Dokument ma'lumotlari

Narxi 30000UZS
Hajmi 668.2KB
Xaridlar 0
Yuklab olingan sana 04 Iyun 2025
Kengaytma docx
Bo'lim Kurs ishlari
Fan Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

122 Sotish

Ellips, giperbola va parabolaning qutb kordinatalar sistemasidagi tenglamalariga doir metrik masalar kurs ishi

Sotib olish
O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI Farg‘ona davlat universiteti Fizika-matematika fakulteti Matematika yo‘nalishi 24.02-guruh talabasi ning Analitik geometriya fanidan “Ellips, giperbola va parabolaning qutb kordinatalar sistemasidagi tenglamalariga doir metrik masalar” mavzusidagi KURS ISHI Kurs ishi rahbari: Farg‘ona-2025 Reja: KIRISH .....................................................................................................................3 I- BOB.IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLAR VA ULARNING UMUMIY TENGLAMALARI 1 . 1- § . Ikkinchi tartibli chiziqlar, ularning umumiy tenglamasi va markazi……..…4 1 . 2- § . Ellips, giperbola va parabolaning kanonik tenglamalari……………….……9 II- BOB. PARABOLA, GIPERBOLA VA ELLIPSNING QUTB KOORDINATALAR SISTEMASIDAGI TENGLAMALARI 2.1- § . Qutb koordinatalar sistemasi…………………………………………...…..19 2.2- § . Ikkinchi tartibli chiziqlarning qutb koordinatalar sistemasidagi tenglamalari………………………………………………………………….……20 XULOSA…………………………………………………………………………28 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR………………………………………..29 KIRISH Kurs ishining dolzarbligi: Talabalar intellektual tafakkurini shakllantirish asosida talabalar qobiliyat va qiziqishlarini rivojlantirish ularning umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli egri chiziqlar mavzulari bo’yicha bilimlarni yanada chuqurlashtirish. Respublikamiz Prezidenti Sh. Mirziyoyev “O’zbekiston Respublikasini yanada rivojlantirish bo’yicha Harakatlar strategiyasi to’g’risida”gi farmoni va oliy ta’lim tizimini yanada rivojlantirish bo’yicha qabul qilingan PQ 29-09 Qarori mazmunida barkamol shaxs va malakali mutaxassisni tarbiyalab voyaga yetkazish jarayonining mohiyati to‘laqonli ochib berilgan. Malakali kadrlar tayyorlash jarayonining har bir bosqichi o‘zida ta’lim jarayonini samarali tashkil etish, uni yuqori bosqichlarga ko‘tarish, shu bilan birga jahon ta’limi darajasiga yetkazish borasida muayyan vazifalarni amalga oshirishi lozim. Mazkur vazifalarning muvaffaqiyatli hal etilishida yana bir omilning mavjudligi, ya’ni, ta’lim jarayoning samaradorligini oshirish, uzluksiz ta’lim tizimi xodimlarining malakali mutaxassis bo’lib yetishishlari muhim ahamiyat kasb etadi. Biz bo’lajak pedagog ekanmiz, o ‘sib kelayotgan yosh avlodni yetuk ma‘naviyatli, bilimli, malakali kadr etib tarbiyalash har bir pedagogning asosiy vazifasidir va bu ishlarni biz ham munosib ravishda amalga oshirilishiga o‘z hissamizni qo‘shishga harakat qilamiz. Kurs ishining maqsadi: Parabola ,giperbola va ellipsning qutb koordinatalar sistemasidagi tenglamalari Kurs ishining vazifalari: 1. Mavzuga doir ma’lumotlarni yig’ish va rejani shakllanti rish ; 2.Ikkinchi tartibli chiziqlar va ularning kanonik tenglamalarini o’rganish; I- BOB.IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLAR VA ULARNING UMUMIY TENGLAMALARI 1 . 1- § .Ikkinchi tartibli chiziqlar , ularning umumiy tenglamasi va markazi Bu bobning boshida har qanday I tartibli tenglama tekislikda biror to‘g‘ri chiziqni aniqlashini va aksincha, tekislikdagi har qanday to‘g‘ri chiziq I tartibli tenglamaga ega bo‘lishini ko‘rib chiqqan edik. Endi tekislikda II tartibli t е nglam а larni qaraymiz. Bu tenglamalarning umumiy ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi: Bunda tenglamadagi koeffitsiyentlardan kamida bittasi noldan farqli, ya’ni shart bajarilishi kerak. Aks holda tenglama I tartibli tenglamaga aylanadi. 