Konsentrlar va ular ustida amallarni haqida metodika

Konsentrlar va ular ustida amallarni haqida
metodika
Reja:
Kirish .......................................................................................................................................................... 14
Hozirgi vaqtda mavjud bo’lgan barcha muqobil ta’lim tizimlari arifmetik amallarning xususiyatlarini 
shakllantirishda to’plam nazariyasi yondashuviga asoslanadi. .............................................................. 14
topshiriqlarga murojaat qilmasdan elementlar to’plamidan foydalanish odatiy holdir . Har bir 
o’qituvchi vazifa bilan ishlash jarayonida arifmetik amallar va ularning xossalarini o’rganish yaxshiroq 
o’rganilishini aniq tushunmaydi. Arifmetik amallarning xossalarini o’rganishning ahamiyatidan kelib 
chiqib, turli o’quv tizimlarida ushbu muammoni o’rganishga yagona yondashuv yo’qligi sababli 
xossalar tushunchasini shakllantirish xususiyatlarini ko’rib chiqish, aniqlashtirish va aniqlashtirish 
zarurati tug’iladi. arifmetik amallar. Bu dolzarblikdir, chunki birinchidan, arifmetik amallarning 
xossalarini o’rganish va qo’llash muhim mavzulardan biri bo’lsa, ikkinchidan, ko’pgina o’qituvchilar 
ushbu amallarning xususiyatlaridan foydalanishga e’tibor bermaydilar. ............................................... 15
Muvofiqligini hisobga olib , biz "Boshlang’ich maktabda matematika kursida asosiy arifmetik amallar" 
kurs ishining mavzusini aniqladik. .......................................................................................................... 15
Tadqiqot muammosi: bolalarning qanday ish usullari, faoliyati arifmetik amallarning xususiyatlarini 
o’zlashtirishga erishishi mumkin. ........................................................................................................... 15
Tadqiqot maqsadi: kichik yoshdagi o’quvchilarda arifmetik amallar xossalarini shakllantirish 
xususiyatlarini aniqlash. ......................................................................................................................... 15
O’quv ob’ekti: boshlang’ich maktabda matematikani o’rganish jarayoni. ............................................. 15
mavzusi : kichik yoshdagi o’quvchilarda arifmetik amallarning xususiyatlarini shakllantirish. ............... 15
O’qituvchilar tomonidan arifmetik amallar xossalarining o’ziga xos ma’nosini ochib berish arifmetik 
amallar xossalari tushunchasini malakali shakllantirishga yordam beradi: ............................................ 15
1. Masala va misollar yechishda uni o’rganish, xossa va amallarni qo’llash yaxshidir; ........................... 15
2. Kichik yoshdagi o’quvchilar uchun qulay shaklda ularni ko’rib chiqilayotgan harakatlarning og’zaki 
va yozma hisob-kitob usullarining nazariy asosi bo’lgan xususiyatlari bilan tanishtirish; ...................... 15
3. Bolalarda ongli va kuchli tez va to`g`ri hisoblash malakalarini shakllantirish. .................................... 15
Maqsadga erishish uchun quyidagi tadqiqot vazifalari belgilandi: ......................................................... 15
1. Arifmetik amallarning paydo bo’lish tarixini ko’rib chiqing. ............................................................... 15
2. Asosiy arifmetik xususiyatlarni ko’rib chiqing. ................................................................................... 16
3. Boshlang’ich sinflarda arifmetik amallar va ularni o’rganish metodikasi bilan tanishing. .................. 16
Tadqiqot davomida quyidagi usullar qo’llanildi: .................................................................................... 16
uslubiy va o’quv adabiyotlarini tahlil qilish; boshlang’ich sinf o’qituvchilari tajribasini o’rganish. ........ 16
3 Tadqiqotning ilmiy yangiligi arifmetik amallar xossalarining o’ziga xos ma’nosini ochish xususiyatlarini 
aniqlash va ulardan matematikani o’rganish jarayonida foydalanishdadir. ........................................... 16
I-bob . Arifmetik amallarning paydo bo’lish tarixi ...................................................................................... 17
1.1.  Arifmetik amallarning paydo bo’lish tarixi ...................................................................................... 17
Raqamlar fani hisoblangan arifmetika bilan bizning matematika bilan tanishuvimiz boshlanadi. 1703 
yilda L. F. Magnitskiy tomonidan yozilgan birinchi rus arifmetika darsliklaridan biri bu so’zlar bilan 
boshlangan: "Arifmetika yoki hisoblagich - bu halol, hasad qilmaydigan va hamma uchun tushunarli, 
eng foydali va eng maqtovga sazovor bo’lgan , eng qadimgi va eng yangi san’at. , turli davrlarda 
yashagan eng yaxshi arifmetikani ixtiro qilgan va tushuntirgan. U o’z kitobida beshta “ta’rif” yoki 
arifmetik amallarni ko’rib chiqdi: “sonlash yoki hisoblash, qo’shish yoki qo’shish, ayirish yoki ayirish, 
ko’paytirish bo’lsa ko’paytirish, bo’lish bo’lsa bo’lish”. ......................................................................... 17
Arifmetika bilan biz, M.V.Lomonosov aytganidek, “o’rganish darvozalari”ga kiramiz va dunyoni bilish 
bo’yicha uzoq va qiyin, ammo maftunkor sayohatimizni boshlaymiz. ................................................... 17
Turli xalqlarda turli davrlarda arifmetika kursining mazmuni juda xilma-xil edi. Masalan, hindlar kub 
ildizini ajratib olishni elementar arifmetik amallar qatoriga qo’ygan. .................................................... 17
Arifmetik amallar deb atalgan narsani tushunish boshqacha edi. Bir necha asrlar davomida barcha 
xalqlarning maktablari tomonidan qo’llanilgan lotin tili darsliklarida bu harakatlar tiplar (harakat) deb 
nomlangan (lot. turlardan ) . Arifmetik amallarning ta’rifi uchun bu nom birinchi marta 13-asr 
qo’lyozmalarida uchraydi. XVI asrda. u keng tarqalgan bo’lib, arifmetik qism atamasini siqib chiqaradi 
(lot. pars . dan artmetika ). Hind matematiklari oltita arifmetik amalni ko’rib chiqdilar: qo’shish, 
ayirish, ko’paytirish, bo’lish, darajaga ko’tarish va ildizlarni chiqarish. .................................................. 17
Sakroboskoda (XIII asr) keyingi asrlarning ko’plab mualliflari kabi ulardan to’qqiztasi mavjud: 
raqamlash, qo’shish, ayirish, ikkiga ko’paytirish, ko’paytirish ( yarmga bo’lish), bo’linish, progressiya, 
ildizlarni chiqarish. "Progressiya" harakati ko’p hollarda tabiiy qator raqamlarining yig’indisini, 
kamdan-kam hollarda tabiiy qatorlarning alohida juft va toq sonlarining yig’indisini va faqat istisno 
hollarda ikkita oddiy geometrik progressiyalarning 1, 2 yig’indisini ko’rib chiqadi. , 4, 8, ... va 1 , 3, 9, 
27,... ....................................................................................................................................................... 17
"Ikki ko’paytirish" harakati Misrdan kelib chiqqan. Misr matematikasi haqidagi asosiy ma’lumotlar 
1800-1600 yillarda yozuvchi Ahmes tomonidan yozilgan Rhind papirusidan olingan . Miloddan avvalgi. 
Bu Misr raqamlash bobida tasvirlangan. ................................................................................................ 18
Eng so’nggi tadqiqotchilar (Archibald, Vileintner ) Misr fani sof amaliy va empirik deb hisoblangan 
mavjud nuqtai nazarni rad etadilar, Ahmesning vazifalari ba’zan shu qadar mavhumki, ular bevosita 
amaliyotdan kelib chiqqan. .................................................................................................................... 18
Misrliklar sonlar ustidagi to’rt amalimizni qo’shish, ikkiga ko’paytirish va yarmiga bo’lish yo’li bilan 
bajarishdi. .............................................................................................................................................. 18
Ikki marta ko’paytirish asosiy operatsiya edi; Misr tilida ham buning uchun qo’sh sonning maxsus 
shakli mavjud. To’g’ridan-to’g’ri operatsiyalardan faqat o’n baravar ko’payish ishlatilgan. Ayirish 
minuendga ayirmani qo’shish, bo’lish ikki barobarga ko’paytirish orqali amalga oshirildi. ................... 18
Yunonlar, garchi ular ko’paytirish harakatiga ega bo’lsalar ham, kundalik amaliyotda ular odatda 
Misrning ikki barobar ko’paytirish usulidan foydalanganlar. Platon raqamlarni ko’paytirishning ikkita 
usulini eslatib o’tadi. .............................................................................................................................. 18
Maxsus arifmetik amallar sifatida u hind sanoqlarini targʻib qilgan samarqandlik matematik al-
Xorazmiy (12-asr boshlari) oʻzining darsligiga ikki barobar va meditatsiyani kiritdi. .............................. 18
4 Hindlar bu harakatlardan foydalanmagani uchun, bu al-Xorazmiyning o’z g’oyasi yoki Misrning arablar 
orqali ta’siri deb qarash kerak. .............................................................................................................. 18
XII asrda al-Xorazmiy kitobining tarjimasi orqali. bu harakatlar birinchi marta lotin tiliga Iordaniya 
Nemorariusning (XIII asr) Yevropa qo’llanmalariga va u orqali monastir maktablariga kirdi. Faqat 15-
asrning oxirida italiyalik muallif Luka Pacioli raqamlarning ikki baravar ko’payishi va bifurkatsiyasi 
ko’payish va bo’linishning alohida holatlari ekanligini ta’kidlaydi va ularni bekor qiladi. ...................... 18
Universitet fanlari vakillaridan birinchi bo’lib keraksiz harakatlardan voz kechganlar XVI asrda 
matematik ta’limning ko’zga ko’ringan namoyandalari edi. Vena universitetida Grammateus ( Shreiber
) va Gemma Frisius . ............................................................................................................................... 19
Ikkinchisi birinchi marta ta’rif beradi: "arifmetik operatsiya (lot. Turlardan ) biz raqamni topish usulini 
chaqiramiz." ........................................................................................................................................... 19
Biroq, hatto 1754 yilda Wolfning "Boshlanishi" o’z davri uchun ilg’or darsligi ham sonni ko’paytirish 
jadvalini yodlamasdan - ikki barobarga oshirish va natijalarni qo’shish orqali ko’paytirish mumkinligini 
ko’rsatadi. .............................................................................................................................................. 19
Volfning 1770 yildagi kitobining birinchi ruscha nashri ("Matematikaning birinchi asoslarining 
qisqartmasi") endi bu ko’rsatkichni o’z ichiga olmaydi va "kim tez orada ko’paytirishni xohlasa, Pifagor 
panjarasini (ko’paytirish) o’rganishi kerak" degan ko’rsatkich bilan cheklangan. stol) yoddan va 
hozircha, u sizning oldingizda bo’lishi uchun xotirada qotib qolmaydi. " ............................................... 19
Ikki marta ko’paytirish va ikki barobar ko’paytirishning Misr usuli juda qat’iyatli bo’lib chiqdi va yaqin 
vaqtgacha amalda saqlanib qoldi. .......................................................................................................... 19
Xorijiy adabiyotda bugungi kunda bu ko’paytirish usuli bir necha bor "Rossiya dehqonlari tomonidan 
qo’llaniladigan raqamlarni ko’paytirish usuli" deb ta’riflangan. ............................................................ 19
To’rt arifmetik amalni o’rganish tartibi turli xil vaqtlarda taklif qilingan. Leonardda Piza harakatlari 
tartibda o’rganiladi: ko’paytirish, qo’shish, ayirish, bo’lish; Piter Borgi (1484) - ko’paytirish, bo’lish, 
qo’shish, ayirish. .................................................................................................................................... 19
Arifmetik operatsiyalarni ko’paytirish bilan o’rganishni boshlash uchun bu asrning boshlarida xalqaro 
falsafiy kongresslardan birida taklif qilingan. V.V. bu taklifga keskin qarshi chiqdi. Bobinin Kebel (1515) 
to’rtta harakatning tengligini ta’kidlaydi, Grammat (1518) qo’shishning ko’paytirish bilan, ayirishning 
bo’linish bilan o’zaro bog’liqligini qayd etadi. Misrahiy (1528) ko’paytirishni qo’shishning maxsus holati
deb hisoblaydi va uni arifmetik amallar qatoriga kiritmaydi, chunki u faqat qisqartirilgan belgilash usuli
hisoblanadi. ........................................................................................................................................... 19
Nepir (1550-1617) qadamlardagi arifmetik amallar orasidagi farqni birinchi marta faqat 1839 yilda 
nashr etilgan "Logistika san’ati" kitobida ko’rsatadi. Nepir ko’paytirish va bo’lishni qo’shish va 
ayirishdan yuqori tartibli harakatlar deb biladi; operatsiyalarning uchinchi bosqichi - eksponentatsiya 
va ildizlarni olish. ................................................................................................................................... 19
Eng qadimiy hind yozuvlari Hindistonda arifmetikaning to’rtta amali bugungi kunda xuddi shunday 
amalga oshirilganligidan dalolat beradi. Hindiston aholisi keraksiz raqamni "o’chirish" oson bo’lgan 
silliqlangan planshetlarga yozganligi sababli, ular chapdan o’ngga harakat qilishdi. Qog’ozga yozishda, 
bu tartib bilan, uning ustiga yoki uning ostiga haqiqiyni yozish uchun keraksiz yoki noto’g’ri raqamni 
kesib tashlash kerak bo’ldi. Bu texnikani arablar kiritgan va ulardan yevropaliklarga o’tgan; uning 
noqulayligi allaqachon Maksim Planud (1313) tomonidan qayd etilgan. ............................................... 20
15-asrdan boshlab Evropada bizning hisoblash usullarimiz qo’llaniladi, bu raqamlarni chizishni talab 
qiladi (Italiyadan boshlab). Beldomandining " algoritmik traktati" da (1410) faqat bo’linish arifmetik 
5 amallarni bajarish uslublarimizdan farq qiladi. Germaniyada qo’llanilgan "nemis uslubidagi" 
raqamlarni kesib tashlash usuli, so’nggi usul XV asrning eng ko’zga ko’ringan evropalik matematiklari 
tomonidan qabul qilinganidan so’ng, italyanchaga o’tdi. Gmunden , Purbach , Regiomontanus . ........ 20
Shunday qilib, har bir xalqning o’ziga xos arifmetik amallari mavjud edi. Va ularning barchasi raqamlar 
ustida operatsiyalarni bajarish uchun ishlatilgan. Ming yildan ortiq vaqt davomida arifmetik amallarni 
bajarish g’oyasi ishlab chiqilgan va tasdiqlangan. Har qanday kontseptsiyaning rivojlanish tarixini 
o’rganish nafaqat talabalar uchun, balki o’zimiz uchun ham qiziqarli va arifmetik amallarning 
rivojlanish tarixini o’rganish, albatta, kichik yoshdagi o’quvchilarni matematikaga qiziqtirishga yordam 
beradi. ................................................................................................................................................... 20
1.2. Arifmetik amallarning xossalari. ...................................................................................................... 20
Boshlang’ich sinf o’qituvchisi birinchi bo’lib sonlar va ularning xossalari ustida turli amallarni kiritadi. 
