Dokument ma'lumotlari

Narxi 30000UZS
Hajmi 901.0KB
Xaridlar 0
Yuklab olingan sana 04 Iyun 2025
Kengaytma docx
Bo'lim Kurs ishlari
Fan Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

169 Sotish

Ikkinchi tartibli chiziq umumiy tenglamasini invariantlar yordamida soddalashtirishning metrik masalalari

Sotib olish
O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM , FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI Farg‘ona davlat universiteti Fizika-Matematika fakulteti Matematika yo‘nalishi 24.02-guruh talabasi qizining Analitik geometriya fanidan “Ikkinchi tartibli chiziq umumiy tenglamasini invariantlar yordamida soddalashtirishning metrik masalalari” mavzusiga KURS ISHI Kurs ishi rahbari: Farg‘ona-2025 MUNDARIJA KIRISH I-BOB. TEKISLIKDA IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLAR 1.1.Aylana va Ellips va ularning kanonik tenglamalari…………………………………………………………………….6 1.2. Giperbola va Parabolaning kanonik tenglamasi………………………………………………………………………13 II-BOB. IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQ UMUMIY TENGLAMASINI INVARIANTLAR YORDAMIDA SODDALASHTIRISHNING METRIK MASALALARI 2.1. Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqni soddalashtirish …………………………………………………………………24 2.2. Ikkinchi tartibli chiziq umumiy tenglamasini invariantlar yordamida soddalashtirish …………………………………………………………………28 XULOSA FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR KIRISH “Agar mendan sizni nima qiynaydi?” deb so‘rasangiz, farzandlarimizning ta’lim- tarbiyasi deb javob beraman!!! Shavkat Mirziyoyev Ilg‘or millat va rivojlangan davlat bo‘lishning zarur shartlaridan biri aqliy va jismoniy, madaniy va ma’naviy, axloqiy, g‘oyaviy – siyosiy va huquqiy jihatdan, har tomonlama yetuk, barkamol insonlarga ega bo‘lishdir. Ma’naviy – ma’rifiy jihatdan inson irodasi mustahkam, e’tiqodi yuksak, vijdon amri bilan yashaydigan shaxs, barkamol avlod har qanday davlat, xalq va millatning eng katta boyligi, qudrati salohiyati manbayidir. Mamlakatimiz prezidenti tomonidan ta’kidlab kelinayotganidek, “Har qaysi davlat, har qaysi millat nafaqat yerosti va yerusti boyliklari bilan, harbiy qudrati va ishlab chiqarish salohiyati bilan, balki birinchi navbatda o‘zining yuksak madaniyati va ma’naviyati bilan kuchlidir”. Odamlari, fuqarolari bilimli – zakovatli, uddaburon, g‘oyaviy siyosiy jihatdan ziyrak va hushyor, tadbirkor, har tomonlama yetuk bo‘lgan jamiyat har qanday islohotlarga qodir bo‘ladi va har qanday muammo va qiyinchiliklarni yenga oladi. Oliy rahbarimiz bu haqida shunday dedi: “Lo‘nda qilib aytganda, bugungi kunda oldimizda qo‘ygan buyuk maqsadlarimizga, ezgu niyatlartimizga erishishimizda jamiyatimizning yangilanishi, hayotimizning taraqqiyoti va istiqboli amalga oshirayotgan islohotlarimiz, rejalarimizning samarasi taqdiri bularning barchasi avvalambor zamon talablariga javob beradigan yuqori malakali, ongli mutaxassis kadrlar tayyorlash muammosi bilan chambarchas bog‘liqligini barchamiz anglab yetmoqdamiz. Shu bilan birga barchamiz yana bir haqiqatni anglab yetmoqdamiz. Faqatgina chinakam ma’rifatli odam inson qadrini, millat qadriyatlarini, bir so‘z bilan aytganda, o‘zligini aniqlash, erkin va ozod jamiyatda yashash, mustaqil davlatimizning jahon hamjamiyatida o‘ziga munosib, fidoiylik bilan kurashishi mumkin”. Mustaqil va erkin fikrlayotgan, ongli yashaydigan, o‘z haq – huquqlarini yaxshi taniydigan, o‘z kuchi va aqliga ishonadigan, ma’naviy – axloqiy yetuk barkamol bo‘lgan avlodni, mustaqil fikrlashga qodir, jasoratli, fidoiy va tashabbuskor kishilarni tarbiyalab yetkazadigan xalq va millat kelajakka ochiq ko‘z, katta ishonch, umid va ixlos bilan qaray oladi. Fuqarolarni ana shunday noyob xislat va fazilat sohiblari qilib shakllantirilgan davlatning istiqboli porloq bo‘ladi. Kurs ishining dolzarbligi: Yoshlarga ta’lim va tarbiya berishning murakkab vazifalarini hal etish o‘qituvchining g‘oyaviy e ’ tiqodi, kasb-mahoratiga, san’ati, iste’dodi va madaniyatiga hal qiluvchi darajada bog‘liqdir. Ta’lim- t arbiya jarayonini to‘g‘ri tashkil etish uchun barcha mavjud imkoniyatlarini safarbar etish o‘qituvchilarning birinchi navbatdagi vazifalaridan biridi . Matematika fani o‘sib kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o‘quv fani sifatida keng imkoniyatlarga ega. U o‘quvchi tafakkurini rivojlantirib, ularning aqlini peshlaydi, uni tartibga soladi, o‘quvchilarda maqsadga yo‘naltirganlik, mantiqiy fikrlash, topqirlik xislatlarini shakllantirib boradi. Shu bilan bir qatorda mulohazalarning to‘g‘ri, go‘zal tuzilganligi, o‘quvchilarni didli, go‘zallikka ehtiyojli qilib tarbiyalab boradi. Insoniyat kamoloti hayotning rivoji texnika va texnologiyalarning takomillashib borish asosida fanlar o‘qitilishiga bo‘lgan talablarini hisobga olgan holda maktab matematika kursini ularning zamonaviy rivoji bilan uyg‘unlashtirish maktabda o‘quvchilarga matematikani o‘qitishdan ko‘zda tutilgan asosiy maqsadlardan biridir. Matematika fani