Dokument ma'lumotlari

Narxi 19900UZS
Hajmi 983.3KB
Xaridlar 0
Yuklab olingan sana 08 Dekabr 2024
Kengaytma docx
Bo'lim Kurs ishlari
Fan Algebra

Sotuvchi

Bahrom

Ro'yxatga olish sanasi 05 Dekabr 2024

256 Sotish

Chiziqli bir jinsli o’zgarmas koeffisentli tenglamalar

Sotib olish
O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI TERMIZ DAVLAT UNIVERSITETI FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI MATEMATIKA TA’LIM YO’NALISHI 2-KURS 205-GURUH TALABASI DO’RMONOVA MUNIRANING ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALAR FANIDAN “Chiziqli bir jinsli o’zgarmas koeffisentli tenglamalar” MAVZUSIDA TAYYORLAGAN KURS ISHI Termiz-202 5 CHIZIQLI BIR JINSLI O’ZGARMAS KOEFFISENTLI TENGLAMALAR Reja: I. Kirish. II. Asosiy qism: 2.1 Chiziqli tenglamalar va uning xossalari. 2.2 O’zgarmas koeffisentli ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamalar. 2.3 Chiziqli bir jinsli o’zgarmas koeffisentli tenglama va xarakteristik tenglamasi. 2.4 Xarakteristik tenglamaning ildizlari. III. Xulosa. IV. Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati. Kirish ’’Dunyoda ikki turli inson haqiqiy inson sanaladi: biri o’rgatuvchi, biri o’rganuvchi’’. Men sizlarning har biringizga ana shunday haqiqiy inson bo’lish baxti nasib etishini tilayman’’. Yusuf Xos Hojib “Biz ta’lim va tarbiya bo’g’inlarining faoliyatini bugungi zamon talablari asosida takomillashtirishni o’zimizning birinchi darajali vazifamiz deb bilamiz”. Sh.M.Mirziyoyev Birinchi Prezidentimiz I.A.Karimov o’zining “O’zbekiston XXI asr bo’sag’asida xavfsizlikka tahdid, barqarorlik shartlari va taraqqiyot kafolatlari” asarida mamlakatni jadal rivojlantirish borasidagi dasturiy vazifalarni amalga oshrishda fanni va ilmiy infrastrukturani rivojlantirish g’oyat muhim ahamiyatga ega ekanligini ta’kidlab, O’zbekiston innovatsion rivojlanish turining hozirgi zamon modeliga o’tish uchun hamma zarur sharoitlarga ega. Bu model vujudga keltirilgan ilmiy texnikaviy salohiyatdan keng va samarali foydalanishga, fundamental va amaliy fanning yutuqlarini chuqur ilm talab qiladigan texnologiyalarni amaliyotga joriy etishga, yuqori malakali ilmiy kadrlar sonini oshirishga bag’ishlanadi. Bu esa o’z navbatida mamlakatimiz jahondagi iqtisodiyoti va sanoati rivojlangan davlatlar qatoriga kirib borishning zaruriy sharti va mustahkam poydevori bo’lib, xizmat qiladi. Mavzuning dolzarbligi. O zbekiston Respublikasi mustaqil huquqiyʻ demokratik davlat, erkin fuqarolik jamiyat qurish yo lida ulkan ishlar ʻ olib borilib, inson mohiyatining yangidan ochishga, uni o zligini ʻ anglashga, imkoniyatlarni ro yobga chiqarishga va ma’naviy ʻ intellektual, aqliy – amaliy rivojlanishga yangi shart-sharoitlar yaratib berishdi . Ta’limning fan va ishlab chiqarish bilan integrasiyasi mexanizmlarini rivojlantirish, uni amaliyotga joriy etish, o qishni, ʻ mustaqil bilim olishni individuallashtirish hamda masofaviy ta’lim tizimi texnologiyasini, uning vositalarini ishlab chiqish, o zlashtirish, ʻ yangi pedagogik va axborot texnologiyalari asosida o quvchi va ʻ talabalarni o qitishni jadallashtirish ana shunday dolzarb vazifalar ʻ sirasiga kiradi. Ushbu vazifalarni bajarish mavjud pedagogik jarayonlarni takomillashtirishni, uni hozirgi zamon o quvchi va ʻ talablariga mos rivojlantirishni, xususan oliy pedagogik ta’lim paradigmasini zamonaviy pedagogik va axborot texnologiyalarini o zlashtirishga, pedagogika oliy ta’lim muassasalarida kasbiy ʻ tayyorgarligi yuqori bo lgan pedagog kadrlarni tayyorlashga ʻ yo naltirishni taqozo etadi. Ta’limni isloh qilish, yangi mazmundagi va ʻ zamon talabiga javob beradigan o quv adabiyotlar, qo llanmalarni ʻ ʻ yaratish va ilg or pedagogik texnologiyalarni joriy etishni taqozo etadi. ʻ Ta’lim tizimidagi kamchiliklar, shu jumladan, matematika fanida ham o qitish uslubiyotini chetlab o tmaydi. Har bitta fanga alohida e’tibor ʻ ʻ berish, har bir mavzuni o`qitishda ma’suliyatli bo`lish o`qituvchining eng oliy maqsadi