Bolalarni maktab o’quvchilariga matematikani keyingi o’qitishda algebraik tushunchalarni 
rivojlantirish istiqbollarini ko’rishga malakali o’rgatish uchun o’qituvchi algebraik operatsiya nima 
ekanligini, qanday xususiyatlarga ega bo’lishi mumkinligini bilishi kerak. ............................................. 20
Keling, algebraik amallarning xossalarini umumiy shaklda aniqlagan holda ko’rib chiqaylik. Biz 
algebraik amallarni belgilar bilan belgilaymiz: * (yulduzcha) va ○ (doira). ............................................. 21
Algebraik amallarning eng muhim xossasi  assotsiativlik (kombinatsiya) xossasidir. .............................. 21
Ta’rif.  Algebraik operatsiya *, deyiladi  assotsiativ  , agar biron bir element uchun tenglik bo’lsa .......... 21
( a * b ) * c = a * ( b * c ) ........................................................................................................................ 21
Masalan, natural sonlarni qo’shish assotsiativ hisoblanadi: har qanday a , b va c natural sonlar uchun 
( a + b ) + c = a + ( b + c ) tengligi bajariladi . Ratsional va haqiqiy sonlarni assotsiativ qo’shish. Shuning 
uchun bir nechta sonlar yig’indisini qavssiz yozish mumkin. ................................................................. 21
(a + b) + c va a + (b + c) o’rniga a + b + c. ............................................................................................... 21
Assotsiativlik xususiyatiga ega bo’lmagan algebraik amallar mavjud. Demak, (12 - 7) - 3 ≠ 12 - (7 - 3) 
butun sonlarni ayirish assotsiativ emas. ................................................................................................ 21
Algebraik amalning assotsiativligi barcha ifodalarni qavslarsiz yozish imkonini beradi, lekin bu ifodaga 
kiritilgan elementlarni qayta tartibga sola olmaysiz. Elementlarni almashtirish faqat operatsiya 
kommutativ bo’lgan taqdirdagina mumkin (o’zgartirish xususiyati). ..................................................... 21
Ta’rif. Har qanday ikkita  a va b element uchun tenglik bajarilsa, * algebraik operatsiya  kommutativ 
deyiladi : ................................................................................................................................................ 21
a * b = b * a ............................................................................................................................................ 21
Kommutativ amallarga natural sonlarni qo’shish va ko’paytirish misol bo’la oladi, chunki har qanday 
natural sonlar uchun a va b tengliklari a + b = b + a , a   b = b   a . Bu tengliklar nafaqat natural sonlar, ∙ ∙
balki har qanday haqiqiy sonlar uchun ham amal qiladi, shuning uchun haqiqiy sonlar to’plamida 
qo’shish va ko’paytirish ham kommutativdir. ........................................................................................ 21
Kommutativlik xususiyatiga ega bo’lmagan algebraik amallar mavjud. Demak, butun sonlarni ayirish 
kommutativ emas. Masalan: 12 - 7 ≠ 7 - 12. .......................................................................................... 21
Agar to’plamda ikkita algebraik amal berilgan bo’lsa, u holda ular bir-biri bilan taqsimlanish xususiyati 
(taqsimot qonuni) bilan bog’lanishi mumkin. ........................................................................................ 22
Ta’rif.  Agar biron bir element uchun quyidagi tengliklar bajarilsa, algebraik amal ○ algebraik amalga 
nisbatan distributiv deyiladi: ................................................................................................................. 22
6 1) (a * b)○ c = (a ○ b)*(a ○ b) 2) c○(a * b) = (c ○ a)*(c ○ b). .................................................................... 22
* amaliga nisbatan  toʻgʻri taqsimlovchi  deyiladi ; agar u operatsiyaga nisbatan amalga oshirilsa *. ..... 22
Keling, qanday hollarda o’ng va chap tomonda taqsimlanish farqlanishini bilib olaylik. ....................... 22
Natural sonlar to’plamida ikkita amalni ko’rib chiqaylik: darajaga ko’tarish (1 va 2 tengliklardagi ○ 
operatsiyasiga mos keladi) va ko’paytirish (1 va 2 tengliklardagi * operatsiyasiga mos keladi). 1-tenglik 
bo’yicha bizda: ( a   b ) ∙ c 
= a  c 
 b 	∙ c 
. Olingan tenglik har qanday natural sonlar uchun amal qiladi , ya’ni 
ko’paytirishga nisbatan ko’rsatkich to’g’ri taqsimlanadi. 2-tenglikka muvofiq, biz olamiz .................... 22
miloddan  avvalgi 
= a  b 
 a 	
∙ c 
. Ammo bu tenglik har doim ham qondirilmaydi, ya’ni kuchga ko’tarish 
operatsiyasi ko’paytirishga nisbatan chap tomonda taqsimlanmaydi. Bu holat eksponentsiya 
kommutativlik xususiyatiga ega bo’lmagan operatsiya ekanligining natijasidir. .................................... 22
Agar natural sonlarni qo’shish va ko’paytirishni oladigan bo’lsak, u holda ko’paytirish qo’shishga 
nisbatan taqsimlanadi: har qanday a , b va c natural sonlari uchun tenglik ........................................... 22
(a + b)   c = a   c + b   c; c   (a + b) = c   a + c   b.	
∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ .................................................................................... 22
c  omili qayerda yozilishi muhim emas - yig’indining o’ng tomonida  ( a + b )  yoki uning chap tomonida. 
Shuning uchun maktab matematika kursida ular chap va o’ng taqsimotni ajratmaydilar, shunchaki 
ko’paytirishning qo’shishga nisbatan taqsimlanishi haqida gapiradilar. ................................................ 22
Ko’pincha, algebraik operatsiya ko’rib chiqiladigan to’plamda  neytral  va  yutuvchi deb ataladigan 
maxsus elementlar ajratiladi. ................................................................................................................ 22
Ta’rif.  X to’plamdagi e elementi, agar X to’plamdagi har qanday x element uchun x * e = e * x = x 
tengliklari bajarilsa , algebraik operatsiyaga * nisbatan  neytral  deyiladi . ............................................. 23
Agar algebraik operatsiyaga nisbatan neytral element mavjud bo’lsa, u yagona hisoblanadi. .............. 23
Ta’rif. X  to’plamdagi  p  elementi,  agar X  to’plamdagi har qanday x element uchun  x * p = p * x = p 
tengliklari bajarilsa , algebraik operatsiyaga * nisbatan  yutish  deyiladi . ............................................... 23
Agar algebraik operatsiyaga nisbatan yutuvchi element mavjud bo’lsa, u yagona hisoblanadi. ............ 23
arifmetik amallarning xossalari . ............................................................................................................ 23
Qo’shimcha xususiyatlar: ....................................................................................................................... 23
1.  Qo’shishning kommutativ (kommunikativ) qonuni: ........................................................................... 23
 a + b = b + a . ......................................................................................................................................... 23
Shartlar joylarini o’zgartirishdan yig’indi o’zgarmaydi. .......................................................................... 23
Misol: 45 + 21 = 21 + 45 = 66. ................................................................................................................ 23
2. Qo’shishning assotsiativ (assotsiativ) qonuni: .................................................................................... 23
a + b + c = a + (b + c). ............................................................................................................................. 23
Har qanday qo’shni shartlar guruhi ularning yig’indisi bilan almashtirilsa, yig’indi o’zgarmaydi. .......... 23
Misol: 197 + 23 + 77 = 197 + (23 + 77) = 197 + 100 = 297. ..................................................................... 23
Eslatma: ikkala qonun ham istalgan muddat uchun amal qiladi. ........................................................... 23
3. a + 0 = 0 + a = a . neytral element. Raqamga nol qo’shish bu raqamni o’zgartirmaydi. ..................... 23
Misol: 99 + 0 = 0 + 99 = 99. .................................................................................................................... 23
Ayirish xususiyatlari: .............................................................................................................................. 23
7 1. a - 0 = a. O’ng tomonda neytral element. Raqamdan nolni ayirish bu raqamni o’zgartirmaydi. ........ 23
Misol: 17 - 0 = 17. .................................................................................................................................. 23
2. a - a = 0. Agar bu raqam raqamdan ayirilsa, u holda farq nolga teng. ................................................ 23
Misol: 276 - 276 = 0. .............................................................................................................................. 24
3. Raqamdan yig’indini ayirish: a - (b + c) \u003d a - b - c. .................................................................... 24
Raqamdan yig’indini ayirish uchun bu sondan bitta hadni, hosil bo’lgan farqdan ikkinchi hadni ayirish 
mumkin. ................................................................................................................................................. 24
Misol: 183 - (43 + 19) = 183 - 43 - 19 = 140 - 19 = 121. .......................................................................... 24
4. Yig’indidan sonni ayirish: (a + b) - c \u003d (a - c) + b \u003d a + (b - c). ........................................... 24
Raqamni yig’indidan ayirish uchun siz bu raqamni istalgan bitta haddan ayirib, hosil bo’lgan farqni 
qolgan shartlar yig’indisiga qo’shishingiz mumkin. ................................................................................ 24
Misol: (143 + 27) - 33 = (143 - 33) + 27 = 110 + 27 = 137. ...................................................................... 24
5. Ayirmani songa qo’shish: a + (b - c) = a + b - c. .................................................................................. 24
Raqamga farqni qo’shish uchun siz unga minuendni qo’shishingiz va olingan summadan ayirmani 
ayirishingiz mumkin. .............................................................................................................................. 24
Misol: 543 + (202 - 45) = 543 + 202 - 45 = 745 - 45 = 700. ..................................................................... 24
Ko’paytirish xususiyatlari: ...................................................................................................................... 24
1. Ko’paytirishning ko’chirish (kommunikativ) qonuni: .......................................................................... 24
 a b = b a. ............................................................................................................................................... 24
Mahsulot omillar o’rnini o’zgartirishdan o’zgarmaydi. .......................................................................... 24
Misol: 10   11 = 11   10 = 110.∙ ∙ ............................................................................................................... 24
2. Ko’paytirishning assotsiativ (assotsiativ) qonuni: .............................................................................. 24
a b c = a (b c). ......................................................................................................................................... 24
3. Qo’shishga nisbatan ko’paytirishning taqsimot (taqsimlash) qonuni: (a + b + c) d = ad + bd + cd . . . . 24
4. Ayirishga nisbatan ko’paytirishning taqsimlovchi (tarqatuvchi) qonuni: (a - b) c = ac - bc . ............... 24
5. a 1 = 1 a = a. neytral element. ............................................................................................................ 25
6. a 0 = 0 a = 0. Yutuvchi element. ......................................................................................................... 25
2. 0 : a = 0. Chapdagi yutuvchi element. ................................................................................................ 25
3. Siz nolga bo’la olmaysiz! .................................................................................................................... 25
4. a : a = 1. ............................................................................................................................................. 25
5. Yig’indini songa bo’lish: (a + b ) : c = a : c + b : c. ................................................................................ 25
6. Ayirmani songa bo’lish: (a - b ) : c = a : c - b : c. .................................................................................. 26
7. Mahsulotni raqamga bo’lish: (a b ): c \u003d (a: c) b \u003d a (b: c). ............................................... 26
-bob.Matematikaning boshlang’ich kursidagi arifmetik amallar va ularni o’rganish usullari. .................... 27
Boshlang’ich ta’limning barcha to’rt yillik davrida bolalarda natural son va arifmetik amallar haqidagi 
tushunchalarni shakllantirish ishlari olib borilmoqda. Bu eng boshidan bu tushunchalarni amaliy 
qo’llashning turli holatlarini ko’rib chiqish, bolalar tomonidan sonlarning ayrim xossalarini, o’nlik 
8 sanoq sistemasini, arifmetik amallar va ular asosida hisoblash usullarini o’zlashtirishga qaratilgan 
ishlar bilan chambarchas bog’liq holda amalga oshiriladi. Ushbu ishning natijasi bolalar tomonidan 
dasturga kiritilgan nazariy savollarni o’zlashtirishi va o’rganilgan nazariy savollarni turli amaliy va o’quv
masalalarini hal qilishda qo’llash, og’zaki va yozma hisob-kitoblarni bajarish ko’nikmalarini ongli va 
kuchli egallashi kerak. Shu bilan birga, nazariya va amaliyot dasturning arifmetik qismidagi butun ish 
davomida ularning birligi va o’zaro bog’liqligida harakat qilishi kerak. Ommaviy maktablar amaliyotida 
dasturni amalga oshirish tajribasini kuzatishlar shuni ko’rsatadiki, dasturning aynan shu eng muhim 
talabi ko’pincha buziladi. ....................................................................................................................... 27
Bu shuni ko’rsatadiki, aytaylik, og’zaki hisoblash ko’nikmalarini mashq qilganda, o’qituvchilar 
ko’pincha bolalar ongiga bajariladigan operatsiyalarning nazariy asoslarini etkazish zarurligini unutib 
qo’yishadi, agar xatolar bo’lsa, buni o’rgatmaydilar. Hisob-kitoblar kursi, talabalar o’sha masalalarni 
ko’rib chiqishga qaytadilar, ularning xatosi sababini tushunishga va uni o’zlari tuzatishga yordam 
beradigan nazariyalar. Ayni paytda, ishonchli, to’g’ri va tezkor hisob-kitoblarning haqiqatan ham 
kuchli ko’nikmalarini shakllantirish uchun asos bo’lgan assimilyatsiya ongidir. ..................................... 27
Nazariya va amaliyotni birlikda ko’rib chiqish talabining buzilishi matematika darslarida nazariy 
xarakterga ega bo’lgan savollar ko’pincha bolalar oldiga mavhum shaklda, tegishli ta’riflar, “qoidalar” 
va hokazolar qo’yilishida ham namoyon bo’ladi . o’rganiladi. ularning amaliy qo’llanilishidan tashqari. 
