Laplas tenglamasi uchun Dirixle va Neyman masalalari

Информация о документе

Цена	25000UZS
Размер	919.5KB
Покупки	1
Дата загрузки	14 Февраль 2025
Расширение	doc
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Алгебра

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

53 Продаж

Laplas tenglamasi uchun Dirixle va Neyman masalalari

Купить

Kirish
Bizning asosiy maqsadimiz – yoshlarning sifatli ta’lim olish imkoniyatiga ega
bo’lishiga erishish, ularning o’z qobiliyati va iste’dodini ro’yobga chiqarish uchun
barcha zarur sharoitlarni yaratib berishdan iborat.( Sh.M.Mirziyoyev)
Prezidentimiz Shavkat Mirziyoyev tomonidan belgilab berilgan 2017-2021 yillarda
O`zbekiston Respublikasini rivojlantirishning beshta utuvor yo`nalishi Harakatlar
strategiyasi barcha sohalarni deyarli qamrab olgan bo`lib, buning natijasida ko`pgin
istiqbolli ishlar amalga oshirilmoqda. Jumladan Shavkat Mirziyoyev 2019-yil 9-iyul
kuni “Matematika ta`limi va fanlarini yanada rivojlantirishni davlat tomonidan qo`llab
quvvatkash, shuningdek, O`zbekiston Respublikasi fanlar akademiyasining V. I.
Romanovskiy nomidagi matematika instituti faoliyatini tubdan takomillashtirish chora-
tadbirlari to`g`risida”gi qarorni imzoladi. Mazkur qarorning to`liq matni bilan quida
tanishishimiz mumkin.
O`zbekiston Respublikasi Prezidenti qarori:
Muhammad al-Xorazmiy, Ahmad Farg`oniy , Abu Rayhon Beruniy, Mirzo
Ulug`bek singari ulug` ajdodlarimiz tamal toshini qo`ygan matematika fani ilm-fan va
texnikaning zamonaviy tarmoqlari jadal rivojlanishi munosabati bilan hozirgi kunda
yanada katta ahamiyat kasb etmoqda. Axborot-kommunikatsiya texnologiyalari, tibbiyot,
biologiya, raqamli iqtisodiyot sohasida va boshqa ko`plab sohalarda uning roli ayniqsa
ortdi.
Mexanika, fizika, texnika va boshqa sohalarda uchraydigan turli jarayonlar
matematik fizika tenglamalari orqali ifodalanadi. Fanning maqsadi matematik
fizikaning klassik tenglamalari deb ataluvchi to‘lqin, Rits, hamda issiqlik tarqalish
tenglamalarini tekshirish va ularga qo‘yiladigan asosiy masalalarni yechishdan iborat.
Bu tenglamalarni o‘rganish talabalarda tegishli jarayonlar haqida tasavvurga ega
bo‘lishlariga imkon beradi. Ayni paytda ularni mantiqiy fikrlashga, to‘gri xulosalar
chiqarishga o‘rgatadi.
2