o‘quvchilarni iroda, diqqatni to‘plab olishni; qobiliyat va faollikni, tasavvurining rivojlangan bo‘lishini talab eta borib, mustaqil, ma’suliyatli, mehnatsevar, intizomli va mantiqiy fikrlash hamda o‘zining qarash va e’tiqodlarini dalillar asosida himoya qila olish ko‘nikmalarini rivojlantirishni talab qiladi. Hozirgi zamon darsiga qo‘yiladigan eng muhim talablardan biri har bir darsda tanlanadigan mavzuning ilmiy asoslangan bo‘lishidir, ya’ni darsdan ko‘zlangan maqsad hamda o‘quvchilar imkoniyatini hisobga olgan holda mavzu xajmini belgilash uning murakkabligini aniqlash, avvalgi o‘rganilgan mavzu bilan bog‘lash, o‘quvchilarga beriladigan topshiriq va mustaqil ishlarning ketma-ketligini aniqlash, darsda kerak bo‘ladigan jihozlarni belgilash va qo‘shimcha ko‘rgazmali qurollar bilan boyitish, qo‘shimcha axborot texnologiyalardan foydalangan holda muammoli vaziyatni yaratishdir. Dars davomida o‘qituvchi o‘quvchilarning jismoniy holatini, ijodkorligini, tez fikrlashlarini hisobga olishi kerak. Kurs ishining maqsadi va vazifalari: Geometriya fanining ba’zi bir tadbiqlari va asosiy xossalari haqida eng muhum tushunchalarini o‘rganish va Geometriya kursida olgan bilimlarimizni mustahkamlash. I-BOB. TEKISLIKDA IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLAR 1.1. Aylana va Ellips va ularning kanonik tenglamalari 1-ta’rif. Tekislikning berilgan nuqtasidan bir xil masofada joylashgan shu tekislik nuqtalarining geometrik o ‘ rniga aylana deb ataladi. Tekislikning berilgan nuqtasini aylananing markazi , undan aylanagacha masofani aylananing radiusi deb ataymiz. Markazi O( а ;b ) nuqtada bo’lib radiusi R ga teng aylananing tenglamasini t uzamiz (1 a -chizma). Aylananing ixtiyoriy nuqtasini M ( x;y ) desak aylananing ta‘rifiga binoan: МО = R. Ikki nuqta orasidagi masofani topish formulasidan foydalansak. yoki bu tenglikni har ikkala tomonini kvadratga ko ‘ tarsak (1) kelib chiqadi. Shunday qilib aylananing istalgan M ( x;y ) nuqtasining kooordinatalari (2) tenglamani qanoatlantirar ekan. Shuningdek aylanaga tegishli bo ‘ lmagan hech bir nuqtaning koordinatalari (2) tenglamani qanoatlantirmaydi. Demak (2) aylana tenglamasi. U aylananing kanonik (eng sodda) tenglamasi deb ataladi. Xususiy holda aylananing markazi 0 1 ( а ,b ) koordinatalar boshida bo ‘ lsa а =b =0 bo’lib uning tenglamasi (2) ko ‘ rinishga ega bo’ladi (1 b -chizma). Endi aylananing kanonik tenglamasini ikkinchi tartibli egri chiziqning umumiy tenglamasi (1) bilan taqqoslaymiz. (2) da qavslarni ochib ma’lum almashtirishlarni bajarsak u 1-chizma ( 3) ko ‘ rinishga ega bo’ladi. Buni (1) bilan taqqoslab unda х 2 bilan y 2 oldidagi koeffitsientlarni tengligini va koordinatalarni ko ‘p aytmasi xy ni yo’qligini ko’ramiz, ya’ni a 11= a 22 va a 12 =0.( 4 ) tenglamada a 11= a 22 va a 12 =0 bo’lsa u aylanani tenglamasi bo‘ladimi degan savolga javob izlaymiz. Soddalik uchun a 11= a 22 =1 deb olamiz. Aks holda tenglamani a 11 ga bo‘lib quyidagi tenglikni hosil qilishimiz mumkin. х 2 + y 2 + 2 a 13 x+2 a 23 y + a 33 =0 (5) Bu tenglamani hadlarini o‘zimizga qulay shaklda o‘rinlarini almashtirib to‘la kvadrat uchun zarur bo‘lgan va ni ham qo‘shamiz ham ayiramiz. U holda Yoki (6) h osil b o ‘ladi . Mumkin b o ‘lgan uch h olni q araymiz : 1) Bu holda (6) tenglamani (2) bilan taqqoslab u vaunga teng kuchli (5) tenglama ham markazi nuqtada, radiusi bo ‘ lgan aylanani ifodalashiga ishonch hosil qilamiz. . Bu holda (6) tenglama ko ‘ rinishga ega bo’ladi. Bu tenglamani yagona nuqtaning koordinatalari qanoatlantiradi xolos. 3) Bu holda (6) tenglama hech qanday egri chiziqni aniqlamaydi. Chunki tenglamaning o ‘ ng tomoni manfiy, chap tomoni esa manfiy emas. X ulosa . ( 1 ) tenglama a 11= a 22 va a 12 =0 hamda bo’lgandagina aylanani tenglamasini ifodalar ekan. 1-misol.x2+y2+2x− 4y− 4= 0 tenglama aylananing tenglamasi ekanligi ko ‘ rsatilsin va aylananing markazi hamda radiusi topilsin. Yechish . a 11= a 22 =1 , a 12 =0 demak berilgan tenglama aylanani umumiy tenglamasi ekan. Tenglamani ko ‘ rinish da y o zib undan (x+1)2+(y− 2)2= 32 aylananing kanonik tenglamasiga ega bo’lamiz. Shunday qilib aylananing markazi 0(-1;2) nuqta va radiusi R=3 ekan. 2-misol . x2− 2x+y2+2y+4= 0 tenglama hech qanday egri chiziqni aniqlamasligi ko’rsatilsin. Yechish . Tenglamani (x2− 2x+1)+(y2+2y+1)− 1− 1+4= 0 ko ‘ rinishda yozsak undan (x−1)2+(y+1)2=−2 tenglikka ega bo’lamiz. Koordinatalari bu tenglamani qanoatlantiruvchi nuqta mavjud emas. Demak berilgan tenglama hech qanday egri chiziqni tenglamasi emas. Ta’rif . Har bir nuqtasidan tekislikning berilgan ikkita nuqtasigacha masofalarning yig ‘ indisi o ‘ zgarmas bo ‘ lgan shu tekislik nuqtalarining geometrik o ‘ rniga ellips deb ataladi. Tekislikning berilgan nuqtalarini F 1 va F 2 orqali belgilab ularni ellipsning fokuslari deb ataymiz. Fokuslar orasidagi masofani 2 c va ellipsning har bir nuqtasidan uning fokuslarigacha bo ‘ lgan masofalarning yig ‘ indisini 2 a orqali belgilaymiz. 