Dokument ma'lumotlari

Narxi 30000UZS
Hajmi 2.6MB
Xaridlar 0
Yuklab olingan sana 05 Iyun 2025
Kengaytma docx
Bo'lim Kurs ishlari
Fan Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

136 Sotish

Fazoda harakat. Fazoda harakatning ikki turi. Harakatning klassifikatsiyasi

Sotib olish
O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI Farg‘ona davlat universiteti Fizika-matematika fakulteti Matematika yo‘nalishi 24.02-guruh talabasi ning Analitik geometriya fanidan “Fazoda harakat. Fazoda harakatning ikki turi. Harakatning klassifikatsiyasi” mavzusidagi KURS ISHI Kurs ishi rahbari: Farg‘ona-2025 1 MUNDARIJA KIRISH.................................................................................................................3-5 I-BOB. FAZODA KOORDINATALAR SISTEMASINI ALMASHTIRISHLAR......................................................................................6-18 1.1- § . Fazodagi to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi……………………………...6-7 1.2- § . Affin koordinatalar sistemasi, silindrik koordinatalar sistemasi va sferik koordinatalar sistemasi ........................................................................................................7-11 1.3- § . Koordinatalar sistemasini almashtirish …………………………………11-18 II-BOB. FAZODA HARAKAT…………………………………………...19-27 2.1- § . Fazodagi harakat………………………………………………………...19-21 2.2- § . Harakatning ikki turi................................................................................21-23 2.3- § . Fazoda harakatning klassifikatsiyasi …………………………………...23-27 XULOSA................................................................................................................28 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR ..............................................................29 2 KIRISH Matematika hamma aniq fanlarga asos. Bu fanni yaxshi bilgan bola aqlli, keng tafakkurli bo’lib o’sadi, istalgan sohada muvaffaqiyatli ishlab ketadi. Shavkat Mirziyoyev Shuni unutmasligimiz kerakki, kelajagimiz poydevori bilim dargohlarida yaratiladi, boshqacha aytganda, xalqimizning ertangi kuni qanday bo’lishi farzandlarimizning bugun qanday ta’lim va tarbiya olishiga bog’liq. Shuning uchun ham mustaqillikning dastlabki yillaridanoq butun mamlakat miqyosida ta’lim va tarbiya, ilm-fan, kasb-hunar o’rgatish tizimlarini tubdan isloh qilishga nihoyatda katta zarurat sezila boshladi. Matematika fani o’sib kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o’quv fani sifatida keng imkoniyatlarga ega. U o’quvchi tafakkurini rivojlantirib, ularning aqlini peshlaydi, uni tartibga soladi, o’quvchilarda maqsadga yo’naltirganlik, mantiqiy fikrlash, topqirlik xislatlarini shakllantirib boradi. Shu bilan bir qatorda mulohazalarning to’g’ri, go’zal tuzilganligi, o’quvchilarni didli, go’zallikka ehtiyojli qilib tarbiyalab boradi. Insoniyat kamoloti hayotning rivoji texnika va texnologiyalarning takomillashib borish asosida fanlar o’qitilishiga bo’lgan talablarini hisobga olgan holda maktab matematika kursini ularning zamonaviy rivoji bilan uyg’unlashtirish maktabda o’quvchilarga matematikani o’qitishdan ko’zda tutilgan asosiy maqsadlardan biridir. Matematika fani o’quvchilarni iroda, diqqatni to’plab olishni; qobiliyat va faollikni, tasavvurining rivojlangan bo’lishini talab eta borib, mustaqil, ma’suliyatli, mehnatsevar, intizomli va mantiqiy fikrlash hamda o’zining qarash va e’tiqodlarini dalillar asosida himoya qila olish ko’nikmalarini rivojlantirishni talab qiladi. Hozirgi zamon darsiga qo’yiladigan eng muhim talablardan biri har bir darsda tanlanadigan mavzuning ilmiy asoslangan bo’lishidir, ya’ni darsdan ko’zlangan maqsad hamda o’quvchilar imkoniyatini 3 hisobga olgan holda mavzu xajmini belgilash uning murakkabligini aniqlash, avvalgi o’rganilgan mavzu bilan bog’lash, o’quvchilarga beriladigan topshiriq va mustaqil ishlarning ketma-ketligini aniqlash, darsda kerak bo’ladigan jihozlarni belgilash va qo’shimcha ko’rgazmali qurollar bilan boyitish, qo’shimcha axborot texnologiyalardan foydalangan holda muammoli vaziyatni yaratishdir. Dars davomida o’qituvchi o’quvchilarning jismoniy holatini, ijodkorligini, tez fikrlashlarini hisobga olishi kerak. Maktabda matematika fanini o’qitish jarayonida ilg’or pedagogik texnologiyalardan foydalanish o’qitish samaradorligini oshirishning omillaridan biri sifatida yaqqol ko’zga ko’rinmoqda. Chunki o’qitishning ilg’or, nostandart (interfaol) shakllari-ta’lim-tarbiya masalalarini unumli yechishga, o’quvchilarning bilish faoliyatini kuchaytirishga qaratilgan o’quv mashg’ulotlarini takomillashtirish yo’llaridan biri. Kurs ishining dolzarbligi: Fazoda harakat - bu obyektlarning joylashuvi o‘zgarishi bilan bog‘liq bo‘lgan jarayon bo‘lib, uning tahlili nafaqat nazariy, balki texnik