Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025
107 SotishOshkormas funksiyalar va ularning hosilalari
![Explicit funksiyada har bir x uchun y ni hisoblash oddiy, oshkormasda esa, bu
faqat ayrim x
oraliqlarida yoki maxsus yechim usullari bilan bajariladi.
Matematikada har bir explicit funksiya ham, aslida, ma’lum bir oshkormas
tenglamaning yechimi sifatida qaralishi mumkin. Masalan,
y= x3+2 funksiyasi
y− x3−2=0
oshkormas tenglamaning yagona yechimidir. Biroq, oshkormas
tenglamalarda
F(x,y)=0 ni y = f ( x )
ko‘rinishiga keltirish, ko‘pincha yoki faqat
ayrim oraliqlarda mumkin bo‘ladi, yoki butunlay mumkin bo‘lmasligi ham
ehtimol. Masalan,
x2+y2=1 tenglamasi har bir x
uchun ikkita y qiymatni beradi:
y = ±
√ 1 − x 2
(faqat ¿x∨ ≤1 oraliqda). x oraliqdan tashqarida, y haqiqiy qiymat
olmaydi.
Implicit funksiya teoremasi matematik analizda muhim o‘ringa ega. Bu
teorema shartli ravishda quyidagicha ta’riflanadi: Agar
F(x,y) funksiyasi x0 , y0
nuqtada uzluksiz, differensiallanuvchi bo‘lsa va F ( x
0 , y
0 ) = 0
hamda F
y ( x
0 , y
0 ) ≠ 0
bo‘lsa (ya’ni,
F ni y bo‘yicha qisman hosilasi nolga teng bo‘lmasa), u holda x0
yaqinida
y ni x
orqali ifodalovchi yagona funksiya y = f ( x )
mavjud bo‘ladi va
F ( x , f ( x ) ) = 0
tenglamani qanoatlantiradi. Bu natija oshkormas tenglamalardan
explicit funksiya olish imkonini, lekin faqat lokal (yaqinlik) nuqtalarda,
kafolatlaydi.
Amaliy misollar:
Geometriyada: Aylana, elips, giperbola, parabolaning klassik tenglamalari
explicit va implicit ko‘rinishda yoziladi. Masalan,
x 2
+ y 2
= r 2
(aylana) — implicit,
y= √r2− x2
— explicit, faqat x∈[− r,r] oraliqda.
Fizikada: Gazlarning holat tenglamasi, elektr zanjirlarida kuchlanish va tok
o‘zgarishlari, termodinamika jarayonlarining ko‘plab qonunlari aynan implicit
ko‘rinishda yoziladi. Masalan, ideal gaz tenglamasi:
pV = nRT ; bu V ni p
orqali har
doim aniq ajratish mumkin emas, ayniqsa murakkab holatlarda.
Oshkormas funksiya grafigi odatda oddiy explicit grafikdan ko‘ra murakkabroq
bo‘ladi. Bunda
x ni o‘zgartirganda y ning bir nechta qiymati bo‘lishi yoki umuman
haqiqiy yechim mavjud emasligi ham mumkin. Bunday grafiklar ko‘p hollarda](https://docx.uz/documents/0451b4d7-9cfe-49ef-a766-be23645d8c13/page_8.png?v=1)
![Ko‘p o‘zgaruvchili va parametrik oshkormas funksiyalar:
x 2
+ y 2
+ z 2
= R 2x2+y2=r2,r=acos t,t∈[0,2 π]
Parametrik ifodada r yoki boshqa
o‘zgaruvchilar orqali bog‘lanish.
Oshkormas bog‘liqlikda nuqtalar va yechimlar soni
Implicit tenglama uchun har bir
x qiymatiga bir nechta y qiymati mos kelishi
mumkin (aylana, elips, giperbola va boshqalar).
Masol uchun:
x2+y2=1⇒ y= ±√1− x2
Agar x = 0.5
bo‘lsa, y = ±
√ 1 − 0.25 = ± √ 0.75
, ya’ni ikkita nuqta mavjud.
Ba’zi hollarda, butunlay haqiqiy yechim mavjud emas (masalan,
x2+y2=−1
uchun haqiqiy x , y
mavjud emas).
Oshkormas funksiyalarning amaliy va zamonaviy ahamiyati
Fizika: Harorat, bosim, kuch, elektromagnit maydonlarni tavsiflashda:
E2+B2=const
.
Geometriya: Egri chiziqlar va sirtlarni tasvirlashda, masalan,
x2+y2+z2=1
(shar).
Iqtisodiyot: Resurs taqsimoti, ishlab chiqarish funksiyalari, iste’molchi
xatti-harakatlari:
U x α
y β
= k .
Biologiya, ekologiya: Populyatsiya model, o‘sish yoki pasayish
trayektoriyasi:
N ¿ .
Grafik va yechimlar xususiyati
Ko‘plab oshkormas tenglamalar grafigi yopiq egri (aylana, elips, limason,
astroid), ba’zan ochiq (giperbola, parabola).
Ko‘p hollarda, nuqta, to‘g‘ri chiziq, doira, spiral, lekin ba’zida murakkab va
noaniq chiziqlar ham bo‘lishi mumkin.](https://docx.uz/documents/0451b4d7-9cfe-49ef-a766-be23645d8c13/page_15.png?v=1)
![2.Tekislik
Oshkormas: Ax + By + Cz + D = 0
Vektorli:
⃗r(s,t)= ⃗r0+s⃗a1+t⃗a2
Bu yerda
⃗ a
1 va ⃗ a
2 — tekislikda yotuvchi ikki vektor.
3.
Sfera
Oshkormas:
x 2
+ y 2
+ z 2
= R 2
Parametrik:
{
x= Rsin θcos ϕ
y= Rsin θsin ϕ
z= Rcos θ
θ∈[0,π]
, ϕ∈[0,2 π] .
4.
Ellipsoid
Oshkormas:
x 2
a 2 + y 2
b 2 + z 2
c 2 = 1
Parametrik:
{
x= asin θcos ϕ
y=bsin θsin ϕ
z=ccos θ
5.
Silindr
Oshkormas:
x2+y2= R2
Parametrik:
{
x = R cos t
y = R sin t
z = h
t ∈ [ 0,2 π ]
,
h — balandlik.
6.
Konus
Oshkormas:
z 2
= x 2
+ y 2](https://docx.uz/documents/0451b4d7-9cfe-49ef-a766-be23645d8c13/page_30.png?v=1)
Oshkormas funksiyalar va ularning hosilalari