0 xy dekart koordinatalar sistemasini 0 x o ‘ qni ellipsning fokuslari F 1 va F 2 orqali o ‘ tkazib F 1 dan F 2 tomonga yo ‘ naltiramiz, koordinatalar boshini esa F 1 F 2 kesmaning o ‘ rtasiga joylashtiramiz. U holda fokuslar F 1 (- c ;0), F 2 (c,0) koordinatalarga ega bo’ladi (2-chizma). Endi ellipsning tenglamasini keltirib chiqaramiz. M ( x,y ) ellipsning ixtiyoriy nuqtasi bo ‘ lsin. Ta’rifga ko ‘ ra M nuqtadan ellipsning fokuslari F 1 va F 2 gacha masofalarning yig ‘ indisi o ‘ zgarmas son 2 a ga teng, ya ‘ ni 2 -chizma MF 1 + MF 2 =2 a. Ikki nuqta orasidagi masofani topish formulasiga ko ‘ raMF 1= √(x+c)2+y2MF 2= √(x− c)2+y2 bo ‘ lgani uchun √(x+c)2+y2+√(x− c)2+ y2= 2a yoki √(x+c)2+y2= 2a− √(x− c)2+ y2 kelib chiqadi. Oxirgi tenglikning ikkala tomonini kvadratga ko ‘ tarib ixchamlaymiz: (x+c)2+y2=(2a)2− 2⋅2a√(x− c)2+ y2+(x− c)2+y2; x2+2cx +c2+y2= 4a2− 4a√(x− c)2+y2+x2− 2cx +c2+y2; 4cx = 4a2− 4a√(x− c)2+y2;cx = a2− a√(x− c)2+y2; a2− cx = a√(x− c)2+y2. Buni yana ikkala tomonini kvadratga ko ‘ tarib ixchamlasak a4−2a2cx +c2x2=a2[(x−c)2+y2]; a4− 2a2cx +c2x2= a2[x2−2cx +c2+y2]; a4−2a2cx +c2x2=a2x2− 2a2cx +a2c2+a2y2; a2x2−c2x2+a2y2= a4− a2c2; (a2− c2)x2+a2y2= a2(a2− c2) (7) hosil bo’ladi. Uchburchak ikki tomonining yig ‘ indisi uchinchi tomonidan katta ekanini nazarda tutsak ΔF 1MF 2 dan MF 1 +MF 2 >F 1 F 2 ; 2 a >2 c; a > c ; a 2 - c 2 >0 ( a >0, c >0) bo’ladi. a 2 - c 2 = b 2 deb belgilab uni (1) ga qo ‘ yamiz. U holda b2x2+a2y2= a2b2 yoki buni а 2 b 2 ga bo’lsak x2 a2+ y2 b2= 1 (8) kelib chiqadi. Shunday qilib ellipsning ixtiyoriy M ( x,y ) nuqtasini koordinatalari (8) tenglamani qanoatlantiradi. Aksincha ellipsga tegishli bo’lmagan hech bir nuqtani koordinatalari bu tenglamani qanoatlantirmaydi. Demak (8) ellipsning tenglamasi. U ellipsning kanonik tenglamasi deb ataladi. Koordinatalar boshi ellipsning markazi deyiladi. Koordinata o ‘ qlari esa ellipsning simmetriya o ‘ qlari bo ‘ lib xizmat qiladi. Ellipsning fokuslari joylashgan o ‘ q uning fokal o ‘ qi deyiladi. Ellipsning simmetriya o ‘ qlari bilan kesishish nuqtalari uni uchlari deyiladi. А 1 (- а ;0), А ( а ;0), В 1 (0;- b ), В (0, b ) nuqtalar ellipsning uchlari. а va b sonlar mos ravishda ellipsning katta va kichik yarim o ‘ qlari deyiladi. c a nisbat ellipsning ekssentrisiteti deyiladi va ε orqali belgilanadi. Ellips uchun 0< ε <1 bo’ladi, chunki c<a . Ekssentrisitet ellipsning shaklini izohlaydi. Haqiqatan, а 2 - с 2 =b 2 tenglikni а 2 ga bo’lsak 1− ( c a) 2 = ( b a) 2 yoki ( b a) 2 = 1− ε2 bo’ladi. Bundan ekssentrisitet qanchalik kichik bo’lsa ellipsning kichik yarim o ‘ qi uning katta yarim o ‘ qidan shunchalik kam farq qilishini ko ‘ ramiz. b= а bo ‘ lganda ellips tenglamasi x 2 +y 2 =a 2 ko ‘ rinishiga ega bo ‘ lib ellips aylanaga aylanadi. Bu holda c= √a2− b2= √a2− a2= 0 , bo ‘ lgani uchun ε= 0 a=0 bo ‘ ladi. Demak aylana ekssentrisiteti nolga teng va fokuslari uning markaziga joylashgan ellips ekan. Endi ellipsni shaklini aniqlaymiz. Uning shaklini avval I–chorakda aniqlaymiz. Ellipsning kanonik tenglamasi (8) ni y ga nisbatan yechsak Shunday qilib ellipsning kanonik tenglamasi y2 b2= 1− x2 a2; y2= b2 (1− x2 a2); y2= b2 a2(a2− x2); y= b a√a2− x2 bo ‘ ladi, bunda 0< x<a, chunki x>a bo ‘ lganda ildiz ostidagi ifoda manfiy bo ‘ lib u ma’noga ega bo ‘ lmaydi. x 0 dan a gacha o ‘ sganda, yb dan 0 gacha kamayadi. Ellipsning I–chorakdagi bo ‘ lagi koordinatalar o ‘ qlarida joylashgan В (0, b ) va А ( а ;0) nuqtalar bilan chegaralangan yoydan iborat bo ‘ ladi (3–chizma). Ellipsning kanonik tenglamasida х ni – х ga va у ni – у ga o‘zgartirilsa tenglama o‘zgarmaydi. Bu ellips koordinata o ‘ qlariga nisbatan simmetrikligidan dalolat beradi. Ellipsning ana shu xususiyatiga asoslanib uning shakli 3-chizmada ko ‘ rsatilgandek ekanligiga iqror bo ‘ lamiz. 3 -chizma 3-misol. Kichik yarim o ‘ qi b =4 va ekssentrisiteti ε =0,6 bo ‘ lgan ellipsning kanonik tenglamasi yozilsin. Yechish. Shartga ko ‘ ra ε= c a=0,6 ; с=0,6 а, а2−с2=b2 tenglikka с va b ning qiymatlarini qo ‘ yib a ni aniqlaymiz. bo ‘ lganligi uchun ellipsning kanonik tenglamasi x2 25 + y2 16 =1 ko ‘ rinishda bo ‘ lar ekan. 4-misol. 9 x 2 +25 y 2 -225=0 tenglamaga ko ‘ ra ikkinchi tartibli egri chiziqning turi aniqlansin va egri chiziq chizilsin. Yechish. Berilgan tenglamani 9 х 2 +25 у 2 =225 ko ‘ rinishda yozib buni 225 ga bo ‘ lsak 9x2 225 +25 y2 225 =1 yoki x2 52+ y2 32= 1 kelib chiqadi. Demak berilgan tenglama yarim o ‘ qlari a =5, b =3 bo ‘ lgan ellipsni tenglamasi ekan (4-chizma) 4 -chizma. 5-misol.4x2−16 x+9y2−54 y+61 = 0 egri chiziq chizilsin. Yechish. Tenglamani 4(x2−4x)+9(y2−6y)+61 =0; 4(x2−4x+4)+9(y2−6y+9)−16 −81 +61 = 0 ; 4(x− 2)2+9(y−3)2=36 ko‘rinishda yozib buni 36 ga bo‘lsak (x− 2)2 9 +(y− 3)2 4 =1 yoki (x− 2)2 32 +(y− 3)2 22 =1 tenglama hosil bo‘ladi. х -2= X ; у -3= У almashtirish olsak X2 32+Y2 22=1 kelib chiqadi. 