Matematik tizimlarda tengsizliklar va tengsizliklar sistemasini yechish

Dokument ma'lumotlari

Narxi	35000UZS
Hajmi	421.5KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	21 Aprel 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Informatika va AT

Sotuvchi

Telzor Uchun

Ro'yxatga olish sanasi 21 Aprel 2025

12 Sotish

Matematik tizimlarda tengsizliklar va tengsizliklar sistemasini yechish

Sotib olish

KIRISH
Matematika, insoniyat tarixi davomida ishlab chiqilgan eng muhim ilmiy
sohalardan biridir. U nafaqat nazariy bilimlarni, balki amaliy masalalarni
yechishda ham muhim rol o'ynaydi. Ayniqsa, tengsizliklar va tengsizliklar
sistemasini o'rganish, iqtisodiyot, muhandislik, fizika va boshqa ko'plab sohalarda
keng qo'llaniladi. Bu kurs ishida tengsizliklar va ularning sistemalarini yechishning
nazariy va amaliy jihatlari, shuningdek, ularning dolzarbligi, maqsadlari va
vazifalari ko'rib chiqiladi.
Kurs ishining dolzarbligi: Tengsizliklar va tengsizliklar sistemasini
o'rganishning dolzarbligi shundaki, zamonaviy hayotda ko'p hollarda resurslarni
optimal taqsimlash, iqtisodiy modellash va turli xil amaliy masalalarni yechishda
tengsizliklar qo'llaniladi. Masalan, iqtisodiy modelda xarajatlar va daromadlar
o'rtasidagi bog'lanishlarni aniqlashda tengsizliklar muhimdir. Shuningdek,
muhandislik sohasida konstruktsiyalarni hisoblashda va fizik jarayonlarni
modellashtirishda tengsizliklar asosiy o'rin tutadi.
Tengsizliklar yordamida turli xil shartlar va cheklovlarni ifodalash mumkin.
Bular inson faoliyatining har bir sohasida muhim ahamiyatga ega. Shu sababli,
tengsizliklar va ularga asoslangan matematik modellarni o'rganish zamonaviy
ta'lim tizimida ajralmas qism hisoblanadi.
Kurs ishining Maqsadi: Ushbu kurs ishining maqsadi tengsizliklar va
tengsizliklar sistemasini yechish metodlarini o'rganish, ularning amaliy
qo'llanilishlarini ko'rsatish va nazariy bilimlarni kengaytirishdir. Kurs davomida
quyidagi maqsadlarga erishish ko'zda tutilgan:
Tengsizliklarning asosiy turlarini o'rganish: O'zgaruvchilar o'rtasidagi
munosabatlarni ifodalovchi tengsizliklarni tahlil qilish va ularning turli xil turlarini
ko'rib chiqish.
Tengsizliklar sistemasini yechish metodlarini o'zlashtirish: Tengsizliklar
sistemasini yechish uchun zarur bo'lgan algoritmlar va metodlarni chuqur
o'rganish.
3

Amaliy masalalar yechish: Tengsizliklar va tengsizliklar sistemalarini real
hayotdagi masalalarda qo'llash imkoniyatlarini ko'rsatish.
Nazariy bilimlarni kengaytirish: Tengsizliklar nazariyasi va uning matematik
asoslarini o'rganish.
Kurs ishining Vazifalari: Kurs ishining vazifalari quyidagilardan iborat:
Nazariy materialni o'rganish: Tengsizliklar va tengsizliklar sistemasini
yechish bo'yicha ilmiy adabiyotlar va manbalarni o'rganish.
Misollar va amaliy mashqlar: Tengsizliklarni yechish bo'yicha misollarni
ko'rib chiqish va amaliy mashqlarni bajarish.
Tahlil va umumlashtirish: Olingan natijalarni tahlil qilish va ularning
umumiy qonuniyatlarini aniqlash.
Fikr almashish: Olingan bilimlarni baham ko'rish va muhokama qilish.
Kurs ishining tuzilishi : kirish, asosiy qism, to’rtta paragraph, hulosa va
foydalanilgan adabiyotlar.
4

