Dokument ma'lumotlari

Narxi 12000UZS
Hajmi 286.1KB
Xaridlar 0
Yuklab olingan sana 19 Dekabr 2024
Kengaytma docx
Bo'lim Kurs ishlari
Fan Algebra

Sotuvchi

Bahrom

Ro'yxatga olish sanasi 05 Dekabr 2024

341 Sotish

Funksiya grafiklarini yasash va to’la tekshirish

Sotib olish
O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI __UNIVERSITETI Ro’yxatga olindi №__________ Ro’yxatga olindi №__________ “_____” ____________20 y. “_____” ____________20 y. “___________________________ “ KAFEDRASI “_____________________________ “ FANIDAN KURS ISHI Mavzu:________________ Bajardi:_________________________________ Tekshirdi:_______________________________ ______________ - 20___ Funksiya grafiklarini yasash va to’la tekshirish Mundarija Asosiy qism 1-§.Funksianing qavariqligi va botiqligi. 2-§.Funksiyani to‘la tekshirish va grafigini yasash 3-§.Funksiya grafigining botiqligi qavariqligi va egilish nuqtalari 4-§. Funksiya grafigining asimptotalari 5-§. Funksiyani tekshirish va grafigini chizishning umumiy sxemasi 6-§.O`suvchi va kamayuvchi funksiyalar. Xulosa Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati KIRISH Har nechuk ilmdan eshitsang bir so’z, Uni tinmay o’rgan kecha-yu, kunduz Abulqosim Firdavsiy. Kurs ishining dolzarbligi: D avlatimiz istiqboli,bozor iqtisodiyoti qonunlariga asoslangan jamiyat qurish sohasidagi ishlarning samaradorligi yuqori malakali, yuksak ma'naviyatli, rivojlangan mamlakatlar darajasida, raqobatbardosh mutaxassislar tayyorlash, barkamol avlodni shakllantirish muammosi bilan uzviy bog'liq. Birinchi Prezidentimiz I.A.Karimov tashabbusi bilan ishlab chiqilib, Oliy Majlisning IX sessiyasida qabul qilingan Kadrlar tayyorlash milliy dasturi, Ta'lim to'g'risidagi qonun, Vazirlar Mahkamasining umumiy o'rta ta'lim, akademik litseylar va kasb-hunar kollejlarini tashkil etish haqidagi va boshqa qarorlari shu maqsadlarni ro'yobga chiqarishga qaratilgan. Mamlakatimizda Kadrlar tayyorlash milliy dasturi‘ni bosqichma-bosqich va muvaffaqiyatli amalga oshirish ko'p jihatdan o'qituvchi faoliyati, uning kasbiy nufuzini oshirish bilan bog‘liqdir. Shunday ekan, sog‘lom va har tomonlama barkamol avlodni yetishtirish uzluksiz ta'lim tizimida mehnat qilayotgan pedagogning saviyasiga, tayyorgarligiga va fidoiyligiga, uning yosh avlodni o'qitish va tarbiyalash ishiga bo'lgan munosabatiga bog‘liqdir. Mustaqil O'zbekistonning kelajagi bo'lgan avlodni tarbiyalash nozik, nihoyatda katta diqqat- e'tiborni talab qiladigan, ichki ziddiyatli jarayondir. «Kadrlar tayyorlash milliy dasturi» asosida amalga oshirilayotgan ta'lim sohasidagi islohotlarning birinchi va ikkinchi bosqichlari vazifalari muvaffaqiyatli hal qilinib, uchinchi bosqichdagi o'zgarishlar davom etmoqda. Bu bosqichda o'quv- tarbiya ishlarini butunlay yangi asosda tashkil qilish, yuqori sifat ko'rsatkichiga erishish talab qilinadi. «Kadrlar tayyorlash milliy dasturi»da zamonaviy pedagogik texnologiyalarni joriy qilish va o'zlashtirish zarurligi ko'p marta takrorlanib, ularni o'quv muassasalariga olib kirish zarurati o‘qtirilgan. Nega bugungi kunga kelib, pedagogik texnologiyaga qiziqish shunchalik darajada kuchaydi, degan mulohaza tug'ilishi tabiiy. Jamiyatimizga qanchadan- qancha bilimli va malakali kadrlarni etishtirib kelgan pedagogikaning o'ziga xos uslublari mavjud. Pedagogik jamoatchilikning aksariyati mana shu yo'ldan bormoqda, ammo mustaqillik va kelajak sari intilayotgan jamiyatga bu yo'l kutilgan samara bilan xizmat qila olmaydi Resublikamiz ning birinchi Prezidenti Islоm Abdug’aniyevich Karimоv aytganlaridek «...mamlakatimizning bоy ilmiy - texnikaviy salоhiyatidan keng fоydalangan hоlda, yuksak texnоlоgiya va fan yutuqlariga asoslangan ishlab chiqarish sоhalari - avtоmоbilsоzlik, samоlotsоzlik, mikrоbiоlоgiya, elektrоtexnika va elektrоnika sanоatlarini telekоmmunikatsiya va zamоnaviy axbоrоt texnоlоgiya vоsitalarini tez sur’atlarda rivоjlantirish» uchun sabоq оlayotgan har bir shaxs o‘zi o‘rgangan ta’lim mazmunini chuqur anglashi, qayyerda va qanday tatbiq qilishni bilishi, hayotda esa o‘zi amaliyotga tatbiq qila оlishi kerak Darhaqiqat, barkamоl chuqur va atrоflicha bayon qilinishi hamda o‘rgatilishiga alоhida ahamiyat berish “Milliy dastur”da ko‘zda tutilgan asosiy maqsadni amalga оshirish bo‘yicha katta natija beradi. Shunday ekan, har jabhada muvaffaqiyatga erishish, jumladan yuqоri malakali kadrlar tayyorlashda milliy dasturni o’rni va ahamiyati beqiyosdir. Kurs ishining maqsadi: Dars davomida oquvchi va talabalarga mavzuni zamonaviy pedagogik texnalogiyalar orqali tushuntirish va bu orqali ta’lim sifatini oshirish. Kurs ishining ob’’ekti: Oliy va o’rta talim muassasalarida matematikani o’qitish jarayoni. Kurs ishining predmeti : Matematikani o’qitishda pedagogik texnalogiyalar,interfaol usullardan foydalanish. 