Fazoda harakat. Fazoda harakatning ikki turi. Harakatning klassifikatsiyasi

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	2.6MB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	05 Iyun 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

122 Sotish

Fazoda harakat. Fazoda harakatning ikki turi. Harakatning klassifikatsiyasi

Sotib olish

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
Farg‘ona davlat universiteti
Fizika-matematika fakulteti
Matematika yo‘nalishi 24.02-guruh talabasi
ning
Analitik geometriya fanidan
“Fazoda harakat. Fazoda harakatning ikki turi.
Harakatning klassifikatsiyasi”
mavzusidagi
KURS ISHI
Kurs ishi rahbari:
Farg‘ona-2025
1

MUNDARIJA
KIRISH.................................................................................................................3-5
I-BOB. FAZODA KOORDINATALAR SISTEMASINI
ALMASHTIRISHLAR......................................................................................6-18
1.1- § . Fazodagi to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi……………………………...6-7
1.2- § . Affin koordinatalar sistemasi, silindrik koordinatalar sistemasi va sferik
koordinatalar sistemasi ........................................................................................................7-11
1.3- § . Koordinatalar sistemasini almashtirish …………………………………11-18
II-BOB. FAZODA HARAKAT…………………………………………...19-27
2.1- § . Fazodagi harakat………………………………………………………...19-21
2.2- § . Harakatning ikki turi................................................................................21-23
2.3- § . Fazoda harakatning klassifikatsiyasi …………………………………...23-27
XULOSA................................................................................................................28
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR ..............................................................29
2

KIRISH
Matematika hamma aniq fanlarga asos.
Bu fanni yaxshi bilgan bola aqlli, keng
tafakkurli bo’lib o’sadi, istalgan sohada
muvaffaqiyatli ishlab ketadi.
Shavkat Mirziyoyev
Shuni unutmasligimiz kerakki, kelajagimiz poydevori bilim dargohlarida
yaratiladi, boshqacha aytganda, xalqimizning ertangi kuni qanday bo’lishi
farzandlarimizning bugun qanday ta’lim va tarbiya olishiga bog’liq. Shuning
uchun ham mustaqillikning dastlabki yillaridanoq butun mamlakat miqyosida
ta’lim va tarbiya, ilm-fan, kasb-hunar o’rgatish tizimlarini tubdan isloh qilishga
nihoyatda katta zarurat sezila boshladi.
Matematika fani o’sib kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o’quv fani
sifatida keng imkoniyatlarga ega. U o’quvchi tafakkurini rivojlantirib, ularning
aqlini peshlaydi, uni tartibga soladi, o’quvchilarda maqsadga yo’naltirganlik,
mantiqiy fikrlash, topqirlik xislatlarini shakllantirib boradi. Shu bilan bir qatorda
mulohazalarning to’g’ri, go’zal tuzilganligi, o’quvchilarni didli, go’zallikka
ehtiyojli qilib tarbiyalab boradi.
Insoniyat kamoloti hayotning rivoji texnika va texnologiyalarning
takomillashib borish asosida fanlar o’qitilishiga bo’lgan talablarini hisobga olgan
holda maktab matematika kursini ularning zamonaviy rivoji bilan uyg’unlashtirish
maktabda o’quvchilarga matematikani o’qitishdan ko’zda tutilgan asosiy
maqsadlardan biridir. Matematika fani o’quvchilarni iroda, diqqatni to’plab
olishni; qobiliyat va faollikni, tasavvurining rivojlangan bo’lishini talab eta borib,
mustaqil, ma’suliyatli, mehnatsevar, intizomli va mantiqiy fikrlash hamda o’zining
qarash va e’tiqodlarini dalillar asosida himoya qila olish ko’nikmalarini
rivojlantirishni talab qiladi. Hozirgi zamon darsiga qo’yiladigan eng muhim
talablardan biri har bir darsda tanlanadigan mavzuning ilmiy asoslangan
bo’lishidir, ya’ni darsdan ko’zlangan maqsad hamda o’quvchilar imkoniyatini
3

hisobga olgan holda mavzu xajmini belgilash uning murakkabligini aniqlash,
avvalgi o’rganilgan mavzu bilan bog’lash, o’quvchilarga beriladigan topshiriq va
mustaqil ishlarning ketma-ketligini aniqlash, darsda kerak bo’ladigan jihozlarni
belgilash va qo’shimcha ko’rgazmali qurollar bilan boyitish, qo’shimcha axborot
texnologiyalardan foydalangan holda muammoli vaziyatni yaratishdir. Dars
davomida o’qituvchi o’quvchilarning jismoniy holatini, ijodkorligini, tez
fikrlashlarini hisobga olishi kerak. Maktabda matematika fanini o’qitish jarayonida
ilg’or pedagogik texnologiyalardan foydalanish o’qitish samaradorligini
oshirishning omillaridan biri sifatida yaqqol ko’zga ko’rinmoqda. Chunki
o’qitishning ilg’or, nostandart (interfaol) shakllari-ta’lim-tarbiya masalalarini
unumli yechishga, o’quvchilarning bilish faoliyatini kuchaytirishga qaratilgan
o’quv mashg’ulotlarini takomillashtirish yo’llaridan biri.
Kurs ishining dolzarbligi: Fazoda harakat - bu obyektlarning joylashuvi
o‘zgarishi bilan bog‘liq bo‘lgan jarayon bo‘lib, uning tahlili nafaqat nazariy, balki
texnik va amaliy fanlar uchun ham muhimdir. Masalan, kompyuter grafikasi,
mexanika, robototexnika, aviatsiya, kosmonavtika, qurilish geodeziyasi,
mashinasozlik kabi ko‘plab sohalarda fazoda obyektlarning harakati, burilishi,
siljishi va simmetriyasi kabi xususiyatlarni tahlil qilish zarurat tug‘iladi. Shuning
uchun bu mavzu bugungi ilmiy-texnik taraqqiyotda katta nazariy va amaliy
ahamiyatga ega. Fazoda obyektlarning siljishi va burilishi kabi asosiy geometrik
harakatlarini tahlil qilishni, harakatning turlari – orientatsiyani saqlovchi va
orientatsiyani o‘zgartiruvchi harakatlarning matematik asoslarini o‘rganishni,
harakatlarni klassifikatsiyalash orqali ularni ilmiy tasniflash, fazoning tuzilishi va
o‘lchamlarini chuqur tushunishni ta’minlaydi. Shu bilan birga, bu mavzu orqali
talabada geometrik tasavvurni chuqurlashtirish, fazoviy fikrlashni rivojlantirish,
mantiqiy va tahliliy yondashuvni shakllantirish imkoniyati tug‘iladi.
Kurs ishining maqsadi: analitik geometriya nazariyasi asosida fazodagi
harakatlarni chuqur o‘rganish, ularning matematik modellarini tahlil qilish va
4

