Eyler integrallari - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	665.2KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	12 Iyun 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

185 Sotish

Eyler integrallari

Sotib olish

O ZBEKISTON RESPUBLIKASIʻ
OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
FARG‘ONA DAVLAT UNIVERSITETI
FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI
«Matematik analiz va differensial tenglamalar» kafedrasi
«Matematik analiz» fanidan
KURS ISHI
Mavzu : Eyler integrallari
Bajardi: 2-kurs 23.05-guruh talabasi
Ilmiy rahbar : Fizika-matematika fanlari bo‘yicha falsafa doktori
(PhD)
Farg‘ona – 202 5
1

REJA
KIRISH
ASOSIY QISM:
1. Parametrga bog liq xos integrallar va ularning funksional xossalariʻ
2. Parametrga bog‘liq xosmas integrallar va ularning tekis yaqinlashishi
3. Parametrga bog‘liq xosmas integrallarning funksional xossalari
4. Eylerning 1-tur integrali. Beta funksiya
5. Eylerning 2-tur integrali. Gamma funksiya
6. Gamma va Beta funksiyalar orasidagi bog‘lanish
XULOSA
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI
2

KIRISH
Matematikanining asosiy vazifasi bizni o‘rab turgan tartibsizliklarda
yashiringan tartibni topishdan iborat
N. Wiener
O‘zbekiston rivojlangan mamlakatlar qatoriga qo‘shilishi uchun fan
va texnikani rivojlantirish kerak. Matematikani rivojlantirish bunga devor
vazifasini o‘taydi. Mamlakatimizda matematika 2021 yildagi ilm fan
rivojlantirishning ustuvor yo‘nalishlaridan biri sifatida belgilandi. O‘tgan asr
ichida matematika ilm fan va ta’limni yangi sifat bosqichiga olib
chiqishga qaratilgan qator tizimli ishlar amalga oshirildi. Jumladan oliy
ta’lim va ilmiy tatqiqotlarning o‘zaro integrallashuvini ta’minlash
maqsadida talabalar shaharchasida Fanlar Akademiyasining V. I.
Romanovskiy nomidagi matematika instutining yangi va zamonaviy binosi
barpo etildi Matematika sohasidagi fundamental taqdimotlarini
moliyalashtirish hajmi bir yarim barobarga oshirildi. Ilmiy darajali
kadrlarni tayyorlashning birlamchi bosqichi sifatida stajior - tatqiqotlik
insituti joriy etildi. Mamlakatimizda ta’lim sohasidagi islohatlar kadrlar
tayyorlash milliy dasturi talablariga monand amalga oshirilib u har tomonlama
kamol topgan, jamiyatda turmushga moslashgan, ta’lim va kasb-hunar dasturlarini
ongli ravishda tanlashga keyinchalik puxta o‘zlashtirish uchun ijtimoiy-
siyosiy,huquqiy, psixologik-pedagogik va boshqa tarzdagi sharoitlarni
yaratishni,jamiyat,davlat va oila oldida o‘z javobgarligini xis etadigan fuqorolarni
tarbiyalashni nazarda tutadi".
Uzluksiz ta’lim tizimining umumiy ta’lim maktablari uchun matematikadan
bugungi kunda qo‘llanilayotgan darslik va o‘quv uslubiy qo‘llanmalar
o‘quvchilarga chuqur nazariy bilimlar berish, vatanga sadoqat, yuksak axloq,
ma’naviyat va ma’rifat, mehnatga vijdonan munosabatda bo‘lish ruhida
tarbiyalash, xozirgi zamon bozor iqtisodiyotini hisobga olgan holda har bir jamiyat
a’zosining mehnat va kundalik hayoti uchun zarur bo‘lgan matematik bilim,
ko‘nikma va malakani tarkib toptirish bilan bir qatorda davlat ta’lim standartlarida
3

belgilab qo‘yilgan bo‘lgani uchun ham bu yerda, matematika o‘qitishda
o‘quvchilarning ilgari olgan bilimlarini chuqurlashtirish, amaliyotda tadbiq
qilishda abstrakt va mantiqiy fikrlashni o‘stirish;
O‘quvchilarda izchil mantiqiy fikrlashni shakillantirib borish natijasida
ularning aql-zakovati rivojiga, tabiat va jamiatdagi muammolarni hal etishning
maqbul yo‘llarini topa olishga ko‘maklashishi;
O‘quvchilarni qomusiy olimlarimizning matematika rivojiga qo‘shgan ulkan
hissalaridan xabardor qilish jamiyat tarqqiyotida matematikaning ahamiyatini his
qilgan holda umum insoniy madaniyatning tarkibiy qismi sifatida matematika
to‘g‘risidagi tasavvurlarni shakllantirish.
Zamonaviy dunyoda ilm-fan taraqqiyot vositasi bo lib, dunyo mamlakatlariʻ
iqtisodiyotini innovatsion rivojlantirishning eng muhim elementlaridan biridir.
O zbekiston yirik ilmiy markaz hisoblanadi — yurtimizda rivojlangan ilmiy-
ʻ
tadqiqot bazasi ham mavjud, ilmiy salohiyat ham yetarli.
Kurs ishining dolzarbligi. O‘quvchi va talabalarning bilimlarini
yanada oshirish, xususan, matematikaning muhim sohalaridan bo‘lmish
Matematik analiz faniga oid bilim va ko‘nikmlarini oshirish va yanada
mustahkamlash. Yuqorida ta’kidlaganimizdek, matematika faniga oid
bilimlarni egallash, unda kerak bo‘lsa, o‘z nomimizni ham qoldirishga
harakat qilishimiz va intilishimiz nafaqat o‘z darajamizdagi balki, butun
mamlakatimiz, zero butun dunyo miqyosidagi masala bo‘lib kelmoqda.
Qolaversa, biz aynan mana shu Matematika yo‘nalishi talabasi ekanmiz
mazkur fanning ajralmas bo‘lagi bo‘lmish Matematik analiz fanini ham
chuqur o‘rganishimiz lozim. Nimaga deganda matematika sohalari ichida
aynan ‘‘Matematik analiz ” hayotda eng ko‘p aksini topadigan soha deyish
mumkin. Matematik analiz - matematika sohalaridan biri. Matematik analiz
takomillashib va rivojlanib boruvchi apparatga ega bo lib, bu apparat asosini
ʻ
differensial va integral hisob tashkil qiladi.
4

