Ellips, giperbola va parabolaning ta’rifi, kanonik tenglamalari va xossalari kurs ishi

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	446.7KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	03 Iyun 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Fizika

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

122 Sotish

Ellips, giperbola va parabolaning ta’rifi, kanonik tenglamalari va xossalari kurs ishi

Sotib olish

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM,
FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
Farg‘ona davlat unversiteti
Fizika-matematika fakulteti
Matematika yo‘nalishi 1-bosqich 24.02-guruh talabasi
Nosirjonov Doston Bustonjonovichning
Analitik geometriya fanidan
“ Ellips, giperbola va parabolaning ta’rifi, kanonik
tenglamalari va xossalari ” mavzusidagi
KURS ISHI
Kurs ishi rahbari: B.Toshbuvayev
FARG‘ONA– 2025
1

MUNDARIJA
KIRISH……………………………………………………………………………..3-5
I-BOB. IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLARNING UMUMIY
TUSHUNCHALAR……………………………………………….....6-16
1.1- § . Ikkinchi tartibli chiziqlarning kanonik tenglamalari....................6-15
1.2 -§. Ikkinchi tartibli chiziqlarni umumiy tenglamasi ni soddalashtirish..16
II-BOB. IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLARGA DOIR
MISOLLAR………………………………………………………… 17-28
2.1 - § . Aylana va ellips tenglamalarini yasashga doir misollar..............17-19
2.2 - § . Parabola va giperbola tenglamalarini yasashga doir misollar.....20-28
XULOSA.........................................................................29
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR.......................30
2

KIRISH
Ilm-fan – taraqqiyot asosi. Zamonaviy ilm-fan
Yutuqlarga, innovatsion g‘oyalarga tayanmagan
davlatning ham, jamiyatning ham kelajagi yo‘q.
Shavkat Mirziyoyev
Muhtaram Prezidentimiz olimlar, ilmiy tadqiqot muassasalari rahbarlari
va ishlab chiqarish sektori vakillari bilan uchrashuv o tkazdilar. Unda ilmʻ fan
sohasidagi eng muhim vazifalar muhokama qilindi.
Barchamizga ayonki, O zbekiston qazilma va tabiiy resurslarga boy,
ʻ
qudratli iqtisodiy va insoniy salohiyatga ega. Biroq bizning eng katta
boyligimiz – bu xalqimizning intelektual va ma’naviy salohiyatidir.
Bu salohiyatni yaratish va yana ko paytirishda xurmatli ziyolilarimiz –
ʻ
ilm - fan texnika namoyondalari, birinchi navbatda qadrli va xurmatli
akademiklarimiz, madaniyat, adabiyot va san’at sport sohalarining vakillari
butun vujudini berib, fidokorona mehnat qilayotganlarini biz yaxshi bilamiz
va yuksak qadrlaymiz. Ana shu zahmatkash insonlarning ilmiy va ijodiy
izlanishlarini har tomonlama qo‘llab quvvatlash, ular uchun zarur shart
sharoitlarni yaratishni biz o zimizning birlamchi vazifamiz sifatida ko rishimiz
ʻ ʻ
darkor.
Biz mustaqil O‘zbekiston yoshlari har tomonlama etuk barkamol avlod bo‘lib
yetishishimiz uchun O‘zbekiston Respublikasining hukumati keng imkoniyatlar
yaratib, yosh avlod tarbiyasiga juda katta e ’ tibor berib kelmoqdalar.
Respublikamizni aql-zakovat va ilm borasidagi kuch-quvvatini
rivojlantirish, jamiyat, davlat va oila oldidagi o‘z ma’suliyatini anglaydigan har
jihatdan barkamol, erkin shaxslarni shakllantirishni o‘z oldiga maqsad qilib
qo‘yadi. Bu borada O‘zbekiston Respublikasining Prezidenti Shavkat
Mirziyoyevning O‘zbekiston Respublikasi Konstitutsiyasining 26 yilligiga
bag‘ishlangan tantanali marosimda “Inson manfaati, huquq va erkinliklarini
3

ta’minlash, hayotimizning yanada erkin va obod bo‘lishiga erishish – bizning bosh
maqsadimizdir” mavzusida qilgan ma’ruzasida jumladan shunday fikrlarni o‘qish
mumkin:
“Bu – O‘zbekistonda tashkil etilgan dunyo miqyosida katta qiziqish va
havas uyg‘otayotgan mutlaqo yangi o‘quv tizimida yuksak ta’lim-tarbiya
olayotgan, eski asoratlardan, qarashlardan uzoq bo‘lgan, zamonaviy kasb-
hunarlarni o‘zlashtirgan, mustaqil fikrlaydigan, ertangi kunga intilayotgan bizning
farzandlarimizdir. Ishonchim komil, bunday yoshlarimizning safi qancha ko‘paysa,
qancha rivoj topsa, hech shubhasiz, marra bizniki, O‘zbekistonnikidir”
Shunday ekan yurtboshimizning keltirgan fikrlariga hamoxang tarzda biz
yoshlar o‘qib intilishimiz yuksk marralarni zabt etib yurtimizning jahon
hamjamiyatida tutgan o‘rnini yanada yuksaklarga ko‘tarishimiz darkor.
Kurs ishining dolzarbligi: Davlatimiz istiqboli,bozor iqtisodiyoti
qonunlariga asoslangan jamiyat qurish sohasidagi ishlarning samaradorligi yuqori
malakali, yuksak ma’naviyatli, rivojlangan mamlakatlar darajasida, raqobatbardosh
mutaxassislar tayyorlash, barkamol avlodni shakllantirish muammosi bilan uzviy
bog‘liq. Birinchi Prezidentimiz I.A.Karimov tashabbusi bilan ishlab chiqilib, Oliy
Majlisning IX sessiyasida qabul qilingan “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi”,
“Ta’lim to‘g‘risidagi qonun”, Vazirlar Mahkamasining umumiy o‘rta ta’lim,
akademik litseylar va kasb-hunar kollejlarini tashkil etish haqidagi va boshqa
qarorlari shu maqsadlarni ro‘yobga chiqarishga qaratilgan.
Mamlakatimizda “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi”ni bosqichma-
bosqich va muvaffaqiyatli amalga oshirish ko‘p jihatdan o‘qituvchi faoliyati, uning
kasbiy nufuzini oshirish bilan bog‘liqdir. Shunday ekan, sog‘lom va har
tomonlama barkamol avlodni yetishtirish uzluksiz ta’lim tizimida mehnat
qilayotgan pedagogning sa’viyasiga, tayyorgarligiga va fidoiyligiga, uning yosh
avlodni o‘qitish va tarbiyalash ishiga bo‘lgan munosabatiga bog‘liqdir. Mustaqil
O‘zbekistonning kelajagi bo‘lgan avlodni tarbiyalash nozik, nihoyatda katta
diqqat-e’tiborni talab qiladigan, ichki ziddiyatli jarayondir.
4

