O'zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan differensial tenglamalarni - Pedagogika - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	9000UZS
Hajmi	874.9KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	22 Mart 2026
Kengaytma	doc
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Pedagogika

Sotuvchi

Rustambek

Ro'yxatga olish sanasi 21 Mart 2026

1 Sotish

O'zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan differensial tenglamalarni

Sotib olish

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY VA O’RTA MAXSUS TA ’ LIM VAZIRLIGI
JIZZAX DAVLAT PEDAGOGIKA INSTITUTI
SIRTQI (MAXSUS SIRTQI) BO’LIM
Matematika o’qitish metodikasi yo’nalishi
Matematik analiz fanidan
KURS ISHI
Mavzu: ” O`zgaruvchiga ajralgan va
ajraladigan differensial tenglama”.
Kurs ishini bajardi: ______________________________
Kurs ishi rahbari: _______________________________
JIZZAX 2 025- yil
1

MUNDARIJA
Kirish…………………….………………………………………………..3
I.Bob. Differensial tenglama.
1.1. Differensial tenglama xaqida umumiy tushunchalar ………….……..7
1.2. Birinchi tartibli tenglamalar…………………………………………..8
1.3. O`zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan differensial tenglamalar………9
II.Bob. Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglama.
2.1. Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglama haqida
ma’lumot……………………………………………………………………11
2.2. Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglamalarni
integrallash usullari haqida………………………………………………….14
2.3.Hosilaga nisbatan yechilmagan tenglamalar uchun izogonal trayektoriyalar
to’g’risidagi masala…………………………………………………………..24
III.BOB. Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial
tenglamalar
3.1. Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglama uchun
mavjudlik va yagonalik haqidagi teorema……………………………………25
3.2.Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglama uchun
mavjudlik va yagonalik haqidagi teoremaning isboti…………………………29
XULOSA……………………………………………………………………31
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati………………………………………32
2

Kirish
Bugun jamiyatimizning taraqqiyotini malakali kadr, salohiyatli va yetuk
mutaxassislarsiz tasavvur etib bo’lmaydi. Shu bois prezidentimiz Shavkat
Mirziyoyev tashabbusi bilan mamlakatimizda barkamol avlodni tarbiyalash eng
ustivor vazifalardan biriga aylandi. Zamonaviy bilim va malakaga ega kadrlar
tayyorlashga davlat siyosati darajasidagi vazifa sifatida qaralmoqda “Ta’lim
to’g’risida” 1
gi Qonun, Kadrlar tayyorlash milliy dasturi bu boradagi ishlarni
butunlay yangi bosqichga olib chiqdi. Mamlakatimizda sog’lom va barkamol
avlodni tarbiyalash, yoshlarning o’z ijodi va intelektual salohiyatini ro’yobga
chiqarish, mamlakatimiz yigit-qizlarini XXI asr talabalariga to’liq javob
beradigan har tomonlama rivojlangan shaxslar etib voyaga yetkazish uchun
zarur shart-sharoitlar va imkoniyatlarni yaratish bo’yicha keng ko’lamli aniq
yo’naltirilgan chora tadbirlarni amalga oshirish maqsadida keng ko’lamli ishlar
olib borilmoqda.Tayyorlanayotgan mutaxassislarga real iqtisodiyot tarmoqlari
va sohalardagi mavjud talabga alohida e’tibor qaratilgan holda o’sib
kelayotgan yosh avlodga ta’lim va tarbiya berish sohasidagi moddiy texnika
bazani yanada mustahkamlash undan oqilona va samarali foydalanishni
ta’minlash, davlat ta’lim standartlari, o’quv dasturlari va o’quv-uslubiy
adabiyotlarni takomillashtirish;
ta’lim jarayoniga yangi axbarot-kammunikatsiya va pedagogik
texnalogiyalarni,elektron darsliklar,multimediya vositalarni keng joriy etish
orqali mamlakatimiz maktablarida,kasb-huhar kollejlarida,litseylari va oily
o’quv yurtlarda o’qish sifatini tubdan yaxshilash,talim muassasalarning o’quv
labaratorya bazasini zamonaviy turdagi o’quv va labaratorya
uskunalari,kompyuter texnikasi bilan mustahkamlash, shuningdek, o’qituvchilar
va murabbiylar mehnatini moddiy hamda ma’naviy rag’batlantirish bo’yicha
samarali tizimni yanada rivojlantirish;
1- O’zbekiston Respublikasining 2020-yil 23-sentabrdagi O’RQ 637-sonli Qonun
3

zamonaviy axborot va kammunikatsiya texnologiyalari raqamli va keng
farmatli telekammunikatsiya aloqa vositalari hamda internet tizimini yanada
rivojlantirish ,ularni har bir oila hayotida joriy etish va keng o’zlashtirish;
yosh avlodni jismonan barkamol etib tarbiyalash,bolalar sportni
rivojlantirish sohasida yoshlarni, ayniqsa qishloq qizlarni sport bilan
muntazam shug’ullanishga keng jalb qilish yangi sport majmualarni stadion
va inshootlarni qurish,ularni zamonaviy sport anjomlari va jihozlari bilan
ta’minlash, yuqori malakali ustoz va murabbiylar bilan mustahkamlash
bo’yicha amalga oshirilayotgan ishlarni izchil kuchaytirish;
iqtisodiyotni tarkibiy o’zgartirishning muhim yo’nalishi , aholi va o’rta
sinf mulkdorlari daromadlarini shakllantirish asosi bo’lgan kichik biznes
hamda xususiy tadbirkorlikni rivojlantirishni yanada rag’batlantirish,bu
sohadagi mavjud muammolarni hal etish, yoshlar avvalambor, kasb hunar
kollejlari va oliy ta’lim muassasalari bitiruvchilarni ayniqsa, qishloq joylarda
tadbirkorlik faoliyatiga keng jalb etish uchun sharoit yaratish;
ilm-fanni yanada rivojlantirish, iqtidorli va qobilyatli yoshlarni ilmiy
faoliyatiga keng jalb etish ularning o’z ijodiy va intelektual salohiyatini
ro’yobga chiqarish uchun sharoit yaratishga doir kompleks chora tadbirlarni
ishlab chiqish;
Yosh avlodga g’amxo’rlik qilish ishlarini kuchaytirish,ularni huquqiy va
ijtimoiy muhofaza qilishni ta’minlash jismonan va har tamonlama rivojlangan
barkamol avlodni milliy va umuminsoniy qadriyatlar hamda vatanga muhabbat
ruhida tarbiyalash borasida jamiyatning muhim bo’g’ini bo’lgan sog’lom va
mustahkam oilani shakllantirish uchun zarur shart-sharoitlarni yaratish;
yoshlar o’rtasida sog’lom turmush tarzini qaror toptirish, ularni ichkilik va
giyohvandlik illatlardan,boshqa turli halokatli tahlidlar hamda biz uchun yod
4

