Irratsional va trigonometrik funksiyalarni integrallash - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	267.7KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	12 Iyun 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

134 Sotish

Irratsional va trigonometrik funksiyalarni integrallash

Sotib olish

O ZBEKISTON RESPUBLIKASIʻ
OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
FARG‘ONA DAVLAT UNIVERSITETI
FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI
«Matematik analiz va differensial tenglamalar» kafedrasi
«Matematik analiz» fanidan
KURS ISHI
Mavzu: Irratsional va trigonometrik funksiyalarni integrallash

Bajardi: 2- kurs 23.05-guruhi
talabasi
Ilmiy rahbar : Matematik analiz va
differensial tenglamalar kafedrasi
mudiri
Farg‘ona – 202 5

MUNDARIJA
KIRISH ………………………………………………………………..3
I BOB. ANIQMAS INTEGRAL
1.1.Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral tushunchasi………………….…7
1.2.Aniqmas integralning asosiy xossalari……………………………………….8
1.3.Sodda integrallar jadvali……………………………………………………..8
II BOB. INTEGRALLASH USULLARI
2.1.O‘zgaruvchini almashtirish usuli…………………………………………….11
2.2.Bo‘laklab integrallash usuli……………………………………………….…11
III BOB. IRRATSIONAL VA TRIGONOMETRIK
FUNKSIYALARNI INTEGRALLASH
3.1.Sodda kasrlar va ularning integrallari……………………………………….13
3.2.Ratsional funksiyalarni integrallash…………………………………………13
3.3.Irratsional funksiyalarni integrallash………………………………………..15
3.4.(sin , cos )R x x dx  ko‘rinishidagi integrallar………………………………….19
XULOSA …………………………………………………………….23
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR …………………………...26

KIRISH
Barkamol avlod jamiyat taraqqiyotining asosi. Shu bois mamlakatimizda
ham jismonan, ham ma’nan barkamol avlodga ta’lim-tarbiya berish davlat siyosati
darajasiga ko‘tarilgan.
Prezidentimiz Sh.Mirziyoyev 2017-yil 19-sentyabr kuni BMT Bosh
assambleya-sining 72-sessiyasida so‘zlagan nutqida : “Jamiyatimizda siyosiy
faollik ortib bormoqda, barcha sohalarda chuqur islohotlar amalga oshirilmoqda.
Ulardan ko‘zlangan maqsad – “Inson manfaatlari hamma narsadan ustun” degan
oddiy va aniq-ravshan tamoyilni amal-ga oshirish ustuvor ahamiyatga ega bo‘lgan
demokratik davlat va adolatli jamiyat barpo etishdan iborat.
Yoshlarning bilim va iqtidorini chuqurlashtirish, ularning kelgusida
malakali kadrlar bo‘lib, O‘zbekistonni yanada rivojlantirishdagi ishtirokini
ta’minlash maqsadida ta’lim jarayoniga zamonaviy yondashuvlar joriy
etilmoqda, shunga javoban tad - qiqot ishimizni samarali va amaliyotga joriy
etishda natijaviylikka etiborni qaratamiz.
Ta’lim yosh avlodni mustaqil hayotga tayyorlashning asosiy
komponentlaridan bi - ridir. Mustaqillik yillarida jamiyatning yosh avlod ta’lim-
tarbiyasiga qo‘yayotgan talab - lari, ilm-fan taraqqiyoti natijasida umumta’lim
maktablaridagi ta’lim mazmunida keskin o‘zgarishlar sodir bo‘ldi.Fan taraqqiyoti
ta’limning texnologik bazasi, jamiyat a’zolari - ning yashash sharoitida keskin
o‘zgarishlarga olib keldi. Jumladan, ilm-fan yangiliklari, zamonaviy texnologiyalar
jamiyatning ma’naviy qiyofasini o‘zgartirib yubordi. Ilm-fan yutuqlari va ularning
insonlar hayotidagi o‘rni rivojlangan mamlakatlar maktab ta’limi mazmuni va
strukturasiga ta’sir o‘tkazmay qolmaydi. Mamlakatimizda ta’lim sohasida olib
borilayotgan islohotlar natijasida o‘quv soatlari keskin qisqartirildi, o‘quv
materialla - ri mazmuni modernizatsiya qilindi. Ma’lumki, har bir davlat va
jamiyatning taraqqiyoti, kelajak istiqboli, uning dunyo hamjamiyatidagi o‘rni, fan-
texnika yoki ixtirolar muvaffa - qiyati bilan amalga oshayotganligi ehtimoldan holi
emas. Zero, muhtaram birinchi prezi - dentimiz I.A.Karimov aytganlaridek,

