Fazoda tekislik va to`g`ri chiziqning o`zaro joylashuvi - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	787.7KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	05 Iyun 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

82 Sotish

Fazoda tekislik va to`g`ri chiziqning o`zaro joylashuvi

Sotib olish

O’ZBEKISTON RESPUBLIKA SI OLI Y TA’LIM
FA N VA IN N OVATSIYA LA R VA ZI RLI GI
Farg‘ona dav lat univ ersit et i
Fizik a-mat emat ik a fak ult et i
Mat emat ik a y o‘nalishi 24.01-guruh t alabasi
ning
Analit ik geomet riy a fanidan
“ Fazoda t ek islik v a t o` g` ri chiziqning o` zaro joy lashuv i”
mav zusidagi
KURS ISHI
Kurs ishi rahbari: Matematika kafedrasi
dotsenti
Farg‘ona-2025
MUN DA RI J A
KIRISH… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . 3
I-BOB. FAZODA TEK ISLIK HAQIDA UMUMIY TUSHUN CHA
1

1.1-§. Fazoda t ek islik t englamalari… … … … … … … … … … … … … … … … …
6
1.2-§. Fazoda t ek islik larning o` zaro joy lashuv i… … … … … … … … … … .
11
II-BOB. FAZODA TO` G` RI CHIZIQ VA TEKISLIK HAQIDA UMUMIY
MA ` LUMOTLA R… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..… … … 15
2.1-§. Fazodagi t o‘g‘ri chiziq t еnglamalari… … … … … … … … … … … … . 15
2.2-§. To’g’ri chiziq v a t ek islik ning o’zaro joy lashuv i… … … … … … … .
22
X ULOSA … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .… … … … … … … … … … 26
FOY DA LA N ILGAN ADA BIYOTLA R RO` Y HATI… … … … … .… … … … … … 28
2

Kirish
Geometriya qadim zamonlardan beri inson tafakkurining
rivojlanishida muhim o‘rin tutgan fanlardan biri hisoblanadi. Fazoda
figuralarning o‘zaro joylashuvi va ularning o‘zaro munosabatlarini
o‘rganish esa analitik geometriya fanining markaziy yo‘nalishlaridan
biridir. Ayniqsa, fazodagi tekisliklar va to‘g‘ri chiziqlarning o‘zaro
joylashuvi masalalari amaliyotda ko‘plab sohalarda — muhandislik,
qurilish, mexanika, fizika va informatika kabi fanlarda keng
qo‘llaniladi.
Fazoda to‘g‘ri chiziqlar va tekisliklar o‘zaro turlicha joylashishi
mumkin: ular bir-biriga parallel bo‘lishi, bir nuqtada kesishishi yoki
butunlay ustma-ust yotishi mumkin. Bu holatlarning har birini
aniqlash uchun maxsus matematik usullar ishlab chiqilgan bo‘lib,
ular to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamalari va tekislikning
umumiy tenglamasi asosida amalga oshiriladi.
Mazkur kurs ishida fazoda to‘g‘ri chiziq va tekisliklarning o‘zaro
joylashuviga oid asosiy nazariy tushunchalar, ularni tekshirish
usullari, hamda amaliy misollar orqali ularning mohiyati chuqur
tahlil qilinadi. Shuningdek, chiziq va tekislik orasidagi geometrik
aloqalarning qanday aniqlanishi, ular orasidagi burchaklarni topish
va kesish nuqtalarini hisoblash masalalari ham ko‘rib chiqiladi.
Bu mavzuni o‘rganish orqali talabalar fazodagi murakkab
geometrik shakllar bilan ishlash ko‘nikmalarini rivojlantiradilar,
analitik fikrlash qobiliyatlarini mustahkamlaydilar va real hayotdagi
amaliy masalalarni yechish uchun zarur bo‘lgan bilimlarga ega
bo‘ladilar.
Dolzarblik . Bugungi kunda ilm-fan va texnika jadal
rivojlanayotgan sharoitda fazoda jismlarning o‘zaro joylashuvini
aniqlash muammosi yanada dolzarb ahamiyat kasb etmoqda.
Muhandislik inshootlari qurilishi, aerokosmik texnologiyalar,
robototexnika, virtual haqiqat tizimlari va kompyuter grafikasi
3

