Dokument ma'lumotlari

Narxi 19900UZS
Hajmi 3.7MB
Xaridlar 0
Yuklab olingan sana 08 Dekabr 2024
Kengaytma docx
Bo'lim Kurs ishlari
Fan Algebra

Sotuvchi

Bahrom

Ro'yxatga olish sanasi 05 Dekabr 2024

379 Sotish

Funksiyalar grafigini tekshirish

Sotib olish
KURS ISHI Mundarija: I. Reja…………………………………………………………………… II. Kirish………………………………………………………………… III. Asosiy qism……...………………………………………………… 1-§. Lokal ekstremum nuqtalarni topish ………………………… 2-§. Funksiya grafigining qavariqligi …………………………………………. 3-§. Bukilish nuqtalari …………………………………………………………………. 4-§. Funksiya grafigining asimptotalari .......................................... 5-§. Funksiya grafigini xomaki chizish ........................................... IV.Xulosa...…………………………………………………………………... V. Foydalanilgan adabiyotlar…………..…………………………………….. Mavzu: Funksiyalar grafigini tekshirish Reja: I. Kirish. II. Asosiy qism. II.1. Lokal ekstremum nuqtalarni topish. II.2. Funksiya grafigining qavariqligi II.3. Bukilish nuqtalari II.4. Funksiya grafigining asimptotalari II.5. Funksiya grafigini xomaki chizish III. Xulosa IV. Foydalanilgan adabiyotlar KIRISH So nggi yillarda mamlakatimizda oliy ta’lim sifatini oshirishga qaratilgan birʻ qancha chora-tadbirlar amalga oshirilmoqda. O`zbekiston Resbublikasi Prezidentining 2019-yil 9-iyulda “ Matematika ta’limi va fanlarni yanada rivojlantirishni davlat tomonidan qo`llab-quvvatlash, shuningdek, O`zbekiston Respublikasi fanlar akademiyasining V.I.Romanovskiy nomidagi instituti faoliyatini tubdan takomillashtirish chora-tadbirlari to`g`risida “ gi qarorni imzoladi. O‘zbekiston Respublikasi prezidenti Sh.M.Mirziyoevning: “Biz ta’lim va tarbiya tizimining barcha bo‘g‘inlari faoliyatini bugungi zamon talablari asosida takomillashtirishni o‘zimizning birinchi darajali vazifamiz deb bilamiz” deb aytgan gaplarining negizida u zluksiz ta’limning yagona tizimini vujudga keltirish, ta’lim berish samaradorligini va yoshlarni mustaqil hayotga tayyorlashni tubdan yaxshilashga yanada chuqurroq ahamiyat berish g‘oyalari yotadi. O`zbekiston Respublikasi Prezidenti “ Matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy-tadqiqotlarni rivojlantirish chora-tadbirlari to`g`risida”gi qarori imzolandi. Mamlakatimizda matematia 2020-yildagi ilm-fanni rivojlantirishning ustuvor yo`nalishlaridan biri sifatida belgilandi. O`tgan davr ichida matematika ilm-fani va ta’limini yangi sifat bosqichiga olib chiqishga qaratilgan qator tizimli ishlar amalga oshirildi: birinchidan, ilg`or ilmiy markazlarda faoliyat yuritayotgan vatandosh matematika olimlarning taklif qilinishi va xalqaro imiy-tadqiqotlar olib borilishi uchun zarur shart-sharoit yaratildi; ikkinchidan, xalqaro fan olimpiadalarida g`olib bo`lgan yoshlarimiz va ularning murabbiy ustozlari mehnatini rag`batlantirish tizimi joriy etildi; uchinchidan, oliy ta’lim va ilmiy-tadqiqotlarni ta’minlash maqsadida talabalar shaharchasida Fanlar akademiyasining V.I.Romanovskiy nomidagi Matematika institutining yangi va zamonaviy binosi barpo etildi. to`rtinchidan, ilm-fan sohasidagi ustuvor muommolarni tezkor bartaraf etish, fan, ta’lim va ishlab chiqarish integratsiyasini kuchaytirish masalasini Hukumat darajasida belgilash maqsadida O`zbekiston Respublikasining Bosh vaziri raisligida Fan va texnologiyalar bo`yicha respublika kengashi barpo etildi. Ta’limning barcha bosqichlarida matematika fanini o`qitish tizimini yanada takomillashtirish, pedagoglarning samarali mehnatini qo`llab quvvatlash, ilmiy- tadqiqot ishlarining ko`lamini kengaytirish va amaliy ahamiyatini oshirish, xalqaro hamjamiyat bilan aloqalarni mustahkamlash. Mavzuning dolzarbligi. O zbekiston Respublikasi mustaqil huquqiy ʻ demokratik davlat, erkin fuqarolik jamiyat qurish yo lida ulkan ishlar olib borilib, ʻ inson mohiyatining yangidan