bo’lgan diniy va ekstrimik tasirlardan,tuban “ommaviy madaniyat”
xurujlardan himoya qilishga doir kompleks chora tadbirlarni amalga oshirish.
Hozirgi kunda insoniyatning oldida ko’plab og’riqli muammolar
turibdi. Bunga misol sifatida eng – dolzarb muammo – 2020-yilgi moliyaviy
inqiroz tufayli yuzaga kelgan vaziyatni keltirish mumkin g’arbning
rivojlangan mamlakatlarida necha yillardan beri faxrlanib kelgan iqtisodiy
barkamollik bir necha kunda inqirozga yuz tutdi. Buning natijasida yer
yuzida ko’plab kishilar ishsiz qoldi. Katta-katta kompaniyalar esa o’z
faoliyatini tugatishga yoki qisqartirishga majbur bo’lmoqda xo’sh, bu
muammoning yechimi qanday topiladi? Albatta, bunday paytda birinchi
tayanch nuqtasi iqtisodchi olimlarga qaratiladi.Chunki ularning tog’ri
ishlab chiqqan siyosati vaziyatni to’g’rilashga yordam beradi.Iqtisodchilar esa
to’g’ri qarorlarni qabul qilish uchun o’z navbatida matematik qonuniyatlar
va modellarga suyanadilar. Bu birgina misol matematika fanining naqadar
muhimligini anglashimizga kifoya qiladi. Bunday misollarni minglab
keltirish mumkin.Nafaqat iqtisodiyot balki boshqa barcha sohalarda ham
matematika katta ahamiyatga ega. Galiley tabiri bilan aytadigan bo’lsak “
Tabiatning buyuk kitobi matematika tilida yozilgan” .Bu fikrni tasdiqlash
uchun uzoqqa bormaylik, tanangizdagi hujayralarni faoliyatini o’rganishni
ham matematik hisoblashlarsiz amalga oshirib bo’lmaydi. Hujayra
faoliyatining bir me’yorda amalga oshishi va undagi himoyaviy jarayonlar
xuddi matematik tenglama kabi doim muvozanatda . Agar shu muvozanat
buzilsa, demak tanangiz biror kasallikda duchor bo’gan . Kasallikga to’g’ri
diagnoz qo’yish uchun esa, o’xshatish bilan aytadigan bo’lsak, tenglamadagi
muozanatni buzgan x noma’lumni topish kerak bo’ladi. Ba’zi
kasalliklarning shifosini topish ham global, ya’ni butun insoniyatni
o’ylantiradigan muammo hisoblanadi.
Insoniyat oldida yechimi topilishini kutub turgan yana ko’plab
muammolar mavjud . Bularga ekologik muammolar, terrorizm, davlatlar
5

o’rtasidagi kelishmovchiliklar va ko’plab boshqa muammolar kiradi. Bu
ham yetmagandek insoniyat koinotni o’rganishga ham jon-jahti bilan
kirishgan. Har yili kosmik tadqiqotlarga milliardlab dollorlar sarflanmoqda
xo’sh, yuqoridagi muammolarni bartaraf qilish va insoniyat o’z oldiga
qo’ygan maqsadlarini amalga oshirishni matematik, fanisiz tasavur qilish
mumkinmi? Yo’q albatta! Endi bevosita davlatlarning rivoji uchun
matematika faninig ahamiyatini baholashga harakat qilib ko’raylik. Biz
millat sifatida o’z oldimizga eng buyuk va eng ezgu maqsadni
qo’ydik.O’zbek davlati nafaqat rivojlanib dunyoda o’z o’rnini topish, balki
dunyodagi ma’naviyat bilan bezangan hayot qanday ekanligini ko’rsatib
qoymoq lozim, chunki boy davlatga aylanish unchalik qiyin ish emas. Boy
bo’lib turib, ma’naviy boylikga erishish juda mushkul vazifa . Bunga
erishish uchun esa , kelajak uchun har tomonlama mukammal rejalarni ishlab
chiqadigan, ma’naviy jihatdan yetuk mutaxassislar kerak. Mukammal rejalar,
barchaga ma’lumki, matematik hisoblashlar orqali ishlab chiqiladi.
6

I Bob. Differensial tenglama xaqida malumot
I. 1. Differensial tenglamalar haqida umumiy tushunchalar.
1-ta’rif. Erkli o’zgaruvchi, noma’lum funktsiya hamda uning hosilalari
yoki differensiallari orasidagi munosabatga differensial tenglama deyiladi.
Noma’lum funktsiya faqat bitta o’zgaruvchiga bog’liq bo’lsa, bunday
differensial tenglamaga oddiy differensial tenglama 2
deyiladi .
Noma’lum funktsiya ikki yoki undan ko’p o’zgaruvchilarga bog’liq
bo’lsa, bunday differensial tenglamalarga, xususiy hosilali differensial
tenglamalar deyiladi.
2-ta’rif. Differensial tenglamaga kirgan hosilalarning eng yuqori
tartibiga differensial tenglamaning tartibi deyiladi.
tenglamalar mos ravishda ikkinchi va uchinchi
tartibli tenglamalarga misol bo’ladi.
Umumiy h olda -tartibli differensial tenglama
ko’rinishda belgilanadi.
3- ta ’ rif . Differensial tenglamaning yechimi yoki integrali deb
tenglamaga qo ’ yganda uni ayniyatga aylantiradigan har qanday
differensiallanuvchi funktsiyaga aytiladi .
Differensial tenglama yechimining grafigiga integral chiziq deyiladi.
Masalan, bu berilgan differensial tenglamaning yechimi bo’lib,
bu holda integral chiziq paraboladan iborat bo’ladi.
Differensial tenglamalar nazariyasining asosiy masalasi berilgan tenglamaning
barcha yechimlarini topish va bu yechimlarning hossalarini o’rganishdan iborat.
Algebraik tenglamalardagidek hamma differensial
2 --- Guter R,S, Yanpolskiy A.R. Differensial tenglamalar kitobidan
7

tenglamalarni yechish mumkin bo’ladigan umumiy usullar yo’q.
Differensial tenglamalarning har bir turiga xos yechish usulidan foydalaniladi.
8

