Statistik gipotezalar - Algebra - Referatlar

Dokument ma'lumotlari

Narxi	15000UZS
Hajmi	251.0KB
Xaridlar	1
Yuklab olingan sana	02 Aprel 2024
Kengaytma	doc
Bo'lim	Referatlar
Fan	Algebra

Sotuvchi

Shodlikbek Zaripboyev

Ro'yxatga olish sanasi 02 Aprel 2024

1 Sotish

Statistik gipotezalar

Sotib olish

Mavzu: Statistik gipotezalar
Reja:
1. Statistik gipotezalar. Statistik gipotezalarni tekshirish alomatlari va
ularning xossalari.
2. Parametrik statistik alomat tuzish usullari.
3. Noparametrik muvofiqlik alomatlari.
Ko‘p hollarda tajribalardan olingan ma’lumotlar asosida o‘rganilayotgan tasodif
bilan bog‘liq bo‘lgan jarayonlar xarakteristikalari haqida bir yoki bir necha turli
gipotezalar(tahminlar) qilish mumkin. Statistik ma’lumotlar asosida tasodifiy
jarayon taqsimoti yoki boshqa xarakteristikalari haqida aytilgan gipotezalarni
tekshirishni matematik statistikaning statistik gipotezalar nazariyasi bo‘limi
o‘rganadi.
 Kuzatilayotgan t.m. haqida aytilgan ixtiyoriy fikrga statistik gipoteza
deyiladi.
1-misol. Hosildorligi a
0 bo‘lgan bug‘doy navini hosildorligi a
1 bo‘lgan
bug‘doy navi bilan solishtirilmoqda. Ma’lum tumanda birinchi nav bug‘doy
ikkinchi navga qaraganda ko‘proq hosil beradi degan gipotezani tekshirish kerak.
Keltirilgan misoldan ko‘rinib turibdiki, mavjud bo‘lishi mumkin bo‘lgan
gipotezalar turlicha bo‘lishi mumkin. Biron – bir obyekt haqida aytilgan gipoteza
statistik ma’lumotlar asosida tekshirilishi mumkin.
 Tekshirilishi kerak bo‘lgan gipoteza asosiy gipoteza deyiladi va u H
0 bilan
belgilanadi. Asosiy gipotezadan qarama-qarshi bo‘lgan ixtiyoriy gipotezaga
raqobatlashuvchi yoki alternativ gipoteza deb ataladi.
Afsuski, statistik ma’lumotlar asosida aniq va qat’iy bir yechimga kelish
qiyin, shuning uchun har qanday yechimda ma’lum xatolikka yo‘l qo‘yish
mumkin. Matematik statistikada statistik gipotezalarni tekshirishda ikki xil
xatolikka yo‘l qo‘yishi mumkin. Statistik yechim asosida asosiy faraz u to‘g‘ri
bo‘lgan holda ham rad etilishi mumkin. Bunday xatolik birinchi tur xatolik