1-TA’RIF: Tenglamasi ko‘rinishda bo‘lgan tekislikdagi chiziqlar II tartibli chiziqlar deb ataladi. Biz quyida bunday chiziqlarning turlari bilan tanishib chiqamiz. Hozircha esa tenglama har doim ham biror egri chiziqni ifodalashi shart emasligini misollar orqali ko‘rsatamiz. Ikkinchi tartibli chiziqlar geometriyadagi konus kesimlarini bildiradi, ular doiralar, ellipslar, giperbolalar va parabolalarni o'z ichiga oladi. Konus kesimining har bir turi o'zining umumiy tenglamasiga ega. Quyida har biri uchun umumiy tenglamalar keltirilgan: Aylana: Markazi va radiusi bo‘lgan aylananing umumiy tenglamasi quyidagicha ifodalanadi: Bu tenglamada aylana markazining koordinatalarini, esa radiusni ifodalaydi. Ellips: Markazi , yarim katta o'q a va yarim kichik o'q b bo'lgan ellipsning umumiy tenglamasi quyidagicha ifodalanadi: Bu tenglamada ellips markazining koordinatalarini, a va b esa mos ravishda yarim katta va yarim kichik o‘qlarning uzunliklarini ifodalaydi. Giperbola: Markazi , Haqiqiy o‘qi a va Mavhum oqi o‘qi b bo‘lgan giperbolaning umumiy tenglamasi quyidagicha ifodalanadi: Bu tenglamada giperbola markazining koordinatalarini, va esa mos ravishda Haqiqiy va mavhum o‘qlarning uzunliklarini ifodalaydi. Parabola: Cho'qqisi va fokusi bo'lgan parabolaning umumiy tenglamasi quyidagicha ifodalanadi: Bu tenglamada parabolaning uchi koordinatalarini, esa parabolaning shakli va yo‘nalishini aniqlaydi. Parametr cho'qqi va fokus o'rtasidagi masofani ifodalaydi. Ushbu umumiy tenglamalar konusning har xil turlarini tasvirlash va ifodalash usulini beradi. Ushbu tenglamalardagi parametrlarni o'ziga xos qiymatlarni almashtirish orqali siz aniq doiralar, ellipslar, giperbolalar yoki parabolalarning tenglamalarini olishingiz mumkin. Ikkinchi darajali ko‘phadning umumiy tenglamasi quyidagicha ifodalanadi: Bu tenglamada va konstantalar, va esa o‘zgaruvchilarni ifodalaydi. va koeffitsientlari tenglama hosil qilgan egri chiziqning shakli va yo'nalishini aniqlaydi. Konus kesimlarning tasnifi: Konus kesimlarining (doira, ellips, giperbola, parabola) tasnifi ularning umumiy tenglamalaridagi koeffitsientlar bilan aniqlanadi. Koeffitsientlarning belgilari va qiymatlarini tahlil qilib, tenglama konusning qaysi turini ifodalashini aniqlashingiz mumkin. Doira uchun va koeffitsientlari teng va nolga teng emas. Ellips uchun va koeffitsientlari bir xil belgiga ega va . . Giperbola uchun va koeffitsientlari qarama-qarshi belgilarga ega va Parabola uchun b koeffitsienti nolga teng, yoki esa nolga teng emas. Shuni ta'kidlash kerakki, umumiy tenglamalardagi koeffitsientlar konus kesimlarining shakli, joylashuvi va yo'nalishini o'zgartiradigan o'zgarishlarga (masalan, tarjimalar, aylanishlar, masshtablar) o'tishi mumkin. Ushbu umumiy tenglamalar va tasniflar ikkinchi darajali chiziqlarni tushunish va ular bilan ishlash uchun asos bo'lib xizmat qiladi, xoh ular konusning kesmalarini ifodalaydi. Ikkinchi tartibli chiziqlarning markazi. tenglama bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqni tekshirish bilan shug‘ullanamiz. Bu ishni koordinatalar sistemasini o'zgartirish va tenglamani soddalashtirish yordamida amalga oshiramiz. Birinchi navbatda parallel ko'chirishda tenglama koeffitsientlari qanday o‘zgarishini tekshiramiz. Buning uchun formulalar yordamida almashtirishlami bajaramiz. Bu holda koordinata o‘qlarining yo‘nalishlari o‘zgarmaydi,faqat koordinata boshi nuqtaga ko’chadi. Bu formulalardan , larni topib va (1) ga qo‘yib, tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamada koeffitsientlar uchun tengliklar o'rinli bo'lib, bilan tenglamaning chap tomonidagi ifoda belgilangan. Yuqoridagi formulalardan ko'rinib turibdiki, paralllel ko'chirishda ikkinchi darajali hadlar oldidagi koeffitsientlar o'zgarmaydi. Agar nuqtaning koordinatalari sistemani qanoatlantirsa, tenglamada birinchi darajali hadlar qatnashmaydi. Bundan tashqari, agar nuqtaning koordinatalari sistemani qanoatlantirsa, nuqta ikkinchi tartibli chiziq uchun simmetriya markazi bo'ladi. Haqiqatan ham bu holda koordinatalar markazini nuqtaga ko'chirsak, tenglamada birinchi darajali hadlar qatnashmaydi. Shuning uchun yangi koordinatalar sistemasida tenglik o'rinli bo'ladi. Demak, nuqta chiziq uchun simmetriya markazidir. Va aksincha, agar birorta nuqta chiziq uchun simmetriya markazi bo'lsa uning koordinatalari sistemani qanoatlantirishini ko'rsatamiz. Koordinata boshini nuqtaga joylashtirib, yangi koordinatalar sistemasini kiritamiz. Agar nuqta chiziqqa tegishli bo'lsa, tenglik o'rinli bo'ladi. Koordinata boshi simmetriya markazi bo'lgani uchun tenglik ham o'rinli bo'ladi. Bu tengliklarni ikkinchisini birinchisidan ayirib tenglikni hosil qilamiz. Agar koeffitsientlaming kamida bittasi noldan farqli bo'lsa, bu tenglama to'g'ri chiziqni aniqlaydi, ya’ni ikkinchi tartibli chiziqning hamma nuqtalari bir to'g'ri chiziqda yotadi. Agar ikkinchi tartibli chiziq bir to‘g‘ri chiziqda yotmasa, bu koeffitsientlaming har ikkalasi ham nolga teng bo'ladi. Bu esa nuqtaning koordinatalari sistemani qanoatlantirishini