Shu bilan birga, talabalardan dasturda umuman ko’zda tutilmagan yoki keyinchalik bolalar tomonidan 
o’rganilishi kerak bo’lgan formulalarni bilish talab qilinadigan holatlar bilan shug’ullanish kerak. Bu, 
masalan, birinchi sinf o’qituvchisi: "Qo’shilgan raqamlar qanday nomlanadi?", degan savolga to’liq 
javob talab qilganda. Bu shaklda matematik terminologiyani bilish umuman talab qilinmasligi kerak. 
(Faqat o’qituvchi ularni qo’llaganida, bolalar tegishli so’zlarning ma’nosini tushunishlari va bu 
atamalarni o’z nutqlariga asta-sekin kiritishlari muhim) Bu, shuningdek, birinchi sinfda o’qiyotgan 
o’qituvchi o’quvchilardan ayirish qanday amalga oshirilishini tushuntirishni talab qilganda ham 
shundaydir. qo’shimcha yordamida tekshiriladi (bu ikkinchi o’quv yili materiali) va hokazo. ................ 27
O’quvchilarning sun’iy ortiqcha yuklanishiga olib keladigan bunday uslubiy xatolarga yo’l qo’ymaslik 
uchun I sinfdan IV sinfgacha arifmetik materiallar ustida ishlashning butun tizimini aniq tushunish, 
nazariyaning ushbu elementlarining ma’nosi va o’rnini tushunish muhimdir. dastur tomonidan. ........ 28
Dastur talablaridan quyidagi vazifalar kelib chiqadi: ............................................................................. 28
1. Ko`rib chiqilayotgan harakatlarning ma`nosini bolalar ongiga yetkazish, turli sodda masalalarni 
yechishda arifmetik amalni to`g`ri tanlashga o`rgatish. ......................................................................... 28
2. Kichik yoshdagi o’quvchilar uchun qulay darajada va ular uchun qulay shaklda, ularni ko’rib 
chiqilayotgan harakatlarning og’zaki va yozma hisob-kitob usullarining nazariy asosi bo’lgan 
xususiyatlari bilan tanishtirish. .............................................................................................................. 28
3. Hisob-kitoblarni ratsionalizatsiya qilish, shuningdek, masalalar yechishning eng oqilona yo’llarini 
topish maqsadida tegishli bilimlardan foydalangan holda o’rganilayotgan xususiyatlarni turli 
sharoitlarda qo’llashni o’rgatish. ........................................................................................................... 28
4. Bolalar harakatlar o’rtasida mavjud bo’lgan aloqalarni o’rganishlarini ta’minlash. Tegishli bilimlarni 
qo’llash yo’llarini o’rgatish: a) hisob-kitoblarda (ko’paytirishning tegishli holini bilish asosida bo’lakni 
topishda, qo’shishning tegishli holini bilish asosida ayirma topishda); b) bajarilgan hisob-kitoblarning 
to’g’riligini tekshirishda; v) harakatlarning noma’lum komponentini topishga oid masalalarni 
yechishda va d) eng oddiy tenglamalarni yechishda. ............................................................................. 28
9 5. Bolalarning og’zaki va yozma hisob-kitoblarning asosiy usullarini ongli va qat’iy o’zlashtirishini 
ta’minlash, har bir aniq misolning xususiyatlariga eng mos keladigan ma’lum hisoblash usullarini ongli 
ravishda tanlash qobiliyati. .................................................................................................................... 28
6. Bolalarda tez va to’g’ri hisoblashning ongli va kuchli ko’nikmalarini shakllantirish. .......................... 29
Kursning ushbu aniq vazifalarining har birini muvaffaqiyatli hal qilish uchun nafaqat tegishli 
mashqlarning mazmuni va tizimini aniqlash kerak (bu asosan darsliklarda amalga oshiriladi), balki turli 
xil o’qitish usullaridan foydalanish maqsadga muvofiqdir. .................................................................... 29
Harakatlarning ma’nosini, ular o’rtasida mavjud bo’lgan bog’lanishlarni, harakatlarning tarkibiy 
qismlari va natijalari o’rtasidagi bog’liqlikni anglash faqat ushbu nazariy masalalarni bolalarning o’z 
tajribasiga asoslangan holda ko’rib chiqishda ta’minlanishi mumkin. Shu bilan birga, shuni yodda 
tutish kerakki, biz bu erda nafaqat bolalarning ob’ektlar bilan turli amaliy harakatlar jarayonida 
egallagan hayotiy tajribasi, balki maktabda matematikani o’rganishda to’plangan tajriba haqida ham 
gaplashishimiz kerak. ............................................................................................................................. 29
Aytaylik, raqamlash va arifmetik operatsiyalar ustida ishlash matematikaning dastlabki kursida 
konsentrik tarzda qurilgan . Dasturda bolalar bilan ko’rib chiqiladigan raqamlar (o’n - yuz - ming - ko’p 
xonali sonlar) maydonini bosqichma-bosqich kengaytirish va ushbu mavzularning har birini 
o’rganishda bir qator masalalarni ko’rib chiqish tizimi ko’rsatilgan. raqamlarning yangi sohasi, 
bolalarning raqamlash va raqamlar bilan operatsiyalar bo’yicha ilgari olingan bilimlarini bosqichma-
bosqich joriy etish (yoki chuqurlashtirish, tizimlashtirish, umumlashtirish). Bolalarni raqamlar va 
arifmetik amallar bilan tanishtirish matematikaning birinchi darslarida ikkita berilgan ob’ektlar 
to’plamini birlashtirish, ikkita to’plam elementlari o’rtasidagi moslikni o’rnatish, berilgan ob’ektlar 
to’plamining bir qismini ajratib ko’rsatish bo’yicha amaliy mashg’ulotlar bilan tayyorlanadi. .............. 29
To’plamlar bilan operatsiyalardan boshlab, bolalar asta-sekin ob’ektlarni sanashga o’tadilar, tabiiy 
qatorning birinchi o’nta raqami (ularning nomlari, ketma-ketligi) bilan tanishadilar, bu raqamlar 
misolida har bir keyingi raqam natural qatorda qanday hosil bo’lishini bilib oladilar, sonlarni 
solishtirish, ularning yig’indisi va ayirmasini topishni o’rganish. Birinchidan, bu ikkita to’plamni 
birlashtirish yoki to’plamning bir qismini o’chirish natijasida olingan ob’ektlar to’plami bo’yicha 
tegishli operatsiyalarni bajarish va to’plamning elementlarini sanash, so’ngra raqamlarga ta’sir 
qilishning ba’zi usullarini qo’llash (hisoblash va hisoblash) asosida amalga oshiriladi. birlik va guruhlar 
bo’yicha va boshqalar). .......................................................................................................................... 29
10, so’ngra yuzlab qo’shish va ayirishni o’rganayotganda bolalar amallar xossalaridan (yig’indining 
almashinish xususiyati, sonni yig’indiga va yig’indini songa qo’shishning turli usullari) foydalanishga 
asoslangan hisoblash texnikasi bilan tanishadilar. , yig’indidan sonni va sondan yig’indini ayirish), 
shuningdek, qo’shish va ayirish o’rtasidagi munosabatni tushunishga asoslanadi. Shu bilan birga, 
yuqorida aytib o’tilganidek, ushbu xususiyatlarni va turli xil hisoblash usullarini hisobga olish bilan 
bog’liq barcha ishlar hisob-kitoblarni ratsionalizatsiya qilish muammosiga bog’liq. ............................. 30
Hisoblash ko’nikmalarini shakllantirish bilan bog’liq o’qishning birinchi yilidagi eng muhim vazifa - bu 
bir xonali raqamlarni qo’shish va ko’nikmalarni shakllantirishda avtomatlashtirilgan hisob-kitoblarni 
amalga oshirish imkoniyatini beradigan qo’shish va ayirishning jadvalli holatlarini bolalar tomonidan 
o’zlashtirish. ikki xonali raqamlar bilan tez og’zaki hisoblar uchun. ....................................................... 30
Dasturning tushuntirish xatida qo’shish va ayirishning jadval hollarini xotirada mashq bajarish 
natijasida bolalar o’zlashtirib olishlari kerakligi, shuning uchun ham bolalarda ularni yodlash uchun 
sharoit yaratish katta ahamiyatga ega ekanligi ta’kidlangan. Shuningdek, kunlik o’quv ishlarini olib 
borish kerak, ularsiz istalgan natijaga erishib bo’lmaydi. ....................................................................... 30
10 100 ichida raqamlashni ko’rib chiqishda bolalarni yangi hisoblash birligi - o’n bilan tanishtirishga, bitli 
sonlardan raqamlar tarkibini o’rganishga (13 - 10 va 3 yoki 1 o’n va 3 birlik), raqamlarning mahalliy 
ma’nosini aniqlashga alohida e’tibor beriladi. ikki xonali sonlarni yozishda. Ushbu masalalarni ko’rib 
chiqish bolalar tomonidan tegishli bilimlardan ishonchli foydalanishni nazarda tutadigan darajada 
amalga oshiriladi, ammo har qanday umumlashtirilgan formulalarni o’zlashtirishni talab qilmaydi. .... 30
100 ichida ko’paytirish va bo’lish II sinfda o’rganiladi. Bolalar uchun ushbu yangi arifmetik amallar 
bilan tanishishda o’qituvchi I sinf uchun dasturda ko’zda tutilgan tayyorgarlik ishlariga tayanishi 
mumkin (bir xil atamalar yig’indisini topish va sonni shunday yig’indi sifatida ifodalash mashqlari). .... 31
Qo’shish va ayirishni o’rganishda bo’lgani kabi, 100 ichida ko’paytirish va bo’lish usullarini ko’rib 
chiqish bolalarni ushbu harakatlarning eng muhim xususiyatlari va ko’paytirish va bo’lish o’rtasidagi 
mavjud munosabatlar bilan oldindan tanishtirishga asoslanadi. Bu qo’shish va ayirish bilan bog’liq 
yuqorida muhokama qilgan savollarga o’xshash savollarni tug’diradi. .................................................. 31
To’rt arifmetik amalning har biri bolalar ongida uni qo’llashni talab qiladigan aniq vazifalar bilan 
mustahkam bog’langan bo’lishi kerak. Harakatlarning ma’nosi asosan ob’ektlar to’plami bilan amaliy 
harakatlar asosida va tegishli matn vazifalari tizimida ochiladi. ............................................................ 31
Ular asosida harakatlarning tarkibiy qismlari va natijalari o’rtasidagi bog’liqlik, harakatlar o’rtasidagi 
bog’liqlik, harakatlarning ko’rib chiqilayotgan xususiyatlari va o’rganilgan matematik munosabatlari 
bolalar ongiga olib boriladi. ................................................................................................................... 31
Allaqachon "O’n" mavzusida birinchi o’nta raqam bilan tanishgandan so’ng, bolalar birinchi marta 
nolga duch kelishadi. Kelajakda qo`shish, ayirish, ko`paytirish va bo`lishni o`rganish jarayonida nol 
bilan amallar hollarini ko`rib chiqishga alohida e`tibor beriladi. Ko’paytirish va bo’linishni o’rganish 
bilan bog’liq holda, ko’paytirish va bo’lishning nol va bir bilan amalga oshiriladigan holatlari alohida 
ajratilgan. ............................................................................................................................................... 31
Raqamlar va arifmetik amallarni o’rganish bilan uzviy bog’liq holda, bolalarni miqdorlar va ularni 
o’lchash bilan tanishtirish ishlari ham olib borilmoqda. Yangi o’lchov birliklari bilan tanishish va ular 
o’rtasidagi munosabatlarni o’rnatish, turli o’lchov birliklarida ifodalangan raqamlarni o’zgartirish 
mashqlari odatda raqamlash bo’yicha ishlar bilan bog’liq. (Shunday qilib, parallel ravishda, ikkinchi 
o’nlik raqamlarining bit shartlaridan tarkibi va o’lchash natijasida 1 dm 5 sm ko’rinishdagi raqamlar 
segmentlarini olish, bu raqamlarni o’zgartirish: 1 dm 5 sm = 15 sm.Bu shakldagi holatlarga o’xshashlik 
yo’li bilan amalga oshiriladi: 1 dek. 5 birlik 15 birlik ) Bu tamoyil kelajakda ham amalga oshiriladi - 
raqamlar oralig’ining har bir kengayishi bilan va harakatlarning yangi holatlarini ko’rib chiqishda. ...... 31
