Dokument ma'lumotlari

Narxi 19900UZS
Hajmi 78.7KB
Xaridlar 0
Yuklab olingan sana 08 Dekabr 2024
Kengaytma docx
Bo'lim Kurs ishlari
Fan Algebra

Sotuvchi

Bahrom

Ro'yxatga olish sanasi 05 Dekabr 2024

256 Sotish

Parametrga bog’liq integrallarni asimptotik hisoblash usullari

Sotib olish
KURS ISHI Parametrga bog’liq integrallarni asimptotik hisoblash usullari Reja: I. Kirish. II. Asosiy qism. 1. Laplas usuli. 2. Parametrga bog’liq karrali integrallar. 3 . .∫a b e−λg(t) ni J(λ)= ∫−∞ ∞ e−λx2f(x)dx ko’rinishga keltirish 4. Potensial xildagi integrallar. III. Xulosa. Kirish. Masalaning qo’yilishi: Parametrga bog’liq integrallarni asimptotik hisoblash usullari va ularning xossalarini o’rganish . Parametrga bo’g’liq integrallar va differensiallanuvchanligi ta’riflari va tushunchalarini masalalar yechishda tadbiq qilish. Masalaning dolzarbligi: Parametrga bog’liq integrallarni asimptotik hisoblash usullari bilan ifodalangan funksiyalarni o’rganish muhim ahamyatga egadir. Ishning maqsad va vazifalari: Parametrga bog’liq integrallarni asimptotik hisoblash usullarining xossalarini va ularning tadbiqlarini o’rganish. Tadqiqot metodlari: Ishni bajarishda matematik analiz va funksional analiz usulllaridan foydalanilgan. Ishning amaliy ahamiyati: Kurs ishida qo’llanilgan usullar va natijalar kelgusida parametrga bog’liq integrallarni asimptotik nazariyasining rivojlanishida qo’llanilishi, shuningdek , matematik analizning tadbiqlarini o’rganishda foydali qo’llanma vazifasini o’tash mumkin. Ishning tuzilishi: Mazkur kurs ishi parametrga bog’liq integrallarni asimptotik nazariyasining rivojlanishida qo’lanilishi hamda ularni xossalarini o’rganishga bag’ishlangan bo’lib, kirish qismi, 5ta pragraf, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro’yhatidan iborat. Bajarilgan ishlarning qisqacha mazmuni: Parametrga bog’liq integrallarni asimptotik hisoblash usullari mavzusi asosan 5 ta pragrafdan keng yoritilib berilgan. Ya’na parametrga bog’liq integrallarni asimptotik hisoblash usullari tarif va teoremalar yordamida keng yoritilgan. 1. Turli matematik masalalarni yechishda yechim uchun aniq formulanigina emas, balki bu yechimga yetarlicha yaqin bo’lgan taqribiy yechimni ham bilish muhimdir. Masalan, n ta jismning joyini o’zgartirish va biror mezonga ko’ra, eng yaxshi o’zgartirishni yopish masalasini qaraylik. Aytaylik, kompyuter har bir o’zgartirish mezonga mos ekanini 1 mikrosekundda baholasin, ya’ni bir sekundda 1 million baholashni amalga oshirsin. Ma’lumki, n ta jismni n ! ta usulda joyini o’zgartirish mumkin. 10 ta jism bo’lganda bu masalani yechish uchun qancha vaqt ketadi? 20 ta bo’lgandachi? 100 ta bo’lgandachi? Ravshanki, 10 ! = 3628800 3,6 ∙ 10 6 Demak, 10 ta jism uchun eng yaxshi o’zgartirishni kampyuter 4sekundda kam vaqitda topar ekan. Yana oson hisoblashlar ko’rsatadiki, 20 ! = ¿ 2432902008176640000 2,4 ∙10 18 . Bu hol uchun kompyuter 2,4 ∙ 10 12 sekund yoki 77000 yilga yaqin ishlashi kerak ekan. 100 ! ga kelsak, bu sonni oddiy usulda hisoblash ancha murakkab masaladir. Ammo, asimptotik usullsrdan foydalansak, bu masala ancha soddalashadi. 2 (1) Parametrga bog’liq integral asimptotikasini topishning eng kuchli usullaridan birini P. Laplas ni Ko’rinishdagi integralning λ⟶ +∞ dagi taklif qilgan. Biz Laplas usulining eng sodda holini, ya’ni ∫ ab e − λg ( t ) dt asimptotikasini topish uchun ishlatilatiladigan holini keltiramiz (biz a = − ∞ yoki b = + ∞ hollarni istisno qilami). Agar g(t) > bo’lib, (a,b) interval ichida g minimumga erishsa, u holda (1) integralda o’zgaruvchini shunday almashtirish mumkinki , bunda integral I(λ)= ∫−∞ +∞ e−λx2f(x)dx (2) ko’rinshga keladi (ba’zan asimptotika olishning aynan shu qismi eng ko’p mehnat