Gruppalarning to‘gri va yarim to‘g‘ri ko‘paytmasi - Algebra - Referatlar

Dokument ma'lumotlari

Narxi	10000UZS
Hajmi	39.3KB
Xaridlar	1
Yuklab olingan sana	12 Aprel 2024
Kengaytma	docx
Bo'lim	Referatlar
Fan	Algebra

Sotuvchi

Khaytbaeva

Ro'yxatga olish sanasi 12 Aprel 2024

1 Sotish

Gruppalarning to‘gri va yarim to‘g‘ri ko‘paytmasi

Sotib olish

Gruppalarning to‘gri va yarim to‘g‘ri ko‘paytmasi
Reja:
1. Gruppalarning to’g’ri ko’paytmasi
2. Gruppalarning yarim to‘g‘ri ko‘paytmasi
3. Mavzuga doir misollar

Ushbu mavzuni gruppalarning to‘g‘ri ko‘paytmasi tushunchasini
kiritamiz. Gruppalarning to‘g‘ri ko‘paytmasi yuqori tartibli gruppalarni kichik
tartibli gruppalar orqali o‘rganish imkonini beradi. Bu orgali gruppalarning ba’zi
umumiy xossalarini ham o‘rganish mumkin. Dastlab, quyidagi misolni qarab
chiqamiz.
1-misol. Bizga ( G
1 , ∗
1 ) va ( G
2 , ∗
2 ) gruppalar berilgan bo‘lsin. Ushbu
to‘plamlarning G
1 × G
2 dekart ko‘paytmasida quyidagicha binar amal aniqlaymiz:
( a
1 , a
2 ) ∗ ( b
1 , b
2 ) = ( a
1 ∗
1 b
1 , a
2 ∗
2 b
2 ) .
Ushbu amalga nisbatan G
1 × G
2 dekart ko‘paytmaning gruppa tashkil
qilishini tekshirish qiyin emas. Haqiqatdan ham, ushbu amal binar amal ekanligi
va as- sosiativlik shartining bajarilishi osongina kelib chiqib, G
1 × G
2 to‘plamda
( e
1 , e
2 ) element birlik element vazifasini bajaradi, bu yerda e
1 va e
2 mos ravishda
G
1 va G
2 gruppalarning birlik elementlari. Ixtiyoriy ( a
1 , a
2 ) elementning teskarisi
esa,
( a −
1 1
, a −
2 1
) bo‘ladi, bu yerda a −
1 1
va a −
2 1

elementlar mos ravishda G
1 va G
2 gruppalardagi a
1 va a
2 elementlarning
teskarilari.
Endi yuqoridagi misolni umumlashtirgan holda ixtiyoriy sondagi G
1 , G
2 , . . . , G
n
gruppalarning tashqi to‘g‘ri ko‘paytmasi tushunchasini kirita- miz. Buning uchun
G = G
1 × G
2 × · · · × G
n = {( a
1 , a
2 , . . . , a
n ) | a
i ∈ G
i }
to‘plamda ∗ binar amalni
( a
1 , a
2 , . . . , a
n ) ∗ ( b
1 , b
2 , . . . , b
n ) = ( a
1 · b
1 , a
2 · b
2 , . . . , a
n · b
n )
kabi aniqlaymiz, bu yerda shartli ravishda G
i gruppalarning barchasidagi
binar amallar bir xil · kabi belgilangan. G to‘plam ushbu amalga nisbatan gruppa
tashkil qilib, u G
1 , G
2 , . . . , G
n gruppalarning tashqi to‘g‘ri ko‘paytmasi deb
ataladi.
Ta’kidlash joizki, gruppalarning tashqi to‘g‘ri ko‘paytmasining birlik elementi