1-§.Funksianing qavariqligi va botiqligi. Aytaylik f(x) funksiya x=x 0 nuqtada f’(x 0 ) hosilaga ega, ya’ni funksiya grafigining M(x 0 ,f(x 0 )) nuqtasidan novertikal urinma o‘tkazish mumkin bo‘lsin. Ta’rif . Agar x=x 0 nuqtaning shunday atrofi mavjud bo‘lib, y=f(x) egri chiziqning bu atrofdagi nuqtalarga mos bo‘lgan bo‘lagi shu egri chiziqqa M(x 0 ,f(x 0 )) nuqtasidan o‘tkazilgan urinmadan pastda (yuqorida) joylashsa, u holda f(x) funksiya x=x 0 nuqtada qavariq (botiq) deyiladi. Agar egri chiziq biror intervalning barcha nuqtalarida qavariq (botiq) bo‘lsa, u holda bu chiziq shu intervalda qavariq (botiq) deyiladi. 1-chizma 2-chizma 3-chizma 1-chizmada qavariq va 2-chizmada botiq egri chiziqlar chizilgan. Egri chiziq nuqtasining ordinatasini y bilan, shu egri chiziqqa M(x 0 ,f(x 0 )) nuqtasida o‘tkazilgan urinmaning x ga mos ordinatasini Y bilan belgilaylik. Ravshanki, agar x 0 nuqtaning biror atrofidan olingan 4-chizma barcha x lar uchun y-Y  0 ( y-Y  0) tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, u holda egri chiziq x=x 0 nuqtada qavariq (botiq) bo‘ladi. (3-, 4-chizmalar) 1-teorema. Faraz qilaylik, f(x) funksiya X oraliqda aniqlangan va x 0  X nuqtada ikkinchi tartibli hosilasi mavjud bo‘lsin. Agar f’’(x 0 ) >0 bo‘lsa, u holda funksiya grafigi x 0 nuqtada botiq; agar f’’(x 0 ) <0 bo‘lsa, u holda funksiya grafigi x 0 nuqtada qavariq bo‘ladi. Isboti. Faraz qilaylik f’’(x 0 ) >0 bo‘lsin. Quyidagicha yordamchi funksiya kiritamiz: F(x)=y-Y , ya’ni F(x)=f(x)-f(x 0 )-f’(x 0 )(x-x 0 ). Ravshanki F(x 0 )=0, F’(x)=f’(x)-f’(x 0 ), F’’(x)=f’’(x) bo‘ladi. Bundan F’(x 0 )=f’(x 0 )-f’(x 0 ) =0 va F’’(x 0 )=f’’(x 0 ) >0 ekanligi kelib chiqadi. Demak, (ekstremum mavjudligining yetarli shartiga ko‘ra) x 0 nuqta F(x) funksiyaning minimum nuqtasi bo‘ladi, ya’ni x 0 nuqtaning biror atrofida F(x)  F(x 0 )= 0 bo‘ladi. F(x)=y-Y bo‘lganligidan y  Y tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Bu esa x 0 nuqtaning aytilgan atrofida funksiya grafigi urinmadan yuqorida joylashishini, ya’ni funksiya grafigi x 0 nuqtada botiq bo‘ladi. Teoremaning ikkinchi qismi shunga o‘xshash isbotlanadi. Agar biror intervalda f’’(x) >0 ( f’’(x) <0 ) bo‘lsa, u holda y = f(x) egri chiziq shu intervalda botiq (qavariq) bo‘ladi. Misol. Ushbu y=x 5 funksiya grafigining botiqlik, qavariqlik oraliqlarini aniqlang. Yechi li sh i . Funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasini topamiz: y’’=20x 3 . Bundan, agar x>0 bo‘lsa, y’’>0, agar x<0 bo‘lsa y’’<0 bo‘ladi. Demak, (-  ;0) oraliqda egri chiziq qavariq, (0;+  ) oraliqda esa botiq bo‘ladi. 2-§.Funksiyani to‘la tekshirish va grafigini yasash Funksiyaning xossalarini tekshirish va uning grafigini yasashda q uyidagilarni bajarish ma q sadga muvofi q : 1) Funksiyaning aniqlanish sohasi va uzilish nuqtalari topiladi; funksiyaning chegaraviy nuqtalaridagi qiymatlari (yoki unga mos limitlari) hisoblanadi. 2) Funksiyaning toq-juftligi, davriyligi tekshiriladi. 3) Funksiyaning nollari va ishora turg‘unlik oraliqlari aniqlanadi. 4) Asimptotalar topiladi. 5) Funksiya ekstremumga tekshiriladi, uning monotonlik oraliqlari aniqlaniladi. 6) Funksiya grafigining burilish nuqtalari, qavariqlik va botiqlik oraliqlari topiladi. Misollar 1. y=x(x 2 -1) funksiyani tekshiring va grafigini chizing. Yechilishi . 1) aniqlanish sohasi - haqiqiy sonlar to‘plami. Uzilish nuqtalari yo‘q. Funksiyaning chegaraviy qiymatlari: lim x→+∞ x(x 2 -1)=+  ; lim x→−∞ x(x 2 -1)=-  ; 2) funksiya davriy emas, toq funksiya 3) funksiyaning uchta noli bor: x =0; x =-1; x =1. Ushbu x(x 2 -1)> 0 tengsizlikni yechamiz, uning yechimi (-1,0)  (1,+  ) t o‘plamdan iborat. Demak, funksiya (-1,0)  (1,+  ) to‘plamda musbat va (-  ,-1)  (0,1) to‘plamda manfiy qiymatlar qabul qiladi. 