ochishga, uni o zligini anglashga, imkoniyatlarni ʻ ro yobga chiqarishga va ma’naviy intellektual, aqliy – amaliy rivojlanishga yangi ʻ shart-sharoitlar yaratib berishdi . Ta’limning fan va ishlab chiqarish bilan integrasiyasi mexanizmlarini rivojlantirish, uni amaliyotga joriy etish, o qishni, ʻ mustaqil bilim olishni individuallashtirish hamda masofaviy ta’lim tizimi texnologiyasini, uning vositalarini ishlab chiqish, o zlashtirish, yangi pedagogik va ʻ axborot texnologiyalari asosida o quvchi va talabalarni o qitishni jadallashtirish ʻ ʻ ana shunday dolzarb vazifalar sirasiga kiradi. Ushbu vazifalarni bajarish mavjud pedagogik jarayonlarni takomillashtirishni, uni hozirgi zamon o quvchi va ʻ talablariga mos rivojlantirishni, xususan oliy pedagogik ta’lim paradigmasini zamonaviy pedagogik va axborot texnologiyalarini o zlashtirishga, pedagogika ʻ oliy ta’lim muassasalarida kasbiy tayyorgarligi yuqori bo lgan pedagog kadrlarni ʻ tayyorlashga yo naltirishni taqozo etadi. Ta’limni isloh qilish, yangi mazmundagi ʻ va zamon talabiga javob beradigan o quv adabiyotlar, qo llanmalarni yaratish va ʻ ʻ ilg or pedagogik texnologiyalarni joriy etishni taqozo etadi. Ta’lim tizimidagi ʻ kamchiliklar, shu jumladan, matematika fanida ham o qitish uslubiyotini chetlab ʻ o tmaydi. Har bitta fanga alohida e’tibor berish, har bir mavzuni o`qitishda ʻ ma’suliyatli bo`lish o`qituvchining eng oliy maqsadi hisoblanadi. Bizga ma’lumki matematika fani juda qiziqarli va shu bilan birga murakkab fan bo`lib ham hisoblanadi. Ma’lumki bu mavzuda asosan funksiya grafiklarini tekshirish, lokal ekstremum nuqtalarini toppish, funksiyalar qavariqligi, bukilish nuqtalari va shunga masalalar qaraladi. Ushbu fikrlar tanlangan mavzuning qanchalik dolzarb ekanligini ko’rsatadi. Kurs ishining obyekti. Oliy ta’limda matematikani o qitish jarayoni. ʻ Kurs ishining predmeti. Oliy ta’limda funksiyalarni, ularning grafiklarini, hosilalarini, qavariqligini va shu kabi tushunchalarni o’rgatish usullari va vositalari. Kurs ishining maqsadi. Oliy ta’limda funksiyalar va ularning aniqlanish sohalari, qiymatlar sohalari, hosila va differensiallari, grafiklarni qurish mavzusi yuzasidan masalalar yechish metodikasini ishlab chiqish. Kurs ishining vazifalari.  Oliy ta’lim muassasalari uchun DTS, taqvim rejasi, mavzuga oid mavjud adabiyotlar, internet ma’lumotlarini to plash va tahlil qilish; ʻ  “Funksiyalar grafigini tekshirish ” mavzusida masalalar ishlashning muammolarini, fanda tutgan o rni va ahamiyatini o rganib chiqish; ʻ ʻ  Oliy ta’lim muassasalarida “ Funksiyalar grafiklarini tekshirish” mavzusining asosiy tushunchalarini tahlil qilish, innovatsion texnologiyalardan foydalangan holda mavzuni o qitish metodikasini ishlab ʻ chiqish.  Oliy ta’lim muassasalarida “ Funksiyalar grafiklarini tekshirish”ga doir masalalar yechish metodikasini ishlab chiqish.  Bitiruv malakaviy ishi yuzasidan tajriba o tkazish, uning natijalarini tahlil qilish ʻ va tegishli xulosalar chiqarish. Kurs ishining tuzilishi. Kurs ishi kirish, 1 ta bob, 5 ta paragraf, xulosa, foydalanilgan adabiyotlar ro yhatidan ʻ iborat. 1. Lokal ekstremum nuqtalarini topish. Ferma teoremasi: Agar f funksiya c nuqtada differensiallanuvchi bo’lib, shu nuqtada lokal ekstremumga ega bo’lsa, f ׳ ( c ) = 0 bo’ladi. Berilgan f funksiyaning hosilasi nolga teng bo’lgan nuqta shu funksiyaning kritik yoki statsioner nuqtasi deyiladi. Oxirgi nom hosilaning mexanik ma’nosiga asoslangan. Agar x – vaqt va f ( x ) –biror harakatlanayotgan moddiy nuqtaning x vaqt momentidagi koordinatasi bo’lsa, funksiya hosilasini moddiy nuqtaning tezligi deb qarash mumkin. Agar biror a nuqtada tezlik nolga aylansa, ya’ni qaralayotgan moddiy nuqta bu momentda harakatdan to’xtasa, bunday nuqta f funksiyaning statsioner nuqtasi deyiladi. Sodda f(x)= x3 funksiya misolida yuqoridagi shart yetarli emasligini ko’rish mumkin. Chunonchi, x=0 nuqtada f ׳ ( 0 ) = 0 shart bajarilsada, 0 nuqta berilgan funksiya uchun lokal ekstremum nuqta bo’la olmaydi. Ushbu bandda biz lokal ekstremum uchun yetarlilik shartlarini toppish masalasini o’rganamiz. Afsuski, lokal ekstremum uchun bir vaqtning o’zida ham yetarli, ham zarur bo’lib, oson tekshiriladigan shart hozirga qadar ma’lum emas. Shu sababli biz lokal ekstremumm uchun turli vaziyatlarda tekshirishga qulay bo’lgan bir necha yetarlilik shartlarini keltiramiz. 