Dokument ma'lumotlari

Narxi 19900UZS
Hajmi 1.0MB
Xaridlar 0
Yuklab olingan sana 08 Dekabr 2024
Kengaytma docx
Bo'lim Kurs ishlari
Fan Algebra

Sotuvchi

Bahrom

Ro'yxatga olish sanasi 05 Dekabr 2024

256 Sotish

Eylerning beta va gamma funksiyalari

Sotib olish
O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI TERMIZ DAVLAT UNIVERSITETI FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI MATEMATIKA TA’LIM YO’NALISHI 2-KURS 205-GURUH TALABASI JO’RAYEVA HUSNIYANING MATEMATIK ANALIZ FANIDAN “Eylerning beta va gamma funksiyalari” MAVZUSIDA TAYYORLAGAN KURS ISHI Termiz-2025 ЭЙЛ E РНИНГ   Б E ТА   ВА   ГАММА   ФУНКСИЯЛАРИ Р E ЖА: I .Кириш: II .   Асосий   қисм: 1.   Бета   функция   ва   унинг   текис яқинлашувчанлиги. 2.   Гамма   функция   ва   унинг   текис   яқинлашувчанлиги. 3.   Бета   ва   гамма   функцияларнинг    хоссалари. 4.   Бета   ва   гамма   функциялар   орасидаги     боғланиш. III .   Хулоса IV . Фойдаланилган   адабиётлар Kirish ’’Dunyoda ikki  turli  inson  haqiqiy  inson  sanaladi:  biri  o’rgatuvchi, biri  o’rganuvchi’’.  Men  sizlarning  har  biringizga  ana  shunday  haqiqiy inson  bo’lish  baxti  nasib  etishini  tilayman’’. Yusuf Xos Hojib “Biz  ta’lim  va  tarbiya  bo’g’inlarining  faoliyatini  bugungi  zamon talablari  asosida  takomillashtirishni  o’zimizning  birinchi  darajali vazifamiz  deb  bilamiz”. Sh.M.Mirziyoyev     Birinchi  Prezidentimiz  I.A.Karimov  o’zining  “O’zbekiston  XXI asr  bo’sag’asida  xavfsizlikka  tahdid,  barqarorlik  shartlari  va  taraqqiyot kafolatlari”  asarida  mamlakatni  jadal  rivojlantirish  borasidagi  dasturiy vazifalarni  amalga  oshrishda  fanni  va  ilmiy  infrastrukturani  rivojlantirish g’oyat  muhim  ahamiyatga  ega  ekanligini  ta’kidlab,  O’zbekiston innovatsion  rivojlanish  turining  hozirgi  zamon  modeliga  o’tish  uchun hamma  zarur  sharoitlarga  ega.  Bu  model  vujudga  keltirilgan  ilmiy texnikaviy  salohiyatdan  keng  va  samarali  foydalanishga,  fundamental  va amaliy  fanning  yutuqlarini  chuqur  ilm  talab  qiladigan  texnologiyalarni amaliyotga  joriy  etishga,  yuqori  malakali  ilmiy  kadrlar  sonini  oshirishga bag’ishlanadi.  Bu  esa  o’z  navbatida  mamlakatimiz  jahondagi  iqtisodiyoti va  sanoati  rivojlangan  davlatlar  qatoriga  kirib  borishning  zaruriy  sharti va  mustahkam  poydevori  bo’lib,  xizmat  qiladi. Mavzuning dolzarbligi. O zbekiston  Respublikasi  mustaqil  huquqiy ʻ demokratik  davlat,  erkin  fuqarolik  jamiyat  qurish    yo lida  ulkan  ishlar ʻ olib borilib,  inson  mohiyatining  yangidan  ochishga,  uni  o zliginiʻ anglashga,   imkoniyatlarni   ro yobga   chiqarishga   va   ma’naviy ʻ intellektual,  aqliy  – amaliy  rivojlanishga  yangi  shart-sharoitlar  yaratib berishdi  . Ta’limning  fan  va  ishlab  chiqarish  bilan  integrasiyasi mexanizmlarini  rivojlantirish,  uni  amaliyotga  joriy  etish,  o qishni,ʻ mustaqil  bilim  olishni  individuallashtirish  hamda  masofaviy  ta’lim tizimi  texnologiyasini,  uning  vositalarini  ishlab  chiqish,  o zlashtirish,ʻ yangi  pedagogik  va  axborot  texnologiyalari  asosida  o quvchi  va ʻ talabalarni  o qitishni  jadallashtirish  ana  shunday  dolzarb  vazifalar ʻ sirasiga   kiradi.   Ushbu   vazifalarni   bajarish   mavjud   pedagogik jarayonlarni  takomillashtirishni,  uni  hozirgi  zamon  o quvchi  va ʻ talablariga  mos  rivojlantirishni,  xususan  oliy  pedagogik  ta’lim paradigmasini  zamonaviy  pedagogik  va  axborot  texnologiyalarini o zlashtirishga,   pedagogika   oliy   ta’lim   muassasalarida   kasbiy ʻ tayyorgarligi   yuqori   bo lgan   pedagog   kadrlarni   tayyorlashga ʻ yo naltirishni  taqozo  etadi.  Ta’limni  isloh  qilish,  yangi  mazmundagi  va ʻ zamon  talabiga  javob  beradigan  o quv  adabiyotlar,  qo llanmalarni ʻ ʻ yaratish  va  ilg or  pedagogik  texnologiyalarni  joriy  etishni  taqozo  etadi. ʻ Ta’lim  tizimidagi  kamchiliklar,  shu  jumladan,  matematika   fanida  ham o qitish  uslubiyotini  chetlab  o tmaydi.  Har  bitta  fanga  alohida  e’tibor ʻ ʻ berish,  har  bir  mavzuni  o`qitishda  ma’suliyatli  bo`lish  o`qituvchining eng  oliy  maqsadi  hisoblanadi.   Bizga  ma’lumki  matematika  fani  juda qiziqarli  va  shu  bilan  birga  murakkab  fan  bo`lib  ham  hisoblanadi. Ma’lumki   matematik  analizda  nima   uchun   kerak,   nima  maqsadlarda foydalaniladi,  uning   yechimlari   qanday   topiladi,   kabi   masalalar qaraladi. Ushbu  fikrlar  tanlangan  mavzuning  qanchalik  darajada  dolzarb ekanligini  ko rsatadi.    ʻ Kurs ishining obyekti. Oliy   ta’lim   muassasalarida   matematik  analiz fani   o qitish   jarayoni. ʻ Kurs ishining predmeti. Eylerning beta va gamma funksiyalari va ularni   yechishga   doir   nazariy  va  amaliy  bilimlarni  o rgatish  usullari  va ʻ vositalari. Kurs ishining maqsadi.   Eylerning beta va gamma funksiyalari mavzusi  yuzasidan  masalalar  yechish  metodikasini  ishlab   chiqish. Kurs ishining vazifalari.    