Matematik analiz o ziga xos tadqiqot ob yektiga (o zgaruvchi kattalik),ʻ ʼ ʻ
o ziga xos tadqiqot uslubiga (cheksiz kichiklar yoki limitga o tish vositasida analiz
ʻ ʻ
qilish), asosiy tushunchalarning ma lum majmuasi (funksiya, limit, hosila,
ʼ
differensial, integral, qator) ga ega. Matematik analiz matematikaning bo limi
ʻ
sifatida 18-asr oxirida shakllandi. Matematik analizning tadqiqot predmeti
funksiyalardan yoki o zgaruvchi miqdorlar orasidagi bog lanishlardan iborat.
ʻ ʻ
Matematik analizning asoschilari I. Nyuton va G. Leybnitslardir. Shuni ham
aytish kerakki, biz bo‘lajak o‘qituvchi, pedagog ekanmiz, hozirda endigina
o‘sib borayotgan yosh avlodni yanada bilimli, yetuk, ham ma’nan va ham
aqlan yetuk kadr qilib tarbiyalash har bir pedagogning eng muhim
vazifasidir, shu sababdan biz ham ushbu vazifani o‘zimizning bosh
maqsadimizga aylantirib, mazkur oliy maqsadni amalga oshirishda tolmay,
dadil qadam tashlamog‘imiz va olg‘a bormog‘imiz lozim.
Kurs ishining maqsadi. Matematik analiz; Parametrli integrallar; Eyler
integrallari ya’ni Eylerning 1-tur integrali ( Beta funksiya); Eylerning 2-tur
integrali ( Gamma funksiya); Beta va Gamma funksiyalari orasidagi bog‘lanishni
o‘rganish hamda bu tipdagi misollarni hal qilishdan iborat.
Kurs ishining obyekti . Oliy va o‘rta ta’lim muassasalarida Matematik
analiz fanini o‘qitish jarayoni.
Kurs ishining predmeti. Matematik analiz fanining o‘qitish metodlari
va vositalari. Matematik analiz fanini o‘rganish va Eyler integrallari.
Kurs ishining vazifalari:
1. Mavzuga doir ma’lumotlarni yig‘ish va rejani shakllantirish.
2. Parametrli integrallar.
3. Eyler integrallari. Eyler integrallarini xossalarini o‘rganish.
4. Kurs ishini jihozlab, uni himoyaga tayyor qilish.
5

1. Parametrga bog liq xos integrallar va ularning funksional xossalariʻ
 
yxf ,
funksiya 2
R
fazodagi biror     REybxaRyxD  ,:, 2

aniqlangan va 
fiksirlangan Ey 
uchun
  yxf ,
funktsiya х
o‘zgaruvchining
funksiyasi sifatida
  ba ,
oraliqda integrallanuvchi bo‘lsin. Quyidagi
      
b
a
dx y x f y ,
(1. 1)
integralga parametrga bog‘liq integral, u o‘zgaruvchi esa parametr deyiladi.
Parametrga bog‘liq integrallarda
  y
funksiyaning bir qator xossalari
(limiti, uzluksizligi, differensiallanuvchiligi, integrallanuvchiligi va hokazo)
o‘rganiladi. Bu xossalarni o‘rganishda
  yxf ,
funksiyaning u bo‘yicha limiti va
unga intilish xarakteri muhim rol o‘naydi.
 
yxf ,
funksiya D to‘plamda berilgan , 0y
esa E to‘plamning limit nuqtasi
bo‘lsin.
1.1-ta’rif. Agar 0

olinganda ham (   bax ,
uchun) shunday
 
0,  x   
topilsaki,  
0yy
tengsizlikni qanoatlantiruvchi Ey 
uchun
   
,,    xyxf
  bax ,
bo‘lsa, u holda
  x 
funksiya   yxf ,
funksiyaning 0yy 
dagi limit funksiyasi
deyiladi.
 
yxf ,
funksiya D
to‘plamda berilgan bo‘lib,  nuqta E to‘plamning limit
nuqtasi bo‘lsin.
1.2-ta’rif. Agar 0

olinganda ham (   bax ,
uchun)   0,  x 
topilsaki, y
tengsizlikni qanoatlantiruvchi Ey 
uchun
6

   ,,    xyxf  
bax ,
bo‘lsa, u holda
  x 
funksiya   yxf ,
funksiyaning y
dagi limit funksiyasi
deyiladi.
Limit funksiya ta’rifidagi
  0,  x   
ning faqat 0 
gagina bog‘liq
qilib tanlanishi mumkin bo‘lgan hol muhimdir.
1.3-ta’rif. D
to‘plamda berilgan
  yxf ,
funksiyaning 0yy 
dagi limit
funksiyasi
  x 
bo‘lsin. Agar 0 
uchun   0  
topilsaki,  
0yy
tengsizlikni qanoatlantiruvchi
  baxEy , ва 
lar uchun
   