1-teorema (ekstremumning birinchi yetarlilik sharti). Faraz qilaylik, f funksiya c nuqtaning biror atrofida differensiallanuvchi bo’lib, f ׳ ( c ) = 0 bo’lsin. Bindan tashqari, c nuqtaning o’sha atrofida quyidagi shart bajarilsin: x<cbo'lsa , f ׳ (x)<0 bo'lsin va x > c b o ' lsa , f ׳ ( x ) > 0 b o ' lsin . (1) U holda c nuqta f funksiayning lokal minimum nuqtasi bo’ladi. Isbot. Agar x<c bo’lsa, [ x,c ] kesmada Lagranj formulasini qo’llab, (1) shartdan foydalansak, 1-rasm f ( c ) − f ( x ) = f ׳ ( ξ ) ( c − x ) < 0 , x<ξ<c munosabatni olamiz. Demak, x<c bo’lganda f ( x ) > f ( c ) (2) bo’lar ekan. Xuddi shu singari, x>c bo’lsa, [ c,x ] kesmada Lagranj formulasini qo’llab, teorema shartiga kor’a, f ( x ) − f ( c ) = f ׳ ( ξ ) ( x − c ) > 0 , c < ξ < x munosabatni olamiz. Demak, x>c bo’lganda f ( x ) > f ( c ) (3) bo’lar ekan. Shunday qilib, (2) va (3) larga ko’ra, x≠c bo’lganda f ( x ) > f ( c ) bo’lar ekan. Bu esa c nuqtaning lokal minimum nuqtasi ekanini anglatadi(1-rasm). Natija. Faraz qialylik, f funksiya c statsioner nuqtaning biror atrofida differensiallanuvchi bo’lib, quiydagi shartni qanoatlantirsin: x < c b o ' lsa , f ׳ (x)>0 b o ' lsin va x>cbo'lsa , f ׳ (x)<0 bo'lsin . (4) u holda c nuqta f funksiyaning lokal maksimum nuqtasi bo’ladi. 2-rasm Isbot qilish uchun 1- teoremani f1=− f(x) funksiyaga qo’llash yetarli (2-rasm). Qayd etamizki, 1-teorema f funksiya c nuqtadan chapda va o’ngda yotgan nuqtalarda differensiallanuvchi bo’lib, c nuqtaning o’zida esa faqat uzliksiz bo’lgan holda ham o’rinlidir. Chunonchi, bu teoremani quyidagi umumiyroq ko’rinishda hamm keltirish mumkin. 1*-teorema ( ekstremum uchun birinchi yetarlilik shartining boshqa ko’rinishi ). Biror δ>0 uchun f funksiya { x:0<|x−c|<δ } to’plamning barcha nuqtalarida differensiallanuvchi bo’lib, c nuqtaning o’zida uzluksiz bo’lsin. Agar c nuqtaning δ -atrofida (1) shart bajarilsa, c nuqta f funksiyaning lokal minimum nuqtasi bo’ladi. Isbot. 1-teorema isbotini so’zma-so’z qaytarishdan iboratdir. Xuddi shu singari, f funksiya c nuqtada differensiallanuvchi bo’lmay, bu nuqtada faqat uzluksiz bo’lgan holda ham, agar (4) shart bajarilsa, c nuqta f funksiyanig lokal maksimum nuqtasi bo’lishini ko’rsatish mumkin. 1-misol. Quyidagi f ( x ) = ¿ x − c ∨ ¿ funksiayni qaraymiz (3-rasm). 3-rasm Bu singari butun sonlar o’qida uzluksiz bo’lib, x=c nuqtadan boshqa barcha nuqtalarda differensiallanuvchidir. Bu nuqtadan tashqarida hosila quyidagicha aniqlanadi: f׳(x)= sign (x−c) = { − 1 , agar x < c b o ' lsa , 1 , agar x > c b o ' lsa . Demak, (1) shart o’rinli bo’lar ekan va shuning uchun, 1*-teoremaga ko’ra, qaralayotgan funksiya x=c nuqtada lokal minimumga egadir. Shuni aytish joizki, (1) va (4) shartlarga ko’ra f funksiya hosilasining c nuqta atrofida chegaralangan bo’lishi shart emas. 2-misol. Quyidagi f ( x ) = 1 − √| x | funksiayni qaraymiz. 4-rasm Bu funksiya butun sonlar o’qida uzluksiz bo’lib, x = 0 nuqtadan boshqa barcha nuqtalarda differensiallanuvchidir. Bu nuqtadan tashqarida hosila quyidagicha aniqlanadi: f ׳ (x)= − sign x 2√| x| = { 1 2 √ − x , agar x < 0 b o ' lsa , − 1 2 √ x , agar x > 0 b o ' lsa . Demak, (4) shart o’rinli bo’lar ekan va shuning uchun, qaralayotgan funksiya x = 0 nuqtada lokal maksimumga egadir (4-rasm). Navbatdagi yetarlilik shartini tekshirish oson bo’lsa-da, u o’rganilayotgan funksiyaga ko’proq shart qo’yadi. Chunonchi, statsioner nuqtada bu funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi mavjud bo’lishi talab qilinadi. 