‘‘Kadrlar tayyorlash milliy dasturi’’ asosida amalga oshirilayotgan
ta’lim sohasidagi islohotlarning birinchi va ikkinchi bosqichlari vazifalari
muvaffaqiyatli hal qilinib, uchinchi bosqichdagi o‘zgarishlar davom etmoqda. Bu
bosqichda o‘quv-tarbiya ishlarini butunlay yangi asosda tashkil qilish, yuqori sifat
ko‘rsatkichiga erishish talab qilinadi.
Kurs ishining maqsadi: Geometriya kursining “Ikkinchi tartibli chiziqlar tenglamasiga
ko‘ra yasash” mavzusidagi eng muhim tushunchalarini o‘rganish.
Kurs ishining vazifalari:
1. Mavzuga doir ma’lumotlarni yig‘ish va rejani shakllantirish;
2. Geometriya kursida ikkinchi tartibli to‘g‘ri chiziqlar mavzusini
chuqur o‘rganish
3. Elementar matematikani yaxshi o‘zlashtirilganligi;
4. Geometriyaning xossalarini isbotlash;
5. Ikkinchi tartibli egri chiziqli integralni isbotlash;
6. Geometriyani hisoblashda asosiy formulalar ;
7. Aylana va uning tenglamasi haqida asosiy tushunchalar;
8. Ellips va uning tenglamasi haqida asosiy tushunchalar;
9. Parabola va unung umumiy tenglamasi haqida asosiy tushunchalar;
10. Giperbola va uning tenglamasi haqida asosiy tushunchalar;
11. Kurs ishini jihozlab, uni himoyaga tayyor qilish;
5

I-BOB. IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLARNING UMUMIY
TUSHUNCHALAR
1.1- § . Ikkinchi tartibli chiziqlarning kanonik tenglamalari
Ellips va uning tenglamasi
Tekislikda ikkita tayin nuqtalarni olaylik. Tekislikning bu nuqtalargacha
bo‘lgan masofalari yig‘indisi o‘zgarmas songa teng bo‘ladigan nuqtalari to‘plami
(nuqtalarning geometrik o‘rni) ellips deyiladi.
Endi ellipsning tenglamasini keltirib chiqaramiz. Ta’rifda keltirilgan tayin
nuqtalardan birini 1F , ikkinchisini 2 F
orqali belgilaymiz.
Tekislikda Dekart koordinatalar sistemasini quyidagicha quramiz:
1F
va 2 F
nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqni abssissa o‘qi ( OX o‘qi), 1F
2
F
kesmaning o‘rtasidan o‘tuvchi hamda abssissa o‘qiga perpendikulyar bo‘lgan
to‘g‘ri chiziqni ordinata o‘qi (
OY o‘qi) deb olamiz. (1-chizma)
1.1. 1 - chizma Aytaylik,
1F va 2 F
nuqtalar
orasidagi masofa
2c ga  0 c  teng
bo‘lsin. U holda bu nuqtalarning
koordinatalari mos ravishda
  , 0c
va
  , 0c bo‘ladi:
    1 2 , 0 , , 0 F c F c 
.
Odatda,
1F va 2 F
nuqtalar ellipsning fokuslari deyiladi.
Ellipsda ixtiyoriy nuqtani olaylik. Unda ellips ta’rifiga binoan
va
masofalar yig‘indisi o‘zgarmas songa teng bo‘ladi. Bu o‘zgarmas
sonni deylik .
Demak,
(1 .1.1 )
6

Ikki nuqta orasidagi masofa formulasidan foydalanib topamiz:
       
      2
2 2
2
1
2 2 2
2
2
0 ,
0 .
F M x c y x c y
F M x c y x c y
       
      
Unda (1 .1.1 ) ga ko‘ra

bo‘ladi.
Bu tenglikni quyidagicha

    2 2
2 2
2x c y a x c y      

yozib, uning ikki tomonini kvadratga ko‘tarsak, unda

      2 2 2
2 2 2 2
4 4x c y a à x c y x c y         

bo‘ladi. Bunda esa

 
2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 x cx c a à x c y x cx c         
ya’ni

 
  2
2 2
2
2 2
4 4 4 ,cx a a x c y
a cx a x c y
   
   

bo‘lishi kelib chiqadi. Keyingi tenglikning ikki tomonini kvadratga
ko‘tarish natijasida

     
2 2 2 2 2 , a cx a x c y    
ya’ni

2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) x a c a y a a c    
hosil bo‘ladi.
Ravshanki,
2 2a c  ya’ni a c  bo‘lganligi uchun 2 2 0 a c  
bo‘ladi. Uni 2
b
bilan belgilaymiz:

2 2 2b a c   .
7

Natijada
2 2 2 2 2 2x b y a a b   
bo‘lib, undan
2 2
2 2
1 x y
a b
 
( 1.1. 2)
bo‘lishi kelib chiqadi.
Shunday qilib ellipsdagi o‘zgaruvchi nuqtaning
koordinatalari
x va y
larni bog‘lovchi tenglama hosil bo‘ldi. Bu ( 1.1. 2) tenglama
ellipsning sodda tenglamasi deyiladi.
Ellips tenglamasida
x ni – x ga, y
ni – y
ga almashtirilganda
tenglama o‘zgarmaydi. Demak, ellips (yopiq egri chiziq) koordinata o‘qlariga
nisbat simmetrik joylashgan.
Agar tenglamada
0 y  deyilsa, unda
2 2
,x a x a  

bo‘ladi. Demak, ellips
OX o‘qini ikki     , 0 , , 0 A a C a  nuqtalarda kesadi.
Agar tenglamada
0 x  deyilsa, unda