“Bugungi kun mustaqil davlatimiz taqdiri, uning ravnaqi, hozirgi davri va kelajagi,
jamiyatimiz fanlarida erishilayotgan yutuqlar orqali amalga oshayotganligi
shubhasizdir” .XXI asr O‘zbekistonda madaniyat, iqtisodiyot, fan va texnika,
ijtimoiy-siyosiy innovasiyalar asri sifatida boshlandi va ana shunday sharoit - da
barkamol shaxs, yuqori malakali mutaxassislarni tayyorlash nafaqat pedagogik,
balki ijtimoiy zaruratga aylandi. So‘nggi yillarda ta’lim tizimiga boshqa sohalardan
bir qator yangi tushunchalar kirib keldi. Bugungi kunda ta’limning iqtisodiyligi va
takomillash - ganligi o‘rgatuvchi va o‘rganuvchi aloqalari, texnika va
texnologiyalar, ta’limni interfaol metodlar asosida tashkil qilish, hamda ta’lim
samaradorligini oshirishga katta e’tibor be - rilmoqda.Ta’lim tizimida, ta’lim
jarayonida interfaol metodlardan foydalanish – ta’lim samaradorligini oshiradigan
innovatsion usuldir.
Yoshlarni yangicha ishlashga va tafakkur yuritishga o‘rgatish davr talabi
ekanligi yurtboshimiz tomonidan asoslab berildi.Ta’lim texnologiyasi insoniylik
tamoyillariga tayanadi. Falsafa, pedagogika va psixologiyada bu yo‘nalishning
o‘ziga xosligi talaba - ning individualligiga alohida e’tibor berish orqali namoyon
bo‘ladi. Shunday ekan bo‘la - jak pedagog mutaxassislarni tarbiyalashda pedagogika
fanining mazmun-mohiyatini tushuntirishda hamda pedagogika fanining so‘nggi
yutuqlaridan foydalanib fan mavzulari - ning bayonida interfaol metodlar asosida
darslarni tashkil etish muhim ahamiyat kasb etadi.
Kurs ishining dolzarbligi: Matematik analiz oliy matematikaning
fundamen-tal bo‘limlaridan biri bo‘lib, matematikaning poydevori hisoblanadi.
Ma’lumki, matema-tik analiz kursi davomida ko‘pgina tushuncha va tasdiqlar,
shuningdek, ularning tasdiq-lari keltiriladi va mutaxassislar tayyorlash, barkamol
avlodni shakllantirish muammosi bilan uzviy bog‘liq. Ma m l a k a t i m i z n i n g b arc h a
j a b h a l ar i d a a m a lg a o s h i r i l a y o t g an k e n g k o‘l a m l i i s l oh o t l ar, h u qu qi y d e m ok r a t i k
d a vl a t v a er k i n f u q a r o li k j a m i y a t in i q u r i s h z a m i r id a, a v v a l o m bo r, i n so n
m a n fa a t l a r i , u n i n g i nt e l e k t u a l s a l o h i y a t i n i y u z a g a c h i q a r i s h , k a s b m a ho r a t in i
o sh i r is h u c h u n za r u r s h a r t- sh a r o i t v az i fa l ari m u j a ss a m .Bu bo r a d a b a r k a m o l

a vl o d n i t a r bi y a l a sh , u m u m t a’ l i m m a kt a b l a r i , o li y v a o‘ r t a m a x s u s t a ’ li m s o h a s i-
d a y u q o r i m a l a k a l i k a d r l a r n i t a y y o r l a sh , i l m -fa n , t a ’ li m h a m d a i s h l a b c h i q ar is h
o‘ r t a si d a g i o‘ zaro ha m ko r l i k n i y a n a d a r i v o j l a n t i r i sh g a a l o h i d a e’ t i b o r
q ar a t i l m oqd a.
O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti Shavkat Mirziyoyev raisligida 19-
mart kuni yoshlarga e’tiborni kuchaytirish, ularni madaniyat, san’at, jismoniy
tarbiya va sportga keng jalb etish, ularga axborot texnologiyalaridan foydalanish
ko‘nikmalarini singdirish, yoshlar o‘rtasida kitobxonlikni targ‘ib qilish, xotin-
qizlar bandligini oshirish masa-lalariga bag‘ishlangan videoselektor yig‘ilishi
o‘tkazildi.Mamlakat aholisining 30 foizini 14 yoshdan 30 yoshgacha bo‘lgan
yigit-qizlar tashkil etadi. Ularning ta’lim olishi, kasb-hunar egallashi uchun keng
sharoit yaratilgan.Shu bilan birga, yoshlarning bo‘sh vaqtlarini mazmunli
o‘tkazishni tashkil etish dolzarb masala hisoblanadi.Yoshlar qan-chalik ma’naviy
barkamol bo‘lsa, turli yot illatlarga qarshi immuniteti ham shunchalik kuchli
bo‘ladi.Ma’lumki, O‘zbekiston rahbari ijtimoiy, ma’naviy-ma’rifiy sohalardagi
ishlarni yangi tizim asosida yo‘lga qo‘yish bo‘yicha 5 ta muhim tashabbusni
ilgari surgan edi. Birinchi tashabbus – yoshlarning musiqa, rassomlik, adabiyot,
teatr va san’at-ning boshqa turlariga qiziqishlarini oshirishga, iste’dodini yuzaga
chiqarishga xizmat qiladi. Ikkinchi tashabbus – yoshlarni jismoniy chiniqtirish,
sport . Uchinchi tashabbus – aholi va yoshlar o‘rtasida kompyuter texnologiyalari
va internetdan samarali foydala-nishni tashkil etishga qaratilgan. To‘rtinchi
tashabbus – yoshlar ma’naviyatini yuksalti-rish, ular o‘rtasida kitobxonlikni keng
targ‘ib qilish bo‘yicha tizimli ishlarni tashkil etishga yo‘naltirilgan. Beshinchi
tashabbus – xotin-qizlarni ish bilan ta’minlash masa-lalarini nazarda tutadi. Ana
shu ezgu g‘oya Prezidentning Sirdaryo viloyatiga tashrifi chog‘ida boshlanib,
qisqa vaqtda ulkan ishlar amalga oshirildi. Sirdaryo viloyatidagi tuman va
shaharlar kutubxonalariga 300 ming nusxada badiiy adabiyotlar yetkazib berildi.
Musiqa va san’at maktablari cholg‘u asboblari, sport ob’ektlari jihozlar bilan
ta’min-landi. Bu ishlar Namangan viloyatida ham davom ettirilib, “Ma’rifat
karvoni” tashkil etildi. Yoshlar uchun 25 ming dona kitob, 80 turdagi sport