Oliy   ta’lim   muassasalarida   uchun   DTS,  taqvim   rejasi,  mavzuga  oid mavjud  adabiyotlar,  internet   ma’lumotlarini   to plash   va   tahlil   qilish;   ʻ Eylerning beta va gamma funksiyalari mavzusida  masalalar ishlashning  muammolarini,  fanda  tutgan  o rni  va  ahamiyatini  o rganib ʻ ʻ chiqish; Oliy   ta’lim  muassasalarida   Eylerning beta va gamma funksiyalari mavzusining    asosiy    tushunchalarini  tahlil  qilish,  innovatsion texnologiyalardan   foydalangan  holda  mavzuni  o qitish  metodikasini ʻ ishlab   chiqish.         Oliy    ta’lim  muassasalarida   Eylerning beta va gamma funksiyalariga doir  masalalar  yechish  metodikasini   ishlab   chiqish.      Bitiruv  malakaviy  ishi  yuzasidan  tajriba  o tkazish,  uning  natijalarini ʻ tahlil  qilish  va  tegishli  xulosalar  chiqarish. Kurs ishining tuzilishi. Kurs ishi   kirish,  2 ta  bob,  4 ta  paragrapf, xulosa,   foydalanilgan  adabiyotlar   ro yxati  hamda   ilovadan   iborat. ʻ Эйлер интеграллари Биз  ушбу ∫ 0 1 xa−1(1−x)b−1dx хосмас   интегралнинг  a>0,b>0   бўлганда яқинлашувчилигини,   ∫ 0 +∞ xa−1e−xdx хосмас  интегралнинг  эса  a>0   бўлганда  яқинлашувчилигини ис бот лаган  эдик. Равшанки,  бу  хосмас  интеграллар  a   ва  b   ларга  боғлиқ, яъни  параметрга  боғ лиқ  хосмас  интеграллар  бўлади. 1 0 . Бета функция ва унинг текис яқинлашувчилиги.   Ушбу ∫ 0 1 xa−1(1−x)b−1dx параметрга боғлиқ  хосмас  интеграл  бета  функция  (Ι -тур Эйлер  интеграли)  дейи ла ди  ва  B(a,b)   каби  белгиланади: B(a,b)=∫ 0 1 xa−1(1− x)b−1dx   (a>0,b>0) . Демак,  бета  функция {(a,b)∈R2:a∈(0,+∞ ),b∈(0,+∞ )} тўпламда  аниқланган  функция. 1-теорема.   Ушбу B(a,b)=∫ 0 1 xa−1(1− x)b−1dx интеграл  M 0= {(a,b)∈ R2:a∈[a0,+∞ ),b∈[b0,+∞ ),a0>0,b0>0}   тўп лам - да  текис  яқинлашувчи  бўлади. ◄ B(a,b)   функцияни   ифодаловчи   интегрални   икки қисмга   ∫ 0 1 xa−1(1− x)b−1dx =∫ 0 1 2 xa−1(1− x)b−1dx +∫ 1 2 1 xa−1(1− x)b−1dx ажратиб,   ҳар   бир   интегралнинг   текис   яқинлашишга текширамиз.   Параметр  a≥ a0   (a0>0) ,  ∀ b>0,   ∀ x∈(0,1 2 ]   да   xa−1(1− x)b−1≤ xa0−1(1− x)b−1¿2xa0−1 ва  a>0   бўлганда   ∫ 0 1 2 xa−1dx интегралнинг   яқинлашувчи   бўлишидан   Вейерштрасс аломатига  кўра ∫ 0 1 2 xa−1(1−x)b−1dx  интегралнинг  a≥ a0 ,  (a0>0)   да  текис  яқинлашувчилигини топа миз.   Шунингдек,  параметр  b≥ b0   (b0>0) ,  ∀ a>0,   ∀ x∈[1 2 ,1) да xa−1(1− x)b−1≤ xa−1(1− x)b0−1≤ 2(1− x)b0−1 ва  b>0   бўлганда   ∫ 1 2 1 (1−x)b−1dx интегралнинг   яқинлашувчи   бўлишидан   Вейерштрасс аломати-га  кўра   ∫ 1 2 1 xa−1(1−x)b−1dx интегралнинг  b≥ b0 (b0>0)   да  текис  яқинлашувчи  бўлишини то па миз.   Демак, B(a,b)=∫ 0 1 xa−1(1− x)b−1dx интеграл   M 0= {(a,b)∈ R2:a∈[a0,+∞ ),b∈[b0,+∞ ),a0>0,b0>0} тўпламда  текис  яқинлашувчи  бўлади.   ►   Натижа.   