Ikkinchi tartibli chiziqlarning tenglamasiga ko‘ra yasash masalalari - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	1,018.0KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	05 Iyun 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

82 Sotish

Ikkinchi tartibli chiziqlarning tenglamasiga ko‘ra yasash masalalari

Sotib olish

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM
FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
Farg‘ona davlat universiteti
Matematika-Fizika fakulteti
Matematika yo’nalishi 24.02-guruh talabasi
qizi ning
analitik geometriya fanidan
“Ikkinchi tartibli chiziqlarning tenglamasiga ko‘ra yasash
masalalari ” mavzusidagi
KURS ISHI
Kurs ishi rahbari:
FARG’ONA-2025
1

MUNDARIJA
KIRISH……………………………………………………………………………..3
I BOB .UMUMIY TENGLAMASI BILAN BERILGAN IKKINCHI
TARTIBLI CHIZIQ……………………………………………………………….5
1.1 -§ . Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziq… ………………..5
1.2 -§ . Ikkinchi tartibli chiziqni uning tenglamasi bo‘yicha yasash………………...10
II BOB.IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQ UMUMIY TAVSIFI.........................16
2.1-§ Ikkinchi tartibli chiziqlarning tasnifi................................................................16
2.2-§ Ikkinchi tartibli chiziqning to‘g‘ri chiziq bilan kesishishi...............................22
XULOSA..................................................................................................................27
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR................................................................28
2

K i r i s h .
Agar siz buyuk ishlar qila olmasangiz,
kichik ishlarni buyuklik yo‘lida qiling.
(Napoleon Hill)
Hozirgi kunda insoniyat hayotida deyarli barcha sohalarda rivojlangan
texnika taraqqqiyoti, raqamli texnologiyalar davrida matematikaning o‘rni
beqiyosdir. Shu sababli har qanday davlat ijtimoiy-iqtisodiy hayotida matematika
sohasidagi kadrlarga bo‘lgan talab o‘rtib bormoqda. Bunday sharoitda bizning
mustaqil O‘zbekistonimizda ham matematiga bo‘lgan e’tibor yildan yilga ortib
bormoqda. Zero buning isboti o‘laroq Prezidentimiz Shavkat Miromonovich
Mirziyoyev tomonidan “Matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy
taqdqiqotlarni rivojlantirish chora-tadbirlari to‘g‘risida” qarorning qabul qilinishini
ko‘rsatishimiz mumkin. “Matematika fanining tamal toshini Al-Xorazmiy, Ahmad
Farg‘oniy, Abu Rayhon Beruniy kabi ulug‘ bobolarimiz qo‘ygan. Bu bizning
qonimizda bor. Lekin oxirgi yigirma yilda matematikadan bilim darajasi pasayib
ketdi. Chunki o‘qituvchilarga kerakli e’tibor, munosib oylik berolmadik, pirovard
maqsad qo‘ya olmadik. Buning oqibati hozir ko‘pdan-ko‘p sohalarda sezilyapti.
Bugun bu fanni rivojlantirishdan maqsadimiz — matematika bo‘yicha raqobat
muhitini yaratish, sanoat, muhandislik yo‘nalishlari bo‘yicha yetuk kadrlar
tayyorlash.Kechagi dars berish uslubi bilan matematikani jadal rivojlantirib
bo‘lmaydi. Shu bois avval amalda yaxshi natija bergan xorijiy metodika asosida
ta’lim dasturlari yaratib,o‘qituvchilarni qayta tayyorlash zarur. Metodika shunday
bo‘lishi kerakki, u bolalarda matematikaga muhabbat uyg‘otsin. Buning uchun
o‘quvchilar bu fan hayotda, har bir sohada o‘ziga kerakligini anglashi zarur. Yoshlar
imtihondan o‘tish uchun emas, bilimli mutaxassis bo‘lish uchun o‘qishi
lozim.Oxirgi besh-o‘n yilda matematika yo‘nalishi bo‘yicha universitetlarni bitirgan
yoshlarni topib, xohishiga qarab qayta tayyorlab, maktablarga, fan nomzodlarini esa
oliy ta’lim muassasalariga
3

