• Всего документов: 5844
  • Число пользователей: 15251

Информация о документе

Цена 25000UZS
Размер 379.6KB
Покупки 2
Дата загрузки 28 Март 2025
Расширение docx
Категория Геометрия

Продавец

Jo‘rayev Imomali

Дата регистрации 25 Февраль 2025

6 Продаж

Muntazam ko‘pyoqlar

Xususan, u olov tetraedr shaklidagi zarralardan tashkil topadi deb o ylagan bo lsa,ʻ ʻ havoni oktaedr ko rinishidagi zarralardan iborat deb hisoblagan. ʻ Suv esa Platon jismlari orasida eng “silliqrog i” bo lgan — ikosaedrlardan tashkil ʻ ʻ topgan deb qabul qilingan. Yerni, ya ni tuproqni esa Platon eng mustahkam va barqaror ko pyoq – kublardan ʼ ʻ tuzilgan deb ta kidlagan. Beshinchi shakl – dodakaedr samo bo ylab yulduzlarning ʼ ʻ joylashtirilishida ahamiyat kasb etgan deb ishonilgan. 25 II.bob Muntazam ko‘pyoqlarning asosiy turlari 2.1 Tetraedr Tetraedr (qadimgi yunoncha: - tetra va - hedra — yoq, asos) — uchburchakli piramida. Tetraedrning yoqlari muntazam uchburchaklardan iborat bo lsa, uʻ muntazam Tetraedr deyiladi. Muntazam Tetraedr — muntazam ko pyoklarning 5 ta turidan biri; uning 4 ta ʻ (uchburchakli) yoqlari, 4 ta uchi va 6 ta qirrasi bor. Muntazam Tetraedr qolgan 4 ta muntazam ko pyoqlilardan farqli ravishda ʻ simmetriya markaziga ega bo lmaydi. ʻ MuntazamTetraedrning 6 ta simmetriya tekisligi bo lib, bu tekisliklarning har ʻ biri Tetraedrning bir qirrasi va bu qirra bilan uchrashmaydigan qirrasining o rtasidan ʻ o tadi. ʻ Tetraedr – bu piramidaning alohida holati, ya'ni uning barcha yuzlari uchburchaklar, shu jumladan piramidaning asosi. Barcha piramidalar singari, tetraedr ham ko'pburchakdir – tekis yuzlari va tekis qirralari bo'lgan uch o'lchovli geometric shakl. "Tetra" so'zi yunoncha bo'lib, to'rtta degan ma'noni anglatadi, chunki tetraedrning 4 ta yuzi bor 15 Muntazam qavariq ko’pyoqlarning beshta turi bor. Muntazam tetraedrning yoqlari muntazam uchburchaklardan iborat; xar bir uchida uchtadan qirra birlashadi. Tetraedr hamma qirralari teng bo‘lgan uchburchakli piramidadan iborat. Kubning hammayoqlari kvadratlardan iborat xar bir uchida uchta qirra birlashadi. Kub qirralari teng bo’lgan to’g’ri burchakli parallelipipeddir. Oktaedrning yoqlari muntazam uchburchaklar bo’lib, tetraedrdan farqi shundaki, uning xar bir uchida to’rttadan qirra birlashadi. Dodekaedrning yoqlari muntazam beshburchaklardan iborat. Uning xar bir uchida uchtadan qirra birlashadi. Ikosaedrning yoqlari muntazam uchburchaklardan iborat bo‘lib, tetraedr va oktaedrdan farqi shundaki, uning xar bir uchida beshtadan qirra birlashadi. Parallel ko`chirish bilan ustma-ust tushuvchi ikkita yassi ko`pburchakdan va ko`pburchaklarning mos nuqtalarini tutashtiruvchi hamma kesmalardan iborat ko`pyoq prizma deyiladi. Ko`pburchaklar prizmaning asoslari deyiladi, mos uchlarini tutashtiruvchi kesmalar esa prizmaning qirralari deyiladi. Prizmaning yon qirralari asoslariga perpendicular bo`lsa, u to`g`ri prizma deyiladi, Aks xolda, og‘ma prizma deyiladi. To‘g‘ri prizmaning asoslari muntazam ko‘pburchak bo‘lsa, u Muntazam prizma deyiladi. Prizmaning asosi parallelogram bo`lsa, bunday prizma parallelopiped deyiladi. Parallelopipedning hammayoqlari parallelogrammdir. Ushbu rasmda to`g`ri parallelepiped tasvirlangan. Parallelopipedning umumiy uchlarga ega bo`lmagan yoqlari qarama-qarshi yoqlar deyiladi. Asosi to`g`ri to`rtburchakdan iborat to`g`ri parallelepiped to`g`riburchakli parallelepiped deyildi. Hamma qirralari teng bo`lgan to`g`ri parallelepiped kub deyiladi. Piramida deb shunday ko`pyoqqa aytiladiki, u tekis ko`pburchak- piramida asosidan, asos 6 aylanaga tashqi chizilgan ko’pburchak deyiladi. Muntazam qavariq ko’pburchak aylanaga ichki chizilgan bo’lishi va aylanaga tashqi chizilgan bo’lishi mumkin. Muntazam ko’pyoqlining hamma qirralari va hamma ko’pyoqli burchaklari hamda tekis burchaklari o’zaro teng bo’ladi. Agar qavariq ko’pyoqlining tomonlari soni bir xil bo’lgan muntazam ko’pburchakdan iborat bo’lsa va shu bilan birga ko’pyoqning har bir uchida bir xil miqdordagi qirralar uchrashsa bunday qavariq ko’pyoq muntazam ko’pyoq deyiladi. Ko pyoqlik – tekis ko pburchaklar bilan chegaralangan geometrik