talab qiladi). Faraz qilaylik, f(x) shunday funksiya bo’lsinki, quyidagi ∫−∞ ∞ e−x2|f(x)|dx <+∞ (3) Xosmas integral yaqinlashsin. E’tibor bering, (2) integral ostidagi ifodada eksponenta x=0 nuqtada 1 ga teng bo’lib, boshqa nuqtalarda 1dan qat’iy kichik. Shuning uchun , λ⟶ +∞ da integral ostidagi ifoda noldan tashqari barcha nuqtalarda nolga intiladi. Ravshanki, bunda (2) integral nolga intiladi va bizning maqsadimiz mana shu intilish tartibini baholashdan iborat. Laplas usuli quyidagi g’oyaga asoslangan: (2) integralga asosiy qiymatni x=0 nuqtaning istalgancha kichik atrofi bo’yicha olingan integral beradi va bu atrofda esa , integral asimptotikasini, f funksiyani uning Teylor qatori bilan almashtirib, topish mumkin. Masalan, f ( x ) ≡ 1 bo’lsa, ∫ − ∞∞ e − λ x 2 dx = √ π λ , (4) Ya’ni integral parametr kvadrat ildiziga teskari proporsional ravishda nolga intiladi. Xuddi shu natijani R to’g’ri chiziq bo’yicha emas, olamiz; integralni bunday almashtirishdagi xato eksponensial kichik bo’ladi. Laplas usulini qo’llash uchun (2) integral ostidagi funksiyadan faqat koordinatalar boshining biror atrofidagina silliqlik talab qilinadi, boshqa nuqtalarda esa, funksiya ixtiyoriy lokal integrallanuvchi bo’lib, (3) shartni qanoatlantirishi yetarli. Biz (2) integralga asosiy qiymatni x=0 nuqtaning istalgancha kichik atrofi berishi haqidagi sodda tasdiqni isbotlashdan boshlaymiz. 1-tasdiq. Faraz qilaylik, f funksiya (3) shartni qanoatlantirsin. U holda istalgan δ>0 uchun (2) integral ∫−∞ ∞ e−λx2f(x)dx =∫−δ δ e−λx2f(x)dx +O (1)e−λδ2,λ≥1, (5) bahoni qanoatlantiradi. Isbot. Quydagi belgilashlarni kiritaylik: I1(λ)= ∫−∞ −δ e−λx2f(x)dx , I2(λ)=∫δ +∞ e−λx2f(x)dx . U holda, ∫−∞ ∞ e−λx2f(x)dx =∫−δ δ e−λx2f(x)dx +I1(λ)+I2(λ). (6) Masalan, I2(λ) integralni baholaylik. Ravshanki, λ . ≥ 1 va x ≥ δ lar uchun e−λx2= e−(λ−1)x2≤e−(λ−1)δ2e−x2 baho o’rinli. Shuning uchun, (3) shartga ko’ra, ¿ I 2 ( λ ) ∨ ≤ e − ( λ − 1 ) δ 2 ∫ δ∞ e − x 2 | f ( x )| dx = C ( δ ) e − λ δ 2 . I1(λ) Integral ham xuddi shu usulda baholanadi. Bu baholarni (6) tenglikka qo’ysak, talab qilingan (5) munosabatga ega bo’lamiz. Natijada sifatida (4) tenglikning umumiyroq ko’rinishini olishimiz mumkun. 2-tasdiq. Har qanday δ > 0 va ixtiyoriy k>0 uchun ∫ − δδ e − λ x 2 ❑ x 2 k dx = Г ( k + 1 2 ) λ k + 1 / 2 + O ( e − λ δ 2 ) (7) baho o’rinli. Isbot. Isbotlangan (5) bahoda f ( x ) = x 2 k desak, ∫−∞ ∞ e−λx2kdx =∫−δ δ e−λx2kdx +O(e−λδ2) (8) munosabatga ega bo’lamiz. Agar chap tomondagi integralda integral ostidagi funksiya juftligidan foydalani, x = √ t / λ almashtirish bajarsak, ∫ − ∞∞ e − λ x 2 x 2 k dk = 2 ∫ 0∞ e − λ x 2 x 2 k dx = 1 λ k + 1 / 2 ∫ 0∞ e − t t k − 1 / 2 dt = Г ( k + 1 2 ) λ k + 1 / 2 tenlik kelib chiqadi. Bu ifodani (8) ning chap tarafidan integral o’rniga qo’ysak, talab qilingan (7) bahoga kelamiz. Navbatdagi tasdiq yuqoridagi mulohazalarning natijasidir. 3-tasdiq. Faraz qilaylik, f funksiya (3) shartni qanoatlantirib , koordinatalar boshining biror atrofida 2m marta uzluksiz differensiallanuvchi bo’lsin. U holda λ→ ∞ da ∫ − ∞∞ e − λ x 2 f ( x ) dx = ∑ k = 0m − 1 f ( 2 k ) ( 0 ) 2 k ! ∙ Г ( k + 1 2 ) λ k + 1 2 + O ( 1) λ m + 1 2 , (9) asimptotik tenglik o’rinli. Isbot. Aytaylik, f funksiya 2m marta uzluksiz differensiallanuvchi bo’lgan interval ( ( − δ , δ ) bo’lsin. Agar e−λδ2 eksponena λ→ +∞ da λ−m−1/2 darajadan tezroq nolga intilishini hisobga olsak, (1) tasdiqqa ko’ra, quyidagi ∫ − δδ e − λ x 2 f ( x ) dx = ∑ k = 0m − 1 f ( 2 k ) ( 0 ) 2 k ! ∙ Г ( k + 1 2 ) λ k + 1 2 + O ( 1) λ m + 1 2 , (10) formulani isbotlash yetarli. Berilgan f(x)funksiyani (− δ,δ) intervalda Teylor formulasi bilan almashtiramiz: f ( x ) = ∑ k = 02 m − 1 f ( k) ( 0 ) k ! x k + O ( x 2 m ) . Bu formulani (10) ning chap qismidagi integralga qo ’ yib , integral chegaralari simmetrik ekanini hisobga olsak , toq k larga mos kelgan integrallarga 2- tasdiqni qo ’ llasak , talab qilingan (9) tenglikga ega bo ’ lamiz . Natija. Kordinatalar boshining biror atrofida ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi f funksiya uchun ∫−∞ ∞ e−λx f(x)dx =√ π λ∙[f(0)+O (1) λ ] , λ→ +∞ , (11) Asimptotik tenglik o’rinli. 