ishga jalb etish muhimligi, matematika kafedra mudirlarini saylash tartibini joriy
qilish, kafedra mudirlari kengashi tuzib, doimiy tajriba almashinuvni yo‘lga qo‘yish
bo‘yicha ko‘rsatmaberildi. ” — deb ta’kidladi davlat rahbarimiz.
_ Kurs ishining dolzarbligi :Yuqorida keltirilgan Davlat rahbarimizning fikrlariga
binoan biz yoshlar kelajakda yetuk mutaxasis bo‘lib yetishishimiz, buyuk
ajdodlarimizga mos avlodlar bo‘lishimiz uchun tanlagan yo‘nalishimiz
“Matematika” sohasiga o‘z hissamizni qo‘shmog‘miz darkor. Bu yo‘lda
matematikaning harbir bo‘limlari,unga aloqador sohalarni mukammal o‘rganishimiz
lozim.O‘rganiladigan bo‘limlar qatorida “Geometriya” ham juda muhim ahamiyat
kasb etib, matematika bo‘limlari ichida hayotda eng ko‘p o‘z aksini topgan desak
mubolag‘a bo‘lmaydi. Shu bilan birga biz bo‘lajak pedagog ekanmiz, o‘sib
kelayotgan yosh avlodni yetuk ma’naviyatli,bilimli,malakali kadr etib tarbiyalash
har bir pedagogning asosiy vazifasidir va bu ishlarni biz ham munosib ravishda
amalga oshirishga o‘z hissamizni qo‘shishga harakat qilamiz.
Kurs ishining maqsadi va vazifalari : Tekislikda umumiy tenglamasi bilan
berilgan ikkinchi tartibli chiziqlarni mufassal o‘rganish.
Kurs ishining obyekti: Oliy va O‘rta maxsus ta’lim muassasalarida Analitik
geometriya fanining o‘qitish jarayoni.
Mavzuga doir malumotlarni yig‘ish va rejani shakllantirish.
Ikkinchi tartibli chiziqlar nazariyasini to‘liq yoritish.
Ikkinchi tartibli chiziqning umumiy tenglamisi orqali uni tasniflash.
Sodda ikkinchi tartibli chiziqlarni tekshirish.
Ikkinchi tartibli chiziqlarni tekislikda tasvirlashni o‘rganish.
4

I.BOB Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziq. Ikkichi
tartibli chiziqning to‘g‘ri chiziq bilan kesishishi.
1.1§ Ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy tenglamasi
Tekislikda biror koordinatalar sistemasida
(1.1.1)
tenglama bilan berilgan bo‘lsin. Bu yerda
Koeffintsentlar haqiqiy sonlar va koeffitsientlarning kamida bittasi nolda
farqli bo‘lishi lozim. Bu shartni
ko ‘ rinishida yozish mumkin .
1.1.1- ta ’ rif . Tekislikda koordinatalari (1) tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar
to ‘ plami ikkinchi tartibli chiziq deyiladi .
Demak, quyidagi savol tug‘iladi tekislikda bunday tenglama bilan berilgan
qanday chiziqlar mavjud va ularning ko‘rinishi xossalari qanday ?
Avvalo ikkinchi tartibli chiziqlarga yuqorida keltirilgan keltirilgan ellips,
giperbola va parabolalar misol qilaolamiz.
Chunki, (1) tenglamadagi , va bo‘lib, qolgan barcha
koeffitsientlar nol bo‘lsa u ellipsning kanonik tenglamasini ifodalaydi. Xuddi
shunday , va qolgan koeffitsentlar nol bo‘lsa,
giperbolaning kanonik tenglamasini. Agarda, va bo‘lib qolgan
koeffitsientlar nol bo‘lsa parabolaning kanonik tenglamsini ifodalash mumkin.
Lekin ikkinchi tartibli egri chiziqlar faqat shular bilan chegaralanmaydi va ularning
ko‘plab ko‘rinishlari mavjud. Quyida umumiy holatda ularni o‘rganamiz.
Birinchi o‘rinda shuni aytish joizki, chiziqning tartibi koordinatalar sistemasining
olinishiga bog‘liq emas. Bundan kelib chiqadiki koordinatalar sistemasini
5

tegishlicha tanlab olib barcha ikkinchi tartibli chiziqlarni tekislikda to‘la geometrik
tasvirlash mumkin. Buni quyida ko‘rib chiqamiz.
Ikkinchi tartibli chiziq dekart reperida (1) umumiy tenglama bilan
berilgan bo‘sin. Shunday reperni tanlaymizki, umga nisbatan chiziqning (1)
tenglamasi imkon qadar sodda ko‘rinishga ega bo‘lsin. Bunda, o‘zgaruvchi
koordinatalar ko‘paytmasi qatnashgan had bo‘lmasin birinchi darajali hadlar soni
mumkin qadar kam bo‘lsin yoki umuman bo‘lmasin,mumkin bo‘lsa ozod had
qatnashmasin ushbu shartlar bajariladigan ko‘rinishdagi sodda tenglamani topish
kerak bo‘ladi.
Agar, (1) tenglamada bo‘lsa, soddalashtirishni quyidagicha bajaramiz.
reper o‘qlarini O nuqta atrofida ixtiyoriy burchakka burib, yangi
dekart reperini xosil qilamiz. reperdan reperga o‘tish formulalari:
dan x, y ni (1) qo‘ysak, va o‘xshash hadlarni ixchamlasak, chiziqning (1)
tenglamasi reperda ushbu ko‘rinishni oladi.
(1.1.2)
bunda:
(1.1.3)
(3) belgilashlardan ko ‘ rinadiki (2) tenglamadagi koeffitsientlar (1)
tenglamadagi koeffitsientlarga burchakka bog ‘ liq , shu bilan birga
larning kamida biri noldan farqlidir . burchak ixtiyoriy ekanligidan
foydalanib uni shunday tanlab olamizki (2) tenglamadagi koeffitsient nol
6

bo ‘ lsin , ya ’ ni
yoki
Ushbu munosabatni biror ga tenglab, uni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:

Bu hosil qilingan (3) sistema bir jinsli, shuning uchun uning koeffitsientlaridan
tuzilgan determinantnolga teng,
ya’ni
yoki (1.1.4)
bo‘lgandagina sistema noldan farqli yechimga ega bo‘ladi. (4) tenglama chiziqning
xarakteristik tenglamasi deyiladi.Kvadrat tenglamani yechish orqali
yechimlarga ega bo‘lamiz. Yuqoridagi (3) sistemani qavslarni ochgan holda yozish
orqali,
tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.
Bu tengliklarni ( tenglamaningyechimi emas) ga bo‘lib yuborib,
(1.1.5)
hosil qilamiz.
Bu (5) munosabatga (4) xarakteristik tenglamaning ildizlar larni qo‘yib,
,
larni hosil qilamiz. Bunda o‘qning reperdagi burchak koeffitsientini
ifodalasa, esa
7

o‘qning reperdagi burchak koeffitsientini ifodalaydi. Bundan kelib chiqadiki,
o‘qning birlik vektorining koordinatalari larni
,
(1.1.6)
Xarakteristik tenglamani (4) Viet usuli orqali yechamiz, va
tengliklarga ega bo‘lamiz. (3) tenglamalardan topsak,
ekanligi bundan esa, , tengliklar kelib
chiqadi.Bularni barchasini umumlashtirgan holda (1) tenglama bilan berilgan
chiziqning reperdagi (2) tenglamasini quyidagicha yozishimiz mumkin:
(1.1.7)
Agarda, o‘qining burchak koeffitsienti sifatida olinadigan bo‘lsa, (7)
tenglamada , o‘zgarish ro‘y beradi. (7) tenglamada
koeffitsientlar bir vaqtda nolga teng bo‘laolmaydi chunki, agar bo‘lsa,
tenglama birinchi darajali tenglamaga aylanar edi. Bundan kelib chiqadiki (7)
tenglamani quyidagi 3 xil ko‘rinishga keltirish mumkin.
1)
Bu holda (7) tenglamadagi hadlarni ga nisbatan to‘la kvadrat tenglamaga
keltiramiz.
.
Bu yerdagi ozod hadlarni deb belgilaymiz va tenglikning
ko‘rinishi
8

shunday bo‘ladi. reper markazini parallel ko‘chirish formulasi orqali,
reper hosil bo‘lib, chiziq tenglamsi quyidagi sodda ko‘rinishga keladi:
.
2) yoki ,
Bu hollar bir biri bilan deyarli bir xil ko‘rib chiqiladi shuning uchun bittasini
tekshirish yetarli.
Birinchi holni qaraymiz: ekanligidan (7) tenglamaning hadlarini ga
nisbatan to‘la kvadrat tenglamaga keltiramiz:
,
,
bunda deb belgilash kiritdik. Ushbu,
formulalar bo‘yicha koordinatalar sistemasining markazi nuqtani
nuqtaga ko‘chiramiz natijada yangi reperga nisbatan chiziq tenglamasi:
ko‘rinishidagi sodda tenglamaga ifodalanadi.
3) yoki
Har ikki hol ham bir biriga o‘xshash shuning uchun birini ko‘rib chiqamiz.Birinchi
9

holni qaraymiz:
shart o‘rinli bo‘lganda (7) tenglama ushbu ko‘rinishni oladi,
bu yerda ekanligidan tenglikni quyidagicha yozamiz,
yoki,
bunda .
Ushbu , formulalar yordamida reperdan
reperga o‘tamiz. Yangi reperdagi chiziqning sodda tenglamasi esa,
,
ko‘rinishida bo‘ladi.
Demak, ikkinchi tartibli chiziq biror dekart reperida (1) tenglama bilan
berilgan bo‘lsa, yangi dekart reperini keraklicha tanlash orqali ning tenglamasini
yuqoridagi tenglamalarning biriga keltirish mumkin.
1.2-§ Ikkinchi tartibli chiziqni uning tenglamasi bo‘yicha yasash.
Ikkinchi tartibli chiziq dekart reperida umumiy tenglamasi bilan berilgan
bo‘lsin. Uni yasash uchun tenglamasini oldingi paragrafda bayon qilingan usullar
bo‘yicha soddalashtiramiz:
1) tenglamada a
12  0 bo‘lsa, chiziqning
10