5 -chizma. Bu ellipsning 0 1 XY sistemaga nisbatan kanonik tenglamasi. Shunday qilib berilgan tenglama ellipsning umumiy tenglamasi ekan. Agar 0 ху eski sistemani 0 1 (2,3) nuqtaga parallel ko ‘ chirilsa ya’ni 0 1 XY sistemaga nisbatan ellipsning tenglamasi kanonik ko’rinishga ega bo ‘ lar ekan (5-chizma). 1.2. Giperbola va Parabolaning kanonik tenglamasi 1-ta’rif. Har bir nuqtasidan tekislikning berilgan ikkita nuqtasigacha masofalarning ayirmasi o ‘ zgarmas bo ‘ lgan shu tekislik nuqtalarining geometrik o ‘ rniga giperbola deb ataladi. Tekislikning berilgan nuqtalarini F 1 va F 2 orqali belgilab ularni gepirbolaning fokuslari deb ataymiz. Fokuslar orasidagi masofani 2 c va giperbolaning har bir nuqtasidan uning fokuslarigacha bo ‘ lgan masofalarning ayirmasini ±2a orqali belgilaymiz. 0 xy dekart koordinatalar sistemasini xuddi ellipsdagidek, ya’ni 0 x o ‘ qni F 1 , F 2 fokuslaridan o ‘ tadigan qilib tanlaymiz va koordinatalar boshini F 1 F 2 kesmaning o ‘ rtasiga joylashtiramiz. U holda fokuslar F 1 (- c ,0),F 2 ( c ,0) koordinatalarga ega bo’ladi (6-chizma). 6 -chizma Endi giperbolaning tenglamasini keltirib chiqaramiz. M( x , y ) giperbolaning ixtiyoriy nuqtasi bo ‘ lsin. Ta’rifga binoan giperbolaning M nuqtasidan uning fokuslari F 1 va F 2 gacha masofalarning ayirmasi o ‘ zgarmas son ±2a ga teng, ya ’ ni MF 1 - MF 2 = ±2a Ikki nuqta orasidagi masofani topish formulasiga binoan MF 1= √(x+c)2+y2 va MF 2= √(x− c)2+y2 bo’lgani uchun √(x+c)2+y2− √(x− c)2+y2=± 2a (9) kelib chiqadi. Ellips tenglamasini chiqarishda bajarilgan amallarga o ‘ xshash amallarni bajarib ( а 2 - с 2 ) х 2 + а 2 у 2 = а 2 ( а 2 - с 2 ) (10) tenglamaga ega bo ‘ lamiz. Ma’lumki uchburchakning ikki tomonini ayirmasi uchinchi tomonidan kichik. Shunga ko ‘ ra ΔF 1MF 2 dan F 1 M-F 2 M<F 1 F 2 ; 2 а <2 c ; a <c ; a 2 - c 2 <0 ( a >0, c >0) hosil bo ‘ ladi. Shuning uchun a 2 - c 2 =- b 2 yoki c 2 - a 2 = b 2 deb belgilab olamiz. U holda (10) formula -b 2 x 2 + a 2 y 2 =- a 2 b 2 yoki b 2 x 2 - a 2 y 2 = a 2 b 2 Ko ‘ rinishga ega bo ‘ ladi. Buni а 2 b 2 ga bo ‘ lib x2 a2− y2 b2=1 (11) tenglamani hosil qilamiz. Shunday qilib giperbolaning ixtiyoriy M ( x,y ) nuqtasini koordinatalari (11) tenglamani qanoatlatirar ekan. Shuningdek giperbolaga tegishli bo ‘ lmagan hech bir nuqtaning koordinatalari bu tenglamani qanoatlantirmasligini ko ‘ rsatish mumkin. Demak u giperbolaning tenglamasi (11) giperbolaning kanonik tenglamasi deb ataladi. Giperbolaning tenglamasida x va y juft darajalari bilan ishtirok etadi. Bu giperbola koordinata o’qlariga nisbatan simmetrikligidan dalolat beradi. Ya’ni qaralayotgan holda koordinata o ‘ qlari giperbolaning simmetriya o ‘ qlari ham bo ‘ ladi. Gepirbolaning simmetriya o ‘ qlarini kesishish nuqtasi giperbolaning markazi deb ataladi. Giperbolaning fokuslari joylashgan simmetriya o ‘ qi uning fokal o ‘ qi deb ataladi. Endi giperbolaning shaklini chizishga harakat qilamiz. Oldin uning shaklini I–chorakda chizamiz. Giperbolaning kanonik tenglamasi (11) dany2 b2= x2 a2−1; y2 b2= x2− a2 a2 ; y2= b2(x2− a2) a2 ; y= b a√x2−a2 kelib chiqadi, chunki I–chorakda y≥0 . Bunda x≥a , aks holda u ma’noga ega bo ‘ lmaydi (ildiz ostida manfiy son bo’ladi). x α dan + ∞ gacha o ‘ zgarganda у 0 dan + ∞ gacha o ‘ zgaradi. Demak giperbolaning I–chorakdagi qismi 7- chizmada tasvirlangan AM yoydan iborat bo’ladi. Giperbola koordinata o’qlariga nisbatan simmetrikligini hisobga olsak uning shakli 7-chizmada tasvirlangan egri chiziqdan iborat bo’ladi. Giperbolaning fokal o’q bilan kesishish nuqtalari uning uchlari deb ataladi. Giperbolaning tenglamasiga у =0 ni qo’ysak х =  а kelib chiqadi. Demak А 1 (- а ;0) va А ( а ;0) nuqtalar giperbolaning uchlari bo’ladi 7-chizma Giperbolaning tenglamasi (11) ga qo‘ysak (1.1)ga x=0 ni− y2 b2=1;y=± √− b2 bo‘ladi. Bu esa haqiqiy son emas (manfiy sondan kvadrat ildiz chiqmaydi). Demak giperbola 0 y o‘q bilan kesishmas ekan. Shuning uchun giperbolaning fokal o‘qi haqiqiy o ‘ qi unga perpendikulyar o‘qi mavhum o ‘ qi deb ataladi. a va b sonlar mos ravishda giperbolaning haqiqiy va mavhum yarim o ‘ qlari deyiladi. Giperbolaning M nuqtasi u bo‘ylab cheksiz uzoqlashganda shu nuqtadan y=− b ax va y= b ax to‘g‘ri chiziqlarning birortasigacha masofa nolga intilishini ko‘rsatish mumkin, ya‘ni giperbolaning koordinatalar boshidan yetarlicha katta masofada joylashgan nuqtalari y=− b ax va y= b ax to’g’ri chiziqlardan biriga yetarlicha yaqin joylashadi. Koordinatalar boshidan o‘tuvchi bu to‘g‘ri chiziqlar giperbolaning asimptotalari deb ataladi. Giperbolani chizishdan oldin uning asimptotalarini chizish tavsiya etiladi. Markazi koordinatalar boshida bo‘lib tomonlari 0х va 0у o‘qlarga parallel va mos ravishda 2 a va 2 b ga teng bo‘lgan to‘g‘ri burchakli to‘rtburchak yasaymiz. Bu to‘rtburchakni giperbolaning asosiy to ‘ rtburchagi deb ataymiz. To‘rtburchakni diagonallarini har tarafga cheksiz davom ettirsak giperbolaning asimptotalari hosil bo’ladi(8-chizma). c a nisbat giperbolaning ekssentrisiteti deb ataladi va  orqali belgilanadi. Giperbola uchun c > a bo ‘ lganligi sababli  > 1 bo’ladi. Ekssentrisitet giperbolaning shaklini xarakterlaydi. Haqiqatdan, c 2 - a 2 = b 2 tenglamani har ikkala tomonini а 2 ga bo’lsak ( c a) 2 − 1=( b a) 2 yoki ε2− 1=( b a) 2 kelib chiqadi.  