Konus kesimlari va ularning fokal xossalari - Informatika va AT - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	1.1MB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	04 Iyun 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Informatika va AT

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

153 Sotish

Konus kesimlari va ularning fokal xossalari

Sotib olish

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY TA‘LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
FARG‘ONA DAVLAT UNIVERSITETI
FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI
“ Matematika ”
yo nalishi 2ʻ 4 . 02 -guruh talabasi
Qurbonova Feruzaxon Botirali qizining
“Analitik geometriya” fanidan
“ Konus kesimlari va ularning fokal xossalari ”
mavzusidagi
KURS ISHI
Kurs ishi rahbari : B.Toshbuvayev
Farg ona 202
ʻ 5

MUNDARIJA
KIRISH .......................................................................................................................................................... 2
I BOB. ANALITIK GEOMETRIYA FANI HAQIDA .............................................................................................. 4
1.1 Analitik geometriya ............................................................................................................................ 4
1.2 Analitik geometriyaning asosiy elementlari ..................................................................................... 13
II BOB KONUS HAQIDA ............................................................................................................................... 15
2.1 Konus va uning asosi. ....................................................................................................................... 15
2.2 Konus kesimlari va ularning xossalari. .............................................................................................. 21
XULOSA ...................................................................................................................................................... 32
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR ................................................................................................................ 33
KIRISH
Konus kesimlari allaqachon matematiklarga ma’lum edi Qadimgi Gretsiya
(masalan, Menechmu, miloddan avvalgi 4-asr) ushbu egri chiziqlar yordamida
ba’zi qurilish muammolari hal qilindi (kubni ikki barobarga oshirish va boshqalar),
2

ular eng oddiy chizma asboblari - kompas va o ‘ lchagichdan foydalanganda erishib
bo ‘ lmaydigan bo ‘ lib chiqdi. Bizgacha yetib kelgan birinchi tadqiqotlarda yunon
geometriyachilari generatorlardan biriga perpendikulyar kesuvchi tekislikni chizish
orqali konus kesimlarini olishgan, ayni paytda konusning yuqori qismidagi ochilish
burchagiga (ya’ni generatorlar orasidagi eng katta burchakka) bir bo ‘ shliqning),
kesishish chizig ‘ i ellips bo ‘ lib chiqdi, agar bu burchak o ‘ tkir bo ‘ lsa, u parabola,
agar u to ‘ g ‘ ri burchak bo ‘ lsa va giperbola bo ‘ lsa. Ushbu egri chiziqlarga
bag ‘ ishlangan eng to ‘ liq asar Pergalik Apolloniyning "Konus kesimlari" (miloddan
avvalgi 200 yil). Konus kesimlari nazariyasidagi keyingi yutuqlar 17-asrda
yaratilish bilan bog ‘ liq. Eramizdan avvalgi III asrda yashab ijod qilgan grek olimi
Apolloniy Pergskiy o ‘ zining mashhur “Konus kesimlari” asarida konus
kesimlariga nisbatan inversion almashtirishlar masalasiga to ‘ xtalib o ‘ tgan.
Ta’kidlab o ‘ tish joizki, zamonaviy matematika fanlari qanchalik taraqqiy etmasin
Apolloniy ishlari asrlar davomida o ‘ z qiymatini yo ‘ qotmasdan kelmoqda .
Mavzuning asoslanganligi va dolzarbligi: Konus kesimlari nazariyasidagi
keyingi yutuqlar 17-asrda yaratilish bilan bog ‘ liq. yangi geometrik usullar:
proyektiv (fransuz matematiklari J. Dezarg, B. Paskal) va ayniqsa koordinatali
(fransuz matematiklari R. Dekart, P. Ferma). Konus kesimlariga bo ‘ lgan qiziqish
har doim bu egri chiziqlar ko ‘ pincha turli xil tabiat hodisalarida va tabiatda sodir
bo ‘ lishi bilan qo ‘ llab-quvvatlangan. inson faoliyati.
Ishning maqsadi : Konus kesimlari nazariyasini o ‘ rganish Konus kesimlari
allaqachon matematiklarga ma’lum edi Qadimgi Gretsiya(masalan, Menechmu,
miloddan avvalgi 4-asr); ushbu egri chiziqlar yordamida ba’zi qurilish
muammolari hal qilindi (kubni ikki barobarga oshirish va boshqalar), ular eng
oddiy chizma asboblari - kompas va o ‘ lchagichdan foydalanganda erishib
bo ‘ lmaydigan bo ‘ lib chiqdi. Kurs ishining maqsadi o ‘ quvchi yoshlarga Konus
kesimlarining urinmalari va ularning xossalari, fokal xossalari haqida yanada
yaxshiroq tushuncha berish.
3

I BOB. ANALITIK GEOMETRIYA FANI HAQIDA
1.1 Analitik geometriya
Analitik geometriya – geometriya bo limi; unda sodda geometrik obrazlarʻ
(nuqtalar, to g ri chiziqlar, tekisliklar, ikkinchi tartibli egri chiziqlar va sirtlar)
ʻ ʻ
4

koordinatalar usuli asosida algebraik vositalar bilan o rganiladi. Koordinatalarʻ
usulining mohiyati quyidagicha: a tekislikda o zaro perpendikulyar Ox va Oy
ʻ
to g ri chiziqlarni chizamiz, ularda musbat yo nalishlarni, koordinata boshi O
ʻ ʻ ʻ
nuqtani va masshtab birligi e ni tanlab olamiz.
Bu holda a tekislikda to g ri burchakli Dekart koordinatalar tizimi Oxy
ʻ ʻ
berilgan deyila-di; Ox abssissalar o qi, Oy esa ordinatalar o qi deyiladi.
ʻ ʻ
Tekislikdagi ixtiyoriy M nuqtaning holati OMx va OMy kesmalarning (tegishli
ishora bilan olingan) uzunliklari x va y bilan bir qiymatli aniqlanadi. Tekislikdagi
Analitik geometriyada to g ri chiziqlar, ikkinchi tartibli egri chiziqlar (ellips,
ʻ ʻ
parabola, giperbola) batafsil o rganiladi. Fazoda ham Dekart koordinatalar tizimi
ʻ
kiritiladi va turli chiziqlar, tekisliklar, ikkinchi tartibli sirtlar ularning tenglamalari
vositasida o rganiladi. Analitik geometriyaning asosiy g oyasi R. Dekartnt
ʻ ʻ
"Geometriya" (1637-yil) kitobida birinchi marta to la bayon etilgan. Analitik
ʻ
geometriya taraqqiyotiga yana P. Ferma, G. Leybnits, I. Nyuton, L. Eyler katta
hissa qo shganlar. Analitik geometriya metodlari matematika, mexanika, fizika va
ʻ
boshqa fanlarda keng qo llaniladi
ʻ
Analitik geometriyaning asosiy xarakteristikasi shundaki, u geometrik
figuralarni formulalar orqali aks ettirishga imkon beradi.
Masalan, aylanalar ikkinchi darajali polinom tenglamalari bilan, chiziqlar esa
birinchi darajali polinom tenglamalari bilan ifodalanadi.
Analitik geometriya XVII asrda shu paytgacha yechimi bo ‘ lmagan
muammolarga javob berish zarurati tufayli paydo bo ‘ ladi. Uning eng yuqori
vakillari Rene Dekart va Perde Ferma edi.Hozirgi kunda ko ‘ plab mualliflar uni
matematika tarixidagi inqilobiy ijod deb ta’kidlashadi, chunki u zamonaviy
matematikaning boshlanishini anglatadi.Konus kesimlari allaqachon
matematiklarga ma'lum edi Qadimgi Gretsiya(masalan, Menechmu, miloddan
avvalgi 4-asr) ushbu egri chiziqlar yordamida ba’zi qurilish muammolari hal
qilindi (kubni ikki barobarga oshirish va boshqalar), ular eng oddiy chizma
asboblari - kompas va o ‘ lchagichdan foydalanganda erishib bo ‘ lmaydigan bo ‘ lib
chiqdi. Bizgacha yetib kelgan birinchi tadqiqotlarda yunon geometriyachilari
5