I. ASOSIY QISM
1.1. Maple tizimida tenglama va tenglamalar sistemasini yechish
Tenglama tushunchasi Maple tizimida mustaqil equation (tenglama) turi sifatidagi
ma’lumot bo`lib, <ifoda1>=< ifoda2> ko`rinishida hosil qilinadi. Tenglama
ma’lumot sifatida talqin qilinganligi tufayli, uning ustida turli xil amallar bajarish
mumkin. Masalan, chap va o`ng qismlarini ajratib olib, ular ustida oddiy ifodalar
uchun qo`llanilgan barcha komandalarni bajarish mumkin.
Tenglama va tengsizliklar yoki ularning sistemalarini analitik yechish
uchun:
a) solve(<tenglama>, <o`zgaruvchi>);
b) solve({<tenglama1>, < tenglama2>,...}, {<o`zgaruvchi1>, <
o`zgaruvchi2>,...);
komandalari qo`llaniladi. a) ko`rinishdagi komanda bitta tenglamani, b)
ko`rinishdagi komanda esa tenglamalar sistemasini yechadi. Bitta tenglamani
yechish komandasining natijasi yechim yoki yechimlar ketma-ketligi bo`ladi.
Tenglamalar sistemasini yechadigan komandaning natijasi yechimlar to`plami
ketma-ketligi bo`ladi. Agarda komandada o`zgaruvchi(o`zgaruvchilar)
ko`rsatilmasa, u holda komanda tenglamada qatnashgan barcha noma’lumlarga
nisbatan yechimlarni beradi. Agarda <tenglama> o`rniga <ifoda> berilsa, u holda
<ifoda>=0 ko`rinishdagi tenglama deb qabul qilinadi.
Oddiy tenglamalarni yechish
Maple da tenglamalarni yechishning universal buyrug’i solve(eq,x) bo`lib, bu
yerda eq – tenglama, x – o`zgaruvchi, qaysiki tenglamani yechimini bera
oladigan. Bu buyruq to`la samarali bo`lishi uchun kiritish satrida ifoda to`la
yoritilishi kerak. Masalan:
> solve(a*x+b=c,x);−b−c
a
Misol 1.
x ni toping. 420 : ( 160 – 1000: x )=12
> solve(420/(160-1000/x)=12,x);
5

8Misol 2. Tenglamani yeching. 6,9 : 4,6 =
x : 5,4
> solve((6.9/4.6=x/5.4),x);
8.099999999
Misol 3.
x
3+ x
15 + x
35 + x
63 + x
99 + x
143 = 12 tenglamani yeching.
> solve((x/3+x/15+x/35+x/63+x/99+x/143)=12,x);
26
Misol 4.
3x−2
4 +2x+3
2 −2,5 x+2=0 tenglamani yeching.
> solve(((3*x-2)/4+(2*x+3)/2-2.5*x+2)=0,x);
4.
Agar tenglama bir necha yechimga ega bo`lsa, name buyrug’i orqali boshqa
hisoblash amallarini bajarishda yechimlarni tanlab olamiz. Berilgan tenglamaning
k- yechimini aniqlash uchun kvadrat qavslar ichida yechim tartibini ko`rsatish
lozim: name[k] . Masalan:
> x:=solve(x^2-a=0,x);
x:=−√a,√a
> x[1];
−√a
> x[2];
√a
> x[1]+x[2];
0
Misol 1. Tenglamani yeching.
1998 x2−2000 x+2=0
> solve(1998*x^2-2000*x+2=0,x);
1, 1
999
6

> x:=solve(1998*x^2-2000*x+2=0,x);x := 1, 1
999
> x[1];
1
> x[2];
1
999
Misol 2.
x1 va x2 sonlari 3x2−2x− 6=0 tenglamaning ildizlari bo’lsa, ildizlari
yig’indisi va ayirmasini toping.
> x:=solve(3*x^2-2*x-6=0,x);
x := 1
3 + 1
3 19 , 1
3 - 1
3 19
> x[1];
1
3 + 1
3 19
> x[2];
1
3 - 1
3 19
> x[1]+x[2];
2
3
> x[1]-x[2];
2
3 19
7