4) og‘ma asimptotaning burchak koeffitsientini topamiz: k = lim x→∞ y x = = lim x→∞ ( x 2 -1)=  . Demak, og‘ma asimptota mavjud emas. Vertikal asimtotalar ham mavjud emas (chunki, uzilish nuqtalari yo‘q). 5) Funksiya hosilasini topamiz: y’=3x 2 -1. Hosilani nolga tenglashtirib statsionar nuqtalarini topamiz: y’ =0 yoki 3x 2 -1=0, bundan x =-1/√3 , x =1/ √3 . Ushbu ( 3 9-a-chizma) sxemani chizamiz, va intervallar metodidan foydalanib funksiya h osilasining ishoralarini ani ы laymiz. Bundan funksiya(-  ,-1/ √3 ) va (1/ √3 ,+  ) intervallarda monoton o‘suvchi, ( -1/ √3 , 1/ √3 ) intervalda monoton kamayuvchi; x =-1/ √3 nuqtada maksimumga, x =1/ √3 nuqtada minimumga ega ekanligi kelib chiqadi. Ekstremum nuqtalarida funksiya qiymatlarini hisoblaymiz: agar x max =-1/ √3 bo‘lsa, u holda y max = 2/(3 √3 ); agar x min = 1/ √3 bo‘lsa, u holda y min =-2/(3 √3 ) bo‘ladi. 6) Ikkinchi tartibli hosilani topamiz: y’’=6x. Ikkinchi tartibli hosilani nolga tenglashtirib y’’=6x =0, x =0 ekanligini topamiz. Sxemani (3 9 -b-chizma) chizamiz va hosil bo‘lgan intervallarda ikkinchi tartibli hosila ishoralarini aniqlaymiz. Bundan x =0 nuqtada burilish mavjud, (-  ;0) da funksiya grafigi qavariq, (0;+  ) da botiq ekanligini topamiz. Burilish nuqtasi ordinatasini topamiz: u (0)=0. Funksiya grafigi 39– c -chizmada keltirilgan. 2. y = √ x+√4− x funksiyani tekshiring va grafigini chizing. Yechilishi . 1) Aniqlanish sohasi – [0,4] kesma. Funksiyaning chegaraviy qiymatlarini topamiz: agar x =0 bo‘lsa, u holda u= 2; agar x =4 bo‘lsa, u =2. 5-chizma Funksiyaning uzilish nuqtalari yo‘q. 2) Funksiya toq ham, juft ham emas, davriy ham emas. 3) funksiyaning nollari yo‘q, 4) Og‘ma asimptotalari yo‘q, chunki aniqlanish 6-chizma 7-chizmasohasi kesmadan iborat. 5) Hosilasini topamiz: y'= √4− x− √x 2√x⋅√4− x .Hosilani nolga tenglashtirib, kritik (statsionar) nuqtanitopamiz: x =2. 40-chizmadagi sxemani chizamiz. Bundan funksiya (0,2) intervalda o‘suvchi, (2,4) intervalda kamayuvchi, x =2 nuqtada funksiya maksimumga erishishi kelib chiqadi. Maksimum nuqtasining ordinatasi y max =2 √2 . 6) Ikkinchi tartibli hosilani topamiz: y''= − 1 4 ⋅(4− x)3/2+ x3/2 x3/2(4− x)3/2 . (0,4) intervalda ikkinchi tartibli hosila manfiy, demak bu intervalda funksiya grafigi qavariq bo‘ladi. Funksiya grafigi 5–chizmada chizilgan. Shuni aytib o‘tish kerakki, lim x→0+ y=+ ∞ , lim x→4−0 y= − ∞ bo‘lganligi sababli, funksiya grafigi (0,2) nuqtada ordinatalar o‘qiga, (4,2) nuqtada x =4 to‘g‘ri chiziqqa urinadi. 3. y=x x . funksiyani tekshiring va grafigini chizing. Yechilishi . Avval funksiyani quyidagicha yozib olamiz: y=x x =e xlnx . 1) funksiyaning aniqlanish sohasi barcha musbat sonlar to‘plami. Chegaraviy qiymatlari: lim x→0+ e xlnx =1, lim x→+∞ e xlnx =+  . Uzilish nuqtalari yo‘q. 2) Funksiya juft ham, toq ham, davriy ham emas. 3) Funksiyaning nollari mavjud emas. 4) Og‘ma asimptotasini izlaymiz: k = lim x→+∞ exlnx x =+  , demak og‘ma asimptota yo‘q. 5) Hosilasini topamiz: y’=x x (lnx+1).y’ =0 tenglamadan x=e -1  0,367. funksiya (0,1/e) intervalda kamayuvchi, (1/e,+  ) intervalda o‘suvchi bo‘ladi. x=e -1 nuqtada funksiya minimumga ega, uning ordinatasi y min =0,692 . 6) Ikkinchi tartibli hosilani topamiz: y’’=x x ((lnx+1) 2 +1/x). Ikkinchi tartibli hosila (0,+  ) intervalda musbat, demak funksiya bu intervalda botiq. Funksiyaning x =0 nuqta atrofida tekshiramiz. limx→0+ y’= limx→0+ x x (lnx+1)=-  , bundan funksiya grafigi (0,1) nuqtada ordinatalar o‘qiga urinishi kelib chiqadi. Funksiya grafigi 7–chizmada berilgan. 8 - chizma 4. f(x)=x+ln(x 2 -1) funksiyani to‘la tekshiring va grafigini chizing. Yechish . 1) Funksiya x 2 - 1>0, ya’ni (-  ;-1) va (1;+  ) oraliqlarda aniqlangan va uzluksiz. Funksiyaning chegaraviy qiymatlarini izlaymiz: lim x→−1−0f(x)= lim x→−1−0 (x+ln(x 2 -1))=-  ; lim x→1+0 f(x)= lim x→1+0 (x+ln(x 2 -1))=-  . Demak, funksiya grafigi ikkita x =-1 va x =1 vertikal asimptotalarga ega. 2) funksiya toq ham, juft ham, davriy ham emas. 3) funksiya (-  ,-1) intervalda manfiy, (1,+  ) intervalda yagona noli mavjud, uni topish uchun taqribiy hisoblash metodlaridan foydalaniladi, natijada x 0  1,15 ekanligini aniqlashimiz mumkin. Demak, funksiya (1;1,15) intervalda manfiy, (1,15, +  ) oraliqda musbat. 