( e
1 , e
2 , . . . , e
n ) bo‘lib, ( a
1 , a
2 , . . . , a
n ) −1
= ( a
1 −1
, a
n −1
, . . . , a −
n 1
) bo‘ladi. Quyidagi
teoremada gruppalarning tashqi to‘g‘ri ko‘paytmasining ba’zi muhim xossalarini
keltiramiz.
1-teorema. Aytaylik, G
1 , G
2 , . . . , G
n gruppalar berilgan bo‘lib, G
ularning tashqi to‘g‘ri ko‘paytmasi bo‘lsin. H
i = {( e
1 , e
2 , . . . , e
i −1 , a
i , e
i +1 , . . . , e
n )
| a
i ∈ G
i } to‘plamlar uchun quyidagilar o‘rinli:
1. Ixtiyoriy i (1 ≤ i ≤ n ) uchun H
i to‘plam G gruppaning normal
qism gruppasi bo‘ladi.
2. Ixtiyoriy a ∈ G elementni yagona ravishda a = h
1 ∗ h
2 ∗ · · · ∗
h
n kabi yozish mumkin, bu yerda h
i ∈ H
i .
3) G = H
1 ∗ H
2 ∗ · · · ∗ H
n .
4) H
i ∩ ( H
1 ∗ · · · ∗ H
i −1 ∗ H
i +1 ∗ · · · ∗ H
n ) = { e } .
Isbot. 1) Aytaylik, a = ( e
1 , . . . , a
i , . . . , e
n ) , b = ( e
1 , . . . , b
i , . . . , e
n ) ∈ H
i
bo‘lsin, u holda
a ∗ b −1
= ( e
1 , . . . , a
i , . . . , e
n ) ∗ ( e
1 , . . . , b
i , . . . , e
n ) −1

= ( e
1 , . . . , a
i , . . . , e
n ) ∗ ( e
1 , .. . , b
i −1
, . . . , e
n )
= ( e
1 , . . . , a
i · b
i −1
, . . . , e
n ) ∈ H
i .
Bundan esa, H
i to‘plam G gruppaning qism gruppasi ekanligi kelib
chiqadi. Endi uning normal qism gruppa bo‘lishini ko‘rsatamiz.
Ixtiyoriy g = ( g
1 , g
2 , . . . , g
n ) ∈ G element uchun
g ∗ a ∗ g −1
= ( g
1 , g
2 , . . . , g
n ) ∗ ( e
1 , . . . , a
i , . . . , e
n ) ∗ ( g
1 , g
2 , . . . , g
n ) −1

= ( g
1 , . . . , g
i · a
i , . . . , g
n ) ∗ ( g
1 −1
, g
2 −1
, . . . , g
n −1
)
= ( e
1 , . . . , g
i · a
i · g
i −1
, . . . , e
n ) ∈ H
i .
Demak, H
i normal qism gruppa.
2. Ixtiyoriy a = ( a
1 , . . . , a
n ) ∈ G element uchun h
i = ( e
1 , . . .