jihozlari va musiqa asboblari yetkazib berildi. Bir so‘z bilan aytganda, ushbu 5 ta
tashabbus xalq, ayniqsa, yoshlar to-monidan katta qiziqish bilan kutib olindi.Bir
so‘z bilan aytganda, ushbu 5 ta tashabbus xalq, ayniqsa, yoshlar tomonidan katta
qiziqish bilan kutib olindi. Yig‘ilishda bu tajri-bani mamlakatning barcha
hududlarida keng joriy qilish masalalari muhokama qilindi. Bugungi kunda
mamlakatdagi 800 dan ortiq madaniyat markazlari, 312 ta musiqa va san’at
maktablariga atigi 130 ming nafar o‘g‘il-qiz qamrab olingani, mazkur muassasa-
larning aksariyati o‘quv qo‘llanmalari, notalar to‘plami, musiqa asboblari, mebel
va jihozlar bilan yetarli darajada ta’minlanmagani ko‘rsatib o‘tildi. Davlat rahbari
joylar-dagi madaniyat markazlari, musiqa va san’at maktablarining moddiy-
texnik bazasi va ulardan foydalanish holatini o‘rganib, ularning faoliyatini
yaxshilash bo‘yicha.
Kurs ishining maqsadi: Innovatsion pedagogika asoslarini va innovatsion
ta’lim jarayonini , maktabda matematikani o‘qitishning innovatsion vositalarini
o‘rganishdan iborat.
Kurs ishining ob’yekti: O‘zbekistondagi barcha ta’lim muassasalarida
matema-tikani o‘qitish jarayoni.
Kurs ishining predmeti: Innovatsion ta’lim muhiti mazmuni, metodlari va
inno-vatsion muhitni shakllantiruvchi vositalar.
Kurs ishining vazifalari: Mavzuga doir manba topish, axborotlarni
tartiblash, rejani shakllantirish; Innovatsion pedagogik faoliyatni o‘rganish;
Innovatsion ta’lim jara-yoni, shakl, metod, vositalarini o‘rganish; Innovatsion
ta’lim muhitini o‘rganish.

I BOB. ANIQMAS INTEGRAL
1.1.Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral tushunchasi.
Aytaylik, ( )f x va ( )F x funksiyalar ( , )a b da uzluksiz bo‘lib, ( )F x esa '
( )F x
hosilaga ega bo‘lsin. Agar
( , )a b da '
( )F x
= ( )f x bo‘lsa, ( )F x funksiya ( )f x ning
boshlang‘ich funksiyasi deyiladi.
( )f x funksiya boshlang‘ich funksiyalarining
umumiy ko‘rinishi

( )F x C (C const  )
( )f x
ning aniqmas integrali deyiladi:

( ) ( )f x dx F x C    (C const  )
Bu yerda:
∫- integrallash belgisi
f(x)- integrallanuvchi funksiya
dx- o‘zgaruvchi
F(x)- boshlang‘ich funksiya
C - doimiy
Differensial hisobning asosiy vazifasi berilgan F(х) funksiyaga ko‘ra uning
hosila - sini yoki differensialini topishdan iborat edi.
Integral hisobning asosiy vazifasi buning teskarisi bo‘lib, F(х) funksiyani
uning ma’lum f(х) hosilasiga yoki differensialiga ko‘ra topishdan iborat. Demak,
f(х) funksiya bеrilgan, shunday F(х) funksiyani tоpish kеrakki, uning hоsilasi f(х)
ga tеng bo‘lsin, ya’ - n i
F ` (х) = f(х) (1)
bo‘lsin .

Ta‘rif. Agar [a,b] kеsmada aniqlangan f(x) funksiya uchun bu kеsmaning
barcha nuqtalarida F 1
(х)=f(х) tеnglik bajarilsa, F(х) funksiya shu kеsmada f(х)
funksiyaga nisba - tan bоshlang‘ich funksiya dеb ataladi.
Agar F
1 (x) va F
2 (x) funksiyalar f(х) funksiyadan [a,b] kеsmada bоshlang‘ich
funk - siyalari bo‘lsa, ular оrasida ayirma o‘zgarmas sоnga tеng bo‘ladi. Agar
bеrilgan f(х) funksiya uchun qanday bo‘lmasin birgina F(х) bоshlang‘ich funksiya
tоpilgan bo‘lsa, F(х) funksiya uchun har qanday bоshlang‘ich funksiya
F(х)+C (C=const)
ko‘rinishga ega bo‘ladi.
1.2. Aniqmas integralning asosiy xossalari.
Ta’rif . Agar F(х) funksiya biror oraliqda f(х) funksiyaning boshlang‘ich
funksiyasi bo‘lsa, u holda F(х)+C (bu yerda C – ixtiyoriy doimiy) funksiyalar
to‘plami shu kesmada f(х) funksiyaning aniqmas integrali deyiladi .
Bu yerda f(х) – integral ostidagi funksiya, f(х) dx integral ostidagi ifoda ,
– integral belgi si deyiladi.
Aniqmas integralni topish jarayoni yoki berilgan funksiyaning boshlang‘ich
funksiyasini topish jarayoni integrallash deyiladi.
Aniqmas integralning xossalari:1. ( ( ) ) ( )d f x dx f x dx  
2. ( ) ( ) df x f x C    (C const  )
3. ( ) ( ) ( ) kf x dx k f x dx k const    
4. ( ( ) ( )) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx      
1.3. Sodda integral jadvali.

