Lobachevskiy geometriyasi - Геометрия - Курсовые работы

Информация о документе

Цена	12000UZS
Размер	2.3MB
Покупки	15
Дата загрузки	06 Апрель 2024
Расширение	docx
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Геометрия

Lobachevskiy geometriyasi

Купить

MUNDARIJA
KIRISH…………………………………………………………….………….….9
I BOB. Lobachevskiy geometriyasi va va uning qurilishi……………….11
1.1 . Lobachevskiy aksiomasi va undan kelib chiqadigan natijalar ………...……
11
1.2. Aylana, oritsikl va ekvidistant chiziqlar…………………………….……..…12
II BOB. Lobachevskiy geometriyasida to'g'ri chiziq va tekisliklar……..14
2.1. Lobachevskiy geometriyasida to'g'ri chiziq va tekisliklar….……….…….….14
2.2 . Lobachevskiy geometriyasida tekisliklarning o'zaro vaziyati …….…………20
2.3. Lobachevskiy geometriyasida to'g'ri chiziq va tekisliklarning o zaro vaziyatiʻ
…………………………………………………………………………………….26
Xulosa…………………………………………………….……...……………….33
Foydalanilgan adabiyotlar va manbalar ro‘yxati……….………….……….…34
Ilovalar ……………………………..…………………………………………….35
1

KI R I S H
Jamiyat rivojlanishining hozirgi bosqichida barkamol insonni tarbiyalash eng
asosiy, k е chiktirib bo`lmaydigan muhim vazifalardan biridir. Birinchi
Pr е zid е ntimiz Islom Karimov ta’kidlaganid е k: “Sog`lom avlodni tarbiyalash buyuk
davlat poyd е vorini, faravon hayot asosini qurish d е ganidir” [4, 3]. Shu jihatdan
olganda, mamlakatimizda sog`lom avlod dasturi harakatining k е ng tus olgani,
“Kadrlar tayyorlash milliy dasturi” asosida ta’lim–tarbiya tizimining tubdan isloh
etilayotgani ham ana shu ulug`vor vazifani amalga oshirish yo`lidagi muhim
qadamdir.
O`zb е kiston R е spublikasi mustaqil Davlat suv е r е nligini qo`lga kiritgan
birinchi kunlaridanoq uzluksiz ta’lim tizimida amalga oshirilayotgan k е ng
islohotlar milliy ta’lim–tarbiya tizimini takomillashtirishga, zamon talablari bilan
uyg`unlashtirilgan, jahon andozalari darajasiga mos “milliy mod е lni” hayotga
tadbiq qilishga qaratildi. Jamiyatimizdagi fuqarolar tafakkurini yangilash, milliy
o`zlikni anglash, milliy va umumbashariy qadriyatlarni o`zlashtirish orqali,
o`quvchilarning ist е ’dodlari, qobiliyatlarini tadqiq etish, est е tik tafakkurini
shakllantirish va rivojlantirish davlat umummilliy siyosati darajasidagi
masalalardan biri sifatid b е lgilab b е rilishi yosh avlodni har tomonlama kamol
toptirish uchun ta’lim– tarbiyaning barcha sohalarida, ularning omillari va
vositalarini ishga solishni taqozo etmoqda. b е lgilab b е rilishi yosh avlodni har
tomonlama kamol toptirish uchun ta’lim– tarbiyaning barcha sohalarida, ularning
omillari va vositalarini ishga solishni taqozo etmoqda.
Kurs ishining maqsadi: Talabalarga geometriyani o’qitishning an’anaviy
talim metodi haqida umumiy ma'lumotlar va ularning o'ziga xos xususiyatlarini
tushuntirish, ular yordamida dasturi tuzishni va uni o‘qiy olishni o‘rgatish orqali
talabalarni geometriya fanlariga qiziqishlarini yanada oshirish.
Kurs ishining vazifasi: Bo’lajak geometriya o’qituvchilariga an’anviy talim
metodi bo’yicha tayyorgarlik tizimi mazmunining nazariy va amaliy holatini
o‘rganish va tahlil qilish; -talabalarga turli loyihalarni tasvirlashdagi o’ziga xos
xususiyatlarni va ularning turlari haqida tushunchalar berish va takomillashtirish; -
talabalarning mavzu yuzasidan bilim, ko'nikma va malakasini shakllantirish.
Kurs ishining ob’yekti: Oliy ta’lim tizimida “Matematika” bakalavriyat
ta’lim yo‘nalishi talabalariga nazariy va amaliy ta’lim berish jarayoni.
Kurs ishining predmeti: Bo‘lajak muhandislarni tayyorlash
bo‘yicha tahsil olayotgan talabalarning geometriya muhandisligi ilmini egallash
jarayonidagi ta’lim mazmuni va texnologiyasi.
Kurs ishining tuzilishi va tarkibi: Kurs ishi kirish, ikki bob, to’rt paragraf,
xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat.
2