"Ming" va "Ko’p xonali sonlar" mavzularini o’rganishga o’tishda yozma hisoblash ko’nikmalarini 
shakllantirish ishlari birinchi darajali ahamiyatga ega bo’ladi. Shu bilan birga, arifmetik amallarni 
yozma bajarish usullarini ko’rib chiqish bilan bir qatorda, 100 ichida raqamlar bilan (shuningdek, engil 
holatlarda, katta raqamlar bilan) og’zaki hisob-kitoblarni bajarish qobiliyati ham doimo yaxshilanadi 
deb taxmin qilinadi. . ............................................................................................................................. 32
Sonlarni yozma qo’shish, ayirish, ko’paytirish va bo’lish usullarini, shuningdek og’zaki hisoblash 
usullarini ochib berishda talabalarga bajariladigan amallarning ma’nosi, ularning ketma-ketligi va 
mavjud asoslari haqida tushuncha beriladi . Shu bilan birga, yakuniy maqsadni doimo yodda tutish 
kerak, ya’ni yozma hisob-kitoblarda ma’lum bir avtomatizmni rivojlantirish (bajarilgan operatsiyalarni 
tushunishga qaytish ham tavsiya etiladi, bunda asosan ma’lum qiyinchiliklar yoki xatolar yuzaga 
kelganda). hisob-kitoblar). ..................................................................................................................... 32
Dasturda boshlang’ich sinf o’quvchilarini millionlar sinfida raqamlash va ko’p xonali raqamlar ustida 
amallar bilan tanishtirish nazarda tutilgan bo’lsa-da, tushuntirish xatida ko’rsatilgan cheklovga 
11 muvofiq, o’quv mashg’ulotlarining katta qismi faqat shunday raqamlar va operatsiyalarni o’z ichiga 
olishi kerak. bu milliondan oshmaydi. .................................................................................................... 32
Yozma hisob-kitoblar bo’yicha ish bilan bir qatorda, bolalarning harakatlarning o’zlari, ularning 
xususiyatlari (ba’zi yangi xususiyatlar kiritiladi), harakatlar o’rtasidagi mavjud bog’liqlik, tarkibiy 
qismlardan biri o’zgarganda harakatlar natijalarini o’zgartirish to’g’risida, munosabatlar haqida 
bilimlari. komponentlar va natija o’rtasidagi umumlashtiriladi va chuqurlashtiriladi. Tegishli bilimlarni 
umumlashtirish va chuqurlashtirish to’rt yillik boshlang’ich ta’lim davomida tizimli ravishda olib 
boriladigan kuzatuvlar asosida amalga oshiriladi. Bu bilimlarning barchasi, dasturning tushuntirish 
xatida ta’kidlanganidek, hisob-kitoblarni ratsionalizatsiya qilish uchun ishlatiladi. ............................... 32
Sonlar va arifmetik amallarni o’rganish bilan parallel va chambarchas bog’liq holda ifoda, tenglik va 
tengsizlik tushunchalarini shakllantirishga qaratilgan ishlar olib borilmoqda. Raqamli ifodalar, tenglik 
va tengsizliklar birinchi navbatda matematika o’qitishning birinchi darslarida uchrab turadi va keyin 
darsdan darsga tizimli ravishda ular ustida ishlash davom ettiriladi. Bu nafaqat ko’rib chiqilayotgan 
raqamlar maydonini kengaytirish, balki ko’rib chiqilayotgan iboralar tuzilishini murakkablashtirish va 
bolalar tomonidan ilgari olingan bilimlardan foydalanish bilan bog’liq vazifalar turlarini 
murakkablashtirish orqali materialni bosqichma-bosqich murakkablashtirishni o’z ichiga oladi. Ushbu 
tizim dastur matnida alohida, eng tipik misollar bilan tasvirlangan. Shunday qilib, "O’n" mavzusida 
birinchi navbatda bolalarni raqamlar va shakldagi yozuvlarni taqqoslash bilan tanishtirish ko’zda 
tutilgan: 5 \u003d 5, 6 < 7 , 9 > 8; so’ng shakldagi ifodalarni o’qish, yozish va solishtirish: 5+4 va 6+4, 
7+2 va 7 – 2, 3+0 va 3 – 0 bilan tanishtiriladi.“Yuz” mavzusida iboralarni solishtirishga misollar 
keltiriladi. shakl bo’yicha: 10 - (5 + 3) va 10 - 5 - 3 (ularni taqqoslash har bir taqqoslangan iboraning 
qiymatini oldindan hisoblash va olingan raqamlarni taqqoslash asosida ham amalga oshirilishi 
mumkin. harakatlarning allaqachon ma’lum bo’lgan xususiyatlarining asosi). "100 ichida ko’paytirish 
va bo’lish" mavzusini o’rganishda taqqoslash uchun shaklning ifodalari taklif etiladi: mahsulotning 
kommutativ xususiyatidan foydalanish bilan bog’liq bo’lgan  x  9 va 9  x va 7 8 va 7 9, bu erda bilimlar 
ko’paytirish va qo’shish o’rtasidagi bog’liqlik ishlatilishi mumkin va hokazo. P. .................................... 33
Tegishli mashqlar ifoda, tenglik, tengsizlik tushunchalarini shakllantirish vazifasiga qo’shimcha 
ravishda, shuning uchun ham hisoblash ko’nikmalarini, ham harakatlarni o’rganishda hisobga olingan 
arifmetika nazariyasi elementlarini mustahkamlash vazifasini bajaradi. ............................................... 33
Xulosa ........................................................................................................................................................ 34
Har bir xalqning o’ziga xos arifmetik amallari bo’lgan. Va ularning barchasi raqamlar ustida 
operatsiyalarni bajarish uchun ishlatilgan. Ming yildan ko’proq vaqt davomida qo’shish, ayirish, 
ko’paytirish va bo’lishning arifmetik amallarini bajarish g’oyasi ishlab chiqilgan va tasdiqlangan. Bu 
arifmetik amallar matematikada asosiy amallardir. Rivojlanish tarixini o’rganish nafaqat talabalar 
uchun, balki o’zimiz uchun ham qiziqarli bo’lib, o’rganish yosh talabalarni qiziqtirishga yordam beradi.
............................................................................................................................................................... 34
To’rt arifmetik amalning har biri bolalar ongida uni qo’llashni talab qiladigan aniq vazifalar bilan 
mustahkam bog’langan bo’lishi kerak. Harakatlarning ma’nosi asosan ob’ektlar to’plami bilan amaliy 
harakatlar asosida va tegishli matn vazifalari tizimida ochiladi. Ular asosida harakatlarning tarkibiy 
qismlari va natijalari o’rtasidagi bog’liqlik, harakatlar o’rtasidagi bog’liqlik, harakatlarning ko’rib 
chiqilayotgan xususiyatlari va o’rganilgan matematik munosabatlari bolalar ongiga olib boriladi. ....... 34
Sonlarni qo`shish va ko`paytirish kommutativlik, assotsiativlik xossalariga ega, ko`paytirish qo`shishga 
nisbatan distributivdir. ........................................................................................................................... 34
12 Bir xonali sonlarni ko’paytirish jadvalini tuzishda ko’paytirishning kommutativ xususiyati keng 
qo’llaniladi. Assotsiativ qonun boshlang’ich maktabda aniq ko’rib chiqilmaydi, lekin sonni ko’paytmaga
ko’paytirishda kommutativ qonun bilan birga qo’llaniladi. Ko’paytirishning qo’shishga nisbatan 
taqsimot qonuni maktabda aniq misollar bilan ko’rib chiqiladi va sonni yig’indiga, yig’indini songa 
ko’paytirish qoidalari deb ataladi. Ushbu ikki qoidani ko’rib chiqish uslubiy mulohazalar bilan 
belgilanadi. ............................................................................................................................................ 34
 Ish natijasida biz shunday xulosaga keldikki, arifmetik amallar va ularning xossalarini o’rganish 
boshlang’ich maktabda ayniqsa muhimdir, chunki bu matematikani keyingi o’rganish uchun asosiy 
asosdir. .................................................................................................................................................. 34
Adabiyotlar : .............................................................................................................................................. 35
13 Kirish
Hozirgi   vaqtda   maktabda   matematika   o`qitish   muammolariga   ko`proq   e`tibor
berila   boshlandi.   Bu   fan-texnika   taraqqiyoti   va   fanni   ko’p   talab   qiladigan
tarmoqlarning rivojlanishi  bilan bog’liq. So’nggi paytlarda jadal  rivojlanayotgan
va   katta   amaliy   ahamiyatga   ega   bo’lgan   texnika   fanlarini,   masalan,   axborot
texnologiyalari, elektronika va boshqalarni matematika apparatisiz tasavvur qilib
bo’lmaydi.
Matematik   savodxonlikning   asosi   aynan   maktabda   qo’yilgan,  shuning   uchun   bu
jarayon   bilan   bog’liq   masalalarni   o’rganishga   katta   e’tibor   beriladi.   Matematika
maktabning asosiy  fanlaridan biridir. U boshqa fanlarni  o’rganishni  ta’minlaydi.
Talabalardan   irodali   va   aqliy   kuchlarni,   rivojlangan   tasavvurni,   diqqatni
jamlashni   talab   qiladi,   matematika   o’quvchi   shaxsini   rivojlantiradi.   Bundan
tashqari,   matematikani   o’rganish   mantiqiy   fikrlashni   rivojlantirishga   sezilarli
hissa qo’shadi va maktab o’quvchilarining dunyoqarashini kengaytiradi.
Matematikaning   boshlang’ich   kursi   integratsiyalashgan   kursdir:   u   arifmetik,
algebraik   va   geometrik   materiallarni   birlashtiradi.   Shu   bilan   birga,   boshlang’ich
kursning asosini  natural son va nol, manfiy bo’lmagan butun sonlar bilan to’rtta
arifmetik   amal   va   ularning   eng   muhim   xususiyatlari,   shuningdek   og’zaki   va
yozma   ravishda   ongli   va   mustahkam   o’zlashtirish   g’oyasi   tashkil   etadi.   bu
bilimlar asosida hisoblash texnikasi.
To’rt   arifmetik   amalning   har   biri   bolalar   ongida   uni   qo’llashni   talab   qiladigan
aniq   vazifalar   bilan   mustahkam   bog’langan   bo’lishi   kerak.   Harakatlarning
ma’nosi   asosan   ob’ektlar   to’plami   bilan   amaliy   harakatlar   asosida   va   tegishli
matn vazifalari tizimida ochiladi .
Agar   berilgan   ikkita   raqam   ma’lum   shartlarni   qondiradigan   uchinchi   raqamni
aniqlasa, matematikada bu jarayon harakat deb ataladi.
Hozirgi   vaqtda   mavjud   bo’lgan   barcha   muqobil   ta’lim   tizimlari   arifmetik
amallarning   xususiyatlarini   shakllantirishda   to’plam   nazariyasi   yondashuviga
asoslanadi.
14 topshiriqlarga   murojaat   qilmasdan   elementlar   to’plamidan   foydalanish   odatiy
holdir   .   Har   bir   o’qituvchi   vazifa   bilan   ishlash   jarayonida   arifmetik   amallar   va
ularning   xossalarini   o’rganish   yaxshiroq   o’rganilishini   aniq   tushunmaydi.
Arifmetik   amallarning   xossalarini   o’rganishning   ahamiyatidan   kelib   chiqib,   turli
o’quv   tizimlarida   ushbu   muammoni   o’rganishga   yagona   yondashuv   yo’qligi
sababli   xossalar   tushunchasini   shakllantirish   xususiyatlarini   ko’rib   chiqish,
aniqlashtirish   va   aniqlashtirish   zarurati   tug’iladi.   arifmetik   amallar.   Bu
dolzarblikdir,   chunki   birinchidan,   arifmetik   amallarning   xossalarini   o’rganish   va
qo’llash muhim mavzulardan biri bo’lsa, ikkinchidan, ko’pgina o’qituvchilar ushbu
amallarning xususiyatlaridan foydalanishga e’tibor bermaydilar.
Muvofiqligini   hisobga   olib   ,   biz   "Boshlang’ich   maktabda   matematika   kursida
asosiy arifmetik amallar" kurs ishining mavzusini aniqladik.
Tadqiqot   muammosi:   bolalarning   qanday   ish   usullari,   faoliyati   arifmetik
amallarning xususiyatlarini o’zlashtirishga erishishi mumkin.
Tadqiqot   maqsadi:   kichik   yoshdagi   o’quvchilarda   arifmetik   amallar   xossalarini
shakllantirish xususiyatlarini aniqlash.
