Dokument ma'lumotlari

Narxi 19900UZS
Hajmi 60.6KB
Xaridlar 0
Yuklab olingan sana 08 Dekabr 2024
Kengaytma docx
Bo'lim Kurs ishlari
Fan Algebra

Sotuvchi

Bahrom

Ro'yxatga olish sanasi 05 Dekabr 2024

256 Sotish

Parametrga bog’liq xosmas integrallar

Sotib olish
KURS ISHI Mavzu: Parametrga bog’liq xosmas integrallar. Reja: I.Kirish. II.Asosiy qism. 1. Parametrga bog’liq birinchi tur xosmas integrallarning tekis yaqinlashishi. 2. Parametrga bog’liq xosmas integrallarning differensiallanuvchanligi. 3. Xosmas integrallarda integrallash tartibini o’zgartirish. 4. Parametrga bog’liq ikkinchi tur xosmas integrallar. 5. Xosmas integrallarni jamlash usullari. III.Xulosa. Kirish. Masalaning qo’yilishi: Parametrga bog’liq xosmas integrallarni va ularni xossalarini o’rganish. Parametrga bog’liq xosmas integrallarni tekis yaqinlashishi va differensiallanuvchanligi ta’riflari va tushunchalarini masalalar yechishda tadbiq qilish. Masalaning dolzarbligi: Parametrga bog’liq xosmas integrallar bilan ifodalangan funksiyalarni o’rganish muhim ahamiyatga egadir. Ishning maqsad va vazifalari: Parametrga bog’liq xosmas integrallarning xossalarini va ularning tadbiqlarini o’rganish. Tadqiqot metodlari: Ishni bajarishda matematik analiz va funksional analiz usullaridan foydalanilgan. Ishning amaliy ahamiyati: Kurs ishida qo’llanilgan usullar va natijalar kelgusida parametrga bog’liq xosmas integrallar nazariyasining rivojlanishida qo’llanilishi, shuningdek, matematik analizning tadbiqlarini o’rganishda foydali qo’llanma vazifasini o’tashi mumkin. Ishning tuzilishi: Mazkur kurs ishi parametrga bog’liq birinchi tur va ikkinchi tur xosmas integrallarni hamda ularni xossalarini o’rganishga bag’ishlangan bo’lib, kirish qismi, 5 ta paragraf, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat. Bajarilgan ishlarning qisqacha mazmuni: Paramertga bog’liq xosmas integrallar mavzusi asosan 5 ta paragrafda keng yoritilib berilgan. Ya’ni parametrga bog’liq birinchi va ikkinchi tur xosmas integrallarni tekis yaqinlashishi, differensiallanuvchanligi, xosmas integrallarni integrallash tartibini o’zgartirish hamda xosmas integrallarni jamlash usullari ta’rif va teoremalar yordamida keng yoritilgan. 1.Parametrga bog’liq birinchi tur xosmas integrallarning tekis yaqinlashishi.10. Faraz qilaylik, f ( x , y ) funksiya Q+¿={(x,y)∈R2:a≤x≤b,c≤y≤∞}¿ yarim tasmada berilgan bo’lib, har bir x ϵ [ a , b ] uchun ¿ yarim to’g’ri chiziqda xosmas ma’noda integrallanuvchi bo’lsin. U holda, parametrga bog’liq birinchi tur xosmas integral deb ataluvchi quyidagi Ф ( x ) = ∫ c∞ f ( x , y ) dy ( 1 ) funksiya [a,b] kesmada aniqlangan bo’ladi. Eslatma: Ikki va undan ortiq parametrga bog’liq xosmas integrallar ham xuddi shunday aniqlanadi. Masalan, navbatdagi Ф ( α , β ) = ∫ 0∞ e − αx cosβx dx va ᴪ ( α , β ) = ∫ 0∞ e − αx sinβx dx ikki integral α va β parametrlarga bog’liq xosmas integrallardir. Bu integrallarning istalgan α > 0 parametr uchun yaqinlashishi ∫0 R e−αxcosβx dx = α−e−αR(αcosβR − βsinβR ) α2+β2 va ∫0 R e−αxsinβx dx = β− e−αR(αcosβR +αsinβR ) α2+β2 tengliklardan kelib chiqadi. Haqiqatdan, bu tengliklarda R → + ∞ deb limitga o’tsak, ∫0 ∞ e−αxcosβx dx = α α2+β2α>0(2)va ∫0 ∞ e−αxsinβx dx = β α2+β2α>0(3) munosabatlarga ega bo’lamiz. Ta’rif: Agar (1) xosmas integrallar yaqinlashuvchi bo’lib, istalgan ε>0 olganda ham shunday A>0 son topilsaki, barcha xϵ[a,b] lar uchun |∫A ∞ f(x,y)dy |<ε baho bajarilsa, bu xosmas integralni x ϵ [ a , b ] parametr bo’yicha tekis yaqinlashadi deymiz. Eslatma: Faraz qilaylik, f(x,y) funksiya x ϵ [ a , b ] parametrning har bir qiymatida y ≥ c yarim to’g’ri chiziqda lokal integrallanuvchi bo’lsin. Koshi kriteriyasiga ko’ra, agar istalgan ε>0 olganda ham shunday Aε>0 son topilsaki, har qanday B > A > A ε va barcha xϵ[a,b] lar uchun | ∫ AB f ( x , y ) dy | < ε ( 4 ) tengsizlik bajarilsa, u holda (1) xosmas integral x ϵ [ a , b ] parametr bo’yicha tekis yaqinlashadi. E ∁ R to’plam kesma bo’lmagan holda ham bu to’plamga tegishli parametr bo’yicha tekis yaqinlashish huddi yuqoridagidek aniqlanadi. Parametrga bog’liq xosmas integral tekis yaqinlashishining navbatdagi yetarli sharti tadbiqlarda ko’p uchraydi. 