2-teorema ( ekstremumning ikkinchi yetarlilik sharti). Faraz qilaylik, c nuqtaning biror atrofida f funksiya hosilaga ega bo’lib, bu nuqta f ning statsioner nuqtasi bo’lsin. Bundan tashqari, f funksiya c nuqtada ikkinchi tartibli hosilaga ega bo’lsin. Agar f ׳ ׳ ( c ) > 0 bo’lsa, c nuqta f funksiyaning lokal minimum nuqtasi bo’ladi va f ׳ ׳ ( c ) < 0 bo’lganda esa, c nuqta funksiyaning lokal maksimum nuqtasi bo’ladi. Isbot. Avval f ׳ ׳ ( c ) > 0 deb faraz qilamiz. U holda Ferma teoremasiga asosan, bu tengsizlik fʹ(x) birinchi hosilaning c nuqtada o’sishini anglatadi. Bundan chiqdi, f ʹ ( c ) = 0 bo’lgani sababli, (1) shart o’rinlidir. Demak, c nuqta f funksiyaning lokal minimum nuqtasi ekan. Teorema f ʹʹ ( c ) < 0 bo’lgan holda ham xuddi shunga o’xshab isbotlanadi. Eslatma. Agarda f ʹʹ ( c ) = 0 bo’lsa, 2-teorema c statsioner nuqtaning lokal ekstremum bo’lishi haqida biror tayinli javob bera olmaydi. Bu holda yanada yuqoriroq tartibli hosilalarni o’rganishga to’g’ri keladi. 3-teorema. Faraz qilaylik, k ∈ N uchun f funksiya c nuqtaning biror atrofida 2k-1- tartibli hosilaga ega bo’lib, c nuqtaning o’zida esa, 2k- tartibli hosilaga ega bo’lsin. Bundan tashqari, f ʹ ( c ) = f ʹʹ ( c ) = … = f(2k−1) (c)=0 (5) tengliklar bajarilsin. U holda, agar f(2k)>0 bo’lsa, c nuqta funksiyaning lokal maksimum nuqtasi bo’ladi. Isbot. Teylor formulasini qo’llasak, c va x nuqtalari orasida shunday ξ nuqta topiladiki, u uchun f ( x ) = f ( c ) + f ʹ ( c)( x − c ) + f ʹʹ ( c ) 2 ! ( x − c ) 2 + f ( 3) ( c ) 3 ! ( x − c ) 3 + … … .. + ¿ f ( 2 k − 2 ) ( 2 k − 2 ) ! ( x − c ) 2 k − 2 + f ( 2 k − 1 )( ξ ) ( 2 k − 1 ) ! ( x − c ) 2 k − 1 ( 6 ) tenglik o’rinli bo’ladi. Endi, (5) shartni e’tiborga olsak, (6) dan f ( x ) – f ( c ) = f ( 2 k − 1 )( ξ ) ( 2 k − 1 ) ! ( x − c ) 2 k − 1 , 0 ¿ ξ − c x − c < 1 , (7) mnuosabat kelib chiqadi. Aniqlik uchun, 2k -tartibli hosila f ( 2 k ) ( c ) > 0 shartni qanoatlantiradi, deb faraz qilamiz. Ferma teoremasiga asosan, bu tengsizlik oldingi f(2k−1) ( x ) hosilaning c nuqtada o’sishini anglatadi, ya’ni c nuqtadan chapda u c nuqtadagi qiymatidan kichik qiymat qabul qiladi va c nuqtadan o’sngda esa, bu hosila c nuqtadagi qiymatidan kata qiymat qabul qiladi. Teoremaning shartiga ko’ra f(2k−1)(c) = 0 va, bundan tashqari, (7) da ξ nuqta c va x nuqtalar orasida yotadi. Shularni hisobga olsak, quyidagi shartga ega bo’lamiz: x < c da f ( 2 k − 1 )( ξ ) < 0 b o ' ladi va x>cda f(2k−1)(ξ)>0bo'ladi . (8) Demak, (x−c)2k−1 funksiyaning toqligi tufayli, f(2k−1)(ξ)(x−c)2k−1>0,x≠c Shunday ekan, (7) dan f ( x ) > f ( c ) , x ≠ c kelib chiqadi. Ravshanki, bu tengsizlik c nuqta f funksiyaning lokal minimum nuqtasi ekanini anglatadi. Teorema f(2k)(c)<0 bo’lgan holda ham xuddi yuqoridagidek isbotlanadi. 2. Funksiya grafigining qavariqligi. Biror (a, b) intervalda differensiallanuvchi bo’lgan f funksiyani qaraymiz. (a, b) intervaldan olingan istalgan c uchun bu funksiya garfigining mos nuqtasini (c, f(c)) ko’rinishda yozish mumkin. Qaralayotgan funksiya differensiallanuvchi bo’lgani uchun, uning grafigi har bir nuqtada urinmaga egadir. Chunonchi, agar c nuqta (a, b) intervalning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsa, grafikning (c, f(c)) nuqtasidan o’tkazilgan urinma quyidagi tenglamaga ega: k(x) = f(c) + f '(c)(x-c). (9) Boshqacha aytganda, f funksiya grafigining (c, f(c)) nuqtasidan o’tkazilgan urinma (9) funksiyaning grafigi bilan ustma-ust tushadi. Agar (a, b) intervalning ixtiyoriy x nuqtasi uchun f(x) ≤ f(c) + f '(c)(x-c), a ¿x<b , (10) tengsizlik