Matematik fizika tenglamalari hozirgi zamon matematikasining
muhimsohalaridandir. U matematikaning bir necha sohalari, jumladan matematik analiz,
funksiyalar nazariyasi, integral va differentsial tenglamalar nazariyasi, funksional
analiz, fizika, texnika fanlari bilan uzviy bog‘liq. Matematik fizika tenglamalari so‘ngi
yillarda keng rivoj topib kelyapti. Endigi kunda matematik fizikaning klassik
tenglamalaridan tashqari aralash turdagi xususiy hosilali differensial tenglamalar ham
o‘rganilib va u fizikaning ko‘pgina masalalarini hal qilish uchun keng tatbiq
qilinmoqda.
Matematik fizika tenglamalari fanining asosiy vazifalariga xususiy hosilali
tenglamalar haqida umumiy tushuncha berish, ikkinchi tartibili kvazichiziqli
tenglamalarning turlarini aniqlab va ularni kanonik ko‘rinishga keltirish, va matematik
fizikaning klassik tenglamalari va integral tenglamalarni o‘rganish, har bir turdagi
tenglamalarga asosiy masalaning qo‘yilishi, va bu masalarni yechish usullarini
o‘rganishdan iborat. Shu bilan birga bu fanning asosiy mazmuni klassik matematik
fizika tenglamalari, integral tenglamalar, aralash turdagi tenglamalarni o‘rganishdir.
Kurs ishining dorzalbligi: Kurs ishi mavzusi matematik fizika tenglamalari fanida
muhim o`rin tutgan bo‘lib, Laplas tenglamasi uchun Dirixle va Neyman masalalar
o’rganishga bag‘ishlangan. Talabalar bunday masalarni yechish orqali matematik fizika
maslalarining doirasi nihoyatda keng ekanligi, ularni turli fizik, mexanik, texnik va
boshqa jarayonlarda o‘rganish bilan uzviy bog‘liqligini tushunadilar. O‘rganilayotgan
fizik jarayonlar uchun qo‘yilgan masalalarning to'g'ri yoki noto'g'ri qo‘yilganligini
tekshirish orqali talabalar fizik jarayonlar haqida ko‘proq ma’lumotga ega bo‘la
oladilar. Ko‘p talabalar bunday masalalarni yechishga qiynaladilar. Buning sababi
bunday masalalar mantiqiy fikrlashni, mavzu yuzasidan bilimlarni talab qiladi. Mazkur
kurs ishi mavzuning xuddi shu jihatlarni yoritishga qaratilganligi va qolaversa bir
qancha fizik hodisa va jarayonlarning aniq matematik modelini tuzishda hamda uni
yechishda qo‘l kelganligi bilan dolzarb hisoblanadi.
3

Kurs ishining maqsad va vazifalari: Kurs ishining maqsadi va vazifasi Laplas
tenglamasi va u uchun Dirixle va Neyman masalalarini yechishni va ularni o’rganishdan
iborat.
Kurs ishi tuzilishi va hajmi. Kurs ishi kirish, 2 ta bob, 5 ta mavzu, xulosa va
foydalanilgan adabiyotlardan iborat.
4

I BOB.ELIPTIK TIPDAGI TENGLAMALAR
1.1 Eliptik tipdagi tenglamalar haqida umumiy malumot
Faraz qilaylik, evklid fazosida biror S sirt bilan chegaralangan sohani D deb
belgilaylik. Bu sohada quyidagi
(1)
chiziqli xususiy hosilali differensial tenglamani qaraylik. Bu yerda
tenglamaning koeffitsiyentlari, esa uning ozod hadi deyiladi.
Agar (1) tenglamada =0 bo'lsa, u holda berilgan tenglama bir jinsli, aks holda
bir jinsli bo'lmagan tenglama deyiladi.
D sohadan biror ixtiyoriy nuqta olamiz va bu nuqtada (1)
tenglamaga mos ushbu
(2)
kvadratik forma tuzamiz, haqiqiy o'zgaruvchilar.
1-Ta’rif. Agar (2) kvadratik formaning ishorasi nuqtada musbat yoki
manfiy aniqlangan bo‘lsa, u holda (1) tenglama shu nuqtada elliptik tipdagi tenglama
deyiladi.
Agar D sohaning har bir nuqtasida (1) tenglama elliptik bo'lsa, u holda bu
tenglama D sohada elliptik tenglama deyiladi.
2-Ta’rif. Agar noldan farqli bo‘lgan bir xil ishorali va haqiqiy sonlar
mavjud bo‘lib, barcha nuqtalar uchun
5