va amaliy fanlar uchun ham muhimdir. Masalan, kompyuter grafikasi, mexanika, robototexnika, aviatsiya, kosmonavtika, qurilish geodeziyasi, mashinasozlik kabi ko‘plab sohalarda fazoda obyektlarning harakati, burilishi, siljishi va simmetriyasi kabi xususiyatlarni tahlil qilish zarurat tug‘iladi. Shuning uchun bu mavzu bugungi ilmiy-texnik taraqqiyotda katta nazariy va amaliy ahamiyatga ega. Fazoda obyektlarning siljishi va burilishi kabi asosiy geometrik harakatlarini tahlil qilishni, harakatning turlari – orientatsiyani saqlovchi va orientatsiyani o‘zgartiruvchi harakatlarning matematik asoslarini o‘rganishni, harakatlarni klassifikatsiyalash orqali ularni ilmiy tasniflash, fazoning tuzilishi va o‘lchamlarini chuqur tushunishni ta’minlaydi. Shu bilan birga, bu mavzu orqali talabada geometrik tasavvurni chuqurlashtirish, fazoviy fikrlashni rivojlantirish, mantiqiy va tahliliy yondashuvni shakllantirish imkoniyati tug‘iladi. Kurs ishining maqsadi: analitik geometriya nazariyasi asosida fazodagi harakatlarni chuqur o‘rganish, ularning matematik modellarini tahlil qilish va 4 harakatlarni klassifikatsiya qilish orqali fazoda yuzaga keladigan geometriya muammolarini samarali yechishga yo‘l ochishdan iborat. Kurs ishining vazifalari: Fazoda koordinatalar sistemalari – to‘g‘ri burchakli, silindrik va sferik tizimlarning tuzilishini o‘rganish va ularni bir-biriga o‘tkazish usullarini tahlil qilish. Koordinatalarni almashtirish – fazodagi nuqtalarning o‘zgarishini ifodalovchi formulalarni o‘zlashtirish, jumladan parallel ko‘chirish va burish o‘zgarishini matematik jihatdan tushuntirish. Harakatning ikki turini – orientatsiyani saqlovchi va o‘zgartiruvchi harakatlarni farqlash, ularning geometrik va algebraik belgilari bilan tanishish. Fazoda harakatlarning klassifikatsiyasi – harakat turlarini ajratish (parallel ko‘chirish, burilish, sirpanuvchi simmetriya, vint harakati va boshqalar), har birining o‘ziga xos xususiyatlarini aniqlash. Chizmalar, misollar va formulalar orqali mavzuni chuqurroq o‘zlashtirish, nazariy bilimni vizual va amaliy yondashuv bilan mustahkamlash. 5 I-BOB. FAZODA KOORDINATALAR SISTEMASINI ALMASHTIRISHLAR. 1.1 -§ . Fazodagi to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasi . Umumiy boshlang‘ich O nuqtaga va bir xil masshtab birligiga ega bo‘lgan o‘zaro perpendikulyar Ox , Oy va Oz o‘qlar fazoda to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasini hosil qiladi (1-chizma). 1-chizma Bu sistemaning Ox o‘qi ab s sissalar o‘qi , Oy o‘qi ordinatalar o‘qi , Oz o‘qi applikatalar o‘qi va ular birgalikda koordinata o‘qlari deb ataladi. Bunda Ox , Oy va Oz o‘qlarning ortlari ⃗i , ⃗j , ⃗k (|⃗i|=|⃗j|=|⃗k|= 1,⃗i⊥ j,⃗j⊥ ⃗k,⃗k⊥ ⃗i) bilan belgilanadi, O nuqtaga koordinatalar boshi deyiladi, Ox , Oy va Oz o‘qlar joylashgan fazo koordinatalar fazosi deb ataladi va Oxyz bilan belgilanadi . Oxy ,Oxz ,Oyz koordinatalar tekisliklari Oxyz fazoning bu tekisliklarga tegishli bo‘lmagan barcha nuqtalarini oktantlar deb ataluvchi sakkizta bo‘lakka 6 bo‘ladi. Yuqori yarim fazoda (z>0 da) oktantlarni barcha koordinatalari musbat bo‘lgan I oktantdan kelib chiqqan holda soat strelkasiga teskari yo‘nalashda ( Oz o‘qning musbat yo‘nalishidan qaralganida) bilan belgilaymiz. Quyi yarim fazoda ( z<0 da) oktantlarni bilan belgilaymiz, bunda mos ravishda oktant I oktantning, Koordinatalar Oktantlar i I I II I III I IV V V V VI V VII V VIII x = + - - - - = + = + - - - - = + y = + = + - - - - + + + + - - - - z = + = + = + + + - - - - - - - - VI – II ning, VII – III ning, VIII – ning tagida joylashadi. Nuqtaning u yoki oktantda joylashishiga qarab, uning koordinatalari ishoralari ushbu jadvaldagi kabi bo‘ladi. M koordinatalar fazosining ixtiyoriy nuqtasi bo‘lsin. vektorga M nuqtaning radius vektori deyiladi. radius vektorning koordinatalariga M nuqtaning to‘g‘ri burchakli koordinatalari deyiladi. Agar bo‘lsa, u holda M nuqtaning koordinatalari M (x;y;z) kabi belgilanadi, bunda x soni M nuqtaning ab s sissasi , y soni M nuqtaning ordinatasi va z soni M nuqtaning applikatasi deb ataladi. Uchta x , y va z koordinatalar fazodagi nuqtaning o‘rnini to‘liq aniqlaydi, ya’ni x , y va z sonlarning har bir uchligiga fazoning yagona M nuqtasi mos keladi, va aksincha. 7 1.2- -§ . Affin koordinatalar sistemasi, silindrik koordinatalar sistemasi va sferik koordinatalar sistemasi . Affin koordinatalar sistemasi. Fazo yoki tekislikda affin koordinatalar sistemasini kiritish uchun birorta bazis va bitta nuqta tanlanadi. Agar bazis va O nuqta berilgan bo’lsa, vektorning bazisidagi koordinatalar M nuqtaning affin koordinatalari deyiladi. 1.2.1-Ta’rif. Berilgan bazis uchun tengliklar bajarils ortonormal bazis deyiladi. 1.2.2-Ta’rif. Ortonormal bazis yordamida berilgan koordinatalar sistemasi to’g’ri burchakli yoki dekart koordinatalar sistemasi deb ataladi. 