B(a,b)   функция   M = {(a,b)∈R2:a∈(0,+∞ ),b∈(0,+∞ )} тўпламда  узлуксиз  бўлади. ◄Бу  тасдиқ   ∫ 0 1 xa−1(1−x)b−1dxинтегралнинг   текис   яқинлашувчилиги   ҳамда   интеграл ости даги   функ ция нинг  M   тўп лам да  узлуксиз  бўлишидан келиб  чиқади.   ►   2 0 .  B(a,b)   функциянинг хоссалари.   Энди B(a,b)=∫ 0 1 xa−1(1− x)b−1dx функциянинг  хоссаларини  келтирамиз. 1)  B(a,b)   функция  a   ва  b   аргументларига  нисбатан симмет рик  функция,  яъни , B(a,b)= B(b,a)   (a>0,b>0) бўлади. ◄ B(a,b)   ни  ифодаловчи  интегралда  x= 1− t   алмаштириш ба жа риб  топамиз: B(a,b)=∫ 0 1 xa−1(1− x)b−1dx =−∫ 1 0 (1−t)a−1tb−1dt =∫ 0 1 tb−1(1−t)a−1dt= B(b,a) .   ► 2)  B(a,b)   функция  қуйидагича  ҳам  ифода  қилинади: B(a,b)=∫ 0 +∞ ta−1 (1+t)a+bdt .       (1) ◄ B(a,b)   ни  ифодаловчи  интегралда   x= t 1+t   алмаштириш ба жариб  топа миз: B(a,b)=∫ 0 1 xa−1(1− x)b−1dx = ∫ 0 +∞ ( t 1+t) a−1 (1− t 1+t) b−1 dt (1+t)2= ∫ 0 +∞ ta−1 (1+t)a+bdt .   ► Агар  (1)  да  b= 1− a   (0<a<1)   дейилса,  унда B(a,1− a)= ∫ 0 +∞ ta−1 1+tdt = π sin πaбўлади.  Хусусан, B( 1 2 ,1 2)= π бўлади. 3)  B(a,b)   функция  учун  ушбу   B(a+1,b)= a a+b B(a,b)   (a>0,b>0) формула  ўринли  бўлади. ◄Равшанки, B(a+1,b)=∫ 0 1 xa(1− x)b−1dx . Бу  интегрални  бўлаклаб  интеграллаймиз: B(a+1,b)=∫ 0 1 xa(1− x)b−1dx =−1 b∫ 0 1 xad((1− x)b)= −1 b xa(1− x)b|01+a b∫ 0 1 xa(1− x)bdx = ¿a b∫ 0 1 xa−1(1− x)b= a b[∫ 0 1 xa−1(1− x)b−1dx −∫ 0 1 xa(1− x)b−1dx ]=a b B(a,b)− a b B(a+1,b). Натижада B(a+1,b)= a b B(a,b)− a b B(a+1,b)   (2) бўлиб,  ундан B(a+1,b)= a a+b B(a,b)   бўлиши  келиб  чиқади.   ►   B(a,b)   функция  симметрик  бўлганлигидан  ушбу B(a,b+1)= b a+b B(a,b)        (3) бўлади. Натижа. B(m,n)   функцияга  (m ∈N ,n∈N )   (2)  ва  (3)  форму - ла ларни  такрор  қўл лаш  натижасида B(m ,n)= (m−1)!(n−1)! (m+n−1)! бўлиши  келиб  чиқади. 3 0 . Гамма функция ва унинг яқинлашувчилиги. Ушбу ∫ 0 +∞ xa−1e−xdx параметрга  боғлиқ  хосмас  интеграл  гамма  функция  (ΙΙ - тур Эйлер  интеграли)  дейи ла ди  ва  Γ(a) каби  белгиланади: Γ(a)= ∫ 0 +∞ xa−1e−xdx . Демак,  гамма  функция  (0,+∞)   да  аниқланган  функция. 2-теорема.   Ушбу Γ(a)= ∫ 0 +∞ xa−1e−xdx интеграл  [a0,b0]   да  (0< a0< b0<+ ∞ )   текис  яқинлашувчи  бўлади. ◄ Γ(a)   функцияни   ифодаловчи   интегрални   икки интеграл  йиғиндиси  сифа ти да  ёзиб  оламиз: Γ(a)=∫ 0 1 xa−1e−xdx +∫ 1 +∞ xa−1e−xdx . Сўнг иккала  интегралнинг  ихтиёрий  [a0,b0]   сегментда (0< a0< b0<+ ∞ )   текис  яқинлашувчи  бўлишини  кўрсатамиз. Параметр  a≥ a0   (a0>0) ,  ∀ x∈(0,1 ]   да xa−1e−x≤ xa0−1 ва  a0>0   да ∫ 0 1 xa0−1dx интегралнинг   яқинлашувчи   бўлишидан   Вейерштрасс аломати-га  кўра   ∫ 0 1 xa−1e−xdx   интегралнинг  a≥ a0   да  текис  яқинлашувчи  бўлиши  келиб чиқади.   