Dokument ma'lumotlari

Narxi 19900UZS
Hajmi 1.5MB
Xaridlar 0
Yuklab olingan sana 08 Dekabr 2024
Kengaytma doc
Bo'lim Kurs ishlari
Fan Algebra

Sotuvchi

Bahrom

Ro'yxatga olish sanasi 05 Dekabr 2024

256 Sotish

Ko’phadlarni turg’unlikka tekshirish

Sotib olish
TERMIZ DAVLAT UNIVERSITETI FIZIKA- MATEMATIKA FAKULTETI MATEMATIKA TA’LIM YO’NALISHI 205-GURUH TALABASI RAVSHANOV RASULNING ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALAR FANIDAN MAVZU: KO’PHADLARNI TURG’UNLIKKA TEKSHIRISH Topshirdi: ___________________ Qabul qildi: ___________________ Termiz 2025KURS ISHI REJA: 1. KIRISH 2. ASOSIY QISM 2.1. TURG‘UNLIK TUSHUNCHASI 2.2. TURG‘UNLIKNI BIRINCHI YAQINLASHISH YORDAMIDA TEKSHIRISH 2.3. -TARTIBLI CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMA YECHIMINI TURG‘UNLIKKA TEKSHIRISH 2.4. KO‘PHADLARNI TURG‘UNLIKKA TEKSHIRISH 3. XULOSA 4. FOYDALANGAN ADABIYOTLAR 1. KIRISH Differensial tenglamalar fani turli xil fizik jarayonlarni o'rganish bilan chambarchas bog’liqdir. Bunday jarayonlar qatoriga gidrodinamika, elektro dinamika masalalari va boshqa ko’plab masalalarni keltirish mumkin. Turli jarayonlarni ifodalovchi matematik masalalar ko’pgina umumiylikka ega bo’lib, differensial tenglamalar fanining asosini tashkil etadi. Differensial tenglamalar oliy matematikaning asosiy fundamental va tadbiqiy bo’lim laridan biri bo’lib, u bakalavriatning matematika, mexanika, amaliy matematika va informatika kabi yo ’nalishlari o’quv rejasidagi umumkasbiy fanlardan biri hisoblanadi. Hozirgi kunda fan va texnikaning jadal rivojlanib borishi turli murakkab texnik, mexanik, fizik va boshqa jarayonlarni o’rganish, ularni matematik nuqtai nazardan tasavvur qilish, matematik modellarini tuzish va yechish nafaqat tadbiqiy jihatdan balki nazariy jihatdan ham dolzarb, ham amaliy axamiyatga ega bo’lgan muammolardan biri hisoblanadi. Differensial tenglamalar fanining asosiy maqsadi bakalavriatning matematika yo’nalishi talabalariga bu fanning fundamental asoslarini yetarli darajada o’qitish, bu nazariy bilimlar yordamida mexanika, fizika, texnika va boshqa sohalarda sodir bo’ladigan jarayonlarni differensial tenglamalar ko’rinishda ifodalashni, matematik modellar uchun masalaning berilishiga qarab, ularni yechishga o’rgatish va ixtisoslik fanlarini o’rgatishga tayyorlashdan iborat. Differensial tenglamalar fani fundamental va tadbiqiy fanlarning asosini tashkil qiladi. Jarayonlarning differensial tenglamalar yordamida matematik modelini tuzish va yechimlarini topish usullarini o ’rganish, masalaning berilishiga qarab, uning yechimini nazariy tahlil qilish differensial tenglamalar fanining asosiy vazifasiga kiradi. 2.1. TURG‘UNLIK TUSHUNCHASI Aytaylik, ushbu , (1.1) (1.2) Koshi masalasining yechimi mavjud bo‘lib, ixtiyoriy to‘plamda aniqlangan bo‘lsin. Bu yerda 1.1-ta’rif. Agar ixtiyoriy soni uchun, shunday soni topilib, (1.3) tengsizlikni qanoatlantiruvchi har bir uchun quyidagi (1. ) (1. ) Koshi masalasining , yechimi mavjud bo‘lib, ushbu (1.4) tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda yechim Lyapunov ma’nosida turg‘un deyiladi. 