generatorlardan biriga perpendikulyar kesuvchi tekislikni chizish orqali konus
kesimlarini olishgan, ayni paytda konusning yuqori qismidagi ochilish burchagiga
(ya’ni generatorlar orasidagi eng katta burchakka) bir bo ‘ shliqning kesishish
chizig ‘ i ellips bo ‘ lib chiqdi, agar bu burchak o ‘ tkir bo ‘ lsa, u parabola, agar u
to ‘ g ‘ ri burchak bo ‘ lsa va giperbola bo ‘ lsa. Ushbu egri chiziqlarga bag ‘ ishlangan
eng to ‘ liq asar Pergalik Apolloniyning "Konus kesimlari" (miloddan avvalgi 200
yil). Konus kesimlari nazariyasidagi keyingi yutuqlar 17-asrda yaratilish bilan
bog ‘ liq. Eramizdan avvalgi III asrda yashab ijod qilgan grek olimi Apolloniy
Pergskiy o ‘ zining mashhur “Konus kesimlari” asarida konus kesimlariga nisbatan
inversion almashtirishlar masalasiga to ‘ xtalib o ‘ tgan. Ta’kidlab o ‘ tish joizki,
zamonaviy matematika fanlari qanchalik taraqqiy etmasin Apolloniy ishlari asrlar
davomida o ‘ z qiymatini yo ‘ qotmasdan kelmoqda .
Analitik geometriya atamasi XVII asrda Frantsiyada algebra va geometriyani
alohida holda echib bo'lmaydigan muammolarga javob berish zarurati tufayli
paydo bo ‘ lgan, ammo echim ikkalasining birgalikda ishlatilishida bo ‘ lgan. Galiley
va boshqa olimlar tomonidan yaratilgan yangi mexanika harbiy ish, ballistika va
astronomiya sohalaridagi ehtiyojlar asosida vujudga keldi. Kopernikning
astronomiya sohasidagi kashfiyotlari Kepler tomonidan sayyoralar harakati
qonunlarini ochishga asos bo ‘ ldi. XVII asrning birinchi yarmida fan va texnikadagi
yutuqlar, ularning ehtiyojlari, matematikaning rivojlanishi, ishlab chiqarish, iqtisod
va savdo sohalaridagi ehtiyojlar analitik geometriya asoslarining yaratilishiga olib
keldi. P. Ferma va R. Dekart tonidan yaratilgan analitik geometriya asos-larida
ikkita g ‘ oya yotardi. 1) tekislikda koordinatalar sistemasi; 2) tekislikdagi ikki
o ‘ zgaruvchili tenglamani chiziq sifatida qarash Аnalitik geometriyaning asoslarini
o ‘ z ichiga oluvchi birinchi asar XVII asrning 30 yillarida Peer Ferma tomonidan
yozilgan “Tekislikda va fazoda geometrik figuralar nazariyasiga kirish” nomli asari
edi.
Fermaning bu asari qadimgi grek olimlari, shu jumladan Аpolloniy ishlarini
chuqur o ‘ rganish natijasida vujudga keldi. Rene Dekartning (1596-1650)
«Geometriya» asari 1637 - yilda fransuz tilida. uning “Usullar haqida fikrlar” nomli
6

falsafiy asariga ilova sifatida nashr etildi. Dekart o ‘ zining asarlarida borliq
qonunlarini o ‘ rganishda va haqiqatni topishda asosiy vosita degan fikrni bayon
etdi.
Dekartning «Geometriya» asari uning algebra va geometriyani uyg ‘ un-
lashtirish haqidagi harakatini qisman amalga oshirdi. Dekartning «Geometriya»
asarida geometrik figuralarni koordinatalar yordamida algebraik usullar bilan
o rganish bayon qilindi. L. Eylerning asarlarining katta qismi matematik analizgaʼ
bag ishlangan bo lsada, uning geometriyaga bag ishlangan asarlari ham juda ko p.
ʼ ʼ ʼ ʼ
1748 yilda chop etilgan “Аnalizga kirish” nomli asarida tekislik va fazoda analitik
geometriya masalalari bayon qilindi.Bu asarda birinchi marta analitik
geometriyaning hozirgi zamon ko ‘ rinishida bayon qilindi. 8 Tekislik yoki fazoda
koordinatalar sistemasini kiritganimizda, geometrik figuraga tegishli nuqtalar
koordinatalarga ega bo ‘ ladi.
Konus kesimlari allaqachon matematiklarga ma'lum edi Qadimgi
Gretsiya(masalan, Menechmu, miloddan avvalgi 4-asr); ushbu egri chiziqlar
yordamida ba'zi qurilish muammolari hal qilindi (kubni ikki barobarga oshirish va
boshqalar), ular eng oddiy chizma asboblari - kompas va o ‘ lchagichdan
foydalanganda erishib bo ‘ lmaydigan bo ‘ lib chiqdi. Bizgacha yetib kelgan birinchi
tadqiqotlarda yunon geometriyachilari generatorlardan biriga perpendikulyar
kesuvchi tekislikni chizish orqali konus kesimlarini olishgan, ayni paytda
konusning yuqori qismidagi ochilish burchagiga (ya’ni generatorlar orasidagi eng
katta burchakka) bir bo ‘ shliqning), kesishish chizig ‘ i ellips bo ‘ lib chiqdi, agar bu
burchak o ‘ tkir bo ‘ lsa, u parabola, agar u to ‘ g ‘ ri burchak bo'lsa va giperbola bo'lsa.
Ushbu egri chiziqlarga bag'ishlangan eng to'liq asar Pergalik Apolloniyning
"Konik kesimlari" (miloddan avvalgi 200 yil). Konus kesimlari nazariyasidagi
keyingi yutuqlar 17-asrda yaratilish bilan bog ‘ liq. Eramizdan avvalgi III asrda
yashab ijod qilgan grek olimi Apolloniy Pergskiy o ‘ zining mashhur “Konus
kesimlari” asarida konus kesimlariga nisbatan inversion almashtirishlar masalasiga
to ‘ xtalib o ‘ tgan. Ta’kidlab o ‘ tish joizki, zamonaviy matematika fanlari qanchalik
7

taraqqiy etmasin Apolloniy ishlari asrlar davomida o ‘ z qiymatini yo ‘ qotmasdan
kelmoqda .
Agar figuraga tegishli nuqtalarning koordinatalari biror algebraik tenglamani
qanoatlantirsa, u algebraik tenglama bilan aniqlanuvchi geometrik figura deyiladi.
Analitik geometriya kursida o ‘ rganish metodlarining asosini kooordinatalar metodi
tashkil qiladi. Biz asosan figuralarni ularning tenglamalari yordamida o ‘ rganamiz,
ya'ni algebraik tenglamalarini o ‘ rganish bilan shugullanamiz. Bu erda algebraik
metodlar asosiy rolni o'ynaydi. Biz asosan birinchi va ikkinchi darajali tenglamalar
bilan ish ko ‘ ramiz. Analitik geometriya kursida o ‘ rganiladigan geometrik figuralar
sinfi unchalik katta bo'lmasa ham, birinchi va ikkinchi darajali tenglamalar bilan
aniqlanuvchi geometrik figuralar fan va teхnikada juda katta rol o ‘ ynaydi . Birinchi
darajali algebraik tenglamalar bilan aniqlanuvchi geometrik figuralar – to ‘ gri
chiziq va tekislikdir. Ushbu asosiy geometrik figuralar bilan siz elementar
geometriya kursidan tanishsiz. Tekislikda ikkinchi darajali tenglamalar ikkinchi
tartibli chiziqlarni, fazoda esa ikkinchi tartibli sirtlarni aniqlaydiAnalitik
geometriya kursida vektorlar algebrasi ham o ‘ rganiladi. Vektor tushunchasi muhim
fundamental tushunchalardan bo'lib, faqatgina analitik geometriya kursida emas,
balki matematikaning boshqa bo'limlarida ham muhim rol o'ynaydi. Bu darslik
muallifning O'zbekiston Milliy universitetining meхanikamatematika fakultetida
o ‘ qigan ma'ruzalari asosida yozilgan. Darslik universitetlarning meхanika va
matematika yo ‘ nalishlarining bakalavriat talabalari uchun mo ‘ ljallangan.
Hozirgi vaqtda analitik geometriyaning yaratuvchisi Rene Dekart bo ‘ lgan deb
hisoblanadi. Buning sababi shundaki, u o ‘ z kitobini Fermadan oldin nashr etgan va
shuningdek: Dekart bilan analitik geometriya mavzusida chuqur nashr etgan.
Biroq, Fermat ham, Dekart ham chiziqlar va geometrik figuralarni tenglamalar
orqali, tenglamalarni esa chiziqlar yoki geometrik figuralar bilan ifodalash
mumkinligini aniqladilar.Ikkalasining kashfiyotlariga ko ‘ ra, ikkalasi ham analitik
geometriyaning yaratuvchilari deb aytish mumkin. Galiley va boshqa olimlar
tomonidan yaratilgan yangi mexanika harbiy ish, ballistika va astronomiya
sohalaridagi ehtiyojlar asosida vujudga keldi. Kopernikning astronomiya
8