1. 2. Birinchi tartibli differensial tenglamar.
Birinchi tartibli tenglama umumiy holda
k o’ rinishda yoziladi . (1) tenglamani ga nisbatan yechsak
bo’ladi. (2) tenglamaning o’ng tomoni faqat ning funktsiyasi bo’lsa, tenglama
ko’rinishida bo’lib, oxirgi tenglikdan bevosita ko’rish mumkinki, bunday
tenglamaning yechimini topish funktsiyaning boshlang’ich funktsiyasini
topishdan iborat bo’ladi, ya’ni . Shunday qilib, (3)
ko’rinishdagi birinchi tartibli differensial tenglamaning yechimi cheksiz ko’p
yechimlar to’plamidan iborat bo’ladi.
1-ta’rif. ning funktsiyasi har bir ixtiyoriy o’zgarmas
bo’lganda (2) tenglamani qanoatlantirsa, uning umumiy yechimi deyiladi.
2-ta’rif. ixtiyoriy o’zgarmasning muayyan qiymatida umumiy
yechimdan olinadigan yechimga xususiy yechim deyiladi.
Umumiy yechimdan yagona yechimni olish uchun ko’pincha qo’shimcha
shartdan foydalaniladi, bu yerda
lar berilgan sonlar bo’lib, bu shartga
boshlang’ich shart deb ataladi.
3-ta’rif. differensial tenglamaning (4) boshlang’ich shartni
qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasiga Koshi masalasi deyiladi.
1-misol. differensial tenglama uchun bo’ladigan boshlang’ich
shartni qanoatlantiruvchi Koshi masalasini yeching.
9

yechish. Oldin berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimini
topamiz:
Endi boshlang’ich shartdan foydalanib, bundan kelib chiqadi.
Demak, Koshi masalasining yechimi bo’ladi
1. 3. O`zgaruvchiga ajralgan va ajraladigan differensial tenglama.
1-ta’rif. ko’rinishdagi tenglamaga o’zgaruvchilari
ajralgan differensial tenglama deyiladi 3
.
10

Bunday differensial tenglamani bevosita, tenglikni integrallab uning umumiy
yechimi topiladi, ya’ni bo’ladi.
2-misol. differensial tenglamaning umumiy yechimini
toping.
yechish. Berilgan tenglamani bevosita integrallab
3-Salohiddinov M.S. ,Nasriddinov G’.N. Oddiy differensial tenglamalar kitobidan
umumiy yechim bo’ladi .2-ta’rif.
ko’rinishdagi tenglamaga
o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama deyiladi.
Bunday differensial tenglamani ga bo’lib, ga ko’paytirib
o’zgaruvchilari ajralgan differensial tenglamaga keltirish bilan yechimi topiladi.
3-misol. tenglamaning umumiy yechimini toping.
yechish. O’zgrauvchilarini ajratib tenglamani hosil qilamiz. Oxirgi
tenglamani bevosita integrallab, likka ega bo’lamiz. Oxirgi
tenglikda umumiy yechimni hosil qilamiz.
II Bob. Xosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial
tenglama.
11

2. 1. Xosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial
tenglamalarni integrallash usullari.
Biz birinchi tartibli hosilaga nisbatan yechilmagan oddiy differensial
tenglamalarni ko’ramiz:
(1)
Bunda x-erkli o’zgaruvchi, y-uning noma’lum funksiyasi , esa
noma’lum funksiyaning hosilasi. (1) tenglamaning muhim xususiy hosilasiga
to’xtalamiz.
(2)
bu tenglamaga hosilaga nisbatan yechilgan oddiy diferensial tenglamadeyiladi.
( 2 ) tenglama ( 2 ) tenglamani y` ga nisbatan yechish natijasida hosil bo’lgan deb
qaramasdan, balki ( 2.1. )ga f(x,y) funksiya Г sohada berilgan deb qaraymiz.
1 -izoh. Soha deyilganda faqat yopiq yoki faqat ochiq bog’langan to’plamni
olamiz. Agar berilgan Г to’plamning ixtiyoriy ikki nuqtasini tutashtiruvchi va
shu to’plamga tegishli biror chiziq mavjud bo’lsa,u holda Г to’plam bog’langan
bo’ladi.
2- izoh. Agar I intervalda yopiq bo’lsa u holda uning chap uchiga o’ng hosila,
o’ng uchiga esa chap hosila nazarda tutiladi.
3 -ta’rif . (2) tenglama berilgan bo’lib, unda f(x,y) funktsiya R 2
tekislikning Г
sohasida aniqlangan bo’lsin. Agar I (ochiq,yopiq yoki yarim ochiq ) intervalda
aniqlangan funksiya uchun quyidagi uch shart
(3)
bajarilsa, u holda bu funksiya I intervalda ( 2 ) differensial tenglamaning yechimi
deyiladi. (2) differensial tenglamaning har bir yechimga mos kelgan
12

egri chiziq (ya’ni funksiyaning grafigi) shu tenglamaning integral egri
chizig’i deyiladi. ( 2 ) Tenglamaning yechimi ba’zi hollarda oshkormas F(x,y)=0
ko’rinishda bo’lsa, ba’zi hollarda parametrik
ko’rinishda bo’lishi mumkin.
Koshi masalasining qo’yilishi.
( 2 ) tenglama berilgan bo’lib unda f(x,y) funksiya R 2
tekislikning Г sohasida
aniqlangan, uzluksiz va I interval x o’qidagi interval bo’lsin, x
0 ni o’z ichiga
oladigan I intervalni va shu I intervalda aniqlangan uzluksiz differensiallanuvchi
hamda ushbu
`