1.2.3-Teorema. Dekart koordinatalar sistemasida vektoarning berilgan bazisdagi koordinatasidalarida, uning koordinatalar o’qlariga tushirilgan proeksiyalari bilan ustma -ust tushadi. Isbot . Bizga ortonormal bazis berilgan bo’lsa, ularning boshlarini O nuqtaga joylashtirib OXYZ koordinatalar sistemasini kiritaylik. Agar bo’lsa, vektorning boshini koordinata boshiga joylashtirib, uning oxirini M bilan belgilaymiz. Agar M nuqtaning koordinata o’qlariga ortogonal proeksiyalarini A,B,C harflari bilan belgilasak, tenglikni hosil qilamiz. Ikkinchi tomondan kesmalarni kattaliklari mos ravishda sonlariga teng bo’lganligi uchun munosabatlarni hosil qilamiz. Natija. Isbot . Bizga l o’q berilgan bo’lsin: shunday OXYZ koordinatalar sistemasi kiritamiz, OX koordinata o’qi l bilan ustma–ust tushsin. Agar 8 bo’lsa, teoremaga ko’ra va , tengliklarni hosil qilamiz. Lekin vektorlarni qo’shganda ularning koordinatalari mos ravishda qo’shilgani uchun munosabatni olamiz. Silindrik koordinatalar sistemasi. Fazoda silindrik koordinatalar sistemasini kiritish uchun biz fazoda bitta tekislikni va unga tegishli birorta O nuqtani tanlashimiz kerak. Tanlangan tekislikda O nuqtani qutub boshi sifatida olib, bu tekislikda qutb koordinatalarini kiritamiz. Berilgan tekislikka perpendikulyar va O nuqtadan o’tuvchi o’qni OZ o’qi sifatida olib, fazoda silindrik koordinatalar sistemasini quyidagicha kiritamiz: 2-chizma Fazoda berilgan M nuqtaning tekislikdagi proeksiyasini N bilan, uning OZ o’qdagi proeksiyasini M bilan belgilaymiz. Silindrik koordinatalar sifatida kattaliklarni olamiz. Bu yerda – N nuqtaning berilgan tekislikdagi qutb koordinatalari, Z esa OM' kesma kattaligidir (2-chizma). Agar biz fazoda OXY tekislik sifatida tanlangan tekislikni, OX o’q sifatida qutb o’qini olib dekart koordinatalar sistemasini kirisak , , Bog’lanishlarni olamiz. Bu yerda o’zgaruvchilar uchun , 9 munosabatlar o’rinlidr. Fazoda silindrik koordinatalar sistemasini kiritganimizda fazo bitta o’qqa ega bo’lgan ichma–ich joylashgan (konsetrik) silindrlarga ajraladi. Fazoning har bir nuqtasi bu silindrlarning faqat bittasiga tegishli bo’ladi. Agar nuqtaning silindrik koordinatalari bo’lsa, bu nuqta yotgan silindrning radiusi ga teng bo’ladi. Agar nuqta silindrlar o’qiga tegishli bo’lsa, u tegishli bo’lgan silindrning radiusi nolga teng bo’ladi. Yuqoridagi tanlangan dekart koordinatalar sistemasida silindrlarning o’qi Oz o’qidan iboratdir. Bu dekart koordinatalar sistemasida konsetrik silindrlar tenglamasi ko’rinishda bo’ladi. Sferik koordinatalar sistemasi. Fazoda sferik koordinatalar sistemasini kiritish uchun – Dekart koordinatalar sistemasi kiritilgan deb hisoblab, berilgan nuqta uchun markazi koordinata boshida bo’lgan va radiusi ga teng bo’lgan sferani qaraymiz. Berilgan nuqtaning tekislikdagi proeksiyasini bilan, vektor va orasidagi burchakni bilan vektor va Ox o’qi orasidagi burchakni bilan belgilaymiz. Burchaklarni aniqlashda burchak shunday tanlanadiki, Oz o’qining musbat yo’nalishi tomonidan qaragannimizda, Ox o’qini nur bilan ustma – ust tushirish uchun soat mili yo’nalishiga qarshi yo’nalishda φ burchakka burish kerak. Yuqorida aniqlangan kattaliklar M nuqtaning sferik koordinatalari deyiladi. Bunga sabab, fazoning koordinatalari tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalari to’plami sferani tashkil qiladi. Fazoning har bir nuqtasi radiusi koordinata boshidan shu nuqtagacha bo’lgan masofaga teng bo’lgan sferada yotadi. Nuqtaning dekart koordinatalari bilan sferik koordinatalari orasidagi bog’lanish quyidagicha bo’ladi: 10 3-chizma. Odatda fazo nuqtalari bilan ularning sferik koordinatalari orasidagi moslik o’zaro bir qiymatli bo’lishi uchun chegaralar qo’yiladi. Fazoda sferik koordinatalar sistemasini kiritganimizda fazo markazi bitta nuqtada bo’lgan sferalarga ajraladi. Agar nuqtaning sferik koordinatalari bo’lsa, u yotgan sferaning radiusi ga teng bo’ladi. Bu masofa nuqtadan koordinatalar boshigacha bolgan masofaga tengdir. Nuqta radiusli sferada yotgan bo’lsa, va burchaklar uning sferadagi vaziyatini aniqlaydi. 