,,    xyxf
bo‘lsa,
  yxf ,
funksiya o‘z limit funksiyasi   x 
ga   ba ,
da tekis yaqinlashadi
deyiladi.
1.4-ta’rif. D
to‘plamda berilgan
  yxf ,
funksiyaning 0yy 
dagi limit
funksiyasi
  x 
bo‘lsin. Agar 0
0  
, 0 
olinganda ham    bax ,
0 
va


0yy
tengsizlikni qanoatlantiruvchi Ey 
1
topilsaki, ushbu
   
,,
0010    xyxf
tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, u holda
  yxf ,
funksiya   x 
ga notekis yaqinlashadi
deyiladi.
1. 1-teorema. (Koshi kriteriyasi)
  yxf ,
funksiya 0yy 
da limit
funksiya
  x 
ga ega bo‘lib, unga tekis yaqinlashishi uchun quyidagi shartning
bajarilishi zarur va yetarlidir: 0

uchun   0  
topiladiki,  
0yy
,


0yy
tengsizliklarni qanoatlantiruvchi Eyy 
 ,
hamda   bax ,
uchun
   
,,,  

yxfyxf
7

tengsizlik bajariladi.
Endi parametrga bog‘liq integrallarning funksional xossalarini keltiramiz.
1. 2-teorema. Agar
1) 
fiksirlangan Ey 
uchun     ,,, baCyxf 
2) 0yy 
da
  , yxf
funksiya   x 
ga tekis yaqinlashsa,
u holda
   
 
 b
ab
ayy dxxdxyxf  ,lim
0
(1. 2)
bo‘ladi.
1. 3-teorema. Agar
  yxf ,
funksiya
       
dcybaxRyxD , ,,:, 2

to‘plamda uzluksiz bo‘lsa, u holda
   
 b
a dxyxfy ,
(1. 3)
funksiya
  dc ,
kesmada uzluksiz bo‘ladi.
1.4-teorema. Aytaylik
  yxf ,
funksiya
       
dcybaxRyxD , ,,:, 2

to‘plamda aniqlangan va
1) 
fiksirlangan Ey 
uchun
    baCyxf ,, 
2)
  
yxf
y ,
va   DC
8

bo‘lsin. U holda   dc ,
kesmada   y 
mavjud va ushbu
   
 
  b
a y dxyxfy ,
(1. 4)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
1. 5-teorema. Agar
  yxf ,
funksiya 3-teorema shartlarini qanoatlantirsa,
unda
   d
c dyy
integral mavjud va
   
   







 b
a d
cd
c b
a dxdyyxfdydxyxf ,,
(1. 5)
munosabat o‘rinlidir.
Endi umumiy ko‘rinishda berilgan parametrga bog‘liq integrallarni
keltiramiz.
Faraz qilaylik,
    yxyx    ,
funksiyalar   dc ,
da aniqlangan bo‘lib,
 
dcy ,
uchun
   
byya   
(1. 6)
munosabat bajarilsin.
1.6-teorema.
  yxf ,
funksiya ushbu
       
dcybaxRyxD , ,,:, 2

to‘plamda aniqlangan bo‘lib,
1)
    DCyxf ,
9

2)      dcCyy , ,   
bo‘lsin. U holda
   


 y
y dxyxfy 
 ,~
(1. 7)
funksiya ham
  dc ,
oraliqda uzluksiz bo‘ladi.
1 .7-teorema. (Leybnits formulasi) Agar :
1)
    ,, DCyxf 
2)
    ,, DCyxf
y 
3)
  y 
va     dcCy , 
bo‘lsa, u holda
  y ~
funksiya ham   dc ,
oraliqda hosilaga ega va
               


 


 y
y y yyfyyyfydxyxfy 

    ,,,~
'
(1. 8)
munosabat o‘rinlidir.
1. 8-teorema. shartlari bajarilgan holda
  y ~
funksiyaning   dc ,
oraliqda
integrallanuvchi ekanligi kelib chiqadi va (1. 7)-funksiya uchun ham (1. 8)-tenglik
o‘rinli bo‘ladi.
2. Parametrga bog‘liq xosmas integrallar va ularning tekis yaqinlashishi
 
yxf ,
funksiya
     
REyaxRyxD  ,,:, 2
10

to‘plamda berilgan bo‘lib, 
fiksirlangan Ey 
uchun  

a dxyxf ,

  Ey 
mavjud va chekli bo‘lsin. Bu integral u ning qiymatiga bog‘liqdir.
   


a dxyxfyI ,
(2. 1)
(2. 1)-integralga parametrga bog‘liq I-tur xosmas integral deyiladi.
Xuddi shu kabi
 

 a
dxyxf ,
va   
 dxyxf ,
parametrga bog‘liq bo‘lgan I-tur xosmas integrallarning ta’rifini berish mumkin.
Endi
  yxf ,
funksiya
     
REybaxRyxD  ,,:, 2
1
to‘plamda berilgan bo‘lib, 
fiksirlangan Ey 
da bx 
nuqta
  yxf ,
funksiyaning maxsus nuqtasi bo‘lsin va bu funksiya
  ba ,
oraliqda
integrallanuvchi, ya’ni
 
 b
a dxyxf ,

  Ey 
xosmas integral mavjud bo‘lsin. Unda
   
 b
a dxyxfyI ,
1
(2. 2)
integralga parametrga bog‘liq bo‘lgan II-tur xosmas integral deyiladi.
11