I BOB . Lobachevskiy geometriyasi va va uning qurilishi chiziq va
tekisliklarning o'zaro vaziyatlari.
1.1 Lobachevskiy aksiomasi va undan kelib chiqadigan natijalar
Lobachevskiy geometriyasi - Yevklid geometriyasining
aksiomalar sistemasidan faqat parallellik aksiomasi bilan farq qiladigan,
aksiomalar sistemasiga asoslangan geometrik nazariya. L.g.da Yevklidning
parallellik aksiomasi o rniga quyidagi aksioma qabul qilinadi: agar to g ri chiziqʻ ʻ ʻ
va undan tashqarida nuqta berilgan bo lsa, ularni o z ichiga olgan tekislikda shu
ʻ ʻ
nuqtadan o tuvchi, lekin berilgan to g ri chiziq bilan kesishmaydigan kamida
ʻ ʻ ʻ
ikkita to g ri chiziq o tkazish mumkin.
ʻ ʻ ʻ
1 - Yevklid geometriyasi , 2 - RIman geometriyasi, 3 - Lobachevskiy geometriyasi
L.g.ning manbai — Yevklidning "Negizlar" asarida ta riflangan beshinchi
ʼ
postulatni isbotlash uchun Ibn al-Xaysam (10-asr), Umar Xayyom (12-asr),
Nasriddin Tusiy (13-asr), Prokl (15-asr), Lejandr, Lambert va boshqa matematiklar
tomonidan qilingan urinishlardir. 19-asrda beshinchi postulatni boshqa aksiomalar
asosida isbotlab bo lmaydi, ya ni u mustaqil aksioma, degan fikr vujudga keldi.
ʻ ʼ
Agar beshinchi postulat aksioma sifatida qabul qilingan bo lsa, uning inkori ham
ʻ
boshqa aksi-omalarga zid bo lmasligi kerak. Yevklidning beshinchi postulati
ʻ
o rniga yuqoridagi aksiomaga asoslangan geometriyani birinchi marta 1826-yilda
ʻ
N. I. Lobachevskiy, undan keyinroq Ya. Bolyay taklif qildi.
Yevklid geometriyasining parallellik aksiomasiga asoslanmagan teoremalari
L.g.da ham o rinli bo ladi, parallellik aksiomaga asoslangan teoremalari esa L.g.da
ʻ ʻ
o rinli bo lmaydi. L.g.da uchburchakning ichki burchaklari yig indisi 180° dan
ʻ ʻ ʻ
kichik.L.g.ning mantiqiy ziddiyatsizligini birinchi marta italyan matematigi E.
Beltrami 1868-yilda isbotladi. U psevdosferaning geodezik chiziqlari to g ri chiziq
ʻ ʻ
deb qaralsa, hosil bo ladigan geometriya L.g. ekanligini ko rsatdi.
ʻ ʻ Bu fakt L.g.ning
Beltrami interpretatsiyasi (izohi) deyiladi. Keyinchalik F. Kleyn va A. Puankare
ham L.g.ning boshqa interpretatsiyalarini berdilar.
L.g. — mat., mexanika va fizikada keng tatbiq etiladigan nazariya. Shu bilan
birga L.g.ning yaratilishi moddiy olam haqidagi tasavvurimizni boyitdi. Yevklid
geometriyasi olamni to g ri aks ettiruvchi yagona geometriya emasligini ko rsatdi.
ʻ ʻ ʻ
B. Rimanning elliptik geometriyasidan farqlash uchun L.g. ba zan noyevklid
ʼ
giperbolik geometriya ham deyiladi.
3

1.2. Aylana, oritsikl va ekvidistant chiziqlar.
Ma`lumki, Yevklid tekisligidagi ikki chiziq —to`g`ri chiziq bilan aylana
o`zining ajoyib bir xossasi bilan boshqa chiziqlardan ajralib turadi. Bu xossa
shundan iboratki, bu chiziqlar o`z shaklini o`zgartirmasdan o`z-o`zi bo`y`lab
sirpanadi. Bunday xossaga ega chiziqlarni o`zgarmas egrilikka ega chiziqlar deb
ataladi.Bunday xossali ikki chiziqning mavjudlidi Yevklid tekisligidagi ikki to`g`ri
chiziqning o`zaro ikki xil — kesishuvchi va parallel holda joylanishi bilan uzviy
bog`langandir. Bu esa o`z yo`lida Yevklid tekisligida to`g`ri chiziqlarning ikki xil
dastasi borligining natijasidir: 1) dasta markazi deb ataldigan nuqtadan o`tgan
barcha to`g`ri chiziqlar to`plami (markazli dasta); 2) bir to`g`ri chiziqqa parallel
bo`lgan barcha to`g`ri chiziqlar to`plami (markazsiz dasta). Markazli dastaning
orthogonal traektoriyasi aylanadan , markazsiz dastaning orthogonal traektoriyasi
esa to`g`ri chiziqdan iborat .
Lobachevskiy tekisligida ham yuqoridagi xossaga ega bo`lgan bunday
chiziqlarning mavjudligi to`g`ri chiziqlarning o`zaro joylashuviga bog`liqdir.
Lobachevskiy tekisligida ikki to`g`ri chiziq kesishuvchi (yaqinlashuvchi), o`zaro
parallel (ma`lum yo`nalishda) va uzoqlashuvchi bo`lishi mumkin, ya`ni
lobachevskiy tekisligida to`g`ri chiziqlarning uch xil dastasi mavjud:1)bitta
nuqtada kesishuvchi barcha to`g`ri chiziqlar to`plami elliptic dasta deb yuritiladi:
2)biror to`g`ri chiziqning belgili yo`nalishida unga parallel bo`lgan barcha to`g`ri
chiziqlar to` plami parabolic dasta deb ataladi; 3)tayin to`g`ri chiziqqa
perpendikulyar bo`lgan barcha to`g`ri chiziqlar, ya`ni uzoqlashuvchi to`g`ri
chiziqlar to`plami giperbolik dasta deb ataladi. Bu uch xil dastaning mavjudligi
munosabati bilan doimiy egrilikka ega bo`lgan uch xil egri chiziq borligini
ko`rsatamiz. Buning uchun avval ba`zi tushunchalarni kiritaylik.
Ixtiyoriy ikki a, b to`g`ri chiziqni uchinchi c to`g`ri chiziq kesib o`tganda hosil
bo`lgan ichki bir tomonli burchaklar teng bo`lsa ya`ni(), c to`g`ri chiziq a , b ning
teng og`ishli kesuvchisi deb ataladi.
Teorema. To`g`ri chiziqlar dastasiga tegishli ixtiyoriy ikki to`g`ri chiziqning
biridagi nuqtadan ikkinchisiga teng og`ishli faqat bitta to`g`ri chiziq o`tkazish
mumkin.
Isboti. 1-hol, a,b to`g`ri chiziqlar markazli dastaga tegishli bo`lsin. a to`g`ri
chiziqdagi ixtiyoriy A nuqtani olib , S nuqtadan boshlab b to`g`ri chiziq ustiga SA
gat eng kesma qo`ysak, b da B nuqta (SA=SB) hosil bo`ladi. teng yonli bo`lgani
uchun . Bu burchaklarni to`diruvchilari ham o`zaro teng bo`lgani uchun AB to`g`ri
chiziq a, b uchun teng og`ishli kesuvchi bo`ladi. Ravshanki, A nuqtadan a ,b nit eng
og`ishda kesuvchi boshqa to`g`ri chiziq o`tmaydi.
4

2-hol. A, b to`g`ri chiziqlar giperbolik dastaga tegishli bo`lsin. Bu holda a,b
to`g`ri chiziqlar o`zaro uzoqlashuvchi to`g`ri chiziqlar bo`lib, bunday to`g`ri
chiziqlar yagona umumiy AB perpendikulyarga egadir , bu perpendikulyar a,b ning
teng og`ishli kesuvchisi bo`ladi. U holda a dagi A nuqtadan teng og`ishli
kesuvchini o`tkazish uchun B dan boshlab b ning ustida (A nuqta Ab ning qaysiˊ́
tomonida bo`lsa, shu tomonda) AA =BB shart bilan aniqlanadigan B nuqtani
ˊ́ ˊ́ ˊ́
topamiz. U holda A B to`g`ri chiziq izlangan kesuvchi bo`ladi, chunki A ABB
ˊ́ ˊ́ ˊ́ ˊ́
to`rtburchak Sakkeri to`rtburchagidir:
5