Quyidagi sodda integral jadvalini keltiramiz:
1
1. ( 1)
1n
n x
x dx C n
n 
  
 2. ln ( 0) dx x C x x    
2
1 arctgx C
dx
arctgx C
x 



 


2 2 1
3.
1 x
arctg C
dx
a a
x
x a
arcctg C
a a







 



2
1 1ln 1 2 1
dx x C x x
     
2 2
1 4. ln 2
dx x a C x a a x a
     
2
2 5. ln dx x x a C
x a
   
 
2 arcsin
6.
arcsin
1 x C
dx
x C
x 



 



2 2 7. arcsin dx x C a a x
 
 
8. ( 0, 1); ln
x x a a dx C a a a     
x xe dx e C   
9. sin cos xdx x C   

cos sin xdx x C   

2 10. cos
dx tgx C x  
2 11. sin
dx ctgx C x  
12. shxdx chx C   
13. chxdx shx C   
2 14. dx cthx C sh x   
2 15. dx thx C ch x   
Sodda aniqmas integralni asosan bevosita xossalardan va jadvaldan
foydalanib hisoblanadi.
1-misol. Ushbu

2 1x x
I dx
x 


integral hisoblansin.
Integral ostidagi funksiyani quyidagicha
3 1 1 2 2 2 2 1x x
I dx x x x
x  
   

yozib
olamiz. So‘ng integral xossalari va jadvaldan foydalanib topamiz:
3 1 11 1 1 3 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 312
1
( ) 2 ( 1)
1 1
5 3
1 1
2 2x x x x x x x
I dx x x x dx C x C
x
    
 
           
   
2-misol. Ushbu
2 2 3 cos 4 sin
dx I x x   
integral hisoblansin.
Integral ostidagi ifodani quyidagicha yozib olamiz:

I= 2( )
3 4
d tgx
tg x  
Natijada,
I= 2
2 2( ) 1 1 2
3 4 4
3 2 3 3
( )
2d tgx dtgx tgx
arctg C
tg x
tg x  

 
hosil bo‘ladi.

II BOB. INTEGRALLASH USULLARI
2.1.O‘zgaruvchini almashtirish usuli
Aytaylik, ushbu
( )f x dx
integral hisoblanishi kerak bo‘lsin. Agar
( ) x t deyilsa, ( t -yangi o‘zgaruvchi,  -
uzluksiz differensiallanuvchi funksiya) berilgan integral quyidagi ko‘rinishga
keladi. Bunda
 funksiyasini shunday tanlash lozimki, (1) tenglikning o‘ng
tomonidagi ifoda hisoblashga qulay bo‘lishi kerak.
Integral hisoblashda murakkab funksiyalarni soddalashtirish maqsadida
o‘zgaruv-chini almashtirish usuli (yoki substitsiya usuli) keng qo‘llaniladi. Bu usul
funksiyaning ko‘rinishini oddiyroq funksiya bilan almashtirib, integrallash
jarayonini osonlashtiradi.
2.2.Bo‘laklab integrallash usuli.
1. Agar
( ), ( ) u u x v v x  differensiallanuvchi funksiyalar bo‘lsa, u holda
(2) udv uv vdu    
bo‘ladi. Odatda bo‘laklab integrallash formulasi deyiladi.
(2) formula udv ning
integra-lini
vdu ning integrali orqali ifodalaydi. Bu formuladan foydalanish uchun

qaraladigan integralning ostidagi ifodani u va dv lar ko‘paytmasi ko‘rinishida
yozib olinadi, bunda albatta
dv va vdu ifodalarning integrallarini oson hisoblana
olishi e’tiborga olinishi ke-rak.
1-misol. Ushbu
arcsin I xdx
integral hisoblansin.
Bu integralni
(2) formuladan foydalanib hisoblaymiz:
2
21
arcsin
arcsin
1
1u x du dx
xdx
I x x
x
x
dv dx v x 
 
 
  

 

 
 
  
Ravshanki, 1 1
2 2 2
2 2
2 1
(1 ) (1 ) (1 )
2
1 xdx
x d x x
x 
    
 
Demak, 2
arcsin arcsin 1 I xdx x x x C    

2-misol. Ushbu
2 2
( )I a x dx a x a     

integral hisoblansin.
Bu integralni (1)
formuladan foydalanib hisoblaymiz:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin ( sin cos cos (1 cos 2 ) sin 2 2 2 2 2 4 cos
x a t t a a a I a x dx a a t a tdt a tdt t dt t t C
dx a tdt
                            
   
Agar,
sin , arcsin x x t t a a   bo‘lishini e’tiborga olsak, u holda
2
2 2 2 2
arcsin
2 2a x x
I a x dx a x C
a     

bo‘lishi kelib chiqadi.

III BOB. IRRATSIONAL FUNKSIYALARNI INTEGRALLASH
3.1. Sodda kasrlar va ularning integrallari
Ushbu
1. . ( , ) A A const a const x a   
2. . ( , , 2, 3...).
( ) nA
A const a const n
x a   

2
23. ( , , , , 4 0) Mx N
M N p q const p ac
x px q 
  
 
kasrlar sodda kasrlar deyiladi. Ularning integrallari quyidagicha bo‘ladi:
; A dx Aln x a x a    
1 ( 1);
( ) ( 1)( ) n nA A
dx C n
x a n x a   
  

2
2
2 22 2
ln( )
2
4 4Mp p
N x
Mx N M
dx x px q arctg C
x px q
p p
q q  

    
 
 

