lish bilan bog’liq bo’lgan
ko’pgina murakkab masalalarni ham oson yo’l bilan hal etishimiz mumkin.
Masalan, taqqoslamalar orqali darajali sonning oxirgi raqamini topish, bo’linish
belgilarini taqqoslamalardan foydalanib isbotlash mumkin. Bundan tashqari, ushbu
kurs ishida birinchi darajali bir noma’lumli va yuqori darajali taqqoslamalarga ham
to’xtalib o’tilgan. Birinchi darajali va yuqori darajali taqqoslamalarga oid
teoremalar ham keltirilgan. Birinchi darajali bir noma’lumli taqqoslamalarni
yechish usullari bayon etilgan.
27

Ikki o‘zgaruvchili chiziqli tenglamani taqqoslama yordamida y echish
haqida ham fikr yuritilgan. Taqqoslamalar sistemasi haqida ham ma’lumotlar
berilgan.
Mazkur kurs ishi orqali o’rganilgan mavzu algebra va sonlar nazariyasida
muhim ahamiyatga ega. Shu sababli ham ushbu kurs ishidan “Taqqoslamalar va
ularni yechish usullari” mavzusini yoritishda darslarda qo’llanma sifatida
foydalanish mumkin.
Men o’zimga berilgan Algebra va sonlar nazariyasi fanidan “ Ikki hadli
taqqoslamalar va ularni yechish” mavzusini o’rganish davomida matematika fani
o’quvchilarni iroda, diqqatni to’plab olishni; qobiliyat va faollikni, tasavvurining
rivojlangan bo’lishini talab eta borib, mustaqil, ma’suliyatli, mehnatsevar,
intizomli va mantiqiy fikrlash hamda o’zining qarash va e’tiqodlarini dalillar
asosida himoya qila olish ko’nikmalarini rivojlantirishni talab qiladi.Hozirgi
zamon darsiga qo’yiladigan eng muhim talablardan biri har bir darsda tanlanadigan
mavzuning ilmiy asoslangan bo’lishidir, ya’ni darsdan ko’zlangan maqsad hamda
o’quvchilar imkoniyatini hisobga olgan holda mavzu xajmini belgilash uning
murakkabligini aniqlash, avvalgi o’rganilgan mavzu bilan bog’lash, o’quvchilarga
beriladigan topshiriq va mustaqil ishlarning ketma-ketligini aniqlash, darsda kerak
bo’ladigan jihozlarni belgilash va qo’shimcha ko’rgazmali qurollar bilan boyitish,
qo’shimcha axborot texnologiyalardan foydalangan holda muammoli vaziyatni
yaratishdir. Dars davomida o’qituvchi o’quvchilarning jismoniy holatini,
ijodkorligini, tez fikrlashlarini hisobga olishi kerak.
Algebra va sonlar nazariyasi fanidan Chegirmalarning keltirilgan sistemasi va
uning xossalari.Chegirmalar sinflari xalqasi mavzusida olgan bilimlarimizni
mustahkamlash.Algebra va sonlar nazariyasining qay darajada kerakligi;
Mavzuga doir ma’lumotlarni yig’ish va rejani shakllantirish;
Chegirmalar sinflari va chegirmalarning keltirilgan sistemasini o’tkazishni
o’rganish; lozimligini .Hоzirgi kunda umumta’lim maktablari, akademik
litseylarda matematika kursi dasturini mazmuni va uning bayon qilish
metоdlarining asоsiy maqsadi o‘quvchilarning shu fan bo‘yicha egallaydigan
28

bilimlari sistemasini yanada chuqurrоq shakillantirish, ularning bilim оlish
jarayonini faоllashtirishdan ibоratdir.
Taqqoslamalarni, ularga doir tenglamalarni yechish masalasi biriktirilgan
nuqtai nazardan juda muhim bo’lgan tushuncha. Buni avvalo nazariy jihatdan
asoslash taqozo etiladi.
So’ngra uni nazariy rivojlantirib hayotga tadbiq etiladi. Bunday dialektik
yondashuv tufayli inson yashash hayoti yanada rivojlantiriladi. Bu masalaga
bag’ishlangan ko’pgina ilmiy va ilmiy-uslubiy tadqiqotlarni ko’rsatish mumkin.
Ushbu kurs ishi ham yuqori darajali taqqoslamalar masalasiga bag’ishlangan.
Masalan bir kunlik hayotimizda qo'llayotgan sonlar alifbosi o'nta arab raqamini o'z
ichiga olgan bo'lib, uning kelib chiqishida va qo'llanilishida tabiiy hisoblash
vositasi bo'lmish qo'l barmoqlarimiz asosiy o'rin tutadi.O'z ichiga o'nta raqamni
olganligi uchun ham bu alifbo o'zining barcha qoidalari bilan birgalida o'n raqamli
sanoq sistemasi deb ataladi.
Bu teoremaning mohiyati shundaki, uning birinchi qismi yoyilma koeffisentlarini
hisoblashning rekurrent bog’lanishini beradi.Yoyilmaning yagonaligi esa, ixtiyoriy
natural sonni t lik sanoq sistemasida yoyish uchun asos bo’ladi. t lik sanoq
sistemasida yozilgan son qisqacha kabi belgilanadi.
Ushbu kurs ishini yozish davomida yuqoridagi bilim va ko’nikmalarga ega
bo’ldim va albatta olgan bilimlarimdan kelajak avlodni o’qitib tarbiyalash
jarayonida foydalanaman.
Taqqoslamalarni, ularga doir tenglamalarni yechish masalasi biriktirilgan
nuqtai nazardan juda muhim bo’lgan tushuncha. Buni avvalo nazariy jihatdan
asoslash taqozo etiladi. So’ngra uni nazariy rivojlantirib hayotga tadbiq etiladi.
Bunday dialektik yondashuv tufayli inson yashash hayoti yanada rivojlantiriladi.
Bu masalaga bag’ishlangan ko’pgina ilmiy va ilmiy-uslubiy tadqiqotlarni
ko’rsatish mumkin. Ushbu kurs ishi ham Chegirmalarning keltirilgan sistemasi va
ularni xalqasi mavzusiga bag’ishlangan.
29

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Vafoyev R. H. va boshqalar. Algebra va analiz asoslari. Akademik litsey va
kasb-hunar kollejlari uchun o’quv qo’llanma. Toshkent, “O’qituvchi”, 2001-yil.
2. S.Sadadinova Diskret matematika o’quv qo’llanma. Toshkent 2014 yil
3. Nazarov.R.N “Algebra va sonlar nazariyasi” T, O’qituvchi. I q 1993, II q 1995
4. Yunusova D.I va boshqalar “Algebra va sonlar nazariyasi” o’quv qo’llanma. T,
Ilm-ziyo. 2009
5. H.Mahmudоv. Algebra va sоnlar nazariyasidan amaliy mashg‘ulоtlar. F.2002.
6. N.Hоjiev, A.S.Faynleyb. Algebra va sоnlar nazariyasi. Darslik, T. 2001.
Internet saytlari:
1. Elektron jurnal www.arki.ru
2. T o’ li q matnli kutubxona www.lib.ru
3 . Maktabda axborot texnologiyalari www. maktabim.uz
4. Talaba-yoshlar sayti www.study.uz
5. Bilim portali www.ziyonet.uz
6 Internet qidiruv tizimi www.yandex.ru
7 Internet qidiruv tizimi Google.co.uz
8 Shaxsiy reja portali Uz.denemetr.com
30

Taqqoslamalar tushunchasi

Sotib olish