sohalarida fazodagi to‘g‘ri chiziqlar va tekisliklarning o‘zaro holatini
aniqlash asosiy matematik asoslardan biri sifatida xizmat qiladi.
Shuningdek, sun’iy intellekt va avtomatlashtirilgan tizimlarda
makon elementlari o‘rtasidagi munosabatlarni modellashtirish va
tahlil qilish uchun fazodagi geometrik obyektlarning o‘zaro ta’sirini
to‘g‘ri tushunish zarur. Shuning uchun analitik geometriyada to‘g‘ri
chiziq va tekisliklarning o‘zaro joylashuvi haqidagi bilimlar
zamonaviy texnologiyalar asosini tashkil etadi va amaliy
muammolarni hal qilishda keng qo‘llaniladi.
Ilmiy y angilik lar. So‘nggi yillarda fazodagi to‘g‘ri chiziqlar va
tekisliklarning o‘zaro joylashuvi bilan bog‘liq masalalar raqamli
texnologiyalar yordamida chuqur o‘rganilmoqda. Xususan:
 Kompy ut er grafi k asi va 3D-modellasht irish sohalarida
tekislik va to‘g‘ri chiziqlarning o‘zaro ta’sirini tezkor hisoblash
uchun yangi algoritmlar ishlab chiqildi.
 Sun'iy int ellek t va av t onom t izimlar (masalan, o‘zini o‘zi
boshqaradigan transport vositalari) uchun fazodagi obyektlar
orasidagi masofalarni va kesishish nuqtalarini aniqlovchi ilg‘or
matematik modellardan foydalanilmoqda.
 Geomet rik opt imallasht irish va fazov iy t ahlil metodlari
yordamida tekisliklar va chiziqlar tizimining murakkab
konfiguratsiyalarini samarali boshqarish imkoniyati
kengaymoqda.
4

1.1-§. Fazoda t ek islik t englamalari
Tekislikning fazodagi o‘rni turli parametrlar bilan (masalan,
tekislikning koordinata o‘qlarida ajratgan kesmalari bilan) bir
qiymatli aniqlanishi mumkin. Shu sababli parametrlariga ko‘ta
tekislikning turli tenglamalari keltirib chiqariladi.
Tekislikda yotuvchi nuqta va to‘g‘ri chiziqqa
perpendikular bo‘lgan vеktor berilgan.
Tekislikka pеrpеndikular bo‘lgan har qanday vеktorga t ek islik ning
normal v еk t ori dеyiladi.
tеkislikning ixtiyoriy nuqtasini olamiz. va
nuqtalarning radius vektorlari mos ravishda va bo‘lsin.
U holda bo‘ladi (1.1.1-shakl).
1.1.1-shakl
va tekislik nuqtalari bo‘lgani uchun vector tekislikda
yotadi va tekislikning normal vektoriga perpendikular bo‘ladi, ya’ni
. Ikki vektorning perpendikularlik shartiga asosan tekislik
tenglamasini topamiz:
5

(1.1.1)
Bu tеnglamaga t ek islik ning v ek t or t еnglamasi dеyiladi.
(1.1.1) tenglamaga normal vektor va radius vektorlarning
koordinatalarini qo‘yib, topamiz:
(1.1.2)
Bu tеnglamaga tekislikning skalyar tеnglamasi dеyiladi.
Shuningdek, (1.1.2) tеnglamaga bеrilgan nuqtadan o‘tuvchi va
bеrilgan vеktorga pеrpеndikular tekislik tеnglamasi dеyiladi.
4.1-misol. nuqtadan o‘tuvchi va normal vektori
bo‘lgan tekislik tenglamasini tuzing.
Yechish. Masalaning shartiga ko‘ra