II-BOB. Lobachevskiy geometriyasida to'g'ri chiziq va tekisliklar
2.1 Lobachevskiy geometriyasida to'g'ri chiziqlarning o'zaro vaziyati.
Ikki to'g'ri chiziqning o'zaro vaziyatlari
Ikki to'g'ri chiziq fazoda o'zaro parallel, kesuvchi yoki ayqash vaziyatlarda
bo'lishi mumkin.
1. Parallel to'g'ri chiziqlar
Ta’rif. Agar ikki to’g’ri chiziq bir tekislikka tegishli bo'lib umumiy
kesishuv nuqtasi bo'lmasa yokicheksiz uzoq (xosmas) nuqtada kesishsa, ular o'zaro
parallel to'g'ri chiziqlar deyiladi. (35-rasm)
Parallel proyeksiyalarning xossasiga asosan parallel to'g'ri chiziqlarning bir
nomli proyeksiyalari ham o'zaro parallel bo'ladi, ya'ni a||b bo'lsa, uholda
a'||b',a"||b" va a′"||b'" bo'ladi.
Fazodagi umumiy vaziyatda joylashgan parallel to'g'ri chiziqlarning ikkita
bir nomli proyeksiyalari o'zaro parallel bo'lsa, ularning uchinchi proyeksiyalari
ham o'zaro parallel bo'ladi1.

35-rasm
Ammo to'g'ri chiziqlar biror proyeksiyalar tekisligiga parallel va ularning
shu tekislikdagi proyeksiyalari berilmagan bo'lsa, u holda yuqorida keltirilgan shart
bajarilmaydi. Masalan, W tekislikka parallel bo'lgan profil to'g'ri chiziq
kesmalarning bir nomli gorizontal va frontal proyeksiyalari (r1 va r2) ning o'zaro
parallel bo'lishi yetarli bo'lmaydi (36-rasm). Bunday hollarda to'g'ri chiziqlarning
6

profil proyeksiyalarini yasash va ularning paralleligini tekshirish zarur.
Shuningdek, bu to'g'ri chiziqlarning o'zaro vaziyatini profil proyeksiyalaridan
foydalanmasdan ham aniqlash mumkin.
Buning uchun:
• to'g'ri chiziq kesmalarining bir nomli proyeksiyalarining nisbatlari tengligini
aniqlaymiz. Kesmaning biror, masalan, D', D" nuqtasidan ixtiyoriy (o'tkir burchak
ostida) parallel chiziqlar o'tkazib, D'1=A'B' va D"2=A"B" kesmalarni qo'yiladi
(36- rasm). So'ngra 1 va 2 nuqtalarni С ′ va C" bilan tutashtiramiz. Agar C'1=C"2
bo'lsa bu to'g'ri chiziqlar o'zaro parallel bo'ladi. Aks holda bu to'g'ri chiziqlar
uchrashmas to'g'ri chiziqlar ekanligini isbotlanadi;
• to'g'ri chiziq kesmalarining bir nomli nuqtalarini o'zaro kesishadigan qilib
to'g'richiziqlar bilan tutashtiramiz (37- rasm). Agar chiziqlarning kesishish
nuqtasining
E' va E" proyeksiyalari bir bog'lovchi chiziqda bo'lsa, u holda AB va CD to'g'ri
chiziqlar bir tekislikka tegishli va o'zaro parallel bo'ladi.
36 – rasm 37-rasm
2. Kesishuvchi to'g'ri chiziqlar
Ta'rif. Agar ikki to'g'ri chiziq fazoda umumiy bir (xos) nuqtaga ega bo'lsa,
ularni kesishuvchi to'g'ri chiziqlar deyiladi.
Kesishuvchi to'g'ri chiziqlar proyeksiyalarining kesishish nuqtalari to'g'ri
7

chiziqlar kesishish nuqtasining proyeksiyalari bo'ladi (38-rasm). Kesishuvchi to'g'ri
chiziqlarning bir nomli proyeksiyalari ham chizmada o'zaro kesishadi va kesishish
nuqta proyeksiyalari bir proyeksion bog'lovchi chiziqda bo'ladi.
Fazoda umumiy vaziyatda kesishuvchi to'g'ri chiziqlar berilgan bo'lsa, bu
to'g'ri chiziqlarning faqat ikkita bir nomli proyeksiyalarining kesishishi kifoya
qiladi.
Agar kesishuvchi chiziqlarning biri proyeksiyalar tekisligining birortasiga
parallel bo'lsa, u holda ularning ikkita bir nomli proyeksiyalarining o'zaro
kesishuvi yetarli bo'lmaydi. Masalan, AB va CD(38-rasm) to'g'ri chiziq
kesmalarining biri W tekislikka parallel joylashgan.
38- rasm
Bu chiziqlarning o'zaro vaziyatini ularning profil proyeksiyalarini yasash
bilan aniqlash mumkin. Agar kesishish nuqtasining proyeksiyalari bir bog'lovchi
chiziqda joylashsa, bu to'g'ri chiziqlar o'zarokesishadi, aks holda to'g'ri chiziqlar
kesishmaydi.
3. Uchrashmas (ayqash) to'g'ri chiziqlar
Ta'rif. Ikki to'g'ri chiziq o'zaro parallel bo'lmasayoki kesishmasa ular
uchrashmas (ayqash)to’g’ri chiziqlar deyiladi.
Ma’lumki, parallel va kesuvchi to'g'ri chiziqlar bitta tekislikka tegishli bo'ladi
(4 a,b-rasmlar). Uchrashmas to'g'ri chiziqlar esa bir tekislikda yotmaydi.
Uchrashmas to'g'ri chiziqlarning bir nomli proyeksiyalari chizmada o'zaro kesishsa
ham, ammo kesishish nuqtalari bir bog'lovchi chiziqqa tegishli bo'lmaydi.
Masalan, 39-rasmda AB (A′B', A"B") va EF(E'F′, E"F") uchrashmas chiziqlar
berilgan bo'lsin. Bu to'g'ri chiziqlar proyeksiyalarining 1'≡2' va 3"≡4" kesishish
nuqtalari fazoda bu to'g'ri chiziqlarning har biriga tegishli ikki nuqtaning
proyeksiyalari bo’lmay, aksincha, 1 ∈ EF, 2 ∈ AB va 3 ∈ EF, 4 ∈ AB bo'ladi.
8