1-teorama:(Veyershtrass alomati). Faraz qilaylik, x ϵ [ a , b ] uchun f(x,y) funksiya y ≥ c yarim to’g’ri chiziqda lokal integrallanuvchi bo’lib, | f ( x , y ) | ≤ g ( y ) , ( x , y ) ϵ Q + + ¿ ¿ shart bajarilsin. Agar ∫ c∞ g( y ) dy integral yaqinlashsa, u holda (1) integral x ϵ [ a , b ] bo’yicha tekis yaqinlashadi. Isbot: Parametrga bog’liq xosmas integral tekis yaqinlashishining (4) Koshi kriteriyasi va | ∫ AB f ( x , y ) dx | ≤ ∫ AB g ( y ) dy bahodan kelib chiqadi. Haqiqatdan, teorema shartiga ko’ra, istalgan ε>0 olganda ham shunday Aε>0 son topiladiki, barcha B > A > A ε lar uchun o’ng tarafdagi integral ε dan kichik bo’ladi. Demak, chap taraf ham bir vaqtning o’zida barcha x lar uchun o’sha ε dan kichik bo’ladi. 20. Tekis yaqinlashishning Dirixle-Abel alomati nisbatan nozikroq alomatdir. Faraz qilaylik, f ( x , α ) funksiya α parametrning biror E ∁ R to’plamdanolingan barcha qiymatlarida x≥c yarim to’g’ri chiziqda aniqlangan bo’lsin. Agar x bo’yicha differensiallanuvchi shunday F(x,α) funksiya topilsaki, u uchun x va α ga bog’liqmas biror M soni bilan ∂ F ( x , α ) ∂ x = f ( x , α ) ,| F ( x , α ) | ≤ M , x ≥ c , α ∈ E , ( 5 ) munosabatlar bajarilsa, biz f funksiyani x ≥ c yarim to’g’ri chiziqda α ∈ E bo’yicha tekis chegaralangan boshlang’ich funksiyaga ega deymiz. 2-teorema.(Dirixle-Abel alomati ). Faraz qilaylik, f ( x , α ) funksiya parametrning har bir α∈E qiymatida x≥c yarim to’g’richiziqda lokal integrallanuvchi bo’lib, bu yarim to’g’ri chiziqda α∈E bo’yicha tekis chegaralangan boshlang’ich funksiyaga ega bo’lsin. Bundan tashqari, g ( x ) funksiya x≥c yarim to’g’ri chiziqda monoton kamayuvchi bo’lib, x→ +∞ da nolga intilsin. U holda ∫ c∞ f ( x , α ) g ( x ) dx ( 6 ) xosmas integral α∈E parametr bo’yicha tekis yaqinlashadi. Isbot: Ixtiyoriy ε > 0 olganda ham shunday A ε son topilib, istalgan B > A ≥ A ε va barcha α ∈ E larda | ∫ AB f ( x , α ) g ( x ) dx | < ε ( 7 ) tengsizlik bajarilishini ko’rsatamiz. Aytaylik, F ( y , α ) funksiya f(y,α) nfunksiyaning (5) shartlarini qanoatlantiruvchi boshlang’ich funksiyasi bo’lsin. Quyidagi ∫a b f(x)g(x)dx = g(a+0)∫a ᶓ f(x)dx +g(b−0)∫ᶓ b f(x)dx ikkinchi o’rta qiymat formulasini qo’llasak, ∫ AB f ( x , α ) g ( x ) dx = g ( A + 0 ) ∫ Aᶓ f ( x , α ) dx + g ( B − 0 ) ∫ ᶓB f ( x , α ) dx tenglikni olamiz. Nyuton-Leybnits formulasini e’tiborga olib, bu tenglikni ∫A B f(x,α)g(x)dx =¿¿ ¿ g ( A + 0 )[ F ( ᶓ , α ) − F ( A , α )] + g ( B − 0 ) [ F ( B , α ) − F ( ᶓ , α ) ] ko’rinishda yozish mumkin. Bundan chiqdi, (5) shart va g funksiyaning monoton kamayuvchi ekanini hisobga olsak, |∫ AB f ( x , α ) g ( x ) dx | ≤ 4 Mg ( A ) bahoga ega bo’lamiz. A → + ∞ da g(A)→ 0 bo’lgani uchun, Aε ni g ( A ε ) < ε 4 M shartdan tanlab olish mumkin. Demak, talab qilingan (7) baho o’rinli ekan. Yana N.Abel va P. Dirixle nomlari bilan bog’liq tekis yaqinlashish alomatining boshqa ko’rinishini keltiramiz. 3-teorema:(Abel-Dirixle alomati). Faraz qilaylik, quyidagi ∫c ∞ f(x)dx (8) xosmas integral yaqinlashsin. Bundan tashqari, g ( x , α ) funksiya har bir α∈E da x≥c yarim to’g’ri chiziqda monoton kamayib, 0≤g(x,α)≤M ,x≥c,α∈E,(9) shartni qanoatlantirsin, bu yerda M o’zgarmas x va α ga bog’liq emas. U holda ∫ 0∞ f ( x ) g ( x , α ) dx xosmas integral α∈E parametr bo’yicha tekis yaqinlashadi. Isbot: Agar F(x)=∫x ∞ f(y)dy va ε ( R ) = | F ( x ) | x ≥ R ¿ deb belgilasak, (8) xosmas integral yaqinlashgani uchun, ε ( R ) kattalik R o’sganda monoton kamayib, R → ∞ da nolga intiladi. Keyingi mulohazalar (2) teorema isbotiga o’xshash bo’lib, quyidagi ∫ AB f( x , α ) g ( x ) dx = g ( A − 0 , α ) ∫ A ᶓ f ( x ) dx + g ( B − 0 , α ) ∫ ᶓB f ( x ) dx = ¿ ¿ ¿g(A+0,α)[F(ᶓ)− F(A)]+g(B−0,α)[F(B− 0,α)− F(ᶓ)] ikkinchi o’rta qiymat formulasiga asoslanadi. Bu formuladan, (9) shartlarni hisobga olsak, | ∫ AB f ( x ) g ( x , α ) dx | ≤ M [ ε( ᶓ) + ε ( A )] + M [ ε ( B ) + ε ( ᶓ) ] ≤ 4 Mε ( A ) baho