deyiladi. Statistik yechim asosida alternativ gipoteza to‘g‘ri bo‘lsa ham rad etilishi
mumkin. Bunday xatolik ikkinchi tur xatolik deyiladi. Tabiiyki, xatoliklarni imkon
qadar kamaytirish lozim. Statistik gipotezalarni tekshirish iloji boricha bir emas,
bir necha marotaba takrorlanishi va ular asosida xulosaga kelinishi maqsadga
muvofiqdir.
Statistik gipotezalarni tekshirish statistik ma’lumotlarga asoslanadi. Faraz qilaylik,
X
1 , X
2 , …, X
n lar n – ta bog‘liqsiz tajribalardagi X t.m.ning kuzatilmalari bo‘lsin. X
t.m.ning biron – bir xarakteristikasi haqidagi asosiy H
0 gipoteza ko’rilayotgan
bo‘lsin. Endi statistik ma’lumotlar asosida asosiy gipoteza H
0 ni qabul qilish yoki
rad etish qoidasini tuzish kerak. Asosiy gipoteza H
0 ni qabul qilish yoki rad etish
qoidasi - H
0 gipotezani tekshirishning statistik alomati deyiladi. Odatda statistik
gipotezalarni tekshirish – statistik ma’lumotlar asosida asosiy gipotezani tasdiqlash
yoki uni rad etishdan iborat bo‘ladi. Endi statistik alomatlarni tuzish qoidalari bilan
tanishamiz. Odatda statistik alomatni qurish empirik ma’lumotarni asosiy H
0
gipoteza bo‘yicha tavsiflovchi statistika T = T ( ) ni tanlashdan boshlanadi.
Bunday tanlashda ikki xossa bajarilishi talab etiladi: a) statistika manfiy qiymatlar
qabul qilmaydi; b) asosiy gipoteza to‘g‘ri bo‘lganda statistikaning aniq yoki
gipotezaiy taqsimoti ma’lum bo‘lishi kerak. Faraz qilaylik, bunday stastistika
topilgan bo‘lib, S = { t: t = T ( ), – tanlanma fazosiga tegishli} -
statistikaning qiymatlar to‘plami bo‘lsin. Oldindan 0<α<1 – sonini tayinlaylik.
Endi S sohani shunday kesishmaydigan va sohalarga ajratamizki, bunda
asosiy gipoteza H
0 to‘g‘ri bo‘lganida T ( ) tasodifiy hodisaning ro‘y
berish ehtimoli α dan oshmasin:
.
Asosiy gipoteza H
0 ni takshirish qoidasi quyidagicha bo‘ladi: x =( x
1 , …, x
n ) t.m. X
ning biror tanlanmasi qiymati bo‘lsin. Agar t = T ( x ) miqdor sohaga tegishli
bo‘lsa: , u holda asosiy gipoteza H
0 to‘g‘ri bo‘lganida rad etiladi.

Aks holda, ya’ni bo‘lsa asosiy gipoteza H
0 ni qabul qilishga asos
bo‘ladi, chunki statistik ma’lumotlar asosida qilingan hulosalar asosiy gipotezani
rad etmaydi. Shuni ta’kidlash lozimki, bo‘lishi asosiy gipoteza H
0 ni
albatta to‘g‘ri bo‘lishini tasdiqlamaydi, balki bu holat statistik ma’lumotlar va
nazariy gipotezaning yetarli darajada muvofiqligini ko‘rsatadi xalos. Yuqorida
keltirilgan qoidada T=T ( ) statistikani statistik alomat statistikasi, -
soha alomatning kritik sohasi deyiladi. Odatda α ning qiymatlari uchun 0.1; 0.05;
0.01 sonlari qabul qilinadi. Yuqorida keltirilgan qoidadan shu kelib chiqadiki,
alomatning kritik sohasi asosiy gipoteza H
0 to‘g‘ri bo‘lganida alomat
statistikasining barcha kichik ehtimolli qiymalari to‘plamini o‘z ichiga olishi
lozim. Odatda kritik sohalar yoki ko‘rinishida bo‘ladi.
Asosiy gipoteza H
0 ni tekshirish uchun yuqorida keltirilgan qoidaga
asoslanganimizda biz ikki turdagi xatolikka yo‘l qo‘yishimiz mumkin: aslida
to‘g‘ri bo‘lgan asosiy gipoteza H
0 ni rad etishimiz mumkin, ya’ni H
0 to‘g‘ri
bo‘lganida hodisasi ro‘y beradi. Bunday xatolik birinchi turdagi xatolik
deyiladi. Demak, shartga asosan birinchi turdagi xatolik α dan oshmaydi. Ammo
aslida noto‘g‘ri bo‘lgan asosiy gipoteza H
0 ni qabul qilishimiz, ya’ni H
0 noto‘g‘ri
bo‘lganida bo‘lib biz H
0 ni qabul qilishimiz mumkin. Bunday
xatolik ikkinchi turdagi xatolik deyiladi. Statistik alomatlarga qo‘yiladigan asosiy
talablardan biri bu ikki turdagi xatoliklarni iloji boricha kichik bo‘lishini
ta’minlamog‘i kerak.
Demak, asosiy gipoteza H
0 ni tekshirish uchun turli statistikalarga asoslangan
statistik alomatlarni tuzish mumkin ekan. Tabiiyki, bunda statistik alomatlarni
solishtirish masalasi kelib chiqadi.
Faraz qilaylik, alomatning kritik sohasi bo‘lsin. U holda H gipoteza to‘g‘ri
bo‘lganida statistikaning qiymati kritik sohaga tegishli bo‘lish ehtimolligi