ko'rsatadi. Bu faktlami hisobga olsak quyidagi ta ’rifning geometrik ma’nosi yaxshi tushinarli bo'ladi. 1-ta’rif. Tekislikdagi nuqtaning koordinatalari sistemani qanoatlantirsa, u tenglama bilan berilgan ikkkinchi tartibli chiziqning markazi deyiladi. Tabiiyki, sistema yagona yechimga ega bo'lishi, cheksiz ko'p yechim ga ega bo 'lishi yoki umuman yechimga ega bo'lmasligi mumkin. Agar, munosabat o'rinli bo'lsa, sistema yagona yechimga ega bo'ladi. Agar, munosabat o'rinli bo'lsa sistema cheksiz ko'p yechimga, munosabat bajarilsa sistema yechimga ega emas. Bularni e ’tiborga olib, biz ikkinchi tartibli chiziqlarni uchta sinfga ajratamiz: a) yagona markazga ega bo'lgan chiziqlar; b) cheksiz ko'p markazga ega bo'lgan chiziqlar; d ) markazga ega bo'lmagan chiziqlar; Tenglamaning kanonik shakli nima? Bu tenglamaning umumiy qabul qilingan standart shakli bo'lib, bir necha soniya ichida u qanday geometrik ob'ektni aniqlagani aniq bo'ladi. Bundan tashqari, kanonik shakl ko'plab amaliy muammolarni hal qilish uchun juda qulaydir. Shunday qilib, masalan, kanonik tenglamaga ko'ra tekis , birinchidan, bu to'g'ri chiziq ekanligi darhol aniq bo'ladi, ikkinchidan, unga tegishli nuqta va yo'nalish vektori oddiygina ko'rinadi. 1 . 2- § . Ellips, giperbola va parabolning kanonik tenglamalari Parabola (yun. parabole) — 2-tartibli yassi egri chiziq; har bir nuqtasidan fokus deb ataladigan nuqta va direktrisa deb ataladigan to g ri chiziqqacha masofalariʻ ʻ teng bo ladi. Fokusdan o tib, direktrisaga tik bo lgan ʻ ʻ ʻ to g ri chiziq ʻ ʻ Parabolaning o qi, o q bilan Parabolaning kesishish nuqtasi uchi deyiladi. Parabola ʻ ʻ o z o qiga nisbatan simmetrik chiziq. Havo qarshiligi qisobga olinmasa, ʻ ʻ boshlang ich tezligi vertikal bo lmagan, erkin harakatlanayotgan jiyemning ʻ ʻ trayektoriyasi Parabola chizadi. Parabolani o z o qi atrofida aylantirib hosil ʻ ʻ qilingan sirt (aylanma paraboloid ) parallel nurlarni bir nuqtaga yig adi va, ʻ aksincha, fokusidan tarqalayotgan nurlar paraboloiddan qaytib, parallel dasta hosil qiladi. Parabolaning bu xossasidan projektor va avtomobil faralari yasashda, quyosh energiyasini qo llash (konsentratorlar)da foydalaniladi. Parabola - bu ʻ kvadrat tenglama bilan aniqlanishi mumkin bo'lgan shaklidagi egri chiziq. Uning kanonik tenglamasi odatda quyidagi shaklda ifodalanadi: qayerda: parabolaning eng kichik yoki maksimal qiymatiga yetadigan nuqtasi bo'lgan parabolaning cho'qqisini ifodalaydi. parabolaning shakli va yo'nalishini aniqlaydi. Agar bo'lsa, parabola yuqoriga, bo'lsa, parabola pastga ochiladi. va birgalikda parabolaning o'rnini, shakli va yo'nalishini aniqlaydi. Bu tenglamada parabolaning gorizontal siljishini, esa vertikal cho'zilish yoki siqishni ifodalaydi. qiymati parabolaning qanchalik tik yoki kengligini aniqlaydi. Parabola tenglamasining cho'qqi shakli, ayniqsa foydalidir, chunki u parabolaning tepasi haqida to'g'ridan-to'g'ri ma'lumot beradi. Parabolaning simmetriya o'qi uning tepasidan o'tadigan vertikal chiziqdir. U tenglama bilan berilgan, bu erda parabolaning tepasi. Fokus va to'g'ridan-to'g'ri yo'nalish: Parabola cho'qqidan bir xil masofada joylashgan fokus va direktrisaga ega. Fokus simmetriya o'qidagi nuqta, direktrisa esa simmetriya o'qiga perpendikulyar chiziqdir. Cho'qqidan fokusgacha bo'lgan masofa , cho'qqidan direktrisagacha bo'lgan masofa ham bilan belgilanadi. ning qiymatini |p| tenglamasi yordamida hisoblash mumkin = . Vertex shakli: kanonik tenglama, ,shuningdek, parabolaning tepa shakli sifatida ham tanilgan. parabola cho'qqisining qisqacha tasvirini beradi va asosiy xususiyatlarni osongina aniqlash imkonini beradi. Standart shakl: Parabola tenglamasining yana bir keng tarqalgan shakli standart shakl bo'lib, u shaklida ifodalanadi. Bu shakl cho'qqi shaklini kengaytirish va soddalashtirish orqali olinadi. Simmetriya: Parabolalar simmetriya o'qiga nisbatan simmetrikdir. Demak, parabolaning istalgan nuqtasini olsangiz, nuqta ham parabolada yotadi. Ochilish: kanonik tenglamadagi “ ” koeffitsientining belgisi parabolaning yuqoriga yoki pastga ochilishini aniqlaydi. Agar bo'lsa, tenglama parabola emas, balki chiziqli funktsiyani ifodalaydi. Kesish: parabola o'qini nuqtada kesib o'tadi, bu erda - tepaning - koordinatasi. -kesishmalarni (yoki ildizlarini) topish uchun siz tenglamada ni o'rnatasiz va ni hal qilasiz. Bu parabolalarning kanonik tenglamalari bilan tavsiflangan ba'zi asosiy xususiyatlari