kichrayganda b a nisbat ham kichrayadi. Ammo b a nisbat giperbolaning asosiy to ‘ rtburchagini shaklini belgilaganligi uchun u giperbolaning ham shaklini belgilaydi.  qanchalik kichik bo’lsa b a nisbat ham ya’ni giperbolaning asimptotalarini burchak koeffitsientlari ham shunchalik kichik bo’ladi va giperbola 0 х o ‘ qqa yaqinroq joylashadi. Bu holda giperbolani asosiy to ‘ rtburchagi 0 х o ‘ q bo ‘ ylab cho ‘ zilgan bo ‘ ladi. 8-chizma Haqiqiy va mavhum yarim o ‘ qlari teng giperbola teng tomonli yoki teng yonli deb ataladi. Teng tomonli giperbolaning kanonik tenglamasix2 a2− y2 a2=1 yoki x2− y2= a 2 ko ‘ rinishga ega bo ‘ ladi. y= х va у =- х to’g’ri chiziqlar teng tomonli giperbolaning asimptotalari bo ‘ lib uning ekssentrisiteti ε= c a= √a2+a2 a = √2 bo ‘ ladi. 6-misol. 16 х 2 -9 у 2 =144 egri chiziq chizilsin. 9-chizma Yechish. Uni har ikkala tomonini 144 ga bo ‘ lsak 16 x2 144 − 9y2 144 =1 yoki x2 9 − y2 16 = 1;x2 32− y2 42= 1 kelib chiqadi. Demak qaralayotgan egri chiziq yarim o ‘ qlari a =3 va b =4 bo ‘ lgan giperbola ekan. Markazi koordinatalar boshida bo ‘ lib tomonlari koordinata o ‘ qlariga parallel hamda asosi 6 balandligi 8 bo ‘ lgan to ‘ g ‘ ri to ‘ rtburchak yasaymiz. Uning diagonallarini cheksiz davom ettirib giperbolaning asimptotalarini hosil qilamiz. Giperbolaning uchlari А 1 (-3;0) va А (3;0) nuqtalar orqali asimptotalarga nihoyatda yaqinlashib boruvchi silliq chiziqni o ‘ tkazamiz. Hosil bo ‘ lgan egri chiziq giperbolaning grafigi bo ‘ ladi (9-chizma). 7-misol. y= k x funksiyaning grafigi giperbola ekanligi ko ‘ rsatilsin. Yechish. Koordinata o ‘ qlarini α= π 4 burchakka burib yangi 0 XY sistemani hosil qilamiz. Bu holda yangi koordinatalardan eski koordinatalarga o ‘ tish formulasi. x= √2 2 (X−Y),y= √2 2 (X +Y) ko ‘ rinishga ega bo ‘ ladi. x va y ning ushbu qiymatlarini y= k x tenglamaga qo ‘ ysak √2 2 (X +Y)= k √2 2 (X−Y) ; √2 2⋅√2 2 (X+Y)(X−Y)= k yoki X 2−Y2=2k Hosil bo ‘ ladi. Butenglama teng tomonligi perbolaning tenglamasi. k >0 bo ‘ lganda giperbolaning haqiqiy o ‘ qi 0 Х bilan k <0 bo ‘ lganda 0 У o’qbilanustma-usttushadi. k >0 bo’lgan hol uchun giperbola 10-chizmada tasvirlangan. 10-chizma. Ox , Oy eski o ‘ qlar 0XY yangi sistemani koordinata burchaklarini bissektrisalari bo ‘ lgani uchun ular teng tomonli giperbolani asimptotalari bo ‘ ladi. Shunday qilib y= k x funksiyaning grafigi asimtotalari 0 х va 0 у o ‘ qlardan iborat teng tomonli giperbola bo ‘ lar ekan. Parabola va uning kanonik tenglamasi. Ta’rif. Berilgan nuqtadan hamda berilgan to ‘ g ‘ ri chiziqdan teng uzoqlikda joylashgan tekislik nuqtalarining geometrik o ‘ rniga parabola deb ataladi. Berilgan nuqtani F orqali belgilab uni parabolaning fokusi deb ataymiz. Berilgan to ‘ g ‘ ri chiziqni parabolaning direktrisasi deb ataladi. (Fokus direktrisada yotmaydi deb faraz qilinadi). Fokusdan direktrisagacha masofani p orqali belgilaymiz va uni parabolaning parametri deb ataymiz. Endi parabolaning tenglamasini keltirib chiqaramiz. Abssissalar o ‘ qini fokusdan direktrisaga perpendikulyar qilib o ‘ tkazib yo ‘ nalishini direktrisadan fokusga tomon yo ‘ naltiramiz. Koordinatalar boshini fokusdan direktrisagacha masofa FR ning qoq o ‘ rtasiga joylashtiramiz (11-chizma). 11 -chizma Tanlangan koordinatalar sistemasiga nisbatan fokus koordinatalarga, direktrisa tenglamaga ega bo’ladi. Faraz qilaylik M ( x;y ) parabolaning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin. Parabolaning ta’rifiga binoan M nuqtadan direktrisagacha MN masofa undan fokusgacha MF masofaga teng: MN=MF 11-chizmadan va ekani ravshan. Demak, . Bu tenglamaning har ikkala tomonini kvadratga ko ‘ tarib ixchamlasak yoki ( 1 2) hosil bo’ladi. Shunday qilib parabolaning istalgan M ( x,y ) nuqtasining koordinatalari (12) tenglamani qanoatlantiradi. Parabolada yotmagan hech bir nuqtaning koordinatalari bu tenglamani qanoatlantirmasligini ko ‘ rsatish mumkin. Demak (12) parabolaning tenglamasi ekan. U parabolaning kanonik tenglamasi deb ataladi. Endi kanonik tenglamasiga ko ‘ ra parabolani shaklini chizamiz (12) tenglamada y ni – y ga almashtirilsa tenglama o ‘ zgarmaydi. Bu abssissalar o ‘ qi parabolaning simmetriya o ‘ qidan iborat ekanligini bildiradi. (12) tenglamaning chap tomoni manfiy bo ‘ lmaganligi uchun uning o ‘ ng tomoni ya’ni x ning ham manfiy bo ‘ lmasligi kelib chiqadi. Demak parabola 0 y o ‘ qning o ‘ ng tomonida joylashadi. x =0 da y =0. Demak parabola koordinatalar boshidan o ‘ tadi. x cheksiz o ‘ sganda y ning absalyut qiymati ham cheksiz o ‘ sadi. (12) tenglama yordamida aniqlanadigan parabola 12-chizmada tasvirlangan. Parabolaning simmetriya o ‘ qi uning fokal o ‘ qi deb ataladi. Parabolaning simmetriya o ‘ qi bilan kesishish nuqtasi uning uchi deyiladi. Qaralayotgan hol uchun koordinatalar boshi parabolaning uchi bo ‘ ladi. 12 -chizma. 