harakatlarni klassifikatsiya qilish orqali fazoda yuzaga keladigan geometriya
muammolarini samarali yechishga yo‘l ochishdan iborat.
Kurs ishining vazifalari:
Fazoda koordinatalar sistemalari – to‘g‘ri burchakli, silindrik va sferik
tizimlarning tuzilishini o‘rganish va ularni bir-biriga o‘tkazish usullarini tahlil
qilish.
Koordinatalarni almashtirish – fazodagi nuqtalarning o‘zgarishini
ifodalovchi formulalarni o‘zlashtirish, jumladan parallel ko‘chirish va burish
o‘zgarishini matematik jihatdan tushuntirish.
Harakatning ikki turini – orientatsiyani saqlovchi va o‘zgartiruvchi
harakatlarni farqlash, ularning geometrik va algebraik belgilari bilan tanishish.
Fazoda harakatlarning klassifikatsiyasi – harakat turlarini ajratish (parallel
ko‘chirish, burilish, sirpanuvchi simmetriya, vint harakati va boshqalar), har
birining o‘ziga xos xususiyatlarini aniqlash.
Chizmalar, misollar va formulalar orqali mavzuni chuqurroq o‘zlashtirish,
nazariy bilimni vizual va amaliy yondashuv bilan mustahkamlash.
5

I-BOB. FAZODA KOORDINATALAR SISTEMASINI
ALMASHTIRISHLAR.
1.1 -§ . Fazodagi to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasi .
Umumiy boshlang‘ich O nuqtaga va bir xil masshtab birligiga ega bo‘lgan
o‘zaro perpendikulyar
Ox , Oy va Oz o‘qlar fazoda to‘g‘ri burchakli koordinatalar
sistemasini hosil qiladi (1-chizma).
1-chizma
Bu sistemaning
Ox o‘qi ab s sissalar o‘qi , Oy o‘qi ordinatalar o‘qi , Oz
o‘qi
applikatalar o‘qi va ular birgalikda koordinata o‘qlari deb ataladi. Bunda
Ox ,
Oy
va Oz o‘qlarning ortlari ⃗i , ⃗j , ⃗k (|⃗i|=|⃗j|=|⃗k|= 1,⃗i⊥ j,⃗j⊥ ⃗k,⃗k⊥ ⃗i) bilan
belgilanadi,
O nuqtaga koordinatalar boshi deyiladi, Ox , Oy va Oz o‘qlar
joylashgan fazo koordinatalar fazosi deb ataladi va
Oxyz bilan belgilanadi .
Oxy ,Oxz ,Oyz
koordinatalar tekisliklari Oxyz fazoning bu tekisliklarga
tegishli bo‘lmagan barcha nuqtalarini oktantlar deb ataluvchi sakkizta bo‘lakka
6

bo‘ladi. Yuqori yarim fazoda (z>0 da) oktantlarni barcha koordinatalari musbat
bo‘lgan
I oktantdan kelib chiqqan holda soat strelkasiga teskari yo‘nalashda ( Oz
o‘qning musbat yo‘nalishidan qaralganida) bilan belgilaymiz. Quyi
yarim fazoda (
z<0 da) oktantlarni bilan belgilaymiz, bunda mos
ravishda oktant
I oktantning,
Koordinatalar Oktantlar
i
I I
II I
III I
IV V
V V
VI V
VII V
VIII
x
=
+ -
- -
- =
+ =
+ -
- -
- =
+
y
=
+ =
+ -
- -
- +
+ +
+ -
- -
-
z
=
+ =
+ =
+ +
+ -
- -
- -
- -
-
VI
– II ning, VII – III ning, VIII – ning tagida joylashadi. Nuqtaning u yoki
oktantda joylashishiga qarab, uning koordinatalari ishoralari ushbu jadvaldagi kabi
bo‘ladi.
M
koordinatalar fazosining ixtiyoriy nuqtasi bo‘lsin. vektorga M
nuqtaning radius vektori deyiladi.
radius vektorning koordinatalariga
M nuqtaning to‘g‘ri burchakli
koordinatalari deyiladi. Agar bo‘lsa, u holda
M nuqtaning
koordinatalari
M (x;y;z) kabi belgilanadi, bunda x soni M nuqtaning ab s sissasi ,
y
soni M nuqtaning ordinatasi va z soni M nuqtaning applikatasi deb ataladi.
Uchta
x , y va z koordinatalar fazodagi nuqtaning o‘rnini to‘liq aniqlaydi,
ya’ni
x , y va z sonlarning har bir uchligiga fazoning yagona M nuqtasi mos
keladi, va aksincha.
7

1.2- -§ . Affin koordinatalar sistemasi, silindrik koordinatalar sistemasi va
sferik koordinatalar sistemasi .
Affin koordinatalar sistemasi.
Fazo yoki tekislikda affin koordinatalar sistemasini kiritish uchun birorta
bazis va bitta nuqta tanlanadi. Agar bazis va O nuqta berilgan bo’lsa,
vektorning bazisidagi koordinatalar M nuqtaning affin koordinatalari
deyiladi.
1.2.1-Ta’rif. Berilgan bazis uchun tengliklar
bajarils ortonormal bazis deyiladi.
1.2.2-Ta’rif. Ortonormal bazis yordamida berilgan koordinatalar sistemasi
to’g’ri burchakli yoki dekart koordinatalar sistemasi deb ataladi.
1.2.3-Teorema. Dekart koordinatalar sistemasida vektoarning berilgan
bazisdagi koordinatasidalarida, uning koordinatalar o’qlariga tushirilgan
proeksiyalari bilan ustma -ust tushadi.
Isbot . Bizga ortonormal bazis berilgan bo’lsa, ularning boshlarini O
nuqtaga joylashtirib OXYZ koordinatalar sistemasini kiritaylik. Agar
bo’lsa, vektorning boshini koordinata boshiga joylashtirib, uning oxirini M bilan
belgilaymiz. Agar M nuqtaning koordinata o’qlariga ortogonal proeksiyalarini
A,B,C harflari bilan belgilasak, tenglikni hosil qilamiz.
Ikkinchi tomondan kesmalarni kattaliklari mos ravishda sonlariga
teng bo’lganligi uchun munosabatlarni hosil qilamiz.
Natija.
Isbot . Bizga l o’q berilgan bo’lsin: shunday OXYZ koordinatalar sistemasi
kiritamiz, OX koordinata o’qi l bilan ustma–ust tushsin. Agar
8