jism. Buʻ ʻ tekis ko pburchaklar ko‘pyoqlari, ko pburchak tomonlari ko‘pyoqlarning qirralari, ʻ ʻ ko pburchak uchlari esa ko‘pyoqlarning uchlari deyiladi. Ko‘pyoqlarning yoqlari ʻ ko pyoqli sirt hosil qiladi. Odatda, tasvirlangan jismlarga o xshash jismlar Ko‘pyoq ʻ ʻ qatoridan chiqarib tashlanadi. Shuning uchun Ko’pyoqni ta riflashda ko pyoqli sirtga (yoqqa) quyidagicha ʼ ʻ cheklash qo yiladi: 1) har bir qirra ikki va faqat ikki yoq uchun umumiy bo lsin ʻ ʻ (bunday yoklar qo shni deb ataladi); 2) har bir ikki yoqni ketma-ket qo shni yoqlar ʻ ʻ zanjiri bilan tutashtirish mumkin bo lsin; 3) har bir uch uchun yoqlarning shu uchga ʻ tegishli burchaklari biror bir ko p yokli burchakni chegaralasin. ʻ 14 Muntazam ko pyoqlar nafaqat matematik ob ektlar, balki ular tabiatda hamʻ ʼ uchraydi. Masalan, viruslar, minerallar va hatto ba zi dengiz organizmlari ham ʼ muntazam ko pyoq shakliga ega. ʻ Bundan tashqari, ular san at, arxitektura va dizaynda ham keng qo llaniladi. ʼ ʻ Muntazam ko pyoqlarni o rganish geometriya, algebra va kombinatorika kabi turli ʻ ʻ matematik sohalar bilan bog liq. Ularni o rganish orqali biz simmetriya, fazoviy ʻ ʻ tasavvur va matematik isbotlash kabi muhim tushunchalarni o rganamiz. ʻ Kurs ishining maqsadi : Talabalarga geometriyani o‘qitishning an’anaviy va zamonaviy metodlari haqida umumiy ma’lumotlar berish hamda ularning amaliy qo‘llanilishini o‘rgatish tushuntirish, Ular yordamida dastur tuzish va uni o‘qiy olishni o‘rgatish orqali talabalarning geometriya fanlariga qiziqishini yanada oshirish. Kurs ishining vazifasi: Bo‘lajak geometriya o‘qituvchilarini an’anaviy ta’lim metodi bo‘yicha tayyorlash tizimi mazmunining nazariy va amaliy holatini o‘rganish va tahlil qilish, talabalarga turli loyihalarni tasvirlashdagi o‘ziga xos xususiyatlar va ularning turlari haqida tushunchalar berish va takomillashtirish, talabalarning mavzu yuzasidan bilim, ko‘nikma va malakasini shakllantirish. Kurs ishining ob’yekti: Oliy ta’lim tizimida “Matematika” bakalavriyat ta’lim yo‘nalishidagi talabalarga nazariy va amaliy ta’lim berish jarayoni. Kurs ishining predmeti : Bo‘lajak muhandislarni tayyorlash bo‘yicha tahsil olayotgan talabalarning geometriya va muhandislik ilmini egallash jarayonidagi ta’lim mazmuni va texnologiyasi. Kurs ishining tuzilishi va tarkibi : Kurs ishi kirish qismi, ikki bob, to‘rt paragraf, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat. 4 Muntazam oktaedr Manxetten metrikasidagi uch o'lchovli shardir . Muntazam oktaedr – bu barcha yuzalari teng tomonli uchburchaklardan iborat bo‘lgan va barcha qirrasi teng bo‘lgan ko‘pburchak (polisimon) jismdir. U Platon jismlaridan biri bo‘lib, quyidagi xususiyatlarga ega Yuzalar soni: 8 ta teng tomonli uchburchak Qirralar soni: 12 ta Burchaklar soni: 6 ta Har bir burchakda uchta uchburchak uchrashadi. Simmetrik tuzilishga ega – har qanday markaziy kesim kvadrat shaklida bo‘ladi. Kub bilan bog‘liq – agar kubning burchaklarini kesib tashlasak, ichida muntazam oktaedr hosil bo‘ladi. Dual shakli kub – ya’ni, agar kubning markazlarini birlashtirsak, natijada muntazam oktaedr hosil bo‘ladi. Matematikada va kristallografiyada ko‘p qo‘llaniladi. Masalan, ayrim kristallar (masalan, olmos) oktaedrik shaklda bo‘lishi mumkin. 23 Geometriya-geometrik figuralarning xossalari haqidagi fandir. “Geometriya“ so‘zi grekcha so‘z bo‘lib, o‘zbekcha “yerni o‘lchash” degan ma’noni bildiradi. Geometriya amalda keng qo‘llaniladi. Bu fanni ishchi ham, injener (muhandis) ham, arxitektor ham, rassom ham bilishi kerak. Bir so‘z bilan aytganda, geometriyani hamma bilishi kerak. Maktabda o‘rganiladigan geometriya matematikadan “Negizlar” degan ajoyib asar yaratgan qadimgi grek olimi Evkled nomi bilan Evkled geometriyasi deb ataladi. Uzoq vaqtlar davomida geometriya shu kitob bo‘yicha o‘qitilgan. Geometriya ikki bo‘limdan iborat bo‘lib, planimetriya va stereometriya bo‘limlaridir. 