2 2 , y b y b  
bo‘ladi. Demak, ellips
OY o‘qini ikki     0, , 0, B b D b  nuqtalarda kesadi.
Odatda,
        , 0 , 0, , , 0 , 0, A a B b C a D b   nuqtalar ellipsning uchlari
deyiladi.
AC kesma ellipsning katta o‘qi, BD
kesma ellipsning kichik o‘qi
deyiladi. Ravshanki,
AC kesmaning uzunligi 2 a
, BD
kesma-ning uzunligi esa
2 b
ga teng. Demak, (2) tenglamada a
ellips katta yarim o‘qi,
b esa kichik yarim
o‘qi bo‘ladi.
Ushbu
2 2
2 2
1 x y
a b
 
8

tenglama bilan berilgan ellipsni qaraylik. Bu ellipsning fokuslari orasidagi masofa2c
ga teng.
Ushbu

2
2
c c
a a
   ( 1.1. 3)
miqdor ellipsning ekssentrisiteti deyiladi. Ma’lumki,
a c  . Demak, ellipsning
ekssentrisiteti uchun

0 1   
bo‘ladi. (agar
0   bo‘lsa, 0 c  bo‘lib, ellips aylana bo‘lib qoladi).
Ellipsning ekssentrisiteti ellipsning siqilish darajasini bildiradi. Haqiqatdan
ham, munosabatdan,
2 2 2b a c   bo‘lishini e’tiborga olib topamiz:
2
2 2 2
2
2 2
2 1 ,
1c a b b
a a a
b
a

 
 
   
 
 
 
Bu tenglikdan ko‘rinadiki,
 ning ortib borishi bilan
b
a nisbat kamaya
boradi, binobarin ellips tortila boradi.
1-Misol. Katta o‘qi 10 ga, eksseptrisiteti 0,8 ga teng bo‘lgan
ellipsning tenglamasi topilsin.
◄Shartga ko‘ra
2 10a  . Demak, 5 a  . Ma’lumki ekssentrisitet

,c c a
a
     .
Unda 5 0, 8 4c   
bo‘ladi.
2 2 2b a c   bo‘lishidan

2 25 16 9, 3 b b    
ekanligi kelib chiqadi. Izlanayotgan ellipsning tenglamasi
2 2
1
25 9
x y  

bo‘ladi.
9

Giperbola va uning tenglamasi
Tekislikda ikkita tayin nuqtalarni olaylik. Tekislikning bu nuqtalargacha
bo‘lgan masofalari ayirmasi o‘zgarmas songa teng bo‘ladigan nuqtalar to‘plami
(nuqtalarning geometrik o‘rni) giperbola deyiladi.
Endi giperbolaning tenglamasini keltirib chiqaramiz. Ta’rifda keltirilgan
nuqtalarni 1F va 2 F
orqali belgilaymiz.
1F
va 2 F
nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqni abssissa o‘qi, 1 2F F
kesmaning o‘rtasidan o‘tuvchi hamda abssissa o‘qiga perpendikulyar bo‘lgan
to‘g‘ri chiziqni ordinata o‘qi deb koordinatalar sistemasini quramiz. ( 1.1. 2-chizma)
Agar
1F va 2 F
nuqtalar
orasidagi masofani
2c ( 0 c  ) deyilsa,
unda bu nuqtalarning koordinatalari mos
ravishda
va bo‘ladi:
,
Bu
1F va 2 F
nuqtalar
giperbolaning fokuslari deyiladi.
11 Y
XF
2
0F
1 M(x,y)

1.1. 2 - chizma
Giperbolada ixtiyoriy nuqtani olaylik. Unda giperbola ta’rifiga
binoan va
masofalar ayirmasi o‘zgarmas songa (uni deyilsa) teng
bo‘lib, , umumiy ko’rinishi

bo‘ladi. Ravshanki,
    2 2 2 2
1 2 , . F M x c y F M x c y      
Demak,

    2 2
2 2
2x c y x c y a      
.
Endi

    2 2
2 2
2x c y x c y a      
tenglikni (xuddi ellipsning tenglamasini keltirib chiqarishdagi qilingan ishlar kabi)
ikki tomonini kvadratga ko‘tarib, so‘ng lozim bo‘lgan soddalashtirishlarni bajarib,
hosil bo‘lgan tenglikni ya’na bir bor kvadratga ko‘tarib, natijada
2 2
2 2
1 x y
a b
 
(1.1.4)
tenglamaga kelamiz, bunda
2 2 2b c a   ,   a c  .Shunday qilib, giperboladagi
o‘zgaruvchi nuqtaning koordinatalari
x va y
larni bog‘lovchi tenglama
hosil bo‘ldi. Bu tenglama giperbolaning sodda tenglamasi deyiladi.
Giperbola ham koordinata o‘qlariga nisbatan simmetrik joylashgan, u
1.1.2–chizmada tasvirlangan. Giperbola ikki qismdan iborat bo‘lib, bu qismlar
uning shoxchalari deyiladi.
Agar tenglamada
0 y  deyilsa, unda
2 2
,x a x a  

12

bo‘ladi. Demak, giperbola OX o‘qini   , 0 A a  va   , 0 B a nuqtalarda kesadi. Bu
nuqtalar giperbolaning uchlari deyiladi. Giperbola
OY o‘qi bilan kesishmaydi.
Ushbu
c
a

miqdor giperbolaning ekssentrisiteti deyiladi.
Agar
2 2 2b c a   bo‘lishini e’tiborga olsak, unda

2 2 2 2 2
2 2 1 c a b b
a a a
          
bo‘lib,
2
1 b e
a
 

bo‘ladi.
Giperbolaning ekssentrisiteti ham uning shaklini xarakterlaydigan
miqdordir.
Giperbola tenglamasi
2 2
2 2
1 x y
a b
 
ni y
ga nisbatan y echib

2 2 b y x a
a
  ,
uni quyidagicha yozamiz:
2
2
1 b a y x
a x
 
.
Bu tenglikdan ko‘rinadiki,
x y etarlicha katta bo‘lganda,
2
2
a
x nisbat 0 ga
yaqin bo‘lib,