(3)
tengsizlik bajarilsa., u holda (1) tenglama D sohada tekis elliptik tenglama deyiladi.
Qaralayotgan tenglamaning tekis elliptikligi oddiy elliptiklik shartiga qaraganda
umumiyroq, chunki tekis elliptik bo'lishidan qaralayotgan tenglamaning elliptik
tenglama ekanligi kelib chiqadi, aksinchasi noto‘g‘ri.
1.2 Garmonik funksiya
evklid fazosida biror S sirt bilan chegaralangan sohani D deb belgilaylik. Bu
sohada quyidagi
(1)
Laplas tenglamasini qaraylik.
Demak bundan kevin n o'lchovli fazoning x nuqtasi deganda koordinatalari
bo'lgan nuqtani tushunannz.
1-Ta’rif. Agar chekli D sohada.barcha argumentlari
bo'yicha ikki marta uzluksiz hosilaga ega bo'lgan va (1) Laplas tenglamasini
qanoatlantirsa, u holda bu funksiya D sohada garmonik funksiya deyiladi, ya’ni
va
2-Ta’rif. Agar funksiya cheksiz D sohaning koordinat boshidan chekli
masofada yotgan har bir x nuqtasida garmonik bo'lib, yetarlicha katta |x| nuqtalar uchun
(2)
tengsizlik o'rinli bo'lsa, u holda funksiya cheksiz D sohada garmonik deyiladi. Bu
yerda n fazoning o'lchovi, С - biror o'zgarmas son, .
6

Ikki o'lchovli cheksiz sohada garmonik bo'lgan funksiya (2) tengsizlikka asosan
cheksizlikda chegaralangan bo'iishi kerak.
1 - misol. Ushbu
chiziqli funksiya ixtiyoriy sohada garmonik funksiya bo'ladi, chunki
va
2- misol . Ikki o'lchovli tekislikda ushbu
funksiya (0,0) nuqtani o'z ichiga olmagan ixtiyoriy sohada garmonik bo'ladi.
Haqiqatdan ham funksiya yordamida
funksiyani qurish mumkin. Koshi-Riman shartlariga ko’ra funksiyaning
garmonik ekanligini ko’rsatish qiyin emas
7

II BOB. LA PLA S TEN GLA MA SI UCHUN DIRIX LE VA N EY MA N
MA SA LA LA RI
2.1 Drixle va Neyman masalalari. Yagonalik teoremalari
Bir bu paragrafda elliptik tipdagi tenglamalar uchxm asosiy
chegaraviy masalalar, Dirixle va Neyman masalalarni o'rganamiz.
Bu masalalarni Laplas tenglamasi uchun yechimning yagonaligi va
turg'unligini ispotlaymiz.
Elliptik tipdagi tenglamalar odatda ikki xil chekli va. cheksiz
sohalarda o'rganiladi. Har ikki holda ham qaralayotgan sohaning
chegarasi chekli sondagi bo'lakli silliq chiziqlar (sfera)dan iborat,
deb faraz qilinadi. Ayrim hollarda elliptik tenglamalar yarim
chegaralangan sohaiarda qaraladi. Bunday sohalarning chegarasi
cheksiz bo'lib, unga yarim tekislik, yarim fazo misol bo'ladi.
Matematik fiizika tenglamalari kursida elliptik tipdagi
tenglamalar uchun ikki xil chegaraviy masalalar, ichki va tashqi
masalalar o‘rganiladi.
Agar nomalum funksiyani chekli sohadan topish talab qilinsa,
bunday chegaraviy masalaga ichki masala, agar bu funksiyani cheksiz
sohadan izlansa, u holda bunday chegaraviy masala tashqi masala
deyiladi.
Faraz qilaylik, D C Rn bo'lakli silliq S sirt bilan chegaralangan
chekli soha, f(x ) esa D sohada berilgan va uzluksiz funksiya bo’lsin.
Ushbu umumiy ko‘rinishdagi
8

(1)
elliptik tipdagi tenglamani qaraylik.
Dirixle masalasi. Elliptik tipdagi (1) tenglamaning chekli
sohada aniqlangan uzluksiz va quyidagi

(2)
Shartlarni qanoatlantiruvchi u(x) yechimini toping. Bu yerda berilgan
uzluksiz funksiya.
Ney man masalasi . Elliptik tipdagi (1) tenglamaning chekli D sohada
aniqlangan, D ∪ S uzluksiz va quyidagi