hisoblanadi. Bizga ma’lumki matematika fani juda qiziqarli va shu bilan birga murakkab fan bo`lib ham hisoblanadi. Ma’lumki Differensial tenglamada nima uchun kerak, nima maqsadlarda foydalaniladi, uning yechimlari qanday topiladi, kabi masalalar qaraladi. Ushbu fikrlar tanlangan mavzuning qanchalik darajada dolzarb ekanligini ko rsatadi. ʻ Kurs ishining obyekti. Oliy ta’lim muassasalarida differensial tenglamani o qitish jarayoni. ʻ Kurs ishining predmeti. Chiziqli bir jinsli o’zgarmas koeffisentli tenglamalar va ularni yechishga doir nazariy va amaliy bilimlarni o rgatish usullari va vositalari. ʻ Kurs ishining maqsadi. Chiziqli bir jinsli o’zgarmas koeffisentli tenglamalar mavzusi yuzasidan masalalar yechish metodikasini ishlab chiqish. Kurs ishining vazifalari. Oliy ta’lim muassasalarida uchun DTS, taqvim rejasi, mavzuga oid mavjud adabiyotlar, internet ma’lumotlarini to plash va tahlil qilish; ʻ “Chiziqli bir jinsli o’zgarmas koeffisentli tenglamalar” mavzusida masalalar ishlashning muammolarini, fanda tutgan o rni va ahamiyatini ʻ o rganib chiqish; ʻ Oliy ta’lim muassasalarida Chiziqli bir jinsli o’zgarmas koeffisentli tenglamalar mavzusining asosiy tushunchalarini tahlil qilish, innovatsion texnologiyalardan foydalangan holda mavzuni o qitish ʻ metodikasini ishlab chiqish. Oliy ta’lim muassasalarida Chiziqli bir jinsli o’zgarmas koeffisentli tenglamalarga doir masalalar yechish metodikasini ishlab chiqish. Bitiruv malakaviy ishi yuzasidan tajriba o tkazish, uning natijalarini ʻ tahlil qilish va tegishli xulosalar chiqarish. Kurs ishining tuzilishi. Kurs ishi kirish, 2 ta bob, 4 ta paragrapf, xulosa, foydalanilgan adabiyotlar ro yxati hamda ilovadan iborat.ʻ 2.1 Chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar. Chiziqli differensial operator. n-tartibli chiziqli differensial tenglama deb, a 0 y n + a 1 y ( n − 1 ) + a 2 y ( n − 2 ) + … + a n − 1 y ' + a n y = b (1) ko’rinishdagi tenglamaga aytiladi. x erkli o’zgaruvchi tenglamaga ixtiyoriy kirishi mumkin (chiziqli tenglama ta’rifiga x tenglamaga qanday kirishi to’g’risida hech qanday cheklanish yo’q). Shuning uchun a0,a1,… ,an koeffisientlarni ham o’ng qisimdagi b kabi x ning ixtiyoriy funksiyalari deb hisoblash kerak. Odatda chiziqli tenglamani <<keltirilganko’rinishda>> yozish qabul qilingan, bunga tenglamaning ikkala qismini a0 koeffisientga bo’lish bilan erishiladi. Xosil bo’lgan yangi koeffisentlarni p1,p2,… ,pn harflar bilan ozod hadni esa q harf bilan belgilaymiz, shu bilan birga ularning x ga bog’liqligini oshkor holda ko’rsatamiz. Bunday holda n- darajali chiziqli differensial tenglama quyidagi ko’rinishni oladi: y ( n ) + p 1 ( x ) y ( n − 1 ) + p 2 ( x ) y ( n − 2 ) + … + p n − 1 ( x ) y ' + p n y = q ( x ) . (2) Bunday bo’lish mumkin bo’lishi uchyn a0≠0 bo’lishni talab qilishimiz kerak, binobarin, (2) tenglama (1) tenglamaga bu shart bajariladigan α<x<β intervallardagina ekvivalentdir ( a0 koeffisiyent aynan nolga teng bo’lishi mumkin emas, chunki aks holda tenglama n-tartibli bo’lmas ekan). Oldingi bobda keltirilgan yechimning mavjudligi va yagonaligi to’g’risidagi teoremani chiziqli tenglamalarga ham tadbiq qilish mumkin. Ma’lumki yopiq intervalda uzluksiz bo’lgan funksiyalar unda chegaralangandir. Shuning uchun yechimning mavjudligi va yagonaligi shartlari chiziqli tenglama uchun boshlang’ich shartlarning yetarlicha kichik atrofidagina emas (ummumiyholdaginao’xshash), balki p 1 ( x ) , p 2 ( x ) , … , p n ( x ) funksiyalar uzluksiz bo’lgan istalgan oraliqda ham bajariladi. Xususan, agar (1) tenglamaning koeffisientlarini uzluksiz deb faraz qilsak bu shartlar a0(x)≠0 bo’lgan (α,β) intervalning ichidagi istalgan oraliqda bajariladi. Shunday qilib chiziqli differensial tenglamalar uchun yechimning mavjudligi va yagonalik teoremasini quyidagicha ta’riflash mumkin: (2) chiziqli differensial tenglamaning p1(x),p2(x),… ,pn(x) koeffisientlari birorta [ a , b ] kesmada uzluksiz bo’lsin. Agar x0 qiymat (a,b) intervalga tegishli bo’lsa, u holda (2) tenglamaning uni va uning istalgan boshlang’ich shartlari sistemasini qanoatlantiruvchi butun ( a , b ) intervalda aniqlangan hamda uzluksiz bo’lgan bitta va faqat bitta y = φ ( x ) yechimi mavjud bo’ladi. Bu teoremani isbotini keltirmaymiz. Biroq kelgusida undan foydalanishga to’g’ri keladi. (2) ko’rinishdagi tenglama chiziqli bir jinsli bo’lmagan yoki o’ng tomoni mavjud tenglama deyiladi. Agar q(x)=0 bo’lsa, u holda tenglama y n + p 1 ( x ) y ( n − 1 ) + … + p n − 1 ( x ) y ' + p n y = 0 (3) ko’rinishga kelib y chiziqli bir jinsli differensial tenglama yoki o’ng tomoni yo’q tenglama deyiladi. Chiziqli differensial tenglamalar yuqori tartibli tenglamalarning eng batafsil o’rganilgan turidir. Texnika va tabiatshunoslikning ko’p masalalari chiziqli tenglamalarga olib kelinadi. Bundan tashqari, bir qator hollarda masala shartiga chiziqli ko’rinishdagi differensial tenglamalar hosil qilishga imkon beradigan shartlar maxsus kiritiladi. Bunday qo’shimcha shartlarni kiritish chiziqlashtirish deyiladi. Mazkur paragrifda (3) tenglama xususiy yechimlarining ba’zi xossalari qaraladi. (3) tenglamaning chap qismi L[y] orqali belgilaymiz: L[y]= y(n)+p1y(n−1)+… +pn−1y'+pny (4) Shu bilan birga, qisqalik uchun p1,p2… funksiyalarda x argumentni yozamiz. Bu ifodani y funksiyaning chiziqli differensial operatori deb ataymiz. L [ y ] chiziqli differensial operatorni f ( x ) funksiyaning yagonaligi kabi qarash mumkin. Darhaqiqat f ( x ) funksiya x songa yangi f(x) sonni mos qo’yadi, L [ y ] operator esa y funksiyaga yangi L [ y ] funksiyani mos qo’yadi. Masalan, L[y]= y} -x {y} ^ {'} +2 ¿ bo’lsin. U holda y= x3 funksiya uchun L [ x 3 ] = ¿ Ni hosil qilamiz, ya’ni y= x3 funksiya L[y]=6x− x3 funksiya mos qo’yiladi. y = sin x funksiya uchun: L [ sin x ] = ( sin x ) } -x( {sin {x)}} ^ {'} +2 sin {x=- sin {x-x cos {x+2 sin {x= sin {x-x cos {x.}}}}} ¿ Agar L[y] operator L[y]= y} + x ¿ bo’lsa y= x3 uchun L [ x 3 ] ' = ( x 3 ) } + x ∙ {x} ^ {3} =6 x + {x} ^ {4 ¿ ga, y = sin x uchun esa L ¿ ga egamiz. L [ y ] chiziqli differensial operator quyidagi ikkita asosiy xossaga ega. O’zgarmas ko’paytuvchini operator belgisidan tashqariga chiqarish mumkin, ya’ni n marta differensiallanuvchi istalgan y1 funksiya uchun quyidagi tenglik o’rinli: L [ C y 1 ] = C [ y 1 ] , buyerda C=const. (5) Xaqiqatan ham, L[C y1] ni hisoblasak, L [ C y 1 ] = ¿ Shuni isbotlash kerak edi. Bu xossa bir jinslilik xossasi deyiladi. 2 . Ikkita funksiya yig’indisining operatori har qaysi qo’shiluvchi operatorlarning yig’indisiga teng, ya’ni n marta differensiallanuvchi y 1 va y 2 funksiyalar uchun L[y 1 + y 2 ]= L[y 1 ]+ L[y 2 ] (6) tenglik o’rinlidir. Haqiqatan ham L[ y 1 + y 2 ] = ¿ Yig’indining hosilasi hosilalar yig’indisiga teng bo’lgani uchun bu yerda quyidagini topamiz: L [ y 1 + y 2 ] = ( y 1 ( n) + y 2 ( n)) + p 1 ( y 1 ( n − 1 ) + y 2 ( n − 1 )) + … + p n − 1 ( y 1 ' + y 2 ' ) + p n ( y 1 + y 2 ) = ( y n + p 1 y 1 ( n − 1 ) + … + p n − 1 y 1 ' + p n y 1 ) + ( y 2 ( n) + p 1 y 2 ( n − 1 ) + … + p n − 1 y 2 ' + p n y 2 ) = L [ y 1 ] + L [ y 2 ] . Bu xossa chiziqli differensial operatorning additivlik xossasi deyiladi. Ravshanki, bu xossa faqat ikkita emas, balki chekli sondagi qo’shiluvchilar uchun ham o’rinlidir. Chiziqli differensial operatorning tayinlangan xossalari (3) tenglama yechimlarining ayrim xossalarini ifodalovchi teoremani isbotlashga imkon beradi. Dastlab (3) chiziqli bir jinsli differensial tenglamani chiziqli operatordan foydalanib L [ y ] = 0 (7) ko’rinishida yozish mumkinligini qayd qilib o’taylik. Shunday qilib tenglamaning yechimi shunday y funksiyaki unga L[y] operator nolni mos qo’yadi. Bunday formulirofka oddiy f(x)=0 tenglamani yechish masalasining formulirofkasiga o’xshashdir. Endi chiziqli bir jinsli differensial tenglama xususiy yechimlarining xossalari to’g’risidagi teoremani ko’rib chiqamiz. 