1.2-ta’rif. Agar , yechim 1) Lyapunov ma’nosida turg‘un; 2) Ushbu munosabat o‘rinli bo‘lsa, unga asimptotik turg‘un yechim deyiladi. Berilgan (1.1) differensial tenglamalar sistemasi yechimining turg‘unligini tekshirish masalasi, uning nol, ya’ni yechimining turg‘unligini tekshirish masalasiga keltirish mumkin. Buning uchun (1.6) almashtirishdan foydalanamiz. Bu almashtirish natijasida (1.1) differensial tenglama (1.7) ko‘rinishni oladi. Bunda ushbu munosabatning bajarilishini inobatga olsak, (1.7) tenglik quyidagi (1.8) ko‘rinishga keladi. Berilgan (1.1) differensial tenglamaning yechimi (1.6) almashtirish natijasida (1.8) tenglamaning nol yechimiga o‘tadi. Endi, (1.8) tenglamani (1.9) k o‘rinishda yozamiz . Bu holda yechimga, ya’ni nuqtaga (1.9) differensial tenglamalar sistemasining muvozanat nuqtasi deyiladi . Chunki . Turg‘unlik tushunchasi (1.9) differensial tenglamalar sistemasining muvozanat nuqtasiga, ya’ni yechimga nisbatan quyidagicha talqin qilinadi. 1.3-ta’rif. Agar soni uchun shunday soni topilib, tengsizlikni qanoatlantiruvchi har bir uchun (1.9) sistemaning boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi , yechimi , bahoni qanoatlantirsa, u holda yechim, ya’ni muvozanat nuqta Lyapunov ma’nosida turg‘un deyiladi. 1.4-ta’rif. Agar yechim (muvozanat nuqta) quyidagi: 1). Lyapunov ma’nosida turg‘un; 2). shartlarni qanoatlantirsa, muvozanat nuqta asimptotik turg‘un deyiladi. Yuqoridagi ta’riflarda belgi vektor funksiyaning normasini anglatadi, ya’ni Geometrik nuqtaiy nazardan yechimning turg‘unligini quyidagicha tasvirlash mumkin: 1) yechim turg‘un , : 1-chizma 2) yechim asimptotik turg‘un: 2-chizma 3) yechim turg‘un emas (noturg‘un) 3-chizma 1.1-misol . Ushbu differensial tenglamaning yechimini turg‘unlikka tekshiring. Yechish. Berilgan differensial tenglamani ko‘rinishda yozib olamiz va uning umumiy yechimini topamiz: . Bundan tashqari ham berilgan differensial tenglamaning yechimidan iborat bo‘ladi. Endi boshlang‘ich shartga mos keluvchi yechimni aniqlaymiz: . Berilgan differensial tenglamaning yechimini turg‘unlikka tekshirishda, ushbu tengsizlikning bajarilishidan bahoning kelib chiqishini ko‘rsatish lozim. Ammo, qaralayotgan misolda bo‘lganda bo‘ladi. Shuning uchun da intiladi. Bu holda yechim turg‘un bo‘lmaydi. 4-chizma 1.2-misol. Ushbu Koshi masalasi yechimini turg‘unlikka tekshiring. Yechish . Avvalo berilgan differensial tenglamani ko‘rinishda yozib olamiz va uning bir jinsli qismining umumiy yechimini topamiz: . So‘ngra, berilgan bir jinsli bo‘lmagan differensial tenglamaning xususiy yechimini ko‘rinishda izlab, va noma’lumlarning qiymatlarini aniqlaymiz: . Demak , xususiy yechim ushbu ko‘rinishada bo‘lar ekan. Shuning uchun berilgan bir jinsli bo‘lmagan differensial tenglamaning umumiy yechimi ko‘rinishida bo‘ladi. Endi boshlang‘ich shartdan ekanligini topamiz. Natijada ushbu