3.2. Ratsional funksiyalarni integrallash
Ushbu
2
0 1 2
2
0 1 2 ...
( )
... n
n
m
na a x a x a x
f x
b b x b x b x    

   
ratsional funksiyaning integrali ( )f x dx quyidagicha hisoblanadi.
Agar
n m bo‘lsa, kasrning butun qismini ajratib, uni butun ratsional
funksiya va to‘g‘ri kasr yig‘indisi ko‘rinishida yozib olinadi. Ravshanki, butun
ratsional funksiyalar integrali oson hisoblanadi.
Ma’lumki, har qanday to‘g‘ri kasr sodda kasrlar sifatida ifodalanadi. Demak,
to‘g‘ri kasrning integrali soda kasrlarning integraliga keltirib hisoblanadi.
1-misol . Ushbu
5 3
4 22 6 1
3x x
I dx
x x  



integral hisoblansin.
Integral ostidagi kasrning suratini maxrajiga bo‘lib, butun qismini ajratamiz:
5 3
4 2 4 22 6 1 1
2
3 3x x
x
x x x x  
 
 
so‘ng bu tenglikning o‘ng tomonidagi to‘g‘ri kasrni sodda kasrlarga yoyamiz:
4 2 2 2 2 2
1 1 (*) 3 ( 3) ( 3)
A B Cx D
x x x x x x x
       
Bundan
2 2 2 3 2
( 3) ( 3) ( ) ( ) ( ) 3 3I Ax x B x Cx D x A C x B D x Ax B            
bo‘lishi kelib chiqadi. Demak,
0, 0, 3 0, 3 1. A C B D A B     
Keyingi tenglikdan esa
1 1 0, , 0, 3 3 A B C D    

bo‘lishini topamiz.(*) tenglikka ko‘ra
4 2 2 21 1 1
3 3 3( 3) x x x x    
bo‘ladi.Berilgan integralni hisoblaymiz:
5 3
2
4 2 4 2 2 22 6 1 1 1 1 1 1
(2 ) 2 .
3 3 3 3( 3) 3
3 3 3x x x
dx x dx x dx x arctg C
x x x x x x x  
 
        
 
  
   
2-misol. Ushbu
2 2
3 1
(1 )
x I dx x x
   
integral hisoblansin.
Integral ostidagi ifodani sodda kasrlarga yoyamiz.:
Umumiy maxrajga keltirib topamiz:
2 2 4 3 2 3 1 (1 ) ( ) (1 ) ( ) ( ) (2 ) ( ) .x A x Bx C x x Dx F x A B x Cx A B D x C F x A                 
, , , ,A B C D F
larni topish uchun quyidagi sistemani yechamiz:
0
0
2 0
0
1A B
C
A B D
C F
A  





  


 




Bundan,
1, 1, 0, 1, 3 A B C D F    
bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, integral
ostidagi funksiya
2 2 2 2 2
3 1 1 3
1 (1 )
(1 ) x x x
x x x
x x  
  
 

bo‘ladi. Uning integralini hisoblaymiz:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 1 1 1
3 ln 3 ln 3 .
(1 ) 1 (1 ) (1 ) 2(1 ) (1 ) 2 (1 ) x dx xdx xdx dx dx dx
dx x x arctgx
x x x x x x x x x 
         
      
       2 2 2 2 23 1
(1 ) 1 (1 ) x A Bx C Dx F
x x x x x   
  
  

Keyingi tenglikning o‘ng tomonidagi integralni integrallash usullari rejasidagi
rekurent formulaga ko‘ra topamiz:1 2 2 2 2
1 1 1 1 . (1 ) 2 1 2 2 1 2
dx x x I I arctgx C x x x            
Demak,
2
2 2 23 1 1 3 1 3
ln ln(1 )
(1 ) 2 2(1 ) 2 x x
I dx x x arctgx C
x x x  
      
 
.
3.3.Irratsional funksiyalarni integrallash
1 2 1. ( ) , ( ) , ..., ( ) (1) nr r r ax b ax b ax b R dx cx d cx d cx d
  
   
Ko‘rinishidagi integralni hisoblash. (1)
integralda
1 2 3, , , ..., n r r r r -ratsional sonlar,
, , ,a b c d
- haqiqiy sonlar bo‘lib, 0 ad bc   .
Agar
1 2 3, , , ..., n r r r r -ratsional sonlarning umumiy maxraji p bo‘lsa, (1)
integralda
p ax b t cx d
  
almashtirish bilan qaralayotgan integral ratsional funksiyalarning integraliga keladi.
2 2
1
2. ( ) ( 0, 4 0) (2) R x ax bx c dx a b ac     

ko‘rinishidagi integralni hisoblash .
Bu integral quyidagi uchta almashtirish ( Eyler almashtirishlari ) bilan
ratsional funksiyaning integraliga keladi:
bunda 1x
soni
2 0 ax bx c    tenglamaning ildizlaridan biri.
3. ( ) m n px a bx dx  
ko‘rinishidagi integralni hisoblash , bunda , ,m n p  -ratsional
sonlar. Bu integral:
1)
p - butun son bo‘lgan holda s x t almashtirish bilan , bunda s - soni m va n
ratisonal sonlarning umumiy maxraji;

2) 1 m
n
 -butun son bo‘lgan holda
n s a bx t  almashtirish bilan , bunda s soni
p
ratsional sonning maxraji;
1 3) m p n
 
- butun son bo‘lgan holda n s ax b t    almashtirish bilan, s bunda
soni
p ratsional sonning maxraji, ratsional funksiyaning integraliga keladi.
1-misol. Ushbu
2
(1 ) 1 dx
I
x x
 

integral hisoblansin.
Ravshanki,
2
1
(1 ) 1 (1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) .
1 x
x x x x x x x
x
        