va xususiyatlari. Fokus deb ataluvchi berilgan nuqtadan va direktrisa deb ataluvchi berilgan to’g’ri chiziqdan teng uzoqlikda yotuvchi tekislikdagi nuqtalar to’plami parabola deyiladi. Uchi koordinatalar boshida yotuvchi, simmetriya o’qi o’qdan iborat bo’lgan parabolaning kanonik tenglamasi ko’rinishga ega. Bunda (parabola parametri) – fokusdan direktrisagacha bo’lgan masofa. Direktrisaning tenglamasi ko’rinishga ega. Agar – parabolaning nuqtasidan parabola fokusigacha bo’lgan masofa, nuqtadan direktrisagacha bo’lgan masofasi bo’lsa, u holda uning ekssentrisiteti , Uchi koordinatalar boshida, simmetriya o’qi bo’lgan parabolaning kanonik tenglamasi ushbu ko’rinishga ega: Uning direktrisasi tenglamasi esa: Parabolaning xossalari 1.Parabola o’qiga nisbatan simmetrik bo’lgan egri chiziqdir. 2.Parabola koordinata boshidan o’tadi. 3. o’zgaruvchining qiymatlari cheksiz oshib borgan sari o’zgaruvchining qiymatlari ham cheksiz oshib boradi. PARABOLA y Giperbola. Giperbolaning kanonik tenglamasi Giperbola - bir-biridan uzoqda ochiladigan ikkita alohida novdalardan iborat konusning bir turi. U egri chiziqdagi nuqtalar orasidagi masofalarni o'z ichiga olgan ma'lum bir geometrik xususiyat bilan belgilanadi. Giperbolaning kanonik tenglamasi giperbolaning gorizontal yoki vertikal yo'naltirilganligiga qarab ikki xil ko'rinishda ifodalanishi mumkin: Gorizontal yo'nalish: Gorizontal ko'ndalang o'qli giperbolaning kanonik tenglamasi quyidagicha ifodalanadi: Bu tenglamada giperbola markazining koordinatalarini, markazdan o‘qi (yarim katta o‘q) bo‘ylab cho‘qqilarigacha bo‘lgan masofani, esa markazdan markazgacha bo‘lgan masofani ifodalaydi. o'qi (yarim kichik o'q) bo'ylab cho'qqilar. Vertikal yo'nalish: Vertikal ko‘ndalang o‘qli giperbolaning kanonik tenglamasi quyidagicha ifodalanadi: x Bu tenglamada giperbola markazining koordinatalarini, markazdan o‘qi (yarim katta o‘q) bo‘ylab cho‘qqilarigacha bo‘lgan masofani, esa markazdan markazgacha bo‘lgan masofani ifodalaydi. o'qi bo'ylab cho'qqilar (yarim kichik o'q). Giperbolaning ko'ndalang o'qi - markazdan o'tuvchi va ikkita shoxni kesib o'tuvchi chiziq. Ko'ndalang o'q bo'ylab markaz va har bir cho'qqi orasidagi masofa bilan berilgan. Giperbolaning asimptotalari cheksizlikka cho'zilganida giperbolaning shoxlariga yaqinlashadigan chiziqlardir. Giperbolaning qiyaligi va markazini hisobga olgan holda asimptotalarning tenglamalarini olish mumkin. Kanonik tenglama giperbolalarni ifodalash uchun standartlashtirilgan shaklni taqdim etadi va giperbolaning markazi, uchlari, asimptotalari va o'qlari kabi asosiy xususiyatlarni aniqlash uchun ishlatilishi mumkin. Fokuslar va yo'nalishlar: giperbolada ikkita fokus va ikkita yo'nalish mavjud. Fokuslar giperbola ichidagi nuqtalar bo'lib, uning shaklini aniqlashda asosiy rol o'ynaydi. Giperbolaning markazidan har bir fokusgacha bo'lgan masofa bilan belgilanadi. Yo'nalishlar giperbolaning tashqarisida markazdan teng masofada joylashgan chiziqlardir. Markazdan har bir direktrisagacha bo'lgan masofa bilan belgilanadi. va o'rtasidagi munosabat tenglamasi bilan berilgan, bu erda b markazdan konjugat o'qi bo'ylab cho'qqilargacha bo'lgan masofani ifodalaydi. Ko'ndalang va konjugat o'qlar: giperbolaning ko'ndalang o'qi - bu giperbolaning markazi va uchlari orqali o'tadigan chiziq. Bu giperbolaning shoxlari eng keng bo'lgan o'qdir. Ko'ndalang o'qning uzunligi ga teng. Konjugat o'qi - markazdan o'tadigan va ko'ndalang o'qga perpendikulyar bo'lgan chiziq. Uning uzunligi . Eksentriklik: Giperbolaning ekssentrikligi shoxlarning qanchalik "tarqalganligi" o'lchovidir. U harfi bilan belgilanadi va markaz va markaz orasidagi masofaning yarim katta o'qning uzunligiga nisbati sifatida hisoblanadi. Giperbola uchun qiymati har doim 1 dan katta. Simmetriya: Giperbolalar ko'ndalang o'qiga, konjugat o'qiga va markazga nisbatan simmetriyaga ega. Bu shuni anglatadiki, agar nuqta giperbolaning bir tarmog'ida yotsa, nuqta mos keladigan sohada yotadi. Shakl: va qiymatlariga qarab, giperbola turli shakllarga ega bo'lishi mumkin. Agar bo'lsa, giperbola gorizontal ravishda cho'ziladi, bo'lsa, giperbola vertikal ravishda cho'ziladi. Bu xossa va xarakteristikalar giperbolaning kanonik tenglamasi bilan bog'liq bo'lib, uning shakli, yo'nalishi va asosiy elementlari haqida tushuncha beradi. Kanonik tenglama matematika va geometriyadagi giperbolalarni tushunish va tahlil qilish uchun qimmatli