4) Og‘ma asimptotalarini izlaymiz: k = lim x→±∞ y x = lim x→±∞ (1+ ln (x2− 1) x )=1, b= lim x→±∞ ( y-kx )= lim x→±∞ ln(x 2 - 1)=+  , demak og‘ma asimptota mavjud emas. 5) Funksiya hosilasi y’=1+2x/(x 2 -1) funksiyaning aniqlanish sohasida mavjud, shu sababli uning kritik nuqtalari faqat statsionar nuqtalardan iborat bo‘ladi. Bunda y’ =0 tenglama yechimlari x 1 =-1- √2 va x 2 =-1+ √2 bo‘lib, x 2 =-1+ √2 funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli emas. Shunday qilib, yagona kritik nuqta mavjud va (-  ;-1) oraliqqa tegishli. (1;+  ) oraliqda y’ >0 va funksiya o‘suvchi bo‘ladi. x 1 =-1- √2 nuqtada maksimum mavjud. Uning ordinatasi f (-1- √2 )=-1- √2 + ln( 2+2 √2 )  -0,84 ga teng. 6) Ikkinchi tartibli hosilani topamiz: y’’ =- 2(x2+1) (x2− 1)2 . Bundan y’’ <0, demak grafik qavariq. Funksiya grafigi 8-chizmada berilgan. 3-§.Funksiya grafigining botiqligi qavariqligi va egilish nuqtalari funksiya intervalda differensiallanuvchi bo‘lsin. U holda funksiya grafigining , nuqtada urinmasi mavjud bo‘ladi. 2-ta’rif . Agar intervalning istalgan nuqtasida funksiya grafigi unga o‘tkazilgan urinmadan yuqorida (pastda) yotsa, funksiya grafigi intervalda botiq ( qavariq ) deyiladi. Funksiya grafigining botiq qismini qavariq qismidan ajratuvchi nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasi deb ataladi (14-shakl). 5-teorema . Agar funksiya intervalda ikkinchi tartibli hosilaga ega va da bo‘lsa, u holda funksiya grafigi intervalda qavariq (botiq) bo‘ladi. Isboti. da bo‘lsin. Funksiya grafigida abssissali ixtiyoriy nuqta olamiz (15-shakl). Funksiyaning grafigi bu urinmadan pastda yotishini ko‘rsatamiz. Buning uchun nuqtada egri chiziqning ordinatasi bilan urinmaning ordinatasini solishtiramiz. Urinma tenglamasini tuzamiz: yoki U holda Lagranj teoremasiga ko‘ra bu yerda bilan ning orasida yotadi. Shu sababli yoki . ayirmaga Lagranj teoremasini takror qo‘llaymiz: bu yerda bilan ning orasida yotadi. Demak, Bu tengsizlikni tekshiramiz: 1) agar bo‘lsa, u holda bo‘ladi va . Bundan yoki ; 2) agar bo‘lsa, u holda bo‘ladi va . Bundan yoki . Demak, da urinmaning ordinatasi funksiya grafigining ordinatasidan katta bo‘ladi va interval da funksiya grafigi qavariq. da funksiya grafigi botiq bo‘lishi shu kabi isbotlanadi. Funksiya grafigining egilish nuqtasini topish quyidagi teoremalarga asoslanadi. 6-teorema ( egilish nuqta mavjud bo‘lishining zaruriy sharti ). Agar funksiya intervalda uzluksiz ikkinchi tartibli hosilaga ega va nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasi bo‘lsa, u holda bo‘ladi. Isboti. Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni , aniqlik uchun , bo‘lsin. Teoremaning shartiga ko‘ra ikkinchi tartibli hosila uzluksiz. U holda hosila nuqtaning biror atrofida musbat bo‘ladi va funksiya grafigi bu atrofda botiq bo‘ladi. Bu nuqta egilish nuqtaning abssissasi bo‘ladi mulohazasiga zid. Demak, qilingan faraz noto‘g‘ri va . bo‘ladigan nuqtalarning barchasi ham funksiya grafigining egilish nuqtasi bo‘lmaydi. Masalan, funksiya grafigining nuqtasi egilish nuqta emas, ammo da . Demak, shart egilish nuqta mavjud bo‘lishining zaruriy sharti bo‘ladi. 7-teorema ( egilish nuqta mavjud bo‘lishining etarli sharti ) funksiya nuqtaning biror atrofida ikkinchi tartibli hosilaga ega bo‘lsin. Agar atrofning nuqtadan chap va o‘ng tomonlarida hosila har xil ishoraga ega bo‘lsa, u holda nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasi bo‘ladi. Isboti. da , da bo‘lsin . U holda 5-teoremaga ko‘ra nuqtadan chapda funksiya grafigi botiq va o‘ngda qavariq bo‘ladi. Demak, nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasi bo‘ladi. da va da bo‘lgan hol uchun teorema shu kabi isbotlanadi. Bu teorema funksiya nuqtaning biror atrofida ikkinchi tartibli hosilaga ega bo‘lib, nuqtada mavjud bo‘lmasa ham o‘rinli bo‘ladi. Shu sababli egilish nuqtalarni ikkinchi tartibli hosila nolga teng bo‘lgan yoki uzilishga ega bo‘lgan nuqtalar, ya’ni ikkinchi tur kritik nuqtalar orasidan izlash kerak. Misol funksiya grafigini botiq va qavariqlikka tekshiramiz. Ikkinchi