2
2 1 a
x

13

miqdor 1 ga yaqin bo‘ladi.
Natijada ushbu
2
21 b a b y x x
a x a
  

munosabat hosil bo‘ladi.
Demak,
x y etarlicha katta bo‘lganda giperbola nuqtalarining
ordinatalari ushbu

b y x
a

to‘g‘ri chiziqlar nuqtalarining ordinatalariga y etarlicha yaqin bo‘ladi. Bu

b y x
a

to‘g‘ri chiziqlar giperbolaning asimptotalari deyiladi
2- M isol . Ushbu
2 2
16 25 400 x y  

giperbolaning fokuslari, ekssentrisiteti va asimptotalari topilsin.
◄Agar tenglamaning ikki tomonini 400 ga bo‘lsak, unda
giperbolaning tenglamasi quyidagi
2 2
1
25 16
x y  

ko‘rinishga keladi.
Demak,
   
2 2 2 2
1 1 2 2
25, 16, 25 16 41,
41, 0 , 41, 0 ,
41
5
a b c a b
F F F F
c e
a
      
  
 

asimptotalari esa
14

Parabola va uning tenglamasi
Tekislikda tayin to‘g‘ri chiziq va bu to‘g‘ri chiziqda yotmagan tayin F

nuqtani olaylik. Tekislikning to‘g‘ri chiziq hamda F
nuqtadan baravar
uzoqlikda bo‘lgan nuqtalari to‘plami (nuqtalarning geometrik o‘rni) parabola
deyiladi.
Endi parabolaning tenglamasini keltirib chiqaramiz.
F
nuqtadan o‘tuvchi va to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar bo‘lgan
to‘g‘ri chiziqni abssissa o‘qi (OX o‘qi), F
nuqta va  to‘g‘ri chiziq orasidagi
kesmaning o‘rtasidan o‘tuvchi va abssissa o‘qiga perpendikulyar bo‘lgan to‘g‘ri
chiziqni ordinata o‘qi (
OY o‘qi) deb koordinatalar sistemasini quramiz (1.1.3-
chizma).
1.1. 3-chizma . F
nuqta bilan to‘g‘ri chiziq
orasidagi masofani
p deylik. Unda F

nuqtaning koordinatasi
, 0
2
p  
  
, 0
2
p F F      
bo‘lib, to‘g‘ri chiziqning
tenglamasi
2
p x 
bo‘ladi.
16

Bu , 0
2 p
F  
 
 
nuqta parabolaning fokusi, to‘g‘ri chiziq esa
parabolaning direktrissasi deyiladi.
Parabolada ixtiyoriy ( , ) M x y nuqtani olaylik. Unda parabola ta’rifiga
binoan

NM FM 
bo‘ladi. Ravshanki,

2
2 ,
2 2
p p NM x FM x y           .
Demak,
2
2
2 2
p p x x y         
.
Bu tenglikning ikki tomonini kvadratga ko‘tarib, so‘ng lozim bo‘lgan
soddalashtirishlarni bajarib

2 2 y px  (1.1.5)
bo‘lishini topamiz.
Shunday qilib, paraboladagi o‘zgaruvchi
( , ) M x y nuqtaning
koordinatalari
x va y
larni bog‘lovchi tenglama hosil bo‘ladi. Bu tenglama
parabolaning sodda tenglamasi deyiladi.
Ravshanki,
0 x  da 0 y  bo‘ladi. Demak, parabola koordinata
boshidan o‘tadi. Ayni paytda, uning tenglamasida y
kvadratda qatnashgani uchun
parabola
OX o‘qiga nisbatan simmetrik, x esa har doim musbat bo‘lgani uchun
parabola
OY o‘qining o‘ng tomonida joylashgan bo‘ladi
3- Misol. Ushbu
  1, 2 A nuqtadan o‘tuvchi parabola tenglamasi topilsin.
◄Modomiki izlanayotgan parabola
2 2 y px    1, 2 A nuqtadan o‘tishi
lozim ekan, unda bu nuqtaning koordinatalari parabola tenglamasini
qanoatlantiradi:
17

22 2 1 p  
Bu tenglamadan
2 p  ekani kelib chiqadi. Demak,

2 4 y x  .►
1.2 -§. Ikkinchi tartibli chiziqlarni umumiy tenglamasi ni soddalashtirish
Ikkinchi tartibli chiziq
(0, , ) i j
  dekart reperida

2 2 11 12 22 10 20 00 2 2 2 a x a xy a y a x a y a      (5)
umumiy tenglamasi bilan berilgan bo‘lsin. Uni yasash uchun tenglamasini
soddalashtiramiz:
(5) tenglamada
12 0 a  bo‘lsa, chiziqning

  2 2 11 22 11 22 12 0 a a a a a       
xarakteristik tenglamasini tuzamiz va uning ildizlarini topamiz.
1 11 1
12
a tg
a
   
formula bo‘yicha
1 tg  ni, so‘ngra
1
1 1
2 2
1 1
1 sin , cos
1 1
tg
tg tg
  
 
 
 
ni hisoblaymiz. Bu bilan reperni
1 burchakka burishdan hosil qilinadigan
(0, ', ') i j
 
reperning
', 'i j
  koordinata vektorlari aniqlanadi:
1 1 1 1' cos sin , ' sin cosi i j j i j
        
   
.
Yangi reperda chiziqning tenglamasi
2 2
1 2 10 20 00 ' ' 2 ' ' 2 ' ' 0x y a x a y a
      
(5*)
ko‘rinishda bo‘lib, bunda 10'a
,
20'a koeffitsientlar ushbu formulalardan topiladi:
10 10 1 20 1 20 10 1 20 1' cos sin , ' sin cos .a a a a a a        
4)
'B reperning koordinatalar boshi O nuqtani ' O nuqtaga ko‘chirish bilan 'B
reperdan B 
reperga o‘tamiz. B 
reperda chiziqning tenglamasi kanonik
18

ko‘rinishga keladi. Agar (1) tenglamada 12 0 a  bo‘lsa, soddalashtirish
koordinatalar boshini ko‘chirishdan iborat, xolos.
19