sohasidagi kashfiyotlari Kepler tomonidan sayyoralar harakati qonunlarini
ochishga asos bo ‘ ldi. XVII asrning birinchi yarmida fan va texnikadagi yutuqlar,
ularning ehtiyojlari, matematikaning rivojlanishi, ishlab chiqarish, iqtisod va savdo
sohalaridagi ehtiyojlar analitik geometriya asoslarining yaratilishiga olib keldi. P.
Ferma va R. Dekart tonidan yaratilgan analitik geometriya asos-larida ikkita g ‘ oya
yotardi. Konus kesimlari allaqachon matematiklarga ma'lum edi Qadimgi
Gretsiya(masalan, Menechmu, miloddan avvalgi 4-asr) ushbu egri chiziqlar
yordamida ba'zi qurilish muammolari hal qilindi (kubni ikki barobarga oshirish va
boshqalar), ular eng oddiy chizma asboblari - kompas va o ‘ lchagichdan
foydalanganda erishib bo ‘ lmaydigan bo ‘ lib chiqdi.. Ushbu egri chiziqlarga
bag ‘ ishlangan eng to ‘ liq asar Pergalik Apolloniyning "Konus kesimlari" (miloddan
avvalgi 200 yil). Konus kesimlari nazariyasidagi keyingi yutuqlar 17-asrda
yaratilish bilan bog ‘ liq. Eramizdan avvalgi III asrda yashab ijod qilgan grek olimi
Apolloniy Pergskiy o ‘ zining mashhur “Konus kesimlari” asarida konus
kesimlariga nisbatan inversion almashtirishlar masalasiga to`xtalib o`tgan.
1-rasm geometrik shakllardan
1) tekislikda koordinatalar sistemasi
2) tekislikdagi ikki o ‘ zgaruvchili tenglamani chiziq sifatida qarash
Аnalitik geometriyaning asoslarini o ‘ z ichiga oluvchi birinchi asar XVII
asrning 30-yillarida Peer Ferma tomonidan yozilgan “Tekislikda va fazoda
geometrik figuralar nazariyasiga kirish” nomli asari edi. Fermaning bu asari
qadimgi grek olimlari, shu jumladan Аpolloniy ishlarini chuqur o ‘ rganish
natijasida vujudga keldi.
9

Rene Dekartning (1596-1650) «Geometriya» asari 1637-yilda fransuz tilida.
uning “Usullar haqida fikrlar” nomli falsafiy asariga ilova sifatida nashr etildi.
Dekart o ‘ zining asarlarida borliq qonunlarini o ‘ rganishda va haqiqatni topishda
asosiy vosita degan fikrni bayon etdi. Dekartning «Geometriya» asari uning
algebra va geometriyani uyg ‘ unlashtirish haqidagi harakatini qisman amalga
oshirdi.
P. Ferma va R. Dekart tonidan yaratilgan analitik geometriya asoslarida
ikkita g‘oya yotardi.
1) tekislikda koordinatalar sistemasi
2) tekislikdagi ikki o ‘ zgaruvchili tenglamani chiziq sifatida qarash Аnalitik
geometriyaning asoslarini o ‘ z ichiga oluvchi birinchi asar XVII asrning 30-
yillarida Peer Ferma tomonidan yozilgan “Tekislikda va fazoda geometrik figuralar
nazariyasiga kirish” nomli asari edi.
Dekartning «Geometriya» asarida geometrik figuralarni koordinatalar
yordamida algebraik usullar bilan o ‘ rganish bayon qilindi. L. Eylerning
asarlarining katta qismi matematik analizga bag ‘ ishlangan bo ‘ lsada, uning
geometriyaga bag ‘ ishlangan asarlari ham juda ko p. 1748-yilda chop etilganʼ
“Аnalizga kirish” nomli asarida tekislik va fazoda analitik geometriya
masalalari bayon qilindi. Bu asarda birinchi marta analitik geometriyaning hozirgi
zamon ko ‘ rinishida bayon qilindi. Tekislik yoki fazoda koordinatalar sistemasini
kiritganimizda, geometrik figuraga tegishli nuqtalar koordinatalarga ega bo ‘ ladi.
2-rasm to ‘ g ‘ ri chiziqlar kesishuvi
10

Agar figuraga tegishli nuqtalarning koordinatalari biror algebraik tenglamani
qanoatlantirsa, u algebraik tenglama bilan aniqlanuvchi geometrik figura deyiladi.
Analitik geometriya kursida o ‘ rganish metodlarining asosini kooordinatalar metodi
tashkil qiladi. Biz asosan figuralarni ularning tenglamalari yordamida o ‘ rganamiz,
ya'ni algebraik tenglamalarini o ‘ rganish bilan shugullanamiz. Bu erda algebraik
metodlar asosiy rolni o'ynaydi. Biz asosan birinchi va ikkinchi darajali tenglamalar
bilan ish ko ‘ ramiz. Analitik geometriya kursida o ‘ rganiladigan geometrik figuralar
sinfi unchalik katta bo ‘ lmasa ham, birinchi va ikkinchi darajali tenglamalar bilan
aniqlanuvchi geometrik figuralar fan va teхnikada juda katta rol o ‘ ynaydi .
Birinchi darajali algebraik tenglamalar bilan aniqlanuvchi geometrik figuralar
– to ‘ g‘ri chiziq va tekislikdir. Ushbu asosiy geometrik figuralar bilan siz elementar
geometriya kursidan tanishsiz. Tekislikda ikkinchi darajali tenglamalar ikkinchi
tartibli chiziqlarni, fazoda esa ikkinchi tartibli sirtlarni aniqlaydi. Yuqoridagi
misoldan ko ‘ rinadiki, aylana ikkinchi tartibli chiziqdir. Analitik geometriya
kursida vektorlar algebrasi ham o ‘ rganiladi. Vektor tushunchasi muhim
fundamental tushunchalardan bo'lib, faqatgina analitik geometriya kursida emas,
balki matematikaning boshqa bo ‘ limlarida ham muhim rol o ‘ ynaydi. Bu darslik
muallifning O ‘ zbekiston Milliy universitetining meхanikamatematika fakultetida
o ‘ qigan ma'ruzalari asosida yozilgan. Darslik universitetlarning meхanika va
matematika yo ‘ nalishlarining bakalavriat talabalari uchun mo ‘ ljallangan.
3-rasm geometrik shakllardan
Per de Fermat - fransuz matematikasi, 1601-yilda tug ‘ ilgan va 1665-yilda
vafot etgan. U hayoti davomida o ‘ sha paytda mavjud bo ‘ lgan o ‘ lchov
muammolarini hal qilish uchun Evklid, Apollonius va Pappus geometriyasini
11

o ‘ rgangan. Konus kesimlari allaqachon matematiklarga ma'lum edi Qadimgi
Gretsiya(masalan, Menechmu, miloddan avvalgi 4-asr) ushbu egri chiziqlar
yordamida ba'zi qurilish muammolari hal qilindi (kubni ikki barobarga oshirish va
boshqalar), ular eng oddiy chizma asboblari - kompas va o ‘ lchagichdan
foydalanganda erishib bo ‘ lmaydigan bo ‘ lib chiqdi. Bizgacha yetib kelgan birinchi
tadqiqotlarda yunon geometriyachilari generatorlardan biriga perpendikulyar
kesuvchi tekislikni chizish orqali konus kesimlarini olishgan, ayni paytda
konusning yuqori qismidagi ochilish burchagiga (ya’ni generatorlar orasidagi eng
katta burchakka) bir bo ‘ shliqning), kesishish chizig ‘ i ellips bo'lib chiqdi, agar bu
burchak o ‘ tkir bo ‘ lsa, u parabola, agar u to ‘ g ‘ ri burchak bo ‘ lsa va giperbola bo ‘ lsa.
Ushbu egri chiziqlarga bag ‘ ishlangan eng to ‘ liq asar Pergalik Apolloniyning
"Konus kesimlari" (miloddan avvalgi 200-yil).
Konus kesimlari nazariyasidagi keyingi yutuqlar 17-asrda yaratilish bilan
bog ‘ liq. Eramizdan avvalgi III asrda yashab ijod qilgan grek olimi Apolloniy
Pergskiy o ‘ zining mashhur “Konus kesimlari” asarida konus kesimlariga nisbatan
inversion almashtirishlar masalasiga to ‘ xtalib o ‘ tgan. Ta’kidlab o ‘ tish joizki,
zamonaviy matematika fanlari qanchalik taraqqiy etmasin Apolloniy ishlari asrlar
davomida o ‘ z qiymatini yo ‘ qotmasdan kelmoqda .
Keyinchalik ushbu tadqiqotlar geometriyani yaratishga turtki berdi. Ular
kitobida ifodalangan " Yassi va qattiq joylar bilan tanishtirish "(Ad Locos Planos et
Solidos Isagoge), 1679-yilda vafotidan 14 yil o'tib nashr etilgan.
Per de Fermat 1623-yilda Apolloniusning geometrik joylar haqidagi
teoremalariga analitik geometriyani qo ‘ llagan. Shuningdek, u analitik geometriyani
uch o ‘ lchovli bo'shliqqa qo ‘ llagan.
Rene Dekart
Kartesius nomi bilan ham tanilgan, u matematik, fizik va faylasuf bo ‘ lib, 1596
yil 31 martda Frantsiyada tug ‘ ilgan va 1650-yilda vafot etgan.
Rene Dekart 1637-yilda o'zining " Fikrni to ‘ g ‘ ri o ‘ tkazish va haqiqatni ilm-fan
izlash usuli haqida nutq "Yaxshi nomi bilan tanilgan.Va shu erdan dunyoga analitik
geometriya atamasi kirib keldi. Uning qo ‘ shimchalaridan biri "Geometriya" edi.
12