yechimni aniqlaymiz. Bu yerda bo‘lsa, u holda funksiya berilgan Koshi masalasining yagona yechimidan iborat bo‘ladi. Bu yechimni turg‘unlikka tekshiramiz. Buning uchun quyidagi ayirmani baholaymiz: Shunday qilib, agar desak, u holda tengsizlikning bajarilishidan bahoning o‘rinli bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa yechimning Lyapunov ma’nosida turg‘un ekanligini ko‘rsatadi. Bundan tashqari yechim asimptotik turg‘un yechim ham bo‘ladi. Chunki 1. 3 - misol. Ushbu Koshi masalasining yechimini turg‘unlikka tekshiring. Yechish. Berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimi ko‘rinishda bo‘ladi. boshlang‘ich shartdan kelib chiqadi . Bundan foydalanib , berilgan Koshi masalasining yechimini topamiz. Endi tengsizlikni qanoatlantiruvchi sonini tanlaymiz va boshlang‘ich shartga mos keluvchi Koshi masalasining yechimini olamiz. Quyidagi ayirmani bajaramiz: . Agar soni uchun sonini deb tanlasak, u holda tengsizlikning bajarilishidan bahoning o‘rinli bo‘lishi kelib chiqadi. Qaralayotgan misolda yechim Lyapunov ma ’ nosida turg ‘ un bo ‘ ladi. Bundan tashqari ushbu munosabatning bajarilishi- dan, berilgan Koshi masalasining yechimi asimptotik turg ‘ un bo ‘ lishi kelib chiqadi. 2.2. TURG‘UNLIKNI BIRINCHI YAQINLASHISH YORDAMIDA TEKSHIRISH Aytaylik, bizga quyidagi (1) ko‘rinishidagi muxtor differensial tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin. Bu yerda vektor-funksiyalar bo‘lib, biror sohada uzluksiz differensiallanuvchi vektor-funksiya. Bundan tashqari nuqta (1) sistemaning muvozanat nuqtasi, ya’ni bo‘lsin. U holda vektor-funksiyani nuqta atrofida Teylor formulasidan foydalanib quyidagicha (2) yozish mumkin. Bunda qoldiq had Peano ko‘rinishida olingan: . 1-teorema. Agar A matritsaning barcha xos qiymatlari (3) tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda (1) nochiziqli muxtor sistemaning yechimi asimptotik turg‘un bo‘ladi. Isbot. Berilgan (1) muxtor sistemani nuqtaning atrofida quyidagicha yozish mumkin: . (4) Bu yerda . (5) Berilgan (1) muxtor differensial tenglamalar sistemasining ushbu (6) boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi oraliqda aniqlangan. Bu yechimni (7) ko‘rinishida yozish mumkin. Ma’lumki, bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi uchun quyidagi , Koshi masalasining yechimini ushbu (8) ko‘rinishida yozish mumkin edi. 1-lemma. Agar matritsaning barcha xos qiymatlari tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda shunday sonlari topilib, (9) baho o‘rinli bo‘ladi. Isbot. Aytaylik, sonini shunday tanlaymizki, natijada ushbu tengsizlik bajarilsin. U holda (10) o‘rinli bo‘ladi. Ma’lumki, matritsaning har bir elementi uchun quyidagi ko‘rinish o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda ko‘phad. Endi (10) tengsizlikdan foydalanib munosabatni olamiz. Bundan kelib chiqadi. Bu esa o‘z navbatida (11) ekanligini bildiradi. Endi (8) formuladan foydalanib quyidagi , ya ni’ bahoni olamiz.