tartibli hosila nuqtalarda nolga teng va mavjud emas. hosilaning bu nuqtalardan chapdan o‘ngga o‘tishdagi ishoralarini tekshiramiz: Demak, funksiyaning grafigi va intervallarda qavariq, va intervallarda botiq bo‘ladi. nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasi bo‘ladi. 4-§. Funksiya grafigining asimptotalari Egri chiziqning asimptotasi deb shunday to‘g‘ri chiziqqa aytiladiki, egri chiziqda yotuvchi nuqta egri chiziq bo‘ylab harakat qilib koordinata boshidan ch е ksiz uzoqlashgani sari nuqtadan bu to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa nolga intiladi. Bunda nuqta asimptotaga juda yaqinlashib boradi, l е kin uni k е sib o‘tmaydi (16-shakl). Uch turdagi , ya ’ ni vertikal , gorizontal va og‘ma asimptotalar mavjud . Agar y oki limitlardan hech bo‘lmaganda bittasi cheksiz bo‘lsa , to‘g‘ri chiziqqa funksiya grafigining vertikal asimptotasi deyiladi . Masalan , funksiya grafigi uchun to‘g‘ri chiziq   vertikal asim ptota , chunki va . Agar shunday va sonlari mavjud bo‘lib, da funksiya ko‘rinishda ifodalansa to‘g‘ri chiziqqa funksiya grafigining og‘ma asimptotasi deyiladi . 8-teorema . funksiya grafigi og‘ma asimptotaga ega bo‘lishi uchun , bo‘lishi zarur va etarli. Isboti. Zarurligi. funksiya grafigi og‘ma asimptotaga ega bo‘lsin. U holda og‘ma asiimptotaning ta‘rifiga ko‘ra bo‘ladi. Bundan , ke lib с hiqadi. Etarliligi. , bo‘lsin. U holda dan ke lib с hiqadi. Demak, da bo‘ladi. Bu esa to‘g‘ri chiziq funksiya grafigining asimptotasi ekanini bildiradi . Agar , limitlardan hech bo‘lmaganda bittasi mavjud bo‘lmasa yoki cheksiz bo‘lsa, funksiya grafigi og‘ma asimptotaga ega bo‘lmaydi. Agarr bo‘lsa, bo‘ladi. Bunda to‘g‘ri chiziqqa funksiya grafigining gorizontal asimptotasi deyiladi . Izoh. funksiya grafigining asimptotalari da va da har xil bo‘lishi mumkin. Shu sababli , limitlarni aniqlashda va hollarini alohida qarash lozim. Misol funksiya grafigining asimptotalarini topamiz. . Demak ,   to‘g‘ri chiziq vertikal asimptota . , , Bundan . Demak, to‘g‘ri chiziq   og‘ma asimptota. 5-§. Funksiyani tekshirish va grafigini chizishning umumiy sxemasi Funksiyani tekshirish va grafigini chizish ma’lum tartibda (sxema asosida) bajariladi. Shunday sxemalardan birini keltiramiz. Funksiyaning aniqlanish sohasini topish. Funksiya grafigining koordinata o‘qlari bilan kesishadigan nuqtalarini (agar ular mavjud bo‘lsa) aniqlash. Funksiyaning ishorasi o‘zgarmaydigan oraliqlarni ( yoki bo‘ladigan oraliqlarni) aniqlash. Funksiyaning juft - toqligini tekshirish. Funksiya grafigining asimptotalarini topish. Funksiyaning monotonlik oraliqlarini aniqlash va ekstremumlarini topish. Funksiyaning qavariqlik va botiqlik oraliqlarini hamda egilish nuqtalarini aniqlash. bandlardagi tekshirishlar asosida funksiyaning grafigi chiziladi. Keltirilgan sxemaning hamma bandlari albatta bajarilishi shart emas. Soddaroq hollarda keltirilgan bandlardan ayrimlarini, masalan ni bajarish etarli bo‘ladi. Agar funksiya grafigi juda tushunarli bo‘lmasa bandlardan keyin funksiyaning davriyligini tekshirish, funksiyaning bir nechta qo‘shmcha nuqtalarini topish va funksiyaning boshqa xususiyatlarini aniqlash bo‘yicha qo‘shmcha tekshirishlar o‘tkajish mumkin. Misollar 1. funksiyani tekshiramiz va grafigini chizamiz. Funksiyaning aniqlanish sohasi: da bo‘ladi. Funksiya o‘qini nuqtada kesadi. bo‘lgani uchun funksiya o‘qini kesmaydi. Funksiya va intervallarda musbat ishorali va interval-da manfiy ishorali. Funksiya uchun bo’ladi. Demak, u juft. Demak , va   to‘g‘ri chiziqlar vertikal asimptotalar bo‘ladi. ( da ham da ham ), Demak, to‘g‘ri chiziq   da ham da ham gorizontal asimptota bo‘ladi. Funksiyaning monotonlik oraliqlarini aniqlaymiz va ekstremumlarini topamiz. . Birinchi tartibli hosila v a da mavjud emas va d a nolga teng. Bu nuqtalar berilgan funksiyaning aniqlanish sohasini to‘rtta int er vallarga ajratadi. Hosilaning bu intervallardagi va ha r bir birinchi tur kritik nuqtadan chapdan o‘ngga o‘tishdagi ishoralarini chizmada belgilaymiz: Demak, funksiy a intervalda o‘sadi va intervalda kamayadi. maksimum nuqta, . Funksiyaning qavariqlik va botiq-lik oraliqlarini hamda egilish nuqtalarini aniqlaymiz. Ikkinchi tartibli hosila va nuqtalarda mavjud emas. hosilanin g intervallardagi va har bir ikkinchi tur kritik nuqtalardan chapdan o‘ngga o‘tishdagi ishoralarini tekshiramiz: Demak, funksiyaning grafigi intervalda qavariq, va intervallarda botiq bo‘ladi. Funksiya grafigining egilish nuqtasi yo‘q. bandlar asosida funksiya grafigini chizamiz (17-shakl). 