1.2 Analitik geometriyaning asosiy elementlari
Analitik geometriya quyidagi elementlardan iborat:Dekart koordinatalar
tizimi-Ushbu tizim Rene Dekart nomi bilan atalgan.Uni nomlagan ham, dekart
koordinatalarini tuzgan ham emas, balki u kelajakdagi olimlarga uni to ‘ ldirishga
imkon beradigan ijobiy sonlar bilan koordinatalar haqida gapirgan.Ushbu tizim
to ‘ rtburchaklar koordinata tizimi va qutb koordinatalar tizimidan
iborat.To'rtburchak koordinatalar tizimlari.To ‘ rtburchak koordinatali tizimlar bir-
biriga perpendikulyar bo ‘ lgan ikkita raqamli chiziqlar konturidan hosil bo ‘ lgan
tekislik deb ataladi, bu erda kesish nuqtasi umumiy nolga to ‘ g ‘ ri keladi.Shunda bu
tizim gorizontal va vertikal chiziqlardan iborat bo'lar edi.Gorizontal chiziq X o ‘ qi
yoki abssissa o ‘ qi. Vertikal chiziq Y o ‘ qi yoki ordinata o ‘ qi bo ‘ ladi.
Polar koordinatalar tizimi
Ushbu tizim nuqtaning sobit chiziqqa va chiziqdagi sobit nuqtaga nisbatan
nisbiy holatini tekshirishga mas'uldir.
Nemis astronomi I.Kepler kuzatishlar natijasida kashf etganidan keyin, ingliz
olimi I.Nyuton esa sayyoralar harakati qonunlarini nazariy asoslab berganidan
keyin fanda konus kesimlari alohida ahamiyat kasb etdi, ulardan biri sayyoralar va
kometalar quyosh sistemasi o ‘ choqlaridan birida Quyosh bo ‘ lgan konus kesimlari
bo ‘ ylab harakatlanadi. Bizgacha yetib kelgan birinchi tadqiqotlarda yunon
geometriyachilari generatorlardan biriga perpendikulyar kesuvchi tekislikni chizish
orqali konus kesimlarini olishgan, ayni paytda konusning yuqori qismidagi ochilish
burchagiga (ya’ni generatorlar orasidagi eng katta burchakka) bir bo ‘ shliqning),
kesishish chizig ‘ i ellips bo ‘ lib chiqdi, agar bu burchak o ‘ tkir bo'lsa, u parabola,
agar u to ‘ g ‘ ri burchak bo ‘ lsa va giperbola bo ‘ lsa. Ushbu egri chiziqlarga
bag ‘ ishlangan eng to ‘ liq asar Pergalik Apolloniyning "Konus kesimlari" (miloddan
avvalgi 200-yil). Konus kesimlari nazariyasidagi keyingi yutuqlar 17-asrda
yaratilish bilan bog ‘ liq. Eramizdan avvalgi III asrda yashab ijod qilgan grek olimi
Apolloniy Pergskiy o ‘ zining mashhur “Konus kesimlari” asarida konus
kesimlariga nisbatan inversion almashtirishlar masalasiga to ‘ xtalib o ‘ tgan.Nemis
astronomi I.Kepler kuzatishlar natijasida kashf etganidan keyin, ingliz olimi
13

I.Nyuton esa sayyoralar harakati qonunlarini nazariy asoslab berganidan keyin
fanda konus kesimlari alohida ahamiyat kasb etdi, ulardan biri sayyoralar va
kometalar quyosh sistemasi o ‘ choqlaridan birida Quyosh bo ‘ lgan konus kesimlari
bo ‘ ylab harakatlanadi. Bizgacha yetib kelgan birinchi tadqiqotlarda yunon
geometriyachilari generatorlardan biriga perpendikulyar kesuvchi tekislikni chizish
orqali konus kesimlarini olishgan, ayni paytda konusning yuqori qismidagi ochilish
burchagiga (ya’ni generatorlar orasidagi eng katta burchakka) bir bo ‘ shliqning),
kesishish chizig ‘ i ellips bo ‘ lib chiqdi, agar bu burchak o ‘ tkir bo ‘ lsa, u parabola,
agar u to ‘ g ‘ ri burchak bo ‘ lsa va giperbola bo'lsa. Ushbu egri chiziqlarga
bag ‘ ishlangan eng to ‘ liq asar Pergalik Apolloniyning "Konus kesimlari" (miloddan
avvalgi 200 yil). Konus kesimlari nazariyasidagi keyingi yutuqlar 17-asrda
yaratilish bilan bog ‘ liq. Eramizdan avvalgi III asrda yashab ijod qilgan grek olimi
Apolloniy Pergskiy o`zining mashhur “Konus kesimlari” asarida konus
kesimlariga nisbatan inversion almashtirishlar masalasiga to ‘ xtalib o ‘ tgan.
Eramizdan avvalgi III asrda yashab ijod qilgan grek olimi Apolloniy Pergskiy
o ‘ zining mashhur “Konus kesimlari” asarida konus kesimlariga nisbatan inversion
almashtirishlar masalasiga to ‘ xtalib o ‘ tgan.Nemis astronomi I.Kepler kuzatishlar
natijasida kashf etganidan keyin, ingliz olimi I.Nyuton esa sayyoralar harakati
qonunlarini nazariy asoslab berganidan keyin fanda konus kesimlari alohida
ahamiyat kasb etdi, ulardan biri sayyoralar va kometalar quyosh sistemasi
o ‘ choqlaridan birida Quyosh bo ‘ lgan konus kesimlari bo ‘ ylab harakatlanadi
Ushbu tenglama chiziqdan o ‘ tib ketadigan ikkita nuqta ma ’ lum bo ‘ lganda
olinadi. Analitik geometriya geometriyaning bir qismi bo ‘ lib, to ‘ g ‘ ri chiziq,
ikkinchi tartibi egri chiziqlar va sirtlardan iborat. Analitik geometriyaning asosiy
tadqiqot vositalari koordinatalar metodi va elementar algebra metodlari bo ‘ lib
hisoblanadi. Koordinatalar metodi XVII-asrda paydo bo ‘ lib u astranomiya
mexanika va texnikaning rivojlanishi bilan bog ‘ liq. Bu metod va analitik
geometriya asoslari 1637-yilda R.Dekard tomonidan fanga kiritilgan bo’lib uning
rivojiga P.Ferma, G.Leibnis, I.Newton, L.Euler va boshqa olimlar katta hissa
qo’shishgan.Nemis astronomi I.Kepler kuzatishlar natijasida kashf etganidan
14

keyin, ingliz olimi I.Nyuton esa sayyoralar harakati qonunlarini nazariy asoslab
berganidan keyin fanda konus kesimlari alohida ahamiyat kasb etdi, ulardan biri
sayyoralar va kometalar quyosh sistemasi o ‘ choqlaridan birida Quyosh bo ‘ lgan
konus kesimlari bo ‘ ylab harakatlanadi. Bizgacha yetib kelgan birinchi
tadqiqotlarda yunon geometriyachilari generatorlardan biriga perpendikulyar
kesuvchi tekislikni chizish orqali konus kesimlarini olishgan, ayni paytda
konusning yuqori qismidagi ochilish burchagiga (ya’ni generatorlar orasidagi eng
katta burchakka) bir bo ‘ shliqning), kesishish chizig ‘ i ellips bo ‘ lib chiqdi, agar bu
burchak o ‘ tkir bo ‘ lsa, u parabola, agar u to ‘ g ‘ ri burchak bo ‘ lsa va giperbola bo ‘ lsa.
Ushbu egri chiziqlarga bag'ishlangan eng to ‘ liq asar Pergalik Apolloniyning
"Konus kesimlari" (miloddan avvalgi 200 yil). Konus kesimlari nazariyasidagi
keyingi yutuqlar 17-asrda yaratilish bilan bog ‘ liq. Eramizdan avvalgi III asrda
yashab ijod qilgan grek olimi Apolloniy Pergskiy o ‘ zining mashhur “Konus
kesimlari” asarida konus kesimlariga nisbatan inversion almashtirishlar masalasiga
to ‘ xtalib o ‘ tgan.