O’quv ob’ekti: boshlang’ich maktabda matematikani o’rganish jarayoni.
mavzusi   :   kichik   yoshdagi   o’quvchilarda   arifmetik   amallarning   xususiyatlarini
shakllantirish.
O’qituvchilar   tomonidan   arifmetik   amallar   xossalarining   o’ziga   xos   ma’nosini
ochib   berish   arifmetik   amallar   xossalari   tushunchasini   malakali   shakllantirishga
yordam beradi:
1.   Masala   va   misollar   yechishda   uni   o’rganish,   xossa   va   amallarni   qo’llash
yaxshidir;
2.   Kichik   yoshdagi   o’quvchilar   uchun   qulay   shaklda   ularni   ko’rib   chiqilayotgan
harakatlarning   og’zaki   va   yozma   hisob-kitob   usullarining   nazariy   asosi   bo’lgan
xususiyatlari bilan tanishtirish;
3. Bolalarda ongli va kuchli tez va to`g`ri hisoblash malakalarini shakllantirish.
Maqsadga erishish uchun quyidagi tadqiqot vazifalari belgilandi:
1. Arifmetik amallarning paydo bo’lish tarixini ko’rib chiqing.
15 2. Asosiy arifmetik xususiyatlarni ko’rib chiqing.
3.   Boshlang’ich   sinflarda   arifmetik   amallar   va   ularni   o’rganish   metodikasi   bilan
tanishing.
Tadqiqot davomida quyidagi usullar qo’llanildi:
uslubiy   va   o’quv   adabiyotlarini   tahlil   qilish;   boshlang’ich   sinf   o’qituvchilari
tajribasini o’rganish.
Tadqiqotning ilmiy yangiligi arifmetik amallar xossalarining o’ziga xos ma’nosini
ochish   xususiyatlarini   aniqlash   va   ulardan   matematikani   o’rganish   jarayonida
foydalanishdadir.
16 I-bob . Arifmetik amallarning paydo bo’lish tarixi
1.1.  Arifmetik amallarning paydo bo’lish tarixi
Raqamlar fani hisoblangan arifmetika bilan bizning matematika bilan tanishuvimiz
boshlanadi.   1703   yilda   L.   F.   Magnitskiy   tomonidan   yozilgan   birinchi   rus
arifmetika   darsliklaridan   biri   bu   so’zlar   bilan   boshlangan:   "Arifmetika   yoki
hisoblagich - bu halol, hasad qilmaydigan va hamma uchun tushunarli, eng foydali
va   eng   maqtovga   sazovor   bo’lgan   ,   eng   qadimgi   va   eng   yangi   san’at.   ,   turli
davrlarda   yashagan   eng   yaxshi   arifmetikani   ixtiro   qilgan   va   tushuntirgan.   U   o’z
kitobida   beshta   “ta’rif”   yoki   arifmetik   amallarni   ko’rib   chiqdi:   “sonlash   yoki
hisoblash,   qo’shish   yoki   qo’shish,   ayirish   yoki   ayirish,   ko’paytirish   bo’lsa
ko’paytirish, bo’lish bo’lsa bo’lish”.
Arifmetika   bilan   biz,   M.V.Lomonosov   aytganidek,   “o’rganish   darvozalari”ga
kiramiz va dunyoni bilish bo’yicha uzoq va qiyin, ammo maftunkor sayohatimizni
boshlaymiz.
Turli   xalqlarda   turli   davrlarda   arifmetika   kursining   mazmuni   juda   xilma-xil   edi.
Masalan,   hindlar   kub   ildizini   ajratib   olishni   elementar   arifmetik   amallar   qatoriga
qo’ygan.  
Arifmetik   amallar   deb   atalgan   narsani   tushunish   boshqacha   edi.   Bir   necha   asrlar
davomida   barcha   xalqlarning   maktablari   tomonidan   qo’llanilgan   lotin   tili
darsliklarida   bu   harakatlar   tiplar   (harakat)   deb   nomlangan   (lot.   turlardan   )   .
Arifmetik amallarning ta’rifi uchun bu nom birinchi marta 13-asr qo’lyozmalarida
uchraydi.   XVI   asrda.   u   keng   tarqalgan   bo’lib,   arifmetik   qism   atamasini   siqib
chiqaradi   (lot.   pars   .   dan   artmetika   ).   Hind   matematiklari   oltita   arifmetik   amalni
ko’rib   chiqdilar:   qo’shish,   ayirish,   ko’paytirish,   bo’lish,   darajaga   ko’tarish   va
ildizlarni chiqarish.
Sakroboskoda   (XIII   asr)   keyingi   asrlarning   ko’plab   mualliflari   kabi   ulardan
to’qqiztasi mavjud: raqamlash, qo’shish, ayirish, ikkiga ko’paytirish, ko’paytirish (
yarmga bo’lish), bo’linish, progressiya, ildizlarni chiqarish. "Progressiya" harakati
ko’p hollarda tabiiy qator raqamlarining yig’indisini, kamdan-kam hollarda tabiiy
qatorlarning   alohida   juft   va   toq   sonlarining   yig’indisini   va   faqat   istisno   hollarda
17 ikkita oddiy geometrik progressiyalarning 1, 2 yig’indisini ko’rib chiqadi. , 4, 8, ...
va 1 , 3, 9, 27,...  
"Ikki   ko’paytirish"   harakati   Misrdan   kelib   chiqqan.   Misr   matematikasi   haqidagi
asosiy   ma’lumotlar   1800-1600   yillarda   yozuvchi   Ahmes   tomonidan   yozilgan
Rhind   papirusidan   olingan   .   Miloddan   avvalgi.   Bu   Misr   raqamlash   bobida
tasvirlangan.  
Eng so’nggi tadqiqotchilar (Archibald, Vileintner ) Misr fani sof amaliy va empirik
deb hisoblangan  mavjud nuqtai  nazarni rad etadilar, Ahmesning vazifalari  ba’zan
shu qadar mavhumki, ular bevosita amaliyotdan kelib chiqqan.  
Misrliklar sonlar ustidagi to’rt amalimizni qo’shish, ikkiga ko’paytirish va yarmiga
bo’lish yo’li bilan bajarishdi.  
Ikki marta ko’paytirish asosiy operatsiya edi; Misr tilida ham buning uchun qo’sh
sonning   maxsus   shakli   mavjud.   To’g’ridan-to’g’ri   operatsiyalardan   faqat   o’n
baravar   ko’payish   ishlatilgan.   Ayirish   minuendga   ayirmani   qo’shish,   bo’lish   ikki
barobarga ko’paytirish orqali amalga oshirildi.
Yunonlar,   garchi   ular   ko’paytirish   harakatiga   ega   bo’lsalar   ham,   kundalik
amaliyotda   ular   odatda   Misrning   ikki   barobar   ko’paytirish   usulidan
foydalanganlar. Platon raqamlarni ko’paytirishning ikkita usulini eslatib o’tadi.
Maxsus   arifmetik   amallar   sifatida   u   hind   sanoqlarini   targ ib   qilgan   samarqandlikʻ
matematik   al-Xorazmiy   (12-asr   boshlari)   o zining   darsligiga   ikki   barobar   va	
ʻ
meditatsiyani kiritdi.  
Hindlar bu harakatlardan foydalanmagani  uchun, bu al-Xorazmiyning o’z g’oyasi
yoki Misrning arablar orqali ta’siri deb qarash kerak.  
XII   asrda   al-Xorazmiy   kitobining   tarjimasi   orqali.   bu   harakatlar   birinchi   marta
lotin   tiliga   Iordaniya   Nemorariusning   (XIII   asr)   Yevropa   qo’llanmalariga   va   u
orqali monastir maktablariga kirdi. Faqat 15-asrning oxirida italiyalik muallif Luka
Pacioli   raqamlarning   ikki   baravar   ko’payishi   va   bifurkatsiyasi   ko’payish   va
bo’linishning alohida holatlari ekanligini ta’kidlaydi va ularni bekor qiladi.  
18 Universitet   fanlari   vakillaridan   birinchi   bo’lib   keraksiz   harakatlardan   voz
kechganlar XVI asrda matematik ta’limning ko’zga ko’ringan namoyandalari edi.
Vena universitetida Grammateus ( Shreiber ) va Gemma Frisius .  
Ikkinchisi   birinchi   marta   ta’rif   beradi:   "arifmetik   operatsiya   (lot.   Turlardan   )   biz
raqamni topish usulini chaqiramiz."  
Biroq, hatto 1754 yilda Wolfning "Boshlanishi" o’z davri uchun ilg’or darsligi ham
sonni   ko’paytirish   jadvalini   yodlamasdan   -   ikki   barobarga   oshirish   va   natijalarni
qo’shish orqali ko’paytirish mumkinligini ko’rsatadi.
Volfning 1770 yildagi kitobining birinchi ruscha nashri ("Matematikaning birinchi
asoslarining   qisqartmasi")   endi   bu   ko’rsatkichni   o’z   ichiga   olmaydi   va   "kim   tez
orada   ko’paytirishni   xohlasa,   Pifagor   panjarasini   (ko’paytirish)   o’rganishi   kerak"
degan ko’rsatkich bilan cheklangan. stol) yoddan va hozircha, u sizning oldingizda
bo’lishi uchun xotirada qotib qolmaydi.  "
Ikki marta ko’paytirish va ikki barobar ko’paytirishning Misr usuli juda qat’iyatli
bo’lib chiqdi va yaqin vaqtgacha amalda saqlanib qoldi.  
Xorijiy   adabiyotda   bugungi   kunda   bu   ko’paytirish   usuli   bir   necha   bor   "Rossiya
dehqonlari   tomonidan   qo’llaniladigan   raqamlarni   ko’paytirish   usuli"   deb
ta’riflangan.  
To’rt   arifmetik   amalni   o’rganish   tartibi   turli   xil   vaqtlarda   taklif   qilingan.
Leonardda   Piza   harakatlari   tartibda   o’rganiladi:   ko’paytirish,   qo’shish,   ayirish,
bo’lish; Piter Borgi (1484) - ko’paytirish, bo’lish, qo’shish, ayirish.
Arifmetik operatsiyalarni ko’paytirish bilan o’rganishni boshlash uchun bu asrning
boshlarida  xalqaro  falsafiy  kongresslardan  birida  taklif  qilingan.  V.V.  bu  taklifga
keskin   qarshi   chiqdi.   Bobinin   Kebel   (1515)   to’rtta   harakatning   tengligini
ta’kidlaydi, Grammat (1518) qo’shishning ko’paytirish bilan, ayirishning bo’linish
bilan o’zaro bog’liqligini qayd etadi. Misrahiy (1528) ko’paytirishni qo’shishning
maxsus holati deb hisoblaydi va uni arifmetik amallar qatoriga kiritmaydi, chunki
u faqat qisqartirilgan belgilash usuli hisoblanadi.
Nepir (1550-1617) qadamlardagi arifmetik amallar orasidagi farqni birinchi marta
faqat   1839   yilda   nashr   etilgan   "Logistika   san’ati"   kitobida   ko’rsatadi.   Nepir
19 ko’paytirish   va   bo’lishni   qo’shish   va   ayirishdan   yuqori   tartibli   harakatlar   deb
biladi; operatsiyalarning uchinchi bosqichi - eksponentatsiya va ildizlarni olish.
Eng   qadimiy   hind   yozuvlari   Hindistonda   arifmetikaning   to’rtta   amali   bugungi
kunda   xuddi   shunday   amalga   oshirilganligidan   dalolat   beradi.   Hindiston   aholisi
keraksiz   raqamni   "o’chirish"   oson   bo’lgan   silliqlangan   planshetlarga   yozganligi
sababli, ular chapdan o’ngga harakat qilishdi. Qog’ozga yozishda, bu tartib bilan,
uning   ustiga   yoki   uning   ostiga   haqiqiyni   yozish   uchun   keraksiz   yoki   noto’g’ri
raqamni   kesib   tashlash   kerak   bo’ldi.   Bu   texnikani   arablar   kiritgan   va   ulardan
yevropaliklarga   o’tgan;   uning   noqulayligi   allaqachon   Maksim   Planud   (1313)
tomonidan qayd etilgan.
15-asrdan   boshlab   Evropada   bizning   hisoblash   usullarimiz   qo’llaniladi,   bu
raqamlarni   chizishni   talab   qiladi   (Italiyadan   boshlab).   Beldomandining   "
algoritmik   traktati"   da   (1410)   faqat   bo’linish   arifmetik   amallarni   bajarish
uslublarimizdan   farq   qiladi.   Germaniyada   qo’llanilgan   "nemis   uslubidagi"
raqamlarni   kesib   tashlash   usuli,   so’nggi   usul   XV   asrning   eng   ko’zga   ko’ringan
evropalik   matematiklari   tomonidan   qabul   qilinganidan   so’ng,   italyanchaga   o’tdi.
Gmunden , Purbach , Regiomontanus .
Shunday   qilib,   har   bir   xalqning   o’ziga   xos   arifmetik   amallari   mavjud   edi.   Va
ularning barchasi raqamlar ustida operatsiyalarni bajarish uchun ishlatilgan. Ming
yildan ortiq vaqt davomida arifmetik amallarni bajarish g’oyasi ishlab chiqilgan va
tasdiqlangan.   Har   qanday   kontseptsiyaning   rivojlanish   tarixini   o’rganish   nafaqat
talabalar   uchun,   balki   o’zimiz   uchun   ham   qiziqarli   va   arifmetik   amallarning
rivojlanish tarixini o’rganish, albatta, kichik yoshdagi o’quvchilarni matematikaga
qiziqtirishga yordam beradi.