bo’lsa, teoremaga ko’ra va , tengliklarni hosil
qilamiz. Lekin vektorlarni qo’shganda ularning koordinatalari mos ravishda
qo’shilgani uchun munosabatni olamiz.
Silindrik koordinatalar sistemasi.
Fazoda silindrik koordinatalar sistemasini kiritish uchun biz fazoda bitta
tekislikni va unga tegishli birorta O nuqtani tanlashimiz kerak. Tanlangan
tekislikda O nuqtani qutub boshi sifatida olib, bu tekislikda qutb koordinatalarini
kiritamiz. Berilgan tekislikka perpendikulyar va O nuqtadan o’tuvchi o’qni OZ
o’qi sifatida olib, fazoda silindrik koordinatalar sistemasini quyidagicha kiritamiz:
2-chizma
Fazoda berilgan M nuqtaning tekislikdagi proeksiyasini N bilan, uning OZ
o’qdagi proeksiyasini M bilan belgilaymiz. Silindrik koordinatalar sifatida
kattaliklarni olamiz. Bu yerda – N nuqtaning berilgan tekislikdagi qutb
koordinatalari, Z esa OM' kesma kattaligidir (2-chizma).
Agar biz fazoda OXY tekislik sifatida tanlangan tekislikni, OX o’q sifatida
qutb o’qini olib dekart koordinatalar sistemasini kirisak
, ,
Bog’lanishlarni olamiz. Bu yerda o’zgaruvchilar uchun
,
9

munosabatlar o’rinlidr. Fazoda silindrik koordinatalar sistemasini kiritganimizda
fazo bitta o’qqa ega bo’lgan ichma–ich joylashgan (konsetrik) silindrlarga ajraladi.
Fazoning har bir nuqtasi bu silindrlarning faqat bittasiga tegishli bo’ladi. Agar
nuqtaning silindrik koordinatalari bo’lsa, bu nuqta yotgan silindrning
radiusi ga teng bo’ladi. Agar nuqta silindrlar o’qiga tegishli bo’lsa, u tegishli
bo’lgan silindrning radiusi nolga teng bo’ladi. Yuqoridagi tanlangan dekart
koordinatalar sistemasida silindrlarning o’qi Oz o’qidan iboratdir. Bu dekart
koordinatalar sistemasida konsetrik silindrlar tenglamasi
ko’rinishda bo’ladi.
Sferik koordinatalar sistemasi.
Fazoda sferik koordinatalar sistemasini kiritish uchun – Dekart
koordinatalar sistemasi kiritilgan deb hisoblab, berilgan nuqta uchun markazi
koordinata boshida bo’lgan va radiusi ga teng bo’lgan sferani qaraymiz.
Berilgan nuqtaning tekislikdagi proeksiyasini bilan, vektor
va orasidagi burchakni bilan vektor va Ox o’qi orasidagi burchakni
bilan belgilaymiz. Burchaklarni aniqlashda burchak shunday tanlanadiki, Oz
o’qining musbat yo’nalishi tomonidan qaragannimizda, Ox o’qini nur bilan
ustma – ust tushirish uchun soat mili yo’nalishiga qarshi yo’nalishda φ
burchakka
burish kerak. Yuqorida aniqlangan kattaliklar M nuqtaning sferik
koordinatalari deyiladi. Bunga sabab, fazoning koordinatalari tenglamani
qanoatlantiruvchi nuqtalari to’plami sferani tashkil qiladi. Fazoning har bir nuqtasi
radiusi koordinata boshidan shu nuqtagacha bo’lgan masofaga teng bo’lgan sferada
yotadi. Nuqtaning dekart koordinatalari bilan sferik koordinatalari orasidagi
bog’lanish quyidagicha bo’ladi:
10

3-chizma.
Odatda fazo nuqtalari bilan ularning sferik koordinatalari orasidagi moslik
o’zaro bir qiymatli bo’lishi uchun
chegaralar qo’yiladi. Fazoda sferik koordinatalar sistemasini kiritganimizda fazo
markazi bitta nuqtada bo’lgan sferalarga ajraladi. Agar nuqtaning sferik
koordinatalari bo’lsa, u yotgan sferaning radiusi ga teng bo’ladi. Bu
masofa nuqtadan koordinatalar boshigacha bolgan masofaga tengdir. Nuqta
radiusli sferada yotgan bo’lsa, va burchaklar uning sferadagi vaziyatini
aniqlaydi.
1.3 -§ . Koordinatalar sistemasini almashtirish.
Nuqtaning bir sistemadagi koordinatalarini uning boshqa sistemadagi
koordinatalari bilan almashtirishga koordinatalarni almashtirish deyiladi.
Agar koordinatalar boshi nuqtaga ko’chirilsa, u holda to’g’ri
chiziqdagi har bir nuqtaning eski x koordinatasi bilan yangi x' koordinatasi orasida
(1)
munosabat mavjud bo’ladi.
11

Agar to’g’ri chiziqdagi daslabki yo’nalishga teskari yo’nalish musbat
yo’nalish deb qabul qilinsa, u holda hamma nuqtalarning koordinatalari o’z
absalyut miqdorlarini o’zgartirmasdan ishoralarini o’zgartiradi, ya’ni
(2)
bo’ladi.
Agar yangi uzunlik birligi tanlab olinsa, u holda nuqtaning
koordinatalari mos birliklarga teskari proportsinal, ya’ni:
(3)
bo’ladi.
Asosiy formulalar.
Koordinatalari va bo’lgan A va B nuqtalar berilgan bo’lsa, AB
kesmaning kattaligi
(4)
formula bilan xisoblanadi, ya’ni kesmaning kattaligi uning uchlari
koordinatalarining ayirmasiga teng, bunda oxirigi nuqtaning koordinatasidan bosh
nuqtaning koordinatasini ayrish kerak.
Bu formula nuqtalarning har qanday vaziyatida ham to’g’ri bo’lgani uchun,
kesmalar hamma vaqt to’g’ri belgilanishi, ya’ni birinchi o’ringa kesmaning boshini
belgilovchi harf, ikkinchi o’ringa esa oxirini belgilovchi harf qo’yilishi kerak.
Misol: va berilgan bo’lsa, u holda
Agar va va nuqtalarningkoordinatalari bo ’ lsa , kesmaning
uzunligi bo ’ ladi . agar to ’ g ’ ri chiziqda ikki nuqta , ya ’ ni va
nuqtalar berilgan bo ’ lsa , u holda har qanday uchinchi nuqta kesmani
biror aniq nisbatda bo ’ ladi ; biz uni harfi bilan belgilaymiz , ya ’ ni
12