bajarilsa, u holda f funksiya grafigi o’zining (c, f(c)) nuqtasidan o’tkazilgan urinmadan pastda yotadi deyiladi. Agar (10) da ≤ belgini ≥ belgiga almashtirsak, biz funksiya funksiya grafigi urinmadan tepada yotishining shartini olamiz. Ta’rif. Agar biror intervalda differensiallanuvchi funksiyaning har qanday urinmadan pastda yotsa, bu grafikning qavariqlik yo’nalishi yuqoriga qaragan deb ataladi. Shunga o’xshash, agar funksiya grafigi har qanday urinmadan yuqoridaa yotsa, bu grafikning qavariqlik yo’nalishi pastga qaragan deyiladi. Qavariqlik yo’nalishi ikkinchi tartibli hosila ishorasi yordamida aniqlanishi mumkin. 4-teorema. Berilgan f funksiya (a, b) intervalda ikkinchi tartibli hosilaga ega bo’lsin. U holda, 1) agar f ''(x) ≥ 0 bo’lsa, f funksiya grafigining qavariqlik yo’nalishi pastga qaragan bo’ladi; 2) agar f ''(x) ≤ 0 bo’lsa, f funksiya grafigining qavariqlik yo’nalishi yuqoriga qaragan bo’ladi. 5-rasm 6-rasm Isbot. Faraz qilaylik, c nuqta (a, b) intervalning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin. Teylor formulasiga ko’ra, f(x) = f(c) + f '(c)(x-c) + f''(ξ) 2! (x−c)2 . (11) Agar ikkinchi tartibli hosila manfiy bo’lmasa, (11) dan f(x) ≥ f(c) + f '(c)(x-c) tengsizlikni olamiz. Bu tengsizlik f funksiya urinmadan yuqorida yotishini anglatadi. Demak, uning qavariqlik yo’nalishi pastga qaragan ekan. Agarda f ''(x) ≤0 bo’lsa, isbot xuddi yuqrodagidek bo’ladi(5 va 6- rasmlarga qarang). 3. Bukilish nuqtalari. Funksiya grafigining qavariqligi funksiya aniqlanish sohasining turli intervallarida turli yo’nalishlarga ega bo’lishi mumkin. Berilgan funksiyaning grafigini chizishda qavariqlik yo’nalishlari o’zgaradigan nuqtalar muhim ahamiyatga egadir. Ta’rif. Agar shunday δ ¿0 mavjud bo’lsaki, ikki (c-δ, c) va (c, c+δ) intervallardan birida f funksiyaning grafigi qavariqlik yo’nalishi pastga va boshqasida yuqoriga qaragan bo’lsa, grafikning ( c , f ( c ) ) nuqtasi bukilish nuqta deb ataladi. 5 - teorema. ( bukilish nuqta uchun zaruriylik sharti). Berilgan f funksiya c nuqtaning biror atrofida ikki marta differensiallanuvchi bo’lib, ikkinchi tartibli f ''(x) hosila c nuqtada uzluksiz bo’lsin. Agar ( c , f ( c ) ) nuqta bukilish nuqtasi bo’lsa, f ' ' ( c ) = 0 bo’ladi. Isbot. Teskarisini faraz qilish usuli bilan isbotlaymiz. Avval f ' ' ( c ) > 0 bo’lsin deylik. Shartga ko’ra ikkinchi hosila c nuqtada uzluksiz. Shuning uchun, quyidagi Berilgan f funksiya a nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo’lib, shu a nuqtada uzluksiz bo’lsin. Agar f(a)¿0 bo’lsa, a nuqtaning shunday δ-atrofi va c ¿ 0 o’zgarmas topiladiki, barcha x ∈ ¿ ) larda f ( x ) > c > 0 tengsizlik bajariladi. tasdiqqa asosan, c nuqtaning biror δ-atrofida u ishorasini saqlaydi: f ''(x) ¿0 , c-δ ¿x<c+δ . (12) Shunday ekan, 4- teoremadan f funksiya grafigining qavariqlik yo’nalishi c nuqtadan chapda ham, o’ngda ham pastga qaraganligi kelib chiqadi. Bu esa (c, f(c)) ning bukilish nuqtaligiga ziddir. Demak, f ''(c) = 0 ekan. 5- teorema bukilish nuqta uchun zaruriy shartni beradi. Lekin bu shart yetarlilik bo’la olmaydi. Misol sifatida f(x) = x4 funksiyani olish mukin. Bu funksiya uchun f ''(x) = 12 x2 ≥0 . Demak, f ''(0) = 0, lekin funksiya grafigining qavariqlik yo’nalishi pastga qaragan. 6- teorema. (bukilish nuqta uchun birinchi yetarlilik sharti). Berilgan f funksiya c nuqtaning biror atrofida ikki marta differensiallanuvchi bo’lib, f ''(c) = 0 bo’lsin. Agar ikkinchi tartibli hosila c nuqtadan chapda va o’ngda turli ishoralarga ega bo’lsa, (c, f(c)) nuqta funksiya grafigining bukilish nuqtasi bo’ladi. Isbot. Bevosita 4- teoremadan kelib chiqadi. Haqiqatan ham, bu teoremaga ko’ra, f funksiya grafigining qavariqligi c nuqtaning chap o’ng tomonlarida turli yo’nalishlarga ega. Shuning uchun, (c, f(c))- bukilish nuqtadir. Eslatma. Ravshanki 6-teoremada ikkinchi taribli hosilani c nuqtaning o’zida mavjudligini talab qilish shart bo’lmasdan, bu hosilaning c nuqtadan chap va o’ng tomonda turgan nuqtalarda mavjud bo’lib, o’sha c nuqtadan chap va o’ng turli ishoralarga ega bo’lishini talab qilish yetarlidir. 