■ 1-teoremani isbotlashda davom etamiz. Yuqoridagi (5) bahoda bo‘lgani uchun, ixtiyoriy soni uchun shunday soni topilib, bajarilganda bo‘lishini inobatga olsak, (7) munosabatdan baho kelib chiqadi. Bu yerda ushbu belgilashdan foydalansak , tengsizlik hosil bo‘ladi. funksiyaga Gronoulla lemmasini qo‘llasak, baho kelib chiqadi. Bundan esa kelib chiqadi. Bu bahodan foydalanib, yetarli kichik larda (masalan bo‘lganda) munosabatni topamiz. Bu esa (1) sistema yechimining asimptotik turg‘un ekanligini ko‘rsatadi.■ 2-teorema. Agar A matritsa tengsizlikni qanoatlantiruvchi kamida bitta xos qiymatga ega bo‘lsa, u holda (1) sistemaning yechimi turg‘un bo‘lmaydi (noturg‘un bo‘ladi). 1 - misol. Ushbu differensial tenglamalar sistemasining yechimini turg‘unlikka tekshiring. Yechish. Quyidagi munosabatlardan foydalanib , chiziqli differensial tenglamalar sistemasini tuzib olamiz. Endi ushbu matritsaning xos qiymatlarini aniqlaymiz: . Bu kvadrat tenglamani yechib , , xos qiymatlarni topamiz . Ko‘rinib turibdiki, . Shuning uchun 2-teoremaga ko‘ra berilgan nochiziqli differensial tenglamalar sistemasining yechimi turg‘un bo‘lmaydi (ya’ni noturg‘un bo‘ladi). 2 - misol. Ushbu nochiziqli differensial tenglamalar sistemasining yechimini turg‘unlikka tekshiring Yechish. Berilgan nochiziqli sistemaga mos keluvchi quyidagi chiziqli differensial tenglamalar sistemasini tuzib olamiz. Bunda Quyidagi matritsaning xos qiymatlarini aniqlaymiz: , . Bu xos qiymatlarning barchasi uchun , tengsizlik bajariladi. Shuning uchun 1-teoremaga asosan berilgan nochiziqli differensial tenglamalar sistemasining yechimi asimptotik turg‘un bo‘ladi. 2.3. -TARTIBLI CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMA YECHIMINI TURG‘UNLIKKA TEKSHIRISH Quyidagi (1) (2) Koshi masalasining yechimini qaraylik. Bu yerda , . Ushbu , (3) (4) Koshi masalasining yechimini orqali belgilaylik. 1-ta’rif. Agar , soni topilib, ushbu (5) tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha lar uchun (3)-(4) Koshi masalasining va yechimlari ushbu (6) bahoni qanoatlantirsa, (1)-(2) Koshi masalasining yechimiga Lyapunov ma’nosida turg‘un deyiladi. 1-lemma. (1) differensial tenglama yechimining turg‘unligi, ushbu (7) bir jinsli tenglama nol yechimining turg‘unligiga ekvivalent. Isbot. Ushbu belgilashni kiritaylik. Bunda quyidagi (8) Koshi masalasining yechimidan iborat, esa ushbu (9) Koshi masalasining yechimini ifodalaydi . Bu (8) va (9) munosabatlarni mos ravishda ayirib, quyidagi (10) bir jinsli tenglamaga qo‘yilgan Koshi masalasini hosil qilamiz . Yuqoridagi yechim turg‘unligining ta’rifi yechimga nisbatan quyidagicha bayon qilinadi: , tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha lar uchun (10) Koshi masalasining yechimi ushbu bahoni qanoatlantiradi. Bu esa (7) bir jinsli tenglama yechimining turg‘unligini anglatadi. 1-natija. (1) ko‘rinishdagi bir jinsli bo‘lmagan -tartibli chiziqli differensial tenglama yechimini turg‘unligini o‘rganish o‘rniga (7) ko‘rinishdagi bir jinsli chiziqli differensial tenglamaning nol yechimini turg‘unligini o‘rganish yetarli. 