bos h nuqtadan b o '
luvc h i nuqtagac h a b o '
lgan kesma kattaligi
b o '
luvc h i nuqtadan oxirigi nuqtagac h a b o '
lgan kesma kattaligi .
quyidagi formuladan hisoblab topiladi :
(5)
Agar bo ’ luvchi nuqta kesmaning ichida yotsa , musbat ,
tashqarisida yotsa , manfiy bo ’ ladi .
Aksincha, nisbat berilgan bo’lsa, u holda bo’luvchi C nuqtaning
koordinatasi
(6)
formula bilan topiladi.
Agar va bo’lsa, u holda:
(7)
ya’ni kesma o’rtasining koordinatasi kesma uchlarining koordinatalari
yig’indisining yarmiga teng.
To’rtta A, B, C va D nuqtaning murakkab (algarmonik) nisbati deb ikki
nisbatning nibatiga aytiladi: unda AB kesma birinchi nisbatda C nuqta bilan,
ikkinchi nisbatda esa D nuqta bilan bo’linadi. Bu quyidagicha belgilanadi:
Agar bo’lsa, u holda to’rta nuqta garmonik nuqtalar deb ataladi.
Koordinata o‘qlarini parallel ko‘chirish
Tekislikda Oxy to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi berilgan bo‘lsin.
13

4-chizma
Koordinata o‘qlarini parallel ko‘chirish – bu Oxy sistemadan uning o‘qlari
yo‘nalishlarini va masshtablarini o‘zgartirmasdan faqat koordinatalar boshining
joylashishini o‘zgartirish orqali yangi
O1x1y1 sistemaga o‘tishdir.
Yangi
O1x1y1 sistemaning koordinatalar boshi O1 eski Oxy sistemada
(x0;y0)
koordinata lar ga ega bo‘lsin, ya’ni O1(x0;y0) . Tekislik ixtiyoriy M
nuqtasining
Oxy sistemadagi koordinatalarini (x;y) bilan va O1x1y1 sistemadagi
koordinatalarini
(x';y') bilan belgilaymiz ( 4-chizma ).
U holda
⃗OM = x⃗i+ y⃗j,⃗OO 1= x0⃗i+ y0⃗j,⃗O 1M = x'⃗i+y'⃗j.
4-chizmadan topamiz:
⃗OM =⃗OO 1+⃗O 1M .
Bundan
x⃗i+ y⃗j= x0⃗i+ y0⃗j+ x'⃗i+ y'⃗j
yoki
x= x0+ x',y= y0+ y'.
(8)
(8) formulalar
M nuqtaning Oxy sistemadagi (x;y) koordinatalarini O1x1y1
sistemadagi
(x';y') koordinatalar orqali topish imkonini beradi, va aksincha.
Koordinata o‘qlarini burish
Tekislikda
Oxy to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi berilgan bo‘lsin.
14

Koordinata o‘qlarini burish – bu Oxy sistemadan uning koordinatalar
boshini va o‘qlari masshtablarini o‘zgartirmasdan faqat koordinata o‘qlarini biror
burchakka burish orqali yangi
O1x1y1 sistemaga o‘tishdir.
5-chizma
Umumiy
O qutbga va Ox ,Ox 1 bir xil mashtabli qutb o‘qlariga ega bo‘lgan
qutb koordinatalari sistemalarini kiritamiz.
M nuqta Oxy sistemada (r;ϕ)
koordinatalarga va
Ox 1y1 sistemada
(r;ϕ+α) koordinatalarga ega bo‘lsin
(5-chizma).
Qutb koordinatalaridan to‘g‘ri burchakli koordinatalarga o‘tish
formulalaridan topamiz:
).sin(),cos(
     ryrx
Bundan
, sin) sin ( cos) cos ( ) sin sin cos (cos         r r r x    
y= r(sin ϕcos α+cos ϕsin α)= (rcos ϕ)sin α+(rsin ϕ)cos α,
bu yerda
x'= rcos ϕ,y'= rsin ϕ (5-chizma).
Shu sababli
x= x'cos α− y'sin α,y= x'sin α+ y'cos α.
(9)
(9) formulalar koordinata o‘qlarini burish formulalari deyiladi. Bu
formulalar
M nuqtaning Oxy sistemadagi (x;y) koordinatalarini O1x1y1
sistemadagi
(x';y') koordinatalar orqali topish imkonini beradi va aksincha.
15

Agar yangi sistema eski sistemadan koordinata o‘qlarini avval parallel
ko‘chirish va so‘ngra burish orqali hosil qilingan bo‘lsa, (8) va (9) formulalarni
umumlashtirib, koordinata o‘qlarini parallel ko‘chirish va burish formulalarini
hosil qilamiz: x= x0+ x'cos α− y'sin α ,y= y0+ x'sin α+ y'cos α .
(10)
Bundan

x'= (x− x0)cos α+(y− y0)sin α,y'= (y− y0)cos α− (x− x0)sin α. (11)
Misol. To‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasining o‘qlari
A(5;−1) nuqtaga
parallel ko‘chirilgan va
α= 5
12 burchakka burilgan. Yangi sistemaga nisbatan
B(3;3)
nuqtalarning koordinatalarini topamiz. Misolning shartiga ko‘ra
α= arctg 5
12
da
cos α= 12
13
, sin α= 5
13
.
U holda (11) formulalardan topamiz:
x'= 12 (3− 5)+5(3+1)
13
= − 4
13
,y'= 12 (3+1)− 5(3− 5)
13
= 58
13
,
ya’ni
B(− 4
13
;58
13 )
.
Tekislikda dekart koordinatalarini almashirish.
Orientatsiya: Bir vektordan ikkinchisiga qisqa burish yo’nalishi soat
strelkasi yo’nalishiga qarama – qarshi bo’lsa, bu vektorlar o’ng ikkilik, aks holda
chap ikkilik tashkil qiladi deyiladi. Bazis sifaida biror ikkilik tanlansa, biz
orientatsiya tanlab olingan deb hisoblaymiz. Bizga va ortonormal
bazislar berilgan bo’lsin. Bu bazislar yordamida kiritilgan Dekart koordinatalar
sistemasini mos ravishda Oxy va O'x'y' bilan belgilaylik. Nuqtaning ‘‘eski’’ va
‘‘yangi’’ koordinatalari orasidagi bog’lanishni topamiz. ‘‘Yangi’’ koordinatalar
sistemasi markazini ‘‘eski’’ koordinata sistemasidagi koordinaalarini (a,b) bilan
belgilaylik.
16