U holda (1.1.2) tenglamadan topamiz:
yoki
II. Tekislikda yotuvchi uchta , va
nuqta berilgan.
tеkislikda yotuvchi ixtiyoriy nuqtani olamiz va
vektorlarni yasaymiz.
6

1.1.2-shakl
Bundan , , vеktorlar komplanar bo‘ladi
(1.1.2-shakl). Vektorlarning komplanarlik shartidan topamiz:
(1.1.3)
(1.1.3) tеnglamaga bеrilgan uchta nuqtadan o‘tuvchi tеkislik
tеnglamasi dеyiladi.
(1.1.3) tenglamada belgilash kiritib, topamiz:
(1.1.4)
(1.1.4) tеnglamaga bеrilgan ikkita nuqtadan o‘tuvchi va
berilgan vektorga parallel tеkislik tеnglamasi dеyiladi.
Shu kabi (1.1.3) tenglamadan
belgilashlarda topamiz:
7

(1.1.5)
(1.1.5) tеnglamaga bеrilgan nuqtadan o‘tuvchi va bеrilgan ikki
vеktorga parallеl tеkislik tеnglamasi dеyiladi.
, va

1.1.3-shakl
nuqtalar tekislikni mos ravishda va o‘qlarda yotuvchi
nuqtalari, ya’ni , va bo‘lsin (1.1.3-shakl).
U holda (1.1.3) formulaga ko‘ra

bo‘ladi. Bundan , yoki
(1.1.6)
8

1.1.3- shakldan ko‘rinadiki, a, b va c mos ravishda tekislikning Ox , Oy
va Oz o‘qlarda ajratgan kesmalarini ifodalaydi. Shu sababli (1.1.6)
tеnglamaga tеkislikning kеsmalarga nisbatan tеnglamasi dеyiladi.
vektor yo‘nalishidagi proeksiyasi ga teng bo‘ladi, ya’ni
Bundan yoki
(1.1.7)
(1.1.7) tеnglamaga tekislikning normal tеnglamasi dеyiladi.
Keltirib chiqarilgan (1.1.1)-(1.1.7) formulalar asosida ushbu xulosa
kelib chaqadi: x, y, z o‘zgaruvchilarning har qanday birinchi
darajali tеnglamasi fazodagi biror tekislikni ifodalaydi va aksincha,
fazodagi har qanday tekislik x, y, z o‘zgaruvchilarning biror birinchi
darajali tеnglamasi bilan aniqlanadi.
Demak, tekislikdagi har bir tekislik tenglamasini
(1.1.8)
ko‘rinishda yozish mumkin, bu yerda D-ozod had;
(1.1.8) tеnglamaga tekislikning umumiy tеnglamasi dеyiladi.
(1.8) tenglamada:
1) bo‘lsa, tenglama ko‘rinishga keladi. Bunda
tekislikning normal vektori o‘qqa perpendikular
bo‘ladi. Shu sababli tekislik o‘qqa parallеl bo‘ladi. Shu kabi
da tenglama o‘qqa parallel tekislikni, da
tenglama o‘qqa parallel tеkislikni ifodalaydi;
2) bo‘lsa, tenglama ko‘rinishni oladi. Uni
nuqta koordinatalari qanoatlantiradi va tеkislik
koordinatalar boshidan o‘tadi;
9