Шунингдек,  параметр  a≤ b0 ,  ∀ x∈[1,+∞)   да   xa−1e−x≤ xb0−1e−x ва ∫ 1 +∞ xb0−1e−xdx интегралнинг  яқинлашувчи  бўлишидан  яна  Вейерштрасс ало ма тига  кўра ∫ 1 +∞ xa−1e−xdx интегралнинг  a≤ b0   да   текис   яқинлашувчи   бўлишини топамиз.  Демак, Γ(a)= ∫ 0 +∞ xa−1e−xdx хосмас интеграл  [a0,b0]   да  текис  яқинлашувчи  бўлади.   ►   Натижа. Γ(a) функция  (0,+∞)   да  узлуксиз  бўлади. ◄Бу  тасдиқ   ∫ 0 +∞ xa−1e−xdx интегралнинг   текис   яқинлашувчилиги   ҳамда   интеграл остида-ги   функ циянинг  M = {(x,a)∈ R2:x∈(0,+∞ ),a∈(0,+∞ )} да узлуксиз  бўли ши дан  келиб  чиқади.   ►   4 0 . Γ(a) функциянинг хоссалари.   1)   Гамма  функция (0,+∞)   да  барча  тартиб даги  узлуксиз  ҳосилаларга  эга  ва Γ(n)(a)= ∫ 0 +∞ xa−1e−x(ln x)ndx   (n=1,2,3 ....) бўлади. ◄Равшанки,   Γ(a)= ∫ 0 +∞ xa−1e−xdx интеграл  остидаги  f(x,a)= xa−1e−x   функция   M = {(x,a)∈ R2:x∈(0,+∞ ),a∈(0,+∞ )} тўпламда  узлуксиз  бўлиб,  узлуксиз f 'a(x,a)= xa−1e−xln x ҳосилага  эга  бўлади.   Юқорида  айтганимиздек Г(a)=∫ 0 1 xa−1e−xdx +∫ 1 +∞ xa−1e−xdx тенгликнинг  ўнг  томонидаги  интеграллар  ихтиёрий  [a0,b0]   да (0< a0<b0<+ ∞ )   текис  яқинлашувчи. Ушбу  ∫ 0 1 xa−1ln x⋅e−xdx ,   ∫ 1 +∞ xa−1ln x⋅e−xdx   интегралларни  қарай- лик.  Бу  интеграллардан  биринчиси,  a≥ a0>0   да |xa−1ln x⋅e−x|≤ x a0−1 |ln x| ва ∫ 0 1 xa0−1|ln x|dx интеграл   яқинлашувчи   бўлганлигидан   Вейерштрасс аломатига  кўра  текис  яқин ла шув чи  бўлади.  Шунингдек иккинчи  интеграл  ҳам,  a≤ b0<+ ∞   да |xa−1ln x⋅e−x|≤ x b0−1 ln x⋅e−x= x b0¿e−x ва ∫ 1 +∞ xb0−1ln x⋅e−xdx интеграл  яқинлашувчи  бўлганлигидан  яна  Вейерштрасс аломатига  кўра  текис  яқинлашувчи  бўлади.  Параметрга боғлиқ  хосмас  интегралнинг  параметр  бўйича  диф ферен - циаллаш  ҳақидаги  теоремадан  фойдаланиб  топамиз: d da Г (a)= d da [∫ 0 1 xa−1e−xdx +∫ 1 +∞ xa−1e−xdx ]=∫ 0 1d da (xa−1e−x)dx + +∫ 1 +∞d da (xa−1e−x)dx = ∫ 1 +∞ xa−1⋅ln x⋅e−xdx . Демак, Г'(a)= ∫ 0 +∞ xa−1⋅ln x⋅e−xdx . Γ'(a)   функциянинг  [a0,b0]   да  узлуксиз  бўлиши  равшан.   Худди шу  йўл  билан  Γ(a)   функциянинг  иккинчи, учинчи  ва  ҳоказо  тартиб да ги  ҳосилаларининг  мавжудлиги, узлуксиз-лиги  ҳамда Г(n)(a)= ∫ 0 +∞ xa−1e−x(ln x)ndx бўлиши  кўрсатилади.   ►   2)  Γ(a)   функция  учун  ушбу   Γ (a+1)= aΓ (a) (4) формула  ўринли  бўлади. ◄Равшанки, Γ(a)=∫ 0 +∞ xa−1e−xdx . Бу  интегрални  бўлаклаб  интеграллаймиз.  Натижада   Γ(a+1)= ∫ 0 +∞ xae−xdx =− ∫ 0 +∞ xad(e−x)=− xae−x|0 +∞+a∫ 0 +∞ xa−1e−xdx = aΓ (a)   бўлади.   ►   Маълумки,  a∈(0,1 ]   бўлса,  a+1∈(1,2 ]   бўлади.  