1-teorema . Agar y 1 funksiya (3) tenglamaning yechimi bo’lsa, u holda C y 1 funksiya ham bu tenglamaning yechimi bo’ladi. 2-teorema. Agar y 1 va y 2 funksiyalar (3) tenglamaning yechimlari bo’lsa, u holda y1+y2 funksiya ham bu tenglamaning yechimi bo’ladi. 3-teorema. Agar y 1 , y 2 , … , y n chiziqli bir jinsli differensial tenglama (3) ning xususiy yechimlari bo’lsa, u holda, ularning y=C1y1+C2y2+… +Cnyn chiziqli kombinatsiyasi ham bu tenglamaning yechimi bo’ladi. n- chi tartibli chiziqli tenglama deb quyidagi tenglamaga aytiladi. a0(x)y(n)+ a1(x)y(n−1)+… +an(x)y= f(x) (1) agar f ( x )=0 bo’lsa bir jinsli tenglama, agar f ( x )  0 bo’lsa bir jinsli bo’lmagan tenglama deyiladi. x  [ a , b ] uchun (1) tenglamada a 0 ( x )  0 bo’lsa, u holda bir jinsli tenglamani y(n)+ p1(x)y(n−1)+...+ pn(x)y= 0 (2) ko’rinishida yozish mumkin . (2)ni L[y]= y(n)+ p1(x)y(n−1)+...+ pn(x)y deb belgilansa, L [ y ]=0 bo’ladi. L – n - tartibli chiziqli operator deb atalib, ushbu xossalarga ega: 1. L [ cy ]= cL [ y ] c = const, 2. L [ y 1 + y 2 ]= L [ y 1 ]+ L [ y 2 ] Bu xossalarni isboti mos holda (cu )′= c(u)′ va (u+ v)′= u'+ v' formulalar yordamida isbotlanadi. Bu xossalarni umumlashtirib, L[∑ i=1 n ciyi]= ∑ i=1 n ciL[yi],c= const (3) formulani yozishimiz mumkin. Endi ushbu xossalardan foydalanib, bir jinsli tenglama yechimlarining ushbu ikki xossasini isbotlaymiz. 1. Agar y= ϕ (x )x ∈ I funksiya L [ y ]=0 tenglamaning yechimi bo’lsa, u holda y = c  ( x ) ( c = const ) funksiya ham tenglamaning yechimi bo’ladi. Haqiqatdan ham, L operatorni birinchi xossasiga ko’ra L [ c  ( x )]= cL [  ( x )] o’rinli Demak,  ( x ) tenglamaning yechimi bo’lganligi uchun ixtiyoriy c = const bo’lganda cL [  ( x )]=0. SHartga ko’ra L [  1 ( x )]=0, L [  2 ( x )]=0. L – operatorning ikkinchi xossasiga ko’ra L [  1 ( x )+  2 ( x )]= L [  1 ( x )]+ L [  2 ( x )]=0 Yuqoridagi xossalardan va (3) formuladan foydalansak,  1 ( x ),  2 ( x ),…,  n ( x ) funksiyalar L [ y ]=0 tenglamaning yechimi bo’lsa. y= ∑ i=1 n ciϕi(x) funksiya ham shu tenglamaning yechimi bo’lishi kelib chiqadi. Funksiyalarni chiziqli bog’liqligi va erkliligi. TA’RIF. Agar [ a , b ] intervalda α1y1+α2y2+...+αnyn= 0 ayniyat  i – o’zgarmas sonlarni kamida bittasi noldan farqli bo’lganda bajarilsa , u holda y 1 , y 2 ,…, y n funksiyalar chiziqli bog’liq deyiladi , agar ayniyat faqat  i =0 ( i =1,2,…, n ) bo’lganda bajarilsa y 1 , y 2 ,…, y n funksiyalar chiziqli erkli deyiladi. MISOL: y1= ex,y2= e− x tenglik faqat  1 =0  2 =0 bo’lganda bajarilishini ko’rish mumkin. SHuning uchun bu funksiyalar chiziqli erkli. TA’RIF: n – tartibli chiziqli tenglamani n – ta chiziqli erkli yechimlari shu tenglamaning fundamental yechimlari sistemasi deb ataladi. SHu o’rinda ushbu teorema o’rinli. TEOREMA 1. Koeffitsientlari [ a , b ] intervalda uzluksiz bo’lgan ixtiyoriy bir jinsli chiziqli tenglama fundamental yechimlar sistemasiga ega. VRONSKIY DETERMINANTI Quyidagi ko’rinishdagi determinantga Vronskiy determinanti deyiladi: W (x)= W (y1(x),y2(x),...,yn(x))=| y1(x) y2(x) ... yn(x) y1 '(x) y2 '(x) ... yn '(x) − − − − y1 (n−1)(x) y2 (n−1)(x) ... yn (n−1)(x) | Bu determinant uchun ushbu teoremalar o’rinli. TEOREMA 2: Agar y1(x),y2(x),...,yn(x) funksiyalar biror I intervalda chiziqli bog’liq bo’lsa, shu intervalda W ( x )  0 tenglik o’rinli ISBOTI: I intervalda kamida bittasi noldan farqli α1,α2,...,αn sonlar uchun α1y1+α2y2+...+ αnyn= 0 o’rinli ( y 1 , y 2 ,…, y n lar chiziqli bog’liq, bo’lganligi uchun) Bu ayniyatni p- 1 marta differensiallaymiz, unda {α 1 y 1 +α 2 y 2 +...+α n y n =0¿{α 1 y 1 ' +α 2 y 2 ' +...+α n y n ' =0¿{−−−−−−−−−−−−−−−−¿¿¿¿  i larga nisbatan sistemani olamiz.  i lardan kamida bittasi noldan farqli bo’lganligi uchun sistema noldan farqli yechimga ega. Demak, algebra kursidan ma’lumki bu sistemani determinanti nolga teng (teorema isbot bo’ladi). TEOREMA 3. Agar y 1 , y 2 ,…, y n chiziqli erkli funksiyalar bir jinsli tenglamaning I intervalda aniqlangan yechimlari bo’lsa, u holda mos Vronskiy determinanti biror nuqtada ham nolga teng emas. Endi bir jinsli tenglamaning umumiy yechimni haqidagi teoremani keltiramiz. TEOREMA 4: Agar y 1 , y 2 ,…, y n funksiyalar L [ y ]=0 tenglamani fundamental yechimlari sistemasi bo’lsa, bu tenglamaning umumiy yechimi y= c1y1+c2y2+...