Xuddi shunga o‘xshash ax 
nuqta maxsus nuqta bo‘lgan parametrga
bog‘liq bo‘lgan II-tur xosmas integralga ta’rif berish mumkin.
Umumiy holda, parametrga bog‘liq chegaralanmagan funksiyaning
chegarasi cheksiz xosmas integrali tushunchasi ham yuqoridagidek kiritiladi.
Aytaylik,   yxf ,
funksiya D
to‘plamda aniqlangan bo‘lib, ixtiyoriy
fiksrlangan Ey 
uchun
   
,
a f x y dx
 

bo‘lsin. 
     ,, ata
da
   
 t
a dxyxfytF ,,
(2. 3)
integral mavjud va
 
yI
    .,lim, ytFdxyxf
t
a 


(2. 4)
(4)-tenglikdan ko‘rindiki
  yI
funksiya   ytF ,
funksiyaning t
dagi limit
funksiyasi bo‘ladi.
2.1-ta’rif. Agar t
da
  ytF ,
funksiya E
to‘plamda o‘z limit
funksiyasi
  yI
ga tekis yaqinlashsa u holda (2. 1) integral E
to‘plamda tekis
yaqinlashuvchi, notekis yaqinlashganda esa notekis yaqinlashuvchi deyiladi.
Shunday qilib,
  
a dxyxf ,
integralning E
to‘plamda tekis yaqinlashuvchi
bo‘lishi quyidagini anglatadi:
12

1) Ey 
uchun   
a dxyxf ,
xosmas integral yaqinlashuvchi;
2) 0

uchun        t:0
va Ey 
uchun
  


t dxyxf ,
tengsizlik bajariladi.
 

a dxyxf ,
integralning E to‘plamda notekis yaqinlashuvchi ekanligi esa
quyidagini anglatadi:
1) Ey 
uchun
  
a dxyxf ,
xosmas integral yaqinlashuvchi;
2) ,0
0 

0 
olinganda ham Ey 
0
va ,
0   t
   ,
0 at
topiladiki,
 
00
0 ,  
 
t dxyxf
bo‘ladi.
2. 1-misol.
  


0 dxyeyI xy
parametrga bog‘liq integral a)
   ,0E
va
b)
  EE  ,2
1
oraliqlarda tekis yaqinlashishga tekshirilsin.
a)
      
 t t
tyxyxy
exydedxyeytF
0 0 1,

     ,00 yt
uchun
        

 
011lim,lim dxyeyIeytFyI xyty
tt
yaqinlashuvchi.
13

Endi berilgan integralni tekis yaqinlashuvchanlikka tekshiramiz. 
 ,0Ey
bo‘lsin. Agar 0 
uchun
  
00 ,
31
t
va 00 1
ty 
deb olsak,
u holda
01
0
311
00
0 0

 


eeedxey yt
t xy
bo‘ladi. 
integral
   ,0E
da notekis yaqinlashadi.
b) Endi inegralni
  EE  ,2
1
to‘plamda tekis yaqinlashuvchanlikka
tekshiramiz. 0

olamiz.
   

   
1
ln
211
,21
2  



ety
eeedxye
tyty
txy
t xy
deb
olsak, tekis yaqinlashish ta’rifidagi shartlar bajarilar ekan.
  


0 dxyeyI xy
integral
   ,2
1E
oraliqda tekis yaqinlashadi. 
2.2-ta’rif. Agar 0

uchun        

 tt , :0
ni
qanoatlantiruvchi tt 
 ,
va Ey 
uchun
  

 
t
t dxyxf ,
tengsizlik bajarilsa, unda (2. 1)-xosmas integral E to‘plamda fundamental
integral deyiladi.
2. 1-teorema (Koshi).
    

a dxyxfyI ,
integralning E
to‘plamda tekis
yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun uning E
to‘plamda fundamental bo‘lishi zarur va
yetarlidir.
14

Bu teorema nazariy ahamiyatga ega bo‘lib, undan amaliyotda foydalanish
ancha qiyin.
2.2-teorema (Veyershtrass). Agar   0 x 
     ,ax
funksiya
topilsaki
1.
   ,ax
va Ey 
uchun     ,, xyxf  
2.
  
a dxx 
yaqinlashuvchi
bo‘lsa, unda
    

a dxyxfyI ,
integral E to‘plamda tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi.
2. 3-teorema (Abel alomati).
  yxf ,
va   yxg ,
funksiyalar
     
EyaxRyxD  , ,:, 2
to‘plamda berilgan bo‘lib,
1) 
fiksirlangan Ey 
uchun
  yxg ,
funksiya   ,a
da x
o‘zgaruvchi bo‘yicha
monoton va u D
toplamda chegaralangan,
2)
  
a dxyxf ,
integral E
da tekis yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda
   


a dxyxgyxf ,,
integral E
to‘plamda tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi.
2.4-teorema (Dirixle alomati).
  yxf ,
va   yxg ,
funksiyalar D
to‘plamda berilgan bo‘lib,
1) at 
va Ey 
uchun
15

 cdxyxft
a 
 ,

  constc 
,
2) 
fiksirlangan Ey 
uchun
  yxg ,
funksiya   ,a
da x
o‘zgaruvchi bo‘yicha
monoton va x
da
  yxg ,
funksiya 0
ga tekis yaqinlashsa, u holda
   


a dxyxgyxf ,,
integral E
to‘plamda tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi.
3. Parametrga bog‘liq xosmas integrallarning funksional xossalari
 
yxf ,
funksiya       EyaxRyxD  , ,:, 2
to‘plamda berilgan
bo‘lib, 0y
nuqta E to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin.
3.1-teorema. Agar
1) 
fiksirlangan Ey 
uchun
     ,, aCyxf
,
2) 0yy 
da
    tata ,
kesmada   yxf ,
funksiya )( x 
ga tekis
yaqinlashsa,
3)
    

a dxyxfyI ,
integral E
to‘plamda tekis yaqinlashuvchi
bo‘lsa, u holda 0yy 
da
  yI
funksiya limitga ega va
       