II BOB KONUS HAQID A
2.1 Konus va uning asosi .
Konus va uning asosi (qadimgi yunoncha κώνος - konos — dubulg a uchi)ʻ
yopiq konus sirt va uni hosil qiluvchilarni kesuvchi S uchidan o tmaydigan tekislik
ʻ
bilan chegaralangan geometrik jism. Tekislikning Konus sirt ichida joylashgan
qismi Konusning asosi deyiladi. Konus sirtning uchi va Konus asosi bilan
chegaralangan qismiga Konusning yon sirti deyiladi. Agar Konusning asosi
doiraviy bo lsa, Konus doiraviy Konus deyiladi. S uchi shu doiraning markaziga
ʻ
proyeksiyalansa, Konus to g ri doiraviy Konus deyiladi, SO kesma esa:Konusning
ʻ ʻ
balandligi deyiladi. To g ri burchakli uchburchak o zining biror kateti atrofida
ʻ ʻ ʻ
aylantirilsa, to g ri doiraviy Konus hosil bo ladi. Agar Konusning asosi doiraviy
ʻ ʻ ʻ
bo lsa, Konus doiraviy Konus deyiladi. S uchi shu doiraning markaziga
ʻ
15

proyeksiyalansa, Konus to g ri doiraviy Konus deyiladi, SO kesma esa Konusningʻ ʻ
balandligi deyiladi. To g ri burchakli uchburchak o zining biror kateti atrofida
ʻ ʻ ʻ
aylantirilsa, to g ri doiraviy Konus hosil bo ladi. Analitik geometriya atamasi
ʻ ʻ ʻ
XVII asrda Frantsiyada algebra va geometriyani alohida holda echib bo ‘ lmaydigan
muammolarga javob berish zarurati tufayli paydo bo ‘ lgan, ammo echim
ikkalasining birgalikda ishlatilishida bo ‘ lgan. Galiley va boshqa olimlar tomonidan
yaratilgan
yangi mexanika harbiy ish, ballistika va astronomiya sohalaridagi ehtiyojlar
asosida vujudga keldi. Kopernikning astronomiya sohasidagi kashfiyotlari Kepler
tomonidan sayyoralar harakati qonunlarini ochishga asos bo ‘ ldi. XVII asrning
birinchi yarmida fan va texnikadagi yutuqlar, ularning ehtiyojlari, matematikaning
rivojlanishi, ishlab chiqarish, iqtisod va savdo sohalaridagi ehtiyojlar analitik
geometriya asoslarining yaratilishiga olib keldi. P. Ferma va R. Dekart tonidan
yaratilgan analitik geometriya asos-larida ikkita g ‘ oya yotardi. 1) tekislikda
koordinatalar sistemasi; 2) tekislikdagi ikki o ‘ zgaruvchili tenglamani chiziq
sifatida qarash Аnalitik geometriyaning asoslarini o ‘ z ichiga oluvchi birinchi asar
XVII asrning 30 yillarida Peer Ferma tomonidan yozilgan “Tekislikda va fazoda
geometrik figuralar nazariyasiga kirish” nomli asari edi.
Quyidagi misollar konus kesimlarining ma'lum turlariga taalluqlidir: ufqqa
qiya tashlangan snaryad yoki tosh parabolani tasvirlaydi (egri chiziqning to ‘ g ‘ ri
shakli havo qarshiligi bilan biroz buzilgan) ba'zi mexanizmlarda elliptik uzatmalar
qo ‘ llaniladi ("elliptik tishli") giperbola tabiatda tez-tez kuzatiladigan teskari
proportsionallik grafigi vazifasini bajaradi (masalan, Boyl-Mario qonuni). Konus
kesimlari - to g ri doiraviy konus sirtni uning uchidan o tmaydigan tekislik bilan
ʻ ʻ ʻ
kesganda hosil bo ladigan chiziqlar. Agar konusning asosi doiraviy bo lsa, Konus
ʻ ʻ
doiraviy Konus deyiladi. S uchi shu doiraning markaziga proyeksiyalansa, Konus
to g ri doiraviy Konus deyiladi, SO kesma esa konusning balandligi deyiladi.
ʻ ʻ
16

To g ri burchakli uchburchak o zining biror kateti atrofida aylantirilsa,ʻ ʻ ʻ
to g ri doiraviy Konus hosil bo ladi. Konus kesimlari allaqachon matematiklarga
ʻ ʻ ʻ
ma'lum edi Qadimgi Gretsiya(masalan, Menechmu, miloddan avvalgi 4-asr); ushbu
egri chiziqlar yordamida ba'zi qurilish muammolari hal qilindi (kubni ikki
barobarga oshirish va boshqalar), ular eng oddiy chizma asboblari - kompas va
o'lchagichdan foydalanganda erishib bo'lmaydigan bo ‘ lib chiqdi. Bizgacha yetib
kelgan birinchi tadqiqotlarda yunon geometriyachilari generatorlardan biriga
perpendikulyar kesuvchi tekislikni chizish orqali konus kesimlarini olishgan, ayni
paytda konusning yuqori qismidagi ochilish burchagiga (ya’ni generatorlar
orasidagi eng katta burchakka) kesishish chizig ‘ i ellips bo ‘ lib chiqdi, agar bu
burchak o ‘ tkir bo'lsa, u parabola, agar u to ‘ g ‘ ri burchak bo ‘ lsa, u giperbola. Ushbu
egri chiziqlarga bag'ishlangan eng to ‘ liq asar Pergalik Apolloniyning "Konus
kesimlari" (miloddan avvalgi 200 - yil). Konus kesimlari nazariyasidagi keyingi
yutuqlar 17-asrda yaratilish bilan bog'liq. Eramizdan avvalgi III asrda yashab ijod
qilgan grek olimi Apolloniy Pergskiy o ‘ zining mashhur “Konus kesimlari” asarida
konus kesimlariga nisbatan inversion almashtirishlar masalasiga to ‘ xtalib o ‘ tgan.
Dekart koordinatalar tizimi-Ushbu tizim Rene Dekart nomi bilan atalgan.Uni
17

nomlagan ham, dekart koordinatalarini tuzgan ham emas, balki u kelajakdagi
olimlarga uni to ‘ ldirishga imkon beradigan ijobiy sonlar bilan koordinatalar haqida
gapirgan.
Ushbu tizim to'rtburchaklar koordinata tizimi va qutb koordinatalar tizimidan
iborat.To'rtburchak koordinatalar tizimlari.To ‘ rtburchak koordinatali tizimlar bir-
biriga perpendikulyar bo ‘ lgan ikkita raqamli chiziqlar konturidan hosil bo ‘ lgan
tekislik deb ataladi, bu erda kesish nuqtasi umumiy nolga to ‘ g ‘ ri keladi.Shunda bu
tizim gorizontal va vertikal chiziqlardan iborat bo ‘ lar edi.Gorizontal chiziq X o ‘ qi
yoki abssissa o ‘ qi. Vertikal chiziq Y o ‘ qi yoki ordinata o ‘ qi bo ‘ ladi.
18

Polar koordinatalar tizimi
Ushbu tizim nuqtaning sobit chiziqqa va chiziqdagi sobit nuqtaga nisbatan
nisbiy holatini tekshirishga mas'uldir.
Nemis astronomi I.Kepler kuzatishlar natijasida kashf etganidan keyin, ingliz
olimi I.Nyuton esa sayyoralar harakati qonunlarini nazariy asoslab berganidan
19

keyin fanda konus kesimlari alohida ahamiyat kasb etdi, ulardan biri sayyoralar va
kometalar quyosh sistemasi o'choqlaridan birida Quyosh bo'lgan konus kesimlari
bo ‘ ylab harakatlanadi. Bizgacha yetib kelgan birinchi tadqiqotlarda yunon
geometriyachilari generatorlardan biriga perpendikulyar kesuvchi tekislikni chizish
orqali konus kesimlarini olishgan, ayni paytda konusning yuqori qismidagi ochilish
burchagiga (ya’ni generatorlar orasidagi eng katta burchakka) bir bo ‘ shliqning),
kesishish chizig ‘ i ellips bo ‘ lib chiqdi, agar bu burchak o ‘ tkir bo ‘ lsa, u parabola,
agar u to ‘ g ‘ ri burchak bo ‘ lsa va giperbola bo ‘ lsa. Ushbu egri chiziqlarga
bag ‘ ishlangan eng to ‘ liq asar Pergalik Apolloniyning "Konus kesimlari" (miloddan
avvalgi 200 yil). Konus kesimlari nazariyasidagi keyingi yutuqlar 17-asrda
yaratilish bilan bog ‘ liq.
Ta’kidlab o ‘ tish joizki, zamonaviy matematika fanlari qanchalik taraqqiy
etmasin Apolloniy ishlari asrlar davomida o ‘ z qiymatini yo ‘ qotmasdan kelmoqda .
Eramizdan avvalgi III asrda yashab ijod qilgan grek olimi Apolloniy Pergskiy
o ‘ zining mashhur “Konus kesimlari” asarida konus kesimlariga nisbatan inversion
almashtirishlar masalasiga to`xtalib o`tgan. Nemis astronomi I.Kepler kuzatishlar
natijasida kashf etganidan keyin, ingliz olimi I.Nyuton esa sayyoralar harakati
20