2) tgα
1 = formula bo‘yicha tgα
1 ni, so‘ngra
sin α
1 =
ni hosil qilamiz. Bu bilan reperni α
1 burchakka burishdan hosil qilingan ( )
reperning koordinatavektorlari aniqlanadi:
3) Yangi reperda chiziqning tenglamasi
ko‘rinishda bo‘lib, bunda a `
10 , a `
20 koeffitsiyentlar ushbu formulalardan topiladi: B`
reperning koordinatalariboshi ni formuladan topiladigan O‘ nuqtaga ko‘chirish
bilan B` reperdan B`` reperga o‘tamiz. B`` reperda chiziqning tenglamasi kanonik
ko‘rinishga keladi. Agar tenglamada a
12 =0 bo‘lsa, soddalashtirish koordinatalar
boshini ko‘chirishdan iborat, xolos. Bu ishlarni misollarda ko‘ramiz.Ma’lumki,
tekislikda to g ri chiziq ʻ ʻ va ga nisbattan birinchi darajali tenglama
bilan analitik ifodalanadi. Ikkinchi tartibli egri chiziqlar va o zgaruvchilarga
ʻ
nisbattan ikkinchi darajali tenglamaning umumiy ko rinishi quyidagicha bo ladi:
ʻ ʻ

Odatda bu tenglama ikkinchi tartibli egri chiziqning umumiy tenglamasi deb
yuritiladi. Ushbu sodda ko rinishdagi ikkinchi tartibli egri chiziqlardan aylana,
ʻ
ellips, giperbola va parabola to g risida gaplashamiz.
ʻ ʻ
Aylana
1.2.1-ta’rif .Berilgan markaz deb ataluvchi nuqtadan bir xil uzoqlikda joylashgan
nuqtalarning geometrik o’rni aylana deb ataladi.Markazi C ( a , b )
nuqtada va radiusi
11

R ga teng bo’lgan aylana tenglamasi quyidagicha bo’ladi:
(1.2.1)
ni hosil qilamiz.Bundan esa almashtirishni bajarsak
(1.2.2)
tenglamani hosil qilamiz.Bu tenglama aylananing umumiy tenglamasi
deyiladi.Agar (1.2.1) tenglamadagi bo’lsa,
(1.2.3)
tenglama hosil bo’ladi.Bu tenglama markazi koordinatalari boshida va radiusi R
ga
teng bo’lgan aylana tenglamasidir.
Ellips

1.2.2-ta’rif .Ellips deb,har bir nuqtasidan berilgan ikki va
nuqtagacha(fokusgacha masofalar yig’indisi dan fatta o’zgarmas
miqdorga teng nuqtalarning geometrik o’rniga aytiladi.Ellipsning kanonik
tenglamasi
(1.2.4)
bo’lib,ellips koordinata o’qlariga nisbatan simmetrikdir. va parametrlar mos
ravishda ellipsning katta va kichik yarim o’qlari deb ataladi. bo’lsin,u holda
12

va fokuslar o’qida joylashgan bo’lib,koordinata boshidan ,
masofada bo’ladi. nisbat ellipsning ekssentrisiteti deb
ataladi.Ellipsning nuqtasidan fokuslargacha bo’lgan masofalar(fokal radius
vektorlar)
(1.2.5)
formulalar orqali aniqlanadi.Agar bo’lsa, (1.2.5) tenglama
ko’rinishga ega bo’ladi.Bu markazi koordinatalar boshida va radiusi a
ga teng
bo’lgan aylanani tenglamasidir.Agar bo’lsa,ellipsning
fokuslari OY o’qida joylashgan bo’ladi.
Fokuslari koordinata boshidan , masofada bo’ladi.
Giperbola.

1.2.3-ta’rif. Giperbola deb,shunday nuqtalarning geometrik o’rniga aytiladiki,har
bir nuqtasidan berilgan ikki va nuqtagacha bo’lgan masofalar ayirmasining
absalyut qiymati o’zgarmas miqdor ga teng.Giperbolaning kanonik
tenglamsi
(1.2.6)
bo’lib, koordinara o’qlariga nisbatan simmetrikdir. giperbolaning haqiqiy yarim
13

o’qi, esa mavhum yarim o’qi deb ataladi.Giperbola o’qini uchlar deb
ataluvchi , nuqtalarda kesadi. o’qini kesib o’tmaydi.
Bu yerda , , , , parameter
koordinata boshidan fokusgacha masofani bildiradi. giperbolaning
ekssentrisiteti deyiladi. to’g’ri chiziqlar giperbolaning assimtotalari
deyiladi.Fokal radiuslari , formulalar orqqali topiladi.
Parabola
1.2.4-ta’rif .Berilgan nuqtadan va berilgan to’g’ri chiziqdan bir xil uzoqlikda
bo’lgan nuqtalarning geometric o’rni parabola deyiladi.Parabolaning kanonik
ko’rinishi quyidagi ikki ko’rinishga ega:
1) o’qiga nisbatan simmetrik;
2) o’qiga nisbatan simmetrik;
Har ikki holda ham parabolaning uchi,ya’ni simmetriya o’qida yotuvchi
nuqtasi,koordinata boshida bo’ladi. parabola fokusga va
direktrissaga ega. nuqtasining fokal radius vektori ga teng.
nuqtadan o’tuvchi parabolaning kanonik tenglamalari quyidagicha
14