vositadir. Giperbola deb tekislikdagi shunday nuqtalar to’plamiga aytiladiki, bu nuqtalarning har biridan shu tekislikning fokuslar deb ataluvchi ikki nuqtasigacha bo’lgan masofalar ayirmalarining absolyut qiymatlari o’zgarmas miqdordir. Fokuslari o’qda koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik holda yotuvchi giperbolaning kanonik tenglamasi ko’rinishga ega. Bunda; − giperbolaning haqiqiy yarim o’qi uzunligi; − mavhum yarim o’qi uzunligi. Agar fokuslar orasidagi masofani desak, bo’ladi. Giperbola ekssentrisiteti deb, quyidagi tenglikka aytiladi: Giperbolaning fokal radiuslari deb, uning nuqtasidan fokuslargacha bo’lgan masofalariga ( va bilan belgilanadi) aytiladi. Giperbola konusning bir turi bo'lib, u ikkita ko'zgu yoyga o'xshash ikkita alohida egri chiziqdan iborat. Giperbolaning umumiy tenglamasi: bu erda - markazdan o'qi bo'ylab har bir cho'qqigacha bo'lgan masofa va - markazdan o'qi bo'ylab har bir cho'qqigacha bo'lgan masofa. Bu giperbola uchun tenglamaning kanonik ko'rinishi bo'lib, u giperbolaning markazi boshlang'ichda va giperbolaning ikki tarmog'i - va ga nisbatan simmetrikdir deb faraz qiladi. Shuningdek, giperbola uchun tenglamaning standart shakl va umumiy shakl kabi boshqa shakllari ham mavjud bo lib, ular kanonik shakldan turli o zgarishlarniʻ ʻ qo llash orqali olinishi mumkin. ʻ Giperbola ikki qismdan iborat bo’lib ular giperbolaning tarmoqlari deyiladi. Giperbola ning bir (o’ng) tarmog’i yarim tekislikda, ikkinchi (chap) tarmog’i yarim tekislikda joylashgan bo’ladi . Agar giperbolaning fokuslari ordintalar o’qida joylashgan bo’lsa, uning kanonik tenglamasi ko’rinishda bo’ladi. Giperbola asimptotalarga ega. Agar tekis chiziqning nuqtasi shu chiziq bo’ylab harakatlanib borganida, uning to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofasi nolga intilsa, to’g’ri chiziqning asimptotasi deyiladi. Yarim o’qlari teng bo’lgan giperbola teng tomonli deb ataladi. Giperbolaning xossalari 1. Giperbola koordinata o’qlariga nisbatan simmetrik bo’lgan egri chiziqdir. 2.To’g’ri chiziqlar giperbolaning asimptotalari bo’ladi, ya’ni bu to’g’ri chiziq x ning cheksiz kattalishib borishi bilan giperbolaga borgan sari yakinlashib boradi. GIPERBOLA y Ellips va uning kanonik tenglamasi Ellipsning ta'rifi. Ellips tekislikdagi barcha nuqtalar to'plami bo'lib, ular uchun fokuslar deb ataladigan nuqtalargacha bo'lgan masofalar yig'indisi doimiy va fokuslar orasidagi masofadan kattaroqdir. Ellipsning kanonik tenglamasi: va - yarim o'qlarning uzunliklari, ya'ni koordinata o'qlari bo'yicha ellips bilan kesilgan segmentlarning yarmi uzunligi. Ellips fokuslari orqali o'tadigan to'g'ri chiziq uning simmetriya o'qidir. Ellipsning yana bir simmetriya o'qi bu segmentga perpendikulyar bo'lgan segmentning o'rtasidan o'tadigan to'g'ri chiziqdir. Nuqta bu chiziqlarning kesishishi ellipsning simmetriya markazi yoki oddiygina ellips markazi bo'lib xizmat qiladi. Ellipsning abscissa o'qi nuqtalarda kesishadi ( va va o'qi ( nuqtalarida) ) va ( ). Ushbu to'rt nuqta ellipsning uchlari deb ataladi. Ellipsning abscissa o'qidagi uchlari orasidagi segment uning katta o'qi, ordinata o'qida esa kichik o'qi deb ataladi. Ularning ellipsning tepasidan markazigacha bo'lgan segmentlari yarim o'qlar deb ataladi. Agar , keyin ellipsning tenglamasi shaklni oladi. Bu radiusli doira uchun b -bO xa-a . . . . . . F 2 (c;0) F 1 (-c;0) tenglama , aylana esa ellipsning maxsus holatidir. Ellipsni radiusli aylanadan olish mumkin , agar siz uni siqsangiz eksa bo'ylab marta . Agar - ellipsning ixtiyoriy nuqtasi va - fokuslardan bu nuqtagacha bo'lgan masofalar bo'lsa, masofalar uchun formulalar quyidagicha: Ellipsga tegishli har bir nuqta uchun fokuslardan masofalar yig'indisi ga teng doimiy qiymatdir. Ellips ovalning alohida holatidir. "Oval" so'zini filistiy ma'noda tushunmaslik kerak ("bola oval chizdi" va hokazo). Bu batafsil formulaga ega matematik atama. Ushbu darsning maqsadi analitik geometriyaning standart kursida amalda e'tibor berilmagan ovallar va ularning har xil turlari nazariyasini ko'rib chiqish emas. Va hozirgi ehtiyojlarga ko'ra, biz darhol ellipsning qat'iy ta'rifiga o'tamiz: Ellips - bu tekislikning barcha nuqtalari to'plami bo'lib, ularning har biriga berilgan ikkita nuqtadan masofalar yig'indisi deyiladi. nayranglar ellips, doimiy qiymat bo'lib, son jihatdan ushbu ellipsning katta o'qi uzunligiga teng: . Bunday holda, fokuslar