II-BOB. IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLARGA DOIR
MISOLLAR
2.1 - § . Aylana va ellips tenglamalari ni yasashga doir misollar
Ellipsni yasashga doir misollar
Misol. Har bir nuqtasidan F ₁ (4, 0), F
₂ (—4,0) nuqtalargacha bo‘lgan
masofalar yig‘indisi 10 ga t е ng nuqtalar to‘plamining t е nglamasini toping.
Yechish. Izlanayotgan nuqtalar to‘plami b е rilishiga ko‘ra ellipsdir va 2 а =
10 => а = 5, с = 4, b 2
= а 2
— с 2
munosabatdan b 2
= 9, b = 3 D е mak, izlanayotgan
ellipsning kanonik t е nglamasi quyidagicha bo‘ladi:
1 9 25
2 2
  y x
Kanonik t е nglamasi bilan b е rilgan ellipsni yasashni
ko‘rsataylik . Markazlari koordinatalar boshida va а > b radiusli ikkita aylana
chizamiz. Koordinatalar boshidan ixtiyoriy nur chiqaraylik, uning absissalar
o‘qiga O ‘ TKIR BURCHAGI р bo‘lib, Y ₁ va Y ₂ aylanalar bilan k е sishgan nuqtalari L,
N bo‘lsin .
L, N nuqtalardan Oy o‘qda parall е l , т to‘g‘ri chiziqlarni o‘tkazamiz N
nuqtadan Ox o‘qda parall е l to‘g‘ri chiziq, o‘tkazamiz, uning to‘g‘ri chiziq bilan
k е sishgan M nuqtasi ellipsning nuqtasi bo‘ladi. Haqiqatdan, М nuqtaning
koordinatalarini х > у d е sak, ushbu munosabatni hosil qilamiz:
x=a cos
 , y=b sin  yoki a
x = cos
 , a
y = sin

bu t е ngliklarning har ikkala tomonini kvadratga oshiramiz va hadlab qo‘shsak,
1 2
2
2
2
  b
y
a
x
=> М nuqta ellipsning nuqtasidir . О dan chiqarilgan har bir nur
ellipsdagi nuqtani beradi.

= 0,  = 2
 ,
 =  ,  = 2
3 qiymatlarga ellipsning uchlari mos keladi.

ning 0 <
 <  oraliqning qiymatlarida Ох o‘q bilan ch е garalangan yuqori yarim
t е kislikdagi nuqtalari,
 ning  <  < 2  qiymatlarida esa quyi yarim t е kislikdagi
nuqtalari hosil bo‘ladi. Faqat ellips ustida yotgan М ( х , у ) nuqtalarning
20

$koordinatalarigina 2.1.1-chizma.       sin , cos b y a x 0 <  < 2  t е nglamalar sist е masini qanoatlantirgani uchun bu sist е ma ellipsni aniqlaydi. (A) t е nglamalar ellipsning param е trik t е nglamalari d е yiladi. Bu t е nglamalar ellipsni yuqorida ko‘rsatilgan usulda yasash uchun asos vazifasini bajaradi. 6. Ellips —aylananing affin obrazi. T е or е ma. Har qanday ellipsni biror aylananing diam е triga siqish al- mashtirishdagi obraz d е b qarash mumkin. Isbot. T е kislikdagi biror ( О , i , j ) d е kart r е p е riga nisbati markazi koordinatalar boshida va radiusi a bo‘lgan biror aylanani qaraymiz (4-chizma): х 2 + у 2 = а 2 yoki 1 2 2 2 2   b y a x T е kislikni k — koeffitsiy е nt bilan Ox o‘qqa qisish almashtirish ni bajaraylik. Natijada t е kislikning har bir М ( х , у ) nuqtasi shunday M`(X, Y) nuqtaga o‘tadiki, ular uchun PM` = kPM bo‘ladi, bunda MM` to‘g‘ri chiziq, Ох o‘qqa p е rp е ndikulyar va Р = ММ ` Ох } М , М \ Р nuqtalar bir xil absissaga ega va Р £ Ох bo‘lgani uchun munosabat koordinatalarda ushbu ko‘rinishda bo‘ladi: (X-x) i +(y-0) j =k[(X-x) i +(y-0) j ] yoki 21$






Yk y
X x
1
T е kislikni k= -1 koeffitsiy е nt bilan Ox o‘qqa qisishda aylanaga mos
k е lgan chiziqning t е nglamasini topish uchun (1) dan х , у ning qiymatlarini
qo‘yamiz:

2 2 2 2
2 2 2 2 2 1 1 x y x y yoki
a k a a b
+ = + =
Bu t е nglama yarim tekisliklari a, b bo‘lgan ellipsni ifodalaydi.=>-aylanani
diam е triga qisish almashtirishida aylana ellipsga almashinadi.
To‘g‘ri chiziqda qisish affin almashtirish bo‘lgani uchun har qanday
ellipsni biror aylananing affin obrazi d е b qarash mumkin.
Misol.
2 2 16 x y   aylanani Ox o‘qqa qisish natijasida

1 9 16
2 2
  y x
ellips hosil bo‘lgan. Qisish koeffitsi е ntini toping.
Ye chish. Ellips t е nglamasidan:
3 4, 3,
4
b a b k
a
   
Javob. 3
4b
k
a 
Aylanani yasashga doir misollar
M arkazi (-1,2), radiusi 5 ga teng bo‘lgan aylananing tenglamasi

   
2 2 1 2 25 x y   
bo‘ladi.
Aylana bilan umumiy bitta
  1 1, М х у nuqtaga ega bo‘lgan to‘g‘ri chiziq
aylanaga o‘tkazilgan urinma deyiladi.
Ushbu