2-ta’rif. Agar (1) differensial tenglamaning yechimi Lyapunov ma’nosida turg‘un bo‘lib, munosabat bajarilsa, yechimga asimptotik turg‘un yechim deyiladi. 2-lemma. (1) differensial tenglama yechimining asimptotik turg‘un bo‘lishi (7) bir jinsli tenglama yechimining asimptotik turg‘un bo‘lishiga ekvivalent. Isbot. Ushbu almashtirishdan foydalanib, (10) Koshi masalasini hosil qilamiz. U holda (1) differensial tenglama yechimning asimptotik turg‘unligi holida quyidagi ko‘rinishni oladi. Bu esa (7) bir jinsli tenglama yechimini asimptotik turg‘unligini bildiradi. 1 - misol. Ushbu tenglama yechimini turg‘unlikka tekshiring. Yechish. Berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimi ko‘rinishda bo‘ladi. Bu yerda da quyidagi uchta hol bo‘lishi mumkin: Ko ‘ rinib turibdiki, yechim holida Lyapunov ma ’ nosida turg ‘ un, bundan tashqari u asimptotik turg ‘ un ham bo ‘ ladi. Agar bo‘lsa, yechim Lyapunov ma’nosida turg‘un bo‘ladi. Ammo holida yechim noturg‘un bo‘ladi. 2-misol. Quyidagi , (11) o‘zgarmas koeffitsiyentli bir jinsli tenglama yechimini turg‘unlikka tekshiring. Yechish. Aytaylik, ushbu (12) xarakteristik tenglamaning karrali har xil ildizlarini orqali belgilasak. U holda (11) differensial tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ………….......; funksiyalarning chiziqli kombinatsiyalaridan iborat bo‘ladi. Bundan ko‘rinib turibdiki, (11) tenglama yechimi asimptotik turg‘un bo‘lishi uchun shartning bajarilishi zarur va yetarli. Agar (12) xarakteristik tenglamaning ildizlari orasida kamida bittasi, ya’ni munosabatni qanoatlantirsa, u holda (11) differensial tenglamaning yechimi noturg‘un bo‘ladi. 2.4. KO‘PHADLARNI TURG‘UNLIKKA TEKSHIRISH 1-ta’rif. Agar haqiqiy koeffitsiyentli (1) ko‘phadning barcha ildizlari ushbu tengsizlikni qanoatlantirsa, unga turg‘un ko`phad deyiladi. Avvalo ushbu (2) birinchi darajali ko‘phadni ko‘rib chiqamiz. Bu holda tenglamaning ildizi ko‘rinishda bo`ladi. Ko‘rinib turibdiki, bo‘lishi uchun bo`lishi zarur va yetarli. Chunki . Bundan kelib chiqadiki, birinchi darajali ko‘phad turg‘un bo‘lishi uchun, uning barcha koffisentlari musbat, ya`ni , bo`lishi zarur va yetarli. Endi ikkinchi darajali , (3) ko‘phadni qaraylik. Bu holda tenglamaning ildizlari ushbu formuladan topiladi. Bunda 1) agar bo`lsa, u holda (4) o‘rinli. 2) Agar bo‘lsa, u holda (5) o`rinli. Ushbu tengsizlik bajarilishi uchun quyidagi munosabatning o‘rinli bo‘lishi lozim. Bu munosabatning birinchisidan, ya’ni ushbu , tengsizliklardan kelib chiqadi. Yuqoridagi munosabatning ikkinchisidan, ya’ni tengsizlikdan , baholar, bulardan esa ekani kelib chiqadi. Shunday qilib, ikkinchi darajali , ko‘phadning turg‘un bo‘lishi uchun uning barcha koeffitsiyentlarining musbat, ya’ni , , bo‘lishi zarur va yetarli, ekan. 1-teorema. Birinchi va ikkinchi darajali , ko‘phadlarning turg‘un bo‘lishi uchun, ularning barcha koeffitsiyentlarining musbat , , bo‘lishi zarur va yetarli. 