alomatning quvvat funksiyasi deyiladi. Alomat quvvati H=H
1 bo‘lganida, ya’ni
W ( H
1 ) ehtimollik asosiy gipoteza noto‘g‘ri bo‘lganida to‘g‘ri yechimni qabul
qilishi ehtimolligini anglatadi. Alomatning siljimaganlik xossasi muhim o‘rin
tutadi va bu xossa
tengsizlik bilan aniqlanadi.
Asosiy gipoteza H
0 ni tekshirish uchun qiymatdorlik darajasi α bo‘lgan ikkita
va - alomat to‘plamlari aniqlangan bo‘lsin. Mavjud statistik gipotezalarni ikki
guruhga ajratish mumkin: parametrik va noparametrik gipoteza. T.m.larning
taqsimot funksiyasi paramerli taqsimotlar oilasiga tegishli bo‘lsin. Ammo,
taqsimotning parametrlari noma’lumdir. Masalan, t.m. normal
qonunlar oilasiga tegishli bo‘lsa, uning taqsimot funksiyasi ikkita: o‘rta qiymat va
dispersiya orqali to‘liq aniqlanadi va H
0 gipoteza, bu holda matematik kutilma
hamda dispersiya qiymatlari haqida bo‘ladi. Demak H
0 gipoteza asosiy noma’lum
parametr qiymatlari haqida bo‘lar ekan. Bunday statistik gipotezaga parametrik
gipoteza deb ataladi.
Agarda t.m.ning taqsimot funksiyasi umuman noma’lum bo‘lsa, noparametrik
gipoteza qabul qilinadi. Noparametrik gipoteza taqsimot funksiyasining ma’lum
xossalarga ega ekanligi haqida bo‘lishi mumkin.
Endi parametrik statistik alomatlarini qaraylik. X t.m.ning asl taqsimot funksiyasi
quyidagi taqsimotlar oilasiga tegishli bo‘lsin:
F =
Bu yerda θ =( θ
1 , …, θ
r ) – r - o‘lchovli vektor, parametrlar qiymati to‘plami
bo‘lsin.

U holda asosiy gipoteza H
0 ga asosan , alternativ gipotezaga asosan esa
. Asosiy gipoteza H
0 ni tekshirish uchun va ikkita kritik
to‘plamlar bo‘lib, ular har birining qiymatdorlik darajasi α bo‘lsin. Faraz qilaylik,
(1)
va
(2)
bo‘lsin.
Aytaylik, (2) tengsizlikda hech bo‘lmaganda θ ning bitta qiymati uchun qat’iy
tengsizlik o‘rinli bo‘lsin. U holda ga asoslangan statistik alomat nikiga
nisbatan tekis quvvatliroq deyiladi. Tabiiyki, bu holda ga asoslangan statistik
alomatni nikiga afzal ko‘rmoq maqsadga muvofiq bo‘ladi, chunki u alomat
kam xatolikka yo‘l qo‘yadi.
Agarda (1) va (2) munosabatlar ixtiyoriy uchun o‘rinli bo‘lsalar, ga mos
alomat tekis eng quvvatli (t.e.q.) alomat deyiladi.
2 Parametrik statistik alomat tuzish usullari
Oldingi paragrafda biz tekis eng quvvatli alomat haqida so‘z yuritdik. Tabiiyki t. e.
q. alomat har doim mavjud bo‘lavermaydi. Endi parametrik statistik alomatlar
orasida bo‘ladigan holni ko‘raylik. Faraz qilamiz, parametlar to‘plam Θ ikki
elementdan iborat bo‘lsin: Θ = { θ
1 , θ
2 }. Asosiy gipoteza H
0 ga asosan θ=θ
0 bo‘lsin.
U holda alternativ H
1 gipotezaga ko‘ra esa θ = θ
1 bo‘ladi.
Demak, shartga binoan biz o‘rganayotgan X t.m. H
0 gipotezaga asosan
taqsimotga, ammo H
1 raqobatlashuvchi gipotezaga ko‘ra esa
taqsimotiga ega bo‘ladi. Hajmi n – ga teng bo‘lgan ( X
1 , X
2 , ..., X
n )
tanlanma asosida qaysi gipoteza to‘g‘ri ekanini aniqlash kerak. Bu statistik masala
Yu. Neyman va E. Pirsonlar tomonidan hal qilingan.