Demak, integral ostidagi funksiya
x va 1
1 x
x

larning ratsional funksiyasi
bo‘ladi. Bu integralda
2 1 1
( )
1 1 x x
t t
x x 
 
 
almashtirish bajaramiz. Unda
2 2
2 2 2 2 2
1 4 2 2
, , 1 , 1
1 (1 ) 1 1 t dt t
x dx x x
t t t t 
     
   
bo‘lib,
2 2 2 2 2 2
4 1
2 2
(1 )
1 1 tdt dt
I C
t
t t
t t
t t
   
 
  
bo‘ladi. Demak,
1 . 1
x I C x
    
2-misol. Ushbu
2 4 4 3
dx I
x x x

  

Bu integralda 4 0 a  bo‘lgani uchun 2 4 4 3 2x x t x     almashtirish
bajaramiz. Unda
2 2 2 2( 3) 2 3 4 4 3 4(1 ) 2(1 )
t t t x x t t t
         
bo‘lib,

2
2
2 2 2
2 3
4(1 ) 2 ( 3) 2 3 ( 3)
4(1 ) 2(1 )
t t dt dt t I t t t t
t t
 
         
 
bo‘ladi. Ravshanki,
2
1 3 2 ln ( 3) 3 3
dt t C t t
     
Demak,
2
21 3 1 2 4 4 3 3
ln ln .
3 3 3
2 4 4 3 3t x x x
I C C
t
x x x    
   

   
3-misol. Ushbu
4 41
dx I
x

 
integral hisoblansin.
Berilgan integralni quyidagicha
1 4 4 (1 ) I x dx   
yozib olamiz. Integral ostidagi ifoda uchun
1 1, 0, 4, 4 a b m n p    
bo‘lib,
1 1 1 0 4 4
m p n
    

bo‘ladi. Bu integralda 4 4 1 x t  
deb topamiz:
1 1 1 5 4 4 4 4 3 4 4 4 4 ( 1) ( 1) , (1 ) , ( 1) t x t x dx t t dt t
          
.
Natijada,
1 5 4 2 4 3 4 4 4 2 2
( 1) 1 ( ( 1) ) ( 1) 2 1 1
t t dt dt dt I t t dt t t t t
                      
bo‘ladi. Keyingi integralni hisoblab,
4 4
4 4
4
41 1 1 1 1 4 1 1
ln ln
4 1 2 4 2
1 4t x x
I arctgt C arctg C
t x
x   
     

 
bo‘lishini topamiz.
4-misol. Ushbu
1 dx
I
x

integralni hisoblang.
Bu integralni hisoblash uchun quyidagicha almashtirish bajaramiz.
2
2 1 1 1 2 2 (1 ) 2( ln 1 2( ln 1 1 1 1 1 2
x t
dx tdt t I x t dt dt t t C x x C t t t x dx tdt
                                 
   
Demak, javob
2( ln 1
1
dx I x x C
x
    
 
.
3.4.
(sin , cos )R x x dx  ko‘rinishidagi integrallar. Trigonometrik ayniyatlar.

Trigonometrik funksiyalarni birinchisini ikkinchisi
orqali ifodalash.
2 2
1. ) sin 1 cos 2) ) cos 1 sin
1
) sin ) cos
1 1
1 1 cos
) sin )
cos
1
1 1 sin
3) ) 4) )
sin
1 sin
1 cos cos
) )
cos
1 cosa x x a x x
tgx
b x b x
tgx tgx
x
c x c tgx
x
ctgx
x
a tgx a ctgx
x
x
x x
b tgx b ctgx
x
x   
 
 

 


 


 

Trigonometrik funksiyalarni yig‘indisi va ayirmasi.
Yarim burchak.2 2
2
21.sin cos 1
2. 1
1 3.1 cos
1 4.1 sin
sin 5. cos
cos 6. sin
x x
tgx ctgx
tg x x
ctg x x
x tgx x
x ctgx x
 
 
 
 


1) sin( ) sin cos cos sin
2) sin( ) sin cos cos sin
3) cos( ) cos cos sin sin
4) cos( ) cos cos sin sin
5) ( ) 1
6) ( ) 1
1 7) ( )
8) (
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
tgx tgy tg x y tgxtgy
tgx tgy tg x y tgxtgy
ctgxctgy ctg x y ctgx ctgy
ctg x
  
  
  
  
   
   
   
 1 )
1 8) ( )
ctgxctgy y ctgx ctgy
ctgxctgy ctg x y ctgx ctgy
  
   

1 cos
1) sin
2 2
1 cos
2) cos
2 2
1 cos
3)
2 1 cos
1 cos
4)
2 1 cosx x
x x
x x
tg
x
x x
ctg
x









Darajani pasaytirish formulasi.
2
2
6 6 41 cos 2 1) sin 2
1 cos 2 2) cos 2
5 3 3) sin cos cos 8 8
x x
x x
x x x
 
 
  
Trigonometrik funksiyani ko‘paytmadan yig‘indiga aylantirish.
1 1) sin cos (sin( ) sin( )) 2
1 2) cos cos (cos( ) cos( )) 2
1 3) sin sin (cos( ) cos( )) 2
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
   
   
   
Asosiy trigonometrik funksiyalar deb
sin , cos , x x tgx va ctgx funksiyalarga
aytiladi.
Ular orasida quyidagi bog‘lanishlar mavjud .
Trigonometrik funksiyalar davriydir.
sin y x va cos y x funksiyalarning
davri ,
2 T   tgx va ctgx funksiyalarniki esa T  ga teng.
1. (sin , cos ) ` int . R x x dx ko rinishidagi egrallarni hisoblash
Bunday integralda
( ) 2
x tg t x      
almashtirish bajarilsa, u holda