11 2.3 Oktaedr Oktaedr( yunoncha: oktaedr , yunoncha okt , "sakkiz" va yunoncha tha , "tayanch" dan) - sakkiz yuzli ko'pburchak . Muntazam oktaedr – platonic qattiq jismlar deb ataladigan beshta qavariq muntazam ko'pburchaklardan biri Muntazam oktaedrning yuzlari sakkizta muntazam uchburchakdir . Muntazam oktaedr kub bilan dualdir. Bu tetraedrning to'liq kesilishi . Muntazam oktaedr uchta orthogonal yo'nalishning har birida kvadrat bipiramidadir . Bundan tashqari, to'rtta yo'nalishning har birida uchburchak antiprizma hisoblanadi . Oktaedr – bu giperoktaedr haqidagi umumiy tushunchaning uch o'lchovli versiyasi . 22 I.bob Muntazam ko‘pyoqlar ta'rifi va xususiyatlari 1.1 Muntazam ko pyoqlar ta rifiʻ ʼ Muntazam ko pyoq – hamma yoklari muntazam teng ko pburchaklar va ʻ ʻ hamma ko pyokli burchaklari teng bo lgan qavariq ko pyoq. ʻ ʻ ʻ Muntazam ko pyoqning har bir uchidan chiquvchi qirralari soni bir xil. ʻ Yevklid Muntazam ko pyoqning faqat 5 turi bor ekanini isbot etgan: muntazam ʻ tetraedr, kub, muntazam oktaedr, muntazam dodekaedr, muntazami kosaedr. Muntazam ko pyoqlarning har birini kubni tekisliklar bilan kesish orqali hosil ʻ qilinadi. Muntazam tetraedrdan boshqa hamma Muntazam ko pyoqlarning ʻ simmetriya markazi bor. Har qanday Muntazam ko pyoqqa tashqi yoki ichki sfera chizish mumkin. ʻ Sirti chekli miqdordagi yassi tekisliklardan iborat jism ko`pyoq deyiladi. Agar ko`pyoqning o`zi uning sirtidagi har bir ko`pburchak tekisligining bir tomonida yotsa, bunday ko`pyoq qavariq ko`pyoq deyiladi. Qavariq ko`pyoqning sirti bilan bunday tekislikning umumiy qismi yo‘q deyiladi. Qavariq ko`pyoqning yoqlari qavariq ko`pburchaklardan iborat. Ko`pyoq yoqlarinig tomonlari uning qirralari, uchlari esa ko`pyoqning uchlari deyiladi. Bu ta’rifni bizga tanish kub misolida tushuntiraman. Kub qavariq ko`pyoqdir. Uning sirti oltita kvadratdan tashkil topgan: ABCD, BEFC, … . Bu kvadratlar kubning yoqlaridir. Bu kvadratlarning AB, BC, BE… tomonlari kubning qirralari bo`ladi. Kvadratning A,B,C,D,E,… uchlari kubning uchlari bo‘ladi. Kubda oltita yoq, o`n ikkita qirra va sakkizta uch bor. Agar qavariq ko’pyoq yoqlarining tomonlari soni bir xil bo’lgan muntazam ko’pburchakdan iborat bo’lsa va shu bilan birga ko’pyoqning har bir uchida bir xil miqdordagi qirralar uchrashsa, bunday qavariq ko’pyoq muntazam ko‘pyoq deyiladi. 5 XULOSA Muntazam ko pyoqlar – barcha yuzalari bir-xil muntazam ko‘pburchaklardanʻ tashkil topgan va burchaklari bir xil bo‘lgan uch o‘lchamli jismlar. Ular Platon jismlari deb ham ataladi va faqat besh xil bo‘lishi mumkin. Tetraedr – 4 ta teng tomonli uchburchak yuzaga ega. Kub (Geksaedr) – 6 ta kvadrat yuzaga ega. Oktaedr – 8 ta teng tomonli uchburchak yuzaga ega. Dodekaedr – 12 ta muntazam beshburchak yuzaga ega. Ikosaedr – 20 ta teng tomonli uchburchak yuzagaega. Muntazam ko pyoqlar faqat ʻ beshta bo‘lishi mumkin, chunki faqat shu shakllarda burchaklar va yuzalar uyg‘un joylashadi. Platon jismlari maktab geometriya kursida muntazam ko pyoqlar deb tanishtiriladi. ʻ Muntazam ko pyoq bu – yoqlari muntazam ko pburchaklardan tashkil topgan, ya ni ʻ ʻ ʼ tomonlari va burchaklari teng kattalikda bo lgan, uch o lchamli geometrik ob’yekt. ʻ ʻ Platon jismining har bir cho qqisidan bir xil sondagi qirralar chiqib keladi. Platon ʻ jismlari ichida eng taniqlisi va soddasi bu – kub bo lib, uning hamma 6 ta yog i bir ʻ ʻ xil o lchamdagi kvadratlardan tashkil topgan bo ladi. ʻ ʻ Qadimgi yunonlar geometriyani juda yaxshi rivojlantirgan edi. Umuman olganda, atiga 6 xil Platon jismlarini yasash mumkinligini ham eramizdan avval Yunoniston matematiklari allaqachon isbotlab qo ygan. ʻ Bu olti xil muntazam ko pyoqlar quyidagilardir: kub, tetraedr, oktaedr, dodekaedr ʻ hamda ikosaedr. Masalan, ikosaedr yoqlari 20 ta uchburchakdan iborat bo ladi. ʻ Taxminan eramizdan avvalgi 428—348-yillarda yashab o tgan yunon olimi Platon ʻ o zining “Timey” nomli asarida ushbu muntazam ko pyoqlardan beshtasining ʻ ʻ yasalishi haqida batafsil to xtalgan. ʻ Platon ushbu jismlarning simmetriyasi hamda matematik jozibasiga lol qolish bilan birga, ushbu shakllar koinotni tashkil qiluvchi, to rt asosiy unsurlarning ʻ mohiyat shamoyilini ham belgilaydi deb hisoblagan. 