Faraz qilaylik, F
0 ( x ) va F
1 ( x ) taqsimot funksiyalar absolut uzluksiz taqsimot
funksiyalar bo‘lib, mos ravishda f
0 ( x ) va f
1 ( x ) lar ularning zichlik funksiyalari
bo‘lsin. Quyidagi nisbatni ko‘raylik
Mana shunday aniqlangan l ( x ) – haqiqatga o‘xshashlik nisbati deyiladi. Bu
funksiya bilan bo‘g‘liq
ehtimollikni kiritamiz. Bu yerda с – soni Ψ ( c ) = α tenglama bilan aniqlanadi.
Teorema(Neyman – Pirson). Yuqorida keltirilgan shartlar bajarilganda har doim
tekis eng quvvatli alomat mavjud va u quyidagi kritik to‘plam bilan aniqlanadi
.
Bu yerda c- kritik nuqta Ψ ( c ) = α tenglamadan topiladi.
T. e. q. alomat taqsimoti funksiyasi absolyut uzluksiz bo‘lgan hol uchun keltirildi.
Ammo bunday alomat diskret taqsimotlar uchun ham mavjud bo‘ladi.
2 – misol. X
1 , X
2 , ..., X
n lar noma’lum θ o‘rta qiymatli va ma’lum σ 2
dispersiyali normal taqsimlangan t.m.ning bog‘liqsiz tajribalar natijasida olingan
kuzatilmalari bo‘lsin. Asosiy gipotezaga ko‘ra H
0 : θ = θ
0 , raqobatlashuvchi
gipoteza H
1 ga ko‘ra θ = θ
1 va θ
1 > θ
0 bo‘lsin. Demak,
,
Endi haqiqatga o‘xshashlik statistik nisbati l ( x ) ni topaylik

U holda tengsizlik quyidagi
tengsizlikka ekvivalent. Oxirgi tengsizlikni quyidagicha yozish mumkin.
- tanlanma o‘rta qiymat θ
0 va - parametrlik normal qonun bo‘yicha
taqsimlangani uchun
Bu yerda - Laplas funksiyasi. Tanlangan ixtiyoriy ehtimollik
uchun, , tengliklar bajariladigan c
α soni har doim mavjud.
Demak, Neyman – Pirson teoremasining barcha shartlari qanoatlantiriladi. Shu
teoremaga asosan t. e. q. alomat mavjud va uning kritik to‘plami quyidagicha
aniqlanadi.
,
Mana shu alomatning quvvatini hisoblaylik. Alternativ H
1 gipotezaga ko‘ra -
tanlanmaning o‘rta qiymati θ
1 va - parametrli normal qonun bo‘yicha
taqsimlangandir. U holda