b)
39 – rasm
4. To'g'ri burchakning proyeksiyalanish xususiyatlari
Teorema. Agar to'g'ri burchakning bir tomoni tekislikka parallel bo'lib,
ikkinchi tomoni bu tekislikka perpendikulyar bo'lmasa, mazkur to'g'ri burchak shu
tekislikka haqiqiy kattalikda proyeksiyalanadi.
Bu teoremani isbotlash uchun 5 a-rasmdan foydalanamiz. Shakldagi
∠ ABC=90°ga teng va uning ikkala tomoni ham H tekislikka parallel vaziyatda
joylashgan deb faraz qilamiz. Bu vaziyatda uning gorizontal proyeksiyasining
qiymati o'ziga teng bo'lib proyeksiyalanadi, ya'ni ∠ A'B'C=90° bo'ladi.
a) b) v)
40 – rasm
9

To'g'ri burchakning ВС tomonidan H tekislikka perpendikulyar qilib R
tekislik o'tkazamiz. U holda AB ⊥ R bo'lib, H∩R=RHhosil bo'ladi. Agar to'g'ri
burchakning ВС tomonini AB tomoni atrofida aylantirib, ixtiyoriy ВС 1 vaziyatga
keltirsak ham uning bu tomonining proyeksiyasi RHbilan ustma-ust tushadi.
Shunga ko'ra ∠ ABC1= ∠ A'B'C′ =90°bo'ladi. Demak:
∠ ABC=90°, АВ ║ Н va ВС ║ Н ⇒∠ А ' В ' С ′ = 900.
Chizmada ( ∠ ABC va ∠ DEF) to'g'ri burchaklarning tasvirlanishi 5 b va 5
vrasmlarda
keltirilgan. To'g'ri burchakning proyeksiyalanish xususiyatidan chizma
geometriyada metrik masalalarni yechishda keng foydalanadi.
5. Chizmalarda ko'rinishlikni aniqlash
Geometrik figuraning fazodagi o'zaro vaziyatlariga oid masalalar yechishda
tasvirlarni yaqqolashtirish maqsadida ularning ko'rinadigan va ko'rinmaydigan
qismlarini aniqlashga to'g'ri keladi.
Geometrik figuralarning kuzatuvchiga nisbatan chizmada ko'rinishligi konkurent
nuqtalardan foydalanib aniqlanadi.
Ta'rif.Bitta proyeksiyalovchi nurda (to'g'ri chiziqda) joylashgan nuqtalar
konkurent nuqtalar deyiladi.
Agar kuzatuvchi proyeksiyalovchi nur yo'nalishida konkurent nuqtalarga
qarasa, u o'ziga yaqin bo'lgan nuqtani yoki proyeksiyalar tekisligidan uzoqroq
joylashgan nuqtani ko'radi. Masalan, 41-rasmda berilgan bir proyeksiyalovchi
chiziqda joylashgan va V ga nisbatan konkurent bo'lgan A va В nuqtalarga s
yo'nalish bo'yicha qaralganda, kuzatuvchiga yaqin bo'lgan yoki V tekislikdan
uzoqroq joylashgan A nuqta ko'rinadi. Shuningdek, H ga nisbatan konkurent
bo'lgan С va D nuqtalarga S1 yo'nalish bo'yicha qaralsa, H tekislikdan uzoqroq
joylashgan С nuqta ko'rinadi.
b)
10

41 – rasm

Chizmada konkurent nuqtalarning ko'rinishligini ularning koordinatalari
orqali aniqlash ham mumkin. Konkurent nuqtalarning H tekislikka nisbatan
ko'rinishligi z applikatasi, V tekislikka nisbatan у ordinatasi va W tekislikka
nisbatan x absissasi aniqlaydi. H tekislikka nisbatan applikatasi eng katta bo'lgan
konkurent nuqta kuzatuvchiga ko'rinadi.
6 b-rasmda A(A′, A'), B(B', B"), va C(C′, C"), D(D′, D") konkurent
nuqtalarning proyeksiyalari berilgan. Bunda V tekislikka nisbatan В nuqta, H
tekislikka nisbatan С nuqta ko'rinuvchi nuqtalar bo'ladi, chunki yA< YBva
ZS>ZD.
Fazoda turli vaziyatlarda joylashgan geometrik shakllarning chizmada
ko'rinishligi ularga tegishli bo'lgan ayrim konkurent nuqtalarning ko'rinishligini
tekshirish yo'li bilan aniqlanadi.
41-a rasmda a(a', a") va b(b', b") uchrashmas to'g'ri chiziqlar berilgan. To'g'ri
chiziqlar gorizontal proyeksiyalarning o'zaro kesishgan va H ga nisbatan konkurent
bo'lgan nuqtasi 1′≡2"ustma-ust proyeksiyalangan. Bu nuqtalardan qaysi birini
ko'rinishligini aniqlash uchun ularning gorizontal proyeksiyasidan
proyeksiyalovchi chiziq o'tkazib, to'g'ri chiziqlarning frontal a" va b'
proyeksiyalarida 1" va 2" nuqtalar belgilanadi va z1>z2 ekanligi aniqlanadi.
Natijada, a chiziqqa tegishli 1 nuqta kuzatuvchiga ko'rinadi, b chiziqqategishli 2
nuqta esa uning ostida bo'ladi. Demak, a(a', a") va b(b′, b") to'g'ri chiziqlarga
yuqoridan qaraganda a to'g'ri chiziq b to'g'ri chiziqqa nisbatan kuzatuvchiga yaqin
joylashgan.
a) b)
42– rasm
42 –rasmda ham c(c', c") va d(d', d") chiziqlarni Vga nisbatan qaraganda
11