2 2 2x y r  
22

$Aylananing   1 1, х у nuqtasiga o‘tkazilgan urinmaning tenglamasi quyidagi 2 1 1 0 x х y у r   ko‘rinishga ega. Masalan, ushbu 2 2 8 x y   aylananing (2,-2) nuqtasidan o‘tuvchi urinmaning tenglamasi 2 ( 2) 8 0x y    , ya’ni 4 0x y    bo‘ladi. 2.2 - § . Parabola va giperbola tenglamalarini yasashga doir misollar Giperbolani yasashga doir misollar Misol. Gip е rbolaning F 1 (10, 0), F 2 (—10, 0) fokuslarini va nuqtalaridan biri А (12, 3 5 ) ni bo‘lgan holda uning t е nglamasini tuzing. Ye chish . Bu y е rda ) , ( 1 1 A F r   = 7 49 45 4    ) , ( 2 2 A F r   = 23 529 45 484    |7-23|=2a=>a=8 Giperbola uchun b 2 = c 2 -a 2 =100-64=36 => b=6. Demak 1 36 64 2 2   y x Gip е rbola shakli. Gip е rbolaning 1 2 2 2 2   b y a x t е nglamasiga asoslanib uning shaklini aniqlaymiz. Ellips t е nglamasi ustida olib borilgan muhokamalarni takrorlab gip е rbolaning koordinatalar boshi, koordinata o‘qlariga nisbatan simm е trikligi aniqlanadi. Gip е rbola Ох o‘qni A 1 (a , 0) va А 2 ( — а , 0) nuqtalarda k е sadigan t е nglama bilan aniqlangan gip е rbola Оу \oqi‘ bilan k е sishmaydi.Haqiqatdan t е nglamaga х = 0 ni qo‘ysak, 1 2 2 2 2   b y a x . Ravshanki, bu t е nglik haqiqiy sonlar sohasida o‘rinli bo‘lmaydi 23$

A
if А
2 nuqtalar gip е rbolaning uchlari d е yiladi. Shunday qilib, gip е rbolaning
ikkita uchi bor ekan. Gip е rbolaning uchlari orasilagi masofa uning umumiy o‘qi
d е yiladi.
Ordinatalar o‘qida O dan b masofada turuvchi B ₁ ( О , h) v а В ₂ ( О , — h )
nuqtalarni b е lgilaymiz. В
1 В
2 = 2b ni gip е rbopaning mavjud o‘qi d е yiladi.
Agar М ( х , у ) nuqta gip е rbolada yotsa, uning uchun (25) t е nglamadan |x| >
а . D е mak, х =± а to‘g‘ri chizilar bilan ch е garalangan — а < х < а oraliqda
gip е rbolaning nuqtalari yo‘q.
T е nglamani y ordinataga nisbatan y е chamiz y=±2 2 a x a
b 
Bu t е nglamadan ko‘rinadiki , x miqdor а dan +
 gacha ortganda va — а
dan —
 gacha kamayganda у miqdor    y oraliqdagi qiymatlarni qabul
qiladi. D е mak, gip е rbola ikki qismdan iborat bo‘lib, ular gip е rbolaning tarmoqlari
d е yiladi.
Gip е rbolaning bir (o‘ng) tarmog‘i x>a yarim t е kislikda, ikkinchi (chap)
tarmog‘i х <— а yarim t е kislikda joylashgan.
Gip е rbola asimptotalari. Gip е rbolaning shaklini yana ham aniqroq tasavvur qilish
maqsadida t е kis (yassi) chiziqning asimptotasi tushunchasini kiritamiz.
Ta’rif. Agar М £ Т nuqta shu G chiziq, bo‘ylab harakatlanib borganida
uning u to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofasi nolga intilsa, to‘g‘ri chiziq G
chiziqning asimptotasi d е yiladi.
T е or е ma. Y=
a
b х , y= —
a
b х to‘g‘ri chiziqlar 1 2
2
2
2
  b
y
a
x
gip е rbolaning asimptotalardir.
Isbot. Gip е rbola koordinata o‘qlariga nisbatan simm е trik bo‘lgani uchun
gip е rbolaning birinchi chorakdagi qisminigina olish y е tarli. Shu maqsadda x<a da
gip е rbolaning birinchi chorakdagi qismini aniqlaydigan y=+ 22
a x a
b 
t е nglama bilan y=
xa
b
24

2.2.1-chizma.
t е nglamani solishtiramiz. y=xa
b to‘g‘ri
chiziq koordinatalar boshidan o‘tadi va burchak
koeffitsiy е nti k =
a
b . 5- chizmada to‘g‘ri chiziqning birinchi chorakdagi bo‘lagi
tasvirlangan bo‘lib, unda О А = а , АВ = b. Giperbo la va у = - х to‘g‘ri chiziqda mos
а ravishda joylashgan bir xil absissali М ( х , у ) va N ( х , Y) nuqtalarni qaraymiz. 5-
chizma
Bu ikki nuqtaning mos ordinatalari:
y=+ 22
a x a
b 
, Y= xa
b
bo‘ladi. MN k е smaning uzunligini hisoblaymiz:
2 2 2b b b
Y x x x a y Y y
a a a      
yoki 0Y y  
, demak,
  , p M N Y y  
. L е kin 2 2
ab Y y
x x a
 
 
Gip е rboladagi M nuqtadan to‘g‘ri chiziqda tushirilgan
p е rp е ndikulyarning asosi P bo‘lsin, u holda

    , , M P M N    .
ifodani t е kshiraylik. Uning maxraji ch е ksiz ortib boruvchi ikki musbat
qo‘shiluvchining yig‘indisidan iborat bo‘lib, surati esa o‘zgarmas а b miqdordir,
d е mak,

2 2 lim
x
ab
x x a    
U holda
 ( М , Р )<  ( М , N) dan  ( М , Р )  0 .
25

Demak, gip е rboladagi M nuqta gip е rbola bo‘yicha harakatlanib, uning
uchidan y е tarlicha uzoqlashsa, M nuqtadan to‘g‘ri chiziqgacha bo‘lgan masofa
nolga intiladi. Yuqoridagi ta’rifga ko‘ra gip е rbolaning qaralayotgan qismi uchun
(36) to‘g‘ri chiziq asimptota bo‘ladi.
2.2.2-chizma
Gip е rbolaning koordinata o‘qlariga nisbatan simm е trikligidan b y x
a

to‘g‘ri chiziq 2.2.2-chizma ham gip е rbolaning asimptotasidir. Shunday qilib,

b l x
a
 , b y x
a

t е nglamalar bilan aniqlanadigan to‘g‘ri chiziqlar gip е rbolaning asimptotalaridir
(2.2.2-chizma).
Misol. Asimptotalari 2 х — у = 0, 2 х + у = 0 те nglamalar bilan b е rilgan va
fokuslari markazdan 5 birlik masofada bo‘lgan gip е rbolaning kanonik t е nglamasini
tuzing.
Yechish. B е rilgan t е nglamalarni у = 2 х , у = -2 х ko‘rinishda yozib olsak
hamda (37) t е nglamalar bilan solishtirsak,
a
b = 2 yoki b = 2 а bo‘ladi. Fokuslar
markazdan 5 birlik masofada bo‘lgani
uchun 5c 
bo‘lib,
2 2 2b c a   t е nglikdan foydalansak, 2 2 4 25a a   , bundan
26