2. funksiyani tekshiramiz va grafigini chizamiz. Funksiyaning aniqlanish sohasi: da bo‘ladi. Funksiya va o‘qlarini nuqtada kesadi. Funksiya va intervallarda musbat ishorali. Funksiya uchun va bo‘ladi. Demak, u umumiy ko‘rinishdagi funksiya. Funksiya aniqlanish sohasida uzluksiz bo‘lgani uchun u vertikal asimptotaga ega emas. . Demak, da to‘g‘ri chiziq gorizontal assimptota. Demak, da funksiya assimptotaga ega emas. Funksiyaning monotonlik intervallarini aniqlaymiz va ekstremumlarini topamiz. Hosila va da nolga teng. Bu nuqtalar berilgan funksiyaning aniqlanish sohasini uchta intervallarga ajratadi. Hosilaning bu intervallardagi va har bir birinchi tur kritik nuqtadan chapdan o‘ngga o‘tgandagi ishoralarini chizmada belgilaymiz: Demak, funksiya intervalda o‘sadi va va intervallarda kamayadi. minimum nuqta, va maksimum nuqta Funksiyaning qavariqlik va botiqlik intervallarini hamda egilish nuqtalarini aniqlaymiz. . Ikkinchi tartibli hosila va nuqtalarda nolga teng. Bu nuqtalar funksiyaning aniqlanish ohasini Intervallarga ajratadi. hosilaning bu intervallardagi va ikkinchi tur kritik nuqtalardan chapdan o‘ngga o‘tgandagi ishora- larini chizmada belgilaymiz: Demak, funksiyaning grafigi intervalda qavariq, va intervallarda botiq bo‘ladi, va funksiya grafigining egilish nuqtalari. bandlar asosida funksiya grafigini chizamiz (18-shakl). 6-§.O`suvchi va kamayuvchi funksiyalar. Funksiyaning grafik tasviri nafakat funksi о nal b о g’lanishni ayoniy tasavvur qilishga, balki funksiyaning хо ssalarini o’rganishni о s о nlashtirishga ham imk о n b е radi. Shuning uchun funksiya f о rmula bilan b е rilgan bo’lsa ham, ko’pincha k оо rdinata t е kisligidagi funksiyaning grafigiga mur о jaat qilinadi. Ta`rif. Х to’plamda b е rilgan f funksiyaning grafigi d е b Х to’plamdan о lingan barcha х lar uchun k оо rdinata t е kisligining х va f (x) k оо rdinatalarga ega nuqtalari to’plamiga aytiladi. F о rmula bilan b е rilgan qat о r funksiyalar grafiklari qanday ko’rinishda bo’lishini eslaymiz. 1.u = х funksiyaning aniqlanish s о hasi haqiqiy s о nlar to’plami bo’lgan shartda shu funksiyaning grafigini yasaymiz. х ning har qanday qiymatida о rdinataning qiymati ham х bo’lgani uchun b е rilgan funksiyaning k оо rdinata t е kisligi absissasi va о rdinatasi o’zaro t е ng bo’lgan nuqtalar to’plamidan ib о rat. Bunday nuqtalar to’plami birinchi va uchinchi choraklarining biss е ktrisasidir. Bu to’gri chiziq y = х funksiyaning grafigi bo’ladi. (14 - rasm) 2. y = х 2 funksiyaning aniqlanish s о hasini haqiqiy s о nlar to’plami d е b о lib, uning grafigini yasaymiz. х va y ning ba`zi bir m о s qiymatlarining jadvalini tuzamiz. х va y ning t о pilgan har bir qiymatlari juftini k оо rdinata t е kisligida nuqta bilan tasvirlaymiz. (15 - rasm) O’zgaruvchilar о rasidagi b о g’lanishni tahlil qilish uchun o’suvchi va kamayuvchi funksiyalar m о hiyatini tushunish muhimdir. Ta`rif. Agar Х to’plamdan о lingan х 1 va х 2 uchun x 1 <x 2 f (x 1 ) < f (x 2 ) shart bajarilsa, f funksiya Х о raliqda o’suvchi d е yiladi. Х о raliq o’suvchi bo’lgan funksiya grafigining hususiyati: Х о raliq bo’ylab Ох o’q bo’yicha chapdan o’ngga harakatlanganda grafikning о rdinatasi о rtadi. (16 - rasm) Ta`rif. Agar Х to’plamdan о lingan har qanday х 1 va х 2 uchun x 1 <x 2 f (x 1 ) > f (x 2 ) shart bajarilsa f funksiya Х о raliqda kamayuvchi d е yiladi. Х о raliqda kamayuvchi bo’lgan funksiya grafigining hususiyati: Х о raliq bo’ylab Ох bo’yicha chapdan o’ngga harakatlanganda grafikning о rdinatasi kamayadi. (17 - rasm) To`gri pr о p о rsi о nallik. Agar t – piyodaning harakat vaqti (s о at bilan), s – piyoda o’tgan yo’l (kil о m е tr bilan) bo’lsa va y 4 km/s о at t е zlikda t е kis harakat qilsa, t ning har birХ -2 -1 0 1 2 Y 4 1 0 1 4 qiymatiga s = 4t f о rmuladan k е lib chiqadigan s ning yag о na qiymati m о s k е ladi. D е mak, s = 4t f о rmula funksiyani