qonunlarini nazariy asoslab berganidan keyin fanda konus kesimlari alohida
ahamiyat kasb etdi, ulardan biri sayyoralar va kometalar quyosh sistemasi
o ‘ choqlaridan birida Quyosh bo ‘ lgan konus kesimlari bo ‘ ylab harakatlanadi
2.2 Konus kesimlari va ularning xossalari .
S dan farqli ixtiyoriy M nuqtani olib, u orqali konus o qiga perpendikulyar a,ʻ
tekislik o tkazilsa, kesimda aylana, ST ga perpendikulyar bo lmagan va hamma
ʻ ʻ
yasovchilarni kesuvchi a 2
tekislik o tkazilsa — ellips, biror yasovchi (mas, 5V)ga
ʻ
parallel bo lgan a
ʻ 3
tekislik o tkazilsa parabola, ikkita yasovchiga parallel bo lgan ʻ ʻ
a4 tekislik o tkazilsa giperbola hosil bo ladi. M nuqtadan o tuvchi ixtiyoriy tekislik
ʻ ʻ ʻ
uchta yasovchiga parallel bo la olmaganligi sababli, doiraviy ko-nusning kesimida
ʻ
boshqa chiziq hosil bo lmaydi. Agar Konusning asosi doiraviy bo lsa, Konus
ʻ ʻ
doiraviy Konus deyiladi. S uchi shu doiraning markaziga proyeksiyalansa, Konus
to g ri doiraviy Konus deyiladi, SO kesma esa Konusning balandligi deyiladi.
ʻ ʻ
To g ri burchakli uchburchak o zining biror kateti atrofida aylantirilsa, to g ri
ʻ ʻ ʻ ʻ ʻ
doiraviy Konus hosil bo ladi.
ʻ
21

5-rasm konuslar
Kesim ellips va parabola bo lganda kesuvchi tekislik doiraviy konus sirtningʻ
bir qismini, giperbola bo lganda ikkala qismini kesib o tadi. Konus kesimining
ʻ ʻ
ixtiyoriy M nuqtasi uchun df.di nisbat o zgarmas bo ladi. Agar Konusning asosi
ʻ ʻ
doiraviy bo lsa, Konus doiraviy Konus deyiladi. S uchi shu doiraning markaziga
ʻ
proyeksiyalansa, Konus to g ri doiraviy Konus deyiladi, SO kesma esa Konusning
ʻ ʻ
balandligi deyiladi. To g ri burchakli uchburchak o zining biror kateti atrofida
ʻ ʻ ʻ
aylantirilsa, to g ri doiraviy Konus hosil bo ladi.
ʻ ʻ ʻ
Bu nisbatning qiymati X konus kesimining ekssentrisiteti deyiladi. Konus
kesimlari ikkinchi tartibli chiziqlardir. Konus kesimlari haqidagi izchil asar
birinchi marta iskandariyalik olim Appoloniy Pergskiy tomonidan yozilgan
(miloddan avvalgi 3-asr). 19-asrda belgiyalik matematik Dandelen Konus
kesimlarini konus sirtga ichki chizilgan sfera yordamida to la o rgangan. Konus
ʻ ʻ
kesimlari allaqachon matematiklarga ma'lum edi .
Qadimgi Gretsiya(masalan, Menechmu, miloddan avvalgi 4-asr); ushbu egri
chiziqlar yordamida ba'zi qurilish muammolari hal qilindi (kubni ikki barobarga
oshirish va boshqalar), ular eng oddiy chizma asboblari - kompas va o ‘ lchagichdan
foydalanganda erishib bo ‘ lmaydigan bo'lib chiqdi. Bizgacha yetib kelgan birinchi
tadqiqotlarda yunon geometriyachilari generatorlardan biriga perpendikulyar
kesuvchi tekislikni chizish orqali konus kesimlarini olishgan, ayni paytda
konusning yuqori qismidagi ochilish burchagiga (ya’ni generatorlar orasidagi eng
katta burchakka) bir bo ‘ shliqning), kesishish chizig ‘ i ellips bo'lib chiqdi, agar bu
burchak o ‘ tkir bo ‘ lsa, u parabola, agar u to ‘ g ‘ ri burchak bo ‘ lsa va giperbola bo'lsa.
22

Ushbu egri chiziqlarga bag ‘ ishlangan eng to ‘ liq asar Pergalik Apolloniyning
"Konus kesimlari" (miloddan avvalgi 200 yil). Konus kesimlari nazariyasidagi
keyingi yutuqlar 17-asrda yaratilish bilan bog ‘ liq. Eramizdan avvalgi III asrda
yashab ijod qilgan grek olimi Apolloniy Pergskiy o ‘ zining mashhur “Konus
kesimlari” asarida konus kesimlariga nisbatan inversion almashtirishlar masalasiga
to ‘ xtalib o ‘ tgan. Ta’kidlab o ‘ tish joizki, zamonaviy matematika fanlari qanchalik
taraqqiy etmasin Apolloniy ishlari asrlar davomida o ‘ z qiymatini yo ‘ qotmasdan
kelmoqda .
Konus kesimlari astronomiya va texnikada keng qo llaniladi. ʻ Mas, projektor
vareflektorlarda parabolik ko zgular ishlatiladi. Quyosh sistemasidagi sayyoralar
ʻ
Konus kesimlari bo ylab harakatlanib, uning fokuslaridan birida Quyosh turadi.
ʻ
Kometalar parabola va giperbola bo ylab harakatlanadi.
ʻ
Tekislikning Konus sirt ichida joylashgan qismi Konusning asosi deyiladi.
Konus sirtning uchi va Konus asosi bilan chegaralangan qismiga Konusning yon
sirti deyiladi. Agar Konusning asosi doiraviy bo lsa, Konus doiraviy Konus
ʻ
deyiladi. S uchi shu doiraning markaziga proyeksiyalansa, Konus to g ri doiraviy
ʻ ʻ
Konus deyiladi, SO kesma esa Konusning balandligi deyiladi. To g ri burchakli
ʻ ʻ
uchburchak o zining biror kateti atrofida aylantirilsa, to g ri doiraviy Konus hosil
ʻ ʻ ʻ
bo ladi. Agar Konusning asosi doiraviy bo lsa, Konus doiraviy Konus deyiladi. S
ʻ ʻ
uchi shu doiraning markaziga proyeksiyalansa, Konus to g ri doiraviy Konus
ʻ ʻ
deyiladi, SO kesma esa Konusning balandligi deyiladi. To g ri burchakli
ʻ ʻ
uchburchak o zining biror kateti atrofida aylantirilsa, to g ri doiraviy Konus hosil
ʻ ʻ ʻ
bo ladi.
ʻ
23