1.2. Tenglamalar sistemasini yechish
Matematik dasturlash masalalarini yechishda, chiziqli tengsizliklar sistemasining
yechimlar to‘plamini chizmada (grafik usulda) ko‘rsatishga (ifodalashga) to‘g‘ri
keladi. Shuning uchun quyida chiziqli tengsizlik va tengsizliklar sistemasini grafik
usulda yechishni ko‘rib o‘taylik.
Bizga ma’lumki, a1x1+a2x2≤ b
(1)
tengsizlikning yechimlar to‘plami X
1 OX
2 koordinatalar sistemasidagi (1)
tengsizlikni qanoatlantiruvchi cheksiz ko‘p (x
1 ,x
2 ) nuqtalar to‘plamidan iborat.
Boshqacha aytganda, (1) ko‘rinishdagi har qanday chiziqli tengsizlikning
yechimlar to‘plami chegarasi
a1x1+a2x2= b to‘g‘ri chiziq bo‘lgan yarim tekislik
nuqtalaridan iborat bo‘ladi. Shu tekislik
a1x1+a2x2= b to‘g‘ri chiziqning qaysi
tomonida ekanligini bilish uchun (1) tengsizlikka to‘g‘ri chiziqning aniq biror
tomonida yotgan ixtiyoriy biror nuqta koordinatasi qo‘yiladi. Agar bu nuqta
koordinatasi (1) tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda biz izlayotgan tekislik to‘g‘ri
chiziqning shu nuqta yotgan tomonida bo‘ladi. Agar bu nuqta koordinatasi (1)
tengsizlikni qanoatlantirmasa, u holda biz izlayotgan tekislik to‘g‘ri chiziqning
ikkinchi tomonida yotgan bo‘ladi.

Quyidagi tengsizliklarni qanoatlantiruvchi nuqtalar to‘plamini toping .
1-misol.
a) x
1 >3
b)
x2≤1
8

v) 2x1+3x2≤ 6
2-misol .

{
2x1−3x2+13 ≥ 0
x1+x2−6≥0
4x1− x2−19 ≤0
Tengsizliklar sistemasining yechimlar to‘plamini toping.
Ye chish. Tengsizliklar belgisini tengliklar bilan almashtirib, quyidagi
tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.

l1:2x1−3x2=−13
l2:x1+x2=6
l2:4x1− x2=19
Bu tenglamalar sistemasining har biri chizmadagi l
1 , l
2 , l
3 to‘g‘ri chiziqlarni
ifodalaydi.
9

Demak, berilgan sistemaning yechimlar to‘plami chizmadagi
uchburchakning ichki nuqtalaridan iborat bo‘ladi. Uchburchak uchidagi
nuqtalarning koordinatalari esa kesishgan to‘g‘ri chiziq tenglamalarini birgalikda
sistema qilib yechib topiladi.
3-misol.
{
x1≥ 0
3x1+x2≥8
x1+2x2≥ 6
x1− x2≤ 3
Tengsizliklar sistemasining yechimlar to‘plamini toping.
Echish.

l1:x1= 0
l2:3x1+x2= 8
l3:x1+2x2=6
l4:x1− x2=3
l
1 , l
2 , l
3 va l
4 to‘g‘ri chiziqlarni x
1 ox
2 koordinata sistemasida chizaylik.
10

Berilgan tengsizliklar sistemasining yechimlar to‘plami chizmadagi l
1 , l
2 , l
3 ,
l
4 chiziqlar bilan yarim chegaralangan cheksiz qavariq shakl nuqtalaridan
tashkil topgan.
4-misol. Agar 2-misoldagi tengsizliklar sistemasini quyidagicha olsak,
{
2x1−3x2≤−13
x1+x2≤6
4x1− x2≥19
bu sistema birgalikda bo‘lmagan sistema bo‘lib, yechimga ega bo‘lmaydi. Chunki
barcha nuqtalar uchburchakdan tashqarida bo‘lib, berilgan uchta tekislik uchun
umumiy bo‘lgan nuqta mavjud emas.
Quyidagi tengsizliklar sistemasining yechimlar to‘plamini toping va chizing.
11

1) {
2x1−5x2≥−10
x1≤3
3x1+2x2≤12
x1+2x2≥−2 2) {
−x1+x2≤6
3x1+5x2≥15
x2≥1 3) {
3x1−2x2≤−6
−x1+5x2≤5
x1≥0
x2≥0