   
 





aa a yyyyyy dxxdxyxfdxyxfyI  ,lim,limlim
000
bo‘ladi.
3.2-teorema. Agar
  yxf ,
funksiya
16

       dcyaxRyxD , ,,:, 2

to‘plamda berilgan bo‘lib,
1)
    DCyxf ,
,
2)
    

a dxyxfyI ,
integral
  dc ,
da tekis yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda
   
dcCyI ,
bo‘ladi.
3. 3-teorema. Agar
  yxf ,
funksiya
       
dcyaxRyxD , ,,:, 2

to‘plamda berilgan bo‘lib,
1)
    DCyxf ,
,     DCyxf
y 
,
,
2) 
fiksirlangan
  dcy ,
uchun
    

a dxyxfyI ,
yaqinlashuvchi,
3)
  

a y dxyxf ,
integral
  dc ,
da tekis yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda   yI
funksiya
  dc ,
oraliqda   yI 
hosilaga ega bo‘ladi va
 

yI
  

a y dxyxf ,
tenglik bajariladi.
3.4-teorema. Agar
  yxf ,
funksiya
       
dcyaxRyxD , ,,:, 2

to‘plamda berilgan bo‘lib,
17

1)    DCyxf ,
,
2)
    

a dxyxfyI ,
integral
  dc ,
da tekis yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda
 
yI
funksiya   dc ,
da integrallanuvchi va
     
    









d
c a d
cd
c a dxdyyxfdydxyxfdyyI ,,
bo‘ladi.
4. Eylerning 1-tur integrali. Beta funksiya
4.1-ta’rif.
   
1
1
1
0, 1 b
a
B a b x x dx 

 

(4. 1)
Yuqoridagi (4. 1) ifoda Beta funksiya deyiladi. Bu tenglikning o‘ng tomonidagi
integral Eyler integrali deyiladi.
Agar 0a 
va 0b 
bo‘lsa (4. 1) ifoda yaqinlashuvchi, a
va b
ning birortasi
nolga teng bo‘lganda yoki noldan kichik bo‘lganda uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Isboti. Berilgan integralni tekis yaqinlashuvchilikka tekshirish uchun uni
     
1 1 1 2 1 1 1 1 1 1
1 0 0 2
1 1 1 b b b a a ax x dx x x dx x x dx              
kabi yozib olamiz.
18

Ravshanki, 0a 
bo‘lganda 1
2 1
0
a x dx

integral yaqinlshuvchi, 0b 
bo‘lganda
  1
1
1
2 1 b
x dx 


integral yaqinlashuvchi.
Parametr a
ning
  0 0 0a a a  
qiymatlari va 0b 
, 1
0;
2x  
 
 
 
uchun
    0 0 1 1 1 1 1 1 1 2 b b a a ax x x x x         
bo‘ladi. Veyershtrass alomatidan foydalanib,
 
1
2 1 1
0
1 b ax x dx    
Integralni tekis yaqinlashuvchiligini topamiz.
Shuningdek, parameter b
ning
  0 0 0b b b  
qiymatlari va 0a 
,
1
;1
2x  
 


 
uchun
     
0 0 1 1 1 1 1 1 1 2 1 b b b a ax x x x x          
bo‘ladi va yana Veyershtrass alomatiga ko‘ra
 
1 1 1
1
2
1 b ax x dx     integralning tekis
yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.
Demak,
  1
1
1
0 1 b
a
x x dx 



integral 0 0a a  
va 0 0b b  
bo‘lganda tekis
yaqinlashuvchi bo‘ladi.
 
,B a b
funksiya 0a 
va 0b 
da uzluksiz funksiya bo‘ladi.
19

(4. 1) Integralda 1x t  
almashtirish bajarib,     
1
1
1
0 , 1 , a
b B a b t t dt B b a 
    
tenglikni hosil qilamiz. Demak, beta funksiya o‘zining a
va b
argumentlariga
nisbatan simmetrik funksiya ekan.
Endi (1) integralni bo‘laklab integrallaymiz
     1 2 1 , 1 1 b b u x du b x dx       
1 1
,a a
dv x dx v x
a
 
kabi bajarib va ushbu
  1 1 1 a a ax x x x     
Ayniyatni e’tiborga olsak , 1b 
da quyidagilarga ega bo‘lamiz:
        
1
1 1
2 2
1 1
0
0 01
1
, 1 1 1 b
a
a
b b
ax x
x b
B a b b x dx x x dx
a a a 
 
 


      
 
 
   
         
1 1 2 1 1 1
0 0
1 1 1 1 , 1 , b b a a b b x x dx x x dx B a b B a b
a a
                
  
Bundan ushbu rekkurent formula kelib chiqadi.
   