, a
i , . . . , e
n ) ∈ H
i , 1 ≤ i ≤ n elementlarni olsak a = h
1 ∗ h
2 ∗ · · · ∗ h
n
bo‘ladi. Endi a elementning bunday ifodasini yagona ekanligini ko‘rsatamiz.
Faraz qilaylik, qandaydir k
i ∈ H
i elementlar uchun a = k
1 ∗ k
2 ∗ · · · ∗ k
n bo‘lsin, u
holda k
i = ( e
1 , . . . , b
i , . . . , e
n ) bo‘lib,
a = ( a
1 , a
2 . . . , a
n ) = k
1 ∗ k
2 ∗ · · · ∗ k
n = ( b
1 , b
2 , . . . , b
n ) bo‘ladi. Bundan
esa, a
i = b
i , ya’ni h
i = k
i ekanligi kelib chiqadi.
3. G = H
1 ∗ H
2 ∗ · · · ∗ H
n ekanligi (ii) dan to‘g‘ridan-to‘g‘ri kelib chiqadi.
4. Aytaylik, a ∈ H
i ∩ ( H
1 ∗ · · · ∗ H
i −1 ∗ H
i +1 ∗ · · · ∗ H
n ) bo‘lsin, u holda
a ∈ H
i va a ∈ H
1 ∗ · · · ∗ H
i −1 ∗ H
i +1 ∗ · · · ∗ H
n .
Demak, birinchi tomondan a = ( e
1 , . . . , a
i , . . . , e
n ) , ikkinchi tomondan esa ushbu
a element
h
1 , . . . , h
i , h
i +1 , . . . , h
n
elementlarning ko ‘ paytmasi ko ‘ rinishida ifodalanadi , bu yerda a
i ∈ G
i va
h
j ∈ H
j ,
ya ’ ni h
j = ( e
1 , . . . , b
j , . . . , e
n ) . Demak,
a = ( e
1 , . . . , a
i , . . . , e
n ) = h
i ∗ . . . h
i −1 ∗ h
i +1 ∗ · · · ∗ h
n = ( b
1 , . . . , b
i −1 , e
i , b
i +1 , . . . ,
b
n ) .
Bundan esa, a
i = e
i va b
j = e
j ekanligi kelib chiqadi, ya’ni
H
i ∩ ( H
1 ∗ · · · ∗ H
i −1 ∗ H
i +1 ∗ · · · ∗ H
n ) = { e } .
Endi gruppada normal qism gruppalarning ichki to‘g‘ri ko‘paytmasi
tushun- chasini kiritamiz. Ichki to‘g‘ri ko‘paytma tushunchasini kiritishga
yuqoridagi teo- remada G gruppaning kesishmalari birlik elementlardan iborat
bo‘lgan H
i normal qism gruppalarning ko‘paytmasi ko‘rininshda ifodalanishi
asosiy turtki bo‘lgan deyish mumkin.

1-ta’rif. Agar G gruppada H va K normal qism gruppalar berilgan bo‘lib, G = H
· K va H ∩ K = { e } bo‘lsa, u holda G gruppa ushbu normal qism grup- palarning
ichki to‘g‘ri ko‘paytmasi shaklida ifodalanadi deyiladi.
Ta’kidlash joizki, agar gruppaning ixtiyoriy H va K normal qism gruppalari
uchun H ∩ K = { e } shart o‘rinli bo‘lsa, u holda ∀ h ∈ H va ∀ k ∈ K uchun h · k = k
· h bo‘ladi. Haqiqatdan ham, H va K larning normalligidan foydalansak, ( k −1
· h ·
k ) · h −1
= k −1
· ( h · k · h −1
) element H ∩ K gruppaga tegishli ekanligi kelib chiqadi.
Demak, ( k −1
· h · k ) · h −1
= e, bundan esa h · k = k · h hosil bo‘ladi.
Bundan tashqari, G gruppa H va K normal qism gruppalarning ichki to‘g‘ri
ko‘paytmasi shaklida ifodalansa, ixtiyoriy g ∈ G elementni yagona ravishda g = h
· k, h ∈ H, k ∈ K ko‘rinishida ifodalash mumkin. Ushbu ifodaning mavjudligi
ta’rifdan bevosita kelib chiqsa, uning yagonaligi esa quyidagi mulo- hazalardan
kelib chiqadi. Faraz qilaylik, g = h · k = h
1 · k
1 , h, h
1 ∈ H, k, k
1 ∈ K bo‘lsin, u
holda h −
1 1
· h, k
1 −1
· k ∈ H ∩ K = { e } ekanligidan h
1 = h va k
1 = k kelib chiqadi.
Ushbu mulohazalardan foydalanib, G gruppa o‘zining bir nechta H
1 , H
2 , . . . , H
n
normal qism gruppalarining ichki to‘g‘ri ko‘paytmasi shakl- idagi yoyilishi
ta’rifini quyidagicha kiritamiz.
2-ta’rif. Agar G gruppaning ixtiyoriy g ∈ G elementini h
i ∈ H
i ( H
i a G )
ele- mentlarning ko‘paytmasi ko‘rinishida g = h
1 · h
2 · . . . · h
n yagona ravishda
ifodalash mumkin bo‘lsa, u holda G gruppa H
1 , H
2 , . . . , H
n normal qism
gruppalarining ichki to‘g‘ri ko‘paytmasi shaklida ifodalanadi deyiladi.
Ta’kidlash joizki, G gruppa H
1 , H
2 , . . . , H
n normal qism gruppalarining ichki
to‘g‘ri ko‘paytmasi shaklida ifodalanishi uchun G = N
1 · N
2 · . . . · N
n va N
i ( N
1 . . .
N
i −1 N
i +1 . . . N
n ) = { e } bo‘lishi zarur va yetarli.
Endi tashqi va ichki to‘g‘ri ko‘paytmalar orasidagi bog‘lanishni kelti- ramiz.
Agar G gruppa H
1 , H
2 , . . . , H
n normal qism gruppalarning ichki to‘g‘ri
ko‘paytmasi shaklida ifodalansa, u holda G gruppani ushbu normal qism