orasidagi masofa bu qiymatdan kamroq bo'ladi . Ellips tekislik nuqtalarining joylashuvi deyiladi, ularning har biri uchun ellips fokuslari deb ataladigan bir tekislikning berilgan ikkita nuqtasigacha bo'lgan masofalar yig'indisi doimiy qiymatdir. Ellips uchun yana bir nechta ekvivalent ta'riflar berilishi mumkin. Xohlovchilar ular bilan analitik geometriya bo'yicha jiddiyroq darsliklarda tanishishlari mumkin. Bu erda faqat elips - bu tekislikda yotgan aylana tekisligiga proyeksiya sifatida olingan egri chiziq ekanligini ta'kidlaymiz, bu tekislik bilan o'tkir burchak hosil qiladi. Doiradan farqli o'laroq, ellips tenglamasini ixtiyoriy koordinatalar tizimida "qulay" shaklda yozish mumkin emas. Shuning uchun, qo'zg'almas ellips uchun uning tenglamasi juda oddiy bo'lishi uchun koordinatalar tizimini tanlash kerak. Ellipsning o'choqlari bo'lsin va bo'lsin. Koordinata tizimining kelib chiqishi segmentning o'rtasida joylashgan. Biz o'qni ushbu segment bo'ylab yo'naltiramiz, o'q bu segmentga perpendikulyar. Ellips ta’rifi va kanonik tenglamasi T е kislikda t е nglama bilan aniqlangan chiziq ellips d е yiladi. Bunda bo’lganda ellips markazi k оо rdinata b о shida va radiusi ga t е ng bo’lgan aylanadan iborat bo’ladi. Faraz qilaylik, bo’lsin. o’qda absissalari m о s ravishda va bo’lgan, F 1 (-c; 0) va F 2 (c; 0) nuqtalarni b е lgilaymiz. Bu nuqtalar ellipsning f о kuslari deb ataladi. ellipsni, fokuslargacha bo’lgan mas о falar yig’indisi o’zgarmas kattalikka t е ng bo’lgan nuqtalarning g ео m е trik o’rni sifatida aniqlash mumkin. Ellips aylanani t е kis qisish yordamida h о sil qilinishi mumkin. Ushbu aylanani ko’rib chiqamiz. Endi t е kislikni Ох o’qga qarab qisamiz, ya’ni shunday almashtirish о lamizki, bunda k оо rdinatali nuqta ko’rinib turibdiki, aylana k оо rdinatali nuqtaga o’tsin. U h о lda, ellipsga o’tadi. Ta’rif. Ellipsning fokuslari orasidagi masofani katta o’q uzunligiga nisbati ellipsning eksentrisiteti deyiladi va u quyidagicha aniqlanadi. Ta’rif. Ellipsning ixtiyoriy nuqtasidan fokuslargacha masofalari bu nuqtaning fokal radiuslari deyiladi va ular quyidagicha hisoblanadi. bu erda ellipsning nuqtasi. Umuman olganda ellipsning fokal radiuslarini topishning bundanda soddaroq formulasini keltirish mumkin. ELLIPS b . . . .F 2 F 1 y A BD II- BOB. PARABOLA, GIPERBOLA VA ELLIPSNING QUTB KOORDINATALAR SISTEMASIDAGI TENGLAMALARI 2. 1- § . Qutb koordinatalar sistemasi Qutbli koordinatalar tizimi - bu Yer yoki boshqa sirt holatini aniqlash uchun ishlatiladigan koordinatalar tizimi. Bu tizim Yerning qutblariga asoslangan va shuning uchun ham "qutb koordinatalari tizimi" deb ataladi. Qutbli koordinatalar tizimi ikkita parametrdan foydalanadi: kenglik va uzunlik. Kenglik nuqta shimoliy yoki janubiy yarim sharda joylashgan burchak masofasini bildiradi, uzunlik esa sharqiy yoki g'arbiy yarim sharda joylashgan burchak masofasini bildiradi. Ushbu tizim xaritalar va navigatsiya qurilmalarini yaratishda keng qo'llaniladi. Masalan, Polar koordinata tizimi yordamida joylashishni aniqlash uchun avvalo mos yozuvlar nuqtasi aniqlanadi. Bu odatda Shimoliy qutb yoki janubiy qutbdir. Keyin nuqtaning kengligi va uzunligi uning mos yozuvlar nuqtasiga bo'lgan burchak masofasidan foydalanib aniqlanadi. Kenglik qutblarga bo'lgan burchakni anglatadi, uzunlik esa mos yozuvlar nuqtasidan o'tadigan doiradagi burchakni anglatadi. Bu burchak masofalari darajalar, soniyalar va soniyalar kabi birliklarda ifodalanadi. -bO a-a -c c x C Qutb koordinatalar sistemasi ikki o lchamli koordinatalar sistemasi bo lib, undaʻ ʻ tekislikdagi har bir nuqta qutb burchagi va qutb radiusi deb ataluvchi ikkitason orqali aniqlanadi. Ikkita nuqta orasidagi munosabatni radius va burchaklar orqali ifodalash qulay bo lgan hollarda qutb koordinatalar ʻ sistemasidan foydalanish maqsadga muvofiqdir. Dekart yoki to g’ri ʻ burchakli koordinatalar sistemasida bunday munosabatlar trigonometrik tenglamalarni qo llash orqali amalga oshiriladi. Qutb koordinatalar sistemasi nol ʻ nur yoki qutb o qi deb ataluvchi o q orqali beriladi. Bu nur chiquvchi ʻ ʻ nuqtaga koordinata boshi yoki qutb deyiladi. Tekislikdagi har qanday nuqta ikkita qutb koordinata-radius va burchak orqali aniqlanadi. Radius (radial koordinata) odatda rharfi bilan belgilanib, nuqtadan koordinata boshigacha bo lgan ʻ masofaga teng. Burchak koordinata ko p hollarda qutb burchagi yoki azimut ʻ deb ham yuritiladi. Bu miqdor