1.2. Arifmetik amallarning xossalari.
Boshlang’ich   sinf   o’qituvchisi   birinchi   bo’lib   sonlar   va   ularning   xossalari   ustida
turli   amallarni   kiritadi.   Bolalarni   maktab   o’quvchilariga   matematikani   keyingi
o’qitishda   algebraik   tushunchalarni   rivojlantirish   istiqbollarini   ko’rishga   malakali
20 o’rgatish   uchun   o’qituvchi   algebraik   operatsiya   nima   ekanligini,   qanday
xususiyatlarga ega bo’lishi mumkinligini bilishi kerak.  
Keling, algebraik amallarning xossalarini umumiy shaklda aniqlagan holda ko’rib
chiqaylik.   Biz   algebraik   amallarni   belgilar   bilan   belgilaymiz:   *   (yulduzcha)   va   ○
(doira).
Algebraik amallarning eng muhim xossasi  assotsiativlik (kombinatsiya) xossasidir.
Ta’rif.   Algebraik operatsiya *, deyiladi   assotsiativ   , agar biron bir element uchun
tenglik bo’lsa
(  a  *  b  ) *  c  =  a  * (  b  *  c  )
Masalan,   natural   sonlarni   qo’shish   assotsiativ   hisoblanadi:   har   qanday   a   ,   b   va   c
natural sonlar uchun ( a   +   b   ) +   c   =   a   + (   b   +   c ) tengligi   bajariladi . Ratsional va
haqiqiy sonlarni assotsiativ qo’shish. Shuning uchun bir nechta sonlar yig’indisini
qavssiz yozish mumkin.
(a + b) + c  va  a + (b + c)  o’rniga a + b + c.
Assotsiativlik xususiyatiga ega bo’lmagan algebraik amallar mavjud. Demak, (12 -
7) - 3 ≠ 12 - (7 - 3) butun sonlarni ayirish assotsiativ emas.
Algebraik   amalning   assotsiativligi   barcha   ifodalarni   qavslarsiz   yozish   imkonini
beradi,   lekin   bu   ifodaga   kiritilgan   elementlarni   qayta   tartibga   sola   olmaysiz.
Elementlarni   almashtirish   faqat   operatsiya   kommutativ   bo’lgan   taqdirdagina
mumkin (o’zgartirish xususiyati).
Ta’rif.   Har   qanday   ikkita   a   va   b   element   uchun   tenglik   bajarilsa,   *   algebraik
operatsiya  kommutativ  deyiladi :
a  *  b  =  b  *  a
Kommutativ amallarga natural sonlarni qo’shish va ko’paytirish misol bo’la oladi,
chunki har qanday natural sonlar uchun  a  va  b  tengliklari  a  +  b  =  b  +  a  ,  a  ∙  b  =  b  ∙  a
. Bu tengliklar nafaqat natural sonlar, balki har qanday haqiqiy sonlar uchun ham
amal qiladi, shuning uchun haqiqiy sonlar to’plamida qo’shish va ko’paytirish ham
kommutativdir.
Kommutativlik   xususiyatiga   ega   bo’lmagan   algebraik   amallar   mavjud.   Demak,
butun sonlarni ayirish kommutativ emas. Masalan: 12 - 7 ≠ 7 - 12.
21 Agar   to’plamda   ikkita   algebraik   amal   berilgan   bo’lsa,   u   holda   ular   bir-biri   bilan
taqsimlanish xususiyati (taqsimot qonuni) bilan bog’lanishi mumkin.
Ta’rif.  Agar biron bir element uchun quyidagi tengliklar bajarilsa, algebraik amal ○
algebraik amalga nisbatan distributiv deyiladi:
1) (a * b)○ c = (a ○ b)*(a ○ b) 2) c○(a * b) = (c ○ a)*(c ○ b).
*   amaliga   nisbatan   to g ri   taqsimlovchi  ʻ ʻ deyiladi   ;   agar   u   operatsiyaga   nisbatan
amalga oshirilsa *.
Keling,   qanday   hollarda   o’ng   va   chap   tomonda   taqsimlanish   farqlanishini   bilib
olaylik.
Natural sonlar to’plamida ikkita amalni ko’rib chiqaylik: darajaga ko’tarish (1 va 2
tengliklardagi ○ operatsiyasiga mos keladi) va ko’paytirish (1 va 2 tengliklardagi *
operatsiyasiga mos keladi). 1-tenglik bo’yicha bizda: (   a  ∙  b  )  c    
=  a  c  
∙  b  c  
. Olingan
tenglik har qanday natural sonlar uchun amal qiladi , ya’ni ko’paytirishga nisbatan
ko’rsatkich to’g’ri taqsimlanadi. 2-tenglikka muvofiq, biz olamiz  
miloddan   avvalgi  
=   a   b  
∙   a   c  
.   Ammo   bu   tenglik   har   doim   ham   qondirilmaydi,   ya’ni
kuchga   ko’tarish   operatsiyasi   ko’paytirishga   nisbatan   chap   tomonda
taqsimlanmaydi.   Bu   holat   eksponentsiya   kommutativlik   xususiyatiga   ega
bo’lmagan operatsiya ekanligining natijasidir.  
Agar   natural   sonlarni   qo’shish   va   ko’paytirishni   oladigan   bo’lsak,   u   holda
ko’paytirish qo’shishga nisbatan taqsimlanadi: har qanday a , b va c natural sonlari
uchun tenglik
(a + b) ∙ c = a ∙ c + b ∙ c; c ∙ (a + b) = c ∙ a + c ∙ b.
c  omili qayerda yozilishi muhim emas - yig’indining o’ng tomonida  (  a  +  b  )  yoki
uning   chap   tomonida.   Shuning   uchun   maktab   matematika   kursida   ular   chap   va
o’ng   taqsimotni   ajratmaydilar,   shunchaki   ko’paytirishning   qo’shishga   nisbatan
taqsimlanishi haqida gapiradilar.  
Ko’pincha, algebraik operatsiya ko’rib chiqiladigan to’plamda  neytral   va  yutuvchi
deb ataladigan maxsus elementlar ajratiladi.
22 Ta’rif.  X  to’plamdagi   e  elementi, agar   X  to’plamdagi har qanday  x element uchun
x   *   e   =   e   *   x   =   x   tengliklari  bajarilsa  , algebraik  operatsiyaga  * nisbatan   neytral
deyiladi .
Agar   algebraik   operatsiyaga   nisbatan   neytral   element   mavjud   bo’lsa,   u   yagona
hisoblanadi.
Ta’rif. X  to’plamdagi   p  elementi,  agar X  to’plamdagi har qanday x element uchun
x   *   p   =   p   *   x   =   p   tengliklari   bajarilsa   ,   algebraik   operatsiyaga   *   nisbatan   yutish
deyiladi .
Agar   algebraik   operatsiyaga   nisbatan   yutuvchi   element   mavjud   bo’lsa,   u   yagona
hisoblanadi.
arifmetik amallarning xossalari .
Qo’shimcha xususiyatlar:
1. Qo’shishning kommutativ (kommunikativ) qonuni:
  a  +  b  =  b  +  a  .
Shartlar joylarini o’zgartirishdan yig’indi o’zgarmaydi.
Misol: 45 + 21 = 21 + 45 = 66.
2. Qo’shishning assotsiativ (assotsiativ) qonuni:  
a + b + c = a + (b + c).
Har qanday qo’shni shartlar guruhi ularning yig’indisi bilan almashtirilsa, yig’indi
o’zgarmaydi.
Misol: 197 + 23 + 77 = 197 + (23 + 77) = 197 + 100 = 297.
Eslatma: ikkala qonun ham istalgan muddat uchun amal qiladi.
3.   a   +   0   =   0   +   a   =   a   .   neytral   element.   Raqamga   nol   qo’shish   bu   raqamni
o’zgartirmaydi.
Misol: 99 + 0 = 0 + 99 = 99.
Ayirish xususiyatlari:
1.  a   -   0   =  a.   O’ng   tomonda  neytral   element.   Raqamdan   nolni   ayirish   bu   raqamni
o’zgartirmaydi.
Misol: 17 - 0 = 17.
2. a - a = 0.  Agar bu raqam raqamdan ayirilsa, u holda farq nolga teng.
23 Misol: 276 - 276 = 0.
3. Raqamdan yig’indini ayirish: a - (b + c) \u003d a - b - c.
Raqamdan   yig’indini   ayirish   uchun   bu   sondan   bitta   hadni,   hosil   bo’lgan   farqdan
ikkinchi hadni ayirish mumkin.
Misol: 183 - (43 + 19) = 183 - 43 - 19 = 140 - 19 = 121.
4. Yig’indidan sonni ayirish: (a + b) - c \u003d (a - c) + b \u003d a + (b - c).
Raqamni   yig’indidan   ayirish   uchun   siz   bu   raqamni   istalgan   bitta   haddan   ayirib,
hosil bo’lgan farqni qolgan shartlar yig’indisiga qo’shishingiz mumkin.
Misol: (143 + 27) - 33 = (143 - 33) + 27 = 110 + 27 = 137.
5. Ayirmani songa qo’shish: a + (b - c) = a + b - c.
Raqamga   farqni   qo’shish   uchun   siz   unga   minuendni   qo’shishingiz   va   olingan
summadan ayirmani ayirishingiz mumkin.
Misol: 543 + (202 - 45) = 543 + 202 - 45 = 745 - 45 = 700.
Ko’paytirish xususiyatlari:
1. Ko’paytirishning ko’chirish (kommunikativ) qonuni:
  a b = b a.
Mahsulot omillar o’rnini o’zgartirishdan o’zgarmaydi.
Misol: 10 ∙ 11 = 11 ∙ 10 = 110.
2. Ko’paytirishning assotsiativ (assotsiativ) qonuni:  
a b c = a (b c).
Har   qanday   qo’shni   omillar   guruhi   ularning   mahsuloti   bilan   almashtirilsa,
mahsulot o’zgarmaydi.
Misol: 39 ∙ 25 ∙ 4 = 39 ∙ (25 ∙ 4) = 39 ∙ 100 = 3900.
3. Qo’shishga nisbatan ko’paytirishning taqsimot (taqsimlash) qonuni: (a + b + c) d
= ad + bd + cd .
Bir   necha   sonlar   yig’indisining   istalgan   songa   ko’paytmasi   har   bir   hadning   shu
songa ko’paytmalari yig’indisiga teng.
Misol: (150 + 12) ∙ 4 = 150 ∙ 4 + 12 ∙ 4 = 600 + 48 = 648.
4. Ayirishga nisbatan ko’paytirishning taqsimlovchi (tarqatuvchi) qonuni: (a - b) c
= ac - bc .  
24 Farqni   raqam   bilan   ko’paytirish   uchun   siz   bu   raqamni   alohida-alohida
qisqartirilgan   va   ayirilgan   holda   ko’paytirishingiz   mumkin,   so’ngra   ikkinchisini
birinchi mahsulotdan ayirishingiz mumkin.
Misol: (125 - 40) ∙ 8 = 125 ∙ 8 - 40 ∙ 8 = 1000 - 320 = 680.
5. a 1 = 1 a = a. neytral element.  
Raqamni bittaga ko’paytirish raqamning o’zini beradi.
Misol: 45 ∙ 1 = 1 ∙ 45 = 45.
6. a 0 = 0 a = 0. Yutuvchi element.
Raqamni nolga ko’paytirsangiz, siz nolga erishasiz.
Misol: 699 ∙ 0 = 0.
Eslatma.   Agar   bir   nechta   omillar   mahsulotida   omillardan   kamida   bittasi   nolga
teng bo’lsa, u holda mahsulot nolga teng bo’ladi.
Bo’linish xususiyatlari:
1. a : 1 = a. neytral element.
Raqamni bittaga bo’lganingizda, siz raqamning o’zini olasiz.
Misol: 503 : 1 = 503.
2. 0 : a = 0. Chapdagi yutuvchi element.
Nolni   nolga   teng   bo’lmagan   har   qanday   raqamga   bo’lganingizda,   siz   nolga
erishasiz.
Misol: 0 : 942 = 0.
3. Siz nolga bo’la olmaysiz!
4. a : a = 1.
Nolga teng bo’lmagan son o’z-o’zidan bo’linsa, biz bittani olamiz.
Misol: 67 : 67 = 1.
5. Yig’indini songa bo’lish: (a + b ) : c = a : c + b : c.
Yig’indini   qandaydir   songa   bo’lish   uchun   siz   har   bir   atamani   ushbu   raqamga
alohida   (agar   iloji   bo’lsa)   bo’lishingiz   va   natijada   olingan   ko’rsatkichlarni
qo’shishingiz mumkin.
Misol: (55 + 75 ) : 5 = 55 : 5 + 75 : 5 = 11 + 15 = 26.
25 6. Ayirmani songa bo’lish: (a - b ) : c = a : c - b : c.
Farqni   ba’zi   bir   raqamga   bo’lish   uchun   siz   bu   raqamni   qisqartirilgan   va
ayirilmagan  (agar  iloji  bo’lsa)  bo’linib, ikkinchisini  birinchi  qismdan  ayirishingiz
mumkin.
Misol: (99 - 66 ) : 3 = 99 : 3 - 66 : 3 = 33 - 22 = 11.
7. Mahsulotni raqamga bo’lish: (a b ): c \u003d (a: c) b \u003d a (b: c).
Ikki   omilning   mahsulotini   raqamga   bo’lish   uchun   siz   ushbu   raqamga   har   qanday
omillarni   (agar   bo’linish   mumkin   bo’lsa)   bo’lishingiz   va   qismni   ikkinchi   omilga
ko’paytirishingiz mumkin.