gruppalarning tashqi to‘g‘ri ko‘paytmasi sifatida qarash mumkin. Ya’ni quyidagi
teo- rema o‘rinli.
2-teorema. Agar G gruppa H
1 , H
2 , . . . , H
n normal qism gruppalarining
ichki to‘g‘ri ko‘paytmasi shaklida ifodalansa, u holda
G ∼
= H 1 × H 2 × · · · × Hn,

ya’ni G gruppa ushbu normal qism gruppalarining tashqi to‘g‘ri
ko‘paytmasiga izomorf bo‘ladi.
Isbot. Ixtiyoriy g ∈ G element yagona ravishda g = h
1 h
2 . . . h
n , h
i ∈ H
i
ko‘rinishida ifodalanishidan foydalanib, f : G → H
1 × H
2 ×· · · × H
n akslantirishni
f ( g ) = ( h
1 , h
2 , . . . , h
n ) kabi aniqlaymiz. Ushbu akslantirishning to‘g‘ri
aniqlanganligi va o‘zaro bir qiy- matli moslik ekanligini osongina ko‘rsatish
mumkin. Endi ushbu akslantirishning gomomorfizm ekanligini ko‘rsatamiz.
Ixtiyoriy a = a
1 a
2 . . . a
n va b = b
1 b
2 . . . b
n elementlarni olamiz, bu yerda a, b ∈ G
va a
i , b
i ∈ N
i . U holda N
i ∩ N
j = { e } bo‘lganligi uchun a
i · b
j = b
j · a
j bo‘lib,
f ( a · b ) = f ( a
1 a
2 . . . a
n ) · ( b
1 b
2 . . . b
n )
= f ( a
1 b
1 a
2 b
2 . . . a
n b
n ) =
= ( a
1 b
1 , a
2 b
2 , . . . a
n b
n ) = f ( a ) · f ( b ) ,
ya’ni f
gomomorfizm bo‘ladi.
Demak, G ∼
= H 1 × H 2 × · · · × Hn .

Yuqoridagi teoremadan gruppalarning tashqi va ichki to‘g‘ri ko‘paytmalari bir xil
xususiyatga ega ekanligi kelib chiqadi. Shuning uchun keyinchalik ularni farq-
lamasdan gruppalarning, shunchaki to‘g‘ri ko‘paytma deb ishlatiladi.
Quyida gruppalarning to‘g‘ri ko‘paytmasiga doir ba’zi tasdiqlarni keltiramiz.
1-tasdiq. Aytaylik, G va G
1 gruppalar va f : G → G
1 gomomorfizm berilgan
bo‘lsin. Agar H a G uchun f akslantirish H ni G
1 ga o‘tkazuvchi izomorfizm
bo‘lsa, u holda G = H × Kerf.