kelib chiqadi. Demak, teorema o’rinli ekan. 3 0 . Faraz qilaylik, f(x,y) funksiya uzluksiz bo’lib, g ( y ) lokal integrallanuvchi bo’lsin. Parametrga bog’liq xosmas integrallarning quyidagi Ф ( x ) = ∫ c∞ g ( y ) f ( x , y ) dy ( 10 ) maxsus ko’rinishini o’rganamiz. Buning uchun Ф n(x)= ∫c c+n g(y)f(x,y)dy (11 ) funksiyalar ketma-ketligini kiritamiz. Agar (10) integral biror Ф ( x ) funksiyaga tekis yaqinlashsa, Ф n(x) ketma-ketlik ham n → ∞ da faqat Ф ( x ) ga tekis yaqinlashadi. Boshqacha aytganda, xϵ[a,b] bo’yicha tekis ravishda lim A → ∞ ∫ cA g ( y ) f ( x , y ) dy = Ф ( x ) ( 12 ) limitning mavjudligidan xϵ[a,b] bo’yicha tekis ravishda limA→∞∫c c+n g(y)f(x,y)dy =Ф (x)(13 )ketma-ketlik limitining mavjudligi kelib chiqadi. Ammo teskarisi o’rinli emas. Masalan, g ( y ) = cosπy va f(x,y)≡1 funksiyalar uchun c=0 da ∫0 n cosπy dy = 1 πsin nπy │y=0y=n=0 tenglik o’rinli bo’lib, (13) limit mavjud va u nolga teng. Lekin unga mos (12) limit mavjud emas, chunki ∫ 0A cos πy dy = 1 π sinπA Ammo, shunga qaramasdan, agar f(x,y) va g ( y ) funksiyalar manfiymas bo’lsa, teskari tasdiq ham o’rinli bo’ladi, ya’ni (13) limit mavjudligidan (12) limitning mavjudligi kelib chiqadi. Haqiqatdan, agar biror natural N uchun Ф (x)−Ф N(x)= ∫c+N ∞ g(y)f(x,y)dy <ε tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda A≥c+N da bundan ∫ A∞ g ( y ) f ( x , y ) dy < ε baho kelib chiqadi. Demak, (10) integrak tekis yaqinlashar ekan. 4 0 . Tekis yaqinlashuvchi parametrga bog’liq xosmas integrallar xos integrallar xossalariga o’xshash xossalarga ega. 4-teorema : Faraz qilaylik, g funksiya [c,+ ∞ ¿ yarim to’g’ri chiziqda lokal integrallanuvchi bo’lib, f funksiya esa, Q + + ¿ = [ a , b ] × ¿ ¿ yarim tasmada uzluksiz bo’lsin. Agar (10) xosmas integral biror kesmada parameter bo’yicha tekis yaqinlashsa, u holda bu integral o’sha kesmada parametrning uzluksiz funksiyasi bo’ladi . Isbot :(1) teoremaga ko’ra, (11) funksiyalar ketma-ketligi uzluksiz funksiyalardan tashkil topgan. Shartga ko’ra, bu ketma-ketlik tekis yaqinlashadi va limn→∞Ф n(x)=∫c ∞ g(y)f(x,y)dy tenglik o’rinli. Shunday ekan, integral parametrning uzluksiz funksiyasi bo’lishi tekis yaqinlashuvchi uzluksiz funksiyalar ketma-ketligi limitining uzluksizligi haqidagi teoremadan kelib chiqadi. Eslatma: R sonlar o’qi bo’yicha xosmas integrallar ham huddi yuqoridagi singari xossalarga ega. Bunda g funksiyadan hech qanday silliqlik talab qilinmaydi. Masalan, R sonlar o’qi bo’yicha absolyut integrallanuvchi g ( y ) funksiya uchun C ( ᶓ) = ∫ − ∞∞ g ( y ) cosy ᶓ dy , S ( ᶓ) = ∫ − ∞∞ g ( y ) siny ᶓ dy integrallar, Veyershtrass alomatiga ko’ra, tekis yaqinlashadi va (4) teoremaga ko’ra esa, ular uzluksiz funksiyalardir. Navbatdagi tasdiq qandaydir ma’noda (4) teoremaga teskari tasdiqdir. 5-teorema : Faraz qilaylik, g funksiya [c,+ ∞ ¿ yarim to’g’ri chiziqda lokal integrallanuvchi bo’lib, f funksiya esa, Q+¿¿ yarim tasmada uzluksiz bo’lsin. Bundan tashqari, g(y)≥0 va f ( x , y ) ≥ 0 shartlar bajarilsin. Agar (10) integral yaqinlashib, [a,b] kesmada parametrning uzluksiz funksiyasi bo’lsa, u holda bu integral o’sha kesmada tekis yaqinlashadi. Isbot: Dini teoremasiga ko’ra (11) ketma-ketlik tekis yaqinlashadi. U holda 2 0 banddagi mulohazalarga asosan, (10) integral ham tekis yaqinlashadi. 2. Parametrga bog’liq xosmas integrallarning differensiallanuvchanligi. 6-teorema: Faraz qilaylik,y≥c yarim to’g’ri chiziqda lokal integrallanuvchi g funksiya va f C ϵ ¿ funksiya shunday bo’lsinki, bunda (10) xosmas integral barcha xϵ[a,b] larda yaqinlashsin. Agar ∂ f ∂ x ∈ C ¿ va quyida keltirilgan (14) tenglikning o’ng tarafidagi integral x bo’yicha [a,b] kesmada tekis yaqinlashsa, u holda (10) xosmas integral [a,b] kesmada uzluksiz differensiallanuvchi funksiyaga yaqinlashadi va d dx ∫c ∞ g(y)f(x,y)dy =∫c ∞ g(y)∂f(x,y) ∂x dy (14 ) tenglik bajariladi. Isbot: Agar Ф n ( x ) = ∫ cc + n g ( y ) f ( x , y ) dy desak, (3) teoremaga ko’ra, bu funksiyalar [a,b] kesmada uzluksiz differensiallanuvchi bo’lib, dФ n(x) dx = ∫c c+n g(y)∂f(x,y) ∂x