harfi bilan belgilanib, berilgan nuqtaga tushish uchun qutb o qi buriladigan (soat strelkasiga qarama-qarshi yo nalish) ʻ ʻ burchakka teng. Shu tarzda aniqlangan radial koordinata (radius) dan gacha bo lgan qiymatni qabul qilishi mumkin. Burchak koordinata esa ʻ dan gacha bo lgan qiymatlarni qabul qilishi mumkin. ʻ 2.2- § . Ikkinchi tartibli chiziqlarning qutb koordinatalar sistemasidagi tenglamalari Koordinata boshi chiziqning uchida bo‘lgan hol: a) Ellips kanonik ko‘rinishdagi tenglama bilan berilgan bo‘lsa, almashtirish bajarsak, yangi koordinatalar boshi ellipsning chap uchida joylashadi va tenglama ko'rinishga keladi. Bu tenglamani ko'rinishda yozib olamiz. Bu yerda bo'lib, munosabat bajariladi. Agar giperbolaning Tenglamasida , almashtirish bajarsak tenglama ko‘rinishda bo‘lib, koeffitsientlar uchun munosabatlar o'rinli bo‘ladi. Agar tenglamada bo‘lsa parabola tenglamasini hosil qilamiz. Demak, giperbolalar, ellipslar va parabolalar tenglamalarini ko'rinishda yozish mumkin. Tekislikdagi ixtiyoriy nuqtaning holatini sonly ifodalash imkoniyatini beruvchi sistema tekislikdagi koordinatalar sistemasi deyiladi. Ana shunday sistemalardan biri to`g`ri burchakli yoki Dekart koordinatalar sistemasidir. Bu sistemada ixtiyoriy nuqtaning koordinatalari deb, radius-vektor koordinatalariga aytiladi. Agar bo`lsa, u holda nuqta koordinatalari kabi yoziladi. Nuqta holatini sonlar yordamida ifodalash koordinatalar usuli deyiladi. Tekislikdagi har bir chiziq koordinatalar usuli yordamida biror tenglama bilan ifodalanadi. Koordinatalar sistemasining yana bir muhim ko`rinishi bu qutb koordinatalar sistemasidir. Qutb koordinatalar sistemasi qutb deb ataluvchi nuqta va qutb o`qi deb ataluvchi -nur yordamida beriladi. Tekislikdagi ixtiyoriy nuqtaning holati bu nuqtadan qutbgacha bo`lgan masofa (qutb radiusi) va kesmani qutb o`qi bilan hosil qilgan burchagi (qutb burchagi) yordamida aniqlanadi. va sonlari nuqtaning qutb koordinatalari deyiladi va kabi yoziladi. Tekislikdagi barcha nuqtalarning qutb koordinatalarini ifodalash uchun – qutb burchagi oraliqda va - qutb radiusi esa, oraliqda bo`lishi etarlidir. Yuqorida keltirilgan chizma asosida M nuqtaning Dekart koordinatalari va qutb koordinatalari orasidagi quyidagi munosabatlarni hosil qilamiz: Bu yerda - burchakni aniqlashda avval uning choragi aniqlanadi ( va larning ishoralariga asosan), so`ngra oraliqdagi kerakli burchak olinadi. Biz bu yerda ikkinchi tartibli chiziqlar ( ellips, giperbola va parabola) ning oldingi paragrafda bayon etilgan xossalaridan foydalanib ,maxsus tanlangan qutib koordinatalardagi tenglamasing keltirib chiqamiz . Bizga aytilgan chiziqlardan birortasi: ellips, giperbola yoki parabola berilgan bo`lsa ( agar berilgan chiziq giperbola bo’lsa , uning o’ng tarmog’ini qaraymiz , chunki keltirib chiqariladigan qutib tenglama biz qarayotgan holda giperbolaning faqat bitta tarmog’ini aniqlanadi ). Berilgan chiziqni bilan belgilaymiz . bu chiziqning fokusi, shu fokusga mos direktrisasi bo`lsin. ( chiziq giperbola bo`lganda va uchun qaralayotgan tarmog’iga yaqin fokusi va direktrisasi olinadi ). Qutb koordinatalar sistemasini quyidagicha kiritamiz . to’g’ri chiziqni o’tkazamiz , bo’lsin, bunda nuqta to`g’ri chiziqda va nuqtadan nuqta yotmagan tomonda yotadi. nuqtani qutb , nurni qutib o ’ qi deb qabul qilamiz . nuqta nuqtada qutib o ’ qiga o ’ tkazilgan perpendikulayarining bilan kesishgan nuqtasi bo ’ lsin . masofani bilan belgilaymiz va chiziqning deb ataymiz . Tanlangan qutib koordinatlar sistemasiga nisbatan chiziqning ixtiyori M nuqtasining koordinatalarini bilan belgilaymiz. a) Parabola kanonik tenglama bilan berilgan boMsa , qutbni parabola fokusiga joylashtirib , qutb o ' qi sifatida abssissa o ' qini olib parabola tenglamasini qutb koordinatalar sistemasida yozaylik . Agar biz almashtirishlar bajarsak tengliklar o ' rinli bo ' ladi . Bu yerda ( nuqtaning qutb koordinatalari bo ' lib , agar nuqta parabolaga tegishli bo ' lsa , uning fokal radiusiga tengdir . Biz tenglikda ning nuqtadan direktrisagacha bo'lgan m asofaga tengligini p hisobga olib ifodani yuqoridagi tenglikka qo'ysak, munosabatni hosil qilamiz. Bu munosabat parabolaning qutb koordinatalar sistemasidagi tenglamasidir. a) Ellipsning qutb koordinatalar sistemasidagi tenglamasini keltirib chiqaramiz. Buning uchun qutbni ellipsning chap fokusiga joylashtirib, abssissa o'qini qutb o'qi sifatida olamiz. Ellipsning