Isbot . f ( H ) = G
1 ekanligidan ixtiyoriy a ∈ G element uchun shunday h ∈
H element topilib , f ( a ) = f ( h ) bo ‘ lishi , ya ’ ni f ( h −1
· a ) = e
1 ekanligi kelib chiqadi .
Bu esa, h −1
· a ∈ Ker f ekanligini anglatadi. Bundan foydalanib, qandaydir b ∈
Ker f element uchun b = h −1
· a, ya’ni a = h · b deb yozish mumkin. Demak, G = H
· Ker f ekanligini hosil qildik. Endi H ∩ Ker f = { e } bo‘lishini ko‘rsatamiz.
Aytaylik a ∈ H ∩ Ker f bo‘lsin, u holda a ∈ Ker f ekanligidan f ( a ) = e
1 = f ( e )
tenglik kelib chiqadi. a, e ∈ H va f |
H : H → G
1 akslantirishning o‘zaro bir
qiymatliligidan a = e ekanligiga ega bo‘lamiz, ya’ni H ∩ Ker f = { e }. Demak, G =
H × Ker f .
2-tasdiq. Aytaylik, G
1 , G
2 , . . . , G
n siklik gruppalar berilgan bo‘lib, | G
i | = m
i
bo‘lsin. G = G
1 × G
2 ×· · ·× G
n gruppa siklik bo‘lishi uchun m
1 , m
2 , . . . , m
n sonlari
o‘zaro tub bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Aytaylik, G
i = ⟨ a
i ⟩ bo‘lib, ixtiyoriy i, j uchun ( m
i , m
j ) = 1 bo‘lsin.
i ( a
1 , a
2 , . . . , a
n ) k
= ( e
1 , e
2 , . . . , e
n ) ekanligidan a k
= e
i , 1 ≤ i ≤ n bo‘lishi,
ya’ni k = m
i q
i kelib chiqadi. ( m
i , m
j ) = 1 bo‘lganligi uchun k soni ya’ni ( a
1 ,
a
2 , . . . , a
n ) elementning tartibi m
1 m
2 . . . m
n soniga bo‘linishi kelib chiqadi.
| G | = m
1 m
2 . . . m
n bo‘lganligi va ord ( a
1 , a
2 , . . . , a
n ) = m
1 m
2 . . . m
n ekanligidan
G = ⟨ ( a
1 , a
2 , . . . , a
n ) ⟩ kelib chiqadi.
Agar qandaydir i, j uchun ( m
i , m
j ) = d > 1 bo‘lsa, u holda p =
EKUK( m
1 , m
2 , . . . , m
n ) < m
1 m
2 . . . m
n bo‘lib, ∀ g
i ∈ G
i uchun
( g
1 , g
2 , . . . , g
n ) p
= ( g p
, g p
, . . . , g p
) = ( e
1 , e
2 , . . . , e
n )
1 2 n
bo‘ladi. Ya’ni G gruppa ixtiyoriy elementining tartibi m
1 m
2 . . . m
n = | G |
sonidan kichik bo‘ladi. Bundan esa, G gruppaning siklik emasligi kelib chiqadi.
Endi gruppa uning ikkita qism gruppalari yarim to‘g‘ri ko‘paytmasi shaklida
ifodalanishi ta’rifini keltiramiz. Yarim to‘g‘ri ko‘paytmaning to‘g‘ri
ko‘paytmadan farqli tomoni shundaki, bunda qism gruppalardan biri normal
bo‘lishi shart emas.