II BOB.Ikkinchi tartibli chiziqning umumiy tavsifi.
2.1-§ Ikkinchi tartibli chiziqlarning tasnifi.
Ikkinchi tartibli chiziqlarning tasnifi (klassifikatsiyasi).
Yuqoridagi qaralgan (I, II, III) ko‘rinishdagi tenglamalarni mufassalroq
tekshiramiz.
I
I tenglamada λ
1  0, λ
2  0, lekin a ``
00 – ixtiyoriy. Quydagi ikki hol bo‘lishi mumkin:
a) a ``
00  0. I dan:
Agar λ
1 , λ
2 bir xil ishorali, a ``
00 esa ular bilan qarama – qarshi ishorali bo‘lsa, u
holda
>0, >0.
Endi belgilashni kiritsak,
15

ni, ya’ni ellipsning kanonik tenglamasini hosil qilinadi.Agar λ
1 , λ
2 , a ``
00 ning
uchvlvsi ham bir xil ishorali bo‘lsa, u holda <0, <0, bu yerda
belgilash kiritsak, tenglamaga ega bo‘lamiz.
Bu tenglamani qanoatlantiruvchi bita ham haqiqiy nuqta mavjud emas, lekin bu
tenglama ellips tenglamasiga o‘xshashligi sababli, u mavhum ellipsni aniqlaydi, deb
aytiladi. Agar λ
1 , λ
2 qarama – qarshi ishorali va a ``
00  0 bo‘lsa, u holda va
lar qarama – qarshi ishorali bo‘ladi. >0, lekin <0 bo‘lib, ularni
mos ravishda a 2
va – b 2
deb belgilasak, tenglama ko‘rinishda bo‘lib, bu
giperbolaning kanonik tenglamasidir; xudi shunga o‘xshash, <0, >0
bo‘lsa, ularni ham mos ravishda – a 2
va b 2
deb belgilasak, tenglama ushbu
ko‘rinishni oladi: bu ham giperbolaning kanonik tenglamasidir.
b) a ``
00 =0 bo‘lsin. U holda

λ
1 , λ
2 qarama – qarshi ishorali bo‘lsa, tegishli belgilashni kiritish bilan ushbu
ko‘rinishda yozish mumkin:
bu tenglamalar koordinatalar boshida kesishuvchi ikkita
haqiqiy to‘g‘ri chiziqni aniqlaydi. Agar λ
1 , λ
2 bir xil ishorali, masalan, λ
1 <0, λ
2 <0
16

bo‘lsa, u holda belgilashni kiritish bilan ni quyidagi ko‘rinishda
yozish mumkin:
bu tenglamalarning har biri birinchi darajali bo‘lgani uchun ular to‘g‘ri chiziqni
aniqlaydi, lekin bu ikki to‘g‘ri chiziq faqat bita haqiqiy nuqtaga egadir
(koordinatalar boshi). Shuning uchun ularni bita haqiqiy nuqtada kesishuvchi ikkita
mavhum to‘g‘ri chiziq tenglamasi deb aytish mumkin. Shunday qilib, ikkinchi
tartibli γ chiziqning (57.6) xarakteristik tenglamasining ildizlari λ
1 ≠0, λ
2 ≠0 bo‘lsa,
quydagi besh tur chiziq hosil bo‘ladi: ellips, mavhum ellips, giperbola, kesishuvchi
mavhum ikki to‘g‘ri chiziq, kesishuvchi haqiqiy ikki to‘g‘ri chiziq.
2 tenglama bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlarga o‘tamiz. II
tenglamada λ
2 ≠0, a `
10 ≠0 bo‘lgani uchun uni quydagicha yozib olamiz:
belgilashni kiritsak, y 2
= 2px , bu parabolaning kanonik
tenglamasidir.
3.tenglama bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlarni tasniflashga o‘tamiz. Bu
tenglamada λ
2 ≠0, a ``
10 – har qanday son. Quyidagi hollar bo‘lishi mumkin.
a) a ``
00 ≠ 0·λ
2 bilan a ``
00 har xil ishorali bo‘lsa, >0 bo‘ladi.
Tenglamani faraz qilib, y 2
= a 2
yoki ( y – a )( y+a )=0 ga keltiramiz. Bu
tenglama esa o‘zaro parallel ikki to‘g‘ri chiziqni aniqlaydi. λ
2 bilan a ``
0 bir xil
ishorali, ya’ni λ
2 >0, a `
00 >0 ( λ
2 <0, a ``
00 <0) bo‘lgan holda III  y 2
= – a 2
yoki ( y – ia )
( y+ia )=0,
bu tenglama ikkita mavhum parallel to‘g‘ri chiziqni aniqlaydi , deb yuritiladi .
17

b) a ``
00 =0. U holda III  λ
2 y 2
=0 va λ
2  0 bo‘lgani uchun y 2
=0 yoki y=0, y=0  ikki
karra olingan to‘g‘ri chiziq hosil qilinadi. Shunday qilib, III tenglama bilan berilgan
ikkinchi tartibli chiziq quydagi uch turga bo‘linadi: haqiqiy parallel ikki to‘g‘ri
chiziq, mavhum parallel ikki to‘g‘ri chiziq, ustma – ust tushuvchi ikki to‘g‘ri chiziq.
I, II, III tenglamalar bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziq quyidagi to‘qqizta turga
bo‘linadi :
Kanonik tenglamalar Chiziqlarning nomlari
1 2
1.
2.
3.
4.
5 .
6 .
7 .
8.
9. ellips
mavhum ellips
giperbola
kesishuvchi ikki to‘g‘ri chiziq
nuqta (koordinata boshida kesishuvchi mavhum ikki
to’g’ri chiziq)
parabola
turli parallel ikki to‘g‘ri chiziq
mavhum parallel ikki to‘g‘ri chiziq
ustma – ust tushgan ikki to‘g‘ri chiziq
18