6-chizma
Tekislikda M nuata berilgan bo’lib, uning Oxy va O'x'y' sistemalardagi
koordinatalari mos ravishda (x,y) va (x',y') juftliklardan iborat bo’lsin.
Biz quyidagi tengliklarga ega bo’lamiz:
Har bir vektorni bazis orqali ifodalash mumkinligi uchun
. (12)
munosabatlarni hosil qilamiz. Bu ifodalarni
tengliklarga qo’yib
tenglikni hosil qilamiz. Bazis vektorlari chiziqli erkli oilani tashkil etganligi
uchun yuqoridagi munosabatdan
, , (13)
formulalarni olamiz. Endi koeffitsientlarni toppish uchun ikkita holni
qaraymiz.Birinchi hol: va bazislar bir xil orientatsiyaga ega. Bu holda
agar φ
bilan va vektorlar orasidagi burchakni belgilasak, va vektorlar
orasidagi burchak ham ga teng bo’ladi. Yuqoridagi (1) tenglikni har ikkalasini
va vektorlarga skalyar ko’paytirib,
17

formulalarni olamiz. Agar va bazislar har xil orientatsiyaga ega bo’lsa,
va vektorlar orasidagi burchak ga teng bo’ladi. Bu holda (1)
tengliklarning har birini va vektorlarga skalyar ko’paytirib
formulalarni hosil qilamiz. Bu
formulalarni (2) formulalarga qo’yib, mos ravishda quyidagi ikkita formulalarni
olamiz:
(14)
Bu holda o’tish determinant uchun
tenglik o’rinli.
Ikkinchi holda bazislarning orientatsiyalari har xil va koordinatalarni
almashtirish formulalari
(15)
ko’rinishda bo’ladi.
Bu holda o’tish determinant uchun
tenglik o’rinli bo’ladi. Demak, koordinatalar sistemasini almashtirganimizda o’tish
matritsasining determinant musbat bo’lsa, orientatsiya o’zgarmaydi. Agar o’tish
matritsasining determinant manfi bo’lsa, orientatsiya qarama–qarshi orientatsiyaga
o’zgaradi.
18

II-BOB. FAZODA HARAKAT
2.1 -§ . Fazodagi harakat.
Qaralayotgan bobda fazodagi eng soda almashtirishlar o’rganiladi. Fazodagi
almashtirishlarni o’rganishda ishlatiladigan ta’rif va teoremalar tekislikdagi
almashtirishlarni o’rganishda ishlatilgan ta’rif va teoremalarga o’xshash bo’ladi.
Tekislikdagi almashtirishlarda kiritilgan tushuncha va terminlardan foydalanamiz.
Fazoni almashtirish tushunchasi asosiy tushunchalardan biridir.
Fazodagi nuqtalarini almashtirishda ixtiyoriy ikki A va B nuqtalar orasidagi
masofa, ularning akslari
A' va B'
nuqtalar orasidagi masofaga teng bo’lsa, ya’ni
ρ(A,B)=ρ(A',B')
bo’lsa, u holda bunday almashtirish masofani o’zgartirmaydi
deyiladi.
Ta’rif. Fazodagi masofani o’zgartirmaydigan almashtirishni harakat yoki
siljitish deyiladi.
Ayniy almashtirish fazodagi eng soda harakatga misol bo’la oladi (Ayniy
almashtirish fazoning har bir nuqtasini o’z-o’ziga o’tkazadi).
Harakatga boshqa misollar ham keltiraylik.
1-misol. Fazoda ixtiyoriy
⃗p
vektor berilgan bo’lsin. Fazoning ixtiyoriy N
nuqtasiga
⃗NN '=⃗p
Shartni qanoatlantiruvchi
N'
nuqta mos qo ’ yilsa , u holda bu almashtirishni
⃗p
vektor qadar parallel ko ’ chirish deb ataladi .
Teorema. Parallel ko’chirish harakatdir.
19

7-chizma
Isbot. Fazoda M va N
nuqtalar berilgan bo’lsin. M' va N'
nuqtalar esa
ularning akslari (obrazlari) bo’lsin, u holda
⃗MM '=⃗p , ⃗NN '=⃗p
bo’ladi. Shuning
uchun
⃗MM '=⃗NN '
vektorlarning tengligidan |⃗MN |=|⃗M 'N'| (7-chizma).
2-misol. Fazoda biror
O
nuqtani olib, fazoning ixtiyoriy M
nuqtasini O
nuqtaga nisbatan
M'
nuqtaga mos qo’yuvchi simmetrik akslantirishni qaraylik.
Bu akslantirish almashtirish bo’lib,
O
nuqtaga nisbatan simmetrik (markaziy
simmetriya yoki
O
nuqtadan qaytish) deyiladi.
3-masala. Fazodagi
Τ tekislikni olib, fazoning ixtiyoriy M
nuqtasini Τ
tekislikka nisbatan simmetrik
M'
nuqtasiga akslantirishni olaylik (7-chizma). Bu
akslantirishni
Τ tekislikka nisbatan simmetrik almashtirish deyiladi.
Teorema. Tekislikka nisbatan simmetrik almashtirish harakatdir.
Isboti. To’g’ri burchakli koordinatalar sistemasining
oxy koordinatalar
tekisligi
Τ tekislik bilan ustma-ust tushsin deylik. A(x1,y1,z1)
va B(x2,y2,z2)
fazoning ixtiyoriy nuqtalari
A'
va B' nuqtalar esa ularning simmetrik
almashtirishdagi akslari (obrazlari) bo’lsin.
T= xoy bo’lgani uchun A' va B' nuqtalar
A'(x1,y1,−z1)
, B'(x2,y2,−z2) koordinatalarga ega bo’ladi, u holda ikki nuqta
orasidagi masofani toppish formulasidan foydalanib quyidagini topamiz.
ρ(A',B')=√(x'2− x'1)2+(y'2− y'1)2+(z'2−z'1)2= ρ(A,B)
.
Demak,
ρ(A',B')= ρ(A,B) . Bu esa tekislikka nisbatan simmetrik almashtirish
harakat ekanligini bildiradi.
Harakatning quyidagi xossalarini isbotlas hmumkin:
1  . Harakat tekisliklarni tekisliklarga, parallel tekisliklarni parallel
tekisliklarga o’tkazadi.
2  . Harakat to’g’ri chiziqlarni to’g’ri chiziqlarga, parallel to’g’ri chiziqlarni
parallel to’g’ri chiziqlarga o’tkazadi.
20