Γ(a)   функ - ция нинг  бу  хосса си ни  ифодаловчи  (4)  муносабат  Γ(a)   функ - ция нинг  (0,1 ]   даги  қийматларига  кўра  унинг  (1,2 ]   оралиқдаги қийматла рини,  умуман  ихтиёрий  (n,n+1]   даги  қийматла рини топиш  имко ни ни  беради. Натижа.   Γ(n) функцияга  (n∈ N )   (4)  формулани  такрор қўл лаш  натижасида  (Γ(1)=1) Γ(n)=(n−1)! бўлиши келиб  чиқади. 3)  Γ(a)   функциянинг  ўзгариш  характери.  Равшанки, Γ(1)=∫ 0 +∞ e−xdx =1 .   Юқоридаги  (4)  формулага  кўра   Γ(2)=1⋅Γ(1)=1 бўлади.  Рол л ь  теоремасига  мувофиқ,  шундай  a0   (1<a0<2) нуқта  топиладики, Γ'(a0)= 0 бўлади.  Айни  пайтда ,   ∀ a∈(0,+∞ )   да Γ''(a)= ∫ 0 +∞ xa−1e−xln 2xdx >0 бўлганлиги  учун  Γ'(a)   функция  (0,+∞) да  қатъий  ўсувчи бўлади.  Бинобарин,  Γ'(a)   функция  a0   нуқтадан  бошқа нуқталарда  нолга  айланмайди.   Демак,   Γ'(a)= ∫ 0 +∞ xa−1e−xln xdx =0 тенглама  (0,+∞)   оралиқда  ягона  ечимга  эга.   Унда, 0<a<a0   да  Γ'(a)<0 , a0<a<+ ∞   да  Γ'(a)>0 бўлиб,  Г(a) функция  a0   нуқтада  минимумга  эга  бўлади.  ( a0=1,4616 ...,   Г(a0)= min Г(a)= 0,8856 ... бўлиши  топилган). Γ(a)   функция  a>a0   да  ўсувчи  бўлганлиги  сабабли a>n+1   бўлганда  Γ (a)>Γ(n+1)= n!   бўлиб,  ундан lim a→+∞ Г(a)=+ ∞бўлиши  келиб  чиқади. Агар  a→ +0   да  Γ (a+1)→ Γ(1)= 1   ҳамда Γ(a)= Γ(a+1) a бўлишини  эътиборга  олсак,  унда lim a→+0 Γ (a)=+ ∞ эканлигини  топамиз. 5 0 . Бета ва гамма функциялар орасидаги боғланиш. Бета  ва  гамма  функ ция лар  орасидаги  боғланишни  қуйидаги теорема   ифода лайди. 3-теорема.   ∀ (a,b)∈{(a,b)∈ R2:a∈(0,+∞ ),b∈(0,+∞ )}   учун B(a,b)= Γ(a)⋅Γ(b) Γ(a+b)   (5) формула  ўринли  бўлади. ◄Ушбу Γ(s)=∫ 0 +∞ xs−1e−xdx интегралда  x= (1+u)t ,  (t>0)   алмаштириш  бажариб,  s   ни  a+b га  алмаштирамиз.  Натижада Γ(a+b)=∫ 0 +∞ (1+u)a+b−1ta+b−1e−(1+u)t(1+u)dt бўлиб, Γ(a+b) (1+u)a+b=∫ 0 +∞ ta+b−1e−(1+u)tdt бўлади. Энди бу  тенгликнинг  ҳар  икки  томонини  ua−1   га кўпайтириб,  сўнг  (0,+∞)   оралиқ  бўйича  интеграллаб  топамиз: Γ(a+b)∫ 0 +∞ ua−1 (1+u)a+bdu = ∫ 0 +∞ [∫ 0 +∞ ta+b−1e−(1+u)tdt ]ua−1du яъни, Γ(a+b)⋅B(a,b)= ∫ 0 +∞ [∫ 0 +∞ ta+b−1e−(1+u)tdt ]ua−1du . [1],  8-§да  келтирилган  теоремадан  фойдаланиб,  кейинги тенгликнинг  ўнг  томонидаги  интегралларнинг  ўринларини алмаш ти рамиз.  Натижада   Γ(a+b)⋅B(a,b)= ∫ 0 +∞ [∫ 0 +∞ ua−1e−(1+u)tdu ]ta+b−1dt бўлади.  Интегралда  ut = y   алмаштириш  бажариб  топамиз: Γ (a+b)⋅B(a,b)= ∫ 0 +∞ [∫ 0 +∞ ya−1tb−1e−te−ydy ] dt =∫ 0 +∞ tb−1e−tdt⋅∫ 0 +∞ ya−1e−ydy = Γ(b)⋅Γ(a). Демак, B(a,b)= Γ (a)⋅Γ (b) Γ(a+b) .   ► Натижа.   ∀ a∈(0,1 )   учун   Γ(a)Γ(1− a)= π sin aπ   (6) бўлади. ◄  (5)  тенгликда  b= 1− a   (0<a<1)   деб  олинса,  унда B(a,1− a)= Γ(a)⋅Γ(1− a) Γ(1)бўлади.   