kanonik tenglamasini qutb koordinatalar sistemasiga o'tkazish uchun almashtirishlar yordamida yangi O'x' у ' dekart koordinatlar sistemasini kiritamiz. Bu koordinatalar sistemasi va qutb koordinatalar orasidagi bog'lanish boshi, formulalar yordamida beriladi. Ellipsning nuqtasi uchun chap fokal radius uning qutb radiusiga tengligidan foydalanib, tenglikni yozamiz. Bu tenglikdagi ifodani tenglikka qo’ysak, tenglamani hosil qilamiz. Bu yerda tenglikdan foydalandik. Giperbola tenglamasini qutb koordinatalar sistemasida yozish uchun uning har qismi uchun mos ravishda qutb koordinatalar sistemasini kiritamiz. Uning o‘ng qismi uchun qutb boshini giperbolaning uning fokusiga joylashtiramiz va abssissa o'qini qutb o'qi sifatida olamiz. Giperbola nuqtasi uchun qutb radiusi uning o'ng fokal radiusiga teng bo'lganligi uchun ifodani hosil qilamiz. Biz bilamizki.agar dekart koordinatalar sistemasi uchun qutb boshi koordinata boshida joylashgan va qutb o'qi abssisa o‘qi bilan ustma-ust tushsa,qutb koordinatalar sistemasi va koordinatalar sistemasi orasidagi bog‘lanish formulalar yordamida beriladi. Bu yangi koordinatalar sistemasi va giperbola tenglamasi berilgan koordinatalar sistemasi orasidagi bog'lanish esa ko'rinishda boiadi. Biz bu tengliklarning birinchisidan foydalanib, tenglikni hosil qilamiz. Yuqoridagi ifodani bu tenglikka qo‘ysak tenglamani hosil qilamiz. Bu yerda tenglikdan foydalandik. Biz giperbola chap shoxining tenglamasini qutb koordinatalar sistemasida yozish uchun qutb boshini chap fokusga joylashtiramiz va abssissa o‘qini qarama-qarshi yonalish bilan qutb o‘qi sifatida olamiz. Biz agar formulalar bilan yangi dekart koordinatalar sistemasi kiritsak.ular uchun formulalar o'rinli bo'ladi. Bu yerda qutb radiuas chap fokal radiusga teng bo'lganligi uchun tenglik o'rinli bo'ladi. Bu tenglikdagi r ning ifodasini yuqoridagi formulalardan kelib chiqadigan tenglikka qo'yib, tenglamani hosil qilamiz. Bu yerda ham tenglik o'rinlidir. Demak, qutb koordinatalar sistemasida mos ravishda tanlanganda har qanday ikkinchi tartib chiziq tenglamasini ko'rinishda yozish mumkin ekan. Bu tenglama bo'lsa parabola, bo'lganda ellips va nihoyat bo'lganda giperbola tenglamasidir. Parabolaning qutb tenglamasi , bu erda - fokusdan direktrisagacha bo'lgan masofa. Markazining boshida joylashgan ellipsning qutb tenglamasi bu erda - markazdan katta o'qgacha bo'lgan masofa va - markazdan kichik o'qgacha bo'lgan masofa. Giperbolaning qutb tenglamasi markazi koordinatali bu erda a - markazdan tepagacha bo'lgan masofa, c - markazdan giperbolaning markazigacha bo'lgan masofa. XULOSA Bu kurs ishi 2 bobdan iborat bo’lib, birinchi bob 4 ta paragrafdan iborat bo’lib, u bobda ikkinchi tartibli chiziqlar, ularning kanonik tenglamalari, ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy tenglamalari va markazlari haqida aks ettirilgan. Ikkinchi bob esa ikkita paragrafdan iborat, ikkinchi bobda qutb koordinatalar sistemasi va ikkinchi tartibli chiziqlarning qutb koordinatalar sistemasidagi tenglamalari haqida aks ettirilgan. Mazkur kurs ishida ikkinchi tartibli chiziqlar, ularning umumiy tenglamasi va markazi , parabola,uning kanonik tenglamasi va xarakteristikasi , giperbola, kanonik tenglamasi va giperbolaning xossalari , ellips va uning kanonik tenglamasi , qutb koordinatalar sistemasi va ikkinchi tartibli chiziqlarning qutb koordinatalar sistemasidagi tenglamalari ko’rib chiqilgan. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1. S.V. Baxvalov, P.S. Modenov, A.S. Parxomenko, Analitik geometriyadan masalalar to`plami. Toshkent, O`qituvchi, 2006. 2. А.В. Погорелов, Аналитик геометрия. Тошкент, Укитувчи, 1983. 3 . М.М. Постников, Аналитическая геометрия. Москва, Наука, 1979. 4. Д.В. Клетеник, Сборник задач по аналитической геометрии. Москва, Наука. 1998. 5. К. Кравченко, Решения задач по аналитической геометрии. http:// www.a- geometriy.narod.ru 10. Н.Д. Додажонов, М.Ш. Жураева, Геометрия, I-кисм. Тошкент – “Укитувчи” – 1982. 6. A.Y. Narmanov, Analitik geometriya. O`zbekiston faylasuflar milliy jamiyati nashriyoti, Toshkent, 2008. 7. А.В. Погорелов, Аналитическая геометрия. “ Наука”, Москва, 1978. 8. Кори Ниёзий, Танланган асарлар, I том, Тошкент.1967. FOYDALANILGAN INTERNET SAYTLARI 1. www. ZiyoNet.uz. 2. www.Google.com.

Ellips, giperbola va parabolaning qutb kordinatalar sistemasidagi tenglamalariga doir metrik masalar kurs ishi

Sotib olish