(3)
chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi u(x) yechimini toping.
Bu yerda , v esa S sirtga o‘tkazilgan normal va
berilgan uzluksiz funksiya. Agar sinfga tegishli bo‘lsin
deb talab qilinsa, u holda (3) chegaraviy shartni
9

ko'rinishda yozish mumkin.
Agar (1) tenglamada bo'lsa, u holda tenglamaning
bosh qismi Laplas operatoriga aylanadi va (1) tenglama ,

(4)
ko’rinishga keladi. (3) chegaraviy shart esa

(5)
sodda ko‘rinishni oladi.
Tashqi Dirixle va Neyman masalalarining mos ichki
masalalardan farqi shundaki, nomalum funksiyadan

(6)
shartning bajarilishi talab qilinadi.
Yechimining yagonaligi haqidagi teoremalar.
Bu yerda Laplas tenglamasi uchun Dirixle va Neyrnan
masalalari yechimining yagonaligi haqidagi teoremalarni isbotlaymiz.
1-teorema. Agar Laplas tenglamasi uchun ichki (tashqi)
10

Dirixle masalasining yechimi D sohada mavjud bo’lsa, u holda bu
yechim yagona bo‘ladi.
Isbot.1) Faraz qilaylik, Laplas tenglamasi uchun ichki Dirixle
masalasi u
i (x) va v
i ( x) yechimlarga ega bo'lsin. Bu funksiyalarning
ayirmasi uchun quyidagi
1)
2)
3)
shartlar o'rinli.
Demak, u(x) funksiya D sohada garmonik, yopiq sohada
uzluksiz va 0 Yuqorida isbotlangan ekstremum prinsipiga
asosan bu funksiya min u(x) va maxu(x) sohaning S chegarasida erishadi. D
sohaning chegarasida esa u(x) = 0. U holda yopiq D sohada u(x) = 0 bo'ladi.
Bundan U(x) = u
2 (x) ekanligi kelib chiqadi.
2)Endi 1-teoremani tashki qilaylik. Buning uchun n > 2 bo'lgan holni
qaraymiz. Tashqi Dirixle masalasining (6) shartiga asosan u(x) = u
1 (x)—u
2 (x)
funksiya cheksiz D sohada garmonik bo'ladi. S sirtni markazi koordinata
boshida sferasi Sr bo‘lgan R radiusli shar bilan o'raymiz va D r halqasimon
sohada funksiyani qaraylik.
11

$Ma'lmnki, u(x)\s = 0, bundan tashqari koordinata boshidan yetarlicha uzoqda bo‘lgan nuqtalar uchun (6) shart o'rinli. Bundan shar radiusi yetarlicha katta bo'lganda, ya’ni Sr sferad a tengsizlik o'rinli bo'ladi. Ixtiyoriy uchun R radiusni shunday tanlaymizki, natijada bo’lsin. Ekstremum prinsipiga asosan halqasimon sohada u(x) funksiya oVining engkatta va eng kichik qiymatlariga,yoki S da, yoki da erishadi, lekin bu qiymatlar modul jihatdan dan katta bo'lmaydi. Faraz qilaylik, x cheksiz D sohaning ixtiyoriy nuqtasi bo'lsin. R radiusni shunday tanlaymizki, natijada x nuqta da yotadi va bo'ladi. ixtiyoriy musbat son bo’lgani uchun u(x) = 0 va bundan ekanligi kelib chiqadi. Endi Laplas tenglamasi uchun Dirixle masalasi yechimining turg'unligini isbotlaylik. 2- Teorema. Laplas tenglamasi uchun Dirixle masalasining yechimi chegaraviy funksiyaga uzluksiz bog‘liq bo‘ladi. Isbot. Faraz qilaylik, funksiya (3)-(5) masalaning chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimi, funksiya esa (3)-(5) masalani shartni qanoatlantiruvchi yechimi bo‘lsin. U holda ayirma qaralayotgan masalaning chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimi bo‘ladi. 12$