3  . Harakat ikki yoqli burchakni o’ziga tengikki yoqli burchakka o’tkazadi.
4  . Harakat uchta nuqtaning oddiy nisbat ini saqlaydi.
5  . Harakat to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasini to’g’ri
burchakli dekart koordinatalar sistemasiga o’tkazadi.
2.2 -§ . Harakatning ikki turi.
Invariant nuqta, to’g’ri chiziq va tekislik
1. Fazoda ikkita (O,⃗e1⃗e2⃗e3) va (O,⃗e'1⃗e'2⃗e'3) affin koordinatalar sistemasi
bir xil oriyentirlangan (qarama-qarshi oriyentirlangan) bo’lishi uchun bazis
⃗e1,⃗e2,⃗e3
va
⃗e'1,⃗e'2,⃗e'3 bazis ve ktorlar bir xil yo’nalishga (qarama-qarshi yo’nalishga) ega
bo’lishi kerak .
Teorema. Fazodagi ixtiyoriy harakat yo fazo oriyentatsiyasini saqlaydi yoki
oriyentatsiyasini o’zgartiradi.
Bu teoremaning isboti tekislik uchun berilgan teorema isbotiga o’xshash
bo’ladi.
Shunday qilib, fazoda ikki tur harakat mavjud: birinchi fazo oriyentatsiyasini
o’zgartirmaydigan, ikkinchisi fazo oriyentatsiyasini o’zgartiradigan harakat.
Birinchi holdagi harakatni birinchi tur harakat, ikkinchi holdagi harakatni ikkinchi
tur harakat deyiladi.
2. Fazoda ham invariantlik masalalari tekislikdagidek hal qilinadi.
Agar fazo nuqtasi almashtirishda o’z-o’ziga o’tsa, bunday nuqtani fazoning
invariant (qo’zg’almas) nuqtasi deyiladi. Shunga o’xshash to’g’ri chiziq (tekislik)
almashtirishda o’zi-o’ziga o’tsa, invariant to’g’ri chiziq (tekislik) deyiladi.
Xususan, invariant to’g’ri chiziqning hamma nuqtalari invariant nuqtalardan,
invariant tekislikning hamma nuqtalari invariant nuqtalardan iborat bo’lishi
mumkin.
Fazoda
L -harakat va Τ invariant tekislik berilgan bo’lsin. Bu harakatda
invariant tekislikning ixtiyoriy nuqtasi yana shu tekislik nuqtasiga o’tadi, ya’ni
Τ
tekislikda
L' akslantirish vujudga keladi, bu akslantirish harakatdan iborat
21

ekanligi ravshan, chunki masofani saqlaydi. Bu almashtirishni L -harakatning Τ
tekislikka indutsirlangan (singdirilgan) harakati deyiladi.
Harakatning turlarini aniqlash uchun zarur bo’ladigan uchta teoremani
beramiz.
1-teorema. Agar harakat invariant nuqtaga ega bo’lmasa, u holda ixtiyoriy
ikki invariant to’g’ri chiziqlari parallel bo’ladi.
Isbot. Teskarisini faraz qilib isbotlaymiz.
L - harakatning parallel bo ’ lmagan
d1
va d2 invariant to ’ g ’ ri chiziqlari bo ’ lsin . U holda bu to ’ g ’ ri chiziqlar yo
kesishadi yoki ayqash bo ’ ladi . Birinchi holda ,
M nuqta d1 va d2 to ’ g ’ ri
chiziqlarning kesishgan nuqtasi
L - harakatda M' nuqtaga o ’ tsin . Bu nuqta ham d1
to ’ g ’ ri chizig ’ ida , ham
d2 to ’ g ’ ri chizig ’ ida yotadi , ya ’ ni M =M ' . Bu teorema
shartiga ziddir (invariant nuqta yo’q).
Ikkinchi holati
d1 va d2 to’g’ri chiziqlar ayqash bo’lsin. Bu holda d1 va d2
to’g’ri chiziqlar umumiy
AB perpendikulyarga ega bo’ladi. A∈d1 , B∈d2 . AB ikki
to’g’ri chiziq orasidagi eng qisqa masofa, u holda
L -harakatda A va B nuqtalar
invariant nuqtalar bo’ladi, bu teorema shartiga ziddir.
8-chizma
2-teorema. Agar
L -harakat invariant nuqtaga ega bo’lmay, lekin bir
22

tekislikda yotmaydigan kamida uchta parallel invariant to’g’ri chiziqlar mavjud
bo’lsa, u holda L -harakat invariant to’g’ri chiziqqa parallel bo’lgan nol bo’lmagan
vector qadar parallel ko’chirishdan iborat (8-chizma).
3-teorema. Fazodagi ixtiyoriy harakat kamida bitta invariant to’g’ri chiziqqa
ega.
Keyingi ikki teoremani isbotini o’quvchilarga havola qilamiz.
2.3 -§ . Fazoda harakatning klassifikatsiyasi
Fazoda ikkita
R(O,ABC) va R'(O',ABC) affinreperi (yoki affin koordinatalar
sistemasi) berilgan bo’lsin. Agar bu reperlarning basis
⃗e1,⃗e2,⃗e3 va ⃗e'1,⃗e'2,⃗e'3
vektorlarining yo’nalishlari bir xil (qarama-qarshi) bo’lsa,
R va R' reperlar
oriyentatsiyasi bir xil (qarama-qarshi) deyiladi.
Fazodagi harakat klassifikatsiyasi tekislikdagi harakat klassifikatsiyasiga
o’xshash bo’ladi. Bu yerda ham harakatni klassifikatsiyalashda uning invariant
nuqtalaridan foydalanamiz.
1. Fazodagi harakat bir to’g’ri chiziqda yotmaydigan kamida uchta
invariant nuqtaga ega bo’lsin .
A,B,C
nuqtalar g-harakatning bir to’g’ri chiziqda yotmaydigan invariant
nuqtalari,
AD to’g’ri chiziq esa ABC tekislikka perpendikulyar to’g’ri chiziq
bo’lsin.
g-harakat
ABC tekislik nuqtalarini yana shu tekislik nuqtalariga o’tkazishi
ravshan, ya’ni bu tekislik invariant. Shuning uchun
AD to’g’ri chiziq ham
invariant. Demak
D nuqta ham, uning obrazi D' nuqta ham AD to’g’ri chiziqda
yotadi.
g
almashtirish D nuqtani A D=A D' shartni qanoatlantiruvchi D' nuqtaga
o’tkazsin. Bunda quyidagicha ikki hol yuz berishi mumkin.
1)
D' nuqta D nuqta bilan ustma-ust tushsin, u holda (ABC D) reperning
uchlari o’z-o’ziga o’tadi. Demak,
g ayniy almashtirishdir.
23