(1)
(1) munosabatdan ikkinchi tur xatolik
ekanligi kelib chiqadi.
Endi quyidagi masalani ko‘raylik. Aliomatning qiymatdorlik darajasi α ga teng
bo‘lganida, ikkinchi tur xatolik β ga teng bo‘lishi uchun nechta kuzatilma kerak?;
ya’ni tanlanmaning hajmi qanday bo‘lishi kerak? Kerakli n soni topish uchun
ikkita tenglamaga egamiz. Bular
va (2)
Φ ( y )= p tenglamaning yechimini ko‘raylik. Bu tenglamaning yechimi y
p normal
qonunning p – chi kvantili deyiladi. U holda (2) ga asosan
. Oxirgi ikki tenglikdan munosabatga ega
bo‘lamiz. Qidirayotgan son butun bo‘lishi lozim. Shuning uchun,
. Bu erda [ a ] – a sonning butun qismi. Masalan, α=β =0.05 va
bo‘lsa, u holda n *
=1076 bo‘ladi; agarda α = β =0.001, bo‘lsa,
n *
=39 bo‘ladi.
3 Noparametrik muvofiqlik alomatlari
Faraz qilaylik, X
1 ,X
2 , ..., X
n lar bog‘liqsiz n ta tajriba natijasida X t.m.ning olingan
kutilmalari bo‘lsin. X t.m.ning taqsimoti noma’lum F ( x ) funksiyadan iborat

bo‘lsin. Noparametrik asosiy gipotezaga ko‘ra H
0 : F ( x )= F
0 ( x ). Mana shu statistik
gipotezani tekshirish talab etilsin.
A. Kolmogorovning muvofiqlik alomati
X
1 ,X
2 , ..., X
n kuzatilmalar asosida empirik taqsimot funksiyasini tuzamiz.
Faraz qilamiz, F ( x ) uzluksiz taqsimot funksiyasi bo‘lsin. Quyidagi statistikani
kiritamiz
Glivenko teoremasiga ko‘ra n yetarli katta bo‘lganda D
n kichik qiymat qabul
qiladi. Demak, agar asosiy gipoteza H
0 o‘rinli bo‘lsa D
n statistika kichik bo‘lishi
kerak. Kolmogorovning muvofiqlik alomati D
n statistikaning shu xossasiga
asoslangandir.
Teorema(Kolmogorov). Ixtiyoriy uzluksiz F ( x ) taqsimot funksiyasi va λ uchun
bo‘ladi.
D
n – statistikaga asoslangan statistik alomat kritik to‘plami quyidagicha
aniqlanadi
.
Bu yerdan 0< α <1 – alomatning qiymatdorlik darajasi.
Kolmogorov teoremasidan quyidagi xulosalar kelib chiqadi:
a) D
n – statistikaning H
0 gipoteza to‘g‘ri bo‘lgandagi taqsimoti F ( x ) bog‘liq emas;
b) Amaliy nuqtayi nazardan n ≥ 20 bo‘lgandayoq teoremadagi yaqinlashish juda
yaxshi natija beradi, ya’ni ni K( λ ) bilan almashtirishdan yo‘l
qo‘yiladigan xatolik yetarlicha kichikdir.

Bu xulosalardan kelib chiqadiki, n ≥ 20 bo‘lsa kritik chegara t
α ni ga teng
deb olish mumkin. Bu yerda λ
α K (λ
α ) = 1- α tenglamaning ildizlaridan iborat.
Haqiqatan ham berilgan 0< α <1 uchun
.
Shunday qilib, Kolmogorov alomati quyidagicha aniqlanadi:
1) berilgan α orqali K( λ
α ) = 1- α tenglama yechimi λ
α jadval yordamida topiladi.
2) berilgan tajriba natijalari x
1 , x
2 , …, x
n larga ko‘ra t = D
n ( x
1 , x
2 , …, x
n ) qiymati
hisoblanadi,
3) va λ
α solishtiriladi, agar bo‘lsa asosiy gipoteza H
0 rad eriladi, aks
holda tajriba H
0 ni tasdiqlaydi.

Statistik gipotezalar ( Ehtimollik va Statistika )

Sotib olish