Oldingi mavzuda keltirilgan ko‘rinishdagi tenglamalarni batafsilroq
o‘rganamiz.
.
tenglamada va shu bilan birga esa ixtiyoriy ekanligidan quyidagi
ikkita hol bo‘lishi mumkin:
. tenglamadagi ozod had ning noldan farqli ekanligidan tenglikni
o‘ng tomoniga olib o‘tib unga bo‘lib yuboramiz:
yoki (2.1.1)
1) Agar (2.1.1)da bir xil ishorali va ularga qarama qarshi ishorali bo‘lsa,
ekanligi ma’lum. va belgilash kiritish
orqali (2.1.1) tenglamani ellipsning kanonik tenglamasi kabi ifodalanishini ko‘rsata
olamiz:
2) Agarda (2.1.1) tenglikda va bir xil ishorali bo‘lsa,
.
Bunda va belgilash kiritish orqali quyidagi:

tenglamaga ega bo‘lamiz. Bu tenglama esa haqiqiy nuqtaga ega bo‘lmasada
19

mavhum ellipsni aniqlaydi deyiladi.
3) Agar har xil ishorali bo‘lsa, u holda va qarama-qarshi
ishorali bo‘lib ularni mos ravishda va ko‘rinishida
belgilab,
(2.1.2)
tenglamani giperbolaning kanonik tenglamasiga keltiramiz.
b) bo‘lsa, u holda tenglamani quyidagicha yozib olamiz:
. (2.1.3)
1) Agar bir xil ishorali bo‘lsa, deylik bo‘lsin.
Bu hol uchun mos va belgilashlar kiritsak, tenglama ko‘rinishi:
yoki
kabi bo‘ladi. Bu tenglama kompleks sonlar maydonidako‘paytuvchilarga ajragani va
ular birinchi darajali bo‘lgani uchun to‘g‘ri chiziqni aniqlaydi. Ammo ular bitta
haqiqiy nuqtaga ega (koordinatalar boshi) va unda kesishadi. Shu sabab ularga bitta
haqiqiy nuqtada kesishuvchi ikkita mavhum tog‘ri chiziqlar tenglamasi deyiladi.
2) Agar qarama-qarshi ishorali bo‘lsa, kerakli belgilashlarni kiritish
orqali quyidagicha ifodalaymiz;
yoki
, , bu tenglamalar koordinatalar boshida kesishuvchi ikkita
haqiqiy to‘g‘ri chiziqni ifodalaydi deyiladi.
Demak, biror ikkinchi tartibli chiziq tenglamasi yangi reperda tenglama
20

orqali ifodalansa yuqorida keltirilgan 5 turdagi chiziqlar hosil bo‘ladi.
.
Ushbu tenglamada , bo‘lgani uchun tenglamani quyidagicha
yozish mumkin:
; bu yerda deb belgilash kiritsak,
ushbu tenglama parabolaning kanonik tenglamasini ifodalaydi.
. .
tenglama bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlarni tavsiflasga o‘tamiz. Bu
tenglamada oldingi mavzuda keltirilgan , istalgan son, shartlar o‘rinli
ekanligidan quyidagi hollar bo‘lishi mumkin:
a) .
1) va har xil ishorali bo‘lsa, bo‘ladi. Tenglama esa, deb
belgilash kiritilganda:
yoki
ko‘rinishni oladi. Bu tenglama o‘zaro parallel ikkita to‘g‘ri chiziqni ifodalaydi.
2) va bir xil ishorali bo‘lsa, bo‘ladi. deb belgilash
kiritib,
yoki
ko‘rinishidagi tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamaga ikkita mavhum to‘g‘ri
chiziqni ifodalaydi deyiladi.
b) .Ushbu holda tenglama ko‘rinishini oladi. Shartga ko‘ra
ekanligidan,
yoki .
Bu tenglamalar ikkita ustma-ust tushuvchi to‘g‘ri chiziqlarni ifodalaydi deyiladi.
21