2-teorema (Stodoliy). Ushbu ko‘phad turg‘un bo‘lishi uchun uning barcha koeffitsiyentlari musbat bo‘lishi zarur. Isbot. Aytaylik berilgan ko‘phad turg‘un bo‘lsin. U holda bo‘lishini isbotlaymiz. Berilgan ko‘phadning koeffitsiyentlari haqiqiy bo‘lgani uchun uning ildizlari soni (karrali ildizlarning karrasi ham hisobga olinganda) n ta bo‘ladi. Shu bilan birga ko‘phadning ta ildizi kompleks bo‘lsa, unda uning yana ta ildizi mos ravishda qo‘shma kompleks bo‘ladi. Ularni deb belgilaymiz. Shuning uchun . Endi ko‘phadni quyidagicha yozamiz: Bunda . Demak, ko‘phad koeffitsiyentlari musbat bo‘lgan va ko‘rinishdagi ko‘phadlarning ko‘paytmasi shaklida yoziladi. Bunday ko phadlarni o‘zaro‘ ko‘paytirib chiqsak, natijada koeffitsiyentlari musbat bo‘lgan ko‘phad hosil bo‘ladi.■ 1-izoh. Teskari tasdiq o‘rinli emas, ya’ni barcha keffitsiyentlari musbat bo‘lgan ko‘phad turg‘un bo‘lavermaydi. 1-misol. Ushbu uchinchi darajali ko‘phadni qaraylik. Ko‘rinib turibdiki bu ko‘phadning ildizlari quyidagi sonlardan iborat. Bunda . Demak, berilgan ko‘phad noturg‘un ekan. 1 - lemma. Ushbu uchinchi darajali ko‘phad sof mavhum ildizga ega bo‘lishi uchun munosabatning bajarilishi zarur va yetarli. Isbot. Zarurligi. Avvalo soni berilgan ko‘phadning ildizi bo‘la olmaydi. Chunki bo‘lsa, kelib chiqadi. Buning esa bo‘lishi mumkin emas. Aytaylik, soni ko‘phadning ildizi bo‘lsin. Bu holda uni ko‘rinishda yozish mumkin. Bunda , . Ko‘rinib turibdiki, bu yerda ushbu munosabat bajariladi. Yetarliligi. Aytaylik, ushbu tenglik o‘rinli bo‘lsin. U holda berilgan ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratish mumkin bo‘ladi: . Endi ushbu , tenglamani qaraylik. Bundan i ldizlarni topamiz.■ 3- teorema ( Vishnegradskiy ). Koeffitsiyentlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘lgan , (6) uchinchi darajali ko‘phad turg‘un bo‘lishi uchun: 1) (7) 2) (8) shartlarning bajarilishi zarur va yetarli. Isbot. Zarurligi. Avvalo (9) ko‘phadni tuzib olamiz. Bunda Endi ushbu tengliklardan foydalansak, (8) tengsizlik quyidagi ko‘rinishni oladi: . (10) Aytaylik, (9) tenglik yordamida aniqlanadigan ko‘phad turg‘un bo‘lsin. U holda 2-teoremaga ko‘ra, tengsizliklar bajariladi. Endi (10) tengsizlikning bajarilishini ko‘rsatamiz. Buning uchun teskarisini faraz qilamiz, ya’ni ko‘phad turg‘un bo‘lib, (10) tengsizlik bajarilmasin. U holda yoki , yoki munosabatlar o‘rinli bo‘ladi. Berilgan ko‘phadni (11) ko‘rinishda ifodalaymiz. 1-hol. Aytaylik, bo‘lsin. U holda (11) tasvirdan kelib chiqadi. Bu ko‘phad ko‘rinishdagi sof mavhum ildizga ega. Shuning uchun ko‘phad noturg‘un bo‘ladi. Bu esa farazimizga zid. 2-hol. Aytaylik, ab<c bo‘lsin. Bu holda ham ko‘phad noturg‘un ekanini ko‘rsatamiz. va larni shunday uzluksiz o‘zgartiramizki, birinchidan ular nolga intilsa, ikkinchidan tengsizlik buzilmasin. Bunday o‘zgartirishda ko‘phadning ildizlari mavhum o‘qning bir tomonidan ikkinchi tomoniga o‘ta olmaydi, aks holda tengsizlik buzilgan bo‘ladi. Demak, ko‘phadning turg‘unligi yoki