( 4)
shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyani topish talab etiladi.
Bu masala qisqacha kabi yoziladi va ( 2 ) tenglama uchun
Koshi masalasi (yoki boshlang’ich masala ) deyiladi.
3-shartni qanoatlantiruvchi funksiya I intervalda (k) Koshi masalasini
yechimi deyiladi. Endi Г sohaning (k) masalasi yagona yechimga ega bo’ladigan
(x,y) nuqtalaridan tuzilgan kesmini deb belgilaylik. Shunga
ko’ra to’plamning har bir (x,y) nuqtasida ( 1 ) tenglamaning yagona integral
chizig’i o’tadi.
4-ta’rif. ( 2 ) differensial tenglama x,c o’zgaruvchilarning biror o’zgarish
sohasida aniqlangan hamda x bo’yicha uzluksiz differensiallanuvchi
(5)
funksiya berilgan bo’lsin. Agar nuqta uchun (5) munosabat c ning
(5) qiymatini bir qiymatli aniqlasa va bu qiymatni ushbu
(5) tenglikka qo’yish natijasida ( 2 ) tenglama hosil bo’lsa, u holda
(5) funksiya ( 2 ) tenglamaning D
2 to’plamda aniqlangan umumiy yechimi
deyiladi.
13

5-ta’rif. ( 2 ) tenglama va (5) chiziqlar oilasi berilgan bo’lsin.
Agar
1) f(x,c) funksiya I intervalda x bo’yicha uzluksiz hosilaga ega bo’lsa;
2) Har bir nuqta uchun (4) munosabat c ning (5) qiymatini bir
qiymatli aniqlasa;
3)
funksiya ( 2 ) tenglamaning yechimi bo’lsa, uholda (5)
funksiya (2)tenglamaning umumiy yechimi deyiladi.
Har bir nuqtasida Koshi masalasi yagona yechimga ega bo’ladigan yechim
xususiy yechim deyiladi, ( 2 ) tenglamaning barcha yechimlarini topish asosiy
masala hisoblanadi. Barcha yechimlarini topish jarayoni differensial tenglamani
integrallash deyiladi. Agar ( 2) chi tenglamaning yechimini elementar
funksiyalar va ularning integrallari yordamida yozish mumkin bo’lsa, u holda
differensial tenglama kvadraturalarda integrallanadi deyiladi.
to’plamning har bir (x,y) nuqtasidan o’tadigan integral chiziqlar
yagona emasligi kelib chiqadi. Har bir nuqtasidan yechimning yagonaligi
buziladigan yechimlar maxsus yechimlar deyiladi.Umumiy yechish formulasi
(4) maxsus yechimlarni o’z ichiga olmaydi. Agar Ф (x,y,c)=0 munosabat
to’plamda umumiy yechimni aniqlasa, u holda (5) ni ( 2 ) differensial
tenglamaning umumiy integrali deyiladi.
Masalan: chiziqlar oilasi berilgan bo’lsin. U holda izlangan
differensial tenglama y`=y bo’ladi. Ravshanki, bu tenglamaning umumiy
yechimi:
III.BOB. HOSILAGA NISBATAN YECHILMAGAN TENGLAMALAR.
3.1. Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglama
uchun mavjudlik va yagonalik haqidagi teorema.
Hosilaga nisbatan yechilmagan 1- tartibli oddiy differensial tenglamalar ushbu
(1)
14

ko’rinishda yoziladi. Bu yerda F uch argumentli funksiya bo’lib, uch o’lchovli
fazoning ochiq D
3 to’plamida (D
3 sohaga ) aniqlangan. Agar bu to’plamni R 2
tekisligiga ortogonal proeksiyalasak, R 2
ga biror ochiq Г to’plam ( Г soha)
hosil bo’ladi.
1-ta’rif. (1) differensial tenglama berilgan bo’lib, funksiya R 3
fazoning D
3 sohasida aniqlangan bo’lsin.
Agar I (ochiq,yopiq va yoki yarim ochiq) intervalda aniqlangan (x) funksiya
uchun quyidagi uchta shart
(2)
bajarilsa, bu funksiya I intervalda (1) differensial tenglamaning yechimi
deyiladi. (1) tenglamaning yechimiga mos egri chiziq, uning integral egri
chizig’i deyiladi.
Agar parametrik ko’rinishda berilgan ( parametr t
ning o’zgarish sohasi yopiq, ochiq, yarim ochiq intervaldan iborat) funksiya
uchun bo’lib, quyidagi uchta shart
1 (x(t),y(t)) , (x(t),y(t)), D
3, t I
t ;
2 y(t) C 1
(I
t ), (x(t) C 1
(I
t ));
3 F(x(t),y(t), )=0, t I
t
bajarilsa u holda x=x(t), y=y(t) funksiya I
t intervalda (1) differensial
tenglamaning yechimi deyiladi. Ba’zi hollarda yechimni shu ko’rinishida yozish
yoki izlash qulay bo’ladi.
15

(1) differensial tenglama uchun ham ( 3 ) differensial tenglama uchun
aytilganidek yechim uch :
ko’rinishdan bittasi orqali izlanadi.
(1) differensial tenglama ochiq Г to’plamning har bir (x,y) nuqtasida y` ning
bitta yoki bir necha qiymatlarini aniqlasin deylik. Har bir (x,y) nuqtada y` dan
foydalanib, bitta yoki bir necha birlik vektor chizamiz. Natijada yo’nalishlar
maydoni hosil bo’ladi.
Umumiy yechim tushunchasini kiritishdan avval (1) tenglama uchun Koshi
masalasini qo’llaymiz.
Koshi masalasi.
(1) differensial tenglamaning boshlang’ich shartni
qanoatlantiruvchi yechimi topilsin yoki geometrik nuqtai nazardan (1)
differensial tenglamaning nuqtadan o’tuvchi integral chizig’i
ko’rsatilsin. (1) differensial tenglama y` ga nisbatan yechilishi mumkin deylik.U
holda nuqtaning biror atrofida y` uchun bir necha haqiqiy qiymatlarni
topamiz.
(4)
Agar har bir funksiya biror mavjudlik va yagonalik
teoremasining shartlarini qanoatlantirsa, u holda nuqtadan (5)
differensial tenglamaning m ta integral chizig’i o’tadi. Ba’zan
funksiyalar kompleks bo’lsa , u holda biz faqat
holda nuqtadan tegishli differensial tenglamaning m-k
2n
ta integral chizig’i o’tadi.
Agar (1) differensial tenglamaning haqiqiy
funksiyalarga mos kelgan va nuqtada uning integral chiziqlariga
o’tkazilgan urunmalar turli burchak koeffisientlariga ega bo’lsa,uholda Koshi
masalasi yagona yechimga ega deyiladi.
2-ta’rif. (1) differensial tenglama nuqtaning biror atrofida y` ga nisbatan
yechilishi mumkin , ya’ni (3) tenglamalarga ajraladi deylik.
Agar har bir (4) tenglama (5)
16