1
, , 1
1b
B a b B a b
a b 
 
 
(4. 2)
Beta funksiya a
va b
ga nisbatan simmetrik bo‘lgani uchun

    1
, 1,
1a
B a b B a b
a b 
 
 
(4. 3)
(4. 1) va (4. 3) formulalarga asosan,

        1 1, 1 , 1a B a b b B a b     
Agar 1 , 1a p b q    
desak u holda

    , 1 1, p
B p q B p q
q  
20

Agar b
parametr butun songa teng bo‘lsa , ya’ni b n 
bo‘lsa   ,B a n
funksiyaga
(4. 2) formulani ketma-ket qo‘llash natijasida
   
1 2 3 1
, ... ,1
1 2 3 1n n n
B a n B a
a n a n a n a   
   
      
tenglikka ega bo‘lamiz. Ammo
 
1
1
0 1
,1 a
B a x dx
a
 

bo‘lgani uchun
     
    
1 2 3 ... 1
, ,
1 2 ... 1 n
B a n B n a
a a a a n     
 
   
bo‘ladi.
Agarda a parametr ham natural songa teng bo‘lsa , ya’ni
a m N  
bo‘lsa (4. 3) formulani ketma-ket qo‘llash orqali quyidagi natijaga erishamiz:
   
        
    
 
1 2 3 ... 1 1 2 3 ... 1
, ,1
1 2 ... 1 1 2 ... 1
1 2 3 1
... 1,1
1 2 2 n n
B m n B m
m m m m n m m m m n
m m m
B
m m m          
   
       
  
    
 
Bundan ,
  1,1 1 B 
bo‘lgani uchun
      
 
1 ! 1 !
, ,
1 !n m
B m n B n m
m n 
 
 
Yuqoridagi mulohazalarga asoslanib,quydagi tenglikni yozishimiz mumkin.
      
 
1
1
1
0
1 ! 1 ! , 1 1 ! q
p
p q B p q t t dt p q 

      

(4. 4)
Demak biz beta funksiyani (4. 4) ifoda orqali hisoblashimiz mumkin.
Beta funksiya xossalaridan kelib chiqqan ba’zi formulalar:
21

       1. , , , , B p q B p q r B q r B q r p   
   
2. , , B p q B q p 
 
 
1
03. ,
1 p
p qt
B p q dt
t



 
1
04. ,1
1 sin p
t
B p q dt
t px

  
 
    
 
1 ! 1 !
5. ,
1 !p q
B p q
p q 

 
   
1
1
06. , 1 z
q
p
zB p q t t dt 

 

bunda   0, 0, 0 1p q z    
(4. 5)
Yuqoridagi (4. 5) formula to‘liqsiz Beta funksiya deyiladi.
Hosil qilingan integral matematik analizda Eyler ismi bilan bog‘langan .
3-xossani isbotlaymiz.
   
1
1
1
0, b 1 b
a
B a x x dx 

 

da 1t
x
t

almashtirish bajarilsa, u holda

  1
0 1 1
,1 a ; ,
1 sin 2 2 a
t π
B a dt B π
t a π

 
   
 

 
bo‘ladi. Xususan, b=1-a ( 0<a<1 ) bo‘lganda

  1
0,1 a
1 sin a
t π
B a dt
t a π

  

bo‘ladi. Keyingi munosabatdan
1 1
,
2 2B π 

 
 
kelib chiqadi.
4.1 ni hisoblang.
 
1 1 1
1,5 1
2 1,5 1
0 0 0 3 3
1 1 ,
2 2x x dx x xdx x x dx B 
  
      
 
   
3 3 1 1
, : 2!
2 2 2 2B    
 
   
   
 
= 8 
22

Javob:
4.2-misol 2 2 2
0 , 0a
x a x dx a  

integralni hisoblang.
, 0x a t t  
belgilashni kiritamiz.    
1 1
4 4 4
0,5
0,5
2 2 2 2 2 2 0,5
0 0 0 3 3
1 ,
2 2 2 2 16
2a
a a a a
x a x dx a t a a t dt t x dt B
t  
      
 
    
Javob:
5. Eylerning 2-tur integrali. Gamma funksiya
Ikkinchi tur Eyler integrali Gamma funksiya ushbu
 
1
0 a x
a x e dx 
 
 

(5. 1)
integral bilan aniqlanadi va bu integral ikkinchi tur Eyler integrali deyiladi.
0
1 .
  1
0 a x
a x e dx 
 
 

integral a>0 da yaqinlashuvchi, 0
a 
da uzoqlashuvchidir.
Isboti. (5. 1) integralni ikkita integralga ajratib,
 
1
1 1
0 1 a x a x
a x e dx x e dx 
   
  
 
Ularning har birini tekis yaqinlashuvchiligini ko‘rsatamiz.
Agar
  0 0 0a a 
sonni olib, parametr a ning 0a a 
qiymatlari qaralsa, unda barcha
 
0;1x 
uchun 01
1 1
a x
ax e
x 

bo‘lib Veyershtrass alomatiga asosan
1
1
0 a x
x e dx  

integral tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Agar sonni olib, parametr a ning 0a b 
qiymatlari qaralsa, unda barcha 1x 
uchun
23

0
0 1
1
1
0
21
1b
b
a x x b
x e x e
x

   
 
  
 
 
bo‘lib
2
0 1
dx
x

integralning yaqinlashuvchiligidan, Veyershtrass alomatiga ko‘ra
1
0 a x
x e dx
 

integralning tekis yaqinlashuvchiligini bo‘lishini topamiz. Shunday qilib,
 
1
0 a x
a x e dx 
 
 

integral
   0 0 0 0 , 0a b a b    
da tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Eslatma.
  a
funksiya   0, 
da notekis yaqinlashuvchiligini ko‘rish qiyin emas.
0
2 .
  a
funksiya   0, 
da uzluksiz hamda barcha tartibdagi uzluksiz hosilaga ega
va
     
1
0 ln , 1, 2, ... n
n
a x a x e x dx n
     
0
3 .

  a
funksiya uchun ushbu
    
1 , 0a a a a    
formula o‘rinli.
Isboti. Bo‘laklab integrallash uchun unda
1
, ; , a
x x a x
u e du e dx dv x dx v
a   
   
 
 
Belgilashlarni kiritamiz va
1
0
0 0 a x a x
a x x e x e
x e dx dx
a a 
 
    
 
 
  
24

1
0 0 a x
a x x e
x e dx dx
a 

 

 
Bundan ko‘rinadiki   
1a a a   
(5. 2)
rekkurent formulaga ega bo‘lamiz. Uni davom ettirganimizda

      2 1 1a a a     

      3 2 2a a a     
. . . . . . . . . .