y3>y4 bo'lgani uchun 3 nuqta kuzatuvchiga ko'rinadi. Shuning uchun c(c', c") va
d(d', d") to'g'ri chiziqlarga oldidan qaraganimizda d to'g'ri chiziq с to'g'ri chiziqqa
nisbatan kuzatuvchiga yaqinroq joylashgan.
2.2.Labacheviskiy geometriasida tekisliklarni o’zaro vaziyati
Ta‛rif. Agar bir tekislikka tegishli o'zaro kesishuvchi ikki to'g'ri chiziqlar
ikkinchi tekislikka tegishli o'zaro kesishuvchi ikki to'g'ri chiziqlarga mos ravishda
parallel bo'lsa, bunday tekisliklar ham o'zaro parallel deyiladi.
Agar Q tekislikka tegishli a∩b kesishuvchi to'g'ri chiziqlar ikkinchi P
tekislikka tegishli a1∩b1 kesishuvchi to'g'ri chiziqlarga mos ravishda o'zaro
parallel bo'lsa, bu tekisliklar ham o'zaro parallel bo'ladi (1-rasm).
Agar fazodagi ikki tekislik bir-biriga parallel bo'lsa, chizmada bu
tekisliklarning bir nomli izlari ham o'zaro parallel bo'ladi, ya'ni: Q || R bo'lsa; QH ||
RH,, QV || RV va QW || RW bo'ladi (2-rasm).
Chizmada profil proyeksiyalovchi tekisliklar uchun ularning gorizontal va
frontal izlari parallel bo'lishi yetarli bo'lmaydi. Masalan, 3-rasmda berilgan G va
G1 tekisliklarda GH || G1H va GV || G1V bo'lib, GW ≠G1W bo'lgani uchun G≠
G1bo'ladi. Bu tekisliklarning o'zaro vaziyatini tekisliklarga tegishli a va b to'g'ri
chiziqlar yordami bilan ham aniqlash mumkin, bunda a ⊂ G1 va b ⊂ G bo'lgan holda
a" ∥ b" bo'lsa, a' ≠b‛ bo'lgani uchun a≠b va G≠G1 bo'ladi.
12

2-rasm 3-rasm
Fazodagi ixtiyoriy nuqta orqali berilgan tekislikka faqat bitta parallel tekislik
o'tkazish mumkin. 1-misol. A (A', A") nuqtadan Q (QH, QV) tekislikka parallel P
(PH, Pv) tekislik o'tkazish talab qilinsin (4-a rasm). Tekisliklarning parallellik
xususiyatlariga ko'ra P tekislikning izlari PH ∥ QH va PY ∥ QY Pw ∥ Qw bo'lishi
shart. Misolni yechish uchun to'g'ri chiziq va tekislikning parallellik shartlaridan
foydalanib, A nuqtaning A' va A" proyeksiyalaridan Q tekislikka parallel qilib
ixtiyoriy to'g'ri chiziq, h (h‛ h") gorizontal o'tkaziladi (4-b rasm). 4-rasm
Bu gorizontalning frontal izi h"V yasalib undan izlangan P tekislikning PV izi
berilgan tekislikning QV iziga parallel qilib o'tkaziladi. So'ngra PV ∩ Ox =PX
nuqtasidan Q tekislik- ning QH iziga parallel qilib izlangan tekislikning PH izi
o'tkaziladi. 2-misol. E (E‛, E") nuqtadan a (a', a") va b (b', b") parallel chiziqlar
bilan berilgan tekislikka parallel tekislik o'tkazish talab qilinsin (5-a rasm).
13

Bu misolni yechish uchun berilgan tekislikka tegishli ixtiyoriy c(c', c") to'g'ri
chiziqni o'tkazib, So'ngra E nuqtaning E‛ va E" proyeksiyalaridan a va s chiziqlar
proyeksiyalariga mos ravishda parallel qilib o'tkazilgan m'∩n',m"∩n" kesishuvchi
chiziqlar proyeksiyalari izlangan tekislik proyeksiyasi bo'ladi. Tekislikka tegishli
bo'lmagan nuqtadan mazkur tekislikka parallel bo'lgan cheksiz ko'p to'g'ri chiziqlar
o'tkazish mumkin. Bunday to'g'ri chiziqlar to'plami berilgan tekislikka parallel
bo'lgan tekislikni ifodalaydi.
Tekisliklarning o'zaro kesishuvi
Ta'rif. Agar ikki tekislik umumiy ikki nuqtaga ega bo'lsa bu tekisliklar o'zaro
kesishuvchi deyiladi. Ikki P va Q tekisliklar m to'g'ri chiziq bo'yicha kesishadigan
bo'lsa, bu chiziqni yasash uchun har ikkala tekislikka tegishli bo'lgan ikki umumiy
nuqtasini aniqlash kifoya qiladi (6-rasm). 7-a, b rasmda P va Q kesishuvchi
tekisliklar berilgan. Tasvirdan yaqqol ko'rinib turibdiki, bu tekisliklarga umumiy
bo'lgan E va F nuqtalar tekisliklarning bir nomli izlarining kesishish nuqtalari
bo'ladi: E = QH ∩PH va F = QV ∩PV.
14

Bu uqtalar o'zaro tutashtirilsa Q va P tekisliklarning l kesishuv chizig'i
hosilbo'ladi:
l = Q∩ P.
Chizmada (7-b rasm) bu tekisliklarning kesishish chizig'ining proyeksiyalarini
yasash uchun tekisliklarning bir nomli izlarining kesishish E va F nuqtalarining E‛,
E" va F‛, F" proyeksiyalari aniqlanadi va bir nomli proyeksiyalarini o'zaro
tutashtiriladi. Natijada hosil bo'lgan l‛ va l" to'g'ri chiziqlar Q va P tekisliklarning
kesishish chizig'ining proyeksiyalari bo'ladi. Agar tekisliklarning izlari birinchi
oktantda kesishmasa u holda bir nomli izlarini davom ettirib ularning kesishuvi
nuqtasini boshqa oktantda topish bilan kesishuv chizig'i nuqtalarining
proyeksiyalarini yasash mumkin.
Masalan, T (TH, TV) va P (PH, PV) tekisliklarning (8-rasm) gorizontal izlari
Tn va Pn ikkinchi oktantda kesishadi.
Kesishuvchi tekisliklarning biri gorizontal tekislik bo'lsa, bu tekisliklar
gorizontal chiziq bo'yicha kesishadi.
15