2 5, 5 a a   u holda 2 5 b  . Shularga asosan gip е rbolaning izlanayotgan
t е nglamasi:

1 20 5
2 2
  y x
T е ng tomonli gip е rbola. Yarim o‘qlari t е ng bo‘lgan gip е rbola t е ng
tomonli d е b ataladi.
1 2
2
2
2
  b
y
a
x
t е nglamada
b a bo‘lganda:

2 2 2x y a  
T е ng tomonli gip е rbola asimptotalarining t е nglamalari
, y x y x 
ko‘rinishda bo‘lib, ular o‘zaro p е rp е ndikulyar
  1 2 1 k k  . Bu asimptotalarni yangi
koordinata o‘qlari sifatida qabul qilsak,t е ng tomonli gip е rbola t е nglamasi o‘rta
maktab kursida o‘tiladigan ixcham
xy a  ko‘rinishni oladi.
Haqiqatdan, Ох o‘q uchun
y x asimptotani , Оу o‘q uchun esa y x 
asimptotani olsak, u holda
0 45 ) ,(   ii  .
Eski х , у koordinatalardan yangi koordinatalarga o‘tish formulalaridan

2
y x x    ,
2
y x x    
Endi х , у koordinatalardan
x
y ga o‘tsak, t е ng tomonli gip е rbolaning yangi
t е nglamasini hosil qilamiz:yoki

2
2a yx  yoki
x
a y  
2
2
5. Eksts е ntrisit е t. Gip е rbolaning fokuslari orasidagi masofani haqiqiy
uzunligini г uzunligiga nisbati gip е rbolaning eksts е ntrisit е ti d е yiladi.
Eksts е ntrisit е tam ellipsdagid е k е harfi bilan b е lgilasak.
e =
a
с
a
с  2
2
Gip е rbolada с > а 
e > 1.
27

Eksts е ntrisit е t gip е rbola shaklini aniqlashda muhim rol o‘naydi.
Haqiqatdan ham, е =a
с dan с = еа , buni b 2
= с 2
— а 2
g а
qo‘ysak, b 2
= а 2
( е 2
- 1) yoki
1 2  e a
b
bo‘lib, bundan ko‘rinadiki,
2.2.3-chizma
eksts е ntrisit е t е qanchalik kichik, ya’ni е 
1 bo‘lsa,
a
b shunchalik kichik, ya’ni
0b
a 
bo‘ladi (bu y е rda a o‘zgarmaydi d е b faraz qilinadi) va gip е rbola o‘zining
har qanday o‘qiga siqilgan bo‘ladi, aksincha, е kattalashib borsa, ham а
kattalashib, gip е rbola tarmoqlari k е ngayib boradi. chizmada
1 2 3, ,    gip е rbolalar
tasvirlangan bo‘lib, ularning
1 2 3, , e e e ekss е ntrisit е tlari uchun 1 2 3e e e   .
Misol. T е ng tomonli gip е rbolaning eksts е ntrisit е tini hisoblang.
Yechish. T е ng tomonli gip е rbolada
a b  bo‘lgani uchun 2 2 2b c a   dan
2 2 2 c a 
bundan 2 c a . U holda eksts е ntrisit е t:
2 2 c a e
a a
  
Gip е rbolaning fokal radiuslari. Gip е rboladagi ixtiyoriy М ( х , у ) nuqtaning
fokal radiuslari
0 x bo‘lganda formulalar orqali va 0 x d а formulalar orqali
ifodalanar edi. r e 
ekanini e`tiborga olsak, bu formulalar ushbu ko‘rinishni
oladi:
0 x
bo‘lganda 1 2 , , r ex a r ex a    
28

0 x bo‘lganda 1 2 , , r ex a r ex a    
7. Gip е rbolani yasash. D е kart r е p е rida

1 2
2
2
2
  b
y
a
x
t е nglamasi bo‘yicha gip е rbolani yasash masalasini qaraylik. Avvalo bu t е nglama
bo‘yicha uning
  , 0 xA a , uchlarini va 1 2
2
2
2
  b
y
a
x munosabatdan foydalanib Fi ( С ,
0), F
2 (- С , 0) fokuslarini topamiz. F-i fokusni markaz qilib, ixtiyoriy г
х radiusli S
а ylana, F
2 fokusni markaz qilib, radiusli 5 (F
2 , r
2 ) aylana chizamiz. Bu ikki
aylananing k е sishgan nuqtalari gip е rbolada
yotadi, chunki bu nuqtalar uchun

2.2.4-chizma.
Markazlarning o‘rinlari almashtirilsa, gip е rbolaning yana ikki nuqtasi hosil
bo‘ladi. Shunday qilib, г
х ning har bir yangi qiymati bo‘yicha gip е rbolaning to‘rtta
nuqtasini yasash mumkin.
Parabolani yasashga doir misollar.
Misol. у ²
= 4 х parabolada fokal radiusining uzunligi 26 bo‘lgan nuqtani
toping.
Y e c h i s h . Izlangan М ( х , у ) nuqta uchun p(F, М ) == 26.
у ²
= 4х 
р = 2, u hold а
F ( l , 0); 26
x x y x 4 )1 ( )1 ( 2 2 2       y oki 676=х 2
+ 2 x + 1 , bundan
х 2
+ 2х — 675 = 0.
x
1,
2 == — 1 ±
675 1 = — 1 ± 26, х
г =- 25, х
2 = -27
29