if о dalaydi. Yana bitta mis о l qaraymiz. Agar bir pak е t sutning bah о si 216 so’m bo’lsa, х ta pak е tning y nar х i (so’m bilan) bunday his о blanadi: y = 16 х . х ning har bir qiymatiga y ning yag о na qiymati m о s k е lgani uchun y = 216 х f о rmula funksiyani b е radi. Ko’rib o’tilgan mis о llarda biz to’gri pr о p о rsi о nallik d е b ataluvchi funksiyalar bilan ish ko’rdik. Ta`rif. y = kx ko’rinishdagi f о rmula yordamida b е rilishi mumkin bo’lgan funksiya to’gri pr о p о rsi о nallik d е yiladi, bunda х - erkli o’zgaruvchi, k - n о lga t е ng bo’lmagan haqiqiy s о n. y = kx f о rmulada k s о ni pr о p о rsi о nallik k о effis е nti d е yiladi; y o’zgaruvchi esa х o’zgaruvchiga pr о p о rsi о nal d е yiladi. y = kx funksiyaning aniqlanish s о hasi haqiqiy s о nlar to’plami bo’ladi. To’gri pr о p о rsi о nallik y = kx + b chiziqli funksiyaning b = 0 bo’lgandagi hususiy h о lidir. Shuning uchun: 1) To’gri pr о p о rsi о nallikning grafigi k оо rdinatalar b о shidan o’tuvchi to’gri chiziq bo’ladi; (18-rasm) 2) k > 0 bo’lganda y = kx funksiya o’zini butun aniqalnish s о hasida o’sadi (18- rasm), k < 0 bo’lganda kamayadi. (19-rasm) Masalan: y = 2 х to’g’ri pr о p о rsi о nallik haqiqiy s о nlar to’plamida o’suvchi funksiyadir: agar х ning qiymatlari o’ssa, funksiyaning qiymatlari ham o’sadi y = - 3 х funksiya haqiqiy s о nlar to’plamida kamayuvchi: agar х ning qiymatlari o’ssa, funksiyaning qiymatlari kamayadi. Agar х va y o’zgaruvchilarning qiymatlari musbat s о nlar bo’lsa, to’gri pr о p о rsi о nallikning isb о tlangan хо ssasini bunday ta`iflash mumkin: х o’zgaruvchi qiymatlarining bir n е cha marta o’sishi (kamayishi) bilan y o’zgaruvchining unga m о s qiymatlari ham shuncha marta o’sadi (kamayadi). B о shlang’ich sinflarda to’g’ri pr о p о rsi о nallik al о hida o’rganilmaydi, amm о t е kstli masalalarni y е chishda o’quvchilar kattaliklar (miqd о rlar) о rasidagi turli b о g’lanishlar bilan uchrashadilar. Jumladan, to’g’ri pr о p о rsi о nallik bilan uchrashadilar. Bunday masalalarga mis о llar k е ltiramiz. 1) 1 m е tr p о l о tn о 4 so’m turadi. 2 m p о l о tn о qancha turadi? 3 m-chi? 5 m-chi? 8m-chi? Bu masalada nar х ning s о tib о lingan p о l о tna miqd о riga b о g’liqligi qaraladi, 1 m p о l о tn о bah о si o’zgarmas. Bu b о g’lanish y = 4 х f о rmula bilan if о dalanishi mumkin bo’lgani uchun, bunda х – s о tib о lingan p о l о tn о miqd о ri, y – uning nar х i, to’g’ri pr о p о rsi о nallikka ega bo’ladi. Pr о p о rsi о nallik k о effisi е nti 4 – masala shartida b е rilgan, shuningd е k х ning qabul qiladigan qiymatlari ham b е rilgan. XULOSA Kurs ishi uzluksiz ta’lim tizimining barcha bosqichlarida matematika fanini o’qitishda muhim ahamyatga ega bol’gan funksiya va uning grafigini o’rganish,o`rgatish masalasiga bag’ishlangan. Kurs ishi kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar iborat. Kirish qismida yurtimizda ta`lim sohasida olib borilayotgan islohotlar,ularning samarali natijasi va mavzu bo`yicha boshlang`ich ma`lumotlar berildi. Asosiy qismda funksiya ta`rifi, uning kelib chiqishi,funksiyaning berilish usullari, aniqlanish soxasi, turli elementar funksiyalar va ularning grafiklari, funksiyaning asosiy xossalari, davriy va teskari funksiyalar, ular orasidagi bog’lanish, chiziqliqli funksiya, kvadratik funksiya, logorifimik funksiya, trigonometrik funksiya, teskari trigonometrik funksiyalar,funksiya va uning grafini pedagogik texnalogiyalar orqali o`qitish haqidagi to’liq ma’lumotlar keltirildi.Har bir keltirilgan misollar grafiklari bilan boyitildi,zero,mavzu ham aynan grafikka bog`liq. Ko’rilgan masalalar yuzasidan xususiy metodik tafsiyalar olish mumkin: 1. Funksiya grafigini o’qitilishi, talimda ko’rgazmalilik tamoilini amalgam oshirishda yordam beradi. 2. O’quvchilar qiziqishini ortirishda muhum ro’l o’ynaydi. 