      1 1a n a n a n       
bo‘lishini ulardan esa,

          1 2 ... 2 1a n a n a n a a a a         
ekanligini topamiz. Xususan, 1a 
bo‘lganda

      1 1 2 ... 2 1 1n n n n        

 01 1 x
e dx

  

ekanini e’tiborga olsak
 
1 !n n  
(5. 3)
munosabatga ega bo‘lamiz.
0
4 .
  a
funksiyaning o‘zgarish xarakteri
 
a
funksiya   0, 
oraliqda berilgan bo‘lib, shu oraliqda istalgan tartibli
hosilaga ega. Bu funksiyaning 1a 
va 2a 
nuqtalardagi qiymatlari teng:
  
1 2 1  
 
a
funksiyaga tatbiq qila olamiz, chunki yuqoridagi keltirilgan faktlar
Roll teoremasi shartlarining bajarilishini ta’minlaydi. Demak,Roll teoremasiga
ko‘ra, shunday
  * *
1 2a a  
topiladiki,   ' *
0a 
bo‘ladi.   0,a  
da
25

   2
'' 1
0 ln 0a x
a x e x dx 
 
  

bo‘lishi sababli,
  '
a
funksiya va   0, 
oraliqda qat’iy o‘suvchi bo‘ladi. Demak,
 
'a 
funksiya   0, 
da *
a
nuqtadan boshqa nuqtalarda nolga aylanmaydi, ya’ni
 
' 1
0 ln 0a x
a x e xdx 
 
   
Tenglama
  0, 
oraliqda *
a
dan boshqa yechimga ega emas. U holda
* 0 a a 
da   ' 0 a   ,
*a a   
da   ' 0 a  
bo‘ladi. Demak,
  a
funksiya *
a
nuqtada minimumga ega. Uning minimum
qiymati
  * a 
ga teng.
Gamma funksiyaning xossalaridan kelib chiqadigan natijalar.

 
   
   
   
1
01
1) ;
2
2) 1 1;
1 3 ... 2 1
1
3) ;
2 2
4) 1 ;
sin
1 1
5) ;
2 2 cos
6) 1 ;
7) ln . n
n
n
p x n
n
x x
x
x x
x
p p p
p x e x dx





 
  
 
 
 
 
   
 
  
 
 
   
   
    
   
   
   
 

Gamma funksiyaga doir misollar
Katta argumentli Gamma funksiyani hisoblash uchun bizga quyidagi
formula yordamga keladi.
26

      1 1 1 ( )( 2 ( ) 2)Г x x Г x x x Г x        
Masalan:
    5 4 3 2 1 1 24 1 24Г Г Г      
Agar 1x 
va 0, 1, 2, 3, ...x    
bo‘lsa
     
 
..
11 2
.Г x Г x
Г x
x x x  
 
tenglikdan foydalanishimiz ham mumkin.
Masalan:
    0, 7 1, 298
0 1, 7
, 7Г
Г  
yoki
   
     
 
     
3, 2 5 1, 8
3, 2 3, 2 1 3, 2 2 3, 2 3 3, 2 4 3, 2 2, 2 1, 2 0, 2 0, 8
0, 6
2
9
,
8
3 Г Г Г                  


5. 1-misol integralni hisoblang.
2
x t 
almashtirish natijasida integral quyidagi ko‘rinishga keladi.

1 1 1 2 2
0 0 0
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
t t t e dt e t dt e t Г t d
t
                  
1
2Г
  

 
 
ekanini inobatga olib, so‘ralayotgan integralni javobini topamiz.
:
2Javob

Gamma funksiyaning xossalaridan foydalangan holatda uning grafigini
taxminiy chizish mumkin.
Quyida Gamma funksiyaning grafigi keltirilgan.

27

1 chizma
Ko‘rinib turibdiki Gamma funksiya kesmada uzluksizlik xossasga ega.
Uning uzluksiz qismi qandaydir limitga ega bo‘lishi shubhasiz. Shu limitlardan biri
Eyler aniqlovchisidir.       
!
lim
1 2 ... x
n n
Г x n
x x x x n 
  
Gauss teoremasi
 
 
 
2 1
1 1 2 1
...
2 nx
nn n
Г nx Г x Г x Г x Г x
n n n
n 
 
     
   
     
     
tenglik o‘rinli.
28

5. 2-misol2 6 4
0
sin cos x xdx

 ni hisoblang.
Yechish:
 
2 2
6 4 5 3 2 2
0 0
1
5
3
2
2
0 1
sin cos sin cos sin sin , 0, 0; , 1
2 2
1
1
2 x xdx x xd x x t x t x t
t t dt
 
  
       
 
 
   

tenglikka ega bo‘lamiz. Bu integralimiz beta funksiyani berar ekan.
Demak, integral
  1
5
3
2
2
01 1 7 5
1 ,
2 2 2 2 t t dt B  
 
 
 
ga teng ekan.
Bu misolni javobini topish uchun Beta va Gamma funksiyalar orasidagi
bog‘lanishni o‘rganamiz. Chunki Beta funksiyani Gamma funksiya orqali
ifodalash oson.
B( =
Javob: 3
512

5. 3-misol 2
2
0 n x
x e dx
 
integralni hisoblang.
Yechish:
  , 0x t t  
almashtirish natijasida integral quyidagi ko‘rinishga
keladi.