1.3 -§ . Koordinatalar sistemasini almashtirish. Nuqtaning bir sistemadagi koordinatalarini uning boshqa sistemadagi koordinatalari bilan almashtirishga koordinatalarni almashtirish deyiladi. Agar koordinatalar boshi nuqtaga ko’chirilsa, u holda to’g’ri chiziqdagi har bir nuqtaning eski x koordinatasi bilan yangi x' koordinatasi orasida (1) munosabat mavjud bo’ladi. 11 Agar to’g’ri chiziqdagi daslabki yo’nalishga teskari yo’nalish musbat yo’nalish deb qabul qilinsa, u holda hamma nuqtalarning koordinatalari o’z absalyut miqdorlarini o’zgartirmasdan ishoralarini o’zgartiradi, ya’ni (2) bo’ladi. Agar yangi uzunlik birligi tanlab olinsa, u holda nuqtaning koordinatalari mos birliklarga teskari proportsinal, ya’ni: (3) bo’ladi. Asosiy formulalar. Koordinatalari va bo’lgan A va B nuqtalar berilgan bo’lsa, AB kesmaning kattaligi (4) formula bilan xisoblanadi, ya’ni kesmaning kattaligi uning uchlari koordinatalarining ayirmasiga teng, bunda oxirigi nuqtaning koordinatasidan bosh nuqtaning koordinatasini ayrish kerak. Bu formula nuqtalarning har qanday vaziyatida ham to’g’ri bo’lgani uchun, kesmalar hamma vaqt to’g’ri belgilanishi, ya’ni birinchi o’ringa kesmaning boshini belgilovchi harf, ikkinchi o’ringa esa oxirini belgilovchi harf qo’yilishi kerak. Misol: va berilgan bo’lsa, u holda Agar va va nuqtalarningkoordinatalari bo ’ lsa , kesmaning uzunligi bo ’ ladi . agar to ’ g ’ ri chiziqda ikki nuqta , ya ’ ni va nuqtalar berilgan bo ’ lsa , u holda har qanday uchinchi nuqta kesmani biror aniq nisbatda bo ’ ladi ; biz uni harfi bilan belgilaymiz , ya ’ ni 12 bos h nuqtadan b o ' luvc h i nuqtagac h a b o ' lgan kesma kattaligi b o ' luvc h i nuqtadan oxirigi nuqtagac h a b o ' lgan kesma kattaligi . quyidagi formuladan hisoblab topiladi : (5) Agar bo ’ luvchi nuqta kesmaning ichida yotsa , musbat , tashqarisida yotsa , manfiy bo ’ ladi . Aksincha, nisbat berilgan bo’lsa, u holda bo’luvchi C nuqtaning koordinatasi (6) formula bilan topiladi. Agar va bo’lsa, u holda: (7) ya’ni kesma o’rtasining koordinatasi kesma uchlarining koordinatalari yig’indisining yarmiga teng. To’rtta A, B, C va D nuqtaning murakkab (algarmonik) nisbati deb ikki nisbatning nibatiga aytiladi: unda AB kesma birinchi nisbatda C nuqta bilan, ikkinchi nisbatda esa D nuqta bilan bo’linadi. Bu quyidagicha belgilanadi: Agar bo’lsa, u holda to’rta nuqta garmonik nuqtalar deb ataladi. Koordinata o‘qlarini parallel ko‘chirish Tekislikda Oxy to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi berilgan bo‘lsin. 13 4-chizma Koordinata o‘qlarini parallel ko‘chirish – bu Oxy sistemadan uning o‘qlari yo‘nalishlarini va masshtablarini o‘zgartirmasdan faqat koordinatalar boshining joylashishini o‘zgartirish orqali yangi O1x1y1 sistemaga o‘tishdir. Yangi O1x1y1 sistemaning koordinatalar boshi O1 eski Oxy sistemada (x0;y0) koordinata lar ga ega bo‘lsin, ya’ni O1(x0;y0) . Tekislik ixtiyoriy M nuqtasining Oxy sistemadagi koordinatalarini (x;y) bilan va O1x1y1 sistemadagi koordinatalarini (x';y') bilan belgilaymiz ( 4-chizma ). U holda ⃗OM = x⃗i+ y⃗j,⃗OO 1= x0⃗i+ y0⃗j,⃗O 1M = x'⃗i+y'⃗j. 4-chizmadan topamiz: ⃗OM =⃗OO 1+⃗O 1M . Bundan x⃗i+ y⃗j= x0⃗i+ y0⃗j+ x'⃗i+ y'⃗j yoki x= x0+ x',y= y0+ y'. (8) (8) formulalar M nuqtaning Oxy sistemadagi (x;y) koordinatalarini O1x1y1 sistemadagi (x';y') koordinatalar orqali topish imkonini beradi, va aksincha. Koordinata o‘qlarini burish Tekislikda Oxy to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi berilgan bo‘lsin. 14 Koordinata o‘qlarini burish – bu Oxy sistemadan uning koordinatalar boshini va o‘qlari masshtablarini o‘zgartirmasdan faqat koordinata o‘qlarini biror burchakka burish orqali yangi O1x1y1 sistemaga o‘tishdir. 5-chizma Umumiy O qutbga va Ox ,Ox 1 bir xil mashtabli qutb o‘qlariga ega bo‘lgan qutb koordinatalari sistemalarini kiritamiz. M nuqta Oxy sistemada (r;ϕ) koordinatalarga va Ox 1y1 sistemada (r;ϕ+α) koordinatalarga ega bo‘lsin (5-chizma). Qutb koordinatalaridan to‘g‘ri burchakli koordinatalarga o‘tish formulalaridan topamiz: ).sin(),cos(      ryrx Bundan , sin) sin ( cos) cos ( ) sin sin cos (cos         r r r x     y= r(sin ϕcos α+cos ϕsin α)= (rcos ϕ)sin α+(rsin ϕ)cos α, bu yerda x'= rcos ϕ,y'= rsin ϕ (5-chizma). Shu sababli x= x'cos α− y'sin α,y= x'sin α+ y'cos α. (9) (9) formulalar koordinata o‘qlarini burish formulalari deyiladi. Bu formulalar M nuqtaning Oxy sistemadagi (x;y) koordinatalarini O1x1y1 sistemadagi (x';y') koordinatalar orqali topish imkonini beradi va aksincha. 15 Agar yangi sistema eski sistemadan koordinata o‘qlarini avval parallel ko‘chirish va so‘ngra burish orqali hosil qilingan bo‘lsa, (8) va (9) formulalarni umumlashtirib, koordinata o‘qlarini parallel ko‘chirish va burish formulalarini hosil qilamiz: x= x0+ x'cos α− y'sin α ,y= y0+ x'sin α+ y'cos α . (10) Bundan x'= (x− x0)cos α+(y− y0)sin α,y'= (y− y0)cos α− (x− x0)sin α. (11) Misol. To‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasining o‘qlari A(5;−1) nuqtaga parallel ko‘chirilgan va α= 5 12 burchakka burilgan. Yangi sistemaga nisbatan B(3;3) nuqtalarning koordinatalarini topamiz. Misolning shartiga ko‘ra α= arctg 5 12 da cos α= 12 13 , sin α= 5 13 . U holda (11) formulalardan topamiz: x'= 12 (3− 5)+5(3+1) 13 = − 4 13 ,y'= 12 (3+1)− 5(3− 5) 13 = 58 13 , ya’ni B(− 4 13 ;58 13 ) . Tekislikda dekart koordinatalarini almashirish. Orientatsiya: Bir vektordan ikkinchisiga qisqa burish yo’nalishi soat strelkasi yo’nalishiga qarama – qarshi bo’lsa, bu vektorlar o’ng ikkilik, aks holda chap ikkilik tashkil qiladi deyiladi. Bazis sifaida biror ikkilik tanlansa, biz orientatsiya tanlab olingan deb hisoblaymiz. Bizga va ortonormal bazislar berilgan bo’lsin. Bu bazislar yordamida kiritilgan Dekart koordinatalar sistemasini mos ravishda Oxy va O'x'y' bilan belgilaylik. Nuqtaning ‘‘eski’’ va ‘‘yangi’’ koordinatalari orasidagi bog’lanishni topamiz. ‘‘Yangi’’ koordinatalar sistemasi markazini ‘‘eski’’ koordinata sistemasidagi koordinaalarini (a,b) bilan belgilaylik. 