2. Endi (1) integralni (2) ko’rinishga keltirish masalasini qaraylik. Integrallash intervalini surib, ya’ni chiziq almashtirish bajarib, doim a<0 va b>0 deyishimiz mumkin . Shunday ekan, yuqoridagi masala quyidagi ko’rinishga keladi: qanday shartlarda g ( t ) funksiyani g( t) = φ 2 ( t) (12) deb yozish mumkin, bu yerda φ ( t ) funksiya φ ( 0) = 0 , φ ' ( t) > 0 , a < t < b , (13) shartlarni qanoatlantiradi. Haqiqatdan, (13) shartga ko’ra, x=φ(t) funksiya manoton o’sadi va t = ψ ( x ) teskari funksiyaga ega, bunda teskari funksiya ham monoton o’sib , ψ ( 0) = 0 shartni qanoatlantiradi. U holda (1) Integralda t = ψ ( x ) almashtirish bajarsak, (12) tenglikga ko’ra, ∫ ab e − λg ( t ) dt = ∫ αβ e − λ x 2 ψ ' ( x ) dx (14) munosabatga ega bo’lamiz. Endi (α,β) interval ichida f(x)=ψ'(x) va intervaldan tashqarida f ( x ) = 0 desak, ∫ ab e − λg ( t ) dt = ∫ − ∞+ ∞ e − λ x 2 f ( x ) dx (15) tenglikka kelamiz. Shunday qilib, biz (1) integralni (2) ko’rinishga keltirdik. Har qanday elementar funksiya o’zi aniqlangan barcha nuqtalarda uzluksizdir. Ammo, differensiallanuvchanlik haqida bunday teorema yo’q va bo’lishi ham mumkin emas. Masalan, φ(t)=√t2=|t| murakkab funksiya R sonlar o’qida uzluksiz bo’lib, lekin faqat t≠0 nuqtalardagina differensiallanuvchidir. Bunga sabab shundaki, √ x funksiya faqat x>0 larda differensiallanuvchidir ¿ da uzluksiz bo’lishga qaramasdan ). Demak, agar g ( t) differensiallanuvchi funksiya qat’iy musbat bo’lsa , φ(t)=√g(t) murakkab funksiya ham differensiallanuvchi va musbat bo’ladi. Bordiyu g ( t ) funksiya manfiymas bo’lsa, u holda φ ( t) = √ g ( t ) funksiya differensiallanuvchi bo’lmasligi ham mumkin. Bunda silliqlik g funksiya nolga aylangan nuqtalarda yo’qollishi mumkin. Lekin, shunga qaramasdan, har qanday cheksiz differensiallanuvchi nomanfiy funksiyani cheksiz differansiallanuvchi funksiyaning kvadrati (manfiy bo’lishi shart bo’lmagan ) ko’rinishda yozish mumkin. Qulaylik uchun shu pragrafning oxirigacha, agar funksiya biror intervalda cheksiz differensiallanuvchi bo’lsa, biz uni shu intervalda silliq deymiz. Aytaylik, g ( t ) funksiya nolning biror atrofida silliq bo’lib, shu atrofning noldan boshqa nuqtalarda musbat bo’lsin. Bundan tashqari, nol nuqtada g ( 0 ) = g ' ( 0) = 0 g ' ' ( 0) > 0 (16) shartlar bajarilsin. Qayd ettilgan atrofda g(t) funksiyani, integral ko’rinishdagi qodiq had bilan, Teylor formulasi bo’yicha yoyamiz a g(t)= g(0)+g'(0)t+∫0 t (t− s)g''(s)ds . (16) shartni hisobga olib va s= yt almshtirish bajarib, bu tengsizlikni biz g(t)=t2∫0 1 (1− y)g''(ty )dy deb yozishimiz mumkin. Endi h(t)=∫0 1 (1− y)g''(ty )dy , funksiyani kiritaylik; bu funksiya nolning atrofida silliqdir. Ya’ni: g ( t) = t 2 h ( t) . Ikkinchi hosila uzluksiz bo’lgani uchun, yuqoridagi g ' ' ( 0) > ¿ tensizlik nolning biror atrofida ham o’rinli bo’ladi, ya’ni g ' ' ( 0) > 0 Demak, h ( t) funksiya nolning atrofida nafaqat silliq, balki qat’iy musbat ham bo’lar ekan. Bundan chiqdi, √ h ( t ) va φ(t)=t√h(t) funksiyalar nolning atrofida cheksiz differensiallanuvchi bo’lib, (12) tenglik bajariladi. Shunday qilib, (16) shart ostida, g funksiyani silliq funksiya kvadrati ko’rinishida yozish mumkin ekan. Bunda z φ ( t) = ( sign t )√ g ( t ) ekanini ko’rish qiyin emas. 2. Ixtiyoriy ikki G ⊂ Rm va Ω ⊂Rn to’plamlarni hamda f :G