Маълумки, B(a,1− a)= π sin aπ ,  Γ(1)=1 . Демак, Γ (a)Γ(1− a)= π sin aπ ,  (0<a<1) .   ►   Агар  (6)  формулада   a= 1 2   дейилса, Γ ( 1 2)= √π бўлиши  келиб  чиқади. 1- мисол.   1.  Ушбу ∫ 0 +∞ e−x2 dx интеграл  ҳисоблансин. ◄Бу  интегралда  x2= t   алмаштириш  бажарамиз.  Унда dx = 1 2√t dt = 1 2t −1 2dt бўлиб, ∫ 0 +∞ e−x2 dx = 1 2∫ 0 +∞ t −1 2e−tdt = 1 2∫ 0 +∞ t 1 2−1 e−tdt = 1 2 Γ( 1 2)= √π 2 бўлади.   ► 2 -мисол .   Ушбу ∫ 0 +∞ dx 1+x3интеграл  ҳисоблансин. ◄Бу  интегралда 1+x3= 1 y алмаштириш  бажарамиз.  Унда   x= ( 1− y y ) 1 3,   dx = 1 3( 1− y y ) −2 3⋅(− dy y2) , ∫ 0 +∞dx 1+x3=− 1 3∫ 1 0 y1 3( 1− y y ) −2 3⋅dy y2= 1 3∫ 0 1 y −1 3(1− y) −2 3dy = ¿1 3 B(2 3 ,1 3 )= 1 3 ⋅ Γ( 1 3)⋅Γ( 2 3 ) Γ(1) = 1 3 ⋅π sin 1 3 π = π 3⋅√3 2 = 2π 3√3 бўлади.   ► XULOSA      Xulosam  shuki,  bu  kurs  ishimni  yozish  mobaynida  men  juda  ko’p ma’lumotlarga  ega  bo’ldim,bilgan  bilimlarimni  takrorlab  mustahkamlab oldim.Bundan  tashqari    Eylerning   beta   va   gamma   funksiyalari ni  afzallik tomonlarini  bilib  oldim   Eylerning   beta   va   gamma   funksiyalari ning tadbiqlari    usullari   formulalri    to’g’risida   chuqur   bilim   va ko’nikmalarga   ega  bo’ldim  . Oliy   ta’lim   muassasalarida    matematik   analiz   kursini   o’qitish jarayonida   Eylerning   beta   va   gama   funksiyalari    mavzusini   o’rganishda talabalar   faolligini   oshirish    shakllantirishda   dastlab   nazariy tushunchalar     ta’riflar   ustida   ishlash,   umumlashtirish   va konkretlashtirishga   o’rgatish   Eylerning   beta   va   gama   funksiyalari hamda   ularning   qo’llanilishiga   doir   misol   masalalarni   yecha   olishga o’rgatish   muhim   o’rinni   egallaydi.        Talabalar    faolligini   oshirish   uchun     Eylerning   beta   va   gama funksiyalari      mavzusiga   doir   mashq   va   topshiriqlar   bajarish bosqichlari   asosida   o’rgatish,   ular   yordamida   tahlil   qilish,   tadqiqot o’tkazish    ularning    mantiqiy    matematik    faoliyat    tadbiqlarini talabalarning   amaliy   faoliyatda    zaruriyligi    va   qo’llash   usullariga o’rgatishda   talabalarning     bilim   saviyalarining   oshishiga   va fikrlashlarini   oshishiga   ijobiy   ta’sir   ko’rsatadi.       Eylerning   beta   va   gama   funksiyalari    mavzusiga   oid   konkret mashqlar   va   masalalar   yechish   jarayonida   nazariy   mantiqiy savollardan   foydalanish   na   faqat   talabalarning    mantiqiy   tafakkur ko’nikmalarini    rivojlantirishga,    balki    nazariy      qoida    va formulalarning   tadbiqlarining   o’zlashtirilishini   ta’minlaydi   va   ularni bosqichma-bosqich   tafakkur   usullari   mohiyatini   tushunishlariga hizmat   qiladi.         