dy tenglik bajariladi. Teorema shartidan d Ф n ( x ) dx ketma-ketlikni (14) ning o’ng tarafidagi integralga [a,b] kesmada tekis yaqinlashishi kelib chiqadi. Shunday ekan, { Ф n ( x ) } ketma-ketlik uzluksiz differensiallnuvchi (10)funksiyaga [a,b] kesmada tekis yaqinlashadi va bunda (14) tenglik bajariladi. Xosmas integrallarni parameter bo’yicha differensiallash ularni hisoblashda samarali qo’llaniladi.Masalan, (2) va (3) tengliklarni α parametr bo’yicha differensiallab, ∫ 0∞ e − αx x cosβx dx = α 2 − β 2 ( α ¿ ¿ 2 + β 2 ) 2 , α > 0 , ( 15 ) ¿ va ∫0 ∞ e−αxxsinβx dx = 2αβ (α¿¿2+β2)2,α>0,(16 ) ¿ formulalarga ega bo’lamiz. α va β parametrlar bo’yicha differensiallashni davom ettirib, xosmas integrallar uchun boshqa formulalarni ham olish mumkin. 3. Xosmas integrallarda integrallash tartibini o’zgartirish. Ushbu bandda chegaralanmagan yopiq Q + + ¿ = { ( x , y ) ∈ R 2 : a ≤ x < ∞ , c ≤ y < ∞ } ¿ sohada berilgan uzluksiz funksiyani, ya’ni f ( x , y ) ∈ C ¿ funksiyani qaraymiz. Bundan tashqari, f ( x , y ) funksiya har bir y≥c da x bo’yicha [a,+ ∞ ¿ yarim to’g’ri chiziqda xosmas ma’noda integrallanuvchi bo’lsin deymiz. Faraz qilaylik, g ( y ) funksiya y≥c yarim to’g’ri chiziqda lokal integrallanuvchi bo’lib, har bir x ≥ a da g(y)f(x,y) ko’paytma y bo’yicha [c,+ ∞ ¿ sohada xosmas ma’noda integrallanuvchi bo’lsin. Keltirilgan shartlarda x ≥ a yarim to’g’ri chiziqda Ф (x)=∫c ∞ g(y)f(x,y)dy (19 ) funksiya va y ≥ c yarim to’g’ri chiziqda esa, ᴪ(y)= g(y)∫c ∞ f(x,y)dx (20 ) funksiya aniqlangan bo’ladi. 7-teorema: Faraz qilaylik, f Cϵ ¿ funksiya va lokal integrallanuvchi g funksiya f ( x , y ) ≥ 0 , g ( y ) ≥ 0 shartlarni qanoatlantirsin. Bundan tashqari, (19) va (20) integrallar parameter o’zgarish sohasidagi har bir kesmada tekis yaqinlashsin. U holda, agar quyida keltirilgan integrallardan biri yaqinlashsa, ikkinchisi ham yaqinlashib, ∫a ∞ Ф (x)dx =∫c ∞ ᴪ(y)dy (21 )tenglik bajariladi. Isbot: Aytaylik (21) integrallardan birinchisi yaqinlashsin. Shartga ko’ra, quyidagi monoton o’suvchi Ф n(x)= ∫c c+n g(y)f(x,y)dy ,ᴪm(y)= ∫a a+m g(y)f(x,y)dx (22 ) ketma-ketliklar Ф ( x ) va ᴪ(y) funksiyalarga mos ravishda yaqinlashadi. Bu ikki funksiya (4) teoremaga ko’ra uzluksiz bo’lgani sababli, ular lokal integrallanuvchidir.(2) teoremaga ko’ra, ∫a a+m Ф n(x)dx = ∫c c+n ᴪm(y)dy (23 ) ᴪm ketma-ketlik o’suvchi bo’lgani sababli, ᴪ m ( x ) ≤ ᴪ ( x ) . Demak, ∫ cc + n ᴪ m ( y ) dy ≤ ∫ cc + n ᴪ ( y ) dy ≤ ∫ c∞ ᴪ ( y ) dy va yuqoridagi farazimizga ko’ra, o’ng tarafdagi integral yaqinlashadi. Bu tengsizlik va (23) tenglikdan quyidagi ∫c c+n Фn(x)dx ≤∫c ∞ ᴪ(y)dy (24 ) munosabatni olamiz . Ф n ( x ) ketma - ketlik n→ ∞ da Ф ( x ) funksiyaga a≤x≤a+m kesmada tekis yaqinlashgani sababli , (1) teoremaga ko ’ ra , tayinlangan m da integral ostida limitga o ’ tish mumkin . Shunday ekan, n→ ∞ deb, (24) tengsizlikdan ∫ aa + m Ф ( x ) dx ≤ ∫ c∞ ᴪ ( y ) dy bahoga ega bo’lamiz. Agar m → ∞ desak, ∫a ∞ Ф (x)dx ≤∫c ∞ ᴪ(y)dy (25 ) Shunday qilib, isbotlanayotgan (21) tenglikning o’ng tarafida turgan integralning yaqinlashishidan uning chap tarafida turgan integralni yaqinlashishi kelib chiqar ekan. Endi biz, Ф va funksiyalarning o’rnini almashtirib, yuqoridagi mulohazalarni ᴪ qaytarsak, ∫c ∞ ᴪ(y)dy ≤∫a ∞ Ф (x)dx teskari tengsizlikni hosil qilamiz. Oxirgi ikki tengsizlikdan talab qilingan (21) tenglik kelin chiqadi. Natija: (7) teorema shartlari bajarilganda g(y)f(x,y) funksiya ikki o’lchovli Q++¿¿ sohada xosmas ma’noda integrallanuvchi bo’lib, ∬Q++¿¿ ❑ g(y)f(x,y)dxdy =∫c ∞ g(y)dy ∫a ∞ f(x,y)dx =¿¿ ¿∫a ∞ dx ∫c ∞ g(y)f(x,y)dy (26 ) tengliklar bajariladi. Haqiqatdan, (26) takroriy integrallardan biri mavjud desak, u holda, (7) teoremaga ko’ra, ikkinchisi ham mavjud va ular o’zaro teng bo’ladi. So’ngra, agar istalgan n va m nomerlar uchun Qnm=[a,a+n]×[c,c+m] orqali tomonlari uzunliklari n × m bo’lgan to’g’ri to’rtburchakni belgilasak, ∬Qnm ❑ g(y)f(x,y)dxdy = ∫c c+m g(y)dy ∫a a+n f(x,y)dx (27 ) tenglik o’rinli bo’ladi. Demak, f funksiya manfiymas bo’lgani uchun, ∬ Q nm❑ g ( y ) f ( x , y ) dxdy ≤ ∫ c∞ g ( y ) dy ∫ a∞ f ( x , y ) dx Bu baho va (2) teoremaga ko’ra, (26) ning chap tarafidagi ikki karrali integral yaqinlashadi va ∬Q++¿¿ ❑ g(y)f(x,y)dxdy ≤∫c ∞ g(y)dy ∫a ∞ f(x,y)dx (28 ) tengsizlikni qanoatlantiradi. Boshqa tarafdan, (27) tenglik va g ( y ) f ( x , y ) ≥ 0 shartga ko’ra, ∬Q++¿¿ ❑ g(y)f(x,y)dxdy ≥ ∫c c+m g(y)dy ∫a a+n f(x,y)dx Bu tengsizlikda n→ +∞ , so’ngra m→ +∞ ∬ Q + + ¿ ¿ ❑ g ( y ) f ( x , y ) dxdy ≥ ∫ c∞ g ( y ) dy ∫ a∞ f ( x , y ) dx ( 29 ) tengsizlikka kelamiz. (28) va (29) baholardan talab qilingan (26) tenglik kelib chiqadi. Eslatma :(7) teoremada integral ostidagi funksiyaning manfiymaslik sharti muhimdir. Bu shart olib tashlanganda teorema tasdig’i o’z kuchini yo’qotadi. 8-teorema: Faraz qilaylik, F ( x , y ) = g ( y ) f ( x , y ) bo’lib, g funksiya lokal integrallanuvchi va f ∈ C ¿ ¿ bo’lsin. Bundan tashqari, parameterga bog’liq ∫a ∞ |F(x,y)|dx va ∫c ∞ |F(x,y)|dy integrallar parameter o’zgarish sohasidagi har bir kesmada tekis yaqinlashsin va quyidagi ∫ c∞ dy ∫ a∞ | F ( x , y ) | dx yoki ∫ a∞ dx ∫ c∞ | F ( x , y ) | dy takroriy integrallardan biri yaqinlashsin. U holda F ( x , y ) funksiya chegaralanmagan Q + + ¿ ¿ sohada integrallanuvchi bo’lib, ∬Q++¿¿ ❑ F(x,y)dxdy =∫c ∞ dy ∫a ∞ F (x,y)dx =∫a ∞ dx ∫c ∞ F(x,y)dy (30 )tenglik bajariladi. Isbot: Agar F + ¿ ( x , y ) =| F ( x , y ) | + F ( x , y ) 2 , F − ¿ ( x , y) =| F ( x , y ) | − F ( x , y ) 2 ¿ ¿ desak, bu funksiyalar manfiymas bo’lib, ular F + ¿ ( x , y ) − F − ¿ ( x , y) = F( x , y) , F + ¿( x , y) + F − ¿( x , y) =| F ( x , y )| ¿ ¿ ¿ ¿ ayniyatlarni qanoatlantiradi. Teorema sharti va 0 ≤ F ± ( x , y ) ≤ | F ( x , y ) | tengsizliklarga ko’ra, F + ¿ ( x , y ) ¿ va F−¿(x,y)¿ funksiyalar (7) teoremaning barcha shartlarini qanoatlantiradi. Bundan chiqdi, ularning har biri uchun (30) tenglik o’rinli, bu tenglikni F + ¿ ¿ va F−¿¿ funksiyalar uchun alohida yozib, keyin bu tengliklarni o’zaro ayirib tashlasak, xosmas integrallarning chiziqliligiga ko’ra, F uchun ham talab qilingan (30) tenglikni olamiz. Eslatma: Shunga o’xshash natija kompleks qiymat qabul qiluvchi ya’ni F ( x , y ) = F 1 ( x , y ) + i F 2 ( x , y ) ko’rinishdagi funksiyalar uchun ham o’rinli. Buni ko’rsatish uchun (8) teoremani F1 va F2 funksiyalar uhun qo’llab, keyin hosil bo’lgan tengliklarni qo’shish kifoya. 4. Parametrga bog’liq ikkinchi tur xosmas integrallar. Faraz qilaylik, f(x,y) funksiya Ω= {(x,y)∈R2:a<x≤b,c≤ y≤d}(36 ) yarim ochiq to’g’ri to’rtburchakda aniqlangan bo’lsin. Bundan chiqdi, biz f funksiyaning x=a nuqtada aniqlanmagan bo’lishini istisno qilmaymiz. (masalan, bu funksiya to’g’ri to’rtburchakning chap chegarasi atrofida chegaralanmagan bo’lishi mumkin.) Shunday ekan, F ( y ) = ∫ ab f ( x , y ) dx ( 37 ) integral y ϵ [ c , d ] parametrga bog’liq ikkinchi tur xosmas integraldir. Eslatib o’tamiz, agar limα→0+0∫α+a b f(x,y)dxlimit mavjud bo’lsa, (37) xosmas integral yaqinlashadi deyiladi. Ta’rif: Agar ixtiyoriy ε>0 olganda ham shunday δ>0 son topilsaki, 0<α<δ bo’lganda barcha y∈[c,d] uchun | F ( y ) − ∫ a + αb f ( x , y ) dx | < ε tengsizlik bajarilsa, u holda (37) ikkinchi tur xosmas integral F(y) funksiyaga y∈[c,d] parametr bo’yicha tekis yaqinlashadi deyiladi. 9-teorema: Agar f C ϵ ( Ω ) bo’lib, (37) xosmas integral F(y) ga y∈[c,d] parametr bo’yicha tekis yaqinlashsa, u holda F C ϵ [ c , d ] bo’ladi. Boshqacha aytganda, agar integral ostidagi funksiya uzluksiz bo’lsa, tekis yaqinlashuvchi xosmas integral parametrga uzluksiz bog’liq bo’ladi. 10-teorema: Faraz qilaylik, f C ϵ ( Ω ) bo’lib (37) xosmas integral barcha yϵ[c,d] larda yaqinlashsin. Agar ∂ f ∂ y C ϵ ( Ω ) va quyida keltirilgan (38) tenglikning o’ng tarafidagi integral y bo’yicha [c,d] kesmada tekis yaqinlashsa, u holda (37) xosmas integral [c,d] kesmada uzluksiz differensiallanuvchi funksiyaga yaqinlashadi va d dy ∫a b f(x,y)dx =∫a b∂ f(x,y) ∂y dx (38 ) tenglik bajariladi. Ikki ikkinchi tur xosmas integralning tartibini o’zgartirish haqida ham (7) teoremaga o’xshash tasdiq o’rinli. Bu tasdiqni keltirish maqsadida quyidagi Ω ¿ = { ( x , y ) : a < x ≤ b , c < y ≤ d } yarim ochiq to’g’ri to’rtburchakda aniqlangan f ( x , y ) funksiya uchun ikki ∫a b f(x,y)dx ,∫c d f(x,y)dy (39 )xosmas integrallarni qaraymiz. 