x Ω ⟶ R funksiyani qaraylik. Bu degani f(x,y) ikki ko’p o’lchovli o’zgaruvchilarning, ya’ni m o’lchovli x ning va n o’lchovli y ning funksiyasidir. Faraz qilaylik, Ω ⊂ R n to’plam Jordan ma’nosida o’lchovli (ya’ni, n=2 da kavdratlanuvchi va n≥3 da kublanuvchi) bo’lsin. Bundan tashqari f(x,y) har bir tayinlangan x∈G da y ning funksiyasi sifatida Ω to’plamda integrallanuvchi bo’lsin. Bu holda Ф (x)=∫Ω ❑ f(x,y)dy (1) Integral x ∈ G parametrga bog’liq karrali integral deb ataladi. Quyida keltirilgan tasdiqlarda biz G va Ω to’plamlarni soxa deb, ya’ni ochiq bog’lamli to’lam deb hisoblaymiz. Jordan bo’yicha o’lchovli ekanidan ularning chegaralangani kelib chiqadi. Eslatib o’tamiz, G simvol G to’lamning yopig’ini anglatar edi. Parametrlarga bog’liq karrali integrallar ham xuddi bir karrali integrallar kabi xossalarga ega. 1-tasdiq. Istalgan f ∈ C ( G × Ω ) funksiya uchun (1) integral G yopiq toplamda uzluk funksiyadir. 2-tasdiq. Agar G kvadralanuvchi soha bo’lsa, istalgan f ∈ C ( G × Ω ) funksiya uchun (1) tenglik bilan aniqlangan Ф funksiya G toplamda integrallanuvchi bo’lib, ∫ G❑ Ф ( x ) dx = ∫ Ω❑ dy ∫ G❑ f ( x , y ) dx (2) tenglik bajariladi. 3-tasdiq. Agar f ∈ C ( G × Ω ) va har bir 1≤ j≤m uchun ∂ f ∂xj C(G ×Ω) bo’lsa, u holda (1) integral G sohada x j o’zgaruvchi bo’yicha uzluksiz differensiallanuvchi bo’lib, δ ф ( x ) δ x j = ∫ Ω❑ ∂ f ( x , y ) ∂ x j dy (3) tenglik bajariladi. Isbot xuddi mos (1) (3) teoremalar isboti kabidir. Masalan, 3- tasdiqni isbotlaylik . Buning uchun ~ x ¿ ( x 1 , x 2 , … . x m − 1 ) deb belgilash kiritamiz. U holda , x=(~x,xm)∈G . Endi ~x ni tayinlab , shunday a son tanlaymizki , bunda ¿ ~x , a ¿ va (~x,xm) nuqtalarni tutashtiruvchi kesma butunligicha G sohada yotsin. Agar ψ(xm)=∫Ω ❑ ∂ f¿¿¿ (4) Bir o’zgaruvchili funksiyani kiritsak, u holda bu funksiya integrali uchun, (2) tasdiqni qo’llab Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib, ∫a xm ψ(t)dt =∫Ω ❑ dy ∫a xm∂ f(t,y) ∂t dy =∫Ω ❑ |f(~x,xm,y)− f(~x,a,y)|dy = ϕ(~x,xm)−ϕ(~x,a) tenglikni olamiz. Bu tenglikning ikki tarifini xm boyicha differensiallasak, ψ ( x m ) = ∂ ϕ ( x ) ∂ x m munosabatga ega bo’lamiz. Hosil bo’lgan tenglikni (4) bilan taqqoslab, talab qilingan (3) formulani j=m uchun olamiz. Boshqa j lar uchun ham isbot xuddi shu kabi bo’ladi. (1) ko’rinishdagi karrali xosmas integrallar xuddi bir karrali parametrga bog’liq integrallar kabi o’rganiladi. Bunda quydagi ikki holni alohida qarash kerak: 1) integral ostidagi funksiya maxsusliklar to’plami parametrga bog’liq emas; 2) bu to’plam parametrga bog’liq. Birinchi holda (1) xosmas integral mahkamlangan maxsuslikka ega bo’lgan integral deb ataladi. Ushbu bandda aynan shunday xosmas integrallarni o’rganamiz. Mahkamlangan maxsuslikka ega (1) xosmas integralni, parametrga bog’liqmas ravishda tanlangan , qamrab oluvchi sohalar bo’yicha integrallar bilan yaqinlashtirish mumkin. Biz integral ostidagi funksiya maxsusliklar Ω sohasining chegarasida yotadi deb faraz qilamiz. Masalan, agar φ funksiyaning maxsusligi bo’lmasa, ∫ |y|<1 ❑ ψ(x,y) |y|❑ n−1√1−|y|❑ 2 (5) Xosmas integral uchun Ω soha sifatida, tabiiyki, Ω= {y∈Rn:0<|y|<1} to’plamni olish keraak. Bu sohaning chegarasini radiusi 1va markazi y=0 nuqtada bo’lgan sfera va y=0 nuqtaning o’zidan iborat. Ravshanki, Ωk={y∈Rn:1 k<|y|<1− 1 k} to’plamlar Ω ni qamrab oluvchi { Ω k } sohalar ketma-ketligini tashkil qiladi. Yana bir misol sifatida ∫ R n❑ ψ ( x , y ) dy | y − a | ❑ n − 1 (6) integralni olishimiz mumkin, bu yerda a orqali Rn fazosining ixtiyoriy tayinlangan nuqtasi belgilangan. (6) integral uchun Ω soha sifatida R n fazoda a nuqtani chiqarib tashlash natijasida hosil bo’lgan to’plamni olish mumkin, ya’ni Ω ={ y ∈ R n : y ≠ a } Ayonki, Ω k = { y ∈ R n : 1 k < | y − a | < k } sohalar x parametrga bo’g’liq bo’lmay, Ω ni qamrab oluvchi ketma-ketlikni tashkil qiladi. Har bir (5) va (6) integral mahkamlangan mahsuslikka ega va x parametrga bog’liq xosmas integraldir. Shuning uchun integrallash sohasini qamrab oluvchi sohalar ketma-ketligini x parametrga bog’liqmas ravishda tanlash mumkin. (E’tibor bering, agar (6) integralda a ni parametr deb hisoblasak, u holda Ω k sohalarni a ga bog’liq qilib tanlashga to’g’ri kelar edi). Faraz qilaylik, (1) xosmas integral bo’lib, x ∈ G parametrning har bir qiymatida yaqinlashsin. Bundan tashqari, Ωk sohalar ketma- ketligi , Ω ni qamrab olsin . Quyidagi ϕ k ( x ) = ∫ Ω k❑ f ( x , y ) dy (7) Funksiyalar ketma- ketligini kiritamiz. Agar (7) ko’rinishdagi ixtiyoriy ϕk(x) ketma- ketlik ϕ ( x ) ga G da tekis yaqinlashsa, u holda ϕ(x)=∫Ω ❑ f(x,y)dy xosmas integralni x∈G parametr bo’yicha tekis yaqinlashadi deymiz. Xuddi bir o’zgaruvchi holdagidek , karrali xosmas integrallar uchun ham Veyershtrassning tekis yaqinlashish alomati o’rinli: agar integral ostidagi f(x,y) funksiya yuqoridan x bog’liqmas g ( y ) funksiya bilan baholansa, u holda g dan olingan integral yaqinlashishidan f dan olingan integralning tekis yaqinlashishi kelib chiqadi. Masalan , agar ψ funksiya biror o’zgarmas bilan chegaralangan bo’lsa, u holda (5) integral x bo’yicha tekis yaqinlashadi . Parametrga bog’liq (1) ko’rinishdagi tekis yaqinlashuvchi karrali xosmas integrallar uchun ham bir o’zgaruvchili holda isbotlangan kabi tasdiqlar o’rinli. Xususan , 1) agar integral ostidagi f(x,y) funksiya G × Ω da uzluksiz bo’lsa , u holda tekis yaqinlashuvchi (1) integral G da uzluksiz funksiya bo’ladi; 2) agar (1) integral barcha x∈G larda yaqinlashsa hamda integral ostidagi funksiya G × Ω da uzluksiz ∂ f ( x , y ) ∂ x j hosilaga ega bo’lib, bu hosiladan olingan integral tekis yaqinlashsa , u holda integral ostida differensiallash formulasi o’rinli: ∂ ∂xj ∫Ω ❑ f(x,y)dy = ∂ f(x,y) ∂xj dy . 3. ∫a b e−λg(t) ni J(λ)= ∫−∞ ∞ e−λx2f(x)dx ko’rinishga keltirish ∫a b e−λg(t)dt =∫α β e−λx2ψ'(x)dx (1) munosabatga ega bo’lamiz . Endi ( α , β ) interval ichida f(x)=ψ'(x) intervalda tashqarida f(x)=0 desak, ∫ ab e − λg ( t ) dt = ∫ − ∞∞ e − λ x 2 f ( x ) dx (2) tenglikka kelamiz. Shunday qilib, biz (1) integralni (2) ko’rinishga keltirdik. E’tibor bering, Har qanday elementar funksiya o’zi aniqlangan barcha nuqtalarda uzluksizdir. Ammo, differensiallanuvchanlik haqida bunday teorema yo’q va bo’lishi ham mumkin emas. Masalan, φ ( t) = √ t 2 = | t| murakkab funksiya R sonlar o’qida uzluksiz bo’lib, lekin faqat t≠0 nuqtalardagina differensiallanuvchidir. Bunga sabab shundaki, √ x funksiya faqat x>0 larda differensiallanuvchidir ¿ da uzluksiz bo’lishga qaramasdan ). Demak, agar g ( t) differensiallanuvchi funksiya qat’iy musbat bo’lsa , φ(t)=√g(t) murakkab funksiya ham differensiallanuvchi va musbat bo’ladi. Bordiyu g ( t ) funksiya manfiymas bo’lsa, u holda φ ( t) = √ g ( t ) funksiya differensiallanuvchi bo’lmasligi ham mumkin. Bunda silliqlik g funksiya nolga aylangan nuqtalarda yo’qollishi mumkin. Lekin, shunga qaramasdan, har qanday cheksiz differensiallanuvchi nomanfiy funksiyani cheksiz differansiallanuvchi funksiyaning kvadrati (manfiy bo’lishi shart bo’lmagan ) ko’rinishda yozish mumkin. Qulaylik uchun shu pragrafning oxirigacha, agar funksiya biror intervalda cheksiz differensiallanuvchi bo’lsa, biz uni shu intervalda silliq deymiz. Aytaylik, g ( t ) funksiya nolning biror atrofida silliq bo’lib, shu atrofning noldan boshqa nuqtalarda musbat bo’lsin. Bundan tashqari, nol nuqtada g ( 0 ) = g ' ( 0) = 0 g ' ' ( 0) > 0 (3) shartlar bajarilsin. Qayd ettilgan atrofda g(t) funksiyani, integral