9-a,b-rasmda umumiy vaziyatdagi T tekislik bilan H1 gorizontal tekislikning
kesishish chizig'i h gorizontal bo'ladi. Agar umumiy vaziyatdagi tekislik frontal
tekislik bilan kesishgan bo'lsa, bu tekisliklar frontal bo'yicha kesishadi. Ammo
kesishuvchi tekisliklarning biri proyeksiyalovchi tekislik bo'lsa, proyeksiyalovchi
tekislikning xossasiga muvofiq, ularning kesishish chizig'ining proyeksiyalaridan
biri proyeksiyalovchi tekislikning izida bo'ladi (10-rasm).
Kesishuvchi
tekisliklarning bir nomli izlari chizma chegarasida kesishmasa, ularning kesishish
chizig'ini yordamchi tekisliklar vositasida aniqlash mumkin. Masalan, umumiy
vaziyatdagi Р ( Рн , PV) va T(TH, Т V) tekisliklarning kesishish chizig'ini yasash
uchun H1 gorizontal va V1, frontal tekisliklardan foydaianiladi (11-rasm ).
12-a,b-rasmdagi umumiy vaziyatdagi a ∥ b va s ∩ d chiziqlar bilan berilgan Q
va P tekisliklarning kesishish chizig’ini yasash uchun gorizontal H1 va H2
tekisliklar o'tkazilgan.
Dastalab H1 tekislikning Q va P tekisliklar bilan kesishish chiziqlarini
aniqlash uchun tekisliklarni a, b va s, d, chiziqlarini 1, 2 va 3, 4 nuqtalarda
kesganligi belgilanadi. Bu nuqtalarni o'zaro tutashtirganda, m1 va n1 chiziqlar
hosil bo'ladi, ya'ni: H1 ∩ Q=m1 va H1 ∩P = n1 bo'ladi. m1 va n1 to'g'ri
16

chiziqlarning kesishish nuqtasi E = m1 ∩ n1 Q va P tekisliklarga umumiy bo'lgan
birinchi nuqtadir.
Xuddi shu tartibda Q va P tekisliklarning H2 gorizontal tekislik bilan kesishish
chizig'i aniqlanadi. Chizmada H2 tekislik a, b va c, d chiziqlarni 5, 6 va 7, 8
nuqtalarda kesadi. Natijada: H2 ∩Q = m2 va H2 ∩ P = n2 hosil bo'ladi. Rasmda
H2 ∥ H1 bo'lgani uchun m2 ∥ m1 va n2 ∥ n1 bo'ladi. Bu nuqta Q va P
tekisliklarning ikkinchi umumiy F nuqtasi bo'lib u m1va n2 chiziqlarning o'zaro
kesishish nuqtasi bo'ladi: Fq m2 ∩ n2 .
Har ikkala P va Q tekisliklar uchun umumiy bo'lgan E va F nuqtalarni o'zaro
tutashtirsak, tekisliklarning kesishish chizig'i hosil bo'ladi.
17

2.3. Lobachevskiy geometriyasida to'g'ri chiziq va tekisliklarning o’zaro
vaziyati
Tekislikka tegishli to'g'ri chiziq va nuqta. Quyidagi xollarda to'g'ri chiziq
tekislikka tegishli bo'ladi:
• agar to'g'ri chiziqning ikki nuqtasi tekislikka tegishli bo'lsa, bu to'g'ri chiziq
tekislik- ka tegishli bo'ladi. Masalan, a to'g'ri chiziqning A vaBnuqtalari (13-
rasm) Q tekislikka tegishli bo'lganligi uchun a to'g'ri chiziq Q tekislikka tegishli
bo'ladi;
• agar m to'g'ri chiziqning bir nuqtasi tekislikka tegishli bo'lib, mazkur
tekislikka tegishli yoki unga parallel biror to'g'ri chiziqqa parallel bo'lsa, bu
to'g'ri chiziq tekislikka tegishli bo'ladi. Masalan, m to'g'ri chiziqning С nuqtasi Q
tekislikka tegishli va bu to'g'ri chiziq mazkur tekislikka tegishli to'g'ri chiziqqa
parallelbo'lsa, uholdamto'g'richiziq Q tekislikkategishlibo'ladi.

a) b)
18

74-rasm
To'g'ri chiziqning tekislikka tegishli bo'lish shartlaridan quyidagi xulosaga
kelish mumkin.
Agar to'g'ri chiziq tekislikka tegishli bo'lsa, bu to'g'ri chiziqning bir nomli
izlari tekislikning bir nomli izlariga tegishli bo'ladi (75-rasm). P tekislikka tegishli
m
to'g'ri chiziqning М H gorizontal izi tekislikning PH gorizontal izida, to'g'ri
chiziqning MV frontal izi tekislikning PV frontal izida joylashgan. Demak, m
to'g'richiziq P tekislikka tegishli bo'ladi, ya'ni m  P.
75-rasm
Agar nuqta tekislikka tegishli bo'lsa, bu nuqta tekislikning biror to'g'ri
chizig'iga tegishli bo'ladi. Masalan, 76-rasmda Р ( Р H н , PV) tekislik, A(A′ ,A")
vaB(B', B") nuqtalarning proyeksiyalari berilgan. Tekislik va nuqtalarning o'zaro
joylashuvini aniqlash ko'rsatilgan.
77-rasmda a va b kesishuvchi chiziqlar orqali berilgan R tekislik bilan E va F
nuqtalarning o'zaro vaziyati m va n chiziqlar yordami bilan aniqlangan:
1. E' ∈ 'mvaE" ∈ n" bo'lgani uchun E ∈ R.
1. F m'va F' ∈ m"bo'lgani uchun esa F R.
76-rasm 77-rasm
19

Tekislikning bosh chiziqlari
Tekislikning bosh chiziqlariga uning gorizontali, frontali va eng katta og'ish
chiziqlari kiradi.
Tekislikning gorizontali
Ta′rif.Tekislikka tegishli to'g'ri chiziq H tekisligiga parallel bo'lsa, bu to'g'ri
chiziq tekislikning gorizontali deyiladi.
Chizmada tekislik gorizontalining frontal proyeksiyasi Ox ga gorizontal
proyeksiyasi esa tekislikning gorizontal iziga parallel bo'ladi (78-rasm).
78-rasm
79-rasm
79-rasmda а ∩b chiziqlar bilan berilgan tekislikning h gorizontali va f frontali
tasvirlangan.
Tekislikning profil chizig'i
Ta'rif. Agar tekislikka tegishli to'g'ri chiziq profil proyeksiyalar tekisligiga
parallel bo'lsa, bu to'g'ri chiziq tekislikning profil chizig'i yoki profili
deyiladi.
Bunda p ∈ Qbo'lib va p║W bo'lsa, p to'g'ri chiziq Q tekislikning profili bo'ladi
20