noturg‘unligi o‘zgarmaydi. Agar bo‘lsa, u holda ko‘rinishni oladi. Uning ildizlari . Demak, ko‘phad mavhum o‘qdan o‘ngda joylashgan ikkita ildizga ega. Bu holda ko‘phad noturg‘un bo‘ladi. Mazkur xossa va larning nolga yetarli yaqin qiymatlarida ham o‘rinli. Chunki ildizlar ko‘phad koeffitsiyentlarining uzluksiz funksiyasidir. Shunday qilib tengsizlik bajarilganda ko‘phad noturg‘un bo‘ladi. Yetarliligi. Ushbu tengsizlik bajarilsin, u holda ko‘phadning turg‘un ekanligini isbotlaymiz. Berilgan tengsizlikda ni shunday o‘zgartiramizki u 1) nolga o‘ngdan intilsin. 2) tengsizlik buzilmasin. Agar bo‘lsa ko‘phad ushbu ko‘rinishni oladi. Bu ko‘phad ko‘rinishdagi ildizlarga ega. Bunda diskriminant ishorasiga bog‘liq bo‘lmagan holda, ekanligi ko‘rinib turibdi. Haqiqatdan ham, agar 1) bo‘lsa, u holda bo‘ladi. 2) bo‘lsa, u holda ushbu tengsizlikdan kelib chiqadi. Agar ning nolga yetarli yaqin musbat qiymatlarini olsak, ildizlar mavhum o‘qdan chapda, ya’ni qoladi. Ammo nol ildiz mavhum o‘qdan yoki chapga, yoki o‘ngga yetarli kichik miqdorga siljiydi. Ikkinchi tomondan ma’lumki, ko‘phad ildizlarining ko‘paytmasi teskari ishora bilan olingan ozod hadga teng. Shuning uchun qaralayotgan holda , tengsizliklardan ekani kelib chiqadi. Shunday qilib, tengsizliklar bajarilganda ko‘phad turg‘un bo‘ladi.■ 1-natija. Vishnegradskiy teoremasidan quyidagi (12) bir jinsli differensial tenglama yechimining turg‘unligi va noturg‘unligi kelib chiqadi. Agar bo‘lsa, u holda (12) differensial tenglamaning yechimi asimptotik turg‘un bo‘ladi. Agar bo‘lsa, u holda (13) differensial tenglamaning yechimi turg‘un bo‘lib, asimptotik turg‘un bo‘lmaydi. Agar bo‘lsa, u holda (12) differensial tenglamaning yechimi noturg‘un bo‘ladi.■ Eslatib o‘tamizki, ushbu matritsaning bosh minorlari deb quyidagi determinantlarga aytiladi. Quyidagi (13) ko‘phadning Gurvis matritsasi deb ushbu matritsaga aytiladi. Bunda . Gurvis matritsasining bosh minorlari deb quyidagi determinantlarga aytiladi: . Bu yerda 4-teorema (Raus-Gurvis belgisi). Haqiqiy koeffitsiyentli (13) ko‘phad turg‘un bo‘lishi uchun quyidagi shartlarning bajarilishi zarur va yetarli: 1. Barcha koeffitsiyentlari musbat: ; 2. Gurvis matritsasining barcha bosh minorlari musbat: . 5-teorema (Lenara-Shiparo belgisi). Haqiqiy koeffitsiyentli (13) ko‘phad turg‘un bo‘lishi uchun quyidagi shartlarning bajarishi zarur va yetarli: 1. ; 2. Gurvis matritsasining nomerlariga mos keluvchi bosh minorlari musbat. Bu ikki belgining ekvivalent ekanligini uchinchi darajali ko‘phad misolida ko‘rishimiz mumkin. Haqiqatan ham , ushbu ko‘phad uchun Gurvis matritsasi ko‘rinishni oladi. Bu matritsaning bosh minori quyidagi determinantlardan iborat. Berilgan uchinchi darajali ko‘phad turg‘un bo‘lishi uchun, Linara-Shipara belgisiga ko‘ra, ushbu shartlarning bajarilishi yetarli. Endi tengsizlikdan bo‘lishi kelib chiqishini ko‘rsatamiz. Buning uchun determinantning oxirgi satr elementlari bo‘yicha yoyamiz: . Agar bo‘lsa, u holda bu tenglikdan va zaruriy