3) , bo‘lsa, tenglamadan kelib chiqadi. Bu
tekislik o‘qdan o‘tadi. Shu kabi tenglama o‘qdan
o‘tuvchi tekislikni, tenglama o‘qdan o‘tuvchi tekislikni
ifodalaydi;
4) , bo‘lsa, tenglama yoki ko‘rinishni
oladi. Bu tekislik tеkislikka parallel bo‘ladi. Shu kabi
tenglama tеkislikka parallel tekislikni, tenglama
tеkislikka parallel tekislikni ifodalaydi;
5) , , bo‘lsa, tenglama yoki ko‘rinishga
keladi. Bu tenglama tekislikni ifodalaydi. Shu kabi tekislik
tenglama bilan, tekislik tenglama bilan aniqlanadi.
1.2-§. Fazoda t ek islik larning o` zaro joy lashuv i
Fazoda ik k i t ek islik ning o‘zaro joy lashishi. Ik k i t еk islik
orasidagi burchak . Ikki tеkislikning normal vеktorlari orasidagi
burchakka ikki tеkislik orasidagi burchak dеyiladi.

tenglamalar bilan bеrilgan , tekisliklar orasidagi burchak ga
teng bo‘lsin.
U holda va
bo’ladi
Ikki vektor orasidagi burchak kosinusi formulasidan topamiz:
Odatda ikki tekislik orasidagi burchak deyilganda 90
gradusdan oshmagan burchak tushuniladi. Shu sababli
10

(1.2.1)
Ik k i t ek islik ning pеrpеndik ularlik shart i.
bo‘lsin. U holda va (1.9) tenglikdan topamiz:
(1.2.2)
Ik k i t ek islik ning parallellik shart i.
va tekisliklar parallel bo’lsin. U holda va
vektorlar kollinear bo‘ladi. Ikki vektorning kollinearlik
shartidan ikki tekislikning parallеllik shartini topamiz:
(1.2.3)
Ik k i t еk islik ning ust ma-ust t ushishi.
va tekisliklar ustma-ust tushsin. U holda birinchidan ular
parallеl bo‘ladi. Ikki tekislikning parallellik shartidan topamiz:

yoki
(1.2.4)
Ikkinchidan tekislikning har bir nuqtasi, jumladan
nuqta tekislikda yotadi, ya’ni

Bu tengliklardan ikkinchisini ga ko‘paytiramiz va birinchi
tenglikdan ayiramiz:
11

Bundan (1.2.4) tengliklarni hisobga olsak yoki
bo’ladi
Demak,
(1.2.5)
(1.13) tengliklar tekisliklarning ustma-ust tushish shartini ifodalaydi.
N uqt adan t ek islik k acha bo‘lgan masofa. Nuqtadan
tekislikka tushirilgan pеrpеndikularning uzunligiga nuqtadan
tekislikkacha bo‘lgan masofa deyiladi.
nuqta va tenglama bilan tekislik
berilgan bo‘lsin. nuqtadan tekislikka tushirilgan
perpendikularning asosini bilan belgilaymiz
U holda nuqtadan tekislikkacha bo’lgan masofa
bo’ladi, bu yerda .
Ikki vektor skalyar ko‘paytmasining xossasiga ko‘ra
nuqta tekislikda yotgani sababli
ya`ni
bo`ladi.
12

Bundan
(1.2.6)
Shunday qilib, nuqtadan tekislikkacha bo‘lgan masofa (1.2.6)
formula bilan topiladi.
II-BOB. FA ZODA TO` G` RI CHIZI Q VA TEK ISLIK HAQIDA UMUMIY
MA ` LUMOTLA R
2.1-§. Fazodagi t o‘g‘ri chiziq t еnglamalari
To‘g‘ri chiziqning k anonik t englamasi. Analitik geometriyaning bir
qancha masalalarini yechishda fazodagi to‘g‘ri chiziqning kanonik
tenglamasi deb ataluvchi maxsus tenglama keng qo‘llaniladi. Bu
tenglamani keltirib chiqaramiz.
Fazoda biror to‘g‘ri chiziq berilgan bo‘lsin. Bu to‘g‘ri chiziqqa
parallеl bo‘lgan (yoki bu to‘g‘ri chiziqda yotuvchi) nolga teng
bo‘lmagan har qanday vektorga bu to‘g‘ri chiziqning yo‘naltiruvchi
vеktori dеyiladi.
Berilgan nuqtadan o‘tuvchi va yo‘naltiruvchi
vеktori bo‘lgan to‘g‘ri chiziq tеnglamasini tuzamiz.
Buning uchun to‘g‘ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasini olamiz
va vеktorni yasaymiz (2.1.1-shakl).
13