(80- a,b-rasm).
a) b)
80-rasm
Tekislikning eng katta og′ma chizig'i
Ta'rif. Tekislikka tegishlivatekislikning bosh chiziqlaridan biri (gorizontalyoki
frontal)gaperpendikulyar to'g'ri chiziq tekislikning engkatta og′ma chizig′i deb
ataladi.
Agar P tekislikka tegishli e to'g'ri chiziq tekislikning gorizontaliga
perpendikulyar bo'lsa, u holda e to'g'ri chiziqni P tekislikning H tekislikka nisbatan
eng katta og'ma chizig'i deyiladi.
81-rasmda P tekislikning H tekislikka eng katta og'ma chizig'i tasvirlangan. Bu
yerda h ⊂ P va h║H. To'g'ri burchakning proyeksiyalanish xususiyatidan;
∠ BED=90° va ED║H bo'lgani uchun ∠ B'E'D'=90obo'ladi.
Tekislikning eng katta og'ma chizig'i orqali uning proyeksiyalar tekisligi bilan
hosil qilgan ikki yoqli burchagi aniqlanadi (81-rasm). P tekislikning H tekislikka
nisbatan eng katta og'ma chizig'i P va H tekisliklar orasidagi ∠ BAB′chiziqli
burchakni ifodalaydi (chunki AB ⊥ PHva A'B′ ⊥ PH). Bu ikki yoqli burchakning
qiymatini aniqlaydi.
81-rasm
P tekislikning H tekislikka nisbatan eng katta og'ma chizig'ining gorizontal
proyeksiyasi tekislikning h gorizontal chizig'ining h' gorizontal proyeksiyasiga
21

yoki tekislikning PH gorizontal iziga perpendikulyar bo'ladi ( 81-rasm).

P tekislikning Hga nisbatan eng katta og'ma chizig'ini yasash uchun P
gorizontal
izida ixtiyoriy A nuqta tanlab olinadi. Bu nuqtadan e ∈ P to'g'ri chiziqning
gorizontal proyeksiyasini e' ⊥ PH qilib, P tekislikning H tekislikka eng katta og'ma
chizig'ining gorizontal proyeksiyasi o'tkaziladi va Oxo'qida e'∩Ox=B' nuqta
aniqlanadi. So'ngrabu chiziqning frontal e" proyeksiyasi A' va B′nuqtalar
yordamida yasaladi. Hosil bo'lgan e ∈ P to'g'ri chiziqning e' va e" proyeksiyalari P
tekislikning H tekislikka nisbatan eng katta og'ma chizig'ining proyeksiyalari
bo'ladi. Bu chiziqning H tekislik bilan hosil qilgan α burchagi aniqlanadi. Buning
uchun to'g'ri burchakli uchburchak Δ A'B'Vodan foydalanilgan (81-rasm).
Xuddi shunday Q (QH,QV) tekislikning V tekislik bilan hosil etgan β burchagi
yasaladi (82-rasm).
82-rasm 83-rasm
Δ ABC orqali berilgan tekislikning V tekislik bilan hosil qilgan
burchagianiqlangan (83-rasm). Buning uchun ABC tekislikning f(f ',f") frontalini
olamiz vaunga perpendikulyar qilib berilgan tekislikning V tekislikka nisbatan eng
kattaog'ma chizig'i m(m′ ,m")dan foydalanamiz.
To'g'ri chiziq va tekisliklarning o'zaro parallelligi
Ta'rif. Agar fazodagi m to'g'ri chiziq P tekislikka tegishli biror n to'g'ri
chiziqqa
parallel bo'lsa, u holda bu to'g'ri chiziq tekislikka parallel bo'ladi.Bunda n ⊂ P bo'lib,
m ∥ n bo'lsa m ∥ Pbo'ladi (84-a, b rasm).
22

84-rasm
1-misol.A (A', A") nuqtadan Q (QH, QV) tekislikka parallel to'g'ri chiziq
o'tkazish talab qilinsin (24-rasm).
A nuqtadan Q tekislikka parallel qilib cheksiz ko'p to'g'ri chiziqlar o'tkazish
mumkin. Shunday to'g'ri chiziqlarning ixtiyoriy bittasi l o'tkaziladi.
Buning uchun Q tekislikka tegishli ixtiyoriy e (e’ e") to'g'ri chiziq tanlanadi.
Bu to'g'ri chiziqning bir nomli proyeksiyalariga parallel qilib A nuqtaning A' va
A"proyeksiyalaridan izlangan to'g'ri chiziqning l’ va l" proyeksiyalari o'tkaziladi.
85-rasm 86-rasm
2-misol. D (D’ D") nuqtadan ABC (A’B’C’, A"B"C") tekisligi va gorizontal
proyeksiyalar tekisligi H ga parallel m to'g'ri chiziq o'tkazilsin (86-rasm).Buning
uchun Δ ABC tekisligida H ga parallel, qilib uning gorizontali h (h’,h")to'g'ri chiziq
o'tkaziladi. So'ngra D nuqtaning D' va D" proyeksiyalaridan m‛ ∥ h' va
m" ∥ h" qilib izlangan to'g'ri chiziqning proyeksiyalari o'tkaziladi.
3-misol. P(m || n) tekislik va l(l',l ") to'g'ri chiziqning o'zaro vaziyati
aniqlansin
23

87-rasm
To'g'ri chiziq va tekislikning o'zaro vaziyatini aniqlash uchun P tekislikda e' ||l‛
qilib to'g'ri chiziqning gorizontal proyeksiyasi o'tkaziladi va uning frontal e"
proyeksiyasi yasaladi. Chizmada e" to'g'ri chiziq l‛‛ ga parallel bo'lmagani uchun l
to'g'ri chiziq tekislikka parallel bo'lmaydi.