3-misol. Quyidagi f(x) = x√| x| funksiyani qaraymiz. 7-rasm Bu funksiya butun sonlar o’qida uzluksiz differensiallanuvchi bo’lib, uning hosilasi f '(x) = 3 2 √| x| ga teng. Ravshanki, f funksiya x=0 nuqtadan boshqa barcha nuqtalarda ikkinchi tartibli hosilaga ega. Bu hosila nol nuqtadan tashqarida f ''(x) = 3 4 sign x √| x | ga teng. Ikkinchi tartibli hosila x = 0 nuqtadan chapda va o’ngda har xil ishoralarga ega bo’lgani uchun, funksiya grafigining qavariqligi chap va o’ngda turli yo’nalishlarga ega va shuning uchun, (0, 0) nuqta bukilish nuqtadir (7-rasm). Navbatdagi yetarlilik shartini tekshirish oson bo’lsa-da, lekin u o’rganilayotgan funksiyaga ko’proq shart qo’yadi. Chunonchi, bu shartda funksiya uchunchi tartibli hosilasining bukilishlikka tekshirilayotgan nuqtada mavjudligi talab qilinadi. 7- teorema. (bukilish nuqta uchun ikkinchi yetarlilik sharti). Berilgan f funksiya c nuqtaning biror atrofida ikki marta differensiallanuvchi bo’lib, f ''(c) = 0 bo’lsin. Agar c nuqtada uchinchi tartibli hosila mavjud bo’lib, ≠0 bo’lsa f funksiya grafigi (c, f(c)) nuqtada bukilishga ega bo’ladi. Isbot. Aniqlik uchun f ( 3) ( c ) > 0 deylik. U holda, ikkinchi tartibli f ''(x) hosila c nuqtada o’sadi, va f ''(c) = 0 bo’lgani uchun, ikkinchi tartibli hosila c nuqtadan chapda manfiy va undan o’ngda musbat bo’ladi. Shuning uchun, 6-teoremaga asosan, f funksiya grafigi (c, f(c)) nuqtada bukilishga ega. f '''(c) = 0 bo’lsa, 7- teoremaga f funksiya grafigi (c, f(c)) nuqtada bukilishga ega bo’lishi haqida hech qanday ma’lumot bera olmaydi. Bu holda biror ijobiy natija olish uchun funksiyaning yuqoriroq tartibli hosilalarini tekshirish lozim. 8- teorema . Faraz qolaylik, k ∈N uchun f funksiya c nuqtaning biror atrofida 2k- tartibli hosilalarga ega bo’lib, c nuqtada bo’lsin. Agar c nuqtada f ''(c) = f '''(c) =….= f(2k)(c)=0 (13) bo’lsin. Agar c nuqtada f(2k)(c)≠0 bo’lsa, (c, f(c)) nuqta f funksiya grafigining bukilish nuqtasi bo’ladi. Isbot. Ikkinchi tartibli hosila f ''(x) uchun Teylor formulasidan foydalanamiz. Bu formulaga asosan, c va x nuqtalar orasida shunday ξ topiladiki, u uchun f ' ' ( x ) = f ' ' ( c ) + f ( 3)( c) ( x − c ) + f ( 4)( c) 2 !( x − c ) 2 + f ( 5)( c) 3 !( x − c ) 3 + … + + f ( 2 k − 1 ) ( c ) ( 2 k − 1 ) ! ( x − c ) 2 k − 1 + f ( 2 k ) ( ξ ) ( 2 k − 2 ) ! ( x − c ) 2 k − 2 (14) Tenglik o’rinli bo’ladi. Agar (13) tengliklarni e’tiborga olsak, (14) dan f ' ' ( x ) = f(2k)(ξ) (2k−2)!(x−c)2k−2 , 0 ¿ ξ − c x − c < ¿ 1, (15) munosabatni olamiz. Aniqlik uchun 2k+1- tartibli hosila c nuqtada musbat bo’lsin, deb faraz qilamiz, ya’ni f ( 2 k + 1 )( c) > 0 bo’lsin. Natijada, oldingi f ( 2 k )( x ) hosilaning c nuqtada o’sishi kelib chiqadi. Boshqacha aytganda, bu hosila c nuqtadan chapda bu nuqtadagi qiymatdan kichik va undann o’ngda esa, bu qiymatdan kata qiymat qabul qiladi. Bundan, f(2k)(c)=0 bo’lgani va ξ nuqta c va x nuqtalar orasida yotgani uchun, x ¿cda f(2k)(ξ)<0bo'ladi va x ¿ c da f ( 2 k )( ξ ) > 0 b o ' ladi ( 16 ) degan shartning bajarilishi ma’lum bo’ladi. Demak, (x−c)2k−2 funksiya juft bo’lgani uchun, f(2k)(ξ)(x−c)2k−2(17 ) Ifoda c nuqtanignn chap va o’ng tomonlarida turli ishoralarga ega. Shunday ekan, (15) tenglikdan ikkinchi tartibli f ' ' ( x ) hosila ham xuddi shunday xossaga ega ekani kelib chiqadi. U holda, 5-teoremaga ko’ra, f funksiya grafigi (c, f(c)) nuqtada bukilishga ega. f ( 2 k )( c) < 0 bo’lganda ham isbot xuddi shunday yo’l bilan amalga oshiriladi. 