8-misol. у 2 =8 х parabola berilgan. Uning direktrisasining tenglamasi yozilsin va fokusi topilsin. Yechish . Berilgan tenglamani parabolaning kanonik tenglamasi (12) bilan taqqoslab 2 р =8, р =4 ekanini ko ‘ ramiz. Direktrisa tenglamaga, fokus koordinatalarga ega bo ‘ lishini hisobga olsak direktrisaning tenglamasi x =-2 va fokus F (2;0) bo ‘ ladi. Izoh . Fokal o ‘ qi 0 y o ‘ qdan iborat parabolaning tenglamasi х 2 =2 ру (13) ko ‘ rinishga ega bo ‘ ladi 9-misol. у =3 х 2 -12 х +16 parabolaning tenglamasi kanonik holga keltirilsin va uning uchi topilsin. Yechish. Tenglamani у =3( х 2 -4 х )+16, у =3( х 2 -4 х +4-4)+16; у =3( х -2) 2 +4; у -4=3( х -2) 2 ko ‘ rinishga keltirib х -2= Х , у -4= У deb belgilasak parabolaning tenglamasi У =3 Х 2 kanonik ko ‘ rinishga keladi. x -2= Х , у -4= У alamashtirish bilan eski 0 x у sistemani 0 1 (2;4) nuqtaga parallel ko ‘ chirdik. Yangi 0 1 ХУ sistemaga nisbatan parabolaning tenglamasi kanonik ko ‘ rinishga ega bo ‘ ladi. Yangi sistemani koordinatalar boshini koordinatalari parabola uchining koordinatalari bo ‘ ladi, ya’ni х 0 =2, у 0 =4. 10-misol. F (0,4) nuqtadan hamda y =8 to ‘ g ‘ ri chiziqdan bir xil uzoqlikda joylashgan tekislik nuqtalarining geometrik o ‘ rni, egri chiziqning koordinata o ‘ qlari bilan kesishish nuqtalari topilsin va egri chiziq chizilsin. Yechish. М ( х , у ) egri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi bo ‘ lsin. Shartga binoan undan y =8 to ‘ g ‘ ri chiziqqacha masofa va undan F (0,2) nuqtagacha masofa o ‘ zaro teng ya ‘ ni, 13-chizma.√(x− x)2+(8− y)2 = √(x− 0)2+(y− 4)2 (13-chizma). Bu tenglamani har ikkala tomonini kvadratga ko‘tarsak (8- у ) 2 = х 2 +( у -4) 2 yoki qavslarni ochsak. 64-16у+у 2 =х 2 +у 2 -8у+16 yoki 64-16у=х 2 -8у+16 hosil bo ‘ ladi. Tenglamani soddalashtisak -16 у +8 у = х 2 +16-64, -8 у = х 2 -48 yoki –8 ga bo ‘ lsaky=− 1 8x2+6 tenglamaga ega bo ‘ lamiz. U 0 y o ‘ qqa simmetrik parabolaning tenglamasi. Endi parabolaning koordinata o ‘ qlari bilan kesishish nuqtalarini topamiz. Parabola tenglamasiga x =0 qiymatni qo ‘ ysak y =6 kelib chiqadi. Demak parabola 0 y o’q bilan 0 1 (0,6) nuqtada kesishar ekan. Shuningdek parabola tenglamasiga y =0 qiymatini qo ‘ ysak − 1 8x2+6=0;− x2+48 = 0;x2= 48 ; x=±√48 = ±4√3 hosil bo ‘ ladi. Demak parabola 0 x o ‘ q bilan (−4√3,0) v а (4√3,0) nuqtalarda kesishar ekan. Agar parabola tenglamasini yoki х 2 =-8( у -6) ko’rinishda yozib x = X , y -6= Y almashtirish olsak uning tenglamasi Х 2 =-8 У kanonik shaklni oladi. Izoh . Aylana, ellips, giperbola va parabola umumiy tenglamalari yordamida berilganda koordinatalar sistemasini parallel ko’chirish yoki koordinata o ‘ qlarini burish yordamida umumiy tenglamani yangi sistemaga nisbatan kanonik ko ‘ rinishga keltirish mumkin. (1) tenglamada a 11= a 22 va a 12 =0 bo’lsa u aylanani tenglamasi bo‘ladimi degan savolga javob izlaymiz. Soddalik uchun a 11= a 22 =1 deb olamiz. Aks holda tenglamani a 11 ga bo‘lib quyidagi tenglikni hosil qilishimiz mumkin. х 2 + y 2 + 2 a 13 x+2 a 23 y + a 33 =0 (5) Bu tenglamani hadlarini o‘zimizga qulay shaklda o‘rinlarini almashtirib to‘la kvadrat uchun zarur bo’lgan va ni ham qo‘shamiz ham ayiramiz. U holda Yoki (6) h osil b o ‘ladi. Mumkin b o’ lgan uch h olni q araymiz : 1) Bu holda (6) tenglamani (2) bilan taqqoslab u 2) vaunga teng kuchli (5) tenglama ham markazi nuqtada, radiusi bo ‘ lgan aylanani ifodalashiga ishonch hosil qilamiz. . Bu holda (6) tenglama ko ‘ rinishga ega bo ‘ ladi. Bu tenglamani yagona nuqtaning koordinatalari qanoatlantiradi xolos. 3) Bu holda (6) tenglama hech qanday egri chiziqni aniqlamaydi. Chunki tenglamaning o ‘ ng tomoni manfiy, chap tomoni esa manfiy emas. X ulosa. ( 1 ) tenglama a 11= a 22 va a 12 =0 hamda bo ‘ lgandagina aylanani tenglamasini ifodalar ekan. 1-misol.x2+y2+2x− 4y− 4= 0 tenglama aylananing tenglamasi ekanligi ko ‘ rsatilsin va aylananing markazi hamda radiusi topilsin. Yechish . a 11= a 22 =1 , a 12 =0 demak berilgan tenglama aylanani umumiy tenglamasi ekan. Tenglamani (x2+2x+1)+(y2− 4y+4)− 1− 4− 4= 0 ko ‘ rinish da y o zib undan (x+1)2+(y− 2)2= 32 aylananing kanonik tenglamasiga ega bo ‘ lamiz. Shunday qilib aylananing markazi 0(-1;2) nuqta va radiusi R=3 ekan. 2-misol . x2− 2x+y2+2y+4= 0 tenglama hech qanday egri chiziqni aniqlamasligi ko ‘ rsatilsin. Yechish . Tenglamani (x2− 2x+1)+(y2+2y+1)− 1− 1+4= 0 ko ‘ rinishda yozsak undan (x−1)2+(y+1)2=−2 tenglikka ega bo ‘ lamiz. Koordinatalari bu tenglamani qanoatlantiruvchi nuqta mavjud emas. Demak berilgan tenglama hech qanday egri chiziqni tenglamasi emas. II-BOB. IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQ UMUMIY TENGLAMASINI INVARIANTLAR YORDAMIDA SODDALASHTIRISH. 