4)
{
2x2≥5
8x1+2x2≤89
8x1−6x2≥69 5) {
11 x1−17 x2≤66
−x1+11 x2≤14
5x1−3x2≥14 6) {
5x1− x2≤51
2x2≤1
10 x1+4x2≥ 69
7)
{
x1− 9x2≤18
2x1+4x2≤3
7x1+3x2≥27 8) {
9x1+11 x2≥48
5x1− x2≤44
−x1+13 x2≤6 9) {
2x1+4x2≥5
5x1−x2≤46
3x1−5x2≥15
10)
{
8x1+14 x2≥14
13 x1+5x2≤100
5x1−9x2≥5 11) {
3x1+5x2≥2
17 x1+x2≤153
8x1−14 x2≥14 12) {
x1+11 x2≥11
3x1− x2≤28
5x1−13 x2≥11
Tenglamalar sistemasi solve({eq1,eq2,…},{x1,x2,…}) ,buyrug’I yordamida
yechiladi, faqat aylana qavslar ichidagi 1- figurali qavs ichida tenglamalar,
ikkinchi figurali qavs ichida esa tenglamaning o`zgaruvchilari kiritiladi. Agar
sizga tenglamaning yechimlari bilan bog’liq ravishda keyingi hisoblashlar kerak
bo`lsa, solve komandasi name ning qandaydir nomini ifodalaydi. So ` ngra
assign(name) buyrug ’ i uni to ` ldiradi . Shundan keyin yechimlar ustida matematik
amallar bajarish mumkin. Masalan:
> s:=solve({a*x-y=1,5*x+a*y=1},{x,y});
s :={
x= a+1
5+a2,y= a−5
5+a2 }
> assign(s); simplify(x-y);
6
5+a2
Misol 1. Tenglamalar sistemasini yeching
{
x+y
2
−
2y
3
=
5
2
¿¿¿¿
12

Maple dasturida yechish:
> s:=solve({(x+y)/2-2*y/3=5/2, 3*x/2+2*y=0},{x,y});s := y = -3, x = 4 { }
Javob: (4, -3)
Misol 2. (x,y) sonlar jufti
{2x−y=5¿¿¿¿ sistemaning yechimi bo’lsa, x – y ni toping.
Maple dasturida yechish:
> s:=solve({2*x-y=5,3*x+2*y=4},{x,y});
s := x = 2, y = -1 { }
> assign(s);simplify(x-y);
3
Javob: x – y =3
Misol 3. Agar
{3x+y=45¿{x+3y=−15¿¿¿¿ bo’lsa, x+y+z nimaga teng.
Maple dasturida yechish:
> s:=solve({3*x+y=45, z+3*y=-15, 3*z+x=6},{x,y,z});
s := {z = (-24)/7, y = (-27)/7, x = 114/7} yoki
s:={z= −24
7 ,y= − 27
7 ,x=114
7 }
> assign(s);simplify(x+y+z);
9
Javob: x + y + z = 9
Chiziqli va ikkinchi darajali tenglamalar sistemasining yechimini Maple
tizimida osongina topish imkoniyati mavjud. Quyidagi Maple tizimida bajarilgan
misollar yechimi bilan birgalikda keltirilgan.
Misol 1. S istemadan
x⋅y ni toping {x
2
+y
2
+xy=8¿¿¿¿
13