shartlar bajarilganda kelib chiqadi. Raus-Gurvis belgisidan foydalanib, o‘zgarmas koeffitsiyentli chiziqli bir jinsli (14) differensial tenglamalar sistemasi nol yechimini asimptotik turg‘unlik shartini matritsaning elementlari orqali ifodalash mumkin. Agar matritsaning xarakteristik tenglamasini ushbu ko‘rinishda yozib olsak. Bu yerda . U holda, xususan (14) sistemada bo‘lsa yechimning asimptotik turg‘un bo‘lishi uchun (15) shartlarning bajarilishi yetarli. 1-misol. Ushbu differensial tenglamalar sistemasi yechimini asimptotik turg‘unlikka tekshiring. Yechish. , , Berilgan soni tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda , chunki , va (15) shartlar bajariladi. Demak, berilgan sistemaning yechimi tengsizligini qanoatlantiruvchi barcha p larda asimptotik turg‘un bo‘ladi. 3. XULOSA Bu kurs ishni bajarish davomida turg‘unlikni birinchi yaqinlashish yordamida tekshirish , - tartibli chiziqli differensial tenglama yechimini turg‘unlikka tekshirish , ko‘phadlarni turg‘unlikka tekshirishni o’rgamdim. Berilgan (1.1) differensial tenglamalar sistemasi yechimining turg‘unligini tekshirish masalasi, uning nol, ya’ni yechimining turg‘unligini tekshirish masalasiga keltirish mumkin. Buning uchun (1.6) almashtirishdan foydalanamiz. Bu almashtirish natijasida (1.1) differensial tenglama (1.7) ko‘rinishni oladi. Bunda ushbu munosabatning bajarilishini inobatga olsak, (1.7) tenglik quyidagi (1.8) ko‘rinishga keladi. Berilgan (1.1) differensial tenglamaning yechimi (1.6) almashtirish natijasida (1.8) tenglamaning nol yechimiga o‘tadi. Endi, (1.8) tenglamani (1.9) k o‘rinishda yozamiz . Bu holda yechimga, ya’ni nuqtaga (1.9) differensial tenglamalar sistemasining muvozanat nuqtasi deyiladi . Chunki . Turg‘unlik tushunchasi (1.9) differensial tenglamalar sistemasining muvozanat nuqtasiga, ya’ni yechimga nisbatan quyidagicha talqin qilinadi. 4. FOYDALANGAN ADABIYOTLAR 1. Шарипов Ш.Р., Мўминов Н.С. Оддий дифференциал тенгламалар. Тошкент. “Ўқитувчи” 1992, 310 б. 2. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969, 424 с. 3. Ўринов А.Қ. Оддий дифференциал тенгламалар учун чегаравий масалалар. – Тошкент: Mumtoz so ‘ z , 2014. 164 б. 4. Оппоқов Ю.П, Турғунов Н., Гаффаров И.А. Оддий дифференциал тенгламалардан мисол ва масалалар тўплами. (Ўқув қўлланма). Тошкент – 2009 йил. 5. Morris Tenebout, Harry Pollard. Ordinary differential equations. Birkhhuzer. Germany, 2010. 6. Robinson J.C. An Introduction to ordinary differential equations. Cambridge University Press 2013. 7. Hasanov A.B. Shturm – Liuvill chegaraviy masalalari nazariyasiga kirish. 1 – qism. T.: Fan, 2018

Ko’phadlarni turg’unlikka tekshirish

KIRISH

  1. ASOSIY QISM
    1. TURG‘UNLIK TUSHUNCHASI
    2. TURG‘UNLIKNI BIRINCHI YAQINLASHISH YORDAMIDA TEKSHIRISH
    3. -TARTIBLI CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMA YECHIMINI TURG‘UNLIKKA TEKSHIRISH
    4. KO‘PHADLARNI TURG‘UNLIKKA TEKSHIRISH
  2. XULOSA
  3. FOYDALANGAN ADABIYOTLAR


 

Sotib olish