Demak, ikkinchi tartibli chiziq yangi reperda tenglama bilan
ifodalansa yuqoridagi 3 ta chiziqni hosil qilishi mumkin.
2.2-§ Ikkinchi tartibli chiziqning to‘g‘ri chiziq bilan kesishishi. Urinma
tenglamasi .
Dekart koordinatalar sistemasida (1.1.1) tenglama bilan ya’ni
ikkinchi tartibli chiziq va
(2.2.1)
( 2.2.1) tenglama bilan ifodalangan to‘g‘ri chiziq berilgan bo‘lsin. Bu (1.1.1)
ikkinchi tartibli chiziqni ushbu (2.2.1) to‘g‘ri chiziq bilan kesishishini ko‘ramiz,
ya’ni to‘g‘ri chiziq va egri chiziqni umumiy nuqtalarini qidiramiz:
.
Yuqoridagi tenglikni soddalashtirish va belgilashlar orqali kvadrat tenglamaga ega
bo‘lamiz:
(2.2.2)
Bu yerda quyidagi belgilashlar kiritildi:
;
; (2.2.3)
.
(2.2.2) kvadrat tenglamani yechib, ning topilgan qiymatlarini (2.2.1) ga qo‘ysak,
ikkinchi tartibli chiziq bilan to‘g‘ri chiziqning keshish nuqtalari topiladi. Quyidagi
hollarni tekshiraylik.
22

1. . Bu holda (2.2.2) tenglama ikkita ildizga ega bo‘ladi.
Bu yerda 3 ta hol bo‘lishi mumkin:
a) ;
(2.2.2) tenglama ikkita haqiqiy turli ildizga ega – ikkinchi tartibli chiziq bilan
to‘g‘ri chiziq ikkita haqiqiy turli nuqtalarda kesishadi.
b) ;
(2.2.2) tenglama ikkita qo‘shma kompleks ildizga ega, shuning uchun ikkinchi
tartibli chiziq bilan to‘g‘ri chiziq ikkita qo‘shma kompleks nuqtalarda kesishadi,
demak, ular umumiy haqiqiy nuqtaga ega bo‘lmaydi.
c) ;
(2.2.2) tenglama ustma-ust tushgan ikkita ildizga ega – ikkinchi tartibli chiziq bilan
to‘g‘ri chiziq ustma-ust tushgan ikkita nuqtada kesishadi. Bu vaqtda to‘gri chiziq
chiziqqa urinma deb ataladi.
2. . Bu holda (2.2.2) tenglama
(2.2.4)
ko‘rinishni oladi.
O‘z navbatida quyidagi hollar bo‘lishi mumkin:
, - ixtiyoriy son.
(2.2.4) tenglama yagona ildizga ega:
;
ikkinchi tartibli chiziq bilan to‘g‘ri chiziq bitta nuqtada kesishadi.
b) , .
(2.2.4) tenglama yechimga ega emas. Ikkinchi tartibli chiziq to‘g‘ri chiziq bilan bitta
ham haqiqiy yoki mavhum nuqtaga ega emas.
c) .
Bu holda ning har qanday qiymati (2.2.4) tenglamani qanoatlantiradi, ya’ni
23

ikkinchi tartibli chiziq va to‘g‘ri chiziq cheksiz ko‘p umumiy nuqtalarga ega, ya’ni
(2.2.1) to‘g‘ri chiziq barcha nuqtalari bilan (2.2.4) chiziqqa tegishli: .

Yuqorida biz ikkinchi tartibli chiziq bilan to‘gri chiziqning o‘zaro vaziyatini
o‘rganib, urinma tushunchasini kiritgan edik. Shunga asoslanib, urinma
tenglamasini keltirib chiqaramiz.
Agar dekart reperida chiziq (1) tenglamasi bilan, to‘g‘ri chiziq esa (2.2.1)
parametrik tenglamasi bilan berilgan bo‘lsa, to‘g‘ri chiziq chiziqqa
nuqtasida urinma bo‘lishi uchun (2.2.3) da , bo‘lishi lozim.
. (*)
(2.2.1) dan
, (**)
(*) va (**) dan ushbu tenglama kelib chiqadi:
;
. (2.2.5)
(2.2.5) tenglikni qavslarni ochib va
ekanini e’tiborga olib, quyidagicha yozish mumkin:
(2.2.6)

(2.2.5) va (2.2.6) tenglamalar chiziqning nuqtasida o‘tkazilgan urinma
tenglamalaridir.
Misol uchun ellips, giperbola, parabolaning biror nuqtasiga o‘tkazilgan
urinma tenglamalarini ko‘raylik. ellipsga uning nuqtasida
urinma tenglamasini keltirib chiqaraylik. Bu yerda: , , , ,
24

, .
U holda (15) tenglama quyidagi ko‘rinishni oladi:
bundan
. (2.2.7)
Bu tenglama ellipsning nuqtasidagi urinma tenglamasidir.
b) giperbolaga uning nuqtasida urinma o‘tkazaylik. Bu yerda:
, , , , , .
U holda (2.2.7) tenglama quyidagi ko‘rinishni oladi:

yoki
. (2.2.8)
Bu (2.2.8) tenglama giperbolaning nuqtasidagi urinma tenglamasidir.
c) parabolaga uning nuqtasida urinma o‘tkazaylik. Bu yerda:
, , , , , .U holda tenglama quyidagi
ko‘rinishni oladi yoki
(2.2.9)
Bu (2.2.9) tenglama parabolaning nuqtasidagi urinma tenglamasidir.
25