24 Muntazam tetraedrning uchini qarama-qarshi yuzning markaziy qismi bilan bog'laydigan simmetriya o'qi. Ta'rifga ko'ra, tetraedrning istalgan cho'qqisidan va shu cho'qqiga qarama- qarshi yuzning markazidan o'tadigan chiziq mediana deb ataladi. Shunday qilib, tetraedr to'rtta 4 medianaga ega. Tetraedr – bu piramidaning alohida holati, ya'ni uning barcha yuzlari uchburchaklar, shu jumladan piramidaning asosi. Barcha piramidalar singari, tetraedr ham ko'pburchakdir – tekis yuzlari va tekis qirralari bo'lgan uch o'lchovli geometric shakl. "Tetra" so'zi yunoncha bo'lib, to'rtta degan ma'noni anglatadi, chunki tetraedrning 4 ta yuzi bor. Yuqoridagi rasmdan ko'rinib turibdiki, tetraedr har doim uchburchak asosga ega, tetraedrning to'rtta yuzidan istalgani, agar u muntazam bo'lsa, asos sifatida belgilanishi mumkin. Tetraedrning barcha yuzlari uchburchaklar, shu jumladan asos. Muntazam tetraedr – bu to'rtta uchburchak yuzlari teng va barcha ichki burchaklari teng bo'lgan tetraedrning maxsus holati. Quyidagi rasmda teng yonli tetraedr ko'rsatilgan. Muntazam tetraedrning barcha yuzlari teng qirrali uchburchaklar bo'lganligi sababli, tetraedrning barcha ichki burchaklari oltmish gradus 60 ° ga teng bo'ladi va har qanday tepada uchrashadigan yuzlarning burchaklarining yig'indisi 180 ° ga teng bo'ladi. Simmetriya o'qlari muntazam tetraedralar bilan ishlaganda alohida ahamiyatga ega. Muntazam tetraedrning uchini qarama-qarshi yuzning markaziy qismi bilan bog'laydigan simmetriya o'qi. Ta'rifga ko'ra, tetraedrning istalgan cho'qqisidan va shu cho'qqiga qarama- qarshi yuzning markazidan o'tadigan chiziq mediana deb ataladi. Shunday qilib, tetraedr to'rtta 4 medianaga ega. Tetraedrning medianasi 17 yigindisi” mavzusini o’tishda darslikda belgilanganidek dastlab mashqni barcha o’quvchilar individual tarzda bajaradilar. So’ngra darslik matni 3 ta qismga ajratilganligiga e’tiborni qaratib, sinf o‘quvchilarini 3 guruhga ajratib “Bumerang” usulida topshiriqlarni guruhlarga bo‘lib berish lozim. Belgilangan vaqtdan so’ng guruhlar tartib raqamiga qarab o’zlariga yuklatilgan topshiriqni taqdim etadilar. Bu jarayonda o‘qituvchi kuzatuvchi sifatida ishtirok etadi va o‘quvchilar yo’l qo’ygan xato va kamchiliklarni tuzatib, to‘ldirib boradi. Ushbu ishga guruhlarni jalb qilish masalasiga to’xtaladigan bo’lsak, birinchi guruhga bilimlari bir oz sayozroq bo’lgan o’quvchilarni jamlash mumkin, chunki birinchi topshiriq qolgan 2 ta topshiriqqa nisbatan o’zlashtirilishi yengil bo’lib, unda qavariq burchak, burchakning ichki va tashqi sohasi, hamda ko’pburchakning ichki burchagining tarafini keltiradilar va bu borada tushunchalar beradilar. Ikkinchi guruh a’zolari qavariq burchakning ichki burchaklarining yig’indisi, uchinchi guruh esa tashqi burchaklarining yig’indisi haqidagi teoremalarni isbotlab beradilar. Mavzuni o’rganishni bunday innovatsion usulda tashkil etish orqali birinchidan o’quvchida mustaqil o’qib-o’rganish ko’nikmasi shakllantirilsa, ikkinchidan u darslik bilan ishlashni o’rganadi va uning matemtik nutqi, fikrlash madaniyati shakllanib boradi. Mavzuning nazariy qismi shu tariqa hamkorlikda o’rganish maqsadga muvofiq bo’ladi. Mavzuni mustahkamlash uchun masalalar yechiladi. Hamma tomonlari teng va hamma burchaklari teng bo’lgan qavariq ko`pburchak muntazam ko’pburchak deyiladi. Hamma uchlari biror aylanada yotgan ko’pburchak aylanaga ichki chizilgan ko’pburchak deyiladi. Hamma tomonlari biror aylanaga uringan ko’pburchak 13 Kub – bu muntazam geometric figura, uning barcha yuzlari bir tomon uzunligi bilan teng kvadratlardir a (bu ham kubning chetidir). Har bir yuzning maydoni quyidagicha hisoblanadi: S = a ⋅ a = a2. Hammasi bo'lib kubning 6 ta yuzi bor, ya'ni uning sirt maydoni bitta yuzning olti maydoniga teng: S = 6 ⋅ a2. 21 O ‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM FAN VA INOVATSIYALAR VAZIRLIGI TERMIZ DAVLAT PEDAGOGIKA INSTITUTI FAKULTETI SIRTQI BO`LIM FAKULTETI GEOMETRIYA FANIDAN Himoyaga tavsiya etilgan Sirtqi (maxsus) bo‘lim Fakulteti dekani ______________X.Raufjon "___"__________ 2025 yil KURS ISHI MAVZU: Muntazam ko‘pyoqlar Matematika va informatika kafedrasi mudiri: PhD : S.Sattorov "___"__________ 2025 yil O‘qituvchi: Bozorov. Z Ilmiy rahbar: "___"__________ 2025 yil 23-03 guruh talabasi: Qurbonova M. Talaba: Termiz-2025 1 Mavzu: Muntazam ko‘pyoqlar MUNDARIJA: KIRISH.