Ma’lumki, ayniy almashtirish birinchi tur harakatdir.
2) D va D' nuqtalar A nuqtaga simmetrik. g -almashtirishda R(ABC D)
reper
R'(ABC D') reperga o’tadi. Demak, g -almashtirish (ABC) tekislikka nisbatan
simmetrik almashtirishdan iborat. Bizga ma’lumki tekislikka nisbatan simmetrik
almashtirish - ikkinchi tur almashtirish bo’ladi.
2. Fazodagi harakat kamida ikkita invariant
A,B nuqtalarga ega, lekin AB
to’g’ri chizig’da yotmaydigan birorta ham invariant nuqtaga ega bo’lmasin.
Bu holda
A B=d to’g’ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi invariant nuqta bo’ladi.
Haqiqatan ham,
N AB to’g’ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi. N' nuqta esa uning
aksi. Harakatda uchta nuqtaning oddiy nisbati o’zgarmaydi yani
(AB,N)=(AB,N') .
A,B
nuqtalar invariant nuqtalar bo’lgani
uchun
N va N' nuqtalar ham ustma-
usttushadi. Demak,
N nuqta berilgan
harakatning invariant nuqtasidir.
Shunday qilib,
AB to’g’ri chiziq nuqtalari
invariant nuqtalardan iborat.
AB
to’g’ri chiziqqa uning biror P nuqtasiga
Τ
-perpendikulyar tekislik o’tkazaylik. (10-chizma).
Ma’lumki
Τ tekislik berilgan L harakatda invariant tekislik bo’ladi.
Shuning uchun
Τ tekislikda qandaydir g harakatni indutsirlaydi (singdiradi),
ya’ni vujudga keltiradi.
P nuqta bu harakatning qo’zg’almas nuqtasi bo’ladi.
Demak,
g harakat P nuqta atrofida biror ϕ burchakka
(ϕ≠ 0)
burishdan iborat.
2410- chizma 9- chizma

L-harakat AB to’g’ri chiziq orqali o’tuvchi ixtiyoriy tekislikni ya’ni shu to’g’ri
chiziq orqali o’tuvchi tekislikka o’tkazadi, u holda
AB to’g’ri chiziqqa
perpendikulyar har bir tekislikda aynan bir xil
ϕ burchakka burishni indutsirlaydi
(singdiradi), ya’ni paydo qiladi.
Bu hosil qilingan harakatni fazodagi
AB to’g’ri chiziq atrofida ϕ burchakka
burish deyiladi.
AB to’g’ri chiziqni burish o’qi, ϕ burchakni burish burchagi
deyiladi. (10-chizma).
Teorema. Fazodagi
AB to’g’ri chiziq atrofidagi burish birinchi tur
harakatdir.
Bu teorema isbotini talabalarning o’zlariga
tavsiya qilamiz.
Fazodagi
d to’g’ri chiziq atrofida π
burchakka burish,
d to’g’ri chiziqqa nisbatan
simmetriya deyiladi (11-chizma).
Bu holda fazoning harbir
M nuqtasiga d
to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik bo’lgan
M'
nuqta mos keladi (11-chizma).
ϕ= 0
burchakka burishni ayniy almashtirish deyiladi.
3. Bitta qo’zg’almas
A nuqtaga ega bo’lgan harakat.
Har qanday harakat uchinchi teoremaga ko’ra qo’zg’almas
d to’g’ri
chiziqqa ega.
A nuqtaning invariant d to’g’ri chiziqqa qarashli ekanligi ravshan,
aks holda
A nuqtadan d to’g’ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyar asosi ham
invariant nuqta bo’ladi. Buning bo’lishi shartga ko’ra mumkin emas.
Invariant
A nuqtadan o’tib, d to’g’ri chiziqqa perpendikulyar tekislikni Τ
bilan belgilaylik.
Τ tekislik L -harakatda invariant bo’lganligi tufayli, Τ tekislikda
invariant nuqtasi
A nuqtadan iborat g harakatni vujudga keltiradi. Bu harakat
faqat bitta invariant
A nuqtaga ega
bo’lganligi uchun u
A nuqta atrofida biror ϕ
25
12- chizma11 -chizma

(ϕ≠ 0) burchakka burishdan iborat bo’ladi.
Endi ortonormallashgan
R(ABC D) reperni quyidagicha tanlab olaylik: B
nuqta
d to’g’ri chiziqda, C va D nuqtalar Τ tekislikda yotsin. B∈d nuqta
qo’zg’almas nuqta emas, u holda
B'=g(B) nuqta A nuqtaga nisbatan B nuqtaga
simmetrik. Fazodagi
L harakat R(ABC D) reperni R'(AB'C'D') reperga o’tkazadi.
Shu bilan birga
Τ tekislikdagi R1(AC D) reperni yo’nalishi bir xil bo’lgan
R'1(AC'D')
reperga o’tkazadi (12-chizma).
Shuning uchun
R va R' reperlar qarama-qarshi yo’nalishga ega bo’ladi.
Bundan
g harakat ikkinchi tur harakat ekanligi kelib chiqadi.
Bu
g harakatni burish simmetriyasi deyiladi.
Bunda
d to’g’ri chiziq, ϕ burchak, Τ tekislik va A nuqta mos ravishda
burish simmetriyaning o’qi, burchagi, tekisligi va markazi deyiladi.
Geometrik nuqtai nazardan burish simmetriyasi,
d to’g’ri chiziq atrofida ϕ
burchakka burish
g1 bilan, Τ tekislikka simmetriya g2 ning ko’paytmasidan iborat.
g= g2⋅g1
.
Agar
ϕ= π bo’lsa, burish simmetriyasi qo’zg’almas nuqtaga nisbatan
simmetriya bo’ladi.
4. Harakatning bitta ham qo’zg’almas nuqtasi mavjud emas .
g
berilgan harakat, d -uning invariant to’g’ri chizig’i bo’lsin. Ma’lumki bu
harakatning
d dan boshqa invariant to’g’ri chizig’i mavjud bo’lsa, u d ga parallel
bo’ladi.
Bunda quyidagi uchta holning biri o’rinli bo’lishi mumkin.
1) Kamida uchta o’zaro parallel va birtekislikda yotmaydigan invariant
to’g’ri chiziqlar mavjud. Bunda
g harakat nol bo’lmagan ⃗p vector qadar parallel
ko’chirishdan iborat bo’ladi. Buning invariant to’g’ri chiziqlari fazoning faqat
⃗p
vektorga parallel bo’lgan to’g’ri chiziqlardan iborat bo’ladi. Ravshanki, parallel
ko’chirish-birinchi tur harakatdir.
26 12- chizma