umumiy yechimga yoki c- ixtiyoriy o’zgarmas (5)
umumiy integralga ega bo’lsa, u holda (4) umumiy yechimlar to’plami berilgan
(1) differensial tenglamaning umumiy yechimi deyiladi.
3-ta’rif. Agar (1) tenglamaning biror I intervalda aniqlangan
yechimning har bir nuqtasida Koshi masalasi yechimga ega bo’lsa, u holda
yechim berilgan tenglamaning xususiy yechimi deyiladi.
Yuqoridagi ta’riflar munosabati bilan maxsus yechim tushunchasini kiritish
lozim bo’ladi.
4-ta’rif. Agar funksiya biror I intervalda (1) differensial tenglamaning
yechimi bo’lib, uning har bir nuqtasida yagona yechimga ega (yagonalik
xossaga ega ) bo’lmasa, yani uning har bir nuqtasidan bir xil yo’nalishda kamida
ikkita integral chiziq o’tsa, u holda funksiya (5) tenglamaning o’sha
intervalda aniqlangan maxsus yechimi deyiladi.
Misol: differensial
tenglamani ko’rinishda yozish mumkin. Ma’lumki, absissa o’qi (ya’ni
y=0 chiziq) va kubik parabolalar bu tenglama uchun integral chiziq
bo’lib xizmat qiladi. Ammo y=0 chiziqning har bir nuqtasidan kamida ikkita
integral chiziq o’tadi. Shuning uchun y=0 maxsus yechimdir.
Masalaning qo’yilishi. ( 2 ) differensial tenglama uchun Koshi masalasi (( 2 ),
(4)) ning yechimi bormi yoki yo’qmi? Agar bunday yechim bor bo’lsa, ular
nechta? Qachon Koshi masalasi yechimga ega emas? Bu savolga javob
beradigan teoremalar mavjudlik va yagonalik teoremalari deb ataladi.
1–teorema. (Koshi teoremasi) Agar f(x,y) funksiya Г sohada aniqlangan va
uzluksiz bo’lib, uning y bo’yicha xususiy hosilasi biror
sohada aniqlangan va uzluksiz bo’lsa , u holda.
1 0
( 2 ) tenglamaning x
0 o’z ichiga oladigan biror intervalda aniqlangan va har bir
berilgan nuqta uchun y(x
0 )= y
0 boshlang’ich shartni
qanoatlantiruvchi yechimi mavjud.
17

2 0
Agar ( 2 ) tenglamaning ikkita va yechimlari x
0 ga ustma –
ust tushsa ya’ni bo’lsa, u holda bu
yechimlar aniqlanish sohalarining umumiy qismiga ustma – ust tushadi.
5-ta’rif. Agar f(x,y) funksiya Г sohada aniqlangan bo’lib, shu funksiya uchun
shunday musbat L son mavjud bo’lsaki, nuqtalar uchun
tengsizlik bajarilsa, u holda f(x,y) funksiya
Г sohada y bo’yicha Lipshist shartini qanoatlantiradi deyiladi, L esa Lipshis
o’zgarmasi deyiladi.
2-teorema. (Koshi – Pikar – Lindelef teoremasi).
Agar f(x,y) funksiya Г sohada x va y bo’yicha aniqlangan va uzluksiz bo’lib, Г
sohada y bo’yicha Lipshist shartini qanoatlantirsa, u holda shunday o’zgarmas
h>0 son topiladiki, natijada ( 2.1. )tenglamaning Г bo’lgan (4)
boshlang’ich shartni qanoatlantiradigan va yopiq intervalda
aniqlangan yagona yechim mavjud bo’ladi.
3-teorema. (Peano teoremasi)
Agar f(x,y) funksiya Г sohada aniqlangan va uzluksiz bo’lsa, u holda Г
sohaning berilgan Г nuqtasidan ( 2 ) tenglamaning kamida bitta
integral chizig’i o’tadi.Yuqoridagi teoremalarning qo’llanilishiga doir misol
ko’raylik. Misol.
Koshi masalasida
ga ko’ra
ekani kelib chiqadi. va umumiy yechim
Koshi masalasi yechimi bo ’ lib , bu yechim
Q
2 ga yagonadir .
18

(-2;0) nuqtada uzluksiz emas. Shuning uchun (-2;0) nuqtadan cheksiz ko’p
integral chiziqlar o’tadi, (-2;0) nuqtadan y=0 integral chiziqlar
o’tadi. Shuning uchun
Funksiya berilgan tenglamaning R 2
ga aniqlangan yechimi bo’ladi. Agar
ga funksiya aniqlangan
uchun bo’lsa, u holda bunda
. Agar bo’lsa, ning davomi deyiladi. Pikar
teoremasi
Agar (6)
tenglamada funksiya
1 0
to’g’ri to’rburchakda uzluksiz
(demak unda chegaralangan, ya’ni ) bo’lsa.
2 0
y bo’yicha Lipshist shartlarini qanoatlantirsa, u holda (9) tenglama
(7)
shartni qanoatlantiradigan va intervalda aniqlangan
yagona yechimga ega. Agar D to’plamning ikki (x ,y
1 ) va (x ,y
2 ) nuqtasi
ushbu
(8)
tengsizlik o’rinli bo’lsa f(x,y) funksiya D da y bo’yicha Lipshist shartini
qanoatlantiradi deyiladi, L esa Lipshist o’zgarmasi deyiladi. Pikart
teoremasining isbotini keltirishdan avval zarur ikki tasdiqni keltiramiz.
Ekvivalentlik lemmasi Agar funksiya x
0 nuqtani o’z ichiga olgan
biror I intervalda aniqlangan bo’lib, (2.1.9) – (2.1.10) Koshi masalasining
yechimi bo’lsa, u holda funksiya I intervalda
(9)
19