3-ta’rif. Agar G gruppaning H va K qism gruppalari berilgan bo‘lib, quyidagi
shartlar bajarilsa:
1) H normal qism gruppa,
2) H ∩ K = { e } ,
3) G = HK,
u holda G gruppa H va K qism gruppalarning yarim to‘g‘ri ko‘paytmasi
shak- lida ifodalanadi deyiladi va G = H
7 K kabi belgilanadi.
Ta’kidlash joizki, ushbu ta’rifdagi 2) va 3) sahrtlarni G gruppaning ixtiyoriy
elementi yagona ravishda h · k, h ∈ H, k ∈ K ko‘rinishida ifodalanish sharti bilan
almashtirish mumkin. Bundan tashqari, chekli gruppalar uchun | G | = | H || K | tenglik
o‘rinli bo‘ladi.
2-misol. Ushbu misolda ba’zi qism gruppalarning yarim to‘g‘ri
ko‘paytmalarini keltiramiz:
 S
n = A
n 7 ⟨ (1 , 2) ⟩ , ya’ni o‘rin almashtirishlar gruppasi, juft o‘rin al-
mashtirishlar gruppasi va ikkinchi tartibli ⟨ (1 , 2) ⟩ siklik gruppalarning yarim
to‘g‘ri ko‘paytmasi shaklida ifodalanadi.
 S
4 = K
4 7 S
3 , bu yerda K
4 = { e, (12)(34) , (13)(24) , (14)(23)} to‘rtinchi
tar- tibli Kleyn gruppasi, S
3 esa, S
4 ning 4 ni o‘z joyida qoldiruvchi
elementlaridan tashkil topgan qism gruppasi.
 GL
n (R) = SL
n (R) 7 { diag ( λ , 1 , . . . , 1) , λ 0} .
Agar G = H 7 K bo‘lsa, u holda G/H ∼ = K ekanligini ko‘rish qiyin emas.
Lekin teskarisi har doim ham o‘rinli bo‘lavermaydi, ya’ni G gruppaning ixtiyoriy
H normal qism gruppasi uchun G/H faktor gruppaga izomorf bo‘lgan K gruppa
har doim ham mavjud bo‘lavermaydi. Masalan, G = Z va H = 2Z deb olsak, u
holda Z/ 2Z gruppaga izomorf bo‘ladigan qism gruppa mavjud emas.

Mavzuga dior misollar:
1. Quyidagi gruppalarning qaysilari siklik bo‘lishini aniqlang:

Z
2 × Z
9 .

Z
6 × Z
9 .

Z
3 × Z
5 × Z
8 .

Z
4 × Z
5 × Z
12 .

Z
7 × Z
15 × Z
16 .
2. Quyidagi gruppalarning siklik ekanligini ko‘rsating va barcha hosil qiluvchi
elementlarini toping :

Z
2 × Z
3 .

Z
5 × Z
6 .

Z
3 × Z
4 × Z
5 .

Z
2 × A
3 .
3. G = A × B kommutativ bo ‘ lishi uchun A va B gruppalar kommutativ bo ‘ lishi zarur
va yetarli ekanligini isbotlang.

4. Agar A, B, C va D gruppalar uchun A ∼ = C va B ∼ = D bo‘lsa, u holda
A × B ∼ = C × D ekanligini isbotlang.
5. Z
2 × Z
15 ∼ = Z
5 × Z
6 ekanligini isbotlang.
6. K
4 ∼ = Z
2 × Z
2 ekanligini isbotlang.
7. Ixtiyoriy G
1 , G
2 , . . . , G
n gruppalar uchun
Z ( G
1 × G
2 × · · · × G
n ) = Z ( G
1 ) × Z ( G
2 ) × · · · × Z ( G
n ) .
ekanligini isbotlang.
8. G gruppa H va K uning qism gruppalari bo‘lib, G = H × K bo‘lsa, u holda
G/K ∼ = H va G/H ∼ = K ekanligini isbotlang.
9. Aytaylik G gruppa H va K uning normal qism gruppalari bo‘lsin. Agar
G = HK va H ∩ K = N bo‘lsa, u holda G/N ∼ = H/N × K/N ekanligini
isbotlang.
10. Quyidagi gruppalarning qiysilarini ikkita qism gruppasining to‘g‘ri
ko‘paytmasi shaklida ifodalash mimkin:
Z
8 , Z
12 , Z
15 , Z
20 , S
3 , D
3 , (Z , +) , (Q , +)

Sotib olish