6 –rasm konus
Agar Konusning asosi doiraviy bo lsa, Konus doiraviy Konus deyiladi. Sʻ
uchi shu doiraning markaziga proyeksiyalansa, Konus to g ri doiraviy Konus
ʻ ʻ
deyiladi, SO kesma esa Konusning balandligi deyiladi. To g ri burchakli
ʻ ʻ
uchburchak o zining biror kateti atrofida aylantirilsa, to g ri doiraviy Konus hosil
ʻ ʻ ʻ
bo ladi.
ʻ
Konus kesimlari - to g ri doiraviy konus sirtnn uning uchidan o tmaydigan
ʻ ʻ ʻ
tekislik bilan kesganda hosil bo ladigan chiziqlar. SA yasovchi S dan farqli
ʻ
ixtiyoriy M nuqtani olib, u orqali konus o qiga perpendikulyar a, tekislik
ʻ
o tkazilsa, kesimda aylana, ST ga perpendikulyar bo lmagan va hamma
ʻ ʻ
yasovchilarni kesuvchi a 2
tekislik o tkazilsa — ellips, biror yasovchi (mas, 5V)ga
ʻ
parallel bo lgan a
ʻ 3
tekislik o tkazilsa parabola, ikkita yasovchiga parallel bo lgan ʻ ʻ
tekislik o tkazilsa giperbola hosil bo ladi. M nuqtadan o tuvchi ixtiyoriy tekislik
ʻ ʻ ʻ
uchta yasovchiga parallel bo la olmaganligi sababli, doiraviy konusning kesimida
ʻ
boshqa chiziq hosil bo lmaydi. Agar Konusning asosi doiraviy bo lsa, Konus
ʻ ʻ
doiraviy Konus deyiladi. S uchi shu doiraning markaziga proyeksiyalansa, Konus
to g ri doiraviy Konus deyiladi, SO kesma esa Konusning balandligi deyiladi.
ʻ ʻ
To g ri burchakli uchburchak o zining biror kateti atrofida aylantirilsa, to g ri
ʻ ʻ ʻ ʻ ʻ
doiraviy Konus hosil bo ladi.
ʻ
7-rasm konus va silindir
Agar Konusning asosi doiraviy bo lsa, Konus doiraviy Konusdeyiladi. S uchi
ʻ
shu doiraning markaziga proyeksiyalansa, Konus to g ri doiraviy Konus deyiladi,
ʻ ʻ
SO kesma esa Konusning balandligi deyiladi.
24

To g ri burchakli uchburchak o zining biror kateti atrofida aylantirilsa, to g riʻ ʻ ʻ ʻ ʻ
doiraviy Konus hosil bo ladi. Konus kesimlari allaqachon matematiklarga ma'lum
ʻ
edi Qadimgi Gretsiya(masalan, Menechmu, miloddan avvalgi 4-asr); ushbu egri
chiziqlar yordamida ba'zi qurilish muammolari hal qilindi (kubni ikki barobarga
oshirish va boshqalar), ular eng oddiy chizma asboblari - kompas va o ‘ lchagichdan
foydalanganda erishib bo ‘ lmaydigan bo'lib chiqdi.
25

Bizgacha yetib kelgan birinchi tadqiqotlarda yunon geometriyachilari
generatorlardan biriga perpendikulyar kesuvchi tekislikni chizish orqali konus
kesimlarini olishgan, ayni paytda konusning yuqori qismidagi ochilish burchagiga
(ya’ni generatorlar orasidagi eng katta burchakka) bir bo ‘ shliqning), kesishish
chizig'i ellips bo ‘ lib chiqdi, agar bu burchak o ‘ tkir bo ‘ lsa, u parabola, agar u to ‘ g ‘ ri
burchak bo ‘ lsa va giperbola bo ‘ lsa. Ushbu egri chiziqlarga bag ‘ ishlangan eng to ‘ liq
asar Pergalik Apolloniyning "Konus kesimlari" (miloddan avvalgi 200 yil). Konus
kesimlari nazariyasidagi keyingi yutuqlar 17-asrda yaratilish bilan bog ‘ liq.
Eramizdan avvalgi III asrda yashab ijod qilgan grek olimi Apolloniy Pergskiy
o ‘ zining mashhur “Konus kesimlari” asarida konus kesimlariga nisbatan inversion
almashtirishlar masalasiga to ‘ xtalib o ‘ tgan. Ta’kidlab o ‘ tish joizki, zamonaviy
matematika fanlari qanchalik taraqqiy etmasin Apolloniy ishlari asrlar davomida
o ‘ z qiymatini yo ‘ qotmasdan kelmoqda .
26

Konus kesimining ixtiyoriy M nuqtasi uchun df.di nisbat o zgarmas bo ladi.ʻ ʻ
Bu nisbatning qiymati X konus kesimining ekssentrisiteti deyiladi. Konus
kesimlari ikkinchi tartibli chiziqlardir.
Konus kesimlari haqidagi izchil asar birinchi marta iskandariyalik olim
Appoloniy Pergskiy tomonidan yozilgan (miloddan avvalgi 3-asr). 19-asrda
belgiyalik matematik Dandelen Konus kesimlarini konus sirtga ichki chizilgan
sfera yordamida to la o rgangan.
ʻ ʻ
Konus kesimlari astronomiya va texnikada keng qo llaniladi.
ʻ Mas, projektor
vareflektorlarda parabolik ko zgular ishlatiladi. Quyosh sistemasidagi sayyoralar
ʻ
Konus kesimlari bo ylab harakatlanib, uning fokuslaridan birida Quyosh turadi.
ʻ
Kometalar parabola va giperbola bo ylab harakatlanadi.Konus kesimlari
ʻ
allaqachon matematiklarga ma'lum edi Qadimgi Gretsiya(masalan, Menechmu,
miloddan avvalgi 4-asr); ushbu egri chiziqlar yordamida ba'zi qurilish muammolari
hal qilindi (kubni ikki barobarga oshirish va boshqalar), ular eng oddiy chizma
asboblari - kompas va o ‘ lchagichdan foydalanganda erishib bo'lmaydigan bo'lib
chiqdi. Bizgacha yetib kelgan birinchi tadqiqotlarda yunon geometriyachilari
generatorlardan biriga perpendikulyar kesuvchi tekislikni chizish orqali konus
27

kesimlarini olishgan, ayni paytda konusning yuqori qismidagi ochilish burchagiga
(ya’ni generatorlar orasidagi eng katta burchakka) bir bo ‘ shliqning), kesishish
chizig ‘ i ellips bo ‘ lib chiqdi, agar bu burchak o ‘ tkir bo ‘ lsa, u parabola, agar u
to ‘ g ‘ ri burchak bo ‘ lsa va giperbola bo ‘ lsa.
Ushbu egri chiziqlarga bag'ishlangan eng to'liq asar Pergalik Apolloniyning
"Konik kesimlari" (miloddan avvalgi 200 yil). Konus kesimlari nazariyasidagi
keyingi yutuqlar 17-asrda yaratilish bilan bog ‘ liq. Eramizdan avvalgi III asrda
yashab ijod qilgan grek olimi Apolloniy Pergskiy o ‘ zining mashhur “Konus
kesimlari” asarida konus kesimlariga nisbatan inversion almashtirishlar masalasiga
to ‘ xtalib o ‘ tgan. Ta’kidlab o ‘ tish joizki, zamonaviy matematika fanlari qanchalik
taraqqiy etmasin Apolloniy ishlari asrlar davomida o ‘ z qiymatini yo ‘ qotmasdan
kelmoqda .
Agar Konusning asosi doiraviy bo lsa, Konus doiraviy Konus deyiladi. S uchiʻ
shu doiraning markaziga proyeksiyalansa, Konus to g ri doiraviy Konus deyiladi,
ʻ ʻ
SO kesma esa Konusning balandligi deyiladi. To g ri burchakli uchburchak
ʻ ʻ
o zining biror kateti atrofida aylantirilsa, to g ri doiraviy Konus hosil bo ladi.
ʻ ʻ ʻ ʻ
Konus kesimlari allaqachon matematiklarga ma'lum edi
28

Qadimgi Gretsiya(masalan, Menechmu, miloddan avvalgi 4-asr); ushbu egri
chiziqlar yordamida ba'zi qurilish muammolari hal qilindi (kubni ikki barobarga
oshirish va boshqalar), ular eng oddiy chizma asboblari - kompas va o ‘ lchagichdan
foydalanganda erishib bo ‘ lmaydigan bo ‘ lib chiqdi. Bizgacha yetib kelgan birinchi
tadqiqotlarda yunon geometriyachilari generatorlardan biriga perpendikulyar
kesuvchi tekislikni chizish orqali konus kesimlarini olishgan, ayni paytda
konusning yuqori qismidagi ochilish burchagiga (ya’ni generatorlar orasidagi eng
katta burchakka) bir bo ‘ shliqning), kesishish chizig ‘ i ellips bo ‘ lib chiqdi, agar bu
burchak o ‘ tkir bo ‘ lsa, u parabola, agar u to ‘ g ‘ ri burchak bo ‘ lsa va giperbola bo ‘ lsa.
Ushbu egri chiziqlarga bag ‘ ishlangan eng to ‘ liq asar Pergalik Apolloniyning
"Konus kesimlari" (miloddan avvalgi 200 yil). Konus kesimlari nazariyasidagi
keyingi yutuqlar 17-asrda yaratilish bilan bog'liq. Eramizdan avvalgi III asrda
yashab ijod qilgan grek olimi Apolloniy Pergskiy o ‘ zining mashhur “Konus
kesimlari” asarida konus kesimlariga nisbatan inversion almashtirishlar masalasiga
to ‘ xtalib o ‘ tgan. Ta’kidlab o ‘ tish joizki, zamonaviy matematika fanlari qanchalik
taraqqiy etmasin Apolloniy ishlari asrlar davomida o ‘ z qiymatini yo ‘ qotmasdan
kelmoqda . . Ushbu egri chiziqlarga bag ‘ ishlangan eng to'liq asar Pergalik
29