2
2 2 22 1 2
sin , cos , ,
1 1 1 t t tdt
x x x arctgt dx
t t t 
   
  
bo‘lib, qaralayotgan integral ratsional funksiyaning integraliga keltiriladi.
2. sin cos m mx xdx  ko‘rinishidagi integrallarni hisoblash. Bunday integrallar m toq
bo‘lganda
cosx t  almashtirish yordamida, n toq bo‘lganda esa sin x t almashtirish
yordamida hisoblanadi.
Agar
m va n lar juft bo‘lsa, unda 2 sin x va 2 cos x ni mos ravishda
1 cos 2 1 cos 2 , 2 2
x x  
ga almashtirish lozim.
3.
sin cos , sin sin , cos cos mx nxdx mx xdx mx nxdx   
Ko‘rinishidagi integrallarni hisoblash. Bunday integrallarni quyidagi

1 sin cos (sin( ) sin( ) 2
1 cos cos (cos( ) cos( ) 2
1 sin sin (cos( ) cos( ) 2
mx nx m n x m n x
mx nx m n x m n x
mx nx m n x m n x
   
   
   
formulalardan foydalanish kerak.
Misol. Ushbu
2 4
sin cos I x xdx
integral hisoblansin.
2 4 2 4 4 6 2
2
1 cos 2 1 cos 2
sin cos (1 cos ) cos (cos cos ) ( ) ( )
2 2
1 1 1 2 cos 2 cos 2 1 1 1 1 1 1
(( cos 2 ) ( )) cos 2 cos 2 cos 4 )
2 2 4 2 2 4 2 8 8
1 1 1 1
( cos 4 ) sin 4
8 8 8 32 x x
I x xdx x xdx x x dx dx
x x
x dx x x x dx
x dx x x C  
       
 
         
       
 

Demak , 2 4
sin cos I x xdx
1 1 sin 4 8 32x x C   
ekan
2-misol .Ushbu

(1 sin )
sin (1 cos )
x dx I x x
   integral hisoblansin.
Bu integralda
2
x tg t  almashtirish bajaramiz. Unda
2 2
2
2 2
2 2 (1 ) 1 1 1 1 ( 2) 2 1 2 (1 ) 1 1
t t
t t I dt t dt t t t
t t
          
 
bo‘lib,
2 2 1 1 1 1(ln 2 ) (ln 22 2 2 2 2 2 2
x x x I t t t C tg tg tg C       
bo‘ladi.
3-misol .Ushbu
3 5 sin 2 cos 3 I x xdx
integral hisoblansin.
Bu integralda
cos x t almashtirish bajarib, uni hisoblaymiz:
2 5 2 5 8 6 8 6 cos
1 1 1 1
(1 cos ) cos sin (1 ) cos cos .
sin
8 6 8 6x t
I x x xdx t t dt t t C x x C
xdx dt 
 
          
 

  
4-misol . Ushbu
3 2 sin 2 cos 3 I x xdx
integral hisoblaymiz .
Bu integral quyidagicha hisoblanadi :
2 2 1 cos 4 1 cos 6 1 sin 2 sin 2 cos 3 sin 2 ) sin 2 (1 cos 4 )(1 cos 6 ) 2 2 4
x x I x x xdx x dx x x x dx          
1 1 3 3 1 1 (3 sin 2 sin 6 )(1 cos 6 ) (3 sin 2 sin 4 sin 8 cos 6 cos1 2 8 8 2 2 48 192 x x x dx x x x x x C          

XULOSA
Biz ( )F x funksiyaning '
( )F x
hosilasini topish zarur bo‘lsa, funksiyalarni
differen-siallash qoidalaridan foydalanganmiz. Agar hosila
x argumentning
funksiyasi bo‘lib, uni
( )f x orqali belgilasak, '
( )F x
= ( )f x bo‘ladi va ( )F x funksiya
differensialini
( ) ( ) dF x f x dx  ko‘rinishida yozish mumkin bo‘ladi. Aksincha,
funksiyaning biror
X ora-liqda berilgan ( )f x hosilasi bo‘yicha shu oraliqda
aniqlangan
( )F x funksiyani o‘zini top-ish talab qilinsa, ( )f x funksiyani integrallash
amalidan, ya`ni integrallash nomi bilan ataluvchi maxsus qoidalar va
formulalardan foydalaniladi. Izlanayotgan
( )F x funksiya ( )f x uchun boshlang‘ich
funksiya vazifasini o‘taydi. Integrallash amali
 belgisi bilan belgilanadi (lotincha
untegrare –tiklash).
Shunday qilib, biror
X oraliqdagi barcha x lar uchun '
( )F x
= ( )f x o‘rinli
bo‘lsa,
( )F x funksiya shu oraliqda ( )f x funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi
deyiladi.

Matematikaga integral atamasini shveytsariyalik matematik Iogann Bernulli
(1667-1748) kiritgan va integral hisobdan birinchi sistematik kurs
tayyorlagan.Uning shogirdi Peterburg fanlar akademiyasining haqiqiy a’zosi
Leonard-Eyler (1707-1748) integral-lashni ( )f x dx belgisi orqali belgilangan.
Hozirgi zamondagi belgilashni esa fransuz ma-tematigi J.Furye (1768-1860)
kiritgan.
Ushbu kurs ishini yozish davomida aniqmas integral va unga oid ko‘pgina
ma’lumotlarga ega bo‘ldim. Bu kurs ishini tayyorlashda:
aniqmas integralga oid formulalarni va jadvalni ;
o‘zgaruvchini almashtirish, bo‘laklab integralash kabi integrallash usullarini;
trigonometrik funksiyalarni integrallashni;
ratsional funksiyalarni integrallashni;
irratsional funksiyalarni integrallashni;
Eyler almashtirishlarini va boshqa ko‘plab integrallashga oid bilimlarimni yanada
mus-tahkamladim va o‘rganganlarimni ushbu kurs ishida iloji boricha yoritib
berishga harakat qildim.
Ushbu kurs ishi 28 varoqdan iborat bo‘lib, kirish 3 ta bob va foydalanilgan
adabi-yotlarni o‘z ichiga oladi. Bu kurs ishida texnikaning rivojlanishiga asosiy
turtki bo‘lgan mavzulardan biri bo‘lmish trigonometrik, ratsional va irratsional
funksiyalarni integrallash qoidalari, yo‘llari va usullari yoritilgan.Qoidalar,
formulalar, ta’riflar, teoremalar keltirilgan va alohida tushuntirilib o‘tilgan. Kurs
ishida keltirilgan misollar eng oson va tushunarli usulda ishlangan. Irratsional va
trigonometrik funksiyalarni integrallash matematik analizda muhim o‘rin tutadi.
Ushbu turdagi funksiyalarni integrallash orqali murakkab matematik va fizik
jarayonlar ifodalanadi hamda amaliy yechimlar topiladi.
Integrallash usullari:
 trigonometrik almashtirishlar,
 qism bo‘yicha integrallash,