…………………………………………………………………….3 I.bob Muntazam ko‘pyoqlar ta'rifi va xususiyatlari 1.1 Muntazam ko pyoqlar ta rifi…………………………………………..5ʻ ʼ 1.2 Muntazam ko‘pyoqlar tushunchasi…………………………………….8 1.3 Ularning xususiyatlari va ahamiyati……………………………………12 II.bob Muntazam ko‘pyoqlarning asosiy turlari 2.1 Tetraedr………………………………………………………………..15 2.2 Geksaedr (kub)…………………………………………………………20 2.3 Oktaedr………………………………………………………………….22 Xulosa......………………………………………………………………….24 Foydalanilgan adabiyotlar va manbalar ro'yxati... ……………………26 K I R I SH 2 "Yoshlarimizni mustaqil fikrlaydigan, yuksak intellectual va ma'naviy salohiyatga ega bo'lib, dunyo miqyosida o‘z tengdoshlariga hech qaysi sohada bo'sh kelmaydigan insonlar bo'lib kamol topishi, baxtli bo'lishi uchun davlatimiz va jamiyatimizning bor kuch va imkoniyatlarini safarbar etamiz". (Sh.M.Mirziyoyev) Kurs ishining dolzarbligi: Muntazam ko‘pyoqlar – bu barcha yoqlari teng va muntazam ko‘pburchaklardan tashkil topgan uch o‘lchovli jismlardir. Ular geometriyada muhim o‘rin tutadi va qadimdan olimlar tomonidan o‘rganilgan. Muntazam ko‘pyoqlarning asosiy xususiyatlari shundaki, ularning barcha qirralari teng uzunlikda bo‘ladi, burchaklari bir xil va yoqlari o‘zaro bir xil shaklga ega bo‘ladi. Bunday jismlar qadimgi yunon matematiklari, ayniqsa, Platon tomonidan chuqur o‘rganilgan bo‘lib, ularning bor-yo‘g‘I beshta turi mavjudligi isbotlangan. Ushbu beshta muntazam ko‘pyoq Platonik jismlar deb ataladi: tetraedr, kub (geksaedr), oktaedr, dodekaedr va ikosaedr. Ular tabiatda, kristall tuzilmalarda, molekulyar strukturalarda va hatto astronomiyada uchraydi. Muntazam ko‘pyoqlar geometriyaning muhim sohasi bo‘lib, ularni o‘rganish fazoviy shakllarni tushunish davomida amaliy masalalarni yechishda katta ahamiyatga ega. Muntazam ko pyoqlar, har bir yog i muntazam ko pburchak bo lgan va har birʻ ʻ ʻ ʻ uchida bir xil sondagi yog lar tutashgan uch o lchovli shakllardir. Ular qadimdan ʻ ʻ matematiklar va san atkorlarni o ziga jalb qilib kelgan, chunki ular simmetriya va ʼ ʻ go zallikning ajoyib namunasidir. ʻ 3 19. "Abstrakt Algebra" - David S. Dummitva Richard M. Foote 20. "Matematika: Uning mazmuni, usullari va ma'nosi" - A.D. Aleksandrov, A.N. Kolmogorov va M.A. Lavrent'ev 21. "Princeton Matematika Hamrohi" - Timothy Gowers (tahrir) 22. "Statistik o'rganish elementlari" - Trevor Hastie, Robert Tibshiraniva Jerome Friedman 23. "Tahlilni tushunish" - Stephen Abbott 24. "X ning quvonchi: Matematikadan bir yo'l xaritasi, birdan cheksizlikka qadar" - Steven Strogatz 25. www.researchgate.net – Ilmiy maqolalar va tadqiqotlar ombori. 26. www.wikipedia.org – Ikkinchi tartibli chiziqlar klassifikatsiyasi 27. www.mathtutor.ac.uk – Matematika bo‘yicha darslik va video kurslar. 27 tekisligida yotmagan nuqta-piramida uchidan va uchni asosining nuqtalari bilan tutashtiruvchi hamma to`g`ri chiziqlardan iborat. Piramidaning uchini asosining uchlari bilan tutashtiruvchi kesmalar piramidaning yon qirralari deyiladi. Piramidaning asosi muntazam ko‘pburchak va balandligining asosi shu ko‘purchakning markazi bilan ustma-ust tushsa bunday piramida muntazam piramida deyiladi. Muntazam piramidaning balandligi yotgan to’g’ri chiziq uning o‘qi deyiladi. Muntazam piramida yon yog‘ining uchidan o‘tkazilgan balandligi apofema deyiladi. Piramida yon yoqlari yuzlarining yig‘indisi uning yon sirti deyiladi. Muntazam piramidaning yon sirti asosi perimetrining yarmi bilan apofemasining ko`paytmasiga teng. 7 1.2 Muntazam ko‘pyoqlar tushunchasi Hamma yoqlari tеng muntazam ko‘pburchaklardan tashkil tоpgan ko‘pyoqlarni muntazam ko‘pyoqlar dеyiladi. Ko‘pyoqlarning uchlari - U, yoqlari - Yo, qirralari - Q оrasidagi bоg‘lanishni quyidagi Eylеr tеоrеmasi ifоdalaydi. Tеоrеma. Muntazam ko‘pyoq uchun quyidagi munоsabat o‘rinli: U + Yo – Q = 2 Bunga muntazam ko‘pyoq uchun Eylеr хaraktеristikasi dеyiladi. (Eylеr хaraktеristikasi 2 ga tеng). Biz bu tеоrеma isbоtini хususiy hоlda muntazam ko‘pyoqlarda ko‘ramiz. Muntazam ko‘pyoqlarning 5 ta turi mavjud. Bular: tеtraedr, kub, оktaedr, ikоsaedr, dоdеkaedr. Muntazam