2.1.1-shakl
Bunda va vektorlar kollinear bo‘ladi. Ikki vektorning
kollinearlik shartidan topamiz:
(2.1.1)
Bu tengliklarni to‘g‘ri chiziqda yotuvchi har bir
nuqtaning koordinatalari qanoatlantiradi, va aksincha agar
nuqta to‘g‘ri chiziqda yotmasa uning koordinatalari (2.1.1)
tengliklarni qanoatlantirmaydi, chunki bunda va vektorlar
kollinear bo‘lmaydi. (2.1.1) tengliklarga to‘g‘ri chiziqning kanonik
tеnglamasi dеyiladi.
Bunda ixtiyoriy yo‘naltiruvchi vektorning
koordinatalari bu to‘g‘ri chiziqning yo‘naltiruvchi parametrlari va
vektorning yo‘naltiruvchi kosinuslari bu to‘g‘ri chiziqning
yo‘naltiruvchi kosinuslari deb ataladi.
To‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasidan uning boshqa
tenglamalarini keltirib chiqaramiz.
To‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasini
14

tеnglamalar sistеmasi dеb qarash mumkin.
Bu tеnglamalarning har ikkalasi birinchi darajali tеnglamalar
hisoblanadi, ya’ni tеkislik tеnglamalari bo‘ladi. Bundan fazodagi
to‘g‘ri chiziq ikkita parallеl bo‘lmagan tеkislikning kеsishisidan hosil
bo‘ladi dеgan xulosaga kеlish mumkin.
Shunday qilib, agar va tekisliklarning va
normal vektorlari kollinеar bo‘lmasa, bu tekisliklarning
kesishishidan hosil bo‘lgan to‘g‘ri chiziq quyidagi tеnglamalar
sistеmasi bilan ifodalanadi:
(2.1.2)
Bu tenglamalar sistеmaga to‘g‘ri chiziqning umumiy tеnglamalari
dеyiladi.
(2.1.2) umumiy tеnglamalari bilan berilgan to‘g‘ri chiziqning kanonik
tenglamasi quyidagi tartibda topiladi.
1. To‘g‘ri chiziqning biror nuqtasi topiladi. Buning uchun
avval noma’lum koordinatalardan biriga qiymat beriladi va
bu qiymat (2.1.2) tenglamalardagi mos o‘zgaruvchi o‘rniga qo‘yiladi,
keyin boshqa koordinatalar (2.1.2) sistеmani yechish orqali
aniqlanadi.
2. To‘g‘ri chiziqning yo‘naltiruvchi vektori topiladi. to‘g‘ri chiziq
va vеktorlarga pеrpеndеqulyar bo‘lgani uchun
bo‘ladi (2.1.1-shakl).
15

Bundan
(2.1.3)
vektor aniqlanadi.
3. Topilgan nuqta va vеktor asosida kanonik tеnglama tuziladi.
2.1 misol. tenglamani kanonik ko‘rinishga
keltiring.
Yechih. Misol shartiga ko‘ra:
To‘g‘ri chiziqning biror nuqtasini toppish uchun
deb olamiz. U holda
sistemadan , ekanini topamiz.
To‘g‘ri chiziqning yo‘naltiruvchi vektorini (2.1.3) formuladan topamiz:
nuqta va vеktorning koordinatalarini (2.1.1) tenglamaga
qo‘yamiz:
(2.1.1) tenglamada
belgilash kiritamiz. Bundan
16