$Maple dasturida yechish: > s:=solve({x*x+y*y+x*y=8, x+y=3},{x,y});s := y = RootOf _Z 2 - 3 _Z + 1, label = _L1 ( ), x = -RootOf _Z 2 - 3 _Z + 1, label = _L1 ( ) + 3 { } > assign(s); simplify(x*y); 1 Javob: x⋅y =1 Misol 2. Sistemaning yechimini toping. {x 2 +y 2 −2xy=1¿¿¿¿ Maple dasturida yechish: > s:=solve({x^2+y^2-2*x*y=1, x+y=3},{x,y}); s := y = 1, x = 2 { }, y = 2, x = 1 { } > s[1]; y = 1, x = 2 { } > s[2]; y = 2, x = 1 { } Javob: (2;1) va (1;2) Misol 3. Ushbu {x+y=3¿¿¿¿ tenglamalar sistemasidan x ni toping. Maple dasturida yechish: > s:=solve({x^2-y^2=6, x+y=3},{x,y}); s:={y= 1 2,x= 5 2} > assign(s); simplify(x); 5 2 Javob: x=2,5 Misol 4. Tenglamalar sistemasini yeching. {y+4=2¿¿¿¿ Maple dasturida yechish: 14$ $> s:=solve({y+4=2, (x^2)*y=-2},{x,y});s := y = -2, x = 1 { }, y = -2, x = -1 { } > s[1]; y = -2, x = 1 { } > s[2]; y = -2, x = -1 { } Javob: (-1; -2), (1; -2) Misol 4. Agar x− y=5 va xy = 7 bo’lsa, x3y+xy 3 ning qiymati qancha bo’ladi? Maple dasturida yechish: > s:=solve({x-y=5, x*y=7},{x,y}); s := y = RootOf _Z 2 + 5 _Z - 7, label = _L1 ( ), x = RootOf _Z 2 + 5 _Z - 7, label = _L1 ( ) + 5 { } > assign(s); simplify(x^3*y+x*y^3); 273 Javob: x3y+xy 3 =273 Misol 5. Agar a−b=12 va −ab +a2=144 bo’lsa, a ning qiymati qanchaga teng? Maple dasturida yechish: > k:=solve({a-b=12, (-a)*b+a^2=144}, {a,b}); k := a = 12 , b = 0 { } > assign(k); simplify(a); 12 Javob: a=12 Misol 6. Agar x2− 4xy +y2=4−2xy va x+y=12 bo’lsa, xy ning qiymatini toping. Maple dasturida yechish: > k:=solve({x^2-4*x*y+y^2=4-2*x*y, x+y=12}, {x,y}); k := y = 5, x = 7 { }, y = 7, x = 5 { } > assign(k); simplify(x*y); 35 Javob: xy = 35 15$ $Misol 7. b+a=18 va a2+b2= 170 , ab =? Maple dasturida yechish: > t:=solve({b+a=18, a^2+b^2=170}, {a,b}); t := b = 7, a = 11 { }, b = 11 , a = 7 { }  assign(t); simplify(a*b); 77 Javob: ab =77 Misol 8. { xy x+y = 10 7 ¿ { yz y+z = 40 13 ¿¿¿¿ tenglamalar sistemasidan x ni toping. Maple dasturida yechish: > S:=solve({x*y/(x+y)=10/7, y*z/(y+z)=40/13, z*x/(x+z)=5/8}, {x,y,z}); S:={z=80 49 ,y= −80 23 ,x=80 79 } > assign(S); simplify(x); 80 79 Javob: x=80 79 Tenglamalarning sonli yechimi Tenglamani sonli yechishda, berilgan transcendent tenglama analitik yechim bermasa, maxsus fsolve ( eq , x ) buyrug’idan foydalaniladi. Parametr xuddi solve dagi kabi ko`rsatiladi. Masalan: > x:=fsolve(cos(x)=x,x); x : = .7390851332 Agar komanda berilgan tenglama(tenglamalar sistemasi)ning yechimini aniqlay olmasa, bo`sh yechim belgisi NULL ni beradi. Umuman, to`rtinchi darajadan yuqori bo`lgan tenglamalarning analitik yechimini topish qiyin 16$

bo`lganligi tufayli, Maple tizimi maxsus RootOf() funksiyasi yordamida
tenglamaning ixtiyoriy yechimini belgilaydi.
Misol:
> eq:=x^5+x^3+1=0; := eq    x5 x3 1 0
> s:=solve(eq,x);
s ( ) RootOf ,   _Z 5 _Z 3 1  index 1 ( ) RootOf ,   _Z 5 _Z 3 1  index 2 , , :=
( ) RootOf ,   _Z 5 _Z 3 1  index 3 ( ) RootOf ,   _Z 5 _Z 3 1  index 4 , ,
( ) RootOf ,   _Z 5 _Z 3 1  index 5
> evalf(s[1]);
 .6366631068 .6647015651 I
> solve(x=cos(x));
( ) RootOf  _Z ( ) cos _Z
Oxirgi komandaning natijasi z-cos( z)=0 tenglamaning ixtiyoriy yechimini
ifodalaydi. _z belgi Maple tizimining hosil qilgan o`zgaruvchisi bo`lib, x ni
o`rniga almashtirilgan. Index parametri yechimning nomerini ko`rsatadi.
17

1.3. Tengsizliklar va tengsizliklar sistemasini yechish
Oddiy tengsizliklarni yechish
solve buyrug’i tengsizliklarni yechishda ham qo`llaniladi.Tengsizlikning
yechimi o`zgaruvchining o`zgarish oralig’i bo`lgan interval ko`rinishida
beriladigan tengsizlikning yechimi yarim o`qlarda bo`lsa, u/h RealRange(–  ,
Open( a )), ya’ni x  (–  , a ), а – ixtiyoriy son. Open so`zi interval ochiq chegara
degan ma’noni anglatadi. Agar ushbu so`z bo`lmasa, tenglamalr to`plamida bu
interval yopiqligini anglatadi.Masalan:
> s:=solve(sqrt(x+3)<sqrt(x-1)+sqrt(x-2),x):
> convert ( s , radical );
RealRange(Open (
2
3√21 ),∞)
Agar siz x  ( a , b ) ko ` rinishda ko ` rishni istamasangiz , berilagan o ` zgaruvchini
a < x , x < b tipda bo ` lsa , figurali qavslarda ko ` rsatish kerak . Masalan :
> solve(1-1/2*ln(x)>2,{x});
{0<x,x<e(−2)}
Tengsizliklar sistemasini yechish
solve buyrug’i yordamida tengsizliklar sistemasini ham yechish mumkin.
Masalan:
> solve({x+y>=2,x-2*y<=1,x-y>=0,x-2*y>=1},{x,y});
{x=1+2y,1
3≤y}
Misol 1. Tengsizliklar sistemasi nechta butun yechimga ega?
{3+4 x≥ 5¿¿¿¿
Maple dasturida yechish:
> solve({3+4*x>=5, 2*x-3*(x-1)>-1},x);
{
1
2≤ x,x<4}
Javob: Tengsizliklar sistemasi 3 ta butun yechimga ega.
18