+cnyn= ∑ i=1 n ciyi (4) formula bilan aniqlanadi. ISBOT: Teoremani isbotlash uchun ixtiyoriy y(x0)= y0, y'(x0)= y0 ',..., y(n−1)(x0)= y0 (n−1) (5) shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechim (2) formuladan kelib chiqishini ko’rsatamiz. (5)ni y(j)= y0 (j), (j= 0,n− 1) ko’rinishda belgilaymiz va (4) ga qo’yamiz: ∑ i=1 n ciyi (j)(x0)= y0 (j)(j= 0 ,n− 1) Buni yoyib chiqsak tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi. Uning determinanti Vronskiy determinanti bo’lib, y 1 , y 2 ,…, y n lar chiziqli erkli yechim bo’lganligi uchun noldan farqli (3-teoremaga ko’ra). U holda sistema a i ixtiyoriy x 0  I uchun c i larga nisbatan yagona yechimga ega, ya’ni bu sistemadan c i larni aniq qiymatini topish mumkin. Uni (4) qo’ysak xususiy yechimi hosil bo’ladi. Teorema isbotlandi. n – nchi tartibli tenglamani xususiy holi sifatida n = 2 bo’lganda y''+a1(x)y'+a2(x)y= 0 (6) tenglamani qaraylik. Bu tenglamani bitta xususiy yechimi ma’lum bo’lsa, uni umumiy yechimi | y1 y y1 ' y'|= ce −∫a1(x)dx (7) ko’rinishida ifodalanadi. (7) ko’rinishidagi formula Ostrogradskiy - Liuvill’ formulasi deb ataladi. (7)ni yoyib yozsak y1y'− y1 'y= ce −∫a1(x)dx bo’lib, uni y1 2 ga bo’lsak, chap tomoni bo’linmani Hosila si formulasini ( y y1) ′ ifodalaydi, unda ( y y1) ′ = c y1 2e −∫a1(x)dx tenglikka ega bo’lamiz. Buni integrallasak, y y1 =∫ c1e−∫a1(x)dx y1 2(x) dx +c2 yoki y= c2y1+c1y1∫ e−∫a1(x)dx y1 2(x) dx ekanligi kelib chiqadi . Bu (6) ning umumiy yechimini ifodalaydi. 2.2. O’zgarmas koeffitsientli ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamalar. Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamalar. y''+ p y'+qy = 0 (1.1) tenglama berilgan bo’lsin, bunda p va q -o’zgarmas haqiqiy sonlar. Yuqorida isbot qilinganiga asosan bu tenglamaning umumiy integralini topish uchun uning ikkita chiziqli erkli xususiy yechimini topish yetarlidir. Xususiy yechimlarni y=ekx(бунда k= const ) (1.2) ko’rinishda izlaymiz; bu holda y'= ke kx ; y''= k2ekx hosilalarning bu ifodalarini (1) tenglamaga qo’ysak, u ekx(k2+ pk +q)= 0 ko’rinishni oladi. Ammo ekx≠ 0 bo’lgani uchun bundan k2+pk +q= 0 (1.3) ekani kelib chiqadi. Demak, agar k (1.3) tenglamani qanoatlantirsa, u holda e kx (1.1) tenglamaning yechimi bo’ladi. (1.3) teglama (1.1)tenglamaning xarakteristik tenglamasi deyiladi. Xarakteristik tenglama-ikkita ildizi kvadrat tenglamadir; bu ildizlarnik1ва k2 deb belgilaymiz. Bunda : k1=− p 2+ √ p2 4 − q; k2= − p 2− √ p2 4 − q Quyidagi xollar bo’lishi mumkin: I k1 ва k2 -haqiqiy va bir-biriga teng bo’lmagan sonlar ( k1≠ k2 ) II k1 ва k2 -kompleks sonlar III k1 ва k2 -haqiqiy va bir-biriga teng sonlar( k1=k2 ) Bu hollarni ayrim- ayrim qaraymiz I. Xarakteristik tenglamaning ildizlari haqiqiy va xar xil ( k1≠k2 ) bo’lgan xol. Bu holda y1= ek1x; y2= ek2x funksiyalar xususiy yechimlar bo’ladi. Bu yechimlar y2 y1 = ek2x ek1x= e(k2−k1)x¿const . bo’lgani uchun chiziqli erkli bo’ladi. Demak,umumiy integral y= c1ek1x+c2ek2x ko’rinishda bo’ladi. II. Xarakteristik tenglamaning ildizlari kompleks sonlar bo’lgan xol. Kompleks ildizlar juft-juft qo’shma kompleks son bo’lgani uchun ularni k1= α+iβ ; k2= α− iβ deb belgilaymiz, bunda α=− p 2 ; β= √ q− p2 4 . xususiy yechimlarni y1= e(α+iβ)x ; y2= e(α−iβ)x.