Xulosa.
Biz ushbu mavzuni yoritish jarayonida mavzuga doir barcha ma’lumotlarni tahlil
qilib, mavzu borasidagi bilimlarimizni yanada oshirdik. Bu esa kelajakda bu
mavzularga oid misol, masalalarni qiyinchiliksiz yecha olishimizga xizmat qiladi.
Mavzuga to‘xtalar ekanmiz avvalo shuni ta’kidlash joizki, tekislikda chiziqlar
bizga o‘rta ta’lim davridan ma’lum bo‘lgan oddiy tog‘ri chiziqdan, sodda
funksiyalarning grafiklaridan iborat bo‘libgina qolmay, yana ko‘palab chiziqlarning
mavjudligi, ularning ifodalanishi, tenglamalari haqida yaxshi tushunchaga ega
bo‘lishimizda ko‘maklashdi.
Xususan bizga ma’lum bo‘lgan ayalana ellipsning xususiy holi ekanligi, oldingi
kurslarda kvadrat funksiyaning grafigi sifatida o‘rganilgan parabolaning
xossalari,kanonik tenglamasi kabilarni misol qilish mumkin.
Endi mavzuning asosiy ahamiyatiga e’tibor beraylik. Ya’ni bizga berilgan har
qanday ikkinchi tartibli chiziqni tekislikda qanday ifodalanishini o‘rgandik. Bunda
chiziqning berilgan umimiy tenglamasi ni tahlil qilish, bu tenglamani turli
koordinatalar sistemasida ko‘rinishini soddalashtirish orqali uning tekislida qanday
bizga ma’lum chiziqlarni ifodalashini, ularning ba’zi xossalarini o‘rgandik. Aytish
joizki har qanday ikkinchi tartibli chiziq yuqorida keltirilgan 9 xil turdagi
chiziqlardan birini ifodalashini ko‘rsatish orqali mavzuni o‘quvchiga tushunarli qilib
26

yoritib berdik.
Mavzu so‘ngida esa tekislikda ikkinchi tartibli chiziq va to‘g‘ri chiziqning
o‘zaro vaziyatini tahlil qilib, kerakli tushunchalarga ega bo‘ldik. Bunda umimiy
holda har qanday ikkinchi tartibli chiziqqa tayin nuqtada o‘tkazilgan urinma
tenglamasini keltirib chiqarib, sodda ikkinchi tartibli chiziqlarga nisbatan qo‘llash
orqali ular uchun urunma tenglamalarini xosil qilishni o‘rgandik.

F oydalanildan adabiyotlar ro‘yxati.
1. Sh. Mirziyoyev. “ O‘zbekiston Respublikasini yanada rivojlantirish bo‘yicha
Harakatlar strategiyasi to‘g‘risida ”. Ma’naviyat nashriyoti. 2017 - y.
2. Sh. Mirziyoyev. “Tanqidiy tahlil, Qat’iy tartib-intizom va shaxsiy javobgarlik
har bir rahbar faoliyatining kundalik qoidasi bo‘lishi kerak” .O‘zbekiston
nashriyoti. 2017-y.
3 . T.A.Rasulov G‘.G‘.Qurbonov Z.N.Hamidamov “Analitik geometradan misol
va masallar”
4. K.SH.Ro‘zmetov G‘.X.Jumaboyev “Matematika” [Toshkent-2018.]
5. F.Rajabov. S.Masharipov. R.Madrahimov. “Oliy matematika”
[Toshkent_2007]
6. I.Isroilov Z.Pashayev “Geometriya” [Toshkent-2010]
7. Narmanov A.Ya. Analitik geometriya. O‘zbekiston faylasuflari
milliy jamiyati nashriyoti Toshkent. 2008 y.
8. Baxvalov S.V., Modenov P.S., Parxomenko A.S. Analitik geometriyadan
masalalar to‘plami. T.Universitet, 586 b, 2005 y.
9. Алексанров А . Д . Нецветаев Н . Ю . Геометрия . М., Наука, 1990 г.
10. Погорелов А.В. Аналитик геометрия. Т., Ўқитувчи, 1983 й.
27

11. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр 1.М., Наука, 1983 г.
12. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналическая геометрия . М. Наука, 1981 г.
13. Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической
геометрии. М. Наука, 1976 г.
14. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М., Наука.1968 г.
15. Цубербилер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. М.,
Гостехиздат, 1962 г.
16. Қори-Ниёзий Т.Н., Аналитик геометрия асосий курси. Фан. 1971 й
17.. Д.В.Клетеник. Сборник задач по аналитической геометрии. М o сква .,
Наука , 1980 г
Internet saytlari.
1. htt//www..school.edu.ru.
2. htt//www. ziyonet.ru.
3. htt//www.aim.uz
4. htt//www.bilimdon.uz.
5. htt//www.gov.uz.
6. htt//www.edunet.uz.
7. htt//www.arxiv.uz
28

Ikkinchi tartibli chiziqlarning tenglamasiga ko‘ra yasash masalalari

Sotib olish