XULOSA
24

Yuqorida bayon etilgan fikrlardan xulosa shuki, talabalarga boshlang`ich
kurslardan boshlab geometriyaning, to’g’ri chiziq, tekislik, to’g’ri chiziq va
tekislikning o’zaro vaziyati ham amaliy, ham ilmiy–nazariy jihatdan yaxshi
o`qitilishi shart.
Yevklid geometriyasining aksiomalar sistemasidan faqat parallellik
aksiomasi bilan farq qiladigan, aksiomalar sistemasiga asoslangan geometrik
nazariya. L.g.da Yevklidning parallellik aksiomasi o rniga quyidagi aksioma qabulʻ
qilinadi: agar to g ri chiziq va undan tashqarida nuqta berilgan bo lsa, ularni o z
ʻ ʻ ʻ ʻ
ichiga olgan tekislikda shu nuqtadan o tuvchi, lekin berilgan to g ri chiziq bilan
ʻ ʻ ʻ
kesishmaydigan kamida ikkita to g ri chiziq o tkazish mumkin.
ʻ ʻ ʻ
L. g.ning manbai — Yevklidning "Negizlar" asarida ta riflangan beshinchi
ʼ
postulatni isbotlash uchun Ibn al-Xaysam (10-asr), Umar Xayyom (12-asr),
Nasriddin Tusiy (13-asr), Prokl (15-asr), Lejandr, Lambert va boshqa matematiklar
tomonidan qilingan urinishlardir. 19-asrda beshinchi postulatni boshqa aksiomalar
asosida isbotlab bo lmaydi, ya ni u mustaqil aksioma, degan fikr vujudga keldi.
ʻ ʼ
Agar beshinchi postulat aksioma sifatida qabul qilingan bo lsa, uning inkori ham
ʻ
boshqa aksi-omalarga zid bo lmasligi kerak. Yevklidning beshinchi postulati
ʻ
o rniga yuqoridagi aksiomaga asoslangan geometriyani birinchi marta 1826-yilda
ʻ
N. I. Lobachevskiy, undan keyinroq Ya. Bolyay taklif qildi.
Yevklid geometriyasining parallellik aksiomasiga asoslanmagan teoremalari
L.g.da ham o rinli bo ladi, parallellik aksiomaga asoslangan teoremalari esa L.g.da
ʻ ʻ
o rinli bo lmaydi. L.g.da uchburchakning ichki burchaklari yig indisi 180° dan
ʻ ʻ ʻ
kichik.
L.g.ning mantiqiy ziddiyatsizligini birinchi marta italyan matematigi E.
Beltrami 1868-yilda isbotladi. U psevdosferaning geodezik chiziqlari to g ri chiziq
ʻ ʻ
deb qaralsa, hosil bo ladigan geometriya L.g. ekanligini ko rsatdi. Bu fakt L.g.ning
ʻ ʻ
Beltrami interpretatsiyasi (izohi) deyiladi. Keyinchalik F. Kleyn va A. Puankare
ham L.g.ning boshqa interpretatsiyalarini berdilar.
L.g. — mat., mexanika va fizikada keng tatbiq etiladigan nazariya. Shu bilan
birga L.g.ning yaratilishi moddiy olam haqidagi tasavvurimizni boyitdi. Yevklid
geometriyasi olamni to g ri aks ettiruvchi yagona geometriya emasligini ko rsatdi.
ʻ ʻ ʻ
B. Rimanning elliptik geometriyasidan farqlash uchun L.g. ba zan noyevklid
ʼ
giperbolik geometriya ham deyiladi.
O`tmish tarixdan aniq ma`lumki, qadimda buyuk muhandislar geometriyaning
ilmiy asoslarini qo`llash natijasida, katta yutuqlarga erishganlar.
Bularni talabalarga o`qitishda didaktiv prinsiplarning asosiysi hisoblangan–
ilmiylik prinsipi yetakchi o`rin egallashi lozim.
Men o`zimning kurs ishimda Lo bacheviski geometriasida, Tekislik va to’g’ri
chziqlarni vaziyati haqidagi umumiy tushunchalarni bayon etdim, ishlash usullarini
misollar keltirish bilan yoritdim. Shu bilan birga Tekislik va to’g’ri chiziqga doir
25

bir nechta misollarni ko`rsatdim. Men o`z kurs ishimda oldimga qo`ygan
maqsadimga erishdim.
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati.
1. Islom Karimov Yuksak ma`naviyat – yingilmas kuch Toshkent “Ma`naviyat”
2008.
26

2. O`zb е kiston R е spublikasining “Ta`lim to`g`risida”gi qonuni. –T., 1997.
3. O`zb е kiston R е spublikasining Kadrlar tayyorlash milliy dasturi. T., 1997.
4. O`zb е kiston R е spublikasining Davlat ta`lim standarti, T.2003.
5. O’zbekiston Respublikasi Prezidenti Mirziyoev.SH.M Milliy taraqqiyot
yulimizni qatiyat bilan davom ettirib, yangi bosqichga kutaramiz. 1-jild—T..
“O’zbekiston “,2017.-592b.
6. O’zbekiston Respublikas Pirizidenti Mirziyoev.SH.M Xalqimizning roziligi
bizning faolligimizga berilgan eng oliy baxodi. 2-jild.T.. “O’zbekiston”, 2018.
7. Karimov.I.A O’zbekiston mustaqillikga erishish ostonasida—T..
“O’zbekiston”,2017.
8. Dadajonov Normat, Yunusmetov Rasulmat, Abdullaev Temir Geometriya.
Toshkent “O’ituvchi”—1988.
9. Dadajonov.N.D, Juraeva.M.J Geometriya. 1-qism, Toshkent, “O’qituvchi”,
1982.
10. Otajonov.R.Q. Geometriya yasash metodlari. T, “O’qituvchi”, 1970.
11. Pogorelov.A.V Geometriya, 6-10, Toshkent, “O’qituvchi”, 1984.
12 . Я.И. Перельман «Занимательная геометрия» Москва 2010г.
13 . Я.П.Понарин. “Элементарная геометрия”. Москва 2006 г
14. B . Q . Xaydarov “ Algebra va analiz asoslari geometriya I qism ”. Toshkent
2018 y
15. B . Q . Xaydarov “ Algebra va analiz asoslari geometriya II qism ”. Toshkent
2018 y
16. Погорелов А.В. “Геометрия 10–11”, учебник. –М., Просвешение, 2009
17. Геометрия, Часть I, Атанасян Л.С., Базылев В.Т., 1986
18 . Геометрия, Часть II , Атанасян Л.С., Базылев В.Т., 1986

Elektron ta’lim resurslari
1 . O’zbekiston Respublikasi Oliy va urta maxsus ta’lim vazirligi : www.edu.uz .
2 . O’zbekiston Respublikasi Xalq talim vazirligi : www.uzedu.uz .
27

3. O’zbekiston Respublikasi Xalq talim vazirligi xuzuridagi Multimedia
umumta’lim dasturlarini ruvojlantirishmarkazi: www.eduportal.uz .
www.multimedia.uz .
4. O’zbekiston Respublikasi Oliy va urta maxsus ta’lim vazirligi xuzuridagi bosh
Bosh ilmiy-metodik markaz: www.bimm.uz .
Ijtimoiy axborot ta’lim portal: www.ziyonet.uz .
5. Nizomiy nomidagi Toshkent davlat pedagogika universiteti www.tdpu.uz .
6. Internet resurslari elekton kutubxonasi: http://www.allbest.ru .

28

Lobachevskiy geometriyasi

Купить

Похожие документы
Muntazam ko‘pyoqlar
Fazodagi geometrik oʻrinlar
Lobachevskiy geometriyasining turli modellari
Almashtirishlar gruppasi
Turli yosh guruhlarda geometrik shakl va figuralar haqidagi tasavvurlarni shakllantirish