$Misol 2. Tengsizliklar sistemasini yeching. {x(x+1)+10 >(x+1) 2 +3¿¿¿¿ Maple dasturida yechish: > solve({x*(x+1)+10>(x+1)^2+3, 3*x-4*(x-7)>=16-3*x},x); {−6≤ x,x<6} Misol 3. Tengsizliklar sistemasini yeching. { y−5 4 < 2y+3 3 ¿¿¿¿ Maple dasturida yechish: > solve({(y-5)/4<(2*y+3)/3, (4*y+1)/2<(y-4)/3},y); { − 27 5 <y,y<−11 10 } Misol 4. Ushbu 1296 :314 <9x−32 ≤2976 :96 tengsizlikning barcha natural yechimlarini toping. Maple dasturida yechish: > solve({1256/314<9*x-32, 9*x-32<=2976/96},x); {4<x,x≤ 7} Javob: Tengsizlikning natural yechimlari 5,6,7 Misol 5. Tengsizliklar sistemasining eng katta butun yechimini ko’rsating { x+5 4 −2x≥0¿¿¿¿ Maple dasturida yechish: > solve({(x+5)/4-2*x>=0, x-(2*x-8)/5>=1-2*x},x); { −3 13 ≤ x,x≤ 5 7} Javob: Tengsizliklar sistemasining eng katta butun yechimi 0. Misol 6. {12 x 2 −(2x−3)(6x+1)>x¿¿¿¿ tengsizliklar sistemasining butun sonlardan iborat yechimlari yig’indisini toping. 19$ $Maple dasturida yechish: > solve({12*x^2-(2*x-3)*(6*x+1)>x, (5*x-1)*(5*x+1)-25*x^2>=x-6},x);{ − 1 5 <x,x≤5} Javob: Tengsizliklar sistemasining butun sonlardan iborat yechimlari yig’indisi 15 ga teng. Misol 7. {(x+2)(2−x)<(x+3)(4−x)¿¿¿¿ tengsizliklar sistemasining butun sonlardan iborat yechimlari nechta? Maple dasturida yechish: > solve({(x+2)*(2-x)<(x+3)*(4-x), (3+x)/ 4+(1-2*x)/6>=1},x); {−8<x,x≤1} Javob: T engsizliklar sistemasining butun sonlardan iborat yechimlari 7 ta. 20$ $1.4. Trigonometrik va transendent tenglamalarni yechish usullari Rekurrent va funksional tenglamalarni yechish f butun funksiyaning eq tenglamasi uchun rsolve(eq,f) buyrug’I ishlatiladi. f(n) funksiya uchun bir qancha boshlang’ich shartlar berilishi mumkin, bunda bu rekurrent tenglama mos yechimga ega bo`ladi. Masalan : > eq:=2*f(n)=3*f(n-1)-f(n-2); eq :=2f(n)=3f(n−1)−f(n−2) > rsolve({eq,f(1)=0,f(2)=1},f); 2−4( 1 2) n solve universal buyrug’idan funksional tenglamalarni yechishda foydalaniladi. Masalan: > F:=solve(f(x)^2-3*f(x)+2*x,f); F := proc ( x ) RootOf(_ Z ^2 - 3*_ Z + 2* x ) end Tenglama natijada oshkormas ko`rinishni oladi. Maple bunday yechimlar bilan ishlashi mumkin. Funksional tenglamaning oshkormas yechimi convert buyrug’I yordamida elementar funksiyaga keltirilib topiladi. Yuqorida ko`rib o`tilgan misolni oshkor ko`rinishda yechamiz: > f:=convert(F(x),radical); f:=3 2+1 2√9−8x Trigonometrik tenglamalarni yechish solve buyrug’i trigonometrik tenglamalarni yechish uchun qo`llanilib, [0;2  ] intervaldagi bosh yechimni ko`rsatadi To`la yechimni ko`rsatish uchun _ EnvAllSolutions := true davomiy buyrug’i qo`llaniladi.Masalan: > _ EnvAllSolutions := true : > solve ( sin ( x )= cos ( x ), x ); 1 4π+πZ ~ 21$ $Maple da π _ Z ~ belgisi butun tipning o ` zgarmasini aniqlaydi , bu berilgan tenglama yechimi uchun x:= π/4+πn , n – butun son . Misol 1. Tenglamaning ( 0;2  ) oraliqqa tegishli yechimlarini toping. cos x=− √2 2 Maple dasturida yechish: > _EnvAllSolutions:=true: > solve(cos(x)=-sqrt(2)/2,x); 3 4 p - 3 2 p _B 1~ + 2 p _Z2~ Misol 2. sin 2x= (cos x−sin x)2 tenglamaning [ 0;2  ] kesmada nechta ildizi bor? Maple dasturida yechish: > _EnvAllSolutions:=true: > solve(sin(2*x)=(cos(x)-sin(x))^2); 1 12 p + p _Z3~ , 5 12 p + p _Z3~ Transendent tenglamalarni yechish Transendent tenglamani yechishda, yechim aniq ko`rinishda bo`lishi uchun solve buyrug’idan avval _ EnvExplicit := true buyrug ’ ini ifodalash kerak . > eq:={ 7*3^x-3*2^(z+y-x+2)=15, 2*3^(x+1)+ 3*2^(z+y-x)=66, ln(x+y+z)-3*ln(x)-ln(y*z)=-ln(4) }: > _EnvExplicit:=true: > s:=solve(eq,{x,y,z}): > simplify(s[1]);simplify(s[2]); { x =2, y =3, z =1}, { x =2, y =1, z =3} Quyida keltirilgan ko’rsatkichli tenglama va tengsizliklarning yechimi Maple muhitida topilgan. Misol 1. Tenglamani yeching. 4x−4=0,5 Maple dasturida yechish: > eq:={4^(x-4)=0.5}; 22$ $eq := 4 x - 4 ( ) = 0.5 { }> _EnvExplicit:=true: > s:=solve(eq,{x}); s := x = 3.500000000{ } Javob: x = 3,5 Misol 2. Tenglamani yeching. 3.5x-5 =( 4 49 ) 2 Maple dasturida yechish: > eq:={3.5^(x-5)=(4/49)^2}; eq := {3.5(x−5)= 16 2401 } > _EnvExplicit:=true: > s:=solve(eq,{x}); s := x = 1.000000000 { } Javob: x = 1 Misol 3. Tenglamaning ildizi 10 dan qancha kam? 3x+1⋅27 x−1=97 Maple dasturida yechish: > eq:={3^(x+1)*27^(x-1)=9^7}; eq := 3x + 1 ( ) 27 x - 1 ( ) = 4782969 { } > _EnvExplicit:=true: > s:=solve(eq,{x}); s := x = 4 { } > assign(s); simplify(10-x); 6 Javob: 6 Misol 4. Tenglamani yeching. 22x−1⋅4x+1 8x−1 =64 Maple dasturida yechish: 23$ $> eq:={(2^(2*x-1)*4^(x+1))/8^(x-1)=64};eq :={ 22x−1⋅4x+1 8x−1 =64 } > _EnvExplicit:=true: > s:=solve(eq,{x}); s := x = 2 { } Javob: x = 2 Misol 5. ex+7e−x=8 tenglamaning ildizlari yig’indisini toping. Maple dasturida yechish: > eq:={exp(x)+7*exp(-x)=8}; eq := e x + 7 e - x( ) = 8 { } > _EnvExplicit:=true: > s:=solve(eq,{x}); s := x = ln 7( ){ } , x = 0{ } Javob: x = ln 7 Misol 6. 4x+1− 2x+4+3⋅2x+2+48 = 0 tenglamani yeching. Maple dasturida yechish: > eq:={4^(x+1)-2^(x+4)+3*(2^(x+2))+48=0}; eq := 4x + 1 ( ) - 2x + 4 ( ) + 3 2x + 2 ( ) + 48 = 0 { } > _EnvExplicit:=true: > s:=solve(eq,{x}); s:= {x= ln ( 1 2+ 1 2 I√47 ) ln (2) },{x= ln ( 1 2− 1 2 I√47 ) ln (2) } 24$