(2.1.4)
tenglamalar kelib chiqadi, bu yerda - parametr.
(2.1.4) tenglamalarga to‘g‘ri chiziqning paramеtrik
tеnglamalari dеyiladi.
Ma’lumki, fazodagi chiziqning uchta parametrik (skalyar)
tenglamalarini bitta vektor tenglama bilan ifodalash mumkin.
Demak, (2.1.4) tenglamalarni
(2.1.5)
ko`rinishida yozish mumkin, bu yerda -mos
ravishda , nuqtalarning radius vektorlari;
- to‘g‘ri chiziqning yo‘naltiruvchi vektori (2.1.1-shakl).
(2.1.5) tеnglamaga to‘g‘ri chiziqning vеktor tеnglamasi dеyiladi.
Berilgan va nuqtalardan o‘tuvchi
to‘g‘ri chiziq tеnglamasini tuzamiz. Buning uchun to‘g‘ri chiziqning
yo‘naltiruvchi vektori sifatida
vеktorni olamiz va (3.5.1) tengliklardan
(2.1.6)
tengliklarni keltirib chiqaramiz.
Bu tengliklarga berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi to‘g‘ri chiziq
tеnglamasi deyiladi.
Fazoda ik k i t o‘g‘ri chiziqning o‘zaro joy lashishi. Ik k i t o‘g‘ri
chiziq orasidagi burchak
17

va tеnglamalari bilan
bеrilgan ikki va to‘g‘ri chiziqlar orasidagi burchak bo‘lsin.
Bunda to‘g‘ri chiziqlarning yo‘naltiruvchi vektorlari
ga va ular orasidagi burchak to‘g‘ri
chiziqlar orasidagi burchaklardan biriga teng, ya’ni bo‘ladi.
burchak kosinusini topamiz:
(2.1.7)
Ik k i t o‘g‘ri chiziqning pеrpеndik ularlik shart i. bo‘lsin.
U holda va (2.1.7) tenglikdan topamiz:
(2.1.8)
Bu tenglik ikki to‘g‘ri chiziqning perpendikularlik shartini
ifodalaydi.
Ik k i t o‘g‘ri chiziqning parallellik shart i. va to‘g‘ri
chiziqlar parallel bo‘lsin. U holda va
vektorlar kollinear bo‘ladi. Ikki vektorning kollinearlik shartidan ikki
to‘g‘ri chiziqning parallеllik shartini keltirib chiqaramiz:
(2.1.9)
Ik k i t o‘g‘ri chiziqning bir t еk islik da y ot ishi. va to‘g‘ri
chiziqlar bitta tеkislikda yotsin. - to‘g‘ri chiziqning
nuqtasi va - to‘g‘ri chiziqning nuqtasi bo‘lsin.
U holda
vеktorlar shu tеkislikda yotadi, ya’ni bu
vеktorlar komplanar bo‘ladi.
18

Vektorlarning komplanarlik shartiga ko‘ra topamiz:
(2.1.10)
Bu tenglik ikki to‘g‘ri chiziqning bir tekislikda yotishi shartini
ifodalaydi.
Ik k i t o‘g‘ri chiziqning ay qash bo‘lishi. va to‘g‘ri chiziqlar
ayqash bo‘lsa,
vеktorlar shu tеkislikda yotmaydi, ya’ni
komplanar bo‘lmaydi.
Shu sababli
(2.1.11)
bo‘ladi. Bu shart ikki to‘g‘ri chiziqning ayqash bo‘lishini belgilaydi.
Ik k i t o‘g‘ri chiziqning ust ma-ust t ushishi. va to‘g‘ri
chiziqlar ustma-ust tushsin. U holda bu to‘g‘ri chiziqlar
birinchidan parallel bo‘ladi va ikkinchidan
vеktor bu to‘g‘ri chiziqlardan birida,
masalan da yotadi.
Shu sababli
(2.1.12)
19