11-teorema: Faraz qilaylik, f Cϵ (Ω¿) va f ( x , y ) ≥ 0 bo’lsin. Bundan tashqari, (39) integrallarni parametr o’zgarish sohasidagi har bir kesmada tekis yaqinlashadi deb faraz qilamiz. U holda, quyida keltirilgan takroriy integrallardan biri yaqinlashsa, ikkinchisi ham yaqinlashib, f(x,y) funksiya ikki o’lchovli Ω¿ sohada xosmas ma’noda integrallanuvchi bo’ladi va ∬Ω¿ ❑ f(x,y)dxdy =∫c d dy ∫a b f(x,y)dx =∫a b dx ∫c d f(x,y)dy (40 ) tenglik bajariladi . Keltirilgan teoremalar isboti parametrga bog’liq birinchi tur xosmas integrallar holidagi singari olib boriladi. Bunda (22) ketma-ketlik o’rniga (39) integrallarga tekis yaqinlashuvchi Ф n ( x ) = ∫ a + 1 / nb f ( x , y ) dx , ᴪ m = ∫ c + 1 / md f ( x , y ) dy ketma-ketliklarni olish kerak. Bundan keyingi mulohazalar (2), (4) hamda (6) teoremalar isbotlarida keltirilgan mulohazalardan farq qilmaydi. Eslatma: Integral ostidagi turli ishorali qiymat qabul qiluvchi funksiya turgan holda, integrallash tartibini almashtirish haqidagi (8) teoremaga o’xshash tasdiq ham o’rinli bo’lib, bunda (39) va (40) integrallar absolyut yaqinlashishini talab qilish zarurdir. Bir vaqtning o’zida birinchi va ikkinchi tur bo’lgan xosmas integrallar ham xuddi yuqoridagidek o’rganiladi. Chunonchi, agar f(x,y) funksiya a < x < + ∞ ochiq to’g’ri chiziqda aniqlangan bo’lsa, u holda bu ochiq to’g’ri chiziq bo’yicha integral, biri birinchi tur va ikkinchisi ikkinchi tur bo’lgan, ikki xosmas integral yig’indisi deb tushiniladi: ∫a ∞ f(x,y)dx =∫a b f(x,y)dx +∫b ∞ f(x,y)dxbu yerda b quyidagi a < x < + ∞ shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy sondir. Agar bu tenglikning o’ng tarafidagi ikki integral tekis yaqinlashsa, u holda chap tarafidagi integral ham tekis yaqinlashadi deyiladi. Ravshanki, bunday aniqlangan xosmas integral b sonni tanlashga bog’liq emas va uni ∫a ∞ f(x,y)dx = limα→0+0limA→+∞∫a+α A f(x,y)dx ko’rinishdagi ikki karrali limit deb aniqlash mumkin. 5.Xosmas integrallarni jamlash usullari.10. Parametrga bog’liq integrallar uzoqlashuvchi xosmas integrallarni regulyarlashtirishda ham ishlatiladi. Uzoqlashuvchi qatorlarni jamalsh usullari kabi qayd etilgan regulyarlashtirish usullari uzoqlashuvchi integrallarni jamlash usullari deb ataladi. Integral ostidagi funksiya cheksizlikka “o’zini yomon tutishi” sababli uzoqlashuvchi bo’lgan ∫ 0∞ f ( x ) dx ( 43 ) xosmas integralni qaraylik. Integral ostidagi funksiyani, cheksizlikda yetarlicha tez nolga intiluvchi funksiyaga ko’paytirib, o’zgartiramiz, ya’ni α > 0 parametrga bog’liq Ф ( α ) = ∫ 0∞ φ ( αx ) f ( x ) dx ( 44 ) integralni qaraymiz. Faraz qilaylik, φ ( t ) bo’lakli-uzluksiz t→ +∞ da nolga intiluvchi, nolda uzluksiz va φ ( 0) = 1 shartni qanoatlantiruvchifunksiya bo’lsin. U holda, agar (44) da α= 0 desak, formal ravishda (43) integralni olamiz. Odatda, φ ( t ) funksiyani (44) xosmas integral istalgan α > 0 da yetarlicha keng f funksiyalar sinfi uchun yaqinlashadigan qilib tanlanadi. Masalan, agar φ ( t) = e − t funksiyani olsak, u holda (44) integral polinom bilan chegaralangan yoki polinomal o’suvchi deb ataladigan har qanday funksiya uchun yaqinlashadi. Albatta, eng qiziqarli hol- bu qachonki (44) integral α = 0 da (bunda u berilgan (43) integral bilan ustma-ust tushadi) uzoqlashib, α>0 yaqinlashsa hamda quyidagi lim α → 0 + 0 Ф( α ) = I limitga ega bo’lsa. Bu holda I soni (43) integralning < φ > jamlash usuli bilan aniqlanuvchi umumlashgan ma’nodagi qiymati va (43) xosmas integralning o’zi esa, < φ > usul bilan I ga jamlanadi deyiladi. Masalan, φ ( t) = e − t funksiya bilan aniqlanuvchi usul Abel jamlash usuli deb ataladi. Boshqacha aytganda, agar limα→0+0∫0 ∞ e−αx f(x)dx = I(45 ) tenglik bajarilsa, (43) integral Abel usuli bilan I soniga jamlanadi deyiladi. (45) tenglik qisqartirilgan holda ( A ) ∫ 0∞ f ( x ) dx = I deb yoziladi. Bunda (45) ning chap tarafidagi integral (43) integralning Abel o’rtachasi deyiladi. Masalan, uzoqlashuvchi ∫ 0∞ cosβx dx , ∫ 0∞ sinβx dx , β > 0 Integrallar uchun Abelning mos o’rtachalari( (2),(3) ) ∫ 0∞ e − αx cosβxdx = α α 2 + β 2 , α > 0 va ∫0 ∞ e−αxsinβxdx = β α2+β2,α>0 ko’rinishga ega. Bu tengliklarda α→ 0 desak, (A)∫0 ∞ cosβx dx =0,(A)∫0 ∞ sinβx dx = 1 β,β>0(46 )formulalarga ega bo’lamiz. 