(1.4) shaklda yozish mumkin. Bular haqiqiy argumentning kompleks funksiyasi bo’lib, (1.1) differentsial tenglamani qanoatlantiradi. Agar haqiqiy argumentning biror kompleks y= u(x)+iv (x) (1.5) funksiyasi (1.1) tenglamani qanoatlantirsa, bu tenglamani u ( x ) va v ( x )funksiyalar ham qanoatlantiradi. Isbot. (1.5) ifodani (1.1)tenglamaga qo’ysak, [u(x)+iv (x)] ″ + p[u(x)+iv (x)] ′ +q[u(x)+iv (x)]≡ 0 yoki (u''+ pu'+qu )+i(v''+ pv'+qv )≡ 0 tenglamani hosil qilamiz. Ammo kompleks funksiyaning haqiqiy qismi ham, mavhum qismi ham nolga teng bo’lgan holdagina u nolga teng bo’ladi, ya’ni u''+ pu'+qu = 0 , v''+ pv'+qv = 0 SHunday qilib, biz u ( x ) va v ( x ) funksiyalar tenglamaning yechimi ekanini isbot etdik. (1.4) kompleks yechimlarni haqiqiy va mavhum qismlar yig’indisi shaklida qaytadan yozamiz: y1= eαx cos βx +ie αx sin βx , y2= eαx cos βx − ie αx sin βx Isbot qilinganiga ko’ra y1= eαx cos βx , (1 .6') y2= eαx sin βx (1 .6'') haqiqiy funksiyalar ham (1.1) tenglamaning xususiy yechimlari bo’ladi y __ 1 y2 __ = eαx cos βx eαx sin βx = ctg βx ≠ const bo’lgani uchun y1 __ ва y2 __ funksiyalar chiziqli erklidir. Demak, xarakteristik tenglama kompleks ildizlarga ega bo’lganda (1.1)tenglamaning umumiy yechimi y= ¯A y1+B ¯y2= Ae αx cos βx +Be αx sin βx yoki y= eαx (Acos βx +B sin βx ) (1.7) ko’rinishda bo’ladi, bunda A va B- ixtiyoriy o’zgarmas miqdorlar. III. Xarakteristik tenglamaning ildizlari haqiqiy va teng bo’lgan xol. Bu holda k1=k2 . Yukoridagi muloxazalarga asosan bitta, y1= ek1x xususiy yechim topiladi. Birinchi xususiy yechim bilan chiziqli erkli bo’lgan ikkinchi xususiy yechimni topish kerak ( e k2x funksiya e k1x ga aynan teng bo’lgani uchun uni ikkinchi xususiy yechim sifatida olish mumkin emas). Ikkinchi xususiy yechimni y2= u(x)ek1x ko’rinishda izlaymiz, bunda u ( x )-aniqlanishi kerak bo’lgan noma’lum funksiya. Differentsiallab, quydagilarni topamiz: y2 1= u'ek1x+k1ue k1x= ek1x(u'+k1u) y2 ''= u''ek1x+2k1u'ek1x+k1 2ue k1x= ek1x(u''+2k1u'+k1 2) hosilalarning bu ifodalarini (1)tenglamaga qo’yib, ek 1 x[u''+(2k1+ p)u'+(k1 2+ pk 1+q)u]= 0 tenglamani hosil qilamiz. Lekin k1 xarakteristik tenglamaning karrali ildizi bo’lgani uchun bu holda k1 2+k1p+q= 0. bundan tashqari k1=k2=− p 2 ёки 2k1=− p,2k1+p=0. demak, u ( x ) ni topish uchun ek1xu''=0 ёки u''=0 tenglamani yechish kerak . integrallab u = Ax + B ekanini topamiz . Xususiy holda A=1 va B =0 deb olish mumkin ; bu holda u = x bo’ladi . Shunday qilib ikkinchi xususiy yechim sifatida y2= xe k1x funksiyani olish mumkin. y2 y1 ≠ x≡ const , bo’lgani uchun bu yechim bilan birinchi xususiy yechim chiziqli erklidir. SHuning uchun y= c1ek1x+c2xe k1x= ek1x(c1+c2x) funksiya umumiy integral bo’ladi. 2.3,4 Chiziqli bir jinsli o’zgarmas koeffisentli tenglama va xarakteristik tenglamasi Biz yuqorida p – chi tartibli tenglamani umumiy nazariyasi bilan tanishdik. Endi koeffitsientlari o’zgarmas sonlar bo’lganda ko’rib chiqamiz . y(n)+ a1y(n−1)+ ...+ any= 0 ai= const (1) ko’rinishdagi tenglama o’zgarmas koeffitsientli p- chi tartibli chiziqli bir jinsli tenglama deb ataladi. Bu tenglamaning xususiy yechimiy= eλx (2) ko’rinishida qidiriladi.  = const (1) ni (2)ga qo’yish uchun Hosila olamiz. y'= λe λx, y''= λ2eλx,...,y(n)= λneλx bularni tenglamaga qo’yib, λneλx+a1λn−1eλx+...+aneλx= 0 yoki eλx(λn+ a1λn−1+ ...+an)= 0 tenglikka kelamiz, bu yerdan eλx  0 bo’lganligi uchun unga qisqartirib, λn+a1λn−1+...+ an =0 (3) ko’rinishda  ga nisbatan algebraik tenglamaga kelamiz. (3) tenglama (1) tenglamaning xarakteristik tenglamasi deb ataladi. Ma’lumki (3) tenglamani p – ta ildizi bor, ular haqiqiy, kompleks bo’lishi mumkin. SHuning uchun alohida ko’rib chiqamiz. 1 - hol: (3) xarakteristik tenglama λ1,λ2,...,λn ildizlari haqiqiy va xar xil bo’lsin. Bu holda barcha ildizlarni (2)ga qo’yib, y1= eλ1x,y2= eλ2x,...,yn= eλnx ko’rinishdagi xususiy yechimlarni hosil qilamiz. Bundan y= ∑ i=1 n ciyi= c1e λ1x + c2e λ2x +...+ cne λnx (4) umumiy yechimini yozamiz. MISOL: y'''− y= 0 . Xarakteristik tenglamasi λ3−¿λ=0¿ bo’lib λ1 =0, λ 2 =1, λ 3 = - 1 ildizlarga ega (4) formulaga ko’ra umumiy yechim y = c1+c2ex+c3e−x 2 - hol: (3)ni ildizlari haqiqiy va ichida karralisi bor. Agar (3) ni λ i ildizi k i karrali bo’lsa (bunda k1+k2+...+kn= n ), u holda chiziqli erkli yechimlar soni n dan kam biz n- ta chiziqli erkli yechimlarini topamiz. Faraz qilaylik k i – karrali ildiz A i =0 – lar k i karrali bo’lsin. (3) tenglama λn+a1λn−1+...