2) Kamida ikkita parallel invariant to’g’ri chiziqlar mavjud. Boshqa barcha
invariant to’g’ri chiziqlar, agar ular mavjud bo’lsa, bu to’g’ri chiziqlar orqali
o’tgan tekislikda yotadi. Bu holdagi g harakatni sirpanuvchi simmetriya deyiladi.
g
ning Τ tekislikka simmetriya bilan ⃗p≠⃗0 vektor qadar parallel ko’chirish
ko’paytmasidan iborat ekanini isbotlash qiyin emas. Sirpanuvchi simmetriya –
ikkinchi tur harakat.
3) Harakat faqat bitta
d invariant to’g’ri chiziqqa ega. Buholda g
harakatni vint harakati deyiladi.
Bu
g harakat, d to’g’ri chiziq atrofida ϕ≠ 0 burchak burish bilan, d to’g’ri
chiziqqa parallel
⃗p≠⃗0 vektor qadar parallel ko’chirish ko’paytmasidan iborat
ekanini isbotlash qiyin emas. Vint harakati – birinchi tur harakat.
Shunday qilib, fazodagi harakatning olti xili mavjud bo’lib, ular quyidagi
jadvalda keltirilgan:
Birinchi tur harakat
1.
⃗p vektor qadar parallel ko’chirish.
a)
⃗p≠⃗0
vector qadar parallel ko’chirish.
b)
⃗p=⃗0 . Ayniy almashtirish.
2. To’g’ri chiziq atrofida
ϕ
burchakka burish.
a)
ϕ
burchakka burish, buyerda ϕ≠ 0 va ϕ≠ π
b)
(ϕ= 0) . Ayniy harakat.
v)
(ϕ= π) . To’g’ri chiziqqa nisbatan simmetriya.
3. Vint harakati.
Ikkinchi tur harakat
4 . Tekislikka nisbatan simmetriya.
27

ϕ≠ 0 burchakka burish simmetriya.
a)
ϕ≠ 0
va ϕ= π
burchakka burish simmetriya.
b) Nuqtaga nisbatan simmetriya
(ϕ= π) .
5 . Sirpanuvchi simmetriya.
28

XULOSA
Ushbu kurs ishini bajarish jarayonida men analitik geometriya fanining
bo'limlaridan biri bo‘lgan fazodagi harakatlar mavzusini nazariy va amaliy jihatdan
chuqur o‘rganishga harakat qildim.
Ishni ikki asosiy bobga bo‘lib, har bir bobda matematik tushunchalarni
aniqlik bilan yoritishga, ularni misollar, teoremalar va chizmalar orqali
tushuntirdim. Birinchi bobda men fazodagi koordinatalar sistemalarini va ularning
almashtirish usullarini tahlil qildim. Avvalo, to‘g‘ri burchakli, silindrik va sferik
koordinatalar tizimlarining tuzilishi ko‘rib chiqdim. Ularning o‘zaro bog‘liqligini
ifodalovchi formulalar, koordinatalar almashtirilganda yuzaga keladigan
matematik munosabatlar, shuningdek, orientatsiya tushunchasi asosida burilish va
parallel ko‘chirish jarayonlarini geometrik jihatdan o‘rganishga e’tibor qaratdim.
Ikkinchi bobda esa fazodagi harakatlar turlari va klassifikatsiyasi keng
yoritildi. Bu bobda men harakatning ikki asosiy turi — orientatsiyani saqlaydigan
va orientatsiyani o‘zgartiradigan harakatlarni o‘zaro farqlab, ularning geometrik
ifodasini misollar orqali ko‘rsatdim. Har bir harakat turining matematik modeli,
invariant elementlari va ularni ajratib turuvchi xossalar asosida umumlashtirildi.
Bundan tashqari, harakatlarni klassifikatsiyalash orqali men fazoviy
harakatlarning umumiy ko‘rinishini tuzdim va ularni jadvallar orqali
tizimlashtirdim. Bu yondashuv menga mavzuni faqat nazariy emas, balki amaliy
jihatdan ham yaxshiroq tushunishga yordam berdi.
Umuman olganda, kurs ishini yozish davomida men analitik geometriyaning
fazodagi geometrik ifodalar, matematik izchillik va aniqlikni qanday ta’minlashi
mumkinligini yaqqol angladim. Bu mavzu menga nafaqat ilmiy bilim berdi, balki
fazoviy tafakkur, mantiqiy tahlil qilish, formulalarni to‘g‘ri qo‘llash kabi
ko‘nikmalarni ham shakllantirdi.Kurs ishi yakunida mavzuning nafaqat nazariy,
balki amaliy sohalarda – muhandislik, fizik modellashtirish, robototexnika kabi
yo‘nalishlarda ham juda muhim ahamiyatga ega ekanligini tushundim.
29

$FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1. Dadajonov N.D., Jo`raеva M.Sh. Gеomеtriya. 1-qism. Toshkеnt. «O`qituvchi», 1996 yil. 2. Qori – Niyoziy. Analitik g е om е triya kursi. Toshk е nt. «O`qituvchi», 1975 yil . 3. Baxvalov S.V., Modеnov P.S., Parxomеnko A.S. Analitik gеomеtriyadan masalalar to`plami. Toshkеnt. «O`qituvchi», 2006 yil . 4. Nazarov X.X., Ochilova O.X., Podgornova Е.G. Gеomеtriyadan masalalar to`plami 1- qism. Toshkеnt. «O`qituvchi», 1993, 1997 yil . 5. I.Israilov, Z.Pashaev. Geometriyadan masalalar to’plami. Akademik litseylar va kasb-hunar kollejlari qo’llanma, 3-nashri. T. o’qituvchi, 2004 . 6. R.H Vafоev., J.H.Husanоv, Q.H Fayziev., Yu.Y Hamrоev- Algebra va analiz asоslari. Akademik litsey va kasb-hunar kоllejlari uchun o‘quv qo‘llanma sifatida tavsiya etilgan.-T. O‘qituvchi 7. X.Latipov, Sh.Tojiеv “Analitik gеomеtriya va chiziqli algеbra”, T.1995 “O’zbеkiston” 8. T.Shodiеv “Analitik gеomеtriya va chiziqli algеbra”, T.1984 “O’qituvchi” 9. Abduraxmonov, Maktabda geometriya tarixi. T. O’qituvchi. 1993 10. Dadajonov N.D. Geometriya 2-qism. Toshkent. O’qituvchi 1988 11. Elektron manbalar: 1) WWW.edu.uz . 2) WWW.google\mathnet\.com 3) https://lib.cspu.uz 30$

Fazoda harakat. Fazoda harakatning ikki turi. Harakatning klassifikatsiyasi

Sotib olish

Dokument ma'lumotlari

Sotuvchi

Fazoda harakat. Fazoda harakatning ikki turi. Harakatning klassifikatsiyasi

O'xshash dokumentlar