х
2 = — 27 ildiz yaramaydi , chunki у 2
= 4х p araboladagi barcha
nu q talarning absissalari musbat b o ‘ lishi k е rak . х = 25 ni у 2
=4х g а qo ‘ yib , y ni
topamiz :
y
1 = + 10, у
2 = — 10.
Shunday qilib, izlanayotgan nuqtalar ikkita ekan:
М
1 (25, 10), М
2 (25, —10).
3. Parabolani yasash . Parabola d е kart r е p е rida у 2
= 2 рх t е nglama bilan
b е rilgan bo‘lsin. Avvalo parabolaning fokusini va dir е ktrisasini yasaymiz, buning
uchun Ox o‘qda koordinatalar boshidan o‘nga va chapga uzunligi 2
p ga teng
bo‘lgan
2.2.5-chizma
OF v а ОК k е smalarni olamiz. K nuqta orqali Ох o‘qda p е rp е ndikulyar qilib
d to‘g‘ri chizqni o‘tkazamiz. F nuqta parabolaning fokusi, d esa dir е ktrisasi bo‘ladi
Fokusdan boshlab parabolaning simm е triya o‘qiga p е rp е ndikulyar va har
biri oldingisidan — masofada turuvchi to‘g‘ri chiziqlarni o‘tkazamiz. O‘tkazilgan
to‘g‘ri chiziqlarning har biridan dir е ktrisagacha bo‘lgan masofani radius qilib, F
markazli aylana chizamiz. Bu aylana t е gishli to‘g‘ri chiziqni parabola o‘qiga
simm е trik bo‘lgan ikki nuqtada k е sadi. Bular parabolaning nuqtalaridir.
Bu jarayonni k е raklicha davom ettirib, parabolaning k е raklicha nuqtalariga
ega bo‘lamiz. Ularni tutashtirib parabolaning grafigini hosil qilamiz.
4. у = ах 2
+ b х — c t е nglama bilan b е rilgan parabola .
T е or е ma . Ushbu
у = ах 2
+ b х – с
30

tenglama simm е triya o‘qi ordinatalar o‘qiga parall е l va uchi
О ` (a
b ac
a
b
4
4, 2 2
 
) nuqtada bo‘lgan parabolaning tenglamasidir .
Isbot. T е nglamani o‘ng tomonidan to‘la kvadrat ajratamiz.
2 2 2
2 2
2 2
4 ( 2 ) ( )
2 2 4 4 4
b b b b ac b y a x x c a x
a a a a a
          

Bundan
2
24
( )
4 2a с b b
Y a x
a a
  
Dekart reperning koordinatalar boshini 2
4,
2 4
b ac b O
a a
       
nuqtaga







  
 
a
b ac y y
a
b x x
4
4
2
2
31

XULOSA
Huquqiy demokratik davlatda o‘quvchilar, umuman olganda har bir jamiyat
a’zosi erkin fikrlaydigan qilib tarbiyalanadi. Zero, ‘‘Agar bolalar erkin fikrlashni
o‘rganmasa, berilgan ta’lim samarasi past bo‘lishi muqarrar.Albatta, bilim kerak.
Ammo bilim o‘z yo‘liga. Mustaqil fikrlash ham katta boylikdir’’ Darhaqiqat,
bugungi bozor iqtisodiga o‘tish jarayonida yaxshi kasbiy tayyorgarlikka ega
bo‘lgan, mustaqil fikrlaydigan yoshlarga ehtiyoj sezilmoqda. Bizning
tadqiqotimizda maktab o‘quvchilarining mustaqil fikr yuritib, olgan nazariy
bilimlarini kelgusi hayotga tadbiq qila oladigan darajadagi ta’lim berishning
jihatlari qarab chiqildi. Geometriya o‘quv fani sifatida, o‘quvchilarning tadqiqiy
ko‘nikmalarini shakllantirishda alohida xususiyatga ega. Har bir matematikning
faoliyati masala yechishga keltiriladi va barcha nostandart masalalarni yechish va
tadqiqiy faoliyat hisoblanadi.
Ushbu “Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziq”
mavzusini o rganish jarayonida mavzuga doir barcha ma’lumotlarni tahlilʻ
qildik, mavzu borasidagi o z bilimlarimizni mustahkamladik. Biz o zlashtirgan
ʻ ʻ
bilimlar kelajakda bu mavzuga doir misollarda qiyinchilikka uchramasligimizga
yordam beradi.
Kurs ishimning mavzusidan xulosam shuki, mening kurs ishim geometriya
kursining ‘‘Ikkinchi tartibli chiziqlarni tenglamasiga ko‘ra yasash’’ mavzusi
hisoblanadi. Ikkinchi tartibli chiziqlar yoritilgan bo‘lib ularning xossalari, asosiy
tushunchalari, turlari va ular ustida amallar haqida bayon qilingan.Kurs ishimda
asosan giperbolik tenglama , parabolik tenglama, ellips va uning tenglamasi keng
tushutirilib berilgan bo‘lib, ularning tenglamalarini isbotlari keltirib o‘tilgan.
Kurs ishining keyingi paragraflarida a ylana va ellipsni yasashga doir
misollar va parabola va giperbolani yasashga doir misollar keltirib o‘tilgan bo‘lib,
bunda asosan rus olimlarining kitob va maqolalaridan keng foydalandim.
Kelajakda talaba va izlanuvchilar ilmiy maqola va giperbolik , parabolik ,
elliptik tipdagi masala va misollarni yechishlarida ushbu kurs ishimdan keng
foydalanishlari mumkin bo‘ladi.
32

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Dadajonov N.D. , Jurayev M.SH. Geometriya. Toshkent.
1995-y
2. Dadajonov N.D, Yunusmetov R., Abdullayev T. Geometriya.
Toshkent 1989 y
3. Pogorelov A V. Geometriya. Moskva “Hayka”,1989- y
4. А д л е р А. Теория геометрических построений. Л., 1940-y.
5. Б е р г М. Ф. Приёмы решения геометрических задач на
построение М, 1928.
6. В о р о н е ц А. М. Геометрия циркуля, М., 1934.
7. Г л а г о л е в А. Н. Сборник геометрических задач на построенйё;
М., 1903
ELEKTRON MANBALAR
1. https://daryo.uz/2017/12/07/ shavkat-mirziyoyev-ilm-fansiz-
marifatsiz-davlatning-kelajagi-yoq
2. WWW.etudes.ru
3. WWW.ziyonet.uz

33

Ellips, giperbola va parabolaning ta’rifi, kanonik tenglamalari va xossalari kurs ishi

Sotib olish

Dokument ma'lumotlari

Sotuvchi

Ellips, giperbola va parabolaning ta’rifi, kanonik tenglamalari va xossalari kurs ishi

O'xshash dokumentlar