tеtraedrning yoqlari muntazam uchburchaklardan ibоrat bo‘lib, har bir uchida uchtadan qirra birlashadi. Tеtraedr hamma qirralari tеng bo‘lgan uchburchakli piramidadan ibоrat. U 4 ta yoq, 6 ta qirra, 4 ta uchga ega. Kubning hamma yoqlari kvadratlardan ibоrat, har bir uchida uchta qirra birlashadi. Kub qirralari tеng bo‘lgan to‘g‘ri burchakli parallеlopipеd. U 6 ta yoq, 12 ta qirra, 8 ta uchga ega. Оktaedrning yoqlari muntazam uchburchaklar bo‘lib, tеtraedrdan farqi shundaki, uning har bir uchida to‘rtta qirra birlashadi. U 8 ta yoq, 12 ta qirra, 6 ta uchga ega. Dоdеkaedrning yoqlari muntazam bеsh burchaklardan ibоrat. Uning har bir uchida uchtadan qirra birlashadi. Muntazam ko pyoqlar, har bir yog i muntazam ko pburchak bo lgan va har birʻ ʻ ʻ ʻ uchida bir xil sondagi yog lar tutashgan uch o lchovli shakllardir. ʻ ʻ Ular qadimdan matematiklar va san atkorlarni o ziga jalb qilib kelgan, chunki ʼ ʻ ular simmetriya va go zallikning ajoyib namunasidir. Muntazam ko pyoqlarning ʻ ʻ xususiyatlari: Yog lari: Muntazam ko pburchaklar (masalan, uchburchaklar, ʻ ʻ kvadratlar, besh burchaklar). Uchlari: Har bir uchida bir xil sondagi yog lar tutashadi. ʻ 8 Platon jismining har bir cho‘qqisidan bir xil sondagi qirralar chiqib keladi. Platon jismlari ichida eng taniqlisi va soddasi bu – kub bo‘lib, uning hamma 6 ta yog‘i bir xil o‘lchamdagi kvadratlardan tashkil topgan bo‘ladi. Qadimgi yunonlar geometriyani juda yaxshi rivojlantirishgan edi. Umuman olganda atiga 6 xil platon jismlari yasash mumkinligini ham eramizdan avvalgi Yunoniston matematiklari allaqachon isbotlab qo‘yishgan. Bu olti xil muntazam ko‘pyoqlar quyidagilardir: kub, tetraedr, oktaedr, dodekaedr, hamda, ikosaedr. Masalan, ikosaedr yoqlari 20 ta muntazam uchburchaklardan iborat bo‘ladi. Taxminan, eramizdan avvalgi 428-348 yillarda yashab o‘tgan yunon olimi Platon o‘zining «Timey» nomli asarida ushbu muntazam ko‘pyoqlardan beshtasining yasalishi haqida batafsil to‘xtalgan. Platon ushbu jismlarning simmetriyasi hamda, matematik jozibasiga lol qolish bilan birga, ushbu shakllar Koinotni tashkil qiluvchi to‘rt asosiy unsurlarning mohiyat shamoyilini ham belgilaydi deb hisoblagan. Xususan, olov tetraedr shaklidagi zarralardan tashkil topadi deb o‘ylagan bo‘lsa, havoni u oktaedr ko‘rinishidagi zarralardan iborat deb hisoblagan. Suv esa, platon jismlari orasida eng «silliqrog‘i» bo‘lgani kosaedrlardan tashkil topgan deb qabul qilingan. Yerni, ya’ni, tuproqni esa Platon eng mustahkam va barqaror ko‘pyoq – kublardan tuzilgan deb ta’kidlagan. Beshinchi shakl – dodakaedr samo bo‘ylab yulduzlarning joylashtirilishida ahamiyat kasb etgan deb ishonilgan. Samoslik Pifagor taxminan eramizdan 550 yil muqaddam, ya’ni, Budda va Konfutsiy zamonasida yashab o‘tgan bo‘lib, uning asarlarida ushbu muntazam ko‘pyoqlardan uchtasi – kub, tetraedr va dodakaedr haqida qayd etiladi. Lekin, platon jismlarini toshdan yo‘nib yasashga bo‘lgan urinishlar Platondan ming yillab avval, so‘nggi neolit davrida yashagan. 10 1.3 Ularning xususiyatlari va ahamiyati Muntazam ko pyoqlar va ko pyoqlar o rtasidagi farqni tushunish uchun avvaloʻ ʻ ʻ har bir tushunchaning ta‘rifiga e tibor qaratish lozim. ʼ Ko pyoqlar – bu tekis ko pburchaklar bilan chegaralangan uch o lchovli ʻ ʻ ʻ geometrik shakllardir. Ular yog lar, qirralar va uchlarga ega. Ko pyoqlarning shakli va tuzilishi juda ʻ ʻ xilma-xil bo lishi mumkin. ʻ Masalan, piramidalar, prizmalar va boshqa ko plab shakllar ko pyoqlarga ʻ ʻ kiradi. Muntazam ko pyoqlar – bu ko pyoqlarning maxsus turidir. ʻ ʻ Ular quyidagi xususiyatlarga ega. Barcha yog lari muntazam ko pburchaklar: ʻ ʻ Bu degani har bir yog bir xil shaklga va o lchamga ega muntazam ko pburchakdir ʻ ʻ ʻ (masalan, teng tomonli uchburchak, kvadrat, muntazam beshburchak). Har bir uchida bir xil sondagi yog lar tutashadi: Bu degani har bir uchida bir ʻ xil sondagi yog lar bir-biriga qo shiladi. ʻ ʻ Muntazam ko pyoqlarning xususiyatlari Yuqori darajadagi simmetriya: Ular ʻ har tomondan bir xil ko rinishga ega. Cheklangan son: Evklid fazosida faqat beshta ʻ muntazam ko pyoq mavjud: tetraedr, kub, oktaedr, dodekaedr va