16 6-chizma Tekislikda M nuata berilgan bo’lib, uning Oxy va O'x'y' sistemalardagi koordinatalari mos ravishda (x,y) va (x',y') juftliklardan iborat bo’lsin. Biz quyidagi tengliklarga ega bo’lamiz: Har bir vektorni bazis orqali ifodalash mumkinligi uchun . (12) munosabatlarni hosil qilamiz. Bu ifodalarni tengliklarga qo’yib tenglikni hosil qilamiz. Bazis vektorlari chiziqli erkli oilani tashkil etganligi uchun yuqoridagi munosabatdan , , (13) formulalarni olamiz. Endi koeffitsientlarni toppish uchun ikkita holni qaraymiz.Birinchi hol: va bazislar bir xil orientatsiyaga ega. Bu holda agar φ bilan va vektorlar orasidagi burchakni belgilasak, va vektorlar orasidagi burchak ham ga teng bo’ladi. Yuqoridagi (1) tenglikni har ikkalasini va vektorlarga skalyar ko’paytirib, 17 formulalarni olamiz. Agar va bazislar har xil orientatsiyaga ega bo’lsa, va vektorlar orasidagi burchak ga teng bo’ladi. Bu holda (1) tengliklarning har birini va vektorlarga skalyar ko’paytirib formulalarni hosil qilamiz. Bu formulalarni (2) formulalarga qo’yib, mos ravishda quyidagi ikkita formulalarni olamiz: (14) Bu holda o’tish determinant uchun tenglik o’rinli. Ikkinchi holda bazislarning orientatsiyalari har xil va koordinatalarni almashtirish formulalari (15) ko’rinishda bo’ladi. Bu holda o’tish determinant uchun tenglik o’rinli bo’ladi. Demak, koordinatalar sistemasini almashtirganimizda o’tish matritsasining determinant musbat bo’lsa, orientatsiya o’zgarmaydi. Agar o’tish matritsasining determinant manfi bo’lsa, orientatsiya qarama–qarshi orientatsiyaga o’zgaradi. 18 II-BOB. FAZODA HARAKAT 2.1 -§ . Fazodagi harakat. Qaralayotgan bobda fazodagi eng soda almashtirishlar o’rganiladi. Fazodagi almashtirishlarni o’rganishda ishlatiladigan ta’rif va teoremalar tekislikdagi almashtirishlarni o’rganishda ishlatilgan ta’rif va teoremalarga o’xshash bo’ladi. Tekislikdagi almashtirishlarda kiritilgan tushuncha va terminlardan foydalanamiz. Fazoni almashtirish tushunchasi asosiy tushunchalardan biridir. Fazodagi nuqtalarini almashtirishda ixtiyoriy ikki A va B nuqtalar orasidagi masofa, ularning akslari A' va B' nuqtalar orasidagi masofaga teng bo’lsa, ya’ni ρ(A,B)=ρ(A',B') bo’lsa, u holda bunday almashtirish masofani o’zgartirmaydi deyiladi. Ta’rif. Fazodagi masofani o’zgartirmaydigan almashtirishni harakat yoki siljitish deyiladi. Ayniy almashtirish fazodagi eng soda harakatga misol bo’la oladi (Ayniy almashtirish fazoning har bir nuqtasini o’z-o’ziga o’tkazadi). Harakatga boshqa misollar ham keltiraylik. 1-misol. Fazoda ixtiyoriy ⃗p vektor berilgan bo’lsin. Fazoning ixtiyoriy N nuqtasiga ⃗NN '=⃗p Shartni qanoatlantiruvchi N' nuqta mos qo ’ yilsa , u holda bu almashtirishni ⃗p vektor qadar parallel ko ’ chirish deb ataladi . Teorema. Parallel ko’chirish harakatdir. 19 7-chizma Isbot. Fazoda M va N nuqtalar berilgan bo’lsin. M' va N' nuqtalar esa ularning akslari (obrazlari) bo’lsin, u holda ⃗MM '=⃗p , ⃗NN '=⃗p bo’ladi. Shuning uchun ⃗MM '=⃗NN ' vektorlarning tengligidan |⃗MN |=|⃗M 'N'| (7-chizma). 2-misol. Fazoda biror O nuqtani olib, fazoning ixtiyoriy M nuqtasini O nuqtaga nisbatan M' nuqtaga mos qo’yuvchi simmetrik akslantirishni qaraylik. Bu akslantirish almashtirish bo’lib, O nuqtaga nisbatan simmetrik (markaziy simmetriya yoki O nuqtadan qaytish) deyiladi. 3-masala. Fazodagi Τ tekislikni olib, fazoning ixtiyoriy M nuqtasini Τ tekislikka nisbatan simmetrik M' nuqtasiga akslantirishni olaylik (7-chizma). Bu akslantirishni Τ tekislikka nisbatan simmetrik almashtirish deyiladi. Teorema. Tekislikka nisbatan simmetrik almashtirish harakatdir. Isboti. To’g’ri burchakli koordinatalar sistemasining oxy koordinatalar tekisligi Τ tekislik bilan ustma-ust tushsin deylik. A(x1,y1,z1) va B(x2,y2,z2) fazoning ixtiyoriy nuqtalari A' va B' nuqtalar esa ularning simmetrik almashtirishdagi akslari (obrazlari) bo’lsin. T= xoy bo’lgani uchun A' va B' nuqtalar A'(x1,y1,−z1) , B'(x2,y2,−z2) koordinatalarga ega bo’ladi, u holda ikki nuqta orasidagi masofani toppish formulasidan foydalanib quyidagini topamiz. ρ(A',B')=√(x'2− x'1)2+(y'2− y'1)2+(z'2−z'1)2= ρ(A,B) . Demak, ρ(A',B')= ρ(A,B) . Bu esa tekislikka nisbatan simmetrik almashtirish harakat ekanligini bildiradi. Harakatning quyidagi xossalarini isbotlas hmumkin: 1  . Harakat tekisliklarni tekisliklarga, parallel tekisliklarni parallel tekisliklarga o’tkazadi. 