4. Funksiya grafigining asimptotalari. Funksiya grafigi o’rganilayotganda ko’pincha yaxshi ma’lim bo’lgann shunday <<etalon>> ffunksiya topishga harakat qilinadiki, uning grafigi qaralayotgan funksiya grafigiga iloji boricha yaqin bo’lsin. Ko’p hollarda ana shunday etalon funksiya sifatida y = kx+b (18) ko’rinishga ega bo’lgan chiziqli funksiya olinadi. Ta’rif. Agar f funksiya f(x) = kx+b+α(x) (19) ko’rinishga ega bo’lib bunda lim x → + ∞ α( x ) = 0 (20) bo’lsa, (18) tenglik bilan aniqlangann funksiya f funksiyaning x → +∞ dagi asimptotasi deb ataladi. Masalan, f(x)= 2 x 2 + 3 x + 5 x + 1 funksiya grafigi y=2x+1 asimptotaga ega, chunki (8-rasm) f(x)=2x+1+ 4 x + 1 . 8- rasm Funksiyaning x → −∞ dagi asimptotasi ham xuddi yuqoridagidek aniqlanadi. 9- teorema. Berilgan f funksiya grafigi x → + ∞ da (18) asimptotaga ega bo’lishi uchun quyidagi ikki lim x → + ∞ f ( x ) x = k ( 21 ) va limx→+∞[f(x)− kx ]=¿ b (22) Limitlarning mavjud bo’lishi zarur va yetarli. Isbot. 1) Faraz qilaylik, (19) va (20) shartlar bajarilsin. (19) tenglikni f ( x ) x = k+ b x + α ( x ) x (23) Kabi yozib olamiz. Agar (20) ni e’tiborga olsak, (23) tenglikdan (21) kelib chiqadi va (19) tenglikdan esa, (22) ni olamiz. 2) Endi (21) va (22) limitlar mavjud bo’lsin, deb faraz qilamiz. Limitga o’tish amali chiziqli bo’lgani uchun, (22) tenglikni lim x → + ∞ [ f ( x ) − kx − b ] = 0 Deb yozib olishimiz mumkin. Ravshanki, bundan (20) asimptotik tenglikka ega bo’lamiz. Ta’rif. Agar quyidagi ikki limx→a+0f(x) yoki limx→a−0f(x) bir tomonlama limitlardan kamida bittasi + ∞ yoki − ∞ ga teng bo’lsa, f funksiya grafigi x=a vertical asimptotaga ega deyiladi (9-rasmga qarang). 9-rasm 5. Funksiya grafigini xomaki chizish. Bu bandda, yuqoridagi natijalarga asoslanib, funksiya grafigini o’rganish va qurishning asosiy bosqichlarini keltiramiz. 4-misol. Quyidagi funksiyaning taxminiy grafigini chizing: f ( x ) = ( 2 x + 3 ) e 2 x . 10-rasm 1. Avvalo shuni qayd etamizki, (24) tenglik bilan f funksiya x = 0 nuqtadan boshqa barcha x∈R nuqtalarda aniqlangan. Shuning uchun, biz f funksiyaning tabiiy aniqlanish sohasi sifatida D(f) = (- ∞ , 0 ¿ ∪ ( 0 , + ∞ ) (25) to’plamni olishimiz mumkin (10-rasm) 2. Ravshanki, o’rganilayotgan funksiya faqat x 0 = − 3 2 nuqtada aylanadi. Bundan tashqari, funksiya (- ∞ , − 3 2 ¿ yarim to’g’ri chiziqda manfiy va (- 3 2 , 0 ¿ hamda (0, + ∞ ¿ intervallarda musbat qiymatlarni qabul qiladi. 0 nuqtada chap limit nolga teng: lim x → 0 − 0 f ( x ) = 0 , (26) Bu nuqtada o’ng limit esa, + ∞ ga teng: lim x → 0 + 0 f ( x ) = + ∞ , (27) 3. Berilgan (24) funksiya hosilasi f '(x) = 2 e x ( x 2 − 2 x − 3 ¿ e 2 x = 2 x 2 ( x + 1 ) ( x − 3 ) e 2 x (28) ga teng. Bevosita bu tenglikdan statsioner nuqtalar x 2 = − 1 va x 2 = 3 ekani kelib chiqadi. x1=−1 nuqtadan chapda va x2=3 nuqtadan o’ngdan hosila musbat bo’ib, boshqa barcha nuqtalarda u manfiy bo’ladi. Demak, x 1 = − 1 nuqta funksiyaning lokal maksimum va x2=3 nuqta esa, uning lokal minimum nuqtalari ekan. Bundan tashqari, f(-1) = e − 2 = 0,135…, f(3) = 17,529… Funksiya (- ∞ ,−1¿ yarim to’g’ri chiziqda o’sadi, (-1, 0) va (0, 3) intervallarda esa u kamayib, (3, + ∞ ¿ yarim to’g’ri chiziqda funksiya yana o’sadi. 4. Ikkinchi tartibli hosila f ''(x) = 20 x 4 (x+ 3 5 ¿ e 2 x (29) ga teng. Bu tenglikdan ikkinchi tartibli hosila x 3 = − 3 5 nuqtada nolga aylanishi kelib chiqadi. Bundan tashqari, f(- 3 5 ¿ = 9 5 e − 10 3 = 0,064 … ekanini ko’rish oson. Ikkinchi tartibli hosila bu nuqtadan chapda manfiy va o’ngda musbat. Shuning uchun, ( x3,f(x3)¿ nuqta (24) funksiya grafigining bukilish nuqtasidir. Bu nuqtadan chapda funksiya grafigining qavariqlik yo’nalishi tepaga qaragan, o’ngda esa bu yo’nalish pastga qaragan. 