XULOSA
Ushbu kurs ishida tengsizliklar va tengsizliklar sistemasini yechishning
nazariy va amaliy jihatlari batafsil ko'rib chiqildi. Ushbu jarayon matematik
bilimlarni chuqurlashtirishga va ularni amaliy masalalarda qo'llashga yordam
beradi. Talabalar uchun tengsizliklar va ularning sistemalarini o'rganish, matematik
fikrlash qobiliyatini rivojlantirish, shuningdek, amaliy masalalarni yechish uchun
zarur bo'lgan bilimlarni olish imkoniyatini yaratadi.
Tengsizliklar va ularning asosiy turlari haqida olingan bilimlar, talabalar
uchun nafaqat nazariy, balki amaliy jihatdan ham qimmatli bo'ladi. Ular
iqtisodiyot, muhandislik, tabiiy fanlar va boshqa sohalarda keng qo'llanilishi
mumkin bo'lgan matematik vositalar sifatida xizmat qiladi. Misol uchun, iqtisodiy
modellarni ishlab chiqishda, resurslarni optimal taqsimlashda va turli xil
cheklovlarni hisobga olishda tengsizliklar muhim ahamiyatga ega.
Kurs davomida tengsizliklar sistemasini yechishning turli metodlari,
masalan, grafik usul, algebraik usul va boshqa algoritmlar chuqur tahlil qilindi. Bu
metodlar talabalarni tengsizliklarni yechish jarayonida mustaqil ravishda fikrlashga
va muammolarni hal qilishga o'rgatadi. Shuningdek, amaliy misollar orqali
tengsizliklar va ularning sistemalarini qanday qilib real hayotdagi masalalarga
tatbiq etish mumkinligi ko'rsatildi.
Ushbu kurs ishining natijalari, talabalar uchun nazariy bilimlarni amaliyotda
qanday qo'llash mumkinligini ko'rsatish bilan birga, ularning o'z bilimlarini yanada
kengaytirishga yordam beradi. Olingan bilimlar, kelajakda talabalarni turli xil
sohalarda faoliyat yuritishga tayyorlaydi.
Tengsizliklar nazariyasi, matematik modellashtirishda, iqtisodiy tahlil va
muhandislikda zaruriy vosita sifatida xizmat qiladi. Olingan bilimlar orqali
talabalar, o'z faoliyatlari davomida yuzaga keladigan muammolarni yechish uchun
zarur bo'lgan matematik ko'nikmalarga ega bo'lishadi. Bu esa, ularning kelajakdagi
muvaffaqiyatlariga katta hissa qo'shadi.
Shu sababli, tengsizliklar va ularning sistemalarini o'rganish kursi, talabalar
uchun juda muhim va dolzarbdir. Olingan bilimlar, nafaqat nazariy jihatdan, balki
25