Apolloniyning "Konus kesimlari" (miloddan avvalgi 200 yil). Konus kesimlari
nazariyasidagi keyingi yutuqlar 17-asrda yaratilish bilan bog ‘ liq. Eramizdan
avvalgi III asrda yashab ijod qilgan grek olimi Apolloniy Pergskiy o`zining
mashhur
“Konus kesimlari” asarida konus kesimlariga nisbatan inversion
almashtirishlar masalasiga to ‘ xtalib o ‘ tgan. Ta’kidlab o ‘ tish joizki, zamonaviy
matematika fanlari qanchalik taraqqiy etmasin Apolloniy ishlari asrlar davomida
o ‘ z qiymatini yo ‘ qotmasdan kelmoqda . Konusning balandligi deyiladi. To g riʻ ʻ
burchakli uchburchak o zining biror kateti atrofida aylantirilsa, to g ri doiraviy
ʻ ʻ ʻ
Konus hosil bo ladi. Konus kesimlari allaqachon matematiklarga ma'lum edi
ʻ
Qadimgi Gretsiya(masalan, Menechmu, miloddan avvalgi 4-asr); ushbu egri
chiziqlar yordamida ba'zi qurilish muammolari hal qilindi (kubni ikki barobarga
oshirish va boshqalar), ular eng oddiy chizma asboblari - kompas va o ‘ lchagichdan
foydalanganda erishib bo ‘ lmaydigan bo ‘ lib chiqdi. Bizgacha yetib kelgan birinchi
tadqiqotlarda yunon geometriyachilari generatorlardan biriga perpendikulyar
kesuvchi tekislikni chizish orqali konus kesimlarini olishgan, ayni paytda
konusning yuqori qismidagi ochilish burchagiga (ya’ni generatorlar orasidagi eng
30

katta burchakka) bir bo ‘ shliqning), kesishish chizig ‘ i ellips bo'lib chiqdi, agar bu
burchak o ‘ tkir bo'lsa, u parabola, agar u to'g'ri burchak bo ‘ lsa va giperbola
bo ‘ lsa.Konusning balandligi deyiladi. To g ri burchakli uchburchak o zining birorʻ ʻ ʻ
kateti atrofida aylantirilsa, to g ri doiraviy Konus hosil bo ladi. Konus kesimlari
ʻ ʻ ʻ
allaqachon matematiklarga ma'lum edi Qadimgi Gretsiya(masalan, Menechmu,
miloddan avvalgi 4-asr); ushbu egri chiziqlar yordamida ba'zi qurilish muammolari
hal qilindi (kubni ikki barobarga oshirish va boshqalar), ular eng oddiy chizma
asboblari - kompas va o ‘ lchagichdan foydalanganda erishib bo ‘ lmaydigan bo ‘ lib
chiqdi. Bizgacha yetib kelgan birinchi tadqiqotlarda yunon geometriyachilari
generatorlardan biriga perpendikulyar kesuvchi tekislikni chizish orqali konus
kesimlarini olishgan, ayni paytda konusning yuqori qismidagi ochilish burchagiga
(ya’ni generatorlar orasidagi eng katta burchakka) bir bo ‘ shliqning), kesishish
chizig ‘ i ellips bo ‘ lib chiqdi, agar bu burchak o ‘ tkir bo'lsa, u parabola, agar u to ‘ g ‘ ri
burchak bo ‘ lsa va giperbola bo ‘ lsa.
31

XULOSA
Konus kesimlari haqidagi ilk ilmiy asarlar miloddan avvalgi III asrda
yashagan iskandariyalik olim Apolloniy Pergskiy tomonidan yozilgan.
Keyinchalik, XIX asrda belgiyalik matematik Dandelen konus kesimlarini yanada
chuqur o‘rganib, ularning konus yuzasiga ichki chizilgan sfera yordamida tahlilini
to‘liq amalga oshirgan. Konus kesimlari nafaqat matematikada, balki astronomiya
va texnika sohalarida ham keng qo‘llaniladi. Masalan, projektorlardagi parabolik
reflektorlar, Quyosh sistemasidagi sayyoralar harakati ellips shaklida bo‘lib,
Quyosh har doim ellipsning bir fokusida joylashgan. Kometalar esa parabola yoki
giperbola yo‘nalishlarida harakatlanadi.
Konus kesimlari ichida ellips va parabola kesimlari konus sirtining ma’lum
bir qismini hosil qilsa, giperbola kesimi konus yuzasining ikkita qismidan tashkil
topadi. Agar konus asosi doiraviy bo‘lsa, u doiraviy konus deb ataladi.
Shuningdek, konusning uch nuqtasi asos markaziga proyeksiyalanganida, konus
to‘g‘ri doiraviy konus hisoblanadi. To‘g‘ri burchakli uchburchakning biror kateti
atrofida aylantirilishi natijasida ham to‘g‘ri doiraviy konus hosil bo‘ladi.
Konus kesimining har bir ixtiyoriy nuqtasi uchun o‘lchovlarning o‘zaro
nisbatlari o‘zgarmas bo‘lib, bu nisbat konus kesimining eksentrisiteti deb ataladi.
Shuningdek, konus kesimlari ikkinchi tartibli chiziqlarga kiradi, bu ularning
matematik va geometrik xossalarini yanada kengaytiradi.
Zamonaviy oliy ta’limda, ayniqsa geometriya kurslarida, aylanaga nisbatan
inversion almashtirishlar keng o‘rganiladi. Apolloniy Pergskiyning “Konus
kesimlari” asarida inversion almashtirishlar masalasi yoritilgan bo‘lib, uning
nazariyasi hozirgi matematikaning fundamental qismi sifatida saqlanib qolmoqda.
Ushbu almashtirishlar asosida ko‘plab murakkab geometriya masalalari hal
qilinadi va ular pedagogika hamda ilmiy tadqiqotlarda muhim ahamiyat kasb etadi.
Ushbu kurs ishida aylanaga nisbatan inversion almashtirishlar va Apolloniy
qarashlari batafsil tahlil qilindi. Bu ish Apolloniy ishlarining asrlar davomida o‘z
dolzarbligini yo‘qotmasligini, zamonaviy matematikaning rivojlanishida uning
o‘rni va ahamiyatini yana bir bor tasdiqlaydi.
32

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
Asosiy adabiyotlar
1. Narmanov A.Y. Analitik geometriya. O‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta
maxsus ta’lim vazirligi, Toshkent: O‘zbekiston faylasuflari milliy jamiyati
nashriyoti, 2008. Jizzax Davlat Pedagogika Universiteti+1Uniwork+1
2. Xudayarov X. Chiziqli algebra va analitik geometriya. Jizzax Davlat
Pedagogika Universiteti, 2020. Jizzax Davlat Pedagogika Universiteti
3. Kucharov O.R. Ikkinchi tartibli egri chiziqlar: Aylana va Ellips. Toshkent
Irrigatsiya va Qishloq xo‘jaligini mexanizatsiyalash muhandislari instituti,
2023. TIIAME Staff
4. Narmanov A.Y. Analitik geometriya kursi. Mathnet.uz, 2010.
Uniwork+5mathnet.uz+5mathnet.uz+5
Qo’shimcha adabiyotlar
5. Baxvalov S.V., Modenov P.S., Parxomenko A.S. Analitik geometriyadan
masalalar to‘plami. Toshkent, 2005. Ebook TSUE+1Uniwork+1
6. Sharipov A.S. Ikkinchi tartibli chiziqlarning tadbiqlari. Mathnet.uz, 2023.
Arxiv.uz+3mathnet.uz+3mathnet.uz+3
7. Muratov Sh. Chizma geometriya. Jizzax Davlat Pedagogika Universiteti,
2020. Jizzax Davlat Pedagogika Universiteti+1Uniwork
Elektron ta’lim manbalari
8. GeoGebra – Interaktiv geometriya dasturi:
9. Desmos – Onlayn grafik kalkulyator:
Ilmiy+2TIIAME Staff+2Jizzax Davlat Pedagogika Universiteti+2
10. Python Matplotlib – Grafik chizmalar uchun kutubxona:
Jizzax Davlat Pedagogika Universiteti+6Arxiv.uz+6Jizzax Davlat Pedagogika
Universiteti+6
11. Arxiv.uz – Ikkinchi tartibli chiziqlar haqida ma'lumot:
12. YouTube – "Ikkinchi tartibli chiziqlar: Aylana, Elips, Giperbola, Parabola"
mavzusidagi dars: YouTube+1TIIAME Staff+1
33

Konus kesimlari va ularning fokal xossalari

Sotib olish