 
 
 
 
  2 1
2
2
2 1 2
0 0
1 2 2 1 !
1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 1 !
2 1 !!
2 n
n x t
n n
n n n
x e dx t e dt n
n n
n
 
 

 

  
 
        
 
 
 

   
29

Javob:   12 1 !!
2 nn 


6. Gamma va Beta funksiyalar orasidagi bog‘lanish
Beta va gamma fuksiyalarining o‘zaro bog‘lanishlarini o‘rganish maqsadida
( 5. 1 ) formulada
  0 x ty t const   
almashtirish bajaramiz, u holda
 
1
0 a ty
aa y e dy t 
 
  
Bu yerda a
ni a b 
bilan va t
ni
1 t bilan almashtirib quyidagini hosil
qilamiz.
 
 
 
1
1
0
1 t y
a b
a b
a b
y e dy
t 
 
 

 

 
oxirgi tenglikni har ikkala tomonini
1 at  ga ko‘paytiramiz va
integrallaymiz.

     
 
1 1 1
0 0 0 1
a a b y a y a b
t a b B a b a b dt y e dy y e dt
t
                
   
bundan Gamma va Beta funksiya xossalaridan foydalanib.

=
demak ,
B(a,b)= (6. 1)
30

formula kelib chiqadi. Agar formulada b=1-a o‘zgartirish kiritsak Beta funksiya
xossasiga ko‘ra quyidagi tenglikka erishamiz.
( ) ( 1)
sina a
ax   
Bundan a=1/2 bo‘lganda
tenglik kelib chiqadi.
(6. 1) formulada a=b deb,
B(a,a)=
bo‘lishini topamiz, so‘ngra
B(a,a)= =
=2
integralda = almashtirish bajarib,
B(a,a)=2
= B(
natijaga ega bo‘lamiz, uni (6. 2) formulaga qo‘yamiz unga ko‘ra
B( = = (6. 2)
(6. 2) munosabatdan
31

=
ekanligi kelib chiqadi. bundan
=
(6. 3)
(10) formula Lejandr formulasi deyiladi.
6.1-misol (a>0,b>0)
hisoblang.
Yechish: sinx=t almashtirish natijasida integral quyidagi ko‘rinishga keladi.

Bu integralda esa =y almashtirish bajarib
1 1
1
1 1 1
2 2 2 2 2
0 01 1 1
(1 ) (1 ) ( , )
2 2 2 2 2 a b a b
dy a b
y y y y dy
y   
    
 
( ) ( )
1 1
2 2
( , )
2 2 2 2
( )
2a b
a a
a b 
 


32

XULOSA
Bugungi kunda respublikamizda ta’lim tizimi tubdan isloh qilinmoqda.
Barcha kurslardagi singari Matematik analiz kursini o‘qib, o‘rganish va o‘qitishda
hamda talabalarning misollar ishlashi va uning tub mohiyatini tushinib yetishlari
uchun qulay, yangicha usullardan foydalanib tushuntirish va ishlash talab
etilmoqda. Bundan ko‘rinib turibdiki, matematik analiz kursida Eyler integrallari
va uning xossalarini ham imkon boricha hisoblashga oson bo‘ladigan usullarini
o‘rganib chiqish talab etilmoqda. Bundan ko‘zlangan maqsad Eyler integrallari va
uning xossalarini fan tarixida bajarilgan ishlar bilan chuqur tanishib chiqish va
ulardan hisoblash oson va aniq bo‘ladigan usullarini tanlab olib hisoblashda ularni
qo‘llashdan iborat.
33

Kurs ishida o‘rganilgan natijalar nazariy va amaliy ahamiyatga ega bo‘lib,
ulardan matematik analizdan qo‘yilgan masalalarni yechishda fоydalanish
mumkin. Eyler integrallari tatbiqining afzalliklari:talabalarning Eyler
integrallarining muhim xossalarini tahlil qilish va isbotlashga, Eyler integrallari
fikrlash doirasini kengaytirishga hamda nisbatan qiziqishni oshirishga xizmat
qiladi. Ko‘plab ilmiy ishlarda Eyler integrallarining xossalaridan foydalaniladi.
Ushbu kurs ishi kirish, 6 ta reja,xulosa va foydalanilgan adabiyotlarni o‘z
ichiga oladi. Kurs ishida Eyler integrallarining ta’riflari,xossalari va ularning
isbotlari,xossalariga oid misol va uning yechimlari hamda Eyler integrallari
orasidagi bog‘lanishlar keltirilgan.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI
1. Sh. M. Mirziyoyev Erkin va farovon demokratik o‘zbekiston davlatini
birgalikda barpo etamiz toshkent 2017-yil
2. A. Sadullayev , X. Mansurov ,G. Xudoyberganov , A. Vorisov ,R. G‘ulomov
“Matematik analiz fanidan misol va masalalar to‘plami ” O‘zbekiston
nashriyoti
3. Azlarov. T , A. Mansurov , “Matematik analiz II qism ” “O‘qituvchi ”
nashriyoti
4. Demidovich . B “Сборник задач и упражнений по математическому анализу”
5. Кудрявцев. Л. Д , Кутасов А. Д ,Чехлов. В. И “Сборник задач по
математическому анализу”.
34

Foydalanilgan saytlar ro‘yxati
1. www. ziyoNet. uz
2. www. geogebra . com
3. www. KhanAcademy. math
35

Eyler integrallari

Sotib olish