2  . Harakat to’g’ri chiziqlarni to’g’ri chiziqlarga, parallel to’g’ri chiziqlarni parallel to’g’ri chiziqlarga o’tkazadi. 20 3  . Harakat ikki yoqli burchakni o’ziga tengikki yoqli burchakka o’tkazadi. 4  . Harakat uchta nuqtaning oddiy nisbat ini saqlaydi. 5  . Harakat to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasini to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasiga o’tkazadi. 2.2 -§ . Harakatning ikki turi. Invariant nuqta, to’g’ri chiziq va tekislik 1. Fazoda ikkita (O,⃗e1⃗e2⃗e3) va (O,⃗e'1⃗e'2⃗e'3) affin koordinatalar sistemasi bir xil oriyentirlangan (qarama-qarshi oriyentirlangan) bo’lishi uchun bazis ⃗e1,⃗e2,⃗e3 va ⃗e'1,⃗e'2,⃗e'3 bazis ve ktorlar bir xil yo’nalishga (qarama-qarshi yo’nalishga) ega bo’lishi kerak . Teorema. Fazodagi ixtiyoriy harakat yo fazo oriyentatsiyasini saqlaydi yoki oriyentatsiyasini o’zgartiradi. Bu teoremaning isboti tekislik uchun berilgan teorema isbotiga o’xshash bo’ladi. Shunday qilib, fazoda ikki tur harakat mavjud: birinchi fazo oriyentatsiyasini o’zgartirmaydigan, ikkinchisi fazo oriyentatsiyasini o’zgartiradigan harakat. Birinchi holdagi harakatni birinchi tur harakat, ikkinchi holdagi harakatni ikkinchi tur harakat deyiladi. 2. Fazoda ham invariantlik masalalari tekislikdagidek hal qilinadi. Agar fazo nuqtasi almashtirishda o’z-o’ziga o’tsa, bunday nuqtani fazoning invariant (qo’zg’almas) nuqtasi deyiladi. Shunga o’xshash to’g’ri chiziq (tekislik) almashtirishda o’zi-o’ziga o’tsa, invariant to’g’ri chiziq (tekislik) deyiladi. Xususan, invariant to’g’ri chiziqning hamma nuqtalari invariant nuqtalardan, invariant tekislikning hamma nuqtalari invariant nuqtalardan iborat bo’lishi mumkin. Fazoda L -harakat va Τ invariant tekislik berilgan bo’lsin. Bu harakatda invariant tekislikning ixtiyoriy nuqtasi yana shu tekislik nuqtasiga o’tadi, ya’ni Τ tekislikda L' akslantirish vujudga keladi, bu akslantirish harakatdan iborat 21 ekanligi ravshan, chunki masofani saqlaydi. Bu almashtirishni L -harakatning Τ tekislikka indutsirlangan (singdirilgan) harakati deyiladi. Harakatning turlarini aniqlash uchun zarur bo’ladigan uchta teoremani beramiz. 1-teorema. Agar harakat invariant nuqtaga ega bo’lmasa, u holda ixtiyoriy ikki invariant to’g’ri chiziqlari parallel bo’ladi. Isbot. Teskarisini faraz qilib isbotlaymiz. L - harakatning parallel bo ’ lmagan d1 va d2 invariant to ’ g ’ ri chiziqlari bo ’ lsin . U holda bu to ’ g ’ ri chiziqlar yo kesishadi yoki ayqash bo ’ ladi . Birinchi holda , M nuqta d1 va d2 to ’ g ’ ri chiziqlarning kesishgan nuqtasi L - harakatda M' nuqtaga o ’ tsin . Bu nuqta ham d1 to ’ g ’ ri chizig ’ ida , ham d2 to ’ g ’ ri chizig ’ ida yotadi , ya ’ ni M =M ' . Bu teorema shartiga ziddir (invariant nuqta yo’q). Ikkinchi holati d1 va d2 to’g’ri chiziqlar ayqash bo’lsin. Bu holda d1 va d2 to’g’ri chiziqlar umumiy AB perpendikulyarga ega bo’ladi. A∈d1 , B∈d2 . AB ikki to’g’ri chiziq orasidagi eng qisqa masofa, u holda L -harakatda A va B nuqtalar invariant nuqtalar bo’ladi, bu teorema shartiga ziddir. 8-chizma 2-teorema. Agar L -harakat invariant nuqtaga ega bo’lmay, lekin bir 22 tekislikda yotmaydigan kamida uchta parallel invariant to’g’ri chiziqlar mavjud bo’lsa, u holda L -harakat invariant to’g’ri chiziqqa parallel bo’lgan nol bo’lmagan vector qadar parallel ko’chirishdan iborat (8-chizma). 3-teorema. Fazodagi ixtiyoriy harakat kamida bitta invariant to’g’ri chiziqqa ega. Keyingi ikki teoremani isbotini o’quvchilarga havola qilamiz. 2.3 -§ . Fazoda harakatning klassifikatsiyasi Fazoda ikkita R(O,ABC) va R'(O',ABC) affinreperi (yoki affin koordinatalar sistemasi) berilgan bo’lsin. Agar bu reperlarning basis ⃗e1,⃗e2,⃗e3 va ⃗e'1,⃗e'2,⃗e'3 vektorlarining yo’nalishlari bir xil (qarama-qarshi) bo’lsa, R va R' reperlar oriyentatsiyasi bir xil (qarama-qarshi) deyiladi. Fazodagi harakat klassifikatsiyasi tekislikdagi harakat klassifikatsiyasiga o’xshash bo’ladi. Bu yerda ham harakatni klassifikatsiyalashda uning invariant nuqtalaridan foydalanamiz. 1. Fazodagi harakat bir to’g’ri chiziqda yotmaydigan kamida uchta invariant nuqtaga ega bo’lsin . A,B,C nuqtalar g-harakatning bir to’g’ri chiziqda yotmaydigan invariant nuqtalari, AD to’g’ri chiziq esa ABC tekislikka perpendikulyar to’g’ri chiziq bo’lsin. g-harakat ABC tekislik nuqtalarini yana shu tekislik nuqtalariga o’tkazishi ravshan, ya’ni bu tekislik invariant. Shuning uchun AD to’g’ri chiziq ham invariant. Demak D nuqta ham, uning obrazi D' nuqta ham AD to’g’ri chiziqda yotadi. g almashtirish D nuqtani A D=A D' shartni qanoatlantiruvchi D' nuqtaga o’tkazsin. Bunda quyidagicha ikki hol yuz berishi mumkin. 