+an−kλki =0 ko’rinishiga ega bo’ladi. Bu xarakteristik tenglamaga mos tenglama y(n)+ a1y(n−1)+ ...+ an−kyki= 0 ko’rinishda bo’lib, uni xususiy yechimlari 1, x , x 2 , … , xki−1 ko’rinishda bo’ladi. Agar λ i  0 bo’lsa, u holda y= e kix t almashtirish bilan nol’ holga keltiriladi, λ i =0 ga nisbatan olingan tenglama ildizlari 1, x , x 2 , … , xki−1 bo’lib λi≠ 0,ek2x,xe k2x,...,xki−1ek2x echimlar mos keladi. Unda umumiy yechim y= ∑ i=1 m (c0i+c1ix+...+cki−1xki−1)ekix ko’rinishida bo’ladi. Bunda m chiziqli erkli yechimlar soni. MISOL: y''+2 y'+ y= 0 tenglamani yeching. Xarakteristik tenglama: λ 2 +2 λ +1=0 yoki (λ +1) 2 =0 λ 1 = - 1, λ 2 = - 1 bu ildizga mos umumiy yechim y =( c 1 + xc 2 ) e -x formula bilan ifodalanadi. 3 - hol: (3)ni ildizlari teng emas, ammo ichida kompleks ildizlari bor. Ildizlar kompleks bo’lsa, ular o’zaro qo’shma bo’ladi. λk= α k± iβ k ularga e(αk+iβk)x , e(αk−iβk)x . Xususan e(α+iβ)x,e(α−iβ)x bo’lgan yechimlar mos keladi. Bu kompleks yechimlarni Eyler formulasidan foydalanib, у(α±iβ)x= eαx (cos βx ± sin βx ) ko’rinishida yozish mumkin, ya’ni eαx cos βx , eαxsin β x. Bu yechimlar (−∞ ;+∞ ) oraliqda chiziqli erklidir. Xuddi shunday α− iβ yechimga eαx cos βx , − e−αx sin β x yechimlar mos keladi. Bu yechimlar yangi yechimlar to’plamini hosil qilmaydi. Demak, kompleks qo’shma yechimlarga ikkita haqiqiy yechim mos keladi. Kompleks yechimlarni haqiqiy yechim bilan ifodalash uchun quyidagi teoremani keltiramiz. TEOREMA : Agar koeffitsientlari uzluksiz bo’lgan L [ y ]=0 tenglama y =u( x )+ i v( x ) yechimga ega bo’lsa , u holda shu yechimni haqiqiy qismi u( x ) va mavxum qismi v( x ) funksiyalar ham tenglamaning yechimi bo’ladi. SHu teoremaga ko’ra eαx cos βx ва eαxsin βx funksiyalar tenglamaning yechimlari bo’ladi. MISOL : y''+4 y'+5y= 0 tenglama uchun (3) tenglama quyidagicha bo’ladi. λ 2 +4 λ +5=0 Buning yechimlari λ 1 = - 2+ i , λ 2 = - 2 -i, u holda umumiy yechim y= e−2x(c1cos x+c2sin x) ko’rinishga ega. 4 - hol: (3) ning ildizlari kompleks va karrali bo’lsin. Agar (3)ning ildizlari α+iβ ko’rinishida bo’lsa, unga qo’shma α− iβ ildizga ham ega. SHuning uchun α+iβ k i karrali bo’lsa α− iβ ildiz ham k i - karrali bo’ladi, ya’ni eαx cos βx ,xe αx cos βx ,...,xki−1eαxcos βx eαx sin βx ,xe αx sin βx ,...,xki−1eαxsin βx ko’rinishidagi 2 k ta haqiqiy yechim olishimiz mumkin. Bu tenglamalar (−∞ ;+∞ ) oraliqda chiziqli erkli, bunga Eyler formulasidan foydalanib, xmeλix ko’rinishda yozib ishonch hosil qilish mumkin (2 – holga qarang). Shunday qilib, α± iβ k i karrali kompleks qo’shma yechimlarga 2 k ta yechim mos keladi. Umumiy yechimni, haqiqiy va kompleks yechimlarni xar biri uchun yozib olib, jami n –ta chiziqli erkli yechimlardan hosil qilamiz. MISOL: yIV + 2 y'+ y= 0 tenglama xarakteristik tenglamasining ildizlari λ 4 = i , λ 2 = -i , λ 3 = i , λ 4 = -I bo’lib umumiy yechim y =( c 1 + c 2 x ) cosx +( c 3 + c 4 x )s i n x ko’rinishida ifodalanadi. SAVOLLAR: 1. n-tartibli tenglamaning umumiy ko’rinishi. 2. n-tartibli uzgarmas koeffitsientli bir jinsli tenglamalar. 3. Xarakteristik tenglama ko’rinishi. 4. Xarakteristik tenglama ildizlari haqiqiy va har hil bo’lganda yechim ko’rinishi. 5. Xarakteristik tenglama ildizlari haqiqiy va xar xil bo’lganda yechim ko’rinishi. 6. Xarakteristik tenglama ildizlari haqiqiy va ichida karralisi bor bo’lgan xolda. 7. Eyler formulasi. 8. Xarakteristik tenglamani ildizlari kompleks bo’lgan xol. XULOSA Xulosam shuki, bu kurs ishimni yozish mobaynida men juda ko’p ma’lumotlarga ega bo’ldim,bilgan bilimlarimni takrorlab mustahkamlab oldim.Bundan tashqari Chiziqli bir jinsli o’zgarmas koeffisentli tenglamalarni afzallik tomonlarini bilib oldim. Chiziqli bir jinsli o’zgarmas koeffisentli tenglamalarning tadbiqlari usullari formulalri to’g’risida chuqur bilim va ko’nikmalarga ega bo’ldim . Oliy ta’lim muassasalarida oddiy differensial tenglama kursini o’qitish jarayonida Chiziqli bir jinsli o’zgarmas koeffisentli tenglamalar mavzusini o’rganishda