 almashtirish (substitsiya),
 maxsus formulalardan foydalanish orqali bajariladi.
Bu usullar yordamida:
 geometrik figuralar yuzasi,
 fizik kattaliklar (masalan, elektr tok kuchi yoki energiya),
 harakat yo‘nalishlari kabi ko‘plab masalalar yechiladi.
Amaliy dasturlarda (Python, MATLAB, WolframAlpha) integrallarni avtomatik
hisoblash imkoniyati mavjud bo‘lib, bu o‘quvchilarga nafaqat nazariy bilimlarni,
balki amaliy ko‘nikmalarni ham egallashga yordam beradi.
Mazkur mavzuni chuqur o‘zlashtirish:
 analitik fikrlashni kuchaytiradi,
 ilmiy-tadqiqotga tayyorlaydi,
 va zamonaviy texnologiyalar bilan ishlashga zamin yaratadi.
Bu kurs ishini yozish davomida ko‘p bilimlar orttirdim. Bilmaganlarimni
o‘rgan-dim.

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1) O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining 2020-yil 7-maydagi
Matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy-tadqiqotlarni rivojlantirishʺ
chora-tadbirlari to‘g‘risida gi PQ-4708-sonli Qarori.
ʺ
2) Azlarov T.A., Mansurov X.T. Matematik analiz, 1-qism, Toshkent,
O‘qituvchi , 1994.
ʺ ʺ
3) Xudayberganov G., Varisov A., Mansurov H., SHoimqulov B.
Matematik analizdan ma’ruzalar, 1-qism, Qarshi, «Voris-nashriyot», 2010.
4) A.Sadullayev, X.Mansurov, G.Xudoyberganov, A.Vorisov,
R.G‘ulomov Matematik analiz kursidan misol va masalalar to‘plami, Toshkent,
“O‘qituvchi” 2008.
5) Фихиенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 1-часть
"Лань" 2015.
6) Демидрович Б.П. Сборник задач и упражнений по
математическому анализу. Санкт-Петербург. "Лань" 2021.
7) Кудряцев Л.Д. и др. Сборник задач и упражнений по
математическому анализу. 1-часть Масква. "Наука" 200 3
8) A.Sa’dullayev, H. Mansurov, G. Xudoyberganov va boshqalar.
Matematik analiz kursidan misol va masalalar to‘plami 1-qism. T: “O‘zbekiston”
1993 yil;
9) T.Azlarov, H. Mansurov. Matematik analiz asoslari 1-qism. T:
“Universitet” 2007 yil
10) G. Xudoyberganov, A. K. Vorisov, X. T. Mansurov, B. A.
Shoimqulov. Matematik analizdan ma’ruzalar 1-qism. T: “Voris-nashriyot” 2010
yil
11) B. A. Shoimqulov, T. T. Tuychiyev, D. H. Djumaboyev. Matematik
analizdan mustaqil ishlar. T: “O‘zbekiston faylasuflari milliy jamiyati” 2008 yil.
Internet saytlari

?????? Nazariy bilim va formulalar uchun:
1. https://mathworld.wolfram.com
– Wolfram MathWorld. Keng qamrovli matematik ensiklopediya.
– Qidiring: "Integration of irrational functions" , "Integration of
trigonometric functions"
2. https://tutorial.math.lamar.edu
– Paul’s Online Math Notes – Texasdagi kollej o‘qituvchisi tomonidan
tayyorlangan.
– Qismi: Calculus II – Integration Techniques
3. https://www.khanacademy.org
– Khan Academy. Interaktiv darslar va misollar.
– Qidiruvga yozing: “Integrating trigonometric functions” , “Integration
strategies”
4. https://www.integral-calculator.com
– Onlayn integral hisoblash vositasi.
– Natijalar bosqichma-bosqich ko‘rsatiladi.
Darslik va izohli misollar uchun:
5. https://www.symbolab.com
– Mashhur matematik kalkulyator.
– Misol yozing: ∫√(x² + 1) dx, ∫cos(x)/√x dx va boshqalar
6. https://proofwiki.org
– Matematik isbotlar va formulalar arxivi.
– Qidiring: “Integral of trigonometric functions” , “Irrational functions”
O‘zbekiston yoki rus tilidagi materiallar:
7. https://namm.uz
– Namangan muhandislik-matematika instituti – ayrim PDF materiallar.

8. https://ziyonet.uz
– O‘zbekiston Respublikasi ta’lim portali.
– Qidiring: “Matematika kurs ishi”, “integrallar”
9. https://lib.qut.uz
– Qarshi muhandislik instituti kutubxonasi.

Irratsional va trigonometrik funksiyalarni integrallash

Sotib olish