2.1-§ Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqni soddalashtirish . Ta’rif . Ikkinchi tartibli chiziq deb koordinatalari (1) Tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalarning geometrik o‘rniga aytiladi. Bu yerda Koeffintsentlar haqiqiy sonlar va koeffitsientlarning kamida bittasi noldan farqli bo‘lishi lozim. Bu shartni ko‘rinishida yozish mumkin. Ikkinchi tartibli chiziq dekart repperida (1) umumiy tenglama bilan berilgan bo‘lsin. Shunday repperni tanlaymizki, unga nisbatan chiziqning (1) tenglamasi imkon qadar sodda ko‘rinishga ega bo‘lsin. Bunda, o‘zgaruvchi koordinatalar ko‘paytmasi qatnashgan had bo‘lmasin birinchi darajali hadlar soni mumkin qadar kam bo‘lsin yoki umuman bo‘lmasin, mumkin bo‘lsa ozod had qatnashmasin ushbu shartlar bajariladigan ko‘rinishdagi sodda tenglamani topish kerak bo‘ladi. Agar, (1) tenglamada bo‘lsa, soddalashtirishni quyidagicha bajaramiz. repper o‘qlarini O nuqta atrofida ixtiyoriy burchakka burib, yangi dekart repperini hosil qilamiz. repperdan repperga o‘tish formulalari: dan x, y ni (1) qo‘ysak, va o‘xshash hadlarni ixchamlasak, chiziqning (1) tenglamasi re p perda ushbu ko‘rinishni oladi. (2) bunda: (3) (3) belgilashlardan ko‘rinadiki (2) tenglamadagi koeffitsientlar (1) tenglamadagi koeffitsientlarga burchakka bog‘liq, shu bilan birga larning kamida biri noldan farqlidir. burchak ixtiyoriy ekanligidan foydalanib uni shunday tanlab olamizki (2) tenglamadagi koeffitsient nol bo‘lsin, ya’ni yoki Ushbu munosabatni biror ga tenglab, uni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin: (3) Bu hosil qilingan (3) sistema bir jinsli, shuning uchun uning koeffitsientlaridan tuzilgan determinant nolga teng, ya’ni yoki (4) bo‘lgandagina sistema noldan farqli yechimga ega bo‘ladi. (4) tenglama chiziqning xarakteristik tenglamasi deyiladi. Kvadrat tenglamani yechish orqali yechimlarga ega bo‘lamiz. Yuqoridagi (3) sistemani qavslarni ochgan holda yozish orqali, tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu tengliklarni ( tenglamaning yechimi emas) ga bo‘lib yuborib, (5) hosil qilamiz. Bu (5) munosabatga (4) xarakteristik tenglamaning ildizlar larni qo‘yib, , larni hosil qilamiz. Bunda o‘qning repperdagi burchak koeffitsientini ifodalasa, esa o‘qning repperdagi burchak koeffitsientini ifodalaydi. Bundan kelib chiqadiki, o‘qning birlik vektorining koordinatalari larni , (6) Xarakteristik tenglamani (4) Viyet usuli orqali yechamiz, va tengliklarga ega bo‘lamiz. (3) tenglamalardan topsak, ekanligi bundan esa, , tengliklar kelib chiqadi. Bularni barchasini umumlashtirgan holda (1) tenglama bilan berilgan chiziqning repperdagi (2) tenglamasini quyidagicha yozishimiz mumkin: (7) Agarda, o‘qining burchak koeffitsienti sifatida olinadigan bo‘lsa, (7) tenglamada , o‘zgarish ro‘y beradi. (7) tenglamada koeffitsientlar bir vaqtda nolga teng bo‘la olmaydi chunki, agar bo‘lsa, tenglama birinchi darajali tenglamaga aylanar edi. Bundan kelib chiqadiki (7) tenglamani 3 xil ko‘rinishga keltirish mumkin. 2.2- § . Ikkichi tartibli chiziq umumiy tenglamasini invariantlar yordamida soddalashtirish 1-tur. Bu holda (7) tenglamadagi hadlarni ga nisbatan to‘la kvadrat tenglamaga keltiramiz. . Bu yerdagi ozod hadlarni deb belgilaymiz va tenglikning ko‘rinishi shunday bo‘ladi. repper markazini parallel ko‘chirish formulasi orqali, repper hosil bo‘lib, chiziq tenglamsi quyidagi sodda ko‘rinishga keladi: . (1) (1)ko‘rinishdagi tenglamani batafsilroq o‘rganamiz. tenglamada va shu bilan birga esa ixtiyoriy ekanligidan quyidagi ikkita hol bo‘lishi mumkin: . (1) tenglamadagi ozod had ning noldan farqli ekanligidan tenglikni o‘ng tomoniga olib o‘tib unga bo‘lib yuboramiz: yoki (2) 1) Agar (2) da bir xil ishorali va ularga qarama qarshi ishorali bo‘lsa, ekanligi ma‘lum. va belgilash kiritish orqali (2) tenglamani ellipsning kanonik tenglamasi kabi ifodalanishini ko‘rsata olamiz: 2) Agarda (2) tenglikda va bir xil ishorali bo‘lsa, . Bunda va belgilash kiritish orqali quyidagi: tenglamaga ega bo‘lamiz. Bu tenglama esa haqiqiy nuqtaga ega bo‘lmasada mavhum ellipsni aniqlaydi deyiladi. 3) Agar har xil ishorali bo‘lsa, u holda va qarama- qarshi ishorali bo‘lib ularni mos ravishda va ko‘rinishida belgilab, (2) tenglamani giperbolaning kanonik tenglamasiga keltiramiz. b) bo‘lsa, u holda (1) tenglamani quyidagicha yozib olamiz: . (3) 4) Agar bir xil ishorali bo‘lsa, deylik bo‘lsin. Bu hol uchun mos va belgilashlar kiritsak, (3) tenglama ko‘rinishi: yoki kabi bo‘ladi. Bu tenglama kompleks sonlar maydonida ko‘paytuvchilarga ajragani va ular birinchi darajali bo‘lgani uchun to‘g‘ri chiziqni aniqlaydi. Ammo ular bitta haqiqiy nuqtaga ega (koordinatalar boshi) va unda kesishadi. Shu sabab ularga bitta haqiqiy nuqtada kesishuvchi ikkita mavhum to ‘ g‘ri chiziqlar tenglamasi deyiladi. 