integral tenglamaning yechimi bo’ladi, aksincha agar funksiya I
intervalda uzluksiz bo’lsa, u holda funksiya (9)-(10) Koshi
masalasining ham yechimi bo’ladi.
Gronuoll lemmasi Agar u(x) funksiya intervalda manfiymas,
uzluksiz bo’lib, shu intervalda ushbu
(10)
integral tengsizlikka qanoatlantirsa, shu u(x) funksiya uchun quyidagi
(11) tengsizlik o’rinli
bo’ladi.
Pikar teoremasining isboti. Mavjudligi. Ekvivalentlik lemmasiga ko’ra Koshi
masalasi (6)-(7) o’rniga ushbu
(12)
integral tenglamani yechish masalasini ko’ramiz. Bu tenglamaning yechimini
Pikarning ketma-ket yaqinlashish metodi bilan izlaymiz. intervalda
yaqinlashgan funksiyalar ketma-ketligini quyidagicha ko’ramiz;
shu funksiyalarning grafigi intervalda
to’g’ri to’rtburchakdan chiqib ketmaydi, ya’ni
haqiqatdan.
20

tasdiqlab o’tamizki, ketma-ketlikning hadlari ko’rilayotgan
intervalda uzluksiz, hatto differensiallanuvchidir.
Endi qurilgan ketma-ketlik intervalda tekis yaqinlashuvchi
ekanligini intervalda tekis yaqinlashuvchi ekanligini isbotlaymiz. Ushbu
y
0 +[y
1 (x)-y
0 ]+[y
2 (x)-y
1 (x)]+…+[y
n (x)-y
n-1 (x)]+…. (13)
Funksional qatorni ko’ramiz.Uning n- xususiyyig’indisi bundan
. Shuning uchun (13) qatorning tekis yaqinlashuvchi
ekanligi isbot qilish yetarli, (13) qatorning har bir hadini baholaymiz , (8)
tengsizlikni hisobga olgan holda
Induksiya usuli bilan:
(14)
Tengliksiz o’rinli bo’lsa, shu qonun n dan n+1 ga o’tganda ham o’rinli
ekanligini isbotlash mumkin:
21

Shundayqilib (9) tengsizlikixtiyoriynaturalnlaruchunto ’ g ’ ri . Haqiqatdan (9) ga
ko’ra
sonliqatoryaqinlashuvchi , shunkiDalamberalomatigako ’ ra
Shunday qilib, matematik analiz kursidan ma’lum bo’lgan Veyershtrass
teoremasiga ko’ra ketma – ketlik uzluksiz funksiyaga
tekis yaqinlashadi funksiyaning uzluksizligi har bir
ayirma yuqori limiti o’zgaruvchi bo’lgan integraldan iboratligidan ko’rinadi.
Ma’lumki, bunday integral yuqori limitining uzluksiz funksiyasidan iboratdir.
Endi topilgan shu y= l imit funksiya (6)–(7) masalasining yechimi
ekanligini isbot qilamiz, buninguchun da
tenglikdan
(15)
Tenglikkelib chiqishini isbotlash lozim, haqiqatdan ravshanki
ketma –ketlikning funksiyaga tekis yaqinlashuvidan uchun
shunday N nomer topiladiki, n>N bo’lganda tengsizlik o’rinli
bo’ladi shuning uchun
22

bo’ladi. Bunda
shunday qilib
dan (15) ning o’rinli ekanligini kelib
chiqadi.Yagonaligi (6) tenglamaning (7) shartni qanoatlantiradigan yana bitta
yechim bo’lsin. Uning aniqlanish intervali bo’lib
funksiyalaning aniqlanish intervallarining umumiy qismi
dan iborat bo’lsin. U holda da ekanligini
isbotlaymiz Shartga ko’ra
ayniyatlarga egamiz. Bundan uchun
,yani
ga egamiz.
Bu yerdan Gronuall lemmasining natijasiga ko’ra ,
kelib chiqadi uchun ham mulohazalar shunga o’xshashdir.
Yagonaligi isbot etiladi.Pikar teoremasi isbotlanadi
23

III.Bob. Hosilaga nisbatan yechilmagan tenglama uchun yechimning
mavjudligi va yagonaligi teoremasi
1-teorema. Agar
(1)
Differensial tenglamada funksiya uchun ushbu ikki shart.
1 0
(2)
Tenglamaning haqiqiy ildizi , uchun nuqtaning
biror yopiq D
3 atrofida funksiya uzluksiz va birinchi tartibli
xususiy hosilalarga ega.
2 0
bajardi u holda, shunday h>0 mavjud bo’ladiki, (1)
tenglamaning intervalda aniqlangan shartlarini
qanoatlantiruvchi yagona y=y(x) yechimi mavjud.
Isbot. Oshkormas funksiyalar haqidagi ma’lum teoremaga ko’ra (1) tenglama y`
ni bir qiymatli funksuiya sifatida aniqlaydi, ya’ni
(3)
Bunda f(x,y) funksiya yopiq to’plamda uzluksiz, 1-tartibli uzluksiz
hosilaga ega va shuning uchun f(x,y) funksiya
yopiq to’plamda y bo’yicha Lipshist shartini qanoatlantiradi demak (3)
differensial tenglama Pikar teoremasiga asosan intervalda aniqlangan
va yagona y=y(x) yechimga ega bo’lib bo’ladi. Xuddi shu yechimga
24