ko’rinishdagi qodiq had bilan, Teylor formulasi bo’yicha yoyamiz a g(t)= g(0)+g'(0)t+∫0 t (t− s)g''(s)ds . (16) shartni hisobga olib va s= yt almshtirish bajarib, bu tengsizlikni biz g(t)=t2∫0 1 (1− y)g''(ty )dy deb yozishimiz mumkin. Endi h(t)=∫0 1 (1− y)g''(ty )dy , funksiyani kiritaylik; bu funksiya nolning atrofida silliqdir. Ya’ni: g ( t) = t 2 h ( t) . Ikkinchi hosila uzluksiz bo’lgani uchun, yuqoridagi g ' ' ( 0) > ¿ tensizlik nolning biror atrofida ham o’rinli bo’ladi, ya’ni g ' ' ( 0) > 0 Demak, h ( t) funksiya nolning atrofida nafaqat silliq, balki qat’iy musbat ham bo’lar ekan. Bundan chiqdi, √ h ( t ) va φ(t)=t√h(t) funksiyalar nolning atrofida cheksiz differensiallanuvchi bo’lib, (2) tenglik bajariladi. Shunday qilib, (16) shart ostida, g funksiyani silliq funksiya kvadrati ko’rinishida yozish mumkin ekan. Bunda z φ ( t) = ( sign t )√ g ( t ) ekanini ko’rish qiyin emas. Faraz qilaylik , g ( t ) funksiya 0 nuqtani o’z ichiga olgan (a,b) intervalda ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi bo’lib, (3) shartni qanoatlantirsin . Bundan tashqari , t=0 nuqtaning biror atrofida bu funksiya cheksiz differensiallanuvchi bo’lsin. U holda istalgan natural m uchun λ→ ∞ da quyidagi ∫ ab e − λg ( t ) dt = ∑ k = 0m − 1 ψ ( 2 k + 1 ) ( 0 ) ( 2 k ) ! ∙ Г ( k + 1 2 ) λ k + 1 2 + O ( 1 ) λ m + 1 / 2 (4) asimptotik tenglik bajariladi. Bu tenglikda ψ(x) funksiya φ 2 ( t) = g ( t ) tenglikni qanoatlantiruvchi φ ( t ) funksiyaga teskari funksiyadir. Eslatma. Laplas usulini yanada umumiyroq bo’lgan quyidagi ∫a b e−λg(t)f(t)dt integrallarga ham qo’llash mumkin . Bunda asosiy mulohazalar xuddi (1) integralni o’rganishdagidek bo’lib qolaveradi. 1. Laplas usulini Г (p+1)=∫0 ∞ e−xxpdx (5) Eyler gamma-funksiyasini p parametrning katta qiymatlaridagi asimptotikasini o’rganishga qo’llaymiz. Agar I(p)=∫0 ∞ e−p(y−1)ypdy =∫0 ∞ e−p(y−1−¿¿lny)dy¿¿deb belgilab , x= py almashtirish bajarsak , ∫0 ∞ e−xxpdx = pp+1∫0 ∞ e−pyypdy =¿pp+1e−pI(p)¿ (6) Ifodani olamiz. Endi I ( p ) integralda t = y − 1 almashtirish bajarsak, bu integral I(p)=∫−1 ∞ e−pg(t)dt ko’rinishga keladi, bu yerda g ( t) = t − ln ( 1 + t ) . (7) Ma’lumki, g ' ( t) = 1 − 1 1 + t , g''(t)= 1 (1+t)2. Bundan chiqdi, g funksiya 1-teoremaning barcha shartlarini qanoatlantiradi. Demak, 4-tasdiqqa ko’ra, Г (p+1)=√2πp ( p e)[1+O(1) p ] . Asimptotik formulaga ega bo’lamiz. 3. Quyidagi u(x)=∫ Rn ❑ ψ(y) |x− y|dy ,0<λ<n, (1) ko’rinishdagi integrallar potensial xilidagi integrallar deyiladi. Agar n=3va λ=1 bo’lsa , yuqoridagi integral gravitatsiya nazariyasida Nyuton potensiali deb, elekt nazariyasida esa, Kulon potensiali deb ataladi. Bunda integral ostidagi ψ funksiyaga zichlik deyiladi. Potensial xilidagi integrallarlarni F ( y ) = | y | yadro bilan (11) ko’rinshda yozish mumkin , bunda , albatta, yadro lokal integrallanuvchi bo’ladi, ya’ni (12) shartni qanoatlantiradi. Shunday ekan, yuqoridagi mulohazalarga ko’ra, navbatdagi tasdiqni olamiz. 1-tasdiq. Faraz qilaylik, α ixtiyoriy multiindeks bo’lsin. Agar ψ funksiya uzliksiz D α ψ ( x ) hosilaga ega bo’lib, (13) shartni qanoatlantirsa , u holda potensial xilidagi (16) Dαu(x)=∫ Rn ❑ Dαψ(y) |x− y| dy ,0<λ<n, (17) tenglik bajariladi. Isbot (15) formuladan kelib chiqadi. E’tibor bering, umumiy (11) holda farqli o’laroq, potensial xilidagi integrallar yadrosi diaganaldan tashqarida cheksiz differensiallanuvchidir. Shu sababli, umumiy (16) integral silliqligini ψ funksiyaga kamroq shhartlarda isbotlash mumkin. Haqiqatdan, bu holda biz ∂ ∂xj 1 |x− y|=− λ xj−yj |x− y| tenglikdan foydalanishimiz mumkin. Ravshanki, differensiallangan F j(x− y)=− λ xj−yj |x− y| Yadro | F j ( x − y ) | ≤ λ | x − y | bahoni qanoatlantiradi. Agar λ + 1 ≤ n b o ' lsa F j ( y ) funksiya lokal integrallanuvchi bo’ladi. Shuning uchun ∂u(x)❑ ∂xj =∫ Rn ❑ Fj(x− y)ψ(y)dy tenglikdan uzluksiz ψ λ<n−1λ<n−1 zichlikka ega potensiallarning barcha qismiy hosilalari uzluksiz ekani kelib chiqadi. Bundan chiqdi , navbatdagi tasdiq o’rinli bo’lar ekan. 2-tasdiq. Agar λ < n − 1 bo’lsa , u holda (13) shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy uzluksiz ψ funksiya uchun potensial xildagi (16) integral Rn fazoda uzluksiz differensiallanuvchi funksiya bo’lib, u(x)=− λ∫ Rn ❑ x− y |x− y|ψ(y)dy (18) tenglik bajariladi. 