amaliy qo'llanilishida ham katta ahamiyatga ega bo'ladi. Ular, kelajakda o'z
kasblarida muvaffaqiyat qozonishlari uchun zaruriy asosni taqdim etadi.
Umuman olganda, ushbu kurs ishining natijalari, tengsizliklar va ularning
sistemalarini o'rganish jarayonida talabalarni yanada kengroq fikrlashga va
muammolarni hal qilishga tayyorlaydi. Bu esa, ularning kelajakdagi faoliyatlariga
ijobiy ta'sir ko'rsatadi va ularni muvaffaqiyatga erishishlariga yordam beradi.
Matematik bilimlarning ahamiyatini e'tiborga olgan holda, ushbu kurs ishining
natijalari har bir talaba uchun foydali va zaruriy hisoblanadi.
26

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR :
1. Матросов А. Решения задачи математики и механики системе
М aple -6 . Санкт-Петергбург . 2000
2. Савотченко С.Е., Кузьмичева Т.Г. Методы решения мате-
матических задач в Maple . : Учебное пособие - Белгород: Изд. Белаудит,
2001. - 116 с
3. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач вычислитель-ной
математики в пакетах Mathcad 12, Mathlab 7, Maple 9. 2007
4. Очков В.Ф. "Советы пользователям Mathcad ". (Второй выпуск,
советы 100-...)
5. Mathcad 2001 - что нового. КомпьютерПресс, 4'2001
6. Гандмахер Р. Теория матриц. М.: Наука, 1985.
27

Matematik tizimlarda tengsizliklar va tengsizliklar sistemasini yechish

Sotib olish

Dokument ma'lumotlari

Sotuvchi

Matematik tizimlarda tengsizliklar va tengsizliklar sistemasini yechish

O'xshash dokumentlar