(2) tenglama ham ega.Endi ekanini ko’rsataylik. Haqiqatdan (3)
tenglama y=y(x) uchun ayniyatga aylanadi:
agar x=x
0 bo’lsa
Natija-1. Teorema shartiga ko’ra nuqtaning
Natija-2. Agar (2) tenglama bir necha haqiqiy ildizga ega bo’lsa, har bir
nuqtaning yopiq atrofida (1)tenglama y` ni bir qiymatli aniqlaydi,
y`=f
i (x,y). shu bilan birga har bir uchun tegishli differensial tenlama
nuqtadan o’yuvchi yagona integralchiziqqa ega. Boshqacha
aytganda, (x
0 ,y
0 ) nuqtadan m ta yo’nalish bo’yicha faqat m ta integral chiziq
o’tadi.
Agar (x
0 ,y
0 ) nuqtada Koshi masalasi yagona yechimga ega bo’lsa u nuqtaga
oddiy nuqta deyiladi bu nuqtaga mos yechim oddiy yechim, integral chiziqni
oddiy integral chiziq deyiladi.
Agar (x
0 ,y
0 ) nuqtada Koshi masalasi uchun yagonalik o’rinli bo’lmasa, u holda
bu nuqta (1) tenglamaning maxsus nuqtasi deyiladi hamda uning grafigi maxsus
integral chiziq deyiladi. Demak, nuqtaning yetarli kichik yopiq
atrofida teoremaning biror sharti buzilganda maxsus nuqtaga ega bo’lishimiz
mumkin. Bu teorema faqat yetarli shartni belgilagani uchun
nuqta aytilgan holda maxsus bo’lishi ham bo’lmasli ham mumkin .
Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli tenglamalar
Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli tenglama umumiy holda
quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
F(x,y , )=0 (1)
Agar bu tenglamani y’ ga nisbatan yechish mumkin bo’lsa, u holda bir yoki bir
necha tenglama hosil bo’ladi.
25

=f(x,y) (i=1,2...)
Bu tenglamalarni integrallab, (a) tenglama yechimlarini hosil qilamiz.Lekin (a)
tenglamani har doim ga nisbatan oson yechilmaydi va ga nisbatan
tenglamalar sodda integrallanmasligi mumkin. Shuning uchun (1) tenglamani
boshqa usullarda integrallash qulay bo’ladi. Quyidagi hollarni qaraymiz.
1. F( )=0, bunda hech bo’lmaganda tenglamaning bitta =k
i yechimi mavjud
bo’lsin. Tenglama x va y o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lmaganligi sababli,
k
i =const. y’=k
i ni integrallab y=k
i x+C yoki k
i =(y-C)/x. k
i berilgan tenglama
yechimi ekanligidan
F((y-C)/x)=0 qaralayotgan tenglama yechimi bo’ladi. Misol ( ) 7
- ( ) 5
+
+3=0 tenglama integrali ((y-C)/x) 7
-((y-C)/x) 5
+(y-C)/x+3=0
2. (a) tenglama quyidagi ko’rinishda bo’lsin.
F(x, )=0 (2)
Agar tenglamani y’ ga nisbatan yechish qiyin bo’lsa, u holda t parametr kiritish
bilan (2) ikkita tenglamaga keltiriladi: x=  (t) va =  (t)
dy= dx ekanligidan, dy =  (t)  ’(t)dt, bundan
Demak, (b) tenglama yechimlari parametrik holda quyidagi ko’rinishda bo’ladi
x=  (t)
Agar (b) x ga nisbatan yechilsa, ya’ni x=  ( ), u holda deyarli har doim =t
deb parametr kiritish qulay. U holda
x=  (t) dy= dx,
Misol. x=( ) 3
- -1 tenglamani yechish uchun
26

=t deb belgilash kiritamiz. Natijada x=t 3
-t-1
Bu erdan dy= dx=t(3t 2
-1), y=3t 4
/4-t 2
/2+C
1
Demak,
sistema izlanayotgan integral chiziqning parametrik formasini ifodalaydi.
3. (1) quyidagi ko’rinishda bo’lsin.
F(y, )=0 (3)
Agar tenglamani ga nisbatan yechish qiyin bo’lsa, quyidagicha parametr
kiritamiz: ó=  (t), y’=  (t)
Bu erdan dy= dx bo’lganligidan dx=dy/ =  ’(t)dt/  (t), b demak,
izlanayotgan integral chiziqning parametrik tenglamasidir.Xususiy holda, (3)
tenglamani y ga nisbatan yechish mumkin bo’lsa, parametr deb olish qulay:
y=  ( ) da =t belgilash kiritsak y=  (t),
dx=dy/ =  ’(t)/t dt
Lagranj tenglamasi . Lagranj tenglamasi deb
y=x  ( )+  ( ) (1)
ko’rinishdagi tenglamaga aytiladi. Bu tenglama ham parametr kiritish bilan
sodda integrallanadi: =  deb, y=x  (  )+  (  )
tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamani x ga nisbatan differensiallab
27

(2)
Hosil bo’lgan tenglama x(  ) va dx/d  ga nisbatan chiziqli tenglamadir. Uni
yechib F(x, ,c)=0 ni hosil qilamiz. Demak, Lagranj tenglamasini yechimi
parametrik ko ’ rinishda bo ’ ladi . (2) tenglamani hosil qilishda deb
qaralgan edi . Demak , bunda = const yechimlar , agar ular mavjud bo ’ lsa ,
yo ’ qotilgan edi . = constbo ’ lsa , uholda (2) tenglamafaqat
, bo ’ lgandabajariladi .Demak, agar tenglama haqiqiy r=r
i ildizlarga
ega bo’lsa, yuqoridagi y echimlarga yana
y=x  (  )+  (  ),  = 
i yechimlarni ham qo’shish kerak bo’ladi.
Klero tenglamasi
 -  (  )  0 bo’lsin. d  /dx ga bo’lishdan  = с , с =const yechimlar yo’qotilgan
bo’ladi. Bu holda  ( )= bo’lib, (1) tenglama
y=x +  ( ) (3)
ko’rinishiga keladi va bu tenglama- Klero tenglamasi deyiladi. Bu teglamani
yechish uchun =  deb belgilash kiritamiz.
Natijada y=x  +  (  ) ni hosil qilamiz. Bu tenglamani x bo’yicha
differensiallab
 =  +xd  /dx+  ’(  )d  /dx yoki
tenglamani hosil qilamiz. Bundan d  /dx=0, demak  =C yoki x+  ’(  )=0.
 =с da yechimdan y=Cx+  (c) ikkinchi holda esa yechim
ko’rinishda bo’ladi.
28