ikosaedr. ʻ Muntazam ko pyoqlarning ahamiyati: Matematika: Muntazam ko pyoqlar ʻ ʻ geometriya va simmetriya nazariyasida muhim rol o ynaydi. Ular tabiatda, masalan, ʻ viruslar va minerallarning tuzilishida uchraydi. San at va arxitektura: ʼ Ular san at asarlarida va arxitektura tuzilmalarida estetik maqsadlarda ʼ qo llaniladi. Ko pyoqlar – bu kengroq tushuncha bo lib, u turli xil shakllarni o z ʻ ʻ ʻ ʻ ichiga oladi, muntazam ko pyoqlar esa ko pyoqlarning maxsus turi bo lib, ular ʻ ʻ ʻ yuqori darajadagi simmetriya va muntazamlikka ega. Muntazam ko pyoqlar ko pyoqlarning maxsus toifasidir. Ular yuqori ʻ ʻ darajadagi simmetriya va go zallikka ega bo lib, matematika, tabiat va san atda ʻ ʻ ʼ muhim ahamiyatga ega. “Qavariq ko’pburchak ichki va tashqi burchaklarining 12 Qirralari: Har bir qirra ikki yog ning kesishishidan hosil bo ladi. Simmetriya:ʻ ʻ Muntazam ko pyoqlar yuqori darajadagi simmetriyaga ega. ʻ Muntazam ko pyoqlarning turlari Evklid fazosida faqat beshta muntazam ʻ ko pyoq mavjud. Tetraedr: To rtta uchburchak yog ga ega. Kub (geksaedr): Oltita ʻ ʻ ʻ kvadrat yog ga ega. ʻ Oktaedr: Sakkizta uchburchak yog ga ega. Dodekaedr: O n ikkita besh ʻ ʻ burchak yog . ʻ Ikosaedr: Yigirma uchburchak yog ga ega. Muntazam ko pyoqlarning ʻ ʻ ahamiyati. Muntazam ko pyoqlar nafaqat matematik ob yektlar, balki ular tabiatda ʻ ʼ ham uchraydi. Masalan, viruslar, minerallar va hatto ba zi dengiz organizmlari ham ʼ muntazam ko pyoq shakliga ega. Bundan tashqari, ular san at, arxitektura va ʻ ʼ dizaynda ham keng qo llaniladi. ʻ Muntazam ko pyoqlarni o rganish Muntazam ko pyoqlarni o rganish ʻ ʻ ʻ ʻ geometriya, algebra va kombinatorika kabi turli matematik sohalar bilan bog liq. ʻ Ularni o rganish orqali biz simmetriya, fazoviy tasavvur va matematik isbotlash kabi ʻ muhim tushunchalarni o rganamiz. ʻ Muntazam ko pyoqlar ko pincha "Platon jismlari" deb ham ataladi, chunki ʻ ʻ qadimgi yunon faylasufi Platon ularni o rganishga katta e tibor bergan. ʻ ʼ Muntazam ko pyoqlarning har birini kubni tekisliklar bilan kesish orqali hosil ʻ qilinadi. Muntazam tetraedrdan boshqa hamma Muntazam ko pyoqlarning ʻ simmetriya markazi bor. Har qanday Muntazam ko pyoqka tashqi yoki ichki sfera chizish mumkin. ʻ Platon jismlarini maktab geometriya kursida muntazam ko‘pyoqlar deb tanishtiriladi. Muntazam ko‘pyoq bu – yoqlari muntazam ko‘pburchaklardan tashkil topgan, ya’ni, tomonlari va burchaklari teng kattalikda bo‘lgan uch o‘lchamli geometric ob’yektdir. 9 Yuqoridagi rasmdan ko'rinib turibdiki, tetraedr har doim uchburchak asosga ega, tetraedrning to'rtta yuzidan istalgani, agar u muntazam bo'lsa, asos sifatida belgilanishi mumkin. Tetraedrning barcha yuzlari uchburchaklar, shu jumladan asos. Muntazam tetraedr – bu to'rtta uchburchak yuzlari teng va barcha ichki burchaklari teng bo'lgan tetraedrning maxsus holati. Quyidagi rasmda teng yonli tetraedr ko'rsatilgan. Muntazam tetraedrning barcha yuzlari teng qirrali uchburchaklar bo'lganligi sababli, tetraedrning barcha ichki burchaklari oltmish gradus 60 ° ga teng bo'ladi va har qanday tepada uchrashadigan yuzlarning burchaklarining yig'indisi 180 ° ga teng bo'ladi. Simmetriya o'qlari muntazam tetraedralar bilan ishlaganda alohida ahamiyatga ega. Muntazam tetraedrning uchini qarama-qarshi yuzning markaziy qismi bilan bog'laydigan simmetriya o'qi. Ta'rifga ko'ra, tetraedrning istalgan cho'qqisidan va shu cho'qqiga qarama-qarshi yuzning markazidan o'tadigan chiziq mediana deb ataladi. Shunday qilib, tetraedr to'rtta 4 medianaga ega. Muntazam tetraedrning barcha yuzlari teng qirrali uchburchaklar bo'lganligi sababli, tetraedrning barcha ichki burchaklari oltmish gradus 60 ° ga teng bo'ladi va har qanday tepada uchrashadigan yuzlarning burchaklarining yig'indisi 180 ° ga teng bo'ladi. Simmetriya o'qlari muntazam tetraedralar bilan ishlaganda alohida ahamiyatga ega. 16 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1. "Nodir Geometriya" - Nikolay Lobachevsky 2."Matematikaning Asoslari" - Bertrand Russell va Alfred North Whi tehead 3. "Matematika haqida bir muhandisning uzrli so'zlari" - G.H. Hardy 4. "Matematik Tahlil" - Tom Apostol 