Talabalar   faolligini   oshirishda   Eylerning   beta   va   gama   funksiyalari mavzusining   xossalari   va   ularning   masalalar   yechishga   qo’llash usullari    haqidagi   bilimlar   va   ko’nikmalarni   shakllantirishda   yangi pedagogik   texnologiyalarni   qo’llash   loyihalash   usuli,   axborot- kommunikativ    vositalardan   foydalanish,   turli   interfaol   dars usullarini   qo’llashi,   bunda   talabalarning   turli   imkoniyatlardan foydalana   olishi,   tayyorlovchi   savol   va   topshiriqlardan   o’rinli foydalana   olishini   talab   etadi.          Talabalarning    Eylerning   beta   va   gama   funksiyalari    mavzusini o’rganishda   talabalarni   ko’nikmalarini   shakllantirishda   turlicha   savol va    topshiriqlar,    loyihalar     matematik   analiz   kursini    o’qitishda talabalarda   nafaqat   puxta   bilimlar   egallashlariga    balki   talabalar faolligini   oshirish    asosida   ularning   fikrlash   ko’nikmalari,   isbotlash usullari  to’g’risidagi   bilimlarni   mustahkamlashga,   mantiqiy    asoslash va   tadqiq   etishni   talab   etadigan   tavsiyalardan   foydalanishlari   muhim ta’sir   ko’rsatadi.          Foydalanilgan adabiyotlar . 1. Sh . M . Mirziyoyev . “ Erkin   va   farovon ,   demokratik   O ’ zbekiston davlatini              birgalikda   barpo   etamiz ”.  “ O ’ zbekiston ”. 2. Sh . M . Mirziyoyev .  “ Tanqidiy   tahlil ,   qat ’ iy   tartib - intizom   va   shaxsiy javobgarlik - har   bir   rahbar   faoliyatining   kundalik   qoidasi   bo ’ lishi   kerak ”. “ O ’ zbekiston ”. 3. Sh . M . Mirziyoyev .  “ Buyuk   kelajagimizni   mard   va   oliyjanob   xalqimiz bilan   birga   quramiz ”.  “ O ’ zbekiston ”. 4. Sh.Alimov,  R.Ashurov.  Matemayik  analiz.  Toshkent,  “Mumtoz so’z”  ,  2018-yil,  3-qism. 5.   T.Azlarov,  X.Mansurov.  Matematik  analiz.  Toshkent,  “O’zbekiston”  , 1973-   1975-yil,  2-qism. 6. G.M.Fixtengolv.  Matematik  analiz  asoslari.  Toshkent,   “O’qituvchi”  , 1970-        1972-yil,  1-2-qismlar. 7. ziyonet.uz. 8. fayllar.org

Eylerning beta va gamma funksiyalari

ЭЙЛEРНИНГ БEТА ВА ГАММА ФУНКСИЯЛАРИ


РEЖА:


I.Кириш:
II. Асосий қисм:
1. Бета функция ва унинг текис

яқинлашувчанлиги.
2. Гамма функция ва унинг текис яқинлашувчанлиги.

3. Бета ва гамма функцияларнинг  хоссалари.
4. Бета ва гамма функциялар орасидаги  боғланиш.

III. Хулоса
IV.Фойдаланилган адабиётлар

 

 

Sotib olish