Misol: (77 ∙ 9 ) : 7 = (77 : 7) ∙ 9 = 11 ∙ 9 = 99.
26 -bob.Matematikaning boshlang’ich kursidagi arifmetik amallar va ularni
o’rganish usullari.
Boshlang’ich   ta’limning   barcha   to’rt   yillik   davrida   bolalarda   natural   son   va
arifmetik   amallar   haqidagi   tushunchalarni   shakllantirish   ishlari   olib   borilmoqda.
Bu   eng   boshidan   bu   tushunchalarni   amaliy   qo’llashning   turli   holatlarini   ko’rib
chiqish, bolalar tomonidan sonlarning ayrim xossalarini, o’nlik sanoq sistemasini,
arifmetik   amallar   va   ular   asosida   hisoblash   usullarini   o’zlashtirishga   qaratilgan
ishlar   bilan   chambarchas   bog’liq   holda   amalga   oshiriladi.   Ushbu   ishning   natijasi
bolalar   tomonidan   dasturga   kiritilgan   nazariy   savollarni   o’zlashtirishi   va
o’rganilgan   nazariy   savollarni   turli   amaliy   va   o’quv   masalalarini   hal   qilishda
qo’llash, og’zaki va yozma hisob-kitoblarni bajarish ko’nikmalarini ongli va kuchli
egallashi   kerak.   Shu   bilan   birga,   nazariya   va   amaliyot   dasturning   arifmetik
qismidagi   butun   ish   davomida   ularning   birligi   va   o’zaro   bog’liqligida   harakat
qilishi kerak. Ommaviy maktablar amaliyotida dasturni amalga oshirish tajribasini
kuzatishlar   shuni   ko’rsatadiki,   dasturning   aynan   shu   eng   muhim   talabi   ko’pincha
buziladi.
Bu shuni ko’rsatadiki, aytaylik, og’zaki hisoblash ko’nikmalarini mashq qilganda,
o’qituvchilar   ko’pincha   bolalar   ongiga   bajariladigan   operatsiyalarning   nazariy
asoslarini   etkazish   zarurligini   unutib   qo’yishadi,   agar   xatolar   bo’lsa,   buni
o’rgatmaydilar.   Hisob-kitoblar   kursi,   talabalar   o’sha   masalalarni   ko’rib   chiqishga
qaytadilar,   ularning   xatosi   sababini   tushunishga   va   uni   o’zlari   tuzatishga   yordam
beradigan nazariyalar. Ayni paytda, ishonchli, to’g’ri va tezkor hisob-kitoblarning
haqiqatan   ham   kuchli   ko’nikmalarini   shakllantirish   uchun   asos   bo’lgan
assimilyatsiya ongidir.
Nazariya   va   amaliyotni   birlikda   ko’rib   chiqish   talabining   buzilishi   matematika
darslarida   nazariy   xarakterga   ega   bo’lgan   savollar   ko’pincha   bolalar   oldiga
mavhum   shaklda,   tegishli   ta’riflar,   “qoidalar”   va   hokazolar   qo’yilishida   ham
namoyon bo’ladi . o’rganiladi. ularning amaliy qo’llanilishidan tashqari. Shu bilan
birga,   talabalardan   dasturda   umuman   ko’zda   tutilmagan   yoki   keyinchalik   bolalar
tomonidan o’rganilishi kerak bo’lgan formulalarni bilish talab qilinadigan holatlar
27 bilan   shug’ullanish   kerak.   Bu,   masalan,   birinchi   sinf   o’qituvchisi:   "Qo’shilgan
raqamlar   qanday   nomlanadi?",   degan   savolga   to’liq   javob   talab   qilganda.   Bu
shaklda matematik terminologiyani bilish umuman talab qilinmasligi kerak. (Faqat
o’qituvchi ularni qo’llaganida, bolalar tegishli so’zlarning ma’nosini tushunishlari
va   bu   atamalarni   o’z   nutqlariga   asta-sekin   kiritishlari   muhim)   Bu,   shuningdek,
birinchi   sinfda   o’qiyotgan   o’qituvchi   o’quvchilardan   ayirish   qanday   amalga
oshirilishini tushuntirishni  talab qilganda ham shundaydir. qo’shimcha yordamida
tekshiriladi (bu ikkinchi o’quv yili materiali) va hokazo.
O’quvchilarning   sun’iy   ortiqcha   yuklanishiga   olib   keladigan   bunday   uslubiy
xatolarga yo’l qo’ymaslik uchun I sinfdan IV sinfgacha arifmetik materiallar ustida
ishlashning   butun   tizimini   aniq   tushunish,   nazariyaning   ushbu   elementlarining
ma’nosi va o’rnini tushunish muhimdir. dastur tomonidan.
Dastur talablaridan quyidagi vazifalar kelib chiqadi:
1.   Ko`rib   chiqilayotgan   harakatlarning   ma`nosini   bolalar   ongiga   yetkazish,   turli
sodda masalalarni yechishda arifmetik amalni to`g`ri tanlashga o`rgatish.
2. Kichik yoshdagi o’quvchilar uchun qulay darajada va ular uchun qulay shaklda,
ularni   ko’rib   chiqilayotgan   harakatlarning   og’zaki   va   yozma   hisob-kitob
usullarining nazariy asosi bo’lgan xususiyatlari bilan tanishtirish.  
3. Hisob-kitoblarni ratsionalizatsiya qilish, shuningdek, masalalar yechishning eng
oqilona   yo’llarini   topish   maqsadida   tegishli   bilimlardan   foydalangan   holda
o’rganilayotgan xususiyatlarni turli sharoitlarda qo’llashni o’rgatish.
4.   Bolalar   harakatlar   o’rtasida   mavjud   bo’lgan   aloqalarni   o’rganishlarini
ta’minlash.   Tegishli   bilimlarni   qo’llash   yo’llarini   o’rgatish:   a)   hisob-kitoblarda
(ko’paytirishning   tegishli   holini   bilish   asosida   bo’lakni   topishda,   qo’shishning
tegishli   holini   bilish   asosida   ayirma   topishda);   b)   bajarilgan   hisob-kitoblarning
to’g’riligini   tekshirishda;   v)   harakatlarning   noma’lum   komponentini   topishga   oid
masalalarni yechishda va d) eng oddiy tenglamalarni yechishda.
5.   Bolalarning   og’zaki   va   yozma   hisob-kitoblarning   asosiy   usullarini   ongli   va
qat’iy   o’zlashtirishini   ta’minlash,   har   bir   aniq   misolning   xususiyatlariga   eng   mos
keladigan ma’lum hisoblash usullarini ongli ravishda tanlash qobiliyati.
28 6.   Bolalarda   tez   va   to’g’ri   hisoblashning   ongli   va   kuchli   ko’nikmalarini
shakllantirish.
Kursning   ushbu   aniq   vazifalarining   har   birini   muvaffaqiyatli   hal   qilish   uchun
nafaqat   tegishli   mashqlarning   mazmuni   va   tizimini   aniqlash   kerak   (bu   asosan
darsliklarda   amalga   oshiriladi),   balki   turli   xil   o’qitish   usullaridan   foydalanish
maqsadga muvofiqdir.
Harakatlarning   ma’nosini,   ular   o’rtasida   mavjud   bo’lgan   bog’lanishlarni,
harakatlarning tarkibiy qismlari va natijalari o’rtasidagi bog’liqlikni anglash faqat
ushbu   nazariy   masalalarni   bolalarning   o’z   tajribasiga   asoslangan   holda   ko’rib
chiqishda  ta’minlanishi  mumkin.  Shu  bilan birga,  shuni   yodda tutish  kerakki, biz
bu   erda   nafaqat   bolalarning   ob’ektlar   bilan   turli   amaliy   harakatlar   jarayonida
egallagan   hayotiy   tajribasi,   balki   maktabda   matematikani   o’rganishda   to’plangan
tajriba haqida ham gaplashishimiz kerak.
Aytaylik,   raqamlash   va   arifmetik   operatsiyalar   ustida   ishlash   matematikaning
dastlabki   kursida   konsentrik   tarzda   qurilgan   .   Dasturda   bolalar   bilan   ko’rib
chiqiladigan   raqamlar   (o’n   -   yuz   -   ming   -   ko’p   xonali   sonlar)   maydonini
bosqichma-bosqich kengaytirish va ushbu mavzularning har birini o’rganishda bir
qator   masalalarni   ko’rib   chiqish   tizimi   ko’rsatilgan.   raqamlarning   yangi   sohasi,
bolalarning   raqamlash   va   raqamlar   bilan   operatsiyalar   bo’yicha   ilgari   olingan
bilimlarini   bosqichma-bosqich   joriy   etish   (yoki   chuqurlashtirish,   tizimlashtirish,
umumlashtirish).   Bolalarni   raqamlar   va   arifmetik   amallar   bilan   tanishtirish
matematikaning   birinchi   darslarida   ikkita   berilgan   ob’ektlar   to’plamini
birlashtirish,   ikkita   to’plam   elementlari   o’rtasidagi   moslikni   o’rnatish,   berilgan
ob’ektlar to’plamining bir qismini ajratib ko’rsatish bo’yicha amaliy mashg’ulotlar
bilan tayyorlanadi.
To’plamlar bilan operatsiyalardan boshlab, bolalar asta-sekin ob’ektlarni sanashga
o’tadilar,   tabiiy   qatorning   birinchi   o’nta   raqami   (ularning   nomlari,   ketma-ketligi)
bilan   tanishadilar,   bu   raqamlar   misolida   har   bir   keyingi   raqam   natural   qatorda
qanday   hosil   bo’lishini   bilib   oladilar,   sonlarni   solishtirish,   ularning   yig’indisi   va
ayirmasini   topishni   o’rganish.   Birinchidan,   bu   ikkita   to’plamni   birlashtirish   yoki
29 to’plamning   bir   qismini   o’chirish   natijasida   olingan   ob’ektlar   to’plami   bo’yicha
tegishli   operatsiyalarni   bajarish   va   to’plamning   elementlarini   sanash,   so’ngra
raqamlarga   ta’sir   qilishning   ba’zi   usullarini   qo’llash   (hisoblash   va   hisoblash)
asosida amalga oshiriladi. birlik va guruhlar bo’yicha va boshqalar).
10,   so’ngra   yuzlab   qo’shish   va   ayirishni   o’rganayotganda   bolalar   amallar
xossalaridan   (yig’indining   almashinish   xususiyati,   sonni   yig’indiga   va   yig’indini
songa   qo’shishning   turli   usullari)   foydalanishga   asoslangan   hisoblash   texnikasi
bilan   tanishadilar.   ,   yig’indidan   sonni   va   sondan   yig’indini   ayirish),   shuningdek,
qo’shish   va   ayirish   o’rtasidagi   munosabatni   tushunishga   asoslanadi.   Shu   bilan
birga,   yuqorida   aytib   o’tilganidek,   ushbu   xususiyatlarni   va   turli   xil   hisoblash
usullarini   hisobga   olish   bilan   bog’liq   barcha   ishlar   hisob-kitoblarni
ratsionalizatsiya qilish muammosiga bog’liq.
Hisoblash   ko’nikmalarini   shakllantirish   bilan   bog’liq   o’qishning   birinchi   yilidagi
eng   muhim   vazifa   -   bu   bir   xonali   raqamlarni   qo’shish   va   ko’nikmalarni
shakllantirishda   avtomatlashtirilgan   hisob-kitoblarni   amalga   oshirish   imkoniyatini
beradigan   qo’shish   va   ayirishning   jadvalli   holatlarini   bolalar   tomonidan
o’zlashtirish. ikki xonali raqamlar bilan tez og’zaki hisoblar uchun.
Dasturning   tushuntirish   xatida   qo’shish   va   ayirishning   jadval   hollarini   xotirada
mashq   bajarish   natijasida   bolalar   o’zlashtirib   olishlari   kerakligi,   shuning   uchun
ham bolalarda ularni yodlash uchun sharoit yaratish katta ahamiyatga ega ekanligi
ta’kidlangan. Shuningdek, kunlik o’quv ishlarini olib borish kerak, ularsiz istalgan
natijaga erishib bo’lmaydi.
100   ichida   raqamlashni   ko’rib   chiqishda   bolalarni   yangi   hisoblash   birligi   -   o’n
bilan   tanishtirishga,   bitli   sonlardan   raqamlar   tarkibini   o’rganishga   (13   -   10   va   3
yoki 1 o’n va 3 birlik), raqamlarning mahalliy ma’nosini aniqlashga alohida e’tibor
beriladi.   ikki   xonali   sonlarni   yozishda.   Ushbu   masalalarni   ko’rib   chiqish   bolalar
tomonidan tegishli bilimlardan ishonchli foydalanishni nazarda tutadigan darajada
amalga oshiriladi, ammo har qanday umumlashtirilgan formulalarni o’zlashtirishni
talab qilmaydi.
30 100 ichida ko’paytirish va bo’lish II sinfda o’rganiladi. Bolalar uchun ushbu yangi
arifmetik amallar bilan tanishishda o’qituvchi I sinf uchun dasturda ko’zda tutilgan
tayyorgarlik   ishlariga   tayanishi   mumkin   (bir   xil   atamalar   yig’indisini   topish   va
sonni shunday yig’indi sifatida ifodalash mashqlari).