Yuqori tartibli differensial tenglamalar.
Yuqori tartibli differensial tenglamalar
Ta’rif. F(x,y,y’,....,y (n)
)=0 ko’rinishdagi tenglamaga n - tartibli
differensial tenglama deyiladi.
Ta’rif. n - tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi deb n ta с
1 , с
2 , ....
с
n - ixtiyoriy o’zgarmas miqdorlarga bog’liq bo’lgan
y=  (x, с
1 , с
2 , .... с
n )
funksiyaga aytiladi. Bu funksiya:
1) с
1 ,...,с
n larning ixtiyoriy qiymatlarida tenglamani qanoatlantiradi;
2) berilgan y(x
0 )=y
0 , (x
0 )=y
1 ,..., y (n-1)
(x
0 )=y
n-1 boshlang’ich shartda с
1 , с
2 , .... с
n
larni shunday tanlash mumkinki,
y=  (x, с
1 , с
2 , .... с
n ) funksiya bu boshlang’ich shartni qanoatlantiradi.
Ta’rif. Umumiy yechimdan с
1 , с
2 , ....с
n miqdorlarning tayin qiymatlarida hosil
bo’ladigan funksiya xususiy yechim deyiladi.
Yuqori tartibli tartibi pasayadigan differensial tenglamalar
y (n)
=f(x) ko’rinishidagi tenglama .
y (n)
=(y (n-1)
) ’
ni e’tiborga olib
ni hosil qilamiz, bunda x
0 x ning tayinlangan qiymati, с
1 - o’zgarmas miqdor.
Integrallashni shunday davom ettirib
ifodani hosil qilamiz. Boshlang’ich shartlarni
qanoatlantiruvchi xususiy yechimni
topish uchun С
n =y
0 , C
n-1 =y
1 , .. ., C
1 =y
n-1 deb olish etarli.
29

y ”
=f(x,y) ko’rinishidagi tenglama. =p deb, y ”
=p ’
ni xosil qilamiz.
Demak, p ’
= f(x,y) Bu tenglamani integrallab
- umumiy yechimni topamiz.
munosabatdan esa - umumiy yechimni xosil
qilamiz.
ko’rinishidagi tenglama ham
deb parametr kiritish bilan ( - )
yuqorida o’rganilgan tenglamaga keltiriladi.
munosabatdan y ni topib, yechim xosil qilinadi.
ko’rinishidagi tenglama.
Bu tenglamani yechish uchun deb olamiz.
Ammo p ni y ning funksiyasi deb qaraymiz: p = p( y)
U xolda,
va larni berilgan tenglamaga qo’yib
birinchi tartibli differensial tenglamani xosil qilamiz. Bu
tenglamani integrallab p=p(y,c
1 ) yechimni va munosabatdan
tenglamani olamiz. Bu tenglamani integrallab, dastlabki tenglamaning
F(x,y,c
1 ,c
2 )=0 umumiy yechimini xosil qilamiz.
30

XULOSA
Ushbu kurs ishimda matemtikaning eng qiziqarli mavzularidan biri bo’lgan
differensial tenglamalar.O’zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan differensial
tenglamalar mavzusiga bag’ishlangan bo’lib,ushbu mavzu yuzasidan tegishli
tavsiyalar berilgan .
Kurs ishidan quyidagi xulosalarni olamiz:
- Differensial tenglama xaqida umumiy tushunchalar
- Birinchi tartibli tenglamalar
- O`zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan differensial tenglamalar
- Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglama.
- Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglama haqida
ma’lumot.
- Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglamalarni
integrallash usullari haqida.
-Hosilaga nisbatan yechilmagan tenglamalar uchun izogonal trayektoriyalar
to’g’risidagi masala.
- Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglamalar
- Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglama uchun
mavjudlik va yagonalik haqidagi teorema.
-Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglama uchun
mavjudlik va yagonalik haqidagi teoremaning isboti misollar yordamida yoritib
berildi.Xulosa qilib shuni aytish mumkinki, kurs ishi natijalaridan akademik letsiy
va kasb hunar texnikumlari o’qituvchilari va oliy ta’lim o’qituvchilari keng
foydalanishi mumkin.Shu bilan birga likda institutni bitirib oliy ta’limdan keyingi
31

ta’limda tahsil olishni xohlovchi o’qituvchilarga juda yaxshi metodik qo’llanma
sifatida yordam beradi degan umiddamiz.
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati
1. Bibikov Yu.N. Kurs obiknovennix uravneniy. M., “Visshaya shkola”, 1991.
2. Guter R,S, Yanpolskiy A.R. Differensial tenglamalar, “O’qtuvchi”, Toshkent,
1978.
3. Krasnov M.L, Kisilev A.I, Makarenko G.I Sbornik zadach po obiknovennim
differensialnim uravneniyam. M., “Visshaya shkola” 1978.
4. Petrovskiy I.G.Leksii po teorii obiknovennix differenisial
5. Raximov D.G. Roishov A.R Oliy matematika1-qism O’quv
qo’llanma.Toshkent:’’Iqtisod moliya’’.2008. 120 bet.
6. Karimov M . ,Abdukarimov R. Oliy matematika .O’quv qo’llanma .T:”Iqtisod
moliya”, 2009. 204 bet.
7. To’rayev X.T Matemtik mantiq va deskrit matematika.T:O’qituvchi.2003
8. Diskret matematika va matemtik mantiq (o’quv uslubiy
majmua).T.Universitet.2011
9. R.Turg’unboyev , SH Ismailov, O Abdullayev Differensial tenglamalar
kursidan misol va masalalar to’plami (o’quv qo’llanma) Toshkent.2007.
10. Salohiddinov M.S. ,Nasriddinov G’.N. Oddiy differensial tenglamalar,T:1994.
11. Jo’rayev T. va boshqalar. Oliy matematika asoslari 2-qism
T:”O’zbekiston”.1999.
12. Electron saytlar
1.www.ziyonet.uz
2.www.edu.uz
3.www.kutubxona.uz
32

4. www.pedagog.uz
33

Bu kurs ishi topshirilgan bolib 86 ball olgan ishonsangiz boladi.
Namuna uchun:
https://docs.google.com/document/d/1J20QQcXx1_d_FEodElBImX6IrRa9jidX/edit?usp=sharing&ouid=110430956170488575107&rtpof=true&sd=true
Agar kurs ishilar tayyorlash kerak bo'lsa: https://t.me/MR_Tomoshabin_admin shunga yozishlaringiz mumkin

Sotib olish