(2.1.12) tengliklar ikki to‘g‘ri chiziqning ustma-ust tushish shartini
ifodalaydi.
2.2-§. Fazoda t o‘g‘ri chiziq bilan t ek islik ning o‘zaro joy lashishi
To‘g‘ri chiziq bilan t еk islik orasidagi burchak . To‘g‘ri chiziq
bilan uning tеkislikdagi proеksiyasi orasidagi burchakka to‘g‘ri chiziq
bilan tеkislik orasidagi burchak dеyiladi.
to‘g‘ri chiziq bilan
orasidagi burchak bo‘lsin. U holda to‘g‘ri chiziqning yo‘naltiruvchi
vektori bilan tekislikning normal vektori
orasidagi burchak bo‘ladi (2.2.1-shakl)
.
2.2.1-shakl
tenglikni hisobga olib, topamiz:
(2.2.1)
20

bo‘lsin. U holda to‘g‘ri chiziqning yo‘naltiruvchi vektori
va tekislikning normal vektori vektorlar
kollinear bo‘ladi.
Bundan
(2.2.2)
to‘g‘ri chiziq bilan tеkislikning pеrpеndikularlik sharti kelib chiqadi.
To‘g‘ri chiziq bilan t еk islik ning parallellik shart i.
bo‘lsin. U holda, bo‘ladi.
Bundan
(2.2.3)
Bu tenglik to‘g‘ri chiziq bilan tеkislikning parallellik shartini
ifodalaydi.
To‘g‘ri chiziq bilan t еk islik ning k еsishishi. Agar
bo‘lmasa, u holda to‘g‘ri chiziq va tеkislik kеsishadi.
Shu sababli
(2.2.4)
bo‘ladi. Bu shart to‘g‘ri chiziq bilan tekislikning keshishishini
belgilaydi.
Shunday qilib, (2.2.4) shart bajarilsa to‘g‘ri chiziq bilan tekislik
qandaydir nuqtada kеsishadi. Bu nuqta bo‘lsin. U holda
nuqtaning koordinatalari to‘g‘ri chiziq va tekislikning
tenglamalarini qanoatlantiradi:
, (2.2.5)
(2.2.6)
21

Bu tenglamadan nuqtani topish quyidagi tartibda
amalga oshiriladi:
1 . (2.2.5) tenglama parametrik ko`rinishga keltiriladi:
(2.2.7)
2. va lar (2.2.6) tenglamaga qo‘yiladi va u t ga nisbatan
yechiladi;
3. t ning topilgan qiymati (2.2.7) tenglamalarga qo‘yiladi va
nuqta aniqlanadi.
To‘g‘ri chiziqning t еk islik da y ot ishi. to‘g‘ri chiziq
tеkislikda yotsin. U holda birinchidan bo‘ladi va ikkinchidan
to‘g‘ri chiziqning nuqtasi tеkislikda ham yotadi.
Shu sababli
(2.2.8)
(2.2.8) shart to‘g‘ri chiziqning tekislikda yotishini belgilaydi.
N uqt adan t o‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa.
nuqta va tenglama bilan to‘g‘ri chiziq berilgan
bo‘lsin. to‘g‘ri chiziq nuqtadan o‘tadi va
yo‘naltiruvchi vektorga ega bo‘ladi. nuqtadan to‘g‘ri
chiziqqacha bo‘lgan masofa bo‘lsin.
Izlanayotgan masofa va vektorlarga qurilgan
parallelogramm balandligining uzunligiga teng bo‘ladi (3.2-shakl).
22

2.2.2-shakl
Bu parallelogrammning yuzi ga teng.

kelib chiqadi.
X ulosa
Mazkur kurs ishida fazoda to‘g‘ri chiziq va tekisliklarning o‘zaro
joylashuvi masalasi har tomonlama o‘rganildi. Tahlillar natijasida
fazoda chiziq va tekislik orasida uch asosiy holat — chiziq tekislikda
yotishi, chiziq tekislikka parallel bo‘lishi va chiziq tekislikni kesib
o‘tishi — aniqlab berildi. Har bir holat uchun matematik shartlar va
ularni tekshirish metodlari asoslab berildi hamda amaliy misollar
orqali tasdiqlandi.
23