Qo’shish va ayirishni o’rganishda bo’lgani kabi, 100 ichida ko’paytirish va bo’lish
usullarini   ko’rib   chiqish   bolalarni   ushbu   harakatlarning   eng   muhim   xususiyatlari
va   ko’paytirish   va   bo’lish   o’rtasidagi   mavjud   munosabatlar   bilan   oldindan
tanishtirishga asoslanadi. Bu qo’shish va ayirish bilan bog’liq yuqorida muhokama
qilgan savollarga o’xshash savollarni tug’diradi.
To’rt arifmetik amalning har biri bolalar ongida uni qo’llashni talab qiladigan aniq
vazifalar   bilan   mustahkam   bog’langan   bo’lishi   kerak.   Harakatlarning   ma’nosi
asosan   ob’ektlar   to’plami   bilan   amaliy   harakatlar   asosida   va   tegishli   matn
vazifalari tizimida ochiladi.
Ular   asosida   harakatlarning   tarkibiy   qismlari   va   natijalari   o’rtasidagi   bog’liqlik,
harakatlar   o’rtasidagi   bog’liqlik,   harakatlarning  ko’rib   chiqilayotgan  xususiyatlari
va o’rganilgan matematik munosabatlari bolalar ongiga olib boriladi.
Allaqachon   "O’n"   mavzusida   birinchi   o’nta   raqam   bilan   tanishgandan   so’ng,
bolalar   birinchi   marta   nolga   duch   kelishadi.   Kelajakda   qo`shish,   ayirish,
ko`paytirish   va   bo`lishni   o`rganish   jarayonida   nol   bilan   amallar   hollarini   ko`rib
chiqishga   alohida   e`tibor   beriladi.   Ko’paytirish   va   bo’linishni   o’rganish   bilan
bog’liq   holda,   ko’paytirish   va   bo’lishning   nol   va   bir   bilan   amalga   oshiriladigan
holatlari alohida ajratilgan.
Raqamlar   va   arifmetik   amallarni   o’rganish   bilan   uzviy   bog’liq   holda,   bolalarni
miqdorlar va ularni o’lchash bilan tanishtirish ishlari ham olib borilmoqda. Yangi
o’lchov birliklari bilan tanishish va ular o’rtasidagi munosabatlarni o’rnatish, turli
o’lchov   birliklarida   ifodalangan   raqamlarni   o’zgartirish   mashqlari   odatda
raqamlash bo’yicha ishlar bilan bog’liq. (Shunday qilib, parallel ravishda, ikkinchi
o’nlik   raqamlarining   bit   shartlaridan   tarkibi   va   o’lchash   natijasida   1   dm   5   sm
ko’rinishdagi raqamlar segmentlarini olish, bu raqamlarni o’zgartirish: 1 dm 5 sm
= 15 sm.Bu shakldagi holatlarga o’xshashlik yo’li bilan amalga oshiriladi: 1 dek. 5
31 birlik   15   birlik   )   Bu   tamoyil   kelajakda   ham   amalga   oshiriladi   -   raqamlar
oralig’ining   har   bir   kengayishi   bilan   va   harakatlarning   yangi   holatlarini   ko’rib
chiqishda.
"Ming" va "Ko’p xonali sonlar" mavzularini o’rganishga o’tishda yozma hisoblash
ko’nikmalarini  shakllantirish  ishlari   birinchi   darajali  ahamiyatga  ega  bo’ladi.  Shu
bilan  birga,  arifmetik  amallarni   yozma   bajarish   usullarini   ko’rib   chiqish   bilan  bir
qatorda,   100   ichida   raqamlar   bilan   (shuningdek,   engil   holatlarda,   katta   raqamlar
bilan)   og’zaki   hisob-kitoblarni   bajarish   qobiliyati   ham   doimo   yaxshilanadi   deb
taxmin qilinadi. .
Sonlarni   yozma   qo’shish,   ayirish,   ko’paytirish   va   bo’lish   usullarini,   shuningdek
og’zaki   hisoblash   usullarini   ochib   berishda   talabalarga   bajariladigan   amallarning
ma’nosi, ularning ketma-ketligi va mavjud asoslari haqida tushuncha beriladi . Shu
bilan   birga,   yakuniy   maqsadni   doimo   yodda   tutish   kerak,   ya’ni   yozma   hisob-
kitoblarda   ma’lum   bir   avtomatizmni   rivojlantirish   (bajarilgan   operatsiyalarni
tushunishga qaytish ham tavsiya etiladi, bunda asosan  ma’lum qiyinchiliklar yoki
xatolar yuzaga kelganda). hisob-kitoblar).
Dasturda   boshlang’ich   sinf   o’quvchilarini   millionlar   sinfida   raqamlash   va   ko’p
xonali   raqamlar   ustida   amallar   bilan   tanishtirish   nazarda   tutilgan   bo’lsa-da,
tushuntirish xatida ko’rsatilgan cheklovga muvofiq, o’quv mashg’ulotlarining katta
qismi   faqat   shunday   raqamlar   va   operatsiyalarni   o’z   ichiga   olishi   kerak.   bu
milliondan oshmaydi.
Yozma   hisob-kitoblar   bo’yicha   ish   bilan   bir   qatorda,   bolalarning   harakatlarning
o’zlari,   ularning   xususiyatlari   (ba’zi   yangi   xususiyatlar   kiritiladi),   harakatlar
o’rtasidagi   mavjud   bog’liqlik,   tarkibiy   qismlardan   biri   o’zgarganda   harakatlar
natijalarini o’zgartirish to’g’risida, munosabatlar haqida bilimlari. komponentlar va
natija   o’rtasidagi   umumlashtiriladi   va   chuqurlashtiriladi.   Tegishli   bilimlarni
umumlashtirish   va   chuqurlashtirish   to’rt   yillik   boshlang’ich   ta’lim   davomida
tizimli   ravishda   olib   boriladigan   kuzatuvlar   asosida   amalga   oshiriladi.   Bu
bilimlarning   barchasi,   dasturning   tushuntirish   xatida   ta’kidlanganidek,   hisob-
kitoblarni ratsionalizatsiya qilish uchun ishlatiladi.
32 Sonlar   va   arifmetik   amallarni   o’rganish   bilan   parallel   va   chambarchas   bog’liq
holda ifoda, tenglik va tengsizlik tushunchalarini shakllantirishga qaratilgan ishlar
olib   borilmoqda.   Raqamli   ifodalar,   tenglik   va   tengsizliklar   birinchi   navbatda
matematika o’qitishning birinchi darslarida uchrab turadi va keyin darsdan darsga
tizimli   ravishda   ular   ustida   ishlash   davom   ettiriladi.   Bu   nafaqat   ko’rib
chiqilayotgan raqamlar maydonini kengaytirish, balki ko’rib chiqilayotgan iboralar
tuzilishini   murakkablashtirish   va   bolalar   tomonidan   ilgari   olingan   bilimlardan
foydalanish   bilan   bog’liq   vazifalar   turlarini   murakkablashtirish   orqali   materialni
bosqichma-bosqich   murakkablashtirishni   o’z   ichiga   oladi.   Ushbu   tizim   dastur
matnida   alohida,   eng   tipik   misollar   bilan   tasvirlangan.   Shunday   qilib,   "O’n"
mavzusida birinchi navbatda bolalarni raqamlar va shakldagi yozuvlarni taqqoslash
bilan   tanishtirish   ko’zda   tutilgan:   5   \u003d   5,   6   <   7   ,   9   >   8;   so’ng   shakldagi
ifodalarni  o’qish, yozish  va solishtirish:  5+4 va 6+4, 7+2 va 7 – 2, 3+0 va  3 – 0
bilan   tanishtiriladi.“Yuz”   mavzusida   iboralarni   solishtirishga   misollar   keltiriladi.
shakl bo’yicha:  10 - (5 + 3) va 10 - 5 - 3 (ularni taqqoslash har bir taqqoslangan
iboraning   qiymatini   oldindan   hisoblash   va   olingan   raqamlarni   taqqoslash   asosida
ham   amalga   oshirilishi   mumkin.   harakatlarning   allaqachon   ma’lum   bo’lgan
xususiyatlarining   asosi).   "100   ichida   ko’paytirish   va   bo’lish"   mavzusini
o’rganishda   taqqoslash   uchun   shaklning   ifodalari   taklif   etiladi:   mahsulotning
kommutativ xususiyatidan foydalanish bilan bog’liq bo’lgan  x  9 va 9  x va 7 8 va 7
9,   bu   erda   bilimlar   ko’paytirish   va   qo’shish   o’rtasidagi   bog’liqlik   ishlatilishi
mumkin va hokazo. P.
Tegishli   mashqlar   ifoda,   tenglik,   tengsizlik   tushunchalarini   shakllantirish
vazifasiga qo’shimcha ravishda, shuning uchun ham hisoblash ko’nikmalarini, ham
harakatlarni   o’rganishda   hisobga   olingan   arifmetika   nazariyasi   elementlarini
mustahkamlash vazifasini bajaradi.
33 Xulosa
Har   bir   xalqning   o’ziga   xos   arifmetik   amallari   bo’lgan.   Va   ularning   barchasi
raqamlar   ustida   operatsiyalarni   bajarish   uchun   ishlatilgan.   Ming   yildan   ko’proq
vaqt   davomida   qo’shish,   ayirish,   ko’paytirish   va   bo’lishning   arifmetik   amallarini
bajarish   g’oyasi   ishlab   chiqilgan   va   tasdiqlangan.   Bu   arifmetik   amallar
matematikada   asosiy   amallardir.   Rivojlanish   tarixini   o’rganish   nafaqat   talabalar
uchun,   balki   o’zimiz   uchun   ham   qiziqarli   bo’lib,   o’rganish   yosh   talabalarni
qiziqtirishga yordam beradi.
To’rt arifmetik amalning har biri bolalar ongida uni qo’llashni talab qiladigan aniq
vazifalar   bilan   mustahkam   bog’langan   bo’lishi   kerak.   Harakatlarning   ma’nosi
asosan   ob’ektlar   to’plami   bilan   amaliy   harakatlar   asosida   va   tegishli   matn
vazifalari   tizimida   ochiladi.   Ular   asosida   harakatlarning   tarkibiy   qismlari   va
natijalari   o’rtasidagi   bog’liqlik,   harakatlar   o’rtasidagi   bog’liqlik,   harakatlarning
ko’rib chiqilayotgan xususiyatlari va o’rganilgan matematik munosabatlari bolalar
ongiga olib boriladi.
Sonlarni   qo`shish   va   ko`paytirish   kommutativlik,   assotsiativlik   xossalariga   ega,
ko`paytirish qo`shishga nisbatan distributivdir.
Bir   xonali   sonlarni   ko’paytirish   jadvalini   tuzishda   ko’paytirishning   kommutativ
xususiyati keng qo’llaniladi. Assotsiativ qonun boshlang’ich maktabda aniq ko’rib
chiqilmaydi,   lekin   sonni   ko’paytmaga   ko’paytirishda   kommutativ   qonun   bilan
birga qo’llaniladi. Ko’paytirishning qo’shishga nisbatan taqsimot qonuni maktabda
aniq   misollar   bilan   ko’rib   chiqiladi   va   sonni   yig’indiga,   yig’indini   songa
ko’paytirish   qoidalari   deb   ataladi.   Ushbu   ikki   qoidani   ko’rib   chiqish   uslubiy
mulohazalar bilan belgilanadi.
    Ish   natijasida   biz   shunday   xulosaga   keldikki,   arifmetik   amallar   va   ularning
xossalarini   o’rganish   boshlang’ich   maktabda   ayniqsa   muhimdir,   chunki   bu
matematikani keyingi o’rganish uchun asosiy asosdir.
34 Adabiyotlar :
1. Bantova M.A. Boshlang’ich sinflarda matematika o’qitish metodikasi: Maktab
o’quvchilari   uchun   darslik.   Maxsus   pedagogika   maktablari   №   2001   /   Nashr.
M.A. Bantova, M.A. Beltyukov - 3-nashr, Rev. - M.: Ma’rifat , 1984 yil.
2.   Berlyand   I.E.   Topishmoq   va   raqamlar:   1-sinfda   xayoliy   darslar:   O’qituvchi
uchun qo’llanma. - M.: Akademiya, 1996 yil.
3.   Vernier   J.   Bola,   matematika   va   haqiqat:   boshlang’ich   maktabda   matematika
o’qitish   muammolari.   -   M   .:   Rossiya   Fanlar   akademiyasining   Psixologiya
instituti, 1998 yil.
4.   Volkova   S.I.   2-sinfda   matematika   darslarida   bolalarning   kognitiv
qobiliyatlarini rivojlantirish: to’rt yoshli boshlang’ich maktab o’qituvchisi uchun
qo’llanma . - M.: Ma’rifat, 1995 yil.
5.   Grudenov   Ya.I.   Matematika   o`qitish   metodikasining   psixologik   -didaktik
asoslari. - M .: Pedagogika, 1987 yil.
6.   Episheva   O.B.   Maktab   o’quvchilarini   matematikani   o’rganishga   o’rgatish:
o’quv   faoliyati   usullarini   shakllantirish:   o’qituvchi   uchun   kitob.   -   M.:   Ma’rifat,
1990 yil.
7. Zilberg N.I. 1-sinfda matematika darsi  . / Osin.ped.school  . - Osa: Rossiani ,
1993 yil.
8.   Istomina   N.B.   Boshlang’ich   sinflarda   matematika   darslarida   o’quvchilarni
faollashtirish: o’qituvchi uchun qo’llanma. - M.: Ma’rifat, 1985 yil.
35