1-eslatma. λ = n − 1 da bu tasdiq o’rinli emas , chunonchi, shunday uzluksiz ψ zichlik topiladiki , bunda (16) funksiya uzluksiz bo’lib , uzluksiz differensiallanuvchi bo’lmaydi. 2-eslatma. Agar 6-tasdiq shartida qo’shimcha ravishda ψ funksiyani uzluksiz uzluksiz differensiallanuvchi bo’ladi. Xususan , agar Δ simvol orqali Laplas operatorini belgilasak: Δ u ( x ) = ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ x 2 + … + ∂ 2 u ∂ x 2 , u holda ∆u(x)=−∫ Rn ❑ 1 |y|y∙∇ψ(x+y)dy (19) tenglik bajariladi. Isbot bevosita (18) tenglik va 1- tasdiqdan kelib chiqadi. 4. Nyuton potensiali. Agar n ≥ 3 desak, Rn fazosida Nyuton potensiali u(x)=∫ Rn ❑ ψ(y) |x− y|dy =∫ Rn ❑ ψ(x+y) |y|n−2 dy (20) kabi aniqlanadi. 1-teorema. (13) shartni qanoatlantiruvchi istalgan uzluksiz differensiallanuvchi ψ(x) zichlik uchun (20) Nyuton potensiali ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi funksiya bo’lib, u quyidagi ∆u(x)=−(n− 2)ωnψ(x) (21) tenglikni qanoatlantiradi, bu yerda ω n − R n dagi birlik sfera sirtining yuzi ( (18) ta’rif va (11) tenglamaga qarang). Isbot. (19) tenglikda λ=n−2 deb, markazi x nuqtada bo’lgan (r,θ) sferik koordinatalarni kiritamiz (5- bandga qarang). Bu koordinatalarda radius bo’yicha hosila uchun ∂ ∂r ψ(x+rθ)=θ∙∇ ψ(x+rθ )= x |y|∙∇ ψ(x+y) tenglik o’rinli. Shunday ekan, (19) formulaning o’ng tomonidagi integralda qayd qilingan sferik koordinatalarga o’tib, so’ngra Nyuton - Lyebnits formulasi qollanilsa, talab qilingan natija olnadi. ∆ u ( x ) = − ( n − 2 ) ∫ ∑ ❑n − 1 ❑❑ ϕ ( θ ) dθ ∫ 0∞ 1 r n − 1 ∂ ∂ r ψ ( x + rθ ) r n − 1 dr = ¿ ¿ − ( n − 2 ) ∫ ∑ ❑n − 1 ❑❑ ψ ( x ) ϕ ( θ ) dθ = − ( n − 2 ) ω n ∙ ψ ( x ) . 3-eslatma. 1-teorema shartida zichlik (13) munosabatni qanoatlantirishini tanlab qilish shart emas. Teorema tasdig’i ψ zichlik cheksizlikda yetarlicha tez nolga intilganda ham o’rinli. Parametrga bog’liq integraldan uzoqlashuvchi karrali xosmas integralni jamlashda hamm foydalaniladi. Masalan, ∫ Rn ❑ f(x)dx (22) xosmas integralni olsak. Abel jamlash usulini ko’p o’lchovli holda kiritish uchun, α>0 parametrga bog’liq quyidagi A ( α ) = ∫ R n❑ e − α | x| f ( x ) dx (23) integralni qraymiz. Agar (A)∫ Rn ❑ f(x)dx =limα→0∫ Rn ❑ e−α|x|f(x)dx tenglikning o’ng tarafidagi limit mavjud bo’lsa, u holda (22) xosmas integral Abel usuli bilan jamlanadi deyiladi. Eslatib o’tamiz , agar (22) integralning bosh qiymati: V .p.∫ Rn ❑ f(x)dx = limR→+∞ ∫ |x|≤R ❑ f(x)dx mavjud bo’lsa, integral Koshi ma’nosida yaqinlashadi deyiladi. Navbatdagi tasdiq Abel jamlash usuli bilan xosmas integralni Koshi bo’yicha integrallashni bo’g’laydi. 2-teorema. Faraz qilaylik, f ( x ) funksiya Rn fazosida uzluksiz bo’lib, istalgan α>0 uchun (23) integral yaqinlashsin . Agar (22) xosmas integral Koshi bo’yicha yaqinlashsa, u holda limα→0+0∫ Rn ❑ e−α|x|f(x)dx =V .p.