1) D' nuqta D nuqta bilan ustma-ust tushsin, u holda (ABC D) reperning uchlari o’z-o’ziga o’tadi. Demak, g ayniy almashtirishdir. 23 Ma’lumki, ayniy almashtirish birinchi tur harakatdir. 2) D va D' nuqtalar A nuqtaga simmetrik. g -almashtirishda R(ABC D) reper R'(ABC D') reperga o’tadi. Demak, g -almashtirish (ABC) tekislikka nisbatan simmetrik almashtirishdan iborat. Bizga ma’lumki tekislikka nisbatan simmetrik almashtirish - ikkinchi tur almashtirish bo’ladi. 2. Fazodagi harakat kamida ikkita invariant A,B nuqtalarga ega, lekin AB to’g’ri chizig’da yotmaydigan birorta ham invariant nuqtaga ega bo’lmasin. Bu holda A B=d to’g’ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi invariant nuqta bo’ladi. Haqiqatan ham, N AB to’g’ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi. N' nuqta esa uning aksi. Harakatda uchta nuqtaning oddiy nisbati o’zgarmaydi yani (AB,N)=(AB,N') . A,B nuqtalar invariant nuqtalar bo’lgani uchun N va N' nuqtalar ham ustma- usttushadi. Demak, N nuqta berilgan harakatning invariant nuqtasidir. Shunday qilib, AB to’g’ri chiziq nuqtalari invariant nuqtalardan iborat. AB to’g’ri chiziqqa uning biror P nuqtasiga Τ -perpendikulyar tekislik o’tkazaylik. (10-chizma). Ma’lumki Τ tekislik berilgan L harakatda invariant tekislik bo’ladi. Shuning uchun Τ tekislikda qandaydir g harakatni indutsirlaydi (singdiradi), ya’ni vujudga keltiradi. P nuqta bu harakatning qo’zg’almas nuqtasi bo’ladi. Demak, g harakat P nuqta atrofida biror ϕ burchakka (ϕ≠ 0) burishdan iborat. 2410- chizma 9- chizma L-harakat AB to’g’ri chiziq orqali o’tuvchi ixtiyoriy tekislikni ya’ni shu to’g’ri chiziq orqali o’tuvchi tekislikka o’tkazadi, u holda AB to’g’ri chiziqqa perpendikulyar har bir tekislikda aynan bir xil ϕ burchakka burishni indutsirlaydi (singdiradi), ya’ni paydo qiladi. Bu hosil qilingan harakatni fazodagi AB to’g’ri chiziq atrofida ϕ burchakka burish deyiladi. AB to’g’ri chiziqni burish o’qi, ϕ burchakni burish burchagi deyiladi. (10-chizma). Teorema. Fazodagi AB to’g’ri chiziq atrofidagi burish birinchi tur harakatdir. Bu teorema isbotini talabalarning o’zlariga tavsiya qilamiz. Fazodagi d to’g’ri chiziq atrofida π burchakka burish, d to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetriya deyiladi (11-chizma). Bu holda fazoning harbir M nuqtasiga d to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik bo’lgan M' nuqta mos keladi (11-chizma). ϕ= 0 burchakka burishni ayniy almashtirish deyiladi. 3. Bitta qo’zg’almas A nuqtaga ega bo’lgan harakat. Har qanday harakat uchinchi teoremaga ko’ra qo’zg’almas d to’g’ri chiziqqa ega. A nuqtaning invariant d to’g’ri chiziqqa qarashli ekanligi ravshan, aks holda A nuqtadan d to’g’ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyar asosi ham invariant nuqta bo’ladi. Buning bo’lishi shartga ko’ra mumkin emas. Invariant A nuqtadan o’tib, d to’g’ri chiziqqa perpendikulyar tekislikni Τ bilan belgilaylik. Τ tekislik L -harakatda invariant bo’lganligi tufayli, Τ tekislikda invariant nuqtasi A nuqtadan iborat g harakatni vujudga keltiradi. Bu harakat faqat bitta invariant A nuqtaga ega bo’lganligi uchun u A nuqta atrofida biror ϕ 25 12- chizma11 -chizma (ϕ≠ 0) burchakka burishdan iborat bo’ladi. Endi ortonormallashgan R(ABC D) reperni quyidagicha tanlab olaylik: B nuqta d to’g’ri chiziqda, C va D nuqtalar Τ tekislikda yotsin. B∈d nuqta qo’zg’almas nuqta emas, u holda B'=g(B) nuqta A nuqtaga nisbatan B nuqtaga simmetrik. Fazodagi L harakat R(ABC D) reperni R'(AB'C'D') reperga o’tkazadi. Shu bilan birga Τ tekislikdagi R1(AC D) reperni yo’nalishi bir xil bo’lgan R'1(AC'D') reperga o’tkazadi (12-chizma). Shuning uchun R va R' reperlar qarama-qarshi yo’nalishga ega bo’ladi. Bundan g harakat ikkinchi tur harakat ekanligi kelib chiqadi. Bu g harakatni burish simmetriyasi deyiladi. Bunda d to’g’ri chiziq, ϕ burchak, Τ tekislik va A nuqta mos ravishda burish simmetriyaning o’qi, burchagi, tekisligi va markazi deyiladi. Geometrik nuqtai nazardan burish simmetriyasi, d to’g’ri chiziq atrofida ϕ burchakka burish g1 bilan, Τ tekislikka simmetriya g2 ning ko’paytmasidan iborat. g= g2⋅g1 . Agar ϕ= π bo’lsa, burish simmetriyasi qo’zg’almas nuqtaga nisbatan simmetriya bo’ladi. 4. Harakatning bitta ham qo’zg’almas nuqtasi mavjud emas . g berilgan harakat, d -uning invariant to’g’ri chizig’i bo’lsin. Ma’lumki bu harakatning d dan boshqa invariant to’g’ri chizig’i mavjud bo’lsa, u d ga parallel bo’ladi. Bunda quyidagi uchta holning biri o’rinli bo’lishi mumkin. 1) Kamida uchta o’zaro parallel va birtekislikda yotmaydigan invariant to’g’ri chiziqlar mavjud. Bunda g harakat nol bo’lmagan ⃗p vector qadar parallel ko’chirishdan iborat bo’ladi. Buning invariant to’g’ri chiziqlari fazoning faqat ⃗p vektorga parallel bo’lgan to’g’ri chiziqlardan iborat bo’ladi. Ravshanki, parallel ko’chirish-birinchi tur harakatdir. 