5. Teylor formulasidan x → ±∞ da e 2x = 1 + 2 x + O ( 1 ) x 2 , x → ±∞ , ekanligi kelib chiqadi. Shuning uchun, f(x)=(2x+3)( 1 + 2 x + O ( 1 ) x 2 ) = 2x+7+ O ( 1 ) x 2 (30) Bu tenglik funksiya grafigi y = 2x+7 (31) og’ma asimptotaga ega ekanligini anglatadi. Bundan tashqari, (27) tenglikka ko’ra, ordinatalar o’qi grafikning vertikal asimptotasi bo’ladi. 1-5 bandlarda o’rnatilgan xossalarga asosan funksiya grafigining xomaki chizmasini qurishimiz mumkin. Xulosa Ushbu kurs ishidan xulosam shuki, bu mavzuni yozish mobaynida men juda ko’p ma’lumotlarga ega bo’ldim. Bilganlarimni takrorlab, bilmaganlarimni o’rganib mustahkamlab oldim. Ayniqsa, Funksiyalar grafigini tekshirish va unga bog`liq tushunchalar borasida chuqur bilimlarga ega bo’ldim. Funksiyalar grafigini tekshirish orqali misollarni yechishni o`rgandim. Funksiyalar grafigini tekshirishga oid turli bilimlarimni mustahkamladim. Grafiklarni tekshirish borasida turli tushunchalarga ega bo`ldim. Kurs ishidagi mavzularni o’rganishda men matematik analiz faniga oid kitoblarni yanada ko’proq o’rgandim. Funksiyalar grafigini tekshirish ga doir misollarni ishlashni o’rgandim va shu mavzuga doir misollarni kurs ishiga kiritdim. Ushbu kurs ishida “ Funksiyalar grafigini tekshirish ” mavusi yoritib berildi. Oliy matematikaning dastlabki qismini o’rganish mobaynida men Funksiya grafigi, funksiyalarning hosila va differensiallari hamda funksiyalar qavariqligi va botiqligi haqidagi bilimlarni mustahkamladim. Kurs ishi kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat bo’ldi. Asosiy qism 5 ta paragrafga bo’lingan holda o’rganildi. 1-§ da Lokal ekstremum nuqtalarni topish , 2-§ da Funksiya grafigining qavariqligi , 3-§ da Bukilish nuqtalari , 4-§ da Funksiya grafigining asimptotalari va 5-§ da funksiya grafigin xomaki chizish haqidagi ma’lumotlar yoritildi. Men mana shu kurs ishimni yozish davomida Funksiyalar grafigini tekshirish bilan keng ma’noda tanishdim va chuqur bilimlarga ega bo’ldim. Xulosa qilib aytganda , ushbu kurs ishida o’rganilgan Funksiya grafigini tekshirish mavzusi amaliy ahamiyatga ega bo’lgan matematik analiz fanidagi muhim mavzulardan bo’lib , undan universitetdagi fizika, matematika va informatika yo’nalishlarida tahsil olayotgan talabalar foydalanishlari mumkin. Foy dalanilgan adabiy ot lar 1. Shavkat Mirziyoyev. Buyuk kelajagimizni mard va oliyjanob xalqimiz bilan birga quramiz. 2. Shavkat Mirziyoyev. Erkin va farovon hayot barpo etamiz. 3. Shavkat Mirziyoyev. Qonun ustuvorligi va inson manfaatlarini ta’minlash. 4. T. Azlarov, X. Mansurov. Matematik analiz . 1-qism. T. “O’qituvchi”. 1994. 5. Sh. Alimov, R Ashurov. Matematik analiz. O’zMU. (Mexanika- matematika fakulteti talabalari uchun ma’ruzalar matni) 2005. 6. В.А Зорич, Математический анализ. ч. 1. М , “ Наука ”. 1981. 7. Sh. Alimov. Algebra va analiz asoslari . O’rta maktabning 10-11 sinfi uchun darslik. T . “ O ’ qituvchi ” 1996. 350 b. 8. Б.П. ДемLович, Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М 1990. 9. С.М. Николский, Курс математического анализа . Т. 1. М.” Наука” 1973. 10. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учебное пособие для вузов. - 20-е изд. - М.: Наука. Главная редакция физико- математической литературы, 1985. - 384 с. 11. A . N . Kolmogorov va boshq . Algebra va analiz asoslari . O’rta maktabning 10- 11 sinfi uchun darslik. T. “O’qituvchi” 1994. 350 b. 12. С.А.Лактионов, М.И.Журавлева, С.Ф.Гаврикова. Построение графиков в пакете Maple: СибГИУ. -Новокузнецк, 2012. - 40 с. 13. http://olo.looblogs.info/issledovanie-funkcij-maple.html 14. http://maple.plusby.com/index.html

Funksiyalar  grafigini tekshirish
Kirish.

  1. Asosiy  qism.
    1. Lokal  ekstremum nuqtalarni  topish.
    2. Funksiya  grafigining qavariqligi
    3. Bukilish  nuqtalari
    4. Funksiya  grafigining asimptotalari
    5. Funksiya  grafigini xomaki  chizish
  2. Xulosa
  3. Foydalanilgan adabiyotlar

                             
 

Sotib olish