talabalar faolligini oshirish shakllantirishda dastlab nazariy tushunchalar ta’riflar ustida ishlash, umumlashtirish va konkretlashtirishga o’rgatish Chiziqli bir jinsli o’zgarmas koeffisentli tenglamalarni yechishni tadqiq etish hamda hamda ularning qo’llanilishiga doir misol masalalarni yecha olishga o’rgatish muhim o’rinni egallaydi. Talabalar faolligini oshirish uchun Chiziqli bir jinsli o’zgarmas koeffisentli tenglamalar mavzusiga doir mashq va topshiriqlar bajarish bosqichlari asosida o’rgatish, ular yordamida tahlil qilish, tadqiqot o’tkazish ularning mantiqiy matematik faoliyat tadbiqlarini talabalarning amaliy faoliyatda zaruriyligi va qo’llash usullariga o’rgatishda talabalarning bilim saviyalarining oshishiga va fikrlashlarini oshishiga ijobiy ta’sir ko’rsatadi. Chiziqli bir jinsli o’zgarmas koeffisentli tenglamalar mavzusiga oid konkret mashqlar va masalalar yechish jarayonida nazariy mantiqiy savollardan foydalanish na faqat talabalarning mantiqiy tafakkur ko’nikmalarini rivojlantirishga, balki nazariy qoida va formulalarning tadbiqlarining o’zlashtirilishini ta’minlaydi va ularni bosqichma-bosqich tafakkur usullari mohiyatini tushunishlariga hizmat qiladi. Talabalar faolligini oshirishda Chiziqli bir jinsli o’zgarmas koeffisentli tenglamalar mavzusining xossalari va ularning masalalar yechishga qo’llash usullari haqidagi bilimlar va ko’nikmalarni shakllantirishda yangi pedagogik texnologiyalarni qo’llash loyihalash usuli, axborot- kommunikativ vositalardan foydalanish, turli interfaol dars usullarini qo’llashi, bunda talabalarning turli imkoniyatlardan foydalana olishi, tayyorlovchi savol va topshiriqlardan o’rinli foydalana olishini talab etadi. Talabalarning Chiziqli bir jinsli o’zgarmas koeffisentli tenglamalar mavzusini o’rganishda talabalarni ko’nikmalarini shakllantirishda turlicha savol va topshiriqlar, loyihalar differensial tenglama kursini o’qitishda talabalarda na faqat puxta bilimlar egallashlariga balki talabalar faolligini oshirish asosida ularning fikrlash ko’nikmalari, isbotlash usullari, hosilaga nisbatan yechilmagan differensial tenglamalar to’g’risidagi bilimlarni mustahkamlashga, mantiqiy asoslash va tadqiq etishni talab etadigan tavsiyalardan foydalanishlari muhim ta’sir ko’rsatadi. Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati 1. Shavkat Mirziyoyev. Buyuk kelajagimizni mard va oliyjanob xalqimiz bilan birga quramiz. 2. Shavkat Mirziyoyev. Erkin va farovon hayot barpo etamiz. 3. Shavkat Mirziyoyev. Qonun ustuvorligi va inson manfaatlarini ta’minlash. 4. Salohiddinov M.S., Nasriddinov G ’.N. Oddiy differensial tenglamalar. T: 1994. 5. J o ’raev T. va boshqalar. Oliy matematika asoslari. 2-q. Т .: «O ’zbekiston». 1999. 6. Берман Г.Н., Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука 1985. 7.Hikmatov A.G., Toshmetov O ’.Т., Karasheva К., Matematik analizdan mashq va Imasalalar to ’plami. Т.: 1987. 8. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Ижевск: НИЦ “ Рiулярная и хаотическая динамика” . 2000. 9. А.К.Боярчук, Г.Г1.Головач. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. Справочное пособие по высшей математике. Т. 5. М.: Эдиториал УРСС, 2001. 10. Кузнецов JI . A . «Сборник заданий по высшей математике». М.: Высшая школа, 1994. 11. Jo ’ rayev T . Va boshqalar. Oliy matematika asoslari. 2-q. T.: “ O’zbekiston” 1999. 12. Hikmatov A.G., Toshmetov O’.T., Karasheva K., Matematik analizdan mashq va masalalar to’plami. T.: 1987. 13. www. ziyouz.com. 14. www.president.uz.

Chiziqli bir jinsli o’zgarmas koeffisentli tenglamalar

Reja:

I. Kirish.

II. Asosiy qism:

  1. Chiziqli tenglamalar va uning xossalari.
  2. O’zgarmas koeffisentli ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamalar.
  3. Chiziqli bir jinsli o’zgarmas koeffisentli tenglama va xarakteristik tenglamasi.
  4.  Xarakteristik tenglamaning ildizlari.

III. Xulosa.

IV. Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati.

 

Sotib olish