1-eslatma: Agar r = e − α desak, α→ 0+0 shart faqat va faqat r→ 1+0 bo’lganda bajariladi. Bu belgilashlarda (45) tenglik limr→1+0∫0 ∞ f(t)rtdt = I ko’rinishga kelib, sonly qatorlar uchun Abel o’rtalarining (10) ta’rifga mos keladi. 2-eslatma: Xosmas integralning oddiy ma’nodagi yaqinlashishini ham, jamlash usulini beruvchi funksiya sifatida quyidagi φ ¿ ( t) = { 1 , agar 0 ≤ t ≤ 1 b o ' lsa , 0 , agar t > 1 b o ' lsa , } funksiyani olib, jamlash usulining xususiy holi deyish mumkin. Chunonchi, xosmas integralni < φ ¿ > usul bilan jamlash integral yaqinlashishi bilan ustma-ust tushadi. Haqiqatan, α>0 da ∫0 ∞ φ¿(αx )f(x)dx =∫0 1/α f(x)dx =∫0 A f(x)dx bo’lib, α→ 0 da A = 1 α → ∞ bo’ladi. 2 0 . Jamlash usulining regulyar bo’lishi mos φ funksiyani tanlashning muhim shartidir.Bu degani, har qanday yaqinlashuvchi xosmas integral < φ > usul bilan ham xuddi integral yaqinlashadigan songa jamlanishi zarur. Boshqacha aytganda, yaqinlashuvchi (43) xosmas integral uchun lim α → 0 + 0 ∫ 0∞ φ ( αx ) f ( x ) dx = ∫ 0∞ f ( x ) dx tenglik bajarilsa, mos jamlash usuli regulyar deyiladi. Shunday qilib, agar (43) integralning yaqinlashishidan (44) tenglik bilan aniqlangan Ф ( α ) funksiyaning nolga uzluksizligi kelib chiqsa, < φ > funksiya bialn aniqlangan jamlash usuli regulyar bo’ladi. Demak, <φ > usulning regulyar bo’lishining yetarli sharti, (4) teoremaga ko’ra, (44) integralning 0≤α≤α0 kesmadan olingan α larda tekis yaqinlashishidan iborat, bu yerda α0 biror musbat sondir. 12-teorema: Xosmas integrallarni jamlashning Abel usuli regulyardir. Isbot: Parametrga bog’liq xosmas integrallar tekis yaqinlashishining Abel- Dirixle alomatidan bevosita kelib chiqadi. Haqiqatdan, aytaylik, (43) xosmas integral yaqinlashsin. U holda agar g ( x , α ) = e − αx , α > 0 desak, (3) teoremaning barcha shartlari o’rinli bo’ladi. Shuning uchun Ф (α)=∫0 ∞ e−αx f(x)dx integral α≥0 bo’yicha tekis yaqinlashadi. Bundan chiqdi, (4) teoremaga ko’ra, Ф (α) funksiya α= 0 nuqtada uzluksiz bo’lib, bu esa o’z navbatida Abel jamlash usulining regulyar ekanini anglatadi. Eslatma: (12) teorema odatda quyidagi ko’rinishda keltiriladi: Agar f ( x ) funksiya x ≥ 0 da lokal integrallanuvchi bo’lib, (43) xosmas integral yaqinlashsa, u holda lim α → 0 + 0 ∫ 0∞ e − αx f ( x ) dx = ∫ 0∞ f ( x ) dx ( 47 ) tenglik bajariladi. 3 0 . Shuni aytish kerakki, Abel jamlash usuli integral ostidagi funksiya nol atrofida tebranganda ayniqsa samaralidir, chunki bunda funksiya musbat va manfiy bo’lgan qismlar bo’yicha integrallar o’zaro qisqarib ketib (bu hodisa “interferensiya” deb ataladi), natijada Abel o’rtachalari limitga ega bo’lishi mumkin. Bordiyu integral ostidagi funksiya manfiymas bo’lsa, u holda Abel usuli oddiy yaqinlashishdan kuchli bo’lmas ekan ya’ni manfiymas funksiyadan olindan integralning Abel usuli bilan jamlanishidan integral o’zining ham yaqinlashishi kelib chiqadi. Haqiqatdan, aytaylik f funksiya lokal integrallanuvchi bo’lib, f(x)≥0,x≥0 tengsizlikni qanoatlantirsin. Istalgan R>0 uchun α= 1/R deb belgilasak, 0≤x≤R kesmada 1 ≤ e 1 − αx baho bajariladi. Demak, ∫0 R f(x)dx ≤e∫0 1/α e−αx f(x)dx ≤e∫0 ∞ e−αx f(x)dx Agar f funksiyadan olingan xosmas integral Abel usuli bilan jamlansa, u holda o’ng taraf α→ 0 da limitga ega bo’ladi. Demak, chap taraf R bo’yicha chegaralangan va integral ostidagi funksiya manfiymas bo’lgani uchun f dan olingan integral yaqinlashadi. 