5) Agar qarama-qarshi ishorali bo‘lsa, kerakli belgilashlarni kiritish orqali (3) ni quyidagicha ifodalaymiz; yoki , , bu tenglamalar koordinatalar boshida kesishuvchi ikkita haqiqiy to‘g‘ri chiziqni ifodalaydi deyiladi. Demak, biror ikkinchi tartibli chiziq tenglamasi yangi repperda (1) tenglama orqali ifodalansa yuqorida keltirilgan 5 turdagi chiziqlar hosil bo‘ladi. 2-tur. yoki , Bu hollar bir biri bilan deyarli bir xil ko‘rib chiqiladi shuning uchun bittasini tekshirish yetarli. Birinchi holni qaraymiz: ekanligidan (7) (2.1 dagi) tenglamaning hadlarini ga nisbatan to‘la kvadrat tenglamaga keltiramiz: , , bunda deb belgilash kiritdik. Ushbu, formulalar bo‘yicha koordinatalar sistemasining markazi nuqtani nuqtaga ko‘chiramiz natijada yangi repperga nisbatan chiziq tenglamasi: (4) Ko‘rinishidagi sodda tenglamaga ifodalanadi. Ushbu (4) tenglamada , bo‘lgani uchun tenglamani quyidagicha yozish mumkin: ; bu yerda deb belgilash kiritsak, ushbu tenglama parabolan ing kanonik tenglamasini ifodalaydi. 3-tur. yoki Har ikki hol ham bir biriga o‘xshash shuning uchun birini ko‘rib chiqamiz. Birinchi holni qaraymiz: shart o‘rinli bo‘lganda (7) (2.1 dagi) tenglama ushbu ko‘rinishni oladi, bu yerda ekanligidan tenglikni quyidagicha yozamiz, yoki ,bunda . Ushbu , formulalar yordamida repperdan repperga o‘tamiz. Yangi repperdagi chiziqning sodda tenglamasi esa, , (5) Ko‘rinishida bo‘ladi. . (5)tenglama bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlarni tavsiflashga o‘tamiz. Bu tenglamada oldingi mavzuda keltirilgan , istalgan son, shartlar o‘rinli ekanligidan quyidagi hollar bo‘lishi mumkin: a) . 1) va har xil ishorali bo‘lsa, bo‘ladi. Tenglama esa, deb belgilash kiritilganda: yoki Ko‘rinishni oladi. Bu tenglama o‘zaro parallel ikkita to‘g‘ri chiziqni ifodalaydi. 2) va bir xil ishorali bo‘lsa, bo‘ladi. deb belgilash kiritib, yoki Ko‘rinishidagi tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamaga ikkita mavhum to‘g‘ri chiziqni ifodalaydi deyiladi. b) . Ushbu holda (5) tenglama ko‘rinishini oladi. Shartga ko‘ra ekanligidan, yoki . Bu tenglamalar ikkita ustma-ust tushuvchi to‘g‘ri chiziqlarni ifodalaydi deyiladi. Demak, ikkinchi tartibli chiziq biror dekart repperida (1) (2.1 dagi) tenglama bilan berilgan bo‘lsa, yangi dekart repperini keraklicha tanlash orqali ning tenglamasini yuqoridagi (1) (4) (5) tenglamalarning biriga keltirish mumkin. Xulosa . Biz ushbu mavzuni yoritish jarayonida mavzuga doir barcha ma’lumotlarni tahlil qilib, mavzu borasidagi bilimlarimizni yanada oshirdik. Bu esa kelajakda bu mavzularga oid misol, masalalarni qiyinchiliksiz yecha olishimizga xizmat qiladi. Mavzuga to‘xtalar ekanmiz avvalo shuni ta’kidlash joizki, tekislikda chiziqlar bizga o‘rta ta’lim davridan ma’lum bo‘lgan oddiy tog‘ri chiziqdan, sodda funksiyalarning grafiklaridan iborat bo‘libgina qolmay, yana ko‘palab chiziqlarning mavjudligi, ularning ifodalanishi, tenglamalari haqida yaxshi tushunchaga ega bo‘lishimizda ko‘maklashdi. Xususan bizga ma’lum bo‘lgan ayalana ellipsning xususiy holi ekanligi, oldingi kurslarda kvadrat funksiyaning grafigi sifatida o‘rganilgan parabolaning xossalari,kanonik tenglamasi kabilarni misol qilish mumkin. Endi mavzuning asosiy ahamiyatiga e’tibor beraylik. Ya’ni bizga berilgan har qanday ikkinchi tartibli chiziqni tekislikda qanday ifodalanishini o‘rgandik. Bunda chiziqning berilgan umimiy tenglamasi ni tahlil qilish, bu tenglamani turli koordinatalar sistemasida ko‘rinishini soddalashtirish orqali uning tekislida qanday bizga ma’lum chiziqlarni ifodalashini, ularning ba’zi xossalarini o‘rgandik. Aytish joizki har qanday ikkinchi tartibli chiziq yuqorida keltirilgan 9 xil turdagi chiziqlardan birini ifodalashini ko‘rsatish orqali mavzuni o‘quvchiga tushunarli qilib yoritib berdik. F oydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati. 1. Azlarov T.A va boshq. Matematik qo‘llanma, 1-q. “ O‘qituvchi” G. 1979-y. 2.A.Y.Narmanov. “ Analitik geometriya” .Toshkent-2006-y 3.S.V.Baxvalov,P.S.Modenov,A.S.Parxomenko “Analitik geometriyadan masalalar to‘plami” Toshkent-2005. 4. X.Latipov, Sh.Tojiеv “Analitik gеomеtriya va chiziqli algеbra”, T.1995 -y “O‘zbеkiston” 5. Dadajonov N.D. , Jurayev M.SH. “Geometriya 1-qism” Toshkent. 1995-y 6. Latipov X., Tojiyev SH., Rustamov R. “Analitik geometriya va chiziqli Algebra”. Toshkent. “O‘qituvchi” 1993-y 7. Karimov I .A “Jahon moliyaviy-iqtisodi inqirozi, O‘zbekiston sharoitida uni bartaraf etishning yo‘llari va choralari”. Toshkent 2009-y. 8 .N.Hojiyev, A.S.Faynleyb. “ Algebra va sonlar nazariyasi ” .Darslik,T.2001 9.Nazarov.R. “ Algebra va sonlar nazariyasi”.t.O ‘ qituvchi. 2 - qism 1995 -y 10.Yunusova.D.I va boshqalar “ Algebra va sonlar nazariyasi ” o ‘ quv qo ‘ llanma.T,Ilm-ziyo.2009 -y 11.Vafoyev.R.H va boshqalar.Algebra va analiz asoslari.Akademik litsey va kasb-hunar kollejlari uchun o ‘ quv qo ‘ llanma.Toshkent, “ O‘ qituvchi”,2001-yil. 12.H.Mahmudov. “ Algebra va sonlar nazariyasidan amaliy mashg‘ulotlar”.F.2002. 13.I.Isroilov, Z.Pashayev “Geometriya” Toshkent -2010-y 14.Погорело в А.В.Аналитик геометрия .Т.1983 г 15.Александров А.Д. Нецветаев Н.Ю. Геометрия . М., Наука 1990 г

Ikkinchi tartibli chiziq umumiy tenglamasini invariantlar yordamida soddalashtirishning metrik masalalari kurs ishi

Sotib olish