∫ Rn ❑ f(x)dx tenglik bajariladi. Isbot. Sferik koordinatalarni kiritib, radiusi r va markazi koordinatalar boshida bo’lgan sfera bo’yicha ψ(r)= ∫ |x|=r ❑ f(x)dσ (x) sirt integralini qaraylik. Ravshanki, ∫ |x|≤R ❑ f(x)dx =∫0 R ψ(r)dr va (22) integralning bosh qiymati uchun V . p . ∫ R n❑ f ( x ) dx = ∫ 0∞ ψ ( r) dr (24) tenglik o’rinli. Bundan chiqdi, (23) integralni quyidagi A(α)=∫0 ∞ e−αrψ(r)dr (25) ko’rinishda yozish mumkin. Isbotni yakunlash uchun Abelning 9-teoremasini qo’llsh yetarli. Bu teoremaga ko’ra, (25) tenglikning o’ng tarafidagi integral α → 0 da (24) ning o’ng tarafidagi integralga yaqinlashadi. Natija. Faraz qilaylik, f ( x ) funksiya Rn fazoda uzluksiz bo’lsin. Agar (22) xosmas integral yaqinlashsa , u holda quyidagi limα→0+0∫ Rn ❑ e−α|x|f(x)dx = ¿∫ Rn ❑ f(x)dx ¿ tenglik bajariladi. 1-eslatma. (22) integralni jamlashning Abel nomi bilan bog’liq yana bir usuli ϕ ( α ) = ∫ R n❑ e − α | x| f ( x ) dx (26) integral bilan aniqlanadi. ϕ ( α ) funksiya ba’zan Gauss o’rtachalari deb ham ataladi. Xuddi yuqoridagidek , agar (22) integral I soniga yaqinlashsa , u holda (26) integralning α → 0 dagi limiti mavjud bo’lib , u I ga teng bo’ladi. 2-eslatma. (23) va (26) integrallar bilan aniqlangan Abel jamlash usullaridan biz, aslida , Dirixlening uzilishga ega bo’lgan (48) ko’paytuvchisini hamda (34) va (35) Frenel integrallarini hisoblashda foydalangan. Xulosa. Parametrga bog’liq integral asimptotikasini topishning eng kuchli usullaridan birini P. Laplasni ko’rinishdagi integralning λ ⟶ + ∞ dagi taklif qilgan. Biz Laplas usulining eng sodda holini. Shu ma’noda ushbu kurs ishida parametrga bog’liq integrallarga taaluqli masalalar qaralgani muhim ahamiyatga ega, Kurs ishida olingan barcha natijalar quyidagilardan iborat: - Parametrga bog’liq integrallash tartibini o’zgartirish - Laplas usuli. - Parametrga bog’liq karralli integrallar. - ∫a b e−λg(t) ni J(λ)= ∫−∞ ∞ e−λx2f(x)dx ko’rinishga keltirish - Potensial xildagi integrallar. - Parametrga bog’liq integrallarni asimptotik hisoblash usullari. - Parametrga bog’liq integrallar va ularning ta’rifi. Kurs ishida qaralgan masalalar, qo’llanilgan usullar va natijalar kelgusida parametrga bog’liq integrallarni asimptotik hisoblash nazariyasining rivojlanishida qo’llanishi, shuningdek, matematik analizning tadbiqlarini o’rganishda foydali qo’llanma vazifasini o’tashi mumkin. Foy dalanilgan adabiy ot lar 1. T. Azlarov, X. Mansurov. Matematik analiz . 1-qism. T. “O’qituvchi”. 1994. 2. Sh. Alimov, R Ashurov. Matematik analiz. O’zMU. (Mexanika- matematika fakulteti talabalari uchun ma’ruzalar matni) 2005. 3. В.А Зорич, Математический анализ. ч. 1. М , “ Наука ”. 1981. 4. Sh. Alimov. Algebra va analiz asoslari . O’rta maktabning 10-11 sinfi uchun darslik. T. “O’qituvchi” 1996. 350 b. 5. Б.П. Демидович, Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М 1990. 6. С.М. Николский, Курс математического анализа . Т. 1. М.” Наука” 1973. 7. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учебное пособие для вузов. - 20-е изд. - М.: Наука. Главная редакция физико- математической литературы, 1985. - 384 с. 8. A . N . Kolmogorov va boshq . Algebra va analiz asoslari . O’rta maktabning 10- 11 sinfi uchun darslik. T. “O’qituvchi” 1994. 350 b. 9. С.А.Лактионов, М.И.Журавлева, С.Ф.Гаврикова. Построение графиков в пакете Maple: СибГИУ. -Новокузнецк, 2012. - 40 с. 10. http://olo.looblogs.info/issledovanie-funkcij-maple.html 11. http://maple.plusby.com/index.html MUNDARIJA. 1. Kirish ………………………………………………………………………………………………. 2.Asosiy qism 1)Laplas usuli ……………………………………………………………………………………. 2)Parametrga bo’gliq karrali integrallar…………………………………………….. 3)∫a b e−λg(t) ni J(λ)= ∫−∞ ∞ e−λx2f(x)dx ko’rinishga keltirish…… 4) Potensial xildagi integrallar…………………………. 3.x ulosa………………………………………………………… Foydalanilgan adabiyotlar…………………………

Parametrga bog’liq integrallarni asimptotik hisoblash usullari

Reja:

I.Kirish.

II.Asosiy  qism.

1.Laplas  usuli.

2.Parametrga bog’liq karrali  integrallar.

3. .  ni   ko’rinishga keltirish

4.Potensial  xildagi integrallar.

III.Xulosa.
 

Sotib olish