5. "Chiziqli Algebra to'g'ri bajarilishi" - Sheldon Axler 6. "Hisoblash" - Michael Spivak 7. "Hisoblash nazariyasiga kirish" - Michael Sipser 8. "Ehtimollik nazariyasiga birinchi kurs" - Sheldon Ross 9. "Diskret Matematika va uning Ilovalari" - Kenneth H. Rosen 10. "Graf nazariyasiga kirish" - Douglas B. West 11. "Muammo yechish san'ati, I tom: Asoslar" - Sandor Lehoczkyva Richard Rusczyk 12. "Matematik tahlilning asoslari" - Walter Rudin 13. "Algebra" - Israel M. Gelfand va Alexander Shen 14. "Topologiya" - James R. Munkres 15. "Haqiqiy tahlil: Zamonaviy usullar va ularning ilovalari" - Gerald B. Folland 16. "Sonlar nazariyasiga kirish" - G.H. Hardy va E.M. Wright 17. "Muhandislar uchun raqamli usullar" - Steven C. Chaprava Raymond P. Canale 18. "Ehtimollikni tushunish" - Dimitri P. Bertsekasva John N. Tsitsiklis 26 Noqonuniy tetraedr – bu tetraedr bo'lib, unda barcha yuzlar har xil o'lcham va shaklga ega. Bundan tashqari, matematikada kengaygan tetraedr tushunchasi mavjud bo'lib, u muntazam tetraedr va uning yuzlarini tasvirlaydigan shardan iborat. Kengaytirilgan tetraedr bir nechta qiziqarli xususiyatlarga ega va fanning turli sohalarida qo'llaniladi. Muntazam tetraedr to'rtta teng qirrali uchburchakdan iborat. Uning har birc ho'qqisi uchta uchburchakning cho'qqisidir. Demak, har bir cho'qqidagi tekislik burchaklarining yig'indisi 180° ga teng. Tetraedrning simmetriya markazi yo'q, lekin 3 simmetriya o'qi va 6 simmetriya tekisligiga ega. Shuni ta'kidlash kerakki, juda kamdan-kam hollarda muntazam uchburchaklardan iborat bo'lmagan geometric jismlar mavjud. 19 Muntazam tetraedrda har bir mediana simmetriya o'qiga to'g'ri keladi. Muntazam tetraedrning ikki qarama-qarshi tomonining o'rta nuqtasini bog'laydigan simmetriya o'qini ko'rib chiqsak, xuddi shunday holat yuzaga keladi. Tetraedrlarning turlari Yuzlarning joylashishiga va ular orasidagi burchaklarga qarab, tetraedrlarning bir-necha turlari mavjud. Teng tomonli tetraedr – bu tetraedr, uning barcha yuzlari teng tomonli uchburchaklar va ular orasidagi barcha burchaklar 60 gradusga teng. Tetraedr – bu tetraedr bo'lib, uning barcha yuzlari teng yonli uchburchaklardir, ya'ni ularning ikkita teng tomoni bor, uchinchi tomoni esa har xil uzunlikda bo'lishi mumkin. To'g'ri tetraedr – bu tetraedr, uning uchta yuzi to'g'ri burchakli uchburchak, to'rtinchi yuzi esa to'g'ri burchakli yoki teng tomonli uchburchak bo'lishi mumkin. 18 2.2 Geksaedr (kub) Geksaedr – bu olti yoqlik, ya'ni olti qirrali uch o'lchamli shakl. Eng mashhur geoksaedr – kub bo‘lib, uning 6 ta teng kvadrat yuzasi, 12 ta qirrasi va 8 ta uchi bor. Geksaedrlar faqat kub bilan cheklanmaydi, balki notekis olti yoqliklar ham bo‘lishi mumkin. Lekin agar barcha qirralari va burchaklari teng bo‘lsa, u muntazam geoksaedr (ya’ni kub) hisoblanadi. Matematikada va geometriyada geoksaedr ko‘p uchraydi, ayniqsa, uch o‘lchovli jismlarni o‘rganishda. Fanda, muhandislikda va hatto kompyuter grafikalarida ham uning ko‘plab qo‘llanilishlari bor. Kub (qadimgi yunoncha: – Kubos) (matematikada) – muntazam olti yoqlik. Kub 6 yoq, 12 qirra, 8 uchga ega. Kub yoqlari kvadratlardan iborat bo lib, har qaysiʻ uchida o zaro perpendikulyar uchtadan qirra birlashadi. ʻ Kub simmetriya markazi, 9 tadan simmetriya o qi va simmetriya tekisligiga ʻ ega. Qirrasi a bo lsa, Kubning sirti S=6a², hajmi V=a³ga teng; Kubning barcha ʻ qirralarining yig indisi L=12a bo ladi. Kub – bir xi lo'lchamlarga ega bo'lgan uch ʻ ʻ o'lchamli figura. Uning uzunligi, kengligi va balandligi bir xil bo'lib, har bir chekka boshqa qirralar bilan bir xil burchak ostida uchrashadi. Kubning sirt maydonini toppish tez va oson, chunki u mos yoki mutanosib kvadratlardan iborat. Kub eng oddiy uch o'lchamli shakllardan biridir. Har bir inson muzkublari, kvadrat qutilar yoki tuz kristallari bilan tanish – bularning barchasi shunday figuralar. Kubning sirt maydoni umumiy maydoni uning yuzasida barcha tomonlar. Uning oltita yuzining hammasi mutanosib dir, shuning uchun ulardan birining uzunligini bilib, har qanday raqamning lateral maydoni va sirt maydonini hisoblash mumkin. 20

Muntazam ko‘pyoqlar

Купить