4 0 . Yuqorida Abel o’rtachalarining α>0 da istalgan polynomial o’sishga ega funksiya uchun mavjudligi aytilgan edi. Bordiyu integral ostidagi funksiyan eksponensial o’ssa, u holda Abel o’rtachalari mavjud bo’lmasligi ham mumkin. Bunday hollarda Riss usulini qo’llash qulay bo’ladi. Bu usul uzoqlashuvchi qatorlar uchun qo’llanilgan Cherazo jamlash usulining integral ko’rinishidan iboratdir. Tartibi s ≥ 0 bo’lgan Riss usuli quyidagi φs={ (1−t)s,agar 0≤t≤1bo'lsa , 0,agar t>1bo 'lsa } funksiya bilan aniqlanadi. Riss o’rtachalari Rs(α)=∫0 1/α (1−αx )sf(x)dx ko’rinishga ega bo’lib, x ≥ 0 yarim to’g’ri chiziqda lokal integrallanuvchi bo’lgan ixtiyoriy f funksiya uchun mavjud. Riss usuli s ko’rsatkichning o’sishi bilan kuchayadi, ya’ni α→ 0 da s- tartibli Riss o’rtachalarining biror limitga yaqinlashishidan, s 1 > s - tartibli Riss o’rtachalarining ham xuddi o’sha limitga yaqinlashishi kelib chiqadi. Shuni aytish kerakki, Riss o’rtachalarini aniqlash mumkin bo’lgan funksiyalar sinfi Abel o’rtachalarini aniqlash mumkin bo’lgan funksiyalar sinfidan kengroq bo’lsada, Abel usuli Riss usulidan kuchliroqdir. Chunonchi, agar xosmas integral biror s uchun Riss usuli bilan jamlansa va u uchun Abel o’rtachalari aniqlangan bo’lsa, u holda Abel o’rtachalarining limiti aynan Riss o’rtachalarining limitiga teng bo’ladi. Masalan, f ( x ) = sinβx funksiyaning birinchi tartibli Riss o’rtachalari uchun R1(α)= ∫0 1/α (1− αx )sinβx dx =−(1− αx )cosβx β −¿¿ −αsinβx β2 ❑ x=0x=1/α= 1 β− α β2sin β α→ 1 β,α→ 0 munosabat o’rinli. Demak, R 1 ( α ) = ∫ 0∞ sinβ dx = 1 β bo’lib, bu (46) ning o’ngidagi tenglikning o’zidir. Xulosa. Xosmas integral tushunchasi aniq integralning umumlashgani bo’lib, matematika va boshqa fanlar bo’limlarida qo’llaniladi. Shu ma’noda ushbu kurs ishida xosmas integrallarga taalluqli masalalar qaralgani muhimahamiyatga ega. Kurs ishida olingan barcha natijalar quyidagilardan iborat: -parametrga bog’liq xosmas integrallar va ularning ta’riflar; -parametrga bog’liq birinchi va ikkinchi tur xosmas integrallar xossalari; -parametrga bog’liq xosmas integrallarning tekis yaqinlashishi; -parametrga bog’liq xosmas integrallarning diferensiallanuvchanligi; -xosmas integrallarda integrallash tartibini o’zgartirish; -xosmas integrallarni jamlash usullari; -Riss va Abel o’rtachalarini aniqlash usullari o’rganildi. Kurs ishida qaralgan masalalar, qo’llanilgan usullar v anatijalar kelgusida parametrga bog’liq xosmas integrallar nazariyasining rivojlanishida qo’llanishi, shuningdek, matematik analizning tadbiqlarini o’rganishda foydali qo’llanma vazifasini o’tashi mumkin. Foydalanilgan adabiyotlar. 1. Sh.M.Mirziyoyev. “Erkin va farovon, demokratik O’zbekiston davlatini birgalikda barpo etamiz”. “O’zbekiston”. 2. Sh.M.Mirziyoyev. “Tanqidiy tahlil, qat’iy tartib-intizom va shaxsiy javobgarlik- har bir rahbar faoliyatining kundalik qoidasi bo’lishi kerak”. “O’zbekiston”. 3. Sh.M.Mirziyoyev. “Buyuk kelajagimizni mard va oliyjanob xalqimiz bilan birga quramiz”. “O’zbekiston”. 4. Sh.Alimov, R.Ashurov. Matemayik analiz. Toshkent, “Mumtoz so’z” , 2018- yil, 3-qism. 5. T.Azlarov, X.Mansurov. Matematik analiz. Toshkent, “O’zbekiston” , 1973- 1975-yil, 2-qism. 6. G.M.Fixtengolv. Matematik analiz asoslari. Toshkent, “O’qituvchi” , 1970- 1972-yil, 1-2-qismlar. 7. ziyonet.uz. 8. fayllar.org. Mundarija: I. Kirish…………………………………………………………………..………….2 II. Asosiy qism 1.Parametrga bog’liq birinchi tur xosmas integrallarning tekis yaqinlashishi……3 2.Parametrga bog’liq xosmas integrallarning differensiallanuvchanligi………..12 3.Xosmas integrallarda integrallash tartibini o’zgartirish………………………14 4.Parametrga bog’liq ikkinchi tur xosmas integrallar…………………………..20 5.Xosmas integrallarni integrallash usullari…………………………………….24 III. Xulosa………………………………………………………………………..30 IV. Foydalanilgan adabiyotlar……………………………………………………31

Parametrga bog’liq xosmas integrallar

I.Kirish.

II.Asosiy qism.

  1. Parametrga bog’liq birinchi tur xosmas integrallarning tekis yaqinlashishi.
  2. Parametrga bog’liq xosmas integrallarning differensiallanuvchanligi.
  3. Xosmas integrallarda integrallash tartibini o’zgartirish.
  4. Parametrga bog’liq ikkinchi tur xosmas integrallar.
  5. Xosmas integrallarni jamlash usullari.

III.Xulosa.

Sotib olish