Fazoda to‘g‘ri chiziq va tekisliklarning o‘zaro joylashuvini
aniqlash, nafaqat nazariy geometriyada, balki amaliyotda ham
muhim ahamiyat kasb etadi. Chunki real hayotdagi ko‘plab
muhandislik va texnik masalalarda obyektlarning fazodagi aniq
pozitsiyasi va ular orasidagi o‘zaro munosabatlar asosiy rol o‘ynaydi.
Masalan, binolarni loyihalash, transport vositalarining harakatini
modellashtirish, sun’iy intellekt va robototexnika sohalarida fazoviy
tahlillar asosiy komponentlardan biridir.
Ushbu ish davomida analitik geometriya metodlari yordamida
fazodagi obyektlarning o‘zaro joylashuvini aniqlash uchun kerakli
nazariy bilimlar va amaliy ko‘nikmalar shakllantirildi. Ayniqsa,
parametrik va umumiy tenglamalar orqali chiziq va tekisliklarni
ifodalash, ularning vektorli xossalarini tahlil qilish va kesishish
nuqtalarini topish usullari o‘zlashtirildi.
Kelgusida bu mavzuni chuqurlashtirish uchun fazoviy
shakllarning o‘zaro murakkab konfiguratsiyalari, ko‘p tekislikli va
ko‘p chiziqli tizimlarning o‘zaro ta’siri, shuningdek, differensial
geometriya va algebraik geometriya metodlaridan foydalanish
istiqbollari mavjud. Bular esa analitik geometriyaning zamonaviy
rivojlanishiga xizmat qiladi va ilmiy-tadqiqot faoliyatiga keng
imkoniyatlar yaratadi.
Shu bilan birga, mavzuning amaliy ahamiyati dolzarb bo‘lib
qolmoqda, chunki har qanday yangi texnologik yechimlar, sun’iy
muhitda yaratilayotgan makon tuzilmalarining loyihalanishi fazoviy
geometrik bilimlarga asoslanadi. Demak, fazoda to‘g‘ri chiziq va
tekisliklarning o‘zaro joylashuvini o‘rganish zamonaviy ilm-fan va
texnika taraqqiyotining ajralmas qismi hisoblanadi.
 Diff erensial geomet riy a va t opologiy a metodlari orqali
fazodagi tekisliklar va chiziqlar tizimi yanada chuqurroq
o‘rganilib, yangi nazariy yondashuvlar ishlab chiqilmoqda.
Ushbu yo‘nalishlardagi ilmiy izlanishlar natijasida, analitik
geometriya uslublari nafaqat klassik masalalarni yechishda, balki
24

zamonaviy texnologik va ilmiy loyihalarning ajralmas qismi sifatida
ham rivojlanmoqda.
Foy dalanilgan adabiy ot lar
1. Abdukarimov A.A., To'laganov A.T. — Analitik geometriya va
chiziqli algebra, Toshkent: O‘zbekiston Milliy universiteti
nashriyoti, 2019.
2. Piskunov N.S. — Hisoblash matematikasi va geometriya
asoslari, Toshkent: O‘qituvchi nashriyoti, 1980.
3. Shreder E. — Analitik geometriya kursi, Moskva: Nauka, 1982.
4. Yusupov U. va boshqalar — Chiziqli algebra va analitik
geometriya, Toshkent: Fan nashriyoti, 2012.
5. Anton H., Rorres C. — Elementary Linear Algebra with
Applications, 11th Edition, John Wiley & Sons, 2014.
6. Stewart J. — Calculus: Early Transcendentals, 8th Edition,
Brooks/Cole Cengage Learning, 2016. (Fazoviy analitik
geometriya boblari)
7. Internet manbalari:
25

o https://mathworld.wolfram.com/Line-
PlaneIntersection.html
o https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/
vectors-and-spaces
26

Fazoda tekislik va to`g`ri chiziqning o`zaro joylashuvi

Sotib olish