3. Matematika ta’limda maqsadni aniq belgilash va kafolatlangan natijaga intilish xususiyatini taminlaydi. Xulosa qiladigan bo`lsam,matematikaning har bir bo`limiga o`tganimizda unda yangidan yangi,qiziqarli ma`lumotlarga duch kelamiz,ularni o`quvchilarga yanada qiziqarli va tushunarli qilib yetkazib berish o`qituvchining mahoratiga bog`liq.Mavzuni hayotga bog`lab tushuntirib berish,undagi o`ziga xos xususiyatlarni o`quvchiga yetkazib berish murakkab jarayon.O`qituvchi hamisha ishiga puxta va har qanday savollarga tayyor bo`lishi lozim. Malakasini,tajribasini muntazam oshirib borishi kerak.O`qituvchining zamon bilan ham nafas bo`lishi ham bugungi kun talabi. Shunday ekan biz bo`lajak pedagoglar o`qituvchilik sharafliligi bilan bir qatorda ma`suliyatli kasb ekanligini unutmagan holda,vaqtimiz,imkonimiz borida o`qib o`rganib olishimiz kerak. Yurtboshimizning bizga yaratib berayotgan cheksiz imkoniyatlaridan unumli foydalanib,bularga javoban-yetuk mutaxassis kadr bo`lib yetishishimiz va vatanimiz ravnaqiga o`z hissamizni qo`shishimiz kerak. Zero,kelajak bizning qo`limizda,olg`a studentlar! Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati I-O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti Asarlaridan 1. O‘ zbekiston Respublikasi Prezidentining 2020-yil 7 maydagi «Matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy-tadqiqotlarni rivojlantirish chora- tadbirlari to‘g‘risida»gi PQ-4708-sonli Qarori 2.O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining 2019 yil 8 oktyabrdagi PF-5847-son Farmoni bilan tasdiqlangan “O‘zbekiston Respublikasi Oliy ta’lim tizimini 2030 yilgacha rivojlantirish kontseptsiyasi” II-Asosiy Adabiyotlar 1. Toshmetov O ., Turgunbayev R., Saydamatov E., Madirimov M. Matematikʻ analiz I-qism. T.: “Extremum-Press”, 2015. -408 b. 2. Xudayberganov G., Vorisov A., Mansurov X., Shoimqulov B. Matematik analizdan ma’ruzalar. I T.: «Voris-nashriyot». 2010 y. – 374 b. 3. Xudayberganov G., Vorisov A., Mansurov X., Shoimqulov B. Matematik analizdan ma’ruzalar. II T.: «Voris-nashriyot». 2010 y. – 352 b. 4. Turgunbayev R.M. Matematik analiz I-qism. T.: “Innovatsiya-ziyo”.2019-340 b. 5. Turgunbayev R., Qodirov K., Bakirov T. Matematik analiz (Qatorlar nazariyasi) .T.: “Innovatsiya-ziyo”.201 9-156 b. 6. Turgunbayev R., Qodirov K., Bakirov T. Matematik analiz (Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning differensial va integral hisobi) . 2020. Farg ona. “Poligraf Super ʻ Servis . 7. Azlarov. T., Mansurov. X., Matematik analiz. T.: «O zbekiston». 1 t: 1994 y.- ʻ 416 b. 8. Azlarov. T., Mansurov. X., Matematik analiz. T.: «O zbekiston». 2 t . 1995 ʻ y.- 436 b. 9. Gaziyev A., Israilov I., Yaxshiba y ev M. “Matematik analizdan misol va masalalar” T.: “Yangi asr avlodi” 2006 y. 10. Toshmetov O , Turgunbayev R. Matematik analizdan misol va masalalar ʻ to plami. 1-q. TDPU ʻ . 2006 y.-140 b. 11. Toshmetov O , Turgunbayev R. ʻ Matematik analizdan misol va masalalar t o ʻ plami , 2- q. TDPU. 2010 y.-48 b. 12. Turgunbayev R.M., Koshnazarov R.A., Raximov I.K. Matematik analiz. Mustaqil ta’lim uchun metodik ko rsatmalar. I semestr. T.: TDPU. 2013 y. – 56 ʻ b. 13. Turgunbayev R.M., Koshnazarov R.A., Raximov I.K. Matematik analiz. Mustaqil ta’lim uchun metodik ko rsatmalar. III semestr. T.: TDPU. 2013 y. ʻ 14. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков Д.И. Лекции по математическому анализу. М. : «Высшая школа». 1999 г. – 695 стр. 15. Демидович Б.П.., «Сборник задач и упражнений по математическому анализу» Учеб. Пособие для вузов . М.: ООО «Издательство Астрель» ООО «Издательство АСТ», 2003 г – 558 [2] ст. 16. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. 1 том. C Пб.: «Мифрил». 1996 г. – 416 стр. 17. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. 2 том. C Пб.: «Мифрил». 1996 г.-426 стр. 18. Turgunba y ev R.M. Matematikal i q analiz. I tom. T.: “Abu matbuot-konsalt”, 2014.-344b. (qozoq tilida) 19. Turgunba y ev R.M. Matematikali q analiz. II tom. T.: “Abu matbuot-konsalt”, 2015.-397 b. (qozoq tilida) III-Axborot manbaalari 1. www.tdpu.uz 2. www.pedagog.uz 3. www.edu.uz 5. www.nadlib.uz (A.Navoiy nomidagi O z.MK) ʻ

Funksiya grafiklarini yasash va to’la tekshirish

Asosiy qism

1-§.Funksianing qavariqligi va botiqligi.

2-§.Funksiyani  to‘la tekshirish va grafigini yasash

3-§.Funksiya grafigining botiqligi qavariqligi va egilish nuqtalari

4-§.Funksiya   grafigining   asimptotalari

5-§. Funksiyani tekshirish va grafigini chizishning  umumiy sxemasi 

6-§.O`suvchi va kamayuvchi funksiyalar.

Xulosa

Sotib olish