26 12- chizma 2) Kamida ikkita parallel invariant to’g’ri chiziqlar mavjud. Boshqa barcha invariant to’g’ri chiziqlar, agar ular mavjud bo’lsa, bu to’g’ri chiziqlar orqali o’tgan tekislikda yotadi. Bu holdagi g harakatni sirpanuvchi simmetriya deyiladi. g ning Τ tekislikka simmetriya bilan ⃗p≠⃗0 vektor qadar parallel ko’chirish ko’paytmasidan iborat ekanini isbotlash qiyin emas. Sirpanuvchi simmetriya – ikkinchi tur harakat. 3) Harakat faqat bitta d invariant to’g’ri chiziqqa ega. Buholda g harakatni vint harakati deyiladi. Bu g harakat, d to’g’ri chiziq atrofida ϕ≠ 0 burchak burish bilan, d to’g’ri chiziqqa parallel ⃗p≠⃗0 vektor qadar parallel ko’chirish ko’paytmasidan iborat ekanini isbotlash qiyin emas. Vint harakati – birinchi tur harakat. Shunday qilib, fazodagi harakatning olti xili mavjud bo’lib, ular quyidagi jadvalda keltirilgan: Birinchi tur harakat 1. ⃗p vektor qadar parallel ko’chirish. a) ⃗p≠⃗0 vector qadar parallel ko’chirish. b) ⃗p=⃗0 . Ayniy almashtirish. 2. To’g’ri chiziq atrofida ϕ burchakka burish. a) ϕ burchakka burish, buyerda ϕ≠ 0 va ϕ≠ π b) (ϕ= 0) . Ayniy harakat. v) (ϕ= π) . To’g’ri chiziqqa nisbatan simmetriya. 3. Vint harakati. Ikkinchi tur harakat 4 . Tekislikka nisbatan simmetriya. 27 ϕ≠ 0 burchakka burish simmetriya. a) ϕ≠ 0 va ϕ= π burchakka burish simmetriya. b) Nuqtaga nisbatan simmetriya (ϕ= π) . 5 . Sirpanuvchi simmetriya. 28 XULOSA Ushbu kurs ishini bajarish jarayonida men analitik geometriya fanining bo'limlaridan biri bo‘lgan fazodagi harakatlar mavzusini nazariy va amaliy jihatdan chuqur o‘rganishga harakat qildim. Ishni ikki asosiy bobga bo‘lib, har bir bobda matematik tushunchalarni aniqlik bilan yoritishga, ularni misollar, teoremalar va chizmalar orqali tushuntirdim. Birinchi bobda men fazodagi koordinatalar sistemalarini va ularning almashtirish usullarini tahlil qildim. Avvalo, to‘g‘ri burchakli, silindrik va sferik koordinatalar tizimlarining tuzilishi ko‘rib chiqdim. Ularning o‘zaro bog‘liqligini ifodalovchi formulalar, koordinatalar almashtirilganda yuzaga keladigan matematik munosabatlar, shuningdek, orientatsiya tushunchasi asosida burilish va parallel ko‘chirish jarayonlarini geometrik jihatdan o‘rganishga e’tibor qaratdim. Ikkinchi bobda esa fazodagi harakatlar turlari va klassifikatsiyasi keng yoritildi. Bu bobda men harakatning ikki asosiy turi — orientatsiyani saqlaydigan va orientatsiyani o‘zgartiradigan harakatlarni o‘zaro farqlab, ularning geometrik ifodasini misollar orqali ko‘rsatdim. Har bir harakat turining matematik modeli, invariant elementlari va ularni ajratib turuvchi xossalar asosida umumlashtirildi. Bundan tashqari, harakatlarni klassifikatsiyalash orqali men fazoviy harakatlarning umumiy ko‘rinishini tuzdim va ularni jadvallar orqali tizimlashtirdim. Bu yondashuv menga mavzuni faqat nazariy emas, balki amaliy jihatdan ham yaxshiroq tushunishga yordam berdi. Umuman olganda, kurs ishini yozish davomida men analitik geometriyaning fazodagi geometrik ifodalar, matematik izchillik va aniqlikni qanday ta’minlashi mumkinligini yaqqol angladim. Bu mavzu menga nafaqat ilmiy bilim berdi, balki fazoviy tafakkur, mantiqiy tahlil qilish, formulalarni to‘g‘ri qo‘llash kabi ko‘nikmalarni ham shakllantirdi.Kurs ishi yakunida mavzuning nafaqat nazariy, balki amaliy sohalarda – muhandislik, fizik modellashtirish, robototexnika kabi yo‘nalishlarda ham juda muhim ahamiyatga ega ekanligini tushundim. 29 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1. Dadajonov N.D., Jo`raеva M.Sh. Gеomеtriya. 1-qism. Toshkеnt. «O`qituvchi», 1996 yil. 2. Qori – Niyoziy. Analitik g е om е triya kursi. Toshk е nt. «O`qituvchi», 1975 yil . 3. Baxvalov S.V., Modеnov P.S., Parxomеnko A.S. Analitik gеomеtriyadan masalalar to`plami. Toshkеnt. «O`qituvchi», 2006 yil . 4. Nazarov X.X., Ochilova O.X., Podgornova Е.G. Gеomеtriyadan masalalar to`plami 1- qism. Toshkеnt. «O`qituvchi», 1993, 1997 yil . 5. I.Israilov, Z.Pashaev. Geometriyadan masalalar to’plami. Akademik litseylar va kasb-hunar kollejlari qo’llanma, 3-nashri. T. o’qituvchi, 2004 . 6. R.H Vafоev., J.H.Husanоv, Q.H Fayziev., Yu.Y Hamrоev- Algebra va analiz asоslari. Akademik litsey va kasb-hunar kоllejlari uchun o‘quv qo‘llanma sifatida tavsiya etilgan.-T. O‘qituvchi 7. X.Latipov, Sh.Tojiеv “Analitik gеomеtriya va chiziqli algеbra”, T.1995 “O’zbеkiston” 8. T.Shodiеv “Analitik gеomеtriya va chiziqli algеbra”, T.1984 “O’qituvchi” 9. Abduraxmonov, Maktabda geometriya tarixi. T. O’qituvchi. 1993 10. Dadajonov N.D. Geometriya 2-qism. Toshkent. O’qituvchi 1988 11. Elektron manbalar: 1) WWW.edu.uz . 2) WWW.google\mathnet\.com 3) https://lib.cspu.uz 30

Fazoda harakat. Fazoda harakatning ikki turi. Harakatning klassifikatsiyasi

Sotib olish